| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Перемешивание в случайных динамических системах со стационарным шумом С. Б. Куксинabc, А. Р. Ширикянdb a Université Paris Cité & Sorbonne Université CNRS, IMJ-PRG, Paris, France b Российский университет дружбы народов (РУДН) c Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия d Department of Mathematics, CY Cergy Paris University, CNRS UMR 8088, Cergy–Pontoise, France
Английская версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10215e 
Реферативные базы данных:
    Асимптотическое поведение траекторий случайных динамических систем (СДС) с белым шумом достаточно подробно изучено в литературе как в конечномерном, так и в бесконечномерном случаях. Хорошо известно, что в этой ситуации рассматриваемая система обладает единственным глобально устойчивым состоянием при условии, что переходная функция марковского процесса, порожденного СДС, обладает некоторыми свойствами регулярности и возвратности; см. [1], [5], [2]. Целью настоящей заметки является анонсирование некоторых недавно полученных результатов в ситуации, когда СДС подвергается воздействию не белого, а марковского или стационарного шума. Доказательства приведенных ниже теорем можно найти в [3], [4]. Для простоты изложения мы ограничиваемся случаем конечномерного фазового пространства. Случайная динамическая система с марковским шумомПусть $H$ и $E$ – конечномерные евклидовы пространства, ${\mathcal K}\subset E$ – компактное подмножество, а $S\colon H\times E\to H$ – дважды непрерывно дифференцируемое отображение. Рассмотрим СДС где $u_k\in H$, а $\{\eta_k\}_{k\in\mathbb{Z}_+}$ – стационарный случайный процесс в $E$ такой, что носитель распределения ${\mathcal D}(\eta_k)$ содержится в ${\mathcal K}$ для любого $k\in\mathbb{Z}_+$. Мы будем предполагать, что выполнены следующие условия.(Д) Диссипация. Существуют такие числа $C>0$, $q\in(0,1)$, что для любых $u\in H$, $\zeta\in{\mathcal K}$ справедливо неравенство $|S(u,\zeta)|\leqslant q\,|u|+C\,\|\zeta\|$, где $|{\,\cdot\,}|$ и $\|{\,\cdot\,}\|$ – нормы в пространствах $H$ и $E$ соответственно. (У) Управляемость. Отображения $(D_\eta S)(0,0)\colon E\to H$ и $(D_u S)(0,0)\colon H\to H$ являются соответственно сюръекцией и изоморфизмом. (МР) Марковость и регулярность. Процесс $\{\eta_k\}$ является марковским, а его переходная функция $Q(y,\Gamma)$ за единичное время такова, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}Q(y,\,\cdot\,)\subset{\mathcal K}, \quad Q(y,\mathrm{d}z)=\rho(y,z)\,\ell(\mathrm{d}z)\quad\text{при} \ \ y\in {\mathcal K},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\rho\colon E\times E\to\mathbb{R}_+$ – непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству $\rho(0,0)>0$, а через $\ell$ обозначается мера Лебега на $E$. (СР) Сильная рекуррентность. Для любого $\delta>0$ существуют такие числа $l\in\mathbb{N}$ и $p>0$, что переходная функция процесса $\{\eta_k\}$ за время $l$ удовлетворяет неравенству $Q_l(y,B_E(0,\delta))\geqslant p$ для всякого $y\in{\mathcal K}$, где $B_E(0,\delta)$ – замкнутый шар в $E$ радиуса $\delta$ с центром в нуле. Для любого вектора $u\in H$ динамическая система (1) определяет траекторию $\{u_k\}_{k\geqslant 0}$ с начальным условием $u_0=u$. Следующая теорема описывает ее асимптотическое поведение при больших временах. Теорема 1. Предположим, что выполнены упомянутые выше четыре условия. Тогда найдутся инвариантная относительно сдвигов вероятностная мера ${\boldsymbol\mu}$ на пространстве $H^{\mathbb{Z}}$ и такое число $\gamma>0$, что для любого начального условия $u\in H$ соответствующая траектория $\{u_k\}_{k\geqslant 0}$ системы (1) удовлетворяет неравенству где через ${\boldsymbol\mu}_m$ обозначается проекция меры ${\boldsymbol\mu}$ на $H^{m+1}$, $\|{\,\cdot\,}\|_{\mathrm{var}}$ – норма полной вариации для мер, а $C_m>0$ – константа, не зависящая от $u$. Отметим, что результат о сходимости траекторий по норме полной вариации остается справедливым в случае, когда шум является стационарным случайным процессом. В этом случае надо налагать некоторые условия на условные вероятности процесса, когда фиксировано все прошлое. Точную формулировку можно найти в работе [3; теорема 3.1]. Приложение к ОДУ со случайным возмущениемВ евклидовом пространстве $H=\mathbb{R}^d$ со скалярным произведением $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ и соответствующей нормой $|{\,\cdot\,}|$ рассмотрим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение со случайным возмущением: Здесь $V\colon \mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$ – дважды непрерывно дифференцируемое векторное поле, удовлетворяющее при некотором $c>0$ неравенству $\langle V(x),x\rangle\leqslant -c|x|^2$ для любого $x\in H$, а $\eta$ – случайный процесс вида $\eta(t)=\sum_{k=0}^\infty \eta_k\delta(t-k)$, где $\delta(t)$ – масса Дирака в нуле, а $\{\eta_k\}$ – однородный марковский процесс в $H$. Траектории системы (3) имеют скачки в целых точках временной оси, и мы будем предполагать, что они непрерывны справа. Обозначая через $x_k$ значение решения $x(t)$ в момент времени $t=k$, легко видеть, что для последовательности $\{x_k\}$ выполнено соотношение (1), в котором $S(x,\eta)=\varphi_1(x)+\eta$, а $\varphi_t\colon\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$ – фазовый поток, ассоциированный с невозмущенным уравнением (3). Таким образом, для каждого начального условия $x\in H$ определена траектория $\{x_k\}_{k\geqslant 0}$ в пространстве $H$. Следующий результат является следствием теоремы 1.Теорема 2. Предположим, что переходная функция процесса $\{\eta_k\}$ удовлетворяет условиям (МР), (СР). Тогда существует инвариантная относительно сдвигов вероятностная мера ${\boldsymbol\mu}$ на пространстве $H^\mathbb{Z}$ и такое число $\gamma>0$, что для любого начального условия $x\in H$, целого числа $m\geqslant 0$ и достаточно большой константы $C_m$, не зависящей от $x$, выполнено неравенство (2), в котором $u_k=x_k$, а $u=x$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KukShi24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|