| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена частичных сумм ряда Фурье по полиномам Мейкснера–Соболева Р. М. Гаджимирзаев Дагестанский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Махачкала
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10013e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1. Дискретные ортогональные полиномы МейкснераПусть $\alpha$ и $q$ – произвольные действительные числа, причем $q\neq0$. Классические полиномы Мейкснера $M_n^\alpha(x,q)$ можно определить с помощью формулы Родрига [1], [2]
$$
\begin{equation*}
M_n^\alpha(x,q)=\frac{q^{-n}}{n!\,\rho(x)}\Delta^n\{\rho(x)x^{[n]}\},
\end{equation*}
\notag
$$
в которой
$$
\begin{equation*}
x^{[n]}=x(x-1)\dotsb(x-n+1), \quad \Delta f(x)=f(x+1)-f(x), \quad \rho(x)=q^x\frac{\Gamma(x+\alpha+1)}{\Gamma(x+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Такие полиномы впервые стал изучать Й. Мейкснер (см. [3]). Интерес к этим полиномам, в частности, связан с их приложениями в задачах спектральной теории оценивания [4], идентификации параметров систем [5], приближенного вычисления интегралов [6] и др. При $0<q<1$ и $\alpha>-1$ полиномы $M_n^\alpha(x,q)$ ортогональны на равномерной сетке $\Omega=\{0, 1, \dots\}$ относительно веса $\rho(x)$:
$$
\begin{equation*}
\sum_{x\in\Omega}M_n^\alpha(x,q)M_m^\alpha(x,q)\rho(x)=(1-q)^{-\alpha-1}h_n^{\alpha,q}\delta_{nm}, \qquad h_n^{\alpha,q}=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(n+1)}q^{-n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Различные алгебраические свойства этих полиномов $M_n^\alpha(x,q)$ можно найти в [1], [2]. Исследованию асимптотических свойств полиномов Мейкснера и их обобщений посвящены работы различных авторов (см. [7]–[11] и цитированную в них литературу). При этом используются различные методы, основанные на явных формулах, рекуррентных соотношениях, связях с другими классическими ортогональными полиномами, а также на технике векторных задач равновесия теории логарифмического потенциала, развитой в работах А. А. Гончара и Е. А. Рахманова (см. [12]–[14]). В настоящей работе мы рассмотрим полиномы $M_{n,N}^\alpha(x)$, которые получаются из $M_n^\alpha(x,q)$ с помощью замены $x$ на $Nx$, $N>0$ и $q$ на $e^{-1/N}$. Различные свойства этих полиномов приведены в конце статьи (см. § 5). 1.2. Дискретные полиномы, ортогональные в смысле СоболеваНа протяжении более трех десятилетий исследование систем полиномов, ортогональных относительно скалярного произведения Соболева, вызывает огромный интерес. Отчасти это связано с тем, что соболевские скалярные произведения и соответствующие им ортогональные системы (и их дифференциальные аналоги) играют важную роль во многих проблемах теории функций, квантовой механики, математической физики, вычислительной математики и т.д. [15]–[17]. Ряды Фурье по ним обладают важными для приложений свойствами, которые отсутствуют у рядов Фурье по классическим ортогональным системам. Например, ряды Фурье по соболевским полиномам оказываются более естественным, чем ряды Фурье по классическим ортогональным полиномам, аппаратом для приближенного решения краевых задач, в которых требуется контроль поведения приближенного решения в одной или нескольких точках [18]–[20]. В литературе можно встретить различные подходы к построению систем полиномов, ортогональных по Соболеву, отличающиеся выбором тех или иных скалярных произведений. Приведем некоторые виды скалярных произведений, связанные с полиномами Мейкснера. В [21], [22] было рассмотрено скалярное произведение Соболева следующего вида:
$$
\begin{equation*}
\langle f,g\rangle_S=\sum_{x=0}^{\infty}f(x)g(x)\rho(x)+Mf(0)g(0)+N\Delta f(0)\Delta g(0),
\end{equation*}
\notag
$$
где $M,N\geqslant 0$. А в [23], [24] был рассмотрен более общий вид вышеприведенного скалярного произведения
$$
\begin{equation*}
\langle f,g\rangle_S=\sum_{x=0}^{\infty}f(x)g(x)\rho(x)+\lambda\sum_{x=0}^{\infty}\Delta f(x)\Delta g(x)\rho(x),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором $\lambda\geqslant0$. Другие виды скалярных произведений Соболева, связанные с полиномами Мейкснера, можно найти в [25], [26]. Результаты, полученные в этих работах, в основном связаны с исследованием распределения нулей полиномов Мейкснера–Соболева, изучением их алгебраических, асимптотических и разностных свойств. Далее, в работах И. И. Шарапудинова и его учеников [27]–[29] было рассмотрено скалярное произведение Соболева вида
$$
\begin{equation}
\langle f,g\rangle_S=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta^kf(0)\Delta^kg(0)+\sum_{x=0}^\infty\Delta^rf(x)\Delta^rg(x)\rho(x).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Был предложен метод построения систем полиномов, ортонормированных относительно скалярного произведения (1.1). Суть этого метода заключается в следующем. Пусть $1\leqslant p<\infty$, $l_w^p(\Omega)$ – пространство дискретных функций $f$, заданных на сетке $\Omega\,{=}\,\{0, 1, \dots\}$ и для которых $\|f\|_{l_{w}^p(\Omega)}^p{=}\sum_{x\in\Omega}|f(x)|^pw(x)\,{<}\,\infty$, а $W^r_{l_{w}^p(\Omega)}$ – пространство дискретных функций $f$, заданных на сетке $\Omega$ и таких, что $\Delta^rf\in l_{w}^p(\Omega)$ и $\lim_{x\to+\infty}|f(x)|w(x)=0$. Через $\{\varphi_n(x)\}$ обозначим систему полиномов, ортонормированную в обычном смысле на сетке $\Omega$ относительно веса $w(x)$. Для $r\in\mathbb{N}$ рассмотрим новую систему $\{\varphi_{r,n}(x)\}$, порожденную системой $\{\varphi_n(x)\}$ посредством равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi_{r,n}(x)=\frac{x^{[n]}}{n!}, \qquad n=0,\dots,r-1, \\ \varphi_{r,n}(x)= \frac{1}{(r-1)!}\sum_{t=0}^{x-r}(x-1-t)^{[r-1]}\varphi_{n-r}(t), \qquad x\geqslant r, \quad n\geqslant r. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В тех же работах были исследованы различные свойства этой системы. В частности, были установлены равенства
$$
\begin{equation*}
\Delta^\nu \varphi_{r,n}(x)= \begin{cases} \varphi_{r-\nu,n-\nu}(x),& 0\leqslant\nu\leqslant r-1, \ r\leqslant n, \\ \varphi_{n-r}(x),& \nu=r\leqslant n, \\ \varphi_{r-\nu,n-\nu}(x),& \nu\leqslant n<r, \\ 0,& n<\nu\leqslant r. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, была доказана следующая Ряд Фурье функции $f\in W^r_{l_w^2(\Omega)}$ по системе $\{\varphi_{r,n}(x)\}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
f(x)=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta^kf(0)\frac{x^{[k]}}{k!}+\sum_{k=r}^\infty c_{r,k}(f)\varphi_{r,k}(x), \qquad x\in\Omega,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
c_{r,k}(f)=\sum_{t\in\Omega}\Delta^r f(t)\varphi_{k-r}(t)w(t), \qquad k\geqslant r.
\end{equation*}
\notag
$$
В настоящей работе мы рассмотрим систему полиномов
$$
\begin{equation*}
m_{n,N}^{\alpha,r}(x)=\frac{(Nx)^{[n]}}{n!}, \qquad n=0,\dots,r-1,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation} m_{n,N}^{\alpha,r}(x)=\frac{1}{(r-1)!}\sum_{t\in \Omega_\delta^x}(Nx-1-Nt)^{[r-1]}m_{n-r,N}^\alpha(t), \qquad x\geqslant r\delta, \quad n\geqslant r,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Omega_\delta^x=\{0, \delta, \dots, x-r\delta\}, \quad \delta=\frac 1N, \quad m_{n,N}^\alpha(x)=\frac{1}{\sqrt{h_{n}^\alpha}}\, M_{n,N}^\alpha(x), \quad h_n^\alpha=h_n^{\alpha,e^{-\delta}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Некоторые известные свойства этой системы приведены в следующем пункте. 1.3. Некоторые свойства полиномов Мейкснера–СоболеваПрежде всего отметим, что величина $m_{n,N}^{\alpha,r}(x)$, определенная равенством (1.2), представляет собой алгебраический полином степени $n$. В самом деле, из (1.2) и (5.2) имеем
$$
\begin{equation}
m_{n,N}^{\alpha,r}(x)=\frac{1}{\sqrt{h_{n-r}^\alpha}} \binom{n-r+\alpha}{n-r}\sum_{k=0}^{n-r}\frac{(n-r)^{[k]}(1-e^\delta)^k}{(\alpha+1)_kk!}P_{k+r}(x),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
P_{k+r}(x)=\frac{1}{(r-1)!}\sum_{t\in \Omega_\delta^x}(Nx-1-Nt)^{[r-1]}(Nx)^{[k]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем дискретный аналог формулы Тейлора для функции $d(x)=(Nx)^{[k+r]}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d(x) &=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kd(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+\frac{1}{(r-1)!} \sum_{t\in \Omega_\delta^x}(Nx-1-Nt)^{[r-1]}\Delta^r_\delta d(x) \\ &=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kd(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+(k+r)^{[r]}P_{k+r}(x)=(k+r)^{[r]}P_{k+r}(x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta_\delta f(x)=f(x+\delta)-f(x)$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
P_{k+r}(x)=\frac{d(x)}{(k+r)^{[r]}}=\frac{(Nx)^{[k+r]}}{(k+r)^{[r]}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из (1.3) выводим
$$
\begin{equation*}
m_{n,N}^{\alpha,r}(x)=\frac{1}{\sqrt{h_{n-r}^\alpha}} \binom{n-r+\alpha}{n-r}\sum_{k=0}^{n-r}\frac{(n-r)^{[k]}(1-e^\delta)^k}{(\alpha+1)_k}\frac{(Nx)^{[k+r]}}{(k+r)!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Другие свойства системы полиномов $\{m_{n,N}^{\alpha,r}(x)\}$ были исследованы в [30]. В частности, было показано, что:
Ряд Фурье функции $f\in W^r_{l^2_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$ по этой системе имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
f(x)\sim \sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+\sum_{k=r}^\infty c^\alpha_{r,k}(f)m^{\alpha,r}_{k,N}(x),
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
c^\alpha_{r,k}(f)=\sum_{t\in\Omega_\delta}\Delta_\delta^r f(t)m^\alpha_{k-r,N}(t)\rho_N(t), \qquad k\geqslant r.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
В [30] был исследован вопрос о сходимости ряда Фурье (1.5) к функции $f\in W^r_{l^p_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$ для $1\leqslant p<\infty$. Теорема B. Пусть $\alpha>-1$, $1\leqslant p<\infty$. Тогда если $f\in W^r_{l^p_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$, то при $p\geqslant2$ ряд (1.5) сходится поточечно к $f$ на $\Omega_\delta$. Если же $1\leqslant p<2$, то существуют сетка $\Omega_\delta$ и функция $f\in W^r_{l^p_{\rho_N}(\Omega_\delta)}$, ряд Фурье которой расходится в некоторой точке $x_0\in \Omega_\delta$. Далее, через $S_{n+r,N}^{\alpha,r}(f,x)$ обозначим частичную сумму ряда (1.5):
$$
\begin{equation}
S_{n+r,N}^{\alpha,r}(f,x)=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!} +\sum_{k=r}^{n+r} c^\alpha_{r,k}(f)m^{\alpha,r}_{k,N}(x).
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Отметим важные свойства сумм $S_{n+r,N}^{\alpha,r}(f,x)$, вытекающие из (1.7):
Рассмотрим случай, когда $\alpha=0$. Тогда из (1.4) и (5.9) вытекает равенство
$$
\begin{equation*}
m_{n+r,N}^{0,r}(x)=\frac{(Nx)^{[r]}}{\sqrt{(n+r)^{[r]}}}\, m_{n,N}^r(x-r\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
И частичную сумму (1.7) можно записать в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
S_{n+r,N}^{0,r}(f,x)=\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^kf(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}+(Nx)^{[r]}\sum_{k=r}^{n+r} c^0_{r,k}(f)\frac{m^{r}_{k-r,N}(x-r\delta)}{\sqrt{k^{[r]}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, из (5.15) следует, что имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\Delta_\delta^l S_{n+r,N}^{0,r}(f,x) \\ \notag &\qquad =\sum_{k=0}^{r-l-1}\Delta_\delta^{k+l}f(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!} +(Nx)^{[r-l]}\sum_{k=r}^{n+r} c^0_{r,k}(f)\frac{m^{r-l}_{k-r,N}(x-(r-l)\delta)}{\sqrt{(k-l)^{[r-l]}}} \\ \notag &\qquad =\sum_{k=0}^{r-l-1}\Delta_\delta^{k+l}f(0)\frac{(Nx)^{[k]}}{k!} +(Nx)^{[r-l]}\sum_{k=r}^{n+r} c^0_{r-l,k-l}(\Delta_\delta^lf)\frac{m^{r-l}_{k-r,N}(x-(r-l)\delta)}{\sqrt{(k-l)^{[r-l]}}} \\ &\qquad =S_{n+r-l,N}^{0,r-l}(\Delta_\delta^lf,x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
В работе [30] были исследованы аппроксимативные свойства частичных сумм $\Delta_\delta^lS_{n+r,N}^{0,r}(f,x)$. В частности, было показано, что имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
e^{-x/2}x^{-(r-l)/2+1/4}|\Delta_\delta^lf(x)-\Delta_\delta^lS_{n+r,N}^{0,r}(f,x)| \leqslant E_{n+r-l}^{r-l}(\Delta_\delta^lf,\delta)(1+\lambda_{n,N}^{r-l}(x)),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \notag \lambda_{n,N}^{r}(x)\leqslant c(r,\lambda) \begin{cases} \ln(n+1),& x\in\biggl[r\delta, \dfrac{\nu}{2}\biggr], \\ \ln(n+1)+\biggl(\dfrac{\nu}{\nu^{1/3}+|x-\nu|}\biggr)^{1/4},& x\in\biggl(\dfrac{\nu}{2}, \dfrac{3\nu}{2}\biggr], \\ n^{-r/2+7/4}x^{r/2+1/4}e^{-x/4}, & x\in\biggl(\dfrac{3\nu}{2}, \infty\biggr), \end{cases}
\\ \nu=\nu_n(r)=4n+2r+2,
\end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation} E_{n+r}^r(f,\delta)=\inf_{q_{n+r}}\sup_{x\in\Omega_{r,\delta}} e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}|f(x)-q_{n+r}(x)|,
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
где нижняя грань берется по всем алгебраическим полиномам $q_{n+r}(x)$ степени $n+r$, для которых
$$
\begin{equation*}
\Delta_\delta^i f(0)=\Delta_\delta^i q_{n+r}(0), \quad i=0,\dots, r-1, \qquad \Omega_{r,\delta}=\{r\delta, (r+1)\delta, \dots\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее через $c(\alpha)$, $c(\alpha, \lambda)$, $c(a,b,\alpha,\lambda)$ мы будем обозначать положительные числа, зависящие только от указанных параметров, причем различные в разных местах. 1.4. Основные результаты работыВ настоящей работе исследуются аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}_{n+m+r}(f,x)=\frac{1}{m+1}\sum_{k=n}^{n+m}S_{k+r,N}^{0,r}(f,x)
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
и их конечных разностей. Важную роль при решении этой задачи играет поведение соответствующей функции Лебега $\Lambda_{n,m}^{\alpha}(x)$. Одним из основных результатов настоящей работы является следующая теорема. Теорема 1. Пусть $\alpha\geqslant0$, $0<a\leqslant b$, $an\leqslant m\leqslant bn$, $x\in[0,\infty)$. Тогда имеет место оценка Используя неравенство Лебега для средних $\mathcal{V}_{n+m+r}(f,x)$ и оценку для величины $\Lambda_{n,m}^{\alpha}(x)$, удается доказать следующую теорему. Теорема 2. Пусть $f\in W_{l_{\omega}^2(\Omega_\delta)}^r$, $\omega(x)=e^{-x}(1-e^{-\delta})$, $a,b$ – фиксированные действительные числа, причем $0<a\leqslant b$. Тогда для $an\leqslant m\leqslant bn$, $0\leqslant l\leqslant r-1$ имеют место следующие оценки: 1.5. Структура работыПараграф 1 разделен на пять пунктов. А именно, в п. 1.1 приведены некоторые сведения о классических полиномах Мейкснера. В п. 1.2 дана некоторая общая информация о полиномах, ортогональных относительно скалярных произведений Соболева. Пункт 1.3 посвящен некоторым известным свойствам полиномов Мейкснера–Соболева. В п. 1.4 приведены формулировки основных результатов работы. В п. 1.5 представлена структура статьи. В § 2 приведены представление и оценки для ядер Фейера вида
$$
\begin{equation*}
\mathcal{K}_{n,N}^{\alpha}(x,y)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{k}m_{j,N}^\alpha(x)m_{j,N}^\alpha(y).
\end{equation*}
\notag
$$
В § 3 и § 4 приведены доказательства теорем 1 и 2 соответственно. В заключительном § 5 приведены некоторые свойства модифицированных полиномов Мейкснера.
§ 2. Представление и оценки для ядер ФейераВ работе [31] при исследовании ограниченности по норме пространства Лебега средних Фейера для сумм Фурье–Лагерра были получены представление и оценки для ядер Фейера вида
$$
\begin{equation*}
K_{n,1}(x,y)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{k}\frac{j!}{\Gamma(j+\alpha+1)}L_j^\alpha(x)L_j^\alpha(y).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом параграфе мы получим аналогичные оценки для ядер Фейера в случае полиномов Мейкснера $M_{n,N}^\alpha(x)$. Рассмотрим ядро типа Фейера
$$
\begin{equation}
\mathcal{K}_{n,N}^{\alpha}(x,y)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}K_{k,N}^\alpha(x,y),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где величина $K_{n,N}^\alpha(x,y)$ определена равенством (5.10) (см. § 5). Справедлива следующая лемма. Лемма 1. Пусть $x\neq y$. Тогда имеет место равенство Доказательство. Равенство (2.1) с учетом формул (5.10), (5.4) и (5.5) можно записать в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2(x-y)n\mathcal{K}_{n,N}^{\alpha}(x,y) \\ &\ \ =\frac{\delta}{(e^{\delta}-1)e^{(n-1)\delta}}\frac{n!}{\Gamma(n+\alpha)}\bigl(M_{n-1,N}^\alpha(x)M_{n,N}^\alpha(y) -M_{n,N}^\alpha(x)M_{n-1,N}^\alpha(y)\bigr) \\ &\ \ \qquad +\frac{\delta}{(e^{\delta}-1)}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{e^{(n-1)\delta}}\frac{k!}{\Gamma(k+\alpha)} \bigl(M_{k-1,N}^\alpha(x)M_{k,N}^\alpha(y)-M_{k,N}^\alpha(x)M_{k-1,N}^\alpha(y)\bigr) \\ &\ \ \qquad +\frac{e^{-\delta}-1}{(e^{\delta}-1)}(y-x)\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{e^{(k-1)\delta}} \frac{k!}{\Gamma(k+\alpha+1)}M_{k,N}^\alpha(x)M_{k,N}^\alpha(y) \\ &\ \ \qquad +\frac{\delta}{(e^{\delta}-1)\Gamma(\alpha+1)}\bigl(M_{0,N}^\alpha(x)M_{1,N}^\alpha(y)-M_{1,N}^\alpha(x)M_{0,N}^\alpha(y)\bigr) \\ &\ \ \qquad +\frac{1}{e^{\delta}-1}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k!}{e^{(k-1)\delta}}\frac{yM_{k,N}^\alpha(x)\Delta_\delta M_{k,N}^\alpha(y-\delta)-xM_{k,N}^\alpha(y)\Delta_\delta M_{k,N}^\alpha(x-\delta)}{\Gamma(k+\alpha+1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что первые два слагаемых в правой части дают нам величину $n(x- y)\mathcal{K}_{n,N}^{\alpha}(x,y)$. А поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\delta}{(e^{\delta}-1)\Gamma(\alpha+1)}\bigl(M_{0,N}^\alpha(x)M_{1,N}^\alpha(y)-M_{1,N}^\alpha(x)M_{0,N}^\alpha(y)\bigr) \\ &\qquad =\frac{x-y}{\Gamma(\alpha+1)}=\frac{x-y}{\Gamma(\alpha+1)}M_{0,N}^\alpha(x)M_{0,N}^\alpha(y), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то третье и четвертое слагаемые образуют $(x-y)K_{n-1,N}^{\alpha}(x,y)$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(x-y)n\mathcal{K}_{n,N}^{\alpha}(x,y)=(x-y)K_{n-1,N}^{\alpha}(x,y) \\ &\qquad +\frac{1}{e^{\delta}-1}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k!}{e^{(k-1)\delta}}\frac{yM_{k,N}^\alpha(x)\Delta_\delta M_{k,N}^\alpha(y-\delta)-xM_{k,N}^\alpha(y)\Delta_\delta M_{k,N}^\alpha(x-\delta)}{\Gamma(k+\alpha+1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Теперь преобразуем выражение под суммой. Из рекуррентной формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(k(e^{-\delta}+1)+e^{-\delta}(\alpha+1)+(e^{-\delta}-1)Nx)M_{k,N}^\alpha(x) \\ &\qquad =(k+1)e^{-\delta}M_{k+1,N}^\alpha(x)+(k+\alpha)M_{k-1,N}^\alpha(x) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
и соотношения ${\Delta_\delta(f(t-\delta)g(t-\delta))=f(t)\Delta_\delta g(t-\delta)+g(t-\delta)\Delta_\delta f(t-\delta)}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Delta_\delta\bigl[(k(e^{-\delta}+1)+e^{-\delta}(\alpha+1)+(e^{-\delta}-1)N(y-\delta))M_{k,N}^\alpha(y-\delta)\bigr] \\ &\qquad =(k+1)e^{-\delta}\Delta_\delta M_{k+1,N}^\alpha(y-\delta)+(k+\alpha)\Delta_\delta M_{k-1,N}^\alpha(y-\delta) \\ &\qquad =(k(e^{-\delta}+1)+e^{-\delta}(\alpha+1)+(e^{-\delta}-1)Ny)\Delta_\delta M_{k,N}^\alpha(y-\delta) \\ &\qquad\qquad+(e^{-\delta}-1)M_{k,N}^\alpha(y-\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(k(e^{-\delta}+1)+e^{-\delta}(\alpha+1)+(e^{-\delta}-1)Ny)\Delta_\delta M_{k,N}^\alpha(y-\delta) \\ \notag &\qquad =(k+1)e^{-\delta}\Delta_\delta M_{k+1,N}^\alpha(y-\delta)+(k+\alpha)\Delta_\delta M_{k-1,N}^\alpha(y-\delta) \\ &\qquad\qquad+ (1-e^{-\delta})M_{k,N}^\alpha(y-\delta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Умножим равенство (2.4) на
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{e^{(k-1)\delta}}\frac{k!}{\Gamma(k+\alpha+1)}\Delta_\delta M_{k,N}^\alpha(y-\delta),
\end{equation*}
\notag
$$
а равенство (2.5) на
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{e^{(k-1)\delta}}\frac{k!}{\Gamma(k+\alpha+1)}M_{k,N}^\alpha(x)
\end{equation*}
\notag
$$
и вычтем из первого полученного равенства второе:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{(e^{\delta}-1)N(x-y)}{e^{k\delta}}\frac{k!}{\Gamma(k+\alpha+1)}M_{k,N}^\alpha(x)\Delta_\delta M_{k,N}^\alpha(y-\delta) \\ &\qquad=\Delta_{\delta_y}\mathcal{M}_{k,N}^\alpha(x,y-\delta) -\Delta_{\delta_y}\mathcal{M}_{k-1,N}^\alpha(x,y-\delta) \notag \\ &\qquad\qquad+\frac{e^{\delta}-1}{e^{k\delta}}\frac{k!}{\Gamma(k+\alpha+1)}M_{k,N}^\alpha(x) M_{k,N}^\alpha(y-\delta), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{M}_{k,N}^\alpha(\tau,t)=\frac{(k+1)!}{e^{k\delta}\Gamma(k+\alpha+1)} \bigl[M_{k,N}^\alpha(\tau)M_{k+1,N}^\alpha(t)-M_{k+1,N}^\alpha(\tau) M_{k,N}^\alpha(t)\bigr], \\ \Delta_{\delta_y}f(x,y)=f(x, y+\delta)-f(x, y). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{(e^{\delta}-1)N(x-y)}{e^{k\delta}}\frac{k!}{\Gamma(k+\alpha+1)}M_{k,N}^\alpha(y)\Delta_\delta M_{k,N}^\alpha(x-\delta) \\ \notag &\qquad=\Delta_{\delta_x}\mathcal{M}_{k,N}^\alpha(x-\delta,y) -\Delta_{\delta_x}\mathcal{M}_{k-1,N}^\alpha(x-\delta,y) \\ &\qquad\qquad-\frac{e^{\delta}-1}{e^{k\delta}}\frac{k!}{\Gamma(k+\alpha+1)}M_{k,N}^\alpha(x-\delta) M_{k,N}^\alpha(y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Из (2.6) и (2.7) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{y}{e^{k\delta}}\frac{k!}{\Gamma(k+\alpha+1)}M_{k,N}^\alpha(x)\Delta_\delta M_{k,N}^\alpha(y-\delta) \\ &\qquad =\frac{y}{(e^\delta-1)N(x-y)}\bigl[ \Delta_{\delta_y}\mathcal{M}_{k,N}^\alpha(x,y-\delta)-\Delta_{\delta_y}\mathcal{M}_{k-1,N}^\alpha(x,y-\delta)\bigr] \\ &\qquad\qquad +\frac{y}{N(x-y)}\frac{1}{e^{k\delta}}\frac{k!}{\Gamma(k+\alpha+1)}M_{k,N}^\alpha(x) M_{k,N}^\alpha(y-\delta), \\ &\frac{x}{e^{k\delta}}\frac{k!}{\Gamma(k+\alpha+1)}M_{k,N}^\alpha(y)\Delta_\delta M_{k,N}^\alpha(x-\delta) \\ &\qquad =\frac{x}{(e^\delta-1)N(x-y)}\bigl[ \Delta_{\delta_x}\mathcal{M}_{k,N}^\alpha(x-\delta,y)-\Delta_{\delta_x}\mathcal{M}_{k-1,N}^\alpha(x-\delta,y)\bigr] \\ &\qquad\qquad -\frac{x}{N(x-y)}\frac{1}{e^{k\delta}}\frac{k!}{\Gamma(k+\alpha+1)}M_{k,N}^\alpha(x-\delta) M_{k,N}^\alpha(y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом этих равенств (2.3) можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(x-y)n\mathcal{K}_{n,N}^{\alpha}(x,y)=(x-y)K_{n-1,N}^{\alpha}(x,y) \\ &\qquad +\frac{e^\delta y}{(e^\delta-1)^2N(x-y)}\bigl[\Delta_{\delta_y}\mathcal{M}_{n-1,N}^\alpha(x,y-\delta)-\Delta_{\delta_y}\mathcal{M}_{0,N}^\alpha(x,y-\delta)\bigr] \\ &\qquad -\frac{e^\delta x}{(e^\delta-1)^2N(x-y)}\bigl[\Delta_{\delta_x}\mathcal{M}_{n-1,N}^\alpha(x-\delta,y) -\Delta_{\delta_x}\mathcal{M}_{0,N}^\alpha(x-\delta,y)\bigr] \\ &\qquad +\frac{e^\delta}{(e^\delta-1)N(x-y)}\biggl[xK_{n-1,N}^{\alpha}(x-\delta,y)+yK_{n-1,N}^{\alpha}(x,y-\delta)- \frac{x+y}{\Gamma(\alpha+1)}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\Delta_{\delta_y}\mathcal{M}_{0,N}^\alpha(x,y-\delta)=-\frac{e^\delta-1}{\Gamma(\alpha+1)}, \qquad \Delta_{\delta_x}\mathcal{M}_{0,N}^\alpha(x-\delta,y)=\frac{e^\delta-1}{\Gamma(\alpha+1)},
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(x-y)n\mathcal{K}_{n,N}^{\alpha}(x,y)=(x-y)K_{n-1,N}^{\alpha}(x,y) \\ &\qquad +\frac{e^\delta}{(e^\delta-1)N(x-y)}\bigl[x K_{n-1,N}^{\alpha}(x-\delta,y)+y K_{n-1,N}^{\alpha}(x,y-\delta)\bigr] \\ &\qquad +\frac{e^\delta }{(e^\delta-1)^2N(x-y)}\bigl[y\Delta_{\delta_y}\mathcal{M}_{n-1,N}^\alpha(x,y-\delta)- x\Delta_{\delta_x}\mathcal{M}_{n-1,N}^\alpha(x-\delta,y)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся равенствами (5.6), (5.10) и запишем
$$
\begin{equation}
(x-y)K_{n-1,N}^{\alpha}(x,y)=a_n^{\alpha,\delta} \bigl[M_{n,N}^{\alpha}(x)M_{n,N}^{\alpha-1}(y)-M_{n,N}^{\alpha-1}(x)M_{n,N}^{\alpha}(y)\bigr],
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где
$$
\begin{equation*}
a_n^{\alpha,\delta}=\frac{\delta n!}{(e^\delta-1)e^{(n-1)\delta}\Gamma(n+\alpha)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, используя равенства (5.4), (5.7) и (5.6), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{e^\delta y}{(e^\delta-1)^2N(x-y)}\Delta_{\delta_y}\mathcal{M}_{n-1,N}^\alpha(x,y-\delta) \\ &\qquad =a_n^{\alpha,\delta}\frac{y}{x-y}\bigl[M_{n,N}^{\alpha}(x)\bigl(M_{n,N}^{\alpha-1}(y) -M_{n,N}^{\alpha}(y-\delta)\bigr) \\ &\qquad\qquad+ M_{n,N}^{\alpha-1}(x)\bigl(M_{n,N}^{\alpha+1}(y-\delta)-M_{n,N}^{\alpha}(y)\bigr)\bigr], \\ &\frac{e^\delta x}{(e^\delta-1)^2N(x-y)}\Delta_{\delta_x}\mathcal{M}_{n-1,N}^\alpha(x-\delta,y) \\ &\qquad =a_n^{\alpha,\delta}\frac{x}{x-y}\bigl[M_{n,N}^{\alpha}(y)\bigl(M_{n,N}^{\alpha}(x-\delta) -M_{n,N}^{\alpha-1}(x)\bigr) \\ &\qquad\qquad+ M_{n,N}^{\alpha-1}(y)\bigl(M_{n,N}^{\alpha}(x)-M_{n,N}^{\alpha+1}(x-\delta)\bigr)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из равенств (5.6), (5.8), (2.8) мы выводим равенство (2.2).
Тем самым лемма 1 доказана. Из равенства (2.2) и весовой оценки (5.14) вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &e^{-(x+y)/2}|\mathcal{K}_{n,N}^\alpha(x,y)|\leqslant c(\alpha,\lambda) \frac{1}{n^\alpha(x-y)^2}\biggl\{(x+y)A_{n}^{\alpha}(x)A_{n}^{\alpha}(y) \\ \notag &\quad +\frac{x}{n}A_{n-1}^{\alpha+1}(x)A_{n}^{\alpha}(y)\biggl[\frac{x}{|x-y|}+1\biggr]+ \frac{y}{n}A_{n}^{\alpha}(x)A_{n-1}^{\alpha+1}(y)\biggl[\frac{y}{|x-y|}+1\biggr] \\ &\quad +\frac{xy}{n}\biggl(\frac{1}{|x-y|}+1\biggr)\bigl[A_{n}^{\alpha}(x)A_{n-1}^{\alpha+1}(y)+A_{n-1}^{\alpha+1}(x)A_{n}^{\alpha}(y)\bigr]+ \frac{2xy}{n}A_{n-1}^{\alpha+1}(x)A_{n-1}^{\alpha+1}(y)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Далее, из (5.12) следует, что для функции $A_n^\alpha(x)$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
A_{n-1}^{\alpha+1}(x)\leqslant c(\alpha)nA_{n}^{\alpha}(x), \qquad 0\leqslant x\leqslant \frac{1}{\theta_n},
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
$$
\begin{equation}
A_{n-1}^{\alpha+1}(x)\leqslant c(\alpha)\sqrt{\frac{n}{x}}A_{n}^{\alpha}(x), \qquad \frac{1}{\theta_n}\leqslant x\leqslant \frac{\theta_n}{2},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
$$
\begin{equation}
A_{n-1}^{\alpha+1}(x)\leqslant c(\alpha)A_{n}^{\alpha}(x), \qquad \frac{\theta_n}{2}<x<\infty.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Из (2.9)–(2.12) и (5.14) нетрудно получить оценки для ядра $\mathcal{K}_{n,N}^\alpha(x,y)$, зависящие от расположения переменных $x,y$ на полуоси $[0,\infty)$. А именно, справедливы следующие утверждения. Справедливость оценки (2.13) следует из (2.9)–(2.11) и из того, что $|x-y|>\frac{1}{2}\max(x,y)$ при $x>2y$ $(y>2x)$. Лемма 4. Если $x\in[{2}/{\theta_n},{\theta_n}/{2}]$, $y\in[{1}/{\theta_n},{3\theta_n}/{4}]$ и $|x-y|\geqslant\sqrt{{x}/{\theta_n}}$, то Доказательство. Из (2.9) и (2.11) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &e^{-(x+y)/2}|\mathcal{K}_{n,N}^\alpha(x,y)|\leqslant c(\alpha,\lambda) \frac{(xy)^{-\alpha/2-1/4}}{\sqrt{n}(x-y)^2}\biggl[x+y+\sqrt{\frac{x}{n}}\biggl(\frac{x}{|x-y|}+1\biggr) \\ &\qquad +\sqrt{\frac{y}{n}}\biggl(\frac{y}{|x-y|}+1\biggr) +\frac{xy}{n}\biggl(\frac{1}{|x-y|}+1\biggr)\biggl(\sqrt{\frac{n}{x}}+\sqrt{\frac{n}{y}}\biggr)+2\sqrt{xy}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом условия $|x-y|\geqslant\sqrt{{x}/{\theta_n}}$ вытекает оценка (2.14). § 3. Оценка функции ЛебегаРассмотрим сумму
$$
\begin{equation}
\Lambda_{n,m}^{\alpha}(x)=x^{\alpha/2+1/4}\delta\sum_{t\in\Omega_{\delta}}t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}|V_{n+m,N}^\alpha(x,t)|,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
V_{n+m,N}^\alpha(x,y)=\frac{1}{m+1}\sum_{k=n}^{n+m}K_{k,N}^\alpha(x,y).
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим поведение величины $\Lambda_{n,m}^{\alpha}(x)$ при $\alpha\geqslant0$. Пусть $x\in[0,{2}/{\theta_n}]$, $\theta_n=4n+2\alpha+2$. Тогда мы можем записать
$$
\begin{equation}
\Lambda_{n,m}^{\alpha}(x)=x^{\alpha/2+1/4}\delta \biggl[\sum_{t\in B_1}+\sum_{t\in B_2}\biggr]t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}|V_{n+m,N}^\alpha(x,t)|=I_1+I_2,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $B_1=[0,4/\theta_n]\cap\Omega_{\delta}$, $B_2=(4/\theta_n,\infty)\cap\Omega_{\delta}$. Оценим $I_1$. Из (5.13) и (5.12) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_1 &\leqslant x^{\alpha/2+1/4}\delta\sum_{t\in B_1} t^{\alpha/2-1/4}\frac{e^{-(x+t)/2}}{m+1} \sum_{k=n}^{n+m}\sum_{j=0}^{k}m_{j,N}^\alpha(x)m_{j,N}^\alpha(t) \\ \notag &\leqslant c(\alpha,\lambda)\frac{x^{\alpha/2+1/4}}{m+1}\delta\sum_{t\in B_1} t^{\alpha/2-1/4}\sum_{k=n}^{n+m}\sum_{j=0}^{k}\theta_j^\alpha \\ &\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b)\frac{x^{\alpha/2+1/4}\theta_{n+m}^{\alpha+2}}{m+1} \biggl(\frac{4}{\theta_n}\biggr)^{\alpha/2+3/4} \leqslant c(\alpha,\lambda,a,b). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Перейдем к оценке $I_2$. Прежде всего заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag V_{n+m,N}^\alpha(x,t) &=\frac{1}{m+1}\sum_{k=n}^{n+m}K_{k,N}^\alpha(x,t) \\ &=\frac{n+m+1}{m+1}\mathcal K_{n+m+1,N}^\alpha(x,t)-\frac{n}{m+1}\mathcal K_{n,N}^\alpha(x,t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_2 &\leqslant c(b) x^{\alpha/2+1/4}\delta\sum_{t\in B_2}t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}|\mathcal K_{n+m+1,N}^\alpha(x,t)| \\ &\qquad +c(a)x^{\alpha/2+1/4}\delta\sum_{t\in B_2}t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}|\mathcal K_{n,N}^\alpha(x,t)|=I_{21}+I_{22}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Ограничимся оценкой величины $I_{21}$, так как $I_{22}$ оценивается аналогично. Пусть $B_3=(4/\theta_n,\theta_{n+m+1}/2)\cap\Omega_{\delta}$. Тогда
$$
\begin{equation}
I_{21}=c(b) x^{\alpha/2+1/4}\delta \biggl[\sum_{t\in B_3}+\sum_{t\in B_2\setminus B_3}\biggr]t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}|\mathcal K_{n+m+1,N}^\alpha(x,t)|= I_{21}^1+I_{21}^2.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Из лемм 2, 3 и равенства (5.12) получаем
$$
\begin{equation}
\nonumber I_{21}^1 \leqslant c(\alpha,\lambda,b)x^{\alpha/2+1/4}\theta_{n+m+1}^{-\alpha}A_{n+m+1}^\alpha(x) \delta\sum_{t\in B_3}\frac{t^{\alpha/2-1/4}A_{n+m+1}^\alpha(t)}{\max(x,t)}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b)x^{\alpha/2+1/4}\theta_{n+m+1}^{\alpha/2-1/4} \delta\sum_{t\in B_3}t^{-3/2}\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b),
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber I_{21}^2 \leqslant c(\alpha,\lambda,a,b)x^{\alpha/2+1/4}\theta_{n+m+1}^{-\alpha-1}A_{n+m+1}^\alpha(x) \delta\sum_{t\in B_2\setminus B_3}t^{\alpha/2-1/4}A_{n+m+1}^\alpha(t)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b)\theta_{n+m+1}^{-\alpha/2-5/4} \biggl(\frac{\theta_{n+m+1}^{\alpha/2+3/4}}{\theta_{n+m+1}^{1/3}}+e^{-3n/4}\biggr)= \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{\theta_{n+m+1}^{5/6}}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Из (3.2)–(3.8) выводим
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{n,m}^{\alpha}(x)\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b), \qquad x\in\biggl[0,\frac{2}{\theta_n}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $x\in[2/\theta_{n}, \theta_{n+m+1}/2]$. Пользуясь равенством (3.4), мы можем записать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Lambda_{n,m}^{\alpha}(x) &\leqslant c(b) x^{\alpha/2+1/4}\delta\sum_{t\in \Omega_\delta}t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}|\mathcal K_{n+m+1,N}^\alpha(x,t)| \\ &\qquad +c(a)x^{\alpha/2+1/4}\delta\sum_{t\in \Omega_\delta}t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}|\mathcal K_{n,N}^\alpha(x,t)|=J_{1}+J_{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ограничимся оценкой величины $J_{1}$. С этой целью введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_1=\biggl[0,x-\sqrt{\frac{x}{\theta_{n+m+1}}}\biggr]\cap\Omega_\delta, \qquad D_2=\biggl(x-\sqrt{\frac{x}{\theta_{n+m+1}}},x+\sqrt{\frac{x}{\theta_{n+m+1}}}\biggr)\cap\Omega_\delta, \\ D_3=\biggl(x+\sqrt{\frac{x}{\theta_{n+m+1}}},\frac{3\theta_{n+m+1}}4\biggr]\cap\Omega_\delta, \qquad D_4=\biggl(\frac{3\theta_{n+m+1}}4,\infty\biggr)\cap\Omega_\delta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом этих обозначений запишем $J_1$ в следующем виде: где
$$
\begin{equation*}
J_{1i}=c(b) x^{\alpha/2+1/4}\delta\sum_{t\in D_i}t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}|\mathcal K_{n+m+1,N}^\alpha(x,t)|, \qquad i=1,2,3,4.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим $J_{12}$. Для этого воспользуемся леммой 7:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J_{12} &\leqslant\frac{c(a,b)x^{\alpha/2+1/4}}{n+m+1}\,\delta\sum_{t\in D_2}t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}K_{0,N}^\alpha(x,t) \\ \notag &\qquad +\frac{c(a,b) x^{\alpha/2+1/4}}{n+m+1}\,\delta \\ \notag &\qquad\qquad\times\sum_{t\in D_2}t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}\sum_{k=1}^{n+m}(K_{k,N}^\alpha(x,x))^{1/2}(K_{k,N}^\alpha(t,t))^{1/2} \\ \notag &\leqslant c(\alpha, a,b)\frac{ x^{\alpha/2+1/4}}{n+m+1}\, e^{-x}x^{\alpha/2+3/4} \\ \notag &\qquad +\frac{c(\alpha,\lambda,a,b) x^{\alpha/2+1/4}}{n+m+1}\,\delta \\ \notag &\qquad\qquad\times\sum_{t\in D_2}t^{\alpha/2-1/4} \sum_{k=1}^{n+m}k^{1-\alpha}\theta_k^{\alpha/2-1/4}x^{-\alpha/2-1/4} \theta_k^{\alpha/2-1/4}t^{-\alpha/2-1/4} \\ &\leqslant \frac{c(\alpha, a,b)}{n+m+1}+c(\alpha,\lambda,a,b)(n+m)^{1/2}x^{-1/2}\sqrt{\frac{x}{\theta_{n+m+1}}}\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Чтобы оценить величину $J_{13}$, введем обозначения
$$
\begin{equation*}
D_3^1=\biggl(x+\sqrt{\frac{x}{\theta_{n+m+1}}},2x\biggr]\cap\Omega_\delta, \qquad D_3^2=\biggl(2x,\frac{3\theta_{n+m+1}}4\biggr]\cap\Omega_\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $t-x\geqslant\sqrt{x/\theta_{n+m+1}}$ при $x\in[2/\theta_{n},\theta_{n+m+1}/2]$ и $t\in D_3$. Тогда из леммы 4 получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J_{13} &\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{\sqrt{n+m+1}}\, \delta\sum_{t\in D_3}\frac{t^{-1/2}(x+t)}{(x-t)^2} \\ \notag &\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{\sqrt{n+m+1}}\sqrt{x}\, \delta\sum_{t\in D_3^1}\frac{1}{(t-x)^2} +\frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{\sqrt{n+m+1}}\, \delta\sum_{t\in D_3^2}\frac{\sqrt{t}}{(t-x)^2} \\ &\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{\sqrt{n+m+1}}\biggl(\sqrt{x} \sqrt{\frac{\theta_{n+m+1}}{x}}+c(\alpha)\delta\sum_{t\in D_3^2}t^{-3/2}\biggr)\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Аналогичные рассуждения показывают, что для величины $J_{11}$ имеет место оценка Перейдем теперь к оценке $J_{14}$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
D_4^1=\biggl(\frac{3\theta_{n+m+1}}4,\frac{3\theta_{n+m+1}}2\biggr]\cap\Omega_\delta, \qquad D_4^2=\biggl(\frac{3\theta_{n+m+1}}2,\infty\biggr)\cap\Omega_\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из леммы 2 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J_{14} &\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b) x^{\alpha/2+1/4}\theta_{n+m+1}^{-(\alpha+1)}A_{n+m+1}^\alpha(x)\delta\sum_{t\in D_4}t^{\alpha/2-1/4} A_{n+m+1}^\alpha(t) \\ &\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b)\theta_{n+m+1}^{-\alpha/2-5/4}\delta\biggl(\sum_{t\in D_4^1}\frac{t^{\alpha/2-1/4}} {\theta_{n+m+1}^{1/3}}+\sum_{t\in D_4^2}t^{\alpha/2-1/4}e^{-t/4}\biggr)\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{\theta_{n+m+1}^{5/6}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Из (3.9)–(3.13) выводим следующую оценку: А поскольку для $J_2$ справедлива аналогичная оценка, то
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{n,m}^{\alpha}(x)\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b), \qquad x\in\biggl[\frac{2}{\theta_{n}}, \frac{\theta_{n+m+1}}{2}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим случай, когда $x\in(\theta_{n+m+1}/2, 3\theta_{n+m+1}/2]$. Для величины $J_1$ запишем представление в котором
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H_i=c(a,b) x^{\alpha/2+1/4}\delta\sum_{t\in G_i}t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}|\mathcal K_{n+m+1,N}^\alpha(x,t)|, \qquad i=1,2,3,4,5, \\ G_1=\biggl[0,x-\frac{\theta_{n+m+1}}4\biggr]\cap\Omega_\delta, \qquad G_2=\biggl(x-\frac{\theta_{n+m+1}}4,x-1\biggr)\cap\Omega_\delta, \\ G_3=[x-1,x+1]\cap\Omega_\delta, \qquad G_4=\biggl(x+1,x+\frac{\theta_{n+m+1}}4\biggr)\cap\Omega_\delta, \\ G_5=\biggl[x+\frac{\theta_{n+m+1}}4,\infty\biggr)\cap\Omega_\delta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для величины $H_3$ верна оценка (3.10). Чтобы оценить величины $H_1$ и $H_5$, воспользуемся леммой 2 и равенством (5.12):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_1 &\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)x^{\alpha/2+1/4}} {\theta_{n+m+1}^{\alpha+5/4}(\theta_{n+m+1}^{1/3}+ |x-\theta_{n+m+1}|)^{1/4}}\delta\sum_{t\in G_1}t^{\alpha/2-1/4}A_{n+m+1}^\alpha(t) \\ &\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{\theta_{n+m+1}^{\alpha/2+1}\theta_{n+m+1}^{1/12}} \bigl(\theta_{n+m+1}^{\alpha/2-3/4}+\theta_{n+m+1}^{\alpha/2+1/4}\bigr)\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{\theta_{n+m+1}^{5/6}}, \\ H_5 &\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{\theta_{n+m+1}^{\alpha/2+13/12}} \delta\sum_{t\in G_5}t^{\alpha/2-1/4}A_{n+m+1}^\alpha(t) \\ &\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{n^{\alpha/2+13/12}} \biggl(\frac{1}{\theta_{n+m+1}^{1/3}}\theta_{n+m+1}^{\alpha/2+3/4}+ \frac{1}{e^{3n/4}}\biggr) \leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{\theta_{n+m+1}^{2/3}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью леммы 5 оценим величины $H_2$ и $H_4$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_2 &\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b)x^{\alpha/2+1/4}\delta\sum_{t\in G_2}t^{\alpha/2-1/4} \frac{\theta_{n+m+1}^{-\alpha}}{(x-t)^{3/2}} \\ &\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b)\delta\sum_{t\in G_2}(x-t)^{-3/2}\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b), \\ H_4 &\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b)\delta\sum_{t\in G_4}(t-x)^{-3/2}\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из оценок для $H_i$ и равенства (3.14) имеем Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{n,m}^\alpha(x)\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b), \qquad x\in\biggl(\frac{\theta_{n+m+1}}{2},\frac{3\theta_{n+m+1}}{2}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $x\in(3\theta_{n+m+1}/2,\infty)$. В этом случае мы можем записать
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{n,m}^{\alpha}(x)\leqslant \frac{x^{\alpha/2+1/4}}{m+1}\, \delta\sum_{t\in \Omega_\delta}t^{\alpha/2-1/4} e^{-(x+t)/2}\sum_{k=n}^{n+m}(K_{k,N}^\alpha(x,x))^{1/2} (K_{k,N}^\alpha(t,t))^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 7 получим
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{n,m}^{\alpha}(x)\leqslant c(\alpha,\lambda)\frac{x^{\alpha/2+1/4}}{m+1}\, e^{-x/4} \delta\sum_{t\in \Omega_\delta}t^{\alpha/2-1/4}e^{-t/2}\sum_{k=n}^{n+m}k^{1/2-\alpha/2} (K_{k,N}^\alpha(t,t))^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E_1=\biggl[0,\frac{1}{\theta_{n}}\biggr]\cap\Omega_\delta, \qquad E_2=\biggl(\frac1{\theta_{n}},\frac{\theta_{n+m}}2\biggr]\cap\Omega_\delta, \\ E_3=\biggl(\frac{\theta_{n+m}}2,\frac{3\theta_{n+m}}2\biggr]\cap\Omega_\delta, \qquad E_4=\biggl(\frac{3\theta_{n+m}}2,\infty\biggr)\cap\Omega_\delta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\Lambda_{n,m}^{\alpha}(x)\leqslant c(\alpha,\lambda)\frac{x^{\alpha/2+1/4}}{m+1}e^{-x/4}(W_1+W_2+W_3+W_4),
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_1 &\leqslant c(\alpha,\lambda)\delta\sum_{t\in E_1}t^{\alpha/2-1/4} \sum_{k=n}^{n+m}k^{1-\alpha}\theta_k^\alpha\leqslant c(\alpha,\lambda)\frac{(n+m)^2}{\theta_n^{\alpha/2+3/4}}\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{n^{\alpha/2-5/4}}, \\ W_2 &\leqslant c(\alpha,\lambda)\delta\sum_{t\in E_2} t^{\alpha/2-1/4}\sum_{k=n}^{n+m}k^{1-\alpha}\theta_k^{\alpha/2-1/4} t^{-\alpha/2-1/4}\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{n^{\alpha/2-9/4}}, \\ W_3 &\leqslant c(\alpha,\lambda)\delta\sum_{t\in E_3} t^{\alpha/2-1/4}\sum_{k=n}^{n+m}k^{1/2-\alpha/2}k^{-\alpha/2}\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{n^{\alpha/2-9/4}}, \\ W_4 &\leqslant c(\alpha,\lambda)\delta\sum_{t\in E_4} t^{\alpha/2-1/4}\sum_{k=n}^{n+m}k^{1-\alpha}e^{-t/4}\leqslant \frac{c(\alpha,\lambda,a,b)}{n^{\alpha-2}}e^{-3n/4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.15) и оценок для $W_i$ $(i=1,2,3,4)$ находим
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{n,m}^{\alpha}(x)\leqslant c(\alpha,\lambda,a,b), \qquad x\in \biggl(\frac{3\theta_{n+m+1}}{2},\infty\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
§ 4. Аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена при $\alpha=0$Пусть $q_{n+r}(x)$ – алгебраический полином степени $n+r$, для которого $\Delta_\delta^i f(0)=\Delta_\delta^i q_{n+r}(0)$, $i=0,\dots, r-1$. Тогда из (1.8) и (1.11) имеем
$$
\begin{equation*}
f(x)-\mathcal V_{n+m+r}(f,x)=f(x)-q_{n+r}(x)+\mathcal V_{n+m+r}(q_{n+r}-f,x).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{r-1}\Delta_\delta^k(q_{n+r}(0)-f(0))\frac{(Nx)^{[k]}}{k!}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то с учетом (1.6) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal V_{n+m+r}(q_{n+r}-f,x) =\frac{1}{m+1}\sum_{k=n}^{m+n}S_{k+r,N}^{0,r}(q_{n+r}-f,x) \\ &\qquad=\frac{(Nx)^{[r]}}{m+1}\sum_{k=n}^{n+m}\sum_{j=0}^{k}\frac{m^{r}_{j,N}(x-r\delta)}{\sqrt{(j+r)^{[r]}}} \sum_{t\in\Omega_{\delta}}\Delta_\delta^r(q_{n+r}(t)-f(t))e^{-t}(1-e^{-\delta})m_{j,N}^0(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
К внутренней сумме применим преобразование Абеля (попутно воспользуемся равенствами (5.1), (5.9)):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{t\in\Omega_{\delta}}\Delta_\delta^r(q_{n+r}(t)-f(t))e^{-t}(1-e^{-\delta})m_{j,N}^0(t) \\ &\qquad =(-1)^r(1-e^{-\delta})\sum_{t\in\Omega_{\delta}}(q_{n+r}(t+r\delta)-f(t+r\delta)) \frac{\sqrt{e^{j\delta}}}{j!}\, \Delta_\delta^{j+r}\biggl\{\frac{\Gamma(Nt+1)e^{-t}}{\Gamma(Nt-j+1)}\biggr\} \\ &\qquad =(-1)^r\frac{1-e^{-\delta}}{\sqrt{e^{j\delta}}}\frac{(j+r)!}{j!}\sum_{t\in\Omega_{r,\delta}} (q_{n+r}(t)-f(t))\frac{\Gamma(Nt-r+1)}{\Gamma(Nt+1)}\, e^{-t}M_{j+r,N}^{-r}(t) \\ &\qquad =\frac{(e^{\delta}-1)^{r+1}}{e^\delta}\sum_{t\in\Omega_{r,\delta}}(q_{n+r}(t)-f(t))e^{-t}\sqrt{(j+r)^{[r]}} \, m_{j,N}^{r}(t-r\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal V_{n+m+r}(q_{n+r}-f,x) \\ &\qquad =\frac{(e^{\delta}-1)^{r+1}}{e^\delta}(Nx)^{[r]}\sum_{t\in\Omega_{r,\delta}}(q_{n+r}(t)-f(t))e^{-y}V_{n+m}^r(x-r\delta,t-r\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для $x\in\Omega_{r,\delta}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}\bigl|f(x)-\mathcal V_{n+m+r}(f,x)\bigr|\leqslant E_{n+r}^r(f,\delta) \\ &\qquad +c(r)E_{n+r}^r(f,\delta)x^{r/2+1/4}\delta\sum_{t\in\Omega_{r,\delta}} t^{r/2-1/4}e^{-(x+t)/2}|V_{n+m}^r(x-r\delta,t-r\delta)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом равенства (3.1) имеем
$$
\begin{equation*}
e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}\bigl|f(x)-\mathcal V_{n+m+r}(f,x)\bigr| \leqslant \bigl(1+c(r)\Lambda_{n,m}^r(x)\bigr)E_{n+r}^r(f,\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из теоремы 1 выводим оценку
$$
\begin{equation}
e^{-x/2}x^{-r/2+1/4}\bigl|f(x)-\mathcal V_{n+m+r}(f,x)\bigr|\leqslant c(r,\lambda,a,b)E_{n+r}^r(f,\delta).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Далее, из (1.9) получаем
$$
\begin{equation*}
\Delta_\delta^{l}\mathcal V_{n+m+r}(f,x)=\mathcal V_{n+m+r-l}(\Delta_\delta^{l}f,x), \qquad l=0,\dots,r-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого равенства и (4.1) выводим (1.12).
§ 5. Приложение. Некоторые сведения о полиномах МейкснераВ этом параграфе мы приведем некоторые свойства полиномов $M_{n,N}^{\alpha}(x)$, которые можно найти в [2]:
В [2; с. 197] также были исследованы асимптотические свойства полиномов $m_{n,N}^\alpha(x)$. В частности, при $\alpha>-1$ и $x\in[0,\infty)$ была установлена асимптотическая формула
$$
\begin{equation}
m_{n,N}^\alpha(x)=l_n^\alpha(x)+\upsilon_{n,N}^\alpha(x),
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
в которой $l_n^\alpha(x)$ – ортонормированный полином Лагерра степени $n$. Для остаточного члена $\upsilon_{n,N}^\alpha(x)$ при $n/N\leqslant \lambda$ имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag e^{-x/2}|\upsilon_{n,N}^\alpha(x)|\leqslant c(\alpha,\lambda)A_n^\alpha(x)\sqrt{\frac{n}{N}}n^{-\alpha/2}, \\ A_n^\alpha(x)=\begin{cases} \theta_n^{\alpha},& 0\leqslant x\leqslant \dfrac{1}{\theta_n}, \\ \theta_n^{\alpha/2-1/4}x^{-\alpha/2-1/4},& \dfrac{1}{\theta_n}<x\leqslant \dfrac{\theta_n}{2}, \\ \bigl[\theta_n(\theta_n^{1/3}+|x-\theta_n|)\bigr]^{-1/4},& \dfrac{\theta_n}{2}<x\leqslant\dfrac{3\theta_n}{2}, \\ e^{-x/4}, & \dfrac{3\theta_n}{2}<x<\infty, \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
$\theta_n=4n+2\alpha+2$. В той же работе [2] с использованием оценки для полиномов Лагерра и асимптотической формулы (5.11) были получены следующие весовые оценки:
$$
\begin{equation}
e^{-x/2}\bigl|m_{n,N}^\alpha(x\pm s\delta)\bigr|\leqslant c(\alpha,\lambda,s)\theta_n^{-\alpha/2}A_n^\alpha(x),
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
$$
\begin{equation}
e^{-x/2}\bigl|M_{n,N}^\alpha(x\pm s\delta)\bigr|\leqslant c(\alpha,\lambda,s)A_n^\alpha(x),
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
где $s\geqslant0$. Справедливы следующие утверждения. Лемма 6 (см. [30]). Пусть $0\leqslant l$ целое, $r\in\mathbb{N}$, $l\leqslant r$. Тогда имеет место равенство Лемма 7 (см. [32]). Пусть $-1<\alpha\in\mathbb{R}$, $\theta_n=4n+2\alpha+2$, $\lambda>0$, $N=1/\delta$, $0<\delta\leqslant1$. Тогда для $1\leqslant n\leqslant \lambda N$ имеет место следующая оценка: БлагодарностьАвтор благодарит рецензента за его ценные комментарии и замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gad24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|