| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Плотность сумм сдвигов одной функции в пространстве Н. А. Дюжинаab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10011e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ действительном пространстве $L^{0}_{p}(\mathbb{T})$ функций с нулевым средним, суммируемых в $p$-й степени на окружности $\mathbb{T}$, $1\leqslant p <\infty$, существует функция $f$, суммы сдвигов которой плотны в $L^{0}_{p}(\mathbb{T})$ (см. [1], в этой работе выделены целые классы таких функций). Существует функция, определенная на действительной оси $\mathbb{R}$, суммы сдвигов которой плотны во всех действительных пространствах $L_{p}(\mathbb{R})$ при $2 \leqslant p <\infty$ (см. [2]). В действительном пространстве $l_{2}(\mathbb{Z})$ двусторонних последовательностей существует такой элемент, что суммы его сдвигов плотны во всех действительных пространствах $l_{p}(\mathbb{Z})$, $2 \leqslant p <\infty$ (см. [3]). В работе [4] эти результаты перенесены на многомерный случай, т.е. соответственно на случай тора $\mathbb{T}^{d}$, пространства $\mathbb{R}^{d}$ и решетки $\mathbb{Z}^{d}$, где $d \in \mathbb{N}$. В работе [5] найдены достаточные условия на функцию $f$, при выполнении которых суммы функций вида $f(\alpha x - \theta)$, $ \alpha \in A \subset \mathbb{R}$, $\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}$, плотны в действительном пространстве $L_{p}$ на прямой или на ее компактном подмножестве. Обзор результатов о плотности сумм сдвигов одной функции см. в [6]. В связи с этими результатами естественным образом возникает следующая задача, сформулированная в [6]. Задача 1. Пусть $G$ – локально компактная абелева группа с мерой Хаара $m$. Существует ли функция $f$, определенная на этой группе, для которой суммы ее сдвигов: a) плотны в действительном пространстве $L_{2}(G)$ (в случае некомпактной группы $G$); b) плотны в действительном пространстве (в случае компактной группы $G$)? Выделение компактного случая в задаче 1 объясняется следующим соображением. Если $G$ – компактная абелева группа, то ее мера Хаара $m(G) < \infty$ (см. [7; гл. 4, § 15, теорема 15.9]). Тогда для всякой функции $f \in L_{2}(G)$ суммы (1.1) ее сдвигов не могут быть плотны во всем пространстве $L_{2}(G)$: в этом случае определено среднее значение $\displaystyle \int_{G}f(g)\,dm(g)=\alpha$ функции $f$, и суммами (1.1) не могут быть приближены функции, у которых среднее значение не принадлежит множеству $\{n\alpha\colon n \in \mathbb{N} \}$. Цель настоящей работы – дать исчерпывающий ответ на вопрос b) задачи 1, а именно доказать следующий результат. Теорема 1. Пусть $G$ – нетривиальная компактная абелева группа. Функция $f\colon G \to \mathbb{R}$, для которой суммы (1.1) сдвигов плотны в действительном пространстве $L_{2}^{0}(G)$, существует тогда и только тогда, когда $G$ связная и имеет счетную группу характеров. Отметим, что, если $G$ – тривиальная группа, т.е. состоящая из одного нейтрального элемента, пространство $L_{2}^{0}(G)$ состоит только из тождественно нулевой функции, суммы сдвигов которой плотны в этом пространстве. § 2. Вспомогательные леммыВсюду ниже $f_{g}(\cdot)=f(\cdot+g)$ – сдвиг функции $f$ на элемент $g \in G$. Докажем несколько вспомогательных лемм. Лемма 1. Если $G$ – конечная нетривиальная абелева группа, то не существует функции $f\colon G \to \mathbb{R}$, для которой суммы (1.1) сдвигов плотны в действительном пространстве $L_{2}^{0}(G)$. Доказательство. Зафиксируем действительную функцию $f \in L_{2}^{0}(G)$ и занумеруем элементы группы: $G= \{g_{1}, g_{2}, \dots , g_{N} \}$, $ N \geqslant 2$. Всякий элемент $g_{k}$ является атомом меры $m$, а $m(g_{k})=1/N$. Каждую функцию $h\colon G \to \mathbb{R}$ будем представлять в виде вектора ее значений $(h(g_{1}), h(g_{2}), \dots , h(g_{N}))$, а пространство $L_{2}^{0}(G)$ – в виде пространства $L$ векторов длины $N$ с нулевой суммой координат. Так как функция $f$ имеет нулевое среднее, для каждого $g \in G$ выполнено равенство $\sum_{n=1}^{N} f(g+g_{n})=0$. Следовательно,
Рассмотрим множество сумм сдвигов функции $f$:
$$
\begin{equation}
S :=\biggl\{ \sum_{k=1}^{m} f_{h_{k}}\colon h_{k} \in G, \ m \in \mathbb{N} \biggr\} =\biggl\{ \sum_{n=1}^{N} \nu_{n}f_{g_{n}}\colon \nu_{n} \in \mathbb{N} \cup \{0\} \biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Из (2.1) и (2.2) получаем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S&=\biggl\{ \sum_{n=1}^{N-1} \nu_{n}f_{g_{n}} - \nu_{N}\biggl( \sum_{n=1}^{N-1} f_{g_{n}} \biggr)\colon \nu_{n} \in \mathbb{N} \cup \{0\} \biggr\} \\ &=\biggl\{ \sum_{n=1}^{N-1} (\nu_{n} - \nu_{N})f_{g_{n}}\colon \nu_{n} \in \mathbb{N} \cup \{0\} \biggr\} =\biggl\{ \sum_{n=1}^{N-1} \lambda_{n}f_{g_{n}}\colon \lambda_{n} \in \mathbb{Z} \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если векторы $f_{g_{n}}$, $ n=1,\dots ,N-1$, линейно независимы, то множество $S$, а значит, и его замыкание $\overline{S}$, является целочисленной решеткой, натянутой на эти векторы, поэтому замыкание $\overline{S}$ не может совпадать с пространством $L$ размерности $N-1$. Если векторы $f_{g_{n}}$, $ n=1,\dots ,N-1$, линейно зависимы, то $\overline{S}$ содержится в подпространстве размерности не более $N-2$, а значит, не может совпадать с пространством $L$ размерности $N-1$.
Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть $G$ – компактная абелева группа, $H$ – ее замкнутая подгруппа. Если существует функция $f_{0}\colon G \to \mathbb{R}$, суммы сдвигов которой плотны в действительном пространстве $L_{2}^{0}(G)$, то существует функция $F_{0}$: $G/H \to \mathbb{R}$, суммы сдвигов которой плотны в действительном пространстве $L_{2}^{0}(G/H)$. Доказательство. Так как $G$ – компактная абелева группа и $H$ – ее замкнутая подгруппа, $G/H$ является компактной абелевой группой (см. [7; гл. 2, § 5, теорема 5.22] и [8; приложение B, § B6]). Будем обозначать смежный класс элемента $x \in G$ по подгруппе $H$ через $\widehat{x}$. Согласно [8; гл. 2, § 2.7.3] на группах $G, H$ и $G/H$ соответственно существуют меры Хаара $m_{G}, m_{H}, m_{G/H}$ такие, что $m_{H}(H)=1$ и для каждой функции $f \in L_{1}(G)$ на группе $G/H$ корректно определена функция
причем отображение $T\colon f \mapsto F$ является ограниченным линейным оператором $T\colon L_{1}(G) \to L_{1}(G/H)$, и выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\int_{G}f\,dm_{G}=\int_{G/H}F(\widehat{x})\,dm_{G/H}(\widehat{x}).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Так как $f_{0} \in L_{2}^{0}(G)$ и группа $G$ компактна, $f_{0} \in L_{1}(G)$ и определена функция $F_{0}=Tf_{0} \in L_{1}(G/H)$. Используя равенство (2.4) для функций $f_{0}, |f_{0}|^{2} \in L_{1}(G)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{G/H}F_{0}(\widehat{x})\,dm_{G/H}(\widehat{x})=\int_{G}f_{0}\,dm_{G}=0, \\ &\int_{G/H}|F_{0}(\widehat{x})|^{2}\,dm_{G/H}(\widehat{x})=\int_{G/H} \biggl| \int_{H}f_{0}(x+y)\,dm_{H}(y) \biggr|^{2}\,dm_{G/H}(\widehat{x}) \\ &\qquad \leqslant \int_{G/H} \int_{H} |f_{0}(x+y)|^{2}\,dm_{H}(y)\,dm_{G/H}(\widehat{x}) \\ &\qquad= \int_{G}|f_{0}(x)|^{2}\,dm_{G}(x)=\| f_{0} \|_{L_{2}(G)}^{2} < \infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $F_{0} \in L_{2}^{0}(G/H)$. Докажем, что суммы сдвигов функции $F_{0}$ плотны в пространстве $L_{2}^{0}(G/H)$. Зафиксируем функцию $P \in L_{2}^{0}(G/H)$ и определим функцию $p$ на группе $G$ равенством $p(g):=P(\widehat{g})$. Ясно, что $P=Tp$. Согласно [9; гл. VIII, § 39, теорема 3] функция $p$ принадлежит $L_{1}(G)$, причем
$$
\begin{equation*}
\int_{G}p\,dm_{G}=\int_{G/H} P\,dm_{G/H}=0, \qquad \int_{G}|p|^{2}\,dm_{G}= \int_{G/H} |P|^{2}\,dm_{G/H} < \infty .
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $p \in L_{2}^{0}(G)$, и по условию для любого $\varepsilon>0$ найдутся такие $n \in \mathbb{N}$, $ g_{k} \in G$, $ k=1,\dots ,n$, что
$$
\begin{equation}
\biggl\| p(g) - \sum_{k=1}^{n}f_{0}(g+g_{k}) \biggr\|_{L_{2}(G)} < \varepsilon.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Используя определение функции $F_{0}$, равенства (2.3) и (2.4) для функции $|p(\cdot) - \sum_{k=1}^{n}f_{0}(\cdot+g_{k})|^{2}$ и оценку (2.5), получаем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\| P(\widehat{g}) - \sum_{k=1}^{n}F_{0}(\widehat{g}+\widehat{g_{k}}) \biggr\|_{L_{2}(G/H)}^{2} \\ &\qquad =\int_{G/H} \biggl| \int_{H} \biggl( p(g+y) - \sum_{k=1}^{n}f_{0}(g+g_{k}+y) \biggr)\,dm_{H}(y) \biggr|^{2}\,dm_{G/H}(\widehat{g}) \\ &\qquad \leqslant \int_{G/H} \biggl( \int_{H} \biggl| p(g+y) - \sum_{k=1}^{n}f_{0}(g+g_{k}+y) \biggr|^{2}\,dm_{H}(y) \biggr)\,dm_{G/H}(\widehat{g}) \\ &\qquad =\int_{G} \biggl| p(g) - \sum_{k=1}^{n}f_{0}(g+g_{k}) \biggr|^{2}\,dm_{G}(g) < \varepsilon^{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это и означает, что суммы сдвигов функции $F_{0}$ плотны в пространстве $L_{2}^{0}(G/H)$.
Лемма 2 доказана. Через $G^{*}$ будем обозначать группу непрерывных характеров группы $G$, а через $\mathbb{I}$ – тождественно единичный характер на $G$. Пусть $H$ – замкнутая подгруппа локально компактной абелевой группы $G$ и $H^{\perp}$ – множество всех таких $\gamma \in G^{*}$, что $\gamma(h)=1$ для всех $h \in H$. Множество $H^{\perp}$ называется аннулятором $H$. Согласно [8; гл. 2, § 2.1.1] $H^{\perp}$ – замкнутая подгруппа группы $G^{*}$. Лемма 3. Пусть $G$ – несвязная компактная абелева группа. Тогда не существует функции $f$ в действительном пространстве $L_{2}^{0}(G)$, для которой суммы сдвигов (1.1) были бы плотны в этом пространстве. Доказательство. Согласно [7; гл. 6, § 24, теорема 24.25] группа характеров $G^{*}$ несвязной компактной абелевой группы $G$ имеет кручение, т.е. существует нетривиальный элемент $\chi_{0} \in G^{*}$ конечного порядка $n_{0} \geqslant 2$. Следовательно, $\Xi :=\{\chi_{0}, \chi_{0}^{2}, \dots , \chi_{0}^{n_{0}} \equiv \mathbb{I} \} $ является замкнутой подгруппой порядка $n_{0}$ группы $G^{*}$. Пусть $H=\Xi^{\perp}$ – аннулятор подгруппы $\Xi \subset G^{*}$. Тогда $H$ является замкнутой подгруппой $(G^{*})^{*}$, а значит, по теореме двойственности Понтрягина (см. [8; гл. 1, § 1.7.2]) $H$ является замкнутой подгруппой $G$, а факторгруппа $G/H$ совпадает с факторгруппой $(G^{*})^{*}/\,\Xi^{\perp}$. Согласно [8; гл. 2, § 2.1.2] факторгруппа $(G^{*})^{*}/\,\Xi^{\perp}$ топологически изоморфна $\Xi^{*}$. Согласно [7; гл. 6, § 23.27, п. d)] группа характеров $\Xi^{*}$ конечной абелевой группы $\Xi$ топологически изоморфна ей самой. Таким образом, в компактной абелевой несвязной группе $G$ существует такая замкнутая подгруппа $H$, что факторгруппа $G/H$ топологически изоморфна конечной группе $\Xi$ порядка $n_{0} \geqslant 2$.
Предположим, что существует функция $f$ в действительном пространстве $L_{2}^{0}(G)$, для которой суммы (1.1) плотны в этом пространстве. Тогда по лемме 2 существует функция $F$ в действительном пространстве $L_{2}^{0}(G/H)$, суммы сдвигов которой плотны в этом пространстве. Но группа $G/H$ является конечной нетривиальной абелевой группой. Получено противоречие с леммой 1. Лемма 3 доказана. Лемма 4. Пусть $G$ – компактная нетривиальная абелева группа и ее группа характеров $G^{*}$ не является счетной. Тогда не существует функции $f$ в действительном пространстве $L_{2}^{0}(G)$, для которой суммы сдвигов (1.1) были бы плотны в этом пространстве. Доказательство. Если в группе $G^{*}$ конечное число элементов, то согласно [7; гл. 6, § 23.27, п. d)] $G$ топологически изоморфна $G^{*}$, поэтому $G$ – нетривиальная конечная абелева группа, и требуемое утверждение следует из леммы 1.
Рассмотрим случай, когда группа $G^{*}$ более чем счетна. Пусть $f \in L_{2}^{0}(G)$. По теореме о полноте системы характеров компактной абелевой группы (см. [10; гл. III, § 2, теорема 3.9]) группа характеров $G^{*}$ является ортонормированным базисом в $L_{2}(G)$, в частности, функция $f$ раскладывается в ряд Фурье по системе характеров:
$$
\begin{equation*}
f(g)=\sum_{\alpha}c_{\alpha}\chi_{\alpha}(g), \qquad G^{*}=\{ \chi_{\alpha} \},
\end{equation*}
\notag
$$
причем множество коэффициентов $c_{\alpha}$, не равных 0, не более чем счетно (иначе не выполнено равенство Парсеваля). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f(g)=\sum_{k \in \mathbb{N}}c_{\alpha_{k}}\chi_{\alpha_{k}}(g), \qquad c_{\alpha_{k}} \neq 0, \\ f(g+h)=\sum_{k \in \mathbb{N}}c_{\alpha_{k}}\chi_{\alpha_{k}}(h)\chi_{\alpha_{k}}(g). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда суммы сдвигов функции $f$ лежат в замкнутом подпространстве $L$ действительного пространства $L_{2}^{0}(G)$, порожденном функциями $\chi_{\alpha_{k}}$, $ k \in \mathbb{N}$, и так как базис $L_{2}^{0}(G)$ несчетен, $L$ не совпадает с $L_{2}^{0}(G)$.
Лемма 4 доказана. § 3. Доказательство теоремы 1 Доказательство. Необходимость следует из лемм 3 и 4.
Достаточность. Пусть теперь $G$ – связная компактная абелева группа со счетной группой характеров $G^{*}$. Доказательство существования искомой функции разобьем на несколько пунктов. 1. Пусть $\chi$ – некоторый непрерывный характер на группе $G$, $\mathbf{0}$ – нуль группы $G$, $\mathbb{I}$ – единица группы $G^{*}$. Тогда $\overline{\chi}$ также является непрерывным характером на $G$, причем $\chi \equiv \overline{\chi}$ на $G$ тогда и только тогда, когда $\chi$ принимает на $G$ только значения $\pm 1$. Но $\chi(\mathbf{0})=1$, а группа $G$ связна, поэтому $\chi \equiv \overline{\chi}$ тогда и только тогда, когда $\chi \equiv \mathbb{I}$. Таким образом, группа $G^{*}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
G^{*}=\{ \chi_{\nu} \}_{\nu=1}^{\infty} \sqcup \{ \overline{\chi}_{\nu} \}_{\nu=1}^{\infty} \sqcup \{ \mathbb{I} \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что группа $G^{*}$ обладает дискретной топологией (см. [8; гл. 1, § 2, теорема 1.2.5]) и компактные подмножества группы $G^{*}$ – в точности ее конечные подмножества. По теореме о полноте системы характеров компактной абелевой группы (см. [10; гл. III, § 2, теорема 3.9]) $G^{*}$ образует ортонормированный базис в $L_{2}(G)$, и всякая действительная функция $f \in L_{2}^{0}(G)$ раскладывается в ряд Фурье по системе $G^{*}$:
$$
\begin{equation*}
f(g)=\sum_{\nu=1}^{\infty}c_{\nu}\chi_{\nu}(g)+\sum_{\nu=1}^{\infty}\overline{c_{\nu}} \overline{\chi}_{\nu}(g), \qquad c_{\nu} \in \mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем искать функцию $f$ с плотными в $L_{2}^{0}(G)$ суммами сдвигов в виде
$$
\begin{equation}
f(g)=\sum_{\nu=1}^{\infty}c_{\nu}(\chi_{\nu}(g)+\overline{\chi}_{\nu}(g)), \qquad c_{\nu} \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
2. Согласно [7; гл. 6, § 24, теорема 24.15] топологический вес $\mu(G)$ компактной абелевой группы $G$ совпадает с мощностью группы $G^{*}$, т.е. счетен. Согласно [7; гл. 6, § 25, теорема 25.14] если топологический вес $\mu(G)$ связной компактной абелевой группы $G$ не больше континуума, то $G$ монотетична, т.е. существует элемент $g_{0} \in G$ такой, что $\overline{\{ ng_{0}\colon n \in \mathbb{Z} \}}=G$. Согласно [7; гл. 6, § 25, теорема 25.11] любой неединичный характер не равен единице на элементе $g_{0}$: $\chi_{\nu}(g_{0}) \neq 1$, $ \nu \in \mathbb{N}$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\forall\, k \in \mathbb{N} \quad \exists\, \delta_{k}>0\colon \quad|\chi_{\nu}(g_{0}) - 1| \geqslant \delta_{k} \quad \text{при } \ \nu=1,\dots,k.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для каждого $k \in \mathbb{N}$ зафиксируем $\varepsilon_{k} \in (0, \delta_{k}/k)$. По теореме Дирихле о совместных приближениях (см. [11; гл. 1, § 5]) можно найти такую последовательность $\{ N_{k} \}_{k=0}^{\infty}$ натуральных чисел, что
$$
\begin{equation}
N_{0}=1, \qquad N_{k} \geqslant kN_{k-1} \quad \text{и} \quad |(\chi_{\nu}(g_{0}))^{N_{k}} - 1| < \varepsilon_{k}, \qquad \nu=1,\dots,k, \quad k \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
в частности, последовательность $\{ N_{k} \}_{k=0}^{\infty}$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
N_{k+m} \geqslant (k+m)(k+m-1)\dotsb(k+1)N_{k}, \qquad k, m \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
3. Согласно [7; гл. 6, § 25, теорема 25.18, 2 $\Rightarrow$ 3] для связной компактной абелевой группы $G$ существует гомоморфизм $\varphi\colon G^{*} \to \mathbb{R}_{d}$, где $\mathbb{R}_{d}$ – группа действительных чисел относительно операции сложения, наделенная дискретной топологией. По другой части этой же теоремы (см. [7; гл. 6, § 25, теорема 25.18, 3 $\Rightarrow$ 1]) $G$ соленоидальна, т.е. существует непрерывный гомоморфизм $\tau \colon \mathbb{R} \to G$ такой, что $\overline{\tau(\mathbb{R})}=G$, причем из доказательства следует тождество
$$
\begin{equation}
\forall\, \chi \in G^{*} \quad \forall\, t \in \mathbb{R}\colon\quad \chi(\tau(t))= \exp(it\varphi(\chi)).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
a_{m} :=\min \biggl\{\frac{1}{2^{m}}, \frac{1}{(m^{2}|\varphi(\chi_{m})|)}\biggr \}, \qquad m \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Здесь $\varphi(\chi_{m}) \ne 0$, поскольку иначе $\chi_{m} \equiv 1$ в силу тождества (3.5) и плотности образа гомоморфизма $\tau$ в $G$.
4. Покажем, что функция
$$
\begin{equation}
\rho(g, h) :=\sum_{m=1}^{\infty}a_{m} |\chi_{m}(g) - \chi_{m}(h)|, \qquad g, h \in G,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
является метрикой на $G$. Функция $\rho$ определена корректно, так как из равенств (3.6) получаем оценку $\rho(g,h) \leqslant \sum_{m=1}^{\infty} 1/2^{m-1}=2$, $ g, h \in G$. Ясно, что $\rho$ неотрицательна, симметрична, и в силу неравенства треугольника для модуля удовлетворяет неравенству треугольника. Если $\rho(g, h)=0$, то $\chi_{m}(g)=\chi_{m}(h)$ для каждого $m \in \mathbb{N}$, а значит, $(\alpha(g-h))(\chi)=\chi(g-h)=1$ для всякого $\chi \in G^{*}$, где $ \alpha\colon G \to (G^{*})^{*}$ – канонический изоморфизм (см. [8; гл. 1, § 1.7.1, § 1.7.2]). Поэтому $\alpha(g-h)$ – единица группы $(G^{*})^{*}$, а тогда $g-h= \mathbf{0}$. Из (3.7) следует оценка
$$
\begin{equation}
|\chi_{m}(g) - \chi_{m}(h)|=|\overline{\chi}_{m}(g) - \overline{\chi}_{m}(h)| \leqslant \frac{\rho(g,h)}{a_{m}}, \qquad m \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
значит, каждый характер $\chi \in G^{*}$ липшицев относительно метрики $\rho$. Кроме того, из определения метрики $\rho$ следует ее инвариантность относительно сдвигов.
Докажем теперь, что топология, индуцированная на $G$ метрикой $\rho$, совпадает с топологией группы $G$. Согласно [8; гл. 1, § 1.2.6] и [8; гл. 1, § 1.7.2] базой топологии на группе $G$ является семейство множеств вида
$$
\begin{equation*}
N(x, C, r)=\{ y \in G\colon |\gamma(y)-\gamma(x)|<r\text{ для всех }\gamma \in C \},
\end{equation*}
\notag
$$
где $x \in G$, $C$ – компакт в $G^{*}$, $r>0$. Покажем сначала, что для всяких $\varepsilon>0$ и $x \in G$ существуют компакт $C \subset G^{*}$ и $r>0$ такие, что $N(x, C, r) \subset B_{\varepsilon}(x) :=\{ y \in G\colon\rho(x, y) < \varepsilon \}$. Выберем такое $M \in \mathbb{N}$, что $1/2^{M} < \varepsilon/4$, и положим $r:= \varepsilon/2$, $C:=\{ \chi_{1},\dots ,\chi_{M} \}$. Тогда для каждого $y \in N(x, C, r)$ и $m=1,\dots,M$ выполнена оценка $|\chi_{m}(y)-\chi_{m}(x)|<r$, следовательно, по определению коэффициентов $a_{m}$, $m \in \mathbb{N}$,
$$
\begin{equation*}
\rho(x, y) \leqslant \sum_{m=1}^{M} a_{m} |\chi_{m}(y) - \chi_{m}(x)|+\sum_{m=M+1}^{\infty} \frac{1}{2^{m-1}} < \sum_{m=1}^{M} \frac{r}{2^{m}}+\frac{1}{2^{M-1}} < \varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $y \in B_{\varepsilon}(x)$.
Теперь покажем, что для всяких $r>0$, $ x \in G$ и компакта $C \subset G^{*}$ существует $\varepsilon>0$ такое, что $B_{\varepsilon}(x) \subset N(x, C, r)$. Так как $G^{*}$ счетна и $C \subset G^{*}$ – компакт, $C$ – конечное множество, и существует $M \in \mathbb{N}$ такое, что $C \,{\subset}\, \{ \mathbb{I}, \chi_{1}, \overline{\chi}_{1}, \dots , \chi_{M}, \overline{\chi}_{M} \}$. Положим $\varepsilon:=r\min_{m=1, \dots , M}a_{m}$. Если $y \in B_{\varepsilon}(x)$, то в силу оценки (3.8) $|\chi_{m}(y) - \chi_{m}(x)|=|\overline{\chi}_{m}(y) - \overline{\chi}_{m}(x)| < \varepsilon/a_{m} \leqslant r$ при $m=1,\dots , M$, т.е. $y \in N(x, C, r)$. Итак, метрика $\rho$ согласована с топологией группы $G$. 5. Докажем, что непрерывный гомоморфизм $\tau\colon \mathbb{R} \to G$, определенный в п. 3, является липшицевым для введенной на группе $G$ метрики $\rho$. Пусть $u, v \in \mathbb{R}$. Из равенств (3.5) и (3.7) получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho(\tau(u), \tau(v)) &=\sum_{m=1}^{\infty}a_{m} |\exp(iu\varphi(\chi_{m})) -\exp(iv\varphi(\chi_{m}))| \\ &\leqslant |u-v| \biggl( \sum_{m=1}^{\infty} a_{m}|\varphi(\chi_{m})| \biggr) \leqslant |u-v| \biggl( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^{2}} \biggr) \leqslant 2|u-v|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где в предпоследнем неравенстве использовано определение (3.6) коэффициентов $a_{m}$.
6. Для каждого $\nu \in \mathbb{N}$ выберем константу $c_{\nu}$, удовлетворяющую условиям
$$
\begin{equation}
0 < c_{\nu} < \min \biggl\{ \frac{1}{N_{\nu}},\frac{a_{\nu}}{\nu} \biggr\},
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $N_{\nu}$ и $a_{\nu}$ определены в п. 2 и 3 доказательства соответственно. Тогда функция $f$ определена по формуле (3.1). Используя неравенства (3.4) и (3.9), оценим норму функции $f$ в пространстве $L_{2}(G)$:
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{2}^{2}= 2\sum_{\nu=1}^{\infty}|c_{\nu}|^{2} < 2\sum_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{N_{\nu}^{2}} \leqslant 2 \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{N_{1}^{2}(\nu !)^{2}} \leqslant 4.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $f \in L_{2}^{0}(G)$. Оценим следующую норму:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\sum_{m=0}^{N_{k}-1} f(x+mg_{0}) \biggr\|_{2}^{2}=\biggl\| \sum_{m=0}^{N_{k}-1} \sum_{\nu=1}^{\infty} \bigl( c_{\nu} \chi_{\nu}(x) (\chi_{\nu}(g_{0}))^{m}+c_{\nu} \overline{\chi}_{\nu}(x) (\overline{\chi}_{\nu}(g_{0}))^{m} \bigr) \biggr\|_{2}^{2} \\ &\qquad =\biggl\| \sum_{\nu=1}^{\infty} c_{\nu} \biggl( \sum_{m=0}^{N_{k}-1} (\chi_{\nu}(g_{0}))^{m} \biggr) \chi_{\nu}(x)+\sum_{\nu=1}^{\infty} c_{\nu} \biggl( \sum_{m=0}^{N_{k}-1} (\overline{\chi}_{\nu}(g_{0}))^{m} \biggr) \overline{\chi}_{\nu}(x) \biggr\|_{2}^{2} \\ &\qquad =2 \sum_{\nu=1}^{\infty} \biggl| c_{\nu} \sum_{m=0}^{N_{k}-1} (\chi_{\nu}(g_{0}))^{m} \biggr|^{2} \leqslant 2 \sum_{\nu=1}^{k} |c_{\nu}|^{2} \biggl| \frac{(\chi_{\nu}(g_{0}))^{N_{k}} - 1}{\chi_{\nu}(g_{0}) - 1} \biggr|^{2}+2 \sum_{\nu=k+1}^{\infty}|c_{\nu}|^{2} N_{k}^{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя условия (3.2)–(3.4), (3.9), а также определение констант $\varepsilon_{k}$, получаем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\sum_{m=0}^{N_{k}-1} f(x+mg_{0}) \biggr\|_{2}^{2} \leqslant 2 \sum_{\nu=1}^{k} \frac{1}{N_{\nu}^{2}} \biggl( \frac{\varepsilon_{k}}{\delta_{k}} \biggr)^{2}+2 \sum_{\nu=k+1}^{\infty} \frac{N_{k}^{2}}{N_{\nu}^{2}} \\ &\qquad\leqslant \frac{2}{k^{2}} \sum_{\nu=1}^{k} \frac{1}{N_{\nu}^{2}}+2 \sum_{\nu=k+1}^{\infty} \frac{N_{k}^{2}}{\nu^{2} (\nu -1)^{2}\dotsb (k+1)^{2}N_{k}^{2}} \\ &\qquad \leqslant \frac{2}{k^{2}}k+\frac{2}{(k+1)^{2}}\biggl( 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+ \dotsb\biggr) \leqslant \frac{2}{k}+\frac{4}{(k+1)^{2}} \to 0, \qquad k \to \infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, функция $-f \in S$, где
$$
\begin{equation*}
S=\overline{\biggl\{ \sum_{k=1}^{n} f(x+h_{k}),\,h_{k} \in G,\,n \in \mathbb{N} \biggr\}}
\end{equation*}
\notag
$$
(замыкание в пространстве $L_{2}(G)$). Следовательно, функция $-f(\cdot+h)$ принадлежит $S$ для всех $h \in G$, т.е. $S$ – замкнутая аддитивная подгруппа в $L_{2}^{0}(G)$.
7. Нам понадобится Лемма A (см. [12; лемма 4]). Пусть $S$ – замкнутая аддитивная подгруппа в равномерно гладком банаховом пространстве $X$ с модулем гладкости $s(t)$, $ t \geqslant 0$. Если $a, b \in S$ и для любого $\varepsilon > 0$ существуют $x_{0},\dots ,x_{n} \in S$ такие, что $x_{0}=a$, $ x_{n}=b$ и $\sum_{k=1}^{n}s(\|x_{k}-x_{k-1}\|) < \varepsilon$, то весь отрезок $[a, b]$ содержится в подгруппе $S$. Пусть $h \in G$, $\varepsilon>0$. Так как $\tau\colon \mathbb{R} \to G$ – гомоморфизм с плотным образом и метрика $\rho$ согласована с топологией группы $G$ (см. п. 3 и 4 доказательства), существует такое $w \in \mathbb{R}$, что $\rho(\tau(w), h)< \sqrt{\varepsilon/2}$. Зафиксируем натуральное $N > 1+8|w|^{2}/\varepsilon$ и положим
$$
\begin{equation*}
h_{k}:=\tau \biggl( \frac{kw}{N-1} \biggr), \qquad k=0,\dots ,N-1, \quad h_{N}:=h.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя инвариантность метрики $\rho$ относительно сдвигов, а также 2-липшицевость и гомоморфность $\tau$ (см. п. 4 и 5 доказательства), получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \sum_{k=1}^{N}(\rho(h_{k-1}, h_{k}))^{2}=\sum_{k=1}^{N-1} \biggl( \rho \biggl( \tau \biggl( \frac{(k-1)w}{N-1} \biggr), \tau \biggl(\frac{kw}{N-1} \biggr) \biggr) \biggr)^{2}+ (\rho(\tau(w), h))^{2} \\ &\qquad < (N-1)\biggl( \rho \biggl( \tau(0), \tau \biggl( \frac{w}{N-1} \biggr) \biggr) \biggr)^2+ \frac{\varepsilon}{2} \leqslant (N-1)\cdot 4 \biggl|\frac{w}{N-1} \biggr|^{2}+ \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сумму
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{N} \bigl\|f(x+h_{k}) - f(x+h_{k-1}) \bigr\|_{2}^{2},
\end{equation*}
\notag
$$
используя предыдущую оценку, а также неравенства (3.8) и (3.9):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=1}^{N} \bigl\|f(x+h_{k}) - f(x+h_{k-1}) \bigr\|_{2}^{2} \\ \notag &\qquad =\sum_{k=1}^{N} \biggl\| \sum_{\nu=1}^{\infty} (c_{\nu}(\chi_{\nu}(h_{k}) - \chi_{\nu}(h_{k-1})) \chi_{\nu}(x)+c_{\nu}(\overline{\chi}_{\nu}(h_{k}) - \overline{\chi}_{\nu}(h_{k-1})) \overline{\chi}_{\nu}(x)) \biggr\|_{2}^{2} \\ \notag &\qquad =2 \sum_{k=1}^{N} \sum_{\nu=1}^{\infty} |c_{\nu}(\chi_{\nu}(h_{k}) - \chi_{\nu}(h_{k-1}))|^{2} \leqslant 2 \biggl( \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{c_{\nu}^{2}}{a_{\nu}^{2}} \biggr) \biggl( \sum_{k=1}^{N}(\rho(h_{k-1}, h_{k}))^{2} \biggr) \\ &\qquad < 2 \varepsilon \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{\nu^{2}} < 4\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Итак, подгруппа $S$, определенная в п. 6, содержится в пространстве $L_{2}^{0}(G)$ с модулем гладкости $s(t)=\sqrt{1+t^{2}} - 1=O(t^{2})$ (см., например, [13; гл. 1, § e]), причем функции $f(x+h_{0})=f(x)$, $ f(x+h_{1})$, $\dots $, $ f(x+h_{N})=f(x+h)$ принадлежат $S$ и выполнена оценка (3.10). Тогда по лемме A для каждого $\lambda \in [0,1]$ функция $\lambda f(x)+(1- \lambda) f(x+h) \in S$. Значит, и для каждого $\lambda \in \mathbb{R}$ функция $\lambda (f(x)- f(x+h)) \in S$. Следовательно, подгруппа $S$ содержит замкнутое $\mathbb{R}$-линейное подпространство $L$, порожденное функциями вида $f(\cdot) - f(\cdot+ h)$, $ h \in G$. 8. Покажем, что $L$ совпадает с действительным пространством $L_{2}^{0}(G)$. Если это не так, то найдется такая действительная ненулевая функция $r \in L_{2}^{0}(G)$, что выполнено тождество
$$
\begin{equation*}
\int_{G}(f(x+h)-f(x))r(x)\,dm(x) \equiv 0 \quad\Longrightarrow\quad \int_{G}f(x+h)r(x)\,dm(x) \equiv \mathrm{const}, \quad h \in G.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $r$ действительнозначна, ее разложение в ряд Фурье имеет вид
$$
\begin{equation*}
r(x)=\sum_{\nu=1}^{\infty}d_{\nu} \chi_{\nu}(x)+\sum_{\nu=1}^{\infty} \overline{d_{\nu}} \overline{\chi}_{\nu}(x), \qquad d_{\nu} \in \mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу разложения
$$
\begin{equation*}
f(x+h)=\sum_{\nu=1}^{\infty}c_{\nu}\chi_{\nu}(h)\chi_{\nu}(x)+ \sum_{\nu=1}^{\infty}c_{\nu}\overline{\chi}_{\nu}(h)\overline{\chi}_{\nu}(x)
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\nu=1}^{\infty}c_{\nu}\overline{d_{\nu}}\chi_{\nu}(h)+ \sum_{\nu=1}^{\infty}c_{\nu}d_{\nu}\overline{\chi}_{\nu}(h) \equiv \mathrm{const}, \qquad h \in G.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как последовательности $\{ c_{\nu} \}_{\nu \in \mathbb{N}}$, $ \{ d_{\nu} \}_{\nu \in \mathbb{N}}$ принадлежат $l_{2}$, левая часть последнего тождества является абсолютно сходящимся рядом Фурье по переменной $h$, а значит, $c_{\nu}d_{\nu}= c_{\nu}\overline{d_{\nu}}=0$, $ \nu \in \mathbb{N}$. Так как $c_{\nu} > 0$ при $\nu \in \mathbb{N}$, получаем $d_{\nu}=0$ для $\nu \in \mathbb{N}$, т.е. $r \equiv 0$, что противоречит предположению. Таким образом, подпространство $L$, а вместе с ним и подгруппа $S$, совпадают с действительным пространством $L_{2}^{0}(G)$. Теорема 1 доказана. § 4. Комплексный случайЗамечание 1. Пусть $G$ – компактная нетривиальная абелева группа. Тогда не существует функции $f$ в комплексном пространстве $L_{2}^{0}(G)$, для которой суммы сдвигов (1.1) были бы плотны в этом пространстве. Действительно, если $G$ – несвязная компактная абелева группа или компактная абелева нетривиальная группа с не счетной группой характеров $G^{*}$, и если бы существовала функция $f$, суммы сдвигов которой плотны в комплексном пространстве $L_{2}^{0}(G)$, то суммы сдвигов функции $\operatorname{Re} f$ были бы плотны в действительном пространстве $L_{2}^{0}(G)$, что противоречило бы лемме 3 или 4 соответственно. Пусть теперь $G$ – связная компактная абелева группа со счетной группой характеров $G^{*}=\Gamma_{1} \sqcup \Gamma_{2} \sqcup \{ \mathbb{I} \}$, $ \Gamma_{1}=\{ \chi_{\nu} \}_{\nu=1}^{\infty}$, $ \Gamma_{2}=\{ \overline{\chi}_{\nu} \}_{\nu=1}^{\infty}$, и пусть существует функция $f$ в комплексном пространстве $L_{2}^{0}(G)$, суммы сдвигов которой плотны в этом пространстве. Пусть $m_{G}$, $ m_{G^{*}}$ – меры Хаара на группах $G$ и $G^{*}$ соответственно. Тогда преобразование Фурье
$$
\begin{equation*}
g(\chi):=\widehat{f}(\chi)=\int_{G}f(x)\chi(-x)\,dm_{G}(x)
\end{equation*}
\notag
$$
функции $f$ и функция
$$
\begin{equation*}
g_{1}\colon G^{*} \to \mathbb{C}, \qquad g_{1}(\chi) := \begin{cases} g(\overline{\chi}), &\chi \in \Gamma_{1}, \\ -g(\overline{\chi}), &\chi \in \Gamma_{2}, \\ 0, &\chi \equiv \mathbb{I}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежат $L_{2}(G^{*})$ (см. [8; гл. 1, т. 1.6.1]), а обратное преобразование Фурье $f_{1}:=\check{g_{1}}$ принадлежит $L_{2}^{0}(G)$, так как
$$
\begin{equation*}
\int_{G}f_{1}(x)dm_{G}(x)= \widehat{f_{1}}(\mathbb{I})=g_{1}(\mathbb{I})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что согласно предположению функция $f$ не нулевая, а значит, функции $g, g_{1}, f_{1}$ также не нулевые. Для $y \in G$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{G} f(x+y)\overline{f_{1}(x)}\,dm_{G}(x)=\int_{G^{*}} \widehat{f(\cdot+y)}(\chi) \overline{\widehat{f_{1}(\cdot)}(\chi)}\,dm_{G^{*}}(\chi) \\ &\qquad =\int_{G^{*}} \chi(y) \widehat{f}(\chi) \overline{g_{1}(\chi)}\,dm_{G^{*}}(\chi) =\int_{G^{*}} \chi(y) g(\chi) \overline{g_{1}(\chi)}\,dm_{G^{*}}(\chi) \\ &\qquad =\int_{\Gamma_{1}} \chi(y) g(\chi) \overline{g(\overline{\chi})}\,dm_{G^{*}}(\chi) - \int_{\Gamma_{2}} \chi(y) g(\chi) \overline{g(\overline{\chi})}\,dm_{G^{*}}(\chi) \\ &\qquad =\int_{\Gamma_{1}} \chi(y) g(\chi) \overline{g(\overline{\chi})}\,dm_{G^{*}}(\chi) - \int_{\Gamma_{1}} \overline{\chi}(y) g(\overline{\chi}) \overline{g(\chi)}\,dm_{G^{*}}(\chi) \\ &\qquad =\int_{\Gamma_{1}} \bigl( \chi(y) g(\chi) \overline{g(\overline{\chi})} - \overline{\chi(y) g(\chi) \overline{g(\overline{\chi})}} \bigr)\,dm_{G^{*}}(\chi). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} \int_{G} f(x+y)\overline{f_{1}(x)}\,dm_{G}(x)=0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $y \in G$, а значит, суммы сдвигов функции $f$ лежат в действительной гиперплоскости комплексного пространства $L_{2}^{0}(G)$, и, следовательно, не могут быть плотны в этом пространстве. Автор благодарен П. А. Бородину за постановку задачи и полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dyu24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|