| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О М. А. Михеенкоab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10009e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ этой статье через $\mathbb Z_p$ для простого $p$ обозначается поле из $p$ элементов, через $(\mathbb Z_p)^*$ – группа его обратимых элементов. Циклическая группа порядка $n$ обозначается как $\langle a \rangle_n$, $\langle b \rangle_n$, $\langle g \rangle_n$ и т.п. Бесконечная циклическая группа обозначается $\langle g \rangle_\infty$, $\langle x_1\rangle_\infty$ и т.п. Декартово произведение групп $\{G_i\}_{i \in I}$ обозначается через $\prod_{i \in I} G_i$, а их прямое произведение (т.е. подгруппа декартова произведения, состоящая из элементов с конечным носителем) – через $\times_{i\in I} G_i$. Групповое кольцо группы $G$ с кольцом коэффициентов $R$ обозначается через $R G$. Расширением группы $A$ при помощи группы $B$ мы будем называть группу $G$, у которой есть нормальная подгруппа $A$ такая, что факторгруппа $G/A$ изоморфна группе $B$. Для элементов $g$ и $h$ группы $G$ выражение $g^h$ означает $h^{-1}gh$, а выражение $g^{nh}$ для целого (возможно, отрицательного) числа $n$ обозначает $h^{-1}g^nh$. Также $[g,h]$ обозначает $g^{-1}h^{-1}gh$. Декартово сплетение $A \overline \,{\wr}\, B$ рассматривается как группа $(\prod_{b \in B} A_b)\leftthreetimes B$, в которой $A_b$ – это копии группы $A$, а $B$ действует на $\prod_{b \in B} A_b$ так, что $((a_b)_{b\in B})^{b_1}=(a_b)_{bb_1\in B}=(a_{bb_1^{-1}})_{b\in B}$, если $b_1 \in B$ и $a_b \in A_b$ для всех $b \in B$. Настоящая работа посвящена уравнениям и системам уравнений над группами. Определение 1. Пусть $G$ – группа. Уравнение от переменных $x_1,\dots,x_n$ над группой $G$ – это выражение $w(x_1,\dots,x_n)=1$, где $w$ – это элемент свободного произведения $G*F(x_1,\dots,x_n)$, в котором $F(x_1,\dots,x_n)$ – это свободная группа с базисом $x_1,\dots,x_n$. Уравнение $w(x_1,\dots,x_n)=1$ разрешимо в группе $\widetilde G$, если $G \subset \widetilde G$ и в $\widetilde G$ есть решение этого уравнения (т.е. найдутся элементы $\widetilde g_1,\dots,\widetilde g_n \in \widetilde G$ такие, что $w(\widetilde g_1,\dots, \widetilde g_n)=1$). Группа $\widetilde G$ в таком случае называется группой решений. Эквивалентно, уравнение $w=1$ разрешимо в группе $\widetilde G$, если существует гомоморфизм $G*F(x_1,\dots,x_n) \to \widetilde G$, инъективный на $G$ и переводящий $w$ в $1$. Если уравнение $w=1$ разрешимо в какой-либо группе $\widetilde G$, то будем говорить, что уравнение $w=1$ над $G$ разрешимо. Разрешимость системы уравнений (конечной или бесконечной, возможно, с бесконечным множеством переменных) над группой определяется аналогично. Легко видеть, что система уравнений $\{w_j=1\}_{j \in J}$ от переменных $\{x_i\}_{i \in I}\,{=}\,X$ над группой $G$ разрешима тогда и только тогда, когда $G \cap \langle \langle W \rangle \rangle=\{1\}$ в группе $G*F(X)$, где $W$ – это множество $\{w_j\}_{j \in J}$, а $\langle \langle W \rangle \rangle$ – его нормальное замыкание в группе $G*F(X)$. Из этого следует, что для разрешимости системы уравнений над группой достаточно разрешимости каждой конечной ее подсистемы. Определение 2. Пусть $\{w_j=1\}_{j \in J}$ – система уравнений от переменных $\{x_i\}_{i \in I}=X$ над группой $G$. Рассмотрим свободный $\mathbb Z$-модуль $\sum_{i \in I}\mathbb Z \cdot x_i$ с базисом $X$. Его также можно понимать как свободную абелеву группу в аддитивной записи. Имеет место гомоморфизм $G*F(X) \to \sum_{i \in I}\mathbb Z \cdot x_i$, при котором $G$ переходит в 0, а $x_i \in X$ переходит в $x_i$. Назовем этот гомоморфизм тривиализацией. Пусть $m_j$ – образ элемента $w_j$ при тривиализации. Можно понимать $m_j$ как финитную (т.е. ту, у которой только конечное число ненулевых координат) строку из сумм показателей степеней вхождения переменных $x_i$ в $w_j$. Система $\{w_j=1\}$ называется невырожденной, если элементы $m_j$ независимы над $\mathbb Z$, т.е. нет равной нулю комбинации этих строк с коэффициентами из $\mathbb Z$, в которой не все коэффициенты равны нулю (эквивалентно: если они линейно независимы над $\mathbb Q$ как элементы векторного пространства $\sum_{i \in I}\mathbb Q \cdot x_i$). Для простого числа $p$ аналогичным образом рассмотрим $p$-тривиализацию, т.е. гомоморфизм $G*F(X) \to \sum_{i \in I}\mathbb Z_p \cdot x_i$. Система называется $p$-невырожденной, если образы слов $w_j$ при $p$-тривиализации (т.е. строки из сумм показателей степеней вхождения переменных в $w_j$ по модулю $p$) линейно независимы над $\mathbb Z_p$. Система называется унимодулярной, если она $p$-невырождена для любого простого числа $p$. В частности, одно уравнение $w(x)=1$ от одной переменной невырождено ($p$-невырождено, унимодулярно), если сумма показателей степеней вхождения переменной $x$ в слово $w$ не равна нулю (не делится на $p$, равно $\pm 1$ соответственно). Можно видеть, что если система уравнений $p$-невырождена для какого-то простого $p$, то она также невырождена. Также можно видеть, что унимодулярная система – это то же самое, что $p$-невырожденная система для всех простых $p$, поэтому, в частности, унимодулярные системы невырождены. Пример 1. Cистема уравнений имеет следующую матрицу из строк сумм показателей степеней вхождений переменных в уравнение: Определитель этой матрицы равен $-5$, поэтому система невырождена, 2-невырождена, 3-невырождена, однако 5-вырождена и, следовательно, не унимодулярна. Невырожденные системы над группами из многих классов разрешимы. Например, один из классических результатов об уравнениях над группами связан с конечными группами: Теорема 1 (см. [1]). Конечная невырожденная система уравнений над конечной группой $G$ разрешима. Более того, группу решений можно выбрать конечной. Эта теорема неоднократно обобщалась, что можно видеть в [12], [8], [13], [11], [6]. Следующая гипотеза на настоящий момент еще ни доказана, ни опровергнута. Гипотеза 1 (гипотеза Хауи, см. [2]). Любая невырожденная система уравнений над любой группой разрешима. Так как система уравнений над группой разрешима тогда и только тогда, когда разрешима любая ее конечная подсистема, достаточно проверять справедливость гипотезы только для конечных систем. Например, результат из [1] утверждает, что гипотеза Хауи верна для конечных групп. Однако группа решений для бесконечной системы может уже не быть конечной. Помимо конечных групп эта гипотеза верна и для локально индикабельных групп. Определение 3. Локально индикабельная группа – это группа, любая нетривиальная конечно порожденная подгруппа которой допускает сюръективный гомоморфизм на $\langle g \rangle_\infty$. Определение 4. Локально $p$-индикабельная группа для простого $p$ – это группа, любая нетривиальная конечно порожденная подгруппа которой допускает сюръективный гомоморфизм на $\langle g \rangle_p$. Отметим, что локально индикабельные группы локально $p$-индикабельны для любого простого $p$. Также можно видеть, что если группа локально $p$-индикабельна для сколь угодно больших простых $p$, то она также и локально индикабельна. Для этого достаточно рассмотреть факторгруппу конечно порожденной подгруппы по ее коммутанту. Теорема 2 (см. [2]). Конечная невырожденная система уравнений над локально индикабельной группой разрешима. Для $p$-невырожденных систем есть похожий результат. Теорема 3 (см. [10]). Пусть $p$ – простое число. Конечная $p$-невырожденная система уравнений над локально $p$-индикабельной группой разрешима. Следующий результат показывает, что для унимодулярных уравнений известно больше, чем для невырожденных. Теорема 4 (см. [4]). Любое унимодулярное уравнение над любой группой без кручения разрешимо. Этот результат также обобщен в [5]. Верна ли аналогичная теорема для невырожденных уравнений, неизвестно. Некоторые результаты связаны не только с разрешимостью систем уравнений над группой, но и с разрешимостью систем в группах из того же класса. Помимо уже упомянутого результата из [1] для класса конечных групп, есть давний результат для класса нильпотентных групп. Определение 5. Пусть $p$ – простое число. Группа $G$ называется группой без $p'$-кручения, если любой ее неединичный элемент имеет либо бесконечный порядок, либо порядок, равный степени числа $p$. Теорема 5 (см. [14]). Если выполнено одно из следующих условий: Отсюда следует, что, например, любая невырожденная система над нильпотентной группой без кручения разрешима в пополнении этой группы, т.е. в нильпотентной группе той же ступени. В статье [7] исследовался похожий вопрос в классе разрешимых групп: в каких случаях невырожденная система над разрешимой группой имеет решение в разрешимой же группе, и что можно сказать про ступень разрешимости группы решений? Утверждение 1 (см. [7]). Существует такая метабелева группа $G$ и такое унимодулярное уравнение $w(x)=1$ над ней, что уравнение $w(x)=1$ не имеет решения в метабелевых группах. Более того, группу $G$ можно выбрать: Теорема 6 (см. [7]). Пусть группа $G$ имеет субнормальный ряд в котором все факторы абелевы и все, за исключением последнего, не имеют кручения. Тогда любая (конечная или бесконечная) невырожденная система уравнений над группой $G$ имеет решение в какой-то группе $\widetilde G\supset G$, также обладающей субнормальным рядом с абелевыми факторами, причем все факторы ряда группы $\widetilde G$, за исключением последнего, не имеют кручения. В настоящей статье в § 3 доказывается похожий результат относительно $p$-невырожденных систем. Теорема 7 (основная теорема). Пусть $p$ – простое число. Пусть $G$ – группа, имеющая субнормальный ряд с факторами $B_1, B_2,\dots,B_n$, где $B_i=G_i/G_{i+1}$ – абелевы группы, и все $B_i$, за исключением $B_n$, не имеют $p'$-кручения. Тогда есть такая группа $\widehat G \supset G$, имеющая субнормальный ряд с такими же свойствами (т.е. длины $n$ с абелевыми факторами, в котором все факторы, за исключением последнего, без $p'$-кручения), что любая $p$-невырожденная система над $G$ разрешима в $\widehat G$. Более того, любая $p$-невырожденная система над группой $\widehat G$ разрешима в самой $\widehat G$.Рассуждения из этого параграфа позволяют усилить теорему из [7], о чем говорится в замечании 2. В доказательстве важную роль играет лемма 1. Также метод доказательства основан на методах, применявшихся в [11], [6], [7]. В § 4 с помощью основной теоремы доказывается Утверждение 2. Метабелева группа $\begin{pmatrix} 1 & \mathbb Z_7 \\ 0 & (\mathbb Z_7)^*\end{pmatrix}$ порядка $42$ из [7] – минимальный (по порядку) пример метабелевой группы, над которой есть унимодулярное уравнение, не имеющее решения в метабелевых группах. В § 5 формулируются некоторые открытые вопросы о системах уравнений над разрешимыми группами. Автор благодарит фонд развития теоретической физики и математики “БАЗИС”. Также автор благодарит А. А. Клячко за ценные советы и замечания. Автор благодарит рецензента, который, помимо прочих полезных замечаний, предложил более короткое доказательство для § 4. § 2. Образы строк из элементов группового кольцаЗдесь и далее будем считать $p$ простым числом. Утверждение 3. Пусть $R$ – ассоциативное кольцо с единицей характеристики $p$. Пусть $M \in R[x]/(x^{p^k}-1)$ – такой элемент, что $f(M)$ не является левым (правым) делителем нуля, где $f\colon R[x]/(x^{p^k}-1) \to R$ – естественный гомоморфизм колец с $f(x)=1$. Тогда $M$ сам не является левым (правым) делителем нуля. Доказательство. Подробно разберем только “левый” случай.
Рассмотрим элемент $M$ как многочлен от $(x-1)$ с коэффициентами из $R$:
$$
\begin{equation*}
M=M_0+M_1(x-1)+M_2(x-1)^2+\dots+M_{p^k-1}(x-1)^{p^k-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $(x-1)^{p^k}=x^{p^k}-1=0$, так как характеристика кольца $R$ равна $p$. По определению гомоморфизма $f$ элемент $M_0$ равен $f(M)$, из чего вытекает, что $M_0$ не является левым делителем нуля.
Предположим теперь, что $M$ – левый делитель нуля. Это значит, что есть ненулевой многочлен такой, что $MB=0$. Рассмотрим $MB$ как многочлен от переменной $x-1$. Посмотрим на свободный член произведения $MB$. С одной стороны, он равен $M_0B_0$, с другой стороны, он должен быть равен $0$. Так как $M_0$ – не левый делитель нуля, из этого следует, что $B_0=0$. Тогда посмотрим на моном с первой степенью $(x-1)$. Он (с учетом того, что $B_0=0$) равен $M_0B_1(x-1)$, с другой стороны, он, как и свободный член, снова должен быть равен $0$. Тогда аналогично получаем, что $B_1=0$. И так далее. В итоге получаем, что все $B_i$ равны $0$. Противоречие с тем, что $B\neq 0$, следовательно, предположение о том, что $M$ – левый делитель нуля, неверно.“Правый” случай полностью аналогичен. Утверждение доказано. Следствие 1. Пусть $R$ – ассоциативное кольцо с единицей характеристики $p$. Пусть $M \in R[x_1,\dots,x_l]/(x_1^{p^{k_1}}-1,\dots, x_l^{p^{k_l}}-1)$ – такой элемент, что $f(M)$ не является левым (правым) делителем нуля, где $f\colon R[x_1,\dots,x_l]/(x_1^{p^{k_1}}-1,\dots, x_l^{p^{k_l}}- 1) \to R$ – естественный гомоморфизм колец с $f(x_i)=1$. Тогда $M$ сам не является левым (правым) делителем нуля. Доказательство. Проведем индукцию по $l$.
Если $l=1$, то это в точности утверждение 3. Пусть теперь утверждение следствия верно для $l$ переменных, докажем его для $l+1$ переменной. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &R[x_1,\dots,x_l,x_{+1}]/(x_1^{p^{k_1}}-1,\dots, x_l^{p^{k_l}}-1, x_{l+1}^{p^{k_{l+1}}}-1) \\ &\qquad =\bigl(R[x_1,\dots,x_l]/(x_1^{p^{k_1}}-1,\dots, x_l^{p^{k_l}}-1)\bigr) [x_{l+1}]/(x_{l+1}^{p^{k_{l+1}}}-1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переобозначим кольцо $R[x_1,\dots,x_l]/(x_1^{p^{k_1}}-1,\dots, x_l^{p^{k_l}}-1)$ через $Q$. Кольцо $Q$ также имеет характеристику $p$. Рассмотрим образ $h(M)$ элемента $M$ при естественном отображении $h\colon Q[x_{l+1}]/(x_{l+1}^{p^{k_{l+1}}}-1) \to Q$, $h(x_{l+1})=1$. Этот образ по предположению индукции не является левым (правым) делителем нуля. Тогда по утверждению 3 элемент $M$ также не является левым (правым) делителем нуля. Пусть $P$ – конечно порожденная абелева $p$-группа. Ее можно представить в виде $P= \langle g_1\rangle_{p^{k_1}}\times\dots\times \langle g_n\rangle_{p^{k_l}}$. Тогда групповую алгебру $\mathbb Z_p P$ можно представить в виде $\mathbb Z_p P=\mathbb Z_p [x_1,\dots,x_l]/(x_1^{p^{k_1}}-1,\dots, x_l^{p^{k_l}}-1)$. А кольцо $(n\times n)$-матриц над $\mathbb Z_p P$ выглядит как $M_n(\mathbb Z_p) [x_1,\dots,x_l]/(x_1^{p^{k_1}}-1,\dots, x_l^{p^{k_l}}-1)$. Учитывая, что невырожденная матрица над полем – не делитель нуля, получаем следующий факт. Следствие 2. Пусть $M\in M_n(\mathbb Z_p P)$ – $(n\times n)$-матрица над групповой алгеброй, $P$ – конечно порожденная абелева $p$-группа. Пусть образ матрицы $M$ при естественном гомоморфизме колец $\varepsilon$: $M_n(\mathbb Z_p P) \to M_n(\mathbb Z_p)$, отображающем элементы группы $P$ в единицу поля $\mathbb Z_p$, – невырожденная матрица. Тогда $M$ не делитель нуля. В частности, строки матрицы $M$ независимы над $\mathbb Z_p P$. Утверждение следствия 2 верно и для групп $P\times A$, где $P$, $A$ – конечно порожденные абелевы группы, $P$ – $p$-группа, а $A$ не имеет кручения. Следствие 3. Пусть $M\in M_n(\mathbb Z_p (P\times A))$ – $(n\times n)$-матрица над групповой алгеброй, $P$ – конечно порожденная абелева $p$-группа, $A$ – конечно порожденная абелева группа без кручения. Пусть образ матрицы $M$ при естественном гомоморфизме колец $\varepsilon\colon M_n(\mathbb Z_p (P\times A)) \to M_n(\mathbb Z_p)$ – невырожденная матрица. Тогда $M$ не делитель нуля. В частности, строки матрицы $M$ независимы над $\mathbb Z_p (P\times A)$. Доказательство. Рассмотрим образ матрицы $M$ при гомоморфизме $f$: $M_n(\mathbb Z_p (P\times A)) \to M_n(\mathbb Z_p A)$, переводящем элементы группы $P$ в единицу поля $\mathbb Z_p$ и оставляющем на месте элементы группы $A$. Матрица $f(M)$ не является делителем нуля.
Действительно, групповая алгебра $\mathbb Z_p A$ вкладывается в поле рациональных дробей над собой, так как является областью целостности, поэтому свойство матрицы $f(M)$ не быть делителем нуля эквивалентно невырожденности матрицы $f(M)$ над полем рациональных дробей, т.е. неравенству нулю ее определителя. А ее определитель не равен нулю, так как по условию не равен нулю определитель матрицы $\varepsilon(M)=h(f(M))$, где $h\colon M_n(\mathbb Z_p A) \to M_n(\mathbb Z_p)$ – естественный гомоморфизм, переводящий элементы группы $A$ в единицу поля $\mathbb Z_p$. Далее заметим, что кольцо $M_n(\mathbb Z_p (P\times A))$ естественным образом изоморфно кольцу
$$
\begin{equation*}
M_n(\mathbb Z_p A) [x_1,\dots,x_l]/(x_1^{p^{k_1}}-1,\dots, x_l^{p^{k_l}}-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по следствию 1, в котором положим $R=M_n(\mathbb Z_p A)$, получаем, что $M$ – не делитель нуля, так как $f(M)$ – не делитель нуля. Вид $P\times A$ (где $P$, $A$ – из условия следствия 3) имеют все конечно порожденные абелевы группы без $p'$-кручения. От конечно порожденного случая можно перейти к бесконечно порожденному. Следствие 4. Пусть $M\in M_n(\mathbb Z_p D)$ – $(n\times n)$-матрица над групповой алгеброй, $D$ – абелева группа без $p'$-кручения. Пусть образ матрицы $M$ при естественном гомоморфизме колец $\varepsilon\colon M_n(\mathbb Z_p D) \to M_n(\mathbb Z_p)$ – невырожденная матрица. Тогда $M$ не делитель нуля. В частности, строки матрицы $M$ независимы над $\mathbb Z_p D$. Доказательство. Пусть это не так. Тогда нашлась такая ненулевая матрица $B$ над групповой алгеброй $\mathbb Z_p D$, что либо $BM=0$, либо $MB=0$.
Рассмотрим все элементы матриц $B$ и $M$. Этих элементов конечное число. В каждом из них содержится конечное число элементов группы $D$ с ненулевым коэффициентом. То есть всего элементов группы $D$, которые входят в эти матрицы с ненулевыми коэффициентами, конечное число. Рассмотрим подгруппу $H$, порожденную этими элементами. Это конечно порожденная абелева группа без $p'$-кручения. Элементы матриц $B$ и $M$ лежат в соответствующей подалгебре $\mathbb Z_p H$. Получаем, что $M$ – делитель нуля в кольце матриц над групповой алгеброй конечно порожденной абелевой группы без $p'$-кручения, чего не может быть по следствию 3. Значит, предположение о том, что $M$ – делитель нуля, неверно. Следствие 4 можно обобщить на случай бесконечных строк. Лемма 1. Пусть $D$ – абелева группа без $p'$-кручения, а $\{m_i\}_{i\in I}$ – элементы свободного модуля над групповой алгеброй $\mathbb Z_p D$ (т.е. финитные строки из элементов этой алгебры). Рассмотрим естественный гомоморфизм колец $f \colon \mathbb Z_p D \to \mathbb Z_p$, переводящий элементы группы $D$ в единицу поля $\mathbb Z_p$. Это отображение естественным образом определяет отображение из свободного модуля над $\mathbb Z_p D$ в векторное пространство над $\mathbb Z_p$. Пусть множество строк $\{f(m_i)\}_{i\in I}$ линейно независимо над $\mathbb Z_p$. Тогда $\{m_i\}_{i\in I}$ независимо над $\mathbb Z_p D$. Доказательство. Докажем от противного.
Пусть $\{m_i\}_{i\in I}$ зависимо над $\mathbb Z_p D$. Это значит, что зависимо какое-то конечное подмножество этих строк. Не нарушая общности, положим, что это подмножество состоит из строк $m_1, m_2,\dots, m_n$. По условию строки $f(m_1),f(m_2),\dots, f(m_n)$ линейно независимы над $\mathbb Z_p$. Это значит, что если записать строки $f(m_1),f(m_2),\dots, f(m_n)$ одну над другой и убрать нулевые столбцы (после этого останется только конечное число столбцов), то получится матрица с линейно независимыми строками. В частности, в этой матрице есть невырожденная квадратная подматрица размера $n\times n$. Рассмотрим соответствующую подматрицу для $m_1,m_2,\dots, m_n$. По следствию 4 строки этой матрицы независимы над $\mathbb Z_p D$. Стало быть, строки $m_1, m_2,\dots, m_n$ независимы над $\mathbb Z_p D$. Получаем противоречие – значит, предположение о зависимости множества $\{m_i\}_{i\in I}$ неверно. Лемма доказана. § 3. Доказательство основной теоремыПроведем индукцию по $n$. Если $n=1$ (т.е. группа $G$ абелева), то в качестве $\widehat G$ можно взять пополнение группы $G$. Действительно, пусть дана невырожденная (даже необязательно $p$-невырожденная) система уравнений $\{w_j=1\}_{j \in J}$ с переменными $\{x_i\}_{i \in I}$ над полной абелевой группой $H$. Группа $H$ естественным образом вкладывается в группу
$$
\begin{equation*}
R=( H \times (\times_{i\in I}\langle x_i \rangle_\infty) ) \big/\langle \{w_j\}_{j\in J}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, для инъективности естественного отображения достаточно показать, что в группе $H \times (\times_{i\in I}\langle x_i \rangle_\infty)$ верно $H \cap \langle \{w_j\}_{j\in J}\rangle=\{1\}$. Рассмотрим элемент $w_j \in H \times (\times_{i\in I}\langle x_i \rangle_\infty)$ и его компоненту в $\times_{i\in I}\langle x_i \rangle_\infty$. Группу $\times_{i\in I}\langle x_i \rangle_\infty$ можно переписать в аддитивной записи, получив $\mathbb Z$-модуль $ \sum_{i \in I}\mathbb Z \,{\cdot}\, x_i$. При этом компонента элемента $w_j$ при такой записи будет равна $m_j$ – образу $w_j$ при тривиализации. Тогда $(\times_{i\in I}\langle x_i \rangle_\infty)$-компонента произвольного элемента $w_{j_1}^{n_1}\dotsb w_{j_s}^{n_s}$ из $\langle \{w_j\}_{j\in J}\rangle$ при переходе к аддитивной записи будет равна $n_1m_{j_1}+\dots+n_s m_{j_s}$. Чтобы элемент $w_{j_1}^{n_1}\dotsb w_{j_s}^{n_s}$ лежал в $H$, нужно, чтобы его $(\times_{i\in I}\langle x_i \rangle_\infty)$-компонента была равна $1$ в мультипликативной записи, т.е. $0$ в аддитивной записи. Но так как система $\{w_j=1\}$ невырождена, элементы $m_j$ независимы над $\mathbb Z$, поэтому $n_1m_{j_1}+\dots+n_s m_{j_s}=0$, только если $n_1=\dots=n_s=0$. Значит, чтобы элемент $w_{j_1}^{n_1}\dotsb w_{j_s}^{n_s}$ лежал в $H$, нужно, чтобы этот элемент был равен $1$ (в мультипликативной записи). Это показывает, что $H \cap \langle \{w_j\}_{j\in J}\rangle=\{1\}$ в $H \times (\times_{i\in I}\langle x_i \rangle_\infty)$, а вместе с этим и инъективность естественного отображения $H\to R$. Легко видеть, что в группе $R$ система $\{w_j=1\}$ имеет решение $\{x_i\}_{i \in I}$. В силу своей полноты $H$ выделяется из $R$ прямым множителем. Образы элементов $\{x_i\}_{i \in I}$ при проекции на $H$ формируют решение системы в $H$. Пусть теперь $n>1$. Вложим группу $G$ в декартово сплетение $G_2 \,\overline\wr\, B_1$ по теореме Калужнина–Краснера (см. [9]). Далее, вложив $B_1$ в пополнение $\widehat B_1$, а $G_2$ – по индукции в группу $\widetilde G_2$, имеющую требуемый субнормальный ряд длины $n-1$, а также замкнутую относительно решения $p$-невырожденных систем над собой, мы можем вложить сплетение $G_2 \,\overline\wr\, B_1$ в сплетение $\widetilde G_2 \,\overline\wr\, \widehat B_1$. Заметим, что пополнение $\widehat B_1$ абелевой группы $B_1$ без $p'$-кручения – тоже группа без $p'$-кручения (чтобы это понять, можно рассмотреть компоненту без кручения и $p$-примарную компоненту группы $\widehat B_1$ и понять, что проекция $\widehat B_1$ на произведение этих двух компонент инъективна на $B_1 \subset \widehat B_1$). Далее нам понадобится следующая лемма. Лемма 2. Пусть $\widehat H$ – такая группа, что любая $p$-невырожденная система над ней разрешима в самой $\widehat H$. Также пусть $\widehat B$ – полная абелева группа без $p'$-кручения. Тогда любая $p$-невырожденная система уравнений над декартовым сплетением $\widehat H \,\overline\wr\, \widehat B= (\prod_{b \in \widehat B}\widehat H_b)\leftthreetimes \widehat B$ разрешима в самом сплетении $\widehat H \,\overline\wr\, \widehat B$. Доказательство. Пусть $\{v_j=1\}_{j\in J}$ – $p$-невырожденная система уравнений над $\widehat H \,\overline\wr\, \widehat B$ с множеством переменных $\{x_i\}_{i\in I}$. Рассмотрим образ этой системы при естественном отображении коэффициентов $\widehat H \,\overline\wr\, \widehat B \to \widehat B$. Это $p$-невырожденная система уравнений над полной абелевой группой $\widehat B$, поэтому она имеет решение в самой группе $\widehat B$.
Это значит, что в исходной системе $\{v_j=1\}_{j\in J}$ над группой $\widehat H \,\overline\wr\, \widehat B$ можно сделать такую замену переменных, что слова $\{v_j\}_{j\in J}$ станут словами в алфавите $\{x_i^{\pm b}\}_{i\in I, b\in \widehat B} \sqcup \prod_{b \in \widehat B}\widehat H_b$. Далее будем считать, что слова $\{v_j\}_{j\in J}$ изначально были словами в этом алфавите. Обозначим $\prod_{b \in \widehat B}\widehat H_b$ через $C$. Введем новые переменные $\{x_{ib}\}_{i\in I, \,b\in \widehat B}$ и перепишем слова $\{v_j\}_{j\in J}$ от коэффициентов из $C$ и переменных $\{x_i^{\pm 1}\}$ как слова $\{w_j\}_{j \in J}$ от коэффициентов из $C$ и переменных $\{x^{\pm 1}_{ib}\}$ так, чтобы для каждого $j\in J$ при замене переменных $x^{\pm 1}_{ib}$ на $x_i^{\pm b}$ для всех $i\in I$, $b \in \widehat B$ из слова $w_j$ получилось слово $v_j$. Иными словами,
$$
\begin{equation*}
v_j=w_j\Bigl(c_{(j,1)},\dots, c_{(j,k_j)}, x_{i_{(j,1)}}^{b_{(j,1)}}, \dots, x_{i_{(j,l_j)}}^{b_{(j,l_j)}}\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем искать решение системы $\{v_j=1\}_{j \in J}$ среди элементов подгруппы $C$. Пусть $\{\widetilde x_i\}_{i\in I}$ – набор элементов из $C$. Обозначим через $[\widetilde x_i]_b$ координату элемента $\widetilde x_i$, соответствующую множителю $\widehat H_b$. Заметим, что для каждого $d \in \widehat B$ Для каждого $i \in I$ подставим в слово $v_j$ элемент $\widetilde x_i$ вместо $x_i$. Обозначим полученный элемент подгруппы $C$ как $\widetilde v_j$ и найдем его координаты:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\widetilde v_j]_b &=w_j \Bigl( [c_{(j,1)}]_b,\dots, [c_{(j,k_j)}]_b, [\widetilde x_{i_{(j,1)}}^{b_{(j,1)}}]_b, \dots, [\widetilde x_{i_{(j,l_j)}}^{b_{(j,l_j)}}]_b \Bigr) \\ &=w_j \bigl( [c_{(j,1)}]_b,\dots, [c_{(j,k_j)}]_b, [\widetilde x_{i_{(j,1)}}]_{bb_{(j,1)}^{-1}}, \dots, [\widetilde x_{i_{(j,l_j)}}]_{bb_{(j,l_j)}^{-1}} \bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, найти решение $\{\widetilde x_i\}_{i\in I}$ системы $\{v_j=1\}_{j\in J}$ в группе $C=\prod_{b \in \widehat B}\widehat H_b$ – это то же самое, что найти такой набор $\{[\widetilde x_i]_b\}_{i\in I, b\in B}$ элементов группы $\widehat H$, что
$$
\begin{equation*}
w_j \bigl( [c_{(j,1)}]_b,\dots, [c_{(j,k_j)}]_b, [\widetilde x_{i_{(j,1)}}]_{bb_{(j,1)}^{-1}}, \dots, [\widetilde x_{i_{(j,l_j)}}]_{bb_{(j,l_j)}^{-1}} \bigr) =1
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $j\in J$ и всех $b \in \widehat B$.
Иными словами, если система уравнений
$$
\begin{equation*}
\bigl\{ w_j\bigl([c_{(j,1)}]_b,\dots, [c_{(j,k_j)}]_b, y_{i_{(j,1)},bb_{(j,1)}^{-1}},\dots, y_{i_{(j,l_j)},bb_{(j,l_j)}^{-1}}\bigr)=1 \mid j \in J,\, b \in \widehat B \bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
с переменными $\{ y_{i,b} \mid i \in I, \,b \in \widehat B\}$ разрешима в $\widehat H$, то система $\{v_j=1\}$ будет иметь решение, состоящее из элементов подгруппы $C$, а значит, будет разрешима в $\widehat H \,\overline\wr\, \widehat B$, и лемма будет доказана. Обозначим
$$
\begin{equation*}
w_j \bigl( [c_{(j,1)}]_b,\dots, [c_{(j,k_j)}]_b, y_{i_{(j,1)},bb_{(j,1)}^{-1}}, \dots, y_{i_{(j,l_j)},bb_{(j,l_j)}^{-1}} \bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
через $f_{j,b}$. По условию на группу $\widehat H$, если система $\{f_{j,b}=1\}$ $p$-невырождена, то она разрешима в $\widehat H$ (что и требуется доказать). Покажем это.
Рассмотрим $p$-тривиализацию. Пусть $m_{j,b}$ – это образ $f_{j,b}$ при $p$-тривиализации. На $\mathbb Z_p$-модуле $ \sum_{i\in I,\, b \in \widehat B} \mathbb Z_p \cdot y_{i,b}$ можно ввести структуру $\mathbb Z_p \widehat B$-модуля следующим образом: для $d \in \widehat B$ положим $d \cdot y_{i,b}=y_{i,db}$. В таком случае мы получим свободный $\mathbb Z_p \widehat B$-модуль $ \sum_{i \in I}\mathbb Z_p\widehat B \cdot y_{i,1}$. Заметим, что $m_{j,b}=b\cdot m_{j,1}$. Рассмотрим линейную комбинацию строк $m_{j,b}$, в которых индекс $j \in J$ один и тот же. Линейная комбинация $n_1m_{j,b_1}+\dots+n_sm_{j,b_s}$ равна $(n_1b_1+\dots+n_sb_s)\cdot m_{j,1}$, т.е. строке $m_{j,1}$, умноженной на элемент групповой алгебры $\mathbb Z_p\widehat B$. Теперь рассмотрим линейную комбинацию $\lambda$ строк $m_{j,b}$, где $j$ уже пробегает разные значения. Это сумма линейных комбинаций строк, в которых $j$ один и тот же. Каждая такая комбинация имеет вид $(n_1b_1+\dots+n_tb_t)m_{j,1}$. То есть вся комбинация $\lambda$ – это комбинация для каких-то индексов $j \in J$ строк $m_{j,1}$ с коэффициентами из групповой алгебры $\mathbb Z_p \widehat B$. В частности, строки $\{m_{j,b}\}_{i \in J,\, b \in \widehat B}$ линейно независимы над $\mathbb Z_p$ тогда и только тогда, когда строки $\{m_{j,1}\}_{j \in J}$ независимы над $\mathbb Z_p \widehat B$. Рассмотрим образы строк $m_{j,1}$ при естественном гомоморфизме колец $\varepsilon$: $\mathbb Z_p \widehat B \to \mathbb Z_p$, отображающем элементы группы $\widehat B$ в единицу. Образ элемента, стоящего на $i$-м месте (т.е. коэффициента перед $y_{i,1}$) в строке $m_{j,1}$, по модулю $p$ равен сумме по всем $b\in\widehat B$ всех суммарных показателей степеней элементов $y_{i,b}$ (индекс $i$ фиксирован) в слове $f_{j,1}$. Иными словами, по модулю $p$ это сумма по всем $b\in\widehat B$ показателей степеней вхождения $y_{i,b}$ в слово $w_j([c_{(j,1)}]_1,\dots, [c_{(j,k_j)}]_1, y_{i_{(j,1)},b_{(j,1)}^{-1}}, \dots, y_{i_{(j,l_j)},b_{(j,l_j)}^{-1}})$. А это по модулю $p$ то же самое, что сумма показателей степеней вхождения переменной $x_i$ в слово $v_j=w_j(c_{(j,1)},\dots, c_{(j,k_j)}, x_{i_{(j,1)}}^{b_{(j,1)}}, \dots, x_{i_{(j,l_j)}}^{b_{(j,l_j)}})$. То есть образ строки $m_{j,1}$ – это то же самое, что строка из сумм показателей степеней вхождения переменных $x_i$ в слово $v_j$ по модулю $p$. В частности, образы строк $m_{j,1}$ линейно независимы над $\mathbb Z_p$, так как система $\{v_j=1\}$ $p$-невырождена. Тогда по лемме 1 строки $m_{j,1}$ независимы над групповой алгеброй $\mathbb Z_p \widehat B$. Таким образом, показана $p$-невырожденность системы $\{f_{j,b}=1\}$. Значит, эта система разрешима в $\widehat H$, что и требовалось доказать. Лемма 2 доказана. После того, как лемма 2 доказана, можно применить ее к сплетению $\widetilde G_2 \,\overline\wr\, \widehat B_1$ – получаем, что любая $p$-невырожденная система уравнений над этой группой разрешима в ней самой. Так как в эту группу вкладывается $G$, можно взять группу $\widetilde G_2 \,\overline\wr\, \widehat B_1$ в качестве $\widehat G$. Для группы $\widehat G$ верно заключение теоремы: у нее есть субнормальный ряд длины $n$ требуемого вида, а любая $p$-невырожденная система уравнений над группой $\widehat G$ разрешима в самой же группе $\widehat G$. Таким образом, теорема 7 доказана. Замечание 1. Если в условии теоремы 7 $n$ (длина субнормального ряда) является также ступенью разрешимости группы $G$, то получаем, что любая $p$-невырожденная система над $G$ имеет решение в разрешимой группе той же ступени разрешимости, что и у $G$. Замечание 2. Аналог леммы 1 в случае, когда $D$ – абелева группа без кручения, а $\mathbb Z_p$ заменено на $\mathbb Q$, также верен. Благодаря этому (повторив доказательство теоремы) можно усилить результат из статьи [7]: для каждой группы $G$, обладающей субнормальным рядом с абелевыми факторами без кручения (последний фактор может обладать кручением), есть такая группа $\widetilde G \supset G$ с похожим субнормальным рядом, что в ней есть решение любой невырожденной системы над $G$ (и даже над $\widetilde G$). В [7] для каждой невырожденной системы над группой $G$ могла получиться своя группа решений. Замечание 3. Если заменить условие отсутствия $p'$-кручения в группе на условие отсутствия $\{p,q\}'$-кручения (т.е. на условие, при котором конечные порядки элементов группы не могут делиться на простые числа не из $\{p,q\}$), а $p$-невырожденность системы – на $\{p,q\}$-невырожденность (т.е. на одновременно $p$-невырожденность и $q$-невырожденность), то такая теорема уже не верна. Это показывает пример порядка $42$ из [7; утверждение 1, а]: в субнормальном ряду этой группы первый фактор не имеет $\{2,3\}'$-кручения, а уравнение над ней унимодулярно, однако уравнение не имеет решения в метабелевых группах. То есть на случай двух и более простых чисел основная теорема не обобщается. Более того, для каждой пары простых чисел $p$ и $q$ есть пример метабелевой группы с первым фактором без $\{p,q\}'$-кручения, над которой есть унимодулярное уравнение, не имеющее решения в метабелевых группах. Пример 2. Пусть $p$, $q$ – два различных простых числа. Рассмотрим метабелеву группу $G=\langle c \rangle_2 \,{\wr}\, (\langle a \rangle_p \times \langle b \rangle_q)$. Она имеет порядок $2^{pq}pq$. Заметим, что $c c^{ab}=[c,ab]$ – элемент коммутанта группы $G$. Так как $p$ и $q$ взаимно просты, найдутся такие целые числа $n,m$, что $np+mq=1$. Тогда рассмотрим уравнение
$$
\begin{equation*}
x^n\cdot x^{na}\dotsb x^{na^{p-1}}\cdot x^m\cdot x^{mb}\dotsb x^{mb^{q-1}}=c c^{ab}
\end{equation*}
\notag
$$
над группой $G$. Так как $np+mq=1$, это уравнение унимодулярно. При этом его правая часть – элемент коммутанта группы $G$. Пусть это уравнение решено в какой-то метабелевой группе $\widetilde G \supset G$ и $\widetilde x \in \widetilde G$ – его решение. При факторизации по коммутанту $\widetilde G/\widetilde G'$ равенство
$$
\begin{equation*}
\widetilde x^n\cdot \widetilde x^{na}\dotsb \widetilde x^{na^{p-1}}\cdot \widetilde x^m\cdot \widetilde x^{mb}\dotsb \widetilde x^{mb^{q-1}}=c c^{ab}
\end{equation*}
\notag
$$
превращается в $\widetilde x=1$. Значит, $\widetilde x$ – элемент коммутанта группы $\widetilde G$. Так как группа $\widetilde G$ метабелева, из этого следует, что $\widetilde x$ коммутирует со своими сопряженными. Применяя для простоты запись вида $\widetilde x^g \widetilde x^h=\widetilde x^{g+h}$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\widetilde x^n\cdot \widetilde x^{na}\dotsb \widetilde x^{na^{p-1}}\cdot \widetilde x^m\cdot \widetilde x^{mb}\dotsb \widetilde x^{mb^{q-1}})^{1+ab} \\ &\qquad =\widetilde x^{(n(1+b)(1+a+\dots+a^{p-1})+m(1+a)(1+b+\dots+b^{q-1}) )} \\ &\qquad =(\widetilde x^n\cdot \widetilde x^{na}\dotsb \widetilde x^{na^{p-1}}\cdot \widetilde x^m\cdot \widetilde x^{mb}\dotsb \widetilde x^{mb^{q-1}})^{a+b}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Однако
$$
\begin{equation*}
(c c^{ab})^{1+ab}=c^{1+2ab+a^2b^2}\neq c^{a+b+a^2b+ab^2}=(c c^{ab})^{a+b}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем противоречие: комбинации сопряженных к левой части равны, а такие же комбинации сопряженных к правой части не равны. Значит, предположение о нахождении решения в метабелевой группе неверно. Замечание 4. Как можно видеть из доказательства теоремы 7, последний фактор $\widehat G_n / \widehat G_{n+1}$ субнормального ряда группы $\widehat G$ – это декартова степень пополнения группы $B_n=G_n/G_{n+1}=G_{n}$. Поэтому если фактор $B_n$ не имеет $p'$-кручения (как и остальные факторы ряда группы $G$), то и последний фактор $\widehat G_n / \widehat G_{n+1}$ ряда группы $\widehat G$ не имеет $p'$-кручения. Более общее замечание: в факторе $\widehat G_n / \widehat G_{n+1}$ есть элементы тех же простых порядков, которые есть в $B_n$. То есть, например, если $B_n$ – это $\langle b \rangle_{30}$, то у $\widehat G_n / \widehat G_{n+1}$ есть элементы простых порядков $2$, $3$ и $5$ и нет элементов порядков $7$, $13$ или $19$. § 4. Доказательство минимальностиВ этом параграфе будем называть контрпримерами те разрешимые группы, над которыми не любое унимодулярное уравнение имеет решение в группе с той же ступенью разрешимости. “Контрпример” здесь означает контрпример к утверждению “любое унимодулярное уравнение над разрешимой группой имеет решение в разрешимой группе той же ступени разрешимости”. Из теоремы 7 следует, что если метабелева группа $G$ является расширением абелевой группы при помощи абелевой $p$-группы для какого-то простого числа $p$, то любое унимодулярное уравнение над $G$ имеет решение в метабелевой группе, так как унимодулярные уравнения $p$-невырождены для любого простого $p$. Если к тому же $G$ абелева, то унимодулярные уравнения над $G$ имеют решения в самой $G$. То есть в таком случае $G$ не может быть контрпримером. Это поможет показать, что метабелевы группы порядка не более чем $41$ не могут быть контрпримерами. Таким образом, будет показано, что минимальный контрпример по порядку – это действительно группа из утверждения 2. Рассмотрим метабелевы группы порядка не более чем $41$. Для начала заметим, что если порядок группы $G$ равен $p^k$, где $p$ – простое число, то $G$ нильпотентна, а унимодулярные уравнения над нильпотентной группой разрешимы в самой этой группе по теореме Шмелькина (см. [14]). Поэтому группы порядка $p^k$ (даже не обязательно метабелевы) не являются контрпримерами. В нашем случае это группы порядков $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $7$, $8$, $9$, $11$, $13$, $16$, $17$, $19$, $23$, $25$, $27$, $29$, $31$, $32$, $37$ и $41$. Далее заметим, что неабелева группа порядка $pq$, где $p<q$ – два различных простых числа, – это (если она существует) расширение $\langle g \rangle_q$ при помощи $\langle h \rangle_p$. Это, например, можно увидеть в [3]. Поэтому и группы порядков $6$, $10$, $14$, $15$, $21$, $22$, $26$, $33$, $34$, $35$, $38$ и $39$ контрпримерами быть не могут. Также верен факт, что в группе порядка $p^2 q$, где $p$, $q$ – различные простые числа, одна из силовских подгрупп нормальна (это также можно видеть в [3]). То есть такая группа – либо расширение группы порядка $p^2$ (т.е. абелевой $p$-группы) при помощи $\langle g \rangle_q$, либо расширение $\langle g \rangle_q$ при помощи абелевой $p$-группы. В обоих случаях такая группа не является контрпримером. Это исключает из рассмотрения порядки $12$, $18$, $20$ и $28$. В табл. 1 обведены порядки групп, которые осталось рассмотреть. Это порядки $24$, $30$, $36$ и $40$. Таблица 1.Рассмотренные и нерассмотренные порядки групп
Пусть метабелева группа $G$ имеет один из этих порядков. Рассмотрим максимальную абелеву подгруппу $H$, содержащую коммутант группы $G$. Тогда подгруппа $H$ будет нормальной, а факторгруппа $G/H$ будет абелевой (в силу того, что $H$ содержит коммутант). Также заметим, что централизатор подгруппы $H$ в группе $G$ – это в точности группа $H$, так как если элемент $g$ лежит в централизаторе $H$, но не в самой $H$, то подгруппа $\langle g, H \rangle$ тоже будет абелевой и будет строго содержать $H$, что противоречит максимальности $H$. Иными словами, если рассмотреть действие $G$ на $H$ сопряжениями, то мы получим вложение $G/H$ в $\operatorname{Aut}(H)$. Теперь рассмотрим каждый из этих порядков по отдельности. Порядок $24$: подгруппа $H$ не может иметь порядок $1$ или $2$ (так как тогда $H$ была бы центральной подгруппой). Если $H$ имеет порядок $3$, $6$, $8$, $12$ или $24$, то факторгруппа $G/H$ будет абелевой $p$-группой (либо $G$ сама будет абелевой). В таком случае $G$ не является контрпримером. Осталось рассмотреть случай $|H|=4$. Тогда $H$ – это либо $\langle h \rangle_4$, либо $V_4$. Значит, $\operatorname{Aut}(H)$ – это либо $\langle a \rangle_2$, либо $S_3$. Так как $G/H$ вкладывается в $\operatorname{Aut}(H)$ и имеет порядок $6$, $\operatorname{Aut}(H)\,{\cong}\, S_3$. Но $G/H$ – циклическая группа порядка $6$ (так как абелева) и не может вкладываться в $S_3$. Поэтому случай $|H|=4$ невозможен. Получаем, что если $|G|=24$, то $G$ не является контрпримером. Порядок $30$: опять же, подгруппа $H$ не может иметь порядок $1$ или $2$. Если подгруппа $H$ имеет порядок $6$, $10$ или $15$, то $G/H$ – абелева $p$-группа (либо $G$ сама абелева). Если же $|H|=3$ или $5$, то $\operatorname{Aut}(H)$ имеет порядок либо $2$, либо $4$, и факторгруппа $G/H$ (имеющая порядок $10$ или $6$) не может быть вложена в $\operatorname{Aut}(H)$. То есть $|H|$ не может быть равным $3$ или $5$. Получается, что если $|G|=30$, то $G$ также не может быть контрпримером. Порядок $36$: если $H$ имеет порядок $4$, $9$, $12$, $18$ или $36$, то $G/H$ – абелева $p$-группа (либо $G$ сама абелева). При этом $H$ не может иметь порядок $1$, $2$ (иначе $H$ была бы центральной), $3$ (так как тогда $|\operatorname{Aut}(H)|=2$, а $|G/H|=18$) или $6$ (так как тогда $|\operatorname{Aut}(H)|=2$, а $|G/H|=6$). Следовательно, в таком случае $G$ тоже не будет контрпримером. Порядок $40$: если $H$ имеет порядок $5$, $8$, $10$, $20$ или $40$, то $G/H$ – абелева $p$-группа (либо $G$ сама абелева). При этом $H$ не может иметь порядок $1$, $2$ (иначе $H$ была бы центральной) или $4$ (так как $|\operatorname{Aut}(H)|=2$ или $6$, а $|G/H|\,{=}\,10$). Значит, и в этом случае $G$ не является контрпримером. В итоге мы выяснили, что метабелева группа порядка не более чем $41$ не может быть контрпримером. Вместе с наличием контрпримера порядка $42$ получаем доказательство утверждения 2. § 5. Открытые вопросыВопрос 1. Есть ли пример разрешимой группы ступени разрешимости большей чем $2$, над которой не все унимодулярные уравнения имеют решение в разрешимых группах той же ступени разрешимости? Вопрос 2. В частности, есть ли пример разрешимой группы порядка меньшего чем $42$, но ступени разрешимости большей чем $2$, над которой не все унимодулярные уравнения имеют решение в разрешимых группах той же ступени разрешимости? Например, является ли $S_4$ (группа порядка $24$ и ступени разрешимости $3$) таким примером? Эта группа не обладает субнормальным рядом, подходящим под условие основной теоремы. Вопрос 3. Верно ли, что каждое унимодулярное уравнение над группой из утверждения 2 имеет решение в разрешимой группе? 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mik24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|