| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Бирационально жесткие гиперповерхности с квадратичными особенностями малого ранга А. В. Пухликов Department of Mathematical Sciences, University of Liverpool, Liverpool, UK
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10061e 
Реферативные базы данных:
     Введение0.1. Формулировка основного результатаПусть $\mathcal P=\mathcal P_{M,M+1}$ – линейное пространство однородных многочленов степени $M$ от $M+1$ переменных, где $M\geqslant 5$, которое мы отождествляем с пространством сечений $H^0({\mathbb P}^M,\mathcal O_{{\mathbb P}^M}(M))$. Проективизация пространства $\mathcal P$ параметризует гиперповерхности степени $M$ в ${\mathbb P}^M$. Если для $f\in\mathcal P\setminus\{0\}$ гиперповерхность $F(f)=\{f=0\}$ неприводима, приведена, факториальна и имеет терминальные особенности, то $F(f)\subset{\mathbb P}^M$ есть примитивное многообразие Фано:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Pic}F(f)={\mathbb Z}H, \qquad K_{F(f)}=-H,
\end{equation*}
\notag
$$
где $H$ – класс гиперплоского сечения. Пусть $\mathcal F_{\mathrm{srigid}}\subset\mathcal P$ – подмножество, состоящее из таких многочленов $f\in\mathcal P\setminus\{0\}$, что гиперповерхность $F(f)$ удовлетворяет всем перечисленным выше свойствам и, кроме того, является бирационально сверхжестким многообразием, т.е. для любой линейной системы $\Sigma\subset|nH|$ без неподвижных компонент, где $n\geqslant 1$, и общего дивизора $D\in\Sigma$ пара $(F(f),\frac{1}{n}D)$ канонична. Ввиду важности свойства бирациональной (сверх)жесткости для задач многомерной бирациональной геометрии (бирационально сверхжесткое многообразие $F(f)$ не может быть расслоено на рационально связные многообразия над базой положительной размерности, бирационально не эквивалентно тотальному пространству любого расслоения Мори над базой положительной размерности, любое бирациональное отображение его на многообразие Фано той же размерности с терминальными ${\mathbb Q}$-факториальными особенностями есть изоморфизм) естественной является задача как можно более точного описания подмножества $\mathcal F_{\mathrm{srigid}}$ и, в частности, оценки коразмерности дополнения $\operatorname{codim}((\mathcal P\setminus\mathcal F_{\mathrm{srigid}})\subset\mathcal P)$. В [1] было доказано, что $\mathcal F_{\mathrm{srigid}}$ содержит уравнения всех гиперповерхностей, имеющих, самое большее, квадратичные особенности ранга $\geqslant 5$ и удовлетворяющих поточечным условиям регулярности, откуда вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}((\mathcal P\setminus\mathcal F_{\mathrm{srigid}})\subset\mathcal P)\geqslant \binom{M-3}{2}+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Цель настоящей работы – усилить этот результат: мы покажем, что в качестве особенностей допустимы квадратичные точки ранга $4$ и $3$, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям общности положения, а поточечные условия регулярности можно несколько ослабить, откуда будет получена более сильная оценка коразмерности нежестких гиперповерхностей, чем та, которая доказана в [1]. Перейдем к точным формулировкам. Пусть $f\in\mathcal P\setminus\{0\}$ и $F=F(f)$ – соответствующая гиперповерхность. Для точки $o\in F$ возьмем произвольную систему аффинных координат $z_1,\dots,z_M$ на аффинной карте ${\mathbb A}^M\subset{\mathbb P}^M$, содержащей эту точку, причем $o=(0,\dots,0)$, и запишем соответствующий аффинный многочлен (который для удобства обозначаем той же буквой $f$) в виде суммы где $q_i$ однородны степени $i$. Очевидно, $o\in\operatorname{Sing}F$ тогда и только тогда, когда $q_1\equiv 0$. Мы называем особую точку $o\in F$ квадратичной ранга $a\geqslant 1$, если $\operatorname{rk}q_2=a$.Предположим, что точка $o\in F$ есть квадратичная особенность ранга $3$; в этом случае можно считать, что $q_2=z^2_1+z^2_2+z^2_3$. Скажем, что точка $o$ удовлетворяет условию (G), если особое множество кубической гиперповерхности в проективном пространстве ${\mathbb P}^{M-4}$ с однородными координатами $(z_4:\dotsb:z_M)$ нульмерно (в частности, $q_3(0,0,0,z_4,\dots,z_M)\not\equiv 0$) или пусто, причем в любой особой точке этой гиперповерхности (если таковые имеются) однородный многочлен
$$
\begin{equation*}
4q_4(0,0,0,z_4,\dots,z_M)-\sum^3_{i=1}\frac{\partial q_3}{\partial z_i}(0,0,0,z_4,\dots,z_M)^2
\end{equation*}
\notag
$$
степени 4 не обращается в нуль. Теорема 0.1. Предположим, что каждая точка гиперповерхности $F$ либо неособа, либо является квадратичной особенностью ранга $\geqslant 3$, причем каждая квадратичная особенность ранга $3$ удовлетворяет условию (G) и справедливо неравенство Тогда $F$ есть неприводимое приведенное факториальное многообразие с терминальными особенностями. (Неприводимость, приведенность и факториальность следуют, конечно, из неравенства для коразмерности подмножества $\operatorname{Sing}F$.) Продолжая использовать введенные выше координатные обозначения, заметим, что если $o\in F$ – неособая точка, то касательная гиперплоскость $T_oF$ задается уравнением $q_1=0$. Скажем, что неособая точка $o\in F$ регулярна, если при $M\geqslant 6$ (R1) многочлены образуют регулярную последовательность, т.е. система уравнений имеет в гиперплоскости $T_oF$ четырехмерное множество нулей.Скажем, что квадратичная особенность $o\in F$ ранга $a\geqslant 7$ (при $M\geqslant 7$) регулярна, если (R2) многочлены образуют регулярную последовательность, т.е. множество их общих нулей имеет размерность 5.Наконец, если $o\in F$ – квадратичная особенность ранга $\in\{3,4,5,6\}$, то скажем, что она регулярна, если (R3) многочлены образуют регулярную последовательность, т.е. множество их общих нулей одномерно.Теперь определим подмножество $\mathcal F\subset\mathcal P$ следующим образом: $f\in\mathcal F$ тогда и только тогда, когда гиперповерхность $F=F(f)$ удовлетворяет предположениям теоремы 0.1, причем при $M\geqslant 6$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}F\subset F)\geqslant 5,
\end{equation*}
\notag
$$
а при $M=5$ гиперповерхность $F$ не содержит двумерных плоскостей и никакое ее сечение трехмерным подпространством в ${\mathbb P}^5$ не содержит прямой, состоящей из особых точек этого сечения, и (для любого $M\geqslant 5$) каждая точка $F$ регулярна в смысле соответствующего условия (R1), (R2) или (R3). Теорема 0.2. Для $f\in\mathcal F$ гиперповерхность $F=F(f)$ есть бирационально сверхжесткое многообразие Фано. В частности, $F$ не может быть расслоено рациональным отображением на рационально связные многообразия над базой положительной размерности, $F$ не эквивалентно в бирациональном смысле тотальному пространству никакого расслоения Мори над базой положительной размерности и любое бирациональное отображение $\chi\colon F\dashrightarrow F'$, где $F'$ – многообразие Фано с терминальными ${\mathbb Q}$-факториальными особенностями и числом Пикара 1, есть бирегулярный изоморфизм. Определим функцию $\gamma\colon \{ M\in {\mathbb Z}\mid M\geqslant 5\}\to {\mathbb Z}$ следующим образом: Теорема 0.3. Коразмерность дополнения $\mathcal P\setminus\mathcal F$ в пространстве $\mathcal P$ не меньше чем $\gamma(M)$. 0.2. Структура статьиВ § 1 доказана теорема 0.1. Кроме того, мы приведем локальные условия в квадратичной точке $o\in F$ ранга $4$, гарантирующие выполнение неравенства $\operatorname{codim}_o(\operatorname{Sing} F\subset F)\geqslant 4$ ($\operatorname{codim}_o$ обозначает коразмерность в окрестности точки $o$). Мы покажем, что из выполнения условия (G) следует, что квадратичных особенностей ранга $3$ конечное число и раздутие этого конечного множества точек дает многообразие, имеющее не более чем квадратичные особенности ранга $\geqslant 4$, причем особое множество этого многообразия имеет коразмерность $\geqslant 4$. В § 2 доказана теорема 0.2. Для исключения максимальных особенностей над неособыми точками мы используем $8n^2$-неравенство (см. [2], [3]), в случае квадратичных особенностей ранга $\geqslant 7$ – обобщенное $4n^2$-неравенство (см. [4]), в случае квадратичных особенностей ранга $a\in\{3,4,5,6\}$ – традиционное $4n^2$-неравенство для квадратичных точек, доказанное в [1] с учетом поправки, сделанной в [5]. Для получения противоречия используется техника гиперкасательных дивизоров, основанная на условиях регулярности (R1), (R2) и (R3) соответственно. В § 3 доказана теорема 0.3. Здесь мы пользуемся техникой, развитой в [5]–[7]. 0.3. Общие замечанияНастоящая работа принадлежит к серии статей, начатой [1], посвященных эффективной бирациональной жесткости: для заданного семейства многообразий Фано не только доказывается бирациональная жесткость многообразия общего положения, но и получена явная оценка коразмерности дополнения ко множеству бирационально жестких многообразий в этом семействе. Одним из приложений таких результатов является возможность строить расслоения на многообразия Фано над базой положительной размерности, каждый слой которых есть бирационально жесткое многообразие, см. обзор [8]. Подход к изучению геометрических объектов, варьирующихся в некотором семействе, когда сначала рассматриваются объекты общего положения (в каком-либо точном смысле, например, не имеющие особенностей), а затем изучаются все более специальные подсемейства, иногда называют “стратегией Пуанкаре”. Если имеется семейство многообразий Фано, заданное конкретной геометрической конструкцией, то вопрос об их бирациональной жесткости естественно рассматривать именно таким образом, допуская все более сложные особенности. Для (неприводимых приведенных) факториальных гиперповерхностей степени $M$ в ${\mathbb P}^M$ конечная цель – точно определить границы множества (сверх)жестких многообразий в том смысле, насколько “плохими” могут быть их особенности при сохранении бирациональной жесткости; например в [9] было показано, что кратность единственной особой точки общего положения может достигать $M-2$ (а условия общности положения для особой точки были смягчены и доказательство упрощено в [10]), в то время как гиперповерхность степени $M$ с точкой кратности $M-1$ является, очевидно, рациональной и не может быть бирационально жесткой. В качестве примера такого подхода к изучению бирациональной геометрии трехмерных расслоений на поверхности дель Пеццо, когда рассматриваются многообразия со все более сложными особенностями, укажем работы [11]–[13]. Автор благодарен сотрудникам отделов алгебраической геометрии и алгебры Математического института им. В. А. Стеклова за интерес к его работе, а также коллегам-алгебраическим геометрам в Ливерпульском университете за общую поддержку. § 1. Факториальные терминальные особенностиВ этом параграфе доказана теорема 0.1. В п. 1.1 рассмотрены простые общие факты о квадратичных особенностях, в п. 1.2 рассмотрен вопрос о том, что происходит с особенностями при раздутии квадратичной точки заданного ранга. В п. 1.3 на этой основе дано доказательство теоремы 0.1. 1.1. Квадратичные особенностиНапомним (см. [1], [14]), что точка $o\in\mathcal X$ неприводимого алгебраического многообразия $\mathcal X$ есть квадратичная особенность ранга $r\geqslant 1$, если в некоторой окрестности этой точки $\mathcal X$ реализуется как подмногообразие неособого $N=(\operatorname{dim}\mathcal X+1$)-мерного многообразия $\mathcal Y\ni o$, причем для некоторой системы $(u_1,\dots,u_N)$ локальных параметров на $\mathcal Y$ в точке $o$ подмногообразие $\mathcal X$ есть гиперповерхность, заданная уравнением
$$
\begin{equation*}
g\in\mathcal O_{o,\mathcal Y}\subset{\mathbb C}[[u_1,\dots,u_N]],
\end{equation*}
\notag
$$
которое представляется формальным степенным рядом где $g_j(u_1,\dots,u_N)$ – однородный многочлен степени $j$ и $\operatorname{rk}g_2=r$. Имеет место следующий очевидный факт. Предложение 1.1. Предположим, что $o\,{\in}\,\mathcal X$ – квадратичная особенность ранга $r$. Тогда в некоторой окрестности точки $o$ любая точка $p\in\mathcal X$ либо неособа, либо является квадратичной особенностью ранга $\geqslant r$. Пусть $\mathcal Y^+\,{\to}\,\mathcal Y$ – раздутие точки $o$ с исключительным дивизором $E_\mathcal Y\cong{\mathbb P}^{N-1}$ и $\mathcal X^+\,{\subset}\,\mathcal Y^+$ – собственный прообраз гиперповерхности $\mathcal X$ на $\mathcal Y^+$, так что $\mathcal X^+\,{\to}\,\mathcal X$ есть раздутие точки $o$ на $\mathcal X$ с исключительным дивизором $E_\mathcal Y|_{\mathcal X^+}=E_\mathcal X$. Таким образом, $E_\mathcal X$ есть квадрика ранга $r$ в проективном пространстве $E_\mathcal Y$. Следующий факт также очевиден. Предложение 1.2. Имеют место неравенства $\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}E_\mathcal X\subset\mathcal X)=r$ и Отсюда в силу теоремы Гротендика о парафакториальности (см. [15], [16]) немедленно следует, что многообразие, имеющее не более чем квадратичные точки ранга $\geqslant 5$, является факториальным (что было использовано в [1]). Квадратичные особенности имеют следующее очень полезное свойство устойчивости относительно раздутий, см. [1] или [17; п. 1.7]. Предложение 1.3. Предположим, что $\mathcal X$ имеет, самое большее, квадратичные особенности ранга $\geqslant a\geqslant 3$ и $B\subset\mathcal X$ – неприводимое подмногообразие коразмерности $\geqslant 2$. Тогда существует открытое подмножество $U\subset\mathcal X$ такое, что $U\cap B\neq\varnothing$, подмногообразие $U\subset B$ неособо и его раздутие дает квазипроективное многообразие $U_B$, имеющее, самое большее, квадратичные особенности ранга $\geqslant a$. (Доказательство, основанное на простых координатных вычислениях, см. [17; п. 1.7].) Из приведенных выше утверждений следует, что если $\mathcal X$ – многообразие, имеющее, самое большее, квадратичные особенности ранга $\geqslant 5$, то $\mathcal X$ – факториальное многообразие с терминальными особенностями. В обозначениях предложения 1.3, где $a=5$, при $\operatorname{codim}B\in\{2,3\}$ можно считать, что $U$ неособо (потому что $B\not\subset\operatorname{Sing}\mathcal X$), так что дискрепантность исключительного дивизора $E_B$ раздутия $\sigma_B$ есть $\operatorname{codim}B-1$, а при $\operatorname{codim}B\geqslant 4$ справедливо неравенство $a(E_B,U)\geqslant\operatorname{codim}B-2$ (где равенство имеет место в точности тогда, когда $B\subset\operatorname{Sing}\mathcal X$). Однако в настоящей работе допускаются квадратичные особенности ранга $4$ и $3$. 1.2. Раздутие квадратичной точкиПусть $o\in\mathcal X$ – квадратичная особенность ранга $a\geqslant 3$. В обозначениях п. 1.1 локальные параметры $u_1,\dots,u_N$ можно отождествлять с однородными координатами на $E_\mathcal Y$, так что $E_\mathcal X$ есть квадрика с уравнением $g_2=0$. Можно считать, что $g_2=u^2_1+\dots+u^2_a$, так что $\operatorname{Sing}E_{\mathcal X}=\{u_1=\dots=u_a=0\}$. Положим $Q=\{g_3|_{\operatorname{Sing}E_{\mathcal X}}=0\}$, т.е. $Q$ – гиперповерхность $g_3(0,\dots,0,u_{a+1},\dots,u_N)=0$ в проективном пространстве ${\mathbb P}^{N-a-1}$ с однородными координатами $(u_{a+1}:\cdots:u_N)$. (Конечно, линейное подпространство $\operatorname{Sing}E_\mathcal X$ и кубическая гиперповерхность $Q\subset\operatorname{Sing}E_\mathcal X$ не зависят от системы локальных параметров в точке $o$.) Положим также
$$
\begin{equation*}
h(u_{a+1},\dots,u_N)=4g_4(0,\dots,0,u_{a+1},\dots,u_N)- \sum^a_{i=1}\frac{\partial g_3}{\partial u_i}(0,\dots,0,u_{a+1},\dots,u_N)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Это однородный многочлен степени 4 на подпространстве $\operatorname{Sing}E_\mathcal X\subset E_\mathcal Y$. Предложение 1.4. (i) Имеет место равенство (ii) Точка $p\in Q\setminus\operatorname{Sing}Q$ есть квадратичная особенность ранга $a+2$. (iii) Точка $p\in\operatorname{Sing}Q$ есть квадратичная особенность ранга $a+1$, если $h(p)\neq 0$, и ранга $a$ в противном случае. (Отметим, что если $g_3|_{\operatorname{Sing}E_\mathcal X}\equiv 0$, т.е. $Q=\operatorname{Sing}E_\mathcal X$, то $Q=\operatorname{Sing}Q$: особенности $Q$ суть общие нули частных производных кубического многочлена $g_3(0,\dots,0,u_{a+1},\dots,u_N$).) Доказательство получается очевидными локальными вычислениями. Пусть $p\in\operatorname{Sing}E_\mathcal X$ – произвольная точка. Можно считать, что
так что система локальных параметров $w_1,\dots,w_N$ на $\mathcal Y^+$ в точке $p$ связана с исходной равенствами при $i\neq a+1$. Теперь утверждение (i) очевидно. Если $p\in Q$, то первое (квадратичное) слагаемое в представлении локального уравнения многообразия $\mathcal X^+$ в точке $p$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\sum^a_{i=1}w^2_i+w_{a+1}\biggl(\sum_{i\neq a+1}\alpha_iw_i\biggr)+w^2_{a+1}g_{4}(0,\dots,0,1,0,\dots,0),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\alpha_i=\frac{\partial g_3}{\partial u_i}(0,\dots,0,1,0,\dots,0)
\end{equation*}
\notag
$$
(единственная единица стоит на $(a+1)$-м месте). Вычисляя ранг этой квадратичной формы, получаем утверждения (ii) и (iii).
Предложение доказано. Если $a=4$, то, поскольку
$$
\begin{equation*}
E_\mathcal Y\cap\operatorname{Sing}\mathcal X^+\subset\operatorname{Sing}E_\mathcal X,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем следующее утверждение. Предложение 1.5. Если $o\in\mathcal X$ – квадратичная особенность ранга $4$ и справедливо неравенство $\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}\mathcal X\subset\mathcal X)\geqslant 4$, то аналогичное неравенство справедливо и для $\mathcal X^+$. Кроме того, из предложения 1.4 вытекает следующий факт. Предложение 1.6. Если $o\in\mathcal X$ – квадратичная особенность ранга $4$ и либо $g_3|_{\operatorname{Sing} E_{\mathcal X}}\not\equiv 0$, либо $g_3|_{\operatorname{Sing} E_\mathcal X}\equiv 0$, но $h|_{\operatorname{Sing}E_\mathcal X}\not\equiv 0$, то справедливо неравенство Доказательство. В самом деле, если $Q\neq\operatorname{Sing}E_\mathcal X$, то
откуда следует требуемое неравенство. Если же $Q=\operatorname{Sing}E_\mathcal X$, то в точке общего положения $p\in Q$ ранг квадратичной особенности многообразия $\mathcal X^+$ равен $5$. Таким образом, в некоторой окрестности точки $o$ ранг любой особенности многообразия $\mathcal X$ не меньше $4$, причем замкнутое множество точек ранга $4$ имеет коразмерность $\geqslant 4$. Теперь применяем предложение 1.2 и завершаем доказательство предложения 1.6. 1.3. Особенности ранга 3Докажем теорему 0.1. Пусть $o\in F$ – квадратичная точка ранга $3$, ${\mathbb P}^+\to{\mathbb P}^M$ – раздутие этой точки с исключительным дивизором $E_{\mathbb P}\cong{\mathbb P}^{M-1}$ и $F^+\subset{\mathbb P}^+$ – собственный прообраз $F$, так что $E_F=F^+\cap E_{\mathbb P}$ – квадратичная гиперповерхность ранга $3$. В обозначениях п. 0.1 полагаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q=\{q_3(0,0,0,z_4,\dots,z_M)=0\}=\{q_3|_{\operatorname{Sing} E_F}=0\}, \\ h(z_4,\dots,z_M)=4q_4(0,0,0,z_4,\dots,z_M)-\sum^3_{i=1}\frac{\partial q_3}{\partial z_i}(0,0,0,z_4,\dots,z_M)^2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
эти обозначения согласованы с п. 1.2. Теперь из предложения 1.4 вытекает, что произвольная точка $p\in E_F$ либо неособа на $F^+$ (это имеет место в точности тогда, когда $p\not\in Q$), либо является квадратичной особенностью ранга $5$ (когда $p\in Q\setminus\operatorname{Sing}Q$), либо является квадратичной особенностью ранга $4$ (когда $p\in\operatorname{Sing}Q$). В частности, в окрестности точки $o$ нет других квадратичных особенностей ранга $3$. Мы доказали следующий факт. Предложение 1.7. В предположениях теоремы 0.1 множество квадратичных особенностей гиперповерхности $F$ ранга $3$ либо пусто, либо конечно. Во втором случае раздутие этого конечного множества точек приводит к многообразию, имеющему, самое худшее, квадратичные особенности ранга $\geqslant 4$, а его особое множество имеет коразмерность $4$. Пусть теперь $E$ – некоторый простой исключительный дивизор над $F$ и $B$ – его центр на $F$, а $o\in B$ – точка общего положения на $B$. Если $o$ не является квадратичной особенностью ранга $3$, то из предложений 1.3 и 1.5 следует, что $a(E,F)\geqslant 1$. Предположим, что $B=o$ есть квадратичная особенность ранга $3$. Тогда либо $E=E_F$ и $a(E,F)=M-3\geqslant 2$, либо центр $E$ на $F^+$ есть неприводимое подмногообразие $B_+\subset E_F$ коразмерности $\geqslant 2$, так что в силу сказанного выше об особенностях многообразия $F^+$ имеем Это доказывает терминальность особенностей многообразия $F$ и завершает доказательство теоремы 0.1. § 2. Бирациональная сверхжесткостьВ этом параграфе доказана теорема 0.2. 2.1. Типы максимальных особенностейПусть $F=F(f)$, где $f\in\mathcal F$, – гиперповерхность, удовлетворяющая предположениям теоремы 0.2. Предположим, что для некоторой линейной системы $\Sigma\subset|nH|$ без неподвижных компонент, где $H=-K_F$ – класс гиперплоского сечения и $n\geqslant 1$, пара $(F,\frac{1}{n}D)$, где $D\in\Sigma$ – общий дивизор, не является каноничной, т.е. для некоторого исключительного дивизора $E$ над $F$ (зависящего только от $\Sigma$, не от дивизора $D$) справедливо неравенство Нётера–Фано где $a(E)=a(E,F)$ – дискрепантность $E$ относительно $F$. Покажем, что это предположение ведет к противоречию, – этим теорема 0.2 будет доказана.Исключительный дивизор $E$ над $F$ традиционно называется максимальной особенностью подвижной линейной системы $\Sigma$. Пусть $B\subset F$ – центр особенности $E$. Это неприводимое подмногообразие коразмерности $\operatorname{codim}(B\subset F)\geqslant 2$. В зависимости от значения этой коразмерности и типа общей точки $o\in B$ получаем следующие варианты: (1) $\operatorname{codim}B\in\{2,3\}$, (2) $\operatorname{codim}B\geqslant 4$ и $B\not\subset\operatorname{Sing}F$, (3) точка общего положения $o\in B$ есть квадратичная особенность ранга $\geqslant 7$ на $F$ (при $M\geqslant 7$), (4) общая точка $o\in B$ есть квадратичная особенность ранга $\in\{3,4,5,6\}$ на гиперповерхности $F$. Необходимо исключить каждый из этих четырех вариантов. Предложение 2.1. Возможность (1) не реализуется: справедливо неравенство $\operatorname{codim}B\geqslant 4$. Доказательство. Предположим, что имеет место (1). Тогда при $M\geqslant 6$ и при $M=5$ в случае $\operatorname{codim}B=2$ возьмем любую неприводимую кривую $C\subset B$ такую, что $C\cap\operatorname{Sing}F=\varnothing$. Хорошо известно (см., например, [2; гл. 2, лемма 2.1 и предложение 2.3]), что для любого дивизора $D\sim nH$ выполнено неравенство $\operatorname{mult}_CD\leqslant n$. Поскольку $B$ – центр максимальной особенности системы $\Sigma$ и $B\not\subset\operatorname{Sing}F$, имеем $\operatorname{mult}_BD>n$, так что и $\operatorname{mult}_CD>n$ для общего дивизора $D\in\Sigma$. Полученное противоречие доказывает наше утверждение при $M\geqslant 6$ и при $M=5$ в случае $\operatorname{codim}B=2$.
Рассмотрим оставшийся случай $M=5$ и $\operatorname{codim}B=3$, т.е. $B\subset F$ – неприводимая кривая на четырехмерной квинтике $F\subset{\mathbb P}^5$. Если $B$ не содержит особых точек гиперповерхности $F$, то можно рассуждать, как выше, однако если $B\cap\operatorname{Sing}F\neq\varnothing$, то эти рассуждения не проходят. Пусть $Z=(D_1\circ D_2)$ – самопересечение системы $\Sigma$, т.е. алгебраический цикл теоретико-схемного пересечения общих дивизоров $D_1,D_2\in\Sigma$. Поскольку $B\subset F$ – кривая, справедливо неравенство $\operatorname{mult}_BZ>4n^2$. Далее, степень 2-цикла $Z$ в ${\mathbb P}^5$ есть $5n^2$. Следовательно, на $F$ существует поверхность $S$, удовлетворяющая неравенству Рассмотрим сначала случай, когда $B$ есть прямая в ${\mathbb P}^5$. Пусть $p\in B$ – произвольная точка, неособая на $F$. Если то пересечение $(S\circ T_pF)$ есть эффективный 1-цикл в ${\mathbb P}^5$ степени $5n^2$, для которого выполнено неравенство $\operatorname{mult}_p(S\circ T_pF)>8n^2$, что невозможно. ПоэтомуОднако для точек общего положения $s,p\in B$ касательные гиперплоскости $T_sF$ и $T_pF$ различны, так что $T_sF\cap T_pF\cap F$ есть сечение $F$ некоторым линейным подпространством размерности 3 и по предположению общая точка $q\in B$ неособа на этом сечении. Следовательно, $S$ есть неприводимая компонента 2-цикла $(T_sF\circ T_pF\circ F)$ степени 5 в ${\mathbb P}^5$, неособая в общей точке прямой $B$, но удовлетворяющая неравенству (4). Единственная возможность: неприводимая поверхность $S$ есть плоскость. Однако $F$ не содержит плоскостей. Поэтому кривая $B$ не может быть прямой. Пусть $p,q\in B$ – различные точки, неособые на $F$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_pS+\operatorname{mult}_qS>\frac85\operatorname{deg}S,
\end{equation*}
\notag
$$
прямая $[p,q]\subset{\mathbb P}^5$, соединяющая $p$ и $q$, содержится в $S$, а потому и в $F$. Если $B$ – кривая в некоторой 2-плоскости, то $S$ есть эта плоскость $\langle B\rangle$, которая содержится в $F$, что противоречит предположению. Значит, линейная оболочка $\langle B\rangle$ не есть плоскость, но тогда секущее множество
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sec}(B)=\overline{\bigcup_{p,q\in B}[p,q]}
\end{equation*}
\notag
$$
трехмерно, что снова невозможно, так как $\operatorname{Sec}(B)\subset S$. (Объединение берется по всем парам различных точек на $B$.) Доказательство предложения 2.1 завершено. Таким образом, имеет место одна из трех возможностей: (2), (3) или (4). Пусть $o\in B$ – точка общего положения. Предложение 2.2. Предположим, что $o\not\in\operatorname{Sing}F$ (т.е. имеет место возможность (2)). Тогда существует неприводимое подмногообразие $Y\subset F$ коразмерности 3, удовлетворяющее неравенству Доказательство см. в п. 2.3. Предложение 2.3. Предположим, что имеет место возможность (3). Тогда существует неприводимое подмногообразие $Y\subset F$ коразмерности 2, удовлетворяющее неравенству (5). Доказательство см. в п. 2.3. Предложение 2.4. Предположим, что имеет место возможность (4). Тогда существует неприводимое подмногообразие $Y\subset F$ коразмерности 2, удовлетворяющее неравенству Доказательство см. в п. 2.3. Покажем теперь, что на многообразии $F$ не может быть подмногообразия $Y$, существование которого утверждается предложениями 2.2, 2.3 и 2.4. 2.2. Гиперкасательные дивизорыДля фиксированной точки $o\in F$ и $j\in\{2,\dots,M-1\}$ через $\Lambda_j$ обозначим $j$-ю гиперкасательную линейную систему в этой точке, см. [2; гл. 3]. В координатных обозначениях п. 0.1, где $o=(0,\dots,0)$, на пересечении $F$ с аффинной картой ${\mathbb A}^M_{z_1,\dots,z_M}$ линейная система $\Lambda_j$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum^j_{i=1}s_{j,j-i}(z_*)f_{[1,i]}(z_*)\big|_F=0\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_{[1,i]}=q_1+\dots+q_i$ есть левый отрезок многочлена $f$ длины $i$ и однородные многочлены $s_{j,j-i}$ от $z_1,\dots,z_M$ независимо друг от друга пробегают пространства однородных многочленов $\mathcal P_{j-i,M}$ степени $j-i$. Техника гиперкасательных дивизоров и способ ее применения для доказательства бирациональной жесткости хорошо известны, см. [2; гл. 3]; мы лишь отметим основные моменты рассуждений в предположениях предложений 2.2–2.4. Исключение случая (2)Предположим, что этот случай имеет место. Поскольку $\operatorname{mult}_o Y\leqslant\operatorname{deg}Y$ для любого неприводимого подмногообразия, из неравенства (5) следует, что $M\geqslant 9$. Из условия (R1) следует, что для $j\in\{5,6,\dots,M-1\}$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}_o(\operatorname{Bs}\Lambda_j\subset F)\geqslant j-4,
\end{equation*}
\notag
$$
так что можно построить последовательность неприводимых подмногообразий (в обозначениях предложения 2.2), где $\operatorname{codim}(Y_i\,{\subset}\, F)\,{=}\,i$ и при $i\,{\in}\,\{3,\dots,M\,{-}\,6\}$ подмногообразие $Y_{i+1}$ есть неприводимая компонента эффективного цикла $(Y_i\circ D_{i+5})$, где $D_{i+5}\in\Lambda_{i+5}$ – общий дивизор, имеющая максимальное значение отношения $\operatorname{mult}_o/\operatorname{deg}$ среди всех компонент этого цикла. Эта конструкция имеет смысл, поскольку $\operatorname{codim}_o\operatorname{Bs}\Lambda_{i+5}\geqslant i+1$, так что $Y_i$ не содержится в носителе дивизора $D_{i+5}$. Для последнего подмногообразия $Y_{M-5}$ в этой последовательности имеем неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_oY_{M-5}>\biggl(\frac{8}{M}\,\frac98 \dotsb\frac{M}{M-1}\biggr)\operatorname{deg}Y_{M-5}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение в скобках равно $1$, что дает противоречие, исключающее случай (2). Исключение случая (3)Предположим, что имеет место этот случай. Здесь снова $M\geqslant 9$. Наши рассуждения полностью аналогичны рассуждениям в случае (2) с очевидными изменениями, которые мы отметим. Здесь для $j\in\{6,\dots,M-1\}$ в силу (R2) выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}_o(\operatorname{Bs}\Lambda_j\subset F)\geqslant j-5,
\end{equation*}
\notag
$$
так что строим (точно таким же образом) последовательность неприводимых подмногообразий где $\operatorname{codim}(Y_i\subset F)=i$ и последнее подмногообразие $Y_{M-6}$ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_oY_{M-6}>\biggl(\frac{8}{M}\,\frac98 \dotsb\frac{M}{M-1}\biggr)\operatorname{deg}Y_{M-6},
\end{equation*}
\notag
$$
что невозможно: случай (3) исключен. Исключение случая (4)Предположим, что имеет место этот случай. Здесь $M\geqslant 5$ и для $j\in\{2,\dots,M-1\}$ в силу (R3) выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}_o(\operatorname{Bs}\Lambda_j\subset F)=j-1,
\end{equation*}
\notag
$$
так что строим последовательность неприводимых подмногообразий где последнее подмногообразие (это неприводимая кривая) $Y_{M-2}$ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_oY_{M-2}>\biggl(\frac{4}{M}\,\frac54 \dotsb\frac{M}{M-1}\biggr)\operatorname{deg}Y_{M-2},
\end{equation*}
\notag
$$
которое дает нужное противоречие, исключающее случай (4). Это завершает доказательство бирациональной жесткости гиперповерхности $F$. 2.3. Локальные неравенстваРассмотрим снова самопересечение $Z=(D_1\circ D_2)$ линейной системы $\Sigma$, где $D_1,D_2\in\Sigma$ – общая пара дивизоров. В предположениях предложения 2.2 пусть $P\subset F$ – сечение $F$ общим $\operatorname{codim}(B\subset{\mathbb P}^M)$-мерным линейным подпространством в ${\mathbb P}^M$, содержащим точку $o\in B$. Поскольку $\operatorname{codim}(B\subset{\mathbb P}^M)\geqslant 5$, имеем $\dim P\geqslant 4$, и можно считать, что $o\in P$ есть изолированный центр неканонической особенности пары $(P,\frac{1}{n}D_P)$, где $D_P\in\Sigma_P$ – общий дивизор и $\Sigma_P=\Sigma|_P$. Хорошо известно (см., например, [2; гл. 2, теорема 4.1] или [3]), что в такой ситуации справедливо $8n^2$-неравенство: для некоторого линейного подпространства $\Theta(P)\subset E_P$ коразмерности 2, где $E_P\subset P^+$ есть исключительный дивизор раздутия $P^+\to P$ точки $o$ на $P$, имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_o Z_P+\operatorname{mult}_{\Theta(P)} Z^+_P>8n^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $Z_P$ – самопересечение линейной системы $\Sigma_P$ и $Z^+_P$ – его собственный прообраз на $P^+$. Более того, если $\operatorname{mult}_o Z_P\leqslant 8n^2$, то подпространство $\Theta(P)$ однозначно определено парой $(P,\frac{1}{n}D_P)$ (т.е. системой $\Sigma_P$). Возвращаясь к исходному многообразию $F$, мы видим, что $8n^2$-неравенство справедливо уже на $F$: для некоторого линейного подпространства $\Theta\subset E_F$ коразмерности $2$, где $E_F\subset F^+$ – исключительный дивизор раздутия $F^+\to F$ точки $o$ на $F$, имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_o Z+\operatorname{mult}_{\Theta} Z^+>8n^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $Z^+$ – собственный прообраз $Z$ на $F^+$ и, конечно, $\Theta\cap P^+=\Theta(P)$. Если $R\subset F$ – общее гиперплоское сечение, содержащее точку $o$, такое, что $R^+\supset \Theta$, то легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_o Z_R>8n^2=\frac{8}{M} \operatorname{deg} Z_R,
\end{equation*}
\notag
$$
где $Z_R=(Z\circ R)=Z|_R$ – самопересечение подвижной линейной системы $\Sigma|_R$. В силу линейности последнего неравенства имеется неприводимая компонента $Y$ эффективного цикла $Z_R$, удовлетворяющая неравенству (5), что и доказывает предложение 2.2. Предложение 2.3 есть непосредственное следствие обобщенного $4n^2$-неравенства [4] (см. также [8; гл. I, § 2]). Обратимся к доказательству предложения 2.4. В [5] доказан следующий общий факт. Предложение 2.5. Пусть $X$ – многообразие с квадратичными особенностями ранга не меньше $4$, причем $\operatorname{codim}(\operatorname{Sing}X\subset X)\geqslant 4$. Предположим, что некоторый дивизор $E$ над $X$ есть не каноническая особенность пары $(X,\frac{1}{n}\Sigma)$ с центром $B\subset\operatorname{Sing}X$, где $\Sigma$ – подвижная линейная система. Тогда для самопересечения $Z$ системы $\Sigma$ справедливо неравенство (Это [5; § 2, предложение 2.4].) Этот факт был доказан для квадратичных особенностей ранга $\geqslant 5$ в [1; § 3], однако в доказательстве имелась неточность, исправленная в [5; § 2]: применяя технику подсчета кратностей, необходимо использовать не числа путей $p_{ij}$ в графе $\Gamma$ максимальной особенности, а коэффициенты $r_{ij}$, учитывающие особенности исключительных дивизоров. Соотношение между этими группами целочисленных коэффициентов подробно описано в [5; § 2]. Если ранг квадратичной особенности $o\in F$ не меньше $4$, то применяем предложение 2.5 и получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mult}_oZ>4n^2=\frac{4}{M}\operatorname{deg} Z,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда немедленно вытекает предложение 2.4. Поэтому осталось рассмотреть единственный случай, когда $B=\{o\}$ есть квадратичная особенность ранга $3$. Пусть – разрешение максимальной особенности $E$, т.е. последовательность раздутий неприводимых подмногообразий $B_{j-1}\subset F_{j-1}$, где $j=1, \dots, N$, $F_0=F$, $B_0\,{=}\,\{o\}$ и для $j=2, \dots, N$ подмногообразие $B_{j-1}$ коразмерности $\geqslant 2$ есть центр $E$ на $F_{j-1}$, а исключительный дивизор $E_N\subset F_N$ последнего раздутия есть центр $E$ на $F_N$. Полагаем $E_j=\varphi^{-1}_{j,j-1} (B_{j-1})$ для $j=1, \dots, N$. Для того, чтобы данное в [1; § 3] доказательство $4n^2$-неравенства (в данном случае оно имеет вид $\operatorname{mult}_oZ>4n^2$) проходило для максимальной особенности, центр которой есть точка $o$ ранга $3$, необходимо, чтобы были выполнены следующие требования: – многообразие $F_{j-1}$ факториально в общей точке подмногообразия $B_{j-1}$, $j=1, \dots, N$, – если $\operatorname{codim} (B_{j-1}\subset F_{j-1})\geqslant 3$, то дискрепантность $a(E_j,F_{j-1})\geqslant 2$, где $j\in\{1, \dots, N\}$. При $j=1$ эти условия выполнены в силу наших предположений о гиперповерхности $F$ (очевидно, $a(E_1,F)=M-3\geqslant 2$). Далее, как было показано в п. 1.3, многообразие $F_1$ имеет в некоторой окрестности исключительного дивизора $E_1$, самое большее, квадратичные особенности ранга $\geqslant 4$ и $\operatorname{codim} (\operatorname{Sing} F_1\subset F_1)\geqslant 4$. Поэтому приведенные выше два условия выполнены и для $j\in\{2, \dots, N\}$. Этим доказательство предложения 2.4 завершено. § 3. Коразмерность дополненияВ этом параграфе доказана теорема 0.3. Мы рассматриваем нарушение каждого из условий, определяющих подмножество $\mathcal F\subset \mathcal P$, и оцениваем коразмерность, связанную с таким нарушением. 3.1. Дополнение $\mathcal P\setminus \mathcal F$Множество $\mathcal P\setminus \mathcal F$ состоит из таких многочленов $f$, что гиперповерхность $F(f)$ не удовлетворяет какому-либо из условий общности положения, перечисленных в п. 0.1. Для доказательства теоремы 0.3 необходимо проверить, что нарушение каждого из этих условий накладывает на $f$ не менее $\gamma(M)$ независимых условий. Прежде всего [5; теорема 3.1] дает нам, что множество многочленов $f\in\mathcal P$ таких, что $\operatorname{Sing} F(f)$ имеет положительную размерность, имеет в $\mathcal P$ коразмерность не меньше чем $M(M-2)>\gamma(M)$. Поэтому мы можем предполагать, что множество $\operatorname{Sing} F(f)$ конечно для всех рассматриваемых многочленов $f$. (Мы не включили требование нульмерности множества $\operatorname{Sing} F(f)$ в список условий общности положения в п. 0.1 для того, чтобы сформулировать теоремы 0.1 и 0.2 в максимальной общности.) Далее, легко проверить, что $\binom{M-1}{2}+1$ есть в точности коразмерность множества многочленов $f\in\mathcal P$ таких, что для некоторой точки $o\in F(f)$ эта точка является либо квадратичной особенностью ранга $\leqslant 2$ гиперповерхности $F(f)$, либо особой точкой кратности $\geqslant 3$. Поэтому мы можем рассматривать только многочлены $f\in\mathcal P$ такие, что множество $\operatorname{Sing} F(f)$ конечно и состоит из квадратичных особенностей ранга $\geqslant 3$. Обозначим множество таких многочленов символом $\mathcal P^*$. Как мы видели выше, $\operatorname{codim}((\mathcal P\setminus \mathcal P^*)\subset \mathcal P)\geqslant \gamma(M)$. Для точки $o\in{\mathbb P}^M$ пусть $\mathcal P^*(o)\subset \mathcal P^*$ – подмножество (коразмерности 1), состоящее из таких $f\in \mathcal P^*$, что $f(o)=0$. Через $\mathcal B_G$, $\mathcal B_1$, $\mathcal B_2$, $\mathcal B_3$ обозначим подмножества в $\mathcal P^*(o)$, состоящие из таких $f\in \mathcal P^*(o)$, что соответственно: – точка $o$ есть квадратичная особенность ранга $3$ и условие (G) не выполнено, – точка $o$ неособа на $F(f)$ и условие (R1) не выполнено, – точка $o\in F(f)$ есть квадратичная особенность ранга $\geqslant 7$ (где $M\geqslant 7$) и условие (R2) не выполнено, – точка $o\in F(f)$ есть квадратичная особенность ранга $\in \{3,4,5,6\}$ и условие (R3) не выполнено. Для доказательства теоремы 0.3 достаточно проверить (учитывая, что точка $o$ варьируется в ${\mathbb P}^M$), что коразмерность каждого из этих четырех подмножеств в $\mathcal P^*(o)$ не меньше чем $\gamma(M)+M-1$. (Легко убедиться в том, что множество четырехмерных квинтик, либо содержащих двумерную плоскость, либо имеющих сечение трехмерным подпространством в ${\mathbb P}^5$, содержащее целую прямую особых точек, имеет коразмерность большую чем $\gamma(5)=6$.) 3.2. Квадратичные точки ранга 3Оценим коразмерность множества $\mathcal B_G$ в $\mathcal P^*(o)$. При любом $M\geqslant 5$ условие, что точка $o$ есть особенность гиперповерхности $F(f)$, означает в обозначениях п. 0.1, что $q_1\equiv 0$ ($M$ независимых условий), и условие, что ранг квадратичной формы $q_2$ есть $3$, дает $\binom{M-2}{2}$ дополнительных независимых условий. Применим снова оценку [5; теорема 3.1], на этот раз – к кубической гиперповерхности $\{q_3(0,0,0,z_4,\dots,z_M)=0\}$ в ${\mathbb P}^{M-4}$ при $M\geqslant 8$: получим $3(M-6)$ дополнительных независимых условий, если особое множество этой гиперповерхности имеет положительную размерность. Наконец, если это особое множество нульмерно, то нарушение последней части условия (G) дает дополнительную коразмерность 1. Таким образом, в случае множества $\mathcal B_G$ при $M\geqslant 8$ достаточно проверить неравенство что совсем просто. При $M\in\{5,6,7\}$ неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim}(\mathcal B_G\subset \mathcal P^*(o))\geqslant \gamma(M)+M-1
\end{equation*}
\notag
$$
проверить несложно. 3.3. Условие регулярности в неособой точкеПредполагаем, что $M\,{\geqslant}\, 6$. Множество $\mathcal B_1$ состоит из таких многочленов $f$, что последовательность (1) не является регулярной. Применяем хорошо известный метод оценки коразмерности этого множества (см. [6] или [2; гл. 3] или [18]): для каждого $a\in\{6,\dots,M\}$ рассматриваем подмножество $\mathcal B_{1,a}$, состоящее из таких многочленов $f$, что регулярность последовательности (1) впервые нарушается многочленом $q_a|_{T_oF}$, т.е. множество общих нулей системы многочленов $q_i$, где $i\in\{6,\dots,a-1\}$, имеет правильную коразмерность, а $q_a$ обращается в нуль на одной из компонент этого множества. Ввиду однородности многочленов $q_i$ естественно рассматривать проективизацию ${\mathbb P}(T_oF)\cong {\mathbb P}^{M-2}$. Теперь имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal B_1=\mathcal B_{1,6}\sqcup\dots\sqcup \mathcal B_{1,M}
\end{equation*}
\notag
$$
и “метод проекций” (см. любую из указанных выше работ) оценивает коразмерность подмножеств $\mathcal B_{1,a}$ снизу числами соответственно
$$
\begin{equation*}
\binom{M+4}{6},\dots,\binom{M+4}{a},\dots,\binom{M+4}{M}=\binom{M+4}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что минимум этого набора целых чисел есть $\binom{M+4}{4}$. Таким образом, коразмерность $\mathcal B_1$ не меньше этого числа, что гораздо выше, чем нам нужно. 3.4. Квадратичные точки высокого рангаЗдесь $\operatorname{rk} q_2\geqslant 7$ по предположению, так что $q_2\not\equiv 0$, однако $q_1\equiv 0$, что дает $M$ независимых условий. Оцениваем коразмерность множества $\mathcal B_2$, состоящего из таких многочленов $f$, что последовательность (2) не является регулярной, таким же образом, как и в п. 3.3: $\mathcal B_2=\mathcal B_{2,7}\sqcup\cdots\sqcup\mathcal B_{2,M}$ и коразмерность подмножества $\mathcal B_{2,a}$ не меньше чем $\binom{M+5}{a}$, где $a\in\{7,\dots,M\}$. Минимум этих чисел есть $\binom{M+5}{5}$: это дает оценку снизу для коразмерности множества $\mathcal B_2$, которая гораздо выше, чем нам нужно:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim} (\mathcal B_2\subset \mathcal P^*(o))\geqslant \binom{M+5}{5}+M.
\end{equation*}
\notag
$$
3.5. Квадратичные точки малого рангаЗдесь $\operatorname{rk} q_2\leqslant 6$, что дает коразмерность $\binom{M-5}{2}$ (при $M\in\{5,6\}$ считаем это выражение равным нулю), кроме того, $q_1\equiv 0$, что дает дополнительную коразмерность $M$. Вместе с тем, $\operatorname{rk} q_2\geqslant 3$, так что $q_2\not\equiv 0$ и последовательность (3) регулярна в первом члене. Как и в пп. 3.3 и 3.4, представим множество $\mathcal B_{3}$ в виде объединения дизъюнктных подмножеств
$$
\begin{equation*}
\mathcal B_{3}=\mathcal B_{3,3}\sqcup \mathcal B_{3,4}\sqcup\dots \sqcup\mathcal B_{3,M},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal B_{3,a}$ состоит из таких многочленов $f$, что регулярность последовательности (3) нарушается впервые в $q_a$. Используя все тот же “метод проекций”, получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim} \mathcal B_{3,a}\geqslant \binom{M-5}{2} + \binom{M+1}{a} + M,
\end{equation*}
\notag
$$
$a\in\{3,4,\dots,M\}$. Для $a\leqslant M-1$ оценка достаточно сильная для наших целей. Однако для $a=M$ это не так, и коразмерность множества $\mathcal B_{3,M}$ необходимо оценить отдельно. Рассматриваем $q_i$, $2\leqslant i\leqslant M$, как однородные многочлены на ${\mathbb P}^{M-1}$. По определению множества $\mathcal B_{3,M}$, если $f\in \mathcal B_{3,M}$, то множество общих нулей многочленов $q_i$, $2\leqslant i\leqslant M-1$, в ${\mathbb P}^{M-1}$ одномерно и для некоторой неприводимой кривой $C\subset{\mathbb P}^{M-1}$, которая является компонентой этого множества, имеем $q_M|_C\equiv 0$. Полагая $\dim\langle C\rangle=b\in\{1,\dots,M-1\}$, получаем представление
$$
\begin{equation*}
\mathcal B_{3,M}=\mathcal B_{3,M,1}\cup\mathcal B_{3,M,2}\cup \dots \cup\mathcal B_{3,M,M-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal B_{3,M,b}$ состоит из таких $f\in\mathcal B_{3,M}$, что $\dim\langle C\rangle=b$. (Это объединение не является, вообще говоря, дизъюнктным.) Достаточно оценить снизу коразмерность каждого множества $\mathcal B_{3,M,b}$. Элементарные вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim} \mathcal B_{3,M,1}\geqslant \binom{M-5}{2}+\binom{M}{2}+M+2.
\end{equation*}
\notag
$$
Это гораздо лучше, чем требуется. Если $b=2$, т.е. $C\subset\langle C\rangle\cong{\mathbb P}^2$ – плоская кривая степени $d_C\geqslant 2$, то элементарные вычисления показывают, что условие $q_i|_C\equiv 0$ для всех $i\in\{2,\dots,M\}$ накладывает на набор $\{q_i\}$, т.е. на многочлен $f$, условий при $d_C=2$ (и произвольной плоскости $\langle C\rangle$) и
$$
\begin{equation*}
\sum^{d_C-1}_{i=2}\binom{i+2}{2}+ \sum^M_{i=d_C+1}\biggl( \binom{i+2}{2}-\binom{i+2-d_C}{2}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
независимых условий при $d_C\in\{3,\dots,M-1\}$ при фиксированной плоскости $\langle C\rangle\subset{\mathbb P}^{M-1}$, что с учетом вариации этой плоскости дает более сильную оценку на коразмерность, чем при $d_C=2$, так что в итоге получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{codim} \mathcal B_{3,M,2}\geqslant \binom{M-5}{2}+M^2+1,
\end{equation*}
\notag
$$
что снова гораздо лучше, чем нужно. Предположим, что $b\geqslant 3$. Зафиксируем подпространство $P\subset{\mathbb P}^{M-1}$ размерности $b$ и рассмотрим подмножество $\mathcal B_{3,M,b}(P)$, которое задается условием $\langle C\rangle=P$. Здесь нам понадобится техника хороших последовательностей и ассоциированных подмногообразий, введенная в [7] (см. также [2; гл. 3, § 3] или [5; определение 3.1]). Напомним вкратце этот подход. Хотя кривая $C$ является неприводимой компонентой множества общих нулей многочленов $q_i$, $i\in\{2,\dots,M-1\}$, при $b\leqslant M-2$, вообще говоря, неверно, что из этих многочленов можно выбрать $b-1$ многочленов таких, что $C$ является компонентой их ограничений на $P$. Однако верно, что можно выбрать $b-1$ многочленов $q_{i_1},\dots,q_{i_{b-1}}$, где $i_{\alpha}\in\{2,\dots,M-1\}$, таких, что существует последовательность неприводимых подмногообразий $\Delta_0=P$, $\Delta_1,\dots,\Delta_{b-1}$ подпространства $P$ таких, что $\operatorname{codim}(\Delta_{\alpha}\subset P)=\alpha$, $\Delta_{\alpha+1}\subset\Delta_{\alpha}$, $q_{i_{\alpha+1}}|_{\Delta_{\alpha}}\not\equiv 0$ при $\alpha=0,\dots,b-2$ и $\Delta_{\alpha+1}$ есть неприводимая компонента замкнутого множества $\{q_{i_{\alpha+1}}|_{\Delta_{\alpha}}=0\}$, причем $\Delta_{b-1}=C$. Для фиксированного набора $q_{i_1},\dots,q_{i_{b-1}}$ рассмотрим множество всех описанных выше последовательностей $\Delta_0,\dots,\Delta_{b-1}$ со свободным концом (т.е. уберем последнее условие $\Delta_{b-1}=C$). Очевидно, это множество конечно, так что и множество кривых, которые являются последним подмногообразием $\Delta_{b-1}$ в одной из таких последовательностей, конечно (и $C$ – одна из этих кривых). Поэтому, фиксируя многочлены $q_{i_1},\dots,q_{i_{b-1}}$, можно и кривую $C$ считать фиксированной. Для условие $q_j|_C\equiv 0$ накладывает на $q_j$ не меньше, чем $jb+1$ независимых условий (поскольку $\langle C\rangle=P$, никакой многочлен степени $j$, который является произведением $j$ линейных форм на $P$, не может тождественно обращаться в нуль на $C$, см. подробности в указанных выше работах). Наихудшая оценка для коразмерности получается, когда $\{i_1,\dots,i_{b-1}\}=\{M-b+1,\dots,M-1\}$. Таким образом, при $b=M-1$ имеем $M(M-1)+1$ независимых условий (поскольку $q_M|_C\equiv 0$), а при $3\leqslant b\leqslant M-2$ имеем
$$
\begin{equation*}
b(M+2+\dots+M-b)+(M-b)=b\biggl(M+\frac12(M-b+2)(M-b-1)\biggr)+(M-b)
\end{equation*}
\notag
$$
независимых условий. С учетом вариации подпространства $P$ в ${\mathbb P}^{M-1}$ получаем оценку снизу для коразмерности в виде числа $h(b)$, где $b\in\{3,\dots,M-1\}$ и Рассматривая производную легко проверить, что при $M\in\{5,6\}$ многочлен $h(t)$ возрастает на интервале $[3,M-1]$, так что наихудшая оценка коразмерности дается числом $h(3)$. Нетрудно убедиться, что эта оценка достаточно сильная для доказательства теоремы 0.3 при $M=5,6$. Если $M\geqslant 7$, то поведение функции $h(t)$ на интервале $[3,M-1]$ более сложное: оба корня $t_*<t^*$ производной $h'(t)$ лежат на этом интервале, так что $h(t)$ возрастает на интервале $[3,t_*]$, убывает на интервале $[t_*,t^*]$ и затем возрастает на $[t^*,\infty)$. Нетрудно проверить, что $M-2\leqslant t^*\leqslant M-1$, так что наихудшая оценка снизу для коразмерности есть минимум следующих трех чисел: и $h(M-1)=M(M-1)+1$. При $M=7$ минимум есть $h(M-2)$, при $M\geqslant 8$ минимум есть $h(3)$. Нетрудно убедиться, что эта оценка достаточно сильная. Например, при $M\geqslant 8$ итоговая коразмерность не меньше чем что существенно выше, чем требуется. Теорема 0.3 полностью доказана. Отметим, что при $M\geqslant 8$ оценка коразмерности дополнения $\mathcal P\setminus \mathcal F$ в теореме 0.3 связана только с нарушением условия на ранг квадратичной особенности – нарушение условия (G) или условий регулярности (R1–R3) дает более высокую коразмерность.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Puk24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|