Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака

Спектры операторов Шрёдингера и Дирака с периодическим потенциалом на прямой $\mathbb R$ имеют зонную структуру, т.е. интервалы непрерывного спектра перемежаются спектральными лакунами, или зонами неустойчивости. Размеры этих зон убывают, и скорость этого убывания зависит от гладкости потенциала. Можно идти и в другую сторону и делать заключение о гладкости потенциала на основании того, как быстро убывают зоны неустойчивости. На уровне бесконечно-дифференцируемых или аналитических функций это явление в случае операторов Шрёдингера было понято в 60-е и 70-е годы. Однако только недавно соотношение между гладкостью потенциала и скоростью убывания зон неустойчивости в полном объеме было понято и проанализировано

• в широком диапазоне классов дифференцируемых функций,
• для операторoв Дирака, а не только для операторов Шрёдингера–Хилла,
• как в самосопряженном, так и в несамосопряженном случае.

Обзору этих результатов, часто с полными доказательствами, основанными на развитой авторами методологии, и посвящена эта статья.
Библиография: 84 названия.