| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Колмогоровские поперечники класса Соболева с ограничениями на производные в разных метриках А. А. Васильеваab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10067e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ работе рассматривается задача о колмогоровских поперечниках периодического класса Соболева на $d$-мерном торе $\mathbb{T}^d$, заданного ограничениями на частные производные вида
$$
\begin{equation}
\biggl\| \frac{\partial^{r_j}}{\partial x^{r_j}}f\biggr\|_{L_{p_j}(\mathbb{T}^d)} \leqslant 1, \qquad j=1,\dots,d.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Этот класс функций является примером пересечения нескольких классов Соболева, заданных ограничением на одну из частных производных [1]–[3]. Такого же вида функциональные классы на $\mathbb R^d$ изучались в [4; § 6]. Для них было получено достаточное условие вложения в пространство Лоренца; частный случай $p_1=\dots=p_d$ ранее был рассмотрен в [5]. В [6] изучались анизотропные классы Соболева на области $\Omega \subset \mathbb R^d$, заданные ограничениями на $\biggl\| \dfrac{\partial^{r_j}}{\partial x^{r_j}}f\biggr\|_{L_{p_j}(\Omega)}$ ($j=1,\dots,d$) и на норму функции $f$ в пространстве $L_{p_0}$ со специальным весом. Предполагалось, что
$$
\begin{equation}
1-\sum_{k=1}^d \frac{1}{p_kr_k}>0, \qquad q\geqslant \max_{1\leqslant k\leqslant d} p_k.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Были получены теоремы вложения в весовое пространство $L_q$ и некоторые оценки колмогоровских поперечников (вообще говоря, не точные по порядку). Здесь будет рассматриваться невесовой случай для периодических классов, но условие (1.2) не будет требоваться и оценки поперечников будут точными по порядку. Отметим также, что класс функций с ограничениями вида (1.1) является примером анизотропных классов Соболева. В [1], [7]–[11] изучались анизотропные функциональные классы другого вида, задаваемые ограничениями на производные в смешанной норме. Определение 1. Пусть $X$ – нормированное пространство, $M\subset X$, $n\in \mathbb Z_+$. Колмогоровским $n$-поперечником множества $M$ в пространстве $X$ называется величина здесь $\mathcal L_n(X)$ – совокупность всех подпространств в $X$ размерности не выше $n$. Задача об оценках поперечников конечномерных шаров изучалась в работах [12]–[17]. Подробнее об истории вопроса см. [18]–[20]. В [2], [3], [21]–[24] изучалась задача об оценках поперечников периодического класса Соболева на $\mathbb{T}^d:=[0,2\pi]^d$, заданного ограничением на $L_p$-норму одной или нескольких частных производных (вообще говоря, дробных), а также пересечения нескольких периодических классов Соболева на $\mathbb{T}^1$; см. также [25], [20]. Результат работы [3] о поперечниках пересечения одномерных классов Соболева был расширен в [26] на случай “малых гладкостей” при $q>2$, за исключением некоторых “предельных” случаев. Напомним определение частной производной Вейля периодической функции (см., например, [18; гл. 2, § 2]). Пусть $d\in \mathbb N$, $d\geqslant 2$, $\mathbb{T}^d=[0,2\pi]^d$. Через $\mathcal S'(\mathbb{T}^d)$ обозначим пространство обобщенных функций на $\mathbb{T}^d$ (в качестве пространства пробных функций берется пространство бесконечно гладких периодических функций). Каждой обобщенной функции $f\in \mathcal S'(\mathbb{T}^d)$ соответствует ее разложение в ряд Фурье: $f=\sum_{\overline{k}\in \mathbb Z^d} c_{\overline{k}}(f) e^{i(\overline{k},\cdot)}$, где сходимость рассматривается относительно топологии $\mathcal S'(\mathbb{T}^d)$; здесь и далее $(\cdot,\cdot)$ – стандартное скалярное произведение на $\mathbb R^d$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathring{\mathbb Z}^d=\{(k_1,k_2,\dots,k_d)\in \mathbb Z^d\colon k_1k_2\dotsb k_d\ne 0\}, \\ \mathring{\mathcal S}'(\mathbb{T}^d)=\biggl\{ f\in \mathcal S'(\mathbb{T}^d)\colon f=\sum_{\overline{k}\in \mathring{\mathbb Z}^d} c_{\overline{k}}(f) e^{i(\overline{k}, \cdot)}\biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $r_j>0$, $1\leqslant j\leqslant d$. Частная производная Вейля порядка $r_j$ по переменной $x_j$ обобщенной функции $f\in \mathring{\mathcal S}'(\mathbb{T}^d)$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\partial_j^{r_j}f:=\frac{\partial^{r_j}f}{\partial x_j^{r_j}} :=\sum_{\overline{k}\in \mathring{\mathbb Z}^d} c_{\overline{k}}(f) (ik_j)^{r_j} e^{i(\overline{k},\cdot)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $(ik_j)^{r_j}=|k_j|^{r_j}e^{\operatorname{sgn}k_j\cdot i\pi r_j/2}$. Пусть $1<q<\infty$, $1<p_j<\infty$, $r_j>0$, $1\leqslant j\leqslant d$, $\overline{p}=(p_1,\dots, p_d)$, $\overline{r}=(r_1,\dots,r_d)$. Положим
$$
\begin{equation*}
W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d) =\{f\in \mathring{\mathcal S}'(\mathbb{T}^d)\colon \|\partial_j^{r_j}f\|_{L_{p_j}(\mathbb{T}^d)}\leqslant 1, \, 1\leqslant j\leqslant d\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В настоящей статье будет рассматриваться задача о порядковой оценке колмогоровского поперечника класса $W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d)$ в пространстве $L_q(\mathbb{T}^d)$. Для $\overline{a}=(a_1,\dots,a_d) \in \mathbb R^d$ через $\langle \overline{a}\rangle$ обозначим среднее гармоническое чисел $a_1,\dots,a_d$:
$$
\begin{equation*}
\langle \overline{a}\rangle=\frac{d}{1/a_1+\dots+1/a_d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\overline{a}=(a_1,\dots,a_d)\in \mathbb R^d$, $\overline{b}=(b_1,\dots,b_d)\in \mathbb R^d$ положим $\overline{a}\circ\overline{b}=(a_1b_1,\dots,a_db_d)$. Из [1; теорема 1] следует, что множество $W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d)$ ограничено в $L_q(\mathbb{T}^d)$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q-\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ\overline{r}\rangle} \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если неравенство заменить на строгое, то вложение будет компактным (см. [1; теорема 5]). Сформулируем теоремы об оценках поперечников. Сначала рассмотрим случай, когда выполнены дополнительные ограничения на параметры. Тогда (за исключением некоторых “предельных” соотношений параметров) оценки поперечников выписываются явно. Введем обозначения для порядковых равенств и неравенств. Пусть $X,Y$ – множества, $f_1,f_2\colon X\times Y\to \mathbb{R}_+$. Обозначим $f_1(x,y)\underset{y}{\lesssim} f_2(x,y)$ (или $f_2(x,y)\underset{y}{\gtrsim} f_1(x,y)$), если для любого $y\in Y$ существует $c(y)>0$ такое, что $f_1(x,y)\leqslant c(y)f_2(x,y)$ для любого $x\in X$; $f_1(x,y)\underset{y}{\asymp} f_2(x,y)$, если $f_1(x,y) \underset{y}{\lesssim} f_2(x,y)$ и $f_2(x,y)\underset{y}{\lesssim} f_1(x,y)$. Теорема 1. Пусть $d\in \mathbb N$, $d\geqslant 2$, $1<q<\infty$, $1<p_j<\infty$, $r_j>0$, $j=1,\dots,d$, при этом $\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q-\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ\overline{r}\rangle} > 0$. Предположим, что 1. Пусть $p_j\geqslant q$, $j=1,\dots,d$. Тогда
$$
\begin{equation*}
d_n(W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d),L_q(\mathbb{T}^d)) \underset{\overline{r}, \overline{p}, q, d}{\asymp} n^{-\langle \overline{r}\rangle /d}.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Пусть $1<q\leqslant 2$.
3. Пусть $2<q<\infty$, при этом существует $i\in \{1,\dots,d\}$ такое, что $p_i<q$. Обозначим $\theta_1=\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}$, $\theta_2=\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 12-\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ\overline{r}\rangle}$, $\theta_3=\frac q2\bigl( \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q-\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ \overline{r}\rangle}\bigr)$.
Замечание 1. Будет также показано, что в случае $p_j\geqslant q$, $1\leqslant j\leqslant d$, утверждение теоремы будет верно и без условия (1.3). Теперь рассмотрим общий случай, когда (1.3) может быть не выполнено. Всюду далее полагаем $\max \varnothing:=-\infty$. Теорема 2. Пусть $d\in \mathbb N$, $d\geqslant 2$, $1<q<\infty$, $1<p_j<\infty$, $r_j>0$, $j=1, \dots,d$, при этом $\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q-\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ\overline{r}\rangle} > 0$. 1. Пусть $1<q\leqslant 2$. Обозначим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, I_0=\{j\in 1,\dots,d\colon p_j\geqslant q\}, \qquad J_0=\{j\in 1,\dots,d\colon p_j\leqslant q\}, \\ I_0'=\{j\in 1,\dots,d\colon p_j> q\}, \qquad J_0'=\{j\in 1,\dots,d\colon p_j< q\}; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
числа $\lambda_{i,j}\in [0,1]$ определим из равенств
$$
\begin{equation}
\frac 1q=\frac{1-\lambda_{i,j}}{p_i}+\frac{\lambda_{i,j}}{p_j}, \qquad i\in I_0', \quad j\in J_0'.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Для $\alpha_1,\dots,\alpha_d\in \mathbb R$ обозначим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag h_1(\alpha_1,\dots,\alpha_d)=\max_{j\in I_0} r_j\alpha_j, \\ \notag h_2(\alpha_1,\dots,\alpha_d)=\max_{j\in J_0}\biggl(r_j\alpha_j-\frac1{p_j}+\frac1q\biggr), \\ \notag h_3(\alpha_1,\dots,\alpha_d)=\max_{i\in I_0',j\in J_0'} ((1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j}r_j\alpha_j),\end{gathered}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
h(\alpha_1,\dots,\alpha_d)=\max_{1\leqslant j\leqslant 3} h_j(\alpha_1,\dots,\alpha_d).
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Предположим, что у функции $h$ точка минимума на множестве
$$
\begin{equation}
D=\{(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in \mathbb R^{d}\colon \alpha_1\geqslant 0,\dots,\alpha_d\geqslant 0,\, \alpha_1+\dots+\alpha_d=1\}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
единственна; обозначим ее через $(\widehat\alpha_1,\dots,\widehat\alpha_d)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
d_n(W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d),L_q(\mathbb{T}^d)) \underset{\overline{r},\overline{p},q,d}{\asymp} n^{-h(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Пусть $2<q<\infty$. Обозначим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, I=\{j\in 1,\dots,d\colon p_j\geqslant q\}, \qquad J=\{j\in 1,\dots,d\colon 2\leqslant p_j\leqslant q\}, \\ K=\{j\in 1,\dots,d\colon p_j\leqslant 2\}, \\ I'=\{j\in 1,\dots,d\colon p_j> q\}, \qquad J'=\{j\in 1,\dots,d\colon 2< p_j< q\}, \\ K'=\{j\in 1,\dots,d\colon p_j< 2\}; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
числа $\lambda_{i,j}\in [0,1]$ и $\mu_{i,j}\in [0,1]$ определим из равенств
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac 1q=\frac{1-\lambda_{i,j}}{p_i}+\frac{\lambda_{i,j}}{p_j}, \qquad i\in I', \quad j\in J'\cup K, \\ \frac 12=\frac{1-\mu_{i,j}}{p_i}+\frac{\mu_{i,j}}{p_j}, \qquad i\in I\cup J', \quad j\in K'. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Для $\alpha_1,\dots,\alpha_d\in \mathbb R$, $s\in \mathbb R$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde h_1(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=\max_{j\in I} r_j\alpha_j, \\ \widetilde h_2(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=\max_{j\in J} \biggl(r_j\alpha_j -\frac 12\cdot \frac{1/p_j-1/q}{1/2-1/q}(s-1)\biggr), \\ \widetilde h_3(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=\max_{j\in K}\biggl(r_j\alpha_j-\frac{s}{p_j}+\frac12\biggr), \\ \widetilde h_4(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=\max_{i\in I',j\in J'\cup K} ((1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j}r_j\alpha_j), \\ \widetilde h_5(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=\max_{i\in I\cup J',j\in K'} \biggl((1-\mu_{i,j})r_i\alpha_i+\mu_{i,j}r_j\alpha_j-\frac s2+\frac12\biggr), \\ \widetilde h(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=\max_{1\leqslant j\leqslant 5} \widetilde h_j(\alpha_1,\dots, \alpha_d,s). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что у функции $\widetilde h$ точка минимума на множестве единственна; обозначим ее через $(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d,\widehat s)$. Тогда Теперь рассмотрим случай, когда условие (1.3) не выполнено. Теорема 3. Пусть $d\in \mathbb N$, $d\geqslant 2$, $r_k>0$, $1<p_k\leqslant q<\infty$ для любого $k=1,\dots,d$, и пусть существует $j\in \{1,\dots,d\}$ такое, что Тогда $W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d)$ не будет компактно вложено в $L_q(\mathbb{T}^d)$. Для $d=2$, когда условие (1.3) не выполнено, порядки поперечников выписаны явно. Пусть без ограничения общности $p_1>p_2$. Тогда $r_2\leqslant \frac{1}{p_2} -\frac{1}{p_1}$. В силу замечания 1 и теоремы 3 достаточно исследовать случай, когда $p_2<q<p_1$. Теорема 4. Пусть $1<p_2<q<p_1<\infty$, $r_1>0$, $r_2>0$. Предположим, что 1. Пусть $1<q\leqslant 2$. Определим число $\lambda\in (0,1)$ равенством $\frac 1q=\frac{1-\lambda}{p_1}+ \frac{\lambda}{p_2}$. Предположим, что $\frac{\langle \overline{r}\rangle}{2} \ne \lambda r_2$. Тогда
$$
\begin{equation}
d_n(W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^2),L_q(\mathbb{T}^2)) \underset{\overline{r},\overline{p},q}{\asymp} n^{-\min \{\langle \overline{r}\rangle/2, \lambda r_2\}}.
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
2. Пусть $2<q<\infty$. Определим число $\lambda\in (0,1)$ равенством $\frac 1q= \frac{1-\lambda}{p_1}+\frac{\lambda}{p_2}$, а число $\widehat s$ – равенством $\widehat s\bigl(1-\frac{r_2(1-2/q)}{1/p_2-1/p_1}\bigr)=1$.
§ 2. Предварительные сведенияПусть $\overline{m}=(m_1,\dots,m_d)\in \mathbb N^d$. Обозначим
$$
\begin{equation}
\square_{\overline{m}}=\{k\in \mathbb Z^d\colon 2^{m_j-1}\leqslant |k_j|<2^{m_j}, \, 1\leqslant j\leqslant d\},
\end{equation}
\notag
$$
$\mathcal T_{\overline{m}}=\operatorname{span} \{e^{i(\overline{k},\, \cdot)}\}_{\overline{k}\in \square_{\overline{m}}}$. Для $f(\cdot)=\sum_{\overline{k}\in \mathring{\mathbb Z}^d} c_{\overline{k}}(f)e^{i(\overline{k},\, \cdot)}$ положим
$$
\begin{equation*}
\delta_{\overline{m}} f(\cdot)=\sum_{\overline{k}\in \square_{\overline{m}}} c_{\overline{k}}(f)e^{i(\overline{k},\, \cdot)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $f\in \mathring{\mathcal S}'(\mathbb{T}^d)$ обозначим
$$
\begin{equation*}
Pf(t)=\biggl(\sum_{\overline{m}\in \mathbb N^d}|\delta_{\overline{m}}f(t)|^2\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5 (теорема Литтлвуда–Пэли; см. [27; п. 1.5.2], [18; гл. 2, п. 2.3, теорема 15], [7; гл. III, п. 15.2], [8]). Пусть $1<q<\infty$. Тогда $f\in L_q(\mathbb{T}^d)$ в том и только том случае, если $Pf\in L_q(\mathbb{T}^d)$, при этом Теорема 6 (см. [20; теорема 3.3.1], [18; гл. 2, п. 2.3, теорема 18] для $r_j\geqslant 0$). Пусть $1<p_j<\infty$, $r_j\in \mathbb R$. Тогда для $f\in \mathcal T_{\overline{m}}$ выполнено Для произвольных $r_j\in \mathbb R$ это утверждение следует из теоремы Марцинкевича о мультипликаторах [27; п. 1.5.3], [7; гл. III, п. 15.3]. Теорема 7 (см. [3; теорема Б], [28; т. 2, гл. X, теорема 7.5]). Существует изоморфизм $A\colon \mathcal T_{\overline{m}} \to \mathbb R^{2^m}$ такой, что для любых $q\in (1,\infty)$, $f\in \mathcal T_{\overline{m}}$ выполнено Для $N\in \mathbb N$, $1\leqslant q\leqslant \infty$, $(x_i)_{i=1}^N\in \mathbb{R}^N$ полагаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|(x_i)_{i=1}^N\|_{l_q^N}=\biggl(\sum_{i=1}^N |x_i|^q\biggr)^{1/q} \quad\text{при }\ q<\infty, \\ \|(x_i)_{i=1}^N\|_{l_q^N}=\max_{1\leqslant i\leqslant N}|x_i| \quad\text{при }\ q=\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство $\mathbb{R}^N$ с такой нормой обозначаем через $l_q^N$; через $B_q^N$ обозначаем единичный шар в $l_q^N$. Оценки поперечников $d_n(B_p^N,l_q^N)$ были получены в работах А. Пича, М. И. Стесина, Б. С. Кашина, Е. Д. Глускина и А. Ю. Гарнаева [12]–[17]. Здесь эти оценки будут приведены для тех случаев, которые будут рассматриваться в дальнейшем. Теорема 8 (см. [16]). Пусть $1\leqslant p\leqslant q<\infty$, $0\leqslant n\leqslant N/2$. 1. Пусть $1\leqslant q\leqslant 2$. Тогда $d_n(B_p^N,l_q^N) \asymp 1$. 2. Пусть $2<q<\infty$, $\omega_{pq}=\min \bigl\{1,\frac{1/p-1/q}{1/2-1/q}\bigr\}$. Тогда Теорема 9 (см. [12], [13]). Пусть $1\leqslant q\leqslant p\leqslant \infty$, $0\leqslant n\leqslant N$. Тогда Порядковые оценки колмогоровских поперечников пересечения семейства $N$-мерных шаров были получены в [2] при $N=2n$ и в [29] при $N\geqslant 2n$. В [29] явный вид порядковой оценки был выписан при дополнительном условии, когда ни один шар из семейства не содержит другой. В [26; предложение 1] для пересечения конечного семейства шаров оценка была выписана в общем случае. Сформулируем этот результат. Теорема 10 (см. [26; предложение 1]). Пусть $A$ – конечное непустое множество, $1\leqslant p_\alpha\leqslant \infty$, $\nu_\alpha>0$, $\alpha \in A$, В формулировке предложения 1 из [26] вместо $p_\alpha> q$, $p_\beta< q$, $p_\alpha> 2$, $p_\beta< 2$ из (2.5), (2.6) были нестрогие неравенства, но оценка при этом не изменяется. Для $k\in \{1,\dots,N\}$ определим множества $V_k\subset \mathbb R^N$ по формуле
$$
\begin{equation*}
V_k=\operatorname{conv}\{(\varepsilon_1 \widehat{x}_{\sigma(1)},\dots, \varepsilon_N \widehat{x}_{\sigma(N)})\colon \varepsilon_j=\pm 1,\,1\leqslant j\leqslant N,\, \sigma \in S_N\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat{x}_j=1$ при $1\leqslant j\leqslant k$, $\widehat{x}_j=0$ при $k+1\leqslant j\leqslant N$, $S_N$ – группа перестановок $N$ элементов. Заметим, что $V_1 =B_1^N$, $V_N=B_\infty^N$. При $2\leqslant q<\infty$ оценки снизу для $d_n(V_k,l_q^N)$ были получены Е. Д. Глускиным [15]. Теорема 11 (см. [15]). Пусть $2\leqslant q<\infty$, $1\leqslant k\leqslant N$. Тогда Следующий результат был получен в работах Е. Д. Глускина [30] (с константой в порядковом неравенстве, зависящей от $q$), Ю. В. Малыхина и К. С. Рютина [31] (с константой, не зависящей от $q$). В [30; с. 39] отмечено, что Э. М. Галеев получил равенство $d_n(V_k,l_1^N)=\min\{k,N-n\}$. § 3. Об оценках поперечников пересечения конечномерных шаровВ этом параграфе мы уточним вид оценки поперечников из теоремы 10. Пусть сначала $1\leqslant q\leqslant 2$. Тогда из (2.5) и теорем 8, 9 следует, что при $n\leqslant N/2$
$$
\begin{equation}
d_n(M_0,l_q^N) \asymp \min \Bigl\{\min_{p_\alpha \geqslant q} \nu_\alpha N^{1/q-1/p_\alpha},\,\min_{p_\alpha \leqslant q} \nu_\alpha,\, \min_{p_\alpha> q,p_\beta< q} \nu_\alpha ^{1-\lambda_{\alpha,\beta}}\nu_\beta^{\lambda_{\alpha,\beta}}\Bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Лемма 1. Пусть $1\leqslant q\leqslant 2$, $p_\alpha\ne q$ для любого $\alpha\in A$, $n \leqslant N/2$, множество $M_0$ задано формулой (2.2). 1. Пусть $p_{\alpha_*} < q$, $\nu_{\alpha_*} \leqslant \nu_\beta$ для любого $\beta \in A$. Тогда 2. Пусть $p_{\alpha_*} > q$, $\nu_{\alpha_*} N^{1/p_\beta -1/p_{\alpha_*}}\leqslant \nu_\beta$ для любого $\beta \in A$. Тогда
$$
\begin{equation*}
d_n(M_0,l_q^N) \asymp \nu_{\alpha_*} N^{1/q-1/p_{\alpha_*}}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Пусть $p_{\alpha_*} > q$, $p_{\beta_*}< q$, при этом
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \nu_{\alpha_*} ^{1-\lambda_{\alpha_*,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\lambda_{\alpha_*,\beta_*}} \leqslant \nu_{\alpha_*} ^{1-\lambda_{\alpha_*,\gamma}}\nu_\gamma^{\lambda_{\alpha_*,\gamma}}, \qquad \gamma \in A, \quad p_\gamma < q, \\ \nu_{\alpha_*} ^{1-\lambda_{\alpha_*,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\lambda_{\alpha_*,\beta_*}} \leqslant \nu_\gamma ^{1-\lambda_{\gamma,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\lambda_{\gamma,\beta_*}}, \qquad \gamma \in A, \quad p_\gamma > q, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Тогда Доказательство. В силу (3.1) достаточно доказать оценки снизу для поперечников $d_n(M_0,l_q^N)$.
В п. 1 используем включение $\nu_{\alpha_*} B^N_1 \subset M_0$ и теорему 8, в п. 2 – включение $\nu_{\alpha_*} N^{-1/p_{\alpha_*}} B^N_{\infty} \subset M_0$ и теорему 9. В п. 3 определяем число $l$ из равенства ${\nu_{\alpha_*}}/{\nu_{\beta_*}}= l^{1/p_{\alpha_*}-1/p_{\beta_*}}$ и полагаем $k=\lceil l\rceil$. Из (3.3) следует, что $1\leqslant l\leqslant N$, и поэтому $1\leqslant k\leqslant N$. Покажем, что $\nu_{\alpha_*} ^{1-\lambda_{\alpha_*,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\lambda_{\alpha_*,\beta_*}} k^{-1/q}V_k \subset 2M_0$; тогда оценка снизу для $d_n(M_0,l_q^N)$ следует из (2.8). Достаточно проверить, что для любого $\gamma\in A$ выполнено
$$
\begin{equation}
\nu_{\alpha_*} ^{1-\lambda_{\alpha_*,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\lambda_{\alpha_*,\beta_*}} l^{1/p_\gamma-1/q}\leqslant \nu_\gamma,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
т.е. $\nu_{\alpha_*} l^{1/p_\gamma-1/p_{\alpha_*}} \leqslant \nu_\gamma$ (см. (2.3) и определение числа $l$). Последнее неравенство следует из (3.2); рассуждения такие же, как в [29; с. 6].
Лемма доказана. Теперь рассмотрим случай $q>2$. Из (2.6) и теорем 8, 9 следует, что при $N^{2/q}\leqslant n \leqslant {N}/{2}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag d_n(M_0,l_q^N) &\underset{q}{\asymp} \min \Bigl\{ \min_{p_\alpha \geqslant q}\nu_\alpha N^{1/q-1/p_\alpha}, \min_{2\leqslant p_\alpha \leqslant q}\nu_\alpha (n^{-1/2}N^{1/q})^{\frac{1/p_\alpha-1/q}{1/2-1/q}}, \\ \notag &\qquad\qquad \min_{p_\alpha \leqslant 2} \nu_\alpha n^{-1/2}N^{1/q},\min_{p_\alpha> q,p_\beta< q} \nu_\alpha ^{1-\lambda_{\alpha,\beta}}\nu_\beta^{\lambda_{\alpha,\beta}}, \\ &\qquad\qquad \min_{p_\alpha> 2,p_\beta< 2} \nu_\alpha ^{1-\widetilde\lambda_{\alpha,\beta}}\nu_\beta^{\widetilde\lambda_{\alpha,\beta}}n^{-1/2}N^{1/q} \Bigr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Лемма 2. Пусть $2< q<\infty$, $p_\alpha\notin \{2,q\}$ для любого $\alpha\in A$, $N^{2/q}\leqslant n \leqslant N/2$, множество $M_0$ задано формулой (2.2). 1. Пусть $p_{\alpha_*} < 2$, $\nu_{\alpha_*} \leqslant \nu_\beta$ для любого $\beta \in A$. Тогда
$$
\begin{equation*}
d_n(M_0,l_q^N) \underset{q}{\asymp} \nu_{\alpha_*}n^{-1/2}N^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Пусть $p_{\alpha_*} > q$, $\nu_{\alpha_*} N^{1/p_\beta -1/p_{\alpha_*}}\leqslant \nu_\beta$ для любого $\beta \in A$. Тогда
$$
\begin{equation*}
d_n(M_0,l_q^N) \underset{q}{\asymp} \nu_{\alpha_*} N^{1/q-1/p_{\alpha_*}}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Пусть $2<p_{\alpha_*}<q$,
$$
\begin{equation}
\nu_{\alpha_*}(n^{1/2}N^{-1/q})^{\frac{1/p_\beta-1/p_{\alpha_*}}{1/2-1/q}} \leqslant \nu_\beta
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
для любого $\beta \in A$. Тогда
$$
\begin{equation}
d_n(M_0,l_q^N) \underset{q}{\asymp} \nu_{\alpha_*} (n^{-1/2}N^{1/q})^{\frac{1/p_{\alpha_*}-1/q}{1/2-1/q}}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
4. Пусть $p_{\alpha_*} > q$, $p_{\beta_*}< q$, при этом выполнено (3.2) и
$$
\begin{equation}
\nu_{\alpha_*} \leqslant \nu_{\beta_*}(n^{1/2}N^{-1/q})^{\frac{1/p_{\alpha_*}-1/p_{\beta_*}}{1/2-1/q}}, \qquad \nu_{\alpha_*}\geqslant \nu_{\beta_*} N^{1/p_{\alpha_*}-1/p_{\beta_*}}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
d_n(M_0,l_q^N) \underset{q}{\asymp} \nu_{\alpha_*} ^{1-\lambda_{\alpha_*,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\lambda_{\alpha_*,\beta_*}}.
\end{equation*}
\notag
$$
5. Пусть $p_{\alpha_*} > 2$, $p_{\beta_*}< 2$, при этом
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \nu_{\alpha_*} ^{1-\widetilde\lambda_{\alpha_*,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\widetilde\lambda_{\alpha_*,\beta_*}} \leqslant \nu_{\alpha_*} ^{1-\widetilde\lambda_{\alpha_*,\gamma}}\nu_\gamma^{\widetilde\lambda_{\alpha_*,\gamma}}, \qquad \gamma \in A, \quad p_\gamma < 2, \\ \nu_{\alpha_*} ^{1-\widetilde\lambda_{\alpha_*,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\widetilde\lambda_{\alpha_*,\beta_*}} \leqslant \nu_\gamma ^{1-\widetilde\lambda_{\gamma,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\widetilde\lambda_{\gamma,\beta_*}}, \qquad \gamma \in A, \quad p_\gamma > 2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Тогда Доказательство. В силу (3.5) достаточно доказать оценку снизу.
В п. 1 используем включение $\nu_{\alpha_*}B_1^N \subset M_0$ и теорему 8, в п. 2 – включение $\nu_{\alpha_*}N^{-1/p_{\alpha_*}}B_\infty^N \subset M_0$ и теорему 9. В п. 3 полагаем
$$
\begin{equation*}
l=(n^{1/2}N^{-1/q})^{\frac{1}{1/2-1/q}}, \qquad k=\lceil l\rceil.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $1\leqslant l\leqslant N$, $1\leqslant k\leqslant N$, $n \leqslant N^{2/q} k^{1-2/q}$. Докажем, что $\nu_{\alpha_*}k^{-1/p_{\alpha_*}}V_k \,{\subset}\, 2M_0$; тогда (3.7) следует из (2.7). Достаточно проверить неравенство $\nu_{\alpha_*} l^{1/p_\beta-1/p_{\alpha_*}} \leqslant \nu_\beta$, $\beta\in A$. Это следует из (3.6).
В п. 4 и п. 5 определяем число $l$ из равенства
$$
\begin{equation}
\frac{\nu_{\alpha_*}}{\nu_{\beta_*}}=l^{1/p_{\alpha_*}-1/p_{\beta_*}}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
В п. 4 полагаем $k=\lceil l\rceil$. Из (3.8) следует, что
$$
\begin{equation*}
(n^{1/2}N^{-1/q})^{\frac{1}{1/2-1/q}}\leqslant l\leqslant N.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $1\leqslant k\leqslant N$ и $n \leqslant N^{2/q} k^{1-2/q}$. Покажем, что $\nu_{\alpha_*} ^{1-\lambda_{\alpha_*,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\lambda_{\alpha_*,\beta_*}} k^{-1/q}V_k \subset 2M_0$, и используем (2.7). Для доказательства включения достаточно проверить, что для любого $\gamma\in A$ выполнено (3.4); в силу (2.3) и (3.11) это эквивалентно неравенству $\nu_{\alpha_*} l^{1/p_\gamma-1/p_{\alpha_*}} \leqslant \nu_\gamma$. Последнее соотношение следует из (3.2); рассуждения такие же, как в [29; с. 11, 12].
В п. 5 полагаем $k=\lfloor l\rfloor$. Из (3.10) следует, что
$$
\begin{equation*}
1\leqslant l\leqslant (n^{1/2}N^{-1/q})^{\frac{1}{1/2-1/q}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $1\leqslant k\leqslant N$ и $n \geqslant N^{2/q} k^{1-2/q}$. Покажем, что $\nu_{\alpha_*} ^{1-\widetilde\lambda_{\alpha_*,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\widetilde\lambda_{\alpha_*,\beta_*}} k^{-1/2}V_k \subset 2M_0$, и применим (2.7). Для этого достаточно проверить, что для любого $\gamma\in A$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\nu_{\alpha_*} ^{1-\widetilde\lambda_{\alpha_*,\beta_*}}\nu_{\beta_*}^{\widetilde\lambda_{\alpha_*,\beta_*}} l^{1/p_\gamma-1/2}\leqslant \nu_\gamma;
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (2.4) и (3.11) это эквивалентно неравенству $\nu_{\alpha_*} l^{1/p_\gamma-1/p_{\alpha_*}} \leqslant \nu_\gamma$. Последнее соотношение следует из (3.9); рассуждения такие же, как в [29; с. 12, 13].
Лемма доказана. § 4. Доказательство теоремы 2Следующие два утверждения позволяют свести задачу об оценке поперечников $W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d)$ к оценке поперечников пересечения конечномерных шаров. Напомним, что для $\overline{m}\in \mathbb N^d$ число $m$ определяется формулой (2.1). Доказательство. Рассуждения такие же, как в [3; теорема 1]: с помощью теорем 5–7 получаем цепочку порядковых неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d_n(W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d),L_q(\mathbb{T}^d)) &\underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\gtrsim} d_n(W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d)\cap \mathcal T_{\overline{m}}, L_q(\mathbb{T}^d)\cap \mathcal T_{\overline{m}}) \\ &\underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\gtrsim} d_n \biggl(\bigcap_{j=1}^d 2^{-m_jr_j-m/q+m/p_j} B^{2^m}_{p_j},l_q^{2^m}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следующее утверждение вытекает из теорем 5–7. Лемма 4. Пусть $k\in \mathbb Z_+$. Тогда В частности, для любой функции $f\in W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d)$ получаем
$$
\begin{equation}
\|\delta_{\overline{m}}f\|_{L_q(\mathbb{T}^d)} \underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\lesssim} d_0 \biggl(\bigcap_{j=1}^d 2^{-m_jr_j-m/q+m/p_j} B^{2^m}_{p_j},l_q^{2^m}\biggr)=:C_{\overline{m}}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Применим теоремы 8–10. Используя обозначения (1.4) и (1.5), получаем, что при $q\leqslant 2$ выполнено
$$
\begin{equation*}
C_{\overline{m}}\lesssim \min \Bigl\{ \min_{j\in I_0} 2^{-m_jr_j}, \,\min_{j\in J_0} 2^{-r_jm_j-m/q+m/p_j}, \,\min_{i\in I_0',j\in J_0'} 2^{-(1-\lambda_{i,j})r_im_i-\lambda_{i,j}r_jm_j}\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $2<q<\infty$ используем обозначения (1.8), (1.9) и получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_{\overline{m}} &\underset{q}{\lesssim} \min \Bigl\{ \min_{j\in I} 2^{-m_jr_j}, \,\min_{j\in J\cup K} 2^{-r_jm_j-m/q+m/p_j}, \\ &\qquad\qquad \min_{i\in I',j\in J'\cup K} 2^{-(1-\lambda_{i,j})r_im_i-\lambda_{i,j}r_jm_j}, \\ &\qquad\qquad \min_{i\in I\cup J',j\in K'} 2^{-(1-\mu_{i,j})r_im_i-\mu_{i,j}r_jm_j -m/q+m/2}\Bigr\} \\ &=\min \Bigl\{ \min_{j\in I} 2^{-m_jr_j},\,\min_{j\in J\cup K} 2^{-r_jm_j-m/q+m/p_j}, \\ &\qquad\qquad \min_{i\in I',j\in J'\cup K} 2^{-(1-\lambda_{i,j})r_im_i-\lambda_{i,j}r_jm_j}\Bigr\}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
последнее равенство верно, так как для $i\in I\cup J'$, $j\in K'$
$$
\begin{equation}
\nonumber (1-\mu_{i,j})r_im_i+\mu_{i,j}r_jm_j+\frac mq-\frac m2
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \leqslant\max \biggl\{(1-\lambda_{i,j})r_im_i+\lambda_{i,j}r_jm_j ,r_jm_j+\frac mq-\frac{m}{p_j} \biggr\}, \quad\text{если }\ p_i> q,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber (1-\mu_{i,j})r_im_i+\mu_{i,j}r_jm_j+\frac mq-\frac m2
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \leqslant\max \biggl\{ r_im_i+\frac mq-\frac{m}{p_i}, r_jm_j+\frac mq-\frac{m}{p_j}\biggr\}, \quad \text{если }\ 2< p_i\leqslant q.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Таким образом, и при $q\leqslant 2$, и при $q>2$
$$
\begin{equation}
C_{\overline{m}} \underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\lesssim} 2^{-\varphi(m_1,\dots,m_d)},
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \varphi(t_1,\dots,t_d) &=\max \biggl\{\max_{p_j\geqslant q} t_jr_j,\max_{p_j\leqslant q} \biggl(t_jr_j+\frac tq-\frac{t}{p_j}\biggr), \\ &\qquad\qquad\max_{p_i> q,p_j< q} \bigl((1-\lambda_{i,j})r_it_i+\lambda_{i,j}r_jt_j\bigr)\biggr\}, \qquad t=t_1+\dots+t_d. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Функцию $h$ и множество $D$ определим формулами (1.6) и (1.7) (как для $q\leqslant 2$, так и для $q>2$). Лемма 5. Пусть $(\alpha_1^*,\dots,\alpha_d^*)$ – точка минимума функции $h$ на $D$, при этом $h(\alpha_1^*,\dots,\alpha_d^*)>0$. Числа $C_{\overline{m}}$ определим в соответствии с (4.3). Тогда для любого $N\in \mathbb N$ Доказательство. Первое порядковое неравенство в (4.8), (4.9) следует из (4.3).
Докажем второе неравенство в (4.8), (4.9). Из (4.6) получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{m\geqslant N} C_{\overline{m}} \underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\lesssim} \sum_{m\geqslant N} 2^{-\varphi(\overline{m})} \underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\lesssim} \int_{t\geqslant N,t_1, \dots,t_d\geqslant 0} 2^{-\varphi(t_1,\dots,t_d)}\, dt_1\dotsb dt_d=:\Sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
где $t=t_1+\dots+t_d$. Положим $\alpha_j={t_j}/{t}$, $1\leqslant j\leqslant d$. Сравнивая (4.7) и вид функции $h$, получаем, что $\varphi(t_1,\dots,t_d)=t \cdot h(\alpha_1,\dots,\alpha_d)$, $(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in D$. Положив $E_t=\{(t_1,\dots, t_{d-1})\colon t_1+\dots+t_{d-1}\leqslant t,\, t_j\geqslant 0,\, 1\leqslant j\leqslant d-1\}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Sigma &=\int_N^\infty \int_{E_t}2^{-\varphi(t_1,\dots,t_{d-1}, t-t_1-\dots-t_{d-1})}\, dt_1\dotsb dt_{d-1}\, dt \\ &\leqslant \int_N^\infty 2^{-t\cdot h(\alpha_1^*,\dots,\alpha_d^*)} t^{d-1}\, dt \underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\lesssim} 2^{-N\cdot h(\alpha_1^*,\dots, \alpha_d^*)}N^{d-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если у функции $h$ точка минимума на $D$ единственна, то $(N\alpha_1^*,\dots,N\alpha_d^*)$ – единственная точка минимума функции $\varphi$ на $G_N:=\{(t_1,\dots,t_d)\colon t_1+\cdots+\, t_d\geqslant N,\, t_j\geqslant 0,\,1\leqslant j\leqslant d\}$. Из (4.7) следует, что существует $b=b(\overline{p},q,\overline{r},d)> 0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\varphi(t_1,\dots,t_d)\geqslant \varphi(N\alpha_1^*,\dots,N\alpha_d^*)+b\sum_{j=1}^d |t_j-N\alpha_j^*|, \qquad (t_1, \dots,t_d)\in G_N.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\Sigma \underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\lesssim} 2^{-\varphi(N\alpha_1^*, \dots,N\alpha_d^*)}=2^{-N\cdot h(\alpha_1^*,\dots,\alpha_d^*)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Пусть $q>2$, функция $\widetilde h$ и множество $\widetilde D$ определены в п. 2 теоремы 2. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\widetilde D_{q/2}=\biggl\{(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)\in \widetilde D\colon s=\frac q2\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6. Пусть $q>2$. Тогда для любого $(\alpha_1,\dots,\alpha_d,q/2)\in \widetilde D_{q/2}$ выполнено В частности, Доказательство. Докажем (4.10). Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde h\biggl(\alpha_1,\dots,\alpha_d,\frac q2\biggr) &=\max \biggl\{ \max_{p_j\geqslant q} r_j\alpha_j,\, \max_{p_j\leqslant q} \biggl(r_j\alpha_j+\frac12-\frac{q}{2p_j}\biggr), \\ &\qquad\qquad \max_{p_i> q,p_j< q} ((1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j}r_j\alpha_j), \\ &\qquad\qquad \max_{p_i> 2,p_j< 2} \biggl((1-\mu_{i,j})r_i\alpha_i +\mu_{i,j}r_j\alpha_j+\frac12-\frac q4\biggr)\biggr\} \\ &=\max \biggl\{ \max_{p_j\geqslant q} r_j\alpha_j, \,\max_{p_j\leqslant q} \biggl(r_j\alpha_j+\frac 12- \frac{q}{2p_j}\biggr), \\ &\qquad\qquad \max_{p_i> q,p_j< q} \bigl((1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i +\lambda_{i,j}r_j\alpha_j\bigr)\biggr\} \\ &=\frac q2 \cdot h\biggl(\frac{2\alpha_1}q,\dots,\frac{2\alpha_d}q\biggr); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
второе равенство следует из (4.4), (4.5).
Лемма доказана. Лемма 7. Предположим, что $\min_D h>0$. Пусть для каждого $\overline{m}\in \mathbb N^d$ задано число $k_{\overline{m}}\in \mathbb Z_+$, при этом существует константа $C\in \mathbb N$ такая, что $\sum_{\overline{m}\in \mathbb N^d}k_{\overline{m}}\leqslant Cn$. Тогда Доказательство. Так как $\min_{D}h>0$, то из (4.8) следует, что последовательность частичных сумм $S_Nf:=\sum_{m\leqslant N} \delta_{\overline{m}}f$ фундаментальна в $L_q(\mathbb{T}^d)$. С другой стороны, $S_Nf\underset{N\to \infty}{\to} f$ в $\mathcal S'(\mathbb{T}^d)$. Поэтому $f\in L_q(\mathbb{T}^d)$ и $S_Nf\underset{N\to \infty}{\to} f$ в $L_q(\mathbb{T}^d)$, откуда
$$
\begin{equation*}
f=\sum_{N\in \mathbb N} \, \sum_{\overline{m}\in \mathbb N^d\colon m=N} \delta_{\overline{m}}f
\end{equation*}
\notag
$$
(ряд сходится в $L_q(\mathbb{T}^d)$). Остается применить лемму 4.
Лемма доказана. Доказательство теоремы 2. Сначала докажем оценку сверху в предположении, что $\min_{D}h>0$. Затем докажем оценку снизу и заодно получим, что если $\min_{D}h\leqslant 0$, то $W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d)$ не компактно в $L_q(\mathbb{T}^d)$. Значит, в условиях теоремы 2 неравенство $\min_{D}h>0$ выполнено автоматически, так как из соотношения следует компактность вложения.
Итак, пусть $\min_{D}h>0$. Обозначим $q_*=\min\{q,2\}$. Пусть $\overline{m}_*=(m_1^*,\dots,m_d^*)\in \mathbb R_+^d$, $2^{m_*}\in [n,n^{q_*/2}]$, $\varepsilon>0$ ($\overline{m}_*$ и $\varepsilon$ подберем позже, в зависимости от $\overline{p}$, $q$, $\overline{r}$ и $d$). Обозначим
$$
\begin{equation*}
|\overline{m}-\overline{m}_*| :=\sum_{j=1}^d |m_j-m_j^*|.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation}
k_{\overline{m}}= \begin{cases} 0 &\text{ при }2^m > n^{q_*/2}, \\ \min \{\lfloor n\cdot 2^{-\varepsilon|\overline{m}-\overline{m}_*|}\rfloor,2^m\} & \text{ при } 2^m \leqslant n^{q_*/2}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{\overline{m}\in \mathbb N^d} k_{\overline{m}} \leqslant \sum_{\overline{m}\in \mathbb N^d} n\cdot 2^{-\varepsilon|\overline{m}-\overline{m}_*|} \underset{\varepsilon,d}{\lesssim} n.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим лемму 7 и оценим сверху правую часть (4.12):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \sum_{\overline{m}\in \mathbb N^d} d_{k_{\overline{m}}}\biggl(\bigcap_{j=1}^d 2^{-m_jr_j-m/q+m/p_j} B^{2^m}_{p_j},l_q^{2^m}\biggr) \\ &\qquad \leqslant \sum_{2^m > n^{q_*/2}} d_0\biggl(\bigcap_{j=1}^d 2^{-m_jr_j-m/q+m/p_j} B^{2^m}_{p_j},l_q^{2^m}\biggr) \\ &\qquad\qquad +\sum_{ n\cdot 2^{-\varepsilon|\overline{m}-\overline{m}_*|}\leqslant 2^m \leqslant n^{q_*/2}} d_{k_{\overline{m}}}\biggl(\bigcap_{j=1}^d 2^{-m_jr_j-m/q+m/p_j} B^{2^m}_{p_j}, l_q^{2^m}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим случай $q>2$ (случай $q\leqslant 2$ более простой и рассматривается аналогично). Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_1=\sum_{2^m > n^{q/2}} d_0\biggl(\bigcap_{j=1}^d 2^{-m_jr_j-m/q+m/p_j} B^{2^m}_{p_j},l_q^{2^m}\biggr), \\ S_{2,\varepsilon}=\sum_{n\cdot 2^{-\varepsilon|\overline{m}-\overline{m}_*|}\leqslant 2^m \leqslant n^{q/2}} d_{k_{\overline{m}}}\biggl(\bigcap_{j=1}^d 2^{-m_jr_j-m/q+m/p_j} B^{2^m}_{p_j}, l_q^{2^m}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что
$$
\begin{equation}
S_1 \underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\lesssim} n^{-\widetilde h(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d,\widehat s)}.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Обозначим $c_*=\min_{\widetilde D_{q/2}}\widetilde h$, $\log x :=\log_2 x$. Применив (4.3), (4.8) с $N=\frac q2 \log n$, получаем
$$
\begin{equation*}
S_1 \underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\lesssim} 2^{-\frac{q \log n}{2}\min_D h}(\log n)^{d-1} \stackrel{(4.11)}{=} n^{- c_*}(\log n)^{d-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $c_*> \widetilde h(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat\alpha_d,\widehat s)$, то
$$
\begin{equation*}
n^{- c_*}(\log n)^{d-1} \underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\lesssim} n^{-\widetilde h(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d,\widehat s)},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует (4.14). Если $c_*=\widetilde h(\widehat \alpha_1, \dots,\widehat \alpha_d,\widehat s)$, то у функции $\widetilde h$ на множестве $\widetilde D_{q/2}$ точка минимума единственна; в силу леммы 6 у функции $h$ на множестве $D$ точка минимума тоже единственна. Применяя (4.9), снова получаем (4.14).
Теперь оценим $S_{2,\varepsilon}$. Сначала рассмотрим случай $\varepsilon=0$:
$$
\begin{equation*}
S_{2,0}=\sum_{n\leqslant 2^m\leqslant n^{q/2}} d_n\biggl(\bigcap_{j=1}^d 2^{-m_jr_j-m/q+m/p_j} B^{2^m}_{p_j},l_q^{2^m}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Применив теоремы 8–10, получаем
$$
\begin{equation*}
S_{2,0}\underset{q}{\lesssim} \sum_{n\leqslant 2^m\leqslant n^{q/2}} 2^{-\psi_n(\overline{m}, m)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\psi_n(t_1,\dots,t_d,t) \\ &\qquad=\max \biggl\{ \max_{j\in I} r_jt_j, \,\max_{j\in J} \biggl( r_jt_j -\frac 12\cdot \frac{1/p_j-1/q}{1/2-1/q}t+\frac 12\cdot \frac{1/p_j-1/q}{1/2-1/q} \log n\biggr), \notag \\ &\qquad\qquad\qquad \max_{j\in K} \biggl(r_jt_j-\frac{t}{p_j}+\frac 12 \log n\biggr), \, \max_{i\in I',j\in J'\cup K}((1-\lambda_{i,j})r_it_i+\lambda_{i,j}r_jt_j), \notag \\ &\qquad\qquad\qquad \max_{i\in I\cup J',j\in K'} \biggl((1-\mu_{i,j})r_it_i+\mu_{i,j}r_jt_j -\frac t2+\frac 12\log n\biggr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
G_n=\biggl\{(t_1,\dots,t_d)\in \mathbb R^d_+\colon \log n \leqslant t_1+\dots+t_d \leqslant \frac q2 \log n\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant 2^m\leqslant n^{q/2}} 2^{-\psi_n(\overline{m},m)} \underset{\overline{p}, \overline{r},q,d}{\lesssim} \int_{G_n} 2^{-\psi_n(t_1,\dots,t_d,t_1+\dots+t_d)}\, dt_1\dotsb dt_d.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\psi_n(t_1,\dots,t_d,t)=\widetilde h \biggl(\frac{t_1}{\log n},\dots,\frac{t_d}{\log n}, \frac{t}{\log n}\biggr)\cdot\log n.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Так как у $\widetilde h$ точка минимума на $\widetilde D$ единственна, то у функции $f_n(t_1, \dots,t_d):=\psi_n(t_1,\dots,t_d,t_1+\dots+t_d)$ точка минимума на $G_n$ тоже единственна и имеет вид $(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d)\log n$. Кроме того, если $\widehat s=\widehat \alpha_1+\dots+\widehat \alpha_d>1$, то $(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d)\log n$ будет единственной точкой минимума функции $f_n$ на множестве
$$
\begin{equation*}
\widehat G_n=\biggl\{(t_1,\dots,t_d)\in \mathbb R^d_+\colon t_1+\dots+t_d \leqslant \frac q2 \log n\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\overline{m}_*=(m_1^*,\dots,m_d^*)=(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d)\log n.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
В силу (4.15), (4.16) существует $c_{\overline{p},q,\overline{r},d} > 0$ такое, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \psi_n(t_1,\dots,t_d,t_1+\dots+t_d) \geqslant \widetilde h(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d,\widehat s)\log n+ c_{\overline{p},q,\overline{r},d} \sum_{j=1}^d |t_j-m^*_j|, \\ (t_1,\dots,t_d)\in \begin{cases} G_n, & \widehat s=1, \\ \widehat G_n, & \widehat s > 1. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_{G_n} 2^{-\psi_n(t_1,\dots,t_d,t_1+\dots+t_d)}\, dt_1\dotsb dt_d \underset{\overline{p},\overline{r},q,d}{\lesssim} n^{-\widetilde h(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d,\widehat s)},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
S_{2,0}\underset{\overline{p},\overline{r},q,d}{\lesssim} n^{-\widetilde h(\widehat \alpha_1, \dots,\widehat \alpha_d,\widehat s)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь оценим $S_{2,\varepsilon}$ при малых $\varepsilon >0$. Положим
$$
\begin{equation*}
G_{n,\varepsilon}= \biggl\{(t_1,\dots,t_d)\in \mathbb R^d_+\colon \log n-\varepsilon \sum_{j=1}^d |t_j-m_j^*| \leqslant t_1+\dots+t_d\leqslant \frac q2 \log n\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.18) следует, что при достаточно малых $\varepsilon>0$ выполнено
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \psi_n(t_1,\dots,t_d,t_1+\dots+t_d) \geqslant \widetilde h(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d,\widehat s)\log n+ \frac{c_{\overline{p},q,\overline{r},d}}{2} \sum_{j=1}^d |t_j-m^*_j|, \\ (t_1,\dots,t_d) \in G_{n,\varepsilon} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
(максимальное возможное значение $\varepsilon$, для которого выполнено (4.19), определяется по $\overline{p}$, $q$, $\overline{r}$, $d$).
Применим теоремы 8–10 и (4.13). Так как $2^{m_*}\in [n,n^{q/2}]$, то при достаточно малом $\varepsilon>0$ для $n\cdot 2^{-\varepsilon|\overline{m}-\overline{m}_*|}\leqslant 2^m \leqslant n^{q/2}$ выполнено $k_n \asymp n\cdot 2^{-\varepsilon|\overline{m}-\overline{m}_*|}$. Отсюда получаем, что для некоторого $b=b(\overline{p},\overline{r},q,d)>0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{2,\varepsilon} &\underset{q}{\lesssim} \sum_{n\cdot 2^{-\varepsilon|\overline{m}-\overline{m}_*|}\leqslant 2^m \leqslant n^{q/2}} 2^{-\psi_n(\overline{m}, m)}\cdot 2^{\varepsilon b |\overline{m}-\overline{m}_*|} \\ &\!\!\!\!\underset{\overline{p}, \overline{r},q,d}{\lesssim} \int_{G_{n,\varepsilon}} 2^{-\psi(t_1,\dots,t_d,t_1+\dots+t_d)+\varepsilon b\sum_{j=1}^d |t_j-m^*_j|}\, dt_1\dotsb dt_d \\ &\!\!\!\stackrel{(4.19)}{\leqslant} \int_{G_{n,\varepsilon}} 2^{-\widetilde h(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d,\widehat s)\log n-(c_{\overline{p},q,\overline{r},d}/2-b\varepsilon) \sum_{j=1}^d |t_j-m^*_j|}\, dt_1\dotsb dt_d \\ &\!\!\!\!\underset{\overline{p},\overline{r},q,d}{\lesssim} n^{-\widetilde h(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat \alpha_d,\widehat s)} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при малых $\varepsilon >0$. Отсюда и из (4.14) следует требуемая оценка сверху для поперечника.
Докажем оценку снизу. Снова рассмотрим более сложный случай $q>2$. Пусть $\overline{m} \in \mathbb N^d$, $2n\leqslant 2^m \leqslant n^{q/2}$, $\alpha_j=m_j/\log n$, $1\leqslant j\leqslant d$, $s=\alpha_1+\dots+\alpha_d$. Из леммы 3 и теорем 8–10 следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag d_n(W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d),L_q(\mathbb{T}^d)) &\underset{\overline{p},\overline{r},q,d}{\gtrsim} d_n \biggl(\bigcap_{i=1}^d 2^{-m_ir_i-m/q+m/p_i}B^{2^m}_{p_i},l_q^{2^m}\biggr) \\ &\ \ \, \underset{q}{\asymp} 2^{-\psi_n(\overline{m},m)} \stackrel{(4.16)}{=} n^{-\widetilde h( \alpha_1,\dots, \alpha_d,s)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Пусть вектор $\overline{m}_*\in G_n$ определен формулой (4.17), $\overline{m}\in G_n$ – ближайший к $\overline{m}_*$ относительно евклидовой нормы вектор с натуральными координатами такой, что $m\geqslant \log(2n)$. Тогда
$$
\begin{equation}
n^{-\widetilde h( \alpha_1,\dots,\alpha_d,s)} \underset{\overline{p},\overline{r},q,d}{\asymp} n^{\widetilde h(\widehat \alpha_1,\dots,\widehat\alpha_d,\widehat s)},
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
откуда получается требуемая оценка снизу поперечника.
Если $\min_D h\leqslant 0$, то $\min_{\widetilde D} \widetilde h\leqslant\min_{\widetilde D_{q/2}} \widetilde h\leqslant 0$ (см. лемму 6), откуда в силу (4.20), (4.21) следует т.е. $W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d)$ не компактно в $L_q(\mathbb{T}^d)$. Замечание 2. Было показано, что если $\min_D h\leqslant 0$, то § 5. Доказательство теоремы 1В силу теоремы 2 достаточно найти точку минимума функции $h$ на $D$ при $q\leqslant 2$ и функции $\widetilde h$ на $\widetilde D$ при $q>2$. Рассмотрим более сложный случай $q>2$ (при $q\leqslant 2$ рассуждения аналогичные с использованием леммы 1). Сначала докажем теорему при дополнительном предположении $p_i\notin \{2,q\}$, $1\leqslant i\leqslant d$. Тогда $I=I'$, $J=J'$, $K=K'$. Далее числа $\lambda_{i,j}$ и $\mu_{i,j}$ определяем формулами (1.9). Лемма 8. Пусть $p_i\notin \{2,q\}$, $\alpha_i\geqslant 0$ $(1\leqslant i\leqslant d)$, $\alpha_1+\dots+\alpha_d=s$, $1\leqslant s\leqslant q/2$. 1. Пусть $j\in I$. Тогда $\widetilde h(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=r_j\alpha_j$ в том и только том случае, если $\alpha_jr_j-\alpha_ir_i\geqslant 0$, $1\leqslant i\leqslant d$. 2. Пусть $j\in J$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde h(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=r_j\alpha_j- \frac 12\cdot \frac{1/p_j-1/q}{1/2-1/q}(s-1)
\end{equation*}
\notag
$$
в том и только том случае, если
$$
\begin{equation*}
\alpha_jr_j-\alpha_ir_i\geqslant \frac 12\cdot \frac{1/p_j-1/p_i}{1/2-1/q}(s-1), \qquad 1\leqslant i\leqslant d.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Пусть $j\in K$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde h(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=r_j\alpha_j- \frac{s}{p_j}+\frac 12
\end{equation*}
\notag
$$
в том и только том случае, если
$$
\begin{equation*}
\alpha_jr_j-\alpha_ir_i\geqslant \frac{s}{p_j}-\frac{s}{p_i}, \qquad 1\leqslant i\leqslant d.
\end{equation*}
\notag
$$
4. Пусть $i\in I$, $j\in J\cup K$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde h(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=(1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j} r_j\alpha_j
\end{equation*}
\notag
$$
в том и только том случае, если
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_ir_i-\alpha_jr_j\leqslant 0, \qquad \alpha_ir_i-\alpha_jr_j\geqslant \frac 12\cdot \frac{1/p_i-1/p_j}{1/2-1/q}(s-1), \\ \frac{\alpha_ir_i-\alpha_jr_j}{1/p_i-1/p_j} \geqslant \frac{\alpha_ir_i- \alpha_kr_k}{1/p_i-1/p_k}, \qquad k\in J\cup K, \\ \frac{\alpha_ir_i-\alpha_jr_j}{1/p_i-1/p_j} \leqslant \frac{\alpha_kr_k- \alpha_jr_j}{1/p_k-1/p_j}, \qquad k\in I. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
5. Пусть $i\in I\cup J$, $j\in K$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde h(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=(1-\mu_{i,j})r_i\alpha_i+\mu_{i,j} r_j\alpha_j -\frac s2+\frac 12
\end{equation*}
\notag
$$
в том и только том случае, если
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_ir_i-\alpha_jr_j\leqslant \frac 12\cdot \frac{1/p_i-1/p_j}{1/2-1/q}(s-1), \qquad \alpha_ir_i-\alpha_jr_j\geqslant \frac{s}{p_i}-\frac{s}{p_j}, \\ \frac{\alpha_ir_i-\alpha_jr_j}{1/p_i-1/p_j} \geqslant \frac{\alpha_ir_i- \alpha_kr_k}{1/p_i-1/p_k}, \qquad k\in K, \\ \frac{\alpha_ir_i-\alpha_jr_j}{1/p_i-1/p_j} \leqslant \frac{\alpha_kr_k- \alpha_jr_j}{1/p_k-1/p_j}, \qquad k\in I\cup J. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Необходимость. В п. 1 применяем неравенства $\alpha_jr_j\geqslant \alpha_ir_i$ для $i\in I$ и $r_j\alpha_j \geqslant (1-\lambda_{j,i})r_j\alpha_j+\lambda_{j,i}r_i\alpha_i$ для $i\in J\cup K$. В п. 2 применяем неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_j\alpha_j-\frac 12\cdot \frac{1/p_j-1/q}{1/2-1/q}(s-1) \geqslant r_i\alpha_i-\frac 12\cdot \frac{1/p_i-1/q}{1/2-1/q}(s-1), \qquad i\in J, \\ r_j\alpha_j-\frac 12\cdot \frac{1/p_j-1/q}{1/2-1/q}(s-1) \geqslant (1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j}r_j\alpha_j, \qquad i\in I, \\ r_j\alpha_j-\frac 12\cdot \frac{1/p_j-1/q}{1/2-1/q}(s-1) \geqslant (1-\mu_{j,i})r_j\alpha_j+ \mu_{j,i}r_i\alpha_i -\frac s2+\frac 12, \qquad i\in K. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В п. 3 применяем неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_j\alpha_j+\frac 12 -\frac{s}{p_j} \geqslant r_i\alpha_i+\frac 12 -\frac{s}{p_i}, \qquad i\in K, \\ r_j\alpha_j+\frac 12 -\frac{s}{p_j} \geqslant (1-\mu_{i,j})\alpha_ir_i+\mu_{i,j} \alpha_jr_j+\frac 12 -\frac s2, \qquad i\in I\cup J. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В п. 4 применяем неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j} r_j\alpha_j\geqslant r_i\alpha_i, \\ (1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j} r_j\alpha_j\geqslant \alpha_jr_j-\frac 12\cdot \frac{1/p_j-1/q}{1/2-1/q}(s-1) , \qquad j\in J, \\ (1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j} r_j\alpha_j\geqslant (1-\mu_{i,j})r_i\alpha_i+\mu_{i,j} r_j\alpha_j-\frac 12(s-1), \qquad j\in K, \\ (1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j} r_j\alpha_j\geqslant (1-\lambda_{i,k})r_i\alpha_i+ \lambda_{i,k} r_k\alpha_k, \qquad k\in J\cup K, \\ (1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j} r_j\alpha_j\geqslant (1-\lambda_{k,j})r_k\alpha_k+ \lambda_{k,j} r_j\alpha_j, \qquad k\in I. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пункт 5 разбирается аналогично п. 4.
Достаточность. Разберем п. 1 (остальные пункты теоремы аналогичные). Пусть $\alpha_1^*+\dots+\alpha_d^*=s^*\in [1,q/2]$, $\alpha_j^*\geqslant 0$ ($1\leqslant j\leqslant d$), при этом $r_j\alpha_j^*\geqslant r_i\alpha_i^*$ для всех $i=1,\dots,d$, но $\widetilde h(\alpha_1^*,\dots, \alpha_d^*,s^*) > r_j\alpha_j^*$. Тогда существуют $c>0$ и открытое подмножество $U$ множества
$$
\begin{equation*}
\biggl\{(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)\colon \alpha_1+\dots+\alpha_d=s,\, \alpha_i\geqslant 0,\, 1\leqslant s\leqslant \frac q2,\, r_j\alpha_j\geqslant r_i\alpha_i,\,1\leqslant i\leqslant d\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
такие, что для любого $(\alpha_1,\dots, \alpha_d,s)\in U$ выполнено
$$
\begin{equation}
\widetilde h(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)-r_j\alpha_j \geqslant c.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
При достаточно больших $n\in \mathbb N$ существует $(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)\in U$ такое, что $m_k:=\alpha_k\log n \in \mathbb N$ ($1\leqslant k\leqslant d$), $m\geqslant \log(2n)$; напомним, что $m:=m_1+\dots+m_d$. Тогда
$$
\begin{equation*}
2^{-r_jm_j-m/q+m/p_j} \cdot 2^{m(1/p_i-1/p_j)} \leqslant 2^{-r_im_i-m/q+m/p_i}, \qquad 1\leqslant i\leqslant d.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 2 (п. 2)
$$
\begin{equation*}
d_n\biggl(\bigcap_{i=1}^d 2^{-r_im_i-m/q+m/p_i}B_{p_i}^{2^m},l_q^{2^m}\biggr) \underset{q}{\asymp} 2^{-m_jr_j}=n^{-r_j\alpha_j}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, в силу (4.20)
$$
\begin{equation*}
d_n\biggl(\bigcap_{i=1}^d 2^{-r_im_i-m/q+m/p_i}B_{p_i}^{2^m},l_q^{2^m}\biggr) \underset{q}{\asymp} n^{-\widetilde h(\alpha_1, \dots,\alpha_d,s)}\stackrel{(5.1)}{\leqslant} n^{-r_j\alpha_j-c}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем противоречие.
Лемма 8 доказана. Доказательство теоремы 1. Сначала докажем теорему в случае $p_i\notin\{2,q\}$, $1\leqslant i\leqslant d$.
Определим точки
$$
\begin{equation}
\xi_k=(\alpha_1^k,\dots,\alpha_d^k,s^k), \qquad 1\leqslant k\leqslant 4,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
следующим образом: $s^1=s^2=1$, $s^3=s^4=q/2$,
$$
\begin{equation}
\alpha^1_j=\frac{1/r_j}{\sum_{i=1}^d 1/r_i}, \quad \alpha^2_j=\frac{1-\sum_{i=1}^d\frac{1}{r_i}(1/p_i-1/p_j)}{r_j\sum_{i=1}^d 1/r_i}, \qquad 1\leqslant j\leqslant d,
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
$$
\begin{equation}
\alpha^3_j=\frac{q}{2}\alpha_j^2, \quad \alpha^4_j=\frac{q}{2}\alpha_1^j, \qquad 1\leqslant j\leqslant d.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Заметим, что в силу (1.3) выполнено $\alpha^k_j>0$, $1\leqslant k\leqslant 4$, $1\leqslant j\leqslant d$.
Покажем, что минимум функции $\widetilde h$ на $\widetilde D$ может достигаться только в $\xi_1$, $\xi_2$ или $\xi_3$, и вычислим $\widetilde h$ в этих точках. Введем еще некоторые обозначения. Пусть $\widehat l_{m,t}$ – отрезки, соединяющие $\xi_m$ и $\xi_t$, $1\leqslant m,t\leqslant 4$, $m\ne t$. Для $1\leqslant k\leqslant d$ определим отрезки $l_k$, $\widetilde l_k$ и $\widehat l_k$ следующим образом: $l_k$ задаются условиями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, r_1\alpha_1=\dots=r_{k-1}\alpha_{k-1}= r_{k+1}\alpha_{k+1}=\dots=r_d\alpha_d, \\ \alpha_1+\dots+\alpha_d=s=1, \\ r_k\alpha_k- r_j\alpha_j \leqslant 0, \qquad j\ne k, \quad\alpha_i\geqslant 0, \quad 1\leqslant i\leqslant d, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
$\widehat l_k$ задаются условиями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, r_1\alpha_1-\frac{1}{p_1} &=\dots=r_{k-1}\alpha_{k-1}-\frac{1}{p_{k-1}} \\ &= r_{k+1}\alpha_{k+1}-\frac{1}{p_{k+1}}=\dots=r_d\alpha_d-\frac{1}{p_d}, \end{aligned} \\ \alpha_1+\dots+\alpha_d=s=1, \\ r_k\alpha_k-r_j\alpha_j\leqslant \frac{1}{p_k}-\frac{1}{p_j}, \qquad j\ne k, \quad\alpha_i\geqslant 0, \quad 1\leqslant i\leqslant d, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
$\widetilde l_k$ задаются условиями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, r_1\alpha_1-\frac{q}{2p_1}&=\dots=r_{k-1}\alpha_{k-1}-\frac{q}{2p_{k-1}} \\ &= r_{k+1}\alpha_{k+1}-\frac{q}{2p_{k+1}}=\dots=r_d\alpha_d-\frac{q}{2p_d}, \end{aligned} \\ \alpha_1+\dots+\alpha_d=s=\frac q2, \\ r_k\alpha_k-r_j\alpha_j\leqslant \frac{q}{2p_k}-\frac{q}{2p_j}, \qquad j\ne k, \quad \alpha_i\geqslant 0, \quad 1\leqslant i\leqslant d. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Отметим, что $\xi_1\in l_k$, $\xi_2\in \widehat l_k$, $\xi_3\in \widetilde l_k$, причем это концы соответствующих отрезков; системы из равенств и неравенств (5.5)–(5.7) имеют одну и ту же матрицу. Значит, отрезки $l_k$, $\widetilde l_k$ и $\widehat l_k$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, l_k=\xi_1+tv_k, \qquad 0\leqslant t\leqslant \tau_k, \\ \widehat l_k=\xi_2+tv_k, \qquad 0\leqslant t\leqslant \widehat\tau_k, \\ \widetilde l_k=\xi_3+tv_k, \qquad 0\leqslant t\leqslant \widetilde \tau_k; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
здесь $\tau_k$, $\widehat \tau_k$, $\widetilde \tau_k$ – положительные числа.
Обозначим $\xi_{1,k}=\xi_1+\tau_kv_k$ (это второй конец ребра $l_k$). Тогда $\xi_{1,k}$ задается равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \alpha_k=0, \qquad r_1\alpha_1=\dots=r_{k-1}\alpha_{k-1}=r_{k+1}\alpha_{k+1}=\dots=r_d\alpha_d, \\ \alpha_1+\dots+\alpha_d=s=1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\psi_j(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)=r_j\alpha_j, \qquad 1\leqslant j\leqslant d.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \psi_j(\xi_1) \stackrel{(5.3)}{=} \frac{1}{\sum_{i=1}^d 1/r_i}, \quad \psi_j(\xi_4) \stackrel{(5.4)}{=} \frac{q}{2\sum_{i=1}^d 1/r_i}, \qquad 1\leqslant j\leqslant d, \\ \psi_j(\xi_{1,k}) \stackrel{(5.9)}{=} \frac{1}{\sum_{i\ne k}1/r_i}, \qquad j\ne k. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Множество $\widetilde D$ разбивается на многогранники, в которых $\widetilde h$ задается аффинной функцией. Найдем у каждого такого многогранника множество вершин со строго положительными $\alpha_j$, а также множество ребер, выходящих из этих вершин. Пусть $V$ – один из таких многогранников. 1. Пусть $V=\{(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)\in \widetilde D\colon \widetilde h(\alpha_1,\dots, \alpha_d,s)=r_j\alpha_j\}$, где $j\in I$. Применим п. 1 леммы 8. В вершинах $V$, имеющих строго положительные координаты, выполнены равенства $r_1\alpha_1=\dots= r_d\alpha_d$, где $\alpha_1+\dots+\alpha_d=s=1$ или $\alpha_1+\dots+\alpha_d=s=q/2$. Эти равенства задают точки $\xi_1$ и $\xi_4$. Ребра, выходящие из $\xi_1$, задаются условиями
$$
\begin{equation*}
\biggl\{(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)\colon r_1\alpha_1=\dots=r_d\alpha_d,\, \alpha_1+\dots+\alpha_d=s\in \biggl[1,\frac q2\biggr]\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
или (5.5) с $k\ne j$ (см. п. 1 леммы 8); т.е. это $\widehat l_{1,4}$ и $l_k$, $k\ne j$. Из (5.10), (5.11) следует, что
$$
\begin{equation}
\widetilde h(\xi_1)< \widetilde h(\xi_4), \qquad \widetilde h(\xi_1)< \widetilde h(\xi_{1,k}), \quad k\ne j.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Поэтому минимум функции $\widetilde h$ на $V$ достигается только в точке $\xi_1$ и равен
$$
\begin{equation}
\min_V \widetilde h=\widetilde h(\xi_1)= \psi_j(\xi_1)\stackrel{(5.11)}{=}\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}.
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
2. Пусть
$$
\begin{equation}
V=\biggl\{(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)\in \widetilde D\colon \widetilde h(\alpha_1,\dots,\alpha_d, s)=r_j\alpha_j-\frac 12\cdot \frac{1/p_j-1/q}{1/2-1/q}(s-1)\biggr\},
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
где $j\in J$. В силу п. 2 леммы 8 вершины многогранника $V$ с положительными координатами удовлетворяют равенствам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_1\alpha_1-\frac 12\cdot \frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}(s-1)=\dots=r_d\alpha_d-\frac 12\cdot \frac{1/p_d-1/q}{1/2-1/q}(s-1), \\ \alpha_1+\dots+\alpha_d=s, \qquad s=1 \quad \text{или }\ s=\frac q2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При $s=1$ получаем точку $\xi_1$, при $s=q/2$ – точку $\xi_3$. Ребра, выходящие из точки $\xi_1$, – это либо $l_k$ ($k=1,\dots,d$, $k\ne j$; см. (5.5) и п. 2 леммы 8), либо отрезок $\widehat l_{1,3}$, соединяющий $\xi_1$ и $\xi_3$. Так как в силу (5.14) при $s=1$ выполнено $\widetilde h(\alpha_1,\dots, \alpha_d,1)=r_j\alpha_j$, то из (5.10), (5.11) получаем, что $\widetilde h(\xi_1)<\widetilde h(\xi_{1,k})$, $k\ne j$. Значит, если $\widetilde h(\xi_1)\leqslant \widetilde h(\xi_3)$, то $\xi_1$ будет точкой минимума $\widetilde h$ на $V$, при этом $\widetilde h (\xi_1)={\langle \overline{r}\rangle}/{d}$. Ребра, выходящие из точки $\xi_3$, – это либо $\widehat l_{1,3}$, либо отрезки $\widetilde l_k$ ($k=1,\dots,d$, $k\ne j$; см. (5.7)). Пусть $\xi_{3,k}\ne \xi_3$ – конец ребра $\widetilde l_k$. Из (5.8), (5.10), (5.11) и (5.14) следует, что Значит, если $\widetilde h(\xi_1)\geqslant \widetilde h(\xi_3)$, то $\xi_3$ будет точкой минимума $\widetilde h$ на $V$; при этом
$$
\begin{equation*}
\widetilde h(\xi_3)=\frac q2 \biggl( \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q -\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ \overline{r}\rangle}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\min_V \widetilde h=\min \bigl\{\widetilde h(\xi_1),\widetilde h(\xi_3)\bigr\}= \min \biggl \{\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d},\frac q2 \biggl( \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q -\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ \overline{r}\rangle}\biggr)\biggr\};
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
если при этом
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d} \ne \frac q2 \biggl( \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q -\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ \overline{r}\rangle}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
то минимум на $V$ достигается только в одной точке.
3. Пусть
$$
\begin{equation}
V=\biggl\{(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)\in \widetilde D\colon \widetilde h(\alpha_1,\dots,\alpha_d, s)=r_j\alpha_j+\frac 12-\frac{s}{p_j}\biggr\},
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
где $j\in K$. В силу п. 3 леммы 8 вершины многогранника $V$ с положительными координатами задаются равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_1\alpha_1-\frac{s}{p_1}=\dots=r_d\alpha_d-\frac{s}{p_d}, \\ \alpha_1+\dots+\alpha_d=s, \qquad s=1 \quad\text{или }\ s=\frac q2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При $s=1$ получаем точку $\xi_2$, при $s=q/2$ – точку $\xi_3$. Ребра, выходящие из $\xi_3$, – это либо $\widetilde l_k$ ($k\ne j$; см. (5.7) и п. 3 леммы 8), либо отрезок $\widehat l_{2,3}$. Ребра, выходящие из $\xi_2$, – это либо $\widehat l_{2,3}$, либо отрезки $\widehat l_k$ ($k\ne j$; см. (5.6)). Пусть $\xi_{2,k}\ne \xi_2$ – конец ребра $\widehat l_k$, $\xi_{3,k}\ne \xi_3$ – конец ребра $\widetilde l_k$. Из (5.8), (5.10), (5.11) и (5.17) следует, что $\widetilde h(\xi_2)< \widetilde h(\xi_{2,k})$, $\widetilde h(\xi_3)< \widetilde h(\xi_{3,k})$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \min_V\widetilde h &=\min\bigl\{\widetilde h(\xi_2),\widetilde h(\xi_3)\bigr\} \\ &=\min \biggl\{ \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 12 -\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ \overline{r}\rangle},\frac q2 \biggl( \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q -\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ \overline{r}\rangle}\biggr)\biggr\}; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
если при этом
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 12 -\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ \overline{r}\rangle}\ne \frac q2 \biggl( \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q -\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ \overline{r}\rangle}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
то минимум функции $\widetilde h$ на $V$ достигается только в одной точке.
4. Пусть
$$
\begin{equation}
V=\bigl\{(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)\in \widetilde D\colon \widetilde h(\alpha_1, \dots,\alpha_d,s)=(1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j}r_j\alpha_j\bigr\},
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
где $i\in I$, $j\in J\cup K$. В силу п. 4 леммы 8 вершины многогранника $V$ с положительными координатами задаются равенствами
$$
\begin{equation}
\frac{\alpha_ir_i-\alpha_jr_j}{1/p_i-1/p_j}=\frac{\alpha_ir_i-\alpha_kr_k}{1/p_i-1/p_k}, \qquad k\in J\cup K,
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\alpha_ir_i-\alpha_jr_j}{1/p_i-1/p_j}=\frac{\alpha_kr_k-\alpha_jr_j}{1/p_k-1/p_j}, \qquad k\in I,
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \alpha_1+\dots+\alpha_d=s, \qquad s=1 \quad\text{или }\ s=\frac q2,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \alpha_ir_i-\alpha_jr_j=0 \quad\text{или }\ \alpha_ir_i-\alpha_jr_j=\frac 12\cdot \frac{1/p_i-1/p_j}{1/2-1/q}(s-1).
\end{equation}
\notag
$$
В случае $\alpha_ir_i-\alpha_jr_j=0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\alpha_1r_1=\dots=\alpha_dr_d, \qquad \alpha_1+\dots+\alpha_d=s, \quad s=1 \quad\text{или }\ s=\frac q2.
\end{equation*}
\notag
$$
При $s=1$ получаем точку $\xi_1$, при $s=q/2$ – точку $\xi_4$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\alpha_ir_i-\alpha_jr_j=\frac 12\cdot \frac{1/p_i-1/p_j}{1/2-1/q}(s-1).
\end{equation*}
\notag
$$
При $s=1$ это совпадает с равенством $\alpha_ir_i-\alpha_jr_j=0$, так что снова получаем точку $\xi_1$. При $s=q/2$ имеем $\alpha_ir_i-\alpha_jr_j=\frac q2 (1/p_i-1/p_j)$; отсюда и из (5.20), (5.21) получаем
$$
\begin{equation*}
\alpha_1-\frac{q}{2p_1}=\dots=\alpha_d-\frac{q}{2p_d}, \qquad \alpha_1+\dots+\alpha_d=s=\frac q2.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти равенства задают вершину $\xi_3$.
Ребра, выходящие из $\xi_1$, – это либо $l_k$ ($k\ne i$, $j$), либо $\widehat l_{1,3}$, либо $\widehat l_{1,4}$. На ребрах $l_k$ и $\widehat l_{1,4}$ выполнено $r_i\alpha_i=r_j\alpha_j$ и функция $\widetilde h$ совпадает с $\alpha_ir_i$. Отсюда и из (5.10), (5.11) следует, что $\widetilde h(\xi_1)< \widetilde h(\xi_4)$, $\widetilde h(\xi_1)< \widetilde h(\xi_{1,k})$, $k\ne i,j$. Значит, если $\widetilde h(\xi_1)\leqslant \widetilde h(\xi_3)$, то $\min_{V} \widetilde h=\widetilde h(\xi_1)={\langle \overline{r} \rangle}/{d}$. Ребра, выходящие из $\xi_3$, – это либо $\widetilde l_k$ ($k\ne i$, $j$), либо $\widehat l_{1,3}$, либо $\widehat l_{3,4}$. На ребрах $\widetilde l_k$ выполнено $r_i\alpha_i-{q}/(2p_i)=r_j\alpha_j-q/(2p_j)$, поэтому на $\widetilde l_k$ функция $\widetilde h$ равна
$$
\begin{equation*}
(1-\lambda_{i,j})r_i\alpha_i+\lambda_{i,j}r_j\alpha_j=r_i\alpha_i+\frac 12 -\frac{q}{2p_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, в силу (5.8), (5.10) и (5.11) $\widetilde h(\xi_3)<\widetilde h(\xi_{3,k})$, $k\ne i,j$. Поэтому если $\widetilde h(\xi_3)\leqslant \widetilde h(\xi_1)$, то отсюда и из неравенства $\widetilde h(\xi_1) < \widetilde h(\xi_4)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\min_V \widetilde h=\widetilde h(\xi_3)=\frac q2 \biggl( \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q -\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ \overline{r}\rangle}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге получаем
$$
\begin{equation}
\min_V \widetilde h=\min \{\widetilde h(\xi_1),\widetilde h(\xi_3)\} = \min \biggl \{\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d},\frac q2 \biggl( \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q -\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ \overline{r}\rangle}\biggr)\biggr\};
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
если при этом
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d} \ne \frac q2 \biggl( \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q -\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{p}\circ \overline{r}\rangle}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
то минимум на $V$ достигается только в одной точке.
5. Аналогичными рассуждениями получаем, что если
$$
\begin{equation*}
V=\biggl\{(\alpha_1,\dots,\alpha_d,s)\in \widetilde D\colon \widetilde h(\alpha_1,\dots,\alpha_d, s)=(1-\mu_{i,j})r_i\alpha_i+\mu_{i,j}r_j\alpha_j+\frac 12 -\frac s2\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
$i\in I\cup J$, $j\in K$, то вершинами $V$ с положительными координатами являются $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_3$ и
$$
\begin{equation}
\min_V \widetilde h=\min \{h(\xi_1),h(\xi_2),h(\xi_3)\}=\min \{\theta_1,\theta_2,\theta_3\}
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
(см. обозначения в формулировке теоремы); так как по условию теоремы существует $j_*\in \{1,2,3\}$ такое, что $\theta_{j_*}=\min_{j\ne j_*} \theta_j$, то минимум в (5.23) достигается ровно в одной точке.
Итак, множество $\widetilde D$ разбивается на замкнутые многогранники $V^{(k)}$, $1\leqslant k\leqslant k_0$, каждый из которых определяется условиями из разобранных случаев 1–5.
Теперь рассмотрим общий случай, когда $p_i$ могут быть равными $2$ или $q$. Определим $\overline{p}^N=(p_1^N,\dots,p_d^N)$ следующим образом. Если $p_j\notin \{2,q\}$, то полагаем $p_j^N=p_j$. Если $p_j=q$, то полагаем $p_j^N=q+1/N$, а если $p_j=2$, то полагаем $p_j^N=2 \pm 1/N$ (знак один и тот же для всех $j$; если $K=\{1,\dots,d\}$, то берем знак минус, иначе берем знак плюс). При больших $N$ получаем $p_j^N\notin \{2, q\}$, $1\leqslant j\leqslant d$. Пусть функция $\widetilde h^N$ задана той же формулой, что и $\widetilde h$, с заменой $p_j$ на $p_j^N$. Тогда $\widetilde h^N$ сходится к $\widetilde h$ равномерно на $\widetilde D$. Условие (1.3) для $\overline{p}^N$ при больших $N$ выполнено, если оно выполнено для $\overline{p}$. Пусть $\xi_t$ ($1\leqslant t\leqslant 4$) заданы формулами (5.2)–(5.4). Множество $T\subset \{1,2,3\}$ определим следующим образом: если $I=\{1,\dots,d\}$, то $T=\{1\}$, если $I \ne \{1,\dots,d\}$ и $I\cup J=\{1,\dots,d\}\ne K$, то $T=\{1,3\}$; если $K= \{1,\dots,d\}$, то $T=\{2,3\}$; в остальных случаях $T=\{1,2,3\}$. Отметим, что все точки $\xi_t$, $t\in T$, различны. Покажем, что $\min_{\widetilde D} \widetilde h=\min_{t\in T} \widetilde h(\xi_t)$. В самом деле, определим $\xi_t^N$ и $T_N$ аналогично определению $\xi_t$ и $T$, с заменой $\overline{p}$ на $\overline{p}^N$. Тогда $\xi_t^N\underset{N\to \infty}{\to} \xi_t$ и при больших $N$ выполнено $T_N=T$ (далее рассматриваем только такие $N$). В силу доказанного выше $\min_{\widetilde D} \widetilde h^N=\min_{t\in T}\widetilde h^N(\xi_t^N)$. Существуют $t_*\in T$ и подпоследовательность $\{N_m\}_{m\in \mathbb N}$ такие, что $\min_{t\in T}\widetilde h^{N_m}(\xi_t^{N_m})=\widetilde h^{N_m}(\xi_{t_*}^{N_m})$. Так как $\widetilde h^N$ сходится к $\widetilde h$ равномерно на $\widetilde D$ и $\xi_t^N\underset{N\to \infty}{\to} \xi_t$, то $\min_{\widetilde D} \widetilde h=\widetilde h(\xi_{t_*})$. Явный вид $\widetilde h(\xi_{t_*})$ также следует из формул для $\widetilde h^{N_m}(\xi_{t_*}^{N_m})$; см. (5.13), (5.16), (5.18), (5.22), (5.23). Теперь докажем, что $\xi_{t_*}$ – единственная точка минимума $\widetilde h$. Для этого достаточно проверить, что существует константа $c=c(\overline{p},q,\overline{r},d)>0$ такая, что при больших $m\in \mathbb N$ выполнено
$$
\begin{equation}
\widetilde h^{N_m}(\xi) -\widetilde h^{N_m}(\xi^{N_m}_{t_*}) \geqslant c|\xi- \xi^{N_m}_{t_*}|, \qquad \xi \in \widetilde D
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
(здесь $|\cdot|$ – евклидова норма на $\mathbb R^{d+1}$); отсюда предельным переходом получается неравенство $\widetilde h(\xi)-\widetilde h(\xi_{t_*})\geqslant c|\xi-\xi_{t_*}|$, $\xi\in \widetilde D$.
Докажем (5.24). Снова рассмотрим многогранник $V=V(m)$, содержащий вершину $\xi_{t_*}^{N_m}$, на котором $\widetilde h^{N_m}$ – аффинная функция (см. описанный выше разбор случаев 1–5). Достаточно доказать, что (5.24) выполнено для точек $\xi$, принадлежащих ребру, выходящему из вершины $\xi_{t_*}^{N_m}$. В самом деле, по условию теоремы $\widetilde h(\xi_{t_*}) < \widetilde h(\xi_t)$, $t\in T\setminus \{t_*\}$. Отсюда, так как $\widetilde h^N$ равномерно сходится к $\widetilde h$ на $\widetilde D$ и $\xi_t^N$ сходятся к $\xi_t$, получаем, что при больших $m$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\widetilde h^{N_m}(\xi_t^{N_m})-\widetilde h^{N_m}(\xi_{t_*}^{N_m}) \underset{\overline{p},q,\overline{r},d}{\gtrsim} |\xi_t^{N_m}-\xi_{t_*}^{N_m}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, (5.24) выполнено на ребре, соединяющем $\xi_{t_*}^{N_m}$ и $\xi^{N_m}_t$, $t\in T\,{\setminus}\, \{t_*\}$. Также из $\xi_{t_*}^{N_m}$ может выходить ребро, соединяющее $\xi_{t_*}^{N_m}$ и $\xi_4^{N_m}$ (тогда $\xi_1^{N_m} \in V$; см. разбор случаев 1 и 4), при этом
$$
\begin{equation*}
\widetilde h^{N_m}(\xi_4^{N_m})=\frac q2 \widetilde h^{N_m}(\xi_1^{N_m})=\frac q2 \cdot \frac{\langle \overline{r} \rangle}{d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, на таком ребре тоже выполнено (5.24). Наконец, ребро, выходящее из $\xi^{N_m}_{t_*}$, может совпадать с $l_k^m$, $\widetilde l_k^m$ или $\widehat l_k^m$ (эти отрезки задаются формулами, аналогичными (5.5), (5.7) и (5.6), с заменой $\overline{p}$ на $\overline{p}^{N_m}$). При разборе случаев было показано, что на $l_k^m$, $\widetilde l_k^m$ или $\widehat l_k^m$ функция $\widetilde h^{N_m}$ имеет вид $\alpha_jr_j+\mathrm{const}$; $s$ на этих ребрах равно $1$ или $q/2$. Учитывая (5.8), (5.10), (5.11), получаем, что (5.24) выполнено на ребрах $l_k^m$, $\widetilde l_k^m$ и $\widehat l_k^m$, выходящих из $\xi^{N_m}_{t_*}$.
Теорема 1 доказана. § 6. Доказательство теорем 3 и 4Сначала докажем, что если $\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q-\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{r}\circ \overline{p}\rangle}\leqslant 0$, то $W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d)$ не будет компактным в $L_q(\mathbb{T}^d)$. Это доказывается индукцией по $d$. При $d=1$ это известный результат. Проведем индукционный переход от $d-1$ к $d$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q-\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{r}\circ \overline{p}\rangle}\leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда существует $j\in \{1,\dots,d\}$ такое, что $p_j<q$. Сначала предположим, что выполнено (1.3). Учитывая, что $p_j<q$ для некоторого $j$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \min_D h\leqslant \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q-\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{r}\circ \overline{p}\rangle}\leqslant 0 \quad\text{при }\ q\leqslant 2, \\ \min_{\widetilde D} \widetilde h \leqslant \frac q2 \biggl( \frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q- \frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{r}\circ \overline{p}\rangle}\biggr)\leqslant 0 \quad\text{при }\ q>2 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. теоремы 1, 2). Значит,
$$
\begin{equation*}
d_n(W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^d),L_q(\mathbb{T}^d)) \underset{\overline{r}, d, \overline{p}, q}{\gtrsim} 1
\end{equation*}
\notag
$$
(см. замечание 2), и поэтому нет компактного вложения. Пусть условие (1.3) не выполнено, т.е. существует $j\in \{1,\dots,d\}$ такое, что
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^d \frac{1}{r_i} \biggl(\frac{1}{p_i}-\frac{1}{p_j}\biggr) \geqslant 1.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Обозначим $\overline{r}_j=(r_1,\dots,r_{j-1},r_{j+1},\dots,r_d)$, $\overline{p}_j=(p_1, \dots,p_{j-1},p_{j+1},\dots,p_d)$. Тогда (6.1) равносильно неравенству
$$
\begin{equation}
\frac{\langle \overline{r}_j\rangle}{d-1}+\frac{1}{p_j}-\frac{\langle \overline{r}_j\rangle}{\langle \overline{r}_j\circ \overline{p}_j\rangle}\leqslant 0.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Если $p_j\leqslant q$, то
$$
\begin{equation}
\frac{\langle \overline{r}_j\rangle}{d-1}+\frac{1}{q}-\frac{\langle \overline{r}_j\rangle}{\langle \overline{r}_j\circ \overline{p}_j\rangle}\leqslant 0
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
и $W^{\overline{r}_j}_{\overline{p}_j}(\mathbb{T}^{d-1})$ не вкладывается компактно в $L_q(\mathbb{T}^{d-1})$ по предположению индукции. Отсюда следует, что $W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^{d})$ не вкладывается компактно в $L_q(\mathbb{T}^{d})$. Пусть $p_j>q$. Положим $\overline{p}^*=(p_1,\dots,p_{j-1},q,p_{j+1},\dots,p_d)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{\langle \overline{r}\rangle}{d}+\frac 1q-\frac{\langle \overline{r}\rangle}{\langle \overline{r}\circ \overline{p}^*\rangle}<0,
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому $W^{\overline{r}}_{\overline{p}^*}(\mathbb{T}^{d})$ не будет ограниченным в $L_q(\mathbb{T}^{d})$ [1; теорема 1]. С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
W^{\overline{r}}_{\overline{p}^*}(\mathbb{T}^{d}) \subset\{f\in \mathring{\mathcal S}'(\mathbb{T}^d)\colon \|\partial_j^{r_j}f\|_{L_{q}(\mathbb{T}^d)}\leqslant 1\};
\end{equation*}
\notag
$$
правая часть задает ограниченное в $L_q(\mathbb{T}^{d})$ множество. Получили противоречие. Таким образом, случай $p_j>q$ невозможен. Доказательство теоремы 3. Пусть $j\in \{1,\dots,d\}$ таково, что выполнено (6.1), что эквивалентно (6.2). По условию теоремы $p_j\leqslant q$. Значит, выполнено (6.3). В силу доказанного $W^{\overline{r}_j}_{\overline{p}_j}(\mathbb{T}^{d-1})$ не вкладывается компактно в $L_q(\mathbb{T}^{d-1})$; значит, $W^{\overline{r}}_{\overline{p}}(\mathbb{T}^{d})$ не вкладывается компактно в $L_q(\mathbb{T}^{d})$.
Теорема доказана. Доказательство теоремы 4. Применим теорему 2 и выпишем функции $h$ при $q\leqslant 2$ и $\widetilde h$ при $q>2$.
Пусть $q\leqslant 2$. Тогда в силу (1.10) и (1.6)
$$
\begin{equation*}
h(\alpha_1,\alpha_2)= \begin{cases} r_1\alpha_1 & \text{при } r_1\alpha_1-r_2\alpha_2\geqslant 0, \\ (1-\lambda)r_1\alpha_1+\lambda r_2\alpha_2 & \text{при } r_1\alpha_1-r_2\alpha_2\leqslant 0 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
(случай $h(\alpha_1,\alpha_2)=r_2\alpha_2+1/q-1/p_2 > (1-\lambda)r_1\alpha_1+\lambda r_2\alpha_2$ возможен только при $r_2\alpha_2> r_1\alpha_1+1/p_2-1/p_1$, что противоречит (1.10)). Так как ${\langle \overline{r}\rangle}/{2}\ne \lambda r_2$, то минимум функции $h$ достигается в одной из точек:
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1/r_1}{1/r_1+1/r_2}, \frac{1/r_2}{1/r_1+1/r_2}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
или $(0,1)$. Отсюда следует (1.11).
Пусть $q>2$. Отметим, что $\widehat s\in [1,q/2]$. В случае $p_2\geqslant 2$ в силу леммы 8
$$
\begin{equation*}
\widetilde h(\alpha_1,\alpha_2,s)= \begin{cases} r_1\alpha_1 & \text{при } r_1\alpha_1-r_2\alpha_2\geqslant 0, \\ (1-\lambda)r_1\alpha_1+\lambda r_2\alpha_2 & \text{при } \dfrac12\cdot \dfrac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}(s-1) \\ &\qquad \leqslant r_1\alpha_1-r_2\alpha_2\leqslant 0, \\ r_2\alpha_2-\dfrac 12\cdot \dfrac{1/p_2-1/q}{1/2-1/q}(s-1) & \text{при } r_1\alpha_1-r_2\alpha_2 \\ &\qquad\leqslant \dfrac12\cdot \dfrac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}(s-1). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\theta_1\ne \theta_2$, то минимум этой функции может достигаться в одной из точек:
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1/r_1}{1/r_1+1/r_2},\frac{1/r_2}{1/r_1+1/r_2},1\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и $(0,\widehat s,\widehat s)$.
В случае $p_2< 2$ в силу леммы 8
$$
\begin{equation*}
\widetilde h(\alpha_1,\alpha_2,s)= \begin{cases} r_1\alpha_1 & \text{при } r_1\alpha_1-r_2\alpha_2\geqslant 0, \\ (1-\lambda)r_1\alpha_1+\lambda r_2\alpha_2 & \text{при } \dfrac12\cdot \dfrac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}(s-1) \\ &\qquad \leqslant r_1\alpha_1-r_2\alpha_2\leqslant 0, \\ (1-\mu)r_1\alpha_1+\mu r_2\alpha_2-\dfrac 12 (s-1) & \text{при } r_1\alpha_1-r_2\alpha_2 \\ &\qquad \leqslant \dfrac12\cdot \dfrac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}(s-1); \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
вариант
$$
\begin{equation*}
\widetilde h(\alpha_1,\alpha_2,s)=r_2\alpha_2+\frac 12- \frac{s}{p_2}>(1-\mu)r_1\alpha_1+\mu r_2\alpha_2-\frac 12 (s-1)
\end{equation*}
\notag
$$
невозможен в силу (1.10).
В силу (1.12) минимум функции $\widetilde h$ может достигаться в одной из точек: $(0,\widehat s,\widehat s)$, $(0,1,1)$ и
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1/r_1}{1/r_1+1/r_2}, \frac{1/r_2}{1/r_1+1/r_2},1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следуют оценки в п. 2 теоремы. Теорема 4 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vas24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|