| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Двусторонняя оценка производной суммы ряда по синусам с выпуклой последовательностью коэффициентов А. Ю. Поповab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10032e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ статье рассматриваются ряды по синусам последовательности коэффициентов которых $b=\{b_k \}_{k \in \mathbb{N}}$ монотонно стремятся к нулю:
$$
\begin{equation}
b_1>0, \qquad b_{k+1} \leqslant b_k \quad \forall\, k \in \mathbb{N}, \qquad \lim_{k \to \infty } b_k=0.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Множество всех последовательностей, удовлетворяющих условию (1.2), обозначим $\mathfrak{M}$. Положим $\Delta b_k=b_k-b_{k+1}$. Последовательность $b=\{b_k \}_{k \in \mathbb{N}}$, для которой справедливо включение $\{\Delta b_k \}_{k \in \mathbb{N}} \in \mathfrak{M} $, называется выпуклой. Подкласс $\mathfrak{M}$, состоящий из всех выпуклых последовательностей, обозначим $\mathfrak{M}_1$. Любой ряд (1.1) с коэффициентами из $\mathfrak{M}$ сходится при всех $x \in \mathbb{R}$, а его сумма непрерывна на интервале $(0,2\pi)$ (см. [1; гл. 1, § 30]). В то же время существуют ряды (1.1) с монотонными коэффициентами, суммы которых не имеют производной ни в одной точке (см. [1; гл. 10, § 8]). Если же $b \in \mathfrak{M}_1$, то $g(b; \cdot ) \in C^1 (0, 2\pi)$ (хотя ряд (1.1) может и не допускать почленного дифференцирования) (см. [1; гл. 10, § 8]). Оценкам суммы ряда (1.1) было посвящено немало работ (см. например [2]–[9]). Приведем несколько результатов по этой тематике. Сразу отметим, что если $b \in \mathfrak{M}_1$, то $g (b; x)>0$ при любом $x \in (0, \pi) $ (это видно из формулы (7.4) из § 7, гл. 10 монографии [1]). Обозначим $m(x)=[\pi/x]$, $ 0<x \leqslant \pi$. Р. Салем в [2] (более подробное изложение имеется в [3]) дал двустороннюю оценку суммы ряда (1.1) с коэффициентами, удовлетворяющими условию вогнутости $1/b_k$ и неубывания $kb_k$ через введенную им функцию которую назовем мажорантой Салема. Для произвольной последовательности $b \in \mathfrak{M}_1$ порядковое соотношение
$$
\begin{equation}
g(b; x) \asymp v (b; x),\qquad x \to 0+, \quad \forall\, b \in \mathfrak{M}_1
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
было доказано С. Изуми в [4], а С. А. Теляковский в [5] установил, что константы в (1.4) абсолютны. Дальнейшие уточнения соотношения (1.4) имеются в работах [6]–[9]. В частности, в [6] было доказано двойное неравенство
$$
\begin{equation}
-\frac{b_1}{2} \operatorname{tg}\biggl(\frac{x}{4}\biggr) \leqslant g (b; x)<2\sin \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \sum_{k=1}^{m(x)} k b_k \quad \forall\, x \in (0, \pi], \quad \forall\, b \in \mathfrak{M}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Что касается производной функции $g(b; x)$, то автору не известны публикации, в которых выводились бы (для произвольной последовательности $b \in \mathfrak{M}_1$) оценки $g' (b; x)$, содержащие зависимость от последовательности $b$. В [1; гл. 10, § 7] выведена асимптотическая оценка, не учитывающая специфики последовательности $b$:
$$
\begin{equation}
g'(b; x)=o (x^{-2}), \qquad x \to 0+, \quad \forall\, b \in \mathfrak{M}_1.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Эта оценка выведена в [1] внутри доказательства другого факта и оформлена как равенство нулю производной функции $x^2 g (b;x)$ в точке $x=0$, что в связи с асимптотической оценкой $g (b;x)=o (x^{-1})$, $x \to 0$ ($\forall\, b \in \mathfrak{M}$), равносильно (1.6). Отметим работу С. А. Теляковского [10; теорема 3], в которой найдена двусторонняя оценка производной суммы ряда $ \sum_{k=1}^\infty a_k \cos kx$ в предположении, что $\lim_{k \to \infty} a_k=0$, а последовательность $\{k a_k \}_{k \in \mathbb{N} }$ вогнута. В настоящей работе получены двусторонние оценки производной суммы ряда (1.1) с выпуклой последовательностью коэффициентов. § 2. Основные результатыДля оценки производной суммы ряда (1.1) мы собираемся использовать аналог мажоранты Салема
$$
\begin{equation}
V(b; x)=\sum_{k=1}^{m(x)} kb_k \equiv x^{-1} v(b; x).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Следующая теорема показывает, что $g'(b; x)$ разумно сравнивать с функцией (2.1). Теорема 1. Пусть последовательность $b=\{b_k\}_{k \in \mathbb{N}} \in \mathfrak{M}$ удовлетворяет условию Тогда ряд (1.1) допускает почленное дифференцирование, $g(b; \cdot) \in C^1 (0, 2\pi)$, и справедливо предельное соотношение Замечание 1. Ввиду быстрого стремления к нулю последовательности $b$ ее выпуклость для доказательства включения $g(b; \cdot ) \in C^1 (0, 2\pi) $ не нужна. Из доказательства теоремы 1 будет видно, что непрерывную дифференцируемость суммы ряда (1.1) на интервале $(0, 2\pi)$ гарантируют, например, условия Замечание 2. В [6] было отмечено, что из результатов работы [5] следует равенство справедливое для любой последовательности $b \in \mathfrak{M}$, удовлетворяющей условию (2.2). Теорема 1 дополняет это утверждение. Если от весьма узкого класса быстро стремящихся к нулю последовательностей $b$, рассмотренного в теореме 1, перейти ко всем последовательностям $b \in \mathfrak{M}_1$, то получить для $g'(b; x)$ аналог порядкового соотношения (1.4), не выделяя какие-либо специальные подклассы $\mathfrak{M}_1$, вряд ли возможно. Известная асимптотика (см. [11; гл. 5, § 1], [12])
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^\infty k^{-a} \sin (kx)=\Gamma (1-a) \cos \biggl(\frac{\pi a}{2} \biggr) x^{a-1}+O(x), \qquad x \to 0+, \quad 0<a<2,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
показывает, что сумма синус-ряда с выпуклыми коэффициентами в зависимости от скорости стремления к нулю последовательности коэффициентов может быть как убывающей (при $0<a<1$), так и возрастающей (при $1<a<2$) в некоторой правой полуокрестности нуля. Более того, существуют синус-ряды с выпуклыми коэффициентами, производные сумм которых бесконечно много раз меняют знак в любой правой полуокрестности нуля. Такой ряд $G(x)=\sum_{k=1}^\infty \Phi(k)\sin(kx)$, обладающий многими нетривиальными свойствами, был построен автором в [6]. В частности, функция $\Phi$, значения которой в натуральных точках – коэффициенты ряда, является преобразованием Лапласа неотрицательной интегрируемой на $(0,1)$ функции $f$. Это дает соотношения $\operatorname {sgn} \Phi^{(\nu)}(t)=(-1)^\nu$ ($\forall\, t \in \mathbb R$, $\forall\, \nu \in \mathbb N$) и влечет за собой не только дифференцируемость $G$ на $(0, 2\pi)$ бесконечное число раз, но даже аналитическую продолжаемость в полосу $\{z\in \mathbb{C} \mid 0<\operatorname{Re} z<2 \pi\}$. Там же в [6] были найдены асимптотики $G$ в двух стремящихся к нулю специальных последовательностях точек, построенных, исходя из поведения функции $f$. Из этих асимптотик следуют равенства
$$
\begin{equation*}
\varliminf_{x \to 0+} G(x)=0, \qquad \varlimsup_{x \to 0+} G(x)=+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
которые стразу же доказывают смену знака $G'(x)$ бесконечно много раз в любой правой полуокрестности нуля. Поэтому на всем классе $\mathfrak{M}_1$ ограничимся оценкой сверху $|g'(b; x)|$. Основным результатом статьи является неравенство
$$
\begin{equation}
|g'(b; x)| \leqslant \sum_{k=1}^{m(x)} k b_k, \qquad x \in \biggl(0,\frac {\pi}{18}\biggr], \quad \forall\, b \in \mathfrak M_1.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Более детальную картину дает следующая теорема. Теорема 2. Какова бы ни была последовательность $b \in \mathfrak{M}_1$, для производной суммы ряда (1.1) верны оценки Замечание 3. Для любой числовой последовательности $\{b_k\}$ и для любого $m \in \mathbb{N}$ выполняется равенство Отсюда заключаем, что из (2.7) сразу же следует оценка Замечание 4. Оцениваемая производная синус-ряда есть сумма косинус-ряда вообще говоря, расходящегося, но суммируемого к производной методом $(C,1)$ (этот факт в работе не используется). Автору не известны оценки $(C,1)$-сумм расходящихся рядов (2.12). При условии сходимости ряда $\sum_{k=1}^\infty b_k$ оценка Замечание 5. Хотя оценки (2.6) и (2.8) верны при всех $x \in (0, \pi]$, их предпочтительнее применять для значений $x$, отделенных от нуля. Обсудим вопрос о точности полученных оценок. Положим Доказательство. В силу (2.11) имеем $\varlimsup_{x \to 0+}(g'(b; x) / V(b; x) ) \leqslant 1$ ($\forall\, b \in \mathfrak{M}_1$). Отсюда следует неравенство $c_+\leqslant 1$. В то же время в теореме 1 выделен подкласс выпуклых последовательностей $b$, для которых справедливо равенство $ \lim_{x \to 0+} (g'(b; x) / V(b; x) )=1$. Это дает противоположное неравенство $c_+\geqslant 1$. Следовательно, $c_+=1$, что и требовалось доказать.
Значение постоянной $c_-$ автору не известно. Из (2.9) видно, что $c_- \geqslant -1$. Однако при достаточно малых положительных $x$ оценка (2.9) может быть улучшена. Отсюда видно, что $c_- \geqslant -\cos (\pi / 8)$. Анализ доказательства теоремы 3 показывает, что и этот результат допускает усиление, но в рамках применяемых методов сколько-нибудь значительно снизить постоянную $\cos (\pi /8)$ в неравенстве (2.13) не удается. С другой стороны, изучение поведения суммы ряда в (2.4) дает неравенство $c_-<-0,205$. Действительно, согласно доказанному в [12] разность
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^\infty k^{-a} \sin (kx)-\Gamma (1-a) \cos \biggl(\frac{\pi a}{2} \biggr) x^{a-1},
\end{equation*}
\notag
$$
будучи рассмотрена на интервале $0<x<2\pi$, на самом деле является сужением на этот интервал функции, голоморфной в полосе $|\operatorname{Re}z|< 2\pi $ комплексной плоскости. Поэтому асимптотика (2.4) допускает дифференцирование:
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} \biggl(\sum_{k=1}^\infty k^{-a} \sin (kx) \biggr)=- \Gamma (2-a) \cos \biggl(\frac{\pi a}{2} \biggr) x^{a-2}+O(1), \qquad x\to 0+.
\end{equation*}
\notag
$$
И если взять последовательность $\widehat{b}=\{k^{-a_0}\}_{k \in \mathbb{N} }$, где $a_0$ – точка максимума функции $\varphi(a)=\pi^{a-2} \Gamma (3-a) \cos (\pi a /2)$ на отрезке $0 \leqslant a \leqslant 1$, то будет верным равенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{x \to 0+} \frac{g'(\widehat{b}; x ) }{V(\widehat{b}; x)}=- \varphi(a_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Проделав соответствующие выкладки, получим, что $0,1<a_0<0,11$, а постоянная $\varphi(a_0)$ чуть больше $0,205$. Тем самым можно сделать вывод, что оценка производной сверху асимптотически неулучшаема, а оценка снизу точна лишь по порядку на всем классе $\mathfrak M_1$. Приведем еще одно следствие из теоремы 2, уточняющее асимптотическую оценку (1.6) в случае, когда последовательность $b$ стремится к нулю “не слишком быстро” и обладает дополнительной регулярностью поведения. Следствие 2. Если $b=\{b_k\}_{k \in \mathbb{N} } \in \mathfrak{M}_1$ и последовательность $\{kb_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ не убывает, то при любом $x \in (0, \pi/18]$ справедливо неравенство а вариация функции $g(b; x)$ на отрезке $\pi /(m+1) \leqslant x \leqslant \pi /m$ меньше $\pi b_{m(x)}$ при любом $m \in \mathbb{N}$, $m \geqslant 18$. Доказательство. По условию $kb_k$ не убывает. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^m kb_k \leqslant m \max_{1 \leqslant k \leqslant m} (kb_k)=m^2 b_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.5) находим
Неравенство (2.14) доказано. Далее воспользуемся тем, что вариация функции, имеющей на отрезке непрерывную производную, не превосходит максимума модуля производной, умноженного на длину отрезка. Как мы отметили выше, модуль производной на отрезке $[ \pi / (m+1), \pi /m ]$ не превосходит $m^2 b_m$, а длина отрезка равна $\pi / (m(m+1))<\pi m^{-2}$. Отсюда и следует требуемая оценка сверху вариации. Добавим к сказанному, что неравенство $ |g'(b; x)| \leqslant \sum_{k=1}^m kb_k$ выведено при $x \in (\pi / (m+1), \pi /m]$, но в силу непрерывности производной эта оценка выполняется и в точке $x=\pi / (m+1)$. Следствие полностью доказано. Скажем несколько слов о структуре работы. В § 3 доказана теорема 1. В § 4 выведено удобное для дальнейших оценок представление производной остатка суммы ряда с выпуклыми коэффициентами. Такого рода представление производной всей суммы ряда имеется в [1; гл. 10, § 7]. С его помощью мы докажем “предварительные” оценки (2.6) и (2.8). Для доказательства основных оценок (2.7) и (2.9) теоремы 2 потребуется аналогичное представление производной остатка ряда с произвольным номером. На основании полученного представления в § 5 выведена оценка сверху $g'(b; x)$ на полуинтервале $(0, \pi /2]$, а в § 6 – оценка снизу $g'(b; x)$ на полуинтервале $(0, \pi /18]$ для любой последовательности коэффициентов $b \in \mathfrak{M}_1$. В § 7 доказана теорема 3. § 3. Доказательство теоремы 1Вначале покажем, что ряд (1.1) допускает почленное дифференцирование, если $ \sum_{k=1}^\infty b_k<+\infty$. Более того, при этом условии почленно продифференцированный ряд равномерно сходится на отрезках вида $[ \delta, 2\pi-\delta ]$ ($\forall\, \delta \in (0, \pi)$). Предварительно заметим, что условие $\{b_k\} \in \mathfrak{M}$ вместе со сходимостью ряда $ \sum_{k=1}^\infty b_k$ влечет за собой, во-первых, стремление к нулю $k b_k $, а во-вторых, абсолютную сходимость ряда $ \sum_{k=1}^\infty (k b_k-(k+1)b_{k+1} )$. Первый факт общеизвестен. Второй выводится из соотношений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag | k b_k-(k+1) b_{k+1} | &=| k(b_k-b_{k+1})-b_{k+1} | \leqslant k | b_k-b_{k+1}|+| b_{k+1}| \\ &=k(b_k-b_{k+1} )+b_{k+1}=(kb_k-(k+1) b_{k+1} )+2b_{k+1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Отсюда ввиду сходимости ряда $ \sum_{k=1}^\infty (k b_k-(k+1)b_{k+1} )$ получаем ограниченность частичных сумм ряда $ \sum_{k=1}^\infty | k b_k-(k+1)b_{k+1} |$ и вследствие неотрицательности слагаемых его сходимость. Из (3.1) следует также оценка остатка ряда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{k=N}^\infty | k b_k-(k+1) b_{k+1} | &\leqslant \sum_{k=N}^\infty (k b_k-(k+1) b_{k+1} ) +2 \sum_{k=N}^\infty b_{k+1} \nonumber \\ &=N b_N+2\sum_{k=N+1}^\infty b_k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для доказательства тождества
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \biggl(\sum_{k=1}^\infty b_k \sin(kx) \biggr)=\sum_{k=1}^\infty kb_k \cos (kx), \qquad 0<x<2\pi,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
достаточно проверить равномерную сходимость ряда в правой части (3.3) на любом отрезке вида $[ \delta, 2\pi -\delta ]$, $0< \delta<\pi$. Ввиду стремления к нулю $kb_k$ корректным является преобразование Абеля произвольного остатка ряда
$$
\begin{equation}
\sum_{k=N}^\infty kb_k \cos (kx)=- Nb_N D_{N-1}(x)+\sum_{k=N}^\infty (kb_k-(k+1)b_{k+1} ) D_k (x),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
D_k(x)=\frac{1}{2}+\sum_{\nu=1 }^k \cos(\nu x )=\frac{\sin ((k+1/2)x)}{2\sin (x/2)}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Из (3.2), (3.4), (3.5) выводим следующую оценку остатка ряда:
$$
\begin{equation}
\biggl| \sum_{k=N}^\infty kb_k \cos(kx) \biggr| \leqslant \operatorname{cosec} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \biggl(N b_N+\sum_{k=N+1}^\infty b_k \biggr) \quad \forall\, x \in (0, 2\pi ), \quad \forall\, N \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Отсюда сразу же получаем требуемую равномерную сходимость. Перейдем к доказательству равенства (2.3). Если $ \sum_{k=1}^\infty kb_k<+\infty$, то $g \in C^1 (\mathbb{R} )$ и справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\lim_{x \to 0} g'(b; x)=g'(b; 0)=\sum_{k=1}^\infty k b_k=\lim_{x \to 0+} V (b; x).
\end{equation*}
\notag
$$
А коль скоро функции $g'(b; x)$ и $V(b; x)$ при $x \to 0+$ имеют одинаковый, не равный нулю предел, то предел их отношения равен 1, что и требовалось доказать. Рассмотрим второй случай
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^\infty k b_k=+\infty \quad \Longrightarrow \quad \lim_{x \to 0+} V(b; x)=+\infty.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
В этом случае для доказательства равенства (2.3) достаточно вывести равномерную ограниченность на $(0; \pi]$ разности где
$$
\begin{equation}
R_1 (x)=\sum_{k=1}^{m(x)} kb_k (\cos (kx) -1 ), \qquad R_2(x)=\sum_{k=m(x)+1}^\infty kb_k \cos (kx).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
По условию теоремы $b_k=O(k^{-2})$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, m(x) b_{m(x)}=O \biggl(\frac{1}{m(x)} \biggr)=O(x), \\ \sum_{k=m(x)}^\infty b_k=O\biggl(\sum_{k=m(x)}^\infty \frac{1}{k^2} \biggr)=O \biggl(\frac{1}{m(x)}\biggr)=O(x). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.6) находим
$$
\begin{equation}
R_2(x)=O \biggl(x \operatorname{cosec} \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \biggr)=O(1), \qquad x \in (0, \pi].
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Поскольку $|\cos t-1| \leqslant t^2 /2$ ($\forall\, t \in \mathbb{R}$), то
$$
\begin{equation}
|R_1 (x) | \leqslant \frac{x^2}{2} \sum_{k=1}^{m(x)} k^3 b_k=O \biggl(x^2 \sum_{k=1}^{m(x)} k\biggr)=O(x^2 m^2 (x))=O(1).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
а это и требовалось доказать в случае (3.7). Теорема 1 полностью доказана. § 4. Представление производной остатка ряда по синусам с выпуклыми коэффициентами. Предварительные оценки производной и некоторые вспомогательные утвержденияВ [1; гл. 10, § 7] выведено следующее представление производной синус-ряда с выпуклыми коэффициентами:
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \biggl(4\sin^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr) g(b; x)\biggr)=\sum_{k=1}^\infty (k+1)\Delta^2 b_k (\cos x-\cos ((k+1)x ) ).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Здесь и далее мы полагаем
$$
\begin{equation*}
\Delta b_k=b_k-b_{k+1}, \qquad \Delta^2 b_k=\Delta b_k-\Delta b_{k+1}=b_k-2b_{k+1}+b_{k+2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Структура ряда (4.1) весьма удобна для оценок вследствие справедливости соотношений
$$
\begin{equation}
\Delta^2 b_k \geqslant 0 \quad \forall\, k \in \mathbb{N}, \quad \forall\, b \in \mathfrak{M}_1,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=N}^\infty (k+1) \Delta^2 b_k=b_N+N\Delta b_N \quad \forall\, N \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Представление (4.1) вместе с соотношениями (4.2), (4.3) (положив в (4.3) $N=1$, получим равенство $ \sum_{k=1}^\infty (k+1) \Delta^2 b_k=2b_1-b_2$ ) позволяет сразу же вывести неравенства (2.6) и (2.8). Действительно, имеем
$$
\begin{equation}
\nonumber \sum_{k=1}^\infty (k+1) \Delta^2 b_k (\cos x-\cos ((k+1) x ) )
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\leqslant (1+\cos x ) \sum_{k=1}^\infty (k+1) \Delta^2 b_k=4\cos^2 \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \biggl(b_1-\frac{b_2}{2} \biggr),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \sum_{k=1}^\infty (k+1) \Delta^2 b_k (\cos x-\cos ((k+1) x ) )
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \geqslant (\cos x -1 ) \sum_{k=1}^\infty (k+1) \Delta^2 b_k=-4\sin^2 \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \biggl(b_1-\frac{b_2}{2} \biggr).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Ввиду очевидного тождества
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} \biggl(4\sin^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr) g(b; x)\biggr)=4\sin^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr) g'(b; x)+4\sin\biggl(\frac{x}{2} \biggr) \cos \biggl(\frac{x}{2} \biggr) g(b; x)
\end{equation*}
\notag
$$
представление (4.1) после деления обеих его частей на $ 4\sin^2 (x/2)$ переписывается в следующей равносильной форме:
$$
\begin{equation}
g'(b; x)+\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) g(b; x)=\frac{1}{4\sin^2 (x/2)} \sum_{k=1}^\infty (k+1) \Delta^2 b_k(\cos x-\cos ( (k+1) x )).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Из (4.4), (4.6) следует оценка сверху
$$
\begin{equation}
g'(b; x)+\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) g(b; x) \leqslant \operatorname{ctg}^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \biggl(b_1-\frac{b_2}{2}\biggr) \quad \forall\, x \in (0, \pi],
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
а из (4.5), (4.6) следует оценка снизу
$$
\begin{equation}
g'(b; x)+\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) g(b; x) \geqslant-\biggl(b_1-\frac{b_2}{2}\biggr) \quad \forall\, x \in (0, \pi].
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Из (4.7), учитывая положительность суммы синус-ряда с выпуклыми коэффициентами на интервале $(0, \pi)$, сразу же получаем (2.6). Для вывода оценки снизу (2.8) достаточно переписать соотношение (4.8) в виде
$$
\begin{equation*}
g'(b; x) \geqslant-\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) g(b; x)-\biggl(b_1-\frac{b_2}{2}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и применить оценку сверху (1.5) функции $g(b; x)$. Для вывода оценок производной (2.7), (2.9) потребуется аналогичное (4.6) представление производной остатка синус-ряда с выпуклой последовательностью коэффициентов $b=\{b_k\}$. Положим
$$
\begin{equation}
U_N (b; x)=\sum_{k=N}^\infty (k+1)\Delta^2 b_k (\cos (Nx)-\cos ((k+1) x ) ).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Лемма 1. Производная остатка (4.9) произвольного синус-ряда с коэффициентами из $\mathfrak{M}_1$ допускает на интервале $(0,2\pi)$ следующее представление: Доказательство. Обозначим
$$
\begin{equation}
\widetilde{D}_k(x)=\sum_{\nu=1}^k \sin (\nu x)=\frac{\cos (x/2)-\cos ((k+1/2)x )}{2\sin (x/2)}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
и осуществим преобразование Абеля остатка ряда (4.9):
$$
\begin{equation}
R_N (b; x)=- b_N \widetilde{D}_{N-1} (x)+\sum_{k=N}^\infty \Delta b_k \widetilde{D}_k (x).
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Умножив обе части тождества (4.13) на $4 \sin^2 (x/2)$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &4 \sin^2 \biggl(\frac{x}{2} \biggr) R_N (b; x)=b_N \biggl(\cos \biggl(\biggl(N-\frac{1}{2} \biggr)x \biggr) -\cos \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \biggr) 2\sin \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \\ \notag &\qquad\qquad +\sum_{k=N}^\infty \Delta b_k \biggl(\cos \biggl(\frac{x}{2} \biggr)-\cos \biggl(\biggl(k+\frac{1}{2} \biggr) x \biggr) \biggr) 2\sin \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \\ \notag &\qquad =2 b_N \sin \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \cos \biggl(\biggl(N-\frac{1}{2} \biggr) x \biggr)-b_N \sin x+\biggl(\sum_{k=N}^\infty \Delta b_k \biggr) \sin x \\ \notag &\qquad\qquad -\sum_{k=N}^\infty 2\Delta b_k \sin \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \cos \biggl(\biggl(k+\frac{1}{2} \biggr) x \biggr) \\ &\qquad =b_N (\sin (Nx)-\sin ((N-1 ) x ) )-\sum_{k=N}^\infty \Delta b_k (\sin ((k+1) x ) -\sin (kx) ). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Преобразуем последний ряд:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{k=N}^\infty \Delta b_k (\sin ((k+1 )x)-\sin (kx) ) \nonumber \\ &\qquad=- \Delta b_N \sin (Nx)+\sum_{k=N}^\infty \Delta^2 b_k \sin ((k+1) x ). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Из (4.14), (4.15) находим
Если ряд $ \sum_{k=N}^\infty \Delta^2 b_k \sin ((k+1) x) $, сходящийся на $\mathbb{R}$ абсолютно и равномерно ввиду выпуклости последовательности $\{b_k\}$, продифференцировать почленно, то получится ряд также абсолютно и равномерно сходящийся на $\mathbb{R}$ (см. (4.2), (4.3)). Отсюда следует справедливость равенства
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \biggl(\sum_{k=N}^\infty \Delta^2 b_k \sin ((k+1) x ) \biggr)=\sum_{k=N}^\infty (k+1)\Delta^2 b_k \cos ((k+1) x).
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Продифференцируем обе части равенства (4.16), воспользовавшись (4.17):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &4\sin^2 \biggl(\frac{x}{2} \biggr) R_N' (b; x)+4\sin \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \cos \biggl(\frac{x}{2} \biggr) R_N (b; x) \\ \notag &\qquad =N (b_N+\Delta b_N ) \cos (Nx)-(N-1) b_N \cos ((N-1) x ) \\ \notag &\qquad\qquad -\sum_{k=N}^\infty (k+1)\Delta^2 b_k \cos ((k+1) x ) \\ \notag &\qquad =(N-1) b_N (\cos (Nx)-\cos ((N-1) x ) )+(b_N+N \Delta b_N ) \cos (Nx) \\ \notag &\qquad\qquad - \sum_{k=N}^\infty (k+1) \Delta^2 b_k \cos ((k+1) x ) \\ \notag &\qquad =- 2(N-1) b_N \sin \biggl(\biggl(N-\frac{1}{2}\biggr) x\biggr) \sin \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \\ &\qquad\qquad +\sum_{k=N}^\infty (k+1) \Delta^2 b_k ( \cos(Nx)-\cos ((k+1) x ) ). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
В последнем переходе применено соотношение (4.3). Разделив (4.18) на $4\sin^2 (x/2)$, получим (4.11).
Лемма доказана. Докажем две леммы о двусторонних оценках сумм рядов (4.9), (4.10). Лемма 2. При любых $N \in \mathbb{N}$, $x \in (0, 2\pi)$ верны оценки какова бы ни была последовательность $b=\{b_k\}_{k \in N} \in \mathfrak{M}_1$. Доказательство. Справедлива очевидная двусторонняя оценка
$$
\begin{equation}
- \Delta b_N=- \sum_{k=N}^\infty \Delta^2 b_k \leqslant \sum_{k=N}^\infty \Delta^2 b_k \sin ((k+1)x) \leqslant \sum_{k=N}^\infty \Delta^2 b_k=\Delta b_N.
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Из (4.16), (4.21) находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 4\sin^2 \biggl(\frac{x}{2} \biggr) R_N (b; x) &=b_N (\sin (Nx)-\sin ((N-1) x ) )+\Delta b_N \sin (Nx) \\ \notag &\qquad -\sum_{k=N}^\infty \Delta^2 b_k \sin ((k+1) x) \\ & \leqslant 2 b_N \sin \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \cos \biggl(\biggl(N-\frac{1}{2} \biggr) x \biggr)+\Delta b_N \sin (Nx)+\Delta b_N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Разделив (4.22) на $4 \sin^2 (x/2)$, получим (4.19). Неравенство (4.20) выводится из (4.16) и (4.21) совершенно аналогично.
Лемма доказана. Лемма 3. При любых $N \in \mathbb{N}$, $x \in \mathbb{R}$ верна двусторонняя оценка какова бы ни была последовательность $b=\{b_k\}_{k \in N} \in \mathfrak{M}_1$. Доказательство. Из очевидной двусторонней оценки
$$
\begin{equation*}
\cos (Nx)-1 \leqslant \cos (Nx)-\cos ((k+1) x ) \leqslant 1+\cos (Nx),
\end{equation*}
\notag
$$
верной при любых $N,x,k \in \mathbb{R}$, и неотрицательности вторых разностей $\Delta^2 b_k$ находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (k+1) \Delta^2 b_k (\cos (Nx) -1 ) &\leqslant (k+1) \Delta^2 b_k (\cos (Nx)-\cos ((k+1) x) ) \\ & \leqslant(k+1) \Delta^2 b_k (\cos(Nx )+1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Просуммировав двойные неравенства (4.24) по всем целым $k$ от $N$ до $\infty$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (\cos(Nx)-1 ) \sum_{k=N}^\infty (k+1) \Delta^2 b_k &\leqslant \sum_{k=N}^\infty (k+1) \Delta^2 b_k (\cos (Nx)-\cos ((k+1) x ) ) \\ & \leqslant (1+\cos (Nx) ) \sum_{k=N}^\infty (k+1)\Delta^2 b_k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Из (4.25) и (4.3) с учетом обозначения (4.10) сразу же следует (4.23).
Лемма доказана. В случае, когда значение $\cos (Nx)$ “близко” к $-1$, оценка снизу (4.23) может оказаться грубой. Поскольку ниже встретится именно такая ситуация, то выведем более точную оценку снизу $U_N (b;x)$ специально для данного случая. Лемма 4. Пусть $x\in \mathbb R$, $N, N_1 \in \mathbb N$ и выполняется равенство Тогда, какова бы ни была последовательность $b=\{b_k\}_{k\in\mathbb N}\in\mathfrak M_1$, сумма $U_N(b;x)$ допускает следующую оценку снизу: Доказательство. Ввиду (4.26) имеем
Имеем также
$$
\begin{equation}
\cos(Nx)-\cos((k+1)x) \geqslant \cos(Nx)-1 \quad \forall\, k\geqslant N_1.
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Умножив неравенства (4.28), (4.29) на $(k+1)\Delta^2 b_k\geqslant 0$ и сложив их, получим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U_N(b;x) &\geqslant (\cos(Nx)- \cos(N_1x)) \sum_{k=N}^{N_1-1}(k+1)\Delta^2b_k \nonumber \\ &\qquad+(\cos(Nx)-1)\sum_{k=N_1}^{\infty}(k+1)\Delta^2b_k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Вычислив суммы в (4.30) по формуле (4.3), придем к неравенству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &U_N(b;x) \geqslant (\cos(Nx)- \cos(N_1x)) (b_N+N \Delta b_N -b_{N_1}-N_1 \Delta b_{N_1}) \\ &\quad\qquad+(\cos(Nx)-1)(b_{N_1}+N_1\Delta b_{N_1}) \\ &\quad=b_N(\cos(Nx)-1)+(b_N-b_{N_1})(1-\cos(N_1x))+N \Delta b_N(\cos(Nx)-\cos(N_1x)) \\ &\quad\qquad+N_1 \Delta b_{N_1} (\cos(N_1x)-1) \\ &\quad=b_N(\cos(Nx)-1)+N \Delta b_N(\cos(Nx)-\cos(N_1x))+N \Delta b_{N_1} (\cos(N_1x)-1) \\ &\quad\qquad +(b_N-b_{N_1}-(N_1-N)\Delta b_{N_1}) (1-\cos(N_1x)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда видно, что для вывода оценки (4.27) осталось проверить неотрицательность величины
$$
\begin{equation*}
b_N-b_{N_1}-(N_1-N)\Delta b_{N_1}=\sum_{k=N}^{N_1-1}\Delta b_k-(N_1-N)\Delta b_{N_1}=\sum_{k=N}^{N_1-1}(\Delta b_k-\Delta b_{N_1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Последняя сумма неотрицательна ввиду включения $\{\Delta b_k\}\in\mathfrak{M}$, верного для любой последовательности $\{b_k\}\in\mathfrak{M_1}$. Лемма доказана. Возьмем произвольное натуральное число $n$ и рассмотрим сумму Лемма 5. На интервале $(0,2\pi) $ справедливо тождество а при $ x \in [ {\pi}/(n+1),{\pi}/{n} ]$ верна оценка снизу Доказательство. Согласно обозначениям (3.5) и (4.12) имеем
$$
\begin{equation}
C_n (x)=(n+1) \sum_{k=1}^n k \cos (kx)-\sum_{k=1}^n k^2 \cos (kx)=(n+1) \widetilde{D}_n' (x)+D_n''(x).
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
Вычислим первую производную сопряженных ядер Дирихле (4.12) и вторую производную ядер Дирихле (3.5):
$$
\begin{equation}
\widetilde{D}_n' (x) =\biggl(\frac{\cos(x/2)- \cos ((n+1/2) x)}{2\sin (x/2)} \biggr)'=\frac{n\sin ((n+1/2) x)}{2\sin (x/2) }+\frac{\cos (nx)-1}{4 \sin^2 (x/2)},
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
Из (4.34)–(4.36) выводим требуемое тождество:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 4\sin^2 \biggl(\frac{x}{2} \biggr) C_n(x) &=(n+1) (\cos (nx) -1 ) \\ &\qquad+((n+1) \sin (nx)-n \sin ((n+1)x) ) \operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \\ &=\operatorname{ctg}\biggl(\frac{x}{2}\biggr) \sin ((n+1) x)-(n+1) (1+\cos ((n+1)x) ). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем неравенство (4.33). Поскольку выражение $k(n+1-k)$ не меняется при замене $k$ на $n+1-k$, то помимо (4.31) для тригонометрического полинома $C_n$ справедливо представление Сложив равенства (4.31) и (4.37), находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2C_n (x) &=\sum_{k=1}^n k(n+1-k) (\cos(kx)+\cos ((n+1-k)x) ) \\ & =2\sum_{k=1}^n k(n+1-k) \cos \biggl(\frac{n+1}{2} x\biggr) \cos \biggl(\frac{n+1-2k}{2} x\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее заметим, что
$$
\begin{equation*}
\cos \biggl(\frac{n+1}{2} x\biggr) \leqslant 0 \quad \text{при }\ x \in \biggl[\frac{\pi}{n+1}, \frac{\pi}{n}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому неравенство Коши–Буняковского–Шварца дает оценку снизу
$$
\begin{equation}
C_n(x) \geqslant \cos \biggl(\frac{n+1}{2}x\biggr) \sqrt{\sum_{k=1}^n k^2 (n+1-k)^2 } \sqrt{\sum_{k=1}^n \cos^2 \biggl( \frac{n+1-2k}{2} x\biggr)}.
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
Известные выражения для сумм двух, трех и четырех степеней натуральных чисел
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1) (2n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2 (n+1)^2}{4}, \\ \sum_{k=1}^n k^4=\frac{n(n+1)(2n+1) (3n^2+3n -1)}{30} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
влекут за собой равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^2 (n+1-k)^2=\frac{n(n+1)(n+2)(n^2+2n+2)}{30}.
\end{equation}
\tag{4.39}
$$
Имеем также
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{k=1}^n \cos^2 \biggl(\frac{n+1-2k}{2} x \biggr) &=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (1+\cos ((n+1-2k) x) ) \\ &=\frac{n}{2}+\frac{1}{4\sin x} \sum_{k=1}^n 2\sin x \cos ((n+1-2k)x ) \\ &=\frac{n}{2}+\frac{1}{4 \sin x} \sum_{k=1}^n (\sin ((n+2-2k) x )-\sin ((n-2k)x )) \\ &=\frac{n}{2}+\frac{\sin (nx)}{2\sin x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А так как
$$
\begin{equation*}
0 \leqslant \sin nx \leqslant \sin x \quad \text{при }\ x \in \biggl[ \frac{\pi}{n+1}, \frac{\pi}{n}\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n \cos^2 \biggl(\frac{n+1-2k}{2} x \biggr) \leqslant \frac{n+1}{2} \quad \forall\, x \in \biggl[ \frac{\pi}{n+1}, \frac{\pi}{n}\biggr].
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
Из (4.38)–(4.40) при любом $x \in [ \pi/(n+1), \pi/n ]$ находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_n (x) &\geqslant \sqrt{\frac{n(n+1)^2 (n+2 ) (n^2+2n+2)}{60}} \cos \biggl(\frac{n+1}{2} x\biggr) \\ &=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \sqrt{\frac{3}{5} \frac{(n^2+2n+2)}{n^2+2n}} \cos \biggl(\frac{n+1}{2} x\biggr) \\ &=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \sqrt{0.6+\frac{1.2}{n^2+2n}} \cos \biggl(\frac{n+1}{2} x\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка (4.33) доказана, и доказательство леммы 5 завершено.
§ 5. Оценка сверху производной суммы синус-ряда с выпуклыми коэффициентамиВ этом параграфе выведена оценка (2.7). В силу определения величины $m(x)$ и равенства (2.10) требуется при любом $m \in \mathbb{N}$, $m \geqslant 2$, доказать неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &g'(b;x)-\sum_{k=1}^m \frac{k(k+1)}{2} \Delta b_k \nonumber \\ &\qquad=g'(b;x)+\frac{m(m+1)}{2} b_{m+1} -\sum_{k=1}^m kb_k \leqslant 0,\qquad x \in \biggl(\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
какова бы ни была последовательность $b=\{b_k \}_{k\in \mathbb{N}} \in \mathfrak{M}_1$. На самом деле неравенство (5.1) выполняется также в точке $x=\pi/(m+1) $, поэтому будем рассматривать $x\in [ \pi/(m+1), \pi/m ]$. Возьмем произвольное натуральное число $m$ и запишем сумму синус-ряда (1.1) в виде Продифференцировав представление (5.2) и выразив производную остатка ряда согласно лемме 1, получим тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag g'(b;x) &=\sum_{k=1}^m kb_k \cos (kx)-mb_{m+1} \frac{\sin((m+1/2)x)}{2\sin (x/2)} \\ &\qquad -\operatorname{ctg}\biggl(\frac{x}{2}\biggr) R_{m+1} (b;x)+\frac{U_{m+1} (b;x)}{4\sin^2 (x/2)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Вычтя из обеих частей (5.3) сумму $\sum_{k=1}^m kb_k$ и воспользовавшись для оценки сверху $U_{m+1}(b;x)$ леммой 3, а для оценки сверху $-R_{m+1} (b;x)$ леммой 2 (неравенство (4.20)), придем к неравенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag g'(b;x)-\sum_{k=1}^m kb_k &\leqslant \sum_{k=1}^m kb_k (\cos (kx) -1)-mb_{m+1} \frac{\sin((m+1/2)x)}{2\sin (x/2)} \\ \notag &\qquad-b_{m+1} \frac{\cos((m+1/2)x) \cos (x/2) }{2\sin^2 (x/2)} \\ \notag &\qquad+\Delta b_{m+1} \frac{(1-\sin ((m+1)x) )\cos (x/2)}{4\sin^3 (x/2) } \\ &\qquad +(b_{m+1}+(m+1)\Delta b_{m+1}) \frac{1+\cos ((m+1)x)}{4\sin^2 (x/2)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Оценим сверху сумму $\sum_{k=1}^m kb_k (\cos (kx)-1)$. Так как $\cos (kx)-1 \leqslant 0$, то для коэффициентов $b_k$ ряда (1.1) потребуется оценка снизу. Оценим $b_k$ при $1\leqslant k \leqslant m$ через $b_{m+1}$ и $\Delta b_{m+1}$, воспользовавшись выпуклостью последовательности $b$. В силу равенства
$$
\begin{equation*}
b_k=b_{m+1}+\sum_{\nu=k}^m \Delta b_\nu, \qquad 1 \leqslant k \leqslant m,
\end{equation*}
\notag
$$
и невозрастания разностей $\Delta b_\nu$ имеем
$$
\begin{equation}
b_k \geqslant b_{m+1}+(m+1-k ) \Delta b_m \geqslant b_{m+1}+(m+1-k) \Delta b_{m+1}, \qquad 1 \leqslant k \leqslant m.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Отсюда с учетом обозначения (4.31) следуют соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=1}^m kb_k (\cos (kx) -1) \leqslant \sum_{k=1}^m k (b_{m+1}+(m+1-k ) \Delta b_{m+1} ) ( \cos (kx) -1 ) \\ &\qquad =b_{m+1} \biggl(\sum_{k=1}^m k \cos (kx)-\sum_{k=1}^m k \biggr)+\Delta b_{m+1} \biggl(C_m(x)-\sum_{k=1}^m k (m+1-k)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Из (4.32) сразу видно, что $C_m (x) \leqslant 0$ при $x \in [ \pi/(m+1), \pi/m ]$. Отсюда и из равенств
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \sum_{k=1}^m k \cos (kx) &=\frac{d}{dx} \biggl(\sum_{k=1}^m \sin (kx) \biggr)=\biggl(\frac{\cos(x/2)-\cos((m+1/2)x)}{2\sin (x/2)} \biggr)' \\ &=\frac{m \sin ((m+1/2)x)}{2\sin (x/2)}+\frac{\cos(mx)-1}{4\sin^2 (x/2)}, \end{aligned}\nonumber \\ \sum_{k=1}^m k =\frac{m(m+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^m k(m+1-k)=\frac{m(m+1)(m+2)}{6} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
заключаем, что соотношения (5.6) влекут за собой оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sum_{k=1}^m kb_k (\cos (kx)-1 ) &\leqslant b_{m+1} \biggl(\frac{m\sin ((m+1/2)x)}{2\sin (x/2)}+\frac{\cos (mx)-1}{4\sin^2 (x/2)}- \frac{m(m+1)}{2} \biggr) \\ &\qquad- \Delta b_{m+1} \frac{m(m+1)(m+2)}{6}, \qquad x\in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Применение оценки (5.8) к первому слагаемому в правой части неравенства (5.4) приводит к следующему результату:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &g'(b;x)+\frac{m(m+1)}{2} b_{m+1}-\sum_{k=1}^m kb_k \nonumber \\ &\qquad\leqslant b_{m+1} \mathrm{P}_m (x)+\Delta b_{m+1} \mathrm{Q}_m (x),\qquad x\in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{P}_m (x) &=\frac{\cos(mx)-1}{4\sin^2 (x/2)}-\frac{\cos ((m+1/2)x) \cos (x/2)}{2\sin^2 (x/2)}+\frac{1+\cos ((m+1)x)}{4\sin^2 (x/2)}, \\ \mathrm{Q}_m (x) &=\frac{(1-\sin ((m+1)x))\cos (x/2)}{4\sin^3 (x/2)} \\ &\qquad +(m+1) \frac{1+\cos ((m+1)x)}{4\sin^2(x/2)}-\frac{m(m+1)(m+2)}{6}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться в том, что $\mathrm{P}_m (x) \equiv 0$. Таким образом, для доказательства неравенства (5.1) осталось проверить неположительность функции $\mathrm{Q}_m (x)$ на отрезке $[\pi/(m+1), \pi/m ]$ при любом $m \in \mathbb{N}$, $ m \geqslant 2$. Ввиду справедливости при $x \in [\pi/(m+1), \pi/m ]$ двойного неравенства $\pi \leqslant (m+1)x \leqslant \pi+x$, влекущего за собой соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\sin x \leqslant \sin ((m+1)x) \leqslant 0,-\sin \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \leqslant \cos \biggl(\frac{m+1}{2} x \biggr) \leqslant 0 \\ &\ \Longrightarrow\quad 1+\cos ((m+1)x)=2\cos^2 \biggl(\frac{m+1}{2}x \biggr) \leqslant 2\sin^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr), \qquad x\in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Q}_m (x) \leqslant \frac{(1+\sin x) \cos (x/2)}{4\sin^3 (x/2)}+\frac{m+1}{2}-\frac{m(m+1)(m+2)}{6}, \qquad x \in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
А так как $\operatorname{ctg} t<1/t$, $\cos t \sin^{-3} t<t^{-3}$ ($\forall\, t \in (0, \pi/2]$), то при $x\in [\pi/(m+1),\pi/m ]$ получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{Q}_m (x) &\leqslant \frac{\cos (x/2)}{4\sin^3 (x/2) }+\frac{1}{2} \operatorname{ctg}^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr)+\frac{m+1}{2}-\frac{m(m+1)(m+2)}{6} \\ &< \frac{2}{x^3}+\frac{2}{x^2 }+\frac{m+1}{2} -\frac{m(m+1)(m+2)}{6} \\ &\leqslant \frac{2(m+1)^3}{\pi^3}+\frac{2(m+1)^2 }{\pi^2}+\frac{m+1}{2}-\frac{m(m+1)(m+2)}{6}<0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство при любом $m \geqslant 3$ проверяется элементарными методами. Осталось оценить сверху функцию
$$
\begin{equation*}
Q_2(x)=\frac{(1-\sin (3x)) \cos (x/2)}{4 \sin^3 (x/2)}+3 \frac{1+\cos (3x)}{4\sin^2 (x/2)}-4
\end{equation*}
\notag
$$
на отрезке $[ \pi/3, \pi/2]$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 8Q_2 (x) \sin^4 \biggl(\frac{x}{2}\biggr) &=(1-\sin (3x)) \sin x+6 \sin^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr) (1+\cos (3x) )-32 \sin^4 \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \\ &=- 9+\sin x+13\cos x-6 \cos (2x)+3 \cos (3x)-\cos (4x) \leqslant \mathrm{T} (x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathrm{T} (x)=-8+13\cos x-6\cos(2x)+3 \cos(3x)-\cos(4x).
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо равенство $\mathrm{T} (\pi/3)=-1$. И если доказать убывание тригонометрического полинома $\mathrm{T} $ на отрезке $[ \pi/3, \pi/2]$, то отрицательность $Q_2(x)$ на этом отрезке будет доказана. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{T}'(x) &=-13\sin x+12\sin (2x)-9 \sin (3x)+4 \sin (4x) \\ & =(32\cos^3 x- 36 \cos^2x+8 \cos x-4) \sin x \\ &=4(\cos x -1) \sin x(8 \cos^2 x-\cos x+1)<0 \quad \text{при } \ x\in \biggl[\frac\pi3,\frac\pi2\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка сверху $g'(b;x) $ полностью доказана. § 6. Оценка снизу производной суммы синус-ряда с выпуклыми коэффициентами на полуинтервале $(0, \pi/18]$В этом параграфе выведена оценка (2.9). В силу определения (2.1) величины $\mathrm{V}(b;x)$ требуется при любом $m \geqslant 18$, $ m \in \mathbb{N}$, доказать неравенство
$$
\begin{equation}
g'(b;x)+\sum_{k=1}^m kb_k \geqslant 0 \quad \forall\, x\in \biggl(\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m} \biggr],
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
какова бы ни была последовательность $b=\{b_k \}_{k \in \mathbb{N}} \in \mathfrak{M}_1$. По аналогии с тем, как это было сделано в § 5, неравенство (6.1) докажем также в точке $x=\pi/(m+ 1)$. Прибавив к обеим частям (5.3) сумму $\sum_{k=1}^m kb_k$, получим представление
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag g'(b;x)+\sum_{k=1}^m kb_k &=\sum_{k=1}^m kb_k (1+\cos (kx) )-mb_{m+1} \frac{\sin ((m+1/2)x)}{2\sin(x/2)} \\ &\qquad -\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) R_{m+1} (b;x)+\frac{U_{m+1}(b;x)}{4\sin^2(x/2)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Оценим снизу первую сумму в правой части (6.2). Поскольку $1+\cos(kx)\geqslant 0$, то, воспользовавшись оценкой снизу (5.5) коэффициентов $b_k$, соотношениями (5.7) и обозначением (4.37), находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \sum_{k=1}^m kb_k (1+\cos (kx) ) \geqslant \sum_{k=1}^m k (b_{m+1}+(m+1-k)\Delta b_{m+1} ) ( 1+\cos (kx) ) \\ \notag &\qquad =b_{m+1} \biggl(\sum_{k=1}^m k+\sum_{k=1}^m k\cos (kx) \biggr) \\ \notag &\qquad\qquad +\Delta b_{m+1} \biggl(\sum_{k=1}^m k(m+1-k)+\sum_{k=1}^m k(m+1-k) \cos (kx) \biggr) \\ \notag &\qquad =b_{m+1} \biggl(\frac{m(m+1)}{2}+\frac{m\sin ((m+1/2)x)}{2\sin (x/2)} +\frac{\cos(mx)-1}{4\sin^2 (x/2)} \biggr) \\ &\qquad\qquad +\Delta b_{m+1} \biggl(\frac{m(m+1)(m+2)}{6}+C_m(x) \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Из (6.2), (6.3) и (4.33), воспользовавшись тем, что
$$
\begin{equation*}
\sqrt{0.6+\frac{1.2}{m^2+2m}} \leqslant \sqrt{0.6+\frac{1}{300}}<0.78, \qquad m\geqslant 18,
\end{equation*}
\notag
$$
выводим следующую “предварительную” оценку:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &g'(b;x)+\sum_{k=1}^m kb_k \geqslant b_{m+1} \biggl(\frac{m(m+1)}{2}+\frac{\cos (mx)-1}{4\sin^2 (x/2)} \biggr) \\ \notag &\qquad\qquad +\Delta b_{m+1} \frac{m(m+1)(m+2)}{6} \biggl(1+0.78 \cos\biggl(\frac{m+1}{2} x\biggr) \biggr) \\ &\qquad\qquad +\frac{U_{m+1} (b;x)}{4\sin^2 (x/2)}-\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) R_{m+1} (b;x), \qquad x\in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr], \quad m \geqslant 18. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Оценим снизу сумму $U_{m+1}$ по лемме 4. Разобьем ее на две части, суммируя сначала по $k \in [ m+1, N_1-1]$, а потом по $k \in [ N_1,+\infty )$. Возьмем такой наименьший номер $N_1>m+1$, чтобы величина $\cos (N_1x)$ была неотрицательной, а именно, положим
$$
\begin{equation}
\, \notag N_1= \begin{cases} \dfrac{3m+3}{2}, & x\in\biggl[\dfrac{\pi}{m+1}, \dfrac{\pi}{m+1/3}\biggr], \\ \dfrac{3m+1}{2},& x\in\biggl[\dfrac{\pi}{m+1/3}, \dfrac{\pi}{m}\biggr], \text{ если } m \text{ нечетно}, \end{cases}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
N_1= \begin{cases} \dfrac{3m+4}{2}, & x\in\biggl[\dfrac{\pi}{m+1}, \dfrac{\pi}{m+2/3}\biggr], \\ \dfrac{3m+2}{2},& x\in\biggl[\dfrac{\pi}{m+2/3}, \dfrac{\pi}{m}\biggr], \text{ если }m \text{ четно}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
При сделанном выборе числа $N_1\in \mathbb{N}$ верны двойные неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{3\pi}{2} \leqslant N_1x \leqslant \frac{3\pi}{2}+x \quad\Longrightarrow\quad 0 \leqslant \cos (N_1x) \leqslant \sin x, \qquad x \in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr].
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Из (6.6) видно, что условие (4.26) (в котором $N=m+1$) выполнено. Поэтому согласно лемме 4 при $x\in [ \pi/(m+1), \pi/m ]$ получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag U_{m+1} (b;x) &\geqslant b_{m+1} (\cos ((m+1)x) -1) \\ \notag &\qquad+(m+1) \Delta b_{m+1} (\cos ((m+1)x)-\cos (N_1x) ) \\ &\qquad +(m+1) \Delta b_{N_1} (\cos (N_1x)-1 ). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Из (6.6) также видно, что неравенство (6.7) допускает следующее упрощение:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag U_{m+1}(b;x) &\geqslant b_{m+1}(\cos (m+1)x -1)-(m+1)(1+\sin x)\Delta b_{m+1} \\ &\qquad +(m+1)(\cos (N_1x) -1)\Delta b_{N_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Выведем оценку снизу на отрезках $[\pi/(m+1), \pi/m ]$ взятого со знаком “$-$” остатка ряда $R_{m+1}(b;x)$. Положив в (4.19) $N=N_1$, находим
$$
\begin{equation}
-R_{N_1} (b;x) \geqslant -b_{N_1} \frac{\cos (({N_1}-1/2)x)}{2\sin (x/2)}-\Delta b_{N_1} \frac{1+\sin ({N_1}x)}{4\sin^2 (x/2)}.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
В силу очевидного равенства
$$
\begin{equation}
-R_{m+1} (b;x)=S_{m,N_1} (b;x)-R_{N_1}(b;x), \quad\text{где } \ S_{m,N_1} (x)=\sum_{k=m+1}^{N_1-1} b_k (-\sin(kx)),
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
осталось оценить снизу сумму $S_{m,N_1}$. По аналогии с (5.5) имеем $b_k \geqslant b_{N_1}+(N_1-k) \Delta b_{N_1}$, $k \leqslant N_1-1$. Применив эту оценку коэффициентов $b_k$ и учитывая неотрицательность функций $-\sin(kx)$ при $m+1 \leqslant k \leqslant N_1 -1$ $\pi/(m+1) \leqslant x \leqslant\pi/m$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &S_{m,N_1}(b;x) \geqslant \sum_{k=m+1}^{N_1-1} (b_{N_1}+(N_1-k) \Delta b_{N_1} ) (-\sin (kx) ) \\ &\quad=b_{N_1} \sum_{k=m+1}^{N_1-1} (-\sin (kx) )+\Delta b_{N_1} \biggl(N_1\sum_{k=m+1}^{N_1} (-\sin(kx))+\sum_{k=m+1}^{N_1} k\sin (kx)\biggr) \\ &\quad =b_{N_1} (\widetilde{D}_m(x)-\widetilde{D}_{N_1-1}(x) )+\Delta b_{N_1} (N_1 (\widetilde{D}_m (x)-\widetilde{D}_{N_1} (x) )+D_m' (x)-D_{N_1}' (x) ). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(Были использованы обозначения (3.5) и (4.12).) Подставив в последнее равенство выражение (4.12) для сопряженных ядер Дирихле и вычислив производную ядер Дирихле (3.5)
$$
\begin{equation*}
D_p' (x)=\frac{p \cos ((p+1/2)x)}{2\sin (x/2)}-\frac{\sin (px)}{4\sin^2 (x/2)},
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к следующей оценке:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &S_{m,N_1} (b;x) \geqslant b_{N_1} \frac{\cos((N_1-1/2)x) -\cos ((m+1/2)x)}{2\sin (x/2)} \\ \notag &\qquad +\Delta b_{N_1} \biggl(N_1 \frac{\cos ((N_1+1/2)x)-\cos ((m+1/2)x)}{2\sin (x/2)} \\ &\qquad +\frac{m \cos ((m+1/2)x)-N_1 \cos ((N_1+1/2)x)}{2\sin (x/2)}+\frac{\sin(N_1x)-\sin (mx)}{4\sin^2 (x/2)} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Сложив оценки (6.9) и (6.11), а затем приведя подобные слагаемые и воспользовавшись представлением (6.10), получим неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag -R_{m+1} (b;x) &\geqslant-b_{N_1} \frac{\cos ((m+1/2)x)}{2\sin (x/2) } \\ &\qquad +\Delta b_{N_1} \biggl(\frac{(m-N_1) \cos ((m+1/2)x)}{2\sin (x/2) }-\frac{1+\sin(mx)}{4\sin^2 (x/2)} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Упростим неравенство (6.12), немного огрубив его, применив оценку снизу
$$
\begin{equation*}
-b_{N_1} \cos \biggl(\biggl(m+\frac12\biggr)x\biggr) \geqslant-\Delta b_{N_1} \cos \biggl(\biggl(m+\frac12\biggr)x\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
являющуюся следствием соотношений
$$
\begin{equation*}
\Delta b_{N_1} \leqslant b_{N_1}, \qquad \cos \biggl(\biggl(m+\frac{1}{2}\biggr)x\biggr)<0, \qquad x \in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr], \quad m \geqslant 2 .
\end{equation*}
\notag
$$
Придем к неравенству
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -R_{m+1} (b;x) \geqslant \Delta b_{N_1} \biggl(\frac{(m-N_1-1) \cos ((m+1/2)x)}{2\sin(x/2)}-\frac{1+\sin(mx)}{4\sin^2 (x/2)} \biggr), \\ x \in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Теперь сложим неравенство (6.8), разделенное на $4\sin^2 (x/2)$, и неравенство (6.13), умноженное на $\operatorname{ctg} (x/2)$. В результате получим оценку снизу величины, составляющей “второй блок” правой части (6.4):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{U_{m+1}(b;x)}{4\sin^2 (x/2)}-\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) R_{m+1} (b;x) \geqslant b_{m+1} \frac{\cos((m+1)x)-1}{4\sin^2 (x/2)} \\ &\qquad - \Delta b_{m+1} \frac{(m+1)(1+\sin x)}{4\sin^2 (x/2)}+\Delta b_{N_1} \frac{H_{m}(x)}{4\sin^2 (x/2)}-\Delta b_{N_1} \frac{\cos(x/2)}{4\sin^3 (x/2)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
где $ H_{m}(x)= (m+1) (\cos (N_1x) -1)-2 (N_1+1-m) \cos (x/2) \cos ((m+1/2)x)-\sin (mx) \operatorname{ctg} (x/2)$, $x \in [ {\pi}/{(m+1)}, {\pi}/{m}]$. Докажем, что при любом $m \geqslant 9$ функция $H_{m}(x)$ превосходит $2/\pi$ на отрезке $[ \pi/(m+1), \pi/m]$. Согласно (6.6) верно неравенство $\cos (N_1x) \geqslant 0$, а коль скоро $\pi -x/2 \leqslant (m+1/2) x \leqslant \pi+x/2$, то $-\cos ((m+1/2) x) \geqslant \cos (x/2)$. Следовательно, верна оценка
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, H_{m} (x) \geqslant \widetilde{H}_m (x), \\ \text{где }\ \widetilde{H}_m (x)=- (m+1)+2(N_1+1-m) \cos^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr) -\sin (mx) \operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
Рассмотрим сперва случай $\pi/(m+1/3)<x \leqslant \pi/m$. Тогда $\pi-x/3<mx \leqslant \pi$, а значит, $\sin(mx)<\sin(x/3)<0.5 \sin x $ (последнее верно при любом $x \in (0, \pi/2)$). Тем самым
$$
\begin{equation*}
- \sin (mx) \operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2} \biggr)>-\frac{1}{2} \sin x \operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2} \biggr)=- \cos^2 \biggl(\frac{x}{2} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
\widetilde{H}_m (x)>-(m+1)+(2N_1+1-2m) \cos^2 \biggl(\frac{x}{2} \biggr).
\end{equation}
\tag{6.16}
$$
А так как ввиду (6.5) имеем $2N_1 \geqslant 3m+1$, то из (6.16) выводим оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{H}_m (x) & \geqslant-(m+1)+(m+2)\cos^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr)=1-(m+2) \sin^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \\ &\geqslant 1-(m+2) \sin^2 \biggl(\frac{\pi}{2m} \biggr)>1- \frac{(m+2) \pi^2}{4m^2}>\frac{2}{\pi} \quad \forall\, m \geqslant 9. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь пусть $x\in [ \pi/(m+1), \pi/(m+1/3)]$. Тогда для $\sin(mx)$ применим более грубую оценку $\sin (mx) \leqslant \sin x$, из которой находим $-\sin (mx) \operatorname{ctg} (x/2) \geqslant -\sin x \operatorname{ctg} (x/2)=- 2\cos^2 (x/2)$, но за счет лучшей оценки снизу $2N_1 \geqslant 3m+2$, справедливой в данном случае согласно (6.5), мы из (6.15) снова получим требуемое неравенство:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{H}_m (x) &\geqslant-(m+1)+(2N_1+2 -2m) \cos^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr)-2\cos^2 \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \\ & \geqslant-(m+1)+(m+2) \cos^2 \biggl(\frac{x}{2} \biggr)>\frac{2}{\pi } \quad \forall\, m \geqslant 9. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказанная оценка $H_{m} (x)>2/\pi$ вместе с неравенствами $\sin^{-2} (x/2)>4x^{-2} $ и $\cos (x/2) \sin^{-3} (x/2)<8 x^{-3}$, $ 0<x<\pi$, для $x \in [ \pi/(m+1), \pi/m]$ дает возможность вывести следующую:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Delta b_{N_1} \frac{H_{m} (x)}{4 \sin^2 (x/2)}-\Delta b_{N_1} \frac{\cos (x/2)}{4 \sin^3 (x/2)} \geqslant \Delta b_{N_1} \biggl(\frac{2}{\pi x^2 }-\frac{2}{x^3} \biggr), \\ x\in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m} \biggr], \qquad m \geqslant 9. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.17}
$$
Отсюда и из (6.14), учитывая возрастание функции $h(x)=(2/\pi) x^{-2}-2x^{-3}$ на интервале $(0,\pi) $, влекущее за собой неравенство
$$
\begin{equation*}
h(x) \geqslant h \biggl(\frac{\pi}{m+1} \biggr)=- \frac{2m(m+1)^2}{\pi^3 }, \qquad x \in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m} \biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{U_{m+1}(b;x)}{4\sin^2 (x/2)}-\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) R_{m+1} (b;x) \geqslant b_{m+1} \frac{\cos((m+1)x)-1}{4\sin^2 (x/2)} \\ &\qquad-\Delta b_{m+1} \frac{(m+1)(1+\sin x)}{4\sin^2 (x/2)}-\Delta b_{N_1} \frac{2m(m+1)^2}{\pi^3 }, \qquad x \in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
Дальнейшая идея доказательства состоит в том, чтобы “исключить” из оценки (6.18) величину $\Delta b_{N_1}$. Однако тривиальная оценка $\Delta b_{N_1} \leqslant \Delta b_{m+1}$ не даст желаемого результата. Поэтому последнее слагаемое в (6.18) оценивается снизу линейной комбинацией $b_{m+1}$ и $\Delta b_{m+1}$. Ввиду включения $ \{b_k\}_{k \in \mathbb{N}} \in \mathfrak{M}_1$ последовательность разностей $\{\Delta b_k \}$ невозрастает, и, следовательно, верны соотношения
$$
\begin{equation*}
b_{m+1}-b_{N_1+1}=\sum_{k=m+1}^{N_1} \Delta b_k \geqslant (N_1-m)\Delta b_{N_1},
\end{equation*}
\notag
$$
из которых находим $(2N_1-2m) \Delta b_{N_1} \leqslant 2b_{m+1}$. А так как согласно (6.5) $2N_1 \geqslant 3m+1$, то
$$
\begin{equation}
(m+1) \Delta b_{N_1} \leqslant 2b_{m+1} \quad \Longrightarrow\quad \frac{m+1}{31} \Delta b_{N_1} \leqslant \frac{2b_{m+1}}{31}.
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
Из (6.19) и неравенств $\Delta b_{N_1}\leqslant \Delta b_{m+1}$, $\pi^3>31$ находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{2m(m+1)^2}{\pi^3}\Delta b_{N_1} &\leqslant\frac{m(m+1)^2}{31}\Delta b_{N_1}+\frac{m(m+1)^2}{31}\Delta b_{N_1} \\ &\leqslant \frac{m(m+1)^2}{31}\Delta b_{m+1}+\frac{2m(m+1)}{31} b_{m+1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.20}
$$
Из неравенств (6.18) и (6.20) выводим следующую оценку “третьего блока” правой части (6.4):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{U_{m+1}(b;x)}{4\sin^2 (x/2)}-\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) R_{m+1} (b;x) \geqslant b_{m+1} \biggl(\frac{\cos((m+1)x)-1}{4\sin^2 (x/2)}-\frac{2m(m+1)}{31}\biggr) \\ &\qquad\qquad -\biggl(\frac{(m+1)(1+\sin x)}{4\sin^2 (x/2)}+\frac{m(m+1)^2}{31}\biggr)\Delta b_{m+1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.21}
$$
В дальнейшем потребуются неравенства
$$
\begin{equation}
\operatorname{ctg} t<\frac{1}{t}-\frac{t}{3}, \qquad \frac{1}{\sin^2 t}<\frac{1}{t^2}+\frac{1}{3}+\frac{t^2}{9}, \qquad t \in \biggl(0, \frac{\pi}{2}\biggr].
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
Первое из них – прямое следствие оценок $\sin t>t-t^3/6$, $\cos t<1-t^2/2+t^4/24$ ($\forall\, t>0$), а второе получается возведением в квадрат обеих частей первого с использованием тождества $\sin^{-2}t=1+\operatorname{ctg}^2 t$. Из (6.22) следует неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{1+\sin x}{4\sin^2(x/2)} &=\frac{1}{4\sin^2 (x/2)}+\frac{1}{2} \operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) <\frac{1}{x^2}+\frac{1}{12}+\frac{x^2}{144}+ \frac{1}{x}-\frac{x}{12} \\ &<\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{12} \leqslant \frac{(m+1)^2}{\pi^2}+\frac{m+1}{\pi}+\frac{1}{12}, \qquad x \in\biggl[\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.23}
$$
Из (6.21) и (6.23) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{U_{m+1} (b;x)}{4\sin^2 (x/2)}-\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) R_{m+1} (b;x) \geqslant b_{m+1} \biggl(\frac{\cos((m+1)x) -1}{4\sin^2 (x/2)}-\frac{2m(m+1)}{31} \biggr) \\ &\ - \Delta b_{m+1} \biggl(\frac{(m+1)^3}{\pi^2}+\frac{m(m+1)^2}{31}+\frac{(m+1)^2}{\pi}+\frac{m+1}{12} \biggr), \qquad x \in\biggl[\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (6.4) выводим оценку
$$
\begin{equation}
g'(b;x)+\sum_{k=1}^m kb_k \geqslant b_{m+1} A_m (x)+\Delta b_{m+1} B_m (x), \qquad x \in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr],
\end{equation}
\tag{6.24}
$$
в которой величины $A_m(x)$ и $B_m(x)$ имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
A_m (x)=\frac{27 m(m+1)}{62}+\frac{\cos(mx)+\cos ((m+1)x)-2}{4\sin^2 (x/2)},
\end{equation}
\tag{6.25}
$$
$$
\begin{equation}
B_m(x)=\frac{m(m+1)(m+2)}{6} \biggl(1+0.78 \cos \biggl(\frac{m+1}{2}x \biggr)\biggr)-\beta_{m}, \qquad x \in\biggl[\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr],
\end{equation}
\tag{6.26}
$$
$$
\begin{equation}
\beta_{m}=\frac{(m+1)^3}{\pi^2}+\frac{m (m+1)^2}{31}+\frac{(m+1)^2}{\pi}+\frac{m+1}{12}.
\end{equation}
\tag{6.27}
$$
Докажем положительность $A_m (x) $ при любом $x \in [ \pi/(m+1), \pi/m ]$ и любом $m \geqslant 18$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\cos(mx)+\cos ((m+1) x)-2}{4\sin^2 (x/2)} &=\frac{2\cos(x/2) \cos ((m+1/2)x)-2}{4\sin^2 (x/2) } \\ &\geqslant\frac{-2\cos (x/2)-2}{4\sin^2 (x/2)}=- \frac{1}{4\sin^2 (x/4)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.28}
$$
а согласно (6.22)
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\sin^2 (x/4)}<\frac{16}{x^2}+\frac{1}{3}+\frac{x^2}{144}<\frac{16}{x^2}+\frac{4}{11}, \qquad 0<x<\frac{\pi}{2}.
\end{equation}
\tag{6.29}
$$
Из (6.25), (6.28), (6.29) находим
$$
\begin{equation*}
A_m (x)>\frac{27m(m+1)}{62}-\frac{4(m+1)^2}{\pi^2}-\frac{1}{11}, \qquad x \in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
В силу ограничения $m \geqslant 18$ верно неравенство $(m+1)^2 \leqslant (19/18) m (m+1)$. Поэтому приходим к оценке снизу
$$
\begin{equation*}
A_m(x)>\frac{27m(m+1)}{62}-\frac{38m(m+1)}{9\pi^2 }-\frac{1}{11}>\frac{m (m+1)}{150}-\frac{1}{11}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь докажем положительность $B_m(x)$ при тех же значениях $x$ и $m$. Имеем
$$
\begin{equation}
\cos \biggl(\frac{m+1}{2}x \biggr) \geqslant \cos \biggl(\frac{m+1}{2m}\pi \biggr) =- \sin\biggl(\frac{\pi}{2m} \biggr) \geqslant -\sin \biggl( \frac{\pi}{36}\biggr)>-0.088.
\end{equation}
\tag{6.30}
$$
Из (6.26), (6.27), (6.30) выводим оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{6B_m(x)}{m(m+1)} &>(m+2) (1-0.78 \cdot 0.088)-\frac{6 (m+1)^2}{\pi^2 m}-\frac{6(m+1)}{31}-\frac{6(m+1)}{\pi m} -\frac{1}{2m} \\ & =\biggl(0.93136-\frac{6}{\pi^2 }-\frac{6}{31} \biggr) (m+2)+\frac{6}{31}-\frac{6}{\pi}-\frac{1}{m} \biggl(\frac{6}{\pi^2}+\frac{6}{\pi}+\frac{1}{2} \biggr) \\ & >0.129(m+2)-1.72-\frac{3.02}{m} \geqslant 0.129\cdot 20 -1.72-\frac{3.02}{18}>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положительность функций $A_m(x)$ и $B_m(x)$ на отрезке $\pi/(m+1) \leqslant x \leqslant \pi/m$ при любом натуральном $m \geqslant 18$ полностью доказана. Отсюда сразу же следует неотрицательность левой части неравенства (6.24), и это завершает доказательство теоремы 2.
§ 7. Доказательство теоремы 3Из определения функции $V$ видно, что требуется доказать справедливость неравенства
$$
\begin{equation}
g'(b;x)+\cos\biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)\sum_{k=1}^m kb_k \geqslant 0 \quad \forall\, x\in \biggl(\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m} \biggr], \quad\forall\, m \geqslant 10^3,
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
какова бы ни была последовательность $b=\{b_k\}_{k\in\mathbb N}\in \mathfrak{M_1}$. По аналогии с (6.2) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &g'(b;x)+\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)\sum_{k=1}^m kb_k \\ \notag &\qquad =\sum_{k=1}^m kb_k \biggl(\cos (kx)+\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)\biggr)-mb_{m+1} \frac{\sin ((m+1/2)x)}{2\sin(x/2)} \\ &\qquad\qquad - \operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) R_{m+1} (b;x)+\frac{U_{m+1}(b;x)}{4\sin^2(x/2)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Оценим снизу первую сумму в правой части (7.2). Положим
$$
\begin{equation}
n=\biggl[\frac{7\pi}{8x}\biggr]-1, \quad \text{тогда } \ \frac{7}{8}(m-1)\leqslant n+1 \leqslant \frac{7}{8}(m+1),
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)+\cos(kx)\geqslant 0 \quad \text{при }\ 1\leqslant k\leqslant {n+1},
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)+\cos(kx)<0 \quad \text{при }\ n+2\leqslant k \leqslant m.
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Заметим, что $n+2\leqslant m$ при любом $m \geqslant 16.$ Монотонность и выпуклость последовательности $b$ вместе с (7.4) дают неравенства
$$
\begin{equation}
\nonumber \sum_{k=n+2}^m kb_k\biggl(\cos(kx)+\cos\biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)\biggr)\geqslant b_{n+2}\sum_{k=n+2}^m k\biggl(\cos(kx)+\cos\biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)\biggr)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \geqslant b_{n+1}\biggl(\sum_{k=n+2}^m k\cos(kx)+\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr) \sum_{k=n+2}^m k \biggr),
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \sum_{k=1}^{n+1}kb_k\biggl(\cos(kx)\,{+}\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)\biggr)\,{\geqslant}\, \sum_{k=1}^{n+1} (b_{n+1}{+}\,(n\,{+}\,1\,{-}\,k)\Delta b_n)k\biggl(\cos(kx)\,{+}\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)\biggr)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad =b_{n+1}\biggl(\sum_{k=1}^{n+1}k\cos(kx)+\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)\sum_{k=1}^{n+1}k\biggr)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad+\Delta b_n\biggl(\sum_{k=1}^{n+1} k(n+1-k)\cos(kx) +\cos\biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)\sum_{k=1}^{n+1} k (n+1-k)\biggr).
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Сложив неравенства (7.5), (7.6), воспользовавшись равенствами (5.7) и обозначением (4.31), получим оценку снизу:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=1}^m kb_k \biggl(\cos (kx)+\cos \biggl(\frac{\pi}{8} \biggr) \biggr) \\ \notag &\qquad \geqslant b_{n+1} \biggl(\sum_{k=1}^m k\cos (kx)+\cos \biggl(\frac{\pi}{8} \biggr) \sum_{k=1}^m k \biggr) \\ \notag &\qquad\qquad+\Delta b_n \biggl( \sum_{k=1}^n k(n+1-k) \cos (kx) +\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr) \sum_{k=1}^n k (n+1-k) \biggr) \\ \notag &\qquad=b_{n+1} \biggl(\frac{m(m+1)}{2} \cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)+\frac{m \sin ((m+1/2) x) }{2\sin (x/2)} +\frac{\cos (mx) -1}{4 \sin^2 (x/2)} \biggr) \\ &\qquad\qquad +\Delta b_n \biggl(C_n (x)+\frac{n(n+1) (n+2)}{6} \cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr) \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Упростим неравенство (7.7), оценив снизу некоторые величины, входящие в его правую часть. Поскольку $ \cos (\pi /8)>0.92$, $\cos (mx) \geqslant -1 $, то
$$
\begin{equation}
\frac{m(m+1)}{2} \cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)+\frac{\cos (mx)-1}{4\sin^2 (x/2)}>0.46 m (m+1)-0.5 \sin^{-2} \biggl(\frac{x}{2} \biggr).
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Далее, при всех $m \geqslant 24$ и $ x\in [ \pi / (m+1), \pi / m ]$ установим справедливость неравенства Из тождества (4.32) видно, что достаточно вывести неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \sin (n_1 x)-n_1 (1+\cos(n_1 x))>\frac{0.55}{x}, \quad \text{где }\ n_1=n+1=\biggl[ \frac{7\pi}{8x} \biggr].
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Нетрудно проверить, что при условии $A\sqrt{3}\geqslant B \geqslant 0$ верно равенство
$$
\begin{equation}
\min_{5\pi/6 \leqslant \theta \leqslant 7\pi/8} A \sin \theta-B (1+\cos \theta) =A \sin \biggl(\frac{\pi}{8} \biggr)-B \biggl(1-\cos \biggl(\frac{\pi}{8} \biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
Для того чтобы из (7.11) вывести (7.10), надо доказать неравенства: 1) $5\pi / 6 \leqslant n_1 x \leqslant 7 \pi / 8$, 2) $\sqrt{3} \operatorname{ctg} (x/2) \geqslant n_1$. Двойное неравенство 1) следует из соотношений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{7\pi}{8x}-1<n_1 \leqslant \frac{7\pi}{8x} \\ &\quad \Longleftrightarrow\quad \frac{7\pi}{8}-x<n_1 x \leqslant \frac{7 \pi}{8}, \qquad x \leqslant \frac{\pi}{m} \leqslant \frac{\pi}{24}, \qquad \frac{7\pi}{8}-\frac{\pi}{24}=\frac{5 \pi}{6}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство 2) есть следствие неравенства
$$
\begin{equation}
\sqrt{3} \operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \geqslant \frac{\pi}{x}, \qquad 0<x \leqslant \frac{\pi}{3},
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
поскольку $n_1 \leqslant 7\pi / (8x)<\pi / x$. Неравенство же (7.12) сразу вытекает из убывания функции $t \operatorname{ctg} t$ на интервале $ 0<t<\pi / 2 $ и того, что в точке $x=\pi / 3$ оно обращается в равенство. Таким образом, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \sin (n_1 x)-n_1 (1+\cos (n_1 x)) \geqslant \operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \sin \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)-n_1 \biggl(1-\cos \biggl(\frac{\pi}{8} \biggr) \biggr) \\ \notag &\qquad =\frac{\cos (x/2) \cdot 2\cos (\pi/8) \sin (\pi/8) }{\sin (x/2) \cdot 2\cos (\pi /8)} -n_1 \biggl(1-\cos \biggl(\frac{\pi}{8} \biggr)\biggr) \\ \notag &\qquad =\frac{\cos (x/2)}{\cos (\pi/8)} \, \frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1}{2\sin (x/2)}-n_1 \biggl(1-\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr) \biggr) \\ &\qquad> \frac{\cos (x/2)}{\sqrt{2} x\cos (\pi /8)}-\frac{7\pi}{8x} \biggl(1-\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr) \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
Из (7.13) и численных неравенств
$$
\begin{equation*}
\frac{\cos (\pi / 48)}{\cos (\pi / 8)}>1.08, \qquad 7\pi<22, \qquad 1-\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)<0.077
\end{equation*}
\notag
$$
при $m \geqslant24$ находим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \sin (n_1 x)-n_1 (1+\cos (n_1x)) >\frac{1}{x} \biggl(\frac{1.08}{\sqrt{2}}-0.212 \biggr)>\frac{0.55}{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство (7.10) доказано. Теперь выведем неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr) =\frac{n_1^3-n_1}{6} \cos \biggl(\frac{\pi}{8} \biggr)>\frac{323 (m+1)^3 }{320 \pi^2} \quad \forall\, m \geqslant 10^3.
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Поскольку $n_1>(7/8)(m-1)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, n_1^3-n_1 &>\biggl(\frac{7}{8} (m-1) \biggr)^3-\frac{7}{8} (m-1) =\frac{343}{512} (m+1)^3 \biggl(\biggl(\frac{m-1}{m+1} \biggr)^3 -\frac{64}{49} \frac{m-1}{(m+1)^3} \biggr) \\ &\geqslant \frac{343}{512} (m+1)^3 \biggl(\biggl(\frac{999}{1001} \biggr)^3 -\frac{64}{49} \, \frac{999}{1001^3} \biggr)>\frac{213}{320} (m+1)^3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)>\frac{213(m+1)^3}{320 \cdot 6}\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr)>\frac{323}{320\pi^2}(m+1)^3,
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенство (7.14) доказано. Неравенства (7.7)–(7.9) и (7.14) позволяют оценить снизу “первый блок” правой части (7.2) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=1}^m kb_k \biggl(\cos (kx)+\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr) \biggr)-b_{m+1} \frac{m \sin ((m+1/2) x)}{2\sin (x/2)} \\ \notag &\qquad \geqslant b_{n+1} \biggl(0.46 m (m+1)-0.5 \sin^{-2} \biggl(\frac{x}{2} \biggr) \biggr)+(b_{n+1}-b_{m+1}) \frac{m\sin ((m+1/2)x)}{2 \sin (x/2)} \\ &\qquad\qquad +\Delta b_n \biggl(\frac{0.55}{4x \sin^2 (x/2)}+\frac{323(m+1)^3}{320 \pi^2} \biggr) \quad \forall\, x \in \biggl(\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m} \biggr], \quad \forall\, m \geqslant 10^3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
Согласно неравенству (6.18) при любых $ m \in \mathbb{N}$, $m \geqslant 9$, $x \in [ \pi / (m+1), \pi /m]$ справедлива следующая оценка снизу “второго блока” правой части (7.2) (номер $N_1$ определен в (6.5)):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{U_{m+1} (b;x)}{4\sin^2 (x/2)}-\operatorname{ctg} \biggl(\frac{x}{2}\biggr) R_{m+1} (b;x) &\geqslant-\frac{b_{m+1}}{2\sin^2 (x/2)}-\Delta b_{m+1} \frac{(m+1) (1+\sin x)}{4 \sin^2 (x/2)} \\ &\qquad-\Delta b_{N_1} \frac{2m(m+1)^2}{\pi^3 }. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
Сложив неравенства (7.15), (7.16), учитывая, что $\Delta b_{m+1}\leqslant \Delta b_n$, ввиду представления (7.2) придем к оценке
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &g'(b;x)+\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr) \sum_{k=1}^m kb_k \geqslant b_{n+1} \biggl(0.46 m (m+1)-\frac{1}{\sin^2 (x/2)} \biggr) \\ \notag &\qquad\qquad +(b_{n+1}-b_{m+1}) \biggl(\frac{1}{2\sin^2 (x/2)}+\frac{m \sin ((m+1/2)x)}{2 \sin(x/2)} \biggr) \\ \notag &\qquad\qquad+\Delta b_n \biggl(\frac{0.55}{4x \sin^2 (x/2)} +\frac{323(m+1)^3}{320 \pi^2} - \frac{(m+1) (1+\sin x)}{4\sin^2 (x/2)} \biggr) \\ &\qquad\qquad - \Delta b_{N_1} \frac{2m(m+1)^2}{\pi^3 } \quad \forall\, x \in \biggl(\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m} \biggr], \quad \forall\, m \geqslant 10^3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
Упростим оценку (7.17), приняв во внимание соотношения $0 \leqslant \Delta b_{N_1} \leqslant \Delta b_n $ и (6.23),
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{4\sin^2 (x/2)}>\frac{1}{x^2} \\ &\quad\Longrightarrow\quad \frac{0.55}{4x \sin^2 (x/2)} \Delta b_n \geqslant \frac{0.55 m^3}{\pi^3} \Delta b_n \geqslant \frac{0.5 m (m+1)^2}{\pi^3} \Delta b_{N_1}, \qquad m>50, \\ &\frac{1+\sin x}{4\sin^2 (x/2)}=\frac{1}{4\sin^2 (x/2)}+\frac{1}{2} \operatorname{ctg} \frac{x}{2}<\frac{1}{x^2}+\frac{1}{12}+\frac{x^2}{144}+\frac{1}{x}< \frac{1}{x^2}+\frac{1.5}{x} \\ &\qquad <\frac{(m+1)^2}{\pi^2}+\frac{1.5(m+1)}{\pi}<\frac{323 (m+1)^2}{320 \pi^2} \quad \forall\, x \in \biggl(\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m} \biggr], \quad \forall\, m \geqslant 502. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти неравенства позволяют от оценки (7.17) перейти к следующей:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &g'(b;x)+\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr) \sum_{k=1}^m kb_k \geqslant A_m b_{n+1}+(b_{n+1}-b_{m+1}) \biggl(\frac{1}{2\sin^2 (x/2)} \\ &\ +\frac{m \sin ((m+1/2)x)}{2\sin (x/2)} \biggr) - \Delta b_{N_1} \frac{1.5m(m+1)^2}{\pi^3} \quad \forall\, x \in \biggl(\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m} \biggr], \quad \forall\, m \geqslant 10^3, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_m=0.46 m (m+1)-\sin^{-2} \biggl(\frac{\pi}{2(m+1)} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что
$$
\begin{equation}
A_m>0.05 m (m+1)+4m \quad \forall\, m \geqslant 10^3.
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
Воспользовавшись неравенством (6.22) и численной оценкой $4\pi^{-2}<0.4053$, при $m\geqslant 10^3$ находим где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r_m &=0.41 m (m+1)-4\pi^{-2} (m+1)^2-\frac{1}{3}-\frac{\pi^2}{36(m+1)^2} \\ &>0.41 m(m+1)- 0.4053 (m+1)^2-0.34 \\ &=0.0047 m (m+1)-0.4053 (m+1)-0.34 \\ &>4.7 (m+1)-0.41 (m+1) -0.4>4(m+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство (7.19) доказано. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\pi-\frac{x}{2} \leqslant \biggl(m+\frac{1}{2} \biggr) x \leqslant \pi+\frac{x}{2} \quad \text{при }\ x\in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m} \biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
- \sin \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \leqslant \sin \biggl(\biggl(m+\frac{1}{2}\biggr)x \biggr) \leqslant \sin \biggl(\frac{x}{2}\biggr) \quad\text{при }\ x \in \biggl[ \frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m} \biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
(b_{n+1}-b_{m+1}) \frac{m \sin ((m+1/2) x)}{2 \sin (x/2)} \geqslant-\frac{m}{2} (b_{n+1}-b_{m+1}) \geqslant- \frac{m}{2} b_{n+1}.
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
Из (7.18)–(7.20) выводим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &g'(b;x)+\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr) \sum_{k=1}^m kb_k \geqslant \biggl(\frac{m(m+1)}{20}+3m \biggr)b_{n+1}+\frac{2}{x^2} ( b_{n+1}- b_{m+1}) \\ &\qquad\qquad -\Delta b_{N_1} \frac{1.5m(m+1)^2}{\pi^3}, \qquad x \in \biggl(\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m} \biggr], \qquad m \geqslant 10^3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
В силу выпуклости последовательности $b$ и соотношений (7.3) выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
b_{n+1}-b_{m+1}=\sum_{k=n+1}^m \Delta b_k \geqslant (m-n) \Delta b_m \geqslant \frac{m+1}{8} \Delta b_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая, что $x^{-1} \geqslant m/\pi $, находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{2}{x^2} (b_{n+1}-b_{m+1}) &\geqslant \frac{m+1}{4x^2 } \Delta b_m \geqslant \frac{(m+1)m^2}{4\pi^2} \Delta b_m \nonumber \\ &\geqslant \frac{3m(m+1)^2}{4\pi^3} \Delta b_m, \qquad m\geqslant 100, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.22}
$$
так как $m>3(m+1)/\pi$. Применив (7.22) для оценки снизу правой части (7.21), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &g'(b;x)+\cos \biggl(\frac{\pi}{8}\biggr) \sum_{k=1}^m kb_k \geqslant\biggl(\frac {m(m+1)}{20}+3m\biggr) b_{n+1} \\ &\qquad-\frac{3m(m+1)^2}{4\pi^3} \Delta b_{N_1} \quad \forall\, x \in \biggl(\frac{\pi}{m+1}, \frac{\pi}{m}\biggr], \qquad m \geqslant 10^3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.23}
$$
А так как $\pi^3>30$, $ b_{m+1}\leqslant b_{n+1}$, то неотрицательность правой части (7.23) является следствием неравенства $(m+1)\Delta b_{N_1}\leqslant 2 b_{m+1},$ отмеченного в (6.19). Теорема 3 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pop24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|