| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Любая группа есть группа гомотопических эквивалентностей конечномерного М. Бенхалифа Department of Mathematics, College of Sciences, University of Sharjah, Sharjah, United Arab Emirates
Английская версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10038e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеДля односвязного $\mathrm{CW}$-комплекса $X$ рассмотрим группу $\mathcal E(X)$ его гомотопических эквивалентностей. Проблема Кана реализуемости групп состоит в установлении, является ли данная группа $G$ группой $\mathcal E(X)$ для некоторого пространства $X$. В случае конечных групп эта проблема была полностью решена в работе К. Костои и А. Вируэля [9], в которой было построено рациональное эллиптическое пространство $X$, имеющее формальную размерность $n=208 +80| \mathcal G |$, где $\mathcal G$ – некоторый конечный граф, ассоциированный с $G$, а $| \mathcal G |$ обозначает порядок группы. Пространство $X$ удовлетворяет условию $\pi_k(X)=0$ при $k \geqslant 120$. Позднее в работе [5] было доказано, что любая конечная группа $G$ может быть реализована неэллиптическим пространством формальной размерности $n=120$ независимо от порядка. Отметим, что проблема реализуемости Кана была решена для общих пространств в работе [7], но все еще остается открытой для $\mathrm{CW}$-комплексов и бесконечных групп. В соответствии с идеями, развитыми в работах [4] и [8], настоящая статья направлена на решение проблемы Кана для произвольных групп в контексте $\mathrm{CW}$-комплексов. Теорема 1.1. Для любой группы $G$ существует такой $\mathrm{CW}$-комплекс $X$, что $G\cong\mathcal E(X_{(p)})$ при $p>1114$, где $X_{(p)}$ обозначает $p$-локализацию пространства $X$. Более того, имеют место следующие утверждения: § 2. $\mathbb Z_{(p)}$-локальная теория гомотопий АникаДоказательство основной теоремы использует стандартную технику Аника дифференциальных градуированных алгебр Ли в $\mathbb Z_{(p)}$-локальной теории гомотопий; см. [1]–[3]. Напомним основные понятия. Пусть $\mathbf{CW}^{k+1}_m$ обозначает категорию $m$-связных конечных $\mathrm{CW}$-комплексов размерности не выше $k+1$, у которых $m$-мерный остов является точкой. Через $\mathbf{CW}^{k+1}_m(\mathbb Z_{(p)})$ обозначается категория, получаемая $\mathbb Z_{(p)}$-локализацией $\mathrm{CW}$-комплексов из $\mathbf{CW}^{k+1}_m$. Наконец, $\mathbf{DGL}^{k}_m(\mathbb Z_{(p)})$ обозначает категорию свободных дифференциальных градуированных алгебр Ли (кратко д.г.л.) $(\mathcal L(W),\partial)$, где $W$ – свободный градуированный $\mathbb Z_{(p)}$-модуль с условиями $W_n=0$ при $n<m$ и $n>k$. 2.1. Гомотопия в категории $\mathbf{DGL}^{k}_m(\mathbb Z_{(p)})$Для данного объекта $(\mathcal L(W),\delta)$ категории $\mathbf{DGL}^{k}_m(\mathbb Z_{(p)})$ (см. [1; с. 425–426]) определим д.г.л. $(\mathcal L(W, sW, W'),D)$ следующим образом: где дифференциал $D$ задан равенствами Здесь $w'$ обозначает образ элемента $w$ при выбранном изоморфизме $W\xrightarrow{\cong} W'$. Определим дифференцирование $S$ степени $+1$ на $\mathcal L(W, sW, W')$: Гомотопией между отображениями д.г.л. $\alpha,\alpha'\colon(\mathcal L(W),\delta)\to (\mathcal L(W),\delta)$ называется такое отображение д.г.л.
$$
\begin{equation*}
F \colon (\mathcal L(W, sW, W'),D)\to (\mathcal L(W),\delta),
\end{equation*}
\notag
$$
что $F(w)=\alpha(w)$ и $F\circ e^{\theta}(w)=\alpha'(w)$, где
$$
\begin{equation*}
e^{\theta}(w)=w+w'+\underset{n\geqslant 1}{\sum} \frac{1}{n!}(S\circ D)^{n}(w), \qquad \theta=D\circ S+S\circ D.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам потребуется следующая лемма. Лемма 2.1. Пусть $\alpha,\alpha' \colon (\mathcal L( W_{\leqslant n}),\delta) \to (\mathcal L( W_{\leqslant n}),\delta)$ – два отображения д.г.л., удовлетворяющих условиям Предположим, что $y=\partial(z)$, где $z\in \mathcal L(W_{\leqslant n})$. Тогда отображения $\alpha$ и $\alpha'$ гомотопны. Согласно результату Аника [3] при $k<\min(m+2p-3,mp-1)$ гомотопическая категория категории $\mathbf{CW}^{k+1}_m(\mathbb Z_{(p)})$ эквивалента гомотопической категории $\mathbf{DGL}^{k}_m(\mathbb Z_{(p)})$. Для данного пространства $X$ из $\mathbf{CW}^{k+1}_m(\mathbb Z_{(p)})$ модель Аника восстанавливает гомотопический тип по данным
$$
\begin{equation*}
\pi_{*}(X)\cong H_{*-1}((\mathcal L(W)),\partial), \qquad H_{*}(X,\mathbb Z_{(p)})\cong H_{*-1}(W,d),
\end{equation*}
\notag
$$
где $d$ – линейная часть дифференциала $\partial$ (см. [1; теорема 8.5]). Более того, из теории Аника непосредственно вытекает изоморфизм где $\mathcal E(\mathcal L(W))$ – группа гомотопических эквивалентностей д.г.л. $(\mathcal L(W),\partial)$ по модулю отношения гомотопии в категории $\mathbf{DGL}^{k}_m(\mathbb Z_{(p)})$ (подробности см. в [5]). 2.2. Сильно связные орграфы и теорема де ГроотаОрграф (ориентированный граф) $\mathcal G=(V(\mathcal G),E(\mathcal G))$ с множеством вершин $V(\mathcal G)$ и множеством ориентированных ребер $E(\mathcal G)$ называется сильно связным, если для любых $v,u\in V(\mathcal G)$ существует натуральное число $m\in \mathbb N$ и такие вершины $v=v_{0},v_{1},\dots,v_{m}=u$, что $(v_i,v_{i+1})\in E(G)$ для $i=0,1,\dots,m$. Следующий результат де Гроота [10; с. 96] играет важную роль в настоящей работе. Замечание 2.1. Заметим, что в работе де Гроота [10] не рассматривались сильно связные орграфы, а рассматривались только графы и орграфы. Однако каждый простой граф можно рассматривать как симметричный орграф [11; п. 1.1], причем если граф связен, то соответствующий орграф сильно связен. Дальнейшие разделы содержат доказательство основного результата согласно следующему плану.
§ 3. Градуированные $\mathbb Z_{(p)}$-алгебры Ли, соответствующие сильно связным орграфам Определение 3.1. Пусть $n\geqslant 7$ – нечетное натуральное число и $p>(309n+ 62)/{2}$ – простое число. Для данного сильно связного орграфа $\mathcal G$, имеющего более одной вершины, определим следующую свободную дифференциальную градуированную $\mathbb Z_{(p)}$-алгебру Ли: Напомним, что вложенная скобка Ли длины $k +1$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{ad} x)^{k}(y)=[x,[x,[\dots,[x,y]\dots]]],
\end{equation*}
\notag
$$
куда $x$ входит $k$ раз. Для упрощения введем обозначение
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal {L}}=\bigl(\mathcal L(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5,x_v\mid v\in V(\mathcal G)),\partial\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 3.1. Размерности элементов свободной дифференциальной градуированной $\mathbb Z_{(p)}$-алгебры Ли $\mathcal {L}(\mathcal G,1)$ выбраны таким образом, чтобы использовать теорию Аника. Этот выбор сделан с учетом некоторых ограничений, накладываемых размерностью и связностью $\mathrm{CW}$-комплекса $X$. Далее нам понадобятся следующие две леммы. Лемма 3.1. Для любых $v, u, t\in V(\mathcal G)$ следующие циклы не являются границами в $\widetilde{\mathcal {L}}$: Доказательство. Поскольку единственными ненулевыми дифференциалами являются $\partial(w_3)=[w_2,w_2]$ и $\partial(w_5)=[w_3,w_3]$ и ни один из данных циклов не содержит $w_2$ или $w_3$ дважды, мы получаем, что эти элементы не могут быть границами.
Лемма доказана. Лемма 3.2. Для любых $s,s'\in V(\mathcal G)$ таких, что $s\neq s'$, элементы линейно независимы. Более того, никакая линейная комбинация этих элементов не является границей в $\widetilde{\mathcal {L}}$. Доказательство. Прежде всего заметим, что условие $p>(309n+62)/{2}$ влечет, что $\mathcal {L}(\mathcal G,1)$ является объектом в категории $\mathbf{DGL}^{325n+65}_{16n+3}(\mathbb Z_{(p)})$, что позволяет нам использовать подход Аника [2].
Пусть $\widetilde{\mathcal {T}}=\mathcal T(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5,\{x_v\}_{ v\in V(\mathcal G)})$ обозначает универсальную обертывающую алгебру для $\widetilde{\mathcal {L}}$. Напомним, что $\widetilde{\mathcal {T}}$ является градуированной алгеброй Ли относительно операции
$$
\begin{equation}
[B,C]=BC-(-1)^{| B|\,| C|}CB, \qquad B,C\in \widetilde{\mathcal {T}}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Дифференциал в $\widetilde{\mathcal {T}}$ удовлетворяет условию Положим $A=[w_1,w_2]$. Пусть имеется линейная зависимость
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mu_1[x_s,[x_s,[x_{s'},A]]]+\mu_2[x_s,[x_{s'},[x_{s},A]]]\\ &\qquad+ \mu_3[x_{s'},[x_s,[x_{s},A]]]=0, \qquad \mu_1,\mu_2,\mu_3\in \mathbb Z_{(p)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Раскладывая выражение $\mu_1[x_s,[x_s,[x_{s'},A]]]$ в алгебре $\widetilde{\mathcal {T}}$ и используя тождество (3.2), получим моном $\mu_1x^2_sx_{s'}A$. Аналогично, раскладывая выражения $[x_s,[x_{s'},[x_{s},A]]]$ и $[x_{s'},[x_{s},[x_{s},A]]]$, мы получим
$$
\begin{equation}
\nonumber [x_s,[x_{s'},[x_{s},A]]] =x_sx_{s'}x_sA-x_sx_{s'}Ax_s-x_s^2Ax_{s'}+x_sAx_{s}x_{s'}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad -x_{s'}x_{s}Ax_s+x_{s'}x_{s}Ax_s+x_sAx_{s'}x_s-Ax_sx_{s'}x_s,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
$$
\begin{equation}
[x_{s'},[x_{s},[x_{s},A]]] =x_{s'}x^2_sA-2x_{s'}x_{s}Ax_s-x_{s'}Ax_s^2-x_{s}^2Ax_{s'} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
Следовательно, моном $\mu_1x^2_sx_{s'}A$ не входит в выражения (3.4) и (3.5). Поэтому $\mu_1=0$.
Аналогично, моном $\mu_2x_sx_{s'}x_sw_1w_2$ не входит в (3.5), поэтому $\mu_2=0$. Следовательно, $\mu_3=0$. Наконец, так как мономы $\mu_1x^2_sx_{s'}w_2w_1$, $\mu_2x_sx_{s'}x_sw_1w_2$ и $\mu_3x_{s'}x_{s}x_sw_1w_2$ не лежат в образе дифференциала $\partial$ согласно (3.3), мы получаем, что никакая линейная комбинация рассматриваемых скобок не является границей в $\widetilde{\mathcal {L}}$. Лемма доказана. Лемма 3.3. Для любого $v\in V(\mathcal G)$ элементы $Y$ и $Z$, заданные формулами (3.1), линейно независимы. Более того, никакая линейная комбинация этих элементов не является границей в $\widetilde{\mathcal {L}}$. Доказательство. Напомним, что Так как образующая $w_{3}$ входит в $Y$ два раза, а в $Z$ три раза, мы получаем, что $Y$ и $Z$ линейно независимы.
Далее, мы утверждаем, что никакая линейная комбинация $\gamma_1Y+\gamma_2Z$, где $\gamma_1,\gamma_2\in \mathbb Z_{(p)}$, не является границей. Действительно, используя то же рассуждение, что и в предыдущих леммах, разложим оба выражения в универсальной обертывающей алгебре $\widetilde{\mathcal {T}}$. Мы получим следующие мономы:
$$
\begin{equation*}
\gamma_1w_1^{12}w_2w_3^2w_5, \qquad \gamma_2w_1^{5}w_3 w_2^{3}w_3w_2^2w_3w_5.
\end{equation*}
\notag
$$
Ни один из них не лежит в образе дифференциала $\partial$ согласно (3.3).
Лемма доказана. § 4. Основной результатДля упрощения вычислений положим $n=7$; тогда размерности образующих в $\mathcal {L}(\mathcal G,1)$ суть
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag | w_1|=115, \qquad| w_2|=151, \qquad| w_3|=201, \qquad| w_4|=303, \qquad| w_5|=403, \\ | x_v|=690 \quad \forall\, v\in V(\mathcal G), \qquad| z_{(v,u)}|=2337 \quad\forall\, (v,u)\in E(\mathcal G). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
4.1. Исследование группы $\mathcal E(\mathcal {L}(\mathcal G,1))$Пусть $\mathcal {L}_{k}(\mathcal G,1)$ обозначает подмодуль элементов размерности $k$. Доказательство. Пусть элемент $\Theta\in\mathcal {L}_{690}(\mathcal G,1)$ разложим. Тогда мы имеем
$$
\begin{equation*}
| \Theta|=a_1| w_1| +a_2| w_2|+a_3| w_3|+a_4| w_4|+a_5| w_5|=690.
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношений (4.1) получаем Уравнение (4.2) с неизвестными $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\in \{0,1,2,\dots\}$ называется уравнением Фробениуса и может быть решено при помощи пакета программ1 WOLFRAM с использованием следующего кода:
$$
\begin{equation*}
\verb|"|\mathrm{FrobeniusSolve}[\{115, 151, 201, 303, 403\}, 690]\verb|"|.
\end{equation*}
\notag
$$
Единственным решением уравнения (4.2) является $a_1=6,a_2=a_3=a_4=a_2=a_5=0$. Это означает, что $\Theta$ представляет собой скобку, в которую образующая $w_1$ входит шесть раз, что невозможно.
Лемма доказана. Используя лемму 4.1 и соображения размерности, для любого элемента $[\alpha]\in \mathcal E(\mathcal{L}(G,1))$ мы можем записать
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \alpha(w_1)=\beta w_1,\qquad \alpha(w_2)=\lambda w_2,\qquad \alpha(w_3)=\gamma w_3, \\ \alpha(w_4)=q w_4,\qquad \alpha(w_5)=r w_5, \\ \alpha(x_v)=\sum_{s\in V(\mathcal G)}a_{(v,s)}x_s, \\ \alpha(z_{(v,u)})=\sum_{(r,s)\in E(\mathcal G)}\rho_{(v,u),(r,s)}z_{(r,s)}+B_{(v,u)}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где все коэффициенты лежат в $\mathbb Z_{(p)}$, а $B_{(v,u)}$ – неразложимый элемент из $\mathcal{L}_{2337}(\mathcal G,1)$. Замечание 4.1. Как мы увидим, почти все коэффициенты $\rho_{(v,u),(r,s)}$ и $a_{(v,s)}$ равны нулю. Более того, гомотопическая эквивалентность $\alpha$ индуцирует изоморфизм неразложимых элементов. Поэтому $\beta,\lambda,q,\gamma,r\neq 0$, хотя бы один из коэффициентов $a_{( v,s)}$ не равен нулю и хотя бы один из коэффициентов $\rho_{(v,u),(r,s)}$ не равен нулю. Доказательство. Так как $\partial(\alpha(w_5))=\alpha(\partial(w_5))$ и $\partial(\alpha(w_3))=\alpha(\partial(w_3))$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \partial(\alpha(w_5))=r[w_3,w_3], \qquad \alpha(\partial(w_5))=[\alpha(w_3),\alpha(w_3)]=\gamma^2[w_3,w_3], \\ \partial(\alpha(w_3))=q[w_2,w_2], \qquad \alpha(\partial(w_3))=[\alpha(w_2),\alpha(w_2)]=\lambda^2[w_2,w_2]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $q=\lambda^2$ и $r=\gamma^2$.
Лемма доказана. Предложение 4.1. Пусть $[\alpha]\in \mathcal E(\mathcal{L}(G,1))$. Тогда существует единственный элемент $\phi\in\operatorname{aut}(\mathcal G)$, для которого Более того, $B_{(v,u)}$ является циклом в $\mathcal{L}_{2337}(\mathcal G,1)$. Доказательство. Из сильной связности графа следует, что любая вершина $v \in V (\mathcal G)$ является начальной вершиной некоторого ребра $(v, w) \in E(\mathcal G)$. Поэтому коэффициенты в выражениях (4.3) полностью определяются соотношением $\alpha\circ\partial=\partial\circ\alpha$. Действительно, мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha(\partial(z_{(v,u)})) &=\bigl(\operatorname{ad} (\alpha(x_v))\bigr)^3([\alpha(w_1), \alpha(w_2)]) \\ &\qquad+\bigl(\operatorname{ad} (\alpha(w_1))\bigr)^7([\alpha(w_2),[\alpha(x_v),\alpha(x_u)]]) \\ &\qquad +\bigl(\operatorname{ad} (\alpha(w_1))\bigr)^{19}(\alpha(w_2))+\alpha(Y)+\alpha(Z), \\ \partial( \alpha(z_{(v,u)})) &=\sum_{(r,s)\in E(\mathcal G)}\rho_{(v,u),(r,s)}\partial(z_{(r,s)})+\partial(B_{(v,u)}) \\ &=\sum_{(r,s)\in E(\mathcal G)}\rho_{(v,u),(r,s)}\bigl((\operatorname{ad} x_r)^3([w_1,w_2])+(\operatorname{ad} w_1)^7([w_2,[x_r,x_s]]) \\ &\qquad +(\operatorname{ad} w_1)^{19}(w_2)+Y+Z\bigr)+\partial(B_{(v,u)}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где выражения для $Y$ и $Z$ приведены в формулах (3.1). Далее, из соотношений (4.3) получаем
$$
\begin{equation}
\alpha(w_1)=\beta w_1, \qquad \alpha(w_2)=\lambda w_2, \qquad \alpha(x_v)=\sum_{s\in V(\mathcal G)}a_{(v,s)}x_s,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где все коэффициенты $a_{(v,s)}$, кроме одного, равны нулю. Раскладывая выражение
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{ad} \alpha(x_v))^3([\alpha(w_1),\alpha(w_2)])
\end{equation*}
\notag
$$
при помощи формул (4.6), мы получаем следующие скобки:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \beta\lambda a^2_{(v,s)}a_{(v,s')}[x_s,[x_s,[x_{s'},[w_2,w_1]]]], \qquad v,s,s'\in V(\mathcal G), \\ \beta\lambda a^2_{(v,s)}a_{(v,s')}[x_s,[x_{s'},[x_{s},[w_2,w_1]]]], \qquad v,s,s'\in V(\mathcal G), \\ \beta\lambda a^2_{(v,s)}a_{(v,s')}[x_{s'},[x_s,[x_{s},[w_2,w_1]]]], \qquad v,s,s'\in V(\mathcal G). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Согласно лемме 3.3 эти скобки линейно независимы. Однако ни в одну из скобок в выражении (4.5) для $\partial( \alpha(z_{(v,u)}))$ не входят три образующие $x_s,x_s,x_{s'}$ с $s\neq s'$. Более того, в силу леммы 3.2 выражения (4.7), а также выражения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \beta\lambda a^2_{(v,s)}a_{(v,s')}\bigl([x_s,[x_s,[x_{s'},[w_1,w_2]]]] \\ &\qquad\qquad +[x_s,[x_{s'},[x_{s},[w_1,w_2]]]]+[x_{s'},[x_s,[x_{s},[w_1,w_2]]]]\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
нетривиальны и не являются границами.
Далее, из формулы $\alpha(\partial(z_{(v,u)}))=\partial( \alpha(z_{(v,u)}))$ вытекает, что все коэффициенты $\beta\lambda a^2_{(v,s)}a_{(v,s')}$ нулевые. Так как $\beta,\lambda\neq 0$, получаем, что среди коэффициентов $a_{(v,s)}$, где $s\in V(\mathcal G)$, лишь один ненулевой. Обозначим его через $a_{(v,t_v)}$. Тогда формула в (4.6) принимает вид $\alpha(x_v)=a_{(v,t_v)}x_t.$ Таким образом, существует единственная вершина $t\in V(\mathcal G)$, для которой $\alpha(x_v)=a_{(v,t_v)}x_t$. С одной стороны, возвращаясь к формулам (3.1) и (4.3), мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
\alpha(Y)=\beta^{12}\lambda\gamma^4Y, \qquad \alpha(Z)=\beta^{5}\lambda^5\gamma^5Z.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, формулы (4.5) принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha(\partial(z_{(v,u)})) &=\beta\lambda a^3_{(v,t_v)}(\operatorname{ad}x_t)^3([w_1,w_2]) \\ &\qquad+\beta^{7}\lambda a_{(v,t_v)}a_{(u,t_u)}(\operatorname{ad} w_1)^7([w_2,[x_t,x_{t'}]]) \\ &\qquad +\beta^{19}\lambda(\operatorname{ad} w_1)^{19}(w_2) +\beta^{12}\lambda\gamma^4Y+\beta^{5}\lambda^5\gamma^5Z, \\ \partial( \alpha(z_{(v,u)})) &=\sum_{(r,s)\in E(\mathcal G)}\rho_{(v,u),(r,s)}\bigl((\operatorname{ad} x_r)^3([w_1,w_2])+(\operatorname{ad} w_1)^7([w_2,[x_r,x_s]]) \\ &\qquad +(\operatorname{ad} w_1)^{19}(w_2)+Y+Z\bigr)+\partial(B_{(v,u)}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Аналогично, в силу лемм 3.1, 3.3 все скобки, входящие в $\partial( \alpha(z_{(v,u)}))-\partial(B_{(v,u)})$ и $\alpha(\partial(z_{(v,u)}))$, не являются границами. Следовательно, сравнивая коэффициенты в формуле
$$
\begin{equation}
\partial( \alpha(z_{(v,u)}))-\alpha(\partial(z_{(v,u)}))=0,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
получаем, что все коэффициенты $\rho_{(v,u),(r,s)}$ равны нулю, кроме $\rho_{(v,u),(t_v,t_u)}\,{\neq}\, 0$. Этот коэффициент удовлетворяет следующим уравнениям:
$$
\begin{equation}
\rho_{(v,u),(t_v,t_u)}=\beta\lambda a^3_{(v,t_v)}=\beta^{7}\lambda a_{(v,t_v)}a_{(u,t_u)}=\beta^{19}\lambda=\beta^{12}\lambda\gamma^4=\beta^{5}\lambda^5\gamma^5.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Из соотношений $\beta^{19}\lambda=\beta^{12}\lambda\gamma^4=\beta^{5}\lambda^5\gamma^5$ получаем
$$
\begin{equation*}
\beta^{7}=\gamma^4, \quad \beta^{12}=\lambda^4\gamma^5, \quad \beta^{7}=\lambda^4\gamma\mathcal \quad \Longrightarrow\quad \gamma^{3}=\lambda^4,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
(\beta^{7})^{12}=\gamma^{48}=(\beta^{12})^7=\lambda^{28}\gamma^{35}\mathcal \quad \Longrightarrow \quad\gamma^{13}=\lambda^{28}=(\gamma^{3})^7=\gamma^{21}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что $\gamma^{8}=1$. Так как $\gamma^{3}=\lambda^4$ и $\beta^{7}=\gamma^4$, мы получаем, что $\beta=\gamma=1$.
Теперь соотношения (4.10) принимают вид
$$
\begin{equation*}
\rho_{(v,u),(t_v,t_u)}=\lambda a^3_{(v,t_v)}=\lambda a_{(v,t_v)}a_{(u,t_u)}=\lambda=\lambda^5.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, из соотношения $\lambda a^3_{(v,t_v)}=\lambda $ получаем, что $ a_{(v,t_v)}=1$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\rho_{(v,u),(t_v,t_u)}=\beta=\lambda=a_{(v,t_v)}=a_{(u,t_u)}=\gamma=1,
\end{equation*}
\notag
$$
и из леммы 4.2 получаем, что $q=r=1$. Тогда формулы (4.8) принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha(\partial(z_{(v,u)})) &=(\operatorname{ad}x_t)^3([w_1,w_2])+(\operatorname{ad} w_1)^7([w_2,[x_t,x_{t'}]]) \\ &\qquad +(\operatorname{ad} w_1)^{19}(w_2)+Y+Z, \\ \partial( \alpha(z_{(v,u)})) &=(\operatorname{ad}x_t)^3([w_1,w_2])+(\operatorname{ad} w_1)^7([w_2,[x_t,x_{t'}]]) \\ &\qquad+(\operatorname{ad} w_1)^{19}(w_2)+Y+Z \\ &\qquad+(\operatorname{ad} w_1)^{19}(w_2)+Y+Z+\partial(B_{(v,u)}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и из соотношения (4.9) мы получаем, что $\partial(B_{(v,u)})=0$.
Таким образом, возвращаясь к формулам (4.3), мы доказали, что для каждой вершины $v\in V(\mathcal G)$ существует единственная вершина $t_v\in V(\mathcal G)$, а для каждого ребра $(v,u)\in E(\mathcal G)$ существует единственное ребро $(t_v,t_u)\in E(\mathcal G)$, для которых
$$
\begin{equation*}
\alpha(z_{(v,u)})=z_{(t_v,t_u)}+B_{(v,u)}, \quad \alpha(x_v)=x_{t_v}, \qquad \alpha(w_i)=w_i, \quad i=1,2,3,4,5,
\end{equation*}
\notag
$$
и $B_{(v,u)}$ является циклом, что и требовалось. Определив автоморфизм $\phi\colon\mathcal G\to \mathcal G$ формулами $\phi(v)=t_v$ и $\phi((v,u))=(t_v,t_u)$, мы получим соотношения (4.4).
Предложение доказано. Лемма 4.3. Модуль $\mathcal{L} _{2337}(\mathcal G,1)$ не содержит скобок, включающих не менее трех образующих из множества $\{x_v\}_{v\in V(\mathcal G)}$. Доказательство. Используя пакет программ WOLFRAM, легко увидеть, что уравнение где $a_1,\dots,a_7\in \{0,1,2,\dots\}$ и $a_6\geqslant 3$, не имеет решений. Доказательство. Действительно, легко видеть, что следующие скобки: являются циклами размерности $2337$. Замечание 4.2. Из лемм 4.3 и 4.4 следует, что можно выбрать базис Холла в $Z_{2337}(\mathcal{L}(\mathcal G,1))$, состоящий из трех типов скобок, которые мы обозначаем следующим образом: Следствие 4.1. Пусть $[\alpha]\in \mathcal{E}(\mathcal {L}(\mathcal G,1))$. Тогда существует единственный автоморфизм $\phi\in\operatorname{aut}(\mathcal G)$ такой, что для любого ребра $ (v,u)\in E(\mathcal G)$ выполнены соотношения Доказательство. Из предложения 4.1 мы знаем, что элемент $B_{(v,u)}$, входящий в формулу (4.3), является циклом. Согласно замечанию 4.2 мы можем представить $B_{(v,u)}$ в виде линейной комбинации элементов базиса модуля $Z_{2337}(\mathcal{L}(\mathcal G))$, т. е. в виде что и требовалось.
Следствие доказано. Следствие 4.2. Пусть $y_v$ и $y_{(v,u)}$ – циклы, описанные в замечании 4.2. Тогда для любого $[\alpha]\in \mathcal{E}(\mathcal {L}(\mathcal G,1))$ существует единственный автоморфизм $\phi\in\operatorname{aut}(\mathcal G)$, для которого Доказательство. Согласно замечанию 4.2 для любых $v,u\in V(\mathcal G)$ в скобку $y_v$ один раз входит образующая $x_v$, а в скобку $y_{v,u}$ по одному разу входят $x_v$ и $x_u$. Теперь достаточно применить следствие 4.1.
Следствие доказано. 4.2. Конструкция д.г.л. $\mathcal {L}(\mathcal G,2)$Определим новую д.г.л. путем добавления образующих к $\mathcal {L}(\mathcal G,1)$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal {L}(\mathcal G,2)=\mathcal {L}(\mathcal G,1)\oplus\bigl(\mathcal L(t_{1,1}, \dots,t_{1,m_1},t_v,t_{(v,u)}\mid v\in V(\mathcal G), (v,u)\in E(\mathcal G)),\partial\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Размерности новых образующих задаются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
| t_{1,1}|=\dots=| t_{1,m_1}|=| t_v|=| t_{(v,u)}|=2338 \quad \forall\, v\in V(\mathcal G), \quad\forall\, (v,u)\in E(\mathcal G),
\end{equation*}
\notag
$$
а дифференциал задается равенствами
$$
\begin{equation}
\partial(t_{1,1})=y_{1,1}, \quad\dots, \quad\partial(t_{1,m_1})=y_{1,m_1}, \qquad \partial(t_{v})=y_{v}, \qquad \partial(t_{(v,u)})=y_{(v,u)}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Лемма 4.5. Модуль $Z_{2338}(\mathcal{L}(\mathcal G,2))$ нетривиален. Более того, $Z_{2338}(\mathcal{L}(\mathcal G,2))\subset\mathcal L(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5)$. Доказательство. Легко видеть, что скобка является циклом размерности $2338$.
Используя пакет WOLFRAM, получаем, что уравнение Фробениуса
$$
\begin{equation*}
115a_1 +151a_2+201a_3+303a_4+403a_5+690a_6+2337a_7+2338a_8=2338,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_1,\dots,a_8\in \{0,1,2,\dots\}$ и $a_6\geqslant 1$, не имеет решений. Поэтому не существует элемента размерности 2338, в который входят образующие $x_v$, где $v\in V(\mathcal G)$.
Лемма доказана. Замечание 4.3. Из леммы 4.5 следует, что можно выбрать базис Холла для $Z_{2338}(\mathcal{L}(\mathcal G,2))$, образованный скобками из $\mathcal L(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5)$. Обозначим этот базис через $\{y_{2,1},\dots,y_{2,m_2}\}$. Лемма 4.6. Для любого $[\alpha]\in \mathcal{E}(\mathcal {L}(\mathcal G,2))$ существует единственный автоморфизм $\phi\in\operatorname{aut}(\mathcal G)$, для которого Доказательство. Во-первых, напомним, что согласно предложению 4.1 существует единственный автоморфизм $\phi\in\operatorname{aut}(\mathcal G)$, удовлетворяющий условиям (4.4). Далее, для любого ребра $(v,u)\in E(\mathcal G)$ по соображениям размерности мы можем записать
$$
\begin{equation}
\alpha(t_{(v,u)})=\sum_{i=1}^{m_1}\sigma_{1,i}t_{1,i}+\sum_{r\in V(\mathcal G)}\sigma_{(v,u),r}t_r+\sum_{(s,t)\in E(\mathcal G)}\sigma_{(v,u),(s,t)}t_{(s,t)}+C_{(v,u)},
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где все коэффициенты $\sigma_{1,i},\sigma_{(v,u),r}$ и $\sigma_{(u,v),(s,t)}$ лежат в $\mathbb Z_{(p)}$, а $C_{(v,u)}$ – разложимый элемент в $\mathcal{L}_{2338}(\mathcal G,2)$. Следовательно, из определения дифференциала (4.11) мы получаем
$$
\begin{equation*}
\partial(\alpha(t_{(v,u)}))=\sum_{i=1}^{m_1}\sigma_{1,i}y_{1,i} +\sum_{r\in V(\mathcal G)}\sigma_{(v,u),r}y_r+\sum_{(s,t)\in E(\mathcal G)}\sigma_{(v,u),(s,t)}y_{(s,t)}+\partial(C_{(v,u)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, из следствия 4.2 мы получаем Так как $\partial( \alpha(t_{(v,u)}))=\alpha( \partial(t_{(v,u)}))$, имеем $\partial(C_{(v,u)})=0$ и При этом все коэффициенты $\sigma_{(s,t),(s,t)}$ равны нулю, кроме $\sigma_{(v,u),(\phi(v),\phi(u))}=1$.
Так как $C_{(v,u)}$ – цикл, с учетом замечания 4.3 мы получаем, что $C_{(v,u)}$ можно представить в виде линейной комбинации циклов $y_{2,1},\dots,y_{2,m_2}.$ Таким образом, соотношение (4.12) приобретает вид
$$
\begin{equation*}
\alpha(t_{(v,u)})=t_{(\phi(v),\phi(u))}+\sum_{i=1}^{m_2}\theta_{2,i}y_{2,i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Во-вторых, для любого $v\in V(\mathcal G)$ имеем
$$
\begin{equation}
\alpha(t_{v})=\sum_{i=1}^{m_1}\tau_{1,i}t_{1,i}+\sum_{r\in V(\mathcal G)}\tau_{v,r}t_r +\sum_{(s,t)\in E(\mathcal G)}\tau_{v,(s,t)}t_{(s,t)}+C_{v},
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
где все коэффициенты $\tau_{1,i},\tau_{(v,u),r}$ и $\tau_{(u,v),(s,t)}$ лежат в $\mathbb Z_{(p)}$, а $C_{v}$ – разложимый элемент из $\mathcal{L}(\mathcal G,2)$. Следовательно, из соотношения (4.11) получаем
$$
\begin{equation*}
\partial(\alpha(t_{v}))=\sum_{i=1}^{m_1}\tau_{1,i}y_{1,i} +\sum_{r\in V(\mathcal G)}\tau_{v,r}y_r+\sum_{(s,t)\in E(\mathcal G)}\tau_{v,(s,t)}y_{s,t}+\partial(C_{v}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, в силу следствия 4.2 имеем Так как $\partial( \alpha(t_{v}))=\alpha( \partial(t_{v}))$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\partial(C_{v})=0, \qquad\tau_{1,i}=0 \quad\forall\, i=1,\dots,m_1, \qquad \tau_{v,(s,t)}=0 \quad\forall\, (s,t)\in E(\mathcal G).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, все коэффициенты $\tau_{v,r}$ равны нулю, кроме $\tau_{(v,\phi(v))}=1$. Так как $C_{v}$ – цикл, в силу замечания 4.3 его можно представить в виде линейной комбинации циклов $y_{2,1},\dots,y_{2,m_2}$. В результате соотношение (4.13) приобретает вид
$$
\begin{equation*}
\label{a15} \alpha(t_{v})=t_{\phi(v)}+\sum_{i=1}^{m_2}\chi_{v,i}y_{2,i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, используя те же рассуждения, что и выше, мы для любого $k=1,\dots,m_2$ можем записать
$$
\begin{equation}
\alpha(t_{1,k})=\sum_{i=1}^{m_1}\nu_{1,i}t_{1,i}+\sum_{r\in V(\mathcal G)}\nu_{k,r}t_r +\sum_{(s,t)\in E(\mathcal G)}\nu_{k,(s,t)}t_{(s,t)}+C_{k},
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где $C_{k}$ – разложимый элемент из $\mathcal{L}(\mathcal G,2)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\partial(\alpha(t_{1,k}))=\sum_{i=1}^{m_1}\nu_{1,i}y_{1,i}+\sum_{r\in V(\mathcal G)}\nu_{k,r}y_r+\sum_{(s,t)\in E(\mathcal G)}\nu_{k,(s,t)}y_{(s,t)}+\partial(C_{k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Однако $y_{{1,k}}\in \mathcal L(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5)$, следовательно, $\alpha( \partial(t_{1,k}))=\alpha(y_{{1,k}})=y_{1,k}$. Из соотношения $\partial( \alpha(t_{1,k}))=\alpha( \partial(t_{1,k}))$ получаем
$$
\begin{equation*}
\partial(C_{k})=0, \qquad \nu_{k,r}=0 \quad \forall\, r\in V(\mathcal G), \qquad \nu_{k,(s,t)}=0 \quad\forall\, (s,t)\in E(\mathcal G).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, все коэффициенты $\nu_{1,i}$ равны нулю, кроме $\nu_{1,k}=1$. Представим цикл $C_{k}$ в виде линейной комбинации циклов $y_{2,1},\dots,y_{2,m_2}$, используя замечание 4.3. Тогда соотношение (4.14) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\alpha(t_{1,k})=\nu_{1,k}t_{1,i}+\sum_{i=1}^{m_2}\mu_{1,k}y_{2,i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, из соотношений (4.11) мы видим, что элемент
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{m_1}\theta_{1,i}y_{1,i}+\sum_{s\in V(\mathcal G)}\theta_{(v,u),r}y_r +\sum_{(v,u)\in E(\mathcal G)}\theta_{(s,t),(s,t)}y_{s,t}
\end{equation*}
\notag
$$
является границей. Тогда в силу леммы 2.1 можно выбрать гомоморфизм д.г.л. $\alpha$, удовлетворяющий соотношению $\alpha(z_{(v,u)})=z_{(\phi(v),\phi(u))}$ с точностью до гомотопии.
Лемма доказана. 4.3. Конструкция д.г.л. $\mathcal {L}(\mathcal G,3)$Определим
$$
\begin{equation*}
\mathcal {L}(\mathcal G,3)=\mathcal {L}(\mathcal G,2)\oplus(\mathcal L(t_{2,1},\dots,t_{2,m_2}),\partial),
\end{equation*}
\notag
$$
где $| t_{2,1}|=\dots=| t_{2,m_2}|=2339.$ Дифференциал зададим формулами
$$
\begin{equation}
\partial(t_{2,1})=y_{2,1}, \qquad \dots, \qquad\partial(t_{2,m_2})=y_{2,m_2},
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где циклы $y_{2,1},\dots,y_{2,m_3}$ описаны в замечании 4.3. Доказательство. Прежде всего, легко видеть, что скобка является циклом размерности $2339$. Далее, используя пакет программ WOLFRAM, получаем, что уравнение где $a_1,\dots,a_9\in \{0,1,2,\dots\}$ и $a_6\geqslant 1$, не имеет решений. Таким образом, не существует элемента размерности 2339, в который входят образующие $x_v$, где $v\in V(\mathcal G)$. Замечание 4.4. Из леммы 4.4 следует, что для $Z_{2339}(\mathcal{L}(\mathcal G,2))$ существует базис Холла, образованный скобками вида Лемма 4.8. Пусть $[\alpha]\in \mathcal{E}(\mathcal {L}(\mathcal G,3))$. Тогда существует единственный автоморфизм $\phi\in\operatorname{aut}(\mathcal G)$ такой, что Доказательство. Для $k=1,\dots,m_2$ мы имеем
$$
\begin{equation}
\alpha(t_{2,k})=\sum_{i=1}^{m_2}\eta_{2,i}t_{2,i}+C_{2,k}, \qquad \eta_{2,1},\dots,\eta_{2,m_2}\in\mathbb Z_{(p)},
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
где $C_{2,k}$ – разложимый элемент из $\mathcal{L}(\mathcal G,3)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\partial(\alpha(t_{2,k}))=\sum_{i=1}^{m_2}\eta_{2,i}y_{2,i}+\partial(C_{2,k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, $\alpha( \partial(t_{2,k}))=\alpha(y_{2,k})=y_{2,k}$. Так как $\partial( \alpha(t_{2,k}))=\alpha( \partial(t_{2,k}))$, мы получаем, что все рациональные числа $\eta_{2,i}$ равны нулю, кроме $\eta_{2,k}=1$. Более того, $\partial(C_{2,k})=0$, откуда с учетом замечания 4.4 получаем, что
$$
\begin{equation*}
C_{2,k}=\sum_{i=1}^{m_3}\theta_{3,i}y_{3,i}, \qquad \theta_{3,1},\dots,\theta_{3,m_3}\in\mathbb Z_{(p)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате соотношение (4.16) принимает вид
Наконец, из соотношений (4.15) следует, что элементы
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{m_2}\theta_{2,i}y_{2,i}, \qquad \sum_{i=1}^{m_2}\chi_{v,i}y_{2,i}, \qquad \sum_{i=1}^{m_2}\mu_{k,i}y_{2,i}
\end{equation*}
\notag
$$
являются границами. Тогда в силу леммы 2.1 можно выбрать гомоморфизм д.г.л. $\alpha$, удовлетворяющий соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha(t_{(v,u)})=t_{(\phi(v),\phi(u))} \quad \forall\, (v,u)\in E(\mathcal G), \\ \alpha(t_{v})=t_{\phi(v)} \quad \forall\, v\in V(\mathcal G), \\ \alpha(t_{1,k})=t_{1,k} \quad \forall\, k=1,\dots,m_1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось.
Лемма доказана. 4.4. Конструкция д.г.л. $\mathcal {L}(\mathcal G,4)$Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal {L}(\mathcal G,4)=\mathcal {L}(\mathcal G,3)\oplus\bigl(\mathcal L(t_{3,1},\dots,t_{3,m_3}),\partial\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Размерности образующих задаются следующим образом: Дифференциал определяется равенствами
$$
\begin{equation*}
\partial(t_{3,1})=y_{3,1}, \qquad \dots, \qquad \partial(t_{3,m_3})=y_{3,m_3},
\end{equation*}
\notag
$$
где циклы $y_{3,1},\dots,y_{3,m_3}$ описаны в замечании 4.4. Целью настоящего пункта является доказательство тривиальности модуля $Z_{2340}(\mathcal{L}(\mathcal G,3))$. Действительно, пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal B\bigl(w^{(k_1)}_1,w^{(k_2)}_2,w^{(k_5)}_3,w^{(k_4)}_4,w^{(k_5)}_5,x^{(k_v)}_v,x^{(k_u)}_u\bigr), \qquad v\neq u,
\end{equation*}
\notag
$$
обозначает набор всех скобок от элементов базиса Холла д.г.л. $\mathcal {L}(\mathcal G,1)$, в которые входят в точности $k_1$ образующих $w_1$, $k_2$ образующих $w_2$, $k_3$ образующих $w_3$, $k_4$ образующих $w_4$, $k_5$ образующих $w_5$, $k_v$ образующих $x_v$ и $k_u$ образующих $x_u$. Например,
$$
\begin{equation*}
[[x_v,x_u],[[x_2,x_4],[x_2,[x_2,w_3]]]]\in \mathcal B\bigl(w^{(0)}_1,w^{(3)}_2,w^{(1)}_3,w^{(1)}_4,w^{(0)}_5,x^{(1)}_v,x^{(1)}_u\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4.9. Имеют место следующие утверждения. 1. Никакая ненулевая линейная комбинация элементов множества
$$
\begin{equation*}
\mathcal B\bigl(w^{(k_1)}_1,w^{(1)}_2,w^{(k_5)}_3,w^{(2)}_4,w^{(0)}_5,x^{(k_v)}_v,x^{(k_u)}_u\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
не может быть циклом. 2. Никакая ненулевая линейная комбинация элементов множества не может быть циклом. Доказательство. Докажем утверждение 1. Раскладывая нетривиальный элемент
$$
\begin{equation*}
l\in\mathcal B\bigl(w^{(k_1)}_1,w^{(1)}_2,w^{(k_5)}_3,w^{(2)}_4,w^{(0)}_5,x^{(k_v)}_v,x^{(k_u)}_u\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
в алгебре $\mathcal T(w_1,w_2,w_3,w_4,\{x_v\}_{ v\in V(\mathcal G)})$, мы представляем его линейной комбинацией следующего вида:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, l &=c_1w^2_4A_1+c_2w_4A_2w_4+c_3A_3w_4A_4w_4+c_4A_5w_4A_6w_4A_7 \\ &\qquad+c_5A_8w^2_4+c_6w_4A_9w_4A_{10}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6\,{\in}\,\mathbb Z_{(p)}$ и $A_1,\dots,A_{10}$ – элементы из $\mathcal T(w_1,w_2,w_3,\{x_v\}_{ v\in V(\mathcal G)})$, не являющиеся константами. Другими словами, элементы $A_1,\dots,A_{10}$ выражаются через мономы от образующих $w_1,w_2,w_3$ и $x_v$, где $ v\in V(\mathcal G)$. Тогда из соотношений (3.3) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \partial(c_1w^2_4A_1)=2c_1w^2_2w_4A_1\pm 2c_1w_4w^2_2A_1, \\ \partial(c_2w_4A_2w_4)=2c_2w^2_2A_2w_4\pm 2c_2w_4A_2w^2_2, \\ \partial(c_3A_3w_4A_4w_4)=2c_3A_3w^2_2A_4w_4\pm 2c_3A_3w_4A_4w^2_2, \\ \partial(c_4A_5w_4A_6w_4A_7)=2c_4A_5w^2_2A_6w_4A_7\pm 2c_4A_5w_4A_6w^2_2A_7, \\ \partial(c_5A_8w^2_4)=2c_5A_8w^2_2w_4\pm 2c_5A_8w_4w^2_2, \\ \partial(c_6w_4A_9w_4A_{10})=2c_6w^2_2A_9w_4A_{10}\pm 2c_6w_4A_9w^2_2A_{10}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Так как образующая $w_4$ не входит в выражения для $A_1,\dots,A_{10}$, моном $2c_1w_4w^2_2A_1$ не входит в другие выражения из (4.17). Следовательно, $c_1=0$. Аналогично, моном $c_2w_4A_2w^2_2$ не входит в другие выражения из (4.17). Следовательно, $c_2=0$. Повторяя это рассуждение, мы в итоге получаем, что если $\partial(l)=0$, то
Докажем утверждение 2. Используя предыдущее рассуждение с разложением произвольного ненулевого элемента
$$
\begin{equation*}
l'\in\mathcal B\bigl(w^{(5)}_1,w^{(3)}_2,w^{(0)}_3,w^{(3)}_4,w^{(1)}_5,x^{(0)}_v,x^{(0)}_u\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
в алгебре $\mathcal T(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5,\{x_v\}_{ v\in V(\mathcal G)})$, мы представляем $l'$ в виде линейной комбинации
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, l' &=b_1w^2_4B_1+b_2w_4B_2w_4+b_3B_3w_4B_4w_4+b_4B_5w_4B_6w_4B_7 \\ &\qquad+b_5B_8w^2_4+b_6w_4B_9w_4B_{10}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6\in\mathcal Q$, а $B_1,\dots,B_{10}$ – элементы, не являющиеся константами и выражающиеся через мономы от образующих $w_1$, $w_2$, $w_3$, $w_5$ и $x_v$, где $ v\in V(\mathcal G)$. Тогда из соотношений (3.3) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial(b_1w^2_4B_1) &=2b_1w^2_2w_4B_1\pm 2b_1w_4w^2_2B_1\pm b_1w_4w^2_2\,\partial(B_1), \\ \partial(b_2w_4B_2w_4) &=2b_2w^2_2B_2w_4\pm b_2w_4\,\partial(B_2)w_4\pm 2b_2w_4B_2w^2_2, \\ \partial(b_3B_3w_4B_4w_4) &=b_3\,\partial(B_3)w_4B_4w_4\pm 2b_3B_3w_2^2B_4w_4\pm b_3B_3w_4\,\partial(B_4)w_4 \\ &\qquad \pm 2b_3B_3w_4B_4w^2_2, \\ \partial(b_4B_5w_4B_6w_4B_7) &=b_4\,\partial(B_5)w_4B_6w_4B_7\pm 2b_4B_5w_2^2B_6w_4B_7\pm b_4B_5w_4\,\partial(B_6)w_4B_7 \\ &\qquad \pm 2b_4B_5w_4B_6w_2^2B_7\pm b_4B_5w_4B_6w_4\,\partial(B_7), \\ \partial(b_5B_8w^2_4) &=b_5\,\partial(B_8)w^2_4\pm 2b_5B_8w^2_2w_4\pm 2b_5B_8w_4w^2_2, \\ \partial(b_6w_4B_9w_4B_{10}) &=2b_6w_2^2B_9w_4B_{10}\pm b_6w_4\,\partial(B_9)w_4B_{10}\pm 2b_6w_4B_9w_2^2B_{10} \\ &\qquad \pm b_6w_4B_9w_4\,\partial(B_{10}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Аналогично, образующая $w_4$ не входит в выражения для $B_1,\dots,B_{10}$ и $\partial(B_1),\dots,\partial(B_{10})$, поэтому моном $2b_1w_4w^2_2B_1$ не входит в другие выражения из (4.18). Следовательно, $b_1=0$. Далее, моном $2b_2w_4B_2w^2_2$ не входит в другие выражения из (4.18). Следовательно, $b_2=0$. Повторяя это рассуждение, мы в итоге получаем, что если $\partial(l')=0$, то $b_3=b_4=b_5=b_6=0$.
Лемма 4.9 доказана. Лемма 4.10. Модуль $\mathcal{L}_{2340}(\mathcal G,3)$ порождается скобками из следующих двух множеств: Доказательство. Напомним, что по построению д.г.л. $\mathcal {L}(\mathcal G,3)$ образована элементами размерностей Пусть $\Theta\in\mathcal {L}_{2340}(\mathcal G,3)$; тогда
$$
\begin{equation*}
| \Theta|=115a_1 +151a_2+201a_3+303a_4+403a_5+690a_6+2337a_7+2338a_8+2339a_9,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_1,\dots,a_9\in \{0,1,2,\dots\}$, что дает следующее уравнение Фробениуса:
$$
\begin{equation*}
115a_1 +151a_2+201a_3+303a_4+403a_5+690a_6+2337a_7+2338a_8+2339a_9=2340.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя пакет WOLFRAM, получаем всего два решения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_1=5, \ \ \, a_2=1, \ \ \, a_3=2, \ \ \, a_4=4, \ \ \, a_5=0, \ \ \, a_6=0, \ \ \, a_7=4, \ \ \, a_8=0, \ \ \, a_9=0; \\ a_1=5, \ \ \, a_2=3, \ \ \, a_3=0, \ \ \, a_4=3, \ \ \, a_5=1, \ \ \, a_6=0, \ \ \, a_7=4, \ \ \, a_8=0, \ \ \, a_9=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось.
Лемма доказана. Доказательство. Прежде всего заметим, что согласно лемме 4.10 модуль $\mathcal{L}_{2340}(\mathcal G,3)$ порождается скобками из множеств (4.19). Далее, согласно лемме 4.9 никакая линейная комбинация элементов множеств
$$
\begin{equation*}
B\bigl(w^{(5)}_1,w^{(1)}_2,w^{(2)}_3,w^{(4)}_4,w^{(0)}_5,x^{(0)}_v,x^{(0)}_u\bigr), \qquad B\bigl(w^{(5)}_1,w^{(3)}_2,w^{(0)}_3,w^{(3)}_4,w^{(1)}_5,x^{(0)}_v,x^{(0)}_u\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
не может быть циклом. Наконец, рассмотрим линейную комбинацию
$$
\begin{equation*}
\theta=(\gamma_1l_{1}+\dots+\gamma_{k_1}l_{k_1})+(\mu_1h_{1}+\dots+\mu_{k_2}h_{k_2}), \qquad \gamma_1,\dots,\gamma_{k_1};\mu_1,\dots,\mu_{k_2}\in\mathbb Z_{(p)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, l_{1},\dots,l_{k_1}\in\mathcal B\bigl(w^{(5)}_1,w^{(1)}_2,w^{(2)}_3,w^{(4)}_4,w^{(0)}_5,x^{(0)}_v,x^{(0)}_u\bigr), \\ h_{1},\dots,h_{k_2}\in\mathcal B\bigl(w^{(5)}_1,w^{(3)}_2,w^{(0)}_3,w^{(3)}_4,w^{(1)}_5,x^{(0)}_v,x^{(0)}_u\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя дифференциал $\partial$, получаем
$$
\begin{equation*}
\partial(\theta)=\gamma_1\,\partial(l_1) +\dots +\gamma_{k_1}\,\partial(l_{k_1})+\mu_1\,\partial(h_1) +\dots +\mu_{k_2}\,\partial(h_{k_2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \partial(l_1),\dots,\partial(l_{k_1})\in \mathcal B\bigl(w^{(5)}_1,w^{(3)}_2,w^{(2)}_3,w^{(3)}_4,w^{(0)}_5,x^{(0)}_v,x^{(0)}_u\bigr), \\ h_{1,1},\dots,h_{k_2,1}\in \mathcal B\bigl(w^{(5)}_1,w^{(5)}_2,w^{(0)}_3,w^{(2)}_4,w^{(1)}_5,x^{(0)}_v,x^{(0)}_u\bigr), \\ h_{1,2},\dots,h_{k_2,2}\in \mathcal B\bigl(w^{(5)}_1,w^{(5)}_2,w^{(2)}_3,w^{(2)}_4,w^{(0)}_5,x^{(0)}_v,x^{(0)}_u\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В скобки $h_{1,1},\dots,h_{k_2,1}$ входит лишь один элемент $w_{5}$, а в остальные скобки элемент $w_{5}$ не входит. Следовательно, если $\theta$ – цикл, то $\mu_1=\dots=\mu_{k_2}=0$, откуда получаем $\gamma_1=\dots=\gamma_{k_1}=0$. Поэтому в $\mathcal{L}(\mathcal G,3)$ нет ненулевых циклов размерности $2340$.
Лемма доказана. Лемма 4.12. Если $[\alpha]\in \mathcal{E}(\mathcal {L}(\mathcal G,4))$, то $\alpha(t_{2,k})=t_{2,k}$ при $1\leqslant k\leqslant m_2$. Доказательство. Для $k=1,\dots,m_2$ имеем
$$
\begin{equation}
\alpha(t_{2,k})=\sum_{i=1}^{m_2}\eta_{2,i}t_{2,i}+C_{2,k},
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где $C_{2,k}$ – разложимый элемент из $\mathcal{L}(\mathcal G,4)$. Тогда из (4.11) мы получаем
$$
\begin{equation*}
\partial(\alpha(t_{2,k}))=\sum_{i=1}^{m_2}\eta_{2,i}y_{2,i}+\partial(C_{2,k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, из соотношений (4.15) получаем При этом $y_{2,k}\in \mathcal L(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5)$ (см. замечание 4.3). Тогда из предложения 4.1 следует, что Далее, из соотношения $\partial( \alpha(t_{2,k}))=\alpha( \partial(t_{2,k}))$ вытекает, что $\partial(C_{2,k})=0$, и все коэффициенты $\eta_{2,i}$ должны быть равны нулю, кроме $\eta_{2,k}=1$. Так как $C_{2,k}$ – цикл, из леммы 4.11 следует, что $C_{2,k}=0$. Таким образом, соотношение (4.20) приобретает вид $\alpha(t_{2,k})=t_{2,k}$, что и требовалось.
Лемма доказана. Используя следствие 4.2 и леммы 4.6, 4.8 и 4.12, мы можем определить гомоморфизм групп $\Psi\colon\mathcal{E}(\mathcal {L}(\mathcal G,4))\to \operatorname{aut}(\mathcal G)$, положив $\Psi([\alpha])=\phi.$ Доказательство. Для любого $\sigma\in \operatorname{aut}(\mathcal G)$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_{\sigma}(t_{2,k})=t_{2,k}, \quad \alpha_{\sigma}(t_{1,k})=t_{1,k} \quad \forall\, k=1,\dots,m_2, \\ \alpha_{\sigma}(t_{(v,u)})=t_{(\sigma(v),\sigma(u))}, \quad \alpha_{\sigma}(z_{(v,u)})=z_{(\sigma(v),\sigma(u))} \quad \forall\, (v,u)\in E(\mathcal G), \\ \alpha_{\sigma}(t_{v})=t_{\sigma(v)}, \quad \alpha_{\sigma}(x_v)=x_{\sigma(v)} \quad \forall\, v\in V(\mathcal G), \\ \alpha_{\sigma}(w_i)=w_i, \qquad i=1,2,3,4,5. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда мы имеем $\partial\circ \alpha_{\sigma}=\alpha_{\sigma}\circ \partial$, откуда следует, что $[\alpha_{\sigma}]\in \mathcal{E}(\mathcal {L}(\mathcal G,4))$. Таким образом, мы получаем отображение и легко видеть, что оно является обратным к $\Psi$. Наконец, $\Phi$ является гомоморфизмом групп, так как для любых $\sigma_1,\sigma_2\in \operatorname{aut}(\mathcal G)$. Используя теорему 4.1, мы можем дать доказательство основного результата настоящей работы. Доказательство теоремы 1.1. В силу теоремы 2.1 группе $G$ соответствует сильно связный орграф $\mathcal G$, для которого $\operatorname{aut}(\mathcal G)\cong G$. По графу $\mathcal G$ построим д.г.л. $\mathcal {L}(\mathcal G,4)$. Тогда из теоремы 4.1 получаем, что $\mathcal{E}(\mathcal {L}(\mathcal G,4))\cong\operatorname{aut}(\mathcal G)$. Наконец, согласно $\mathbb Z_{(p)}$-локальной теории гомотопий Аника д.г.л. $\mathcal {L}(\mathcal G,4)$ соответствует объекту $X$ категории $\mathbf{DGL}^{2341}_{115}(\mathbb Z_{(p)})$, причем имеет место изоморфизм $\mathcal{E}(X)\cong\mathcal{E}(\mathcal {L}(\mathcal G,4))$; см. (2.1). Следовательно, что и требовалось.
Теорема доказана. Замечание 4.5. Согласно теории Аника образующие д.г.л. $\mathcal {L}(\mathcal G,4)$ соответствуют $\mathbb Z_{(p)}$-локализованным клеткам $\mathrm{CW}$-комплекса $X$, построенного в теореме 1.1. Поэтому $\mathrm{CW}$-комплекс $X$ является конечным тогда и только тогда, когда группа $G$ конечна. Замечание 4.6. В завершение статьи мы выдвинем гипотезу, мотивированную ходом рассуждений, использованных на протяжении всей статьи. Согласно этой гипотезе полученные нами результаты верны для любого нечетного числа $n\geqslant 7$ и простого числа $p>(309n+62)/{2}$. А именно, гипотеза заключается в том, что имеет место следующий результат. Пусть $G$ – произвольная группа. Тогда для любого нечетного $n\geqslant 7$ существует такой $\mathrm{CW}$-комплекс $X_n$, что:
Свойство 3) означает, что группу $G$ можно реализовать бесконечным числом попарно гомотопически неэквивалентных $\mathrm{CW}$-комплексов. БлагодарностьАвтор выражает искреннюю благодарность рецензенту за внимательное прочтение статьи и ценные предложения, которые значительно улучшили текст. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ben24} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|