| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Интерполяционная теорема Марцинкевича для пространств типа Харди и ее приложения В. Г. Кротов Механико-математический факультет, Белорусский государственный университет, г. Минск, Республика Беларусь
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10077e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Основные обозначенияПусть $(X,\mu)$ – множество с $\sigma$-конечной мерой $\mu$, $L^0(X)$ – множество (классов эквивалентности) измеримых комплекснозначных функций на $X$. Рассмотрим функционал
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^0(X)}:=\inf_{\delta>0}\bigl\{\mu\{|f|>\delta\}+\delta\bigr\}, \qquad f\in L^0(X),
\end{equation*}
\notag
$$
с помощью которого определяется метрика в $L^0(X)$
$$
\begin{equation}
d_{L^0}(f_1,f_2):=\|f_1-f_2\|_{L^0(X)}, \qquad f_1,f_2\in L^0(X).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Сходимость по этой метрике совпадает со сходимостью по мере на $X$. Для $0<p<\infty$ обозначим через $L^p(X)$ подмножества $L^0(X)$, состоящие из функций, для которых конечна квазинорма
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^p(X)}:=\biggl(\int_X|f|^p\,d\mu\biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
$L^\infty(X)$ – подмножество в $L^0(X)$, состоящее из существенно ограниченных функций,
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^\infty(X)}:=\inf\bigl\{\lambda\colon \mu\{x\in x\colon |f(x)|>\lambda\}\bigr\}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество всех функций $f\in L^0(X)$, представимых в виде $f=f_0+f_1$, где $f_0\in L^{p_0}(X)$, $f_1\in L^{p_1}(X)$, обозначается $L^{p_0}(X)+L^{p_1}(X)$, и
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^{p_0}(X)+L^{p_1}(X)}:=\inf\bigl\{\|f_0\|_{L^{p_0}(X)}+\|f_1\|_{L^{p_1}(X)}\colon f=f_0+f_1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $(Y,\nu)$ – еще одно множество с $\sigma$-конечной мерой $\nu$ и $T$ – оператор, определенный на некотором множестве в $L^0(X)$ со значениями в $L^0(Y)$. Тогда $T$ называется квазисубаддитивным, если существует такое число $K_1=K_1(T)>0$, что справедливо неравенство1 Если дополнительно то $T$ называется квазилинейным ($T(u+v)$ считается определенным, как только определены $Tu$ и $Tv$, $T(\lambda u)$ считается определенным, если определено $Tu$). В случае $K_1=1$ используются термины “субаддитивный” и “сублинейный” соответственноЗапись $A\lesssim B$ означает, что $A\leqslant CB$ для некоторой постоянной $C>0$, зависящей, возможно, от некоторых параметров, которые будут указываться явно. 1.2. Теорема МарцинкевичаПервоначальная форма интерполяционной теоремы Марцинкевича для пространств $L^p$ содержала условия слабого типа вида
$$
\begin{equation}
\nu(\{|Tf|>\lambda\})\leqslant \biggl(\frac{M}{\lambda}\|f\|_{L^p(X)}\biggr)^q, \qquad \lambda>0, \quad f\in L^p(X),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
на линейный или положительный субаддитивный оператор $T$ (см. [1], [2], а также [3; гл. 12, § 4], [4; приложение Б]). Более общий подход к утверждениям такого рода изложен, например, в монографиях [5], [6]. Условие (1.4) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\|Tf\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant M\|f\|_{L^{p}(X)}, \qquad f\in L^{p}(X),
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
с помощью слабых $L^p$-квазинорм
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L^{p,\infty}(X)}:=\sup_{\lambda>0}\lambda[\mu(\{|f|>\lambda\})]^{1/p}, \qquad p>0.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Теорема 1. Пусть $T\colon L^{p_0}(X)+L^{p_1}(X)\to L^0(X)$ – квазисубаддитивный оператор, $1\leqslant p_0\leqslant q_0\leqslant\infty$, $1\leqslant p_1\leqslant q_1\leqslant\infty$, $p_0<p_1$, $q_0\ne q_1$. Пусть существуют такие постоянные $M_0$ и $M_1$, что выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|Tf\|_{L^{q_0,\infty}(Y)}\leqslant M_0\|f\|_{L^{p_0}(X)}, \qquad f\in L^{p_0}(X), \\ \|Tf\|_{L^{q_1,\infty}(Y)}\leqslant M_1\|f\|_{L^{p_1}(X)}, \qquad f\in L^{p_1}(X). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\theta\in(0,1)$,
$$
\begin{equation}
\frac{1}{p}=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}, \qquad\frac{1}{q}=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Тогда ($\lesssim$ зависит от $K_1$, $p_0$, $p_1$, $q_0$, $q_1$, $\theta$).Это утверждение обычно называют интерполяционной теоремой Марцинкевича, она является важным инструментом во многих разделах современного анализа, использующих шкалу пространств суммируемых функций $L^p$. История развития теоремы 1 берет свое начало с заметки Й. Марцинкевича [1], в которой без доказательства был приведен ее “диагональный” случай $p_0=q_0$, $p_1=q_1$. Затем А. Зигмунд в [2] опубликовал ее полную версию. 1.3. Теорема Стейна–Вейса–ГрафакосаПрименение условия (1.5) к характеристической функции $\chi_A$ измеримого множества $A\subset X$ приводит к неравенству
$$
\begin{equation}
\|T\chi_A\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant M[\mu(A)]^{1/p},
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
которое называется неравенством ослабленного (суженного слабого) типа. Такие условия в интерполяционной теореме Марцинкевича впервые вводились в работе И. Стейна и Г. Вейса [7] (см. также [8; § 5.3]). При этом в [7] рассматривались значения параметров $p_0,p_1,q_0,q_1\geqslant 1$ и операторы, определенные на классе $S(X)$ простых функций на $X$ (конечных линейных комбинаций характеристических функций измеримых множеств конечной меры). В книге Л. Графакоса [9; теорема 1.4.19] интерполяционная теорема Марцинкевича с условиями (1.8) Стейна–Вейса была распространена на любые положительные значения параметров $p$ и $q$. Для формулировки нам понадобятся пространства Лоренца. Для $0<p,r\leqslant\infty$ обозначим $L^{p,r}(X)$ пространства Лоренца (см. [10], а также [8; § 5.3]) с квазинормой
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L^{p,r}(X)}:= \begin{cases} \displaystyle \biggl(\int_0^{\infty}[t^{1/p}f^*(t)]^r\,\frac{dt}{t}\biggr)^{1/r},& 0<r<\infty, \\ \displaystyle \sup_{t>0}t^{1/p}f^*(t), & r=\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
где $f^*$ – убывающая равноизмеримая перестановка функции $f$ на $X$:
$$
\begin{equation*}
f^*(t):=\inf\bigl\{s>0\colon \mu(\{|f|>s\})\leqslant t\bigr\}, \qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [8; § 5.3]). При $r=\infty$ квазинорма (1.9) совпадает с (1.6) (см. [8; лемма 3.8]). Теорема 2. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, $0<r<\infty$, $T\colon L^{p_0}(X)+L^{p_1}(X)\to L^0(Y)$ – квазилинейный и непрерывный оператор, удовлетворяющий условиям: существуют такие постоянные $M_0$ и $M_1$, что для любого измеримого множества $A\subset X$ конечной меры выполнены неравенства Пусть $\theta\in(0,1)$, $p$ и $q$ определяются равенствами (1.7). Тогда ($\lesssim$ зависит от $K_1$, $p_0$, $p_1$, $q_0$, $q_1$, $r$, $\theta$).В [9; теорема 1.4.19] был приведен результат, близкий к теореме 2, в котором отсутствовало требование непрерывности оператора $T$. Однако доказательство содержало пробел, устранение которого послужило поводом для публикации [11]. Для этого понадобилась корректировка как доказательств, так и формулировок. В [11; замечание 1.4, (iii), (iv)] была отмечена справедливость теоремы 2, а также доказан ее вариант [11; теорема 1.1] для операторов, заданных на некотором подклассе класса $S(X)$ простых функций на $X$. Доказательство проводилось по схеме из [9; теорема 1.4.19]. Близкий вариант этой теоремы был приведен затем в [12; теорема 1.4.19]. Отметим, что условие локальной непрерывности в родственных вопросах (полилинейная версия теоремы Марцинкевича) использовалось в [13]. Нашей целью является рассмотрение аналогов теоремы 2 для операторов, удовлетворяющих $L^p$-неравенствам слабого типа и действующих в некоторых пространствах, которые являются естественными расширениями классов Харди $H^p$ аналитических, гармонических функций. Кроме того, мы укажем некоторые приложения этих результатов. § 2. Основные результаты2.1. Пространства $\mathcal H^p(\mathbf X)$Пусть $X$ – хаусдорфово пространство, топология которого порождена квазиметрикой $d$, т.е. задана функция $d\colon X\times X\to[0,\infty)$, удовлетворяющая всем аксиомам метрики, только неравенство треугольника заменяется более слабым условием: существует такое число $K_2=K_2(d)\geqslant 1$, что для всех $x,y,z\in X$ выполнено неравенство Пусть на $X$ задана также $\sigma$-конечная борелевская мера $\mu$, причем мера каждого шара
$$
\begin{equation*}
B(x,t):=\{y\in X\colon d(x,y)<t\}, \qquad x\in X, \quad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
конечна и положительна. Введем произведение
$$
\begin{equation}
\mathbf X:=X\times I, \quad \text{где }\ I=(0,t_0), \quad 0<t_0\leqslant+\infty,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
и будем трактовать $X$ как границу $\mathbf X$. Снабдим $\mathbf X$ стандартной мерой-произведением $\mu\times m_1$, где $m_1$ – одномерная мера Лебега на $I$ (см. [14; § 3.3]). Рассмотрим “некасательные” области
$$
\begin{equation}
D(x):=\{(y,t)\in\mathbf X\colon d(x,y)<t\}, \qquad x\in X,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
подхода к точкам $x\in X$ “границы” $\mathbf X$ и соответствующую максимальную функцию
$$
\begin{equation*}
\mathcal N u(x):=\sup\{|u(y,t)|\colon (y,t)\in D(x)\}, \qquad x\in X,
\end{equation*}
\notag
$$
для любой функции $u\colon \mathbf X\to\mathbb{C}$. Введем обозначение $\mathcal H^0(\mathbf X)$ для множества всех измеримых функций (эквивалентные функции не отождествляются) $u\colon \mathbf X\to\mathbb{C}$, для которых максимальная функция $\mathcal N u$ конечна $\mu$-почти всюду. В $\mathcal H^0(\mathbf X)$ определим метрику
$$
\begin{equation*}
d_{\mathcal H^0(\mathbf X)}(u_1,u_2):=\|\mathcal N(u_1-u_2)\|_{L^0(X)}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (1.1)). Тогда сходимость $u_n$ к $u$ в этой метрике означает, что $\mathcal N(u_n-u)$ сходится к нулю по мере в $X$. Далее для $p,r>0$ введем классы $\mathcal H^{p,r}(\mathbf X)$, состоящие из функций $u\in\mathcal H^0(\mathbf X)$, для которых конечна величина
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{\mathcal H^{p,r}(\mathbf X)}:=\|\mathcal N u\|_{L^{p,r}(X)}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $r=p$ будем писать $\mathcal H^p(\mathbf X)$ вместо $\mathcal H^{p,p}(\mathbf X)$. В случае $\mathbf X=\mathbb R^{n+1}_+$ классы $\mathcal H^p(\mathbb R^{n+1}_+)$ впервые рассматривались в [15], где дополнительно предполагалось, что функции из этих классов непрерывны и имеют почти всюду некасательные пределы (см. еще [16], [17], где рассматривался случай общих $\mathbf X$). Понятие максимальной функции и условие $\mathcal N u\in L^p(X)$ восходит к Харди и Литтлвуду (см. [18]). Оно широко используется в теории пространств Харди (см., например, [19] для случая $\mathbf X=\mathbb R_+^{n+1}$, [20; теорема 5.6.5] для случая $\mathbf X$ – единичный шар в $\mathbb{C}^n$) и участвует в формулировках ряда краевых задач для уравнений в частных производных (см, например, [21], [22], перечень таких работ можно значительно расширить). Это определяет область возможных приложений наших результатов. 2.2. Формулировки основных результатовМножество всех функций $u\in \mathcal H^0(\mathbf X)$, представимых в виде $u=u_0+u_1$, где $u_0\in \mathcal H^{p_0}(\mathbf X)$ и $u_1\in \mathcal H^{p_1}(\mathbf X)$, обозначается $\mathcal H^{p_0}(\mathbf X)+\mathcal H^{p_1}(\mathbf X)$ и снабжается квазинормой
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{\mathcal H^{p_0}(\mathbf X)+\mathcal H^{p_1}(y\mathbf X)}:=\inf\{\|u_0\|_{\mathcal H^{p_0}(\mathbf X)}+\|u_1\|_{\mathcal H^{p_1}(\mathbf X)}\colon u=u_0+u_1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что если $0<p_0<p<p_1$, то
$$
\begin{equation*}
\mathcal H^{p}(\mathbf X)\subset\mathcal H^{p_0}(\mathbf X)+\mathcal H^{p_1}(\mathbf X)
\end{equation*}
\notag
$$
и это вложение непрерывно. Следующее обозначение:
$$
\begin{equation}
\widehat{A}:=\{x\in X\colon D(x)\cap A\ne\varnothing\}, \qquad A\subset\mathbf X,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
является важным, так как участвует в условиях наших основных результатов, к формулировкам которых мы переходим. Теорема 3. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, $0<r<\infty$, $T$ – квазилинейный и непрерывный оператор из $\mathcal H^{p_0}(\mathbf X)+\mathcal H^{p_1}(\mathbf X)$ в $L^0(Y)$, удовлетворяющий условиям: существуют такие положительные постоянные $M_0$ и $M_1$, что для любого измеримого множества $A\subset\mathbf X$, $\mu(\widehat{A})<\infty$, выполнены неравенства Пусть $\theta\in(0,1)$, $p$ и $q$ определяются равенствами (1.7). Тогда для всех функций $u\in\mathcal H^{p,r}(\mathbf X)$ выполнено неравенство ($\lesssim$ зависит от $K_1$, $p_0$, $p_1$, $q_0$, $q_1$, $r$, $\theta$).Если в теореме 3 заменить соответственно $\mathbf X$, $\mathcal H^{p}(\mathbf X)$, $\widehat{A}$ на $X$, $L^p(X)$, $A\subset X$, то она превратится в теорему 2. Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 3, $\theta\in(0,1)$, $p$ и $q$ определяются равенствами (1.7), причем $p\leqslant q$. Тогда для всех функций $u\in\mathcal H^{p}(\mathbf X)$ выполнено неравенство ($\lesssim$ зависит от $K_1$, $p_0$, $p_1$, $q_0$, $q_1$, $\theta$).Следствие 1 получается из теоремы 3 при $r=q$ с использованием монотонности шкалы пространств Лоренца (см. (3.3)). Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для всех функций $u\in\mathcal H^{p}(\mathbf X)$ выполнено неравенство ($\lesssim$ зависит от $K_1$, $p_0$, $p_1$, $q_0$, $q_1$, $\theta$).Следствие 2 получается из теоремы 3 при $r=p$. Следующая теорема является аналогом классической формы теоремы Марцинкевича (см. теорему 1). Теорема 4. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, квазилинейный оператор $T\colon \mathcal H^{p_0}(\mathbf X)+\mathcal H^{p_1}(\mathbf X)\to L^ 0(Y)$ удовлетворяет условиям: существуют такие положительные постоянные $M_0$ и $M_1$, что для всех $\lambda>0$ выполнены неравенства Пусть $\theta\in(0,1)$, $p$ и $q$ определяются равенствами (1.7), причем $p\leqslant q$. Тогда для всех функций $u\in \mathcal H^p(\mathbf X)$ выполнено неравенство ($\lesssim$ зависит от $K_1$, $p_0$, $p_1$, $q_0$, $q_1$, $\theta$).Далее сформулируем утверждение, подобное теореме 3, для операторов, действующих из $\mathcal H^{p_0}(\mathbf X)+\mathcal H^{p_1}(\mathbf X)$ в $\mathcal H^0(\mathbf Y)$. Здесь$\mathbf Y=Y\times(0,\tau_0)$, где $(Y,\nu)$ имеет тот же смысл, что и выше, $0<\tau_0\leqslant\infty$. Кроме того, на $Y$ задана квазиметрика $d_Y$, порождающая максимальную функцию
$$
\begin{equation*}
\mathcal N_Yu(y):=\sup\{|u(z,t)|\colon d_Y(y,z)<t\}, \qquad y\in Y,
\end{equation*}
\notag
$$
а также пространство $\mathcal H^0(\mathbf Y)$. Теорема 5. Пусть $0<p_0\ne p_1\leqslant\infty$, $0<q_0\ne q_1\leqslant\infty$, $0<r<\infty$, $T$ – квазилинейный и непрерывный оператор из $\mathcal H^{p_0}(\mathbf X)+\mathcal H^{p_1}(\mathbf X)$ в $\mathcal H^0(\mathbf Y)$, удовлетворяющий условиям: существуют такие положительные постоянные $M_0$ и $M_1$, что для любого измеримого множества $A\subset\mathbf X$, $\mu(\widehat{A})<\infty$, выполнены неравенства Пусть $\theta\in(0,1)$, $p$ и $q$ определяются равенствами (1.7). Тогда для всех функций $u\in\mathcal H^{p,r}(\mathbf X)$ выполнено неравенство ($\lesssim$ зависит от $K_1$, $p_0$, $p_1$, $q_0$, $q_1$, $r$, $\theta$).Теоремы 3–5 были анонсированы в нашей работе [23]. Другие результаты из [23] доказаны в [24]. § 3. Вспомогательные утверждения3.1. Неравенства ХардиСледующие неравенства принадлежат Г. Харди (см., например, [4; приложение А]): если $0<b<\infty$, $1\leqslant p<\infty$, то
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_0^{\infty}\biggl[\int_0^t|f(s)|\,ds\biggr]^pt^{-b-1}\,dt\biggr)^{1/p} \leqslant\frac{p}{b}\biggl(\int_0^{\infty}|f(t)|^pt^{p-b-1}\,dt\biggr)^{1/p},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_0^{\infty}\biggl[\int_t^\infty|f(s)|\,ds\biggr]^pt^{b-1}\,dt\biggr)^{1/p} \leqslant\frac{p}{b}\biggl(\int_0^{\infty}|f(t)|^pt^{p+b-1}\,dt\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
3.2. Пространства ЛоренцаОпределение было дано выше в п. 1.3. Приведем свойства этих классов, используемые ниже. Шкала пространств Лоренца монотонна по второму параметру (см., например, [9; предложение 1.4.10] или [8; теорема 3.11]): если $0<p\leqslant\infty$ и $0<q_0<q_1\leqslant\infty$, то $L^{ p,q_0}(X)\subset L^{ p,q_1}(X)$ и ($\lesssim$ зависит только от $p$, $q_0$ и $q_1$).При $p>1$ квазинормированное пространство Лоренца $L^{p,\infty}(X)$ является нормируемым (см. [25] или [9; упражнение 1.1.12]): норма
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^{p,\infty}(X)}^*:=\sup[\mu(A)]^{-1+1/p}\int_A|f|\,d\mu
\end{equation*}
\notag
$$
($\sup$ берется по всем измеримым множествам $A\subset X$, $0<\mu(A)<\infty$) удовлетворяет неравенствам
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L^{p,\infty}(X)}\leqslant\|f\|_{L^{p,\infty}(X)}^*\leqslant\frac{p}{p-1}\|f\|_{L^{p,\infty}(X)}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Отметим еще два очевидных факта (см. (1.9)): при всех $0<p,r<\infty$, $0<q\leqslant\infty$,
$$
\begin{equation}
\sum_{k\in\mathbb Z}[f^*(2^k)]^{\alpha}2^{k\alpha/p}\leqslant\frac{2^{\alpha/p}}{\ln2}\|f\|_{L^{p,\alpha}(X)}^{\alpha}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
3.3. Лемма Аоки–РолевичаСледующее утверждение доказано в [26] и [27] (см. также [12; упражнение 1.4.6]). Лемма 1. Пусть $K\geqslant 1$ и $\|\cdot\|$ – неотрицательный функционал на векторном пространстве $L$, удовлетворяющий условию Тогда если $0<\alpha\leqslant 1$ – решение уравнения $(2K)^{\alpha}=2$, то для любых $n\in\mathbb N$ и $\{x_k\}_{k=1}^n\subset L$ выполнено неравенство 3.4. Максимальная функция $\mathcal N$ и $\mathcal H$-пространства Доказательство. Зафиксируем произвольно $(x,t)\in\mathbf X$ и запишем очевидное неравенство возведем его в степень $p$, усредним по $y\in B(x,t)$, получая неравенство
Пусть теперь $\{u_n\}$ – последовательность Коши в $\mathcal H^p(\mathbf X)$. Тогда из (3.7) следует, что $\{u_n\}$ сходится в каждой точке $(x,t)\in\mathbf X$ к некоторой измеримой функции $u$ на $\mathbf X$. Найдем возрастающую последовательность индексов $\{n_k\}$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
\|u_{n_k}-u_{n_{k+1}}\|_{\mathcal H^p(\mathbf X)}<2^{-(k+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем очевидное равенство из которого следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal N(u-u_{n_k})(x)\leqslant\sum_{j=k}^{\infty}\mathcal N(u_{n_{j+1}}-u_{n_j})(x), \qquad x\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу выбора $\{n_k\}$ последовательность $\{u_{n_k}\}$ сходится к $u$ в $\mathcal H^p(\mathbf X)$, поэтому этим же свойством обладает и вся последовательность $\{u_n\}$. Лемма доказана. Далее в доказательствах будут систематически использоваться следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
E[\lambda]=\{x\in X\colon \mathcal N u(x)>\lambda\},\qquad\lambda>0,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal T(E):=\biggl(\bigcup_{x\notin E}D(x)\biggr)^{\mathrm c},\qquad E\subset X,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
здесь $E^{\mathrm c}$ – дополнение множества $E$. Лемма 3. Пусть $u\colon \mathbf X\to\mathbb{C}$, $E\subset X$, $\lambda>0$. Тогда 1) $\widehat{\mathcal T(E)}=E$, 2) $|u(x,t)|\leqslant\lambda$ при $(x,t)\notin\mathcal T(E[\lambda)])$, 3) $\{(x,t)\in\mathbf X\colon |u(x,t)|>\lambda\}\subset\mathcal T(E[\lambda)])$. Доказательство. 1) Если $x\in\widehat{\mathcal T(E)}$, то $D(x)\cap\mathcal T(E)\ne\varnothing$, но если $x\notin E$, то $D(x)\cap\mathcal T(E)=\varnothing$, так как Следовательно, $\widehat{\mathcal T(E)}\subset E$. Обратно, если $x\in E$, но $x\notin\widehat{\mathcal T(E)}$, то $D(x)\cap \mathcal T(E)=\varnothing$, т.е. $D(x)\subset [\mathcal T(E)]^{\mathrm c}$.
2) Если $(x,t)\notin\mathcal T(E[\lambda)])$, то и $(x,t)\in D(y)$ для некоторого $y\notin E[\lambda]$.3) непосредственно следует из 2). Лемма доказана. Разбиение функции $u=u_\lambda+u^\lambda$ на две части
$$
\begin{equation}
u^\lambda:= \begin{cases} u, & \text{если }|u|>\lambda, \\ 0, & \text{если }|u|\leqslant\lambda, \end{cases} \qquad u_\lambda:= \begin{cases} 0, & \text{если }|u|>\lambda, \\ u, & \text{если }|u|\leqslant\lambda, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
всегда появляется в доказательствах различных вариантов интерполяционной теоремы Марцинкевича. Следующая лемма, хотя и является простой, играет важную роль, так как устанавливает, как преобразуется некасательная максимальная функция $\mathcal N u$ при разбиении (3.10). Лемма 4. Если $u\colon \mathbf X\to\mathbb{C}$ и $\lambda>0$, то Доказательство. Если $\mathcal N u(x)>\lambda$, то $\mathcal N u(x):=\mathcal N u^\lambda(x)$, так как точная верхняя грань в определениях $\mathcal N u(x)$ и $\mathcal N u^\lambda(x)$ берется по одному и тому же множеству а $\mathcal N u_\lambda(x)\leqslant\lambda$, так как $|u_\lambda(y,t)|\leqslant\lambda$ для всех $(y,t)\in\mathbf X$.
Если $\mathcal N u(x)\leqslant\lambda$, то $|u(y,t)|\leqslant \lambda$ при $(y,t)\in D(x)$ и при таких $(y,t)$ будет $u^\lambda(y,t)=0$ и $u_\lambda(y,t)=u(y,t)$. Лемма доказана. 3.5. Лемма КальтонаСледующая лемма является ключевой при доказательстве теоремы 3. Она аналогична лемме 1.4.20 из [9], которая, как отмечено в [9; с. 74], была предложена Н. Кальтоном. Лемма 5. Пусть $0<p<\infty$, $0<q\leqslant\infty$, $T$ – квазилинейный и непрерывный оператор $\mathcal H^{p}(\mathbf X)\to L^0(Y)$, удовлетворяющий условию: существует такая положительная постоянная $M$, что для любого измеримого множества $A\subset \mathbf X$, $\mu(\widehat{A})<\infty$, выполнено неравенство Пусть $\alpha_0$ удовлетворяет неравенствам
$$
\begin{equation}
0<\alpha_0<\min\biggl\{q,\frac{\ln 2}{\ln (2K_1)}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Тогда для любого $0<\alpha\leqslant\alpha_0$ и любой функции $\mathcal H^{p,\alpha}(\mathbf X)$, принадлежащей области определения $T$, выполнено неравенство ($\lesssim$ зависит от $K_1$, $p$, $q$, $\alpha$). Доказательство. Сначала сделаем предварительное замечание. Пусть $\alpha_1$ – решение уравнения $(2K_1)^{\alpha_1}=2$. Тогда по лемме 1 для всех $0<\alpha\leqslant\alpha_1$ и $\{v_k\}_{k=1}^{m}\subset \mathcal H^p(\mathbf X)$ справедливо поточечное неравенство
Пусть число $0<\alpha_0\leqslant\alpha_1$ таково, что $\alpha_0<q$. Тогда $q/\alpha>1$ для любого $0<\alpha\leqslant\alpha_0$ и квазинормированное пространство Лоренца $L^{q/\alpha,\infty}(Y)$ является нормируемым (см. п. 3.2): норма
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^{q/\alpha,\infty}(Y)}^*:=\sup\biggl\{[\nu(E)]^{q/\alpha-1}\int_E|f|\,d\nu\colon 0<\nu(E)<\infty\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет неравенствам (3.4), в которых нужно взять $p=q/\alpha$.
Докажем теперь следующий ключевой факт: существует такая постоянная $C=C(q,\alpha)$, что для неотрицательной ограниченной функции $u\in\mathcal H^p(\mathbf X)$ и любого измеримого множества $A\subset\mathbf X$, $\mu(\widehat{A})<\infty$, выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\|T(u\chi_A)\|_{\mathcal H^{q,\infty}(Y)}\leqslant C(q,\alpha)M[\mu(\widehat{A})]^{1/p}\|u\|_{L^{\infty}(\mathbf X)}.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Не ограничивая общности, можно считать, что $\|u\|_{L^{\infty}(\mathbf X)}=1$. Запишем двоичное разложение для $u\chi_A$: где $d_j(x,t)$ равно 0 или 1. Обозначим $A_j:=\{(x,t)\in A\colon d_j(x,t)=1\}$, тогда разложение для $u$ можно переписать в видеВ силу полноты пространства $\mathcal H^p(\mathbf X)$ (см. лемму 2) ряд (3.16) сходится в $\mathcal H^p(\mathbf X)$, так как
$$
\begin{equation*}
\|\chi_{A_j}\|_{\mathcal H^p(\mathbf X)}^p=\mu(\widehat{A_j})\leqslant\mu(\widehat{A}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, если обозначить последовательность частичных сумм ряда (3.16) то в силу непрерывности оператора $T$ последовательность $\{T(u\chi_A-u_m)\}$ сходится к нулю по мере на $A$, а некоторая ее подпоследовательность $\{T(u\chi_A- u_{m_k})\}$ сходится к нулю почти всюду.
Воспользуемся теперь квазилинейностью оператора $T$ (см. (1.2) и (1.3)) и неравенством (3.14), с помощью которых получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |T(u\chi_A)| &\leqslant K_1(|Tu_{m_k}|+|T(u\chi_A-u_{m_k}|) \\ &\leqslant K_1\biggl(4\sum_{j=1}^{m_k}|2^{-j}T\chi_{A_j}|^{\alpha}\biggr)^{1/\alpha}+K_1|T(u\chi_A-u_{m_k})|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Второе слагаемое справа при $k\to\infty$ сходится к нулю почти всюду, поэтому мы приходим к следующему поточечному неравенству:
$$
\begin{equation}
|T(u\chi_A)|\leqslant K_1\biggl(4\sum_{j=1}^{\infty}|2^{-j}T\chi_{A_j}|^{\alpha}\biggr)^{1/\alpha}.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Теперь, используя соотношения (3.17), (3.5), (3.4) с $r=q/\alpha$ и (3.11), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|T(u\chi_A)\|_{L^{q,\infty}(Y)} &\leqslant 4^{1/\alpha}K_1\biggl\| \biggl(\sum_{j=1}^{\infty}|2^{-j}T\chi_{A_j}|^{\alpha}\biggr)^{1/\alpha}\biggr\|_{L^{q,\infty}(Y)} \\ \notag &=4^{1/\alpha}K_1\biggl\|\sum_{j=1}^{\infty}|2^{-j}T\chi_{A_j}|^{\alpha} \biggr\|_{L^{q/\alpha,\infty}(Y)}^{1/\alpha} \\ \notag &\leqslant K_1\biggl(4\biggl\|\sum_{j=1}^{\infty}|2^{-j}T\chi_{A_j}|^{\alpha} \biggr\|_{L^{q/\alpha,\infty}(Y)}^*\biggr)^{1/\alpha} \\ \notag &\leqslant K_1\biggl(4\sum_{j=1}^{\infty}\|\,|2^{-j}T\chi_{A_j} |^{\alpha}\|_{L^{q/\alpha,\infty}(Y)}^*\biggr)^{1/\alpha} \\ \notag &\leqslant K_1\biggl(\frac{4q}{q-\alpha}\biggr)^{1/\alpha} \biggl(\sum_{j=1}^{\infty} \|\,|2^{-j}T\chi_{A_j}|^{\alpha}\|_{L^{q/\alpha,\infty}(Y)}\biggr)^{1/\alpha} \\ \notag &=K_1\biggl(\frac{4q}{q-\alpha}\biggr)^{1/\alpha} \biggl(\sum_{j=1}^{\infty} \|2^{-j}T\chi_{A_j}\|_{L^{q,\infty}(Y)}^{\alpha}\biggr)^{1/\alpha} \\ \notag &\leqslant K_1\biggl(\frac{4q}{q-\alpha}\biggr)^{1/\alpha}M \biggl(\sum_{j=1}^{\infty}2^{-j\alpha}[\mu(\widehat{A_j})]^{\alpha/p}\biggr)^{1/\alpha} \\ &\leqslant K_1\biggl(\frac{4q}{q-\alpha}\biggr)^{1/\alpha}M(2^{\alpha}-1)^{-1/\alpha} [\mu(\widehat{A})]^{1/p}\|u\|_{L^{\infty}(\mathbf X)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
и неравенство (3.15) доказано с постоянной
$$
\begin{equation*}
C(q,\alpha)=K_1\biggl(\frac{4q}{q-\alpha}\biggr)^{1/\alpha}(2^{\alpha}-1)^{-1/\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем теперь (3.13) для функции $u\in\mathcal H^{p}(\mathbf X)$. Используя обозначения (3.8) и (3.9), введем множества
$$
\begin{equation*}
\Delta_n=\mathcal T(E[(\mathcal N u)^*(2^{n})])\setminus\mathcal T(E[(\mathcal N u)^*(2^{n+1})]),\qquad n\in\mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf X=\bigcup_{n\in\mathbb Z}\Delta_n, \qquad \Delta_n\cap \Delta_m=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 3
$$
\begin{equation}
u(x,t)\leqslant(\mathcal N u)^*(2^{n}) \quad\text{при }\ (x,t)\notin\mathcal T(E[(\mathcal N u)^*(2^{n})]),
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
$$
\begin{equation}
\mu(\widehat{\Delta_n})\leqslant\mu(E[(\mathcal N u)^*(2^{n})])=2^{n},
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
так как
$$
\begin{equation*}
\Delta_n\subset\mathcal T(E[(\mathcal N u)^*(2^{n})])\quad\Longrightarrow\quad\widehat{\Delta_n}\subset E[(\mathcal N u)^*(2^{n})],
\end{equation*}
\notag
$$
а функции $\mathcal N u$ и $(\mathcal N u)^*$ равноизмеримы.
Разложим функцию $u$ в ряд который сходится к $u$ в $\mathcal H^p(\mathbf X)$. Чтобы это показать, обозначим для краткости
$$
\begin{equation*}
\mathcal T_n:=\mathcal T(E[(\mathcal N u)^*(2^{n})]),\qquad n\in\mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда $\Delta_n=\mathcal T_n\setminus\mathcal T_{n+1}$ и для любых $N,M\in\mathbb N$
$$
\begin{equation*}
\mathbf X\setminus\bigcup_{n=-M}^{N-1}\Delta_n=\mathcal T_N\cup(\mathbf X\setminus\mathcal T_{-M}).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\biggl|u-\sum_{n=-M}^{N-1}u\chi_{\Delta_n}\biggr|=\bigl|u\chi_{\mathcal T_N}+u\chi_{(\mathbf X\setminus\mathcal T_{-M}})\bigr|=|u\chi_{\mathcal T_N}|+|u\chi_{(\mathbf X\setminus\mathcal T_{-M}})|.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Из леммы 3 и теоремы Лебега о мажорируемой сходимости следует, что
$$
\begin{equation*}
\|u\chi_{\mathcal T_N}\|_{\mathcal H^p(\mathbf X)}^p=\int_{\{\mathcal N u>2^N\}}(\mathcal N u)^p\,d\mu\to0,\qquad N\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, из леммы 3 вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal N(u\chi_{(\mathbf X\setminus\mathcal T_{-M})})=\mathcal N u \quad\text{на множестве }\ \{\mathcal N u\leqslant2^{-M}\}, \\ \mathcal N(u\chi_{(\mathbf X\setminus\mathcal T_{-M})})\leqslant 2^{-M} \quad\text{на множестве }\ \{\mathcal N u>2^{-M}\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|u\chi_{(\mathbf X\setminus\mathcal T_{-M})}\|_{\mathcal H^p(\mathbf X)}^p=\int_{\{\mathcal N u\leqslant2^{-M}\}}(\mathcal N u)^p\,d\mu+\int_{\{\mathcal N u>2^{-M}\}}(\mathcal N u)^p\,d\mu \\ &\qquad \leqslant\int_{\{\mathcal N u\leqslant2^{-M}\}}(\mathcal N u)^p\,d\mu+2^{-Mp}\mu(\{\mathcal N u>2^{-M}\})\to0,\qquad M\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, квазинормы в $\mathcal H^p(\mathbf X)$ обоих слагаемых справа в (3.22) сходятся к нулю при $N,M\to\infty$ и сходимость в $\mathcal H^p(\mathbf X)$ ряда (3.21) доказана.
Используя непрерывность оператора $T$, как и при доказательстве (3.17), мы приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
|Tu|\leqslant K_1\biggl(4\sum_{n\in\mathbb Z}|T(u\chi_{\Delta_n})|^{\alpha}\biggr)^{1/\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя его, а также неравенства (3.15), (3.19), (3.20), и повторяя доказательство (3.18), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|Tu\|_{L^{q,\infty}(Y)}\leqslant K_1\biggl(\frac{4q}{q-\alpha}\biggr)^{1/\alpha} \biggl(\sum_{n\in\mathbb Z}\|T(u\chi_{\Delta_n})\|_{L^{q,\infty}(Y)}^{\alpha}\biggr)^{1/\alpha} \\ &\qquad \leqslant4K_1^2\biggl(\frac{4q}{q-\alpha}\biggr)^{2/\alpha}(2^{\alpha}-1)^{-1/\alpha}M \biggl(\sum_{n\in\mathbb Z}[\mu(\widehat{\Delta_n})]^{\alpha/p}\|u\chi_{\Delta_n}\|_{L^\infty(\mathbf X)}^{\alpha}\biggr)^{1/\alpha} \\ &\qquad \leqslant 4K_1^2\biggl(\frac{4q}{q-\alpha}\biggr)^{2/\alpha}(2^{\alpha}-1)^{-1/\alpha}M \biggl(\sum_{n\in\mathbb Z}[(\mathcal N u)^*(2^n)]^{\alpha}2^{n\alpha/p}\biggr)^{1/\alpha}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки последней суммы осталось использовать неравенства (3.6). Таким образом, утверждение леммы 5 доказано для случая неотрицательной функции $u\in\mathcal H^p(\mathbf X)$. Для любой комплекснозначной функции $u$ запишем разложение $u=u_1-u_2+i(v_1-v_2)$, где неотрицательные функции $u_j$ и $v_j$, $j=1,2$, определяются равенствами
$$
\begin{equation*}
u_1=\max\{\operatorname{Re} u,0\},\qquad u_2=u_1-\operatorname{Re} u,\qquad v_1=\max\{\operatorname{Im} u,0\},\qquad v_2=v_1-\operatorname{Im} u.
\end{equation*}
\notag
$$
К каждой из функций $u_j$ и $v_j$, $j=1,2$, можно применить уже доказанное и использовать квазилинейность оператора $T$.
Лемма 5 доказана. § 4. Доказательства основных результатов4.1. Доказательство теоремы 3Мы следуем схеме обоснования теоремы 2 (см. [9; п. 1.4.4]). Пусть $0<p_0<p_1<\infty$ (случай $p_1=\infty$ рассмотрим отдельно). Сначала используем условия (1.10) и (1.11) и лемму 5, откуда следует, что выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\|Tu\|_{L^{q_0,\infty}(Y)}\leqslant C_0M_0\|\mathcal N u\|_{L^{p_0,\beta}(X)}, \qquad u\in \mathcal H^{p_0,\beta}(X),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
\|Tu\|_{L^{q_1,\infty}(Y)}\leqslant C_1M_1\|\mathcal N u\|_{L^{p_1,\beta}(X)}, \qquad u\in \mathcal H^{p_1,\beta}(X),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где постоянные
$$
\begin{equation*}
C_0:=C(K_1,p_0,q_0,\beta), \qquad C_1:=C(K_1,p_1,q_1,\beta)
\end{equation*}
\notag
$$
определяются из неравенства (3.13) для
$$
\begin{equation*}
\beta:=\frac{1}{2}\min\biggl\{q_0,q_1,2r,\frac{\ln 2}{\ln 2K_1}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\gamma:=\frac{1/q_0-1/q}{1/p_0-1/p}=\frac{1/q-1/q_1}{1/p-1/p_1}
\end{equation*}
\notag
$$
и для любого $t>0$ разобьем функцию $u\in\mathcal H^{p,r}(\mathbf X)$ на две части: $u=u^\lambda+u_\lambda$ (см. (3.10)), где $\lambda:=(\mathcal N u)^*(\delta t^{\gamma})$, а $\delta>0$ – некоторое число, выбор которого будет указан ниже из некоторых оптимизационных соображений. Из (3.10), леммы 4 и определения равноизмеримой перестановки вытекают соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (\mathcal N u^\lambda)^*(s)\leqslant(\mathcal N u)^*(s) &\text{при }0<s\leqslant\delta t^\gamma, \\ (\mathcal N u^\lambda)^*(s)=0 & \text{при } s>\delta t^\gamma, \\ (\mathcal N u_\lambda)^*(s)=(\mathcal N u)^*(\delta t^\gamma) & \text{при } 0<s\leqslant\delta t^\gamma, \\ (\mathcal N u_\lambda)^*(s)\leqslant (\mathcal N u)^*(s) & \text{при } s>\delta t^\gamma. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
В частности, неравенства (4.3) показывают, что $u^\lambda\in\mathcal H^{p_0,\beta}(\mathbf X)$ и $u_\lambda\in\mathcal H^{p_1,\beta}(\mathbf X)$ при любом $t>0$. Оценим теперь $\|Tu\|_{L^{q,r}(Y)}$. Сначала, используя квазилинейность оператора $T$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|Tu\|_{L^{q,r}(Y)}=\|t^{1/q}(Tu)^*(t)\|_{L^r(dt/t)}\leqslant K_1\|t^{1/q}\bigl[(Tu^\lambda)+(Tu_\lambda)\bigr]^*(t)\|_{L^r(dt/t)} \\ \notag &\qquad \leqslant K_1\|t^{1/q}\biggl[(Tu^\lambda)^*\biggl(\frac t2\biggr)+(Tu_\lambda)^*\biggl(\frac t2\biggr)\biggr]\|_{L^r(dt/t)} \\ &\qquad \leqslant2^{1/r}K_1\biggl(\biggl\|t^{1/q}(Tu^\lambda)^*\biggl(\frac t2\biggr)\biggr\|_{L^r(dt/t)} +\biggl\|t^{1/q}(Tu_\lambda)^*\biggl(\frac t2\biggr)\biggr\|_{L^r(dt/t)}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Каждое слагаемое справа в (4.4) оценим отдельно. Из неравенств (4.1) и (4.2) соответственно вытекает, что
$$
\begin{equation}
t^{1/q_0}(Tu^\lambda)^*\biggl(\frac{t}2\biggr)\leqslant 2^{1/q_0}\sup_{s>0}\{s^{1/q_0}(Tu^\lambda)^*(s)\}\leqslant2^{1/q_0}C_0M_0 \|\mathcal N u^\lambda\|_{L^{p_0,\beta}(\mathbf X)},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
t^{1/q_1}(Tu_\lambda)^*\biggl(\frac{t}2\biggr)\leqslant 2^{1/q_1}\sup_{s>0}\{s^{1/q_1}(Tu_\lambda)^*(s)\}\leqslant2^{1/q_1}C_1M_1 \|\mathcal N u_\lambda\|_{L^{p_1,\beta}(\mathbf X)}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
С помощью (4.5) и равенства получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|t^{1/q}(Tu^\lambda)^*\biggl(\frac t2\biggr)\biggr\|_{L^r(dt/t)} &=\biggl\|t^{1/q-1/q_0}t^{1/q_0}(Tu^\lambda)^*\biggl(\frac t2\biggr)\biggr\|_{L^r(dt/t)} \\ &\leqslant2^{1/q_0}C_0M_0\|t^{1/q-1/q_0}\|\mathcal N u^\lambda\|_{L^{p_0,\beta}(X)}\|_{L^r(dt/t)} \\ &=2^{1/q_0}C_0M_0\|t^{\gamma(1/p_0-1/p)}\|\mathcal N u^\lambda\|_{L^{p_0,\beta}(X)}\|_{L^r(dt/t)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выполним здесь замену переменной $\tau:=\delta t^\gamma$, используем первые два неравенства (4.3) и применим неравенство Харди (3.1) с $p=r/\beta\geqslant 1$, $b=r(1/p_0-1/p)$, продолжая оценку:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl\|t^{1/q}(Tu^\lambda)^*\biggl(\frac t2\biggr)\biggr\|_{L^r(dt/t)} \\ \notag &\qquad \leqslant2^{1/q_0}C_0M_0\frac{\delta^{1/p_0-1/p}}{\gamma^{1/r}} \biggl\|\tau^{1/p_0-1/p}\biggl[\int_0^{\tau}[(\mathcal N u)^*(s)]^{\beta}s^{\beta/p_0}\,\frac{ds}{s}\biggr]^{1/\beta}\biggr\|_{L^r(d\tau/\tau)} \\ \notag &\qquad \leqslant2^{1/q_0}C_0M_0\frac{\delta^{1/p_0-1/p}}{\gamma^{1/r}} \biggl[\frac{r/\beta}{r(1/p_0-1/p)}\biggr]^{1/\beta} \\ \notag &\qquad\qquad \times\biggl(\int_0^{\infty}[s^{1/p_0}(\mathcal N u)^*(s)]^rs^{-r(1/p_0-1/p)}\,\frac{ds}{s}\biggr)^{1/r} \\ &\qquad =2^{1/q_0}C_0M_0\frac{\delta^{1/p_0-1/p}}{\beta^{1/\beta}\gamma^{1/r}(1/p_0-1/p)^{1/\beta}} \|\mathcal N u\|_{L^{p,r}(X)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Для оценки второго слагаемого справа в (4.4) рассуждаем подобным образом: сначала с помощью неравенства (4.6) и равенства получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl\|t^{1/q}(Tu_\lambda)^*\biggl(\frac t2\biggr)\biggr\|_{L^r(dt/t)}\leqslant2^{1/q_1}C_1M_1 \|t^{\gamma(1/p-1/p_1)}\|\mathcal N u_\lambda\|_{L^{p_1,\beta}(X)}\|_{L^r(dt/t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выполним здесь замену переменной $\tau:=\delta t^\gamma$, используем последние два неравенства из (4.3) и применим неравенство Харди (3.2) с
$$
\begin{equation*}
p=\frac{r}{\beta}\geqslant 1, \qquad b=r\biggl(\frac 1p-\frac{1}{p_1}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
приходя к соотношению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl\|t^{1/q}(Tu_\lambda)^*\biggl(\frac t2\biggr)\biggr\|_{L^r(dt/t)} \\ &\qquad \leqslant2^{1/q_1}C_1M_1\frac{2^{1/\beta}\delta^{1/p-1/p_1}}{\beta^{1/\beta}\gamma^{1/r}} \biggl\{p_1^{1/\beta}+\biggl(\frac 1p-\frac{1}{p_1}\biggr)^{-1/\beta}\biggr\} \|\mathcal N u\|_{L^{p,r}(X)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Подставляя оценки (4.7) и (4.8) в правую часть (4.4), получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\|Tu\|_{L^{q,r}(Y)}\leqslant C\bigl(M_0\delta^{1/p_0-1/p}+M_1\delta^{1/p-1/p_1}\bigr) \|\mathcal N u\|_{L^{p,r}(X)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C=C(K_1,p_0,p_1,q_0,q_1,r,\theta)$ – положительная постоянная, зависящая только от указанных параметров. Выберем теперь число $\delta>0$ так, чтобы минимизировать правую часть последнего неравенства, для чего нужно потребовать т.е.
$$
\begin{equation*}
\delta=\biggl(\frac{M_0}{M_1}\biggr)^{1/(1/p_1-1/p_0)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это доказывает неравенство (2.6) в случае $0<p_1<\infty$. Случай $p_1=\infty$ сводится к уже рассмотренному следующим образом. Возьмем $p^*\in(p,\infty)$ и найдем $\theta^*\in(0,1)$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{p^*}=\frac{1-\theta^*}{p_0}+\frac{\theta^*}{\infty}, \quad\text{и обозначим }\ \frac{1}{q^*}:=\frac{1-\theta^*}{q_0}+\frac{\theta^*}{q_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $g\in L^0(Y)$ и $\nu_{g}(\lambda):=\nu\{x\in X\colon |g(x)|>\lambda\}$ – ее функция распределения. Тогда справедливо очевидное неравенство
$$
\begin{equation*}
\lambda[\nu_g(\lambda)]^{1/q^*} =(\lambda[\nu_g(\lambda)]^{1/q_0})^{1-\theta^*}(\lambda[\nu_g(\lambda)]^{1/q_1})^{\theta^*} \leqslant\|g\|_{L^{q_0,\infty}(Y)}^{1-\theta^*}\|g\|_{L^{q_1,\infty}(Y)}^{\theta^*},
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует, что
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{L^{q^*,\infty}(Y)}\leqslant\|g\|_{L^{q_0,\infty}(Y)}^{1-\theta^*} \|g\|_{L^{q_1,\infty}(Y)}^{\theta^*}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу основных условий (1.10) и (1.11) выводим
$$
\begin{equation*}
\|T\chi_A\|_{L^{q^*,\infty}(Y)}\leqslant M_0^{1-\theta^*}M_1^{\theta^*}[\mu(\widehat{A})]^{1/p^*},
\end{equation*}
\notag
$$
а это означает, что оператор $T$ имеет суженный слабый тип $(p^*,q^*)$. Применяем уже доказанное для пар $(p_0,q_0)$ и $(p^*,q^*)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\|Tu\|_{L^{q,r}(X)}\leqslant C M_0^{1-\omega}(M_0^{1-\theta^*}M_1^{\theta^*})^{\omega}\|u\|_{\mathcal H^{p,r}(\mathbf X)}, \qquad u\in S_0(\mathbf X),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{p}=\frac{1-\omega}{p_0}+\frac{\omega}{p^*}, \qquad \frac{1}{q}=\frac{1-\omega}{q_0}+\frac{\omega}{q_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношений между параметрами находим, что $\theta=\omega\theta^*$, поэтому последнее неравенство совпадает с (2.6). 4.2. Доказательство теоремы 4Это утверждение вытекает непосредственно из теоремы 3, так как условия (2.8) и (2.9), примененные к характеристическим функциям множеств, превращаются в (2.4) и (2.5) соответственно. Кроме того, непрерывность оператора $T\colon \mathcal H^{p_0}(\mathbf X)+\mathcal H^{p_1}(\mathbf X)\to L^0(Y)$ вытекает из (2.8) и (2.9). 4.3. Доказательство теоремы 5Здесь также все сводится к теореме 3, которую нужно применить в оператору
$$
\begin{equation*}
\mathcal N_Y\circ T\colon \mathcal H^{p_0}(\mathbf X)+\mathcal H^{p_1}(\mathbf X)\to L^0(\mathbf Y),
\end{equation*}
\notag
$$
который является квазилинейным и непрерывным.
§ 5. Приложения5.1. Теорема вложения Карлесона–Дюрена–ХёрмандераБорелевскую меру $\nu$ на $\mathbf X$ называют (см., например, [28; гл. 3, § 1.4]) мерой Карлесона степени $\alpha>0$ (и пишут $\nu\in CM_{\alpha}(\mathbf X)$), если
$$
\begin{equation}
\sup_{B\subset X}\nu(\mathcal T(B))[\mu(B)]^{-\alpha}:=\|\mu\|_{CM_{\alpha}(\mathbf X)}<\infty,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где точная верхняя грань берется по всем шарам $B\subset X$, а множество $\mathcal T(B)$ определено в (3.9). Говорят, что мера $\mu$ на $X$ удовлетворяет условию удвоения, если существует такое число $K_3=K_3(\mu)>0$, что
$$
\begin{equation}
\mu(B(x,2t))\leqslant K_3\mu(B(x,t)), \qquad x\in X, \quad t>0.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Лемма 6. Пусть мера $\mu$ на $X$ удовлетворяет условию удвоения (5.2) и $\nu\in CM_{\alpha}(\mathbf X)$ при некотором $\alpha\geqslant1$. Тогда для любого измеримого множества $A\subset\mathbf X$, $\mu(\widehat{A})<\infty$, ($\lesssim$ зависит только от $\|\mu\|_{CM_{\alpha}(\mathbf X)}$ и $K_3$ из (5.2)). Доказательство. Рассмотрим случай, когда $t_0=\infty$ (см. (2.1)). Пусть
Из определения (2.3) следует, что если $x\in\widehat{A_n}$, то существует такая точка $(y,t)\in\mathbf X$, что (см. (2.2)). Обозначим в таком случае $B_x:=B(y,t)\subset\widehat{A_n}$. Тогда семейство шаров ограниченных радиусов $\{B_x\colon x\in\widehat{A_n}\}$ покрывает $\widehat{A_n}$ и из него можно выбрать конечное или счетное подсемейство $\{B_k:=B_{x_k}\}$ со свойствами
$$
\begin{equation*}
B_k\cap B_j=\varnothing, \qquad \widehat{A_n}\subset\bigcup_{k}B^*_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $B^*_k$ – шар, концентрический с $B_k$, радиуса в $3K_2^2$ больше (см. [29; лемма 3]). Тогда
$$
\begin{equation*}
A_n\subset\mathcal T(\widehat{A_n})\subset\bigcup_{k}\mathcal T(B^*_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя то, что $\mu\in CM_{\alpha}(\mathbf X)$, $\alpha\geqslant1$, а также условие удвоения (5.2), получаем
$$
\begin{equation*}
\nu(A_n)\leqslant\sum_{k}\nu(\mathcal T(B^*_k))\leqslant\sum_{k}[\nu(B^*_k)]^{\alpha}\lesssim\biggl(\sum_{k}\mu(B_k)\biggr)^{\alpha} \lesssim[\mu(\widehat{A_n})]^{\alpha}\lesssim[(\mu(\widehat{A})]^{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя здесь к пределу при $n\to\infty$, получим (5.3), так как
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\nu(A_n)=\nu\biggl(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\biggr) =\nu(\widehat{A}).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $t_0<\infty$, то доказательство лишь упрощается – нет необходимости введения последовательности $\{A_n\}$. Лемма доказана. Теорема 6. Пусть $0<p\leqslant q<\infty$, мера $\mu$ на $X$ удовлетворяет условию удвоения, $\nu$ – мера на $\mathbf X$, область определения которой содержит область определения меры $\mu\times m_1$. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) $\nu$ – мера Карлесона степени $q/p$ на $\mathbf X$; 2) для любого измеримого множества $A\subset\mathbf X$, $\mu(\widehat{A})<\infty$, выполнено (5.3) ($\lesssim$ не зависит от $A$); 3) для любых $u\in\mathcal H^p(\mathbf X)$ и $\lambda>0$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\nu\{(x,t)\in\mathbf X\colon |u(x,t)|>\lambda\}\lesssim\biggl(\frac{\|u\|_{\mathcal H^p(\mathbf X)}}{\lambda}\biggr)^q
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
($\lesssim$ не зависит от $\lambda$ и $u$); 4) для любой функции $u\in\mathcal H^p(\mathbf X)$ выполнено неравенство ($\lesssim$ не зависят от $u$). Доказательство. В обосновании нуждается только то, что из 1) следует 4). Для этого возьмем числа $0<p_0<p<p_1<\infty$ и $0<q_0<q<q_1<\infty$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
p_0\leqslant q_0, \qquad p_1\leqslant q_1, \qquad \frac{q_0}{p_0}=\frac{q_1}{p_1}=\frac{q}{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим тождественный оператор $\mathrm{Id}\colon \mathcal H^{p_0}(\mathbf X)+\mathcal H^{p_1}(\mathbf X)\to L^0(\mathbf X)$, который является, очевидно, линейным и непрерывным. Применим лемму 6 к каждой из пар $(p_0,q_0)$ и $(p_1,q_1)$ – для них условие (5.3) совпадает соответственно с условиями (2.4) и (2.5) для этого оператора. Поэтому утверждение теоремы 6 вытекает из следствия 1.
Теорема доказана. Проиллюстрируем теорему 6 двумя частными случаями. Пример 1. Пусть $n\geqslant 1$, $B^n\subset\mathbb{C}^n$ – открытый единичный шар в $\mathbb{C}^n$. Возьмем $X=S=\partial B^n\subset\mathbb{C}^n$ – единичная сфера (граница $B^n$), $\mu=\sigma$ – поверхностная мера Лебега на $S$, нормированная условием $\sigma(S)=1$. На сфере $S$ имеется естественная квазиметрика (см., например, [28; гл. 1, § 4.1]) где $\zeta=(\zeta_1,\dots,\zeta_n)$, $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)\in\mathbb{C}^n$. Класс Харди $H^p(B^n)$, $p>0$, состоит из голоморфных функций $f\colon B^n\to\mathbb{C}$, для которых конечна величина
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{H^p(B^n)}:=\sup_{0\leqslant r<1}\|f_r\|_{L^p(S)},\qquad f_r(\zeta):=f(r\zeta)
\end{equation*}
\notag
$$
[20; § 5.6], [28; гл. 2, § 1.3]. Если отождествить проколотый шар $B^n\setminus\{0\}$ и $\mathbf X=S\times(0,1)$ с помощью отображения
$$
\begin{equation*}
z\mapsto (x,t), \quad\text{где }\ x=\frac{z}{|z|}, \quad t=1-|z|,
\end{equation*}
\notag
$$
то $H^p(B^n)$ при $p>0$ непрерывно вкладывается в $\mathcal H^p(S\times(0,1))$ (см., например, [20; теорема 5.6.5]). Поэтому из теоремы 6 вытекает, если $0<p\leqslant q<\infty$ и $\nu$ – мера Карлесона на $B^n$ степени $q/p$, то
$$
\begin{equation}
\biggl(\int_{B^n}|f|^q\,d\nu\biggr)^{1/q}\lesssim\|\mathcal Nf\|_{L^p(S)}\lesssim\|f\|_{H^p(B^n)}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Здесь первое неравенство справедливо для любой измеримой функции $f\colon S\times(0,1)\to\mathbb{C}$, второе – для $f\in H^p(B^n)$. Понятие меры Карлесона восходит к его работам [30], [31], в которых с помощью неравенств вида (5.7) (при $n=1$ и $q=p$) были решены важные задачи, связанные с классами Харди аналитических функций в единичном круге (задача об интерполяции аналитическими функциями и задача о короне). См. об этом также в [32; гл. 7, 8] Л. Хёрмандер в [33] распространил неравенство (5.7) при $q=p$ на классы Харди голоморфных функций в областях из $\mathbb{C}^n$, $n\geqslant1$, с достаточно гладкой границей, причем в [33] в доказательствах использовался диагональный вариант интерполяционной теоремы Марцинкевича. Дюрен в [34] использовал метод Хёрмандера в одномерном случае при $0<p\leqslant q<\infty$ (см. также обсуждение работ [33], [34] в [28; п. 1.4]). Пример 2. Пусть $X=\mathbb R^n$, $n\geqslant 1$, $d(x,y)=|x-y|$ – евклидова метрика и $\mu$ – мера Лебега на $\mathbb R^n$, $I=(0,\infty)$. В качестве класса Харди $H^p(\mathbb R^{n+1}_+)$, $p>0$, здесь можно взять, например, множество гармонических функций $u$ в $\mathbb R^{n+1}_+:=\mathbb R^n\times\mathbb R_+$, для которых некасательная максимальная функция $\mathcal N u$ принадлежит $L^p(\mathbb R^n)$. Подходит также следующий более общий вариант классов $H^p$. Пусть $\varphi$ – достаточно гладкая функция на $\mathbb R^n$ (например, $\varphi$ принадлежит классу Шварца),
$$
\begin{equation*}
\varphi_t(x):=t^{-n}\varphi\biggl(\frac xt\biggr), \qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $H^p_{\varphi}(\mathbb R^{n+1}_+)$ – множество сверток $u=f\ast \varphi_t$ распределений медленного роста $f$, для которых некасательная максимальная функция $\mathcal N(f\ast \varphi_t)$ принадлежит $L^p(\mathbb R^n)$ (см. об этом подробнее в [19] или [35; гл. 2]). Тогда
$$
\begin{equation*}
H^p_{\varphi}(\mathbb R^{n+1}_+)\subset\mathcal H^p(\mathbb R^n\times\mathbb R_+), \qquad p>0,
\end{equation*}
\notag
$$
и это вложение непрерывно. На возможность использования некасательной максимальной функции при доказательстве теорем вложения Карлесона для интегралов Пуассона функций из $L^p(\mathbb R^n)$, $p>1$, указывалось в [4; гл. 7, § 4.4]. Отметим в связи с этим еще работу [36], в которой эта идея была использована для изучения мер Карлесона на произведениях вида $X\times(0,\infty)$, где $X$ – пространство с квазиметрикой и мерой со свойством удвоения (5.2). Однако в [36] на функции налагались дополнительные ограничения типа неравенства Гарнака. 5.2. Неравенства Харди–ЛиттлвудаЗдесь мы рассмотрим ряд неравенств для функций из $\mathcal H^p(\mathbf X)$, $p>0$, исходным пунктом для которых являются неравенства Харди–Литтлвуда для аналитических функций из классов Харди в единичном круге из $\mathbb{C}$. Введем обозначение
$$
\begin{equation*}
M_p(t,u):=\biggl(\int_X|u(y,t)|^p\,d\mu(y)\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 7. Пусть при некоторых $n>0$ и $K_4>0$ мера $\mu$ удовлетворяет условию Пусть еще $0<p<q\leqslant\infty$ и $p\leqslant l$. Тогда для любой функции $u\in \mathcal H^p(\mathbf X)$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
|u(x,t)|\lesssim t^{-n/p}\|\mathcal N u\|_{L^p(X)},\qquad x\in X
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
($\lesssim$ зависит только от $K_4$ и $p$), ($\lesssim$ зависит только от $K_4$, $p$ и $q$), ($\lesssim$ зависит только от $K_4$, $p$, $q$ и $l$). Доказательство. Чтобы установить (5.9), возьмем $(x,t)\in\mathbf X$ и запишем очевидное неравенство
$$
\begin{equation*}
|u(x,t)|\leqslant\mathcal N u(y), \qquad y\in B(x,t),
\end{equation*}
\notag
$$
возведем его в степень $p$, усредним по шару $B(x,t)$ и применим условие (5.8):
При доказательстве (5.10) используем (5.9):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M^q_q(t,u) &\leqslant\int_{X}[\mathcal N u(x)]^p|u(x,t)|^{q-p}\,d\mu(x) \\ &\lesssim t^{-n(q-p)/p}\|\mathcal N u\|_{L^p(X)}^{q-p}\|\mathcal N u\|_{L^p(X)}^{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, докажем (5.11) сначала при $l=p$. Для этого при $0<q<\infty$ введем оператор определенный на классе $u\in L^0(\mathbf X)$.Из неравенств (5.10) вытекает, что если $0<p<q$, то
$$
\begin{equation}
Tu(x)\lesssim t^{-1/p}\|\mathcal N u\|_{L^p(X)}, \qquad t\in(0,t_0).
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Отсюда следует, что при всех $0<p<q$
$$
\begin{equation}
m_1\{t\in(0,t_0)\colon Tu(t)>\lambda\}\lesssim\min\{t_0,\lambda^{-p} \|\mathcal N u\|_{L^p(X)}^p\}, \qquad\lambda>0
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
(напомним, что $m_1$ – мера Лебега на $(0,t_0)$).
Кроме того, ясно, что $T$ – квазилинейный оператор. Поэтому к нему можно применить теорему 4, из которой следует неравенство (5.11) при $l=p$. Случай $l>p$ сводится к уже рассмотренному с помощью (5.10):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{t_0}t^{nl(1/p-1/q)-1}M_q^{l}(t,u)\,dt \\ &\qquad =\int_0^{t_0}\bigl[t^{n(1/p-1/q)}M_q(t,u)\bigr]^{l-p}t^{np(1/p-1/q)-1}M_q^{p}(t,u)\,dt \\ &\qquad \lesssim\|\mathcal N u\|_{L_p(X)}^{l-p} \int_0^{t_0}t^{np(1/p-1/q)-1}M_q^{p}(t,u)\,dt \\ &\qquad \lesssim\|\mathcal N u\|_{L_p(X)}^{l-p}\|\mathcal N u\|_{L_p(X)}^{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Для иллюстрации теоремы 7 используем варианты выбора $X$, приведенные выше в примерах 1 и 2. В случае единичного круга $B^1\subset\mathbb{C}$ (см. пример 1 при $n=1$) неравенства из теоремы 7 рассматривали Г. Харди и Дж. Литтлвуд (см. [37; теорема 2], [38; теоремы 27, 31], [39; теоремы 1, 11]). Они доказывали неравенства (5.9)–(5.11) для аналитических функций из классов Харди $H^p(B^1)$. Т. Флетт (см. [40; теорема 1]) доказывал неравенства (5.9)–(5.11) при $p\geqslant1$ для операторов типа интеграла Пуассона на некоторых локально компактных группах и применял их, в частности, к интегралам Пуассона в полупространстве $\mathbb R^{n+1}$ при $p\geqslant 1$ (см. [40; теорема 2]), а также при $p>0$ (см. [40; теорема 3]) к функциям, для которых некоторая степень $k\leqslant p$ субгармонична. Отметим, что Флетт применял при доказательствах диагональный вариант интерполяционной теоремы Марцинкевича. Эта идея Флетта была использована затем в работе Ж. Митчелл–К. Хан (см. [41; теорема 4] для переноса одномерных неравенств Харди–Литтлвуда на многомерный случай голоморфных функций из классов Харди $H^p$ в единичном шаре и в ограниченных симметрических областях из $\mathbb{C}^n$. Все эти результаты являются следствиями теоремы 7. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kro24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|