Успехи математических наук, 2025, том 80, выпуск 2(482), страницы 171–183 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10227 (Mi rm10227)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10227

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2025, Volume 80, Issue 2, Pages 345–357
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10227e

Реферативные базы данных:

Zoom inZoom out

4 ноября 2023 г. исполнилось 80 лет выдающемуся математику, президенту Независимого московского университета, члену Правления Московского математического общества, Командору Ордена Академических пальмовых ветвей Юлию Сергеевичу Ильяшенко.

Область исследований Юлия Сергеевича – динамические системы. Аналитическая теория дифференциальных уравнений – один из самых классических разделов математики, восходящий к Лейбницу и Эйлеру. В последние десятилетия она претерпела существенные изменения благодаря работам Юлия Сергеевича и его школы.

Юлий Сергеевич Ильяшенко родился в Москве 4 ноября 1943 г. Закончив 59-ю школу, где его учителем математики был Иван Васильевич Морозкин, Юлий Сергеевич поступил на механико-математический факультет МГУ, который окончил в 1965 г. Его научным руководителем был Евгений Михайлович Ландис. В то время считалось, что новаторские работы Е. М. Ландиса и И. Г. Петровского (см. [42]) дают решение второй части шестнадцатой проблемы Гильберта. Напомним её формулировку. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений на плоскости

Ключевая идея Петровского и Ландиса состояла в том, чтобы рассмотреть комплексификацию фазового портрета для данного векторного поля – т. е. положить переменные $x$ и $y$ в (1) комплексными – и изучить зависимость от параметров в аналитических семействах для комплексного аналога предельных циклов. Однако оказалось, что подход Петровского и Ландиса не работает в предложенной ими форме. Это было обнаружено в середине 1960-х годов Юлием Сергеевичем и С. П. Новиковым, упоминающим в этом контексте также Д. В. Аносова. Тем не менее исследования Петровского и Ландиса положили начало теории голоморфных слоений с особенностями – новой области исследований, находящейся на стыке аналитической и алгебраической геометрии, комплексного анализа, топологии, дифференциальных уравнений, теории особенностей и динамических систем.

В кандидатской диссертации “Возникновение предельных циклов при возмущении уравнения $dw/dz=-R_{z}/R_{w}$, где $R(z,w)$ – многочлен”, которую Юлий Сергеевич защитил в 1969 г., рассматривалась проблема бифуркации предельных циклов при полиномиальном возмущении $\mathrm{d}H+\varepsilon\omega=0$ гамильтоновой системы на плоскости, записываемой в пфаффовой форме $\mathrm{d}H=0$. Со времен работ Пуанкаре и Понтрягина было известно, что необходимым условием возникновения предельного цикла в окрестности овала $\delta\subseteq\{H=c\}$ на линии уровня функции $H$ является обращение в нуль абелева интеграла

В начале 1970-х годов Юлий Сергеевич и Н. Н. Нехорошев стали соруководителями семинара по обыкновенным дифференциальным уравнениям, ранее созданного Е. М. Ландисом на мехмате МГУ. К концу десятилетия Е. М. Ландис отошёл от руководства семинаром, а семинары Ильяшенко и Нехорошева разделились. Семинар по теории динамических систем под руководством Юлия Сергеевича продолжает работать и с осени 2017 г. проводится на факультете математики ВШЭ.

Статьи [15], [16] в неявном виде содержали вопрос, который в дальнейшем получил название “инфинитезимальная проблема Гильберта”: дать верхнюю оценку для числа изолированных вещественных нулей абелевых интегралов (2). В 1984 г. А. Г. Хованский и А. Н. Варченко доказали теорему о равномерной ограниченности для числа таких нулей, и фокус внимания сместился на получение явных верхних оценок. Юлий Сергеевич установил несколько важных явных неравномерных асимптотических оценок для числа нулей в серии совместных работ с С. Ю. Яковенко (см. работу [40] и ссылки в ней) и А. А. Глуцюком [10], пока равномерная оценка в виде двойной экспоненты от степени не была получена в 2010 г. Г. Биньямини, Д. И. Новиковым и С. Ю. Яковенко [2].

В 1970-е годы Юлий Сергеевич работал над локальной и глобальной теорией аналитических дифференциальных уравнений: изучал нормальные формы особенностей и сходимость возникающих рядов, занимался вопросом об алгебраической разрешимости локальных задач классификации. Юлий Сергеевич доказал аналитическую неразрешимость проблемы центра-фокуса и проблемы устойчивости Ляпунова (см. статью [19] и ссылки в ней). В то же время он изучал типичные свойства полиномиальных слоений на $\mathbb{C}P^2$ и их голономии в окрестности инвариантной бесконечно удалённой прямой. Здесь он открыл топологическую жёсткость комплексных слоений: в отличие от их вещественных аналогов, которые обычно остаются топологически устойчивыми при малых возмущениях, “комплексные фазовые портреты” не могут быть деформированы с сохранением топологического типа [20]. Юлий Сергеевич был приглашён сделать доклад по этой работе на Международном Конгрессе математиков в 1978 г. в Хельсинки. Около 2010 г. он вернулся к этой теме и ввел более сильное понятие полной жёсткости. Для типичных квадратичных векторных полей (т. е. систем вида (1) с $\deg P,\deg Q\leqslant 2$) полная жёсткость была установлена в 2011 г. в совместной статье Юлия Сергеевича с В. Молдавскисом [34].

Одним из ключевых элементов стратегии Петровского–Ландиса было доказательство того, что комплексный предельный цикл не разрушается, т. е. может быть “продолжен на произвольное расстояние” как функция от параметров и базовой точки в трансверсальном сечении. В начале двухтысячных в пионерской работе [5] Юлий Сергеевич, совместно с Г. Баззардом и С. Хруской, рассмотрел дискретный аналог утверждения о сохранении комплексного предельного цикла – теорему о сохранении периодических траекторий типичных полиномиальных автоморфизмов $\mathbb{C}^2$ при их типичных деформациях. Более точно, авторы доказали в [5], что в множестве полиномиальных автоморфизмов фиксированной степени типично наличие свойства Купки–Смейла: все периодические орбиты автоморфизма являются гиперболическими, а устойчивые и неустойчивые многообразия любых двух седловых неподвижных точек пересекаются трансверсально. В той же статье было показано, что гетероклиническое пересечение любых двух периодических седловых точек сохраняется при возмущении, точнее, оно может быть продолжено на бо́льшую часть пространства параметров. Это один из первых результатов о сохранении в многомерной голоморфной динамике.

Подход к исследованию вопроса о сохранении комплексного предельного цикла, предложенный Юлием Сергеевичем в конце шестидесятых, заключался в униформизации листов слоений. Результат униформизации отдельного листа хорошо известен и даётся классической теоремой униформизации Пуанкаре–Кёбе. Для изучения глобального голоморфного слоения, определённого полиномиальным векторным полем, важно знать зависимость униформизующего отображения от параметра на трансверсали к листам. В 1972 г. Юлий Сергеевич доказал, что объединение универсальных накрытий листов с отмеченными точками в трансверсальном сечении допускает естественную структуру многообразия Штейна [17], и поставил вопрос о реализуемости универсального накрытия в виде области в произведении трансверсального сечения и сферы Римана. Классическая теорема Л. Берса об одновременной униформизации утверждает, что искомая реализация существует для регулярных голоморфных слоений на компактные римановы поверхности, причём слои униформизуются квазифуксовыми группами. Это означает, что семейство универсальных накрытий биголоморфно эквивалентно семейству инвариантных компонент аналитического семейства квазифуксовых групп, так что фактор каждой компоненты по действию группы является соответствующим листом слоения. В 1973 г. Юлий Сергеевич доказал важный результат для более широкого класса клейновых групп, так называемых вполне невырожденных $B$-групп [18]. В дальнейшем это позволило ему обобщить теорему униформизации Берса на слоения на компактные римановы поверхности в окрестности особого слоя с особенностями типа простых трансверсальных самопересечений (двойных точек): соответствующая статья готовится к публикации. Эти его результаты – выдающийся вклад как в теорию голоморфных слоений, так и в классическую теорию клейновых групп. Контрпримеры для более общего класса слоений на алгебраических поверхностях были построены учеником Юлия Сергеевича А. А. Глуцюком в начале 2000-х годов [9].

Вернёмся к началу восьмидесятых. В то время Юлий Сергеевич руководил работой нескольких аспирантов (А. А. Щербаков, В. А. Найшуль, П. М. Елизаров, С. М. Воронин), которые обнаружили удивительные явления в аналитической и топологической теории особенностей. С. М. Воронин в 1981 г. открыл геометрическое препятствие к сходимости формального преобразования к полиномиальной нормальной форме параболической неподвижной точки голоморфного автоморфизма [45]. Это препятствие, найденное независимо в аналитической форме Ж. Экалем [7] и сегодня известное как модуль аналитической классификации Экаля–Воронина, стало (вместе с последующими работами Ж. Мартине и Ж.-П. Рамиса об аналитической классификации седлоузлов и резонансных сёдел) отправной точкой для атаки на предельные циклы.

В 1980 г. знаменитый мемуар А. Дюлака “Sur les cycles limites” (1923 г.), посвящённый доказательству конечности числа предельных циклов полиномиального векторного поля, был переведён на русский язык. Юлий Сергеевич стал подробно разбирать его, обращая особое внимание на рассуждения, связывающие формальные и аналитические свойства дифференциальных уравнений – как стало ясно к тому времени, между ними существует огромный разрыв. Очень скоро он наткнулся на так называемую “последнюю лемму Дюлака”, из которой, как он увидел, следует, что $C^\infty$-гладкая функция, допускающая асимптотический ряд особого вида (с неосциллирующими членами, образованными вещественными степенями и логарифмами положительного вещественного аргумента), сама должна быть неосциллирующей на малом положительном интервале. Это утверждение верно для функций с нетривиальным асимптотическим рядом (они имеют главный член в асимптотике), однако для плоских функций с тождественно нулевым асимптотическим рядом оно неверно. Юлий Сергеевич построил пример полицикла аналитического векторного поля на комплексном многообразии с плоской монодромией [22; теорема 4], впоследствии этот пример был реализован в области на плоскости С. И. Трифоновым [44].

Параллельно с этим у ряда зарубежных математиков также стали возникать сомнения в корректности доказательств Дюлака; в 1976 г. Ф. Дюмортье задал этот вопрос в кулуарах конференции в Рио-де-Жанейро, а около 1981 г. Р. Муссю отправил нескольким экспертам письмо с вопросом, считают ли они доказательство Дюлака полным. Одним из этих экспертов оказался Юлий Сергеевич, который ответил ему готовым контрпримером. Первое письменное объявление о падении гигантской конструкции (мемуар Дюлака занимает около 150 страниц) было сделано в препринте Пущинского научного центра, где в феврале 1982 г. Юлий Сергеевич выступил на конференции с докладом на эту тему. Позднее, в 1985 г., в журнале “Успехи математических наук” вышла обзорная статья [23], в которой были воспроизведены почти все результаты Дюлака, но показана их фундаментальная недостаточность для доказательства теоремы о конечности числа предельных циклов. Начался поиск доказательства “гипотезы Дюлака”.

В 1986 г. Родриго Бамон доказал теорему конечности для предельных циклов квадратичных векторных полей, а в 1990 г. на Международном конгрессе математиков в Киото были сделаны два последовательных доклада: Жана Экаля, под названием “Операторы ускорения и их приложения к дифференциальным уравнениям, квазианалитическим функциям и конструктивное доказательство гипотезы Дюлака”, и Ю. С. Ильяшенко, “Теоремы конечности для предельных циклов”. Каждый из докладчиков дал независимое доказательство теоремы конечности: Ж. Экаль – с помощью техники ускорения суммирования, Ю. С. Ильяшенко – с обширным использованием геометрической и асимптотической теории “когомологических отображений”, т. е. наборов аналитических функций, определённых на пересекающихся областях, где явно контролируется убывание их разностей на пересечениях. Подробные доказательства появились лишь спустя несколько месяцев, каждое в виде монографии объёмом несколько сотен страниц [24], [8]. Сегодня теорема конечности Ильяшенко–Экаля справедливо считается вершинным достижением в столетней истории шестнадцатой проблемы Гильберта. Сама проблема, однако, так и не решена: даже в простейшем случае квадратичных векторных полей не доказано существование общей для всех таких полей верхней оценки для числа предельных циклов. (В 1980 г. Ши Сонглин показал, что существуют квадратичные векторные поля с не менее чем четырьмя предельными циклами.)

Источником основных трудностей в доказательстве конечности является случай вырождения бесконечной коразмерности. Следуя идеям В. И. Арнольда, Юлий Сергеевич сформулировал гипотезу, что в типичных конечно-параметрических гладких семействах векторных полей таких вырождений всегда можно избежать и потому может быть дана верхняя оценка для числа предельных циклов, которые могут появиться вблизи сепаратрисного многоугольника (как следует из рассуждения, аналогичного доказательству теоремы Пуанкаре–Бендиксона, это единственная часть фазового портрета, где потенциально может возникать неограниченное число предельных циклов). В предположении, что особыми точками в сепаратрисном многоугольнике являются типичные сёдла либо седлоузлы, эта гипотеза, названная проблемой Гильберта–Арнольда, была в итоге доказана в серии работ Юлия Сергеевича с С. Ю. Яковенко [39] и в работе В. Ю. Калошина [41].

В начале 1980-х годов Юлий Сергеевич обнаружил ошибку в книге Йосипа Племеля 1908 г., которая, как считалось, содержала решение еще одной проблемы Гильберта, 21-й, известной также как проблема Римана–Гильберта. Проблема Римана–Гильберта состоит в построении системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами, имеющих только полюсы первого порядка в заранее заданных особых точках $a_1,\dots,a_n$, с предписанной группой монодромии – группой матриц, задающих изоморфизмы в пространстве решений, возникающие при продолжении решений вдоль путей в $\overline{\mathbb{C}}\setminus\{a_1,\dots,a_n\}$. Юлий Сергеевич и независимо, примерно в то же время, Армандо Трейбих Кон [43] поняли, что аргументы Племеля работают только при неявном предположении, что одна из матриц диагонализируема, а общий случай всё ещё открыт. Это наблюдение побудило Андрея Андреевича Болибруха, который в то время работал над многомерной версией проблемы Римана–Гильберта, вернуться к одномерному случаю. В 1992 г. А. А. Болибрух обнаружил очень тонкое топологическое препятствие к разрешимости проблемы Римана–Гильберта.

Летом 1996 г. в Куэрнаваке Л. Ортис-Бобадилья и Э. Росалес-Гонсалес организовали семинар по динамическим системам и пригласили Юлия Сергеевича прочесть серию лекций. Материал этих лекций в дальнейшем вошёл в его совместную с Вейгу Ли книгу “Нелокальные бифуркации” [33]. Бифуркация седлоузлового цикла с несколькими гомоклиническими торами привела их к рассмотрению динамики полугруппы преобразований окружности, порождённой конечным числом диффеоморфизмов, и Юлий Сергеевич вместе со своими учениками начал заниматься случайными динамическими системами. Свойства, которые были обнаружены (например, устойчивое существование плотных орбит с нулевым показателем Ляпунова, сосуществование плотных множеств периодических орбит с различными индексами), оказались весьма необычными для классической динамической системы. Вместе с тем, по построению, их можно наблюдать и внутри инвариантного множества исходного диффеоморфизма.

В сентябре того же года на докладе на заседании Московского математического общества Юлий Сергеевич предложил эвристический принцип: любое явление, возникающее в динамике свободной конечно порожденной полугруппы диффеоморфизмов, может быть реализовано в частично гиперболическом множестве одного отображения. Первые технические шаги в реализации этой программы вскоре были сделаны в серии статей Юлия Сергеевича и А. С. Городецкого (см. работу [13] и ссылки в ней). Их результаты стали основой для многочисленных примеров и контрпримеров: открытые множества диффеоморфизмов, имеющие негиперболические эргодические меры (В. А. Клепцын и М. Б. Нальский), косые произведения с неустранимым нулевым показателем Ляпунова (А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко, В. А. Клепцын, М. Б. Нальский, см. [14]), так называемые “костистые аттракторы” (Ю. Г. Кудряшов), невидимые аттракторы (Д. С. Волк, Ю. С. Ильяшенко и А. Негут, [38], [35]), неплотность свойства орбитального отслеживания в $C^1$-топологии (А. В. Осипов), открытое множество отображений кольца с перемежающимися бассейнами притяжения (Ю. С. Ильяшенко, В. А. Клепцын и П. С. Салтыков [30]), негиперболические эргодические меры, находящиеся на негиперболических гомоклинических классах (К. Бонатти, Л. Диас и А. С. Городецкий, см. [6]), относительно неустойчивые аттракторы Милнора (Ю. С. Ильяшенко и И. С. Шилин [36]) и многие другие.

В том же 1996 г. Математический институт им. В. А. Стеклова РАН переехал в новое здание, где Юлий Сергеевич и Д. В. Аносов вскоре организовали семинар по динамическим системам. На этом семинаре Р. И. Григорчук докладывал свои работы по эргодическим теоремам для групповых действий для свободной группы, которые потом были продолжены участниками семинара [3], [4].

Ещё один вопрос, которым Юлий Сергеевич занимался на протяжении всей своей математической жизни, состоит в том, как “правильно” определить “наблюдаемые режимы” типичной динамической системы, иными словами, к чему стремятся траектории большинства её точек при $t\to +\infty$. Это предельное множество называют аттрактором системы, однако в этом определении можно по-разному определять, что такое “большинство” и что такое “стремится”. В некоторых случаях стандартные определения для “существенной” части фазового пространства (например, неблуждающее множество или максимальный аттрактор) будут включать “лишние” траектории (которые в разумном смысле не будут наблюдаться на практике). Юлий Сергеевич ввёл и изучил два определения аттрактора – статистический аттрактор и минимальный аттрактор ([25], см. также [13]), сейчас часто называемые статистическим и минимальным аттрактором Ильяшенко. По-видимому, статистический аттрактор наиболее подходит на роль “наблюдаемого в реальности” аттрактора. Минимальный аттрактор строго определяется как наименьшее множество, которое содержит носитель любой инвариантной меры, получаемой процедурой Крылова–Боголюбова из меры Лебега, а статистический – как наименьшее замкнутое множество такое, что для любой его окрестности $U$ для почти всех точек $p$ фазового пространства доля времени, которую траектория $p$ проводит в $U$, стремится к единице c ростом длины рассматриваемого интервала времени. Примерно в то же время Дж. Милнор и Д. Рюэль предложили свои версии определения аттрактора. Хотя есть примеры систем, когда эти определения дают различные множества, вопрос о соотношении между различными аттракторами типичной динамической системы до сих пор открыт. Это направление развивалось далее самим Юлием Сергеевичем совместно с его учениками: П. С. Бачуриным, А. В. Окуневым, Н. А. Солодовниковым и И. С. Шилиным, в частности, были построены примеры перемежающихся бассейнов притяжения и так называемых “толстых аттракторов” (см. [26]).

Юлий Сергеевич получил также верхнюю оценку размерности Хаусдорфа и размерности Минковского для аттракторов диссипативных динамических систем, которые используются для исследования уравнений Навье–Стокса и Курамото–Сивашинского [21], [29], [25], [1].

Опишем теперь результаты Юлия Сергеевича, полученные за последние несколько лет и знаменующие начало новой главы в теории бифуркаций векторных полей на двумерных поверхностях. Известно, что типичные векторные поля на сфере $S^2$ структурно устойчивы. Однако аналогичный вопрос о конечно-параметрических семействах векторных полей гораздо менее тривиален. В 1981 г. И. П. Мальта и Ж. Палис заметили, что однопараметрические бифуркации векторного поля на плоскости с полуустойчивым циклом кратности 2 и несколькими сепаратрисами, наматывающимися на этот цикл, имеют числовые инварианты классификации. Доказательство Мальты и Палиса было основано на том факте, что отображения Пуанкаре этих векторных полей на трансверсали к циклу образуют седлоузловое семейство диффеоморфизмов отрезка, а семейства такого типа обладают довольно жёсткой структурой. Позднее Р. Руссари, используя этот же факт, доказал, что трёхпараметрические бифуркации векторного поля на плоскости с полуустойчивым циклом кратности 4 имеют функциональные инварианты. Все эти примеры относятся к классификации семейств с точностью до сильной эквивалентности: семейства векторных полей $(u_\delta)$ и $(v_\varepsilon)$ сильно эквивалентны, если после надлежащей замены $\delta=h(\varepsilon)$ в пространстве параметров потоки полей $u_{h(\varepsilon)}$ и $v_\varepsilon$ сопряжены гомеоморфизмом $H_\varepsilon$, причём этот гомеоморфизм непрерывно зависит от параметра $\varepsilon$.

Отправляясь от этих примеров, В. И. Арнольд в начале 1990-х годов предложил гораздо более слабое отношение эквивалентности, которое, как предполагалось, будет нечувствительно к подобным эффектам. Он высказал гипотезу, что классификация типичных конечно-параметрических семейств векторных полей на сфере относительно введённой им слабой эквивалентности очень проста: типичные семейства структурно устойчивы, а любое векторное поле, встречающееся в таком семействе, допускает конечно-параметрическую версальную деформацию, содержащую информацию обо всех возможных возмущениях этого поля. Говоря менее формально, в типичном семействе бифуркация определяется тем, каково наиболее вырожденное поле в этом семействе, причём типов таких полей, при заданной размерности пространства параметров, лишь конечное число.

В 2018 г. Юлий Сергеевич и его ученики Ю. Г. Кудряшов и И. В. Щуров [32] опровергли гипотезу Арнольда для трёхпараметрических семейств. Они обнаружили неожиданное явление, рассмотрев векторное поле с двумя сёдлами $L$ и $M$, сепаратрисы которых замыкаются в рисунок, напоминающий сердце (две общие сепаратрисы сёдел $L$ и $M$) и каплю (другая выходящая из $M$ сепаратриса входит в него обратно). Такой полицикл (авторы дали ему звучное название “слёзы сердца”) неустранимым образом возникает в трёхпараметрических семействах, и если добавить к нему пару сёдел, одно – снаружи этого полицикла, а другое – внутри капли, то бифуркация имеет числовой инвариант – отношение характеристических чисел этих сёдел. Более того, авторы показали, что в пространстве шестипараметрических семейств векторных полей существует открытое множество семейств с функциональными инвариантами. Эти прорывные результаты основаны на замечательном наблюдении Юлия Сергеевича: при размыкании сепаратрисной петли (в данном случае – ограничивающей “слезу”) возникают две стремящиеся к нулю последовательности $(e_n)$ и $(i_n)$ значений параметра, при которых одна из наматывавшихся на полицикл сепаратрис замыкается с одной из сепаратрис седла $M$, образовывавших ранее петлю, – такие последовательные замыкания сепаратрис называют мелькающими сепаратрисными связками. Числовой инвариант возникает теперь из взаимного расположения последовательностей $(e_n)$ и $(i_n)$, точнее, из их относительной плотности.

В той же работе [32] было введено новое отношение между семействами векторных полей – умеренная топологическая эквивалентность. Она занимает промежуточное положение между сильной и слабой эквивалентностью и, по-видимому, наиболее точно отражает интуитивное понимание того, что такое “два семейства с одинаковыми бифуркациями”. Авторы доказали, что существуют целые области семейств векторных полей, которые структурно неустойчивы относительно умеренной эквивалентности, и было высказано предположение, что эти семейства также неустойчивы в смысле слабой эквивалентности. Структурная неустойчивость возникает здесь из-за того, что сепаратрисы не входящих в полицикл сёдел наматываются на него, т. е. такая бифуркация зависит от поведения невозмущенного векторного поля за пределами окрестности полицикла. Этот новый тип бифуркаций Юлий Сергеевич назвал глокальным, в отличие от локальных бифуркаций, которые происходят в небольшой окрестности вырожденной точки, и полулокальных бифуркаций, которые происходят вблизи предельного цикла или полицикла – здесь “локальность” остаётся только по параметру.

Глобальные бифуркации, как видно из обсуждения выше, имеют более сложную структуру, чем предполагал Арнольд, и не поддаются простой классификации. В обзоре [27] и статье [32] Юлий Сергеевич предложил программу для исследований – построить теорию глобальных бифуркаций векторных полей на двумерной сфере. Опишем некоторые из результатов в рамках этой программы.

При исследовании бифуркации обычно один из ключевых шагов – поиск её носителя, т. е. такого множества, что поведение векторных полей в его окрестности позволяет полностью описать бифуркацию в семействе. При этом хотелось бы сделать носитель как можно меньше. Удивительным образом Юлию Сергеевичу и Н. Б. Гончарук [11] удалось построить явное описание такого множества, названного большим носителем бифуркации (“большим” – потому, что этот носитель больше, чем предполагавшийся Арнольдом), причем для любого конечно-параметрического семейства векторных полей на двумерной сфере. Рассмотрение большого носителя позволяет локализовать бифурцирующее множество и дает возможность сравнивать глобальное поведение различных семейств векторных полей.

С тех пор Юлий Сергеевич и его ученики продвинулись ещё дальше. Например, была доказана структурная устойчивость типичных однопараметрических семейств (В. В. Старичкова, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко, Н. А. Солодовников [37], [12]) и был найден пример пятипараметрического семейства с функциональными инвариантами (Н. Б. Гончарук, Ю. Г. Кудряшов).

В программе, предложенной Юлием Сергеевичем, осталось ещё много открытых вопросов. Диаграммы бифуркации для семейств с тремя параметрами, описанные в [32], плохо изучены. Полные списки инвариантов неизвестны для многих новых примеров. Описание всех типичных двупараметрических семейств, а также проверка их на структурную устойчивость далеки от завершения. В последнем вопросе, однако, наметился некоторый прогресс: Юлий Сергеевич доказал в своей недавней статье [28], что довольно сложное семейство двупараметрических бифуркаций на сфере $S^2$ является структурно устойчивым.

В разные годы Юлий Сергеевич был профессором МГУ, Корнелльского университета, сотрудником Математического института им. В. А. Стеклова. Сейчас он президент Независимого московского университета, а также профессор-исследователь факультета математики Высшей школы экономики, одним из основателей которого он является. Юлий Сергеевич – член редколлегий “Трудов Московского математического общества”, “Математического просвещения” и “Journal of Dynamical and Control Systems”. В течение многих лет он состоял в редколлегии журнала “Функциональный анализ и его приложения”. В 2001 г. Юлий Сергеевич и М. А. Цфасман организовали семинар “Глобус” Независимого московского университета. В том же 2001 г. Юлий Сергеевич и М. А. Цфасман создали “Московский математический журнал” (MMJ), и с тех пор они и С. М. Гусейн-Заде – главные редакторы этого журнала. Юлий Сергеевич много лет входит в жюри конкурсов для молодых математиков: конкурс Августа Мёбиуса, конкурс Пьера Делиня и фонда “Династия”, конкурс “Молодая математика России”.

За свои научные достижения и ключевую роль в развитии взаимодействия российских и французских математиков Юлий Сергеевич был удостоен двух французских государственных наград: Кавалера (2005 г.) и Командора (2018 г.) Ордена Академических пальмовых ветвей.

Юлий Сергеевич – исключительный преподаватель. Его лекции пользуются огромной популярностью благодаря своей ясности и точности. Подробные, тщательно проработанные учебные тексты Юлия Сергеевича – свидетельство желания преподнести студентам сложный материал наиболее понятным образом. В течение многих лет Юлий Сергеевич читал на мехмате МГУ курс по обыкновенным дифференциальным уравнениям, планируется издание учебника на основе этого курса^1[x]1А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Текущая версия доступна на странице https://math.hse.ru/difury_ilyashenko2023.. Начиная с 1993 г. Юлий Сергеевич участвовал в работе оргкомитета Московской математической олимпиады. В 1993 г. был организован лекторий для победителей олимпиады, на нём Юлий Сергеевич прочёл лекцию о подкове Смейла, позднее опубликованную в совместной с А. Ю. Котовой статье в “Кванте” [31]. Насколько нам известно, это первый рассказ о подкове Смейла для школьников. Некоторые школьники, слушавшие Юлия Сергеевича, стали профессионально заниматься динамическими системами. Юлий Сергеевич читает лекции на летних школах “Современная математика” в Ратмино; по мотивам этих лекций им были написаны брошюры “Аттракторы и их фрактальная размерность” и “Эволюционные процессы и философия общности положения”.

Под руководством Юлия Сергеевича кандидатские диссертации защитили: О. Д. Аносова, А. М. Архипов, А. Р. Борисюк, Д. С. Волк, С. М. Воронин, Н. Димитров, А. В. Дуков, П. М. Елизаров, А. А. Глуцюк, Т. И. Голенищева-Кутузова, Н. Б. Гончарук, И. Горбовицкис, А. С. Городецкий, J. A. Jaurez Rosas, П. И. Каледа, В. А. Клепцын^2[x]2Совместное руководство с Э. Жисом., Г. А. Колюцкий^3[x]3Совместное руководство с Д. В. Аносовым., Ю. Г. Кудряшов^2[x]2Совместное руководство с Э. Жисом., Н. Б. Медведева, С. С. Минков, В. Молдавскис, Б. Мюллер, М. Б. Нальский, А. В. Окунев, L. Ortiz-Bobadilla, А. А. Панов, И. А. Пушкарь, V. Ramírez, О. Л. Ромаскевич^2[x]2Совместное руководство с Э. Жисом., П. С. Салтыков, Н. А. Солодовников, В. В. Станцо, С. И. Трифонов, Д. А. Филимонов, А. Ю. Фишкин, И. С. Шилин, И. В. Щуров, А. А. Щербаков, С. Ю. Яковенко; среди дипломников Юлия Сергеевича – И. А. Андросов, Т. Н. Бакиев, П. С. Бачурин, А. И. Буфетов, А. А. Доровский, В. Ю. Калошин, А. Ю. Котова, М. Е. Сапрыкина, В. В. Старичкова, Р. М. Фёдоров, Б. Л. Шлейфман. Многие математики считают Юлия Сергеевича своим Учителем.

В 1990-е годы, когда многие из его коллег уехали из России, Юлий Сергеевич оставался одним из математиков мирового класса, который был доступен студентам Московского университета в качестве научного руководителя. Он считает своим долгом показать ученикам красоту всей математики и дать им как можно более широкое математическое образование. Юлий Сергеевич и его жена Елена Николаевна, поддерживающая его во всех начинаниях, помогают ученикам мудрым сочувствием в решающие моменты их жизни. Юлий Сергеевич – нравственный ориентир для своих учеников.

Знаменитый пятничный семинар Юлия Сергеевича по динамическим системам уверенно вступает в свое шестое десятилетие. Следуя предложению А. С. Городецкого, с 1998 г. Юлий Сергеевич организует ежегодные летние школы для участников семинара, в последние годы они проводятся в Ратмино на базе ОИЯИ. Утро начинается двухчасовой лекцией Юлия Сергеевича, иногда двумя. Потом другие участники школы, включая студентов, рассказывают свои недавно полученные результаты. Для самых младших участников проводится “ликбез” – упражнения в духе листков математических кружков, которые младшие участники сдают старшим. Так новые участники могут быстрее погрузиться в обсуждаемые на семинаре вопросы.

Из широких нематематических интересов Юлия Сергеевича выделим историю и поэзию. Семинар организует вечера стихов и чтения по ролям, их участники хорошо помнят, как Юлий Сергеевич читал поэмы М. Ю. Лермонтова и А. А. Ахматовой, а семинар вместе с внуком Юлия Сергеевича Фёдором Родиным – сцены из “Бориса Годунова”. На летних школах проводятся вечерние “гуманитарные лекции” (слово Юлия Сергеевича), темы которых разнообразны: от Донателло до истории мультипликации и от Платона до деталей чайной церемонии.

Юлий Сергеевич является истинным вдохновителем своей большой научной семьи. Каждый из нас испытывает сильное влияние его яркой личности. Своими исследованиями, преподаванием и многогранной организационной деятельностью Юлий Сергеевич вносит уникальный вклад в развитие математики в России. Сердечно поздравляя Юлия Сергеевича Ильяшенко с юбилеем, мы желаем ему новых курсов, новых школ, новых теорем, новых учеников, новых книг!

Список литературы
1.	A. M. Arkhipov, Yu. S. Il'yashenko, “Jump of energy from low harmonics to high ones in the multidimensional Kuramoto–Sivashinsky equation”, Selecta Math., 13:3 (1994), 183–196
2.	G. Binyamini, D. Novikov, S. Yakovenko, “On the number of zeros of Abelian integrals”, Invent. Math., 181:2 (2010), 227–289
3.	A. I. Bufetov, “Convergence of spherical averages for actions of free groups”, Ann. of Math. (2), 155:3 (2002), 929–944
4.	A. I. Bufetov, A. Klimenko, C. Series, “Convergence of spherical averages for actions of Fuchsian groups”, Comment. Math. Helv., 98:1 (2023), 41–134
5.	G. T. Buzzard, S. L. Hruska, Yu. Ilyashenko, “Kupka–Smale theorem for polynomial automorphisms of $\mathbb C^2$ and persistence of heteroclinic intersections”, Invent. Math., 161:1 (2005), 45–89
6.	L. J. Díaz, A. Gorodetski, “Non-hyperbolic ergodic measures for non-hyperbolic homoclinic classes”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 29:5 (2009), 1479–1513
7.	J. Écalle, Les fonctions résurgentes, v. I, Publ. Math. Orsay, 81-5, Les algèbres de fonctions résurgentes, Univ. de Paris-Sud, Dép. Math., Orsay, 1981, 1–247    ; v. II, 81-6, Les fonctions résurgentes appliquées à l'itération, 1981, 248–531    ; v. III, 85-5, L'équation du pont et la classification analytique des objets locaux, 1985, 587 pp.
8.	J. Écalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Actualités Math., Hermann, Paris, 1992, ii+340 pp.
9.	A. Glutsyuk, “Nonuniformizable skew cylinders. A counterexample to the simultaneous uniformization problem”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 332:3 (2001), 209–214
10.	A. A. Glutsyuk, Yu. S. Ilyashenko, “Restricted version of the infinitesimal Hilbert 16th problem”, Mosc. Math. J., 7:2 (2007), 281–325
11.	N. Goncharuk, Yu. Ilyashenko, Large bifurcation supports, 2019 (v1 – 2018), 74 pp., arXiv: 1804.04596
12.	N. Goncharuk, Yu. Ilyashenko, N. Solodovnikov, “Global bifurcations in generic one-parameter families with a parabolic cycle on $S^2$”, Mosc. Math. J., 19:4 (2019), 709–737
13.	А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко, “Некоторые свойства косых произведений над подковой и соленоидом”, Динамические системы, автоматы и бесконечные группы, Сборник статей, Труды МИАН, 231, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2000, 96–118      ; англ. пер.: A. S. Gorodetski, Yu. S. Ilyashenko, “Certain properties of skew products over a horseshoe and a solenoid”, Proc. Steklov Inst. Math., 231 (2000), 90–112
14.	А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко, В. А. Клепцын, М. Б. Нальский, “Неустранимость нулевых показателей Ляпунова”, Функц. анализ и его прил., 39:1 (2005), 27–38        ; англ. пер.: A. S. Gorodetski, Yu. S. Ilyashenko, V. A. Kleptsyn, M. B. Nalsky, “Nonremovable zero Lyapunov exponents”, Funct. Anal. Appl., 39:1 (2005), 21–30
15.	Ю. С. Ильяшенко, “Возникновение предельных циклов при возмущении уравнения $\dfrac{dw}{dz}=-\dfrac{R_z}{R_w}$, где $R(z,w)$ – многочлен”, Матем. сб., 78(120):3 (1969), 360–373      ; англ. пер.: Ju. S. Il'jas̆enko, “The origin of limit cycles under perturbation of the equation $dw/ dz=-R_z/ R_w$, where $R(z,w)$ is a polynomial”, Math. USSR-Sb., 7:3 (1969), 353–364
16.	Ю. С. Ильяшенко, “Пример уравнений $\dfrac{dw}{dz}=\dfrac{P_n(z,w)}{Q_n(z,w)}$, имеющих счетное число предельных циклов и сколь угодно большой жанр по Петровскому–Ландису”, Матем. сб., 80(122):3(11) (1969), 388–404      ; англ. пер.: Ju. S. Il'jas̆enko, “An example of equations $dw/dz=P_n(z,w)/Q_n(z,w)$ having a countable number of limit cycles and arbitrarily large Petrovskiĭ–Landis genus”, Math. USSR-Sb., 9:3 (1969), 365–378
17.	Ю. С. Ильяшенко, “Слоения на аналитические кривые”, Матем. cб., 88(130):4(8) (1972), 558–577      ; англ. пер.: Ju. S. Il'jas̆enko, “Fiberings into analytic curves”, Math. USSR-Sb., 17:4 (1972), 551–569
18.	Ю. С. Ильяшенко, “Невырожденные $B$-группы”, Докл. АН СССР, 208:5 (1973), 1020–1022      ; англ. пер.: Ju. S. Il'jas̆enko, “Nondegenerate $B$-groups”, Soviet Math. Dokl., 14 (1973), 207–210
19.	Ю. С. Ильяшенко, “Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений”, Матем. сб., 99(141):2 (1976), 162–175      ; англ. пер.: Ju. S. Il'jas̆enko, “Analytic unsolvability of the stability problem and the problem of topological classification of the singular points of analytic systems of differential equations”, Math. USSR-Sb., 28:2 (1976), 140–152
20.	Ю. С. Ильяшенко, “Топология фазовых портретов аналитических дифференциальных уравнений на комплексной проективной плоскости”, Труды сем. им. И. Г. Петровского, 4, Изд-во Моск. ун-та, М., 1978, 83–136    ; англ. пер.: Yu. Il'yashenko, “The topology of phase portraits of analytic differential equations in the complex projective plane”, Selecta Math. Soviet., 5:2 (1986), 141–199
21.	Ю. С. Ильяшенко, “Слабо сжимающие системы и аттракторы галёркинских приближений уравнений Навье–Стокса на двумерном торе”, Успехи механики, 5:1-2 (1982), 31–63  ; англ. пер.: Yu. S. Il'yashenko, “Weakly contracting systems and attractors of Galerkin approximations of Navier–Stokes equations on the two-dimensional torus”, Selecta Math. Soviet., 11:3 (1992), 203–239
22.	Ю. С. Ильяшенко, “Предельные циклы полиномиальных векторных полей с невырожденными особыми точками на вещественной плоскости”, Функц. анализ и его прил., 18:3 (1984), 32–42      ; англ. пер.: Yu. S. Il'yashenko, “Limit cycles of polynomial vector fields with nondegenerate singular points on the real plane”, Funct. Anal. Appl., 18:3 (1984), 199–209
23.	Ю. С. Ильяшенко, “Мемуар Дюлака “О предельных циклах” и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений”, УМН, 40:6(246) (1985), 41–78      ; англ. пер.: Yu. S. Ilyashenko, “Dulac's memoir “On limit cycles” and related problems of the local theory of differential equations”, Russian Math. Surveys, 40:6 (1985), 1–49
24.	Yu. S. Il'yashenko, Finiteness theorems for limit cycles, Transl. from the Russian, Transl. Math. Monogr., 94, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, x+288 pp.
25.	Ju. S. Il'yashenko, “The concept of minimal attractor and maximal attractors of partial differential equations of the Kuramoto–Sivashinsky type”, Chaos, 1:2 (1991), 168–173
26.	Yu. Ilyashenko, “Thick attractors of boundary preserving diffeomorphisms”, Indag. Math. (N. S.), 22:3-4 (2011), 257–314
27.	Y. Ilyashenko, “Towards the general theory of global planar bifurcations”, Mathematical sciences with multidisciplinary applications., In honor of professor Christiane Rousseau, and in recognition of the Mathematics for Planet Earth initiative, ed. B. Toni, Springer Verlag, Cham, 2016, 269–299
28.	Yu. Ilyashenko, “Germs of bifurcation diagrams and SN–SN families”, Chaos, 31:1 (2021), 013103, 15 pp.
29.	Ю. С. Ильяшенко, А. Н. Четаев, “О размерности аттракторов для одного класса диссипативных систем”, ПММ, 46:3 (1982), 374–381    ; англ. пер.: Iu. S. Il'iashenko, A. N. Chetaev, “On the dimension of attractors for a class of dissipative systems”, J. Appl. Math. Mech., 46:3 (1982), 290–295
30.	Yu. S. Ilyashenko, V. A. Kleptsyn, P. Saltykov, “Openness of the set of boundary preserving maps of an annulus with intermingled attracting basins”, J. Fixed Point Theory Appl., 3:2 (2008), 449–463
31.	Ю. Ильяшенко, А. Котова, “Подкова Смейла”, Квант, 1994, № 1, 15–19
32.	Yu. Ilyashenko, Yu. Kudryashov, I. Schurov, “Global bifurcations in the two-sphere: a new perspective”, Invent. Math., 213:2 (2018), 461–506
33.	Ю. С. Ильяшенко, В. Ли, Нелокальные бифуркации, МЦНМО, М., 1999, 415 с.  ; пер. с англ.: Yu. Ilyashenko, Weigu Li, Nonlocal bifurcations, Math. Surveys Monogr., 66, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, xiv+286 с.
34.	Yu. Ilyashenko, V. Moldavskis, “Total rigidity of generic quadratic vector fields”, Mosc. Math. J., 11:3 (2011), 521–530
35.	Yu. Ilyashenko, A. Negut, “Invisible parts of attractors”, Nonlinearity, 23:5 (2010), 1199–1219
36.	Ю. С. Ильяшенко, И. С. Шилин, “Условно неустойчивые аттракторы”, Математическая теория управления и дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Труды МИАН, 277, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2012, 91–100      ; англ. пер.: Yu. S. Ilyashenko, I. S. Shilin, “Relatively unstable attractors”, Proc. Steklov Inst. Math., 277 (2012), 84–93
37.	Yu. Ilyashenko, N. Solodovnikov, “Global bifurcations in generic one-parameter families with a separatrix loop on $S^2$”, Mosc. Math. J., 18:1 (2018), 93–115
38.	Yu. Ilyashenko, D. Volk, “Cascades of $\varepsilon$-invisibility”, J. Fixed Point Theory Appl., 7:1 (2010), 161–188
39.	Yu. S. Il'yashenko, S. Y. Yakovenko (eds.), Concerning the Hilbert 16th problem, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 165, Adv. Math. Sci., 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, viii+219 pp.
40.	Yu. Il'yashenko, S. Yakovenko, “Double exponential estimate for the number of zeros of complete Abelian integrals and rational envelopes of linear ordinary differential equations with an irreducible monodromy group”, Invent. Math., 121:3 (1995), 613–650
41.	V. Kaloshin, “The existential Hilbert 16-th problem and an estimate for cyclicity of elementary polycycles”, Invent. Math., 151:3 (2003), 451–512
42.	Е. М. Ландис, И. Г. Петровский, “О числе предельных циклов уравнения, где $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{P(x,y)}{Q(x,y)}$, $P$ и $Q$ – полиномы”, Матем. сб., 43(85):2 (1957), 149–168      ; англ. пер.: E. M. Landis, I. G. Petrovskiĭ, “On the number of limit cycles of the equation $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{P(x,y)}{Q(x,y)}$, where $P$ and $Q$ are polynomials”, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 14, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1960, 181–199
43.	A. Treibich Kohn, “Un résultat de Plemelj”, Mathematics and physics (Paris, 1979/1982), Progr. Math., 37, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1983, 307–312
44.	С. И. Трифонов, “Аналитические диффеоморфизмы как преобразования монодромии аналитических дифференциальных уравнений”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1986, № 5, 70–72      ; англ. пер.: S. I. Trifonov, “Analytic diffeomorphisms as monodromy transforms of analytic differential equations”, Moscow Univ. Math. Bull., 41:5 (1986), 63–65
45.	С. М. Воронин, “Аналитическая классификация ростков конформных отображений $(\mathbb C,0)\to(\mathbb C,0)$ с тождественной линейной частью”, Функц. анализ и его прил., 15:1 (1981), 1–17      ; англ. пер.: S. M. Voronin, “Analytic classification of germs of conformal mappings $(\mathbf{C},0)\to(\mathbf{C},0)$ with identity linear part”, Funct. Anal. Appl., 15:1 (1981), 1–13

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BakBufVas25}
\by Т.~Н.~Бакиев, А.~И.~Буфетов, В.~А.~Васильев, С.~М.~Воронин, А.~А.~Глуцюк, А.~С.~Городецкий, А.~В.~Дуков, В.~Ю.~Калошин, А.~В.~Клименко, В.~В.~Козлов, С.~Б.~Куксин, С.~К.~Ландо, В.~С.~Оганесян, Г.~И.~Ольшанский, С.~Ю.~Пилюгин, О.~В.~Починка, Я.~Г.~Синай, А.~С.~Скрипченко, А.~Л.~Скубачевский, И.~А.~Тайманов, В.~А.~Тиморин, В.~М.~Тихомиров, Д.~В.~Трещев, Д.~А.~Филимонов, К.~М.~Ханин, Х.~Хеденмальм, А.~Г.~Хованский, М.~А.~Цфасман, А.~И.~Шафаревич, И.~С.~Шилин, С.~Ю.~Яковенко
\paper К 80-летию Юлия Сергеевича Ильяшенко
\jour УМН
\yr 2025
\vol 80
\issue 2(482)
\pages 171--183
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10227}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10227}
\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4920934}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2025RuMaS..80..345B}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2025
\vol 80
\issue 2
\pages 345--357
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10227e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001519777000007}