| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О множествах сходимости последовательностей операторов в пространствах однородного типа Г. А. Карагулянab a Faculty of Mathematics and Mechanics, Yerevan State University, Yerevan, Republic of Armenia b Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of RA, Yerevan, Republic of Armenia
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10033e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Обзор известных результатовПусть есть бесконечная последовательность действительных функций. Обозначим через $C(f)\subset \mathbb R$ множество сходимости последовательности (1.1), т.е. множество точек $x\in \mathbb R$, для которых существует предел $\lim f_n(x)$. Классическая теорема Хана–Серпинского (см. [12], [35]) утверждает, что если функции (1.1) непрерывны, то $C(f)$ есть $F_{\sigma\delta}$-множество, и наоборот, каждое $F_{\sigma\delta}$-множество является множеством сходимости последовательности непрерывных функций. Первая часть этого утверждения легко следует из того, что множество сходимости последовательности (1.1) можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
C(f)=\bigcap_{m=1}^\infty\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=1}^\infty \biggl\{x\colon |f_{n+k}(x)-f_n(x)|\leqslant \frac 1m\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а последнее есть $F_{\sigma\delta}$-множество, если функции непрерывны (см. определение 1). Доказательство второй части теоремы Хана–Серпинского требует некоторую конструкцию последовательности непрерывных функций, для которой данное $F_{\sigma\delta}$-множество является множеством сходимости (см. также [14; с. 307]). Отметим, что дополнение множества сходимости $C(f)$ есть множество расходимости последовательности (1.1), которое мы обозначим через $D(f)$. Таким образом, $G_{\delta\sigma}$-множества дают полную характеризацию множеств расходимости последовательностей непрерывных функций. Можно рассматривать также множества неограниченной расходимости $UD(f)\subset D(f)$ для (1.1), которое состоит из точек $x$, удовлетворяющие условию $\limsup |f_n(x)|=\infty$. Известно также, что для того чтобы множество было $UB$-множеством для некоторой последовательности непрерывных функций, необходимо и достаточно, чтобы оно было $G_\delta$-множеством (см. [12], [35], [14]). Таким образом, мы имеем некоторую топологическую характеризацию множеств $C$, $D$ и $UD$ в классе последовательностей непрерывных функций. Такие задачи характеризации рассматривались во многих областях анализа (ряды Фурье, аналитические функции на единичном круге, степенные ряды, теория дифференцирования), и имеются много публикаций и нерешенных задач, некоторые из которых будем рассматривать в последнем параграфе. Обзоры проблем, относящихся множеств сходимости или расходимости рядов Фурье по тригонометрической системе, по системам Уолша и Хаара читатель может найти в работах [38]–[40]. В книге [7] рассматриваются граничные исключительные множества для аналитических функций. Ниже приведем некоторые примеры фундаментальных теорем характеризации. Первая из них дает полную характеризацию точек недифференцируемости непрерывной функции. Теорема A (Загорский, см. [41]). Множество $E\subset \mathbb R$ может стать множеством недифференцируемости для действительной функции тогда и только тогда, когда оно является объединением $G_\delta$-множества и $G_{\delta\sigma}$-множества меры нуль. Фактически главным ингредиентом этой теоремы является построение функции, множество недифференцируемости которой совпадает с данным множеством, которое является объединением $G_\delta$-множества и $G_{\delta\sigma}$-множества меры нуль. Для реализации этой конструкции в [41] используется тонкая техника (см. также [32] и [9] для упрощенного доказательства теоремы A). Следующий хорошо известный результат является обобщением фундаментальной теоремы Колмогорова (см. [25]) примера интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится всюду. Теорема B (Целлер, см. [43]). Пусть $E$ есть некоторое $F_\sigma$-множество на окружности $\mathbb T=\mathbb R/2\pi$. Тогда существует функция $f\in L^1(\mathbb T)$, ряд Фурье которой сходится в каждой точке $x\in E$ и неограниченно расходится, когда $x\in \mathbb T\setminus E$. С учетом вышеупомянутых результатов общего характера эта теорема дает полную характеристику $UD$-множеств в классе рядов Фурье функций из $L^1(\mathbb T)$. В дальнейшем аналогичный результат для системы Уолша был доказан в [27], [28]. Отметим, что характеризация $D$ или $UD$ множеств для рядов Фурье функций из $L^p(\mathbb T)$, $1<p\leqslant \infty$, или непрерывных функций является открытой задачей (см. [38; с. 107]). Отметим, что согласно результату Карлесона–Ханта (см. [4], [15]), ряды Фурье функций из $L^p(\mathbb T)$, $p>1$, сходятся п.в., т.е. множества расходимости этих рядов являются нуль-множествами. Некоторые частичные результаты о характеризации множеств сходимости или расходимости рядов Фурье можно найти в работах [1]–[3], [37], [10], [24], [16], [20]–[22], [29], [17]. В этих работах в основном приведены примеры рядов Фурье, расходящихся на данном нуль-множестве, и здесь наиболее общим результатом, является теорема Кахана–Кацнельсона [16] о существовании непрерывной функции, тригонометрический ряд Фурье которой расходится на данном множестве меры нуль (см. также [23; п. II.3] для подробного обзора множеств расходимости). Отметим также работы [20], [29], в которых дается полная характеризация $C$, $D$ и $UD$ множеств рядов Фурье–Хаара. Автор настоящей работы в [19] получил общую теорему характеризации для некоторых последовательностей операторов, которые обобщают многие теоремы указанных работ и дают полную характеризацию множеств сходимости рядов Фурье по системам Хаара и Франклина, а также средних Чезаро положительного порядка рядов Фурье по тригонометрической системе и по системе Уолша. Отметим, что Кернер в [26] построил $G_\delta$-множество, которое не является множеством сходимости для тригонометрических рядов. Этот пример показывает, что в случае обычных рядов по тригонометрической системе или же по системе Уолша для множеств сходимости чисто топологической характеризации в некоторых открытых задачах может и не существовать (см. [38], [39]). Следующий результат дает полную характеризацию множеств радиальной сходимости ограниченных аналитических функций на единичном круге. Это является решением одной задачи, поставленной в книге Коллингвуда и Ловатера [7]. Теорема C (Колесников, см. [25]). Пусть $D$ есть единичный круг с граничной окружностью $\Gamma$. Тогда, чтобы множество $E\subset \Gamma$ было множеством радиальной сходимости для ограниченной аналитической функции на $D$, необходимо и достаточно, чтобы оно было $F_{\sigma\delta}$-множеством меры нуль. 1.2. Главные результаты работыВ настоящей работе мы получили теоремы полной характеризации для некоторых последовательностей операторов, определенных в пространствах однородного типа. Они обобщают результаты работ [18], [19], где рассмотрены операторы на отрезке $[0,1]$. Квазиметрика на некотором множестве $X$ – это неотрицательная функция $d(x,y)$, определенная на $X\times X$, такая, что 1) $d(x,y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$, 2) $d(x,y)=d(y,x)$ для любых $x,y\in X$, 3) $d(x,y)\leqslant K(d(x,z)+d(z,y))$, где $K>0$ есть постоянная. Такая метрика определяет топологию на $X$, для которой шары $B(x,r)=\{y\in X\colon d(y,x)<r\}$ образуют базис. А именно, множество $G\subset X$ в этой топологии является открытым тогда и только тогда, когда для любой точки $x\in G$ существует шар $B(x,r)\subset G$. Причем, шары сами не обязаны быть открытыми, когда $K>1$. Пусть $\mu$ есть мера на некоторой $\sigma$-алгебре в $X$, включающей в себе все борелевские множества и шары, такая, что Совокупность $(X,d,\mu)$ называется пространством однородного типа, определение которого можно найти в [6] (см. также [5]).Определение 1. Напомним, что множество в некотором топологическом пространстве называется $G_\delta$-множеством, если оно является счетным пересечением открытых множеств, и $G_{\delta\sigma}$-множеством, если оно есть объединение счетного числа $G_\delta$-множеств. $F_\sigma$-множествами называются счетные объединения замкнутых множеств, а $F_{\sigma\delta}$-множествами называются счетные пересечения $F_\sigma$-множеств. Определение 2. Расстояние между двумя множествами $A$ и $B$ в пространстве однородного типа $X$ обозначим через Будем писать $A\Subset B$, если $\operatorname{dist}(A,B^{\mathrm c})>0$. Отметим, что из $A\Subset B$ вытекает $B^{\mathrm c}\Subset A^{\mathrm c}$. Пусть $L^1(X)$ есть пространство интегрируемых по Лебегу функций, определенных на пространстве однородного типа $(X,d,\mu)$, и предположим, что $M(X)$ есть нормированное пространство измеримых функций на $X$ с нормой $\|f\|_M=\sup_{x\in X}|f(x)|$. Будем рассматривать последовательность операторов которая может обладать следующими свойствами:(U1) $\rho_n=\|U_n\|_{L^1\to M}<\infty$, $n=1,2,\dots$; (U2) $\varrho=\sup_n\|U_n\|_{L^\infty \to M}<\infty$; (U3) если $f\in L^1(X)$ постоянна на некотором открытом множестве $G\subset X$, то $U_n(x,f)$ равномерно сходится на любом множестве $E\Subset G$; (U4) если $G\,{\subset}\, X$ есть открытое множество и $\mu(G)\,{<}\,\infty$, то имеем $U_n(x,\mathbf 1_G)\to \mathbf 1_G(x)$ почти всюду, когда $n\to\infty$. Мы всегда будем предполагать, что $X$ является пространством однородного типа, если нет других предположений. Следующие теоремы являются главными результаты работы. Теорема 1. Если последовательность операторов (1.4) удовлетворяет условиям (U1)–(U4), то для любого $G_{\delta\sigma}$-нуль-множества $E\subset X$ и для любого числа $\varepsilon>0$ существует функция $f\in L^\infty(X)$ такая, что 1) $\mu(\operatorname{supp} f)<\varepsilon$, 2) $U_n(x,f)$ расходится при $x\in E$, 3) $U_n(x,f)\to f(x)$, если $x\in X\setminus E$. Теорема 2. Пусть последовательность операторов (1.4) удовлетворяет условиям (U1)–(U4) и для некоторой функции $\psi\colon [0,\infty)\to [0,\infty)$ имеем Тогда для любых $G_{\delta}$-нуль-множества $E\subset X$ и $\varepsilon>0$ существует измеримая функция $f$ такая, что 1) $\mu(\operatorname{supp} f)<\varepsilon$, $\displaystyle \int_X\psi(|f|)<\infty$, 2) $\limsup_{n\to\infty}|U_n(x,f)|=\infty$ для всех $x\in E$, 3) $U_n(x,f)\to f(x)$, если $x\in X\setminus E$. Заметим, что если кроме условий (U1)–(U4) еще предположить непрерывность $U_n(x,f)$ как функцию от $x$, то теорема 1 дает полную характеризацию $C$- и $D$-множеств для последовательностей $U_n(x,f)$, где $f\in L^p(X)$ и $1\leqslant p\leqslant \infty$. Аналогично, теорема 2 дает полную характеризацию $UD$-множеств для таких последовательностей, когда $1\leqslant p<\infty$. Мы не можем требовать того, чтобы функция $f$ из теоремы 2 была ограниченной, как в теореме 1, так как в таком случае из условия (U2) вытекала бы ограниченность $U_n(x,f)$ при любом $x\in X$. Когда $X$ совпадает с $[0,1]$, теоремы 1 и 2 доказаны в [19], и в настоящей работе мы существенно используем технику работ [18], [19]. Подход, предложенный в доказательствах теорем 1 и 2, дает возможность получить также результат чисто расходящегося характера, где последовательности операторов удовлетворяют только условиям (U1) и (U3). Этот результат является обобщением аналогичной теоремы из [18] для операторов определенных на $[0,1]$. Теорема 3. Если последовательность операторов (1.4) удовлетворяет (U1) и (U3), то для любого нуль-множества $E\subset X$ существует множество $G$ такое, что для характеристической функции $f=\mathbf 1_G$ имеет место расходимость $U_n(x,f)$ при каждой точке $x\in E$. Более того, Замечание 1. С незначительным изменением в доказательствах теоремы 1–3 можно сформулировать и доказывать для операторов $U_r$, где параметр $r$ меняется на бесконечном частично упорядоченном множестве $R$. А именно, мы можем рассматривать частично упорядоченное множество с соотношением $<$, удовлетворяющее условиям 1) существует единственный максимальный элемент $r_\infty\in R$, 2) для всех $r<r_\infty$ существует бесконечное множество элементов с условием $s>r$. Тогда для данного процесса (или же последовательности) $x_r$, $r\in R$, в $X$, сходимость $\lim_{r\to r_\infty} x_r=a$ означает следующее: для любого открытого множества $G\supset a$ существует $r\in R$ такое, что для любого $s$ с $r<s<r_\infty$ имеем $x_r\in G$. Отметим, что теорема 3 а также результат работы [18] обобщают результаты работ [24], [1], [10], [27], [28], [33], где авторы рассматривают различные частичные суммы рядов Фурье (тригонометрические, Уолша, Хаара) вместо операторов $U_n$. Примеры операторов удовлетворяющие (U1)–(U4) и следствий теорем 1 и 2 будут рассмотрены в следующем параграфе. § 2. Примеры и применения2.1. Аппроксимативная единица в метрических пространствах с меройПусть $X$ есть пространство однородного типа. Скажем, что последовательность ядер $K_n(x,y)\in L^\infty(X\times X)\cap L^1(X\times X)$ является аппроксимативной единицей, ели она удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
\int_X K_n(x,y)\,dy\rightrightarrows1 \quad\text{при }\ n\to\infty,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{\{y\colon d(x,y)>\delta\}} K_n^*(x,y)\,dy\rightrightarrows0 \quad\text{при }\ n\to\infty, \quad\text{при всех }\ \delta>0 ,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где сходимость в (2.1) и (2.2) равномерна относительно $x$ из $X$ и
$$
\begin{equation*}
K_n^*(x,y)=\sup_{t\colon d(x,t)\geqslant d(x,y)} |K_n(x,t)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим последовательность операторов где ядра $K_n$ удовлетворяют указанным выше условиям. Известно, что если пространство однородного типа таково, что пространство функций
$$
\begin{equation}
C_{K}(X)=\Bigl\{f\in C(X)\colon \operatorname{supp}(f)\text{ ограничено и } \sup_{x\in X}|f(x)|<\infty \Bigr\}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
плотно в $L^1(X)$, то операторы (2.4) удовлетворяют следующим условиям (см., например, [6], [5]): 1) если функция $f\in L^1(X)$ равномерно непрерывна (в частности есть постоянная) на некотором открытом множестве $G\subset X$, то $U_n(x,f)\rightrightarrows f(x)$ равномерно на любом множестве $E\Subset G$; 2) если $f\in L^1(X)$, то $U_n(x,f)\to f(x)$ почти всюду. Очевидно, что такие операторы удовлетворяют условиям (U1)–(U4). Свойства (U1) и (U2) немедленно следуют из определения аппроксимативной единицы, а (U3) и (U4) соответственно являются слабыми версиями свойств 1) и 2). Отсюда можем утверждать, что справедливо Утверждение 1. Если пространство однородного типа $X$ такое, что $C_K(X)$ плотно в $L^1(X)$, то операторы (2.4) удовлетворяют условиям теорем 1–3. 2.2. Функции УолшаБудем рассматривать ортонормальную систему Уолша, определенную на множестве последовательностей
$$
\begin{equation}
(x_0,x_1,x_2,\dots), \qquad x_j=0 \ \text{ или }\ 1, \qquad j=0,1,2,\dots
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
(см. [11; § 1]). Каждая такая последовательность порождает ряд который есть двоичное разложение некоторого числа из $[0,1]$. Отметим, что это отображение сюръективно, но не инъективно, так как каждое двоично-рациональное число из $[0,1]$ имеет два разложения (2.7), конечное и бесконечное. Для наглядного понимания множества последовательностей (2.6) введем обобщенный интервал $[0,1]^*$, где каждое двоично-рациональное число $x$ удвоено: порождает левую точку $x-$, соответствующую конечному двоичному разложению, и правую точку $x+$, что соответствует бесконечному разложению $x$. Для двоично-рационального $x$ запись $x+$ или $x-$ будет просто означать точку $x\in [0,1]^*$. Определим обобщенный двоичный интервал
$$
\begin{equation}
[a,b]=\{x+, x-\in [0,1]^*\colon a<x<b\}\cup\{a+,b-\},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
a=\frac{j-1}{2^k}, \quad b=\frac{j}{2^k}, \qquad 1\leqslant j\leqslant 2^k, \quad k=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Легко проверить, что двоичное расстояние
$$
\begin{equation}
d(x,y)=\inf\bigl\{b-a\colon [a,b] \text{ есть обобщенный двоичный интервал},\, x,y\in [a,b]\bigr\}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
между двумя точками $x,y\in [0,1]^*$ определяет квазиметрику на $[0,1]^*$. Тогда любое множество $E^*\subset [0,1]^*$ имеет свой образ $E\subset [0,1]$, полученный отождествлением пары точек $x+,x-\in [0,1]^*$ в одну. Определим меру в $E^*$ как меру Лебега множества $E$. Итак, $[0,1]^*$ вместе с такой мерой определяет пространство однородного типа. Более того, легко проверить, что $[0,1]^*$ есть компактное пространство (но это нам не понадобится). Для определения функций Уолша напомним операцию группы на $[0,1]^*$, определив сумму двух последовательностей типа (2.6) $\{x_j\}_{j=0}^\infty$ и $\{y_j\}_{j=0}^\infty$ как последовательность $\{z_j\}_{j=0}^\infty$, где
$$
\begin{equation*}
z_j= \begin{cases} 1,&\text{ если } x_j+y_j=1, \\ 0,&\text{ если } x_j+y_j=0\text{ или }2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы можем определить функции Уолша $\{w_n(x)\}_{n=0}^\infty$ на $[0,1]^*$. Поставим $w_0(x)\equiv 1$. При $n\geqslant 1$ рассмотрим двоичное разложение $n=\sum_{j=0}^k\varepsilon_j2^j$ и определим
$$
\begin{equation}
w_n(x)=(-1)^{\sum_{j=1}^k \varepsilon_jx_j} \quad\text{для }\ x=(x_0,x_1,\dots)\in [0,1]^*.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Легко усмотреть, что функции Уолша непрерывны в топологии $[0,1]^*$. Кроме того, хорошо известно, что $(C,\alpha)$-средние $\sigma_n^\alpha(x,f)$, $\alpha>0$, частичных сумм рядов Фурье–Уолша обладают свойствами (U1)–(U4) (см. [11; § 4]). Поэтому мы утверждаем следующее. Следствие 1. Для того чтобы множество $E\subset [0,1]^*$ было множеством расходимости (неограниченной расходимости) для $\sigma_n^\alpha(x,f)$ с некоторой функцией $f\in L^p([0,1]^*)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, необходимо и достаточно, чтобы оно было множеством типа $G_{\delta\sigma}$($G_\delta$) в топологии $[0,1]^*$. Замечание 2. $(C,\alpha)$-средние $\sigma_n^\alpha$ рядов Фурье–Уолша можно рассматривать как операторы с ядрами. Тем не менее известно, что ядра $\sigma_n^\alpha$ не образуют аппроксимативную единицу (см. [11]). 2.3. СплайныНапомним определение сплайнов на интервале $[a,b]$. Для набора узлов $\Delta = \{t_j\}_{j=1}^{n+k}\subset [a,b]$ таких, что обозначим через $\mathcal S_k(\Delta)$ пространство сплайнов порядка $k$ с узлами $\Delta$. Это функции, которые являются полиномами порядка $\leqslant k-1$ на каждом интервале $[t_j,t_{j+1}]$ и имеют непрерывные производные порядка $k-1-m_j$ в каждом узле $t_j\in \Delta$ с кратностью $m_i$. Пусть $P_\Delta$ есть оператор проектирования в $\mathcal S_k(\Delta)$. Обозначим $|\Delta|=\max_j(t_{j+1}-t_j)$. Для данной последовательности $\Delta_n$ узельных наборов порядка $k$ с условием $|\Delta_n|\to 0$ рассмотрим последовательность $P_{\Delta_n}$. Известно, что такая последовательность операторов обладает свойствами (U1)–(U4). Более того, А. Ю. Шадрин (см. [34]), решая задачу де Бора, доказывал равномерную ограниченность этих операторов в $C[a,b]$, из которой следует, что $P_{\Delta_n}(f)\rightrightarrows f$ при всех $f\in C[a,b]$. Далее, Пассенбрунер и Шадрин в [31] доказали, что $P_{\Delta_n}(f)\to f$ почти всюду при $f\in L^1[a,b]$, где также доказано, что ядра операторов $P_{\Delta_n}$ образуют аппроксимативную единицу. Итак, мы можем утверждать следующее.Следствие 2. Пусть $\Delta_n$ есть последовательность узловых наборов в $[a,b]$ таких, что $|\Delta_n|\to0$. Тогда для того чтобы множество $E\subset [a,b]$ было множеством расходимости (неограниченной расходимости) для $P_{\Delta_n}(f)$ при некоторой функции $f\in L^p[a,b]$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, необходимо и достаточно, чтобы оно было множеством типа $G_{\delta\sigma}$ ($G_\delta$) в стандартной топологии $[a,b]$. 2.4. Более конкретные примерыРассмотрим также более конкретные примеры последовательностей операторов, которые удовлетворяют условиям теорем 1 и 2 и которые можно свести к одному из выше рассмотренных примеров последовательностей. 1. Частичные суммы рядов Фурье по системам Хаара и Франклина с общими узлами являются сплайн операторными последовательностями, и они удовлетворяют условиям следствия 2. Для рядов Хаара характеризация $C$-, $D$- и $UD$-множеств в первые было дано в [29] (для $UD$-множеств) и [20] (для $D$-множеств). 2. Характеризация множеств сходимости и расходимости $(C,\alpha)$-средних тригонометрических рядов Фурье с параметром $\alpha>0$ дана Загорским в [42], где аналогичная проблема была рассмотрена также для интегралов Пуассона на единичном круге. Мы только отметим, что оба оператора являются аппроксимативными единицами на единичной окружности. 3. Пусть $(X,d,\mu)$ есть пространство однородного типа такое, что $C_K(X)$ всюду плотно в $L^1(X)$. Рассмотрим последовательность измеримых множеств $G_n\subset X$, которые эквивалентны шарам $B(0,r_n)$, т.е.
$$
\begin{equation}
G_n\subset B(0,r_n), \qquad \mu(G_n)>c\mu(B(0,r_n)),
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $c>0$ есть постоянная. Очевидно, что последовательность операторов является частным случаем последовательности (2.4). Эта последовательность, в частности, интересна, когда $X$ совпадает с $\mathbb R^n$. 4. Дьячков в [8] рассмотрел задачу характеризации $C$-$D$-множеств для операторов
$$
\begin{equation*}
U_\varepsilon(x,f)=\int_{\mathbb R^d}f(x-t)\phi_\varepsilon(t)\,dt \quad\text{при }\ \varepsilon\searrow 0,
\end{equation*}
\notag
$$
для ядер аппроксимативных единиц $\phi_\varepsilon(t)=\varepsilon^{-d}\phi(t/\varepsilon)$, где $\phi\in L^1(\mathbb R^d)$. 5. Главной частью теоремы Загорского из [41] (теорема A) является построение непрерывной функции, множество недифференцируемости которой есть данное множество $G=G_1\cup G_2$, где $G_1$ есть множество типа $G_\delta$, а $G_2$ есть $G_{\delta\sigma}$-нуль-множество. Без ограничения общности мы можем предполагать, что $G_1\cap G_2=\varnothing$. Следовательно, конструкцию можно разбить на отдельные конструкции двух функций $f_1$ и $f_2$, множества недифференцируемости которых совпадают с $G_1$ и $G_2$ соответственно. Тогда искомой функцией будет $f=f_1+f_2$. Функцию $f_2$ можно искать в виде где $g\in L^\infty(\mathbb R)$. Тогда множество точек дифференцируемости функции $f_2$ будет совпадать с множеством точек $x\in \mathbb R$ таких, что предел
$$
\begin{equation}
\lim_{|I|\to 0,\,I\ni x}\frac{1}{|I|}\int_Ig(t)\,dt
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
существует, где $I$ являются замкнутыми интервалами содержащие точку $x$. Существование функции $g\in L^\infty(\mathbb R)$, для которой предел (2.17) существует только в точках данного нуль-множества типа $G_{\delta\sigma}$, является частью утверждения 1.
§ 3. Вспомогательные леммыИзвестно из работы [30], что для любой квазиметрики $d$ существует другая квазиметрика $d'$, которая эквивалентна $d$, т.е. $C_1d(x,y)\leqslant d'(x,y)\leqslant C_2d(x,y)$, и удовлетворяет условию типа Липшица
$$
\begin{equation}
|d'(x,z)-d'(y,z)|\leqslant L(d'(x,y))^\alpha\bigl(\max\{d'(x,z),d'(y,z)\}\bigr)^{1-\alpha},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $L>0$ и $0<\alpha<1$ есть некоторые постоянные. Легко усмотреть, что $d'$ порождает ту же топологию, что и $d$, и, учитывая (3.1), $d'$-шары станут открытыми множествами. Используя это, мы можем доказывать следующую лемму. Лемма 1. Любое открытое множество $G$ в пространстве однородного типа допускает представление $G=\bigcup_{k=1}^\infty F_k$, где $F_k$ суть замкнутые множества и $F_k\Subset G$. Доказательство. Пусть $\operatorname{dist}'$ есть расстояние, полученное из квазиметрики $d'$ из (3.1). Определим
$$
\begin{equation*}
F_k=\biggl\{x\in G\colon \operatorname{dist}'(x,G^{\mathrm c})\geqslant \frac1k\biggr\}, \qquad k=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $F_k\Subset G$. Остается доказывать, что каждое множество $F_k$ замкнуто или то же самое, что $F_k^{\mathrm c}$ открыто. Для каждой $x\in F_k^{\mathrm c}$ имеем $\operatorname{dist}'(x,G^{\mathrm c})<1/k$. Тогда для достаточно малого $r>0$ из условия $d'(y,x)<r$ вытекает $\operatorname{dist}'(y,G^{\mathrm c})<1/k$, и это следует из (3.1). Отсюда мы получаем $B'(x,r)\subset F_k^{\mathrm c}$, т.е. $F_k^{\mathrm c}$ – открытое множество.
Лемма доказана. Следующая лемма является стандартным свойством топологии, порождаемой квазиметрикой. Лемма 2. Если множества $A$ и $B$ в квазиметрическом пространстве $(X,d)$ удовлетворяют условию $\operatorname{dist}(A,B)>0$, то существуют непересекающиеся открытые множества $U$ и $V$ такие, что $A\Subset U$ и $B\Subset V$. Доказательство. Пусть $d'$ есть липшицево расстояние с условием (3.1). Из эквивалентности расстояний $d$ и $d'$ следует $\operatorname{dist}'(A,B)>0$, а также мы знаем, что любой $d'$-круг есть открытое множество. Определим открытое множество $U\supset A$ как объединение всех шаров $B'(x,r)$ с $x\in A$ и $r=\operatorname{dist}'(x,B)/(2K)\,{>}\,0$, где $K$ есть постоянная из неравенства треугольника для $d'$. Таким же образом, определив открытую окрестность $V\supset B$, мы утверждаем $U\cap V=\varnothing$. Предположим обратное, что существует точка $z\in U\cap V$. Тогда мы найдем $x\in A$ и $y\in B$ так, что Отсюда вытекает неравенство которое есть противоречие, и поэтому $U\cap V=\varnothing$. Остается только заметить, что выполнены соотношения $A\Subset U$ и $B\Subset V$, которые имеют место относительно обоих метрик $d$ и $d'$.
Лемма доказана. Известно из геометрической теории меры (см. [36; теорема 1.11]), что если в топологическом пространстве с мерой $(X,\mu)$ каждое открытое множество имеет тип $F_\sigma$ и мера $\mu$ является открыто $\sigma$-конечной (т.е. $X$ представим в виде счетного объединения открытых множеств конечной меры), то для любого борелевского множества $E$. Любое пространство однородного типа $X$ удовлетворяет таким условиям, так как каждое открытое множество имеет тип $F_\sigma$ согласно лемме 1, и $X$ можно представить в виде счетного объединения $d'$-шаров, которые открыты и имеют конечные меры. Таким образом, мы имеем следующее утверждение.Лемма 3. Любое пространство однородного типа $X$ обладает свойством (3.2). Определение 3. Последовательность $\Omega=\{\omega_k\colon k=1,2,\dots\}$ борелевских множеств в топологическом пространстве $X$ назовем: 1) разбиением открытого множества $B\subset X$, если
$$
\begin{equation}
B=\bigcup_k\omega_k, \qquad \omega_k\cap \omega_{k'}=\varnothing \quad\text{при }\ k\neq k',
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
2) локально конечным, если существуют открытые множества $V_k\supset \omega_k$ такие, что каждое из них имеет только конечное число пересечений с остальными, т.е.
$$
\begin{equation}
\#\{j\in \mathbb N\colon V_j\cap V_k\neq \varnothing\}<\infty \quad\text{при всех }\ k=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
3) регулярным разбиением для открытого множества $B$, если она есть разбиение и существуют открытые множества $V_j$, удовлетворяющие (3.4) (таким образом, она локально конечна), а также Лемма 4. Пусть $\omega_k$, $k=1,2,\dots$, – локально конечное семейство измеримых множеств в топологическом пространстве с мерой $X$. Тогда для любого измеримого множества $E\subset \bigcup_k\omega_k$ и для любых чисел $\varepsilon_k >0$ существует открытое множество $G\supset E$ такое, что Доказательство. Пусть $V_k\supset \omega_k$, $k=1,2,\dots$, – открытые множества такие, что каждое $V_k$ имеет только конечное число пересечений с остальными $V_j$, и обозначим это число через $l_k$. Легко проверить, что
$$
\begin{equation}
\varepsilon'_k=\min_{j\colon V_j\cap V_k\neq \varnothing}\frac{\varepsilon_j}{l_j}>0 \quad\text{при всех }\ k=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
так как только конечное число индексов $j$ в минимуме удовлетворяют условию $V_j\cap V_k\neq \varnothing$. Отсюда, применив лемму 3, можно определить открытые множества $G_k$, $k=1,2,\dots$, такие, что
$$
\begin{equation}
E\cap \omega_k\subset G_k\subset V_k, \qquad \mu(G_k\setminus E)<\varepsilon'_k.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Отсюда получаем $G=\bigcup_kG_k\supset E$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mu((G\setminus E)\cap \omega_k) &\leqslant \sum_{j\colon V_j\cap \omega_k\neq \varnothing} \mu((G_j\setminus E )\cap \omega_k) \leqslant \sum_{j\colon V_j\cap V_k\neq \varnothing} \mu(G_j\setminus E) \\ &<\sum_{j\colon V_j\cap V_k\neq \varnothing} \varepsilon'_j< \sum_{j\colon V_j\cap V_k\neq \varnothing}\frac{\varepsilon_k}{l_k}=\varepsilon_k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
что и завершает доказательство леммы. Лемма 5. Любое открытое множество $B\subset X$ в пространстве однородного типа $X$ обладает регулярным разбиением. Доказательство. Для любого открытого множества $B\subset X$ можем найти замкнутые множества $F_k$, $k=1,2,\dots$, так что
$$
\begin{equation}
B=\bigcup_kF_k, \qquad F_k\Subset \operatorname{Int}(F_{k+1}),
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $\operatorname{Int}(E)$ обозначается внутренность множества $E\subset X$. В самом деле, во-первых, пишем $B=\bigcup_k A_k$, где $A_k\Subset B$ – замкнутые множества (см. лемму 1). Так как $\operatorname{dist}(A_1,B^{\mathrm c})>0$, согласно лемме 2 множества $A_1$ и $B^{\mathrm c}$ имеют непересекающиеся окрестности $D_1\Supset A_1$ и $G_1\Supset B^{\mathrm c}$. Тогда мы имеем $A_1\Subset D_1$ и $\overline {D_1}\subset (G_1)^{\mathrm c}\Subset B$. Далее мы сделаем то же самое с замкнутыми множествами $A_2\cup \overline {D_1}\Subset B$ и $B^{\mathrm c}$ и получаем открытое множество $D_2\Supset A_2\cup \overline {D_1}$ такое, что $\overline {D_2}\Subset B$. Продолжив этот процесс бесконечно, мы получим открытые множества $D_k$ такие, что $D_k\Supset A_k\cup \overline{D_{k-1}}$ и $\overline {V_k}\subset B$. Заметим, что $F_1=A_1$, $F_k=A_k\cup \overline{D_{k-1}}$, $k\geqslant2$, – замкнутые множества, удовлетворяющие (3.9). Очевидно имеем $B=\bigcup_kF_k$, а также $F_k\Subset D_k\subset F_{k+1}$. Так как множество $D_k$ открыто, мы получим $F_k\Subset \operatorname{Int}(F_{k+1})$.
Имея (3.9), мы определим борелевские множества $\omega_1=F_1$, $\omega_k=F_k\setminus F_{k-1}$, $k\geqslant 2$, которые очевидно удовлетворяют условию (3.3). Легко усмотреть также, что открытые множества $V_1=\operatorname{Int}(F_2), V_2=\operatorname{Int}(F_3)$, $V_k= \operatorname{Int}(F_{k+1})\setminus F_{k-2}$, $k>2$, удовлетворяют (3.4). Кроме того, согласно (3.9) мы имеем
$$
\begin{equation*}
\omega_k\subset F_k\setminus \Subset \operatorname{Int}(F_{k+1})\subset \operatorname{Int}(F_{k-1})\subset V_k,
\end{equation*}
\notag
$$
что дает (3.5).
Лемма доказана. Обозначение $f_n(x)\rightrightarrows f(x)$ будем использовать при равномерной сходимости последовательности функций на множестве. Лемма 6. Пусть $(X,d,\mu)$ есть пространство однородного типа и предположим, что операторы (1.4) удовлетворяют (U1) и (U3). Если $G\subset X$ – открытое множество конечной меры и $F\Subset G$ – измеримое множество, то Доказательство. Во-первых, отметим, что согласно (U3) имеем
$$
\begin{equation}
U_n(x,f\cdot \mathbf 1_F)\rightrightarrows 0 \quad\text{на }\ G^{\mathrm c} \ \text{ при }\ n\to\infty
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
для любой $f\in L^1(X)$, так как $f\cdot \mathbf 1_F\in L^1(X)$ – тождественный нуль на открытом множестве $F^{\mathrm c}$ и $G^{\mathrm c}\Subset F^{\mathrm c}$. Предположим обратное, что $d_G(F)=\infty$. Из свойства ограниченности (U1) для операторов (1.4) следует
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag d_{G,m}(F) &=\max_{1\leqslant n\leqslant m}\sup_{x\in G^{\mathrm c}}\sup_{\|f\|_1\leqslant 1}|U_n(x,f\cdot \mathbf 1_F)| \\ &\leqslant \max_{1\leqslant n\leqslant m}\rho_n<\infty \quad\text{при всех }\ m\in \mathbb N, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
и согласно обратному предположению мы имеем Применив индукцию, можно найти целые числа $n_k\in\mathbb N$, точки $x_k\in G^{\mathrm c}$ и функции $f_k\in L^1(X)$, $k=1,2,\dots $, такие, что
$$
\begin{equation}
\| f_k\|_1\leqslant 1, \qquad \operatorname{supp} f_k\subset F, \quad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
$$
\begin{equation}
|U_{n_k}(x_k,f_k)|>k^3\Bigl(1+\max_{1\leqslant i<k}\rho_{n_i}\Bigr), \qquad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
$$
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant i<k}|U_{n_k}(x,f_i)|<1, \qquad x\in G^{\mathrm c}, \quad k>1.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Действительно, применив (3.13), сначала мы определим $f_1(x)$, $n_1\in\mathbb N$ и $x_1\in G^{\mathrm c}$ с условиями
$$
\begin{equation*}
\| f_1\|_1\leqslant 1, \qquad \operatorname{supp} f_1\subset F, \qquad |U_{n_1}(x_1,f_1)|>1,
\end{equation*}
\notag
$$
которое дает первый шаг индукции. Далее предположим, что уже определены $f_k\in L^1(X)$, $n_k\in\mathbb N$ и $x_k\in G^{\mathrm c}$, удовлетворяющие условиям (3.14)–(3.16) при $k=1,2,\dots ,p$. Еще раз применив (3.13), мы найдем $f_{p+1}(x)$, $n_{p+1}\in\mathbb N$ и $x_{p+1}\in G^{\mathrm c}$, удовлетворяющие (3.14) и (3.15) при $k=p+1$. Более того, согласно (3.12) число $n_{p+1}$ можно брать сколь угодно большим, и поэтому, применив (3.11), мы можем также обеспечить (3.16) при $k=p+1$. Это и завершает индукцию. Заметим также оценку
$$
\begin{equation}
|U_{n_k}(x,f_i)|\leqslant \rho_{n_k}, \qquad x\in X, \qquad i=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
которая немедленно следует из (U1) и $\|f_i\|_1\leqslant 1$. Теперь рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
f(x)=\sum_{k=1}^\infty \alpha_kf_k(x), \qquad \alpha_k=\frac{1}{k^2(1+\max_{1\leqslant i<k}\rho_{n_i})}.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Очевидно, $f\in L^1 (X)$ и, более того, $\operatorname{supp} f \subset F$. Применив (3.14)–(3.18), мы получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |U_{n_k}(x_k,f)| &\geqslant \alpha_k|U_{n_k}(x_k,f_k)|-\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_i|U_{n_k}(x_k,f_i)|- \sum_{i=k+1}^\infty \alpha_i |U_{n_k}(x_k,f_i)| \\ &\geqslant k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{1}{i^2}-\sum_{i=k+1}^\infty \frac{1}{i^2}\geqslant k-2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это дает противоречие, так как $\operatorname{supp} f \subset F$ и $U_n(x,f)\rightrightarrows 0$ на $G^{\mathrm c}$ согласно (3.11).
Лемма доказана. Для последовательности попарно непересекающиеся измеримых множеств $\Omega=\{\omega_k\}$ в пространстве однородного типа $X$ и отображения $\nu\colon \Omega\to \mathbb N$ обозначим
$$
\begin{equation}
U_{(\Omega,\nu)}(x,f)=\sum_{k\geqslant 1} U_{\nu(\omega_k)}(x,f)\cdot \mathbf 1_{\omega_k}(x).
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Лемма 7. Пусть последовательность операторов $U_n$ удовлетворяет (U3) и функции $f_k\in L^1(X)$, $k=1,2,\dots,n$, постоянны на открытом множестве $G\subset X$, которое имеет разбиение $\Omega=\{\omega_k\}$ такое, что $ \omega_k\Subset G$. Тогда для любых $\varepsilon >0$ и $R>0$ существует отображение $\nu\colon \Omega\to \mathbb N$ такое, что Доказательство. Из условия (U3) следует, что $U_n(x,f_i)\rightrightarrows f_i(x)$ на каждом $\omega_k$ при всех $i=1,2,\dots, n$. Отсюда для любого $\omega_k$ можно найти число $\nu(\omega_k)\in \mathbb N$, так что $\nu(\omega_k)>R$ и
$$
\begin{equation*}
|U_{\nu(\omega_k)} (x,f_i)-f_i(x)|<\varepsilon, \qquad x\in \omega_k, \qquad i=1,2,\dots ,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда мы получаем (3.20) и (3.21).
Лемма доказана. Лемма 8. Пусть последовательность операторов $U_n$ удовлетворяет (U1) и (U3), $G\subset X$ – открытое множество с регулярным разбиением $\Omega=\{\omega_k\}$, и пусть $\nu\colon \Omega\to \mathbb N$ есть отображение. Тогда если множество $C\subset G$ – измеримо и функция $f\in L^\infty(X)$ удовлетворяет Доказательство. Для $x\not\in G$ условие (3.23) тривиально, так как имеем $U_{(\Omega,\nu)}(x,f)=0$ (см. (3.19)). По определению регулярного разбиения можно фиксировать открытые множества $V_k\supset \omega_k$, $k=1,2,\dots$, удовлетворяющие (3.3). Для $x\in G$ можно писать
$$
\begin{equation}
x\in \omega_k\quad \text{для единственного }\ k\geqslant1,
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
и потом
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |U_{(\Omega,\nu)}(x,f)| &\leqslant \sum_{j\colon V_j\cap V_k=\varnothing} |U_{\nu(\omega_k)}(x,f\cdot\mathbf 1_{\omega_j})| \\ &\qquad +\sum_{j\colon V_j\cap V_k\neq \varnothing} |U_{\nu(\omega_k)}(x,f\cdot\mathbf 1_{\omega_j})|=S_1(x)+S_2(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Условие $V_j\cap V_k=\varnothing$ дает $x\in\omega_k\Subset V_k\subset (V_j)^{\mathrm c}$. Поэтому, применив лемму 6 и соотношение (3.22), для первой суммы получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag S_1(x) &\leqslant \sum_{j\colon V_j\cap V_k=\varnothing}\|f\cdot\mathbf 1_{\omega_j}\|_{1}d_{V_j}(\omega_j) \\ &\leqslant \sum_{j\colon V_j\cap V_k=\varnothing}d_{V_j}(\omega_j)|C\cap \omega_j|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Применив (U1) и (3.22), мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag S_2(x) &\leqslant \sum_{j\colon V_j\cap V_k\neq \varnothing}\rho_{\nu(\omega_k)}|C\cap \omega_j| \\ &\leqslant \sum_{j\colon V_j\cap V_k\neq \varnothing}\max\{\rho_{\nu(\omega_i)}\colon V_i\cap V_j\neq \varnothing \}|C\cap \omega_j|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Комбинируя (3.25)–(3.27), получаем (3.23) с постоянными
$$
\begin{equation}
c(\omega_j)=\max\bigl\{\max\{\rho_{\nu(\omega_i)}\colon V_i\cap V_j\neq \varnothing \},d_{V_j}(\omega_j)\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Остается лишь отметить, что по (U1) и лемме 6 мы имеем $c(\omega_j)<\infty$ при всех $j=1,2,\dots$ .
Лемма доказана. Для любого открытого множества $A\subset X$ конечной меры обозначим
$$
\begin{equation*}
\lambda(A)=A\cup \Bigl\{x\in X\colon \limsup_{n\to \infty}|U_n(x,\mathbf 1_A)| >0\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если последовательность операторов $\{U_n\}$ удовлетворяет (U4), то
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}U_n(x,\mathbf 1_A)=0,\text { п.в. на } X\setminus A,
\end{equation*}
\notag
$$
и получим Лемма 9. Пусть последовательность операторов (1.4) удовлетворяет (U1), (U3) и (U4). Если открытые множества $A$ и $B$ из $X$ имеют конечные меры и $\lambda(A)\subset B$, то для любого $\varepsilon>0$ существует открытое множество $G\subset B$ такое, что Доказательство. Применив лемму 5, мы найдем открытое множество $B$ с регулярным разбиением $\Omega=\{\omega_k\colon k=1,2,\dots\}$. Согласно лемме 6 и соотношению (3.5) мы заключаем $d_B(\omega_k)<\infty$ при всех $k=1,2,\dots$ . Используя лемму 4, мы найдем открытое множество $G\subset B$ такое, что
$$
\begin{equation}
\mu((G\setminus A)\cap \omega_k)<\varepsilon_k=\frac{\varepsilon}{2^k(1+d_B(\omega_k))}.
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
Первое условие в (3.30) сразу же следует из (3.32). Далее мы имеем
$$
\begin{equation}
\mu(G\setminus A)\leqslant \sum_{k=1}^\infty \mu((G\setminus A)\cap \omega_k)<\sum_{k=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^k}=\varepsilon.
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Остается доказывать, что $\lambda(G)\subset B$. Выберем произвольную точку $x\not\in B$. Соотношение $\lambda(A)\subset B$ дает Отсюда согласно линейности операторов $U_n$ и свойству попарной непересекаемости множеств $\omega_k$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \limsup_{n\to\infty }|U_n(x,\mathbf 1_G)| &=\limsup_{n\to\infty }|U_n(x,\mathbf 1_{G\setminus A})| \\ &\leqslant \limsup_{n\to\infty }\sum_{k=0}^\infty |U_n(x,\mathbf 1_{(G\setminus A)\cap \omega_k})|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
Из (U3) также следует
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}U_n(x,\mathbf 1_{(G\setminus A)\cap \omega_k})=0 \quad\text{для любого }\ k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
Кроме того, по лемме 6 и в силу (3.33) мы можем писать
$$
\begin{equation}
|U_n(x,\mathbf 1_{(G\setminus A)\cap \omega_k})|\leqslant d_B(\omega_k)\|\mathbf 1_{(G\setminus A)\cap \omega_k}\|_1< \varepsilon_k d_B( \omega_k)\leqslant \frac{\varepsilon}{2^k}.
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Комбинируя (3.36), (3.37) и (3.38), мы получим т.е. $x\not\in \lambda(G)$, и, следовательно, $\lambda(G)\subset B$.
Лемма доказана. Лемма 10. Пусть последовательность операторов (1.4) удовлетворяет (U1), (U3) и (U4). Если $A$ и $B$ – открытые множества конечной меры в $(X,\mu)$ с $\lambda(A)\subset B$, то существует семейство открытых множеств такое, что Доказательство. Определим $G_1=A$, $G_0=B$ и применим лемму 9 к паре открытых множеств $G_1,\,G_0$. Так мы найдем открытое множество $G=G_{1/2}$, удовлетворяющее (3.30). Далее применим индукцию. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathcal D_k=\biggl\{\frac{i}{2^k}\colon 0\leqslant i\leqslant 2^k\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и предположим, что мы уже определили $G_r$ для любого $r\in\mathcal D_k$ так, что (3.40) выполняется при любых $r,r'\in \mathcal D_k$. Применив лемму 9 к каждой паре множеств $G_{i/2^k},\,G_{(i+1)/2^k}$, мы получим промежуточные множества $G_{(2i+1)/2^{k+1}}$, $0\leqslant i\leqslant 2^k-1$. Очевидно, что новое семейство множеств $\{G_r,\, r\in\mathcal D_{k+1}\}$ тоже удовлетворяет условию (3.40). Продолжив индукцию, мы наконец получим множества $G_r$, определенные для всех $r\in\mathcal D$ и удовлетворяющие (3.40) для всевозможных двоичных индексов $r,r'$.
Лемма доказана. Лемма 11. Пусть операторы (1.4) удовлетворяют (U1)–(U4). Если $\varepsilon >0$, $G\subset X$ – открытое множество конечной меры и $E\subset G$ – нуль-множество, то существуют открытое множество $A$, $E\subset A \subset G$, и функция $h(x)$, $x\in X$, такие, что Доказательство. Применив лемму 5, найдем регулярное разбиение $\Omega=\{\omega_k\colon k\in \mathbb N \}$ для $G$. Далее, используя лемму 4, мы определим открытое множество $B$, удовлетворяющее
$$
\begin{equation}
\mu(B\cap \omega_k)<\varepsilon_k=\frac{\varepsilon}{2^k(1+d_G(\omega_k))}.
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
Применив лемму 9, получим открытое множество $A$, удовлетворяющее $E\subset A$, $\lambda(A)\subset B$. Из оценки (3.47) следует $\mu(B)<\varepsilon $ и, следовательно, (3.41). Согласно лемме 10, существует семейство открытых множеств $\{G_r\colon r\in \mathcal D\}$, удовлетворяющее (3.39) и (3.40). Определим функцию
$$
\begin{equation}
h(x)= \begin{cases} \sup\{r\colon x\in G_r\}, &\text{ если } x\in B, \\ 0, &\text{ если } x\in X\setminus B. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.48}
$$
Очевидно, $h(x)$ удовлетворяет условиям (3.42), (3.43) и, более того, $\operatorname{supp} (h) \,{\subset}\,B$. Используя лемму 6 и (3.47), для любой $x\in G^{\mathrm c}$ мы получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |U_n(x,h)| &\leqslant \sum_{k=1}^\infty |U_n(x, h\cdot \mathbf 1_{\omega_k})| \\ &<\sum_{k=1}^\infty d_G(\omega_k)|B\cap \omega_k|\leqslant \sum_{k=1}^\infty\frac{\varepsilon}{2^k}=\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
что дает (3.44). Остается проверить условие (3.45). Для этого рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
p(x)=\mathbf 1_{G_{r_0}}(x)+\sum_{k=0}^{m-1}r_k\mathbf 1_{G_{r_{k+1}}\setminus G_{r_k}}(x),
\end{equation}
\tag{3.50}
$$
где двоично-рациональные числа $r_k\in \mathcal D$ удовлетворяют
$$
\begin{equation}
1=r_0>r_1>\dots>r_m=0, \qquad r_{k}-r_{k+1}<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{3.51}
$$
Заметим, что В самом деле, имеем
$$
\begin{equation}
h(x)=p(x)=0, \qquad x\in X\setminus G_0=X\setminus B.
\end{equation}
\tag{3.54}
$$
Если $x\,{\in}\, G_0\setminus G_1$, то будем иметь $x\,{\in}\, G_{r_{k+1}}\setminus G_{r_k}$ для некоторого $k\,{=}\,0,1,\dots,m\,{-}\,1$. Тогда из определения $h(x)$ следует
$$
\begin{equation}
r_k\geqslant h(x)\geqslant r_{k+1}, \qquad p(x)=r_k.
\end{equation}
\tag{3.55}
$$
Отсюда получим (3.52). Из (3.52) и оценки $\|U_n\|_{L^\infty\to M}\leqslant \varrho $ (см. свойство (U2)) вытекает Будем рассматривать следующие случаи.
Случай 1: $x\in G_0=G_{r_0}$. Имеем $h(t)=1$ при $t\in G_0$. По лемме 1 существует замкнутое множество $F$ такое, что $x\in F\Subset G_0$. Отсюда и из свойства (U3) следует Случай 2: $x\in B\setminus G_0$. В этом случае мы имеем для некоторого $k=0,1,\dots ,m-1$. Вновь по (U3) следует
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_i}})=1, \qquad i\geqslant k+1.
\end{equation}
\tag{3.58}
$$
С другой стороны, используя свойство $\lambda(G_{r_i})\subset G_{r_{i+1}}$, мы можем утверждать
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_i}})=0, \qquad i\leqslant k-1,
\end{equation}
\tag{3.59}
$$
при любых $k\geqslant 1$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lim_{n\to\infty}U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_{i+1}}\setminus G_{r_i}}) \\ &\qquad=\lim_{n\to\infty}U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_{i+1}}})- \lim_{n\to\infty}U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_i}})=0, \qquad i\in \mathbb N,\quad i\neq k,k-1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.60}
$$
Далее, сначала применив (3.55), (3.60), а потом (3.58), (3.59) и свойство ограниченности (U2), в случае $k>0$ мы получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\limsup_{n\to\infty}|U_n(x,p)-p(x)| \\ \notag &\qquad=\limsup_{n\to\infty}|r_{k-1}U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_{k}}\setminus G_{r_{k-1}}})+r_kU_n(x,\mathbf 1_{G_{r_{k+1}}\setminus G_{r_k}})-r_k| \\ \notag &\qquad\leqslant \varrho \varepsilon+\limsup_{n\to\infty}|r_{k}U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_{k}}\setminus G_{r_{k-1}}})+r_kU_n(x,\mathbf 1_{G_{r_{k+1}}\setminus G_{r_k}})-r_k| \\ &\qquad= \varrho \varepsilon+r_k\limsup_{n\to\infty}|U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_{k+1}}}) -U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_{k-1}}}) -1| = \varrho \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.61}
$$
Если $k=0$, то аналогично имеем
$$
\begin{equation}
\limsup_{n\to\infty}|U_n(x,p)-p(x)|\leqslant \varrho \varepsilon+r_0\limsup_{n\to\infty}|U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_1}}) -1|= \varrho \varepsilon.
\end{equation}
\tag{3.62}
$$
Комбинируя последние две оценки с (3.56), заключаем $U_n(x,h)\to h(x)$.
Случай 3: $x\in X\setminus B$. Из соотношений $\lambda(G_{r_i})\subset G_{r_m}=B$, $i=1,2,\dots ,m-1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_{i+1}}\setminus G_{r_i}})=0,\qquad i=1,2,\dots ,m-2,
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, используя также (3.50) и неравенство $r_{m-1}<\varepsilon$ (см. (3.51)), мы получим
$$
\begin{equation*}
\limsup_{n\to\infty}|U_n(x,p)|=\limsup_{n\to\infty}r_{m-1}|U_n(x,\mathbf 1_{G_{r_m}\setminus G_{r_{m-1}}})|<\varepsilon \varrho,
\end{equation*}
\notag
$$
что заключает доказательство (3.45).
Лемма 11 доказана. Лемма 12. Если операторы (1.4) удовлетворяют (U1)–(U4), то для любого $G_\delta$-множества меры нуль $E\subset X$ и любого $\varepsilon>0$ существует функция $g\in M(X)$, удовлетворяющая Доказательство. Имеем $E=\bigcap_{k=1}^\infty E_k$, где $E_k\subset X$ – открытые множества, и мы можем также предполагать, что Докажем, что можно найти функции $h_k(x)$, $x\in X$, и открытые множества $A_k\subset X$, $k=1,2,\dots,$ удовлетворяющие условиям h1)–h8):
h1) $E\subset A_k\subset E_k$, $A_k\subset A_{k-1}$, $k\geqslant 1$ ($A_0=X$), h2) $\operatorname{supp} h_k(x)\subset A_{k-1}$, $h_k(x)=1$, $x\in A_k$, $k\geqslant 1$, h3) $0\leqslant h_k(x)\leqslant 1$, $x\in X$, $k\geqslant 1$, h4) $|U_n(x,h_k)|<2^{-k}$, $x\in A_{k-1}^{\mathrm c}$, $k\geqslant 1$, h5) $U_n(x,h_k)\to h_k(x)$ при $n\to\infty $, $x\in X$. Для любого открытого множества $A_k$ существуют регулярное разбиение $\Omega_k$ и функция $\nu_k\colon \Omega_k\to\mathbb N$, удовлетворяющие h6) $\min_{\omega\in\Omega_k}\nu_k(\omega)>k$ для любого $k=1,2,\dots$, h7) $|U_{(\Omega_k,\nu_k)}(x,h_i)-1|<{1}/{k^2}$, $x\in A_k$, $i\leqslant k$, h8) $|U_{(\Omega_i,\nu_i)}(x,h_k)|<{1}/{k^2}$, $x\in X$, $ i<k$. Мы осуществляем конструкцию по индукции. Применив лемму 11, найдем открытое множество $A_1$, $E\subset A_1\subset E_1$, и функцию $h_1(x)$, $x\in X$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_1(x)=1, \qquad x\in A_1, \\ 0\leqslant h_1(x)\leqslant 1, \qquad x\in X, \\ U_n(x,h_1)\to h_1(x) \quad\text{при всех }\ x\in X. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 7 существуют регулярное разбиение $\Omega_1$ для открытого множества $A_1$ и функция $\nu_1\colon \Omega_1\to\mathbb N$ такие, что Это и есть первый шаг индукции. Теперь предположим, что мы уже выбрали множества $A_k$ и функции $h_k(x)$ с условиями h1)–h8) при $k=1,2,\dots ,p$. Пусть $c_k(\omega )$, $\omega\in\Omega_k$, суть постоянные из (3.23), соответствующие регулярному разбиению $\Omega_k$ множества $A_k$, $k=1,2,\dots ,p$. Для любого $l=1,2,\dots,p$ фиксируем набор положительных чисел $\{\varepsilon_l(\omega)>0\colon \omega\in \Omega_l\}$, удовлетворяющих
$$
\begin{equation}
\sum_{\omega\in \Omega_l}\varepsilon_l(\omega)<\frac{1}{(p+1)^2}.
\end{equation}
\tag{3.68}
$$
Применив лемму 4, для любого $l\leqslant p$ выберем промежуточное открытое множество $C_l$, удовлетворяющее
$$
\begin{equation}
|C_l\cap \omega |<\frac{\varepsilon_l(\omega)}{c_l(\omega )}, \qquad \omega \in\Omega_l,\,l=1,2,\dots ,p.
\end{equation}
\tag{3.70}
$$
Обозначим $C=\bigcap_{l=1}^pC_l$. Отсюда, применив лемму 8, для любой функции $f$ с условием (3.22) получим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |U_{(\Omega_l,\nu_l)}(x,f)| &\leqslant \sum_{\omega \in\Omega_l}c_l(\omega )|C\cap \omega | \\ &\leqslant\sum_{\omega \in\Omega_l}c_l(\omega )|C_l\cap \omega |\leqslant \sum_{\omega \in\Omega_l}\varepsilon_l(\omega)< \frac{1}{(p+1)^2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.71}
$$
которая выполняется при всех $x\in X$ и $l\leqslant p$. Далее, используя лемму 11, найдем открытое множество $A_{p+1}$ и функцию $h_{p+1}(x)$, $x\in X$, такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E\subset A_{p+1}\subset C\subset A_p\cap E_{p+1}, \\ \operatorname{supp} h_{p+1}\subset C, \qquad h_{p+1}(x)=1,\,x\in A_{p+1}, \\ 0\leqslant h_{p+1}(x)\leqslant 1, \qquad x\in X, \\ |U_n(x,h_{p+1})|\leqslant 2^{-p-1} , \qquad x\in (A_p)^{\mathrm c}, \\ U_n(x,h_{p+1})\to h_{p+1}(x) \quad \text{для всех }\ x\in X. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем соотношения h1)–h5) при $k=p+1$. Из (3.71) можем также получить неравенство
$$
\begin{equation*}
|U_{(\Omega_l,\nu_l)}(x,h_{p+1})|\leqslant \frac{1}{(p+1)^2}, \qquad x\in X, \quad l\leqslant p,
\end{equation*}
\notag
$$
которое дает h8) в случае $k=p+1$. Далее, применив лемму 7, найдем локально конечное разбиение $\Omega_{p+1}$ для $A_{p+1}$ и отображение $\nu_{p+1}\colon \Omega_{p+1}\to\mathbb N$ с условиями h6) и h7) при $k=p+1$. Это завершает индукцию. Из h1) следует Определим
$$
\begin{equation}
g(x)=\sum_{i=1}^\infty (-1)^{i+1}h_i(x), \quad\text{если }\ x\in X\setminus E,
\end{equation}
\tag{3.72}
$$
и $g(x)=0$, если $x\in E$. Заметим, что ряд (3.72) сходится в $L^1(X)$, так как согласно h1), h2), h3) и (3.67) имеем $\|h_k\|_1<\varepsilon 2^{-k+1}$. Отсюда с учетом ограниченности оператора $U_n\colon L^1(X)\to M(X)$ мы заключаем где ряд сходится равномерно. Очевидно, из h1) и (3.67) вытекает (3.63). Фиксируем точку $x\in E^{\mathrm c}$. Имеем для некоторого $k\geqslant 1$. С учетом h2) последнее дает Отсюда получим
$$
\begin{equation}
g(x)= \sum_{i=1}^k(-1)^{i+1}h_i(x)=\sum_{i=1}^{k-1} (-1)^{i+1}+(-1)^{k+1}h_k(x).
\end{equation}
\tag{3.77}
$$
Если $k$ четное, то $g(x)=1-h_k(x)$, для нечетного же $k$ имеем $g(x)=h_k(x)$. Отсюда и из свойства h3) функции $h_k(x)$ вытекает условие (3.64). Из соотношения h4) следует Отсюда, используя (3.73), (3.77), а также h5), при $m>k$ заключаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \limsup_{n\to\infty}|U_n(x,g)-g(x)| &=\limsup_{n\to\infty} \biggl|\sum_{i=m}^\infty (-1)^{i+1}U_n(x,h_i)\biggr| \\ &\leqslant \sum_{i=m}^\infty|U_n(x,h_i)|\leqslant\sum_{i=m}^\infty 2^{-i}=2^{-m+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $m$ может быть достаточно большим, это дает (3.65). Чтобы установить (3.66), теперь предположим, что $x\in E$. Тогда будем иметь $x\in A_k$ для всех $k=1,2,\dots$ . Используя это, для любого $k=1,2,\dots$ можно фиксировать множество $\omega_k\in\Omega_k$ такое, что $\omega_k\ni x$. По условию h8) имеем
$$
\begin{equation}
|U_{\nu_k(\omega_k)}(x,h_i)|\leqslant \frac{1}{i^2}, \qquad i>k,
\end{equation}
\tag{3.79}
$$
а из h7) следует
$$
\begin{equation}
|U_{\nu_k(\omega_k)}(x,h_i)-1|\leqslant \frac{1}{k^2}, \qquad i\leqslant k.
\end{equation}
\tag{3.80}
$$
Отсюда, применив (3.73), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \biggl|U_{\nu_k(\omega_k)}(x,g)-\sum_{i=1}^k(-1)^{i+1}\biggr| \\ &\qquad\leqslant \sum_{i=1}^k|U_{\nu(\omega_k)}(x,h_i)-1|+\sum_{i=k+1}^\infty |U_{\nu(\omega_k)}(x,h_i)| \\ &\qquad\leqslant k \frac{1}{k^2}+\sum_{i=k+1}^\infty \frac{1}{i^2}<\frac{2}{k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как по h6) имеем $\nu_k(\omega_k)\to\infty$ и сумма $\sum_{i=1}^k(-1)^{k+1}$ принимает значения $0$ или $1$ попеременно, получим (3.66) при всех $x\in E$, завершив доказательство леммы 12. § 4. Доказательства теорем Доказательство теоремы 1. Предположим, что $E$ есть $G_{\delta\sigma}$-нуль-множество и $E=\bigcup_{k=1}^\infty E_k$, где $E_k$ являются $G_\delta$-множествами меры нуль и мы можем дополнительно предполагать, что $E_k\subset E_{k+1}$. Применив лемму 12, для любого $E_k$ мы найдем функцию $g_k(x)$ такую, что
g1) $\mu(\operatorname{supp} (g_k))<\varepsilon/2^k$, g2) $0\leqslant g_k(x) \leqslant 1$, g3) $U_n(x,g_k)\to g_k(x)$ в любой точке $x\not\in E_k$, g4) для любой точки $x\in E_k $ имеем $\delta(x,g_k)\geqslant 1/2$, где мы используем обозначение Докажем, что является нашей искомой функцией, где $\varrho$ – постоянная из (U2). Ограниченность функции $f$ следует из g2), а условие g1) дает $\mu(\operatorname{supp}(f))<\varepsilon$. Выберем любую точку $x\in E$. Для некоторого $k$ имеем Из этого и g3), g4) следует
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}U_n(x,g_i)=g_i(x), \quad\text{если }\ i\leqslant k-1,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
\delta(x,g_i)\leqslant \sup_n|U_n(x,g_i)|+|g_i(x)|\leqslant \varrho+1, \qquad i=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Отсюда, используя также (U2), получим неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \delta(x,f) &\geqslant \frac{\delta(x,g_k)}{(4\varrho+53)^k}-\sum_{i=k+1}^\infty \frac{\delta(x,g_i)}{(4\varrho+5)^i} \\ &\geqslant \frac{1}{2(4\varrho+5)^k}-\sum_{i=k+1}^\infty \frac{\varrho+1}{(4\varrho+5)^i} =\frac{1}{4(4\varrho+5)^k}>0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое означает, что последовательность $U_n(x,f)$ расходится при всех $x\in E$. Предположив $x\not\in E$, имеем $x\not\in E_i$ при любом $i\in \mathbb N$, и поэтому $U_n(x,g_i)\to g_i(x)$, когда $n\to\infty$. Отсюда вытекает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \delta(x,f) &=\delta\biggl(x,\sum_{i=k+1}^\infty (4\varrho+5)^{-i}g_i\biggr) \\ &\leqslant \sup_n\biggl|U_n\biggl(x,\sum_{i=k+1}^\infty (4\varrho+5)^{-i}g_i\biggr)\biggr| +\biggl|\sum_{i=k+1}^\infty (4\varrho+5)^{-i}g_i(x)\biggr| \\ &\leqslant (\varrho+1)\sum_{i=k+1}^\infty (4\varrho+5)^{-i}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как последнее стремится к нулю, мы получаем $\delta(x,f)=0$.
Теорема 1 доказана. Доказательство теоремы 2. Будем пользоваться теми же функциями $h_k$, построенными в доказательстве леммы 12 с дополнительным условием $\mu(A_k)< \alpha_k$, которое легко можно обеспечить. Тогда для достаточно малых чисел $\alpha_k<2^{-k}$ мы будем иметь и $\mu(\operatorname{supp}(f))<\varepsilon$. По построению функций $h_k$ начальное множество $E$ можно представить в виде $E=\bigcap_kA_k$. Так как $\|h_k\|_1<2^{-k+1}$, ряд (4.5) сходится в $L^1(X)$, и согласно ограниченности оператора $U_n\colon L^1\to M$ мы можем писать где ряд сходится равномерно на $X$. Предположив $x\in E^{\mathrm c}$, имеем $x\in A_{k-1}\setminus A_{k}$ при некотором $k\geqslant 1$ ($A_0=X$). Тогда имеем (3.75), (3.76) и, следовательно, Кроме того, для такой точки $x\in A_{k-1}\setminus A_{k}$ имеем (3.78). Отсюда, используя h5) вместе с (3.78), (4.6) и (4.7), при $m>k$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\limsup_{n\to\infty}|U_n(x,f)-f(x)| \nonumber \\ &\qquad=\limsup_{n\to\infty}\biggl |\sum_{i=m}^\infty U_n(x,h_i)\biggr| \leqslant \sum_{i=m}^\infty2^{-i}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Так как $m$ может быть произвольно большим, отсюда вытекает свойство сходимости b) теоремы. Для доказательства a) предположим, что $x\in E$ и, следовательно, $x\in A_k$ при всех $k=1,2,\dots $ . Используя это, можно фиксировать множества $\omega_k\in \Omega_k$ с $\omega_k\ni x$. Далее, применив (3.79) и (3.80), мы получим неравенство из которого вытекает неограниченная расходимость $U_n(x,f)$ в точке $x\in E$.
Теорема доказана. Доказательство теоремы 3. Построим открытые множества $G_k$, $k=1,2,\dots,$ вместе с регулярными разбиениями $\Omega_k$ и отображениями $\nu_k\colon \Omega_k\to\mathbb N$, удовлетворяющие условиям
g1) $E\subset G_k\subset G_{k-1}$, $k\geqslant 1$ ($G_0=X$), g2) $\min_{\omega\in \Omega_k}\nu_k(\omega)>k$, $k\geqslant 1$, g3) $|U_{(\Omega_k,\nu_k)}(x,\mathbf 1_{G_i})-1|<{1}/{k^2}$, $x\in G_k$, $i\leqslant k$, g4) $|U_{(\Omega_i,\nu_i)}(x,\mathbf 1_{G_k})|<{1}/{k^2}$, $x\in X$, $i<k$. Будем пользоваться индукцией. Определим открытое множество $G_1$ произвольным образом. Согласно лемме 7 существуют регулярное разбиение $\Omega_1$ для $G_1$ и функция $\nu_1\colon \Omega_1\to\mathbb N$ такие, что
$$
\begin{equation*}
|U_{(\Omega_1,\nu_1)}(x,\mathbf 1_{G_1})-1|<1, \qquad x\in G_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, предположим, что мы уже выбирали множества $G_k$ и соответствующие разбиения $\Omega_k$ при $k=1,2,\dots,p$. Применив лемму 4, можно найти открытые множества $C_l$, $l=1,2,\dots,p$, с $E\subset C_l\subset G_p$, удовлетворяющие
$$
\begin{equation*}
\sum_{\omega\in \Omega_l}c_l(\omega )|C_l\cap \omega |<\frac{1}{(p+1)^2}, \qquad l=1,2,\dots ,p,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_l(\omega )$ – постоянные из (3.23). Тогда, обозначив $G_{p+1}=\bigcap_{l=1}^p C_l$ и применив лемму 8, мы получим неравенство
$$
\begin{equation}
|U_{(\Omega_l,\nu_l)}(x,\mathbf 1_{G_{p+1}})|\leqslant \sum_{\omega \in\Omega_l}c_l(\omega )|G_{p+1}\cap \omega |\leqslant \frac{1}{(p+1)^2},
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
которое выполняется при любых $x\in X$ и $l\leqslant p$. Отсюда вытекает g4) при $k=p+1$. Далее, применив лемму 7, найдем регулярное разбиение $\Omega_{p+1}$ для $G_{p+1}$ и отображение $\nu_{p+1}\colon \Omega_{p+1}\to\mathbb N$, удовлетворяющие g2) и g3) при $k=p+1$. Это завершает индукцию. Теперь мы можем определить искомое множество как Легко проверить, что
$$
\begin{equation}
U_n(x,\mathbf 1_G)=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}U_n(x,\mathbf 1_{G_k}).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Предположим, $x\in E$. Тогда имеем $x\in G_k$, $k=1,2,\dots$ . Используя это, мы можем фиксировать $\omega_k\in\Omega_k$, так что $\omega_k\ni x$. Согласно g4) имеем
$$
\begin{equation}
|U_{\nu_k(\omega_k)}(x,\mathbf 1_{G_i})|\leqslant \frac{1}{i^2},\qquad i>k,
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
а из g3) следует
$$
\begin{equation}
|U_{\nu_k(\omega_k)}(x,\mathbf 1_{G_i})-1|\leqslant \frac{1}{k^2},\qquad i\leqslant k.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Отсюда мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl|U_{\nu_k(\omega_k)}(x,f)-\sum_{i=1}^k(-1)^{i+1}\biggr| \\ \notag &\qquad\leqslant \sum_{i=1}^k|U_{\nu(\omega_k)}(x,\mathbf 1_{G_i})-1|+\sum_{i=k+1}^\infty |U_{\nu(\omega_k)}(x,\mathbf 1_{G_i})| \\ &\qquad\leqslant k \frac{1}{k^2}+\sum_{i=k+1}^\infty \frac{1}{i^2}<\frac{2}{k}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
которое дает расходимость $U_{\nu(\omega_k)}(x,f)$ для любой точки $x\in E$.
Теорема доказана. § 5. Открытые задачиНекоторые открытые задачи изложенные здесь, можно найти также в работах [38]–[40], [7]. 1. Найти полную характеризацию $D$-множеств ($UD$-множеств) для обычных тригонометрических рядов и рядов Фурье функций из $L^p$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, или $C(\mathbb T)$. Отметим, что Кернер (см. [26]) в 1961 г. построил $G_\delta$-множество, которое не является множеством сходимости ни для одного тригонометрического ряда. Этот пример показывает, что чисто топологическая характеризация $C$-$D$-множеств для частичных сумм рядов Фурье и обычных тригонометрических рядов может не существовать (см. [38], [39]). 2. Аналогичные задачи открыты также для системы Уолша. 3. Аналог теоремы Кахана–Кацнельсона (см. [16]) не известен для системы Уолша (см. [40]). Задача требует построить непрерывную функцию, ряд Фурье–Уолша которой расходится на данном множестве $E$ меры нуль. По поводу этой задачи отметим, что Харрис (см. [13]) доказал, что для любого компактного множества меры нуль $e\subset [0,1]$ существует непрерывная функция, ряд Фурье–Уолша которой расходится в каждой точке $x\in e$. Как уже отмечалось, оригинальное доказательство из [16] существенно использует технику аналитических функций, которую невозможно применить в случае системы Уолша. Вещественный подход к теореме Кахана–Кацнельсона можно найти в работе [21]. 4. Охарактеризовать множества, которые являются радиальными $D$-множествами однолистных функций на единичном круге (см. [7]). 5. В работе [21] рассматривалось проблема исключительного нуль-множества для преобразования Гильберта
$$
\begin{equation}
Hf(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{|t-x|>\varepsilon}\frac{f(t)}{x-t}\,dt.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Хорошо известно п.в. существование этого предела при $f\in L^1(\mathbb R)$ (см. например [44; п. 4.3]). В работе [21] доказано, что для любого замкнутого нуль-множества $e\subset \mathbb R$ существует непрерывная функция $f\in C(\mathbb R)\cap L^1(\mathbb R)$ такая, что предел (5.1) не существует в любой точке $x\in e$. Мы не знаем, можно ли утверждать аналогичное для произвольного множества $e$ меры нуль. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kar24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|