Топологический подход к обобщенной задаче $n$ центров

Рассматриваются натуральные гамильтоновы системы с двумя степенями свободы и гамильтонианом $H=\|p\|^2/2+V(q)$. Конфигурационное пространство $M$ – замкнутая поверхность (для некомпактного $M$ требуются некоторые условия на бесконечности). Хорошо известно, что если потенциальная энергия $V$ имеет $n>2\chi(M)$ особых точек ньютонова типа, то система не интегрируема и имеет положительную топологическую энтропию на уровне энергии $H=h>\sup V$. В настоящей работе это утверждение обобщается на случай, когда $V$ имеет несколько особых точек $a_j$ типа $V(q)\sim {-}\!\operatorname{dist}(q,a_j)^{-\alpha_j}$. Положим $A_k=2-2/k$, $k\in\mathbb{N}$, и пусть $n_k$ – число особых точек таких, что $A_k\leqslant \alpha_j<A_{k+1}$. В работе доказано, что если
$$ \sum_{2\leqslant k\leqslant\infty}n_kA_k>2\chi(M), $$
то система имеет компактное хаотическое инвариантное множество траекторий без столкновений на любом уровне энергии $H=h>\sup V$. Это утверждение чисто топологическое: оно не использует никаких аналитических свойств потенциальной энергии, кроме наличия особых точек. Доказательства основаны на обобщенной регуляризации Леви-Чивиты и элементарной топологии накрытий. В качестве примера рассмотрена плоская задача $n$ центров.
Библиография: 29 названий.