| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Симплектическая редукция и лагранжевы подмногообразия в Н. А. Тюринab a Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Московская обл., г. Дубна b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10053e 
Реферативные базы данных:
    ВведениеВ статье [1] А. Е. Миронов предложил новую конструкцию подмногообразий в $\mathbb{C}^n$ и $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$, удовлетворяющих условию лагранжевости относительно кэлеровых форм, индуцируемых постоянной метрикой и метрикой Фубини–Штуди соответственно. В своей работе он исходил из задачи построения минимальных и гамильтоново минимальных лагранжевых подмногообразий и лагранжевых погружений (т.е. лагранжевых подмногообразий, допускающих самопересечения). В работе [2] было показано, что конструкция Миронова может быть обобщена на случай произвольного кэлерова многообразия с действием тора, однако в отличие от исходной работы там не обсуждалась тема минимальности получаемых лагранжевых циклов. В настоящей работе мы используем простое распространение этих конструкции на еще более общий случай, когда на симплектическом многообразии имеется гамильтоново действие произвольной группы Ли. Пусть $(M, \omega)$ – компактное симплектическое многообразие, на котором гамильтоново действует группа Ли $G$ с отображением моментов $\mu\colon M \to \mathfrak g^*$ в двойственную алгебру Ли. Пусть $\mu^{-1} (t) \subset M$ – множество уровня, соответствующее центральному элементу $t \in \mathfrak g^*$, на котором $G$ действует свободно, так что имеется фактормногообразие $N_t=\mu^{-1}(t)/G$ с соответствующей симплектической формой $\omega_t$, подлежащее главному расслоению $\pi_t\colon \mu^{-1}(t) \to N_t$. Тогда имеется следующая Теорема 1. Пусть $S_0 \subset N_t$ – лагранжево вложение (погружение). Тогда его прообраз $S=\pi^{-1}_t (S_0) \subset \mu^{-1}(t) \subset M$ есть лагранжево вложение (погружение) в $(M, \omega)$. В самом деле, по определению симплектической редукции $M /\!/ G$, см. [3], касательное пространство $T_p S$ составлено из двух трансверсальных компонент: $\operatorname{ker} (\mathrm d \pi_t|_p) \oplus T_{\pi_t (p)}S_0$, первая из которых естественно изоморфна $\mathfrak g$ и содержится в $\operatorname{ker} \omega_p|_{T_p \mu^{-1}(t)}$. Отсюда из определения формы $\omega_t$ и лагранжевости $S_0$ следует утверждение теоремы. Замечание 1. Нетрудно видеть, что если на исходном многообразии $M$ имеется произвольное лагранжево подмногообразие $K \subset M$, трансверсальное действию группы $G$, то этим определено лагранжево погружение $N_t \supset S_0=\pi_t(\mu^{-1}(t) \cap K)$, применяя к которому теорему 1, мы получим новое лагранжево подмногообразие (переход от $K$ к этому последнему мы называем перестройкой лагранжевых циклов). Отсюда видно, что основные утверждения работы [2] следуют из теоремы 1, если в качестве $G$ рассмотреть тор $\mathrm T^k$, а в качестве $K$ – вещественную часть $M$ относительно действия антиголоморфной инволюции. Поэтому естественно понимать теорему 1 как обобщение конструкций из работ [1], [2]. В работе [2] было показано, что комплексный грассманиан $\operatorname{Gr}(1, n)$ прямых в проективном пространстве $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$, снабженный стандартной кэлеровой формой, порождаемой плюккеровым вложением, допускает гамильтоново действие тора $\mathrm T^n$, сохраняющего и комплексную структуру. В этой же работе была высказана гипотеза о том, что $\operatorname{Gr}(1, n)$ допускает не менее $n$ различных топологических типов, реализуемых гладкими лагранжевыми вложениями. Данная гипотеза исходила из того соображения, что для каждого $k$ от 0 до $n$ мы можем применить обобщенную конструкцию из [2] и получить априори топологически различные лагранжевы подмногообразия. Теорема 1 подсказывает описание таких обобщенных циклов Миронова различной степени однородности в $\operatorname{Gr}(1, n)$, так что оценка, приведенная в гипотезе, оказывается превзойденной. А именно, ниже в настоящей работе мы доказываем следующую теорему. Теорема 2. Для любого $k \in (2, \dots, n-1)$ на грассманиане $\operatorname{Gr}(1, n)$ существуют функции $\widetilde \mu_0, \dots, \widetilde \mu_{k-1}$, индуцирующие гамильтоново действие $\mathrm T^k$, и набор значений $c_0, \dots, c_{k-1} \in \mathbb{R}_{+}$ таких, что результатом соответствующей симплектической редукции является $\operatorname{Gr}(1, n)/\!/ \mathrm T^k \cong M_{n-k}=\operatorname{tot}(\mathbb{P}(\tau) \times \dots \times\mathbb{P}(\tau) \to \operatorname{Gr}(1, n-k))$, где справа стоит тотальное пространство прямого произведения $k$ копий проективизации тавтологического расслоения $\tau \to \operatorname{Gr}(1, n-k)$. Более того, в результате редукции остальные образующие действия $\mathrm T^n$ на $\operatorname{Gr}(1, n)$ не пропадают, а порождают естественное гамильтоново действие тора $\mathrm T^{n-k}$ на многообразии $M_{n-k}$. Явно описать это действие возможно следующим образом. Реализуем $M_{n-k}$ как подмногообразие в $(k+1)$-м прямом произведении $\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-k} \times \dots \times \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-k} \times \operatorname{Gr}(1, n-k)$, задаваемое пересечением $k$ “частичных циклов инциденции” $\mathcal U_i $ в $k$-м прямом произведении $ \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-k} \times \dots \times \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-k} \times \operatorname{Gr}(1, n-k)$, составленных из пар (точка, прямая), где для $\mathcal U_i$ точка берется из $i$-го прямого сомножителя. При этом на каждом из $k+1$ прямом сомножителе после отождествления первых $k$ диагонально действует тор $\mathrm T^{n-k}$, очевидным образом сохраняющий подмногообразие $M_{n-k}$. Поэтому симплектическая редукция $\operatorname{Gr}(1, n)/\!/ \mathrm T^k$ может быть представлена как симплектическая редукция $M_{n-i} /\!/ \mathrm T^{k-i}$ для $i=0, \dots, k$. С другой стороны, для любого $k$ действие тора $T^k$, описанное выше, сохраняет всю кэлерову структуру, откуда многообразие $M_{n-k}$ естественным образом наделено кэлеровой структурой, откуда следует, что вещественная часть $M_{n-k}^{\mathbb{R}} \subset M_{n-k}$ является изотропным относительно кэлеровой формы. Поскольку $M_{n-k}^{\mathbb{R}} \cong\operatorname{tot}(\mathbb{P}(\tau_{\mathbb{R}}) \times \dots\times \mathbb{P}(\tau_{\mathbb{R}}) \to \operatorname{Gr}_{\mathbb{R}} (1, n-k))$, где справа стоит тотальное пространство прямого произведения $k$ копий проективизации тавтологического расслоения $\tau_{\mathbb{R}} \to \operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-k)$, то его вещественная размерность в точности равна комплексной размерности всего $M_{n-k}$, следовательно, оно является лагранжевым в $M_{n-k}$. Заметим, что топологически $M^{\mathbb{R}}_{n-k}$ есть расслоение на $k$-мерный тор над $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-k)$, поэтому из теоремы 1 мы получаем семейство лагранжевых подмногообразий $\{ S_k,\, k=2, \dots, n-1 \}$ таких, что каждое $S_k$ изоморфно расслоению со слоем $T^{2k}$ над $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-k)$. Нетрудно видеть, что для разных $k$ соответствующие $S_k$ топологически не эквивалентны, что очевидным образом влечет положительный ответ для гипотезы, сформулированной в конце работы [2]. Как будет показано ниже, дополнительный анализ наших конструкций доставляет еще не менее чем $[{n}/{2}] [(n-1)/{2}]$ новых топологических типов, что существенно увеличивает оценку на различные топологические типы гладких лагранжевых подмногообразий в $\operatorname{Gr} (1, n)$. Поскольку обсуждение условий и доказательство теоремы 1 уместилось выше, в следующих параграфах мы сразу переходим к доказательству теоремы 2: сначала разберем геометрические и аналитические аспекты для случая $\operatorname{Gr}(1, 3)$, а затем, базируясь на полученном материале, разберем общий случай $\operatorname{Gr}(1, n)$. § 1. Грассманиан $\operatorname{Gr}(1, 3)$Рассмотрим проективное пространство $\mathbb{C} \mathbb{P}^3$ с фиксированными координатами $[z_0: \dotsb :z_3]$ и согласованной стандартной кэлеровой формой $\omega_{FS}$ соответствующей метрики Фубини–Штуди. Имеем тогда набор отображений моментов
$$
\begin{equation*}
\mu_i=\frac{| z_i |^2}{\sum_{i=0}^3 | z_i |^2}, \qquad i=0, \dots, 3,
\end{equation*}
\notag
$$
из которых любые три индуцируют гамильтоново действие тора $\mathrm T^3$. Каждое из отображений $\mu_i$ индуцирует действие на множестве всех проективных прямых, составляющих многообразие $\operatorname{Gr}(1, 3)$, откуда получаем индуцированное действие $\mathrm T^3$ на последнем многообразии, которое является гамильтоновым относительно стандартной кэлеровой формы (все явные формулы будут приведены ниже, в аналитической части конструкции). Рассмотрим два отображения моментов $\mu_0, \mu_1$ и исследуем соответствующие им отображения моментов $\widetilde \mu_i$ на грассманиане $\operatorname{Gr}(1, 3)$. Обозначим как $p_i$, $i=0, \dots, 3$, точки в $\mathbb{C} \mathbb{P}^3$, соответствующие базисным ортонормированным векторам $e_i$ в $\mathbb{C}^4$, проективизацией которого является наше проективное пространство. Тогда (см. [4]) функции $\widetilde \mu_i$ представляются как
$$
\begin{equation}
\widetilde \mu_i (l)=\max_{v \in V} \frac{|\langle e_i; v\rangle|^2}{| v |^2},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $V \subset \mathbb{C}^4$ – двумерное подпространство, соответствующее проективной прямой $l \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^3$. Отсюда видно, что функция $\widetilde \mu_i$ принимает значения на отрезке $[0; 1]$, ее критическими значениями являются $0$ и $1$, которые достигаются в случае, если $l \subset \langle p_{j_1}, p_{j_2}, p_{j_3} \rangle$, $j_k \neq i$, или $p_i \in l$ соответственно (через $\langle \cdots \rangle$ в этой работе мы будем обозначать проективную оболочку объектов, содержащихся в этих скобках). Таким образом, критическим множеством для функции $\widetilde \mu_0$ будет подмножество прямых, проходящих через точку $p_0$, в объединении с множеством прямых, содержащихся в плоскости $\langle p_1, p_2, p_3 \rangle$, т.е. соответствующие $\alpha$- и $\beta$-плоскости в $\operatorname{Gr}(1, 3)$. Кроме того, нетрудно видеть, что если прямая $l \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^3$ имеет нетривиальное пересечение с прямой $ \langle p_0, p_1 \rangle$, то $\widetilde \mu_0(l) + \widetilde \mu_1(l) \geqslant 1$. В самом деле, если пересечение нетривиально, то в соответствующем $V$ найдется вектор $v \in V$, представляющийся как $v=x_0 e_0 + x_1 e_1$, откуда из формулы (1) получаем, что сумма максимумов должна быть не меньше $1$. Рассмотрим открытое подмножество $\operatorname{Gr}^0(1, 3) \subset \operatorname{Gr}(1, 3)$, определяемое условиями
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Gr}^0(1, 3)=\{l \in \operatorname{Gr}(1, 3) \mid\widetilde \mu_0(l)>0, \widetilde \mu_1(l)>0,\, \widetilde \mu_0(l) + \widetilde \mu_1(l) <1 \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем Предложение 1. Открытое многообразие $\operatorname{Gr}^0(1, 3)$ расслоено над прямым произведением $\langle p_2, p_3 \rangle \times \langle p_2, p_3 \rangle$ так, что гамильтоново действие $\mathrm T^2$, натянутое на $\widetilde \mu_0$ и $\widetilde \mu_1$, сохраняет базу и слои. Доказательство. Рассмотрим произвольную прямую $l \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^3$, которая не пересекает $\langle p_0, p_1 \rangle$ и не лежит в подпространствах $\langle p_i, p_2, p_3 \rangle$, $i=0, 1$. Тогда корректно определены точки $s_0, s_1 \in \langle p_2, p_3 \rangle$, получаемые как пересечения плоскостей, натянутых на $p_1$ и $l$ или $p_0$ и $l$ соответственно, и прямой $\langle p_2, p_3 \rangle$. В самом деле, плоскость $\langle p_0, l \rangle \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^3$ не может содержать всю прямую $\langle p_2, p_3 \rangle$, поскольку тогда $l$ обязана была бы лежать в плоскости $\langle p_0, p_2, p_3 \rangle$, что исключено по условию; те же аргументы применимы и к плоскости $\langle p_1, l \rangle$. Таким образом, прямая $l$ соответствует паре точек $s_0, s_1 \in \langle p_2, p_3 \rangle$ (возможно, совпадающих). При этом соответствие не симметрично (но симметрия очевидным образом реализуется перестановкой двух отображений моментов, что в свою очередь соответствует автоморфизму исходного проективного пространства $\mathbb{C} \mathbb{P}^3$, реализуемому перестановкой однородных координат).
С другой стороны, как восстанавливается прямая $l$ по паре точек $(s_0, s_1)$? Рассмотрим два пучка плоскостей, проходящих через прямые $\langle p_0, s_0 \rangle$ и $\langle p_1, s_1 \rangle$ соответственно. Из каждого пучка удалим пару плоскостей, содержащих прямые $\langle p_0, p_1 \rangle$, $\langle p_2, p_3 \rangle$. Тогда нетрудно видеть, что $\operatorname{Gr}^0(1, 3)$ естественным образом вкладывается в расслоение над прямым произведением $\langle p_2, p_3 \rangle \times \langle p_2, p_3 \rangle$ и со слоем $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$. В самом деле, по построению в пучках плоскостей обязаны присутствовать плоскости $\langle p_0, l \rangle$ и $ \langle p_1, l \rangle $, каждая из которых лежит в соответствующем пучке, а их пересечение в точности дает прямую $l$. При этом грубая оценка показывает, что образ вложения $\operatorname{Gr}^0(1, 3)$ в расслоение равномерно распределен: над каждой точкой $\langle p_2, p_3 \rangle \times \langle p_2, p_3 \rangle$ имеем открытое четырехмерное подмножество в слое. Это означает, что при выборе конкретных положительных значений $c_0, c_1 \in \mathbb{R}_+$, $c_0 + c_1 < 1$, совместное множество уровня $N_{c_0, c_1}=\{ \widetilde \mu_0=c_0,\, \widetilde \mu_1=c_1 \} \subset \operatorname{Gr}(1, 3)$ расслоено над прямым произведением $\langle p_2, p_3 \rangle \times \langle p_2, p_3 \rangle$ со слоем $\mathrm T^2$ (формульно этот факт подтверждается ниже). Замечание 2. При этом нетрудно видеть, что расслоение со слоем $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$ над прямым произведением $\langle p_2, p_3 \rangle \times \langle p_2, p_3 \rangle$ не является топологически тривиальным: оно естественно вложено в расслоение со слоем $\mathbb{C} \mathbb{P}^1 \times \mathbb{C} \mathbb{P}^1$, причем каждое из этих проективных расслоений над проективной прямой $\langle p_2, p_3 \rangle$ допускает следующую реализацию, позволяющую определить их топологический тип. Поскольку ответы в обоих случаях совпадают, рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через $\langle p_0, s_0 \rangle$. Рассмотрим пересечение каждой плоскости с проективной оболочкой $\langle p_1, p_2, p_3 \rangle$, что сопоставляет соответствующей плоскости прямую, проходящую через $s_0$. Тогда как расслоение над $\langle p_2, p_3 \rangle$ получаем в качестве слоя пучок прямых, проходящих через точку $s_0$, что при глобализации дает тотальное пространство, изоморфное проективизации расслоения $\mathcal O \oplus \mathcal O(-1)$ над проективной прямой $\langle p_2, p_3 \rangle$. Это расслоение допускает пару глобальных сечений, соответствующих плоскостям $\langle p_0, s_0, p_1 \rangle$ и $\langle p_0, p_2, p_3 \rangle$, при этом выбор значений $\widetilde \mu_0=c_0, \widetilde \mu_1=c_1$ для $c_i>0$, $c_0 +c_1 < 1$ выделяет в слоях пару окружностей, так что тотальное пространство каждого из расслоений изоморфно $S^3$ (тотальному пространству расслоения Хопфа), откуда При этом подчеркнем, что для расслоения Хопфа $\pi\colon S^3 \to S^2$ ограничение на произвольную гладкую петлю $\gamma \subset S^2$ дает гладкий двумерный тор $\pi^{-1}(\gamma) \subset S^3$. Обратим внимание теперь на следующий факт: гамильтоново $U(1)$-действие, порождаемое $\widetilde \mu_0$ на $\operatorname{Gr}(1, 3)$, оставляет на месте базу расслоения и действует на слоях, сохраняя структуру прямого произведения. В самом деле, пусть прямая $l$ есть пересечение плоскостей $\pi_0$ и $\pi_1$ из пучков плоскостей, содержащих прямые $\langle p_0, s_0 \rangle$ и $ \langle p_1, s_1 \rangle$ соответственно. Гамильтоново действие каждого из $\widetilde \mu_i$ оставляет неподвижными все точки $p_i$, $s_j$, поскольку эти точки содержатся в критических множествах $\widetilde \mu_i$. Отсюда следует, что прямые $\langle p_i, s_i \rangle$ переходят в себя при этом действии, и, следовательно, пучки плоскостей также переходят в себя. Отсюда видно, что торическое действие сохраняет базу $\langle p_2, p_3 \rangle \times \langle p_2, p_3 \rangle$ и структуру расслоения, действуя послойно. Этим завершается концептуальное (бескоординатное) доказательство предложения 1. Заметим, что для вывода из предложения 1 утверждения теоремы 2 для случая $\operatorname{Gr}(1, 3)$ нам осталось показать, что совместное множество уровня функций $\widetilde \mu_i$ есть расслоение со слоем $\mathrm T^2$. Проведем аналитические вычисления и выведем явные формулы. В плюккеровых переменных $w_{ij}$ на проективном пространстве $\mathbb{P}(\Lambda^2 \mathbb{C}^4)$, где $0 \leqslant i < j \leqslant 3$, грассманиан $\operatorname{Gr}(1, 3)$ реализуется квадрикой $Q=\{ w_{01}w_{23}-w_{02} w_{13} + w_{03} w_{12}=0 \} \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^5$; наши выделенные отображения моментов имеют вид
$$
\begin{equation}
\widetilde \mu_0=\frac{| w_{01} |^2 + | w_{02} |^2 + | w_{03} |^2}{\sum_{i<j} | w_{ij} |^2}, \qquad \widetilde \mu_1=\frac{| w_{01} |^2 + | w_{12} |^2 + | w_{13} |^2}{\sum_{i<j} | w_{ij} |^2}
\end{equation}
\tag{2}
$$
(см. [2]). Легко видеть, что соответствующее гамильтоново действие сохраняет квадрику $Q$, но кроме того на квадрике $Q$ имеются два пучка дивизоров, каждый из которых инвариантен относительно торического действия. В самом деле, рассмотрим пучки
$$
\begin{equation*}
Q_0 (\alpha)=\{ \alpha_0 w_{02} + \alpha_1 w_{03}=0 \} \cap Q, \qquad Q_1(\beta)=\{\beta_0 w_{12} + \beta_1 w_{13} \} \cap Q.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как каждая из $\widetilde \mu_i$ тривиально действует на $Q_j$, если $i \neq j$ и при этом действует одновременным умножением на $e^{it}$ каждой координаты, входящей в определение $Q_i$, то соответствующие пучки инвариантны относительно всего торического действия $\mathrm T^2$. По определению плюккерова вложения пересечение $N(\alpha, \beta)=Q_0(\alpha) \cap Q_1 (\beta) \subset \operatorname{Gr}(1, 3)$ состоит из прямых, имеющих нетривиальное пересечение с двумя соответствующими прямыми из пучков, натянутых в $\mathbb{C} \mathbb{P}^3$ на пары $( \langle p_0, p_2 \rangle, \langle p_0, p_3 \rangle)$ и $(\langle p_1, p_2 \rangle, \langle p_1, p_3 \rangle)$. Каждая прямая из этих двух пучков в точности соответствует точке пересечения этой прямой с прямой $\langle p_2, p_3 \rangle$, откуда получаем, что параметризация $N(\alpha, \beta)$ естественным образом заменяется на параметризацию $N(s_0, s_1)$ упорядоченными парами точек на прямой $\langle p_2, p_3 \rangle$. Наконец, если прямая $l \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^3$ одновременно пересекает прямые $\langle p_0, s_0 \rangle$ и $\langle p_1, s_1 \rangle$, то отсюда следует, что она является пересечением плоскостей $\langle l, p_0 \rangle$ и $\langle l, p_1 \rangle$, откуда видно, что пучки $Q_0$ и $Q_1$ могут быть заменены на соответствующие пучки плоскостей, проходящих через $\langle p_i, s_i \rangle$, следовательно, аналитическое описание, сопоставляющее точке $[l] \in \operatorname{Gr}(1, 3)$ упорядоченную пару точек $(s_0, s_1)$ на прямой $\langle p_2, p_3 \rangle$ указанным выше способом в точности соответствует геометрическому описанию $\operatorname{Gr}^0(1, 3)$, представленному выше. Заметим далее, что для корректности отождествления в аналитической ситуации $\operatorname{Gr}^0(1, 3)$ с расслоением нам необходимо исключить базисные множества пучков $Q_0$ и $Q_1$, которые представлены в виде $B_0=\{ w_{02}=w_{03}=0 \}$ и $B_1=\{w_{12}=w_{13}=0 \}$. Нетрудно видеть, что $B_0$ эквивалентно условию $l \subset \langle p_0, p_2, p_3 \rangle$, а $B_1$ эквивалентно условию $l \subset \langle p_1, p_2, p_3 \rangle$, и оба эти случая исключены из $Gr^0(1, 3)$ выбором некритических значений отображений моментов. Пусть $N^0(s_0, s_1)=N(s_0, s_1) \cap \operatorname{Gr}^0(1,3)$, тогда очевидным образом имеем расслоение $\tau\colon \operatorname{Gr}^0(1,3) \to \langle p_2, p_3 \rangle \times \langle p_2, p_3 \rangle$ со слоем $N^0(s_0, s_1)$. Аналитически эти слои представляются как пересечения $Q_0 \cap Q_1 \cap \operatorname{Gr}^0(1, 3)$, т.е. задаются тремя уравнениями
$$
\begin{equation*}
\alpha_0 w_{02} + \alpha_1 w_{03}=0, \qquad \beta_0 w_{12} + \beta_1 w_{13}=0, \qquad w_{01}w_{23} - w_{02} w_{13} + w_{03} w_{12}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда видно, что если точки $s_0, s_1 \in \langle p_2, p_3 \rangle$ не совпадают, то пересечение представляет собой невырожденную двумерную квадрику, если же $s_0=s_1$, что эквивалентно $\alpha_0 \beta_1=\alpha_1 \beta_0$, то пересечение представляется парой плоскостей $\{ w_{01}=0 \} \cup \{w_{23}=0 \}$. Заметим при этом, что это пересечение всегда является торическим, поскольку имеются два отображения моментов $\widetilde \mu_0, \widetilde \mu_1$, сохраняющих каждый слой гамильтоновым действием. Из формулы (2) получаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde \mu_0 + \widetilde \mu_1=1 + \frac{| w_{01} |^2 - | w_{23} |^2}{\sum_{i<j} | w_{ij} |^2},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда видно, что $\widetilde \mu_0 + \widetilde \mu_1 < 1$ соответствует выбору плоскости $ w_{01}=0$ в вырожденном слое над диагональю в $\langle p_2, p_3 \rangle \times \langle p_2, p_3 \rangle$. Таким образом, глобально картина выглядит так: над общей точкой прямого произведения $\langle p_2, p_3 \rangle \times \langle p_2, p_3 \rangle$ имеем торический слой – невырожденную квадрику, многоугольником Дельцана которой является квадрат; над точкой, лежащей на диагонали, торический слой вырождается в объединение пары плоскостей, многоугольниками Дельцана которой будут треугольники, на которые распадается квадрат; пересечению этих двух плоскостей соответствует диагональ квадрата $\widetilde \mu_0 + \widetilde \mu_1=1$. Отсюда видно, что $N^0(s_0, s_1)$ есть прообраз открытого треугольника, так что прообразом каждой точки этого открытого треугольника является гладкий двумерный тор, инвариантный относительно гамильтонова действия $\mathrm T^2$, натянутого на коммутирующие функции $\widetilde \mu_0, \widetilde \mu_1$. Этим завершается аналитическое доказательство предложения 1. Нетрудно видеть, что утверждение теоремы 2 для случая $\operatorname{Gr}(1, 3)$ немедленно следует из предложения 1. § 2. Общий случайРассмотрим теперь общий случай грассманиана $\operatorname{Gr}(1, n)$ прямых в $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$. Зафиксируем однородные координаты $[z_0: \dotsb : z_n]$, согласованные с кэлеровой структурой, и рассмотрим $k$ стандартных отображений моментов
$$
\begin{equation*}
\mu_i=\frac{| z_i |^2}{\sum_{i=0}^n | z_i |^2}, \qquad i=0, \dots, k-1,
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующие им отображения моментов $\widetilde \mu_i$ на $\operatorname{Gr}(1, n)$. Снова выделим в $\operatorname{Gr}(1, n)$ открытую компоненту $\operatorname{Gr}^0(1, n)$, накладывая условия $\widetilde \mu_i>0$, $\widetilde \mu_0 + \dots + \widetilde \mu_{k-1} < 1$, и покажем, что верно следующее предложение. Предложение 2. Открытое многообразие $\operatorname{Gr}^0(1, n)$ расслоено над многообразием $M_{n-k}$, являющимся тотальным пространством $k$-кратного прямого произведения проективизации тавтологического расслоения $\mathbb{P}(\tau) \to \operatorname{Gr}(1, \langle p_k,\dots, p_{n+1} \rangle )$ на себя, так что гамильтоново действие тора $T^k$, натянутое на $\widetilde \mu_0, \dots, \widetilde \mu_{k-1}$, сохраняет базу и слои. Здесь и ниже через $\operatorname{Gr} (1, H)$ мы обозначаем многообразие проективных прямых в проективном пространстве $H$, в том числе когда $H$ есть проективная оболочка точек $\langle p_{i_1}, \dots, p_{i_m} \rangle$. Доказательство. Так как мы снова, как и в случае $\operatorname{Gr}(1, 3)$ выше, исключили из рассмотрений те прямые $l \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^n$, которые пересекают подпространство $\langle p_0, \dots, p_{k-1} \rangle $ или лежат в гиперплоскостях то $\operatorname{Gr}^0(1, n)$ можно расслоить над $M_{n-k}$: любая прямая $l$ из $\operatorname{Gr}^0(1, n)$ скрещивается с $\langle p_0, \dots, p_{k-1} \rangle$, поэтому проективная оболочка $H_l=\langle l, p_0, \dots, p_{k-1} \rangle$ обязательно проективно $(k+1)$-мерна; с другой стороны, $l$ однозначно определяет свое подпространство $H_l$ и прямую $l_0 \subset H_l \cap \langle p_k, \dots, p_n \rangle$ в последнем $(n-k)$-мерном проективном пространстве. Нетрудно видеть, что само $H_l$ однозначно восстанавливается по последней прямой $l_0$, так как является проективной оболочкой $\langle l_0, p_0, \dots, p_{k-1} \rangle$.
Тогда имеется следующее замечание: гамильтоново действие $\mathrm T^k$, порождаемое выбранными нами отображениями моментов $\widetilde \mu_0, \dots, \widetilde \mu_{k-1}$, сохраняет подмножества $\operatorname{Gr}^0(1, H_l) \subset \operatorname{Gr}^0(1, n)$, где $\operatorname{Gr}^0(1, H_l)$ есть множество прямых в $(n-k)$-мерном проективном подпространстве $H_l \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^n$, удовлетворяющих условиям на функции $\widetilde \mu_i$, выделяющих компоненту $\operatorname{Gr}^0(1, n)$. В самом деле, $(k+1)$-мерное подпространство $H_l$ однозначно определяется парой проективных подпространств $l_0$, $\langle p_0, \dots, p_{k-1} \rangle$, лежащих в нем. Гамильтоново действие $\widetilde \mu_i$ оставляет прямую $l_0 \subset \langle p_k, \dots, p_n \rangle$ неподвижной, поскольку она полностью содержится в критическом множестве, соответствующем нулевым критическим значениям всех рассматриваемых отображений моментов $\widetilde \mu_0, \dots, \widetilde \mu_{k-1}$; с другой стороны, проективное подпространство $\langle p_0, \dots , p_{k-1} \rangle$ также инвариантно (хотя и не неподвижно), откуда следует наше замечание. Таким образом, наша задача расщепляется на две: первая – симплектическая редукция по гамильтонову действию на каждом грассманиане $\operatorname{Gr}(1, H_l)$ при фиксированном $H_l$, инвариантном относительно действия тора $T^k$, натянутого на $\widetilde \mu_0, \dots, \widetilde \mu_{k-1}$, вторая – глобализация конструкции и описание подходящего параметризующего многообразия. Первая задача решается по образцу из § 1: все множество $\operatorname{Gr}(1, H_l)$ с набором отображений $\widetilde \mu_i|_{\operatorname{Gr}(1, H_l)}$, $i=0, \dots, k-1$, естественным образом расслаивается на торические слои. В самом деле, сопоставим прямой $l \subset H_l$ набор точек $(s_0, \dots, s_{k-1})$, $s_i \in l_0$, по правилу: сначала рассмотрим точку $s_j^0= \langle l_0, p_{m_1}, \dots, p_{m_{k-1}} \rangle \cap l$, где $(j, m_1, \dots, m_{k-1})$ есть перестановка чисел $(0, \dots, k-1)$, на прямой $l$ и затем спроектируем ее из $\langle p_{m_1}, \dots, p_{m_{k-1}} \rangle$ на $l_0$ в проективном пространстве $\langle l_0, p_{m_1}, \dots, p_{m_{k-1}} \rangle$, обозначая результат как $s_j \in l_0$. Тогда в $\operatorname{Gr}(1, H_l)$ имеем набор дивизоров $\{ D(s_j) \}$, определяемых условием
$$
\begin{equation*}
D(s_j)=\{ [l] \in \operatorname{Gr}(1, H_l) \mid l \cap \langle s_j, p_{m_1}, \dots, p_{m_{k-1}} \rangle \neq \varnothing \}
\end{equation*}
\notag
$$
(стандартный способ определения дивизоров в грассманиане, см. [3]).
Заметим, что для любой точки $s_j \in l_0$ соответствующий дивизор $D(s_j)$ инвариантен относительно гамильтонова действия каждого нашего отображения моментов $\widetilde \mu_i$. В самом деле, наше проективное подпространство $\langle s_j, p_{m_1}, \dots,p_{m_{k-1}} \rangle \subset H_l$ натянуто на точки, неподвижные относительно гамильтонова действия $\mu_i$, отсюда любая прямая $[l] \in D(s_j)$ под действием $\widetilde \mu_i$ переходит в прямую из того же подмногообразия. Отсюда следует, что подмногообразие
$$
\begin{equation*}
Y(s_0, \dots, s_{k-1})=\bigcap_{j=0}^{k-1} D(s_j) \subset \operatorname{Gr}(1, H_l)
\end{equation*}
\notag
$$
инвариантно относительно действия всего тора $T^k$, натянутого на отображения моментов $\widetilde \mu_0, \dots , \widetilde \mu_{k-1}$; с другой стороны, размерность этого подмногообразия равна $k$, откуда следует, что для каждого набора $(s_0, \dots, s_{k-1})$ имеем торический слой $Y(s_0, \dots, s_{k-1})$ (не обязательно гладкий).
Согласно общей теории торических многообразий, см. [5], наше многообразие $Y(s_0, \dots, s_{k-1})$, снабженное набором отображений моментов $\widetilde \mu_0, \dots, \widetilde \mu_{k-1}$, однозначно определяется своим выпуклым многогранником Дельцана $P_Y \subset \mathbb{R}^k$, являющимся образом отображения действия
$$
\begin{equation*}
F_{\mathrm{act}}=(\widetilde \mu_0, \dots \widetilde \mu_{k-1})\colon Y(s_0, \dots, s_{k-1}) \to \mathbb{R}^k.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что для общего набора $(s_0, \dots, s_{k-1})$ многогранник Дельцана $P_Y$ задается так: рассмотрим единичный куб в $\mathbb{R}^k$ и отрежем от него гиперплоскостью $\sum_{i=1}^k x_i=2$ ту часть, которая содержит начало координат. В самом деле, по определению торическое многообразие $Y(s_0, \dots, s_{k-1})$ содержит в себе прямые, являющиеся прообразами вершин вида (все $x_i$ нули), (ровно одно $x_i$ отлично от нуля), (ровно два $x_i, x_j$ отличны от нуля), но именно для такого набора вершин единичного куба выпуклой оболочкой будет $P_Y$, представленный выше. Предъявим такие прямые: прямая $l=l_0 \subset H_l$ переходит в точку первого вида; прямая $\langle p_i, s_i \rangle \subset H_l$, $i=0, \dots, k-1$, переходит в точку, у которой $i$-я координата равна 1, а все остальные нули; наконец, прямая $\langle p_i, p_j \rangle \subset H_l$, $0 \leqslant i < j \leqslant k-1$, переходит в вершину, у которой $i$-я и $j$-я координаты равны 1, а все остальные нули. Как и выше в случае $\operatorname{Gr}(1, 3)$, при совпадении пары точек $s_i=s_j$, определяющих многообразие $Y(s_0, \dots, s_{k-1})$, это торическое многообразие становится приводимым, состоящим из торических компонент. В самом деле, в этом случае пересечение дивизоров $D(s_i) \cap D(s_j)$ распадается в объединение пары компонент $(D(s_i) \cap D(s_j))_a \cup (D(s_i) \cap D(s_j))_b$, где $a$-компонента состоит из прямых, проходящих через точку $s_i=s_j$, а $b$-компонента состоит из прямых, содержащихся в проективном подпространстве $ \langle p_0, \dots, p_{k-1},\, s_i=s_j \rangle \subset H_l$. Как и в случае $\operatorname{Gr}(1, 3)$, эти компоненты различаются значениями отображений моментов: $a$-компонента соответствует случаю $\sum_{i=0}^{k-1} \widetilde \mu_i \leqslant 1$, а $b$-компонента соответствуют случаю, когда та же сумма больше или равна 1. При совпадении большего числа $s_i$ мы получаем более специальную картину распадения $Y(s_0, \dots, s_{k-1})$ на компоненты, однако полное исследование соответствующей комбинаторной структуры не входит в круг задач настоящей работы, поскольку для доказательства теоремы 2 нам достаточно восстановить наши условия $c_i>0$, $\sum_{i=0}^{k-1} c_i < 1$, накладываемые на значения отображений моментов $\widetilde \mu_0, \dots, \widetilde \mu_{k-1}$, и убедиться в том, что каждый такой набор $(c_0, \dots, c_{k-1})$ определяет в каждом торическом многообразии $Y(s_0, \dots, s_{k-1})$ соответствующий гладкий $k$-мерный тор Лиувилля, на котором $T^k$, порождаемый гамильтоновым действием $\widetilde \mu_0, \dots, \widetilde \mu_{k-1}$, действует свободно. Таким образом, в качестве промежуточного вывода мы получаем, что результатом симплектической редукции $\operatorname{Gr}(1, H_l)=\operatorname{Gr}(1, k+1)$ по действию $k$-мерного тора при выборе значений отображений моментов $c_i>0$, $\sum_{i=0}^{k-1} c_i < 1$, есть $k$-кратное прямое произведение проективной прямой $l_0$ на себя. Перейдем теперь ко второму шагу: очевидно, что сопоставление $l \mapsto H_l \mapsto l_0 \subset \langle p_k, \dots, p_n \rangle$ взаимно однозначно по второй стрелке, поэтому отсюда получаем отображение $\operatorname{Gr}^0(1, n) \to \operatorname{Gr}(1, \langle p_k, \dots, p_n \rangle)$. Как было показано выше, над каждой точкой $[l_0] \in \operatorname{Gr} (1, \langle p_k, \dots, p_n \rangle)$ имеем расслоение на торические открытые части $Y^0(s_0, \dots, s_{k-1}) \subset Y(s_0, \dots, s_{k-1})$, параметризованные набором точек $(s_0, \dots, s_{n-1})$, каждая из которых лежит на $l_0$. Отсюда, глобализуя над всем $\operatorname{Gr}(1, \langle p_k, \dots, p_n \rangle)$ эту картину, с учетом того, что точки $s_i$ оказываются точками на проективизации тавтологического расслоения $\tau \to \operatorname{Gr}(1, n-k)$, получаем утверждение предложения 2. Мы будем обозначать соответствующее многообразие $\operatorname{tot}(\mathbb{P}(\tau) \times \dots \times \mathbb{P}(\tau) \to \operatorname{Gr}(1, n-k))$ как $M_{n-k}$. Если теперь мы выберем набор значений $c_0, \dots, c_{k-1} \in \mathbb{R}_+$ так, что сумма $\sum_{i=0}^{k-1} c_i < 1$, то этим в каждом торическом слое $\operatorname{Gr}^0(1, n) \to M_{n-k}$ будет выделен гладкий тор, который при факторизации даст точку, откуда следует утверждение теоремы 2:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Gr}(1, n)/\!/ \mathrm T^k \cong \operatorname{tot} (\mathbb{P}(\tau) \times \dots \times \mathbb{P}(\tau) \to \operatorname{Gr}(1, n-k)),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где в слое $k$-кратное прямое произведение.
Предложение доказано. Замечание 3. Приведенное выше представление не позволяет ответить на вопрос о том, какая симплектическая форма получается в процессе редукции из исходной кэлеровой формы на $\operatorname{Gr}(1, n)$ на редуцированном симплектическом многообразии $M_{n-k}$. Несмотря на то что при близких значениях отображений моментов мы получаем изоморфные многообразия в результате симплектической редукции, симплектические формы на таких многообразиях отличаются друг от друга. Например, мы не можем утверждать в общем случае, что ограничение симплектической формы $\omega_t$, $t=(c_0, \dots, c_{k-1})$, получаемой в результате симплектической редукции на $M_{n-k}$, на проективные прямые $\mathbb{P}(\tau)$ над одной и той же точкой базы $\operatorname{Gr}(1, n-k)$, дают одну и ту же симплектическую форму. Для части построенных подмногообразий нам это и не потребуется. Однако поскольку ниже мы используем нестандартные антиголоморфные инволюции, то нам необходимо следующее простое замечание. Так как при автоморфизме исходного проективного пространства $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$, индуцируемого перестановкой однородных координат $z_i \leftrightarrow z_j$, имеем: 1) симметрию отображений моментов $\widetilde \mu_i \leftrightarrow \widetilde \mu_j$; 2) симметрию точек $s_i \leftrightarrow s_j$ на проективной прямой $l_0$; 3) а значит, и кэлерову симметрию между $i$-ми и $j$-ми прямыми слагаемыми в $M_{n-k}$ над базой $\operatorname{Gr}(1, n-k)$. Отсюда видно, что если в дальнейшем мы дополним условия на значения отображений моментов дополнительным условием симметрии $c_0=\dots=c_{k-1}$, то этим на $M_{n-k}$ будет определено действие группы перестановок кэлеровыми изометриями. Однако заметим при этом, что для реализации конструкции Миронова, где важную роль имеют вещественные части многообразий с голоморфной инволюцией, нам не обязательно рассматривать полностью симметричный случай $c_0=\dots=c_{k-1}$. В самом деле, наши отображения моментов $\widetilde \mu_i$ действуют кэлеровыми изометриями на $\operatorname{Gr} (1, n)$, а группа $\mathrm T^k$ коммутативна, поэтому любое значение отображение моментов (в смысле $\mathfrak g^*$) лежит в центре группы, что требуется для корректной реализации кэлеровой редукции, см. [3]. Так что построенное нами многообразие $M_{n-k}$ самой конструкцией наделено кэлеровой структурой, и при этом такая структура согласована с антиголоморфной инволюцией $\tau\colon M_{n-k} \to M_{n-k}$, также индуцируемой из стандартной антиголоморфной инволюции на $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$. В самом деле, нетрудно видеть, что стандартное сопряжение прямой $l \subset \mathbb{C} \mathbb{P}$ согласовано с сопряжением тех данных, которым мы эту прямую сопоставили: так как все точки $p_i \in \mathbb{C} \mathbb{P}^n$ вещественны, то $\overline l$ будет соответствовать $\overline l_0 \subset \langle p_k, \dots, p_n \rangle$, и набор точек $s_i \in l_0$ также преобразуется в сопряженный набор $\overline s_i \in \overline l_0$. Поэтому какова бы ни была кэлерова форма на $M_{n-k}$ в результате кэлеровой редукции, вещественная часть этого многообразия будет лагранжевым подмногообразием; и эта вещественная часть выделена условиями вещественности, налагаемыми и на базу $\operatorname{Gr}(1, n-k)$ (чтобы $l_0$ была вещественной), и на точки в слоях всех прямых слагаемых $\mathbb{P} (\tau)$. Иными словами наше фактормногообразие $M_{n-k}$ естественно вкладывается в прямое произведение
$$
\begin{equation}
\operatorname{Gr}(1, \langle p_k, \dots, p_n \rangle) \times \langle p_k, \dots, p_n \rangle \times \dots \times \langle p_k, \dots, p_n \rangle,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где справа имеем прямое произведение $k$ копий одинаковых проективных пространств с одинаковыми комплексными структурами, порождаемыми исходной комплексной структурой на $\langle p_k, \dots, p_n \rangle$, с одинаковыми антиголоморфными инволюциями, но каждая копия со своей кэлеровой (симплектической) формой. Редуцированное многообразие $M_{n-k}$ реализуется как пересечение $k$ циклов где $\widetilde{\mathcal U}_i=\langle p_k, \dots, p_n \rangle \times \dots \times \mathcal U_i \times \dots \times \langle p_k, \dots, p_n \rangle$, получаемое подстановкой в прямое произведение на $i$-м месте $\mathcal U_i \subset \operatorname{Gr}(1, \langle p_2, \dots, p_n \rangle) \times \langle p_k, \dots, p_n \rangle$ – цикла инциденции для $i$-го проективного пространства; и редуцированная кэлерова структура есть ограничение с прямого произведения на подмногообразие $M_{n-k}$, определяемое формулой (4). Замечание 4. Нетрудно видеть, что как и в случае $\operatorname{Gr}(1,3)$, расслоение $\operatorname{Gr}^0(1, n) \to M_{n-k}$ топологически не тривиально. В самом деле, вернемся к дивизорам $D(s_i) \subset Gr(1, H_l)$ для набора точек $s_0, \dots, s_{k-1} \in l_0$. Вместо $D(s_i)$ можно рассмотреть пучок $k$-мерных проективных подпространств, содержащих $(k-1)$-мерное подпространство $ \langle s_j, p_{m_1}, \dots, p_{m_{k-1}} \rangle$: очевидно, что если прямая $l$ пересекает $\langle s_j, p_{m_1}, \dots, p_{m_{k-1}} \rangle$, то она обязана лежать в одном из таких $k$-мерных подпространств. Отсюда имеем расслоение над $k$-кратным прямым произведением $l_0$ на себя, слоем которого будет $k$-кратное прямое произведение проективных прямых, параметризующих описанные пучки. Однако каждый такой пучок имеет такой же вид, как и в случае $\operatorname{Gr}(1, 3)$, см. замечание 2. В самом деле, на проективной плоскости $\langle p_j, l_0 \rangle$ пучок соответствующих $k$-мерных проективных подпространств высекает пучок прямых, проходящих через $s_j$, и, варьируя $s_j$ вдоль $l_0$, снова получаем несколько копий расслоений Хопфа в случае фиксации подходящего набора значений $c_i>0, \sum_{i=0}^{k-1} c_i < 1$, отображений моментов $\widetilde \mu_i$. Очевидно, что конструкция глобализуется и над $\operatorname{Gr}(1, n-k)$, откуда следует топологический тип расслоения $\operatorname{Gr}^0(1, n) \to M_{n-k}$. Замечание 5. В некоторых задачах (например, в главной задаче работы [1] – построения минимальных и гамильтоново минимальных лагранжевых подмногообразий) необходимо бывает рассмотрение конкретных выделенных значений $t \in \mathfrak g^*$ отображения моментов, для которых на соответствующем многообразии уровня $N_t$ группа действует не свободно, что приводит к возникновению особенностей соответствующего факторпространства $N_t/ G$. Например, в наших рассмотрениях предложения 1 можно было допустить выбор значений $c_0, c_1$ отображений моментов $\widetilde \mu_0, \widetilde \mu_1$ так, что $c_0 + c_1=1$. В этом случае, как следует из формул § 1, над диагональю в прямом произведении $\langle p_2, p_3 \rangle \times \langle p_2, p_3 \rangle$ вместо двумерных торов будут лежать одномерные торы, т.е. окружности, лежащие на прямых из пересечения $\{w_{01}=0 \} \cap \{ w_{23}=0 \}$. Поэтому при факторизации для таких значений отображений моментов мы получим редуцированное многообразие с особенностями, однако конструкция теоремы 1 может быть применена и в этом случае, если рассматривать лагранжевы погружения, в том числе и лагранжевы погружения в симплектическое многообразие с особенностями. Эта отдельная тема, вытекающая из теоремы 1, требует и отдельного внимательного исследования. Замечание 6. Наша конструкция не может быть прямо перенесена на случаи $k=1$ и $k=n$: в первом случае такой необходимости нет, поскольку в работе [4] мы уже построили соответствующее лагранжево подмногообразие, которое оказалось также того же вида – расслоение на двумерные торы над $\operatorname{Gr}(1, n-1)$; в случае $k=n$ дополнительное к $\langle p_0, \dots, p_{n-1} \rangle$ проективное пространство нульмерно, поэтому прямые некуда проектировать. Поскольку в настоящей работе мы пользуемся именно представленным выше методом, отложим рассмотрения случая $k=n$ до будущей работы. Теперь мы готовы применить теоремы 1 и 2 для построения большого запаса примеров лагранжевых подмногообразий в грассманиане $\operatorname{Gr}(1, n)$, что является нашей главной задачей. § 3. ПримерыПредложение 3. Многообразие $\operatorname{Gr} (1, n)$, снабженное симплектической формой плюккеровым вложением, допускает набор гладких лагранжевых подмногообразий $\{ S_k \}$, $k=0, \dots, n-1$, представляемых как гладкие расслоения на $T^{2k}$-мерные торы над вещественными грассманианами $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}} (1, n-k)$. Доказательство. Начнем со случаев $k=0$ и 1: первый очевиден, так как утверждение в этом случае есть просто тавтология; второй доказан в работе [4]. Далее, из теоремы 2 следует, что для каждого $k=2, \dots, n-1$ результатом симплектической редукции $\operatorname{Gr}(1, n)/\!/ T^k$ при указанном выше выборе отображений моментов и их значений является кэлерово многообразие $M_{n-k}$. Вещественная часть $M^{\mathbb{R}}_{n-k}$ относительно антиголоморфного сопряжения, индуцируемого стандартными антиголоморфными сопряжениями на $\mathbb{C} \mathbb{P}^k$ и $\operatorname{Gr}(1, n-k)$ в прямом произведении (4), представляется как вещественная версия пересечения (5), откуда получаем и поскольку слой $\mathbb{P}(\tau_{\mathbb{R}}) \to \operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-k)$ есть окружность, то глобально $M^{\mathbb{R}}_{n-k}$ есть топологически нетривиальное гладкое расслоение со слоем $S^1 \times \dots \times S^1=T^k$ (исключение составляет случай $k=n-1$, когда $\operatorname{Gr}(1, n-k)$ есть просто точка, и $M^{\mathbb{R}}_{n-1}$ просто изоморфно $T^{n-1}$).
Из теоремы 1 и замечания 4 мы знаем, что каждому лагранжеву подмногообразию $L \subset M_{n-k}$ естественно соответствует лагранжево подмногообразие в $\operatorname{Gr}(1, n)$, топологический тип которого есть расслоение со слоем $T^k$ над $L$: поскольку $M^{\mathbb{R}}_{n-k} \subset M_{n-k}$ лагранжево, то для доказательства предложения 3 нам достаточно показать, что несмотря на топологическую нетривиальность $T^k$ над $M_{n-k}$, соответствующее ему лагранжево подмногообразие имеет тип расслоения над $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-k)$ на $2k$-мерные торы. Однако как было показано в замечании 4 слой над каждой точкой $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-k)$ представляется как $k$ копий расслоений Хопфа, которые при ограничении на вещественный тор $\mathbb{P} (\tau_{\mathbb{R}}) \times \dots \times\mathbb{P}(\tau_{\mathbb{R}})$, как указано в замечании 2, дают прямое произведение $k$ копий $T^2$, т.е. тор $T^{2k}$. Подчеркнем, что по построению соответствующее расслоение $S_k \to \operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-k)$ на $2k$-мерные торы топологически нетривиально, аналогично тому, что было получено для случае $k=1$ в работе [4]. Этим завершается доказательство предложения 3. Замечание 7. Нетрудно видеть, что представленные выше лагранжевы подмногообразия $S_k \subset \operatorname{Gr}(1, n)$ суть в точности те, которые дает обобщенная конструкция Миронова в случае отображений моментов $\widetilde \mu_i$ и выбираемых выше значениях для них. Поэтому в настоящей работе мы в достаточной степени продвинулись в задаче описания типов лагранжевых подмногообразий в $\operatorname{Gr} (1, n)$ с помощью обобщенной конструкции Миронова, сформулированной в работе [2]. Кроме того, все лагранжевы подмногообразия $\{S_k \}$ связаны между собой преобразованиями, называемыми в замечании 2 лагранжевыми перестройками, а именно имеем цепочку где $i$-я стрелка соответствует лагранжевой перестройке, индуцируемой отображением моментов $\widetilde \mu_{i-1}$; одновременно и для любой пары $0 \leqslant i < j \leqslant n-1$ соответствующий набор отображений моментов $\widetilde \mu_i, \dots, \widetilde \mu_{j-1}$ индуцирует лагранжеву перестройку $S_i \mapsto S_j$. Предложение 3 превращает гипотезу из работы [2] в утверждение, однако формулы (4) и (5) подсказывают еще целый класс многообразий, существенно расширяющих множество примеров лагранжевых подмногообразий. Начнем, как всегда, с исследования наиболее простой ситуации и рассмотрим случай $k=2$. Тогда, как в (4) и (5), реализуем $M_{n-2}$ как подмногообразие в тройном прямом произведении $\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-2} \times \operatorname{Gr}(1, n-2) \times \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-2}$, где первое и третье прямые слагаемые отождествлены как комплексные многообразия; если ввиду замечания 3 дополнить наши условия на значения отображений моментов еще одним, а именно $c_0=c_1$, то первое и второе слагаемое отождествлены и как кэлеровы многообразия. Заметим, что для этого случая многообразие $M_{n-2}$ бирационально изоморфно прямому произведению $\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-2} \times \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-2}$, будучи раздутием диагонали в этом прямом произведении. В последнем прямом произведении известен пример лагранжева подмногообразия, представляющего нетривиальный класс гомологий, а именно, введя однородные координаты $[x_i], [y_i]$ на первом и втором прямых слагаемых, рассмотрим лагранжево подмногообразие – антидиагональ, задаваемую условием
$$
\begin{equation*}
\overline \Delta=\{ y_i=\overline x_i \} \subset \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-2} \times \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\overline \Delta$ пересекается с $\Delta$ в вещественных точках, то полный прообраз $\overline \Delta$ в $M_{n-2}$ относительно проекции
$$
\begin{equation*}
\pi\colon M_{n-2} \to \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-2} \times \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-2}
\end{equation*}
\notag
$$
очевидно не может быть лагранжевым в $M_{n-2}$: слои $\pi$ над вещественными точками являются комплексными подмногообразиями. Однако, используя представления (4) и (5), мы можем построить гладкое лагранжево подмногообразие в $M_{n-2}$ аналогичного типа. А именно, на прямом произведении (4) рассмотрим антиголоморфную инволюцию, действующую стандартно на $\operatorname{Gr} (1, n-2)$ и антидиагональным образом на $\mathbb{C} \mathbb{P}^{n-2} \times \mathbb{C} \mathbb{P}^{n-2}$, т.е. так, что $([x_i], [y_i]) \mapsto ([\overline y_i], [\overline x_i])$. Очевидно, что такая антиголоморфная инволюция в качестве неподвижных точек имеет лагранжево подмногообразие в (4) (здесь важным является совпадение кэлеровых форм, что выполнено при $c_0=c_1$), однако замечательным образом она естественно ограничивается и на $M_{n-2}$ и задает нестандартную антиголоморфную инволюцию и здесь. Покажем, что $M_{n-2}$ инвариантно относительно такой инволюции, откуда и будет следовать необходимый факт. В самом деле, по определению точкой $M_{n-2}$ является набор $(p_1, l, p_2)$ из прямой $l$ и двух точек на ней; при нашем нестандартном сопряжении этот набор переходит в набор $(\overline p_2, \overline l, \overline p_1)$, который очевидно обладает тем же свойством инциденции, и, следовательно, нестандартная инволюция сохраняет $M_{n-2}$. Следовательно, если множество неподвижных точек $M^r_{n-2} \subset M_{n-2}$ имеет правильную размерность, то $M^r_{n-2}$ является лагранжевым подмногообразием. Однако если вспомнить представление
$$
\begin{equation*}
M_{n-2} \equiv \operatorname{tot}(\mathbb{P} (\tau) \times \mathbb{P}(\tau) \to \operatorname{Gr}(1, n-2))
\end{equation*}
\notag
$$
как расслоения над $\operatorname{Gr}(1, n-2)$, то нетрудно видеть, что $M^r_{n-2}$ есть расслоение над $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-2)$ со слоем $S^2$. Вещественная размерность этого тотального пространства в точности равна комплексной размерности $M_{n-2}$, откуда получаем новый пример лагранжева подмногообразия в последнем, а значит, и в $\operatorname{Gr} (1, n)$. Определим топологический тип такого лагранжева подмногообразия. Поскольку для фиксированных подходящих значений $\widetilde \mu_0, \widetilde \mu_1$ мы имеем в качестве слоя над точкой $\operatorname{Gr}(1, n-2)$ две копии расслоения Хопфа, то необходимо установить топологический тип ограничения расслоения Хопфа на антидиагональ в прямом произведении $\mathbb{P}(\tau) \times \mathbb{P} (\tau)$. Однако такое расслоение должно иметь нулевой класс Черна, а $S^2$ односвязна, откуда следует, что над каждой точкой $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-2)$ имеется слой $T^2 \times S^2$, а значит, глобально мы получаем расслоение над $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-2)$ со слоем $T^2 \times S^2$. При этом очевидно, что такой топологический тип отличается от топологических типов $S_k$ из предложения 3 для любого $k$. Следовательно, список топологических типов гладких лагранжевых подмногообразий пополнен еще одним типом, возникающим при рассмотрениях редукции по $T^2$. Но почему бы нам не реализовать такую же возможность в случае $k=3$? Ведь в этом случае $M_{n-3}$ изоморфно $\operatorname{tot} (\mathbb{P}(\tau) \times \mathbb{P}(\tau) \times \mathbb{P}(\tau) \to \operatorname{Gr}(1, n-3))$ и поэтому допускает пример подмногообразия смешанного типа, а именно, над вещественной частью грассманиана $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-3)$ рассмотрим из одного прямого слагаемого вещественную часть $\mathbb{P}(\tau_{\mathbb{R}})$, а с двумя другими компонентами проделаем то же, что и в случае $k=2$. Очевидно, что в результате мы получим еще одно лагранжево подмногообразие в $M_{n-3}$, тип которого есть топологически нетривиальное расслоение со слоем $S^2 \times S^1$ над $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-3)$. Далее, обобщая на случай $k=4$, получаем еще больше возможностей: над $\operatorname{Gr}_{\mathbb{R}}(1, n-4)$ имеем расслоения со слоем $S^1 \times S^1 \times S^1 \times S^1$ (обобщенный цикл Миронова $S_4$ из предложения 3), со слоем $S^2 \times S^1 \times S^1$ и со слоем $S^2 \times S^2$, т.е. три разных топологических типа. И естественно, что каждый такой тип определяет после подъема вдоль соответствующего $T^k$-расслоения соответствующий тип лагранжева подмногообразия в $\operatorname{Gr}(1, n)$. Единственное требование, необходимое для данных построений, заключается в совпадении соответствующих значений отображений моментов. Но если просто положить $1>c_0=\dots=c_{k-1}>0$, $c_0 < 1/k$, то этим достигается возможность рассматривать любые пары. Из представленных конструкций и рассуждений получаем Следствие 1. Число различных топологических типов лагранжевых подмногообразий в грассманиане $\operatorname{Gr}(1, n)$ не меньше $n + [{n}/{2}][(n-1)/{2}]$. Доказательство. Для каждого фиксированного $k=0, \dots, n-1$ согласно нашим конструкциям и замечаниям мы имеем не менее $1 + [{k}/{2}]$ разных типов лагранжевых подмногообразий в $\operatorname{Gr}(1, n)$ вследствие теоремы 1. В самом деле, для $M_{n-k}$ имеется стандартная вещественная часть $M^{\mathbb{R}}_{n-k}$ (что дает единицу в формуле выше) плюс дополнительно нестандартные вещественные части вида $M^r_{n-k}$, где из $k$ прямых слагаемых $\mathbb{P}(\tau)$ можно выбрать одну пару, две пары и т.д. при условии равенства всех $c_i$; максимальное возможное число пар равно $[{k}/{2}]$. Отсюда следует, что число таких топологических типов дается формулой что и требовалось доказать. При этом необходимо отметить, что полученная нижняя оценка далека от того, чтобы быть эффективной: например, даже для простого примера $k=2$ и частного выбора пары отображений моментов $\mu_0, \mu_1$ и их значений мы не исследовали лагранжевой геометрии раздутия $M_{n-2}$ в полном объеме. Эта задача интересна сама по себе, поскольку бирациональные преобразования алгебраических многообразий являются основными источниками построения новых многообразий или классификации уже известных; однако связи лагранжевой геометрии исходного многообразия и его раздутия вдоль какого-то подмногообразия практически не исследованы (кроме достаточно простого набора примеров, как лагранжева бутылка Клейна в поверхности Хирцебруха). Мы надеемся вернуться к этой теме в следующей работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tyu24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|