| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Об одной экстремальной задаче для положительно определенных функций с носителем в шаре А. Д. Манов Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10006e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеФиксируем некоторые обозначения: $|\cdot|$ – евклидова норма в $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{B}_r:=\{x\in \mathbb{R}^n\colon |x|<r\}$ – открытый шар радиуса $r>0$ с центром в нуле, $\overline{\mathbb{B}_r}$ – его замыкание, $\widetilde{f}(x):=\overline{f(-x)}$ и $(f\ast g)(x)=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}f(x-t)g(t)\,dt$, $L_\infty^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ – пространство локально ограниченных п.в. на $\mathbb{R}^n$ функций. Комплекснозначная функция $f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ называется положительно определенной на $\mathbb{R}^n$ ($f\in\Phi(\mathbb{R}^n)$), если для любого $m\in\mathbb{N}$ и для любых элементов $\{x_i\}_{i=1}^m\subset \mathbb{R}^n$, а также для любого набора комплексных чисел $\{c_i\}_{i=1}^m\subset\mathbb{C}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_{i,j=1}^m c_i\overline{c_j}f(x_i-x_j)\geqslant0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Если $f\in\Phi(\mathbb{R}^n)$, то из неравенства (1.1) при $m=2$ вытекает, что $|f(x)|\leqslant f(0)$, $x\in \mathbb{R}^n$ и функция $f$ является эрмитовой, т.е. $f=\widetilde{f}$. В настоящей работе нас будет интересовать следующее выпуклое подмножество положительно определенных функций. Пусть $r>0$. Символом $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ обозначим множество функций
$$
\begin{equation*}
\varphi\in\Phi(\mathbb{R}^n)\cap C(\mathbb{R}^n) \quad \text{таких, что}\ \ \varphi(0)=1 \quad \text{и}\ \ \operatorname{supp}\varphi\subset\overline{\mathbb{B}_r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что класс функций $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ непуст. Например, если взять функцию $u\in L_2(\mathbb{R}^n)$ такую, что $u(x)=0$ при $|x|\geqslant r/2$ и $\|u\|_2=1$, то следующая функция принадлежит $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$:
$$
\begin{equation}
\varphi(x)=(u\ast\widetilde{u})(x)=\int_{\mathbb{R}^n}u(x-t)\widetilde{u}(t)\,dt, \qquad x\in\mathbb{R}^n.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Действительно, $\varphi\in C(\mathbb{R}^n)$ и $ \operatorname{supp}\varphi\subset\overline{\mathbb{B}_{r/2}}+\overline{\mathbb{B}_{r/2}} =\overline{\mathbb{B}_r}$; положительная определенность функции $\varphi$ проверяется непосредственно. Отметим, что при $n=1$ из теоремы Боаса–Каца, Крейна (см., например, [1; теорема 3.10.2]) следует, что любая функция $\varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ представима в виде (1.2). При $n\geqslant2$ это, вообще говоря, неверно. В настоящей работе рассматривается следующая экстремальная задача для положительно определенных функций $\varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$. Задача. Пусть $r>0$ и функция $\rho\in L_\infty^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ является радиальной и вещественнозначной. Требуется найти следующую величину: При $\rho(x)\equiv1$ величина $M(n,\rho,r)$ была найдена К. Зигелем [2] в 1935 г. и независимо Р. Боасом и М. Кацом (см. [3; теорема 5]) в 1945 г. для $n=1$. Ими было доказано, что
$$
\begin{equation*}
M(n,\rho,r)=\operatorname{vol}(\mathbb{B}_{r/2})=\frac{\pi^{n/2}r^n}{2^n\Gamma(n/2+1)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{vol}(\cdot)$ – мера Лебега в $\mathbb{R}^n$. В этом случае экстремальной функцией является свертка характеристической функции шара $\mathbb{B}_{r/2}$ с собой:
$$
\begin{equation*}
\varphi(x)=\frac1{\operatorname{vol}(\mathbb{B}_{r/2})}(\chi_{\mathbb{B}_{r/2}}\ast\chi_{\mathbb{B}_{r/2}})(x),\qquad x\in\mathbb{R}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Результат Зигеля также был заново открыт Д. В. Горбачевым [4] в 2001 г. другими методами. Также стоит отметить, что другой способ доказательства результатов Зигеля содержится в недавней статье [5]. Отметим, что в случае $\rho(x)\equiv1$ рассматриваемая задача относится к классу экстремальных задач типа Турана. В данном типе задач требуется найти точную верхнюю грань значений интеграла $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\,dx$ по всем функциям $\varphi\in\Phi(\mathbb{R}^n)\cap C(\mathbb{R}^n)$ с фиксированным значением в нуле, носитель которых содержится в фиксированном центрально симметричном выпуклом теле. На данный момент, помимо решения задачи Турана для случая шара, известны решения только для многогранников, заполняющих пространство (см. работу В. В. Арестова, Е. Е. Бердышевой [6]), а также спектральных тел (см. работу М. Колунцакиса, С. Д. Ревеса [7]). Стоит также отметить, что подобного рода задачи естественно возникают в различных областях математики, например в выпуклом анализе (см. [8]). Приложения в теории функций можно найти в [9]. Отметим также работу А. В. Ефимова [10], в которой рассматривается один из вариантов задачи Турана для шара. Более подробную информацию об истории, вариантах и приложениях данного типа задач можно найти в статье С. Д. Ревеса [11]. При $n=1$ и более слабых условиях на функцию $\rho$ аналог рассматриваемой задачи был рассмотрен автором в [12]. В настоящей работе мы докажем следующую теорему, которая дает решение задачи при $n\neq2$. Теорема 1. Пусть $n\neq2$, $r>0$ и функция $\rho\in L_\infty^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ является радиальной и вещественнозначной. Определим оператор $A_\rho\colon L_2(\mathbb{B}_{r/2})\to L_2(\mathbb{B}_{r/2})$ следующим образом: Тогда $A_\rho$ – компактный самосопряженный оператор в $L_2(\mathbb{B}_{r/2})$ и справедливо равенство где $\|A_\rho\|$ – норма оператора $A_\rho$ в $L_2(\mathbb{B}_{r/2})$.Замечание 1. Из теоремы 1 следует, что решение рассматриваемой задачи сводится к нахождению наибольшего по модулю собственного значения оператора $A_\rho$. Отметим также, что теорема 1 является аналогом теоремы Сасса для неотрицательных тригонометрических многочленов (см. [13; теорема IV]). Замечание 2. Доказательство теоремы 1 основано на представлении У. Рудина и А. В. Ефимова (см. теорему 5 ниже) функций $\varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$. В общем случае оно доказано при условии $n\neq2$. Если же функция $\varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ бесконечно дифференцируемая, то данное представление справедливо и при $n=2$. В некоторых случаях в приведенной задаче достаточно рассматривать бесконечно дифференцируемые функции из $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$. Например, при условии непрерывности функции $\rho$. В этом случае теорема 1 справедлива и при $n=2$. Если $\rho(x)$ – многочлен, то наша задача связана с задачей о точечных оценках производных целых функций экспоненциального сферического типа $\leqslant r$. Напомним, что целая функция $f\colon \mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$ называется экспоненциальной сферического типа $\leqslant r$, если для любого $\varepsilon>0$ найдется константа $A_\varepsilon>0$ такая, что
$$
\begin{equation*}
|f(z)|\leqslant A_\varepsilon e^{(r+\varepsilon)|z|}, \qquad z\in\mathbb{C}^n, \quad\text{где } \ |z|=\biggl(\sum_{k=1}^n|z_k|^2\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Символом $W_{p,r}(\mathbb{R}^n)$ обозначим множество целых функций экспоненциального сферического типа $\leqslant r$ таких, что их сужение на $\mathbb{R}^n$ принадлежит $L_p(\mathbb{R}^n)$, $p\geqslant1$, а символом $W_{p,r}^{+}(\mathbb{R}^n)$ обозначим подмножество неотрицательных на $\mathbb{R}^n$ функций из $W_{p,r}(\mathbb{R}^n)$. Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть $n,m\in\mathbb{N}$, $r>0$, $\Delta$ – оператор Лапласа, $L$ – линейный дифференциальный оператор вида Тогда для любой функции $f\in W_{1,r}^{+}(\mathbb{R}^n)$ имеет место следующее точное неравенство: Работа организована следующим образом. В § 2 приведены некоторые вспомогательные факты и утверждения. В § 3 и § 4 мы докажем теоремы 1 и 2 соответственно. В § 5 в качестве примера приведено решение рассматриваемой задачи в случае, когда $\rho(x)\equiv1$. Кроме того, в § 5 получены решения нашей задачи, когда $\rho(x)=|x|^2$, $n\neq2$, а также $\rho(x)=x^{2m}$, $n=1$, $m\in\mathbb{N}$. Как следствие получены точные неравенства типа Бернштейна–Никольского для функций из класса $W_{1,r}^{+}(\mathbb{R}^n)$. § 2. Вспомогательные факты и утвержденияОтметим следующие свойства функций из $\Phi(\mathbb{R}^n)$. Пусть $f,f_{i}\in\Phi(\mathbb{R}^n)$. Тогда: 1) $|f(x+y)-f(x)|^2\leqslant 2f(0)(f(0)-\operatorname{Re}f(y))$, $x,y\in \mathbb{R}^n$; 2) $\lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}$, $\overline{f}$, $\operatorname{Re}f$, $f_1f_2\in\Phi(\mathbb{R}^n)$, где $\lambda_i\geqslant 0$; 3) если для всех $x\in \mathbb{R}$ существует конечный предел $\lim_{n\to\infty} f_{n}(x)=:g(x)$, то $g\in\Phi(\mathbb{R}^n)$. Свойства 1)–3) хорошо известны (см., например, [14], [1], [15]). В 1932 г. С. Бохнер и независимо А. Я. Хинчин доказали следующий критерий положительной определенности. Теорема 3 (теорема Бохнера–Хинчина). Функция $f$ принадлежит $\Phi(\mathbb{R}^n)\,{\cap} C(\mathbb{R}^n)$ тогда и только тогда, когда существует конечная неотрицательная борелевская мера $\mu$ на $\mathbb{R}^n$ такая, что Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [14], [1], [15]. Как прямое следствие (см., например, [1; теорема 1.8.7]) мы получаем следующий критерий положительной определенности в терминах неотрицательности преобразования Фурье. Теорема 4. Если $f\in C(\mathbb{R}^n)\cap L_1(\mathbb{R}^n)$, то где и в этом случае $\widehat f\in L_1(\mathbb{R}^n)$. Важную роль в доказательстве теоремы 1 играет следующая теорема. Теорема 5 (У. Рудин, А. В. Ефимов). Пусть $n\neq2$, $r>0$ и функция $\varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ является радиальной. Тогда функция $\varphi$ представима в виде равномерно сходящегося ряда: где $u_k\in L_2(\mathbb{R}^n)$ и $u_k(x)=0$ при $|x|\geqslant r/2$. Замечание 3. При $n=1$ теорема 5 вытекает из теоремы Боаса–Каца, Крейна. Теорема 5 при $n\in\mathbb{N}$ была доказана У. Рудиным в предположении, что функция $\varphi$ бесконечно дифференцируемая (см. [16] и [1; теорема 3.10.4]). В работе В. Эма, Т. Гнайтинга, Д. Ричардса [17] без доказательства отмечается, что в теореме Рудина достаточно предполагать только непрерывность функции $\varphi$. В работе А. В. Ефимова [18] содержится доказательство теоремы 5 при $n\geqslant3$. Замечание 4. Представление (2.1) для радиальных бесконечно дифференцируемых функций из $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ было использовано У. Рудиным в [16] для доказательства того, что любую радиальную положительно определенную функцию на шаре в $\mathbb{R}^n$ можно продолжить до положительно определенной на всем пространстве. Это является обобщением теоремы М. Г. Крейна о продолжении положительно определенных функций с интервала на всю ось $\mathbb{R}$ (см. [19]). Проблемы продолжения радиальных положительно определенных функций по размерности пространств были рассмотрены в [20]. Так как любая положительно определенная функция является эрмитовой, то в рассматриваемой задаче можно предполагать, что функции $\varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ являются четными. Из приведенной ниже леммы следует, что можно предполагать и радиальность функций. Лемма. Пусть $n\neq1$, $r>0$, функция $\rho\in L_\infty^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ является радиальной, $\varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ и $\varphi_{\mathrm{rad}}$ – радиализация функции $\varphi$: где $\operatorname{SO}(n)$ – специальная ортогональная группа, а $d\tau$ – нормированная мера Хаара на $\operatorname{SO}(n)$. Тогда $\varphi_{\mathrm{rad}}\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ и справедливо равенство Доказательство. То, что $\varphi_{\mathrm{rad}}$ принадлежит $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$, проверяется непосредственно. Докажем равенство (2.2):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{R}^n}\varphi_{\mathrm{rad}}(x)\rho(x)\,dx &=\int_{\mathbb{R}^n}\biggl(\int_{\operatorname{SO}(n)}\varphi(\tau x)\,d\tau\biggr)\rho(x)\,dx \\ &=\int_{\operatorname{SO}(n)}\biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(\tau x)\rho(x)\,dx\biggr)d\tau \\ &=\int_{\operatorname{SO}(n)}\biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\rho(\tau^{-1} x)\,dx\biggr)d\tau \\ &=\int_{\operatorname{SO}(n)}\biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\rho(x)\,dx\biggr)d\tau \\ &=\int_{\operatorname{SO}(n)}d\tau\cdot\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\rho(x)\,dx =\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\rho(x)\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. § 3. Доказательство теоремы 1Шаг 1. Оператор $A_\rho$ является ограниченным и компактным в $L_2(\mathbb{B}_{r/2})$, так как $\rho\in L_\infty^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$. Самосопряженность $A_\rho$ вытекает из радиальности и вещественнозначности функции $\rho$. Для удобства далее будем отождествлять пространство $L_2(\mathbb{B}_{r/2})$ с подпространством функций $u\in L_2(\mathbb{R}^n)$ таких, что $u(x)=0$ п.в. при $|x|\geqslant r/2$. Пусть $u\in L_2(\mathbb{R}^n)$ и $u(x)=0$ при $|x|\geqslant r/2$. Тогда справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^n}(u\ast\widetilde{u})(x)\rho(x)\,dx=(A_\rho u,u),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\cdot,\cdot)$ – скалярное произведение в $L_2(\mathbb{B}_{r/2})$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{R}^n}(u\ast\widetilde{u})(x)\rho(x)\,dx &=\int_{\mathbb{R}^n}\biggl(\int_{\mathbb{R}^n}u(x-t)\widetilde{u}(t)\,dt\biggr)\rho(x)\,dx \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\biggl(\int_{\mathbb{R}^n}u(x+t)\overline{u(t)}\,dt\biggr)\rho(x)\,dx \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\biggl(\int_{\mathbb{R}^n}u(x+t)\rho(x)\,dx\biggr)\overline{u(t)}\,dt \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\biggl(\int_{\mathbb{R}^n}\rho(x-t)u(x)\,dx\biggr)\overline{u(t)}\,dt \\ &=\int_{\mathbb{B}_{r/2}}\biggl(\int_{\mathbb{B}_{r/2}}\rho(t-x)u(x)\,dx\biggr)\overline{u(t)}\,dt =(A_\rho u,u). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 2. Докажем, что $M(n,\rho,r)\leqslant \|A_\rho\|$. Из доказанной выше леммы следует, что в рассматриваемой нами задаче можно предполагать, что функции $\varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ являются радиальными. Пусть $\varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ и функция $\varphi$ является радиальной. Из теоремы 5 вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\varphi(x)=\sum_{k=1}^\infty (u_k\ast\widetilde{u_k})(x), \qquad x\in\mathbb{R}^n,
\end{equation*}
\notag
$$
где ряд сходится равномерно, $u_k\in L_2(\mathbb{R}^n)$ и $u_k(x)=0$ при $|x|\geqslant r/2$. Кроме того, так как $\varphi(0)=1$, то $\sum_{k=1}^\infty\|u_k\|_2^2=1$ и, значит, имеют место неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\rho(x)\,dx\biggr| &=\biggl|\int_{\mathbb{R}^n}\sum_{k=1}^\infty (u_k\ast\widetilde{u_k})(x)\rho(x)\,dx\biggr| =\biggl|\sum_{k=1}^\infty\int_{\mathbb{R}^n} (u_k\ast\widetilde{u_k})(x)\rho(x)\,dx\biggr| \\ &=\biggl|\sum_{k=1}^\infty(A_\rho u_k,u_k)\biggr| \leqslant \sum_{k=1}^\infty|(A_\rho u_k,u_k)| \leqslant \|A_\rho\|\sum_{k=1}^\infty|(u_k,u_k)| \\ &=\|A_\rho\|\sum_{k=1}^\infty\|u_k\|_2^2=\|A_\rho\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что Шаг 3. Докажем, что $M(n,\rho,r)\geqslant \|A_\rho\|$. Пусть $u\in L_2(\mathbb{R}^n)$, $u(x)=0$ при $|x|\geqslant r/2$ и $\|u\|_2=1$. Тогда $u\ast\widetilde{u}\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ и справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
|(A_\rho u,u)| =\biggl|\int_{\mathbb{R}^n}(u\ast\widetilde{u})(x)\rho(x)\,dx\biggr|\leqslant M(n,\rho,r).
\end{equation*}
\notag
$$
Из самосопряженности оператора $A_\rho$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\|A_\rho\|=\sup_{\|u\|_2=1}|(A_\rho u,u)|\leqslant M(n,\rho,r).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 доказана. § 4. Доказательство теоремы 2Вначале заметим, что при умножении каждой функции $\varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ на $e^{i(t,\cdot)}$, $t\in\mathbb{R}^n$, множество $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$ взаимно однозначно отображается на себя и, значит, справедливо равенство
$$
\begin{equation}
M(n,\rho,r)=\sup\biggl\{\biggl|\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)e^{i(t,x)}\rho(x)\,dx\biggr|\colon \varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)\biggr\} \quad\text{для всех } \ t\in\mathbb{R}^n.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Пусть $f\in W_{1,r}^{+}(\mathbb{R}^n)$ и $f(x)\not\equiv0$. Так как оператор $L$ линеен, то, не ограничивая общности, будем предполагать, что $\|f\|_1=(2\pi)^n$. Из теоремы Винера–Пэли (см., например, [15; п. 3.4.9], [21; п. 3.2.6]) и теоремы 4 вытекает, что преобразование Фурье является биекцией между $W_{1,r}^{+}(\mathbb{R}^n)$ и множеством функций $\varphi\in\Phi(\mathbb{R}^n)\cap C(\mathbb{R}^n)$ таких, что $\operatorname{supp}\varphi\subset\overline{\mathbb{B}_{r}}$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
f(t)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)e^{i(t,x)}\,dx, \qquad t\in\mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $\varphi\in\Phi(\mathbb{R}^n)\cap C(\mathbb{R}^n)$ и $ \operatorname{supp}\varphi\subset\overline{\mathbb{B}_{r}}$. Из формулы обращения преобразования Фурье следует, что
$$
\begin{equation*}
\varphi(x)=\frac1{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-i(t,x)}\,dt, \qquad x\in\mathbb{R}^n,
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, $\varphi(0)=1$. Таким образом, $\varphi\in\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$. Применяя дифференциальный оператор $L$ к левой и правой частям (4.2), получим
$$
\begin{equation*}
Lf(t)=\int_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)\rho(x)e^{i(t,x)}\,dx, \qquad t\in\mathbb{R}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.1) следует, что Теорема 2 доказана. § 5. Некоторые примеры5.1. Пример 1Пусть $n\neq2$, $r>0$ и $\rho(x)\equiv1$. В этом случае оператор $A_\rho$ конечномерный и имеет вид
$$
\begin{equation*}
(A_\rho u)(t)=\int_{\mathbb{B}_{r/2}}u(x)\,dx, \qquad t\in\mathbb{B}_{r/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем все $\lambda\neq0$, при которых существуют нетривиальные решения уравнения $A_\rho u=\lambda u$. Пусть $u(t)=a$, $t\in\mathbb{B}_{r/2}$, где $a\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Тогда $a\cdot\operatorname{vol}(\mathbb{B}_{r/2})=\lambda a$ и, значит, $\lambda=\operatorname{vol}(\mathbb{B}_{r/2})$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
M(n,\rho,r)=\operatorname{vol}(\mathbb{B}_{r/2})=\frac{\pi^{n/2}r^n}{2^n\Gamma(n/2+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
5.2. Пример 2Пусть $n\neq2$, $r>0$ и $\rho(x)=|x|^2$, $x\in\mathbb{R}^n$. Несложно проверить, что в этом случае справедливо равенство
$$
\begin{equation}
M(n,\rho,r_1)=\biggl(\frac{r_1}{r_2}\biggr)^{n+2}M(n,\rho,r_2), \qquad r_1,r_2>0.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Пусть $r=2$. В этом случае оператор $A_\rho$ конечномерный и имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(A_\rho u)(t)=\int_{\mathbb{B}_1}|t-x|^2u(x)\,dx \\ &\ =\biggl(\sum_{k=1}^n t_k^2\biggr)\int_{\mathbb{B}_1}u(x)\,dx -2\sum_{k=1}^n t_k\int_{\mathbb{B}_1}x_k u(x)\,dx +\sum_{k=1}^n \int_{\mathbb{B}_1}x_k^2 u(x)\,dx, \qquad t\in\mathbb{B}_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем все $\lambda\neq0$, при которых существуют нетривиальные решения уравнения
$$
\begin{equation}
(A_\rho u)(t)=\lambda u(t), \qquad t\in\mathbb{B}_1.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Пусть $u(x)=a|x|^2+(b,x)+c$, $x\in\mathbb{B}_1$, где $a,c\in\mathbb{C}$, $b=(b_1,\dots,b_n)\in\mathbb{C}^n$. Здесь $(\cdot,\cdot)$ – скалярное произведение в $\mathbb{C}^n$. Тогда справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{\mathbb{B}_1}u(x)\,dx=a\int_{\mathbb{B}_1}|x|^2\,dx+c\int_{\mathbb{B}_1}dx, \qquad \int_{\mathbb{B}_1}x_k u(x)\,dx=b_k\int_{\mathbb{B}_1}x_1^2\,dx, \\ \sum_{k=1}^n\int_{\mathbb{B}_1}x_k^2 u(x)\,dx=a\int_{\mathbb{B}_1}|x|^4\,dx+c\int_{\mathbb{B}_1}|x|^2\,dx. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, для удобства введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \xi:=\int_{\mathbb{B}_1}|x|^2\,dx=\frac{2\pi^{n/2}}{(n+2)\Gamma(n/2)}, \qquad \eta:=\int_{\mathbb{B}_1}dx=\frac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(n/2)}, \\ \tau:=\int_{\mathbb{B}_1}|x|^4\,dx=\frac{2\pi^{n/2}}{(n+4)\Gamma(n/2)}, \qquad \theta:=-2\int_{\mathbb{B}_1}x_1^2\,dx=\frac{-4\pi^{n/2}}{n(n+2)\Gamma(n/2)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Приравнивая коэффициенты в равенстве (5.2), получим систему
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \xi & 0 & \dots & 0 & \eta \\ 0 & \theta & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \theta & 0 \\ \tau & 0 & \dots & 0 & \xi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b_1 \\ \vdots \\ b_n \\ c \end{pmatrix} =\lambda \begin{pmatrix} a \\ b_1 \\ \vdots \\ b_n \\ c \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Решим уравнение
$$
\begin{equation*}
\begin{vmatrix} \xi-\lambda & 0 & \dots & 0 & \eta \\ 0 & \theta-\lambda & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \theta-\lambda & 0 \\ \tau & 0 & \dots & 0 & \xi-\lambda \end{vmatrix} =(\theta-\lambda)^n(\lambda^2-2\xi\lambda+\xi^2-\tau\eta)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_1&=\theta=\frac{-4\pi^{n/2}}{n(n+2)\Gamma(n/2)}, \\ \lambda_2&=\xi-\sqrt{\tau\eta}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)} \biggl(\frac1{n+2}-\frac{\sqrt{n(n+4)}}{n(n+4)}\biggr), \\ \lambda_3&=\xi+\sqrt{\tau\eta}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)} \biggl(\frac1{n+2}+\frac{\sqrt{n(n+4)}}{n(n+4)}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $|\lambda_3|>|\lambda_2|$. При $n=1$ имеем $|\lambda_3|-|\lambda_1|=(-10+6\sqrt{5})/15>0$. Если $n\geqslant2$, то
$$
\begin{equation*}
|\lambda_3|-|\lambda_1|=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}\biggl(\frac{n-2}{n(n+2)}+\frac{\sqrt{n(n+4)}}{n(n+4)}\biggr)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $M(n,\rho,2)=\lambda_3$ при $n\neq2$. Собственной функцией, отвечающей $\lambda_3$, является, например,
$$
\begin{equation}
u(t)=|t|^2+\sqrt{\frac{\tau}{\eta}}=|t|^2+\sqrt{\frac{n}{n+4}}, \qquad t\in\mathbb{B}^n.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
В общем случае из (5.1) следует, что
$$
\begin{equation}
M(n,\rho,r)=\frac{r^{n+2}\pi^{n/2}}{2^{n+1}\Gamma(n/2)} \biggl(\frac1{n+2}+\frac{\sqrt{n(n+4)}}{n(n+4)}\biggr), \qquad n\neq2, \quad r>0.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
5.3. Пример 3Пусть $n=1$, $r>0$ и $\rho(x)=x^{2m}$, где $m\in\mathbb{N}$. Несложно проверить, что в этом случае справедливо равенство
$$
\begin{equation}
M(n,\rho,r_1)=\biggl(\frac{r_1}{r_2}\biggr)^{2m+1}M(n,\rho,r_2), \qquad r_1,r_2>0.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Пусть $r=2$. В этом случае оператор $A_\rho$ конечномерный и имеет вид
$$
\begin{equation*}
(A_\rho u)(t)=\int_{-1}^1(t-x)^{2m}u(x)\,dx =\sum_{i=1}^{2m+1}(-1)^{i+1}C_{2m}^{i-1}t^{2m+1-i}s_{i-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где Найдем все $\lambda\neq0$, при которых существуют нетривиальные решения уравнения
$$
\begin{equation}
(A_\rho u)(t)=\lambda u(t), \qquad -1\leqslant t\leqslant1 .
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Будем искать функцию $u(x)$ в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
u(x)=\sum_{p=0}^{2m} a_p x^p, \qquad a_p\in\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае
$$
\begin{equation*}
s_k=\sum_{j=0}^{2m}\frac{1+(-1)^{k-j}}{2m+k-j+1}a_{2m-j}, \qquad k=0,\dots,2m.
\end{equation*}
\notag
$$
Приравнивая коэффициенты в равенстве (5.6), получим систему $A_m\cdot a=\lambda a$, где $a:=(a_0,\dots,a_{2m})$ и
$$
\begin{equation}
A_m:=\biggl(\frac{(-1)^{i+1}C_{2m}^{i-1}(1+(-1)^{i-j})}{2m+i-j+1}\biggr)_{i,j=1}^{2m+1}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
M(1,\rho,r)=\biggl(\frac{r}{2}\biggr)^{2m+1}|\lambda_{\max}|,
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где $\lambda_{\mathrm{max}}$ – наибольшее по модулю собственное значение матрицы (5.7). В частности, при $m=1$ матрица $A_m$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
A_1= \begin{pmatrix} \dfrac23 & 0 & 2 \\ 0 & -\dfrac43 & 0 \\ \dfrac25 & 0 & \dfrac23 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собственные значения матрицы $A_1$ – это
$$
\begin{equation*}
\lambda_1=-\frac43, \qquad \lambda_2=\frac{10-6\sqrt5}{15}, \qquad \lambda_3=\frac{10+6\sqrt5}{15},
\end{equation*}
\notag
$$
что соответствует примеру 2. 5.4. Замечания Замечание 5. Из теоремы 2 и примера 2 вытекает, что при $n\neq2$ для любой функции $f\in W_{1,r}^{+}(\mathbb{R}^n)$ имеет место точное неравенство Замечание 6. Из теоремы 2 и примера 3 вытекает, что при $m\in\mathbb{N}$ для любой функции $f\in W_{1,r}^{+}(\mathbb{R})$ имеет место точное неравенство Замечание 7. В работе автора [12] было доказано, что для функций $f\in W_{1,r}^{+}(\mathbb{R})$ справедливы следующие точные неравенства: Замечание 8. И. И. Ибрагимовым в 1959 г. было доказано (см. [22; следствие 2]), что для функций $f\in W_{1,r}(\mathbb{R})$, не обязательно неотрицательных, выполняются следующие неравенства: Неравенства вида (5.9), (5.10), (5.12) относятся к неравенствам типа Бернштейна–Никольского. Более подробную информацию о данном типе неравенств можно найти в статье Д. В. Горбачева [24]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Man24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|