| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О критерии Молчанова компактности резольвенты для несамосопряженного оператора Штурма–Лиувилля С. Н. Тумановab a Московский центр фундаментальной и прикладной математики b Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10066e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеОдним из существенных результатов теории качественного спектрального анализа обыкновенных дифференциальных операторов является теорема Молчанова – критерий полной непрерывности резольвенты [1] сингулярного оператора Штурма–Лиувилля Изначально сформулированный для операторов с вещественным потенциалом $q(x)\geqslant\mathrm{const}$, $x\in\mathbb{R}$, критерий получил обобщения [2]–[8], направленные в основном на ослабление условия ограниченности $q$ снизу либо на векторный случай, когда в роли $q$ выступает эрмитова матрица, $q\geqslant0$. Мы не затрагиваем дифференциальных операторов в частных производных. Обобщения, касающиеся комплекснозначного $q$, немногочисленны, и здесь ключевой является работа Лидского [3], где критерий Молчанова был обобщен для потенциалов, принимающих значения в одном из секторов комплексной плоскости: $0\leqslant\arg q(x)\leqslant\pi/2$ либо $-\pi/2\leqslant\arg q(x)\leqslant0$. Всюду далее
$$
\begin{equation}
q\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+) \ -\ \text{комплекснозначная функция}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Мы рассматриваем случай операторов на полуоси (в пространстве $L_2(\mathbb{R}_+)$) в то время как результаты приведенных выше работ связаны с операторами в пространстве $L_2(\mathbb{R})$ на всей оси. Для наших результатов эта разница несущественна, приведенные ниже теоремы легко переносятся на случай $L_2(\mathbb{R})$ с одной лишь поправкой: в условии Молчанова, сформулированном ниже, базу предела $x\to+\infty$ следует заменить на $x\to\infty$. Будем говорить, что $q$ удовлетворяет условию Молчанова, если для любого $a>0$ Уже для вещественного $q$ при отказе от ограниченности снизу условие Молчанова перестает быть критерием полной непрерывности резольвенты, например, для $q(x)=-x^2$; см. [9]. Тем не менее оно остается необходимым, даже если не накладывать на $q$ никаких ограничений сверх (1.1). Этот результат мы докажем в более общем случае обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка $n\geqslant 2$. Дополняя его теоремами о достаточности и контрпримером, мы построим картину возможных обобщений теоремы Молчанова на комплекснозначный случай в терминах непосредственно условия Молчанова. Рассмотрим дифференциальное выражение и линеалы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathscr{D}=\bigl\{y\in L_2(\mathbb{R}_+)\mid y,y'\in \mathrm{AC}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+),\ l(y)\in L_2(\mathbb{R}_+)\bigr\}, \\ \mathscr{D}_0=\bigl\{y\in\mathscr{D}\mid y(0)=y'(0)=0,\ \exists\, x_0>0\ \forall\, x\geqslant x_0\ y(x)=0\bigr\}, \\ \mathscr{D}_U=\bigl\{y\in\mathscr{D}\mid U(y)=0\bigr\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $U$ – некоторая форма краевого условия в $x=0$:
$$
\begin{equation*}
U(y)=A y(0)+B y'(0), \qquad A,B\in\mathbb{C}, \quad |A|+|B|>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим дифференциальные операторы $L_0\subset L_U$ в $L_2(\mathbb{R}_+)$ на соответствующих областях определения $D_0\,{\subset}\, D_U$ дифференциальным выражением (1.2), следуя [10]. Теорема 1. Для того чтобы у оператора $L_0$ существовало расширение с компактной резольвентой, необходимо, чтобы $q$ удовлетворяло условию Молчанова. Этот результат является следствием общей теоремы 5, которую мы сформулируем и докажем в § 3. Определение 1. Скажем, что для потенциала $q$ выполнено $\mathbb{R}^-$-условие, если при всех достаточно больших $x>x_0\geqslant0$ значения $q(x)$ лежат в секторе $\alpha\leqslant\arg (q(x)-q_0)\leqslant\beta$ для некоторых $-\pi<\alpha\leqslant\beta<\pi$ и $q_0\in\mathbb{C}$. Другими словами, $\mathbb{R}^-$-условие означает, что найдется малый сектор, содержащий $\mathbb{R}^-$, в котором $q-q_0$ асимптотически не принимает значений для некоторого $q_0\in\mathbb{C}$. Определение 2. Потенциал $q$ назовем секториальным, если для него выполнено $\mathbb{R}^-$-условие с $\beta-\alpha<\pi$. Теорема 2. Пусть потенциал $q\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+)$ секториальный. Тогда оператор $L_U$ имеет компактную резольвенту тогда и только тогда, когда $q$ удовлетворяет условию Молчанова. Как показывает следующая теорема, условие $\beta-\alpha<\pi$ не может быть ослаблено. Теорема 3. Существует потенциал $q$, принимающий чисто мнимые значения $q(x)\in i\mathbb{R}$ при $x\in\mathbb{R}_+$, такой, что $|q|\to+\infty$ при $x\to+\infty$, но оператор $L_0$ не имеет расширений с компактной резольвентой. Для этого потенциала $\beta-\alpha=\pi$, и, очевидно, он удовлетворяет условию Молчанова. Оператор $L_U$ с краевым условием Дирихле $U(y)=y(0)$ имеет ограниченную резольвенту по меньшей мере в левой полуплоскости (см. [3; лемма 2], [11]), но она не является вполне непрерывным оператором. Следующая теорема дает достаточное условие компактности резольвент операторов с потенциалами, удовлетворяющими $\mathbb{R}^-$-условию с $\beta\,{-}\,\alpha\,{>}\,\pi$. При этом теряется свойство секториальности самих рассматриваемых операторов, в частности, числовой образ $L_U$ может заметать всю комплексную плоскость [12]. Теорема 4. Пусть для некоторого $x_0\,{>}\,0$ при всех $x\,{\geqslant}\, x_0\,{>}\,0$ $|q(x)|\,{\geqslant}\,1$ и дополнительно: При этих условиях для компактности резольвенты $L_U$ достаточно, чтобы для любого $a>0$ выполнялось Дальнейшее изложение работы: мы посвятим § 2 доказательствам теорем 2–4, а в § 3 вернемся к теореме 1, которую сформулируем и докажем для общих дифференциальных операторов порядков $n\geqslant 2$. § 2. Доказательство теорем 2–4Так как ни условие Молчанова, ни факт полной непрерывности резольвенты не зависят ни от сдвигов потенциала на постоянную, ни от значений потенциала на конечном промежутке $[0,x_0]$, то, не ограничивая общности, считаем, что $q_0=0$, $x_0=0$. Доказательство критерия Молчанова [1] основано на критерии Реллиха компактности резольвенты самосопряженного положительно определенного оператора [13; гл. II, § 24, теорема 11], который мы обобщим на случай $\mathrm m$-секториальных операторов. Соответствующие определения см. в [14; гл. V, § 3, п. 10]. Лемма 1. Пусть A – $\mathrm m$-секториальный оператор в гильбертовом пространстве $\mathfrak{H}$ с областью определения $\mathscr{D}_A\subset\mathfrak{H}$. Оператор $A$ имеет компактную резольвенту тогда и только тогда, когда множество всех векторов $\varphi\in\mathscr{D}_A$, удовлетворяющих условию компактно. Доказательство. С оператором $A$ свяжем плотно определенную замкнутую секториальную полуторалинейную форму $\mathfrak{a}$ [14; гл. VI, § 2, теорема 2.7], порождающим ядром которой будет $\mathscr{D}_A$.
Напомним, что лениал $\mathscr{D}_A$ называется порождающим ядром замкнутой формы $\mathfrak{a}$, если замыкание сужения формы $\mathfrak{a}$ на $\mathscr{D}_A$ совпадает с самой формой $\mathfrak{a}$. По $\mathfrak{a}$ построим симметрическую форму $\mathfrak{t}=\operatorname{Re}\mathfrak{a}$: для $u,v\in\mathscr{D}_\mathfrak{a}$ (из области определения $\mathfrak{a}$) положим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{t}[u,v]=\frac{1}{2}(\mathfrak{a}[u,v]+\overline{\mathfrak{a}[v,u]}).
\end{equation*}
\notag
$$
Форма $\mathfrak{t}$ замкнута на области $\mathscr{D}_\mathfrak{t}=\mathscr{D}_\mathfrak{a}$, плотно определена, неотрицательна; по второй теореме о представлении [14; гл. VI, § 2, теорема 2.23] с ней ассоциирован самосопряженный оператор $T\geqslant0$, $\mathscr{D}_\mathfrak{t}=\mathscr{D}(T^{1/2})\supset\mathscr{D}_T$, где область $\mathscr{D}_T$ определения $T$ является порождающим ядром $\mathfrak{t}$, и
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{t}[u,v]=(T^{1/2}u,T^{1/2}v), \qquad u,v\in\mathscr{D}_\mathfrak{t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Область $\mathscr{D}_A$ также является ядром $\mathfrak{t}$. Ввиду того, что область $\mathscr{D}_A$ – ядро $\mathfrak{a}$, для любого $u\in\mathscr{D}_\mathfrak{t}=\mathscr{D}_\mathfrak{a}$ найдем последовательность $u_n\in\mathscr{D}_A$ такую, что $u_n\to u$ и $\mathfrak{a}[u_n,u_n]\to\mathfrak{a}[u,u]$ при $n\to\infty$. Очевидно, $\mathfrak{t}[u_n,u_n]=\operatorname{Re}\mathfrak{a}[u_n,u_n]$ сходится, а ввиду замкнутости формы $\mathfrak{t}$ предел $\lim\mathfrak{t}[u_n,u_n]$ равен $\mathfrak{t}[u,u]$.
Резольвенты обоих операторов $A$ и $T$ компактны или не компактны одновременно [14; гл. VI, § 3, теорема 3.3]. Последующие рассуждения используют критерий Реллиха для $T$. Докажем необходимость. Пусть $\Phi=\bigl\{\varphi\in\mathscr{D}_A \mid\operatorname{Re}(A\varphi,\varphi)\leqslant1\bigr\}$. Так как $\mathscr{D}_T$ – ядро $\mathfrak{t}$, для любого $\varepsilon>0$ и любого $\varphi\in\Phi$ существуют $u\in\mathscr{D}_T$ такие, что $|\mathfrak{t}[u,u]-\mathfrak{t}[\varphi,\varphi]|<\varepsilon$ и $|u-\varphi|<\varepsilon$. Из компактности резольвенты $A$ следует компактность резольвенты $T$, а так как $(Tu,u)=\mathfrak{t}[u,u]\leqslant1+\varepsilon$, делаем вывод о компактности всей совокупности $\{u\}$, а ввиду произвольности $\varepsilon$ – вывод о компактности $\Phi$. Докажем достаточность. Пусть $U=\bigl\{u\in\mathscr{D}_T\mid (Tu,u)\leqslant1\bigr\}$. Так как $\mathscr{D}_A$ – ядро $\mathfrak{t}$, для любого $\varepsilon>0$ и любого $u\in U$ существуют такие $\varphi\in\mathscr{D}_A$, что $|\mathfrak{t}[u,u]-\mathfrak{t}[\varphi,\varphi]|<\varepsilon$ и $|u-\varphi|<\varepsilon$. Так как $\operatorname{Re}(A\varphi,\varphi)=\mathfrak{t}[\varphi,\varphi]\leqslant1+\varepsilon$, делаем вывод о компактности всей системы $\{\varphi\}$, а ввиду произвольности $\varepsilon>0$ – о компактности $U$, следовательно, $T$ имеет компактную резольвенту, а значит, и $A$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 2. Необходимость следует из теоремы 1, остановимся только на достаточности.
Не ограничивая общности, считаем, что $-\pi<\alpha\leqslant0\leqslant\beta<\pi$ (в противном случае расширим границы сектора изменения потенциала, оставаясь в условиях теоремы). Покажем, что у $L_U$ существует резольвента в некоторой области. В условиях теоремы для однородного уравнения $l(y)=\lambda y$ реализуется случай предельной точки [11; следствие теоремы 4], и в некотором секторе $\Lambda\subset\mathbb{C}$ операторы $L_{D}$ и $L_N$ с краевыми условиями Дирихле $U(y)=y(0)$ и Неймана $U(y)=y'(0)$ имеют ограниченные резольвенты $R_{D,\lambda}$ и $R_{N,\lambda}$ соответственно [15; теорема 4.1]. Из явного выражения соответствующих резольвент через функции Грина следует, что у $L_U-\lambda$ при $\lambda\in\Lambda$ существует по меньшей мере правый обратный оператор
$$
\begin{equation*}
R_\lambda=w_D(\lambda)R_{D,\lambda}+w_N(\lambda)R_{N,\lambda}, \qquad w_D(\lambda)+w_N(\lambda)=1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $w_D$, $w_N$ – мероморфные в $\Lambda$ функции. То есть по меньшей мере в некоторой подобласти $\lambda\in\Lambda_0\subset\Lambda$, не содержащей полюсов $w_D$, $w_N$, оператор $L_U-\lambda$ сюръективен. Ввиду реализации случая предельной точки сопряженное дифференциальное выражение и сопряженное краевое условие задают сопряженный оператор $(L_U-\lambda)^*$, который аналогично оказывается сюръективным, а значит, $L_U-\lambda$ взаимно однозначно отображает $\mathscr{D}_U$ на все $L_2(\mathbb{R}_+)$ при $\lambda\in\Lambda_0$, и резольвента определена однозначно.
При каждом $\lambda\in\Lambda$ дефект оператора $L_0-\lambda$ равен 1 (образ $L_0-\lambda$ ортогонален единственному решению из $L_2(\mathbb{R}_+$) уравнения $y''=(\overline{q(x)}-\overline{\lambda})y$), резольвенты любых двух расширений $L_0$ в каждой фиксированной точке $\lambda\in\Lambda$, где они одновременно существуют, отличаются не более чем на одномерный оператор. Следовательно, они компактны или не компактны одновременно. И дальнейшее доказательство достаточно провести лишь для оператора $L_D$ с краевым условием Дирихле в нуле. Из существования резольвенты для $\lambda\in\Lambda$ следует замкнутость $L_D$. Обозначим область определения $L_D$ через $\mathscr{D}_D$, также рассмотрим линейное многообразие $\mathscr{D}_{D0}$, включающее элементы $\mathscr{D}_D$ с компактным носителем:
$$
\begin{equation}
\mathscr{D}_D=\bigl\{y\in\mathscr{D}\mid y(0)=0\bigr\}, \qquad \mathscr{D}_{D0}=\bigl\{y\in\mathscr{D}_D\mid \exists\, x_0>0\ \forall\, x\geqslant x_0\ y(x)=0\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Область $\mathscr{D}_{D0}$ является порождающим ядром $L_D$ в том смысле, что замыкание ограничения $L_D$ на $\mathscr{D}_{D0}$ совпадает с $L_D$ [3; лемма 6].
Положим $\theta=-(\alpha+\beta)/2$. Оператор $M=e^{i\theta}L_D$ $\mathrm m$-секториальный. Ввиду существования резольвенты он максимальный замкнутый, а также для любого $y\in\mathscr{D}_{D0}$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (My,y)=e^{i\theta}\int_0^{+\infty}|y'(x)|^2\,dx+\int_0^{+\infty}e^{i\theta}q(x)|y(x)|^2\,dx, \\ |{\arg(My,y)}|\leqslant\frac{\beta-\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее рассуждения в существенном повторяют рассуждения Молчанова [1], тем не менее приведем их здесь, они пригодятся при доказательстве теоремы 4. Допустим, условие Молчанова выполнено, но резольвента $M$ не компактна, возьмем некомпактную последовательность $Y=\{y_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathscr{D}_{D}$ такую, что $\operatorname{Re}(My_n,y_n)\leqslant1$, $n\in\mathbb{N}$, ввиду леммы 1. Так как $\mathscr{D}_{D0}$ – порождающее ядро $M$, то, не ограничивая общности, считаем, что все $y_n$ принадлежат $\mathscr{D}_{D0}$. Действительно, достаточно для любого $\varepsilon>0$ и любого $y_n\in Y$ найти $\widehat y_n\in\mathscr{D}_{D0}$, чтобы получить
$$
\begin{equation*}
\|y_n-\widehat y_n\|<\varepsilon, \qquad |{\operatorname{Re}(M\widehat y_n,\widehat y_n)-\operatorname{Re}(My_n,y_n)}|<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Система $\{\widehat y_n\}_{n=1}^{\infty}$ не может быть компактной при всех $\varepsilon>0$, найдется $\varepsilon_0>0$, при котором $\{\widehat y_n\}_{n=1}^{\infty}$ не будет компактной. При этом $\operatorname{Re}(M\widehat y_n,\widehat y_n)\leqslant1+ \varepsilon_0$. Подходящая нам система $\{\widehat y_n/\sqrt{1+\varepsilon_0}\}_{n=1}^{\infty}$ будет состоять из нормированных элементов.
Найдется $\varepsilon_0>0$ такое, что для любого $T>0$ существует $y_T\in Y$ такое, что
$$
\begin{equation}
\int_T^{+\infty} |y_T(x)|^2\,dx\geqslant\varepsilon_0.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Это следует из компактности срезок $Y_T=\{y_{n,T}\}_{n=1}^{\infty}$, где $y_{n,T}(x)=y_n(x)$ при $x\in[0,T]$, $y_{n,T}(x)=0$ при $x>T$ [3; лемма 8]. Если бы для всякого $\varepsilon>0$ нашлось $T_0=T_0(\varepsilon)$ и для всякого $n\in\mathbb{N}$ то и сама последовательность $Y$ оказалась бы компактной (см. заключительные рассуждения доказательства в [3; теорема 4]).
Возьмем $d=(\varepsilon_0^{1/2}\cos^{1/2}\theta)/4>0$, произвольное $T>0$, соответствующее $y_T$, разобьем луч $[T,+\infty)$ отрезками $D_n$, $n\in\mathbb{N}$, равной длины $d$ хотя бы на одном из них, который мы обозначим $D_T$; тогда имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}\biggl(e^{i\theta}\int_{D_T}|y_T'(x)|^2\,dx+\int_{D_T}e^{i\theta}q(x)|y_T(x)|^2\,dx\biggr) \leqslant\frac{1}{\varepsilon_0}\int_{D_T} |y_T(x)|^2\,dx,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Если бы неравенства, противоположные (2.3), были справедливы для всех $D_n$, $n\in\mathbb{N}$, на которых выполнено (2.4), то, суммируя их и применяя (2.2), мы получили бы противоречащую оценку $\operatorname{Re}(My_T,y_T)>1$.
Проведем нормировку $y_T$, полагая
$$
\begin{equation}
v_T=y_T \frac{d^{1/2}}{\bigl(\int_{D_T} |y_T(x)|^2\,dx\bigr)^{1/2}};
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
тогда, учитывая, что длина $|D_T|$ равна $d$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{Re}\biggl( e^{i\theta}\int_{D_T}|v_T'(x)|^2\,dx+\int_{D_T}e^{i\theta}q(x)|v_T(x)|^2\,dx\biggr)\leqslant\frac{d}{\varepsilon_0}, \\ \frac{1}{|D_T|}\int_{D_T}|v_T(x)|^2\,dx=1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В частности,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\biggl(e^{i\theta}\int_{D_T}|v_T'(x)|^2\,dx\biggr)\leqslant\frac{d}{\varepsilon_0}, \qquad\text{т.е. }\ \int_{D_T}|v_T'(x)|^2\,dx\leqslant\frac{d}{\varepsilon_0\cos\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любых двух $x_1,x_2\in D_T$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl||v_T(x_1)|-|v_T(x_2)|\bigr| &\leqslant\bigl|v_T(x_1)-v_T(x_2)\bigr| \\ &\leqslant\int_{D_T}|v_T'(x)|\,dx\leqslant d^{1/2}\biggl(\int_{D_T}|v_T'(x)|^2\,dx\biggr)^{1/2}\leqslant \frac{1}{4}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $|v_T|$ непрерывна на $D_T$, а интегральное среднее от $|v_T|^2$ равно $1$ (см. (2.6)), поэтому найдется такое $x_0\in D_T$, что $|v_T(x_0)|=1$. Из полученной оценки делаем вывод, что $|v_T(x)|\geqslant3/4$ для всех $x\in D_T$.
Снова обращаемся к (2.6), откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{D_T}\operatorname{Re}(e^{i\theta}q(x))|v_T(x)|^2\,dx \leqslant\frac{d}{\varepsilon_0},
\end{equation*}
\notag
$$
но $|\arg(e^{i\theta}q(x))|\leqslant(\beta-\alpha)/2$, так что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}(e^{i\theta}q(x))\geqslant|q|\cos\frac{\beta-\alpha}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
стало быть,
$$
\begin{equation*}
\int_{D_T}|q(x)|\,dx\leqslant\frac{d}{\varepsilon_0}\frac{4^2}{3^2}\sec\frac{\beta-\alpha}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
что ввиду произвольности $T>0$ противоречит условию Молчанова для $q$. Полученное противоречие завершает доказательство.
Теорема 2 доказана. Доказательство теоремы 3. Построим контрпример, который и будет служить доказательством.
Разобьем полуось на полусегменты длины $\pi$, полагая $I_k=[\pi(k-1);\pi k)$, $k\in\mathbb{N}$, на каждом полагая $q_k(x)=ikr_{n_k}(x-\pi(k-1))$, $x\in I_k$, где
$$
\begin{equation*}
r_n(t)=(-1)^{j+1}, \qquad t\in\biggl[\pi\frac{j-1}{n},\pi\frac{j}{n}\biggr), \quad j=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Процедура выбора $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ будет ясна позже.
Полагая $q|_{I_k}=q_k$, определим $q$ для всех $x\in\mathbb{R}_+$. Очевидно, $|q(x)|\to+\infty$, когда $x\to+\infty$. В качестве краевого условия возьмем условие Дирихле $U(y)=y(0)$. Для упрощения записи сам оператор обозначим через $L$. Для однородного уравнения $y''(x)=(q(x)-\lambda)y(x)$ реализуется случай предельной точки, и, как уже отмечалось, оператор $L$ имеет ограниченную резольвенту в левой полуплоскости (см. [3; лемма 2], [11]). Покажем, как за счет выбора $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ можно добиться того, что резольвента не будет компактным оператором. Мы покажем, что для каждого $k\in\mathbb{N}$ существует такое $n_k\in\mathbb{N}$ и такая $y_k\in\mathscr{D}_{U}$, равная нулю всюду вне $I_k$, что $\|y_k\|=1$ и $\|Ly_k\|<2^{13}$. Откуда и будет следовать некомпактность резольвенты оператора $L$ с соответствующим набором $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$. Эта задача локальна для каждого $I_k$, в связи с чем достаточно для любого $u>0$ найти такое $n\in\mathbb{N}$, что для оператора в $L_2[0,\pi]$, заданного на области
$$
\begin{equation*}
\mathscr{E}=\bigl\{y\in L_2[0,\pi]\mid y,y'\in \mathrm{AC}[0,\pi],\ y''\in L_2[0,\pi],\ y(0)=y(\pi)=0\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
существует $y\in\mathscr{E}$, $y(0)=y'(0)=y(\pi)=y'(\pi)=0$, $\|y\|=1$ и $\|L_n(u)y\|<2^{13}$. Здесь и далее фигурируют нормы пространства $L_2[0,\pi]$.
Вместе с операторами $L_n(u)$ введем в рассмотрение оператор $L_0$ с той же областью определения $\mathscr{E}$: через $\mu_j=j^2$, $j\in\mathbb{N}$ обозначим собственные значения $L_0$.Оператор $B_ny=r_ny$ ограничен в $L_2[0,\pi]$, $\|B_n\|=1$ и $B_n\xrightarrow{w}0$ при $n\,{\to}\,\infty$ в смысле слабой операторной сходимости, что легко проверяется на индикаторах $\chi_{[a,b]}$ отрезков $[a,b]\,{\subset}\, [0,\pi]$, линейные комбинации которых плотны в $L_2[0,\pi]$. Покажем, что при фиксированном $u>0$ и $n\to\infty$ собственные значения $L_n(u)$ поточечно сходятся к $\{\mu_j\}_{j=1}^{\infty}$: для любого $\mu_j$ существует последовательность собственных значений операторов $L_n(u)$: $\lambda_{j,n}\to \mu_j$ и для любого компакта $\mathcal{C}$, не содержащего точек $\{\mu_j\}_{j=1}^{\infty}$, найдется $n_0>0$ такое, что при всех $n>n_0$ компакт $\mathcal{C}$ не будет содержать собственных значений операторов $L_n(u)$. Пусть далее $u>0$ фиксировано. Возьмем целое $j_0>u-1/2$. Через $\Gamma_j$, $j\in\mathbb{N}$, обозначим замкнутый круг с центром $\mu_j$ радиуса $u$. Обозначим $\Gamma=\Gamma_1\cup\cdots\cup\Gamma_{j_0}$. Компакты $\Gamma$, $\Gamma_{j}$, $j>j_0$, попарно не пересекаются, $\Gamma$ содержит $j_0$ собственных значений оператора $L_0$, каждый из кругов $\Gamma_{j}$, $j>j_0$, – по одному собственному значению. При каждом $n\in\mathbb{N}$ собственные значения $L_n(u)=L_0+iuB_n$ лежат внутри объединения $\Gamma$ и $\Gamma_{j}$, $j>j_0$; $\Gamma$ содержит $j_0$ собственных значений оператора $L_n(u)$ (с учетом кратности), каждый из кругов $\Gamma_{j}$, $j>j_0$, – по одному собственному значению возмущенного оператора $L_n(u)$; см. [14; гл. V, § 4, п. 3]. Покажем, что при $n\to\infty$ предельные точки собственных значений $\lambda_{j,n}$ операторов $L_n(u)$ совпадают с $\mu_j$, $j\in\mathbb{N}$ (предельные точки рассматриваются в соответствующих компактах $\Gamma$ и $\Gamma_{j}$, $j>j_0$). Предположим противное: при $l\to\infty$ подпоследовательность $\lambda_{n_l}$ сходится к $\lambda_0$ для всех $j\in\mathbb{N}$ $\lambda_0\ne\mu_j$. Обозначим $f_{n_l}$ собственные функции $L_{n_l}(u)$, соответствующие собственным значениям $\lambda_{n_l}$, $\|f_{n_l}\|=1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(L_0-\lambda_{n_l})f_{n_l}=-iuB_{n_l}f_{n_l}, \qquad \|{-iuB_{n_l}f_{n_l}}\|=u.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $h_{n_l}=(L_0-\lambda_0)f_{n_l}$, нормы $\|h_{n_l}\|\leqslant u+|\lambda_{n_l}-\lambda_0|$ ограничены равномерно по $n_l$. Так как $\lambda_0\ne\mu_j$, операторы $(L_0-\lambda_0)^{-1}$ и $(L_0-\overline{\lambda_0})^{-1}$ определены во всем $L_2[0,\pi]$ и компактны, компактной будет и последовательность $f_{n_l}$, которую, не ограничивая общности, можно считать сходящейся, $f_{n_l}\to f$, $\|f\|=1$, следовательно, $B_{n_l}f_{n_l}\xrightarrow{w}0$. Положим $g=(L_0-\overline{\lambda_0})^{-1}f$, тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|f\|^2 &=\lim_{l\to\infty}(f_{n_l},(L_0-\overline{\lambda_0})g)=\lim_{l\to\infty}((L_0-\lambda_0)f_{n_l},g) \\ &=\lim_{l\to\infty}\bigl\{((L_0-\lambda_{n_l})f_{n_l},g)+iu(B_{n_l}f_{n_l},g)\bigr\} \notag \\ &=\lim_{l\to\infty}((L_{n_l}(u)-\lambda_{n_l})f_{n_l},g)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Мы воспользовались тем, что $(\lambda_{n_l}-\lambda_0)f_{n_l}\to0$ и $(B_{n_l}f_{n_l},g)\to0$.
Но $\|f\|=1$, мы пришли к противоречию, следовательно, $\lambda_n\to\mu_j$ для некоторого $j\in\mathbb{N}$. Для $j>j_0$ каждый круг $\Gamma_j$ при каждом $n\in\mathbb{N}$ содержит ровно одно собственное значение $\lambda_{j,n}$, стало быть, $\lambda_{j,n}\to\mu_j$ при $n\to\infty$. Но для $j=1,\dots,j_0$ потенциально возможны коллизии:
Исключив эти возможности, мы докажем, что для любого $\mu_j$ существует последовательность собственных значений $\lambda_{j,n}$, сходящаяся к $\mu_j$. Пусть для операторов $L_{n}(u)$ при $n\to\infty$ некоторая последовательность собственных значений $\lambda_n$ сходится к $\mu_j$. Как и ранее, $f_n$ – собственная функция $L_{n}(u)$, соответствующая $\lambda_n$, пусть $\|f_n\|=1$. Покажем, что можно выделить подпоследовательность $f_{n_l}$, сходящуюся к собственной функции $f_0$, $\|f_0\|=1$, оператора $L_0$, соответствующей $\mu_j$. Рассмотрим ортогональное разложение $L_2[0,\pi]=\mathfrak{M}\oplus\mathfrak{N}$, где $\mathfrak{M}$ – одномерное собственное пространство $L_0$, соответствующее $\mu_j$, а $\mathfrak{N}$ – ортогональное дополнение. Полагая $f_n=f_{0n}+f_n^\perp$, $f_{0n}\in\mathfrak{M}$, $f_n^\perp\in\mathfrak{N}$, запишем вновь выделяем сходящуюся подпоследовательность $f_{n_l}^\perp\to f_0^\perp\in\mathfrak{N}$. Пользуясь ограниченностью $f_{0n}$ и одномерностью, не ограничивая общности, можем считать, что $f_{0n_l}\to f_0\in\mathfrak{M}$. Повторяя рассуждения (2.7) для произвольного $g\in\mathfrak{N}$, придем к выводу, что $f_0^\perp=0$. Другими словами, мы нашли подпоследовательность $f_{n_l}=f_{0n_l}+f_{n_l}^\perp\to f_0\in\mathfrak{M}$.Далее вопрос с потенциальными коллизиями решается так.
Итак, мы доказали, что для любого $\mu_j$ существует последовательность собственных значений $\lambda_{j,n}\to \mu_j$. Из этого факта и локализации собственных значений в $\Gamma$ и $\Gamma_{j}$, $j>j_0$, в том числе следует, что для любого компакта $\mathcal{C}$, не содержащего точек $\{\mu_j\}_{j=1}^{\infty}$, найдется $n_0>0$ такое, что при всех $n>n_0$ компакт $\mathcal{C}$ не будет содержать собственных значений операторов $L_n(u)$, что завершает доказательство утверждения о поточечной сходимости. Положим $\mathscr{E}_0=\bigl\{y\in \mathscr{E}\mid y'(0)=y'(\pi)=0\bigr\}$. Покажем, что для любого $u>0$ можно подобрать $n_0>0$ и $y_{n_0}\,{\in}\, \mathscr{E}_0$, $\|y_{n_0}\|\,{=}\,1$, такие, что $\|L_{n_0}(u)y_{n_0}\|<2^{13}$, что завершит построение контрпримера. Обозначим $H_n=L_n(u)\mathscr{E}_0=L_2[0,\pi]\ominus \langle y_{n,1},y_{n,2}\rangle$, где $y_{n,1}$ и $y_{n,2}$ – ФСР однородного уравнения Здесь $\langle y_{n,1},y_{n,2}\rangle$ – двумерная плоскость, натянутая на $y_{n,1}$ и $y_{n,2}$.Через $R_n(u)$ обозначим обратный оператор к $L_n(u)$. Его существование и оценка $\|R_n(u)\|\leqslant 1$ следуют из несложной выкладки
$$
\begin{equation*}
\|My\|\|y\|\geqslant\bigl|(My,y)\bigr|=|(Ly,y)\pm i(uB_ny,y)\bigr|\geqslant(Ly,y)\geqslant \|y\|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M=L_n(u)$ либо $M=L_n(u)^*$.
Сужение $R_n(u)$ на $H_n$ обозначим через $\mathring{R}_n(u)$, оценим его норму как норму оператора из $H_n$ в $L_2[0,\pi]$:
$$
\begin{equation*}
\|\mathring{R}_n(u)\|^2=\sup_{f\perp\langle y_{n,1},y_{n,2}\rangle}\frac{\|R_n(u)f\|^2}{\|f\|^2}\geqslant \min_{\mathscr{L},\,\dim\mathscr{L}=2}\ \max_{f\perp\mathscr{L}} \frac{\bigl((R_n(u))^*R_n(u)f,f\bigr)}{\|f\|^2}=s_3^2,
\end{equation*}
\notag
$$
минимум берется по всевозможным двумерным подпространствам $L_2[0,\pi]$, величина $s_3$ – 3-е сингулярное число компактного оператора $R_n(u)$. Последнее равенство следует из [16; гл. II, § 1].
Принимая во внимание $1\geqslant \|R_n(u)\|=s_1\geqslant s_2$, c помощью леммы Вейля получим
$$
\begin{equation*}
s_3s_2s_1\geqslant|\lambda_1|\,|\lambda_2|\,|\lambda_3|, \quad \text{откуда }\ s_3\geqslant|\lambda_1|\,|\lambda_2|\,|\lambda_3|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_j$, $j=1,2,3$, – три максимальных по модулю собственных значения, $R_n(u)$ – обратные величины трех минимальных по модулю собственных значений $L_n(u)$, но последние при $n\to\infty$ сходятся к $\mu_j$, следовательно, при некотором большом $n_0$ каждое $|\lambda_j|$ больше $1/\mu_4=1/2^4$. Стало быть, для $R_{n_0}(u)$ имеем $s_3>1/2^{12}$ и
$$
\begin{equation*}
1\geqslant\|\mathring{R}_{n_0}(u)\|>\frac{1}{2^{12}},
\end{equation*}
\notag
$$
но тогда найдется $f_{n_0}\in H_n$, $f_{n_0}\ne0$ такое, что $\|R_{n_0}(u)f_{n_0}\|\geqslant (1/2^{13})\|f_{n_0}\|$.
Полагая $y_{n_0}=R_{n_0}(u)f_{n_0}/\|R_{n_0}(u)f_{n_0}\|$, найдем искомый элемент $\mathscr{E}_0$. Теорема 3 доказана. Доказательство теоремы 4. Извлечем корень из $q$, полагая $p(x)=\sqrt{q(x)}$ при $x\geqslant0$ и выбрав ветвь так, что $|{\arg p(x)}|\leqslant \pi/2-\varkappa/2$. Положим, следуя [17],
Проведем оценку, положив $C_0=(1-\delta)\sin\varkappa/2>0$:
$$
\begin{equation}
\rho(x)=\operatorname{Re} p(x)-\frac{|p(x)|}{4}\biggl| \frac{q'(x)}{q^{3/2}(x)} \biggr|\geqslant\operatorname{Re} p(x)-|p(x)|\delta\sin\frac{\varkappa}{2}\geqslant C_0|p(x)|\geqslant C_0>0,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
так как $\operatorname{Re} p(x)\geqslant |p(x)|\sin\varkappa/2$ ввиду $|{\arg p(x)}|\leqslant \pi/2-\varkappa/2$, и $|p(x)|\geqslant1$.
Вследствие [17; теорема 1] у $L_U$ существует ограниченная резольвента в некоторой окрестности нуля $\lambda\in\Omega\subset\mathbb{C}$. Для $L_U$ реализуется определенный случай (аналог случая предельной точки). Рассуждая, как при доказательстве теоремы 2, считаем, что $L_U$ задан краевым условием Дирихле $U(y)=y(0)$ и определен на области $\mathscr{D}_D$ (2.1). Из [17; теорема 1] также заключаем, что $\mathscr{D}_{D0}$ – порождающее ядро для $L_U$. Оператор $R_0=L_U^{-1}$ ограничен и может быть продолжен как ограниченный оператор $\widetilde{R_0}\colon L_2(\mathbb{R}_+,1/|q|)\to L_2(\mathbb{R}_+)$ [17; теорема 4]. Это эквивалентно ограниченности оператора $Rg=\widetilde{R_0}(pg)$ как обычного оператора в $L_2(\mathbb{R}_+)$. Так как из компактности $R$ вытекает компактность $R_0$, наша цель – доказать полную непрерывность оператора $R$. Из ограниченности $R$ следует замыкаемость как оператора в $L_2(\mathbb{R}_+)$, а так как $L_2(\mathbb{R}_+)\subset L_2(\mathbb{R}_+,1/|q|)$ плотно в метрике весового пространства, замыкание $\overline M$ порождается ядром $\mathscr{D}_D$ и $\overline M^{-1}=R$.Ввиду того, что $\mathscr{D}_{D0}$ – порождающее ядро для $L_U$ и $|p|>1$, делаем вывод, что $\mathscr{D}_{D0}$ – порождающее ядро для $\overline M$. Приступим непосредственно к доказательству компактности резольвенты $\overline M$. Покажем, что $\overline M$ – $\mathrm m$-секториальный оператор. Для этого нам достаточно показать лишь секториальность формы $(My,y)$ для $y\in\mathscr{D}_{D0}$ (см. аналогичные рассуждения доказательства теоремы 2):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (My,y) &=\int_0^{+\infty}\biggl(y'(x)\biggl(-\frac{p'(x)}{p^2(x)}\overline{y(x)} +\frac{1}{p(x)}\overline{y'(x)}\biggr)+p(x)|y(x)|^2\biggr)\,dx \\ &=\int_0^{+\infty}\biggl(p(x)|y(x)|^2+\overline{p(x)}\biggl|\frac{y'(x)}{p(x)}\biggr|^2 -\frac{p'}{p}\biggl(\frac{y'(x)}{p(x)}\biggr)\overline{y(x)}\biggr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\xi(x)=-\frac{p'}{p}\biggl(\frac{y'(x)}{p(x)}\biggr)\overline{y(x)}, \qquad |\xi(x)|\leqslant\frac{1}{2}\biggl|\frac{p'}{p}\biggr|\biggl( \biggl|\frac{y'(x)}{p(x)}\biggr|^2+|y(x)|^2\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
для удобства пусть
$$
\begin{equation*}
\xi(x)=m(x)\frac{1}{2}\biggl|\frac{p'}{p}\biggr|\biggl( \biggl|\frac{y'(x)}{p(x)}\biggr|^2+|y(x)|^2 \biggr)e^{i\varphi(x)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $0\leqslant m(x)\leqslant1$, $\varphi(x)=\arg\xi(x)$. В итоге (2.10) примет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (My,y) &=\int_0^{+\infty}\biggl(\biggl(p(x)+m(x)\frac{1}{2}\biggl|\frac{p'}{p}\biggr|e^{i\varphi(x)}\biggr)|y(x)|^2 \\ &\qquad +\biggl(\overline{p(x)}+m(x)\frac{1}{2}\biggl|\frac{p'}{p}\biggr|e^{i\varphi(x)} \biggr)\biggl|\frac{y'(x)}{p(x)}\biggr|^2\biggr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Оценим
$$
\begin{equation*}
\biggl|m(x)\frac{1}{2}\biggl|\frac{p'}{p}\biggr|e^{i\varphi(x)} \biggr|\leqslant\frac{1}{4}\biggl|\frac{q'(x)}{q^{3/2}(x)}\biggr|\,|p(x)|\leqslant \delta\sin\frac{\varkappa}{2}|p(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Обратимся к слагаемым в (2.11). С учетом $|{\arg p(x)}|\leqslant\pi/2-\varkappa/2$ и полученной оценки из геометрических соображений следует, что для некоторого $0<\epsilon\leqslant\varkappa/2$
$$
\begin{equation*}
\biggl|\arg\biggl( p(x)+m(x)\frac{1}{2}\biggl|\frac{p'}{p}\biggr|e^{i\varphi(x)} \biggr)\biggr|\leqslant\frac{\pi}2-\epsilon, \qquad \sin\biggl(\frac{\varkappa}{2}-\epsilon\biggr)\leqslant\delta\sin\frac{\varkappa}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, $|\arg(My,y)|\leqslant\pi/2-\epsilon$, и $\mathrm m$-секториальность $\overline M$ доказана.
Далее нам пригодится оценка для $y\in\mathscr{D}_{D0}$, которая немедленно выводится из (2.11) с учетом (2.9):
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} (My,y)\geqslant\int_0^{+\infty}C_0|p(x)|\biggl(|y(x)|^2+\biggl|\frac{y'(x)}{p(x)}\biggr|^2\biggr)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Последующие рассуждения в существенном повторяют доказательство теоремы 2. Остановимся лишь на наиболее важных моментах. Аналогично, предполагая, что резольвента $\overline M$ не компактна, найдем такую некомпактную последовательность $Y=\{y_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathscr{D}_{D0}$, что $\operatorname{Re} (My_n,y_n)<1$ для всех $n\in\mathbb{N}$. Найдем $\varepsilon_0>0$ и для любого $T>0$ возьмем $y_T\in Y$, чтобы выполнялось (2.2). Для $d=C_0\varepsilon_0/4$ найдем отрезок $D_T$ длины $d$ такой, что на нем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C_0\int_{D_T}\biggl(|p(x)|\,|y_T(x)|^2+\frac{|y_T'(x)|^2}{|p(x)|}\biggr)\,dx\leqslant\frac{1}{\varepsilon_0}\int_{D_T} |y_T(x)|^2\,dx, \\ \int_{D_T} |y_T(x)|^2\,dx>0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Проведем нормировку (2.5), в результате которой получим
$$
\begin{equation}
C_0\int_{D_T}\biggl(|p(x)|\,|v_T(x)|^2+\frac{|v_T'(x)|^2}{|p(x)|}\biggr)\,dx\leqslant \frac{d}{\varepsilon_0}, \qquad \frac{1}{|D_T|} \int_{D_T}|v_T(x)|^2\,dx=1.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Для любых $x_1,x_2\in D_T$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl||v_T(x_1)|^2-|v_T(x_2)|^2\bigr|\leqslant \bigl|v_T^2(x_1)-v_T^2(x_2)\bigr| \\ &\qquad\leqslant2\int_{D_T}|v_T(x)|\,|v_T'(x)|\,dx =2\int_{D_T}|p(x)|^{1/2}|v_T(x)|\frac{|v_T'(x)|}{|p(x)|^{1/2}}\,dx \\ &\qquad \leqslant\int_{D_T}\biggl(|p(x)|\,|v_T(x)|^2+\frac{|v_T'(x)|^2}{|p(x)|}\biggr)\,dx \leqslant \frac{d}{C_0\varepsilon_0}=\frac{1}{4}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом (2.12) делаем вывод, что $|v_T(x)|^2\geqslant3/4$ для всех $x\in D_T$.
Вновь обращаясь к (2.12), получаем оценку
$$
\begin{equation*}
C_0\frac{3}{4}\int_{D_T}|p(x)|\,dx\leqslant C_0\int_{D_T}|p(x)|\,|v_T(x)|^2\,dx\leqslant\frac{d}{\varepsilon_0},
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
\int_{D_T}|q(x)|^{1/2}\,dx=\int_{D_T}|p(x)|\,dx\leqslant\frac{1}{3},
\end{equation*}
\notag
$$
что приводит к противоречию и завершает доказательство.
Теорема 4 доказана. Условия теоремы 4 являются также необходимыми для компактности резольвенты оператора $\overline M$, что доказывается идентично [1]. Это означает, что предложенный нами метод доказательства не позволяет ослабить (1.3). § 3. Необходимое условие компактности резольвентыЗдесь мы докажем необходимое условие компактности резольвенты для обыкновенного дифференциального оператора произвольного порядка $n\geqslant2$. Так как результаты из предшествующих параграфов нам не понадобятся, используем идентичные обозначения для схожих объектов. Пусть заданы комплекснозначные функции $p_1\equiv C_0=\mathrm{const}$, $p_j\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+)$, $j=2,\dots,n$. Введем дифференциальное выражение
$$
\begin{equation}
l(y)=\frac{d^n}{dx^n}y+\sum_{j=1}^n p_j\frac{d^{n-j}}{dx^{n-j}}y
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
и многообразие
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr{D}_0 &=\bigl\{y\in L_2(\mathbb{R}_+)\mid y,y',\dots,y^{(n-1)}\in \mathrm{AC}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+),\ l(y)\in L_2(\mathbb{R}_+), \\ &\qquad y(0)=\dots=y^{(n-1)}(0)=0,\ \exists\, x_0>0\ \forall\, x\geqslant x_0\ y(x)=0\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим дифференциальный оператор $L_0$ в $L_2(\mathbb{R}_+)$ с областью определения $\mathscr{D}_0$, заданный дифференциальным выражением (3.1). Теорема 5. Для того чтобы у оператора $L_0$ существовало расширение с компактной резольвентой, необходимо, чтобы для любого $a>0$ выполнялось Доказательству предпошлем одну лемму. Лемма 2. Пусть на отрезке $[0,d]$ заданы непрерывные комплекснозначные функции $\phi_\nu$, $W_\nu$, $\nu=1,\dots,n$, $n\in\mathbb{N}$, такие, что $W_n(0)=1$, и для любого $d_1>0$, $0<d_1\leqslant d$, система функций $\{\phi_\nu\}_{\nu=1}^{n}$ линейно независима на $[0,d_1]$. Тогда оператор $R$ в $L_2[0,d]$, задаваемый выражением бесконечномерный (т.е. его образ не является конечномерным линеалом). Доказательство. Построим последовательность $g_l\in L_2[0,d]$, $l\in\mathbb{N}$, для которой последовательность образов $f_l=Rg_l$ линейно независима.
Для этого сначала построим непересекающиеся интервалы
$$
\begin{equation*}
I_l=(\alpha_l,\beta_l)\subset[0,d], \qquad l=0,1,\dots, \quad 0<\dots<\alpha_1<\beta_1<\alpha_0<\beta_0,
\end{equation*}
\notag
$$
чтобы система $\{\phi_\nu\}_{\nu=1}^{n}$ была линейно независимой на каждом $I_l$. Достаточно найти один такой интервал $I_0=(\alpha_0,\beta_0)$, а дальнейшее построение провести индуктивно.
Выбираем произвольно $0<\beta_0<d$. Если $\{\phi_\nu\}_{\nu=1}^{n}$ линейно независима на $(\beta_0/2,\beta_0)$, то построение завершено, если же нет, пусть $\mathscr{L}\subset\mathbb{C}^n$ – максимальное линейное многообразие такое, что для любого $A=(A_\nu)\in\mathscr{L}$ $\sum_\nu A_\nu\phi_\nu(x)\equiv0$ при всех $x\in(\beta_0/2,\beta_0)$. Ясно, что $1\leqslant\dim\mathscr{L}\leqslant n$. Пусть $\alpha'$ – точная нижняя грань таких $\alpha>0$, что для интервала $(\alpha,\beta_0)$ найдется такое $A=(A_\nu)\in\mathscr{L}$, что $\sum_\nu A_\nu\phi_\nu(x)\equiv0$ при всех $x\in(\alpha,\beta_0)$. Заведомо $0\leqslant\alpha'\leqslant\beta_0/2$. Покажем, что $\alpha'>0$. Иначе существует $A_k=(A_{k\nu})\in\mathscr{L}$, $\|A_k\|=1$, $k\in \mathbb{N}$, и $\sum_\nu A_{k\nu}\phi_\nu(x)\equiv0$ при всех $x\in(\beta_0/(k+1),\beta_0)$. Выделим сходящуюся подпоследовательность $A_{k_s}\to A_0=(A_{0\nu})\in\mathscr{L}$ при $s\to\infty$, $\|A_0\|=1$. Для $s\geqslant s_0\geqslant1$
$$
\begin{equation*}
\sum_\nu A_{0\nu}\phi_\nu(x)=\sum_\nu(A_{0\nu}-A_{k_s\nu})\phi_\nu(x) \quad\text{при всех }\ x\in\biggl(\frac{\beta_0}{k_{s_0}+1},\beta_0\biggr);
\end{equation*}
\notag
$$
устремляя $s\to\infty$, ввиду произвольности $s_0$ и непрерывности всех $\phi_\nu$ получим $\sum_\nu A_{0\nu}\phi_\nu(x)=0$ для всех $x\in[0,\beta_0]$, что противоречит независимости $\{\phi_\nu\}_{\nu=1}^{n}$ на отрезке $[0,\beta_0]$. Таким образом, $\alpha'>0$.
Положим $\alpha_0=\alpha'/2$. Тогда система $\{\phi_\nu\}_{\nu=1}^{n}$ окажется линейно независимой на $I_0=(\alpha_0,\beta_0)$. В противном случае для некоторого $B=(B_\nu)\in\mathbb{C}^n$
$$
\begin{equation*}
\sum_\nu B_\nu\phi_\nu(x)\equiv0 \quad\text{при всех }\ x\in(\alpha_0,\beta_0),
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, и для $x\in(\beta_0/2,\beta_0)$, т.е. $B\in\mathscr{L}$, что противоречит выбору $\alpha'$.
Пусть $I_l=(\alpha_l,\beta_l)$, $l=0,1,\dots$, – система непересекающихся интервалов линейной независимости $\{\phi_\nu\}_{\nu=1}^{n}$; считаем, что $\beta_0$ выбрано таким образом, что $W_n(x)\ne0$ при $x\in[0,\beta_0]$. Для $l\in\mathbb{N}$ построим $g_l\in L_2[0,d]$ следующим образом: вне $I_l$ она будет тождественна $0$, а на самом $I_l$ руководствуемся следующей процедурой. Система функций $\{W_\nu\}_{\nu=1}^{n}$, будучи рассмотренной на $I_l$, может быть выражена через $1\leqslant k\leqslant n$ независимых $W_{s_j}$ (по крайней мере $W_n(x)\not\equiv0$ на $I_l$): выберем $g_l\in L_2(I_l)$, чтобы $\overline{g_l}$ не была ортогональна $W_{s_1}$, а если $k>1$, дополнительно чтобы $\overline{g_l}$ была ортогональна всем $\{W_{s_j}\}_{j=2}^{n}$ в смысле метрики $L_2(I_l)$.Положим $f_l=Rg_l$, $l\in\mathbb{N}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
f_l(x)= \begin{cases} 0, & x\in[0,\alpha_l], \\ \displaystyle \sum_{\nu=1}^nA_{\nu 1}\phi_\nu(x)\int_{\alpha_l}^{\beta_l} W_{s_1}(\xi)g_l(\xi)\,d\xi, & x\in[\beta_l,d]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Для нас существенно, что интеграл в формуле выше отличен от нуля, а
$$
\begin{equation*}
\sum_\nu A_{\nu 1}\phi_\nu(x)\not\equiv0 \quad\text{при }\ x\in I_j \quad\text{при всех }\ 0\leqslant j<l.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $f_l(x)\equiv0$ при $x\in I_j$, когда $j>l$, но $f_l(x)\not\equiv0$ при $x\in I_j$, когда $0\leqslant j<l$. Последовательность $f_l$ линейно независима. Лемма 2 доказана. Доказательство теоремы 5. Допустим противное, т.е. существует расширение $L\supset L_0$ с компактной резольвентой и для некоторой системы $D_k=[a_k,b_k]\subset\mathbb{R}_+$ непересекающихся интервалов равной длины $d=|D_k|$
Так как $p_1\equiv \mathrm{const}$, нам удобно записать (3.2) для всех $p_j$. Не ограничивая общности, считаем, что $C_j>0$. Уменьшим при необходимости длины интервалов, чтобы выполнялась оценка Мы придем к противоречию, если для любого $k\in\mathbb{N}$ найдем $y_k\in\mathscr{D}_0$, равные $0$ вне $D_k$, $\|y_k\|=1$, $\|L_0y_k\|<C$. Для этого рассмотрим операторы $L_{k,0}$ в $L_2[0,d]$, заданные дифференциальными выражениями $l_k$: $l_k(y(x))=l(y(x+a_k))$, $x\in[0,d]$, на областях
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{\mathscr{D}_{0k}} &=\bigl\{y\in L_2[0,d]\mid y,y',\dots,y^{(n-1)}\in \mathrm{AC}[0,d],\ l_k(y)\in L_2[0,d], \\ &\qquad y(0)=\dots=y^{(n-1)}(0)=y(d)=\dots=y^{(n-1)}(d)=0\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдя последовательность $f_k\in\widetilde{\mathscr{D}_{0k}}$, $\|f_k\|=1$, $\|L_{k,0}f_k\|<C$, для произвольного $k\in\mathbb{N}$, мы решим задачу, взяв $y_k(x)=f_k(x-a_k)$ для $x\in D_k$, а вне $D_k$ продолжив $y_k$ нулем. Рассмотрим специальные решения $\psi_{k,\nu}$ задачи Коши для каждого однородного уравнения $l_k(y)=0$, $k\in\mathbb{N}$, заданные начальными условиями
$$
\begin{equation*}
\psi_{k,\nu}^{(j-1)}(0)=\delta_\nu^j, \qquad j,\nu=1,\dots,n, \quad k\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_\nu^j$ – символ Кронекера.
Существование таких решений следует из [13; гл. V, § 16, теорема 1]. Все $\psi_{k,\nu}$ и их производные до $(n-1)$-го порядка включительно абсолютно непрерывны на $[0,d]$. Зафиксируем $k\in\mathbb{N}$. Для любой $g\in L_2[0,d]$ уравнение $l_k(f)=g$ имеет единственное решение, заданное условиями $f_k^{(j)}(0)=0$, $j=0,\dots,n-1$ [13; гл. V, § 16, теорема 1]. Его можно представить в виде $f=R_kg$, где $R_k$ – оператор Коши – является ограниченным вольтерровым оператором в $L_2[0,d]$:
$$
\begin{equation}
f=(R_kg) (x)= \int_0^x\frac{1}{W(\xi)} \begin{vmatrix} \psi_{k,1}(\xi) & \psi_{k,2}(\xi) & \cdots & \psi_{k,n}(\xi)\\ \psi_{k,1}'(\xi) & \psi_{k,2}'(\xi) & \cdots & \psi_{k,n}'(\xi)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ \psi_{k,1}^{(n-2)}(\xi) & \psi_{k,2}^{(n-2)}(\xi) & \cdots & \psi_{k,n}^{(n-2)}(\xi)\\ \psi_{k,1}(x) & \psi_{k,2}(x) & \cdots & \psi_{k,n}(x) \end{vmatrix} g(\xi)\,d\xi,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $W(\xi)$ – вронскиан,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W(\xi)&= \begin{vmatrix} \psi_{k,1}(\xi) & \psi_{k,2}(\xi) & \cdots & \psi_{k,n}(\xi)\\ \psi_{k,1}'(\xi) & \psi_{k,2}'(\xi) & \cdots & \psi_{k,n}'(\xi)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ \psi_{k,1}^{(n-2)}(\xi) & \psi_{k,2}^{(n-2)}(\xi) & \cdots & \psi_{k,n}^{(n-2)}(\xi)\\ \psi_{k,1}^{(n-1)}(\xi) & \psi_{k,2}^{(n-1)}(\xi) & \cdots & \psi_{k,n}^{(n-1)}(\xi)\\ \end{vmatrix} \\ &=\exp\biggl(-\int_0^\xi p_1(a_k{+}\,t)\,dt\biggr)=e^{-\xi C_0}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Дифференцируя (3.4) $n-1$ раз, убеждаемся, что $f\in\widetilde{\mathscr{D}_{0k}}$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\int_0^d e^{\xi C_0} \begin{vmatrix} \psi_{k,1}(\xi) & \psi_{k,2}(\xi) & \cdots & \psi_{k,n}(\xi)\\ \psi_{k,1}'(\xi) & \psi_{k,2}'(\xi) & \cdots & \psi_{k,n}'(\xi)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ \psi_{k,1}^{(n-2)}(\xi) & \psi_{k,2}^{(n-2)}(\xi) & \cdots & \psi_{k,n}^{(n-2)}(\xi)\\ \psi_{k,1}^{(s)}(d) & \psi_{k,2}^{(s)}(d) & \cdots & \psi_{k,n}^{(s)}(d) \end{vmatrix} g(\xi)\,d\xi=0, \qquad s=0,\dots,n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
другими словами, когда $g\,{\in}\,\mathring{\mathfrak{H}}_k{=}\,L_2[0,d]\,{\ominus}\,\mathfrak{K}_k$, где $\mathfrak{K}_k$ – конечномерное подпространство $L_2[0,d]$, натянутое на функции, комплексно сопряженные к $W_{ks}(x)$,
$$
\begin{equation*}
W_{ks}(x)= e^{x C_0} \begin{vmatrix} \psi_{k,1}(x) & \psi_{k,2}(x) & \cdots & \psi_{k,n}(x)\\ \psi_{k,1}'(x) & \psi_{k,2}'(x) & \cdots & \psi_{k,n}'(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ \psi_{k,1}^{(n-2)}(x) & \psi_{k,2}^{(n-2)}(x) & \cdots & \psi_{k,n}^{(n-2)}(x)\\ \psi_{k,1}^{(s)}(d) & \psi_{k,2}^{(s)}(d) & \cdots & \psi_{k,n}^{(s)}(d) \end{vmatrix}, \qquad s=0,\dots,n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $\dim\mathfrak{K}_k\leqslant n$.
Оператор $L_{k,0}$ взаимно однозначно отображает $\widetilde{\mathscr{D}_{0k}}$ на $\mathring{\mathfrak{H}}_k$. Через $\mathring{R}_k\subset R_k$ обозначим обратный, действующий взаимно однозначно из $\mathring{\mathfrak{H}}_k$ на $\widetilde{\mathscr{D}_{0k}}$. Чтобы найти искомую последовательность $f_k$, достаточно показать, что нормы $\|\mathring{R}_k\|\geqslant C>0$ равномерно ограничены снизу для всех $k\in\mathbb{N}$. Тогда для каждого $k$ существует $u_k\in\mathring{\mathfrak{H}}_k$, $u_k\not\equiv 0$, такое, что для $v_k=\mathring{R}_ku_k$ верна оценка $\|v_k\|\geqslant (C/2)\|u_k\|$, искомое $f_k$ равно $v_k/\|v_k\|$, $\|L_{k,0}f_k\|\leqslant 2/C$, для него верна оценка
$$
\begin{equation*}
\|\mathring{R}_k\|^2=\sup_{g\in\mathring{\mathfrak{H}}_k}\frac{\|R_kg\|^2}{\|g\|^2} \geqslant\min_{\substack{\mathfrak{L}\subset L_2[0,d]\\ \dim\mathfrak{L}\leqslant n}}\ \max_{\substack{g\in L_2[0,d]\\ g\perp\mathfrak{L}}} \frac{(R_k^*R_k g,g)}{(g,g)}=s_{n+1}^2(R_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Минимум берется по всевозможным линеалам $\mathfrak{L}\subset L_2[0,d]$ размерности не выше $n$. Последнее равенство вытекает из [16; гл. II, § 1], где $s_{n+1}(R_k)$ – $(n+1)$-е сингулярное число оператора $R_k$.
Далее мы покажем, что из последовательности операторов $R_k$ можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность $R_{k_m}\to R$, $m\to\infty$, к бесконечномерному оператору $R$, следовательно, имеющему положительными все $s$-числа. Сингулярные числа $s_l(R_{k_m})$ сходятся к $s_l(R)>0$, $l\in\mathbb{N}$ (см. [16; гл. II, § 2, следствие 2.3]). В частности, при $m>m_0$ $\|\mathring{R}_{k_m}\|\geqslant s_{n+1}(R_{k_m})\geqslant s_{n+1}(R)/2=C>0$. Рассматривая $D_k$ с номерами индексов, соответствующим $k_m$, не ограничивая общности, можем считать, что для всех $k\in\mathbb{N}$ $\|\mathring{R}_k\|\geqslant C>0$. Это завершит доказательство. Покажем, как выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность из $R_k$. Проинтегрируем $s$ раз (для $s=1,\dots,n$) тождество $l_k(\psi_{k,\nu})=0$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \psi_{k,\nu}^{(n-s)}(x) &=\sum_{r=0}^{s-1}\frac{x^r}{r!}\psi_{k,\nu}^{(n-s+r)}(0) \\ &\qquad-\int_0^x d\xi_1\int_0^{\xi_1}\cdots\,d\xi_{s-1}\int_0^{\xi_{s-1}} \sum_{j=1}^n \widetilde{p_{jk}}(\xi_s)\psi_{k,\nu}^{(n-j)}(\xi_s)\,d\xi_s, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $\widetilde{p_{jk}}(x)=p_j(x+a_k)$. При $s=1$ внутренние интегралы отсутствуют.
Обозначим $M_{k,\nu,l}=\max|\psi_{k,\nu}^{(l)}(x)|$, $x\in[0,d]$, $l=0,\dots,n-1$. Используя (3.5) и оценки (3.2), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
M_{k,\nu,n-s}\leqslant e^d+d^{s-1}\sum_{j=1}^nC_j M_{k,\nu,n-j};
\end{equation*}
\notag
$$
умножая обе стороны на $C_s$ и суммируя по $s=1,\dots,n$, получим
$$
\begin{equation*}
\sum_{s=1}^{n}C_sM_{k,\nu,n-s}\leqslant e^d\sum_{s=1}^{n}C_s+\eta\sum_{j=1}^nC_j M_{k,\nu,n-j},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, с учетом (3.3), приходим к оценке
$$
\begin{equation*}
\sum_{s=1}^{n}C_sM_{k,\nu,n-s}\leqslant\frac{e^d}{1-\eta}\sum_{s=1}^{n}C_s.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $C_s>0$, эта оценка означает, что все величины $M_{k,\nu,l}$ равномерно ограничены по $k\in\mathbb{N}$, $\nu=1,\dots,n$, $l=0,\dots,n-1$. При фиксированных $\nu=1,\dots,n$, $l=0,\dots,n-2$ рассмотрим последовательность $\{\psi_{k,\nu}^{(l)}\}_{k\in\mathbb{N}}$. Она предкомпактна в равномерной метрике на $[0,d]$ по теорема Арцела–Асколи. Выберем последовательность номеров $k_m$ так, чтобы для всех $\nu=1,\dots,n$, $l=0,\dots,n-2$ подпоследовательности $\{\psi_{k_m,\nu}^{(l)}\}_{m\in\mathbb{N}}$ были равномерно сходящимися на $[0,d]$:
$$
\begin{equation*}
\psi_{k_m,\nu}^{(l)}\Rightarrow\phi_\nu^l, \qquad m\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\phi_\nu^l$ – непрерывные функции, $\nu=1,\dots,n$, $l=0,\dots,n-2$ – индексы.
Для удобства обозначим $\phi_\nu=\phi_\nu^0$. Ввиду равномерной сходимости из известной теоремы о предельном переходе [18; гл. XVI, теорема 4] следует, что функции $\phi_\nu$ дифференцируемы $(n-2)$-кратно и $\phi_\nu^l=\phi_\nu^{(l)}$, $l=0,\dots,n-2$. Отмечая, что детерминант в определении $R_k$ зависит только от производных $\psi_{k,\nu}^{(l)}$ не выше порядка $n-2$, делаем вывод, что $R_{k_m}\Rightarrow R$ при $m\to\infty$ в смысле равномерной операторной сходимости, где
$$
\begin{equation}
(Rg) (x)= \int_0^xe^{\xi C_0} \begin{vmatrix} \phi_1(\xi) & \phi_2(\xi) & \cdots & \phi_n(\xi)\\ \phi_1'(\xi) & \phi_2'(\xi) & \cdots & \phi_n'(\xi)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ \phi_1^{(n-2)}(\xi) & \phi_2^{(n-2)}(\xi) & \cdots & \phi_n^{(n-2)}(\xi)\\ \phi_1(x) & \phi_2(x) & \cdots & \phi_n(x) \end{vmatrix} g(\xi)\,d\xi, \qquad g\,{\in}\, L_2[0,d].
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Оператор $R$ компактен как равномерный предел компактных операторов. Нам осталось доказать бесконечномерность $R$. Отметим, что для любого отрезка $[0,d_1]\subset[0,d]$ система функций $\{\phi_\nu\}_{\nu=1}^{n}$ линейно независима на $[0,d_1]$. Предполагаем противное, т.е. существуют $A_\nu\in\mathbb{C}$ такие, что $\sum_\nu A_\nu\phi_\nu(x)\,{\equiv}\,0$ для всех $x\in[0,d_1]$. Обратимся к (3.5), выражая линейные комбинации $\sum_\nu A_\nu\psi_{k,\nu}^{(n-s)}$ для $s=n$. Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\nu=1}^n A_\nu\psi_{k,\nu}(x) &=\sum_{r=0}^{n-1}\frac{x^r}{r!}\sum_{\nu=1}^nA_\nu\psi_{k,\nu}^{(r)}(0) \\ &\qquad-C_0\int_0^x d\xi_1\int_0^{\xi_1}\cdots\,d\xi_{n-1}\int_0^{\xi_{n-1}} \sum_{\nu=1}^nA_\nu\psi_{k,\nu}^{(n-1)}(\xi_n)\,d\xi_n \\ &\qquad-\int_0^x d\xi_1\int_0^{\xi_1}\cdots\,d\xi_{n-1}\int_0^{\xi_{n-1}} \sum_{j=2}^n \widetilde{p_{jk}}(\xi_n)\sum_{\nu=1}^nA_\nu\psi_{k,\nu}^{(n-j)}(\xi_n)\,d\xi_n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $k=k_m$ и переходя к пределу при $m\to\infty$, получим равномерно по $x\in[0,d_1]$
$$
\begin{equation*}
0\equiv\sum_{r=0}^{n-1}\frac{x^r}{r!}\sum_{\nu=1}^nA_\nu\delta_\nu^{r+1}(0) +C_0 \sum_{r=1}^{n-1}\frac{x^r}{r!}\sum_{\nu=1}^nA_\nu\delta_\nu^r,
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
0\equiv A_1+\sum_{r=1}^{n-1}\bigl(A_{r+1}+C_0A_r\bigr)\frac{x^r}{r!},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $A_\nu=0$, $\nu=1,\dots,n$.
Представим $R$ в виде
$$
\begin{equation*}
(Rg) (x)=\int_0^x\sum_{\nu=1}^n\phi_\nu(x)W_\nu(\xi)g(\xi)\,d\xi, \qquad g\in L_2[0,d],
\end{equation*}
\notag
$$
где $W_\nu$ являются непрерывными функциями. Это алгебраические дополнения в разложении определителя в (3.6) по последней строке, помноженные на $e^{\xi C_0}$, $W_n(0)=1$. Бесконечномерность $R$ вытекает из леммы 2.
Теорема 5 доказана. БлагодарностьАвтор выражает благодарность члену-корреспонденту РАН профессору Андрею Андреевичу Шкаликову за внимание, поддержку и живой интерес. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tum24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|