В. П. Платонов, “Об описании периодических элементов эллиптических полей, заданных многочленом третьей степени”, УМН, 79:6(480) (2024), 167–168; Russian Math. Surveys, 79:6 (2024), 1104

Финансовая поддержка	Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	FNEF-2024-0001
Работа выполнена в рамках Государственного задания по проведению фундаментальных научных исследований, проект FNEF-2024-0001.

Исследование проблемы периодичности функциональных непрерывных дробей в гиперэллиптических полях было начато в классических работах Абеля [1] и Чебышёва [2]. В XX и XXI вв. для гиперэллиптических полей, заданных многочленами четной степени, была развита теория функциональных непрерывных дробей в $K((1/x))$ (см., например, [3]–[5]). Основы для изучения непрерывных дробей в $K((x))$ были заложены в работе [6], в которой впервые глубокие результаты по проблеме периодичности функциональных непрерывных дробей были получены для гиперэллиптических полей, определяемых многочленами нечетной степени. Дальнейшее развитие этот случай получил в [7] и [8], где, в частности, были получены результаты, связанные с элементом $\sqrt{f}$ . В [7] было доказано, что его квазипериодичность (т. е. периодичность с точностью до константы) влечет периодичность. А в [8] было получено полное описание периодических $\sqrt{f}$ для кубических многочленов $f$ над полем рациональных чисел. Однако вопрос об описании периодических и квазипериодических элементов более общего вида оставался открытым.

В настоящей работе впервые получено полное описание периодических и квазипериодических элементов вида $v+w\sqrt{f}$ , $v,w \in \mathbb{Q}[x]$, эллиптического поля, определяемого кубическим многочленом $f$ над полем рациональных чисел в качестве поля констант. В частности, показано, что при $\deg w >0$ или $\deg v >1$ такие элементы не квазипериодичны. Главный результат работы представлен в нижеследующей теореме.

Введем отношение эквивалентности на элементах $\alpha=v+w\sqrt{f}$ , где $v,w \in \mathbb{Q}[x]$, а именно, $\alpha(x) \equiv b\alpha(ax)$ для $a,b \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}$. Можно показать, что это отношение эквивалентности сохраняет свойство квазипериодичности и периодичности разложения в непрерывную дробь. Это отношение расширяет понятие эквивалентности $f(x) \equiv b^2f(ax)$ на многочленах, обладающее аналогичными свойствами.

Теорема. Пусть $\alpha=v+w\sqrt{f}\,$, где $v,w \in \mathbb{Q}[x]$, а $f \in \mathbb{Q}[x]$ – бесквадратный кубический многочлен. Тогда $\alpha$ обладает квазипериодическим разложением в непрерывную дробь в том и только том случае, когда $f$ с точностью до эквивалентности является одним из следующих многочленов:

$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} f_{5}&=\frac{3}{16}x^3-\frac{1}{2}x^2+x+1, &\qquad f_{8}&=\frac{3}{2}x^3-\frac{5}{4}x^2+x+1, \\ f_{10}&=-15x^3+\frac{25}{4}x^2+x+1, &\qquad f_{3}&=cx^3+1, \quad c \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}, \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$

и $\deg w =0$, $v=a+bx,$ где $a,b \in \mathbb{Q}$. Более того, $\alpha$ периодичен тогда и только тогда, когда или $f=f_3$, или $f=f_5$ и $b\ne \pm 1/2$, или $f=f_8$ и $b=0,\pm 1/2$, или $f=f_{10}$ и $b \ne \pm 1/2,\pm 3/2$. Во всех остальных случаях, а именно если $f\ne f_i$, $i=3,5,8,10$, и или $\deg w>0$, или $\deg v>1$, элемент $\alpha$ не квазипериодичен.

Индексы у многочленов $f_i$ в формулировке теоремы соответствуют степеням фундаментальных $S$-единиц эллиптического поля $\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f_i}\,)$ для $S$, состоящего из конечного нормирования, связанного с $x$, и бесконечного нормирования; другими словами, индексы равны порядку соответствующей $\mathbb{Q}$-точки кручения эллиптической кривой, заданной уравнением $y^2=f_i(x)$.

Кратко сформулируем основные идеи доказательства этой теоремы. С использованием критерия квазипериодичности разложения квадратичной иррациональности в непрерывную дробь (см. [5], [7]) можно показать, что если элемент $\alpha=v+w\sqrt{f}$ , $v,w \in \mathbb{Q}[x]$, раскладывается в квазипериодическую непрерывную дробь, то и сам $\sqrt{f}$ также обладает квазипериодическим разложением. В [7] показано, что квазипериодическое разложение $\sqrt{f}$ периодично. Дальнейшее доказательство теоремы опирается на описание периодических $\sqrt{f}$ , которое в свою очередь основывается на характеризации $\mathbb{Q}$-точек кручения соответствующего эллиптического поля. В соответствии с теоремой 4 статьи [8] с точностью до эквивалентности среди всех кубических многочленов только три многочлена: $f_5(x)$, $f_{8}(x)$, $f_{10}(x)$ и одна параметрическая серия $f_{3}(x,c)$ обладают свойством периодичности разложения квадратного корня в непрерывную дробь.

Из вышеупомянутого критерия квазипериодичности, описания периодических $\sqrt{f}$ в эллиптическом случае и дополнительных рассуждений следует, что при наличии квазипериодичности квадратичной иррациональности $\alpha=v+w \sqrt{f}$ из условия теоремы имеют место соотношения $\deg w=0$, $\deg v \leqslant 1$.

Легко видеть, что добавление константы не влияет на периодичность разложения. Поэтому достаточно проверить квазипериодичность элемента $\alpha_{i}=v+\sqrt{f_i}$ для каждого $i=3,5,8,10$ и произвольного линейного $v=a+bx$. Непосредственное символьное вычисление непрерывной дроби для $\alpha_{i}$ по алгоритму, базирующемуся на результатах статьи [7], показывает, что для линейного $v$ иррациональность $\alpha_i$ обладает квазипериодическим разложением для всех указанных $i$.

Чтобы уточнить, когда квазипериодические элементы обладают свойством периодичности, достаточно проанализировать длину квазипериода и коэффициент квазипериодичности, воспользовавшись аналогом леммы 4.1 из [4]. В частности, непрерывная дробь с нечетной длиной квазипериода периодична, а в случае четной длины она будет периодична тогда и только тогда, когда коэффициент квазипериодичности – это корень из единицы. Вычисления показывают, что в случаях, когда $i=3$, или $i=5$ и $b\ne \pm 1/2$, или $i=8$ и $b=0,\pm 1/2$, или $i=10$ и $b \ne \pm 1/2,\pm 3/2$, длина квазипериода $\alpha_i$ нечетна. В остальных рассматриваемых случаях она четна, а коэффициент квазипериодичности не является корнем из единицы.

В заключение отметим, что в случае $f$ степени 5 и выше описание периодических $\sqrt{f}$ отсутствует и обобщение результата основной теоремы настоящей работы на более высокие степени многочлена $f$ остается трудной проблемой.

Образец цитирования: В. П. Платонов, “Об описании периодических элементов эллиптических полей, заданных многочленом третьей степени”, УМН, 79:6(480) (2024), 167–168; Russian Math. Surveys, 79:6 (2024), 1104–1106

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Pla24}

\by В.~П.~Платонов

\paper Об описании периодических элементов эллиптических полей, заданных многочленом третьей степени

\jour УМН

\yr 2024

\vol 79

\issue 6(480)

\pages 167--168

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10216}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10216}

\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4867095}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024RuMaS..79.1104P}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2024

\vol 79

\issue 6

\pages 1104--1106

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10216e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001443210000011}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-105000419136}

Список литературы