| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О размерности квантования вероятностных мер А. В. Иванов Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра Российской академии наук, г. Петрозаводск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10047e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеКвантованием вероятностной меры называется приближение данной меры мерами с конечными носителями. Исследования, посвященные вопросам квантования, представляют собой содержательный раздел теории вероятностей (см. [1]). В рамках теории квантования определены размерности квантования (верхняя $\overline{D}(\mu)$ и нижняя $\underline{D}(\mu)$) вероятностной меры $\mu$. Эти размерности характеризуют асимптотическую скорость приближения данной меры мерами с конечными носителями. Известно, что размерности квантования вероятностной меры $\mu$, определенной на метрическом компакте $(X,\rho)$, не превосходят соответствующих емкостных размерностей $\dim_B$ ее носителя:
$$
\begin{equation}
\overline{D}(\mu)\leqslant\overline{\dim}_B(\mathrm{supp}(\mu)), \qquad \underline{D}(\mu)\leqslant\underline{\dim}_{\,B}(\mathrm{supp}(\mu))
\end{equation}
\tag{1}
$$
(см. [2]; для вероятностных мер в $\mathbb{R}^n$ с метрикой, порожденной нормой, – [1]). Неравенства (1) определяют верхнюю границу размерностей квантования мер с заданным носителем и порождают следующие естественные вопросы о промежуточных значениях размерностей квантования, сформулированные в [3]. Верно ли, что для любого числа $b\in[0,\overline{\dim}_BX]$ ($b\in[0,\underline{\dim}_{\,B}X]$) существует вероятностная мера $\mu_b$ на компакте $X$, для которой $\overline{D}(\mu_b)=b$ ($\underline{D}(\mu_b)=b$)? Для верхних размерностей вопрос о промежуточных значениях решен положительно в [3]. Его решение основано на существовании в $X$ замкнутого подмножества $F$ наперед заданной верхней емкостной размерности $\overline{\dim}_BF=b$ для любого $b\in[0,\overline{\dim}_BX]$. Для нижней размерности квантования аналогичный подход невозможен, поскольку в работе [4] построен пример метрического компакта $X$ размерности $\dim_BX=1$, все непустые собственные замкнутые подмножества которого нульмерны в смысле $\underline{\dim}_{\,B}$. Однако в настоящей работе показано, что для нижних размерностей поставленный выше вопрос также решается положительно (см. теорему 4). Таким образом, значения нижней размерности квантования вероятностных мер на $X$ заполняют весь диапазон $[0,\underline{\dim}_{\,B}X]$ независимо от наличия “провалов” в множестве значений нижней емкостной размерности замкнутых подмножеств компакта $X$. Кроме того, доказано (теорема 3), что если $X$ – метрический компакт и $\dim_BX=a\leqslant\infty$, то для любых чисел $b\in[0,a]$ и $c\in[b,a]$ существует мера $\mu\in P(X)$ такая, что $\underline{D}(\mu)=b$, $\overline{D}(\mu)=c$. § 2. Определения и леммыВ дальнейшем $(X,\rho)$ – метрический компакт, $P(X)$ – пространство вероятностных мер на $X$ с метрикой $\rho_P$ Канторовича–Рубинштейна, определяемой по формуле
$$
\begin{equation*}
\rho_P(\mu,\nu)=\sup\bigl\{|\mu(f)-\nu(f)|\colon f\in\mathrm{Lip}_1(X)\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{Lip}_1(X)$ – множество вещественных функций на $X$, удовлетворяющих условию Липшица с константой $1$, и $\mu(f)=\displaystyle\int f\, d\mu$. Для каждой меры $\mu\in P(X)$ определен ее носитель $\mathrm{supp}(\mu)$ как наименьшее замкнутое подмножество $X$ полной меры. Известно (см. [5; гл. 7]), что для любого $n\in \mathbb{N}$ множество1
$$
\begin{equation*}
P_n(X)=\bigl\{\mu\in P(X)\colon|\mathrm{supp}(\mu)|\leqslant n\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
замкнуто в $P(X)$ и $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}P_n(X)$ всюду плотно в $P(X)$. Таким образом, для любой меры $\mu\in P(X)$ и любого $\varepsilon>0$ определено число
$$
\begin{equation*}
N(\mu,\varepsilon)=\min\bigl\{n\colon \rho_P(\mu,P_n(X))\leqslant\varepsilon\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\mu\not\in \bigcup_{n\in\mathbb{N}}P_n(X)$, то $N(\mu,\varepsilon)$ неограниченно возрастает при $\varepsilon\to 0$. Скорость этого возрастания характеризует размерность квантования $D(\mu)$ (см. [1] и [2]) меры $\mu$:
$$
\begin{equation*}
D(\mu)=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(\mu,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если указанный предел не существует, то рассматривают верхний и нижний пределы и получают (соответственно) верхнюю $\overline{D}(\mu)$ и нижнюю $\underline{D}(\mu)$ размерности квантования меры $\mu$. Очевидно, что всегда $\underline{D}(\mu)\leqslant\overline{D}(\mu)$. Обозначение $D(\mu)$ означает, что имеет место равенство $\overline{D}(\mu)=\underline{D}(\mu)$. Для $x\in X$ через $B(x,\varepsilon)$ мы обозначаем замкнутый $\varepsilon$-шар: $B(x,\varepsilon)=\{y$: $\rho(x,y)\leqslant\varepsilon\}$. Аналогично обозначается замкнутая $\varepsilon$-окрестность подмножества $A\subset X$: $B(A,\varepsilon)=\{y\colon \rho(y,A)\leqslant\varepsilon\}$, где $\rho(y,A)=\inf\{\rho(y,x)\colon x\in A\}$. Подмножество $A$ называется $\varepsilon$-сетью в $X$, если $X=B(A,\varepsilon)$. Для $\varepsilon>0$ обозначим через $N(X,\varepsilon)$ наименьшее число точек в $\varepsilon$-сети $X$. Определение емкостных размерностей компакта $X$ – верхней $\overline{\dim}_BX$ и нижней $\underline{\dim}_{\,B}X$ – аналогично определению размерностей квантования:
$$
\begin{equation*}
\overline{\dim}_BX=\varlimsup_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(X,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}, \qquad \underline{\dim}_{\,B}X=\varliminf_{\varepsilon\to 0}\frac{\log N(X,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае равенства $\overline{\dim}_BX{\kern1pt}{=}\,\underline{\dim}_{\,B}X$ используют обозначение $\dim_BX$. (О функториальной общности емкостных размерностей и размерностей квантования сказано в [2]; теория емкостных размерностей изложена в монографии [6].) Известно, что если $A$ – конечное подмножество $X$, то для любой меры $\mu\in P(X)$ где $P(A)$ – множество мер, носитель которых содержится в $A$ (см. [2; предложение 2]).Подмножество $A\subset X$ называется $\varepsilon$-разделенным, если $\rho(x,y)>\varepsilon$ для любых двух различных точек $x,y\in A$. Любое $\varepsilon$-разделенное подмножество компакта конечно. Очевидно, что максимальное (по включению) $\varepsilon$-разделенное множество является $\varepsilon$-сетью в $X$. Таким образом, в любом метрическом компакте для любого $\varepsilon >0$ существует $\varepsilon$-разделенная $\varepsilon$-сеть. В дальнейшем нам понадобятся следующие утверждения из [4] и [3] соответственно. Теорема 1. Пусть $X$ – метрический компакт и $\overline{\dim}_BX=a\leqslant\infty$. Тогда для любого числа $b\in[0,a]$ в $X$ существует замкнутое подмножество $F$, для которого Теорема 2. Пусть $X$ – метрический компакт и $\overline{\dim}_BX=a\leqslant\infty$. Тогда для любого числа $b\in[0,a]$ существует вероятностная мера $\mu$ на $X$ такая, что $\overline{D}(\mu)=b.$ Имеет место следующее Предложение 1. Если последовательность $\varepsilon_n>0$, $n\in \mathbb{N}$, сходится к нулю монотонно ($\varepsilon_{n+1}\leqslant\varepsilon_n$) и $\lim_{n\to\infty}{\log\varepsilon_n}/{\log\varepsilon_{n+1}}=1$, то для любого метрического компакта $X$ и любой меры $\mu\in P(X)$ Доказательство. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\overline{D}(\mu)\geqslant\varlimsup_{n\to\infty}\frac{\log N(\mu,\varepsilon_n)}{-\log\varepsilon_n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем обратное неравенство. Пусть последовательность $\delta_k>0$ такова, что
$$
\begin{equation*}
\overline{D}(\mu)=\lim_{k\to\infty}\frac{\log N(\mu,\delta_k)}{-\log\delta_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если пересечение $\{\varepsilon_n\colon n\in\mathbb{N}\}\cap\{\delta_k\colon k\in\mathbb{N}\}$ бесконечно, то
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n\to\infty}\frac{\log N(\mu,\varepsilon_n)}{-\log\varepsilon_n}\geqslant\lim_{k\to\infty}\frac{\log N(\mu,\delta_k)}{-\log\delta_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается рассмотреть случай, когда $\varepsilon_n\not=\delta_k$ для любых $n,k\in\mathbb{N}$. Тогда для каждого $k$, большего некоторого $k_0$, существует натуральное число $n(k)$ такое, что $\delta_k\in(\varepsilon_{n(k)+1},\varepsilon_{n(k)})$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{k\to\infty}\frac{\log N(\mu,\delta_k)}{-\log\delta_k} &\leqslant \varlimsup_{k\to\infty}\biggl( \frac{\log N(\mu,\varepsilon_{n(k)+1})}{-\log\varepsilon_{n(k)+1}} \frac{\log\varepsilon_{n(k)+1}}{\log\varepsilon_{n(k)}}\biggr) \\ &\leqslant\varlimsup_{n\to\infty}\frac{\log N(\mu,\varepsilon_n)}{-\log\varepsilon_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, первое равенство доказано. Остальные равенства доказываются аналогично.
Предложение доказано. Лемма 1. Пусть последовательность $\{\varepsilon_n\colon n\in\mathbb{N}\}$ удовлетворяет условиям предложения 1 и $H_n$ – последовательность $\varepsilon_n$-разделенных $\varepsilon_n$-сетей в метрическом компакте $X$. Тогда Доказательство. Поскольку $H_n$ – $\varepsilon_n$-сеть в $X$, имеет место неравенство Справедливо также неравенство
$$
\begin{equation}
|H_n|\leqslant N\biggl(X,\frac{\varepsilon_n}2\biggr).
\end{equation}
\tag{4}
$$
В самом деле, поскольку $H_n$ – $\varepsilon_n$-разделенное множество, $|B(x,\varepsilon_n/2)\cap H_n|\leqslant 1$ для любой точки $x\in X$. Следовательно, если $A$ – $(\varepsilon_n/2)$-сеть в $X$, то $|H_n|\leqslant |A|$. Из неравенств (3) и (4) следует утверждение леммы. Пусть $\mu,\nu\in P(X)$ и числа $p,q>1$ таковы, что $p+q=1$. Очевидно, что $p\mu+q\nu\in P(X)$. Следующая лемма доказана в [3]. Лемма 3. Справедливо неравенство Если при этом для меры $\mu$ определена размерность $D(\mu)$ и $D(\mu)\geqslant\underline{D}(\nu)$, то $\underline{D}(p\mu+q\nu)=D(\mu)$. Доказательство. Пусть $\xi\in P(X)$ – $\varepsilon$-аппроксимация меры $p\mu+q\nu$ и $A=\mathrm{supp}(\xi)$. Тогда $\varepsilon\geqslant (p\mu+q\nu)(\rho(x,A))\geqslant p\mu(\rho(x,A))$, и, значит, $\mu(\rho(x,A))\leqslant (\varepsilon/p)$. Таким образом, Из этого неравенства сразу следует, что $\underline{D}(\mu)\leqslant\underline{D}(p\mu+q\nu)$. Аналогично $\underline{D}(\nu)\leqslant\underline{D}(p\mu+q\nu)$.
Предположим теперь, что определена размерность $D(\mu)$ и $D(\mu)\geqslant\underline{D}(\nu)$. Пусть $\xi$ и $\eta$ – $\varepsilon$-аппроксимации $\mu$ и $\nu$ соответственно, $\mathrm{supp}(\xi)=A$, $\mathrm{supp}(\eta)=B$, $|A|=N(\mu,\varepsilon)$, $|B|=N(\nu,\varepsilon)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(p\mu+q\nu)(\rho(x,A\cup B))\leqslant p\mu(\rho(x,A))+q\nu(\rho(x,B))\leqslant\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
N(p\mu+q\nu,\varepsilon)\leqslant N(\mu,\varepsilon)+N(\nu,\varepsilon).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Выберем последовательность $\varepsilon_n\to 0$ так, что
$$
\begin{equation*}
\underline{D}(\nu)=\lim_{n\to\infty}\frac{\log N(\nu,\varepsilon_n)}{-\log\varepsilon_n}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенств (5) и $D(\mu)\geqslant\underline{D}(\nu)$ получаем Лемма доказана. § 3. Основные результатыТеорема 3. Пусть $X$ – метрический компакт и $\dim_BX=a\leqslant\infty$. Тогда для любых чисел $b\in[0,a]$ и $c\in[b,a]$ существует мера $\mu\in P(X)$ такая, что $\underline{D}(\mu)=b$, $\overline{D}(\mu)=c$. Доказательство. Покажем, что для любого $b\in[0,a]$ существует мера $\mu'\in P(X)$, для которой $D(\mu')=b$.
При $b=0$ искомой мерой $\mu'$ является любая мера с конечным носителем. Пусть теперь $b>0$. Случай 1. $b<a<\infty$. Обозначим отношение $b/(a-b)$ через $p$. Тогда Положим $\varepsilon_n=2^{-pn}$. Построим по индукции последовательность $H_n$, $n\in\mathbb{N}$, $\varepsilon_n$-разделенных $\varepsilon_n$-сетей в $X$ следующим образом. В качестве $H_1$ возьмем максимальное (по включению) $\varepsilon_1$-разделенное подмножество $X$. Предположим, что множества $H_i$ при $i<k$ уже построены. Выберем в множестве $X\setminus B(H_{k-1},\varepsilon_k)$ максимальное $\varepsilon_k$-разделенное подмножество $C_k$ и положим $H_k=H_{k-1}\cup C_k$. Продолжая индукцию, получим искомую последовательность $H_n$, для которой $C_n=H_n\setminus H_{n-1}$ при $n>1$. Положим $C_1=H_1$ и определим меру $\mu'$ по формуле
$$
\begin{equation}
\mu'=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2^n}\sum_{x\in C_n}\frac{1}{|C_n|}\delta_x,
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $\delta_x$ – мера Дирака.
Докажем, что для любого $n$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
N\biggl(\mu',\frac{\varepsilon_n}{2^{n+2}}\biggr)\geqslant\frac{1}{2}\,|H_n|.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Пусть мера $\nu\in P(X)$ такова, что $\rho_P(\mu',\nu)\leqslant{\varepsilon_n}/{2^{n+2}}$ и $A=\mathrm{supp}(\nu)$. Покажем, что $|A|\geqslant |H_n|/2$. Предположим противное. Поскольку $H_n$ – $\varepsilon_n$-разделенное множество, при $x\in H_n$ шары $B(x,\varepsilon_n/2)$ попарно не пересекаются. Положим
$$
\begin{equation*}
H'_n=\biggl\{x\in H_n\colon B\biggl(x,\frac{\varepsilon_n}2\biggr)\cap A=\varnothing\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
По предположению $|A|<|H_n|/2$, следовательно, $|H'_n|>|H_n|/2$. Для любой точки $x\in H'_n$ имеет место неравенство $\rho(x,A)\geqslant\varepsilon_n/2$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_P(\mu',\nu) &\geqslant\rho(\mu',P(A))=\mu'(\rho(x,A))\geqslant\frac{1}{2^n}\sum_{k\leqslant n}\sum_{x\in C_k}\frac{1}{|H_n|}\rho(x,A) \\ &\geqslant\frac{1}{2^n}\sum_{x\in H'_n}\frac{1}{|H_n|}\rho(x,A)>\frac{\varepsilon_n}{2^{n+2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство (8) тем самым доказано. В силу (6), (8), предложения 1, леммы 1 и условия $\dim_BX=a$ получаем оценку снизу для нижней размерности квантования меры $\mu'$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \underline{D}(\mu') &=\varliminf_{n\to\infty}\frac{\log N(\mu',\varepsilon_n/2^{n+2})}{-\log (\varepsilon_n/2^{n+2})} \\ &\geqslant\varliminf_{n\to\infty}\frac{\log (|H_n|/2)}{-\log \varepsilon_n} \lim_{n\to\infty}\frac{\log \varepsilon_n}{\log (\varepsilon_n/2^{n+2})}=\frac{p}{p+1}a=b. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Докажем теперь, что для любого $n$
$$
\begin{equation}
N\biggl(\mu',\frac{\varepsilon_n}{2^n}\biggr)\leqslant |H_n|.
\end{equation}
\tag{10}
$$
По построению $H_n$ – $\varepsilon_n$-сеть в $X$. Следовательно, для любого $x\in X$ имеет место неравенство $\rho(x,H_n)\leqslant\varepsilon_n$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\rho_P(\mu',P(H_n))=\mu'(\rho(x,H_n))=\sum_{k>n}\frac{1}{2^k}\sum_{x\in C_k}\frac{1}{|C_k|}\rho(x,H_n)\leqslant\frac{\varepsilon_n}{2^n},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует неравенство (10). По аналогии с рассуждениями, проведенными в (9), получаем $\overline{D}(\mu')\leqslant b$. Итак, доказано, что $D(\mu')=b$.
Случай 2. $b=a<\infty$. Положим $\varepsilon_n=2^{-n^2}$. Как и выше, построим последовательность $\varepsilon_n$-разделенных $\varepsilon_n$-сетей $H_k$ и определим меру $\mu'$ по формуле (7). Поскольку последовательность $\varepsilon_n/2^{n+2}$ удовлетворяет условиям предложения 1, по аналогии с (9) получаем
$$
\begin{equation*}
\underline{D}(\mu') \geqslant\varliminf_{n\to\infty}\biggl( \frac{\log (|H_n|/2)}{-\log \varepsilon_n} \frac{\log \varepsilon_n}{\log (\varepsilon_n/2^{n+2})}\biggr) =a.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\overline{D}(\mu')\leqslant\dim_BX$, отсюда следует, что $D(\mu')=a$.
Случай 3. $b=a=\infty$. Положим $p=1$ и повторим рассуждения, проведенные при рассмотрении случая 1. В результате мы получим меру $\mu'$, для которой в силу (9)
$$
\begin{equation*}
\underline{D}(\mu')=\varliminf_{n\to\infty}\frac{\log N(\mu',\varepsilon_n/2^{n+2})}{-\log (\varepsilon_n/2^{n+2})} \geqslant\varliminf_{n\to\infty}\biggl( \frac{\log (|H_n|/2)}{-\log \varepsilon_n} \frac{\log \varepsilon_n}{\log(\varepsilon_n/2^{n+2})}\biggr)=\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай 4. $a=\infty$, $b<a$. Положим
$$
\begin{equation*}
f(\varepsilon)=\inf\biggl\lbrace \frac{\log N(X,\delta)}{-\log \delta}\colon 0<\delta\leqslant\varepsilon\biggr\rbrace .
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что и $f(\varepsilon_1)\geqslant f(\varepsilon_2)$ при $\varepsilon_1<\varepsilon_2$. Кроме того, для любого $\varepsilon>0$
$$
\begin{equation}
\frac{\log N(X,\varepsilon)}{-\log\varepsilon}\geqslant f(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Построим по индукции следующие последовательности $\varepsilon_k$ и $p_k$. Пусть $\varepsilon_0>0$ таково, что $f(\varepsilon_0)>b$. Положим $p_1=b/f(\varepsilon_0)$, $\varepsilon_1=2^{-p_1}$. Шаг $k$. Положим
$$
\begin{equation}
p_k=\max\biggl\lbrace \frac{b}{f(\varepsilon_{k-1})},\frac{k-1}{k}p_{k-1}\biggr\rbrace , \qquad \varepsilon_k=2^{-p_kk}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Из (12) следует, что $kp_k\geqslant(k-1)p_{k-1}$ для любого $k\in\mathbb{N}$. Таким образом, последовательность $\varepsilon_k$ монотонно убывает ($\varepsilon_k\leqslant\varepsilon_{k-1}$). Покажем, что $\lim_{k\to\infty}kp_k\,{=}\,\infty$ и $\lim_{k\to\infty}\varepsilon_k=0$. Предположим противное: $\lim_{k\to\infty}\varepsilon_k=h>0.$ Тогда $b/f(\varepsilon_{k-1})\geqslant b/f(h)$ и в силу (12) $p_k\geqslant b/f(h)$ для любого $k$. Следовательно, $\lim_{k\to\infty}kp_k=\infty$ – получено противоречие.
Покажем теперь, что
$$
\begin{equation}
\lim_{k\to\infty}p_k=0, \qquad \lim_{k\to\infty}\frac{p_{k+1}}{p_k}=1.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Поскольку $f(\varepsilon_{k-1})\leqslant f(\varepsilon_k)$, последовательность $p_k$ монотонно убывает ($p_k\leqslant p_{k-1}$). Если для всех индексов $k$, больших некоторого $k_0$, $p_k=p_{k-1}(k-1)/k$, то $p_k=p_{k_0}k_0/k$ и $kp_k=k_0p_{k_0}$, что невозможно, поскольку $\lim_{k\to\infty}kp_k=\infty$. Следовательно, существует последовательность $k_n$ такая, что $p_{k_n}=b/f(\varepsilon_{k_n-1})$ и, значит, $\lim_{k\to\infty}p_k=0$. Далее имеем
$$
\begin{equation*}
1\geqslant\frac{p_{k+1}}{p_k}\geqslant \frac{k}{k+1},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует второе равенство из (13).
Из формул (13) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} \frac{\log\varepsilon_n}{\log\varepsilon_{n+1}}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, последовательность $\varepsilon_k$ удовлетворяет условиям предложения 1. В силу (11) и (12)
$$
\begin{equation*}
\frac{\log N(X,\varepsilon_k)}{-\log\varepsilon_k}\geqslant\frac{b}{p_{k+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для любого $k$ существует натуральное число $q_k\leqslant N(X,\varepsilon_k)$ такое, что
$$
\begin{equation}
\frac{\log q_k}{-\log\varepsilon_k}\leqslant\frac{b}{p_{k+1}}\leqslant\frac{\log (q_k+1)}{-\log\varepsilon_k}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Построим теперь по индукции возрастающую (по включению) последовательность $\varepsilon_k$-разделенных подмножеств $H_k\subset X$ мощности $|H_k|=q_k$. Шаг 1. Возьмем в $X$ максимальное $\varepsilon_1$-разделенное подмножество $D_1$. Поскольку $|D_1|\geqslant N(X,\varepsilon_1)$, в $D_1$ можно выделить подмножество $H_1$ мощности $|H_1|=q_1$. Шаг $k$. В множестве $X\setminus B(H_{k-1},\varepsilon_k)$ возьмем максимальное $\varepsilon_k$-разделенное подмножество $D_k$. Множество $H_{k-1}\cup D_k$ является $\varepsilon_k$-разделенной $\varepsilon_k$-сетью в $X$, следовательно, $|H_{k-1}\cup D_k|\geqslant N(X,\varepsilon_k)\geqslant q_k$. Таким образом, в $D_k$ можно выделить подмножество $C_k$ так, что множество $H_k=H_{k-1}\cup C_k$ имеет мощность $q_k$. Определим теперь меру $\mu'$ по формуле (7). В силу (8) получаем
$$
\begin{equation*}
N\biggl(\mu',\frac{\varepsilon_k}{2^{k+2}}\biggr)\geqslant\frac{1}{2}q_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательность ${\varepsilon_k}/{2^{k+2}}$ удовлетворяет условиям предложения 1, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \underline{D}(\mu') &=\varliminf_{k\to\infty}\frac{\log N(\mu',\varepsilon_k/2^{k+2})}{-\log (\varepsilon_k/2^{k+2})} \\ &\geqslant\varliminf_{k\to\infty}\frac{\log (q_k/2)\cdot p_{k+1}}{-\log \varepsilon_k} \frac{\log \varepsilon_k}{\log (\varepsilon_k/2^{k+2})\cdot p_{k+1}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
В силу (13) и (14)
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\frac{\log \varepsilon_k}{\log (\varepsilon_k/2^{k+2})\cdot p_{k+1}}=1, \qquad \lim_{k\to\infty}\frac{\log (q_k/2)\cdot p_{k+1}}{-\log \varepsilon_k}=b.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак,
Докажем, что
$$
\begin{equation}
N\biggl(\mu',\frac{\mathrm{diam}(X)}{2^k}\biggr)\leqslant q_k.
\end{equation}
\tag{16}
$$
В самом деле,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_P(\mu',P(H_k)) &=\mu'(\rho(x,H_k)) \\ &=\sum_{n=k+1}^\infty\frac{1}{2^n}\sum_{x\in C_n} \frac{\rho(x,H_k)}{|C_n|} \leqslant\frac{\mathrm{diam}(X)}{2^k}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует (16).
Из неравенства (16) по аналогии с (15) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{D}(\mu') &=\varlimsup_{k\to\infty}\frac{\log N(\mu',\mathrm{diam}(X)/2^k)}{-\log (\mathrm{diam}(X)/2^k)} \\ &\leqslant\varlimsup_{k\to\infty}\frac{\log q_k\cdot p_{k+1}}{-\log \varepsilon_k} \frac{\log \varepsilon_k}{\log (\mathrm{diam}(X)/2^k)\cdot p_{k+1}}=b. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, $D(\mu')=b$.
Таким образом, существование меры $\mu'$ размерности $D(\mu')=b$ доказано для всех значений $a$ и $b$. Пусть теперь $c\in[b,a]$. По теореме 1 существует замкнутое подмножество $F\subset X$, для которого $\underline{\dim}_{\,B}F=0$, $\overline{\dim}_BF=c$. По теореме 2 найдется вероятностная мера $\nu\in P(F)$, для которой $\overline{D}(\nu)=c$. При этом $\underline{D}(\nu)=0$, поскольку $\underline{D}(\nu)\leqslant\underline{\dim}_{\,B}F=0$. Кроме того, известно, что размерности квантования меры $\nu$ относительно $F$ совпадают с размерностями квантования этой меры относительно $X$ (см. [2; предложение 5]). Положим В силу лемм 2 и 3 мера $\mu$ является искомой.Теорема 3 доказана. Следствие 1. Если $X$ – метрический компакт и $\dim_BX=a\leqslant\infty$, то для любого $b\in[0,a]$ существует мера $\mu\in P(X)$, для которой $D(\mu)=b$. Справедлива также следующая теорема, дающая ответ на вопрос о промежуточных значениях нижней размерности квантования. Теорема 4. Пусть $\underline{\dim}_{\,B}X=a<\infty$. Тогда для любого числа $b\in[0,a]$ существует вероятностная мера $\mu\in P(X)$, для которой $\underline{D}(\mu)=b$. Доказательство. Если $a=\infty$, то утверждение теоремы является прямым следствием теоремы 3. При $b<a<\infty$ легко проверить, что построенная при доказательстве теоремы 3 мера $\mu'$ (случай 1) имеет нижнюю размерность квантования Аналогично при $b=a<\infty$ мера $\mu'$ (случай 2) имеет размерность $\underline{D}(\mu')=a$. Теорема доказана. Замечание 5. В теореме 3, следствии 1 и теореме 4 можно потребовать дополнительно, чтобы $\mathrm{supp}(\mu)=X$. В самом деле, возьмем в $X$ счетное всюду плотное множество $\{x_i\colon i\in\mathbb{N}\}$ и определим меру $\xi\in P(X)$ по формуле Известно, что $D(\xi)=0$ и $\mathrm{supp}(\xi)=X$ (см. [2; предложение 8]). Положим В силу лемм 2 и 3 носитель $\mu'$ равен $X$, а размерности квантования меры $\mu'$ совпадают с размерностями квантования $\mu$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Iva24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|