| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения Распределение нулей многочленов совместной дискретной ортогональности в случае Анжелеско В. Г. Лысов Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН
Английская версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10214e 
Реферативные базы данных:
    1.Многочлены совместной ортогональности возникают в качестве знаменателей рациональных аппроксимаций Эрмита–Паде. Случай Анжелеско соответствует ситуации, когда выпуклые оболочки носителей мер ортогональности попарно не пересекаются. В предположении положительности абсолютно непрерывных компонент мер в работе [1] впервые применен асимптотический метод, связанный с векторной задачей равновесия логарифмического потенциала. В его основе лежит изучение [2] экстремальных многочленов с весом, зависящим от их степени. Оказалось, что метод обслуживает весьма широкий класс задач [3], [4]. Альтернативный подход разрабатывается в [5], [6]. В работе [7] равновесные потенциалы использованы для изучения многочленов, ортогональных относительно дискретных мер. Этот метод применяется как для классической [8], [9], так и для совместной дискретной ортогональности [9]–[11]. Цель настоящей работы – сформулировать общий результат в этом направлении. 2.Пусть $\vec\Delta=(\Delta_1,\dots,\Delta_d)$ – набор попарно непересекающихся отрезков вещественной оси, а $\Lambda$ – лучевая последовательность мультииндексов $\vec n\in\mathbb Z_{\geqslant0}^d$:
$$
\begin{equation}
\Delta_j\cap\Delta_k=\varnothing,\quad j\ne k,\qquad \lim_{\vec n\in\Lambda}\frac{n_j}{|\vec n|}=\theta_j>0, \qquad j=1,\dots,d,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $|\vec n|:=\sum_{j=1}^d n_j$. Для каждого $\vec n\in\Lambda$ рассмотрим векторы дискретных мер $\vec \nu_{\vec n}$ и $\vec \sigma_{\vec n}$:
$$
\begin{equation*}
\nu_{\vec n,j}(x)=\sum_{k=1}^{N_{\vec n,j}} c^{(k)}_{\vec n,j}\,\delta(x-t^{(k)}_{\vec n,j}),\qquad \sigma_{\vec n,j}(x)=\sum_{k=1}^{N_{\vec n,j}}\delta(x-t^{(k)}_{\vec n,j}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $T_{\vec n,j}=\{t^{(k)}_{\vec n,j}\}$ – упорядоченный набор узлов на $\Delta_j$, $c^{(k)}_{\vec n,j}>0$, а $N_{\vec n,j}>n_j$, $j=1,\dots,d$. Определим многочлен $p_{\vec n}$ степени $|\vec n|$ с единичным старшим коэффициентом, который удовлетворяет соотношениям совместной ортогональности относительно мер $\vec \nu_{\vec n}$:
$$
\begin{equation}
\int p_{\vec n}(x)x^{m}\,d\nu_{\vec n,j}(x)=0,\qquad m=0,\dots,n_j-1,\quad j=1,\dots,d.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Такой многочлен единственен и имеет $n_j$ простых нулей на $\Delta_j\setminus T_{\vec n,j}$, причем не более одного между соседними узлами. Таким образом, $\mu_{p_{\vec n}}\bigl([t^{(k)}_{\vec n,j},t^{(k+m)}_{\vec n,j}]\bigr) \leqslant m$, где $0\leqslant m\leqslant {N_{\vec n,j}}-k$, а $\mu_{p_{\vec n}}(x)=\sum_{t: p_{\vec n}(t)=0}\delta(x-t)$ – мера, считающая нули $p_{\vec n}$. Нас интересует предельное поведение $\mu_{p_{\vec n}}$ при $\vec n\in \Lambda$ и следующих условиях, которые предполагаем выполненными для $j=1,\dots,d$. 1) Существует такая постоянная $c>0$, что $t^{(k+1)}_{\vec n,j}-t^{(k)}_{\vec n,j}>c/|\vec n|$ при $k=1,\dots,N_{\vec n,j}-1$ и $\vec n\in\Lambda$. Кроме того, существуют пределы $\lim_{\vec n\in\Lambda}N_{\vec n,j}/n_j>1$. 2) Нормированные считающие меры узлов $\ast$-слабо сходятся: $\sigma_{\vec n,j}/{|\vec n|}\overset{\ast}{\to} \sigma_j(x)$, $\vec n\in \Lambda$, причем логарифмические потенциалы пределов $V^{\sigma_j}(z)=-\displaystyle\int\ln|z-x|\,d\sigma_j(x)$ непрерывны в $\mathbb{C}$. 3) Массы $c^{(k)}_{\vec n,j}$ вычисляются как значения в узлах некоторых непрерывных функций $\varphi_{\vec n,j}\in C(\Delta_j)$, которые, в свою очередь, имеют равномерные пределы:
$$
\begin{equation*}
c^{(k)}_{\vec n,j}= \exp\bigl(-\varphi_{\vec n,j}(t^{(k)}_{\vec n,j})\bigr), \qquad \frac{1}{|\vec n|}\varphi_{\vec n,j}\overset{\Delta_j}{\rightrightarrows} \varphi_{j}, \quad \vec n\in \Lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
3.Ответ дается в терминах векторной задачи равновесия логарифмического потенциала [12]. Исходные данные задачи: набор отрезков $\vec\Delta$; числовой вектор $\vec\theta\in\mathbb R_{>0}^d$; вектор мер $\vec\sigma=(\sigma_1,\dots,\sigma_d)$ полной вариации $|\sigma_j|>\theta_j$ с носителями $S(\sigma_j)\subset\Delta_j$ и непрерывными потенциалами $V^{\sigma_j}\in C(\mathbb C)$; вектор непрерывных функций $\vec\varphi=(\varphi_1,\dots,\varphi_d)$, $\varphi_j\in C(\Delta_j)$; положительно определенная симметричная матрица взаимодействия $A=(a_{j,k})$ размера $d$. Пусть $\mathcal{M}$ – множество таких векторных мер $\vec\mu=(\mu_1,\dots,\mu_d)$, что $|\mu_j|=\theta_j$, $S(\mu_j)\subset\Delta_j$ и $\mu_j\leqslant\sigma_j$, т. е. $\sigma_j-\mu_j$ есть мера. На множестве $\mathcal{M}$ определим функционал энергии $J$ и вектор потенциалов $\vec W^{\vec \mu}$:
$$
\begin{equation*}
J(\vec\mu)=\sum_{j,k=1}^d a_{j,k}I(\mu_j,\mu_k)+ \sum_{k=1}^d\int\varphi_k\,d\mu_k,\quad W_j^{\vec \mu}=\sum_{k=1}^d a_{j,k}V^{\mu_k}+\varphi_j,
\end{equation*}
\notag
$$
где $I(\mu_j,\mu_k)=\displaystyle\int V^{\mu_j}(x)\,d\mu_k(x)$ – взаимная энергия мер $\mu_j$ и $\mu_k$. Следующее предложение устанавливает существование и единственность векторной равновесной меры. Предложение 1. Каждая из следующих задач имеет единственное решение $\vec \lambda\in\mathcal{M}$, решения этих задач совпадают: 4.Сформулируем основной результат. В качестве $A$ возьмем матрицу взаимодействия для случая Анжелеско: $a_{j,j}=2$ и $a_{j,k}=1$ при $j\ne k$. Пусть $\vec\lambda$ – соответствующая векторная равновесная мера, а $\vec w$ – вектор постоянных равновесия. Теорема 1. Пусть выполнены условия (1) и 1)–3). Тогда для последовательности многочленов $p_{\vec n}$, удовлетворяющих (2), выполнены соотношения при $\vec n\in\Lambda$: Отметим, что в приложениях векторная равновесная мера может быть найдена явно в терминах мероморфных функций на римановых поверхностях (см. [13], [14]). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lys24} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|