| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Об универсальных (в смысле знаков) рядах Фурьe по системе Уолша М. Г. Григорян Ереванский государственный университет, Республика Армения
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10014e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ работе обсуждается вопрос существования таких функций (универсальных функций), ряды Фурье которых по системе Уолша универсальны в классе почти везде конечных измеримых функций в смысле знаков. Существование функций и рядов, универсальных в том или ином смысле изучалось многими математиками, работавшими в теории функций как действительного, так и комплексного переменного. Первые примеры универсальных функций были построены Биркгофом в [1] в рамках комплексного анализа, при этом целые функции представлялись в любом круге равномерно сходящимися сдвигами универсальной функции, Марцинкевичем в [2] в рамках действительного анализа, при этом любая измеримая функция представлялась как предел почти всюду некоторой последовательности разностных отношений универсальной функции (см. также [3]–[6]). Отметим, что в последние годы в работах [7]–[14] автором были получены некоторые результаты, связанные с существованием и описанием структуры функций (универсальных функций), ряды Фурье которых по заданной классической системе универсальны в том или ином смысле в различных функциональных классах. Необходимо отметить, что понятие универсального ряда восходит к работам Д. Е. Меньшова [16] и А. А. Талаляна [17]. Наиболее общие результаты были получены ими и их учениками (см. [17]–[24]). Ниже мы будем использовать следующие обозначения. Пусть $L^{0}[0,1]$ – класс всех почти везде конечных измеримых на $[0,1]$ функций, a $M[0,1]$ – класс всех измеримых на $[0,1]$ функций. Говорят, что последовательность $\{f_k(x)\}_{k=1}^{\infty}\subset L^{0}[0,1]$ сходится к $ f(x)$ в $L^{0}[0,1]$ (соответственно в $M[0,1]$), если $\{f_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ сходится к $ f(x)$ почти всюду на $[0,1]$ (соответственно почти всюду или по мере на $[0,1]$). Пусть $E\subseteq[0,1]$ – некоторое измеримое множество и $|E|$ – мера Лебега измеримого множества $E\subseteq [0,1]$, пусть $L^{p}(E) $ – класс всех тех измеримых на $E$ функций, для которых $\displaystyle\int_{E}|f(x)|^{p}\,dx<\infty$, $p>0$. Пусть $f,f_k\in L^{p}[0,1]$, $k\in\mathbb{N}$ ($\mathbb{N}$ – совокупность всех натуральных чисел). Говорят, что последовательность $\{ {f}_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ сходится к $ f(x)$ в $L^{p}[0,1]$, если $\{f_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ сходится к $ f(x)$ в метрике $L^{p}[0,1]$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\int_0^{1}|{f}_k(x)-f(x)|^{p}\,dx=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Ряд $\sum_{k=1}^{\infty}{f}_k(x)$, ${f}_k\in L^{p}[0,1]$, $p\geqslant0$, называется универсальным в $L^{p}[0,1]$, $p\geqslant0 $ (соответственно в $M[0,1]$), если для каждой функции $f\in L^{p}[0,1]$ (соответственно $f\in M[0,1]$) существует возрастающая подпоследовательность натуральных чисел $n_k$ такая, что подпоследовательность частичных сумм ряда $\sum_{k=1}^{\infty }{f}_k(x)$ с номерами $n_k$ сходится к $f(x)$ в $L^{p}[0,1]$ (соответственно в $M[0,1]$). Пусть $\Phi:=\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty}$ – полная в $L^{2}[0,1]$ ортонормированная система ограниченных функций, и пусть
$$
\begin{equation}
c_k(f):=\int_0^{1}U(x)\varphi_k(x)\,dx, \qquad k\in\mathbb{N} \cup\{0\},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
– коэффициенты Фурье, а
$$
\begin{equation}
S_{m}(f): =\sum_{k=0}^{m}c_k(f)\varphi_k(x), \qquad m\in\mathbb{N}\cup\{0\},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
– частичные суммы ряда Фурье $\sum_{k=0}^{\infty}c_k(f)\varphi_k(x)$ по системе $\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty}$ функции $f\in L^{1}[0,1]$. Пусть $S$ – какое-нибудь из пространств $L^{p}[0,1]$, $p\in({0,1})$, $L^{0}[0,1]$ и $M[0,1]$. Через $\#(\Omega) $ будем обозначать количество точек конечного множества $\Omega$. Прежде чем перейти к формулировке некоторых результатов, дадим соответствующее определение. Определение 1. Пусть $\Omega\subset \Lambda\subseteq\mathbb{N}$, $\rho(\Omega)_{\Lambda}$ называется плотностью подмножества $\Omega$ относительно множества $\Lambda$. Определение 2. Будем говорить, что функция $U\in L^{1}[a,b]$ для класса $S$ относительно системы $\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty}$ 1) универсальна, если ряд Фурье функции $U(x)$ по этой системе универсален в $S$, 2) условно универсальна, если существует последовательность знаков $\{\delta_k= \pm1\}_{k=0}^{\infty}$ такая, что ряд $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)$ универсален в $S$, 3) почти универсальна, если существует последовательность знаков $\{\delta_k= \pm1\}_{k=0}^{\infty}$ с $\rho(\Omega)_{\Lambda}=1$ (где $\Omega(U)= \{k\in\Lambda(U)=\operatorname{spec}(U),\,\delta_k=1\}$) такая, что ряд $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)$ универсален в $S$, 4) универсальна в смысле знаков, если для каждой функции $f\,{\in}\, S$ можно найти последовательность знаков $\{\delta_k\,{=}\,\pm1\}_{k=0}^{\infty}$, для которой ряд $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)$ сходится к функции $f(x)$ в $S$, 5) универсальна в смысле перестановок, если ряд Фурье функции $f(x)$ по этой системе универсален в $S$ в смысле перестановок, т.е. для каждой функции $f\in S$ члены ряда $\sum_{k=0}^{\infty}c_k(U)\varphi_k(x)$ можно переставить так, чтобы вновь полученный ряд $\sum_{k=1}^{\infty}c_{\sigma(k)}(U)\varphi_{\sigma (k)}(x)$ сходился к функции $f(x)$ в $S$. Определение 3. Будем говорить, что функция $U\in L^{1}[0,1]$, измеримое множество $E\subset [0,1]$ и последовательность знаков $\mathbf{\delta}=\{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty}$ образуют универсальную тройку ($U,E,\mathbf{\delta}$) для пространства $S$ относительно системы $ \Phi:=\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty}$ в смысле модификации, если a) ряд $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)$ универсален в $S$, b) для каждой функции $f\in L^{1}[0,1]$ можно найти функцию $\widetilde{f}\in L^{1}[0,1]$ такую, что $\widetilde{f}(x)=f(x)$ на $E$ и $|c_k(\widetilde{f})|=|c_k(U)|$, $k=0,1,2,\dots$ . Отметим, что из теоремы Колмогорова (см. [26]) (из теоремы Ватари, см. [25]), ряд Фурье каждой интегрируемой функции по тригонометрической системе (соответственно по системе Уолша) сходится в метрике $L^{p}$, $p\in(0,1)$, следует, что не существует интегрируемой функции, ряд Фурье которой по тригонометрической системе (соответственно по системе Уолша) является универсальным в классе всех измеримых функций. Значит, не существует функции, универсальной для класса $L^{p}[0,1]$, $p\in[0,1)$, относительно тригонометрической системы (соответственно относительно системы Уолша). Отметим также, что не существует функции, универсальной для класса $L^{p}[0,1]$, $p\in(0,1)$, относительно системы Виленкина, Хаара и Франклина. Тем не менее в работах [8]–[10] мы доказали, что для классов $L^{p}$, $p\in (0,1)$, как относительно системы Уолша, так и относительно тригонометрической системы существуют условно универсальные функции. Отметим также, что в [10] построена универсальная тройка ($U,E,\mathbf{\delta}$) для классов $L^{p}[0,1]$, $p\in(0,1)$, относительно системы Уолша в смысле модификации. Более того, имеет место следующее утверждение. Теорема 1. Существует интегрируемая функция $U$ со сходящимся всюду на $[0,1)$ и по $L^{1}[0,1)$-норме рядом Фурье–Уолша такая, что 1) $U$ является почти универсальной для класса $L^{p}[0,1]$, $p\in(0,1)$, относительно системы Уолша, 2) для любого $\varepsilon>0$ существуют измеримое множество $E\subset [0,1]$ с мерой $|E|>1-\varepsilon$ такое, что для каждой функции $f\in L^{1}[0,1]$ можно найти функцию $\widetilde{f}\in L^{1}[0,1]$ такую, что $\widetilde{f}(x)=f(x)$ на $E$ и $ |c_k(\widetilde{f})|=|c_k(U)|$, $k=0,1,2,\dots$ . В работах [8], [9] мы изучали вопрос существования функций, универсальных для классов $L^{p}$ при $p\in(0,1)$ относительно системы Уолша (соответственно относительно тригонометрической системы) в смысле знаков, а в [14] мы доказали следующую теорему. Теорема 2. Существуют интегрируемая функция $U\in L^{1}[0,1]$ со сходящимся по $L^{1}[0,1]$ норме рядом Фурье–Уолша с монотонно убывающими коэффициентами и подпоследовательность натуральных чисел $\{N_{m}\}_{m=1}^{\infty}$ такие, что: 1) для каждой функции $f\in M[0,1]$ можно найти последовательность знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty}$, для которой подпоследовательность $\sum_{k=0}^{N_{m}}\delta_kc_k(U)W_k(x)$ сходится к $f(x)$ почти всюду на $[0,1]$; 2) функция $U$ универсальна для класса $M[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков в случае сходимости по мере (т.е. для каждой функции $f\in S$ можно найти последовательность знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty}$, для которой ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\delta_kc_k(U)W_k(x)$ сходится к функции $ f(x)$ по мере на $[0,1]$). Замечание 1. Теорема 2 окончательна в следующем смысле: в этой теореме вместо $\{N_{m}\}_{m=1}^{\infty}$ нельзя взять $m$, поскольку известно (см. [27]), что ряды Уолша не сходятся к $\infty$ на множестве положительной меры. Значит, невозможно построить функцию, универсальную для класса $M[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков в случае сходимости почти всюду. Однако существует функция $U\in L^{1}[0,1]$, которая является универсальной для класса $M[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков в случае сходимости по мере (см. [14]), и можно построить функцию универсальную для класса $L^{0}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков в случае сходимости почти всюду. В настоящей работе мы докажем следующую теорему, анонсированную в работе [13]. Теорема 3. Существует функция $U\in L^{1}[0,1]$ со сходящимся по $L^{1}[0,1]$-норме и почти всюду на $[0,1]$ рядом Фурье–Уолша с монотонно убывающими коэффициентами, которая является универсальной для класса $L^{0}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков. Замечание 2. Отметим, что нам неизвестно, верны ли теоремы 1–3 для тригонометрической системы, отметим также, что эти теоремы не верны для общей ортонормированной системы, в частности теорема 3 не верна для системы $\{f_{n}(x)\}$, построенной Б. С. Кашиным в работе [28] (им была построена полная в $L^{2}[0,1]$ ортонормированная система $\{f_{n}(x)\}$ ограниченных функций такая, что из сходимости почти всюду нa $[0,1]$ ряда $\sum_{k=1}^{\infty}a_kf_k(x)$ вытекает $\sum_{k=1}^{\infty}a_k^{2}\,{<}\,\infty$), т.е. относительно системы $\{f_{n}(x)\}$ не существует функции $U\in L^{1}[0,1]$, которая была бы универсальной для класса $L^{0}[0,1]$ в смысле знаков. Заметим также, что, каковы бы ни были число $p\geqslant1$ и ограниченная ортонормированная система $\{\varphi_{n}(x)\}$, не существует функции $U\in L^{1}[0,1]$, которая для класса $L^{1}[0,1]$ относительно системы $\{\varphi_{n}(x)\}$ (в частности относительно системы Уолша) была бы универсальной в смысле знаков. Действительно, если бы при некотором $p\geqslant1$ относительно некоторой ограниченной ортонормированной системы $\{\varphi_{n}(x)\}$ существовала функция $U\in L^{1}[0,1]$, которая универсальна для класса $L^{p}[0,1]$, $p\geqslant1$, в смысле знаков, то для любой функции $ g(x)\in L^{p}[0,1]$, $p\geqslant1$, с $c_1(g)\neq0$ нашлись бы числа $\{\delta_k=\pm 1\}_{k=0}^{\infty}$ и $\{\varepsilon_k=\pm 1\}_{k=0}^{\infty}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lim_{m\to\infty}\int_0^{1} \biggl|\sum_{k=0}^{m}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)- g(x)\biggr| \, dx=0, \\ \lim_{m\to\infty}\int_0^{1} \biggl| \sum_{k=0}^{m}\varepsilon_kc_k(U)\varphi_k(x)- 4g(x)\biggr|\, dx =0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда (ввиду того, что $\delta_1c_1(U)=c_1(g)$ и $\varepsilon _1c_1(U)=c_1(4g)=4c_1(g)$) сразу получаем противоречие: $\varepsilon_1=4\delta_1$. Аналогично доказывается, что не существует функции условно (следовательно и почти) универсальной для класса $L^{1}[0,1]$ относительно системы Уолша. Замечание 3. Следует отметить, что существование универсальных функций (как видно из полученных нами результатов) зависит от типа универсальности, от системы, от смысла сходимости и от пространства (т.е. вопросы в этом направлении весьма емки), а также, что любую измеримую, почти всюду конечную функцию путем изменения ее значений на множестве сколь угодно малой меры можно превратить в универсальную функцию относительно системы Уолша (в частности для класса $L^{0}[0,1]$) в смысле знаков. Имеет место более сильное утверждение Теорема 4. Существует функция $U\in L^{1}[0,1]$ со сходящимся по $L^{1}[0,1]$ норме рядом Фурье–Уолша с монотонно убывающими коэффициентами со свойствами: 1) $U$ является универсальной для класса $L^{0} [0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков и универсальна для класса $M[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков в случае сходимости по мере; 2) для любого $\varepsilon>0$ существуют измеримое множество $E\subset [0,1]$ с мерой $|E|>1-\varepsilon$ такое, что для каждой функции $f\in L^{1}[0,1]$ можно найти функцию $\widetilde{f}\in L^{1}[0,1]$ такую, что $\widetilde{f}(x)=f(x)$ на $E$ и $|c_k(\widetilde{f})|=|c_k(U)|$, $k=0,1,2,\dots$ . Из теоремы 4 вытекает Теорема 5. Для любого $\varepsilon>0$ существуют измеримое множество $E\subset [0,1]$ с мерой $|E|>1-\varepsilon$ и для каждой функции $f\in L^{1}[0,1]$ можно найти функцию $\widetilde{f}\in L^{1}[0,1]$ такую, что $\widetilde{f}(x)=f(x)$ на $E$ и $\widetilde{f}(x)$ универсальна для класса $L^{0}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков, а также универсальна для класса $M[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков в случае сходимости по мере. Доказательства теорем 1 и 4 будут даны в другой статье автора. Итак, мы имеем следующую картину: 1) не существует функции, универсальной для класса $M[0,1]$ (следовательно, и для класса $L^{p}[0,1]$, $p\in [0,1)$) относительно классических систем; 2) существует почти универсальная функция для класса $L^{p}[0,1]$, $p\in (0,1)$ (следовательно и для класса $L^{0}[0,1]$, $M[0,1]$), относительно системы Уолша; 3) существует функция $U\in L^{1}[0,1]$, которая является универсальной для класса $L^{p}[0,1]$, $p\in(0,1)$, относительно системы Уолша в смысле знаков; 4) существует функция $U\in L^{1}[0,1]$, которая является универсальной для класса $L^{0}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков (в случае сходимости всюду); 5) существует функция $U$, универсальная для класса $M[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков в случае сходимости по мере, но не существует функции, универсальной для класса $M[0,1]$ в смысле знаков в случае сходимости почти всюду; 6) не существует функции, универсальной для класса $L^{1}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков, но существует асимптотическая универсальная функция в смысле знаков (см. [10]), т.е. существуют функция $U\in L^{1}[0,1]$ и измеримые множества $E_{n}\subset E_{n+1}\subset[0,1]$, $n=1,2,\dots$, с $\lim_{n\to\infty}|E_{n}|=1$ такие, что для каждой функции $f\in L^{1}[0,1]$ можно найти последовательность знаков $\{\varepsilon_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty}$ так, чтобы для любого $n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to\infty}\int_{E_{n}} \biggl| \sum_{k=0}^{m}\varepsilon_kc_k(U)W_k(x)- f(x)\biggr| \, dx=0;
\end{equation*}
\notag
$$
7) не существует функции, условно универсальной для класса $ L^{1}[0,1]$ относительно системы Уолша, но существует асимптотическая почти универсальная функция, т.е. существуют функция $U\in L^{1}[0,1]$, измеримые множества $E_{n}\subset E_{n+1}\subset[0,1]$, $n=1,2,\dots$, с $ \lim_{n\to\infty}|E_{n}|=1$, последовательность знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty }$, с $\rho(\Omega)_{\Lambda}=1$ (где $\Omega(U)= \{k\in\Lambda(U)=\operatorname{spec}(U),\delta_k=1\}$) такие, что для каждой функции $f\in L^{1}[0,1]$ можно найти подпоследовательность натуральных чисел $\{N_{m}\}_{m=1}^{\infty}\nearrow $ так, чтобы для любого $n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to\infty}\int_{E_{n}} \biggl| \sum_{k=0}^{N_{m}}\delta_kc_k(U)W_k(x)- f(x)\biggr| \, dx=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В связи с приведенными выше утверждениями добавим, что нам неизвестны ответы на следующие вопросы. Вопрос 1. Существует ли функция $ U\in L^{1}[0,1]$, универсальная для классов $L^{0}[0,1]$ и $M[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле перестановок? Вопрос 3. Верна ли теорема 4 для тригонометрической системы? Вопрос 4. Существует ли функция $U\in L^{1}(0,1)$, универсальная для некоторого класса $L^{p}[0,1]$, $p\in [0,1)$, относительно системы Хаара и Франклина в смысле знаков? Вопрос 5. Существует ли функция $U\in L^{1}[0,2\pi)$, универсальная для классов $L^{p}[0,2\pi]$, $p\in(0,1)$, относительно тригонометрической системы в смысле перестановок? Вопрос 6. Существует ли ортонормированная система $\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty}$ ограниченных функций и функция $U\in L^{1}[0,1)$, универсальная для некоторого класса $L^{p}[0,1]$, $p\in [0,1)$, относительно системы $\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty}$? Автор выражает благодарность Б. С. Кашину за внимание к работе и полезные замечания. § 2. Вспомогательные фактыНапомним определение системы Уолша–Пэли $W=\{W_n(x)\}$ (см. [29]):
$$
\begin{equation}
W_0(x)=1, \qquad W_n(x)=\prod_{s=1}^{k}r_{m_s}(x), \qquad n=\sum_{s=1}^{k}2^{m_s}, \quad m_1>m_{2}>\dots >m_s,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\{r_k(x)\}_{k=0}^{\infty}$ – система Радемахера
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_0(x)= \begin{cases} 1, &x\in\biggl[0,\dfrac{1}{2}\biggr), \\ r-1, &x\in\biggl[\dfrac{1}{2},1\biggr). \end{cases} \\ r_0(x+1)=r_0(x), \qquad r_k(x)=r_0(2^{k}x), \quad k=1,2,\dots\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Система Уолша–Пэли является одной из популярных систем функций, ее изучению было посвящено много работ. Одно из главных свойств этой системы состоит в том, что она образует ортогональный базис в пространствах $L^{p}[0,1)$, $p\in(1,\infty)$ (см. [30], [31]). Введем некоторые обозначения. Пусть $|E|$– мера Лебега измеримого множества $E\subseteq [0,1)$. Разобьем полуинтервал $[0,1)$ на $2^{m}$ равных частей $[(k-1)/2^{m},k/2^{m})$, $k\in [1,2^{m}]$, эти полуинтервалы в дальнейшем будем называть двоичными интервалами. Пусть
$$
\begin{equation}
\chi_{E}(x)= \begin{cases} 1, &x\in E, \\ 0, &x\notin E, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
– характеристическая функция множества $E$, и пусть – коэффициенты Фурье–Уолша функции $g\in L^{1}(0,1)$. Пусть Для произвольного положительного числа $\delta$ и для любого натурального числа $n$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
|S_{n}(x,g)| <\frac{2}{\delta}\int_{c}^{d}|g(t)|\,dt \quad \forall\, x\notin[ c-\delta,d+\delta],
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $g(t)$ – произвольная интегрируемая и вне $(c,d)$ обращающаяся в нуль функция. Мы будем использовать следующее хорошо известные свойства системы Уолша (см. [31]), которые будут использованы в процессе доказательств основных лемм:
$$
\begin{equation}
W_{i}(x)W_j(2^{s}x)=W_{j2^{s}+i}(x) \quad\text{при }\ 0\leqslant i <2^{s} \text{ (см. (2.1))},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{k=0}^{n}W_k(x)\biggr|\leqslant\frac{1}{x},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{2^{m}-1}W_k(x)= \begin{cases} 2^{m}, & x\in[0,2^{-m}), \\ 0, & x\in[2^{-m},1). \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Из последних неравенств получаем, что для любых натуральных чисел $1\leqslant M<N\leqslant2^{n}$ имеет место
$$
\begin{equation}
\int_0^{1}\biggl|\sum_{k=M}^{N}W_k(x)\biggr|\, dx \leqslant\int_0^{2^{-n}}2^n\,dx+2\int_{2^{-n}}^{1}\frac{1}{x}\,dx\leqslant3n,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=2^{m}}^{2^{m+1}-1}W_k(x)= \begin{cases} 2^{m}, & x\in[ 0,2^{-m-1}), \\ -2^{m}, & x\in(2^{-m-1},2^{-m}), \\ 0, & x\in(2^{-m},1]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Мы также будем использовать следующую лемму, доказанную в работе [32]. Лемма 1. Для любого двоичного интервала $\Delta:=[(k-1)/2^{\sigma},k/2^{\sigma})$, $k\in [1,2^{\sigma}]$, и для любого натурального числа $ m >\sigma$, где $m-\sigma$ четное, существуют измеримые множества $E^{+},E^{-}\subset \Delta$ и многочлен по системе Уолша такие, что $E^{+}$ и $ E^{-}$ – конечные объединения двоичных интервалов, § 3. Доказательства основных леммВ доказательствах основных лемм воспользуемся конструкциями из [33] и [34] (для удобства читателя мы подробно приводим доказательства лемм). Лемма 2. Пусть даны натуральное число $n_0\in\mathbb{N}$ и двоичный интервал $\Delta =[(k-1)/2^l,k/2^l)\subset[2^{-n_0},1)$, $l\geqslant n_0$. Тогда для любых чисел $\eta\in(0,1)$, $\gamma\neq0$ и натуральных чисел $\lambda$, $\nu$ с $\lambda<\nu$ существуют измеримые множества $G\subset E\subset\Delta$ и полиномы
$$
\begin{equation*}
U(x)=\sum_{k=2^{n_0}}^{{2^{n}}-1}b_kW_k(x), \qquad P(x)=\sum_{k=2^{n_0}}^{{2^{n}}-1}\delta_kb_kW_k(x), \quad\delta_k =\pm1,
\end{equation*}
\notag
$$
по системе Уолша такие, что:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1)\quad |E|=(1-2^{-\nu})|\Delta|, \qquad |G|=|\Delta|(1-2^{-\lambda}); \\ &2)\quad 0<b_{k+1}\leqslant b_k<\eta, \quad\textit{когда }\ k\in[2^{n_0},2^{n}-1); \\ &3)\quad U(x)\cdot\chi_{[2^{-n_0},1]}(x)=0; \\ &4)\quad P(x)= \begin{cases} \gamma, & x\in E, \\ 0, & x\in[2^{-n_0},1)\setminus\Delta; \end{cases} \\ &5)\quad \int_0^{1}|U(x)|\,dx\leqslant\max_{2^{n_0}\leqslant M<2^{n}} \int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}b_kW_k(x)\biggr|\, dx<\eta; \\ &6)\quad \max_{2^{n_0}\leqslant M<2^{n}}\int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr|\, dx <A_1|\gamma|\,|\Delta|; \\ &7)\quad \max_{2^{n_0}\leqslant M<2^{n}}\biggl|\sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr| <\begin{cases} A_12^{\lambda}|\gamma |+\eta,& x\in G, \\ \eta,& x\in[2^{-n_0+1},1]\setminus\Delta, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $A_1$ – константа. Доказательство. Интервал $\Delta$ представим в виде объединения двоичных интервалов $\Delta_{i}^{(1)}$, $i\in[1,N_1]$, с мерой
$$
\begin{equation}
|\Delta_{i}^{(1)}|=2^{-l_1}, \qquad i\in[1,N_1], \qquad N_1=2^{(l_1-l)},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где натуральное число $l_1$ удовлетворяет условиям ($A_0$ – постоянная из леммы 1).
По индукции будем определять множества $E_1^{(-)}\supset E_{2}^{(-)}\supset\dots\supset E_s^{(-)}\supset\dotsb$, числа $l_1<l_{2}<\dots<l_s<\dotsb$ и $m_1<m_{2}<\dots<m_s<\dotsb$ и многочлены $\{Q_j^{(1)}(x)\}_{j=1}^{\infty}$; $\{Q_j^{(\Diamond)}(x)\}_{j=1}^{\infty}$, $\{{Q}_j^{(2)}(x)\}_{j=1}^{\infty}$, $\{P_s^{(\Diamond)}(x)\}_{s=1}^{\infty}$, $\{P_s(x)\}_{s=1}^{\infty}$, удовлетворяющие некоторым условиям (см. (3.19)–(3.43)). Допустим, что уже построены многочлены $P_1(x),\dots, P_{s-1}(x)$, множества $E_{s-1}^{(-)}\subset E_{s-2}^{(-)}\subset\dots\subset E_1^{(-)}\subset E_0^{(-)}=\Delta$ и числа $l_1<l_{2}<\dots<l_{s-1}$, $ m_1<m_{2}<\dots<m_{s-1}$, которые для всех $1\leqslant j\leqslant s-1$ удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation}
P_j(x)={Q}_j^{(1)}(x)+{Q}_j^{(2)}(x)+P_j^{(\Diamond)}(x)=\sum_{k=2^{n_{j-1}+1}}^{2^{n_j+1}-1} a_kW_k(x) \quad \forall\, x\in E_j^{(-)},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $E_j^{(-)}$ является конечным объединением двоичных интервалов с мерой $ 2^{-j}|\Delta|=2^{-j-l}$ и
$$
\begin{equation}
|a_k|\geqslant|a_{k+1}|\geqslant\dots\geqslant|a_{2^{n_j+1}-1}|=2^{s-1} |\gamma|2^{-(\sigma_j+m_j)/2} \quad\forall\, k\in[ 2^{n_{j-1}+1},2^{n_j+1}),
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
при $j=1$ под $2^{n_{j-1}+1}$ понимаем $2^{n_0}$.
Выберем натуральные числа $l_s$, $N_s$ так, чтобы и множество $E_{s-1}^{(-)}$ представлялось в виде
$$
\begin{equation}
E_{s-1}^{(-)} =\bigcup_{i=1}^{N_s}\Delta_{i}^{(s)},
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где $\Delta_j^{(s)}$ – двоичный интервал с мерой
$$
\begin{equation}
|\Delta_{i}^{(s)}|=2^{-l_s} \quad\forall\, i\in[1,N_s].
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Из (3.3), (3.5) и (3.8) следует, что Ясно, что (см. также (3.3))
$$
\begin{equation}
|\gamma|2^{-l_s}\leqslant|\gamma|2^{-2(s-1)-l_1}\leqslant\min\biggl\{\frac{\eta }{2^{2(s-1)}};\frac{|\gamma|2^{-l}}{2^{2s}}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Выберем натуральное число $m_s$ так, чтобы
$$
\begin{equation}
m_s\geqslant\max\{N_s+2l+2s;n_{s-1}+1\}, \qquad 2^{m_s/2}\geqslant(m_s+l_s\}2^{l_s/2}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
и $m_s-l_s$ было четным.
Положим
$$
\begin{equation}
Q_s^{(1)}(x)=\sum_{k=2^{n_{s-1}+1}}^{2^{n_s}-1}a_kW_k(x) =\frac{2^{s-1}|\gamma|2^{-l_s}}{n_s}\sum_{k=2^{n_{s-1}+1}}^{2^{n_s}-1}W_k(x).
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Из (3.3) следует, что при $s=1$ имеем
$$
\begin{equation}
|a_k|=\frac{|\gamma|2^{-l_1}}{n_1}\leqslant|\gamma|2^{-l_1}\leqslant \eta \quad \forall\, k\in[2^{n_0},2^{n_1}),
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
а в случае $s>1$ из (2.7), (3.8) и (3.15) следует, что при $ k\in[2^{n_{s-1}+1},2^{n_s})$ выполняется
$$
\begin{equation}
|a_k|=\frac{2^{s-1}|\gamma|2^{-l_s}}{n_s}\leqslant2^{s-2}|\gamma |2^{-(l_{s-1}+m_{s-1})/2}=|a_{2^{n_{s-1}+1}-1}| \quad\forall\, k\in[2^{n_{s-1}+1},2^{n_s}),
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
т.е. коэффициенты многочлена ${Q}_s^{(1)}(x)$ по модулю меньше, чем модули коэффициентов $P_{s-1}(x)$.
В силу(2.7)–(2.9), (3.12), (3.15), (3.16) и (3.18) для многочлена ${Q}_s^{(1)}(x)$ получаем
$$
\begin{equation}
{Q}_s^{(1)}(x)=0 \quad\forall\, x\geqslant2^{-n_0},
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^{1}|Q_s^{(1)}(x)|\,dx \leqslant2\frac{2^{s-1}|\gamma|2^{-l_s}}{n_s} \leqslant\min\biggl\{\frac{\eta}{2^{(s-1)}};\frac{|\gamma|2^{-l}}{2^{s}}\biggr\} \leqslant2^{-s}|\gamma|\,|\Delta|,
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} \max_{2^{n_{s-1}+1}\leqslant M<2^{n_s}}\int_0^{1} \biggl|\sum_{k=2^{n_{s-1}+1}}^{M}a_kW_k(x)\biggr|\, dx &\leqslant 3n_s \frac{2^{s-1}|\gamma|2^{-l_s}}{n_s} \\ &\leqslant\min\biggl\{\frac{\eta}{2^{(s+1)}};\frac{|\gamma|\,|\Delta|}{2^{s-1}}\biggr\}, \end{split}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
$$
\begin{equation}
\max_{2^{n_{s-1}+1}\leqslant M<2^{n_s}} \biggl| \sum_{k=2^{n_{s-1}+1}}^{M}a_kW_k(x)\biggr| \leqslant\frac{2^{s-1}|\gamma|2^{-l_s}}{n_s}\frac{1}{x}\leqslant\frac{\eta}{2^{(s+1)}} \quad\forall\, x>[2^{-n_0},1).
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Для каждого $j\in[1,N_s]$, применив лемму 1 при $m=m_s$ и $\Delta=\Delta_j^{(s)}$, получаем полином вида
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=2^{m_s}}^{2^{m_s+1}-1}\beta_k^{(j)}W_k(x)= \begin{cases} \pm1, & x\in e_j^{\pm}\subset\Delta_j^{(s)}, \\ 0, & x\notin\Delta_j^{(s)}, \end{cases} \qquad |e_j^{+}|=|e_j^{-}|=\frac{|\Delta_j^{(s)}|}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $e_j^{+}$ и $ e_j^{-}$ – конечные объединения двоичных интервалов и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |\beta_k^{(j)}|=2^{-(m_s +l_s)/2}, \qquad k=2^{m},\dots, 2^{m+1}-1, \\ \max_{0\leqslant M<2^{n}}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\beta_k^{(j)}W_k(x)\biggr| <2^{-(m_s -l_s)/2} \qquad x\notin\Delta _j^{(s)}, \\ \max_{0\leqslant M<2^{n}}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\beta_k^{(j)}W_k(x)\biggr| <A_0 \quad\forall\, x\in\Delta_j^{(s)} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
($A_0$ – константа леммы 1). Обозначая через
$$
\begin{equation}
P_s^{(j)}(x):=\sum_{k=2^{m_s}}^{2^{m_s+1}-1}2^{s-1}\gamma\beta _k^{(j)}W_k(x)=\sum_{k=2^{m_s}}^{2^{m_s+1}-1}a_kW_k(x),
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
имеем
$$
\begin{equation}
\nonumber \sum_{k=2^{m_s}}^{2^{m_s+1}-1}2^{s-1}\gamma\beta_k^{(j)} W_k(x)= \begin{cases} \pm2^{s-1}\gamma, & x\in e_j^{\pm}\subset\Delta_j^{(s)}, \\ 0, & x\notin\Delta_j^{(s)}, \end{cases}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\max_{2^{m_s}\leqslant M<2^{m_s+1}} \biggl| \sum_{k=2^{m_s}}^{M}2^{s-1}\gamma\beta_k^{(j)}W_k(x)\biggr| \leqslant A_02^{s-1}|\gamma| \quad\forall\, x\in\Delta_j^{(s)} ,
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber P_s^{(j)}(x)=0, \qquad \max_{2^{m_s}\leqslant M<2^{m_s+1}}\biggl| \sum_{k=2^{m_s}}^{M}2^{s-1}\gamma\beta_k^{(j)}W_k(x)\biggr|
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\leqslant 2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s -l_s)/2} \quad\forall\, x\notin\Delta_j^{(s)} ,
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
$$
\begin{equation}
2^{s-1} |\gamma\beta_k^{(j)}|=2^{s-1}|\gamma|2^{-(l_s+m_s)/2} \leqslant\frac{2^{s-1}|\gamma|2^{-l_s}}{l_s+m_s}\leqslant\frac{2^{s-1}|\gamma|2^{-l_s}}{n_s}.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
P_s^{(\Diamond)}(x):=\sum_{j=1}^{N_s}P_s^{(j)}(x)W_{2^{n_s}+(j-1)2^{m_s+1}}(x),
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
$$
\begin{equation}
E_s^{(-)}:=\bigl\{ x\in E_{s-1}^{(-)} ;\gamma P_s^{(\Diamond )}(x)<0\bigr\} , \qquad E_s^{(+)}:=\bigl\{ x\in E_{s-1}^{(-)} ;\gamma P_s^{(\Diamond)}(x)>0\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
$$
\begin{equation}
P_s^{(\Diamond)}(x)=0, \qquad x\notin E_{s-1}^{(-)},
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
$$
\begin{equation}
P_s^{(\Diamond)}(x)=2^{s-1}\gamma \quad \forall\, x\in E_s^{(+)},
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
$$
\begin{equation}
P_s^{(\Diamond)}(x)=-2^{s-1}\gamma \quad\forall\, x\in E_s^{(-)},
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
$E_s^{(-)}$, $ E_s^{(+)} $ являются конечными объединениями двоичных интервалов с
$$
\begin{equation}
|E_s^{(+)}|= |E_s^{(-)}|=\frac{1}{2} |E_{s-1}^{(-)}|=\frac{1}{2^{s}}|\Delta|.
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Ясно, что (см. (3.10), (3.22), (3.23), (3.25), (3.27) и (3.32))
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_0^{1}|P_s^{(\Diamond)}(x)|\,dx &=\sum_{j=1}^{N_s}\int_0^{1}|P_s^{(j)}(x)|\,dx =\sum_{j=1}^{N_s}2^{s-1}|\gamma|\,|\Delta_j^{(s)} | \\ &=2^{s-1}|\gamma|\,|E_{s-1}^{(-)}|=|\gamma|\,|\Delta|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
{Q}_s^{(\diamondsuit)}(x):=\sum_{k=0}^{2^{m_s}-1}2^{s-1}\gamma2^{-(l_s+m_s)/2}W_k(x),
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
$$
\begin{equation}
{Q}_s^{(2)}(x):=\sum_{j=1}^{N_s}{Q}_s^{(\diamondsuit)}(x)W_{2^{n_s}+(j-1)2^{m_s+1}}(x).
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Из определения полинома ${Q}_s^{(2)}(x)$, (2.8), (3.13), (3.14), (3.34) и (3.35) следует, что
$$
\begin{equation}
\int_0^{1}|{Q}_s^{(2)}(x)|\,dx \leqslant N_s2^{s-1}|\gamma|2^{-(l_s+m_s)/2} =|\gamma|2^{-(m_s-l_s)/2-l}\leqslant2^{-s}|\gamma|\,|\Delta|.
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
Рассмотрим следующие полиномы:
$$
\begin{equation}
P_s(x):={Q}_s^{(1)}(x)+{Q}_s^{(2)}(x)+P_s^{(\Diamond)}(x)=\sum _{k=2^{n_{s-1}+1}}^{2^{n_s+1}-1}a_kW_k(x),
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
$$
\begin{equation}
U_s(x):=\sum_{k=2^{n_{s-1}+1}}^{2^{n_s+1}-1}|a_k|W_k(x)={Q} _s^{(1)}(x)+\sum_{k=2^{n_s}}^{2^{n_s+1}-1}|a_k|W_k(x).
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
Ясно, что модули коэффициентов $a_k$ равны $ 2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s +l_s)/2}$ при $k\in[2^{n_s},2^{n_s+1})$ (см. (2.6)), поэтому для коэффициентов полинома $P_s(x)$ получаем (см. также (3.18) и (3.26))
$$
\begin{equation}
|a_{2^{n_{s-1}+1}-1}|\geqslant|a_{2^{n_{s-1}+1}}|=\dots =|a_{2^{n_s}-1}|\geqslant|a_{2^{n_s}}|=\dots =|a_{2^{n_s+1}-1}|>0.
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
Из (2.8), (3.25)–(3.27), (3.34),(3.35) и (3.39) вытекает В силу (2.9), (3.13)–(3.17), (3.21) и (3.26) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\max_{2^{n_s}\leqslant M<2^{n_s+1}}\int_0^{1} \biggl|\sum_{k=2^{n_{s-1}+1}}^{M}|a_k|W_k(x)\biggr|\, dx \leqslant\frac{\eta}{2^{s+2}}+3n_s2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s +l_s)/2} \\ &\qquad\leqslant\frac{\eta}{2^{s+2}}+3n_s\frac{2^{s-1}|\gamma|2^{-l_s}}{m_s +l_s}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
Поэтому с учетом (3.15), (3.18), (3.21) и (3.42) получаем
$$
\begin{equation}
\max_{M<2^{n_s+1}}\int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_{s-1}+1}}^{M}|a_k|W_k(x)\biggr|\, dx \leqslant\frac{\eta}{2^{s+1}}, \qquad |a_k|>0.
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
Таким образом, по индукции определяются множества $E_1^{(-)}\supset E_{\lambda}^{(-)}\supset\dots \supset E_j^{(-)}\supset\dots \supset\dots\supset E_{\nu}^{(-)}\dotsb$ и полиномы $\{{Q}_j^{(1)}(x)\}_{j=1}^{\infty}$, $\{{Q}_j^{(\Diamond)}(x)\}_{j=1}^{\infty}$, $\{{Q}_j^{(2)}(x)\}_{j=1}^{\infty}$, $\{P_s^{(\Diamond)}(x)\}_{s=1}^{\infty}$, $\{P_s(x)\}_{s=1}^{\infty}$, удовлетворяющие условиям (3.19)–(3.43) (натуральные числа $\lambda,\nu$, $\lambda<\nu$, заданы заранее; см. формулировку леммы 1).
Определим множества
$$
\begin{equation}
E:=\Delta\setminus E_{\nu}^{(-)}, \qquad G:=\Delta\setminus E_{\lambda}^{(-)}
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
и многочлены
$$
\begin{equation}
U(x) :=\sum_{s=1}^{\nu}U_s(x)=\sum_{k=2^{n_0}}^{2^{n_{\nu}+1}-1}b_kW_k(x) =\sum_{k=2^{n_0}}^{2^n-1}|a_k|W_k(x),
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber P(x) :=\sum_{j=1}^{\nu}{Q}_j^{(1)}(x)+\sum_{j=1}^{\nu}{Q}_j^{(2)}(x) +\sum_{j=1}^{\nu}P_j^{(\Diamond)}(x)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\sum_{k=2^{n_0}}^{2^{n_s+1}-1}a_kW_k(x)=\sum_{k=2^{n_0}}^{2^n-1} \delta_kb_kW_k(x),
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
где
$$
\begin{equation}
\delta_k:=\operatorname{sign} \{a_k\}=\pm1, \qquad b_k:=|a_k|, \qquad k\in[2^{n_0},2^n), \qquad n:=n_{\nu}+1.
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
Ясно, что (см. (3.2), (3.32), (3.41)–(3.45))
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |E|=(1-2^{-\nu})|\Delta|, \qquad|G|=(1-2^{-\lambda})|\Delta|, \\ U(x)=0 \quad\forall\, x\in[2^{-n_0} ,1), \qquad \max_{M<2^n}\int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}b_kW_k(x)\biggr|\, dx\leqslant\eta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.23), (3.27)–(3.31) следует, что при всех $s\leqslant\nu$
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{s}P_j^{(\Diamond)}(x)= \begin{cases} \gamma, & x\in\Delta\setminus E_s^{(-)}, \\ -(2^{s-1}-1)\gamma, & x\in E_s^{(-)}, \\ 0, & x\notin\Delta. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.48}
$$
Учитывая также (3.17)–(3.19), (3.29), (3.32) и (3.35), получаем, что полиномы $U(x)$, $P(x)$ и множества $E$, $G$ удовлетворяют п. 1)–5), 7) и 8) леммы 2. Ясно также, что при всех $s\leqslant\nu$
$$
\begin{equation}
\max_{s\leqslant\nu}\int_0^{1}\biggl| \sum_{j=1}^{s}P_j^{(\Diamond)}(x)\biggr|\, dx \leqslant|\gamma|\,|\Delta\setminus E_{\nu}^{(-)}|+2^{\nu -1}|\gamma|\,|E_{\nu}^{(-)}|\leqslant2|\gamma|\,|\Delta|.
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
Пусть $M$ – некоторое натуральное число, удовлетворяющее условию $M\in[2^{n_0},2^n)$. Тогда для некоторого $s$, $1\leqslant s\leqslant\nu$, имеем $M\in[ 2^{1+n_{s-1}},2^{n_s})$ (при $s=1$ вместо $2^{1+n_{s-1}}$нужно понимать $2^{n_0}$). В случае, когда $M\in[2^{n_{s-1}+1},2^{n_s})$, $M<2^{n_r}$, $1\leqslant s\leqslant\nu$, полином (см. (3.46), (3.47)) имеет вид
$$
\begin{equation}
\sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)= \sum_{j=1}^{s-1}{Q}_j^{(1)}(x) +\sum_{j=1}^{s-1}{Q}_j^{(2)}(x)+\sum_{k=1}^{s-1}P_j^{(\Diamond)}(x) +\sum_{k=2^{n_{s-1}+1}}^{M}\delta_kb_kW_k(x),
\end{equation}
\tag{3.51}
$$
поэтому из (3.20) получаем, что $L^{1}[0,1)$ – норма первого слагаемого меньше чем $|\gamma|\,|\Delta|$. Аналогичная оценка получается и для нормы второго слагаемого (см. (3.37)). Следовательно, с учетом (3.21) и (3.49) имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr|\, dx\leqslant5|\gamma|\,|\Delta|.
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $M>2^{n_s}$, то при некотором числе $j\in[1,2^{n_s-m_s}]$ имеем $M\in[2^{n_s}+j2^{m_s},2^{n_s}+(j+1)2^{m_s})$, следовательно, полином (3.50) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x) = \sum_{j=1}^{s}{Q}_j^{(1)}(x)+\sum_{j=1}^{s-1}{Q}_j^{(2)}(x) +\sum_{k=1}^{s-1}P_j^{(\Diamond)}(x) \\ &\qquad +\sum_{j=2^{n_s}}^{2^{n_s}+j2^{m_s}-1}\delta_kb_kW_k(x) +\sum_{k=2^{n_s}+j2^{m_s}-1}^{M}\delta_kb_kW_k(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.52}
$$
Отсюда при $M\in[2^{n_s}+j2^{m_s},2^{n_s}+(j+1)2^{m_s})$ вытекает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr|\, dx &\leqslant\int_0^{1}\biggl| \sum_{j=1}^{s}{Q}_j^{(1)}(x)\biggr|\, dx +\int_0^{1}\biggl| \sum_{j=1}^{s-1}{Q}_j^{(2)}(x)\biggr|\, dx \\ &\qquad+\int_0^{1}\biggl| \sum_{j=1}^{s-1}P_j^{(\Diamond)}(x)\biggr|\, dx + \int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_s}}^{2^{n_s}+j2^{m_s}-1}a_kW_k(x)\biggr|\, dx \notag \\ &\qquad+\int_0^{1}\biggl|\sum_{k=2^{n_s}+j2^{m_s}}^{M}a_kW_k(x)\biggr|\, dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.53}
$$
Сумма первых трех слагаемых, как и в прежнем случае, меньше чем $4|\gamma|\,|\Delta|$. Четвертое слагаемое оценивается, как в (3.33) и (3.37), оно меньше чем $2|\gamma|\,|\Delta|$. Заметим также, что для четвертого слагаемого верно (см. (2.10), (3.34) и (3.35))
$$
\begin{equation}
\sum_{j=2^{n_s}}^{2^{n_s}+j2^{m_s}-1}\delta_k b_kW_k(x)=0, \qquad x\in[2^{-n_0},1).
\end{equation}
\tag{3.54}
$$
Для последнего слагаемого рассмотрим два случая. В случае, когда число $j$ четное, из определения многочлена ${Q}_j^{(2)}(x)$, из (2.6), (2.7), (2.9), (3.13) и (3.14) получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_s}+j2^{m_s}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr|\, dx &=2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s+l_s)/2}\int_0^{1} \biggl| \sum_{k=0}^{M-2^{n_s}-j2^{m_s}}W_k(x)\biggr|\, dx \\ & \leqslant 3m_s2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s +l_s)/2}\leqslant5|\gamma|\,|\Delta|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.55}
$$
и при $x\in[2^{-n_0},1)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \biggl| \sum_{k =2^{n_s}+j2^{m_s}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr| &=2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s +l_s)/2} \biggl| \sum_{k=0}^{M-2^{n_s}-j2^{m_s}}W_k(x)\biggr| \\ & \leqslant2^{r-1}|\gamma|2^{-(m_s +l_s)/2}\frac{1}{x}\leqslant \eta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.56}
$$
А если число $j$ нечетное, то с учетом (3.6), (3.23)–(3.25) и определения полинома $P_s^{(j)}(x)$ получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_s}+j2^{m_s}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr|\, dx =\int_{E_{s-1}^{(-)}}^{1}+\int_{[0,1)\setminus E_{s-1}^{(-)}}^{1} \\ \notag &\qquad\leqslant A_0|2^{s-1}|\gamma|\,|E_{s-1}^{(-)}|+2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s -l_s)/2} \\ &\qquad \leqslant A_0|\gamma|\,|\Delta|+2^{s-1}|\gamma|2^{-(s+l)}\leqslant(A_0+1)|\gamma|\,|\Delta|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.57}
$$
и при $x\in[2^{-n_0},1)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \biggl| \sum_{k=2^{n_s}+j2^{m_s}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr| &\leqslant A_02^{s-1}|\gamma|\chi_{E_{s-1}^{(-)}}(x)+2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s -l_s)/2}\chi_{[ 0,1)\setminus E_{s-1}^{(-)}}(x) \\ & \leqslant(A_0+1)2^{s-1}|\gamma|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.58}
$$
где $A_0$ – постоянная из леммы 1. Следовательно, с учетом (3.53), (3.55) и (3.57) получаем, что для любого натурального числа $M\in[2^{n_0},2^n)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr|\, dx \leqslant A|\gamma|\,|\Delta|, \qquad A=A_0+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь покажем п. 7) леммы 2. Пусть $M <2^{n_{\lambda}}$. Учитывая соотношения (3.19), (3.22), (3.36), (3.44), (3.48), (3.51) и (3.58) в случае, если $M\in [2^{n_{s-1}+1},2^{n_s})$, $s\leqslant\lambda$, для всех $x\in [2^{-n_0},1)$ будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr| &\leqslant2^{s-1}|\gamma|\chi_{E_{s-1}^{(-)}}(x)+|\gamma|\chi_{[0,1)\setminus E_{s-1}^{(-)}}(x)+A_02^{r-1}|\gamma|\chi_{E_{s-1}^{(-)}}(x) \\ &\qquad+2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s -l_s)/2}\chi_{[0,1)\setminus E_{s-1}^{(-)}}(x)+\frac{\eta}{2^{(\lambda+1)}} \notag \\ &\leqslant A_02^{\lambda} |\gamma|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.59}
$$
а если $M\in[2^{n_s},2^{n_{\lambda}})$, $s\leqslant\lambda$, то при некоторых числа $j\in [1,2^{n_s-m_s}]$ имеем $M\in[2^{n_s}+j2^{m_s},2^{n_s}+(j+1)2^{m_s})$.
Следовательно, с учетом (3.54), (3.56), (3.58) и (3.59) получаем, что для любого натурального числа $M\in[2^{n_0},2^n)$ и для всех $x\in [2^{-n_0},1)$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr| &\leqslant2^{s-1}|\gamma|+A_02^{s-1}|\gamma|+|\gamma|+2^{s-1}|\gamma |2^{-(m_s -l_s)/2}+\eta \notag \\ &\leqslant(A_0+2)2^{\lambda}|\gamma|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.60}
$$
Если же $M \geqslant2^{n_{\lambda}}$, то для некоторых чисел $s\geqslant\lambda+1$, $j\in[1,2^{n_s-m_s}]$ имеем $M\in [2^{n_s}+j2^{m_s},2^{n_s}+(j+1)2^{m_s})$. Принимая во внимание равенства (см. (3.19), (3.29), (3.36) и (3.44))
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {Q}_s^{(1)}(x) = {Q}_s^{(2)}(x)=0 \quad \forall\, x>2^{-n_0} \quad \forall\, s=1,2,\dots, \\ \sum_{j=\lambda+1}^{r-1}P_j^{(\Diamond)}(x)=0 \quad \forall\, x\in G, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (3.52) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)= 0+\sum_{j=1}^{\lambda}P_j^{(\Diamond)}(x)+\sum_{j=2^{n_s}}^{2^{n_s}+j2^{m_s}-1}\delta_kb_kW_k(x) \\ &\qquad +\sum_{k=2^{n_s}+j2^{m_s}-1}^{M}\delta_kb_kW_k(x), \qquad M\in[2^{n_s}+j2^{m_s},2^{n_s}+(j+1)2^{m_s}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда и из (3.48), (3.54), (3.56), (3.56) и (3.58) для всех $x\in G$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr| &<2^{\lambda}|\gamma|+2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s+l_s)/2}\frac{1}{x}+2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s -l_s)/2} \\ &\leqslant(A_0+2)2^{\lambda}|\gamma|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а при $x\in[2^{-n_0},1)\setminus \Delta$
$$
\begin{equation*}
\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr| <0+2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s+l_s)/2}\frac{1}{x}+2^{s-1}|\gamma|2^{-(m_s -l_s)/2}\leqslant\eta.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (3.59), (3.60) и последние два соотношения, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_kb_kW_k(x)\biggr| < \begin{cases} A_12^{\lambda}|\gamma|, &x\in G, \\ \eta, &x\in [2^{-n_0},1]\setminus\Delta, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
$A_1=A_0+2$. Лемма 2 доказана. Лемма 3. Пусть $n_0\in\mathbb{N}$, $\varepsilon \leqslant\delta\in(0,1)$ и $f(x)=\sum_{m=1}^{\widetilde{\nu}_0}\widetilde{\gamma}_{m}\chi_{\widetilde{\Delta}_{m}}(x)$ – такая ступенчатая функция, что $\widetilde{\gamma}_{m}\neq0$ и $\{\widetilde{\Delta}_{m}\}_{m=1}^{\widetilde{\nu}_0}$ – непересекающиеся двоичные интервалы с $\sum_{m=1}^{\widetilde{\nu}_0}|\widetilde{\Delta}_{m}|=1$. Тогда можно найти измеримые множества $ G\subset E\subset[2^{-n_0},1)$ и полиномы по системе Уолша, удовлетворяющие следующим условиям:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1)\quad |E|>1-\varepsilon-2^{-n_0}, \qquad| G|>1-\delta-2^{-n_0}; \\ &2)\quad 0<a_{k+1}\leqslant a_k<\varepsilon, \quad k\in[\mathit{2}^{n_0},2^{n}-1); \\ &3)\quad U(x)\cdot\chi_{[2^{-n_0},1]}(x)=0; \\ &4)\quad P(x)=f(x), \quad\textit{когда}\quad x\in E; \\ &5)\quad \max_{2^{n_0}\leqslant M<2^{n}}\int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_ka_kW_k(x)\biggr|\, dx <A\int_0^{1}|f(x)|\,dx; \\ &6)\quad \int_0^{1}|U(x)|\,dx\leqslant\max_{2^{n_0} \leqslant M<2^{n}}\int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}a_kW_k(x)\biggr|\, dx<\varepsilon; \\ &7)\quad \max_{2^{n_0}\leqslant M<2^{n}}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta _ka_kW_k(x)\biggr| <\frac{A|f(x)|}{\delta}+\varepsilon \quad \forall\, x\in G, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $A$ – константа. Доказательство. Определим числа $\nu$ и $\lambda$ следующим образом:
Рассмотрим следующую функцию: Разделим отрезок $[0,1]$ на непересекающиеся двоичные интервалы одинаковой длины $\{\Delta_j\}$ таким образом, что $|\Delta_j|\leqslant\min\{|\widetilde{\Delta}_{m}|\}$ и число $2^{-n_0}$ для них не является внутренней точкой. Представим функцию $f_0(x)$ в виде где $\gamma_j=\widetilde{\gamma}_{m}$, если $\Delta_j\subset\widetilde{\Delta}_{m}$.Последовательно применяя лемму 2 для каждого из интервалов $\Delta_j$, $j\in[1,\mu]$, с учетом (3.61) найдем такие множества $G_j\subset E_j\subset\Delta_j\subset[2^{-n_0},1]$ с
$$
\begin{equation}
|E_j|=(1-2^{-\nu})|\Delta_j|>(1-\varepsilon)|\Delta_j|,
\end{equation}
\tag{3.64}
$$
$$
\begin{equation}
|G_j|=(1-2^{-\lambda})|\Delta_j|>(1-\delta)|\Delta_j|
\end{equation}
\tag{3.65}
$$
и полиномы
$$
\begin{equation}
U_j(x)=\sum_{k=2^{n_{j-1}}}^{{2^{n_j}}-1}a_k^{(j)}W_k(x), \qquad P_j(x) =\sum_{k=2^{n_{j-1}}}^{{2^{n_j}}-1}\delta_k^{(j)}a_k^{(j)}W_k(x), \quad \delta_k^{(j)}=\pm1,
\end{equation}
\tag{3.66}
$$
по системе Уолша, для всех $ j\in[1,\mu]$ удовлетворяющие следующим условиям:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} 0<a_{k+1}^{(1)}\leqslant a_k^{(1)}<\varepsilon, & k\in [2^{n_0},2^{n_1}-1), \\ 0<a_{k+1}^{(j)}\leqslant a_k^{(j)}<a_{2^{n_{j-1}}-1}^{(j-1)}, & k\in[2^{n_{j-1}},2^{n_j}-1), j\in[2,\mu], \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.67}
$$
$$
\begin{equation}
P_j(x)=\begin{cases} \gamma_j, & x\in E_j, \\ 0, & x\in[2^{-n_0},1]\setminus\Delta_j, \end{cases} \quad\text{если}\quad\Delta_j\subset[2^{-n_0},1],
\end{equation}
\tag{3.69}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^{1}|U_j(x)|\,dx\leqslant \max_{2^{n_{j-1}}\leqslant M<2^{n_j}} \int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_{j-1}}}^{M}a_k^{(j)}W_k(x)\biggr|\, dx <\frac{\varepsilon}{2\mu},
\end{equation}
\tag{3.70}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^{1}|P_j(x)|\,dx\leqslant\max_{2^{n_{j-1}}\leqslant M<2^{n_j}} \int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_{j-1}}}^{M}\delta_k^{(j)}a_k^{(j)}W_k(x)\biggr|\, dx <A_1|\gamma_j|\,|\Delta_j|,
\end{equation}
\tag{3.71}
$$
$$
\begin{equation}
\max_{2^{n_{j-1}}\leqslant M<2^{n_j}}\biggl| \sum_{k=2^{n_{j-1}}}^{M}\delta_k^{(j)}a_k^{(j)}W_k(x)\biggr| <\begin{cases} A_1 2^{\lambda}|\gamma_j|+\dfrac{\varepsilon}{2\mu},& x\in G_j, \\ \dfrac{\varepsilon}{2\mu},& x\in [2^{-n_0},1]\setminus\Delta_j, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.72}
$$
где $A_1$ – постоянная из леммы 2.
Определим множества
$$
\begin{equation}
E:=\bigcup_{j=1}^{\mu}E_j, \quad G=\bigcup_{j=1}^{\mu}G_j, \qquad G_j\subset E_j\subset\Delta_j\subset[2^{-n_0},1),
\end{equation}
\tag{3.73}
$$
и полиномы
$$
\begin{equation}
U(x):=\sum_{j=1}^{\mu}U_j(x)=\sum_{k=2^{n_0}}^{2^{n_{\mu}-1}}a_kW_k(x),
\end{equation}
\tag{3.74}
$$
$$
\begin{equation}
P(x):=\sum_{j=1}^{\mu}P_j(x)=\sum_{k=2^{n_0}}^{2^{n_{\mu}-1}}\delta_ka_kW_k(x),
\end{equation}
\tag{3.75}
$$
где
$$
\begin{equation}
a_k:=a_k^{(j)}, \quad\delta_k=\delta_k^{(j)}, \quad k\in[ 2^{n_{j-1}},2^{n_j}).
\end{equation}
\tag{3.76}
$$
Из (3.61)–(3.69) и (3.73)–(3.76) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G\subset E\subset[2^{-n_0},1], \quad|E|>1-\varepsilon-2^{-n_0}, \quad G>1-\delta-2^{-n_0}, \\ 0<a_{k+1}\leqslant a_k<\varepsilon, \quad\text{когда}\quad k\in[2^{n_0},2^{n_{\mu}}-1), \\ U(x)\chi_{[2^{-n_0},1]}(x)=0, \\ P(x)=f_0(x)=f(x), \quad\text{когда }\ x\in E. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пусть $M$ – натуральное число из $[2^{n_0},2^{n_{\mu}})$. Тогда $M\in[2^{n_{m-1}},2^{n_{m}})$ для некоторого $m\in [1,\mu]$. Используя (3.63), (3.75)–(3.77), получим
$$
\begin{equation}
\sum_{k=2^{n_0}}^{M}a_kW_k(x)=\sum_{j=1}^{m-1}U_j(x) +\sum_{k=2^{n_{m-1}}}^{M}a_k^{(m)}W_k(x),
\end{equation}
\tag{3.77}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_ka_kW_k(x)=\sum_{j=1}^{m-1}P_j(x) +\sum_{k=2^{n_{m-1}}}^{M}\delta_k^{(m)}a_k^{(m)}W_k(x).
\end{equation}
\tag{3.78}
$$
В силу (3.70), (3.71) и (3.74)–(3.78) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}a_kW_k(x)\biggr|\, dx \leqslant\sum_{j=1}^{\mu}\max_{2^{n_{j-1}}\leqslant N<2^{n_j}} \int_0^{1}\biggl|\sum_{k=2^{n_{j-1}}}^{N}a_k^{(j)}W_k(x)\biggr|\, dx<\varepsilon, \\ &\int_0^{1}\biggl| \sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_ka_kW_k(x)\biggr|\, dx \leqslant\sum_{j=1}^{\mu}\max_{2^{n_{j-1}} \leqslant N<2^{n_j}}\int_0^{1} \biggl| \sum_{k=2^{n_{j-1}}}^{N}\delta_k^{(j)}a_k^{(j)}W_k(x)\biggr|\, dx \\ &\qquad \leqslant A_1\sum_{j=1}^{\mu}|\gamma_j|\,|\Delta_j|=A_1 \int_0^{1}|f_0(x)|\,dx\leqslant A_1\int_0^{1}|f(x)|\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь проверим выполнение утверждения 7) леммы 3. Учитывая соотношения (3.62), (3.63), (3.69), (3.72), (3.73), (3.75) и (3.78), при $x\in G$ и $M\in[2^{n_{m-1}},2^{n_{m}})$, $m\in[1,\mu]$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\sum_{k=2^{n_0}}^{M}\delta_ka_kW_k(x)\biggr| &\leqslant\sum_{j=1}^{m-1} |\gamma_j|\chi_{E_j}(x)+\biggl(A_12^{\lambda}|\gamma_{m}|\chi_{G_{m} }(x)+\frac{\varepsilon}{2\mu}\biggr)+\frac{\varepsilon}{2\mu}\chi_{[ 0,1]\setminus\Delta_{m}}(x) \\ &\leqslant|f(x)|+\frac{A_1|f(x)|}{\delta}+\varepsilon\leqslant\frac{A|f(x)|}{\delta}+\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$A=(A_1+1)$. Лемма 3 доказана. § 4. Доказательство теоремы 3Пусть $\varepsilon>0$. Обозначив через последовательность ($f_{n}(x)\,{\neq}\,0$, $x\,{\in}\,[0,1)$) полиномов по системе Уолша с рациональными коэффициентами и последовательно применив лемму 3, можем найти последовательности множеств $\{E_{n}^{(j)}\}_{j=1}^{n}$ и $\{ G_{n}^{(j)}\}_{j=1}^{n}$ и полиномов $ \{P_{n}^{(j)}(x)\}_{j=1}^{n}$, $\{U_{n}^{(j)}(x)\}_{j=1}^{n}$, $n\geqslant1$,
$$
\begin{equation}
U_{n}^{(j)}(x)= \sum_{k=M_{n}^{(j-1)}}^{M_{n}^{(j)}-1}a_k^{(n,j)}W_k(x), \qquad M_1^{(0)}=2^{m_1^{(0)}}, \quad m_1^{(0)}=2+\biggl[\log_2\frac{1}{\varepsilon}\biggr],
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
P_{n}^{(j)}(x)=\sum_{k=M_{n}^{(j-1)}}^{M_{n}^{(j)}-1} \delta_k^{(n,j)}a_k^{(n,j)}W_k(x),\delta_k^{(n,j)}=\pm1, \qquad n=1,2,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag M_{n}^{(j)}=2^{m_{n}^{(j)}}, \qquad 0&\leqslant m_1^{(0)}<m_1^{(1)}=m_{2}^{(0)}<m_{2}^{(1)}<m_{2}^{(2)}<m_{n-1}^{(n-1)}=m_{n}^{(0)} \\ & <m_{n}^{(1)}<\dots<m_{n}^{(n)}=m_{n+1}^{(0)}<m_{n+1}^{(1)}\dots, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
которые для всех $1\leqslant j\leqslant n$ удовлетворяют условиям:
$$
\begin{equation}
P_{n}^{(j)}(x)=f_{n}(x), \qquad x\in E_{n}^{(j)}, \qquad1\leqslant j\leqslant n,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
P_{n}^{(j)}(x)\chi_{[ I_{n}^{(j)},1]}(x)=0, \qquad I_{n}^{(j)}=\frac{1}{M_{n}^{(j)}},
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^{1}|U_{n}^{(j)}(x)|\,dx<\max_{m\in[ M_{n}^{(j-1)},M_{n}^{(j)})} \int_0^{1}\biggl|\sum_{k=M_{n}^{(j-1)}}^{m} a_k^{(n,j)}W_k(x)\biggr|\, dx<2^{-8(n+j)},
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} \int_0^{1}|P_{n}^{(j)}(x)|\,dx &<\max_{m\in[ M_{n}^{(j-1)},M_{n}^{(j)})}\int_0^{1} \biggl| \sum_{k=M_{n}^{(j-1)}}^{N}\delta_k^{(n,j)}a_k^{(n,j)}W_k(x)\biggr|\, dx \\ &\leqslant A\int_0^{1}|f_{n}(x)|\,dx, \end{split}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\frac{1}{n}|a_{M_{n-1}-1}^{(n-1,n-1)}| ^|a_k^{(n,j)}| >|a_{k+1}^{(n,j)}| >\dots>|a_{M_{n}^{(j)}}^{(n+1,1)}| \\ &\qquad>|a_{l}^{(n+1,j)}| >|a_{l+1}^{(n+1,j)}| \dots>|a_{M_{n}^{(j)}}^{(n+1,1)}| \\ &\forall\, k\in[ M_{n}^{(j-1)},M_{n}^{(j)}-1) \quad\forall\, l\in[ M_{n}^{(j)},M_{n}^{(j+1)}-1), \qquad 1\leqslant j\leqslant n, \qquad n\geqslant1, \end{split}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\max_{m\in[ M_{n}^{(j-1)},M_{n}^{(j)})}\biggl| \sum_{k=M_{n}^{(j-1)}}^{N}\delta_k^{(n,j)}a_k^{(n,j)}W_k(x)\biggr| \\ &\qquad\qquad \leqslant A3^{j}|f_n(x)|+2^{-n} \quad\text{при }\ x\in G_n^{(j)}, \qquad 1\leqslant j\leqslant n, \end{split}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
$$
\begin{equation}
| G_{n}^{(j)}|>1-3^{-j}, \qquad 1\leqslant j\leqslant n,
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где $A$ – постоянная из леммы 3. Учитывая соотношения (4.2), (4.7) и (4.8), в силу (4.2) и (2.6) для всех $ {x\in[}I_{n}^{(j)}+2^{-n},1]$ и для каждого $m\in[ M_{n}^{(j-1)},M_{n}^{(j)})$, $1\leqslant j\leqslant n$ $\forall\, n\geqslant 1$ будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl| \sum_{k=M_{n}^{(j-1)}}^{m}a_k^{(n,j)}W_k(x)\biggr| =\bigl| S_{m}(x,U_{n}^{(j)}(x))\bigr| \\ &\qquad <\frac{2}{2^{-n}}\int_0^{1}|U_{n}^{(j)}(t)|\,dt \leqslant2^{-n-j}, \qquad x\in[ I_{n}^{(j)}+2^{-n},1-2^{-n}] \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Из (4.7) вытекает
$$
\begin{equation}
I_{n}^{(j)}<I_{n}^{(1)} , \qquad1\leqslant j\leqslant n, \qquad n\geqslant1.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
U_0(x):=\sum_{k=0}^{M_1^{(0)}-1}W_k(x), \qquad U_{n}(x):=\sum_{j=1}^{n}U_{n}^{(j)}(x),
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
$$
\begin{equation}
a_k:=a_k^{(n,j)}, \qquad k\in[ M_{n}^{(j-1)},M_{n}^{(j)}), \qquad 1\leqslant j\leqslant n, \qquad n\geqslant1.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Ясно, что (см. (4.10), (4.15) и (4.16))
$$
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl( \int_0^{1}|U_{n}(x)|\,dx\biggr) \leqslant\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{n}\biggl(\int_0^{1}|U_{n}^{(j)}(x)|\,dx\biggr) <\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{n}2^{-n-j}<2,
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Определим функцию $U(x)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
U(x):=U_0(x)+\sum_{n=1}^{\infty}U_{n}(x)=U_0(x)+\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=M_{n}^{(j-1)}}^{M_{n}^{(j)}-1}a_kW_k(x).
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
На основе (4.2), (4.7), (4.8), (4.15)–(4.19) заключаем, что: 1) $U(x)\in L^{1}[0,1]$, $U(x)=0$, $x\in [\varepsilon,1]$, 2) ряд Фурье–Уолша функции $U(x)$ сходится в метрике $L^{1}[0,1)$, и, следовательно, 3) $U(x)$ имеет монотонно убывающие коэффициенты Фурье–Уолша ($c_k(U){\kern0.8pt}{\searrow}{\kern0.9pt}0$ и $c_k(U)>0$, $k=0,1,2,\dots$). Покажем, что функция $U(x)$ универсальна для класса $L^{0}[0,1)$ относительно системы Уолша в смысле знаков. Пусть $f(x)$ – произвольная функция из $L^{0}[0,1]$. Из последовательности функций (4.1) выберем такую функцию $f_{\nu_1}(x),\nu_1\geqslant2$, что
$$
\begin{equation*}
\bigl|\{x\in[0,1]\colon |f(x)-U_0(x)-f_{\nu_1}(x)|\leqslant2^{-8}\}\bigr|\geqslant 1-2^{-4} .
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
H_1:=\bigl\{ x\in[0,1]\colon |f(x)-U_0(x)-f_{\nu_1}(x)|\leqslant 2^{-8}\bigr\} .
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (4.5) и (4.11) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |H_1|\geqslant1-{2^{-4}}, \\ \begin{aligned} \, &\biggl|f(x)-U_0(x)-\sum_{j=1}^{\nu_1}U_j(x)+U_{\nu_1}^{(1)}(x)-P_{\nu_1}^{(1)}(x)\biggr| \\ &\qquad\leqslant2^{-4}+\biggl| \sum_{n=1}^{\nu_1}U{_{n}(x)}\biggr| +|U_{\nu_1}^{(1)}(x)|, \qquad x\in E_{\nu_1}^{(1)}\cap H_1, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, &\max_{m\in[ M_{\nu_1}^{(0)},M_{\nu_1}^{(1)})} \biggl|\sum_{k=M_{\nu_1}^{(0)}}^{m}\delta_k^{(\nu_1,1)}a_k^{(\nu_1,1)}W_k(x)\biggr| \\ &\qquad <3^{(2+2)}|f_{\nu_1}(x)|dx+2^{-\nu_{2}-1} \quad\forall\, x\in G_{\nu_1}^{(1)}\cap H_1. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что уже определены числа $0=\nu_0<\nu_1<\dots <\nu_{q-1}$, функции $f_{\nu_1}(x),\dots ,f_{\nu_{q-1}}(x)$, полиномы $\{{P}_{\nu_{r}}^{(r)}{(x)}\}_{r=1}^{q-1}$, $\{\{ R_n(x)\}_{n=\nu_{r-1}}^{\nu_{r}-1}\}_{r=1}^{q-1}$, множества $H_1,H_j,\dots,H_{q-1}$, удовлетворяющие условиям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}\begin{split} &\biggl| f(x)-\biggl\{ U_0(x)+\sum_{j=1}^{q-1} \biggl[ \biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j}U_n(x) -U_{\nu_j}^{(j)}(x)+P_{\nu_j}^{(j)}(x)\biggr) \biggr] \biggr\} \biggr| \\ &\qquad \leqslant2^{-4(q+3)} +\biggl| \sum_{n=\nu_{q-1}+1}^{\nu_q}U_n(x)\biggr| +|U_{\nu_q}^{(q)}(x)| \\ &\qquad \leqslant 2^{-2(q+2)} \quad\forall\, x\in E_{\nu_{q-1}}^{(q-1)}\cap H_{q-1}\cap[I_{q-1}^{(1)},1-2^{-q-1}], \\ & \max_{m\in[ M_{\nu_{q-1}}^{(q-1)},M_{\nu_{q-1}}^{(q-1)})}\biggl| \sum_{k=M_{\nu_q-1}^{(q-1)}}^{m}\delta_k^{(\nu_{q-1},q-1)}a_k^{(\nu_{q-1},q-1)}W_k(x)\biggr| \leqslant3^{q+2}|f_{\nu_{q-1}}(x)| +2^{-q-1} \\ &\qquad \leqslant3^{q+2}|f_{\nu_q}(x)|\leqslant 2^{-q+1} \quad\forall\, x\in G_{\nu_{q-1}}^{(q-1)}\cap H_{q-1}\cap(E_{\nu_{q-2}}^{(q-2)}\cap H_{q-2}\cap[I_{q-2}^{(1)},1)). \end{split} \end{gathered}
\end{equation}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что можно выбрать натуральное число $\nu_q>\nu_{q-1}+1$ (функцию $f_{\nu_q}(x)$ из последовательности (4.1)) и измеримое множество $ H_q$ таким образом, чтобы выполнялись неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\biggl| f(x)-\biggl\{ U_0(x)+\sum_{j=1}^{q-1}\biggl[\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}U_n(x)) -U_{\nu_j}^{(j)}(x)+P_{\nu_j}^{(j)}(x)\biggr]\biggr\}- f_{\nu_q}(x)\biggr| \\ &\qquad \leqslant 2^{-4(q+3)}, \qquad x\in H_q. \end{split}
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Откуда согласно (4.5) находим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |f_{\nu_q}(x)|\leqslant{2^{-4(q+3)}} +2^{-4(q+1)} \leqslant2^{-4q}, \\ x\in H_q\cap(E_{\nu_{q-1}}^{(q-1)}\cap H_{q-1}\cap[I_{q-1}^{(1)},1-2^{-q-1}]) , \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\biggl| f(x)-\biggl\{U_0(x)+\sum_{j=1}^{q-1}\biggl[\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1} U_{n}(x))-U_{\nu_j}^{(j)}(x)+P_{\nu_j}^{(j)}(x)\biggr]\biggr\}- P_{\nu_q}^{(q)}(x)\biggr| \\ &\qquad \leqslant2^{-4(q+3)}, \qquad x\in E_{\nu_q}^{(q)}\cap H_q. \end{split}
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Принимая во внимание, что (см. (4.7) и (4.14))
$$
\begin{equation}
P_{n}^{(j)}=0, \qquad x\in[I_q^{(1)},1-2^{-q}]\subset[I_{n}^{(j)},1-2^{-n}); \qquad 1\leqslant j\leqslant n, \qquad n\geqslant\nu_{q-1},
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
в силу (4.25) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl| f(x)-\biggl\{U_0(x)+\sum_{j=1}^{q}\biggl[\biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j}U_{n}(x)\biggr) -U_{\nu_j}^{(j)}(x)+P_{\nu_j}^{(j)}(x)\biggr]\biggr\} \biggr| \\ &\qquad \leqslant 2^{-4(q+3)} +\biggl| \sum_{n=\nu_{q-1}+1}^{\nu_q}U_n(x)\biggr| +|U_{\nu_q}^{(q)}(x)| \quad \forall\, x\in E_{\nu_q}^{(q)}\cap H_q\cap[I_q^{(1)},1-2^{-q}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Учитывая соотношения (4.11), (4.24), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \max_{m\in[ M_{\nu_q}^{(q-1)},M_{\nu_q}^{(q)})} \biggl|\sum_{k=M_{\nu_q}^{(q-1)}}^m\delta_k^{(\nu_q,q)}a_k^{(\nu_q,q)}W_k(x)\biggr| \\ \qquad\qquad\qquad\leqslant3^{q+1}|f_{\nu_q}(x)|+2^{-\nu_q} \leqslant3^{q+1}2^{-4q}+2^{-\nu_q}\leqslant2^{-q+2}, \\ x\in G_{\nu_q}^{(q)}\cap H_q\cap(E_{\nu_{q-1}}^{({q-1})}\cap H_{q-1}\cap[I_{q-1}^{(1)},1-2^{-q-1})). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Таким образом, по индукции можно определить числа $ 0=\nu_0<\nu_1<\dots <\nu_{q-1}<\nu_q<\dots $ ($\nu_q>\nu_{q-1} +1$) и выбрать полиномы $\{P_{\nu_q}^{(q)}(x)\}_{q=1}^{\infty}$, $\{\{U_m(x)\}_{m=\nu_{q-1}}^{\nu_q-1}\}_{q=1}^{\infty}$ и множества $\{G_{\nu_q}^{(q)}\}_{q=1}^{\infty}$, $\{H_q\}_{q=1}^{\infty}$, $\{E_{\nu_q}^{(q)}\}_{q=1}^{\infty}$, удовлетворяющие условиям (4.24)–(4.28) для всех $q>1$. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \delta_k:=\delta_k^{(\nu_q,q)}, \qquad k\in[ M_{\nu_q}^{(q-1)},M_{\nu_q}^{(q)}), \\ \delta_k=1, \qquad k\notin[ M_{\nu_q}^{(q-1)},M_{\nu_q}^{(q)}), \qquad q\geqslant 1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
$$
\begin{equation}
B:=\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{q=k}^{\infty} \bigl(G_{\nu_q}^{(q)}\cap H_q\cap(E_{\nu_{q-1}}^{(q-1)}\cap H_{q-1} )\cap[I_q^{(1)}+2^{-q},1-2^{-q}]\bigr).
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Отсюда и из (4.6), (4.7), (4.12) и (4.22) вытекает Ясно, что $\delta_k=\pm1$ (см. (4.3)).Покажем, что ряд сходится к $f(x)$ на множестве $B$ (т.е. почти всюду на $[0,1)$).Пусть $ x\in B$; тогда существует натуральное число $q_{x}>2$ такое, что (см. (4.30)) $x\in G_{\nu_q}^{(q)}\cap H_q\cap(E_{\nu_{q-1}}^{(q-1)}\cap H_{q-1})\cap[I_q^{(1)}+2^{-q},1-2^{-q})$ $\forall\, q\geqslant q_{x}$. Учитывая соотношения (4.2), (4.13), (4.15), (4.27)–(4.29), для каждого натурального $s\in[ M_{\nu_q}^{(0)},M_{\nu_{q+1}}^{(0)})$ при $q>2$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl| f(x)-\sum_{k=0}^{s}\delta_kc_k(U)_kW_k(x)\biggr| \\ &\qquad \leqslant\biggl| f(x)-\biggl\{ U_0(x)+\sum_{j=1}^{q} \biggl[ \biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j} U_n(x)\biggr)-U_{\nu_j}^{(j)}(x)+P_{\nu_j}^{(j)}(x)\biggr] \biggr\} \biggr| \\ &\qquad\qquad +\sum_{n=\nu_{q-1}}^{\nu_q}\sum_{j=1}^{n} \max_{m\in[ M_{n}^{(j-1)},M_{n}^{(j)})} \biggl| \sum_{k=M_{n}^{(j)}}^{m}a_k^{(n,j)}W_k(x)\biggr| \\ &\qquad\qquad +\max_{m\in[M_{\nu_q}^{(q-1)},M_{\nu_q}^{(q)})} \biggl| \sum_{k=M_{\nu_q}^{(q-1)}}^{m}\delta_k^{(\nu_q,q)}a_k^{(\nu_q,q)}W_k(x)\biggr| \leqslant2^{-q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из того, что $q\to\infty$, когда $s\to\infty$, заключаем, что ряд (4.31) сходится к $f(x)$ почти всюду на $[0,1)$, т.е. функция $U(x)$ универсальна для класса $L^{0}[0,1]$ относительно системы Уолша в смысле знаков. Теорема 3 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gri24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|