Успехи математических наук, 2025, том 80, выпуск 4(484), страницы 183–192 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10253 (Mi rm10253)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10253

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2025, Volume 80, Issue 4, Pages 733–741
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10253e

Zoom inZoom out

2 марта 2024 г. исполнилось 60 лет члену-корреспонденту РАН, главному научному сотруднику Математического института им. В. А. Стеклова РАН, профессору механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова Юрию Геннадьевичу Прохорову, одному из признанных мировых лидеров современной бирациональной алгебраической геометрии.

Юрий Геннадьевич родился в городе Орехово-Зуево Московской области в семье инженеров. Ещё в школе он проявил интерес и способности к точным наукам, что в 1979 г. было отмечено приглашением поступить в Школу-интернат № 18 физико-математического профиля при МГУ. После успешного окончания интерната в 1981 г. он поступил на механико-математический факультет Московского государственного университета.

В кипящей научной жизни мехмата начала 1980-х годов Юрию Прохорову посчастливилось быстро найти человека, который не только стал учителем, старшим другом и соавтором, – Василий Алексеевич Исковских и в жизненных принципах оказался понятен и близок. В то время, вдохновлённые блестящими результатами вышедших из школы И. Р. Шафаревича и далеко перешагнувших рамки математических интересов самого Игоря Ростиславовича учеников и учеников его учеников, молодые математики активно включались в работу на этом направлении общего фронта алгебраической геометрии.

Одними из главных вопросов на повестке тех дней были вопросы, связанные с бирациональной геометрией специальных классов трёхмерных алгебраических многообразий. Именно этими задачами занялся Ю. Г. Прохоров – сначала под руководством Василия Алексеевича, а в дальнейшем, после безвременного ухода учителя, став неформальным лидером большого научного сообщества, которое сегодня мы называем школой В. А. Исковских.

В 1986 г., защитив диплом, Ю. Г. Прохоров продолжил работу под научным руководством В. А. Исковских в аспирантуре мехмата МГУ, по окончании которой в 1990 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему “Геометрические свойства многообразий Фано”. Ю. Г. Прохоров начал свою преподавательскую деятельность в 1989 г. с должности ассистента в МГТУ им. Н. Э. Баумана. В 1991 г. он был принят на кафедру высшей алгебры мехмата МГУ в качестве научного сотрудника и затем, к 2005 г., прошёл путь до профессора кафедры, защитив в 2002 г. докторскую диссертацию на тему “Индуктивные методы в теории минимальных моделей”. В 2012 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН был организован отдел алгебраической геометрии. С 2013 г. Ю. Г. Прохоров работает в этом отделе, оставаясь профессором механико-математического факультета по совместительству. По традиции, восходящей к его учителю, он отдаёт дань и регулярному чтению лекций на факультете, и работе со студентами, и, конечно же, руководству семинаром им. В. А. Исковских.

Среди первых тем, которые заинтересовали Ю. Г. Прохорова в начале его научной деятельности, были вопросы о рациональности алгебраических многообразий. В частности, он внёс значительный вклад в изучение проблемы Нётер о рациональности фактормногообразий проективного пространства по действию конечной группы. В статьях [1], [3] и [4], относящихся к его наиболее ранним работам, Ю. Г. Прохоров совместно с И. Я. Колпаковым-Мирошниченко показал рациональность факторов трёхмерного проективного пространства по действию нескольких достаточно сложных групп. Использованный для этого подход был основан на изучении эквивариантной бирациональной геометрии и соответствующих бирациональных перестроек – этот метод многократно применялся Ю. Г. Прохоровым и в других работах и был доведён им до совершенства. В дальнейшем Ю. Г. Прохоров не раз возвращался к вопросам рациональности фактормногообразий, в частности, в соавторстве со специалистами по теории инвариантов [16], [24]. Многочисленные результаты, относящиеся к проблеме Нётер, были подытожены им в обзоре [25].

Другой круг вопросов, которыми Ю. Г. Прохоров занимался ещё на ранних этапах своей работы, относится к автоморфизмам многообразий Фано. В одной из своих первых статей [2] он описал все гладкие трёхмерные многообразия Фано основной серии, имеющие большой род и допускающие действие бесконечной группы. В дальнейшем он неоднократно обращался к этой теме, уточняя и усиливая полученные им результаты. В частности, в его совместной работе [49] с А. Г. Кузнецовым и К. А. Шрамовым, воспользовавшись действием группы автоморфизмов на схемах Гильберта прямых и коник, удалось доказать конечность этих групп для всех трёхмерных многообразий Фано основной серии малого рода, а в совместной работе [48] с А. Г. Кузнецовым была уточнена структура трёхмерных многообразий Фано рода $12$, допускающих действие мультипликативной группы поля. В ряде своих работ Ю. Г. Прохоров установил результаты о группах автоморфизмов особых поверхностей дель Пеццо [57] (совместно с И. А. Чельцовым) и четырёхмерных многообразий Фано–Мукая [53], [66] (совместно с М. Г. Зайденбергом).

Ещё более значительный вклад Ю. Г. Прохоров внёс в изучение групп бирациональных автоморфизмов алгебраических многообразий и их конечных подгрупп. Например, в работах [28], [37] и [52] им были описаны $p$-подгруппы в группах бирациональных автоморфизмов рационально связных трёхмерных многообразий. В статье [29] он классифицировал конечные неабелевы простые подгруппы в таких группах, а в статье [34] описал инволюции в группе Кремоны ранга $3$, т. е. в группе бирациональных автоморфизмов трёхмерного проективного пространства. В совместной статье с Ф. А. Богомоловым [30] были введены новые препятствия к стабильной линеаризуемости конечных подгрупп в группе Кремоны ранга $2$; их изучение было продолжено в [40]. В недавней совместной работе с Дж. Бланком, А. Дунканом и И. А. Чельцовым [61] он получил результаты про род и гональность бирациональных автоморфизмов трёхмерных многообразий. Также Ю. Г. Прохоров работал над классификацией вложений в группу Кремоны конечных квазипростых групп [67] и симметрических групп [70]. Подробный обзор результатов о группах бирациональных автоморфизмов и смежных вопросов был сделан им на Европейском математическом конгрессе в 2020 г. [72].

Отдельно следует отметить цикл работ Ю. Г. Прохорова о свойстве Жордана групп бирациональных и бимероморфных автоморфизмов. История изучения групп с этой точки зрения восходит к работе К. Жордана 1878 г., в которой в числе прочего было показано, что это свойство выполняется для группы обратимых матриц над полем комплексных чисел. В конце двадцатого века В. Фейт и Э. Жис задавались вопросом, выполнено ли это свойство для групп диффеоморфизмов гладких компактных многообразий, но настоящее оживление интереса к этой теме связано с результатом Ж.-П. Серра, согласно которому оно выполнено для группы Кремоны ранга 2 над полем нулевой характеристики. Ю. Г. Прохоров в совместной работе с К. А. Шрамовым [44] показал, что группа Кремоны произвольного ранга и, более общо, группа бирациональных автоморфизмов любого рационально связного многообразия над полем нулевой характеристики обладает свойством Жордана (доказательство для ранга $4$ и больше основывалось на гипотезе Борисовых–Алексеева, вскоре после этого доказанной К. Биркаром). В дальнейших работах Ю. Г. Прохорова и К. А. Шрамова было установлено свойство Жордана для групп бирациональных автоморфизмов неунилинейчатых многообразий и многообразий с нулевой регулярностью [38], а также для группы Кремоны ранга $2$ над конечным полем [73]. Кроме этого, они получили классификацию трёхмерных алгебраических многообразий с жордановыми группами бирациональных автоморфизмов [51], компактных комплексных поверхностей с жордановыми группами бимероморфных автоморфизмов [60] и трёхмерных компактных кэлеровых многообразий с жордановыми группами бимероморфных автоморфизмов [55], [65].

Геометрия трёхмерных расслоений на коники привлекает внимание Ю. Г. Прохорова с конца 1990-х годов и по настоящее время. Современное состояние этой области алгебраической геометрии изложено им в обзоре [50]. Его наиболее важный вклад в эту область – доказательство (совместно с Ш. Мори [17], [18]) гипотезы В. А. Исковских о том, что база терминального трёхмерного $\mathbb Q$-расслоения на коники имеет лишь циклические дювалевские особенности. Он также (совместно с Ш. Мори [19]) проверил для таких расслоений на коники гипотезу М. Рида о существовании эффективного антиканонического дивизора с дювалевскими особенностями. В дальнейшем Ю. Г. Прохоров и Ш. Мори продолжили классификацию особых слоёв трёхмерных $\mathbb Q$-расслоений на коники. Эти и более общие результаты о ростках экстремальных стягиваний трёхмерных многообразий можно найти в работах [27], [42], [54] и [58]. Обзор этой области был сделан Ю. Г. Прохоровым в докладе на Международном математическом конгрессе в 2022 г. [71].

Исследование геометрии трёхмерных многообразий $\mathbb Q$-Фано является ещё одним важным направлением научной деятельности Ю. Г. Прохорова. Основными инвариантами таких многообразий являются индекс $\mathbb Q$-Фано, т. е. максимальное число, на которое антиканонический дивизор делится в группе классов дивизоров Вейля, и род многообразия, определяемый антиканонической линейной системой. В совместной с М. Ридом статье [43] Ю. Г. Прохоров установил верхнюю оценку 4 на размерность полуантиканонической системы трёхмерных $\mathbb Q$-многообразий Фано индекса 2 и описал все случаи, когда эта оценка достигается. В недавних работах [64] и [76] им установлена рациональность трёхмерных многообразий $\mathbb Q$-Фано при индексе, большем чем 7, а также при других больших значениях индекса и некоторых дополнительных условиях. Кроме этого, в работе [63] проанализирована ситуация, когда подобные многообразия не имеют рациональных расслоений на коники.

В статье [13] Ю. Г. Прохоров установил оптимальную оценку $72$ на степень трёхмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями и описал единственно возможный случай, когда она достигается (интересно, что этот случай был известен ещё самому Дж. Фано). Другой оптимальный результат, связанный с программой минимальных моделей, – это оценка $125/2$ на степень трёхмерных терминальных многообразий Фано с группой классов дивизоров Вейля ранга 1 (см. [14]). В доказательстве используется версия М. Рида формулы Римана–Роха для дивизоров $\mathbb Q$-Картье.

Работы Ю. Г. Прохорова о многообразиях $G$-Фано являются продолжением работ Ю. И. Манина и В. А. Исковских. В своих первых работах на эту тему он классифицировал трёхмерные многообразия $G$-дель Пеццо (см. [32]) и трёхмерные горенштейновы многообразия $G$-Фано ранга $1$ (см. [33]). Тем самым им было найдено много новых классов трёхмерных многообразий Фано с достаточно большими группами симметрий. С этим связана проблема $G$-рациональности и рациональности трёхмерных многообразий Фано с терминальными особенностями над алгебраически незамкнутыми полями. В недавних совместных работах Ю. Г. Прохорова и А. Г. Кузнецова эта проблема почти полностью решена в неособом случае (см. [69] и [75]).

Важным фундаментальным направлением в научной деятельности Ю. Г. Прохорова является изучение дополнений на алгебраических многообразиях. Основные результаты по этой теме содержатся в двух статьях [11] и [22] о конструкции дополнений в малых размерностях, написанных совместно с В. В. Шокуровым. Эти частичные результаты и сам индуктивный подход были использованы в обобщении К. Биркара для высших размерностей. Кроме того, эти работы содержали много новых важных понятий, широко используемых ныне в бирациональной геометрии (многообразия типа Фано и типа Калаби–Яу, гиперстандартные коэффициенты, b-полуобильность), и вопросов (гипотеза Прохорова–Шокурова о b-полуобильности модульной части формулы присоединения). Приложения теории дополнений к классическим результатам теории алгебраических поверхностей, таким как классификация Каваматы логтерминальных особенностей в размерности 2 и классификация Кодаиры вырождений эллиптических кривых, изложены в монографии [10].

Другое важное направление исследований Ю. Г. Прохорова относится к изучению вырождений неособых поверхностей дель Пеццо. С одной стороны, в совместной работе с Ш. Мори [20] он нашёл важные ограничения на вырождения таких поверхностей для расслоений Мори над кривой, а именно, нашёл границу $6$ для кратности слоёв (доказав тем самым специальный случай общей гипотезы В. В. Шокурова об особенностях базы lc-тривиального расслоения) и дал явное описание вырождений кратности не меньше $2$. Вскоре в совместной работе с П. Хакингом [23] Ю. Г. Прохоров связал вырождения поверхностей дель Пеццо с тройками Маркова и, более общо, тройками целых положительных решений диофантовых уравнений типа Маркова. В частности, при вырождении проективной плоскости (которая является неособой поверхностью дель Пеццо степени $9$) получаются обычные числа Маркова. Эти статьи входят в цикл работ о вырождениях поверхностей дель Пеццо, за который Ю. Г. Прохоров был удостоен премии им. А. А. Маркова. Ещё одна работа этого цикла [39] исследует важные числовые инварианты центрального слоя вырождения неособых поверхностей дель Пеццо. В ней установлено, что число не дювалевских особенностей центрального слоя не превосходит числа Пикара центрального слоя, увеличенного на $2$, и в случае равенства центральный слой является торической поверхностью. Для вырождений, имеющих терминальные особенности, также установлена гипотеза М. Рида о существовании $1$-дополнения с дювалевскими особенностями.

Совместно с Дж. МакКернаном [12] Ю. Г. Прохоров установил, что точки накопления логканонических порогов в размерности 3 являются логканоническими порогами в размерности 2, за исключением наибольшего порога, равного $1$. Они также проверили, что аналогичный результат в любой размерности вытекает из программы минимальных моделей и гипотезы Борисовых–Алексеева. Современная техника позволяет перенести доказательство МакКернана и Прохорова в любую размерность.

Отметим цикл работ Ю. Г. Прохорова в соавторстве с Т. Кишимото и М. Г. Зайденбергом, посвящённый гибкости аффинных конусов над многообразиями Фано, т. е. наличию большого запаса действий унипотентных групп. Оказалось, что существование хотя бы одного такого действия на некотором аффинном конусе Веронезе над поляризованным многообразием Фано эквивалентно наличию открытого полярного цилиндра в самом многообразии (см. [26] и [31]). Выяснилось, что поверхности дель Пеццо степеней $1$, $2$ и $3$ не цилиндрические, в то время как начиная со степени $4$ они обладают большим запасом цилиндров, обеспечивающим гибкость аффинных конусов над ними. Подобные результаты в размерности $3$ и $4$ были получены в [35], [36], [45], [47] и [74]. К этому проекту впоследствии присоединилась большая группа исследователей (см. обзор [56]).

Помимо перечисленных выше тем, Ю. Г. Прохоров имеет результаты и в других областях алгебраической геометрии. Здесь можно отметить работы по исключительным особенностям [6], [7], [9], [8], простое доказательство нерациональности общего двойного накрытия трёхмерного проективного пространства с ветвлением в квартике [46] и классификацию многомерных многообразий дель Пеццо и почти дель Пеццо [68].

Научные достижения Ю. Г. Прохорова широко признаны в России и в мире. Он является лауреатом премий им. И. И. Шувалова и А. А. Маркова. Ю. Г. Прохоров был приглашён в качестве докладчика на Европейский математический конгресс 2020 г. и Международный конгресс математиков 2022 г. В 2019 г. он был выбран членом-корреспондентом РАН.

Ю. Г. Прохоров является не только выдающимся учёным: он играет большую роль в математическом образовании в области алгебраической геометрии. После трагической гибели В. А. Исковских в 2009 г. его семинар продолжил работу под руководством Ю. Г. Прохорова в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. Семинар неизменно является местом притяжения для увлеченной алгебраической геометрией молодёжи. Ю. Г. Прохоров также много лет ведёт семинар по алгебраической геометрии в Научно-образовательном центре МИАН. Он не прервал свою связь и с механико-математическим факультетом МГУ, где читает лекции и ведёт спецкурсы по настоящее время. Под его руководством подготовили кандидатские диссертации Д. А. Степанов, К. А. Шрамов (впоследствии ставший доктором физико-математических наук), Н. Ф. Зак, И. В. Каржеманов, Г. Н. Белоусов, В. И. Цыганков, А. С. Трепалин, А. А. Авилов, Е. А. Ясинский, К. В. Логинов. С появлением Факультета математики НИУ ВШЭ многие студенты этого факультета также становятся учениками Ю. Г. Прохорова.

Мастерски написанные Ю. Г. Прохоровым книги, монографии, обзоры и учебные материалы стали настольными руководствами как для начинающих изучать алгебраическую геометрию студентов, так и для маститых учёных. Им написана книга “Fano varieties” [5] (совместно с В. А. Исковских), обзоры “Проблема рациональности для расслоений на коники” [50], “Эквивариантная программа минимальных моделей” [59], записи курсов лекций “Эллиптические кривые и криптография” [15], “Особенности алгебраических многообразий” [21], “Рациональные поверхности” [41], “Трехмерные многообразия Фано” [62].

Кроме педагогической деятельности Ю. Г. Прохоров много усилий отдаёт и организации науки. Долгое время он являлся членом экспертного совета ВАК по математике и механике, а с 2023 г. стал председателем диссертационного совета 24.1.167.03 при МИАН. Ю. Г. Прохоров входит в диссертационный совет НИУ ВШЭ по математике, экспертные советы и жюри многих престижных премий, редколлегии ряда российских и зарубежных журналов.

Мы желаем Юрию Геннадьевичу здоровья, новых успехов в решении фундаментальных математических проблем, новых талантливых учеников и, конечно, личного счастья!

Список цитированных работ Ю. Г. Прохорова
1.	И. Я. Колпаков-Мирошниченко, Ю. Г. Прохоров, “Рациональность поля инвариантов точного четырехмерного представления группы икосаэдра”, Матем. заметки, 41:4 (1987), 479–483      ; англ. пер.: I. Ya. Kolpakov-Miroshnichenko, Yu. G. Prokhorov, “Rationality of the field of invariants of a faithful four-dimensional representation of the icosahedral group”, Math. Notes, 41:4 (1987), 270–272
2.	Ю. Г. Прохоров, “Группы автоморфизмов многообразий Фано”, УМН, 45:3(273) (1990), 195–196      ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, “Automorphism groups of Fano manifolds”, Russian Math. Surveys, 45:3 (1990), 222–223
3.	И. Я. Колпаков-Мирошниченко, Ю. Г. Прохоров, “Рациональность полей инвариантов некоторых четырехмерных линейных групп и эквивариантная конструкция, связанная с кубикой Сегре”, Матем. сб., 182:10 (1991), 1430–1445      ; англ. пер.: I. Ya. Kolpakov-Miroshnichenko, Yu. G. Prokhorov, “Rationality of fields of invariants of some four-dimensional linear groups, and an equivariant construction related to the Segre cubic”, Math. USSR-Sb., 74:1 (1993), 169–183
4.	И. Я. Колпаков-Мирошниченко, Ю. Г. Прохоров, “Конструкция рациональности полей инвариантов некоторых конечных четырехмерных линейных групп, связанных с многообразиями Фано”, Матем. заметки, 51:1 (1992), 114–117      ; англ. пер.: I. Ya. Kolpakov-Miroshnichenko, Yu. G. Prokhorov, “Rationality construction of fields of invariants of some finite four-dimensional linear groups associated with Fano threefolds”, Math. Notes, 51:1 (1992), 74–76
5.	V. A. Iskovskikh, Yu. G. Prokhorov, “Fano varieties”, Algebraic geometry V, Encyclopaedia Math. Sci., 47, Springer, Berlin, 1999, 1–247
6.	D. G. Markushevich, Yu. G. Prokhorov, “Klein's group defines an exceptional singularity of dimension 3”, Algebraic geometry IX, J. Math. Sci. (N. Y.), 94:1 (1999), 1060–1067
7.	D. Markushevich, Yu. G. Prokhorov, “Exceptional quotient singularities”, Amer. J. Math., 121:6 (1999), 1179–1189
8.	Ю. Г. Прохоров, “Ограниченность исключительных факторособенностей”, Матем. заметки, 68:5 (2000), 786–789        ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, “Sparseness of exceptional quotient singularities”, Math. Notes, 68:5 (2000), 664–667
9.	Sh. Ishii, Yu. Prokhorov, “Hypersurface exceptional singularities”, Internat. J. Math., 12:6 (2001), 661–687
10.	Yu. G. Prokhorov, Lectures on complements on log surfaces, MSJ Mem., 10, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2001, viii+130 pp.
11.	Ю. Г. Прохоров, В. В. Шокуров, “Первая основная теорема о дополнениях: от глобального к локальному”, Изв. РАН. Сер. матем., 65:6 (2001), 99–128        ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, V. V. Shokurov, “The first main theorem on complements: from global to local”, Izv. Math., 65:6 (2001), 1169–1196
12.	J. McKernan, Yu. Prokhorov, “Threefold thresholds”, Manuscripta Math., 114:3 (2004), 281–304
13.	Ю. Г. Прохоров, “Степень трехмерных многообразий Фано с каноническими горенштейновыми особенностями”, Матем. сб., 196:1 (2005), 81–122        ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, “On the degree of Fano threefolds with canonical Gorenstein singularities”, Sb. Math., 196:1 (2005), 77–114
14.	Ю. Г. Прохоров, “Степень многообразий $\mathbb{Q}$-Фано”, Матем. сб., 198:11 (2007), 153–174        ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, “The degree of $\mathbb Q$-Fano threefolds”, Sb. Math., 198:11 (2007), 1683–1702
15.	Ю. Г. Прохоров, Эллиптические кривые и криптография, Семестр 1, Изд-во ЦПИ при мех.-матем. ф-те МГУ, М., 2007, 144 с.
16.	Huah Chu, Shou-Jen Hu, Ming-chang Kang, Y. G. Prokhorov, “Noether's problem for groups of order 32”, J. Algebra, 320:7 (2008), 3022–3035
17.	S. Mori, Yu. Prokhorov, “On $\mathbb{Q}$-conic bundles”, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 44:2 (2008), 315–369
18.	S. Mori, Yu. Prokhorov, “On $\mathbb{Q}$-conic bundles. II”, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 44:3 (2008), 955–971
19.	S. Mori, Yu. Prokhorov, “On $\mathbb{Q}$-conic bundles. III”, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 45:3 (2009), 787–810
20.	S. Mori, Yu. G. Prokhorov, “Multiple fibers of del Pezzo fibrations”, Многомерная алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти члена-корреспондента РАН Василия Алексеевича Исковских, Труды МИАН, 264, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2009, 137–151      ; Proc. Steklov Inst. Math., 264 (2009), 131–145
21.	Ю. Г. Прохоров, Особенности алгебраических многообразий, МЦНМО, М., 2009, 128 с.
22.	Yu. G. Prokhorov, V. V. Shokurov, “Towards the second main theorem on complements”, J. Algebraic Geom., 18:1 (2009), 151–199
23.	P. Hacking, Yu. Prokhorov, “Smoothable del Pezzo surfaces with quotient singularities”, Compos. Math., 146:1 (2010), 169–192
24.	Ming-chang Kang, Yu. G. Prokhorov, “Rationality of three-dimensional quotients by monomial actions”, J. Algebra, 324:9 (2010), 2166–2197
25.	Yu. G. Prokhorov, “Fields of invariants of finite linear groups”, Cohomological and geometric approaches to rationality problems, Progr. Math., 282, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2010, 245–273
26.	T. Kishimoto, Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “Group actions on affine cones”, Affine algebraic geometry, CRM Proc. Lecture Notes, 54, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, 123–163
27.	S. Mori, Yu. Prokhorov, “Threefold extremal contractions of type (IA)”, Kyoto J. Math., 51:2 (2011), 393–438
28.	Yu. Prokhorov, “$p$-elementary subgroups of the Cremona group of rank 3”, Classification of algebraic varieties, EMS Ser. Congr. Rep., Eur. Math. Soc. (EMS), Zürich, 2011, 327–338
29.	Yu. Prokhorov, “Simple finite subgroups of the Cremona group of rank 3”, J. Algebraic Geom., 21:3 (2012), 563–600
30.	F. Bogomolov, Yu. Prokhorov, “On stable conjugacy of finite subgroups of the plane {C}remona group. I”, Cent. Eur. J. Math., 11:12 (2013), 2099–2105
31.	T. Kishimoto, Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “$\mathbb{G}_\mathrm a$-actions on affine cones”, Transform. Groups, 18:4 (2013), 1137–1153
32.	Yu. Prokhorov, “$G$-Fano threefolds. I”, Adv. Geom., 13:3 (2013), 389–418
33.	Yu. Prokhorov, “$G$-Fano threefolds. II”, Adv. Geom., 13:3 (2013), 419–434
34.	Ю. Г. Прохоров, “O бирациональных инволюциях $\mathbb{P}^{3}$”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:3 (2013), 199–222        ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, “On birational involutions of $\mathbb P^3$”, Izv. Math., 77:3 (2013), 627–648
35.	T. Kishimoto, Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “Affine cones over Fano threefolds and additive group actions”, Osaka J. Math., 51:4 (2014), 1093–1112
36.	T. Kishimoto, Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “Unipotent group actions on del Pezzo cones”, Algebr. Geom., 1:1 (2014), 46–56
37.	Yu. Prokhorov, “2-elementary subgroups of the space Cremona group”, Automorphisms in birational and affine geometry, Springer Proc. Math. Stat., 79, Springer, Cham, 2014, 215–229
38.	Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Jordan property for groups of birational selfmaps”, Compos. Math., 150:12 (2014), 2054–2072
39.	Yu. Prokhorov, “A note on degenerations of del Pezzo surfaces”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 65:1 (2015), 369–388
40.	Yu. Prokhorov, “On stable conjugacy of finite subgroups of the plane Cremona group. II”, Michigan Math. J., 64:2 (2015), 293–318
41.	Ю. Г. Прохоров, “Рациональные поверхности”, Лекц. курсы НОЦ, 24, МИАН, М., 2015, 3–76
42.	S. Mori, Yu. G. Prokhorov, “Threefold extremal contractions of type (IIA). I”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:5 (2016), 77–102        ; Izv. Math., 80:5 (2016), 884–909
43.	Yu. Prokhorov, M. Reid, “On $\mathbb Q$-Fano 3-folds of Fano index 2”, Minimal models and extremal rays (Kyoto, 2011), Adv. Stud. Pure Math., 70, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2016, 397–420
44.	Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Jordan property for Cremona groups”, Amer. J. Math., 138:2 (2016), 403–418
45.	Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “Examples of cylindrical Fano fourfolds”, Eur. J. Math., 2:1 (2016), 262–282
46.	Yu. Prokhorov, “A simple proof of the non-rationality of a general quartic double solid”, Bull. Korean Math. Soc., 54:5 (2017), 1619–1625
47.	Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “New examples of cylindrical Fano fourfolds”, Algebraic varieties and automorphism groups, Adv. Stud. Pure Math., 75, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2017, 443–463
48.	A. Kuznetsov, Yu. Prokhorov, “Prime Fano threefolds of genus 12 with a $\mathbb G_\mathrm m$-action”, Épijournal Géom. Algébrique, 2 (2018), 3, 14 pp.
49.	A. G. Kuznetsov, Yu. G. Prokhorov, C. A. Shramov, “Hilbert schemes of lines and conics and automorphism groups of Fano threefolds”, Jpn. J. Math., 13:1 (2018), 109–185
50.	Ю. Г. Прохоров, “Проблема рациональности для расслоений на коники”, УМН, 73:3(441) (2018), 3–88        ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, “The rationality problem for conic bundles”, Russian Math. Surveys, 73:3 (2018), 375–456
51.	Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Finite groups of birational selfmaps of threefolds”, Math. Res. Lett., 25:3 (2018), 957–972
52.	Yu. Prokhorov, C. Shramov, “$p$-subgroups in the space Cremona group”, Math. Nachr., 291:8-9 (2018), 1374–1389
53.	Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “Fano–Mukai fourfolds of genus $10$ as compactifications of $\mathbb{C}^4$”, Eur. J. Math., 4:3 (2018), 1197–1263
54.	Ш. Мори, Ю. Г. Прохоров, “Трехмерные экстремальные окрестности кривой с одной негоренштейновой точкой”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:3 (2019), 158–212        ; англ. пер.: S. Mori, Yu. G. Prokhorov, “Threefold extremal curve germs with one non-Gorenstein point”, Izv. Math., 83:3 (2019), 565–612
55.	Ю. Г. Прохоров, К. А. Шрамов, “Конечные группы бимероморфных автоморфизмов унилинейчатых трехмерных кэлеровых многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:5 (2020), 169–196        ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, C. A. Shramov, “Finite groups of bimeromorphic selfmaps of uniruled Kähler threefolds”, Izv. Math., 84:5 (2020), 978–1001
56.	I. Cheltsov, J. Park, Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “Cylinders in Fano varieties”, EMS Surv. Math. Sci., 8:1-2 (2021), 39–105
57.	I. Cheltsov, Yu. Prokhorov, “Del Pezzo surfaces with infinite automorphism groups”, Algebr. Geom., 8:3 (2021), 319–357
58.	Ш. Мори, Ю. Г. Прохоров, “Общий антиканонический элемент для трехмерных экстремальных стягиваний с одномерными слоями: исключительный случай”, Матем. сб., 212:3 (2021), 88–111        ; англ. пер.: S. Mori, Yu. G. Prokhorov, “General elephants for threefold extremal contractions with one-dimensional fibres: exceptional case”, Sb. Math., 212:3 (2021), 351–373
59.	Ю. Г. Прохоров, “Эквивариантная программа минимальных моделей”, УМН, 76:3(459) (2021), 93–182        ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, “Equivariant minimal model program”, Russian Math. Surveys, 76:3 (2021), 461–542
60.	Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Automorphism groups of compact complex surfaces”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2021:14 (2021), 10490–10520
61.	J. Blanc, I. Cheltsov, A. Duncan, Yu. Prokhorov, “Birational self-maps of threefolds of (un)-bounded genus or gonality”, Amer. J. Math., 144:2 (2022), 575–597
62.	Ю. Г. Прохоров, “Трехмерные многообразия Фано”, Лекц. курсы НОЦ, 31, МИАН, М., 2022, 3–154        ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, “Fano threefolds”, Proc. Steklov Inst. Math., 328, Suppl. 1 (2025), S1–S130
63.	Yu. Prokhorov, “Conic bundle structures on $\mathbb{Q}$-Fano threefolds”, Electron. Res. Arch., 30:5 (2022), 1881–1897
64.	Yu. Prokhorov, “Rationality of $\mathbb{Q}$-Fano threefolds of large Fano index”, Recent developments in algebraic geometry. To Miles Reid for his 70th birthday, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 478, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2022, 253–274
65.	Ю. Г. Прохоров, К. А. Шрамов, “Конечные группы бимероморфных автоморфизмов неунилинейчатых трехмерных кэлеровых многообразий”, Матем. сб., 213:12 (2022), 86–108        ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, C. A. Shramov, “Finite groups of bimeromorphic self-maps of nonuniruled Kähler threefolds”, Sb. Math., 213:12 (2022), 1695–1714
66.	Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “Fano–Mukai fourfolds of genus $10$ and their automorphism groups”, Eur. J. Math., 8:2 (2022), 561–572
67.	J. Blanc, I. Cheltsov, A. Duncan, Yu. Prokhorov, “Finite quasisimple groups acting on rationally connected threefolds”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 174:3 (2023), 531–568
68.	A. G. Kuznetsov, Yu. G. Prokhorov, “On higher-dimensional del Pezzo varieties”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:3 (2023), 75–148        ; Izv. Math., 87:3 (2023), 488–561
69.	A. Kuznetsov, Yu. Prokhorov, “Rationality of Fano threefolds over non-closed fields”, Amer. J. Math., 145:2 (2023), 335–411
70.	Yu. Prokhorov, “Embeddings of the symmetric groups to the space Cremona group”, Birational geometry, Kähler–Einstein metrics and degenerations, Springer Proc. Math. Stat., 409, Springer, Cham, 2023, 749–762
71.	Yu. Prokhorov, “Effective results in the three-dimensional minimal model program”, International congress of mathematicians (ICM 2022), Sect. 1–4, v. 3, EMS Press, Berlin, 2023, 2324–2345
72.	Yu. Prokhorov, “Finite groups of birational transformations”, European congress of mathematics, EMS Press, Berlin, 2023, 413–437
73.	Ю. Г. Прохоров, К. А. Шрамов, “Свойство Жордана для группы Кремоны над конечным полем”, Труды МИАН, 320, Алгебра, арифметическая, алгебраическая и комплексная геометрия (2023), 298–310        ; англ. пер.: Yu. G. Prokhorov, C. A. Shramov, “Jordan property for the Cremona group over a finite field”, Proc. Steklov Inst. Math., 320 (2023), 278–289
74.	Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “Affine cones over Fano–Mukai fourfolds of genus $10$ are flexible”, The art of doing algebraic geometry, Trends Math., Birkhäuser/Springer, Cham, 2023, 363–383
75.	A. Kuznetsov, Yu. Prokhorov, “Rationality over nonclosed fields of Fano threefolds with higher geometric Picard rank”, J. Inst. Math. Jussieu, 23:1 (2024), 207–247
76.	Yu. Prokhorov, “On the birational geometry of $\mathbb{Q}$-Fano threefolds of large Fano index. I”, Ann. Univ. Ferrara Sez. VII Sci. Mat., 70:3 (2024), 955–985

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{AleGorZai25}
\by В.~А.~Алексеев, С.~О.~Горчинский, М.~Г.~Зайденберг, А.~Г.~Кузнецов, Дж.~МакКернан, Ш.~Мори, Д.~О.~Орлов, В.~В.~Пржиялковский, Н.~А.~Тюрин, А.~И.~Шафаревич, В.~В.~Шокуров, К.~А.~Шрамов
\paper Юрий Геннадьевич Прохоров (к шестидесятилетию со дня рождения)
\jour УМН
\yr 2025
\vol 80
\issue 4(484)
\pages 183--192
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10253}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10253}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2025
\vol 80
\issue 4
\pages 733--741
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10253e}