| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О приближениях одного сингулярного интеграла на отрезке рациональными интегральными операторами Фурье–Чебышёва П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба Гродненский государственный университет имени Янки Купалы, Республика Беларусь
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10030e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПри решении различных задач математики и ее приложений встречаются сингулярные интегралы с ядром типа Коши следующего вида:
$$
\begin{equation}
\widehat{f}(x)=\int_{-1}^{1}\frac{f(t)}{t-x}\sqrt{1-t^2}\,dt, \qquad x \in [-1,1],
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
понимаемые в смысле главного значения по Коши. Для существования последних достаточно, чтобы плотность $f(t)$ удовлетворяла условию Липшица любого порядка [1], [2]. Точное значение таких интегралов, т.е. в замкнутой форме, удается получить лишь в очень редких частных случаях. Поэтому актуальной задачей является разработка приближенных методов. Способы получения значений сингулярных интегралов вида (1.1) при помощи методов численного анализа к настоящему времени хорошо известны (см., например, [3]–[8]). В работе Б. Г. Габдулхаева [9] содержится достаточно полный обзор результатов в этом направлении. В 1993 г. В. Н. Русак [10] предложил способ рациональной аппроксимации сингулярных интегралов вида (1.1), когда плотность $f(t)$ принадлежит различным классам функций на отрезке. Эти исследования были продолжены в работе его ученика [11] и в совместной работе [12]. В. П. Моторный [13] исследовал поточечные приближения алгебраическими многочленами классов функций, которые задаются сингулярными интегралами вида (1.1), и получил асимптотически точные оценки приближений. Вместе с тем в цитируемых выше работах не использовались классические методы, основанные на рядах Фурье. В 1925–1926 гг. С. Такенака [14] и Ф. Мальмквист [15] ввели ортогональную систему рациональных функций на единичной окружности, обобщающую основную тригонометрическую систему. М. М. Джрбашян [16] построил рациональные ряды Фурье по этой системе, нашел интеграл Дирихле и установил аналоги признаков Жордана–Дирихле и Дини–Липшица при условии, что полюсы рациональных функций не имеют предельных точек на единичной окружности. М. М. Джрбашян и А. А. Китбалян [17] построили ортогональные на отрезке $[-1,1]$ системы рациональных функций, обобщающие классические системы многочленов Чебышёва первого и второго рода. В 1979 г. Е. А. Ровба [18] ввел интегральный оператор, ассоциированный с системой рациональных функций Чебышёва–Маркова, который является обобщением частичных сумм полиномиальных рядов Фурье–Чебышёва. Пусть задано произвольное множество чисел $\{a_k\}_{k=1}^n$, где $a_k$ являются либо действительными и $|a_k|<1$, либо попарно комплексно сопряженными. На множестве суммируемых на отрезке $[-1,1]$ с весом $(1-x^2)^{-1/2}$ функций $f(x)$ рассмотрим рациональный интегральный оператор [18]
$$
\begin{equation}
s_n(f,x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(\cos v) \frac{\sin\lambda_n(v,u)}{\sin\frac{v-u}{2}}\,dv, \qquad x=\cos u,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \lambda_n(v,u)=\int_{u}^{v} \biggl(\frac{1}{2}+\lambda_n(y)\biggr)\,dy, \\ \lambda_n(y)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1-|z_k|^2}{1+2|z_k| \cos (y-\operatorname{arg}z_k) +|z_k|^2}, \qquad z_k=\frac{a_k}{1+\sqrt{1-a_k^2}}, \quad |z_k|<1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Оператор $s_n\colon f \to \mathbb{R}_n(A_n)$ является точным на константах. Здесь $\mathbb{R}_n(A_n)$ – множество рациональных функций вида
$$
\begin{equation*}
\frac{p_n(x)}{\prod_{k=1}^{n}(1+a_k x)}, \qquad p_n \in \mathbb{P}_n,
\end{equation*}
\notag
$$
$A_n$ – множество параметров $(a_1,\dots,a_{n})$. В частности, если положить $a_k=0$, $k=1,2,\dots,n$, то $s_n(f,x)$ представляет собой частичную сумму полиномиального ряда Фурье–Чебышёва. Вместе с интегральным представлением (1.2) в работе [18] получены оценки сверху приближений оператором $s_n(\cdot,\cdot)$ на ряде функциональных классов на отрезке. Рациональные интегральные операторы (1.2) нашли широкое применение в рациональной аппроксимации [19]–[21]. На основании рационального интегрального оператора Фурье–Чебышёва (1.2) введем в рассмотрение оператор
$$
\begin{equation}
\widehat{s}_{n+1}(f,x)=\int_{-1}^{1}\frac{s_{n}(f,t)}{t-x}\sqrt{1-t^2}\,dt, \qquad x \in (-1,1).
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Известно (см., например, [10]), что выражение $s_{n+1}(f,x)$ есть также рациональная функция порядка не выше $n+1$ с теми же полюсами, что и у ${s}_{n}(f,x)$. Представляет интерес изучение приближения сингулярных интегралов вида (1.1) на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором Фурье–Чебышёва (1.2) и введенным оператором (1.4). В настоящей работе изучаются оба вышеназванных направления. В качестве отдельной задачи исследуются приближения индивидуальных сингулярных интегралов вида (1.1) в случае, когда их плотность имеет степенную особенность. Рассматриваются случаи, когда аппроксимирующая рациональная функция имеет ограничения на количество геометрически различных параметров, а также случай, когда параметры аппроксимирующей функции являются в некотором смысле модификацией “ньюменовских” параметров. § 2. Интегральные представления приближенийВведем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\varepsilon}_n(\widehat{f},x,A_n)=\widehat{f}(x) - s_n(\widehat{f},x), \qquad x \in [-1,1], \\ {\varepsilon}_n(\widehat{f},A_n)=\| \widehat{f}(x) - s_n(\widehat{f},x)\|_{C[-1,1]}, \qquad n \in \mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. Справедливо интегральное представление Доказательство. Учитывая точность оператора (1.2) на константах, запишем
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_n(\widehat{f},x,A_n) =\int_{-\pi}^{\pi}\biggl(\int_{-1}^{1}\frac{f(t)}{t-\cos u}\sqrt{1-t^2}\,dt -\int_{-1}^{1}\frac{f(t)}{t-\cos v}\sqrt{1-t^2}\,dt\biggr)D_n(v,u)\,dv,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
D_n(v,u)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin\lambda_n(v,u)}{\sin\frac{v-u}{2}}, \qquad x=\cos u.
\end{equation*}
\notag
$$
Применив теорему Фубини, в последнем выражении поменяем порядок интегрирования. Тогда
$$
\begin{equation}
\varepsilon_n(\widehat{f},x,A)=\int_{-1}^{1}\frac{f(t)\sqrt{1-t^2}}{t-x}I_n(x,t)\,dt,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
I_n(x,t)=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos u - \cos v}{\cos \tau - \cos v}D_n(v,u)\,dv, \qquad x=\cos u, \quad t=\cos \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что интеграл $I_n(x,t)$ является сингулярным и понимается в смысле главного значения по Коши. Вычислим его. С этой целью под знаком интеграла выполним замену переменного интегрирования по формуле $\zeta=\mathrm{e}^{ i v}$, положив при этом $\xi=\mathrm{e}^{ i u}$, $z=\mathrm{e}^{ i \tau}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
I_n(x,t) =\frac{1}{2\pi i\xi}\oint_{\Gamma}\frac{1-\xi \zeta}{(\zeta-z)(\zeta-\frac1{z})} \biggl(\zeta\frac{\omega_n(\zeta)}{\omega_n(\xi)}-\xi\frac{\omega_n(\xi)}{\omega_n(\zeta)}\biggr) \frac{d\zeta}{\zeta},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\omega_n(\zeta)=\prod_{k=1}^{n}\frac{\zeta+z_k}{1+z_k \zeta},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$\Gamma=\{\zeta\colon \zeta=\mathrm{e}^{i v}, -\pi \leqslant v \leqslant \pi \}$. Интеграл $I_n(x,t)$ имеет точки сингулярности $\zeta=z$ и $\zeta=1/z$ и для его вычисления выполним разбиение на два интеграла так, что
$$
\begin{equation}
I_n(x,t)=\frac{1}{2\pi i\xi}\bigl[\overline{\omega_n(\xi)}I^{(1)}(x,t) -\xi\omega_n(\xi)I^{(2)}(x,t)\bigr],
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I^{(1)}(x,t) =\oint_{\Gamma}\frac{1-\xi \zeta}{(\zeta-z)(\zeta-\frac1{z})}\, \omega_n(\zeta)\,d\zeta, \\ I^{(2)}(x,t)=\oint_{\Gamma}\frac{1-\xi \zeta}{(\zeta-z)(\zeta-\frac1{z})\zeta}\, \overline{\omega_n(\zeta)}\,d\zeta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегралы $I^{(1)}(x,t)$ и $I^{(2)}(x,t)$ также понимаются в смысле главного значения по Коши. Интеграл $I^{(1)}(x,t)$ представим в виде
$$
\begin{equation*}
I^{(1)}(x,t) =\frac{1-\xi z}{z-\frac1{z}}\oint_{\Gamma}\frac{\omega_n(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta +\frac{\frac{\xi}{z}-1}{z-\frac1{z}}\oint_{\Gamma}\frac{\omega_n(\zeta)}{\zeta-\frac1{z}}\,d\zeta, \qquad z=\mathrm{e}^{ i \tau}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применив формулы Сохоцкого к каждому из интегралов справа, получим
$$
\begin{equation}
I^{(1)}(x,t) =\frac{i \pi }{z^2-1}[z \omega_n(z) (1-\xi z) - \overline{\omega_n(z)}(z-\xi)].
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Аналогичным образом получим
$$
\begin{equation}
I^{(2)}(x,t) =\frac{i \pi }{z^2-1}[z \omega_n(z) (z-\xi) - \overline{\omega_n(z)}(1 -\xi z)].
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Из соотношения (2.4) с учетом найденных значений (2.5) и (2.6) придем к выражению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_n(x,t) &=\frac{1}{2 \sin \tau} \biggl[\sin \frac{\tau +u}{2}\biggl(\sqrt{\frac{z}{\xi}}\, \frac{\omega_n(z)}{\omega_n(\xi)} +\sqrt{\frac{\xi}{z}}\, \frac{\omega_n(\xi)}{\omega_n(z)}\biggr) \\ &\qquad -\sin \frac{\tau -u}{2}\biggl(\frac{1}{\sqrt{\xi z}\, \omega_n(\xi) \omega_n(z)} +\sqrt{\xi z} \, \omega_n(\xi) \omega_n(z)\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тут выбирается такая ветвь корня, что $\sqrt{z} \big|_{z=1}=1$, $\sqrt{\xi} \big|_{\xi=1}=1$. Подставим $I_n(x,t)$ в интегральное представление (2.2). Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon_n(\widehat{f},x,A_n) &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\frac{f(t)\sqrt{1-t^2}}{t-x} \biggl[\sin \frac{\tau +u}{2}\biggl(\sqrt{\frac{z}{\xi}}\, \frac{\omega_n(z)}{\omega_n(\xi)} +\sqrt{\frac{\xi}{z}}\, \frac{\omega_n(\xi)}{\omega_n(z)}\biggr) \\ &\qquad -\sin \frac{\tau -u}{2}\biggl(\frac{1}{\sqrt{\xi z}\, \omega_n(\xi) \omega_n(z)} +\sqrt{\xi z}\, \omega_n(\xi) \omega_n(z)\biggr)\biggr]\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $t=\cos \tau$, $x=\cos u$, $\xi=\mathrm{e}^{i u}$, $z=\mathrm{e}^{ i \tau}$.
В интеграле справа перейдем к интегрированию по переменному $\tau$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon_n(\widehat{f},x,A_n) =\frac{1}{2}\biggl[\int_{0}^{\pi}\frac{f(\cos \tau) \sin \tau}{\cos \tau-\cos u}\sin \frac{\tau +u}{2}\biggl(\sqrt{\frac{z}{\xi}}\, \frac{\omega_n(z)}{\omega_n(\xi)} +\sqrt{\frac{\xi}{z}}\, \frac{\omega_n(\xi)}{\omega_n(z)}\biggr)\,d \tau \\ &\qquad -\int_{0}^{\pi}\frac{f(\cos \tau) \sin \tau}{\cos \tau-\cos u} \sin \frac{\tau -u}{2}\biggl(\frac{1}{\sqrt{\xi z} \, \omega_n(\xi) \omega_n(z)} +\sqrt{\xi z} \, \omega_n(\xi) \omega_n(z)\biggr)\,d\tau\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Во втором интеграле выполним еще одну замену переменного по формуле $\tau \mapsto -\tau$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_n(\widehat{f},x,A_n) =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{f(\cos \tau) \sin \tau}{\cos \tau-\cos u} \sin \frac{\tau +u}{2}\biggl(\sqrt{\frac{z}{\xi}}\, \frac{\omega_n(z)}{\omega_n(\xi)} +\sqrt{\frac{\xi}{z}}\, \frac{\omega_n(\xi)}{\omega_n(z)}\biggr)\,d \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметив, что [16]
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2}\biggl(\sqrt{\frac{z}{\xi}}\, \frac{\omega_n(z)}{\omega_n(\xi)} +\sqrt{\frac{\xi}{z}}\, \frac{\omega_n(\xi)}{\omega_n(z)}\biggr) =\cos \lambda_n(\tau,u),
\end{equation*}
\notag
$$
где величина $\lambda_n(\tau,u)$ определена в (1.3), придем к равенству (2.1).
Теорема 1 доказана. В теореме 1 положим $z_k=0$, $k=1,2,\dots,n$. В этом случае величина
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_n (\widehat{f},x,O)=\varepsilon_n^{(0)} (\widehat{f},x), \qquad O=(\underbrace{0,0,\dots,0}_{n}), \quad n=0,1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
представляет собой приближения сингулярных интегралов вида (1.1) частичными суммами полиномиального ряда Фурье–Чебышёва. Займемся изучением оператора (1.4). Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{\varepsilon}_{n+1}(f,x,A_n)=\widehat{f}(x) - \widehat{s}_{n+1}(f,x), \qquad x \in [-1,1], \\ \widehat{\varepsilon}_{n+1}(f,A_n)=\| \widehat{f}(x) - \widehat{s}_{n+1}(f,x)\|_{C[-1,1]}, \qquad n \in \mathbb{N} \cup \{0\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Имеет место интегральное представление Доказательство. Известно [18], что рациональный интегральный оператор Фурье–Чебышёва (1.2) можно представить в виде где
$$
\begin{equation*}
D_n(v,u)=\frac{1}{2\pi} \biggl(\frac{\zeta\frac{\omega_n(\zeta)}{\omega_n(\xi)} -\xi\frac{\omega_n(\xi)}{\omega_n(\zeta)}}{\zeta - \xi} +\frac{\frac{1}{\omega_n(\zeta)\omega_n(\xi)}-\xi \zeta\omega_n(\xi)\omega_n(\zeta)} {1-\zeta \xi}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$\xi=\mathrm{e}^{ i u}$, $\zeta=\mathrm{e}^{i v}$, величина $\omega_n(y)$ определена в (2.3).
Подставим последнее выражение в (1.4) и, воспользовавшись теоремой Фубини, поменяем порядок интегрирования. Тогда
$$
\begin{equation}
\widehat{s}_{n+1}(f,x)=\int_{0}^{\pi}f(\cos v)I_{n+1}(x,v)\,dv, \qquad x=\cos u,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
I_{n+1}(x,v)=\int_{-1}^{1}D_n(v,\tau)\frac{\sqrt{1-t^2}}{t-x}\,dt, \qquad t=\cos \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что интеграл $I_{n+1}(x,v)$ является сингулярным и понимается в смысле главного значения по Коши. После замены $t=\cos \tau$, $x=\cos u$ он приводится к виду
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{n+1}(x,v) &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\biggl[z\frac{\omega_n(z)}{\omega_n(\zeta)} -\zeta\frac{\omega_n(\zeta)}{\omega_n(z)}\biggr] \frac{\sin^2 \tau\, d\tau}{(z-\zeta)(\cos \tau-\cos u)} \\ &\qquad +\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \biggl[\frac{1}{\omega_n(\zeta)\omega_n(z)}-z \zeta\omega_n(z)\omega_n(\zeta)\biggr] \frac{\sin^2 \tau \,d\tau}{(1 - z \zeta)(\cos \tau-\cos u)}, \\ &\qquad\qquad\qquad \zeta=\mathrm{e}^{iv},\qquad z=\mathrm{e}^{i\tau}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Во втором интеграле выполним замену переменного $\tau \mapsto -\tau$. Тогда
$$
\begin{equation*}
I_{n+1}(x,v) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \biggl[z\frac{\omega_n(z)}{\omega_n(\zeta)}-\zeta\frac{\omega_n(\zeta)}{\omega_n(z)}\biggr] \frac{\sin^2 \tau\, d\tau}{(z-\zeta)(\cos \tau-\cos u)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $x=\cos u$, $\zeta=\mathrm{e}^{iv}$, $z=\mathrm{e}^{i\tau}$.
После еще одной замены по формулам $z=\mathrm{e}^{i \tau}$, $\zeta=\mathrm{e}^{iv}$ получим
$$
\begin{equation}
I_{n+1}(x,v)=-\frac{1}{4\pi i}\oint_{\Gamma} \biggl[\frac{z^2}{\zeta}\frac{\omega_{n-1}(z)}{\omega_{n-1}(\zeta)}- \frac{\zeta^2}{z}\frac{\omega_{n-1}(\zeta)}{\omega_{n-1}(z)}\biggr] \frac{(z^2-1)^2\,dz}{z^2 (z-\zeta)(z-\xi)(z-\frac1{\xi})},
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $\Gamma=\{z\colon z=\mathrm{e}^{i \tau}, -\pi \leqslant v \leqslant \pi \}$.
Интеграл $I_{n+1}(x,v)$ имеет точки сингулярности $z=\xi$ и $z=1/\xi$. Для дальнейших рассуждений воспользуемся методом, предложенным в [22; с. 115]. Из (1.2) следует, что $I_{n+1}(x,v)$ представляет собой рациональную функцию по переменным $\xi=\mathrm{e}^{i u}$ и $\zeta=\mathrm{e}^{i v}$ с полюсами первого порядка в точках $z_k$ и $\overline{z}_k$, $k=1,2,\dots,n-1$, которые определены в (1.3). Поэтому достаточно вычислить интеграл $I_{n+1}(x,v)$, когда $\zeta=\delta \mathrm{e}^{i v}$, $\delta \in (0,1)$, $v \in (0,\pi)$, и воспользоваться предельным переходом при $\delta \to 1$. Учитывая сказанное, представим интеграл $I_{n+1}(x,v)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
I_{n+1}(x,v)=-\frac{1}{4\pi i} \bigl[\overline{\zeta \omega_{n-1}(\zeta)}J^{(1)}-\zeta^2 \omega_{n-1}(\zeta)J^{(2)}\bigr],
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J^{(1)}(x,v) &=\oint_{\Gamma} \frac{ {\omega_{n-1}(z) (z^2-1)^2}\,dz}{(z-\zeta)(z-\xi)(z-\frac{1}{\xi})}, \\ J^{(2)}(x,v) &=\oint_{\Gamma}\frac{\overline{\omega_{n-1}(z)}(z^2-1)^2\,dz} {z^3(z-\zeta)(z-\xi)(z-\frac{1}{\xi})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегралы $J^{(1)}(x,v)$ и $J^{(2)}(x,v)$ имеют на границе единичного круга точки сингулярности $z=\xi$ и $z=1/\xi$. Для вычисления этих интегралов воспользуемся формулами Сохоцкого. Применив аналогичные рассуждения, как и в случае с выражением (2.4), находим
$$
\begin{equation}
\nonumber J^{(1)}(x,v) =2 \pi i\frac{\xi\omega_{n-1}(\zeta)(\zeta^2-1)^2}{(\zeta-\xi)(\zeta \xi-1)}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad +\pi i\biggl(\frac{\xi \omega_{n-1}(\xi)(\xi^2-1)}{\xi-\zeta} +\frac{\overline{\omega_{n-1}(\xi)} (1-\xi^2)}{\xi^2(1 - \xi \zeta)}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$$
\begin{equation}
J^{(2)}(x,v) =- \pi i\biggl(\frac{\xi\omega_{n-1}(\xi)(1-\xi^2)}{1-\xi \zeta} +\frac{\overline{\omega_{n-1}(\xi)}(\xi^2-1)}{\xi^2(\xi-\zeta)}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где $x=\cos u$, $\zeta=\mathrm{e}^{iv}$, $\xi=\mathrm{e}^{i u}$.
Из представления (2.11) с учетом найденных значений (2.12) и (2.13) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{n+1}(x,v) &=\frac{ \sin^2 v}{\cos v-\cos u} +\frac{1}{2}\sin u \frac{\cos \lambda_{n}(v,u)}{\sin \frac{v-u}{2}} \\ &\qquad -\frac{1}{4}\frac{\sin u}{\sin \frac{v+u}{2}} \bigl((\xi \zeta)^{3/2}\omega_n(\xi)\omega_n(\zeta) +(\xi \zeta)^{-3/2}\overline{\omega_n(\xi)\omega_n(\zeta)}\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где величина $\lambda_{n}(v,u)$ определена в (1.3) и $z_n=0$.
Подставив последнее равенство в представление (2.9) и разбив полученное выражение на три интеграла, в интеграле, соответствующем третьему слагаемому, выполним замену переменного по формуле $v \mapsto -v$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{s}_{n+1}(f,x) &=\int_{0}^{\pi}f(\cos v)\frac{\sin^2 v}{\cos v - \cos u}\,dv \\ &\qquad +\frac{\sqrt{1-x^2}}{2}\int_{-\pi}^{\pi}f(\cos v)\frac{\cos \lambda_{n}(v,u)}{\sin \frac{v-u}{2}}\,dv, \qquad z_n=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметив, что
$$
\begin{equation*}
\widehat{f}(x)=\int_{0}^{\pi}f(\cos v)\frac{\sin^2 v}{\cos v - \cos u}\,dv, \qquad x=\cos u,
\end{equation*}
\notag
$$
придем к представлению (2.8).
Теорема 2 доказана. В теореме 2 положим $z_k=0$, $k=1,2,\dots,n-1$. В этом случае величина
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varepsilon}_{n+1}(f,x,O)=\widehat{\varepsilon}_{n+1}^{(0)}(f,x), \qquad O=(\underbrace{0,0,\dots,0}_{n-1}), \quad n=0,1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
представляет собой приближения сингулярного интеграла вида (1.1) полиномиальным интегральным оператором, являющимся образом частичных сумм ряда Фурье–Чебышёва при преобразовании (1.1). Отсюда получим § 3. Приближения сингулярного интеграла с плотностью, удовлетворяющей условию Липшица (полиномиальный случай)Рассмотрим классы $H^{(\alpha)}[-1,1]$, $\alpha \in (0,1]$, функций $f(x)$, удовлетворяющих условию Липшица степени $\alpha$ с константой 1, т.е. условию
$$
\begin{equation*}
|f(x_1)- f(x_2)| \leqslant | x_1 - x_2 |^\alpha, \qquad x_1,x_2 \in [-1,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Изучим величины (2.7) и (2.14) в случае, когда $f \in H^{(\alpha)}[-1,1]$, $\alpha \in (0,1]$. Теорема 3. Для приближений на отрезке $[-1,1]$ сингулярного интеграла (1.1) с плотностью $f \in H^{(\alpha)} [-1,1]$, $\alpha \in (0,1]$, частичными суммами ряда Фурье–Чебышёва имеют место оценки сверху Доказательство. Из (2.7) нетрудно получить
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon_n^{(0)}(\widehat{f},x) &=-\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}\bigl[f(\cos(u+\tau))\sin(u+\tau)- f(\cos(u-\tau))\sin(u-\tau)\bigr] \\ &\qquad\qquad\times \frac{\cos(n+\frac12) \tau}{\sin \frac{\tau}{2}}\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее представление приводится к виду
$$
\begin{equation}
\varepsilon_n^{(0)}(\widehat{f},x) =-\frac{1}{4}\bigl(\sin u I_1 +2 \cos u I_2\bigr), \qquad x=\cos u, \quad x \in [-1,1],
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1 &=\int_{0}^{2\pi}\cos \tau \bigl[f(\cos(u+\tau))-f(\cos(u-\tau))\bigr] \frac{\cos(n+\frac12) \tau}{\sin\frac{\tau}{2}}\,d\tau, \\ I_2 &=\int_{0}^{2\pi}\cos \frac{\tau}{2}\bigl[f(\cos(u+\tau)) +f(\cos(u-\tau))\bigr]\cos \biggl(n+\frac{1}{2}\biggr) \tau\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Исследуем каждый из интегралов по отдельности. Соответствующие результаты сформулируем в виде двух лемм. Лемма 1. Имеют место оценки сверху если $\alpha \in (0,1)$, и где $n_0(\alpha)$ – некоторое натуральное число, зависящее лишь от $\alpha$. Доказательство. Интеграл $I_1$ представим в виде где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{11}=\int_{0}^{2\pi}\varphi_u(\tau)\cos \lambda_1 \tau\,d\tau, \qquad \varphi_u(\tau)=\frac{f(\cos(u+\tau))-f(\cos(u-\tau))}{\sin \frac{\tau}{2}}, \\ I_{12}=2\int_{0}^{2\pi}\sin \frac{\tau}{2}[f(\cos(u+\tau))-f(\cos(u-\tau))] \cos \lambda_1 \tau\,d\tau, \qquad \lambda_1=n+\frac{1}{2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Исследуем интеграл $I_{11}$. Рассуждения в отношении интеграла $I_{12}$ будут, очевидно, аналогичными. Воспользуемся методом, предложенным О. В. Бесовым [23], [24]. С учетом $2\pi$-периодичности подынтегральной функции интеграл $I_{11}$ приводится к виду
$$
\begin{equation*}
I_{11}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\biggl[\varphi_u(\tau) -\varphi_u\biggl(\tau+\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)\biggr]\cos \lambda_1 \tau\,d\tau, \qquad \lambda_1=n+\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Интеграл справа разобьем на три интеграла так, что
$$
\begin{equation}
I_{11}=\frac{1}{2}[I_{111} +I_{112}+I_{113}], \qquad x=\cos u, \quad x \in [-1,1],
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{111} &=\int_{0}^{{\pi}/{\lambda_1}} \biggl[\varphi_u(\tau)-\varphi_u\biggl(\tau+\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)\biggr] \cos \lambda_1 \tau\,d\tau, \\ I_{112} &=\int_{{\pi}/{\lambda_1}}^{2\pi-{\pi}/{\lambda_1}} \biggl[\varphi_u(\tau)-\varphi_u\biggl(\tau+\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)\biggr] \cos \lambda_1 \tau\,d\tau, \\ I_{113} &=\int_{2\pi-{\pi}/{\lambda_1}}^{2\pi} \biggl[\varphi_u(\tau)-\varphi_u\biggl(\tau+\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)\biggr] \cos \lambda_1 \tau\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $(2/\pi) \tau < \sin \tau < \tau$, $\tau \in (0,\pi/2)$, для функции $\varphi_u(\tau)$ получаем оценку
$$
\begin{equation*}
|\varphi_u(\tau)|\leqslant\frac{2^\alpha \pi |{\sin u}|^\alpha |{\sin \tau}|^{\alpha}}{\tau}, \qquad u \in [0,\pi], \quad \alpha \in (0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
При этом для интеграла $I_{111}$ находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |I_{111}| &\leqslant 2^\alpha \pi |{\sin u}|^\alpha \biggl(\int_{0}^{{\pi}/{\lambda_1}}\tau^{\alpha-1}\,d\tau +\int_{0}^{{\pi}/{\lambda_1}}\biggl(\tau+\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)^{\alpha-1}\,d\tau\biggr) \\ \notag &=\frac{2^\alpha \pi|{\sin u}|^\alpha}{\alpha} \biggl(\biggl(\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)^{\alpha} +\biggl(\frac{2\pi}{\lambda_1}\biggr)^{\alpha} -\biggl(\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)^{\alpha} \biggr) \\ &=\frac{2^{2\alpha}\pi^{1+\alpha}|{\sin u}|^\alpha}{\alpha \lambda_1^\alpha}, \qquad \alpha \in (0,1]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Выполнив в интеграле $I_{113}$ замену переменного по формуле $\tau \mapsto 2\pi-\tau$ и воспользовавшись аналогичными рассуждениями, находим, что
$$
\begin{equation}
|I_{113}| \leqslant\frac{2^{2\alpha}\pi^{1+\alpha}|{\sin u}|^\alpha}{\alpha \lambda_1^\alpha}, \qquad u \in [0,\pi], \quad \alpha \in (0,1], \quad \lambda_1=n+\frac{1}{2}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Займемся интегралом $I_{112}$. Также ввиду $2\pi$-периодичности подынтегральной функции достаточно оценить модуль интеграла по интервалу $[\pi/\lambda_1,\pi]$, поскольку оставшаяся часть интеграла будет иметь такую же оценку. Имеем
$$
\begin{equation}
\int_{{\pi}/{\lambda_1}}^{\pi}\biggl[\varphi_u(\tau)-\varphi_u \biggl(\tau+\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)\biggr] \cos \lambda_1 \tau \,d\tau =I_3+I_4,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_3=\int_{{\pi}/{\lambda_1}}^{\pi} \frac{g(u,\tau)}{\sin \frac{\tau+{\pi}/{\lambda_1}}{2}}\cos \lambda_1 \tau\,d\tau, \\ \begin{aligned} \, g(u,\tau) &=f(\cos(u+\tau))-f(\cos(u-\tau)) \\ &\qquad-f\biggl(\cos\biggl(u+\tau+\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)\biggr) +f\biggl(\cos\biggl(u-\tau-\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)\biggr), \end{aligned} \\ I_4=\int_{{\pi}/{\lambda_1}}^{\pi} [f(\cos(u+\tau))-f(\cos(u-\tau))] \biggl[\frac{1}{\sin \frac{\tau}{2}}-\frac{1}{\sin\frac{\tau+\pi/\lambda_1}{2}}\biggr] \cos \lambda_1 \tau\,d\tau. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $f \in H^{(\alpha)} [-1,1]$, $\alpha \in (0,1]$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl|f(\cos(u \pm \tau))-f\biggl(\cos\biggl(u \pm \tau \pm \frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)\biggr)\biggr| \\ \notag &\qquad\leqslant\biggl|2 \sin \biggl(u \pm \tau \pm \frac{\pi}{2\lambda_1}\biggr) \sin \frac{\pi}{2\lambda_1}\biggr|^\alpha \\ \notag &\qquad=\biggl|\sin(u \pm \tau )\sin \frac{\pi}{\lambda_1}\pm2\cos(u \pm \tau ) \sin^2 \frac{\pi}{2\lambda_1}\biggr|^\alpha \\ \notag &\qquad=\biggl|\sin u \cos \tau \sin \frac{\pi}{\lambda_1} \pm\cos u \sin \tau \sin \frac{\pi}{\lambda_1} +2\cos(u \pm \tau )\sin^2 \frac{\pi}{2\lambda_1}\biggr|^\alpha \\ &\qquad\leqslant |{\sin u}|^\alpha\sin^\alpha \frac{\pi}{\lambda_1} +|{\cos u}|^\alpha\tau^\alpha \sin^\alpha \frac{\pi}{\lambda_1} + 2^\alpha\sin^{2\alpha} \frac{\pi}{2 \lambda_1}, \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad u \in [0,\pi], \qquad \tau \in \biggl[\frac{\pi}{\lambda_1},\pi\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Следовательно, для интеграла $I_3$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |I_3| &\leqslant2\pi\biggl(|{\sin u}|^\alpha\biggl(\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)^\alpha +2^\alpha\biggl(\frac{\pi}{2\lambda_1}\biggr)^{2\alpha}\biggr) \int_{\pi/\lambda_1}^{\pi}\frac{d\tau}{\tau} \\ &\qquad +2\pi|{\cos u}|^\alpha\biggl(\frac{\pi}{\lambda_1}\biggr)^\alpha \int_{{\pi}/{\lambda_1}}^{\pi}\tau^{\alpha-1}\,d\tau \notag \\ &\leqslant2\pi^{1+\alpha}|{\sin u}|^\alpha \frac{\ln \lambda_1}{\lambda_1^\alpha} +\frac{2\pi^{2\alpha+1}|{\cos u}|^\alpha}{\alpha \lambda_1^\alpha} +2^{1-\alpha}\pi^{1+2\alpha}\frac{\ln \lambda_1}{\lambda_1^{2\alpha}}, \qquad u \in [0,\pi] . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Займемся интегралом $I_4$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
f(\cos(u+\tau))-f(\cos(u-\tau))| \leqslant2^\alpha |{\sin u}|^\alpha \tau^\alpha, \qquad u \in [0,\pi], \quad \tau \in \biggl[\frac{\pi}{\lambda_1},\pi\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{1}{\sin\frac{\tau}{2}}-\frac{1}{\sin \frac{\tau+{\pi}/{\lambda_1}}{2}}\biggr| \leqslant\frac{\pi^3}{2\lambda_1 \tau^2}, \qquad \tau \in \biggl[\frac{\pi}{\lambda_1},\pi\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
то получим
$$
\begin{equation*}
|I_4|\leqslant\frac{2^{\alpha-1}\pi^3}{\lambda_1}|{\sin u}|^\alpha \int_{\pi/\lambda_1}^{\pi}\tau^{\alpha-2}\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда заключаем, что
$$
\begin{equation}
|I_4|\leqslant\begin{cases} \displaystyle \frac{\pi^{2+\alpha}|{\sin u}|^\alpha}{2^{1-\alpha}(1-\alpha)\lambda_1^\alpha}, &\alpha \in (0,1), \\ \displaystyle \pi^3 |{\sin u}|\frac{\ln \lambda_1}{\lambda_1}, &\alpha=1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Из соотношения (3.8) с учетом оценок (3.10) и (3.11) для интеграла $I_{112}$ получим
$$
\begin{equation}
|I_{112}|\leqslant\begin{cases} \displaystyle 8\pi^{1+\alpha}|{\sin u}|^\alpha\frac{\ln \lambda_1}{\lambda_1^\alpha} +\frac{4\pi^{2\alpha+1}|{\cos u}|^\alpha}{\alpha \lambda_1^\alpha} +2^{2-\alpha}\pi^{1+2\alpha}\frac{\ln \lambda_1}{\lambda_1^{2\alpha}}, &\alpha \in (0,1), \\ \displaystyle 4\pi^3|{\sin u}|\frac{\ln \lambda_1}{\lambda_1} +\frac{4\pi^3 |{\cos u}|}{\lambda_1}+2\pi^3\frac{\ln \lambda_1}{\lambda_1^2}, &\alpha=1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Воспользовавшись формулами (3.6), (3.7) и (3.12), из равенства (3.5) получим
$$
\begin{equation}
|I_{11}|\leqslant\begin{cases} \displaystyle 8\pi^{1+\alpha}|{\sin u}|^\alpha\frac{\ln \lambda_1}{\lambda_1^\alpha} +\frac{2\pi^{2\alpha+1}|{\cos u}|^\alpha}{\alpha \lambda_1^\alpha} +2^{1-\alpha}\pi^{1+2\alpha}\frac{\ln \lambda_1}{\lambda_1^{2\alpha}}, &\alpha \in (0,1), \\ \displaystyle 4\pi^3|{\sin u}|\frac{\ln \lambda_1}{\lambda_1}+\frac{2\pi^3 |{\cos u}|}{\lambda_1} +\pi^3\frac{\ln \lambda_1}{\lambda_1^2}, &\alpha=1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Изучим интеграл $I_{12}$ (см. (3.4)). Представим его в виде где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_5 &=\int_{0}^{2\pi}[f(\cos(u+\tau))-f(\cos(u-\tau))]\sin n \tau\,d\tau, \\ I_6 &=\int_{0}^{2\pi}[f(\cos(u+\tau))-f(\cos(u-\tau))]\sin (n+1) \tau\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим интеграл $I_5$. Воспользовавшись $2\pi$-периодичностью подынтегральной функции, перепишем его в виде
$$
\begin{equation*}
I_5=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}g(u,\tau)\sin n \tau\,d\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g(u,\tau) &=f(\cos(u+\tau))-f(\cos(u-\tau)) \\ &\qquad-f\biggl(\cos\biggl(u+\tau+\frac{\pi}{n}\biggr)\biggr) +f\biggl(\cos\biggl(u-\tau-\frac{\pi}{n}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя оценку (3.9), получим
$$
\begin{equation*}
|I_5|\leqslant\frac{2\pi^{1+\alpha}|{\sin u}|^\alpha}{n^\alpha} +\frac{2^{1+\alpha}\pi^{1+2\alpha}|{\cos u}|^\alpha}{(1+\alpha)n^\alpha} +\frac{2^{1-\alpha}\pi^{1+2\alpha}}{n^{2\alpha}}, \qquad n >n_0(\alpha),
\end{equation*}
\notag
$$
где $n_0(\alpha)$ – некоторое натуральное число, зависящее лишь от $\alpha$.
Рассуждая в отношении интеграла $I_6$ аналогичным образом, придем к оценке
$$
\begin{equation}
|I_{12}|\leqslant\frac{4\pi^{1+\alpha}|{\sin u}|^\alpha}{n^\alpha} +\frac{2^{2+\alpha}\pi^{1+2\alpha}|{\cos u}|^\alpha}{(1+\alpha)n^\alpha} +\frac{2^{2-\alpha}\pi^{1+2\alpha}}{n^{2\alpha}}, \qquad \alpha \in (0,1].
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Подставив (3.13) и (3.14) в (3.4), получим (3.3).
Лемма 1 доказана. Займемся интегралом $I_2$ (см. (3.2)). Лемма 2. При любом $\alpha \in (0,1]$ имеет место оценка где $n_0(\alpha)$ – некоторое натуральное число, зависящее лишь от $\alpha$. Доказательство сформулированной леммы опустим ввиду того, что оно является аналогичным доказательству оценки (3.14). Вернемся к доказательству теоремы 3. Чтобы прийти к оценкам (3.1), достаточно подставить соотношения (3.3) и (3.15) в (3.2), собрать соответствующие оценки вместе и выполнить некоторые алгебраические преобразования. Теорема 3 доказана. Следующая теорема устанавливает оценку приближений (2.14) при условии, что $f \in H^{(\alpha)}[-1,1]$, $\alpha \in (0,1]$. Сформулируем указанную теорему без доказательства, поскольку оно проводится аналогично доказательству теоремы 3. Теорема 4. Для приближений (2.14) на отрезке $[-1,1]$ сингулярного интеграла (1.1) с плотностью $f \in H^{(\alpha)} [-1,1]$, $\alpha \in (0,1]$, справедливы оценки сверху Замечание 1. Оценки (3.1) и (3.16) существенным образом зависят от положения точки $x$ на отрезке $[-1,1]$, причем приближения на концах отрезка имеют большую скорость убывания, чем в целом на отрезке. § 4. Приближения сингулярных интегралов с плотностью $|x|^s$ рациональным интегральным оператором Фурье–Чебышёва4.1. Интегральное представление и оценки приближенийВ представлении (1.1) положим $f_s(t)=|t|^s$, где $s \in (0,+\infty)$. Тогда
$$
\begin{equation}
\widehat{f}_{s}(x)=2x\int_{0}^{1}\frac{t^s }{t^2-x^2}\sqrt{1-t^2}\,dt, \qquad x \in [-1,1].
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Изучим свойства приближений (2.1) в этом случае. С учетом плотности $f_s(t)$ они примут вид
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_n(\widehat{f}_{s},x,A_n) =-\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}|{\cos \tau}|^s \sin \tau \frac{\cos \lambda_n(\tau,u)}{\sin \frac{\tau-u}{2}}\,d\tau, \qquad x=\cos u, \quad x \in [-1,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Интеграл в последнем представлении разобьем на три интеграла по промежуткам $[-\pi,-\pi/2]$, $[-\pi/2,\pi/2]$ и $[\pi/2,\pi]$. Затем в первом из них выполним замену переменного по формуле $\tau+\pi \mapsto \tau$ и в третьем замену переменного по формуле $\tau-\pi \mapsto \tau$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon_n(\widehat{f}_{s},x,A_n) \\ &=-\frac{i}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^s \tau \sin \tau \biggl[\frac{z\frac{\omega_n(z)}{\omega_n(\xi)}+\xi\frac{\omega_n(\xi)}{\omega_n(z)}}{z-\xi} -(-1)^n\frac{z\frac{\omega_n^{-}(z)}{\omega_n(\xi)}-\xi\frac{\omega_n(\xi)}{\omega_n^{-}(z)}}{z+\xi} \biggr]\,d\tau, \qquad n \,{\in}\, \mathbb{N}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\omega_n(y)$ определено в (2.3),
$$
\begin{equation*}
\omega_n^{-}(y)=\prod_{k=1}^{n}\frac{y-z_k}{1-\overline{z}_k y}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что интеграл справа является сингулярным и понимается в смысле главного значения по Коши. Для дальнейших рассуждений необходимо определенным образом выбрать параметры аппроксимирующей рациональной функции. Положим $n \mapsto 2n-1$, и пусть $2n-1$ параметров $\{z_k\}_{k=1}^{2n-1}$ имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, z_{k}=- z_{n+k-1}, \quad z_{k}=i \alpha_{k}, \quad k=1,2,\dots, n-1, \qquad z_{2n-1}=0, \nonumber \\ z_{1}=z_{2}=\dots=z_{p}=0, \qquad p=\biggl[\frac s2\biggr], \quad n>p, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $[\,{\cdot}\,]$ обозначает целую часть числа. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s},x,A_n)=-i\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^s \tau \sin \tau \biggl(\frac{z^3\omega_{2n-2}(z)}{\xi\omega_{2n-2}(\xi)} +\frac{\xi^3\omega_{2n-2}(\xi)}{z\omega_{2n-2}(z)}\biggr) \frac{d\tau}{z^2-\xi^2}, \\ \notag \omega_{2n-2}(y)= y^{2p}\prod_{k=p+1}^{n-1}\frac{y^2+\alpha_k^2}{1+\alpha_k^2 y^2}, \qquad n \in \mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Справедлива следующая Теорема 5. Для приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ (см. (4.1)) на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором Фурье–Чебышёва (1.2) при выполнении условий (4.2) имеет место: 1) интегральное представление
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s},x,A_n) \\ &\qquad =\frac{(-1)^n }{2^{s-1}}\sin \frac{\pi s}{2} \int_{0}^{1}\frac{(1-t^2)^s (1+t^2) t^{1-s}}{\sqrt{1+2t^2 \cos 2u +t^4}} \cos \psi_{2n}(x,t,A_n)\chi_{2n-2}(t)\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
\psi_{2n}(x,t,A_n)=\operatorname{arg}\frac{\xi^3 \omega_{2n-2}(\xi)}{1+t^2 \xi^2}, \quad \xi=\mathrm{e}^{iu}, \qquad \chi_{2n-2}(t)=t^{2p} \prod_{k=p+1}^{n-1} \frac{t^2-\alpha_k^2}{1- \alpha_k^2 t^2};
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
2) поточечная оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|\varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s},x,A_n)| \\ &\qquad \leqslant\frac{1}{2^{s-1}}\biggl|\sin \frac{\pi s}{2}\biggr| \int_{0}^{1}\frac{(1-t^2)^s (1+t^2) t^{1-s}}{\sqrt{1+2t^2 \cos 2u +t^4}}| \chi_{2n-2}(t)|\,dt, \qquad x=\cos u; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
3) оценка равномерных приближений где Доказательство. В представлении (4.3) выполним замену переменного по формуле $z=\mathrm{e}^{ i \tau}$, положив при этом $\xi=\mathrm{e}^{ i u}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s},x,A_n) =\frac{i}{2^{s+1}}\int_{C}\frac{(z^2+1)^s(z^2-1)}{z^{s+2}(z^2-\xi^2)} \biggl(\frac{z^3\omega_{2n-2}(z)}{\xi\omega_{2n-2}(\xi)} +\frac{\xi^3\omega_{2n-2}(\xi)}{z\omega_{2n-2}(z)}\biggr)\,dz,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $C=\{z\colon z=\mathrm{e}^{i \tau},\,-{\pi}/{2} \leqslant \tau \leqslant {\pi}/{2}\}$ – правая полуокружность единичной окружности, обходимая против часовой стрелки. Отметим, что подынтегральная функция в последнем интеграле имеет точки ветвления при $z=0$, $z=\infty$ и $z=\pm i$. Также отметим, что значения $z=\pm \xi$ являются простыми полюсами для подынтегральной функции, но только один из них будет лежать на контуре интегрирования. Не нарушая общности, предположим, что это $z=\xi$. Разобьем интеграл (4.9) на два интеграла так, что
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s},x,A_n) =\frac{i}{2^{s+1}}\bigl[\overline{\xi \omega_{2n-2}(\xi)}J_1 +\xi^3 \omega_{2n-2}(\xi) J_2\bigr],
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
где $\xi=\mathrm{e}^{ i u}$, $x=\cos u$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1 &=\int_{C}\frac{(z^2+1)^s(z^2-1) z^{1-s}}{z^2-\xi^2 } \, \omega_{2n-2}(z)\,dz, \\ J_2 &=\int_{C}\frac{(z^2+1)^s(z^2-1)}{z^{s+3}(z^2-\xi^2)}\, \overline{\omega_{2n-2}(z)}\,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Исследуем каждый из интегралов по отдельности. Рассмотрим область, ограниченную контуром $\Gamma=C\cup C_{\delta_1}^{-}\cup l_1^{-}\cup C_\delta^{-}\cup l_2^{-}\cup C_{\delta_2}^{-}$ (рис. 1), где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C_\delta=\biggl\{z\colon z=\delta\mathrm{e}^{i \tau}, -\frac{\pi}{2} \leqslant \tau \leqslant \frac{\pi}{2} \biggr\}, \\ C_{\delta_1}=\biggl\{z\colon z - i=\delta_1\mathrm{e}^{i \tau}, -\frac{\pi}{2} \leqslant \tau \leqslant v_1 \biggr\}, \quad C_{\delta_2}=\biggl\{z\colon z + i=\delta_2\mathrm{e}^{i \tau}, v_2 \leqslant \tau \leqslant \frac{\pi}{2} \biggr\}, \\ l_1=\biggl\{ z\colon z=i t, \delta \leqslant t \leqslant 1-\delta_1\biggr\}, \qquad l_2=\biggl\{ z\colon z=- i t, 1-\delta_2 \leqslant t \leqslant \delta \biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $v_k \to 0$ при $\delta_k \to 0$, $k=1,2$. Рассмотрим подынтегральную функцию первого интеграла:
$$
\begin{equation*}
\varphi_{1}(z,\xi)=\frac{2^s g(z,s) z (z^2-1)}{ z^2 - \xi^2}\omega_{2n-2}(z), \qquad g(z,s)=\frac{1}{2^s}\biggl(z+\frac{1}{z} \biggr)^s.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $g(z,s)$ в указанной выше области распадается на регулярные ветви, определяемые условием $g(1,s)=\mathrm{e}^{2\pi k s i}$, $k\in \mathbb{Z}$. Пусть $g_0(z,s)$ – та ветвь, для которой выполняется условие $g_0(1,s)=1$. Тогда внутри данной области функция
$$
\begin{equation*}
{\varphi }_{1}(z,\xi)=\frac{2^s g_0(z,s) z (z^2-1)}{ z^2 - \xi^2}\omega_{2n-2}(z)
\end{equation*}
\notag
$$
регулярна, а на границе области имеет особую точку – простой полюс $z=\xi$. Воспользуемся формулами Сохоцкого. Вначале положим $\xi \in D$. Применяя теорему Коши о вычетах, найдем
$$
\begin{equation*}
J_1^{+}+\int_{\Gamma_1}\varphi_1(z,\xi)\,dz =2\pi i\operatorname*{Res}_{z=\xi}\varphi_1(z,\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Gamma_1=C_{\delta_1}^{-}\cup l_1^{-}\cup C_\delta^{-} \cup l_2^{-} \cup C_{\delta_2}^{-}$. Теперь будем считать, что $\xi \mathbin{\overline{\in}} \overline{D}$. В этом случае, применив интегральную теорему Коши, получим Из последних соотношений выводим выражение
$$
\begin{equation}
J_1=2^{s+1} \pi\xi\omega_{2n-2}(\xi)\cos^s u\sin u-\int_{\Gamma_1}\varphi_1(z,\xi)\,dz.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Исследуем интеграл справа. Так, в интеграле по полуокружности $C_\delta$ положим $z=\delta\mathrm{e}^{i v}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\int_{C_\delta}\varphi_1(z,\xi)\,dz =\int_{{\pi}/{2}}^{-{\pi}/{2}} \frac{((\delta \mathrm{e}^{i v})^2+1)^s((\delta \mathrm{e}^{i v})^2-1) (\delta \mathrm{e}^{i v})^{1-s}}{(\delta \mathrm{e}^{i v})^2-\xi^2 } \omega_{2n-2}((\delta \mathrm{e}^{i v}))\delta i \mathrm{e}^{i v}\,dv.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда при $\delta \to 0$ приходим к асимптотическому равенству
$$
\begin{equation*}
\int_{C_\delta}\varphi_1(\zeta,\xi)\,d\zeta \sim(-1)^p2 i \sin \frac{\pi s}{2}\frac{\delta^{2+2p-s}}{\xi^{2}(2-s+2p)} \prod_{k=p+1}^{n-1}\alpha_k^{2}, \qquad \delta \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $2+2p-s>0$ (см. (4.2)), то значение интеграла по полуокружности $C_\delta$ при стягивании контура $C_\delta$ в точку стремится к нулю. Проведя аналогичные действия с интегралами по дугам $C_{\delta_1}$ и $C_{\delta_2}$, приходим к асимптотическим равенствам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{C_{\delta_1}}\varphi_1(z,\xi)\,dz \sim(-1)^{n+1}\frac{\delta_1^{s+1}(1-\mathrm{e}^{-i{\pi(s+1)}/2})}{(1+\xi^2)(s+1)i}, \qquad \delta_1 \to 0, \\ \int_{C_{\delta_2}}\varphi_1(z,\xi)\,dz \sim(-1)^{n+1}\frac{\delta_2^{s+1}(1-\mathrm{e}^{i\pi(s+1)/2})}{(1+\xi^2)(s+1)i}, \qquad \delta_2 \to 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что при стягивании дуг $C_{\delta_1}$ и $C_{\delta_2}$ в точку значения соответствующих интегралов стремятся к нулю, а это в свою очередь означает, что при $\delta, \delta_1, \delta_2 \to 0$ выражение (4.11) примет вид
$$
\begin{equation*}
J_1=2^{s+1} \pi\xi\omega_{2n-2}(\xi)\cos^s u\sin u+\biggl(\int_{-i}^{0} +\int_{0}^{i}\biggr)\varphi_1(z,\xi)\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
В интегралах справа положим $z=it$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1 &=2^{s+1} \pi\xi\omega_{2n-2}(\xi)\cos^s u\sin u \\ &\qquad +(-1)^{n-1} i\biggl(\int_{-1}^{0} +\int_{0}^{1}\biggr) \frac{(1-t^2)^s (1+t^2)(i t)^{1-s}}{t^2 + \xi^2}\chi_{2n-2}(t)\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где ${{\chi }_{2n}}(t)$ определена в (5.3). Выполнив в первом интеграле справа замену переменного интегрирования $t \mapsto -t$, окончательно получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J_1 &=2^{s+1} \pi\xi\omega_{2n-2}(\xi)\cos^s u\sin u \\ &\qquad +2 i (-1)^{n-1}\sin \frac{\pi s}{2}\int_{0}^{1}\frac{(1-t^2)^s (1+t^2) t^{1-s}}{t^2+\xi^2} \chi_{2n-2}(t)\,dt, \qquad \xi=\mathrm{e}^{i u}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Займемся интегралом $J_2$. Рассмотрим область, ограниченную контуром $\Gamma= l_3^{-}\cup C_{\delta_3}^{-}\cup C^{-}\cup C_{\delta_4}^{-}\cup l_4^{-}\cup C_R$ (рис. 2), где
$$
\begin{equation*}
C_R=\biggl\{z\colon z=R\mathrm{e}^{i \tau}, -\frac{\pi}{2} \leqslant \tau \leqslant \frac{\pi}{2} \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
– полуокружность достаточно большого радиуса $R$, которая огибает точку $z= \infty$ по часовой стрелке,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C_{\delta_3}=\biggl\{z\colon z - i=\delta_3 \mathrm{e}^{i \tau},\, v_3 \leqslant \tau \leqslant \frac{\pi}{2} \biggr\}, \\ C_{\delta_4}=\biggl\{z\colon z + i=\delta_4\mathrm{e}^{i \tau},\, -\frac{\pi}{2} \leqslant \tau \leqslant v_4 \biggr\}, \\ l_3=\biggl\{ z\colon z=i t, 1+\delta_3 \leqslant t \leqslant R \biggr\}, \qquad l_4=\biggl\{ z\colon z=- i t, 1+\delta_4 \leqslant t \leqslant R \biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $v_k \to 0$ при $\delta_k \to 0$, $k=3,4$. Рассмотрим подынтегральную функцию интеграла $J_2$:
$$
\begin{equation*}
\varphi_2(z,\xi)=\frac{2^sg(z,s)(z^2-1)}{z^{3}(z^2-\xi^2)}\, \overline{\omega_{2n-2}(z)}, \qquad g(z,s)= \frac{1}{2^s}\biggl(z+\frac{1}{z} \biggr)^s.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $g(z,s)$ в указанной выше области распадается на регулярные ветви, определяемые условием $g(1,s)=\mathrm{e}^{2\pi k s i}$, $k\in \mathbb{Z}$. Пусть $g_0(z,s)$ – та ветвь, для которой $g_0(1,s)=1$. Тогда внутри рассматриваемой области функция
$$
\begin{equation*}
\varphi_2(z,\xi)= \frac{2^s g_0(z,s)(z^2-1)}{z^{3}(z^2-\xi^2)} \overline{\omega_{2n-2}(z)}, \qquad g(z,s)=\frac{1}{2^s}\biggl(z+\frac{1}{z} \biggr)^s,
\end{equation*}
\notag
$$
регулярна, а на границе области имеет особую точку – простой полюс при $z=\xi$. Снова воспользуемся формулами Сохоцкого. Вначале положим $\xi \in D$, где $D=\{z\colon |z|<1, \mathrm{Re}\,z >0\}$. Используя интегральную теорему Коши, получаем где $\Gamma_2=\Gamma \setminus C$. Теперь будем считать, что $\xi \mathbin{\overline{\in}} \overline{D}$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
\int_{\Gamma_2}\varphi_{2}(z,\xi )\,dz- J_2^{+} =2 \pi i\operatorname*{Res}_{z=\xi}\varphi_{2}(z,\xi ).
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись формулами Сохоцкого, из двух последних представлений приходим к выражению
$$
\begin{equation}
J_2=-2^{s+1} \pi \frac{\cos^s u \sin u}{\xi^3 \omega_{2n-2}(\xi)} +\int_{\Gamma_2}\varphi_{2}(z,\xi )\,dz.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Рассуждая, как в случае с интегралом $J_1$, заключаем, что интегралы по дугам $C_{\delta_3}$ и $C_{\delta_4}$ при $\delta_k \to 0$, $k=3,4$, стремятся к нулю. Исследуем интеграл по дуге $C_R$. Положим $z=R \mathrm{e}^{i \tau}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{C_R}\varphi_2(z,\xi)\,dz \\ &\quad=\int_{-{\pi}/{2}}^{{\pi}/{2}} \frac{((R \mathrm{e}^{ i \tau})^2+1)^s((R \mathrm{e}^{ i \tau})^2-1)} {(R \mathrm{e}^{ i \tau})^{s+3}((R \mathrm{e}^{ i \tau})^2 - \xi^2)} (R \mathrm{e}^{ i \tau})^{-2p}\prod_{k=p+1}^{n-1} \frac{1 + \alpha_k^2 (R \mathrm{e}^{ i \tau})^2}{(R \mathrm{e}^{ i \tau})^2 + \alpha_k^2} Ri \mathrm{e}^{ i \tau}\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем асимптотическое равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{C_R}\varphi_2(z,\xi)\,dz \sim\frac{(-1)^{p+1} 2^{1-s} i}{\xi^{2}(2-s+2p)R^{2-s+2p}}\sin \frac{\pi s}{2}\prod_{k=p+1}^{n}\alpha_k^{2}, \qquad R \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $2-s+2p>0$ (см. (4.2)), то значение интеграла по полуокружности $C_R$ при $R \to \infty$ стремится к нулю. При этом из представления (4.13) при $\delta_k \to 0$, $k=3,4$, и $R \to \infty$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
J_2=-2^{s+1} \pi \frac{\cos^s u \sin u}{\xi^3 \omega_{2n-2}(\xi)} +\biggl(\int_{i \infty}^{i}+\int_{-i}^{-i \infty}\biggr)\varphi_{2}(z,\xi )\,dz,
\end{equation*}
\notag
$$
где интегралы справа взяты вдоль соответствующих лучей мнимой оси. Выполнив еще одну замену переменного по формуле $z \mapsto {z^{-1}}$, находим, что
$$
\begin{equation*}
J_2=-2^{s+1} \pi \frac{\cos^s u \sin u}{\xi^3 \omega_{2n-2}(\xi)} +\biggl(\int_{-i}^{0}+\int_{0}^{i}\biggr)\frac{(z^2+1)^s (1-z^2)z^{1-s}}{1- \xi^2 z^2} \, \omega_{2n-2}(z)\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Положив $z \mapsto it$, придем к выражению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_2 &=-2^{s+1} \pi \frac{\cos^s u \sin u}{\xi^3 \omega_{2n-2}(\xi)} \\ &\qquad+(-1)^{n-1} i\biggl(\int_{-1}^{0}+\int_{0}^{1}\biggr) \frac{(1-t^2)^s (1+t^2)(i t)^{1-s}}{1+ \xi^2 t^2 }\chi_{2n-2}(t) \,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После замены переменного интегрирования в первом интеграле $t \mapsto -t$ окончательно получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J_2 &=-2^{s+1} \pi \frac{\cos^s u \sin u}{\xi^3 \omega_{2n-2}(\xi)} \\ &\qquad +2(-1)^{n-1} i\sin \frac{\pi s}{2} \int_{0}^{1}\frac{(1-t^2)^s (1+t^2) t^{1-s}}{1+ \xi^2 t^2 }\chi_{2n-2}(t) \,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Из представления (4.10) с учетом найденных значений (4.12) и (4.14) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s},x,A_n) =\frac{(-1)^n }{2^{s}}\sin \frac{\pi s}{2} \\ &\qquad\qquad \times\int_{0}^{1}(1-t^2)^s (1+t^2) t^{1-s} \biggl[\frac{\xi^3 \omega_{2n-2}(\xi)}{1+ t^2 \xi^2} +\frac{\overline{\xi \omega_{2n-2}(\xi)}}{ t^2 + \xi^2}\biggr]\chi_{2n-2}(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь чтобы прийти к интегральному представлению (4.5), достаточно заметить, что слагаемые, стоящие в квадратных скобках в подынтегральном выражении, взаимно комплексно сопряжены, и провести соответствующие преобразования. Из интегрального представления (4.5) следуют оценки (4.6) и (4.7). Теорема 5 доказана. В теореме 5 положим $\alpha_k=0$, $k=1,2,\dots,n$. Тогда величины
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s},x,O)=\varepsilon_{2n-1}^{(0)}(\widehat{f}_{s},x), \quad \varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s},O)=\varepsilon_{2n-1}^{(0)}(\widehat{f}_{s}), \qquad O=(\underbrace{0,0,\dots,0}_{n}),
\end{equation*}
\notag
$$
представляют собой соответственно поточечные и равномерные приближения функции $\widehat{f}_s(x)$, $s \in (0,+\infty)$, полиномиальными суммами Фурье–Чебышёва. Следствие 3. Для приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ суммами Фурье–Чебышёва порядка $n$, $n>s/2$, имеет место: 1) интегральное представление
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n-1}^{(0)}(\widehat{f}_{s},x) =\frac{(-1)^n }{2^{s-1}}\sin \frac{\pi s}{2} \int_{0}^{1}\frac{ (1-t^2)^s (1+t^2) t^{2n-1-s}}{\sqrt{1+2t^2 \cos 2u +t^4}} \cos \psi_n^{(0)}(x,t)\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\psi_n^{(0)}(x,t)=(2n+1)u-\operatorname{arg}(1+t^2 \xi^2);
\end{equation*}
\notag
$$
2) поточечная оценка
$$
\begin{equation*}
|\varepsilon_{2n-1}^{(0)}(\widehat{f}_{s},x)| \leqslant \frac{1}{2^{s-1}} \biggl|\sin \frac{\pi s}{2}\biggr| \int_{0}^{1}\frac{ (1-t^2)^s (1+t^2) t^{2n-1-s}}{\sqrt{1+2t^2 \cos 2u +t^4}}\,dt, \qquad x=\cos u;
\end{equation*}
\notag
$$
3) оценка равномерных приближений Исследуем асимптотическое поведение величины (4.8) при $n \to \infty$. С этой целью в правой части интегрального представления (4.8) выполним замену переменного по формуле $t=\sqrt{(1-y)/(1+y)}$, $dt=-dy/((1+y)^{3/2} (1-y)^{1/2})$. Тогда
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{2n-1}^{*}(\widehat{f}_{s},A_n) =2\biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr|\int_{0}^{1}\mu_{s}(y) \biggl|\prod_{k=1}^{n_1}\frac{\beta_k-y}{\beta_k+y}\biggr|\,dy, \qquad n_1=n-p-1, \quad n \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где
$$
\begin{equation}
\beta_k=\frac{1-\alpha_{p+k}^2}{1+\alpha_{p+k}^2}, \quad k=1,2,\dots,n_1, \qquad \mu_{s}(y)=\frac{y^{s-1}}{(1+y)^2(1-y^2)^{s/2}}\biggl(\frac{1-y}{1+y}\biggr)^p.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
4.2. Асимптотическое выражение мажоранты в случае фиксированного числа полюсов аппроксимирующей функцииПусть $n>p$, $p=[s/2]$, $n_1=n-p-1$ и $q$ – произвольное натуральное число, $0 < q < n_1$, $A_q$ есть множество параметров $(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_{n_1})$ таких, что среди них ровно $q$ различных и кратность каждого параметра равна $m$, $n_1=m q$. Таким образом, будем вести речь об аппроксимации рациональными функциями с полюсом на бесконечности порядка $2p+2$ и $2q$ геометрически различными полюсами в расширенной комплексной плоскости кратности $m$ каждый. Заметим, что приближения непрерывных функций с характерными особенностями рациональными функциями с фиксированным числом геометрически различных полюсов впервые рассматривались в работах К. Н. Лунгу [25], [26]. В силу сделанных предположений интегральное представление (4.15) примет вид
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{2n-1,2q}^{*}(\widehat{f}_{s},A_q)= 2\biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr|\int_{0}^{1}\mu_{s}(y)|\pi_q(y)|^m\,dy, \qquad s \in (0,+\infty),
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где Отметим, что в рассматриваемом случае для каждого значения $n \in \mathbb{N}$ может выбираться соответствующий набор параметров $(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q)$, т.е. $\beta_k=\beta_k(n)$, $k=1,2,\dots,q$. При этом будем полагать, что выполняются следующие условия:
$$
\begin{equation}
\varliminf_{m\to \infty}m \beta_k=\infty, \qquad k=1,2,\dots,q, \quad n_1=mq.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Пусть параметры $\beta_k,k=1,2,\dots,q$, упорядочены следующим образом:
$$
\begin{equation*}
0<\beta_q \leqslant \beta_{q-1} \leqslant \dots \leqslant \beta_1 \leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 6. Для любых натурального $q$, $0 < q<n_1$, $n_1=n-p-1$, и $s \in (0,+\infty)$ справедливо асимптотическое равенство Доказательство. Интегральное представление приближений (4.17) запишем в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{2n-1,2q}^{*}(\widehat{f}_{s},A_q) =2\biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr| \bigl[I_n^{(1)}(A_q)+I_n^{(2)}(A_q)+I_n^{(3)}(A_q)\bigr], \qquad n\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_n^{(1)}(A_q)=\int_{0}^{\beta_q}\mu_{s}(y)\pi_{q}^{m}(y)\,dy, \\ I_n^{(2)}(A_q)=\sum_{j=1}^{q-1}\int_{\beta_{j+1}}^{\beta_j}\mu_{s}(y)|\pi_{q}(y)|^{m}\,dy, \\ I_n^{(3)}(A_q)=\int_{\beta_1}^{1}\mu_{s}(y)|\pi_{q}(y)|^{m}\,dy. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Изучим асимптотическое поведение при $m\to \infty $ каждого из трех выражений по отдельности. Для решения поставленной задачи воспользуемся методом Лапласа [27], [28]. Сформулируем три леммы, доказательства которых подробно изложены в [19], поэтому в настоящей работе их не приводим.
Лемма 4. Справедливо асимптотическое равенство Подставляя полученные в леммах 3, 4 и 5 асимптотические оценки в равенство (4.20), получим (4.19). Теорема 6 доказана. Положив в теореме 6 $\beta_j=1$, $j=1,2,\dots,q$, получим, что величина
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n-1,2q}^{*}(\widehat{f}_{s},O) =\varepsilon_{2n-1}^{(0)}(\widehat{f}_{s}), \qquad O=(\underbrace{0,0,\dots,0}_{n}),
\end{equation*}
\notag
$$
представляет собой асимптотическую оценку мажоранты равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ частичными суммами полиномиального ряда Фурье–Чебышёва. Следствие 4. Для равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ суммами Фурье–Чебышёва порядка $n$, $ n>s/2$, имеет место оценка сверху 4.3. Наилучшая мажоранта равномерных приближений в случае фиксированного числа полюсов аппроксимирующей функцииПредставляет интерес минимизация правой части асимптотического равенства (4.19) посредством выбора оптимального для этой задачи набора параметров $(\beta_1^{*}, \beta_2^{*}, \dots,\beta_{q}^{*})$, т.е. нахождение наилучшей мажоранты равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ рациональными интегральными операторами Фурье–Чебышёва (1.2) в случае произвольного фиксированного количества геометрически различных полюсов. Положим
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n-1,2q}(\widehat{f}_{s}) =\operatorname*{inf}_{A_q}\varepsilon_{2n-1,2q}(\widehat{f}_{s},A_q), \qquad \varepsilon_{2n-1,2q}^{*}(\widehat{f}_{s}) =\operatorname*{inf}_{A_q}\varepsilon_{2n-1,2q}^{*}(\widehat{f}_{s},A_q).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что из (4.7) следует соотношение
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n-1,2q}(\widehat{f}_{s}) \leqslant\varepsilon_{2n-1,2q}^{*}(\widehat{f}_{s}), \qquad n \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 7. Для равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ рациональным интегральным оператором (1.2) с $2q$ геометрически различными полюсами на отрезке $[-1,1]$ справедлива оценка сверху где $n_0(s)$ – некоторое натуральное число, не зависящее от $n$, но зависящее от $s$. Доказательство. Пусть набор $A_q$ задан следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\beta_k=c_k \biggl( \frac{\ln m}{m}\biggr)^{2k-1}, \qquad k=1,2,\dots,q,
\end{equation*}
\notag
$$
где коэффициенты $c_k$, $k=1,2,\dots,q$, не зависят от $m$. Их точное значение будет определено позже. Исследуем асимптотическое поведение слагаемых $S_n^{(1)}(A_q)$, $S_n^{(2)}(A_q)$ и $S_n^{(3)}(A_q)$ из (4.19) в этом случае. Нетрудно получить, что для величины $S_n^{(1)}(A_q)$ справедливо асимптотическое равенство
$$
\begin{equation*}
S_n^{(1)}(A_q)= \frac{\Gamma(s)} {\bigl(2m\sum_{k=1}^{q}\frac{1}{c_k}\bigl(\frac{m}{\ln m}\bigr)^{2k-1}\bigr)^{s}} \sim\frac{\Gamma(s) c_q^{s}(\ln m)^{(2q-1)s}}{2^{s} m^{2qs}}, \qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Займемся величиной $S_n^{(2)}(A_q)$. Для нее воспользуемся известным (см. [19; лемма 6]) асимптотическим равенством, справедливым для заданных параметров $\beta_k$, $k=1,2,\dots,q:$
$$
\begin{equation*}
b_j \sim \sqrt{c_j c_{j+1}} \biggl(\frac{\ln m}{m}\biggr)^{2j}, \qquad b_j \in (\beta_{j+1},\beta_j), \quad j=1,2,\dots,q-1, \quad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего асимптотического равенства и уже известных результатов (см. [19; теорема 6]) получим
$$
\begin{equation*}
S_n^{(2)}(A_q) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2}}\, \sum_{j=1}^{q-1}(c_j c_{j+1})^{s/2}\sqrt[4]{\frac{c_j}{c_{j+1}}} \, \frac{(\ln m)^{2js-1/2}}{m^{2js+4\sqrt{c_{j+1}/c_j}}}, \qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, учитывая, что с заданными параметрами $\beta_k$, $k=1,2,\dots,q$, будет
$$
\begin{equation*}
\biggl(\prod_{k=1}^{q}\frac{1-\beta_k}{1+\beta_k}\biggr)^m\sim \frac{1}{m^{2c_1}}, \qquad m \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
для третьего слагаемого в (4.19) получим
$$
\begin{equation*}
S_n^{(3)}(A_q) \sim\frac{\Gamma(1+p-\frac{s}2)}{2^{2p+3}c_1^{1+p-s/2} m^{2c_1}(\ln m)^{1+p-s/2}}, \qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Подберем значения величин $c_k$, $k=1,2,\dots,q$, таким образом, чтобы в каждом из асимптотических равенств для выражений $S_n^{(1)}(A_q)$, $S_n^{(2)}(A_q)$ и $S_n^{(3)}(A_q)$ были выравнены степени при $m$. Другими словами, коэффициенты $c_k$, $k=1,2,\dots,q$, удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} qs=c_1, \\ \displaystyle qs=j s + 2 \sqrt{\frac{c_{j+1}}{c_j}}, &j=1,2,\dots,q-1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда находим, что При этом в асимптотическом равенстве (4.19) будет
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n-1,2q}^{*}(\widehat{f}_{s},A_q^{*}) \sim2^{1-s}\biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr|\Gamma(s) \biggl(\frac{s^{2q-1}(q!)^2}{q 2^{2q-2}}\biggr)^{s} \biggl(\frac{\ln^{2q-1}m}{m^{2q}}\biggr)^{s}, \qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для того чтобы доказать, что именно при найденных $c_k$, $k=1,2,\dots,q$, набор параметров $\beta_k$, $k=1,2,\dots,q$, будет оптимальным в том смысле, что величина $\varepsilon_{2n-1,2q}^{*}(\widehat{f}_{s},A_q)$ достигает при них асимптотически минимального значения, достаточно воспользоваться рассуждениями, предложенными в [29]. Возвращаясь теперь по формуле $m=(n-1-p)/q$ к параметру $n$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n-1,2q}^{*}(\widehat{f}_{s}) \sim c(q,s)\biggl(\frac{\ln^{2q-1}n}{n^{2q}}\biggr)^{s}, \qquad s \in (0,+\infty), \quad n \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c(q,s)$ определена в теореме 7. При этом из соотношения (4.7) следует оценка (4.21).
Теорема 7 доказана. Интересно сравнить равномерную оценку, полученную в теореме 7, с оценкой приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ частичными суммами ряда Фурье–Чебышёва, полученной в следствии 4. В то время как в полиномиальном случае обеспечивается скорость убывания равномерных приближений порядка $O(1/n^{s})$, соответствующие рациональные приближения с $2q$ геометрически различными полюсами аппроксимирующей функции в открытой комплексной плоскости обеспечиваются со скоростью $O(({\ln^{2q-1}n}/n^{2q})^s)$. 4.4. Асимптотическое выражение мажоранты в общем случаеИсследуем асимптотическое поведения величины (4.8) при $n \to \infty$ без ограничений на количество полюсов. С этой целью снова воспользуемся представлением (4.15). Будем считать, что параметры $\beta_k$, $k=1,2,\dots,n_1$, $n_1=n\,{-}\,1\,{-}\,p$, имеют вид $\beta_{k}=\xi^k$, $\xi \in (0,1)$, $k=1,2,\dots,n_1$. Более того, для каждого значения $n$ может выбираться соответствующий набор параметров $\beta_k$, т.е. $\beta_k=\beta_k(n)$. В связи с этим будем полагать выполненными условия
$$
\begin{equation}
\beta_{1} \to 1, \qquad \beta_{n_1} \to 0, \qquad n \to \infty,
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n_1}\frac{1}{\beta_k}\xrightarrow{n \to \infty }\infty,
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n_1}\frac{\beta_k}{1-\beta _{k}^{2}} \xrightarrow{n \to \infty}\infty .
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Условия (4.22)–(4.24) непротиворечивы. Ниже будет рассмотрена последовательность параметров аппроксимирующей функции $\{\beta_{k}\}_{k=1}^{n_1}$, удовлетворяющая этим соотношениям. Теорема 8. Для равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором Фурье–Чебышёва при выполнении условий (4.22)–(4.24) справедлива оценка сверху Доказательство. Снова обратимся к интегралу (4.15). Разобьем его на три интеграла так, что
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{2n-1}^{*}(\widehat{f}_{s},A_n) =2\biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr|\bigl[I_n^{(4)}+I_n^{(5)} + I_n^{(6)}\bigr], \qquad n \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_n^{(4)}=\int_{0}^{\beta_{n_1}}\mu_{s}(y)\pi_{n_1}(y)\,dy, \qquad I_n^{(5)}=\int_{\beta_{n_1}}^{\beta_{1}}\mu_{s}(y)|\pi_{n_1}(y)|\,dy, \\ I_n^{(6)}=\int_{\beta_{1}}^{1}\mu_{s}(y)|\pi_{n_1}(y)|\,dy. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Исследуем каждый из трех интегралов по отдельности. Так, интеграл $I_n^{(4)}$ представим в виде
$$
\begin{equation*}
I_n^{(4)}=\int_{0}^{\beta_{n_1}}\mu_{s}(y)\mathrm{e}^{S(y)}\,dy, \qquad S(y)=\sum_{k=1}^{n_1}\ln \frac{\beta_k-y}{\beta_k+y}.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся методом Лапласа [27], [28]. Функция $S(y)$ убывает на промежутке $[0, \beta_{n_1}]$, поскольку ${S}'(y)<0$, и, следовательно, достигает своего максимального значения при $y=0$. Учитывая разложение
$$
\begin{equation*}
S(y)=-2y\sum_{k=1}^{n_1}\frac{1}{\beta_k}-\frac{2}{3}y^3\sum_{k=1}^{n_1}\frac{1}{\beta_k^3}+O(y^5), \qquad y\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и очевидное асимптотическое равенство для некоторого малого $\varepsilon >0$ и $n \to \infty $ находим
$$
\begin{equation*}
I_n^{(4)}\sim\int_{0}^{\varepsilon}y^{s-1}\exp \biggl[ -2 y \sum_{k=1}^{n_1}{\frac{1}{\beta_k}}\biggr]\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
В интеграле справа выполним замену переменного интегрирования по формуле $2u\sum_{k=1}^{n_1}1/\beta_k\mapsto t$. Тогда
$$
\begin{equation*}
I_n^{(4)} \sim\frac{1}{\bigl(2\sum_{k=1}^{n_1}\frac1{\beta_k}\bigr)^{s}} \int_{0}^{\varphi (n,\varepsilon )}{t^{s-1}}\mathrm{e}^{-t}\,dt, \qquad n \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi (n,\varepsilon)=2\varepsilon \sum_{k=1}^{n_1}{1/\beta_k} \to \infty $ при $n \to \infty $ в силу условия (4.23). Учитывая, что из последнего асимптотического равенства получим где $\Gamma(\cdot)$ – гамма-функция Эйлера.
Оценим интеграл $I_n^{(5)}$. Имеем
$$
\begin{equation}
\int_{\beta_{n_1}}^{\beta_{1}}\mu_{s}(y)|\pi_{n_1}(y)|\,dy \leqslant \operatorname*{max}_{y \in [\beta_{n_1},\beta_{1}]} |\pi_{n_1}(y)|\int_{\beta_{n_1}}^{\beta_{1}}\frac{y^{s-1}}{(1-y^2)^{s/2-p}}\,dy.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
В силу условий (4.22)
$$
\begin{equation*}
\int_{\beta_{n_1}}^{\beta_{1}}\frac{y^{s-1}}{(1-y^2)^{s/2-p}}\,dy \xrightarrow{n \to \infty}\int_{0}^{1}\frac{y^{s-1}}{(1-y^2)^{s/2-p}}\,dy =c_1(s),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_1(s)$ определена в теореме 8. Известно (см., например, [30]), что в случае, когда набор параметров $\beta_k$, $k=1,2,\dots,n_1$, имеет вид $\beta_{k}=\xi^k$, $\xi \in (0,1)$, $k=1,2,\dots,n_1$, для произведений в правой части (4.28) справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\operatorname*{max}_{y \in [\beta_{n_1},\beta_{1}]}|\pi_{n_1}(y)| \leqslant\prod_{k=1}^{n_1}\frac{1-\beta_k}{1+\beta_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
I_n^{(5)} \leqslant c_1(s)\prod_{k=1}^{n_1}\frac{1-\beta_k}{1+\beta_k}.
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Перейдем к исследованию интеграла $I_n^{(6)}$. Представим его в виде
$$
\begin{equation*}
I_n^{(6)}=\int_{\beta_1}^{1}\mu_s(y)\mathrm{e}^{S(y)}\,dy, \qquad S(y)=\sum_{k=1}^{n_1}\ln \frac{y-\beta_k}{y+\beta_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Снова воспользуемся методом Лапласа [27], [28]. Функция $S(y)$ возрастает при $y \in (\beta_{1},1)$, поскольку ${S}'(y)=2\sum_{k=1}^{n_1}\beta_k/(y^2-\beta_{k}^{2})>0$, и, следовательно, достигает своего максимального значения при $y=1$. Учитывая асимптотические равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S(y)=\sum_{k=1}^{n_1}\ln \frac{1-\beta_k}{1+\beta_k} +\sum_{k=1}^{n_1}\frac{2\beta_k}{1-\beta_k^2}(y-1)+o(y-1), \\ \mu_s(y)\sim \frac{(1-y)^{p-s/2}}{2^{p+s/2+2}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
справедливые при $y \to 1$, для некоторого малого $\varepsilon >0$ и $n \to \infty $ находим, что
$$
\begin{equation*}
I_n^{(6)} \sim\frac{1}{2^{p+s/2+2}} \prod_{k=1}^{n_1}\frac{1-\beta_k}{1+\beta_k} \int_{1-\varepsilon}^{1}(1-y)^{p-s/2}\exp \biggl[ 2\sum_{k=1}^{n_1}\frac{\beta_k}{1-\beta_k^2}(y-1) \biggr]\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Выполнив в интеграле замену переменного по формуле
$$
\begin{equation*}
2(1-y) \sum_{k=1}^{n_1}\frac{\beta_k}{1-\beta_k^2} \mapsto u,
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к асимптотическому равенству
$$
\begin{equation*}
I_n^{(6)} \sim\frac{1}{2^{2p+3}\bigl(\sum_{k=1}^{n_1}\frac{\beta_k}{1-\beta_k^2}\bigr)^{1+p-s/2}} \prod_{k=1}^{n_1}\frac{1-\beta_k}{1+\beta_k} \int_{0}^{\varphi (n,\varepsilon )} u^{p-s/2}\mathrm{e}^{-u}\,du, \qquad n \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi(n,\varepsilon)=\varepsilon \sqrt{\sum_{k=1}^{n_1}\beta_k/(1-\beta_k^2)} \to \infty $ при $n \to \infty $ в силу выполнения условия (4.24). Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{+\infty }u^{p-s/2}\mathrm{e}^{-u}\,du =\Gamma \biggl(1+p-\frac{s}{2} \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
при $n \to \infty $ получим
$$
\begin{equation}
I_n^{(6)}=\frac{\Gamma(1+p-\frac{s}2)} {2^{2p+3}\bigl(\sum_{k=1}^{n_1}\frac{\beta_k}{1-\beta_k^2}\bigr)^{1+p-s/2}} \prod_{k=1}^{n_1}\frac{1-\beta_k}{1+\beta_k}(1+o(1)), \qquad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Подставляя асимптотические оценки для интегралов $I_n^{(4)}$, $I_n^{(5)}$ и $I_n^{(6)}$ соответственно (4.27), (4.29) и (4.30) в представление (4.26), приходим к (4.25). Теорема 8 доказана. 4.5. Случай “ньюменовских” параметровИсследуем правую часть оценки (4.25) в случае, когда принимаемые параметрами $\beta_{k}$, $k=1,2,\dots,n_1$, значения являются некоторой модификацией параметров, которые были введены Д. Ньюменом [31] в его известной работе о рациональной аппроксимации функции $|x|$. Эта задача будет изучаться нами далее. Пусть $A_N$ – набор параметров $\beta_k$, $k=1,2,\dots,n_1$, для каждого фиксированного $n_1\in \mathbb{N}$, удовлетворяющих следующим условиям:
$$
\begin{equation}
\beta_{k}=\mathrm{e}^{-ck/\sqrt{n_1}}, \qquad k=1,2,\dots,n_1, \quad n_1=n-1-p,
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
$c$ – некоторая положительная постоянная, не зависящая от $n$. Отметим, что заданный набор параметров удовлетворяет условиям (4.22). Теорема 9. Для равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором Фурье–Чебышёва (1.2) с параметрами из (4.31) справедлива оценка сверху Доказательство. Исследуем асимптотическое поведение правой части в оценке (4.25), когда параметры $\beta_{k}$, $k=1,2,\dots,n_1$, заданы формулами (4.31). Сформулируем две леммы, доказательство которых содержится в [32].
Лемма 6. В условиях (4.31) справедливо асимптотическое равенство Лемма 7. В условиях (4.31) справедливы асимптотические равенства Отметим, что лемма 7 обеспечивает выполнение условий (4.23) и (4.24). Вернемся к доказательству теоремы 9. Подставив асимптотические равенства (4.33)–(4.35) в оценку (4.25), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon_{2n-1}^{*}(\widehat{f}_{s},A_N) &\leqslant2\biggl|\sin \frac{\pi s}{2}\biggr| \biggl(\frac{2^{1-s}\Gamma (s)c^s \mathrm{e}^{-cs\sqrt{n_1}}}{(\sqrt{n_1}\,)^s} +c_1(s)\sqrt{n_1}\exp \biggl(-\frac{\pi^2}{4c}\sqrt{n_1}\biggr) \\ &\qquad +\frac{\Gamma(1+p-\frac{s}2)(2c)^{1+p-s/2}}{2^{2p+2}(\sqrt{n_1}\, \ln \sqrt{n_1}\, )^{1+p-s/2}} \sqrt{n_1}\exp \biggl(-\frac{\pi^2}{4c}\sqrt{n_1}\biggr)\biggr), \\ &\qquad\qquad s \in (0,+\infty), \qquad n > n_0(s). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы из последнего соотношения прийти к оценке (4.32), достаточно воспользоваться неравенством (4.7). Теорема 9 доказана. Представляет интерес минимизация мажоранты в оценке сверху (4.32) путем выбора оптимального для этой задачи параметра $c$, т.е. нахождение наилучшей оценки сверху равномерных приближений с параметрами (4.31). Положим
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s}) =\operatorname*{inf}_{A_N}\varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s},A_N), \qquad \varepsilon_{2n-1}^{*}(\widehat{f}_{s}) =\operatorname*{inf}_{A_N}\varepsilon_{2n-1}^{*}(\widehat{f}_{s},A_N).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что из (4.7) следует соотношение
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s}) \leqslant\varepsilon_{2n-1}^{*}(\widehat{f}_{s}), \qquad n \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 10. Для равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором Фурье–Чебышёва (1.2) существует такой набор параметров $A_N^{*}$ вида (4.31), что справедлива оценка сверху Доказательство. Константу $c$ в правой части (4.32) выберем из условия равенства показателей при экспоненте в каждом из слагаемых. Следовательно, откуда находим, что При этом в (4.32) будет
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s},A_N^{*}) &\leqslant2\biggl|\sin \frac{\pi s}{2}\biggr| \biggl(\frac{2^{1-2s}\Gamma (s)}{(\sqrt{n_1}\,)^{s+1}} \biggl(\frac{\pi}{\sqrt{s}}\biggr)^s+c_1(s) \\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+p-\frac{s}2)\pi^{1+p-s/2}}{2^{2+2p}(\sqrt{n_1 s}\, \ln \sqrt{n_1}\,)^{1+p-s/2}}\biggr) \sqrt{n_1}\exp \biggl(-\frac{\pi}{2}\sqrt{n_1 s}\biggr), \end{aligned} \\ s \in (0,+\infty), \qquad p=\biggl[\frac{s}{2}\biggr], \qquad n_1>n_0(s). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Значения первого и третьего слагаемых в скобках стремятся к нулю при $n_1 \to \infty$. Следовательно, существует такое $n_0(s)$, что для всех $n_1 >n_0(s)$ будет
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n-1}(\widehat{f}_{s},A_N^{*}) \leqslant6\biggl|\sin \frac{\pi s}{2}\biggr|c_1(s) \sqrt{n_1}\exp \biggl(-\frac{\pi}{2}\sqrt{n_1 s}\biggr), \qquad n_1>n_0(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Для того чтобы показать, что при найденном значении величины $c^{*}$ параметры аппроксимирующей рациональной функции действительно являются оптимальными в том смысле, что доставляют наилучшие равномерные приближения рациональным интегральным оператором (1.2) с параметрами, удовлетворяющими условию (4.31), достаточно воспользоваться методом, предложенным в [29]. Заметив, что $n_1=n\,{-}\,1\,{-}\,p$, $n\,{-}\,1\,{-}\,p \sim n$, при $n \to \infty$, приходим к (4.36).
Теорема 10 доказана. Следствие 5. Для равномерных приближений функций (1.1) с плотностью $|x|^s$, $s \in (0,2)$, на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором Фурье–Чебышёва (1.2) существует такой набор параметров аппроксимирующей функции, что справедлива оценка Для доказательства последней оценки достаточно положить в (4.36) $p=0$. В контексте полученного результата интересно привести асимптотическую оценку, полученную Г. Шталем [33],
$$
\begin{equation*}
R_{n,n}(|x|^s,[-1,1])\sim4^{1+s/2}\biggl|\sin \frac{\pi s}{2}\biggr| \mathrm{e}^{-\pi \sqrt{ns}}, \qquad s>0, \quad n \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $R_{n,n}(|x|^s,[-1,1])$ – наилучшие равномерные приближения функции $|x|^s$ на отрезке $[-1,1]$ рациональными функциями степени не выше $n$.
§ 5. Приближения сингулярных интегралов с плотностью $|x|^s$ рациональным интегральным оператором $\widehat{s}_{n+1}$5.1. Интегральные представления и оценки приближенийИзучим приближения (2.8) функции $\widehat{f}_s(x)$ (см. (4.1)) на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором (1.4). Для дальнейших рассуждений необходимо определенным образом выбрать параметры аппроксимирующей рациональной функции. Пусть множество параметров $\{ z_k\}_{k=1}^{2n}$ (см. (1.3)) выбрано следующим образом:
$$
\begin{equation}
z_{k}=- z_{n+k}, \quad z_{k} \mapsto i \alpha_{k}, \qquad k=1,2,\dots, n,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
z_{1}=z_{2}=\dots=z_{p}=0, \qquad p=\biggl[\frac{s}{2}\biggr], \quad n>p.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Справедлива Теорема 11. Для приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором (1.4) имеют место: 1) интегральное представление
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\widehat{\varepsilon}_{2n+1}(f_s,x,A_n)={(-1)^{n}2^{2-s}\sqrt{1-x^2}}\sin\frac{\pi s}{2} \\ &\qquad\times \int_{0}^{1}\frac{(1-t^2)^s t^{1-s} \sin \psi_{2n}(x,t)}{\sqrt{1+2t^2 \cos 2 u +t^4}} \chi_{2n}(t)\sin\biggl(\operatorname{arg}\frac{\xi^2 \omega_{2n}(\xi)}{1+t^2\xi^2}\biggr)\,dt, \qquad x=\cos u, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\omega_{2n}(\xi) =\prod_{k=1}^{n}\frac{\xi^2+\alpha_k^2}{1+ \alpha_k^2 \xi^2}, \qquad \chi_{2n}(t)=\prod_{k=1}^{n}\frac{t^2-\alpha_k^2}{1- \alpha_k^2 t^2}, \qquad \xi=\mathrm{e}^{iu};
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
2) поточечная оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|\widehat{\varepsilon}_{2n+1}(f_s,x,A_n)| \leqslant 2^{2-s}\sqrt{1-x^2}\, \biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr| \\ &\qquad\qquad \times \int_{0}^{1}\frac{(1-t^2)^s t^{1-s}}{\sqrt{1+2t^2 \cos 2 u +t^4}}|\chi_{2n}(t)|\,dt, \qquad x=\cos u; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
3) оценка равномерных приближений где Доказательство. Очевидно, что
$$
\begin{equation}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1}(f_s,x,A_n) =\int_{-1}^{1}\frac{{\varepsilon}_{2n}(f_s,t,A_n)}{t-x}\sqrt{1-t^2}\,dt, \qquad x \in [-1,1],
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где ${\varepsilon}_{2n}(f_s,t,A_n)$ – приближения функции $|x|^s$, $s \in (0,+\infty)$, на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором (1.2).
Известно [20], что с параметрами из (5.1) имеет место интегральное представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon_{2n}(f_s,t,A_n)= \frac{(-1)^n 2^{1-s}}{\pi}\sin \frac{\pi s}{2} \\ &\qquad\times\int_{0}^{1}(1-y^2)^s y^{1-s}\biggl[\frac{z^2 \omega_{2n}(z)}{1+y^2 z^2} +\frac{\overline{\omega_{2n}(z)}}{z^2+y^2} \biggr]\chi_{2n}(y)\,dy, \qquad z=\mathrm{e}^{i \tau}, \quad t=\cos \tau, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где величины $\omega_{2n}(\cdot)$, $\chi_{2n}(\cdot)$ определены в (5.3).
Подставим последнее интегральное представление в равенство (5.7) и, воспользовавшись теоремой Фубини, поменяем порядок интегрирования. Тогда
$$
\begin{equation}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1}(f_s,x,A_n) =\frac{(-1)^n 2^{1-s}}{\pi}\sin \frac{\pi s}{2}\int_{0}^{1}(1-y^2)^s y^{1-s}I_{2n}(y,x)\chi_{2n}(y)\,dy,
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где
$$
\begin{equation*}
I_{2n}(y,x)=\int_{-1}^{1}\biggl[\frac{z^2 \omega_{2n}(z)}{1+y^2 z^2} + \frac{\overline{\omega_{2n}(z)}}{z^2+y^2}\biggr]\frac{\sqrt{1-t^2}}{t-x}\,dt, \qquad z=\mathrm{e}^{i \tau}, \quad t=\cos \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь в интеграле $I_{2n}(y,x)$ выполним замену переменного интегрирования по формуле $t=\cos \tau$, положив $x=\cos u$. Нетрудно получить, что в этом случае
$$
\begin{equation*}
I_{2n}(y,x) =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\biggl[\frac{z^2 \omega_{2n}(z)}{1+y^2 z^2} +\frac{\overline{\omega_{2n}(z)}}{z^2+y^2}\biggr]\frac{\sin^2 \tau}{\cos \tau - \cos u}\,d\tau, \qquad z=\mathrm{e}^{i \tau}, \quad t=\cos \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
В интеграле справа перейдем к интегрированию по переменному $z$, $z=\mathrm{e}^{i \tau}$, положив $\xi=\mathrm{e}^ {i u}$. Тогда
$$
\begin{equation}
I_{2n}(y,x)=-\frac{1}{4i}\bigl[J^{(1)}(y,x) + J^{(2)}(y,x)\bigr],
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J^{(1)}(y,x) &=\oint_{|z|=1}\frac{\omega_{2n}(z)(z^2-1)^2}{(1+y^2 z^2)(z-\xi)(z-\frac1{\xi})}\,dz, \\ J^{(2)}(y,x) &=\oint_{|z|=1}\frac{\overline{\omega_{2n}(z)}(z^2-1)^2}{(z^2+y^2 )z^2(z-\xi)(z-\frac1{\xi})}\,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что интегралы $J^{(1)}(y,x)$ и $J^{(2)}(y,x)$ имеют точки сингулярности $z=\xi$ и $z=1/\xi$, расположенные на границе единичного круга, и понимаются в смысле главного значения по Коши. Для их вычисления воспользуемся формулами Сохоцкого. Так, выполнив необходимые вычисления, получим
$$
\begin{equation*}
J^{(1)}(y,x) =\pi i\biggl[\frac{\xi \omega_{2n}(\xi)(\xi^2-1)}{1+y^2 \xi^2} +\frac{\overline{\omega_{2n}(\xi)}(1-\xi^2)}{\xi(\xi^2+y^2)}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом получим
$$
\begin{equation*}
J^{(2)}(y,x) =-\pi i\biggl[\frac{\xi \omega_{2n}(\xi)(1-\xi^2)}{1+y^2 \xi^2} +\frac{\overline{\omega_{2n}(\xi)}(\xi^2-1)}{\xi(\xi^2+y^2)}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
После подстановки значений последних двух интегралов в равенство (5.9) придем к выражению
$$
\begin{equation*}
I_{2n}(y,x) =-\pi i \sin u\biggl[\frac{\xi^2 \omega_{2n}(\xi)}{1+\xi^2 y^2} -\frac{\overline{\omega_{2n}(\xi)}}{\xi^2+y^2}\biggr], \qquad \xi=\mathrm{e}^{ i u}, \quad x=\cos u.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив найденное соотношение в равенство (5.8), будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{\varepsilon}_{2n+1}(f_s,x,A_n) &=(-1)^{n+1} 2^{1-s}\sqrt{1-x^2}\, i\sin \frac{\pi s}{2} \\ &\qquad\times\int_{0}^{1}(1-y^2)^s y^{1-s} \biggl[\frac{\xi^2 \omega_{2n}(\xi)}{1+\xi^2 y^2} -\frac{\overline{\omega_{2n}(\xi)}}{\xi^2+y^2}\biggr] \chi_{2n}(y)\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что выражения в квадратных скобках взаимно комплексно сопряжены. Чтобы прийти к представлению (5.2), достаточно выполнить несложные алгебраические преобразования.
Из интегрального представления (5.2) очевидным образом следуют оценки (5.4) и (5.5). Теорема 11 доказана. В теореме 11 положим $\alpha_k=0$, $ k=1,2,\dots,n$. Тогда величины
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1}(f_s,x,O) =\widehat{\varepsilon}_{2n+1}^{\,(0)}(f_s,x), \quad \widehat{\varepsilon}_{2n+1}(f_s,O) =\widehat{\varepsilon}_{2n+1}^{\,(0)}(f_s), \qquad O=(\underbrace{0,0,\dots,0}_{n}),
\end{equation*}
\notag
$$
представляют собой соответственно поточечные и равномерные приближения функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ полиномиальным аналогом оператора (1.4). Следствие 6. Для приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ оператором, являющимся образом частичных сумм полиномиального ряда Фурье–Чебышёва порядка $n$, $n>s/2$, при преобразовании (1.1), имеют место: 1) интегральное представление
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \widehat{\varepsilon}_{2n+1}^{\,(0)}(f_s,x) &={(-1)^{n}2^{2-s}\sqrt{1-x^2}}\sin\frac{\pi s}{2} \\ &\qquad \times \int_{0}^{1}\frac{(1-t^2)^st^{2n+1-s}}{\sqrt{1+2t^2 \cos 2 u +t^4}}\sin \psi_n^{(0)}(x,t)\,dt, \qquad x=\cos u, \end{aligned} \\ \psi_n^{(0)}(x,t)=(2n+2)u-\operatorname{arg}(1+t^2\xi^2), \qquad \xi=\mathrm{e}^{ i u}; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
2) поточечная оценка
$$
\begin{equation*}
|\widehat{\varepsilon}_{2n+1}^{\,(0)}(f_s,x)| \leqslant{2^{2-s}\sqrt{1-x^2}} \biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr| \int_{0}^{1}\frac{(1-t^2)^s t^{2n+1-s}}{\sqrt{1+2t^2 \cos 2 u +t^4}}\,dt, \qquad x=\cos u;
\end{equation*}
\notag
$$
3) оценка равномерных приближений Исследуем асимптотическое поведение величины (5.6) при $n \to \infty$. С этой целью в правой части (5.6) выполним замену переменного по формуле $t=\sqrt{(1-y)/(1+y)}$, $dt=-dy/((1+y)^{3/2} (1-y)^{1/2})$. Тогда
$$
\begin{equation}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1}^{\,*}(f_s,A_n)= 2\biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr| \int_{0}^{1}\nu_s(y)\biggl|\prod_{k=1}^{n-p}\frac{\beta_k-y}{\beta_k+y}\biggr|\,dy, \qquad n \in \mathbb{N}, \quad \beta_k=\frac{1-\alpha_k^2}{1+\alpha_k^2},
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\nu_s(y)=\frac{y^{s-1}}{(1+y)(1-y^2)^{s/2}} \biggl(\frac{1-y}{1+y}\biggr)^p.
\end{equation*}
\notag
$$
5.2. Асимптотическое выражение мажоранты в случае фиксированного числа полюсов аппроксимирующей функцииПусть $n>p$, $p=[s/2]$, $n_1=n-p$ и $q$ – произвольное фиксированное натуральное число, $A_q$ – множество параметров $(\beta_{1},\beta_2, \dots, \beta_{n_1})$ таких, что среди них ровно $q$ различных и кратность каждого параметра равна $m$, $n_1=m q$. Таким образом, будем вести речь об аппроксимации рациональными функциями с полюсом на бесконечности порядка $2p$ и $2q$ геометрически различными полюсами в расширенной комплексной плоскости кратности $m$ каждый. В силу сделанных предположений величина (5.10) примет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}^{\,*}(f_s,A_q)= 2\biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr| \int_{0}^{1}\nu_s(y)|\pi_q(y)|^m\,dy, \\ \pi_q(y)=\prod_{k=1}^{q}\frac{\beta_k-y}{\beta_k+y}, \qquad s \in (0,+\infty). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть параметры $\beta_k$, $k=1,2,\dots,q$, удовлетворяют условию (4.18) и упорядочены следующим образом:
$$
\begin{equation*}
0<\beta_q \leqslant \beta_{q-1} \leqslant \dots \leqslant \beta_1 \leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
В следующей теореме устанавливается асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений функции $\widehat{f}(x)$ на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором (1.4) с произвольным фиксированным количеством геометрически различных полюсов. Теорему приводим без доказательства, поскольку оно основано на методе, подробно изложенном в [19], и уже применялось нами при доказательстве теоремы 6. Теорема 12. Для любых натурального $q$, $0 < q<n_1$, $n_1=n-p$, $n_1=mq$, и $s \in (0,+\infty)$ справедливо асимптотическое равенство Положив в теореме 12 $\beta_j=1$, $j=1,2,\dots,q$, получим, что величина
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}^{\,*}(f_s,O) =\widehat{\varepsilon}_{2n+1}^{\,(0)}(f_s), \qquad O=(\underbrace{0,0,\dots,0}_{n}),
\end{equation*}
\notag
$$
представляет собой оценку сверху равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ полиномиальным оператором, являющимся образом частичных сумм ряда Фурье–Чебышёва при преобразовании (1.1). Следствие 7. Для равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ полиномиальным оператором, являющимся образом частичных сумм ряда Фурье–Чебышёва порядка $n$, $n>s/2$, при преобразовании (1.1), справедлива оценка сверху Интересно сравнить оценку, полученную в следствии 7, с соответствующей оценкой равномерных полиномиальных приближений из следствия 4. 5.3. Наилучшая мажоранта равномерных приближений в случае фиксированного числа полюсов аппроксимирующей функцииМинимизируем правую часть асимптотического равенства (5.11) посредством выбора оптимального для этой задачи набора параметров $(\beta_1^{*},\beta_2^{*},\dots,\beta_q^{*})$, т.е. найдем наилучшую оценку приближений исследуемых сингулярных интегралов рациональным интегральным оператором (1.4) с фиксированным числом полюсов. Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}(f_s)=\operatorname*{inf}_{A_q} \widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}(f_s,A_q), \qquad \widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}^{\,*}(f_s) =\operatorname*{inf}_{A_q}\widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}^{\,*}(f_s,A_q).
\end{equation*}
\notag
$$
Из (5.5) очевидным образом следует, что
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}(f_s) \leqslant\widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}^{\,*}(f_s), \qquad n \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 13. Для равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором (1.4) с $q$ геометрически различными полюсами справедлива оценка сверху где $n_0(s)$ – некоторое натуральное число, не зависящее от $n$, но зависящее от $s$, $\Gamma(\cdot)$ – гамма-функция Эйлера. Доказательство. Пусть набор $A_q$ задан следующим образом: где $c_k$, $k=1,2,\dots,q$, – некоторые числовые величины, значение которых будет определено ниже.
Исследуем асимптотическое поведение каждого из трех слагаемых в (5.11). Так, исследование первого слагаемого приводит к асимптотическому равенству
$$
\begin{equation*}
S_n^{(1)}(A_{q})=\frac{\Gamma(s)}{\bigl(2m\sum_{k=1}^{q}\frac{1}{c_k}(\frac{m}{\ln m})^{2k-1}\bigr)^{s}} \sim \frac{\Gamma(s) c_q^{s}(\ln m)^{(2q-1)s}}{2^{s} m^{2qs}}, \qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись уже известными результатами [19; теорема 6], получаем
$$
\begin{equation*}
S_n^{(2)}(A_{q}) \sim\sqrt{\frac{\pi}{2}}\, \sum_{j=1}^{k-1}(c_j c_{j+1})^{s/2} \sqrt[4]{\frac{c_j}{c_{j+1}}} \, \frac{(\ln m)^{2js-1/2}}{m^{2js+4\sqrt{c_{j+1}/c_j}}}, \qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, для третьего слагаемого в (5.11) получим
$$
\begin{equation*}
S_n^{(3)}(A_q) \sim \frac{\Gamma(1+p-\frac{s}2)}{2^{2p+1}c_1^{1+p-s/2} m^{2c_1}(\ln m)^{1+p-s/2}}, \qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Значения величин $c_k$, $k=1,2,\dots,q$, выберем таким образом, чтобы в каждом из выражений $S_n^{(1)}(A_{q})$, $S_n^{(2)}(A_{q})$ и $S_n^{(3)}(A_{q})$ были выравнены степени при $m$. В этом случае величины $c_k$, $k=1,2,\dots,q$, очевидно, удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} qs=c_1, \\ qs=js+2\sqrt{\dfrac{c_j+1}{c_j}}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда находим При этом в асимптотическом равенстве (5.11) будет
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}^{\,*}(f_s,A_q^{*}) \sim2^{1-s}\biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr|\Gamma(s) \biggl(\frac{s^{2q-1}(q!)^2}{q 2^{2q-2}}\biggr)^{s} \biggl(\frac{\ln^{2q-1}m}{m^{2q}}\biggr)^{s}, \qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для того чтобы доказать, что именно при найденном $c_k, k=1,2,\dots,q$, набор параметров $\beta_k$, $k=1,\dots,q$, будет оптимальным в том смысле, что величина $\varepsilon_{n}^{*}(|\cdot|^s,A_{q})$ достигает при них асимптотически минимального значения, достаточно воспользоваться рассуждениями, предложенными в [29]. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}^{\,*}(f_s) =\widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}^{\,*}(f_s,A_q^{*}), \qquad n \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (5.5) при этом равномерно относительно $x \in [-1,1]$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}(f_s) \leqslant\widehat{\varepsilon}_{2n+1,2q}^{\,*}(f_s).
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось заметить, что $n_1=mq$, $n_1=n-p$, и из последней оценки перейти к асимптотическому равенству (5.12). Теорема 13 доказана. Сравним оценку, полученную в теореме 13, с оценкой в следствии 7 равномерных полиномиальных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$. В то время как полиномиальные аналоги построенного метода рациональной аппроксимации обеспечивают равномерно по $x \in [-1,1]$ скорость убывания приближений порядка $O(1/n^{s})$, в рациональном случае с $2q$ геометрически различными полюсами аппроксимирующей функции в открытой комплексной плоскости порядок приближений можно увеличить до $O(({\ln^{2q-1}n}/{n^{2q}})^{s})$. Замечание 2. Из теоремы 7 и теоремы 13 следует, что для асимптотических выражений наилучших мажорант равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ рассматриваемыми рациональными интегральными операторами в случае произвольного фиксированного количестве геометрически различных полюсов имеет место равенство 5.4. Исследование мажоранты равномерных приближений в общем случаеИсследуем величину (5.10) при $n \to \infty$ без ограничений на количество параметров аппроксимирующей функции. Будем, как и прежде, считать, что параметры $\beta_k$, $k=1,2,\dots,n_1$, $n_1=n-p$, упорядочены следующим образом:
$$
\begin{equation*}
0<\beta_{n_1}<\beta_{n_1-1}<\dots <\beta_{1}\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и при этом имеют вид $\beta_{k}=\xi^k$, $\xi \in (0,1)$, $k=1,2,\dots,n_1$. Теорема 14. Для равномерных рациональных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ интегральным оператором (1.4) с параметрами (4.22)–(4.24) справедлива оценка сверху Доказательство сводится к исследованию асимптотического поведения интеграла в правой части выражения (5.10) в случае, когда параметры аппроксимирующей функции удовлетворяют условиям (4.22)–(4.24). Поскольку оно в точности повторяет доказательство теоремы 8, то приводить его не будем. 5.5. Случай “ньюменовских” параметровИсследуем правую часть оценки (5.13) в случае, когда принимаемые параметрами $\beta_{k}$, $k=1,2,\dots,n_1$, $n_1=n-p$, значения являются некоторой модификацией параметров, введенных Д. Ньюменом [31]. Пусть $A_N$ – набор параметров $\beta_k$, $k=1,2,\dots,n_1$, для каждого фиксированного $n\in \mathbb{N}$, имеющих вид
$$
\begin{equation}
\beta_{k}=\exp \biggl(-\frac{ck}{\sqrt{n_1}}\biggr), \qquad k=1,2,\dots,n_1,
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
$c$ – некоторая положительная величина, не зависящая от $n$. Отметим, что некоторые модификации параметров $\beta_k$, $k=1,2,\dots,n_1$, использовались для решения аппроксимационных задач в работах А. П. Буланова (см., например, [34]). Теоремы, в которых устанавливаются соответствующие оценки равномерных приближений в случае параметров аппроксимирующих функций вида (5.14), сформулируем без доказательств, поскольку они являются совершенно аналогичными доказательствам теорем 9 и 10. Теорема 15. Для равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором (1.4) с параметрами (5.14) справедлива оценка сверху Минимизируем величину (5.15) путем выбора оптимального для этой задачи параметра $c$, т.е. найдем наилучшую оценку равномерных приближений с параметрами (5.14). Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1}(f_{s}) =\inf_{A_N}\widehat{\varepsilon}_{2n+1}(f_{s},A_N), \qquad \widehat{\varepsilon}_{2n+1}^{\,*}(f_{s}) =\inf_{A_N}\widehat{\varepsilon}_{2n+1}^{*}(f_{s},A_N).
\end{equation*}
\notag
$$
Из оценки (5.5) очевидным образом следует, что
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varepsilon}_{2n+1}(f_{s}) \leqslant\widehat{\varepsilon}_{2n+1}^{\,*}(f_{s}), \qquad n \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 16. Для равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором (1.4) существует такой набор параметров $A_N^{*}$ вида (5.14), что справедлива оценка сверху Следствие 8. Для равномерных приближений функций (1.1) с плотностью $|x|^s$, $s \in (0,2)$, на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором (1.4) существует такой набор параметров аппроксимирующей функции, что равномерно по $x \in [-1,1]$ справедлива оценка сверху Замечание 3. Из теоремы 10 и теоремы 16 следует, что для наилучших оценок равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ рассматриваемыми рациональными интегральными операторами в случае “ньюменовских” полюсов имеет место равенство § 6. ЗаключениеВ настоящей работе изучены аппроксимации на отрезке $[-1,1]$ сингулярных интегралов вида (1.1) посредством двух рациональных интегральных операторов. Первый из них – рациональный интегральный оператор Фурье–Чебышёва [18], ассоциированный с системой рациональных функций Чебышёва–Маркова и являющийся естественным обобщением частичных сумм полиномиального ряда Фурье–Чебышёва. Второй является образом указанного интегрального оператора при преобразовании (1.1). Для каждого из операторов установлено интегральное представление приближений. Для обоих операторов в полиномиальном случае установлены оценки приближений сингулярных интегралов вида (1.1) с плотностью, удовлетворяющей на отрезке $[-1,1]$ условию Липшица порядка $\alpha$, $\alpha \in (0,1]$. Отдельной задачей для обоих методов было изучение рациональных приближений в случае, когда плотность сингулярных интегралов вида (1.1) имеет на отрезке $[-1,1]$ степенную особенность. Были рассмотрены два принципиально различных подхода. Первый из них предполагает ограничения на количество геометрически различных полюсов у аппроксимирующих функций. Второй подход предполагает, что параметры аппроксимирующих функций представляют собой некоторые модификации “ньюменовских” параметров. В обоих рассмотренных случаях установлены оценки поточечных приближений, равномерных приближений с определенной мажорантой, ее асимптотическое выражение и оптимальные значения параметров, при которых мажоранта имеет наибольшую скорость убывания. Следствием полученных результатов являются оценки приближений сингулярных интегралов вида (1.1) с плотностью, имеющей на отрезке $[-1,1]$ степенную особенность, полиномиальными аналогами обоих интегральных операторов. Из проведенных исследований можно заключить, что классы сингулярных интегралов вида (1.1) с плотностью, имеющей на отрезке $[-1,1]$ степенную особенность, отражают особенности рациональной аппроксимации изучаемыми интегральными операторами в том смысле, что они при определенных значениях параметров аппроксимирующих функций обеспечивают приближения более высоких порядков в сравнении со своими полиномиальными аналогами. Интересно отметить, что оценки наилучших равномерных приближений функции $\widehat{f}_s(x)$ на отрезке $[-1,1]$ изучаемыми методами асимптотически равны. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PotRov24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|