Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Математический сборник, 2024, том 215, номер 6, страницы 131–150
DOI: https://doi.org/10.4213/sm10029 (Mi sm10029) 		 
О разрешимости краевой задачи для одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными высокого порядка

С. С. Харибегашвилиab, Б. Г. Мидодашвилиc

a Andrea Razmadze Mathematical Institute of Ivane Javakhishvili Tbilisi State University, Tbilisi, Georgia
b Georgian Technical University, Tbilisi, Georgia
c Ivane Javakhishvili Tbilisi State University, Tbilisi, Georgia
PDF полного текста (665 kB) PDF английской версии (577 kB) Полный текст в HTML
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/sm10029
Аннотация: Для одного класса нелинейных систем уравнений в частных производных высокого порядка в цилиндрической области рассматривается краевая задача, когда на нижнем и верхнем основаниях цилиндра заданы условия типа Коши, а на боковой части границы цилиндра задано условие типа Робена. Краевая задача эквивалентным образом редуцируется к нелинейному функциональному уравнению на некотором подпространстве пространства Соболева. При выполнении некоторых условий, накладываемых на нелинейные члены, получена априорная оценка решения поставленной задачи и доказывается существование решения, а при нарушении этих условий – отсутствие решения. Обсуждается также вопрос о единственности решения.
Библиография: 18 названий.
Ключевые слова: нелинейные системы высокого порядка, принципы неподвижной точки, существование, единственность и отсутствие решений.
Поступила в редакцию: 14.11.2023 и 12.02.2024
Дата публикации: 31.05.2024
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 6, Pages 841–860
DOI: https://doi.org/10.4213/sm10029e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 35G30

§ 1. Постановка задачи

В евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{n+1}$ переменных $x=(x_1,\dots,x_n)$ и $t$ рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений с частными производными вида

$$ \begin{equation} L_f u := \frac{\partial^{2(2k+1)}u}{\partial t^{2(2k+1)}}-\Delta^2 u + f(u, \nabla u) =F(x,t), \end{equation} \tag{1.1} $$
где $f=(f_1,\dots,f_N)$, $F=(F_1,\dots,F_N)$ – заданные вектор-функции, а $u=(u_1,\dots,u_N)$ – искомая вектор-функция, $N \geqslant 2$;
$$ \begin{equation*} \nabla := \biggl(\frac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_n}, \frac{\partial}{\partial t}\biggr), \quad \Delta:= \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}, \qquad n \geqslant 2, \end{equation*} \notag $$
a $k \geqslant 0$ – целое число.

Для системы (1.1) рассмотрим краевую задачу в следующей постановке: в цилиндрической области $D_T:=\Omega \times (0,T)$, где $\Omega$ – открытая область в $\mathbb{R}^n$ с липшицевой границей, найти решение $u=u(x,t)$ системы (1.1) по краевым условиям

$$ \begin{equation} \frac{\partial^i u}{\partial t^i} \bigg|_{\Omega_0 \cup \Omega_T}=0, \qquad i=0,\dots,2k, \end{equation} \tag{1.2} $$
$$ \begin{equation} u|_{\Gamma}=0, \qquad \biggl(\Delta u +A \frac{\partial u}{\partial \nu}\biggr) \bigg|_{\Gamma}=0, \end{equation} \tag{1.3} $$
где $\Gamma :=\partial \Omega \times (0,T)$ – боковая часть границы цилиндрической области $D_T$, $\Omega_0=\{(x,t) \mid x\in\Omega,\, t=0 \}$ и $\Omega_T=\{(x,t) \mid x\in\Omega,\, t=T \}$ – соответственно нижнее и верхнее основания этого цилиндра, $A\colon \overline{\Gamma} \to \mathbb{R}^{N \times N}$ – заданная непрерывная квадратная матрица порядка $N$; ${\partial}/{\partial \nu}$ – производная по направлению внешней нормали к границе $\partial D_T$ области $D_T$, здесь $\nu =(\nu_1,\dots,\nu_n,\nu_{n+1})$ – единичный вектор внешней нормали к $\partial D_T$ и очевидно, что $\nu_{n+1}|_{\Gamma}=0$.

В теории дифференциальных уравнений в частных производных наряду с уравнениями второго порядка, принадлежащих одному из стандартных типов, например, эллиптическому, гиперболическому, параболическому, смешанному и др., для которых ставятся те или иные задачи и исследуются на корректность, рассматриваются также дифференциальные уравнения в частных производных высокого порядка, которые, вообще говоря, не подлежат стандартной классификации по типам. Например, линейная часть оператора в левой части (1.1) в скалярном случае является гипоэллиптическим в терминологии Л. Хёрмандера (см. [1; гл. 11, § 1, определение 11.1.2]). Исследование дифференциальных уравнений и систем в частных производных нестандартной структуры с точки зрения существования или отсутствия их решений, постановки корректных локальных, нелокальных и других задач безусловно представляет научный интерес в теории дифференциальных уравнений в частных производных.

В скалярном случае для уравнений вида (1.1) в работах [2], [3] исследованы краевые задачи, в которых рассмотрены вопросы существования, отсутствия и единственности решений. Исследованию начальных, краевых и смешанных задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными высокого порядка, имеющих структуру, отличную от (1.1), посвящена многочисленная литература (см., например, работы [4]–[13] и литературу, цитированную там). Например, в работе [4] предложен общий подход к априорным оценкам решений нелинейных уравнений и систем в частных производных, в частности высокого порядка, позволяющий исследовать вопросы несуществования их решений. В [5] предложен единый подход при рассмотрении вопроса о разрушении решений четырех типов нелинейных эволюционных уравнений в частных производных высокого порядка: параболических, гиперболических, дисперсионных и Шрёдингера. Рассмотрены также традиционные вопросы существования, несуществования, единственности, неединственности, глобальной асимптотики решений. Отметим также статьи [6]–[8], в которых для нелинейных уравнений с частными производными высокого порядка исследованы начально-краевые задачи. В этих работах рассмотрены вопросы существования, несуществования, единственности и асимптотического поведения их решений. В работах [9], [10] для нелинейных уравнений с итерированным многомерным волновым оператором в главной части изучены краевые задачи, когда весь носитель данных рассматриваемых задач является коническим характеристическим многообразием, а в работе [12] для одного класса нелинейных систем с итерированным многомерным волновым оператором в главной части исследована краевая задача в цилиндрической области, когда на всей ее границе заданы условия Дирихле и Неймана. Отметим также работы [11] и [13], где для некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений и систем с частными производными высокого порядка изучены краевые задачи в цилиндрической области. В этих работах, в зависимости от условий, наложенных на нелинейные члены, входящие в рассматриваемые уравнения, установлены единственность, существование и отсутствие их решений. Отметим, что уравнение (1.1) не входит в классы уравнений, рассмотренные в работах [4]–[13].

Обозначим через $C^{4,4k+2}(\overline{D}_T)$ пространство непрерывных в $\overline{D}_T$ вектор-функций $u=(u_1,\dots,u_N)$, имеющих в $\overline{D}_T$ частные производные $\partial_x^\beta u$, ${\partial^l u}/{\partial t^l}$, где $\partial_x^\beta =\partial^{|\beta|}/(\partial x_1^{\beta_1}\dots \partial x_n^{\beta_n})$, $\beta=(\beta_1,\dots, \beta_n)$, $|\beta|=\sum_{i=1}^{n}\beta_i \leqslant 4$, $l=1,\dots,4k+2$.

Здесь и ниже принадлежность вектор-функции $v=(v_1,\dots,v_N)$ некоторому пространству $X$ означает, что каждая компонента $v_i$, $1 \leqslant i \leqslant N$, этого вектора принадлежит пространству $X$.

Пусть

$$ \begin{equation} C_0^{4,4k+2}(\overline D_T):=\biggl\{u \in C^{4,4k+2}(\overline{D}_T)\colon u|_{\Gamma}=0, \, \frac{\partial^i u}{\partial t^i} \bigg|_{\Omega_0\cup\Omega_T}=0,\, i=0,\dots,2k \biggr\}. \end{equation} \tag{1.4} $$

Ведем гильбертово пространство $W_0^{2,2k+1}(D_T)$, которое получается пополнением по норме

$$ \begin{equation} \| u \|_{W_0^{2,2k+1}(D_T)}^2 =\int_{D_T} \biggl[u^2+\sum_{i=1}^{n} \biggl(\frac{\partial u}{\partial x_i}\biggr)^2 +\sum_{i,j=1}^n \biggl(\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \biggr)^2 +\sum_{i=1}^{2k+1}\biggl(\frac{\partial^i u}{\partial t^i} \biggr)^2 \biggr] \,dx\,dt \end{equation} \tag{1.5} $$
классического пространства $C_0^{4,4k+2}(\overline D_T)$, $u^2=\sum_{i=1}^N u_i^2$.

Замечание 1.1. Из (1.5) следует, что если $u \in W_0^{2,2k+1}({D_T})$, то тогда $u \in \mathring{W_2^1} ({D_T})$ и ${\partial^2u}/(\partial x_i \partial x_j), \partial^l u/{\partial t^l} \in {L_2}({D_T})$; $i,j=1,\dots,n$; $l=1,\dots,2k+1$. Здесь $W_2^m({D_T})$ – хорошо известное пространство Соболева, состоящее из элементов $L_2({D_T})$, имеющих обобщенные частные производные до $m$-го порядка включительно из $L_2({D_T})$ и $\mathring{W_2^1}({D_T})=\{u \in W_2^1({D_T})\colon u|_{\partial D_T}=0\}$, где равенство $u|_{\partial D_T}=0$ следует понимать в смысле теории следа (см. [14; гл. I, § 6, теорема 6.3]). Более того, в случае, когда область $\Omega$ является выпуклой, а тогда и $D_T$ также является выпуклой, имеет место следующая оценка (см. [14; гл. II, § 6, неравенство (6.5)]):

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int_{D_T}\biggl[\,\sum_{i,j=1}^{n} \biggl(\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \biggr)^2+\sum_{i=1}^{n} \biggl(\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial t} \biggr)^2 +\biggl(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \biggr)^2 \biggr]\,dx\,dt \\ &\qquad \leqslant c \int_{D_T}\biggl[\, \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \biggr]^2 \,dx\,dt \quad \forall\, u \in \mathring{C^2} ({\overline{D}_T}), \end{aligned} \end{equation} \tag{1.6} $$
где $\mathring{C^2}({\overline{D}_T}):=\{u \in C^2(\overline{D}_T)\colon u|_{\partial D_T}=0\}$, с положительной постоянной $c$, не зависящей от $u$ и области $D_T$. Из (1.5) и (1.6) следует непрерывное вложение пространств
$$ \begin{equation} W_0^{2,2k+1}(D_T) \subset W_2^2(D_T). \end{equation} \tag{1.7} $$
Ниже будем считать, что область $\Omega$ является выпуклой.

Прежде чем ввести понятие слабого обобщенного решения задачи (1.1)–(1.3) из пространства $W_0^{2,2k+1}(D_T)$, предположим, что $u \in C_0^{4,4k+2}({\overline{D}_T})$ является классическим решением этой задачи. Умножая обе части системы (1.1) скалярно на произвольную вектор-функцию $\varphi \in C_0^{4,4k+2}({\overline D_T})$ и интегрируя полученное равенство по области ${D_T}$, в силу (1.2) получим

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &-\int_{D_T} \frac{\partial^{2k+1}u}{\partial t^{2k+1}} \, \frac{\partial^{2k+1}\varphi}{\partial t^{2k+1}}\,dx\,dt +\int_{\partial D_T} \frac{\partial \varphi}{\partial \nu} \, \Delta u\,ds -\int_{\partial D_T} \varphi \, \frac{\partial}{\partial \nu} \Delta u\,ds \\ &\qquad\qquad -\int_{D_T} \Delta u \Delta \varphi \,dx\,dt +\int_{D_T} f(u,\nabla u) \varphi \,dx\,dt =\int_{D_T} F\varphi \,dx\,dt, \end{aligned} \end{equation} \tag{1.8} $$
где $\eta \cdot \xi$ обозначает скалярное произведение $N$-мерных векторов, т.е. $\sum_{i=1}^N \eta_i \xi_i$. Принимая во внимание второе краевое условие из (1.3) и то, что $\varphi|_{\partial D}=0$, $(\partial \varphi/\partial \nu)|_{\Omega_0 \cup \Omega_T}=0$, поскольку $\varphi \in C_0^{4,4k+2}({\overline D_T})$, из (1.8) получим
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int_{D_T} \biggl[\frac{\partial^{2k+1} u}{\partial t^{2k+1}} \, \frac{\partial^{2k+1} \varphi}{\partial t^{2k+1}}+\Delta u \Delta \varphi \biggr]\,dx\,dt +\int_{\Gamma} A \frac{\partial u}{\partial \nu} \, \frac{\partial \varphi}{\partial \nu}\,ds \\ &\qquad\qquad -\int_{D_T} f(u,\nabla u)\varphi \,dx\,dt =-\int_{D_T} F \varphi \,dx\,dt \quad \forall\, \varphi \in C_0^{4,4k+2}(\overline{D}_T). \end{aligned} \end{equation} \tag{1.9} $$
В определенном смысле верно и обратное утверждение, а именно: если $ u=(u_1,\dots,u_N) \in C^{4,4k+2}(\overline{D}_T)$ удовлетворяет условиям (1.2), первому краевому условию из (1.3), а также интегральному равенству (1.9) для любой $\varphi=(\varphi_1,\dots,\varphi_N)\in C_0^{4,4k+2}(\overline{D}_T)$, то стандартными рассуждениями отсюда следует, что $u$ является решением системы (1.1) в области $D_T$ и удовлетворяет второму краевому условию из (1.3) в классическом смысле, т.е. $u$ является классическим решением задачи (1.1)–(1.3). Мы хотим положить равенство (1.9) за основу определения слабого обобщенного решения задачи (1.1)–(1.3) из пространства $W_0^{2,2k+1}(D_T)$, но для этого сначала нужно привести условия, наложенные на показатели роста нелинейности вектор-функции $f(u, \nabla u)$ относительно независимых переменных, входящих в $f$, чтобы обеспечить существование интеграла
$$ \begin{equation*} \int_{D_T} f(u, \nabla u) \varphi \,dx\,dt, \end{equation*} \notag $$
входящего в левую часть равенства (1.9), для любой $\varphi \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$. Ниже относительно вектор-функции $f=f(s_0,s_1,\dots,s_{n+1})$, $s_i \in \mathbb{R}^N$, $i=0,1,\dots, n+ 1$, мы предположим, что
$$ \begin{equation} f \in C(\mathbb {R}^{(n+2)N}), \end{equation} \tag{1.10} $$
$$ \begin{equation} |f(s_0,s_1,\dots,s_{n+1})| \leqslant M+\sum_{i=0}^{n+1}M_i|s_i|^{\alpha_i} \quad \forall\, s_i \in \mathbb{R}^N, \quad i=0,1,\dots,n+1, \end{equation} \tag{1.11} $$
где $M, M_i, \alpha_i =\mathrm{const} >0$, $i=0, 1, \dots,n+1$, причем
$$ \begin{equation} 1<\alpha_0<\frac{n+1}{n-3} \quad \text{при}\ n>3, \qquad \alpha_0 >1 \quad \text{при} \ n=2, 3, \end{equation} \tag{1.12} $$
$$ \begin{equation} 1<\alpha_i<\frac{n+1}{n-1}, \qquad i=1,\dots,n+1, \quad n \geqslant 2. \end{equation} \tag{1.13} $$

Здесь и ниже под $|w|$ следует понимать обычную скалярную и евклидову векторную нормы в зависимости от того, является ли $w$ скалярной величиной или вектором.

Замечание 1.2. Как известно, пространство $W_2^2(D_T)$ непрерывно и компактно вложено в $L_p(D_T)$ при $p<2(n+1)/(n-3)$, когда $n>3$ и для любого $p \geqslant 1$, когда $n=2,3$; аналогично пространство $W_2^1(D_T)$ непрерывно и компактно вложено в $L_q(D_T)$ при $q<2(n+1)/(n-1)$ (см. [14; гл. I, § 7, теорема 7.2]). Поэтому, принимая во внимание непрерывное вложение пространств в (1.7), неравенство (1.11), в котором показатели нелинейности $\alpha_i$ удовлетворяют условиям (1.12) и (1.13), согласно свойствам операторов Немыцкого $N_i$, $i=0,1,\dots,n+1$, действующих по формулам $N_i v =|v|^{\alpha_i}$, получим, что нелинейный оператор

$$ \begin{equation} N\colon W_0^{2,2k+1}(D_T) \to L_2(D_T), \end{equation} \tag{1.14} $$
действующий по формуле
$$ \begin{equation} N u=f(u,\nabla u), \end{equation} \tag{1.15} $$
является непрерывным и компактным (см. [15; гл. III, § 12, теорема 12.10]). Отсюда в частности следует, что если $u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$, тo тогда $f(u, \nabla u) \in L_2(D_T)$ и интеграл $\displaystyle\int_{D_T} f(u, \nabla u) \varphi \,dx\,dt$ в левой части равенства (1.9) существует, и если $u_m \to u$ в пространстве $W_0^{2,2k+1}(D_T)$, то $f(u_m, \nabla u_m) \to f(u,\nabla u)$ в пространстве $L_2(D_T)$.

Определение 1.1. Пусть область $\Omega$ с липшицевой границей является выпуклой, вектор-функция $f$ удовлетворяет условиям (1.10)–(1.13), $A \in C(\overline{\Gamma})$, $F \in L_2(D_T)$. Вектор-функция $u \in W_0^{2,2k+1} (D_T)$ называется слабым обобщенным решением задачи (1.1)–(1.3), если интегральное равенство (1.9) справедливо для любой вектор-функции $\varphi \in W_0^{2,2k+1} (D_T)$, т.е.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int_{D_T} \biggl[\frac{\partial^{2k+1} u}{\partial t^{2k+1}} \, \frac{\partial^{2k+1} \varphi}{\partial t^{2k+1}}+\Delta u \Delta \varphi \biggr]\,dx\,dt +\int_{\Gamma} A \frac{\partial u}{\partial \nu} \,\frac{\partial \varphi}{\partial \nu}\,ds \\ &\qquad\qquad -\int_{D_T} f(u,\nabla u)\, \varphi \,dx\,dt =-\int_{D_T} F \varphi \,dx\,dt \quad \forall\, \varphi \in W_0^{2,2k+1} (D_T). \end{aligned} \end{equation} \tag{1.16} $$

§ 2. Эквивалентные нормы в пространстве $W_0^{2,2k+1}(D_T)$

Введенное выше гильбертово пространство $W_0^{2,2k+1}(D_T)$ порождается нормой $\|u\|_0= \|u\|_{W_0^{2,2k+1}(D_T)}$, определенной правой частью равенства (1.5), которая порождается скалярным произведением

$$ \begin{equation} (u,v)_0 =\int_{D_T}\biggl[u v+\sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} \, \frac{\partial v}{\partial x_i}+ \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \, \frac{\partial^2 v}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{i=1}^{2k+1} \frac{\partial^i u}{\partial t^i} \, \frac{\partial^i v}{\partial t^i} \biggr] \,dx\,dt. \end{equation} \tag{2.1} $$

Ниже, предполагая, что матрица $A$ является симметричной, непрерывной и неотрицательно определенной, т.е.

$$ \begin{equation} A^* =A, \quad A \in C(\overline{\Gamma}), \quad A(x,t) \xi \cdot \xi \geqslant 0 \quad \forall\,(x,t) \in \overline{\Gamma}, \quad \forall\, \xi \in \mathbb{R}^N, \end{equation} \tag{2.2} $$
покажем, что наряду с (2.1) следующая билинейная форма:
$$ \begin{equation} (u,v)_1=\int_{D_T}\biggl[\frac{\partial^{2k+1} u}{\partial t^{2k+1}} \, \frac {\partial^{2k+1} v}{\partial t^{2k+1}}+\Delta u \Delta v \biggr] \,dx\,dt +\int_{\Gamma} A \, \frac{\partial u}{\partial \nu} \, \frac{\partial v}{\partial \nu}\,ds \end{equation} \tag{2.3} $$
также определяет скалярное произведение в гильбертовом пространстве $W_0^{2,2k+1}(D_T)$ с нормой
$$ \begin{equation} \|u\|_1^2=\int_{D_T}\biggl[\biggl(\frac{\partial^{2k+1} u}{\partial t^{2k+1}}\biggr)^2+(\Delta u)^2 \biggr] \,dx\,dt +\int_{\Gamma} A \, \frac{\partial u}{\partial \nu} \, \frac{\partial u}{\partial \nu}\,ds. \end{equation} \tag{2.4} $$

Лемма 2.1. Пусть выполнены условия (2.2) и $\Omega$ – выпуклая область с границей $\partial \Omega$ класса $C^2$. Тогда имеют место следующие неравенства:

$$ \begin{equation} c_1 \|u\|_0 \leqslant \|u\|_1 \leqslant c_2 \|u\|_0 \quad\forall\, u \in C_0^{4,4k+2}(\overline {D}_T) \end{equation} \tag{2.5} $$
с положительными коэффициентами $c_1$ и $c_2$, не зависящими от $u$.

Доказательство. Сначала оценим величины $\|{\partial^i u}/{\partial t^i} \|^2_{L_2(D_T)}$, $i=0,1,\dots, 2k$, через величину $\|{\partial^{2k+1} u}/{\partial t^{2k+1}} \|^2_{L_2(D_T)}$. Поскольку $u \in C_0^{4,4k+2}(\overline {D}_T)$ удовлетворяет равенствам (1.2), то имеем
$$ \begin{equation} \frac{\partial^i u(\cdot, t)}{\partial t^i}=\frac{1}{(2k-i)!} \int_0^t(t-\tau)^{2k-i} \, \frac{\partial^{2k+1} u(\cdot,\tau)}{\partial t^{2k+1}}\,d\tau, \qquad i=0,1,\dots,2k. \end{equation} \tag{2.6} $$
В силу неравенства Коши из (2.6) следует, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl(\frac{\partial^i u(\cdot, t)}{\partial t^i} \biggr)^2 &\leqslant \frac {1}{((2k-i)!)^2}\int_0^t(t-\tau)^{2(2k-i)}\,d\tau \int_0^t\biggl(\frac{\partial^{2k+1} u(\cdot, \tau)}{\partial t^{2k+1}}\biggr)^2\,d\tau \\ &\leqslant T^{4k-2i+1} \int_0^T\biggl(\frac{\partial^{2k+1} u(\cdot, \tau)}{\partial t^{2k+1}}\biggr)^2\,d\tau, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
откуда получим
$$ \begin{equation} \int_0^T\biggl(\frac{\partial^i u(\cdot, t)}{\partial t^i} \biggr)^2\,dt \leqslant T^{4k-2i+2} \int_0^T\biggl(\frac{\partial^{2k+1} u(\cdot, \tau)}{\partial t^{2k+1}}\biggr)^2\,d\tau, \qquad i=0,1,\dots,2k. \end{equation} \tag{2.7} $$

Интегрируя обе части неравенства (2.7) по области $\Omega$, будем иметь

$$ \begin{equation} \int_{D_T}\biggl(\frac{\partial^i u}{\partial t^i} \biggr)^2 \,dx\,dt \leqslant T^{4k-2i+2} \int_{D_T}\biggl(\frac{\partial^{2k+1} u}{\partial t^{2k+1}}\biggr)^2 \,dx\,dt, \qquad i=0,1,\dots,2k. \end{equation} \tag{2.8} $$

Если $u \in C_0^{4,4k+2}(\overline{D}_T)$, то $u(\cdot, t) \in C^2(\overline{\Omega})$ и $u(\cdot, t)|_{\partial \Omega}=0$ для фиксированного $t \in [0,T]$, и согласно известному неравенству [14; гл. II, § 3, неравенство 3.29)]

$$ \begin{equation} \int_{\Omega} \biggl[u^2(\cdot, t)+\sum_{i=1}^{n}\biggl(\frac{\partial u(\cdot, t)}{\partial x_i}\biggr)^2 \biggr]\,dx \leqslant c_0 \int_{\Omega}\bigl(\Delta u(\cdot, t)\bigr)^2\,dx, \end{equation} \tag{2.9} $$
где положительная постоянная $c_0=c_0(\Omega)$ не зависит от $t \in [0,T]$ и $u$. Интегрируя (2.9) по переменной $t$, получим
$$ \begin{equation} \int_{D_T} \biggl[u^2+\sum_{i=1}^n \biggl(\frac{\partial u}{\partial x_i} \biggr)^2 \biggr] \,dx\,dt \leqslant c_0 \int_{D_T}(\Delta u)^2 \,dx\,dt \quad \forall\, u \in C_0^{4,4k+2}(\overline{D}_T). \end{equation} \tag{2.10} $$

Если $u \in C_0^{4,4k+2}(\overline{D}_T)$ и тем самым $u(\cdot, t) \in C^2(\overline{\Omega})$, $t \in [0,T]$, то, поскольку граница $\partial \Omega$ области $\Omega$ по предположению класса $C^2$, то для ${\partial u(\cdot, t)}/{\partial \nu} |_{\partial \Omega}$ имеет место оценка [16; гл. III, теорема 3.37]

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \int_{\partial \Omega} \biggl(\frac{\partial u(\cdot, t)}{\partial \nu} \biggr)^2\,ds &= \biggl\|\frac{\partial u(\cdot, t)}{\partial \nu} \biggr\|^2_{L_2(\partial \Omega)} \leqslant \widetilde{c}_0 \|u(\cdot, t)\|^2_{W_2^2(\Omega)} \\ &=\widetilde{c}_0 \int_{\Omega}\biggl[u^2(\cdot, t)+\sum_{i=1}^{n}\biggl(\frac{\partial u(\cdot, t)}{\partial x_i} \biggr)^2+\sum_{i,j=1}^{n}\biggl(\frac{\partial^2 u(\cdot, t)}{\partial x_i \partial x_j} \biggr)^2 \biggr]\,dx, \end{aligned} \end{equation} \tag{2.11} $$
где положительная постоянная $\widetilde{c}_0=\widetilde{c}_0 (\Omega)$ не зависит от $t$ и $u$.

С учетом (2.2) положим

$$ \begin{equation*} a_0=\max_{(x,t) \in \overline{\Gamma},\, |\xi|_{\mathbb{R}^N}=1} (A(x,t)\xi,\xi)_{\mathbb{R}^N}. \end{equation*} \notag $$
Из (2.11) следует, что
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \int_{\Gamma} A \frac{\partial u}{\partial \nu} \cdot \frac{\partial u}{\partial \nu}\,ds &\leqslant a_0 \int_{\Gamma} \biggl(\frac{\partial u}{\partial \nu} \biggr)^2\,ds \\ \notag &=a_0 \int_0^T \biggl[\int_{\partial \Omega} \biggl(\frac{\partial u(\cdot, t)}{\partial \nu} \biggr)^2\,ds \biggr]\,dt \leqslant a_0 \widetilde {c}_0 \int_0^T \|u(\cdot, t)\|^2_{W_2^2(\Omega)}\,dt \\ &= a_0 \widetilde {c}_0 \int_{D_T} \biggl[u^2+\sum_{i=1}^{n} \biggl(\frac{\partial u}{\partial x_i} \biggr)^2+\sum_{i,j=1}^n \biggl(\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \biggr)^2 \biggr] \,dx\,dt. \end{aligned} \end{equation} \tag{2.12} $$

Наконец, поскольку область $\Omega$ предполагается выпуклой, и тем самым имеет место неравенство (1.6), то из (1.5), (2.1)–(2.4), (2.8)–(2.10), (2.12) легко следует (2.5).

Лемма 2.1 доказана.

Замечание 2.1. Согласно лемме 2.1 пополнение пространства $C_0^{4,4k+2}(\overline{D}_T)$ по норме (2.4) дает то же самое гильбертово пространство $W_0^{2,2k+1}(D_T)$ с эквивалентными скалярными произведениями (2.1) и (2.2).

§ 3. Эквивалентная редукция задачи (1.1)–(1.3) к нелинейному функциональному уравнению $u=Ku$ в пространстве $W_0^{2,2k+1}(D_T)$ и оценка величины $\|Ku\|_1$

Рассмотрим сначала линейный случай задачи (1.1)–(1.3), т.е. при $f=0$. В этом случае для $F \in L_2(D_T)$ аналогичным образом вводится понятие слабого обобщенного решения $u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$ этой задачи, для которого с учетом (1.16) и (2.3) имеет место следующее интегральное равенство:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag (u,\varphi)_1 &=\int_{D_T}\biggl[\frac{\partial^{2k+1} u}{\partial t^{2k+1}} \, \frac {\partial^{2k+1} \varphi}{\partial t^{2k+1}}+\Delta u \Delta \varphi \biggr] \,dx\,dt+ \int_{\Gamma} A \frac{\partial u}{\partial \nu} \, \frac{\partial \varphi}{\partial \nu}\,ds \\ &=-\int_{D_T}F \varphi \,dx\,dt \quad \forall\, \varphi \in W_0^{2,2k+1}(D_T). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.1} $$

В силу (2.5) легко видеть, что

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \biggl|\int_{D_T}F \varphi \,dx\,dt\biggr| &\leqslant \|F\|_{L_2(D_T)}\|\varphi\|_{L_2(D_T)} \\ &\leqslant \|F\|_{L_2(D_T)}\|\varphi\|_0 \leqslant c^{-1}_1\|F\|_{L_2(D_T)}\|\varphi\|_1. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.2} $$

С учетом замечания 2.1, а также (3.1) и (3.2) из теоремы Рисса следует существование единственной вектор-функции $u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$, которая удовлетворяет равенству (3.1) для любого $\varphi \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$ и для нормы которой имеет место оценка

$$ \begin{equation} \|u\|_1 \leqslant c_1^{-1}\|F\|_{L_2(D_T)}. \end{equation} \tag{3.3} $$

Таким образом, вводя обозначение $u=L_0^{-1} F$, мы находим, что линейной задаче (1.1)–(1.3), т.е. при $f=0$, соответствует линейный ограниченный оператор

$$ \begin{equation*} L_0^{-1} \colon L_2(D_T)\to W_0^{2,2k+1} (D_T), \end{equation*} \notag $$
для нормы которого в силу (3.2) имеет место оценка
$$ \begin{equation} \|L_0^{-1}\|_{L_2(D_T) \to W_0^{2,2k+1}(D_T)} \leqslant c_1^{-1}. \end{equation} \tag{3.4} $$

Замечание 3.1. Согласно определению 1.1 слабого обобщенного решения задачи (1.1)–(1.3) и введенного выше оператора $L_0^{-1}$ интегральное тождество (1.16), которое эквивалентно этой задаче, можно переписать в виде нелинейного функционального уравнения

$$ \begin{equation} u=L_0^{-1}[f(u,\nabla u)-F] \end{equation} \tag{3.5} $$
в гильбертовом пространстве $W_0^{2,2k+1}(D_T)$. С учетом (1.15) уравнение (3.5) перепишем в виде
$$ \begin{equation} u=K u:= L_0^{-1}(Nu-F), \end{equation} \tag{3.6} $$
где в силу (3.4) и замечания 1.2, если нелинейная функция $f$ удовлетворяет условиям (1.10)–(1.13), то оператор $K\colon W_0^{2,2k+1}(D_T) \to W_0^{2,2k+1}(D_T)$ из (3.6) будет непрерывным и компактным.

Если $v \in \mathring{W_2^1}(D_T, \Omega_0 \cup \Omega_T) :=\{v \in W_2^1(D_T)\colon v|_{\Omega_0 \cup \Omega_T}=0 \}$, то с учетом структуры цилиндрической области $D_T=\Omega \times (0,T)$ имеет место мультипликативное неравенство (см. [14; гл. I, § 7, теорема 7.1])

$$ \begin{equation} \|v\|_{Lp(D_T)} \leqslant \beta \|\nabla v\|_{L_m(D_T)}^{\widetilde{\alpha}} \|v\|_{L_r(D_T)}^{1-\widetilde{\alpha}} \quad \forall\, v \in \mathring{W_2^1}(D_T, \Omega_0 \cup \Omega_T), \end{equation} \tag{3.7} $$
$$ \begin{equation} \widetilde{\alpha} =\biggl(\frac{1}{r} -\frac{1}{p} \biggr) \biggl(\frac{1}{r}-\frac {1}{\widetilde{m}} \biggr)^{-1}, \qquad \widetilde{m}=\frac{(n+1)m}{n+1-m}, \qquad r \leqslant p, \end{equation} \notag $$
c положительной постоянной $\beta=\beta (\Omega)$, не зависящей от $v$ и $T$, где при $r=1$ и $m=2$ параметр $p \in [1,2(n+1)/(n-1)]$.

С учетом известного неравенства (см. [15; гл. III, § 12, неравенство (5)])

$$ \begin{equation*} \int_{D_T}|v|\,dx\,dt \leqslant (\operatorname{mes}D_T)^{1-1/p}\|v\|_{L_p(D_T)}, \qquad p \geqslant 1, \end{equation*} \notag $$
из (3.7) следует, что
$$ \begin{equation} \|v\|_{L_p(D_T)} \leqslant \beta_0 (\operatorname{mes}D_T)^{1/p+1/(n+1)-1/2}\|v\|_{W_2^1(D_T)} \quad \forall\, v \in \mathring{W_2^1}(D_T, \Omega_0 \cup \Omega_T) \end{equation} \tag{3.8} $$
с положительной постоянной $\beta_0=\beta_0(\Omega)$, не зависящей от $v$ и $T$.

Поскольку $\operatorname{mes}D_T=T \operatorname{mes}\Omega$, то из (3.8) получим

$$ \begin{equation} \|v\|_{L_p(D_T)} \leqslant \beta_1 T^{1/p+1/(n+1)-1/2}\|v\|_{W_2^1(D_T)} \quad\forall\, v \in \mathring{W_2^1}(D_T, \Omega_0 \cup \Omega_T), \end{equation} \tag{3.9} $$
где $\beta_1=\beta_0 (\operatorname{mes}\Omega)^{1/p+1/(n+1)-1/2}$, кроме того, легко проверить, что условие $1/p+1/(n+1)-1/2>0$ эквивалентно условию $p<2(n+1)/(n-1)$.

В силу (1.4) и определения пространства $W_0^{2,2k+1}(D_T)$ как результата пополнения классического пространства $C_0^{4,4k+2}(\overline{D}_T)$ по норме (1.5) согласно существованию следов элементов пространства $W_2^1(D_T)$ на $(\Omega_0 \cup \Omega_1) \subset \partial D_T$, учитывая вложение пространств (1.7), будем иметь

$$ \begin{equation} u,u_t,u_{x_i} \in \mathring{W_2^1}(D_T, \Omega_0 \cup \Omega_T), \qquad i=1,\dots,n. \end{equation} \tag{3.10} $$
Поэтому, если показатели $\alpha_i$, $i=1,\dots,n+1$, удовлетворяют неравенствам (1.13), то в силу (1.5), (1.7) и (3.9), (3.10) будем иметь
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\biggl[\int_{D_T}|u_{x_i}|^{2\alpha_i}\,dx\,dt \biggr]^{1/2} =\|u_{x_i}\|_{L_{2\alpha_i}(D_T)}^{\alpha_i} \leqslant \beta_1^{\alpha_i}T^{\alpha_i(1/(2\alpha_i)+1/(n+1)-1/2)} \|u_{x_i}\|_{W_2^1(D_T)}^{\alpha_i} \\ \notag &\qquad\leqslant \beta_1^{\alpha_i}T^{\alpha_i (1/(2\alpha_i)+1/(n+1)-1/2)} \|u\|_{W_0^{2,2k+1}(D_T)}^{\alpha_i} \\ &\qquad =\beta_1^{\alpha_i}T^{\alpha_i (1/(2\alpha_i)+1/(n+1)-1/2)} \|u\|_0^{\alpha_i} \quad\forall\, u \in W_0^{2,2k+1}(D_T), \qquad i=1,\dots,n, \end{aligned} \end{equation} \tag{3.11} $$
аналогично,
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\biggl[\int_{D_T}|u_t|^{2\alpha_{n+1}}\,dx\,dt \biggr]^{1/2} \\ &\qquad \leqslant \beta_1^{\alpha_{n+1}}T^{\alpha_{n+1} (1/(2\alpha_{n+1})+1/(n+1)-1/2)} \|u\|_0^{\alpha_{n+1}} \quad\forall\, u \in W_0^{2,2k+1}(D_T). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.12} $$

Ниже для простоты изложения вместо условия (1.12), наложенного на показатель $\alpha_0$, мы потребуем выполнение более ограничительного условия

$$ \begin{equation} 1<\alpha_0<\frac{n+1}{n-1} \end{equation} \tag{3.13} $$
аналогично условиям (1.13), наложенным на остальные показатели $\alpha_i$, $i=1,\dots,n+1$.

В силу (3.13) аналогично оценкам (3.11) и (3.12) будем иметь

$$ \begin{equation} \biggl[\int_{D_T}|u|^{2\alpha_0} \,dx\,dt \biggr]^{1/2} \leqslant \beta_1^{\alpha_0}T^{\alpha_0(1/(2 \alpha_0)+1/(n+1)-1/2)} \|u\|_0^{\alpha_0} \quad\forall\, u \in W_0^{2,2k+1}(D_T). \end{equation} \tag{3.14} $$

Отметим, что в силу (1.13) и (3.13)

$$ \begin{equation} \gamma_i=\alpha_i \biggl(\frac{1}{2\alpha_i}+\frac{1}{n+1} -\frac{1}{2} \biggr) > 0, \qquad i=0,\dots,n+1. \end{equation} \tag{3.15} $$

Ниже приведен другой аналог первого неравенства из (2.5), который нам понадобится ниже. В силу (1.5), (1.6), (2.3), (2.8) и (2.10) будем иметь

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\|u\|_0^2\leqslant \int_{D_T}\biggl[c_0(\Delta u)^2+2c \biggl((\Delta u)^2+\biggl(\frac {\partial^2 u}{\partial t^2}\biggr)^2\biggr)+\sum_{i=1}^{2k+1}\biggl(\frac{\partial^i u}{\partial t^i}\biggr)^2\biggr]\,dx\,dt \\ \notag &\leqslant \int_{D_T}\biggl[(c_0\,{+}{\kern1pt}2 c)(\Delta u)^2{+}\,2c T^{4k-2} \biggl(\frac{\partial^{2k+1} u}{\partial t^{2k+1}} \biggr)^2{+}\, \biggl\{\sum_{i=1}^{2k+1} T^{4k-2i+2}\biggr\} \biggl(\frac{\partial^{2k+1} u}{\partial t^{2k+1}}\biggr)^2 \biggr] \,dx\,dt \\ &\leqslant \lambda^2(T) \int_{D_T}\biggl[\biggl(\frac{\partial^{2k+1} u}{\partial t^{2k+1}} \biggr)^2+(\Delta u)^2 \biggr] \,dx\,dt = \lambda^2(T)\|u\|_1^2 \quad\forall\, u \in W_0^{2,2k+1}(D_T), \end{aligned} \end{equation} \tag{3.16} $$
где
$$ \begin{equation} \lambda(T)= \begin{cases} (c_0+4c+2k+1)^{1/2}, & T \leqslant 1, \\ (c_0+4c+2k+1)^{1/2}T^{2k}, & T >1. \end{cases} \end{equation} \tag{3.17} $$

Теперь, принимая во внимание (1.11), (3.3), (3.4), (3.11)–(3.17), оценим величину $\|K u\|_{W_0^{2,2k+1}(D_T)}=\|K u\|_1$ из (3.6):

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\|K u\|_{W_0^{2,2k+1}(D_T)} =\|K u\|_1 \leqslant \|L_0^{-1}\|_{L_2(D_T) \to W_0^{2,2k+1}(D_T)} \|N u-F\|_{L_2(D_T)} \\ \notag &\leqslant c_1^{-1}\|N u\|_{L_2(D_T)}+c_1^{-1}\|F\|_{L_2(D_T)} \\ \notag &\leqslant c_1^{-1} \biggl[\int_{D_T} \biggl(M+M_0|u|^{\alpha_0}+\sum_{i=1}^n M_i |u_{x_i}|^{\alpha_i} + M_{n+1}|u_t|^{\alpha_{n+1}} \biggr)^2\,dx\,dt\biggr]^{1/2} \\ \notag &\qquad+c_1^{-1}\|F\|_{L_2(D_T)} \\ \notag &\leqslant c_1^{-1} \biggl[\int_{D_T} (n+3) \bigl(M^2+M_0^2 |u|^{2 \alpha_0} +\sum_{i=1}^n M_i^2 |u_{x_i}|^{2\alpha_i}+M_{n+1}^2|u_t|^{2\alpha_{n+1}} \biggr) \,dx\,dt \biggr]^{1/2} \\ \notag &\qquad+c_1^{-1}\|F\|_{L_2(D_T)} \\ \notag &\leqslant c_1^{-1}(n+3)^{1/2} \biggl[\biggl(\int_{D_T} M^2 \,dx\,dt \biggr)^{1/2}+ \biggl(\int_{D_T} M_0^2 |u|^{2 \alpha_0} \,dx\,dt \biggr)^{1/2} \\ \notag &\qquad+\sum_{i=1}^n \biggl(\int_{D_T} M_i^2 |u_{x_i}|^{2\alpha_i} \,dx\,dt \biggr)^{1/2}+\biggl(\int_{D_T} M_{n+1}^2|u_t|^{2\alpha_{n+1}} \,dx\,dt \biggr)^{1/2} \biggr] \\ \notag &\qquad+ c_1^{-1}\|F\|_{L_2(D_T)} \\ \notag &\leqslant c_1^{-1}(n+3)^{1/2} \biggl[\biggl(M^2\operatorname{mes}D_T \biggr)^{1/2}+ \sum_{i=0}^{n+1} M_i \beta_1^{\alpha_i} T^{\gamma_i} \|u\|_0^{\alpha_i} \biggr] + c_1^{-1}\|F\|_{L_2(D_T)} \\ \notag &\leqslant c_1^{-1}(n+3)^{1/2} \sum_{i=0}^{n+1} M_i \beta_1^{\alpha_i} T^{\gamma_i} \lambda^{\alpha_i}(T) \|u\|_1^{\alpha_i} \\ \notag &\qquad+c_1^{-1}(n+3)^{1/2} (M^2 \operatorname{mes} D_T)^{1/2}+ c_1^{-1}\|F\|_{L_2(D_T)} \\ &= \sum_{i=0}^{n+1} \widetilde{a}_i(T)\|u\|_1^{\alpha_i}+b(T) \quad\forall\, u \in W_0^{2,2k+1}(D_T). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.18} $$
Здесь
$$ \begin{equation} \widetilde{a}_i(T)=c_1^{-1}(n+3)^{1/2} M_i \beta_1^{\alpha_i} T^{\gamma_i} \lambda^{\alpha_i}(T), \qquad i=0,\dots,n+1, \end{equation} \tag{3.19} $$
$$ \begin{equation} b(T)=c_1^{-1}(n+3)^{1/2} (M^2 \operatorname{mes} \Omega)^{1/2} T^{1/2} +c_1^{-1}\|F\|_{L_2(D_T)}, \end{equation} \tag{3.20} $$
кроме того, при получении оценки (3.18) мы воспользовались следующими неравенствами:
$$ \begin{equation*} \biggl(\sum_{i=1}^m k_i\biggr)^2 \leqslant m \sum_{i=1}^m k_i^2, \qquad \biggl(\sum_{i=1}^m k_i^2\biggr)^{1/2} \leqslant \sum_{i=1}^m |k_i|. \end{equation*} \notag $$

Упростим выражение правой части оценки (3.18). Поскольку $\alpha_i >1$, $i=0,\dots,n+1$, то для $\|u\|_1 \leqslant 1$ имеем $\|u\|_1^{\alpha_i} \leqslant 1$, и в случае $\|u\|_1 >1$ будем иметь $\|u\|_1^{\alpha_i} \leqslant \|u\|_1^\alpha$, где

$$ \begin{equation} \alpha=\max_{0 \leqslant i \leqslant n+1}\alpha_i >1. \end{equation} \tag{3.21} $$
С учетом этого из (3.18) в силу (3.19) и (3.20) получим
$$ \begin{equation} \|K u\|_{W_0^{2,2k+1}(D_T)} \leqslant a_1(T) \|u\|_1^\alpha+b_1(T) \quad\forall\, u \in W_0^{2,2k+1}(D_T), \end{equation} \tag{3.22} $$
где
$$ \begin{equation} a_1(T) =\sum_{i=0}^{n+1}\widetilde{a}_i(T), \qquad b_1(T)=\sum_{i=0}^{n+1}\widetilde{a}_i(T)+b(T), \end{equation} \tag{3.23} $$
а $\widetilde{a}_i(T)$, $i=0,1,\dots,n+1$, и $b(T)$ определены равенствами (3.19) и (3.20).

§ 4. Существование и отсутствие решений задачи (1.1)–(1.3)

Ниже в предположении, что

$$ \begin{equation} F \colon D_\infty \to \mathbb{R}^N, \qquad F|_{D_T} \in L_2(D_T) \quad\forall\, T > 0, \end{equation} \tag{4.1} $$
где $D_\infty := \Omega \times (0, \infty)$, при определенных условиях, наложенных на нелинейную вектор-функцию $f$ будет доказано существование такого положительного числа $T_0=T_0(F)$, что при $0<T<T_0$ задача (1.1)–(1.3) имеет хотя бы одно обобщенное решение $u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$ в области $D_T$ в смысле определения 1.1, и в то же время для достаточно больших $T$ эта задача может оказаться неразрешимой в области $D_T$. Будет также выделен класс нелинейных вектор-функций $f$, когда для любого $F$, удовлетворяющего условию (4.1), задача (1.1)–(1.3) будет разрешима в области $D_T$ для любого $T>0$.

В соответствии с оценкой (3.22) рассмотрим следующее алгебраическое уравнение:

$$ \begin{equation} a_1 z^{\alpha}+b_1=z \end{equation} \tag{4.2} $$
относительно неизвестного числа $z>0$, где $a_1=a_1(T)$ и $b_1=b_1(T)$ даются равенствами (3.23).

При $T>0$ в силу (3.19), (3.20) и (3.23) очевидно, что $a_1>0$ и $b_1 > 0$. Простой анализ, аналогичный тому, который приведен в работе [17; гл. VIII, § 35, п. 4, пример 2] для $\alpha =3$, показывает, что:

1) в случае $0<b_1<b_0$, где

$$ \begin{equation} b_0=[\alpha^{-1/(\alpha-1)}-\alpha^{-\alpha/(\alpha-1)}]a_1^{-1/(\alpha-1)}, \end{equation} \tag{4.3} $$
уравнение (4.2) имеет два положительных корня $z_1$ и $z_2$. В случае $b_1=b_0$ эти корни совпадают и мы имеем только один положительный корень:
$$ \begin{equation*} z_1=z_2=z_0=(\alpha a_1)^{-1/(\alpha-1)}; \end{equation*} \notag $$

2) если $b_1>b_0$, то уравнение (4.2) не имеет неотрицательных корней.

Отметим, что в случае $0<b_1<b_0$ имеют место неравенства

$$ \begin{equation*} z_1<z_0=(\alpha a_1)^{-1/(\alpha-1)} <z_2. \end{equation*} \notag $$

В силу (3.17), (3.19), (3.20), (3.23) и (4.3) условие $b_1<b_0$ эквивалентно условию

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag g(T) &:= a_1^{\alpha/(\alpha-1)}(T)+a_1^{1/(\alpha-1)}(T)\bigl[ c_1^{-1}(n+3)^{1/2} (M^2 \operatorname{mes}\Omega)^{1/2}T^{1/2} \\ &\qquad+c_1^{-1}\|F\|_{L_2(D_T)} \bigr]<\alpha^{-1/(\alpha-1)}-\alpha^{-\alpha/(\alpha-1)}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.4} $$

Поскольку мера Лебега абсолютно непрерывна, то в силу (4.1) имеет место

$$ \begin{equation*} \lim_{T \to 0}\|F\|_{L_2(D_T)} =0, \end{equation*} \notag $$
откуда в силу (3.15), (3.19), (3.23) и (4.4) следует, что
$$ \begin{equation} \lim_{T \to 0}g(T)=0. \end{equation} \tag{4.5} $$

В то же время, поскольку $\alpha > 1$, то правая часть неравенства (4.4) положительна. Поэтому в силу (4.5) существует положительное число $T_0=T_0(F)$ такое, что $b_1< b_0$, когда выполнено условие

$$ \begin{equation} 0<T<T_0(F). \end{equation} \tag{4.6} $$
Таким образом, если $T$ удовлетворяет условию (4.6), то оператор
$$ \begin{equation*} K\colon W_0^{2,2k+1}(D_T) \to W_0^{2,2k+1}(D_T), \end{equation*} \notag $$
действующий по формуле (3.6), переводит шар
$$ \begin{equation*} B(0,z_2):=\bigl\{u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)\colon \|u\|_{W_0^{2,2k+1}(D_T)} \leqslant z_2 \bigr\} \end{equation*} \notag $$
в себя, где $z_2=z_2(T)$ – наибольший положительный корень уравнения (4.2). Действительно, если $u \in B(0,z_2)$, то в силу (3.22) и (4.2) будем иметь
$$ \begin{equation*} \|K u\|_{W_0^{2,2k+1}(D_T)} \leqslant a_1 \|u\|_1^\alpha+b_1 \leqslant a_1 z_2^\alpha+b_1=z_2. \end{equation*} \notag $$
Поэтому, принимая во внимание, что оператор $K$ является непрерывным и компактным и переводит замкнутый выпуклый шар $B(0,z_2) \subset W_0^{2,2k+1}(D_T)$ в себя, согласно теореме Шаудера (см. [17; гл. VIII, 35, п. 3, теорема (принцип Шаудера)]) уравнение (3.6) имеет хотя бы одно решение $u$ из пространства $W_0^{2,2k+1}(D_T)$, которое в то же время является и слабым обобщенным решением задачи (1.1)–(1.3) в пространстве $W_0^{2,2k+1}(D_T)$ в смысле определения 1.1.

Таким образом, исходя из сделанных выше предположений, касающихся области $\Omega$, нелинейной вектор-функции $f$ и правой части $F$ уравнения (1.1), а также из приведенных выше рассуждений следует справедливость следующей теоремы.

Теорема 4.1. Пусть $\Omega$ является ограниченной, выпуклой областью в $\mathbb{R}^n$ с границей $\partial \Omega$ класса $C^2$, матрица $A=A(x,t)$, $(x,t) \in \Gamma$, удовлетворяет условию (2.2), нелинейная вектор-функция $f$ удовлетворяет условиям (1.10)–(1.13) и (3.13), а вектор-функция $F$ удовлетворяет условию (4.1). Тогда существует число $T_0=T_0(F)>0$ такое, что при $0<T<T_0$ задача (1.1)–(1.3) имеет хотя бы одно слабое обобщенное решение $ u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$ в смысле определения 1.1.

Теперь приведем один случай нелинейной вектор-функции $f=f(u)$, когда задача (1.1)–(1.3) может не иметь решения. Рассмотрим следующее условие, наложенное на вектор-функцию $f$: существуют числа $l_1,\dots,l_N$, $\sum_{i=1}^{N}|l_i| \neq 0$, такие, что

$$ \begin{equation} \sum_{i=1}^{N}l_i f_i (u) \leqslant-\biggl|\sum_{i=1}^{N}l_i u_i\biggr|^\beta \quad\forall\, u \in \mathbb{R}^N,\qquad 1<\beta=\mathrm{const}<\frac{n+1}{n-1}. \end{equation} \tag{4.7} $$

Ниже для простоты изложения предположим, что $\Omega\colon |x|<1$.

Теорема 4.2. Пусть вектор-функция $f$ удовлетворяет условиям (1.10)–(1.13) и (4.7). Пусть $F^0=(F_1^0,\dots,F_N^0) \in L_2(D_T)$, $G=\sum_{i=1}^{N}l_i F_i^0 \geqslant 0$ и $\|G\|_{L_2(D_T)} \neq 0$. Тогда существует число $\mu_0=\mu_0 (G,\beta) > 0$ такое, что при $\mu > \mu_0 $ задача (1.1)–(1.3) не может иметь слабого обобщенного решения в пространстве $W_0^{2,2k+1}(D_T)$ для $F=\mu F^0$.

Доказательство. Допустим, что условия теоремы выполнены и решение $u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$ задачи (1.1)–(1.3) существует для любого фиксированного $\mu > 0$. Согласно определению 1.1 вектор-функция $u$ удовлетворяет равенству (1.16) для любой вектор-функции $\varphi \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$. Ниже мы воспользуемся методом пробных функций (см. [4]). В качестве такой пробной вектор-функции можно взять $\varphi=(l_1 \varphi_0, l_2 \varphi_0,\dots,l_N \varphi_0)$, где $\varphi_0$ – скалярная функция, удовлетворяющая условиям
$$ \begin{equation} \varphi_0 \in C_0^{4,4k+2}(\overline{D}_T), \qquad \varphi_0|_{\Gamma}= \frac {\partial \varphi_0}{\partial \nu} \bigg|_{\Gamma}=0, \qquad \varphi_0|_{D_T}>0, \end{equation} \tag{4.8} $$
где пространство $C_0^{4,4k+2}(\overline{D}_T)$ определено в (1.4).

Интегрирование по частям в интегральном равенстве (1.16) с учетом (4.8) и обозначения $v=\sum_{i=1}^{N}l_i u_i$ дает

$$ \begin{equation*} -\int_{D_T}\biggl[\sum_{i=1}^{N}l_i f_i(u) \biggr] \varphi_0 \,dx\,dt =\int_{D_T} v L_0 \varphi_0 \,dx\,dt -\mu \int_{D_T} G \varphi_0 \,dx\,dt, \end{equation*} \notag $$
откуда в силу (4.7) следует, что
$$ \begin{equation} \int_{D_T} |v|^\beta \varphi_0 \,dx\,dt \leqslant \int_{D_T} v L_0 \varphi_0 \,dx\,dt -\mu \int_{D_T} G \varphi_0 \,dx\,dt, \end{equation} \tag{4.9} $$
где $L_0 := \partial^{2(2k+1)}/\partial t^{2(2k+1)}-\Delta^2$.

Если в неравенстве Юнга с параметром $\varepsilon > 0$

$$ \begin{equation*} ab \leqslant \frac{\varepsilon}{\beta}a^\beta +\frac{1}{{\beta'\varepsilon^{\beta'-1}}}b^{\beta'}, \qquad a,b \geqslant 0, \qquad \beta'=\frac{\beta}{{\beta-1}}, \end{equation*} \notag $$
возьмем $a=|v|\varphi_0^{1/\beta}$, $b=|L_0 \varphi_0|/\varphi_0^{1/\beta}$, то с учетом $\beta'/\beta=\beta'-1$ будем иметь
$$ \begin{equation} |v L_0 \varphi_0 |=|v|\varphi_0^{1/\beta} \frac{|L_0 \varphi_0 |} {\varphi_0^{1/\beta}} \leqslant \frac{\varepsilon}{\beta}|v|^\beta \varphi_0+\frac{1} {\beta'\varepsilon^{\beta'-1}}\, \frac{|L_0 \varphi_0 |^{\beta'}} {\varphi_0^{\beta'-1}}. \end{equation} \tag{4.10} $$
Из (4.9) и (4.10) получим
$$ \begin{equation*} \biggl(1-\frac{\varepsilon}{\beta}\biggr) \int_{D_T}|v|^\beta \varphi_0 \,dx\,dt \leqslant \frac{1}{\beta'\varepsilon^{\beta'-1}} \int_{D_T}\frac{|L_0 \varphi_0 |^{\beta'}}{\varphi_0^{\beta'-1}}\,dx\,dt -\mu \int_{D_T} {G \varphi_0 \,dx\,dt}, \end{equation*} \notag $$
откуда при $\varepsilon<\beta$ будем иметь
$$ \begin{equation} \int_{D_T} {|v|^\beta \varphi_0 \,dx\,dt} \leqslant \frac{\beta}{(\beta-\varepsilon)\beta'\varepsilon^{\beta'-1}} \int_{D_T} \frac{|L_0 \varphi_0 |^{\beta'}}{\varphi_0^{\beta'-1}}\,dx\,dt -\frac{\beta \mu}{\beta-\varepsilon} \int_{D_T}G \varphi_0 \,dx\,dt. \end{equation} \tag{4.11} $$

С учетом равенств

$$ \begin{equation*} \beta'=\frac{\beta}{\beta-1}, \qquad \beta=\frac{\beta'}{\beta'-1}, \qquad \min_{0<\varepsilon<\beta} \frac{\beta}{(\beta-\varepsilon)\beta'\varepsilon^{\beta'-1}}=1 \end{equation*} \notag $$
(минимум достигается при $\varepsilon=1 $) из (4.11) будет следовать, что
$$ \begin{equation} \int_{D_T}|v|^\beta \varphi_0 \,dx\,dt \leqslant \int_{D_T}\frac{|L_0 \varphi_0 |^{\beta'}}{\varphi_0^{\beta'-1}}\,dx\,dt -\beta' \mu \int_{D_T}G \varphi_0 \,dx\,dt. \end{equation} \tag{4.12} $$

Нетрудно показать существование функции $\varphi_0$, которая наряду с условиями (4.8) удовлетворяет также следующему условию:

$$ \begin{equation} \kappa_0=\int_{D_T}\frac{|L_0 \varphi_0 |^{\beta'}}{\varphi_0^{\beta'-1}}\,dx\,dt <+\infty. \end{equation} \tag{4.13} $$
Действительно, легко проверить, что функция
$$ \begin{equation*} \varphi_0 (x,t)=[(1-|x|^2) t (T-t)]^m \end{equation*} \notag $$
для достаточно большого $m$ удовлетворяет условиям (4.8) и (4.13).

Поскольку $G \in L_2(D_T)$, $G|_{D_T} \geqslant 0$ и $\|G\|_{L_2(D_T)} \neq 0$ и $\varphi_0 |_{D_T} >0$, будем иметь

$$ \begin{equation} 0<\kappa_1=\int_{D_T} G \varphi_0 \,dx\,dt <+\infty. \end{equation} \tag{4.14} $$
Обозначим через $g(\mu)$ правую часть неравенства (4.12), которая является линейной функцией относительно $\mu $. В силу (4.13) и (4.14) легко видеть, что
$$ \begin{equation} g(\mu)<0 \quad \text{при}\ \mu > \mu_0, \qquad g(\mu) > 0 \quad \text{при}\ \mu<\mu_0, \end{equation} \tag{4.15} $$
где
$$ \begin{equation*} g(\mu)=\kappa_0-\beta' \mu \kappa_1, \qquad \mu_0=\frac{\kappa_0}{\beta' \kappa_1} > 0. \end{equation*} \notag $$

В силу (4.15) при $\mu > \mu_0$ правая часть неравенства (4.12) отрицательна, в то время как левая часть этого неравенства неотрицательна. Полученное противоречие доказывает теорему 4.2.

Замечание 4.1. Отметим, что в теореме 4.2 для простоты изложения мы предположили, что $\Omega\colon |x|<1$. Однако эта теорема остается справедливой в более общем случае, когда $\Omega$ является выпуклой с достаточно гладкой границей $\partial \Omega$. Наше предположение было вызвано построением пробной функции $\varphi_0$, удовлетворяющей условиям (4.8) и (4.13) согласно формуле

$$ \begin{equation} \varphi(x,t)=[(1-|x|^2)t(T-t)]^m \end{equation} \tag{4.16} $$
для достаточно большого положительного $m$. Если граница выпуклой области $\Omega$ задана уравнением $\partial \Omega\colon \omega (x)=0$, где $\nabla_x \omega |_{\partial \Omega} \neq 0$, $\omega|_\Omega >0$ и $\omega \in C^4(R^n)$, то тогда вместо пробной функции, заданной уравнением (4.16), следует взять
$$ \begin{equation*} \varphi(x,t)=[\omega(x)t(T-t)]^m, \end{equation*} \notag $$
где $m$ – достаточно большое положительное число, и в этом случае теорема 4.2 также остается справедливой.

Замечание 4.2. При доказательстве теоремы 4.2 условие (4.7) можно заменить более общим условием

$$ \begin{equation} \sum_{i=1}^N l_if_i(u) \leqslant-d_0\biggl|\sum_{i=1}^N l_i u_i\biggr|^\beta \quad \forall\, u \in \mathbb{R}^N, \quad 1<\beta=\mathrm{const}<\frac{n+1}{n-1}, \end{equation} \tag{4.17} $$
где $d_0=\mathrm{const} >0$. Действительно, случай (4.17) сводится к случаю (4.7), если от $l_i$ перейти к $\widetilde{l}_i$ согласно формуле $l_i=\lambda \widetilde{l}_i$, где $\lambda=d_0^{1/(1-\beta)}$. В результате мы получим (4.7), в котором вместо $l_i$ будет написано $\widetilde{l}_i$. Теперь приведем один класс вектор-функций $f$, которые удовлетворяют условию (4.17):
$$ \begin{equation} f_i(u_1,\dots,u_N)=\sum_{j=1}^N a_{ij}|u_j|^{\beta_{ij}}+b_i, \qquad i=1,\dots,N, \end{equation} \tag{4.18} $$
где постоянные числа $a_{ij}$, $\beta_{ij}$ и $b_i$ удовлетворяют неравенствам
$$ \begin{equation} a_{ij}>0, \quad 1<\beta_{ij}<\frac{n+1}{n-1}, \quad \sum_{i=1}^N b_i >0, \qquad i,j= 1,\dots,N. \end{equation} \tag{4.19} $$
В этом случае в (4.17) следует взять $l_1=\dots =l_N=-1$. Действительно, в силу (4.19) выберем постоянные числа $\alpha_0$ и $\beta$ такие, что
$$ \begin{equation} 0<a_0 \leqslant \min_{i,j} {a_{ij}}, \qquad \sum_{i=1}^N b_i- a_0N^2 \geqslant 0, \qquad 1<\beta <\beta_{ij}, \qquad i,j=1,\dots,N. \end{equation} \tag{4.20} $$
Легко проверить, что $|s|^{\beta_{ij}} \geqslant |s|^\beta -1$ $\forall\, s \in (-\infty, \infty)$. Используя известное неравенство (см. [18; гл. IV, § 2, п. 144, пример 1)])
$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^N |y_i|^\beta > N^{1-\beta}\biggl|\sum_{i=1}^N y_i\biggr|^\beta \quad \forall\, y=(y_1,\dots,y_N) \in \mathbb{R}^N, \qquad \beta=\mathrm{const} >1, \end{equation*} \notag $$
в силу (4.18) и (4.19) будем иметь
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \sum_{i=1}^N f_i(u_1,\dots,u_N) &\geqslant a_0 \sum_{i,j=1}^N |u_j|^{\beta_{ij}}+ \sum_{i=1}^N b_i \geqslant a_0 \sum_{i,j=1}^N (|u_j|^{\beta}-1)+\sum_{i=1}^N b_i \\ \notag &\geqslant a_0 N \sum_{j=1}^N |u_j|^{\beta}-a_0 N^2+\sum_{i=1}^N b_i \\ &\geqslant a_0 N^{2-\beta}\biggl|\sum_{j=1}^N u_j\biggr|^{\beta} +\sum_{i=1}^N b_i-a_0 N^2 \geqslant a_0 N^{2-\beta}\biggl|\sum_{j=1}^N u_j\biggr|^{\beta}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.21} $$

В силу (4.21) заключаем, что если выполнены условия (4.18) и (4.19), то имеет место неравенство (4.17) в котором $l_1=\dots =l_N=-1$ и $d_0=a_0 N^{2-\beta}$.

Замечание 4.3. Из теорем 4.1 и 4.2 следует, что для вектор-функции $F$, удовлетворяющей условию (4.1) при достаточно малых $T>0$ задача (1.1)–(1.3) всегда разрешима, хотя при достаточно больших $T$ она может не иметь решения. Ниже мы выделим класс нелинейных вектор-функций $f$, когда для произвольной вектор-функции $F$, удовлетворяющей условию (4.1), задача (1.1)–(1.3) имеет хотя бы одно решение для любого фиксированного $T>0$.

Рассмотрим следующее условие, наложенное на вектор-функцию $f=(f_1,\dots,f_N)(s_0,s_1,\dots,s_{n+1})$:

$$ \begin{equation} \lim_{|s|\to \infty} \sup \frac{s_0 \cdot f(s_0,s_1,\dots,s_{n+1})}{|s|^2} \leqslant 0, \end{equation} \tag{4.22} $$
где $s_i \in \mathbb{R}^N$, $i=0,\dots,n+1$; $s_0 \cdot f$ – стандартное скалярное произведение в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^N$, $s=(s_0,s_1,\dots,s_{n+1}) \in \mathbb{R}^{(n+2)N}$, $|s|^2=\sum_{i=0}^{n+1}|s_i|^2$.

Приведем один класс вектор-функций $f=(f_1,\dots,f_N)$, удовлетворяющих условию (4.22):

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, f_i=f_i^0(s_0,s_1,\dots,s_{n+1}) |s_{0i}|^{\beta_i}\operatorname{sign} s_{0i}, \\ f_i^0(s_0,s_1,\dots,s_{n+1}) \leqslant 0, \qquad \beta_i =\mathrm{const} >0, \\ \forall\, s=(s_0,s_1,\dots,s_{n+1}) \in \mathbb {R}^N, \qquad s_0=(s_{01},\dots,s_{0N}), \\ f_i^0 \in C(\mathbb{R}^N), \qquad i=1,\dots,N. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Теорема 4.3. Пусть $\Omega$ является ограниченной выпуклой областью в $\mathbb{R}^n$ с границей $\partial \Omega$ класса $C^2$, матрица $A=A(x,t)$, $(x,t) \in \overline{\Gamma}$, удовлетворяет условию (2.2), нелинейная вектор-функция $f=f(s_0,s_1,\dots,s_{n+1})$ удовлетворяет условиям (1.10)–(1.13) и (4.22), а вектор-функция $F$ удовлетворяет условию (4.1). Тогда для любого фиксированного $T>0$ задача (1.1)–(1.3) имеет хотя бы одно слабое обобщенное решение $u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$ в смысле определения 1.1.

Доказательство. Сначала получим априорную оценку для решения $u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$ задачи (1.1)–(1.3). Поскольку $f \in C(\mathbb{R}^{(n+2)N})$, то в силу (4.22) для любого $\varepsilon > 0$ существует число $\widetilde{C}_\varepsilon \geqslant 0$ такое, что
$$ \begin{equation} s_0 \cdot f(s_0,s_1,\dots,s_{n+1}) \leqslant \widetilde{C}_\varepsilon +\varepsilon |s|^2 \quad\forall\, (s_0,s_1,\dots,s_{n+1}) \in \mathbb{R}^{(n+2)N}. \end{equation} \tag{4.23} $$

Полагая $\varphi=u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$ в равенстве (1.16) и принимая во внимание (4.23) и (2.4), для любого $\varepsilon >0$ мы получим

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\|u\|_1^2 =\int_{D_T} u f(u, \nabla u) \,dx\,dt-\int_{D_T} {Fu\,dx\,dt} \\ \notag &\leqslant \widetilde{C}_\varepsilon \operatorname{mes} D_T\,{+}\,\varepsilon \int_{D_T} \biggl[u^2{+}\,\sum_{i=1}^{n} \biggl(\frac{\partial u}{\partial x_i} \biggr)^2{+}\,\biggl(\frac{\partial u}{\partial t} \biggr)^2 \biggr] \,dx\,dt\,{+}\int_{D_T}\biggl(\frac{1}{4\varepsilon} F^2\,{+}\,\varepsilon u^2 \biggr)\,dx\,dt \\ &= \widetilde{C}_\varepsilon \operatorname{mes}D_T+2\varepsilon \int_{D_T} \biggl[u^2+\sum_{i=1}^{n} \biggl(\frac{\partial u}{\partial x_i} \biggr)^2+\biggl(\frac{\partial u}{\partial t} \biggr)^2 \biggr] \,dx\,dt+\frac{1}{4\varepsilon} \|F\|_{L_2(D_T)}^2. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.24} $$

Из (4.24) в силу в (1.5), (2.1) и (2.5) следует, что

$$ \begin{equation*} c_1^2\|u\|_0^2 \leqslant \|u\|_1^2 \leqslant \frac{{1}}{{4\varepsilon}}\|F\|_{L_2(D_T)}^2+ \widetilde{C}_\varepsilon \operatorname{mes}D_T+2 \varepsilon \|u\|_0^2, \end{equation*} \notag $$
oткуда для $\varepsilon=\frac{1}{{4}} c_1^2$ получим
$$ \begin{equation} \|u\|_0^2 \leqslant 2 c_1^{-4} \|F\|_{L_2 ({D_T})}^2 +2 c_1^{-2} \widetilde{C}_\varepsilon \operatorname{mes}D_T. \end{equation} \tag{4.25} $$

Из неравенства (4.25) вытекает следующая априорная оценка для решения $u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$ задачи (1.1)–(1.3):

$$ \begin{equation} \|u\|_0=\|u\|_{W_0^{2,2k+1}(D_T)} \leqslant c_3 \|F\|_{L_2 ({D_T})}+c_4 \end{equation} \tag{4.26} $$
с постоянными $c_3=(2c_1^{-4})^{1/2}$ и $c_4=(2c_1^{-2} \widetilde{C}_\varepsilon \operatorname{mes} D_T)^{1/2}$, не зависящими от $u$ и $F$, $ \varepsilon=\frac{1}{4}c_1^2$.

Согласно замечанию 3.1 задача (1.1)–(1.3) эквивалентна функциональному уравнению (3.6), где оператор $K$, действующий в гильбертовом пространстве $W_0^{2,2k+1}(D_T)$ является непрерывным и компактным. В то же время априорная оценка (4.26) для решения уравнения $u=Ku$ из (3.6) справедлива и для решения уравнения $u=\tau K u$ с параметром $\tau \in [0,1]$ с теми же постоянными $c_3$ и $c_4$, что и в (4.26). Поэтому согласно теореме Лере–Шаудера о неподвижной точке (см. [17; гл. VIII, § 35, п. 5, теорема 3]) уравнение (3.6), а следовательно, и задача (1.1)–(1.3) имеет хотя бы одно слабое обобщенное решение в пространстве $W_0^{2,2k+1}(D_T)$ в смысле определения 1.1, что и завершает доказательство теоремы 4.3.

§ 5. Единственность решения задачи (1.1)–(1.3)

Теорема 5.1. Пусть $\Omega$ является ограниченной выпуклой областью в $\mathbb{R}^n$ с границей $\partial \Omega$ класса $C^2$, матрица $A=A(x,t)$, $(x,t) \in \overline{\Gamma}$, удовлетворяет условию (2.2), нелинейная вектор-функция $f=f(u)$, зависящая только от переменной $u \in \mathbb{R}^N$, удовлетворяет условию (1.10)–(1.12), а также условию

$$ \begin{equation} (f(u)-f(v)) \cdot (u-v) \leqslant 0 \quad\forall\, u, v \in \mathbb{R}^N. \end{equation} \tag{5.1} $$
Тогда для любого $F=(F_1,\dots,F_N) \in L_2(D_T)$ задача (1.1)–(1.3) не может иметь более одного слабого обобщенного решения $u=(u_1,\dots,u_N)$ в пространстве $W_0^{2,2k+1}(D_T)$.

Доказательство. Пусть $F \in L_2 (D_T)$ и $u^1$, $u^2$ – два слабых обобщенных решения задачи (1.1)–(1.3) из пространства $W_0^{2,2k+1}(D_T)$, т.е. согласно (1.16) имеют место равенства
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int_{D_T} \biggl[\frac{\partial^{2k+1} u^i}{\partial t^{2k+1}} \, \frac{\partial^{2k+1} \varphi}{\partial t^{2k+1}}+\Delta u^i \Delta \varphi \biggr]\,dx\,dt +\int_{\Gamma} A \, \frac{\partial u^i}{\partial \nu} \, \frac{\partial \varphi}{\partial \nu}\,ds \\ &\qquad\qquad - \int_{D_T} f(u^i) \varphi \,dx\,dt =- \int_{D_T} F \varphi \,dx\,dt \quad\forall\, \varphi \in W_0^{2,2k+1}(D_T), \qquad i=1,2. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.2} $$

Из (5.2) для разности $v=u^2-u^1$ получим

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int_{D_T} \biggl[\frac{\partial^{2k+1} v}{\partial t^{2k+1}} \, \frac{\partial^{2k+1} \varphi}{\partial t^{2k+1}}+\Delta v \Delta \varphi \biggr]\,dx\,dt+\int_{\Gamma}A \, \frac{\partial v}{\partial \nu} \, \frac{\partial \varphi}{\partial \nu}\,ds \\ &\qquad =\int_{D_T} \bigl(f(u^2)-f(u^1) \bigr) \varphi \,dx\,dt \quad\forall\, \varphi \in W_0^{2,2k+1}(D_T). \end{aligned} \end{equation} \tag{5.3} $$

Полагая $\varphi=v \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$ в равенстве (5.3) и учитывая (2.4), будем иметь

$$ \begin{equation} \|v\|_1^2=\int_{D_T}\bigl(f(u^2)-f(u^1)\bigr)(u^2-u^1) \,dx\,dt. \end{equation} \tag{5.4} $$

Из (5.4) в силу (2.5) и (5.1) следует, что

$$ \begin{equation*} c_1 \|v\|_0 \leqslant \|v\|_1 \leqslant 0, \end{equation*} \notag $$
откуда находим, что $v=0$, т.е. $u^2=u^1$. Теорема 5.1 доказана.

Из теорем 4.3 и 5.1 вытекает следующая

Теорема 5.2. Пусть $\Omega$ является ограниченной выпуклой областью в $\mathbb{R}^n$ с границей $\partial \Omega$ класса $C^2$, матрица $A=A(x,t)$, $(x,t) \in \overline{\Gamma}$, удовлетворяет условию (2.2), нелинейная вектор-функция $f=f(u)$, зависящая только от переменной $u \in \mathbb{R}^N$, удовлетворяет условиям (1.10)–(1.12), (5.1) и

$$ \begin{equation*} \lim_{s_0 \to \infty} \sup \frac{s_0 \cdot f(s_0)}{|s_0|^2} \leqslant 0. \end{equation*} \notag $$
Тогда для любого $F \in L_2(D_T)$ задача (1.1)–(1.3) имеет единственное слабое обобщенное решение $u \in W_0^{2,2k+1}(D_T)$ в смысле определения 1.1.

Список литературы
1. Л. Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 2, Дифференциальные операторы с постоянными коеффициентами, Мир, М., 1986, 456 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, т. II, Grundlehren Math. Wiss., 257, Differential operators with constant coefficients, Springer-Verlag, Berlin, 1983, ix+391 с.  mathscinet  zmath
2. S. Kharibegashvili, B. Midodashvili, “On the solvability of one boundary value problem for a class of higher-order nonlinear partial differential equations”, Mediterr. J. Math., 18:4 (2021), 131, 18 pp.  crossref  mathscinet  zmath
3. S. Kharibegashvili, B. Midodashvili, “The boundary value problem for one class of higher-order semilinear partial differential equations”, Proc. Inst. Math. Mech. Natl. Acad. Sci. Azerb., 49:1 (2023), 154–171  crossref  mathscinet  zmath
4. Э. Митидиери, С. И. Похожаев, “Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных”, Тр. МИАН, 234, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2001, 3–383  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: È. Mitidieri, S. I. Pokhozhaev, “A priori estimates and blow-up of solutions to nonlinear partial differential equations and inequalities”, Proc. Steklov Inst. Math., 234 (2001), 1–362
5. V. A. Galaktionov, E. L. Mitidieri, S. I. Pohozaev, Blow-up for higher-order parabolic, hyperbolic, dispersion and Schrödinger equations, Monogr. Res. Notes Math., CRC Press, Boca Raton, FL, 2015, xxvi+543 pp.  crossref  mathscinet  zmath
6. Guowang Chen, Ruili Song, Shubin Wang, “Local existence and global nonexistence theorems for a damped nonlinear hyperbolic equation”, J. Math. Anal. Appl., 368:1 (2010), 19–31  crossref  mathscinet  zmath
7. Tengyu Ma, Juan Gu, Longsuo Li, “Asymptotic behavior of solutions to a class of fourth-order nonlinear evolution equations with dispersive and dissipative terms”, J. Inequal. Appl., 2016 (2016), 318, 7 pp.  crossref  mathscinet  zmath
8. Jiangbo Han, Runzhang Xu, Yanbing Yang, “Asymptotic behavior and finite time blow up for damped fourth order nonlinear evolution equation”, Asymptot. Anal., 122:3-4 (2021), 349–369  crossref  mathscinet  zmath
9. S. Kharibegashvili, B. Midodashvili, “Solvability of characteristic boundary-value problems for nonlinear equations with iterated wave operator in the principal part”, Electron. J. Differential Equations, 2008 (2008), 72, 12 pp.  mathscinet  zmath
10. S. Kharibegashvili, “Boundary value problems for some classes of nonlinear wave equations”, Mem. Differential Equations Math. Phys., 46 (2009), 1–114  mathscinet  zmath
11. S. Kharibegashvili, B. Midodashvili, “A boundary value problem for higher-order semilinear partial differential equations”, Complex Var. Elliptic Equ., 64:5 (2019), 766–776  crossref  mathscinet  zmath
12. S. Kharibegashvili, B. Midodashvili, “On the solvability of one boundary value problem for one class of higher-order semilinear hyperbolic systems”, Lith. Math. J., 62:3 (2022), 360–371  crossref  mathscinet  zmath
13. С. С. Харибегашвили, Б. Г. Мидодашвили, “О разрешимости специальной краевой задачи в цилиндрической области для одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными”, Диффенц. уравнения, 58:1 (2022), 82–92  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. S. Kharibegashvili, B. G. Midodashvili, “On the solvability of a special boundary value problem in a cylindrical domain for a class of nonlinear systems of partial differential equations”, Differ. Equ., 58:1 (2022), 81–91  crossref
14. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973, 407 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. A. Ladyzhenskaya, The boundary value problems of mathematical physics, Appl. Math. Sci., 49, Springer-Verlag, New York, 1985, xxx+322 с.  crossref  mathscinet  zmath
15. А. Куфнер, С. Фучик, Нелинейные дифференциальные уравнения, Наука, М., 1988, 304 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: S. Fučík, A. Kufner, Nonlinear differential equations, Stud. Appl. Mech., 2, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam–New York, 1980, 359 с.  mathscinet  zmath
16. W. McLean, Strongly elliptic systems and boundary integral equations, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000, xiv+357 pp.  mathscinet  zmath
17. В. А. Треногин, Функциональный анализ, 2-е изд., Наука, М., 1993, 440 с.  mathscinet  zmath; фр. пер. 1-го изд.: V. Trénoguine, Analyse fonctionnelle, Traduit Russe Math., Mir, Moscow, 1985, 528 pp.  mathscinet
18. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, 7-е стер. изд., Наука, М., 1969, 608 с.; нем. пер. 1-го изд.: G. M. Fichtenholz, Differential- und Integralrechnung, v. I, Hochschulbücher für Math., 61, 12. Aufl., VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1986, xiv+572 pp.  mathscinet  zmath
Образец цитирования: С. С. Харибегашвили, Б. Г. Мидодашвили, “О разрешимости краевой задачи для одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными высокого порядка”, Матем. сб., 215:6 (2024), 131–150; S. S. Kharibegashvili, B. G. Midodashvili, “On the solvability of the boundary value problem for one class of nonlinear systems of high-order partial differential equations”, Sb. Math., 215:6 (2024), 841–860
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhaMid24}
\by С.~С.~Харибегашвили, Б.~Г.~Мидодашвили
\paper О разрешимости краевой задачи для одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными высокого порядка
\jour Матем. сб.
\yr 2024
\vol 215
\issue 6
\pages 131--150
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm10029}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm10029}
\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4804041}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:07945698}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024SbMat.215..841K}
\transl
\by S.~S.~Kharibegashvili, B.~G.~Midodashvili
\paper On the solvability of the boundary value~problem for one class of nonlinear systems of high-order partial differential equations
\jour Sb. Math.
\yr 2024
\vol 215
\issue 6
\pages 841--860
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm10029e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001334620600007}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85206924975}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm10029
  • https://doi.org/10.4213/sm10029
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v215/i6/p131
    • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Математический сборник Sbornik: Mathematics
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2025