| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Об асимптотике спектра случайных матриц с независимыми элементами П. А. Яськовabc a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Санкт-Петербургский государственный университет c Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10204e 
Реферативные базы данных:
    В работе изучается вопрос об универсальности формы предельного распределения сингулярных чисел случайных матриц $\mathbf X=\mathbf X(n)\in\mathbb R^{p\times n}$ с независимыми элементами и нулевым средним или, что эквивалентно, вопрос об универсальности предельного распределения спектра матриц Грама $n^{-1}\mathbf X\mathbf X^\top$, когда $p=p(n)$, $p/n\to\rho>0$ и $n\to\infty$. А именно, находятся точные условия, при которых слабый предел эмпирических мер
$$
\begin{equation*}
\mu_{n^{-1}\mathbf X\mathbf X^\top}=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^p\delta_{\lambda_k}
\end{equation*}
\notag
$$
описывается классическим законом Марченко–Пастура $\mu_{\rho}$ с параметром $\rho>0$ (п. н.), где $\{\lambda_{k}\}_{k=1}^p$ – спектр матрицы $n^{-1}\mathbf X\mathbf X^\top$ ($\lambda_k=\lambda_k(n)$). При некоторых слабых ограничениях на вторые моменты полученные условия фактически сводятся к условиям Адамчака
$$
\begin{equation*}
\frac{\|\mathbf x_p\|^2}{p}\to 1\quad\text{и}\quad \frac{\|\mathbf y_n\|^2}{n}\to 1\quad\text{по вероятности},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf x_p$ и $\mathbf y_n$ – случайно выбранные (с равномерным распределением) столбец и строка матрицы $\mathbf X$ соответственно (см. [1]); здесь и далее все пределы рассматриваются при $n\to\infty$.
Для более точных формулировок введем следующие условия, где индекс $i$ пробегает от $1$ до $p$, а $j$ – от $1$ до $n$, $X_{ij}=X_{ij}(n)$ – это $(i,j)$-элемент $\mathbf X$, а $\sigma^2_{ij}=\mathsf{E}|X_{ij}|^2$:
Условие (A1) ограничивает рост вторых моментов, условие (A2) дает нормировку в среднем. Введем также условия
Условия (A1$^*$) и (A2$^*$) эквивалентны упомянутым условиям Адамчака, когда имеют место (A1) и (A2). Это может быть проверено с помощью результатов работы [2] (см. вывод следствия 2.3 в [3]). Основной результат работы содержит Теорема 1. Пусть в предположениях выше имеют место (A1) и (A2). Тогда в том и только том случае, когда выполнены условия $({\rm A}1^*)$ и $({\rm A}2^*)$. Достаточность условий (A1$^*$) и (A2$^*$) в теореме 1 следует из результатов работы [4]. Доказательство необходимости основывается на версии теоремы 2.1 из [3] для неодинаково распределенных независимых случайных векторов $\{\mathbf x_{pk}\}_{k=1}^n$ в $\mathbb R^p$. Вывод последнего результата использует те же идеи, что и доказательство теоремы 2.1, но требует проверки двух соотношений (в части (i) $\Rightarrow$ (ii), см. [3]): $\|\mathbf x_p\|^2/p\to 1$ по вероятности и $\operatorname{tr}(|\mathsf{E}\mathbf x_p\mathbf x_p^\top-I_p|)/p\to 0$ при дополнительных условиях, что $\mathrm{tr}(\mathsf E \kern1pt \Sigma_\pi)/p\to 1$ и $\operatorname{tr}(\Sigma_\pi^2)/p^2\to 0$ по вероятности, где $I_p$ – единичная $(p\times p)$-матрица, $|A|$ – неотрицательно определенный корень $\sqrt{AA^\top}$ , $\Sigma_k=\mathsf{E}\mathbf x_{pk}\mathbf x_{pk}^\top$, $\pi=\pi(n)$ – величина с равномерным распределением на $\{1,\dots,n\}$, не зависящая от $\{\mathbf x_{pk}\}$, а $\mathbf x_p=\mathbf x_{p\pi}$. Отметим, что, в отличие от теоремы 1, существующие в литературе результаты в части необходимых условий покрывают лишь случай постоянных вторых моментов $\sigma_{ij}^2\equiv\sigma^2$ (см., например, теорему 4.1 в [5; гл. 3]). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Yas24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|