Успехи математических наук, 2025, том 80, выпуск 1(481), страницы 165–170 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10217 (Mi rm10217)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10217

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2025, Volume 80, Issue 1, Pages 155–160
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10217e

Реферативные базы данных:

Zoom inZoom out

25 октября 2024 г. исполнилось шестьдесят лет выдающемуся ученому – академику Российской академии наук Дмитрию Валерьевичу Трещеву. Дмитрий Валерьевич внес фундаментальный вклад в динамику гамильтоновых систем и их дискретных аналогов (включая проблемы интегрируемости, устойчивости, хаоса), теорию возмущений, КАМ-теорию, изучение диффузии Арнольда. Он опубликовал свыше 110 научных работ, из них три монографии.

Дмитрий Валерьевич Трещев родился 25 октября 1964 г. в г. Оленегорске Мурманской области в семье военнослужащего, вскоре переехал с родителями в Киев, где и пошел в школу. Как неоднократный победитель школьных математических олимпиад поступил в физико-математическую школу-интернат № 18 им. А. Н. Колмогорова при МГУ (ныне СУНЦ), которую окончил в 1981 г. В том же году он поступил на отделение механики механико-математического факультета МГУ. Уже на втором курсе преподаватели заметили выдающиеся способности Дмитрия Валерьевича к математике. Его научным руководителем стал Валерий Васильевич Козлов. Их плодотворная совместная работа продолжается по сей день.

Дмитрий Валерьевич с отличием окончил мехмат в 1986 г., поступил в аспирантуру и в 1988 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему “Геометрические методы исследования периодических траекторий динамических систем”, а через четыре года – докторскую диссертацию на тему “Качественные методы исследования гамильтоновых систем, близких к интегрируемым”.

С 1986 г. Дмитрий Валерьевич преподавал в СУНЦе, а в 1988 г. стал сотрудником кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ. С 1993 г. он – ведущий научный сотрудник, с 1998 г. – профессор кафедры, а с 2006 г. – заведующий кафедрой. С 2005 г. Дмитрий Валерьевич работает в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук (МИАН), а с 2017 г. возглавляет его.

Семь учеников Д. В. Трещева защитили кандидатские диссертации, а один – докторскую. Исследовательский азарт Дмитрия Валерьевича передается его ученикам. Рядом с ним хочется решать более сложные задачи и совершенствовать свою математическую квалификацию. Для решения сложных задач Д. В. Трещев находит очень естественные и органичные методы. Это чувство естественности и простоты передается слушателю, когда Дмитрий Валерьевич рассказывает о своем решении. Так бывает даже с задачами, стоявшими на протяжении десятилетий.

В 2003 г. Д. В. Трещев был избран членом-корреспондентом РАН, а в 2016 г. – академиком РАН. Он является членом редколлегий журналов “Nonlinearity”, “Regular and Chaotic Dynamics”, а также главным редактором журнала “Математические заметки”.

В 1995 г. Дмитрий Валерьевич стал лауреатом Государственной премии РФ для молодых ученых, а в 2007 г. ему была присуждена премия им. А. М. Ляпунова за цикл работ “Сепаратрисное отображение и его применение в задачах гамильтоновой механики”. В 2002 г. Д. В. Трещев был приглашенным докладчиком на Международном математическом конгрессе (ICM) в Пекине.

Упомянем коротко лишь основные направления научной работы Дмитрия Валерьевича Трещева и главные его результаты.

Дмитрий Валерьевич создал метод непрерывного усреднения. Метод состоит в следующем. Рассмотрим классическую задачу о приведении системы $\dot x=\hat v(x)$ к более простому виду с помощью замены переменной. Такую замену обычно строят методом последовательных приближений. Дмитрий Валерьевич предложил заменить дискретную последовательность замен переменных на непрерывную, зависящую от параметра $\delta\in [0,+\infty)$. Семейство замен переменных строится как сдвиг вдоль решений вспомогательной системы

• $\bullet$ задача о включении диффеоморфизма в поток [8];
• $\bullet$ оценка неустранимой экспоненциально малой зависимости векторного поля от быстрой фазы в быстро-медленных системах [9], [12], [11];
• $\bullet$ вычисление асимптотики экспоненциально малого расщепления сепаратрис в стандартном отображении Чирикова, маятнике с быстро колеблющейся точкой подвеса и других системах [21], [13], [14];
• $\bullet$ новые результаты в теории нормальных форм около положения равновесия [20].

Так, в работе [12] Д. В. Трещев рассмотрел динамическую систему

В работе [9] Дмитрий Валерьевич совместно со своим учеником А. В. Прониным рассматривали классическую систему теории возмущений, в которой часть переменных медленно эволюционирует, а другая часть переменных вращается с различными частотами (такие системы традиционно называются быстро-медленными). С помощью метода непрерывного усреднения они показали, что в аналитических быстро-медленных системах неинтегрируемое возмущение может быть ослаблено до экспоненциально малых членов. Более того, были получены неулучшаемые оценки констант, стоящих в экспоненте.

Другим примером динамической системы с экспоненциально малыми эффектами является маятник с быстро колеблющейся точкой подвеса [13]. В этой работе Дмитрий Валерьевич, используя метод непрерывного усреднения, впервые вычислил асимптотики экспоненциально малого расщепления сепаратрис. Эти результаты не могут быть получены с помощью техники интеграла Пуанкаре–Мельникова.

Дмитрий Валерьевич развил метод сепаратрисного отображения и с его помощью получил новые фундаментальные результаты в теории возмущений гамильтоновых систем. Сепаратрисное отображение – это аналог отображения Пуанкаре, когда вместо периодической траектории используется гомоклиническая траектория к состоянию равновесия, или, более общо, к инвариантному множеству. Такое отображение использовалось Б. В. Чириковым на физическом уровне строгости для анализа малого периодического возмущения задачи о математическом маятнике.

Д. В. Трещев открыл, что при правильном выборе переменных сепаратрисное отображение Чирикова задается явными универсальными формулами, мало зависимыми от конкретной системы. С помощью полученных формул Дмитрий Валерьевич впервые строго оценил (как сверху, так и снизу) размер стохастического слоя возмущенной системы в окрестности сепаратрисы [21], [13], [14].

Дмитрий Валерьевич открыл, что при расщеплении сепаратрис возникают устойчивые периодические решения в лунках, которые образуют расщепившиеся сепаратрисы [21]. В соавторстве с А. И. Нейштадтом, В. В. Сидоренко, К. Симо и А. А. Васильевым [7], [22] им было показано, что в области переходов через сепаратрису в системах с медленно, со скоростью $\sim \varepsilon$, изменяющимися параметрами есть много (порядка $1/\varepsilon$) устойчивых периодических траекторий системы. Каждая из этих траекторий окружена островом устойчивости, мера которого оценивается снизу величиной порядка $\varepsilon$, так что суммарная мера островов устойчивости оценивается снизу величиной, не зависящей от $\varepsilon$. Доказательство основано на исследовании асимптотических формул для соответствующего отображения последования Пуанкаре.

Далее Д. В. Трещев построил обобщение сепаратрисного отображения на многомерные гамильтоновы системы, являющиеся возмущением интегрируемых систем, обладающих гиперболическим инвариантным тором со сдвоенными устойчивыми и неустойчивыми многообразиями. Оказалось, что для такого отображения тоже имеются универсальные формулы.

С помощью полученных формул Дмитрий Валерьевич впервые установил наличие диффузии Арнольда для общих априори неустойчивых гамильтоновых систем и получил точные оценки снизу скорости диффузии [17], [15], [16]. Ранее диффузия Арнольда была найдена только для весьма специальных частных случаев, и без оценки скорости диффузии.

Опишем некоторые результаты Дмитрия Валерьевича в КАМ-теории. В работе [10] им было показано, что резонансные торы интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем при возмущении распадаются не полностью: некоторые их нерезонансные подторы меньшей размерности, как правило, сохраняются и становятся частично нормально гиперболическими. В работе [6] совместно с А. И. Нейштадтом и своим учеником А. Г. Медведевым Дмитрий Валерьевич изучил семейство лагранжевых торов, которые появляются в окрестности резонанса близкой к интегрируемой гамильтоновой системы. Такие семейства отсутствуют в невозмущенной системе. Д. В. Трещев с соавторами показал также, что, вообще говоря, в случае резонанса порядка 1 относительная мера множества этих торов велика в том смысле, что мера оставшегося хаотического множества имеет порядок $\sqrt\varepsilon$ . Таким образом, для малых $\varepsilon>0$ при случайных начальных условиях из $\sqrt\varepsilon$-окрестности резонанса вероятность возникновения квазипериодического движения оказывается значительно выше, чем в “хаотическом” множестве.

Для гамильтоновых систем с полутора степенями свободы В. И. Арнольдом был поставлен следующий вопрос: какова разность частот на колмогоровских торах, примыкающих к стохастическому слою? Дмитрий Валерьевич решил данную задачу в аналитической и неаналитической постановке. В частности, он доказал, что в аналитических системах эта разность имеет порядок $\varepsilon$. Несмотря на кажущуюся простоту ответа, данный результат требует использования техники сепаратрисного отображения и теорем об усреднении до экспоненциально малых членов.

Дмитрий Валерьевич показал, что при потенциальном взаимодействии конечномерной гамильтоновой системы с линейной бесконечномерной, как правило, возникает эффективная диссипация, ведущая к простой финальной динамике.

Д. В. Трещев предложил обобщение энтропии Колмогорова–Синая на квантовые системы [18], [19], [1]. Классическая энтропия Колмогорова–Синая определена для эндоморфизма пространства с мерой $(M,\mu)$. Дмитрий Валерьевич поставил и решил задачу построения энтропии для общих унитарных операторов в гильбертовом пространстве $L^2(M,\mu)$. Для оператора Купмана, отвечающего эндоморфизму пространства с мерой, построенная энтропия совпадает с энтропией Колмогорова–Синая. Конструкция основана на новом понятии $\mu$-нормы оператора в пространстве $L^2(M,\mu)$.

В совместных работах с В. В. Козловым [3]–[5] Дмитрием Валерьевичем найдены все интегрируемые системы в классе гамильтоновых (классических или квантовых) систем с торическим пространством положений и потенциалом в виде тригонометрического полинома, получены обобщения на случай систем с экспоненциальным взаимодействием (обобщенных цепочек Тоды). Также в рамках теории ансамблей Гиббса им развита неравновесная статистическая механика.

Совместно с С. В. Болотиным Дмитрий Валерьевич разработал общую теорию антиинтегрируемого предела [2], которая была им успешно применена при исследовании диффузии Арнольда.

От всей души поздравляем Дмитрия Валерьевича с 60-летним юбилеем и желаем ему крепкого здоровья, счастья и дальнейших успехов в науке.

Список литературы
1.	К. А. Афонин, Д. В. Трещёв, “Энтропия унитарного оператора на $L^2(\mathbb{T}^n)$”, Матем. сб., 213:7 (2022), 39–96        ; англ. пер.: K. A. Afonin, D. V. Treschev, “Entropy of a unitary operator on $L^2(\mathbb{T}^n)$”, Sb. Math., 213:7 (2022), 925–980
2.	С. В. Болотин, Д. В. Трещёв, “Антиинтегрируемый предел”, УМН, 70:6(426) (2015), 3–62        ; англ. пер.: S. V. Bolotin, D. V. Treschev, “The anti-integrable limit”, Russian Math. Surveys, 70:6 (2015), 975–1030
3.	В. В. Козлов, Д. В. Трещёв, “Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений”, Матем. сб., 135(177):1 (1988), 119–138      ; англ. пер.: V. V. Kozlov, D. V. Treshchëv, “On the integrability of Hamiltonian systems with toral position space”, Sb. Math., 63:1 (1989), 121–139
4.	В. В. Козлов, Д. В. Трещёв, “Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 53:3 (1989), 537–556      ; англ. пер.: V. V. Kozlov, D. V. Treshchev, “Polynomial integrals of Hamiltonian systems with exponential interaction”, Math. USSR-Izv., 34:3 (1990), 555–574
5.	В. В. Козлов, Д. В. Трещёв, “Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды”, Матем. заметки, 46:5 (1989), 17–28      ; англ. пер.: V. V. Kozlov, D. V. Treshchev, “Kovalevskaya numbers of generalized Toda chains”, Math. Notes, 46:5 (1989), 840–848
6.	A. G. Medvedev, A. I. Neishtadt, D. V. Treschev, “Lagrangian tori near resonances of near-integrable Hamiltonian systems”, Nonlinearity, 28:7 (2015), 2105–2130
7.	A. I. Neishtadt, V. V. Sidorenko, D. V. Treschev, “Stable periodic motions in the problem on passage through a separatrix”, Chaos, 7:1 (1997), 2–11
8.	A. V. Pronin, D. V. Treschev, “On the inclusion of analytic maps into analytic flows”, Regul. Chaotic Dyn., 2:2 (1997), 14–24
9.	A. V. Pronin, D. V. Treschev, “Continuous averaging in multi-frequency slow-fast systems”, Regul. Chaotic Dyn., 5:2 (2000), 157–170
10.	Д. В. Трещёв, “Механизм разрушения резонансных торов гамильтоновых систем”, Матем. сб., 180:10 (1989), 1325–1346      ; англ. пер.: D. V. Treshchëv, “The mechanism of destruction of resonance tori of Hamiltonian systems”, Math. USSR-Sb., 68:1 (1991), 181–203
11.	D. V. Treschev, “An averaging method for Hamiltonian systems, exponentially close to integrable ones”, Chaos, 6:1 (1996), 6–14
12.	Д. В. Трещев, “Метод непрерывного усреднения в задаче разделения быстрых и медленных движений”, Regul. Chaotic Dyn., 2:3-4 (1997), 9–20
13.	D. V. Treschev, “Splitting of separatrices for a pendulum with rapidly oscillating suspension point”, Russ. J. Math. Phys., 5:1 (1997), 63–98
14.	D. Treschev, “Width of stochastic layers in near-integrable two-dimensional symplectic maps”, Phys. D, 116:1-2 (1998), 21–43
15.	D. Treschev, “Trajectories in a neighbourhood of asymptotic surfaces of a priori unstable Hamiltonian systems”, Nonlinearity, 15:6 (2002), 2033–2052
16.	D. Treschev, “Evolution of slow variables in a priori unstable Hamiltonian systems”, Nonlinearity, 17:5 (2004), 1803–1841
17.	D. Treschev, “Arnold diffusion far from strong resonances in multidimensional a priori unstable Hamiltonian systems”, Nonlinearity, 25:9 (2012), 2717–2757
18.	Д. В. Трещев, “$\mu$-Норма оператора”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Валерия Васильевича Козлова, Труды МИАН, 310, МИАН, М., 2020, 280–308        ; англ. пер.: D. V. Treschev, “$\mu$-norm of an operator”, Proc. Steklov Inst. Math., 310 (2020), 262–290
19.	D. Treschev, “$\mu$-norm and regularity”, J. Dynam. Differential Equations, 33:3 (2021), 1269–1295
20.	D. V. Treschev, “Normalization flow”, Regul. Chaotic Dyn., 28:4-5 (2023), 781–804
21.	D. Treschev, O. Zubelevich, Introduction to the perturbation theory of Hamiltonian systems, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, Berlin, 2010, x+211 pp.
22.	А. А. Васильев, А. И. Нейштадт, К. Симо, Д. В. Трещёв, “Острова устойчивости в области переходов через сепаратрису в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями”, Анализ и особенности. Часть 2, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Владимира Игоревича Арнольда, Труды МИАН, 259, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2007, 243–255      ; англ. пер.: A. A. Vasiliev, A. I. Neishtadt, C. Simó, D. V. Treschev, “Stability islands in domains of separatrix crossings in slow-fast Hamiltonian systems”, Proc. Steklov Inst. Math., 259 (2007), 236–247

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BolZubKoz25}
\by С.~В.~Болотин, О.~Э.~Зубелевич, В.~В.~Козлов, С.~Б.~Куксин, А.~И.~Нейштадт
\paper Дмитрий Валерьевич Трещев (к шестидесятилетию со дня рождения)
\jour УМН
\yr 2025
\vol 80
\issue 1(481)
\pages 165--170
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10217}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10217}
\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4899635}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2025RuMaS..80..155B}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2025
\vol 80
\issue 1
\pages 155--160
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10217e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001502686200010}