| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Об одном семействе полей алгебраических чисел с конечной 3-башней полей классов Л. В. Кузьмин Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10040e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $L$ – поле алгебраических чисел, $\ell$ – фиксированное простое число и $\mathscr H_\ell(L)$ – $\ell$-гильбертово поле классов поля $L$, т.е. максимальное абелево неразветвленное $\ell$-расширение поля $L$. Известно, что группа Галуа $G(\mathscr H_\ell(L)/L)$ канонически изоморфна $\ell$-компоненте $\operatorname{Cl}_\ell(L)$ группы классов поля $L$. Положим $F_0=L$, $F_1=\mathscr H_\ell(L)$ и для $n>1$ $F_n=\mathscr H_\ell(F_{n-1})$. Последовательность полей $F_i$ называется $\ell$-башней полей классов поля $L$, а поле $\mathbf H_\ell(L)=\bigcup_n F_n$ является максимальным неразветвленным $\ell$-расширением поля $L$. Согласно знаменитой теореме Голода–Шафаревича существуют поля $L$ с бесконечной $\ell$-башней полей классов, т.е. поля $L$, для которых $\mathbf H_\ell(L)$ имеет бесконечную степень над $L$. Помимо этого основного факта удивительно мало известно о $\ell$-башнях полей классов. Мы рассмотрим проблему конечности $\ell$-башни в следующем частном случае. Пусть $\ell=3$, $k=\mathbb Q(\sqrt{-3})$ и $K=k(\sqrt[3]{a})$ – циклическое кубическое расширение поля $k$, где $a\in \mathbb Z$ и $a$ не является кубом в $\mathbb Z$. Таким образом, $K$ – расширение Галуа поля $\mathbb Q$ c группой Галуа $S_3$. Помимо этого мы будем предполагать, что $K$ абелево над $\ell$, т.е. пополнение $K_v$ поля $K$ относительно любой точки $v$, лежащей над $\ell=3$, является абелевым расширением поля $\mathbb Q_3$. Пусть $k_n=\mathbb Q(\zeta_n)$, где $\zeta_n$ – первообразный корень степени $\ell^{n+1}$ из единицы (таким образом, $k=k_0$) и $k_\infty=\bigcup_n k_n$ – круговое $\mathbb Z_\ell$-расширение поля $k$. Мы полагаем также $K_n=K\cdot k_n$ и $K_\infty=\bigcup_n K_n$ – круговое $\mathbb Z_\ell$-расширение поля $K$. Основной целью настоящей работы является доказательство следующей теоремы. Теорема. Пусть $\ell=3$, $K$ имеет вид, указанный выше, и предположим, что в расширении $K_\infty/k_\infty$ разветвлены ровно три простые точки, не лежащие над $\ell$. Тогда при любом $n$ $\mathbf H_\ell(K_n)=\mathscr H_\ell(K_n)$, т.е. 3-башня полей классов поля $K_n$ обрывается на первом же шаге. При этом $G(\mathbf H_\ell(K_n)/K_n)\cong \operatorname{Cl}_\ell(K_n)$. В § 2 мы даем необходимые определения и напоминаем используемые обозначения, которые в основном совпадают с обозначениями работ [1]–[4]. В § 3 мы, используя аналог формулы Римана–Гурвица, изучаем случай, когда поле $K_\infty$ имеет конечный модуль Тэйта (модуль Ивасавы). Мы доказываем, что для любого $n$ и любого неразветвленного $\ell$-расширения $L/K_n$ группа Галуа $G(L/K_n)$ действует тождественно на группу классов $\operatorname{Cl}_\ell(L)$ (предложение 1). Определение модуля Тэйта $T_\ell(K_\infty)$ и связанных с ним модулей $\overline T_\ell(K_\infty)$ и $R_\ell(K_\infty)$, упоминаемых ниже, дается в § 2. В § 4, снова используя аналог формулы Римана–Гурвица, мы рассматриваем случай, когда модуль $T_\ell(K_\infty)$ бесконечен. Снова оказывается, что и в этом случае для любого $n$ и любого неразветвленного $\ell$-расширения Галуа $L/K_n$ группа Галуа $G(L/K_n)$ действует тождественно на группу классов $\operatorname{Cl}_\ell(L)$ (предложение 5). В § 5 мы приводим сводку известных результатов о полях $K$ таких, что в $K_\infty/k_\infty$ разветвлены ровно три точки, и о группах классов $\operatorname{Cl}_\ell(K_n)$ для таких полей. Заметим, что в случае $\ell=3$ поле $K$ в каком-то смысле аналогично полю рациональных функций на эллиптической кривой. Именно, любое неразветвленное $\ell$-расширение $L$ поля $K_n$, где $K_n$ – некоторое промежуточное подполе кругового $\mathbb Z_\ell$-расширения $K_\infty/K$, является абелевым, как и в случае эллиптической кривой. Однако доказательство этого факта требует совсем других аргументов, чем те, которые используются в геометрической ситуации. § 2. Обозначения и определенияМы стараемся следовать обозначениям работ [1]–[4]. Пусть $\ell$ – регулярное нечетное простое число и $\zeta_n$ – первообразный корень из единицы степени $\ell^{n+1}$. Положим $k=\mathbb Q(\zeta_0)$ и $k_\infty=\bigcup_{n=1}^\infty k_n$, где $k_n=k(\zeta_n)$. Пусть $K=k(\sqrt[\ell]{a})$, где $a$ – натуральное число такое, что точка $v$ поля $k$, лежащая над $\ell$, вполне распадается в расширении $K/k$. Это означает, что $a^{\ell-1}\equiv 1\pmod{\ell^2}$. Кроме того, мы предполагаем, что в расширении $K_\infty/k_\infty$ разветвлены ровно три точки. Соответственно мы предполагаем, что либо $a=p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}$, либо $a=p^rq^s$. В первом случае $p_1, p_2, p_3$ – простые числа, которые остаются простыми в расширении $k_\infty/\mathbb Q$, а во втором случае $p$ распадается в единственном квадратичном подполе $F$ поля $k$ в произведение $(p)=\mathfrak{p_1p_2}$ и каждый из дивизоров $\mathfrak p_i$ остается простым в расширении $k_\infty/F$, а $\mathfrak q=(q)$ остается простым в расширении $k_\infty/\mathbb Q$. Соответственно, следуя терминологии [1], мы говорим о расширениях типа 2.1 и расширениях типа 2.2. Кроме того, существуют еще расширения типа 2.4. Это поля $K$ вида $K=k(\sqrt[3]{p})$, где $p\equiv 8,17\pmod{27}$. Мы обозначаем группу Галуа $G(K/\mathbb Q)$ через $G$, группу $G(K/k)$ через $H$ и группу $G(k/\mathbb Q)$ через $\Delta$. Таким образом, $G$ – это полупрямое произведение $H$ и $\Delta$ и группа $\Delta$ действует на $H$ с помощью характера Тейхмюллера $\omega\colon \Delta\to(\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^\times$. Через $\mathbb F_\ell(i)$ мы обозначаем группу $\mathbb Z/\ell\mathbb Z$, на которую $\Delta$ действует как $\omega^i$. Индекс $i$ определен по модулю $\ell-1$. Пусть $A$ – некоторый конечный $G$-модуль, который цикличен как $H$-модуль и такой, что $N_H(A)=0$, где $N_H=\sum_{h\in H}h$ – оператор нормы. Пусть $A=A_0\supseteq A_1\supseteq\dots\supseteq A_n=0$ – нижний центральный ряд для $H$-модуля $A$. Если $A_0/A_1\cong \mathbb F_\ell(i)$ и $A_{n-1}\cong \mathbb F_\ell(j)$, то мы говорим, что $A$ начинается с $\mathbb F_\ell(i)$ и кончается на $\mathbb F_\ell(j)$. В этом случае согласно лемме 3.2 из [1] $A_k/A_{k+1}{\cong}\, \mathbb F_\ell(i+k)$ для любого $k\,{<}\,n$. Если $|A|{\kern1pt}{=}\,\ell^r$, то $r\equiv j-i+1\pmod{\ell-1}$. В настоящей работе используется аналог формулы Римана–Гурвица, доказанный автором в [5] (усовершенствованное доказательство содержится в [6]). Эта формула, которая приводится в § 3, связывает некоторые линейные комбинации $\lambda$-инвариантов Ивасавы определенных модулей Галуа, ассоциированных с конечным $\ell$-расширением полей $L'/L$. Мы приведем сейчас определение этих модулей Галуа. Заметим, что все рассматриваемые в настоящей работе поля являются $\ell$-расширениями поля $k$, поэтому все рассматриваемые модули имеют нулевые $\mu$-инварианты Ивасавы. Пусть $L$ – произвольное поле алгебраических чисел и $L_\infty$ – круговое $\mathbb Z_\ell$-расширение поля $L$. Пусть $\overline N$ – максимальное абелево неразветвленное $\ell$-расширение поля $L_\infty$ и $N$ – максимальное подполе поля $\overline N$ такое, что в $N/L_\infty$ вполне распадаются все точки из $S$, где $S$ – множество всех точек, лежащих над $\ell$. Мы обозначим группы Галуа расширений $N/L_\infty$ и $\overline N/L_\infty$ через $T_\ell(L_\infty)$ и $\overline T_\ell(L_\infty)$ соответственно. Эти группы являются компактными нётеровыми модулями относительно действия группы $\Gamma=G(L_\infty/L)$, где $\Gamma\cong \mathbb Z_\ell$. Мы будем предполагать, что в $\Gamma$ зафиксирована некоторая топологическая образующая $\gamma_0 $. Соответственно на эти модули действует алгебра Ивасавы $\Lambda=\mathbb Z_\ell[[\Gamma]]=\varprojlim\mathbb Z_\ell[\Gamma/\Gamma_n]$, где $\Gamma_n$ – единственная подгруппа группы $\Gamma$ индекса $\ell^n$. Через $R_\ell(L_\infty)$ мы обозначаем ядро естественного отображения $\overline T_\ell(L_\infty)\to T_\ell(L_\infty)$, т.е. $R_\ell(L_\infty)$ – это подгруппа группы $\overline T_\ell(L_\infty)$, порожденная подгруппами разложения всех точек из $S$. Пусть $M$ – максимальное абелево $\ell$-расширение поля $L_\infty$, не разветвленное вне $S$, и $X(L_\infty)=G(M/L_\infty)$. Тогда $X(L_\infty)$ является $\Lambda$-модулем, подмодуль $\Lambda$-кручения которого мы обозначим через $\operatorname{Tors}X(L_\infty)$. Естественные отображения $X(L_\infty)\to \overline T_\ell(L_\infty)$ и $X(L_\infty)\to T_\ell(L_\infty)$ индуцируют отображения $\operatorname{Tors}X(L_\infty)\to \overline T_\ell(L_\infty)$ и $\operatorname{Tors}X(L_\infty)\to T_\ell(L_\infty)$. Образы этих отображений мы будем обозначать через $\overline T'_\ell(L_\infty) $ и $T'_\ell(L_\infty)$ соответственно. Положим $T''_\ell(L_\infty)=T_\ell(L_\infty)/T'_\ell(L_\infty)$ и будем обозначать $\lambda$-инварианты модулей $T'_\ell(L_\infty)$ и $T''_\ell(L_\infty)$ через $\lambda'(L_\infty)$ и $\lambda ''(L_\infty)$ соответственно. Мы положим $R'(L_\infty)=R(L_\infty)\cap\overline T_\ell'(L_\infty)$ и $R''(L_\infty)=R(L_\infty)/R'_\ell(L_\infty)$. Через $r(L_\infty)$, $r'(L_\infty)$ и $r''(L_\infty)$ будем обозначать $\lambda$-инварианты модулей $R(L_\infty)$, $R'(L_\infty)$ и $R''(L_\infty)$ соответственно. Помимо этого нам будет нужен еще один инвариант, обозначаемый через $d(L_\infty)$, который является $\lambda$-инвариантом модуля $D(L_\infty)$. Этот модуль определен в случае, когда поле $L_\infty$ абелево над $\ell$ и когда $k\subset L$. Определение модуля $D(L_\infty)$ можно найти в [1; § 6], там же содержится определение модулей $V(L_\infty)$, $V^+(L_\infty)$ и $V^-(L_\infty)$, используемых для определения $D(L_\infty)$, а подробное описание конструкции этого модуля и его свойств можно найти в [6]. Сейчас отметим только, что $D(L_\infty)$ определяется как $V(L_\infty)/(V^+(L_\infty)\oplus V^-(L_\infty))$. При этом $V(L_\infty)$, $V^+(L_\infty)$ и $V^-(L_\infty)$ – свободные $\Lambda$-модули. Отметим также, что мы часто, не оговаривая этого специально, используем аддитивные обозначения для записи операции умножения, так как операция сложения нигде в работе не используется. § 3. Аналог формулы Римана–ГурвицаЭта формула была впервые получена автором в [5]. Усовершенствованное доказательство содержится в [6]. Пусть $L'/L$ – конечное $\ell$-расширение полей алгебраических чисел (здесь $\ell$ – любое фиксированное простое число). Пусть $L'_\infty$ и $L_\infty$ – круговые $\mathbb Z_\ell$-расширения полей $L'$ и $L$ соответственно, причем поля $L$ и $L'$ удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Условия эти состоят в том, что поля $L$ и $L'$ абелевы над $\ell$. Это означает, что для любой точки $v$, лежащей над $\ell$, пополнение $L_v$ поля $L$ (или пополнение $L'_v$ поля $L'$) является абелевым расширением поля $\mathbb Q_\ell$. Мы предполагаем также, что поле $L$ содержит первообразный корень $\zeta_0$ степени $\ell$ из единицы, т.е. $L\supseteq k$ и все рассматриваемые ниже модули Галуа имеют нулевые $\mu$-инварианты Ивасавы. Последнее условие выполняется для $k_\infty$ при $\ell=3$, так как 3 – регулярное простое число, и, следовательно, выполняется для любого конечного $\ell$-расширения поля $k_\infty$. В частности, для полей $L_\infty$ и $L'_\infty$. Аналог формулы Римана–Гурвица дает соотношение между $\lambda$-инвариантами Ивасавы модулей Галуа, определенных в § 2 для полей $L_\infty'$ и $L_\infty$, где $L'/L$ – конечное $\ell$-расширение полей алгебраических чисел, и поля $L'$ и $L$ удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, которые были указаны выше. Для поля $L_\infty$ мы положим
$$
\begin{equation*}
g(L_\infty)=\frac{1}{2} d(L_\infty)+\lambda'(L_\infty)+2\lambda''(L_\infty)+2r''(L_\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналог формулы Римана–Гурвица связывает инвариант $2g(L_\infty)$ и аналогичным образом определенный инвариант $2g(L'_\infty)$ для конечного $\ell$-расширения $L'/L$. Именно, при указанных выше предположениях о полях $L_\infty$ и $L'_\infty$ справедлива следующая формула, являющаяся аналогом формулы Римана–Гурвица:
$$
\begin{equation*}
2g(L'_\infty)-2=[L'_\infty:L_\infty][2g(L_\infty)-2]+\sum_{v\nmid\ell}(e_v-1),
\end{equation*}
\notag
$$
где $v$ пробегает все точки поля $L_\infty'$, не лежащие над $\ell$, и $e_v$ – индекс ветвления точки $v$ в расширении $L'_\infty/L_\infty$. Замечание. Очевидно, что $g(k_\infty)=0$. В случае $\ell=3$, применяя предыдущую формулу к расширению $K_\infty/k_\infty$, где $K_\infty/k_\infty$ – циклическое расширение степени $\ell$, в котором разветвлены ровно три точки, не лежащие над $\ell$, мы получаем $g(K_\infty)=1$. Как было объяснено в [4; предложение 3.1], для конечного неразветвленного $\ell$-расширения $L_\infty/K_\infty$ при $\ell=3$ выполняется равенство $g(L_\infty)=1$ и имеет место одна из следующих двух возможностей: (A) $d(L_\infty)=2(\ell-1)$, $\lambda'(L_\infty)=\lambda''(L_\infty)=r''(L_\infty)=0$; (B) $d(L_\infty)=0$, $\lambda'(L_\infty)=\ell-1$, $\lambda''(L_\infty)=r''(L_\infty)=0$. Если $L_\infty/K_\infty$ – конечное неразветвленное расширение, то оба поля относятся либо к типу (A), либо к типу (B). В этом параграфе мы рассмотрим подробно случай (A). Если $L/K_n$ – конечное неразветвленное расширение Галуа, то группа Галуа $G(L_\infty/K_n)$ изоморфна прямому произведению $G(L/K_n)\times G(K_\infty/K_n)$ и группа $G(L/K_n)$ действует на $\Lambda_n$-модули $D(L_\infty), T_\ell(L_\infty)$ и другие $\Lambda$-модули, которые были определены в § 2. Доказательство. В случае (A) выполняется равенство $d(L_\infty)=d(K_\infty)=2(\ell-1)=4$. Вложение $K_\infty\hookrightarrow L_\infty$ индуцирует естественное отображение $i\colon D(K_\infty)\to D(L_\infty)$, а последовательность норменных отображений $N_m\colon L_m^\times\to K_m^\times$, где $L_m=K_m\cdot L$, индуцирует отображение $N\colon D(L_\infty)\to D(K_\infty)$. Очевидно, что $N\circ i=[L:K_n]$. Поскольку $D(K_\infty)$ и $D(L_\infty)$ – свободные $\mathbb Z_\ell$-модули одного и того же ранга, это означает, что $i$ изоморфно отображает $D(K_\infty)$ на подмодуль конечного индекса в $D(L_\infty)$. Отображения $i$ и $N$ являются $G(L/K_n)$-гомоморфизмами, и группа $G(L/K_n)$ действует тождественно на $D(K_\infty)$. Следовательно, группа $G(L/K_n)$ действует тождественно и на $D(L_\infty)$.
Предложение доказано. Доказательство. Нам достаточно проверить, что группы $T_\ell(L_\infty)$ и $R_\ell(L_\infty)$ конечны. Конечность группы $T_\ell(L_\infty)$ следует из того, что в случае (A) выполняются равенства $\lambda'(L_\infty)=\lambda''(L_\infty)=0$.
Поскольку в случае (A) $r''(L_\infty)=0$, для доказательства конечности $R_\ell(L_\infty)$ достаточно проверить, что $r'(L_\infty)=0$. Заметим, что все точки поля $L$, лежащие над $\ell$, чисто разветвлены в расширении $L_\infty/L$, поэтому группа $\Gamma_n=G(L_\infty/L)$ действует тождественно на $R_\ell(L_\infty)$ и, следовательно, на $R'(L_\infty)$. Поскольку существует эпиморфизм $\operatorname{Tors}X(L_\infty)\to R'(L_\infty)$, нам достаточно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{rk}\bigl(\operatorname{Tors}X(L_\infty)/(\gamma_n-1) \operatorname{Tors}X(L_\infty)\bigr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_n=\gamma_0^{\ell^n}$ – топологическая образующая группы $\Gamma_n$. Если бы этот ранг был положителен, это означало бы, что у поля $L$ есть “лишние” $\Gamma$-расширения, т.е. для него не верна гипотеза Леопольдта, что противоречит конечности модуля $T_\ell(L_\infty)$ (см. [1; предложение 5.1] или [7; теорема 4.1]). Предложение доказано. Если $L$ – расширение поля $K_n$ такое, что $L\cap K_\infty=K_n$, то все модули Галуа, связанные с расширением $L_\infty/L$, являются $\Gamma_n$-модулями или $\Lambda_n$-модулями, где $\Lambda_n=\mathbb Z_\ell[[\Gamma_n]]$. Пусть $\mathscr F(V(L_\infty)/V^+(L_\infty))$ – минимальный свободный $\Lambda_n$-модуль, который содержит $\Lambda_n$-модуль без кручения $V(L_\infty)/V^+(L_\infty)$ в качестве подмодуля конечного индекса. Тогда существует естественное вложение свободного $\Lambda_n$-модуля $V^-(L_\infty)$ в свободный модуль $\mathscr F(V(L_\infty)/V^+(L_\infty))$ и фактормодуль $D'(L_\infty)=\mathscr F(V(L_\infty)/V^+(L_\infty))/V^-(L_\infty)$ не содержит ненулевых конечных подмодулей, т.е. является свободным $\mathbb Z_\ell$-модулем, содержащим $D(L_\infty)$ в качестве подмодуля конечного индекса. Следовательно, группа Галуа $G(L/K_n)$ действует тождественно и на $D'(L_\infty)$. Положим $E'(L_\infty)=D'(L_\infty)/D(L_\infty)$. Тогда группа $G(L/K_n)$ действует тождественно и на $E'(L_\infty)$. Аналогичным образом мы полагаем $D''(L_\infty)=\mathscr F(V(L_\infty)/V^-(L_\infty))$ и $E''(L_\infty)=D''(L_\infty)/D(L_\infty)$. Снова получаем, что группа $G(L/K_n)$ действует тождественно на $E''(L_\infty)$. Группы $E'(L_\infty)$ и $E''(L_\infty)$ изоморфны как абелевы группы (изоморфизм осуществляет косой автоморфизм $\psi$) [1; теорема 6.1]. Кроме того, $D'(L_\infty)\cap D''(L_\infty)= D(L_\infty)$ [6; предложение 1.7], поэтому группа $E'(L_\infty)\oplus E''(L_\infty)$ вкладывается в $(D(L_\infty)\otimes \mathbb Q_\ell)/D(L_\infty)$ и минимальное число образующих группы $E'(L_\infty)$ не превосходит $\ell-1=2$. Доказательство. Согласно теореме 3.1 из [2] модуль Галуа $E'(L_\infty)$ содержит подмодуль $E'_2(L_\infty)$, который естественно изоморфен модулю $\overline T_\ell(L_\infty)$ (заметим, что в доказательстве этой теоремы использовалась только конечность модуля $\overline T_\ell(L_\infty)$, поэтому эта теорема справедлива не только для $K_\infty$, но и для поля $L_\infty$). Тогда из предложения 2 следует, что $G(L/K_n)$ действует тождественно на $\overline T_\ell(L_\infty)$.
Поскольку расширение $L_\infty/L$ чисто разветвлено в делителях $\ell$, естественное отображение $\overline T_\ell(L_\infty)\to \operatorname{Cl}_\ell(L)$ является эпиморфизмом. Следовательно, $G(L/K_n)$ действует тождественно и на $\operatorname{Cl}_\ell(L)$. Предложение доказано. § 4. Формула Римана–Гурвица (случай (B))Пусть для поля $L$ имеет место случай (B). Предложение 4. В случае (B) мы имеем равенство $\overline T_\ell(L_\infty)=T_\ell(L_\infty)$ и $T_\ell(L_\infty)\cong\mathbb Z_3^2$. Доказательство. Пусть $H :=G(K_\infty/k_\infty)$. Тогда $T_\ell(K_\infty)$ – циклический $H$-модуль [1; теорема 4.1], аннулируемый оператором $N_H$. Вместе с условием $\lambda'(L_\infty)=2$ это дает $T_\ell(K_\infty)\cong \mathbb Z_\ell^2$ как $\mathbb Z_\ell$-модуль. Пусть $\gamma_0$ действует на корни из единицы $\zeta_n$ по правилу $\gamma_0(\zeta_n)=\zeta_n^{\varkappa(\gamma_0)}$, $\varkappa(\gamma_0)\in\mathbb Z_\ell$. Тогда согласно [1; теорема 5.1] $\gamma_0$ действует на $T_\ell(K_\infty)$ как умножение на $\sqrt{\varkappa(\gamma_0)}$. При $\ell=3$ мы считаем, что $\gamma_0$ определяется условием $\varkappa(\gamma_0)=4$, при этом $\sqrt{\varkappa(\gamma_0)}=-2$.
Тогда, как и в доказательстве предложения 1, мы получаем, что вложение полей $K_\infty\hookrightarrow L_\infty$ индуцирует вложение $i\colon T_\ell(K_\infty)\hookrightarrow T_\ell(L_\infty)$ с конечным коядром. Пусть $T_\ell^0(L_\infty)$ – максимальный $\mathbb Z_\ell$-свободный фактормодуль модуля $T_\ell(L_\infty)$. Тогда на $T_\ell^0(L_\infty)$ действует топологическая образующая $\gamma_n=\gamma_0^{\ell^n}$ группы $\Gamma_n$ и $\gamma_n$ умножает $T_\ell^0(L_\infty)$ на $-2^{\ell^n}$. Группа $G(L/K_n)$ действует тождественно на $T_\ell^0(L_\infty)$. Как и в доказательстве предложения 2, мы получаем из [7; теорема 4.1], что для любого поля $L_n$ справедлива гипотеза Леопольдта, поэтому $r'(L_\infty)=0$ и $R(L_\infty)$ – конечная группа. Но согласно [4; предложение 3.3] модуль $\overline T_\ell(L_\infty)$ не содержит нетривиальных конечных подмодулей. Это означает, что $\overline T_\ell(L_\infty)=T_\ell(L_\infty)=T_\ell^0(L_\infty)\cong \mathbb Z_3^2$. Предложение доказано. Предложение 5. В случае (B) группа $G(L/K_n)$ действует тождественно на группу $\operatorname{Cl}_\ell(L)$. Доказательство. Имеется естественное отображение $\varphi\colon \overline T_\ell(L_\infty)\to \operatorname{Cl}_\ell(L)$, которое является $G(L/K_n)$-гомоморфизмом. Так как расширение $L_\infty/L$ чисто разветвлено в точках, лежащих над $\ell$, отображение $\varphi$ эпиморфно. Согласно предложению 4 группа $G(L/K_n)$ действует тождественно на $\overline T_\ell(L_\infty)$. Следовательно, она действует тождественно и на $\operatorname{Cl}_\ell(L)$.
Предложение доказано. Чтобы использовать предложения 3 и 5 для доказательства нашей теоремы, нам будет нужно следующее простое утверждение о конечных $\ell$-группах. Предложение 6. Пусть $G$ – конечная $\ell$-группа, обладающая тем свойством, что для любого нормального делителя $H$ группы $G$ факторгруппа $G/H$ действует тождественно на $G/H$-модуль $H^{\mathrm{ab}}=H/[H,H]$. Тогда $G$ – абелева группа. Доказательство. Предположим, что $G$ неабелева, т.е. $[G,G]\neq 1$. Тогда $[G,G]/[G,[G,G]]\,{\neq}\, 1$. Пусть $\varphi$ – некоторый эпиморфизм группы $[G,G]/[G,[G,G]]$ на группу $A\cong \mathbb F_\ell$. Тогда расширение групп где $G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$, и эпиморфизм $\varphi$ индуцируют центральное расширение где $B=G/\ker \varphi$. Таким образом, $[B,B]=A$ и существуют элементы $x,y\in B$ такие, что $[x,y]\neq 1$. Пусть $B_1$ – подгруппа в $B$, порожденная элементами $x^\ell,y$. Тогда $B_1$ – абелева подгруппа и $x$ нетривиально действует на $B_1$. Положим $F=B/B_1$. Тогда имеется расширение групп с абелевым ядром $B_1$, на которое $F$ действует нетривиально.
Группа $F$ является факторгруппой группы $G$ с некоторым ядром $H$, поэтому существует коммутативная диаграмма групповых расширений Следовательно, $F$ действует нетривиально на $H/[H,H]$ вопреки условиям предложения.Предложение доказано. Доказательство теоремы. Предположим, что существует конечное неразветвленное $\ell$-расширение Галуа $M/K_n$ с неабелевой группой Галуа $G$. Пусть подполе $L\subset M$ является расширением Галуа, т.е. группа $H=G(M/L)$ является нормальным делителем в $G$. Пусть $L_1=M^{[H,H]}$. Тогда $L_1$ – абелево неразветвленное $\ell$-расширение поля $L$ и, следовательно, существует канонический эпиморфизм $\operatorname{Cl}_\ell(L)\to G(L_1/L)=H/[H,H]$.
Группа Галуа $G(L/K_n)$ действует тождественно на группу $\operatorname{Cl}_\ell(L)$ согласно предложениям 3 и 5, поэтому она действует тождественно и на $H/[H,H]$. Таким образом, выполнены все предпосылки предложения 6, откуда следует, что группа $G$ абелева, т.е. над $K_n$ могут существовать только абелевы неразветвленные $3$-расширения, но это и означает, что для $K_n$ справедлива теорема. § 5. Вид поля $K$ и строение групп классов полей $K_n$Для удобства читателя мы дадим краткую сводку полученных в [1]–[4] результатов о поле $K$ и группах классов $\operatorname{Cl}_\ell(K_n)$. Если $\ell=3$ и $K$ – кубическое расширение поля $k$ такое, что $K$ – расширение Галуа поля $\mathbb Q$ с группой Галуа $S_3$, $K$ абелево над $\ell$ и в расширении $K_\infty/k_\infty$ разветвлены ровно три простые точки, не лежащие над $\ell$, то $K$ относится к одному из следующих трех типов, о которых, как и в [1], мы будем говорить как о случаях 2.1, 2.2 и 2.4 (см. [1; предложения 2.1, 2.2 и 2.4]). В [1] фигурирует еще случай 2.3, но этот случай не может встретиться при $\ell=3$. Случай 2.1. $K=k(\sqrt[3]{a})$, $a\in\mathbb Z$, $a^{\ell-1}\equiv 1\pmod{\ell^2}$ и $a=p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}$, где $p_1$, $p_2$, $p_3$ – различные простые числа, отличные от $\ell$. При этом $r_1r_2r_3\not\equiv 0\pmod\ell$ и главные дивизоры $(p_i)$ остаются простыми в $K_\infty$ для $i=1,2,3$. Последнее условие означает, что $p_i$ являются первообразными корнями по модулю $\ell^2$. В случае 2.1 модуль $\overline T_\ell(K_\infty)$ начинается с $\mathbb F_\ell(1)$. И имеют место три подслучая. Подслучай 2.1.a. $|T_\ell(K_\infty)|=3, |\overline T_\ell(K_\infty)|=27$, $\operatorname{Cl}_\ell(K)\cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)^2$, $\operatorname{Cl}_\ell(K_n)\cong \mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mathbb Z/9\mathbb Z$ при $n>0$. Подслучай 2.1.b. $|T_\ell(K_\infty)|=3^r$, $|\overline T(K_\infty)|=3^{r+2}$ для некоторого нечетного $r>1$. $\operatorname{Cl}_\ell(K_n)\cong (\mathbb Z/3^{n+1})^2$ для $n<n_0=(r-1)/2$ и $\operatorname{Cl}_\ell(K_n)\cong \mathbb Z/3^{n_0+1}\mathbb Z\oplus \mathbb Z/3^{n_0+2}\mathbb Z$ при $n\geqslant n_0$. Подслучай 2.1.c. $T_\ell(K_\infty)\cong \mathbb Z_3^2$ и $\operatorname{Cl}_\ell (K_n)\cong (\mathbb Z/3^{n+1}\mathbb Z)^2$ для $n\geqslant 0$. Для любой пары различных простых $p_1$, $p_2$ существует бесконечно много простых $p_3$ таких, что $K$ относится к подслучаю 2.1.a, и бесконечно много простых $p_3$ таких, что $K$ относится либо к подслучаю 2.1.b, либо к подслучаю 2.1.c, хотя ни для одного поля $K$ последнего типа мы не можем сказать, относится ли оно к подслучаю 2.1.b или к 2.1.c (см. [2; теорема 4.1 и предложение 4.3] и [3; теорема 6.2]). Случай 2.2. В этом случае $K=k(\sqrt[3]{a})$, $a^{\ell-1}\equiv 1\pmod{\ell^2}$ и $a=p^r q^s$, $rs\not\equiv 0\ (\operatorname{mod}\ell)$, $p$, $q$ – различные простые числа, отличные от $\ell$, $p$ распадается в единственном квадратичном подполе $F$ поля $k$ (заметим, что в случае $\ell=3$ поля $F$ и $k$ совпадают) в произведение двух дивизоров $\mathfrak p_1$ и $\mathfrak p_2$, каждый из которых остается простым в расширении $K_\infty/F$. Дивизор $(q)$ остается простым в расширении $K_\infty/\mathbb Q$. В этом случае $\overline T_\ell(K_\infty)$ начинается с $\mathbb F_\ell(0)$ и возможны следующие три подслучая. Подслучай 2.2.a. $T(K_\infty)=0$ и $\overline T_\ell(K_\infty)\cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)^2$. В этом подслучае $\operatorname{Cl}_\ell(K_n)\cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)^2$ для любого $n$. Подслучай 2.2.b. $T_\ell(K_\infty)\cong (\mathbb Z/3^{n_0}\mathbb Z)^2$ для некоторого индекса $n_0$ и $|R_\ell(K_\infty)|=9$. В этом подслучае $\operatorname{Cl}_\ell(K_n)\cong (\mathbb Z/\ell^{n+1}\mathbb Z)^2$ при $n\leqslant n_0$ и $\operatorname{Cl}_\ell(K_n)\cong (\mathbb Z/\ell^{n_0}\mathbb Z)^2$ при $n>n_0$. Подслучай 2.2.c. $T_\ell(K_\infty)\cong \mathbb Z_3^2$. В этом случае $\operatorname{Cl}_\ell(K_n)\cong (\mathbb Z/3^{n+1}\mathbb Z)^2$ для любого $n$. Снова известно, что существует бесконечно много полей $K$, относящихся к подслучаю 2.2.a, и бесконечно много полей $K$, относящихся к подслучаям 2.2.b и 2.2.c, но снова ни для одного поля последнего типа мы не можем сказать, принадлежит ли оно к подслучаю 2.2.b или к подслучаю 2.2.c (см. [4; предложения 4.1–4.4]). Отметим также, что в случае 2.2 существуют поля $K$, не относящиеся ни к одному из указанных выше трех подслучаев. Случай 2.4. В этом случае $K=k(\sqrt[3]{p})$, где простое число $p$ удовлетворяет сравнению $p\equiv 8,17\pmod{27}$. Этот случай еще не изучен, и мы не можем сказать про него ничего определенного. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kuz24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|