| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О связности группы автоморфизмов аффинного торического многообразия В. В. Киктева Факультет компьютерных наук, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10080e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть $\mathbb{K}$ – алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Пусть $X$ – алгебраическое многообразие над полем $\mathbb{K}$, а $\operatorname{Aut}(X)$ – группа регулярных автоморфизмов многообразия $X$. В общем случае группа $\operatorname{Aut}(X)$ не является алгебраической группой. Однако для подгрупп в группе $\operatorname{Aut}(X)$ можно определить понятие связности. Данный термин был введен в работе [1], см. также [2]. Пусть $S$ – неприводимое аффинное алгебраическое многообразие. Тогда любое отображение $S\to\operatorname{Aut}(X)$, $s\mapsto \varphi_s$ определяет семейство $\{\varphi_s\}_{s\in S}$ в группе автоморфизмов $X$, параметризованное многообразием $S$. Семейство называется алгебраическим, если отображение $S\times X\to X$, заданное по правилу $(s,x)\mapsto \varphi_s(x)$, является морфизмом алгебраических многообразий. Пусть $G$ – подгруппа в $\operatorname{Aut}(X)$. Если для каждого элемента $g\in G$ существует алгебраическое семейство $\{\varphi_s\}_{s\in S}$, содержащее $g$ и тождественный автоморфизм, то $G$ называется связной подгруппой в $\operatorname{Aut}(X)$. Связной компонентой единицы $\operatorname{Aut}(X)^0$ в группе автоморфизмов $X$ называется подгруппа, порожденная элементами всех алгебраических семейств, содержащих тождественный автоморфизм. Для невырожденных аффинных торических многообразий размерности больше или равной двум группа автоморфизмов является бесконечномерной, что следует из работы [3], и, следовательно, не является алгебраической. В отличие от аффинного случая, группа автоморфизмов полного торического многообразия является аффинной алгебраической группой. Группы автоморфизмов полных симплициальных торических многообразий изучены в [4], [5]. Заметим, что [4; следствие 4.7] содержит описание связной компоненты единицы и группы компонент группы автоморфизмов многообразия. Известны примеры аффинных торических многообразий как со связной, так и с несвязной группой автоморфизмов. В [6; лемма 4] и [2; теорема 6] доказывается, что группа автоморфизмов $n$-мерного аффинного пространства при любом натуральном $n$ является связной, т.е. $\operatorname{Aut}(\mathbb{A}^n)=\operatorname{Aut}(\mathbb{A}^n)^0$. Примером аффинного торического многообразия с несвязной группой автоморфизмов является алгебраический тор $T=(\mathbb{K}^{\times})^n$. Широко известно, что группа автоморфизмов тора $T$ изоморфна $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})\rightthreetimes (\mathbb{K}^{\times})^n$ и не является связной. В данном контексте уместно поставить вопрос о связности группы автоморфизмов произвольного аффинного торического многообразия. В настоящей работе найден критерий связности группы автоморфизмов аффинного торического многообразия. Доказано, что группа автоморфизмов вырожденного аффинного торического многообразия несвязна, а группа автоморфизмов невырожденного аффинного торического многообразия связна тогда и только тогда, когда не существует нетривиальных автоморфизмов группы классов дивизоров многообразия, переставляющих классы инвариантных относительно действующего тора простых дивизоров. Необходимые определения введены в § 2. Критерий связности группы автоморфизмов аффинного торического многообразия доказан в § 3, см. теорему 1, а также следствие 1. В § 4 описана группа компонент группы автоморфизмов невырожденного аффинного торического многообразия и доказано, что она является конечной. Отметим, что описание группы компонент группы автоморфизмов аналогично описанию группы компонент в случае полных симплициальных торических многообразий. Параграф 5 содержит применение критерия связности группы автоморфизмов аффинного торического многообразия к случаю поверхности, см. предложение 3. Параграф 6 посвящен примерам, иллюстрирующим полученные результаты. Автор выражает благодарность своему научному руководителю С. А. Гайфуллину и И. В. Аржанцеву за помощь, оказанную при работе над настоящим текстом. § 2. Необходимые сведения2.1. Торические многообразияНапомним необходимые факты о торических многообразиях. Более подробные сведения и доказательства можно найти в [7], [8]. Нормальное неприводимое алгебраическое многообразие $X$ называется торическим, если оно содержит алгебраический тор $T=(\mathbb{K}^{\times})^n$ в качестве плотного открытого в топологии Зарисского подмножества, причем действие тора на себе продолжается до регулярного действия тора на всем многообразии $X$. Далее считаем $X$ аффинным торическим многообразием с действием тора $T$ с открытой орбитой. Обозначим через $N$ решетку однопараметрических подгрупп $\lambda\colon \mathbb{K}^{\times} \to T$ и через $M=\operatorname{Hom}(N, \mathbb{Z})$ двойственную к $N$ решетку. Мы отождествляем решетку $M$ с решеткой характеров тора $\chi\colon T\to \mathbb{K}^{\times}$, причем спаривание $N\times M\to \mathbb{Z}$ задано правилом
$$
\begin{equation*}
(\lambda, \chi) \to \langle\lambda, \chi\rangle, \quad \text{где }\ c^{\langle\lambda, \chi\rangle} =\chi(\lambda(c)) \quad\text{для }\ c\in \mathbb{K}^{\times}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним соответствие между аффинными торическими многообразиями и рациональными полиэдральными конусами. Пусть $\sigma$ – полиэдральный конус в рациональном векторном пространстве $N_{\mathbb{Q}}=N\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ и $\sigma^{\vee}$ – двойственный к нему конус в пространстве $M_{\mathbb{Q}}=M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$,
$$
\begin{equation*}
\sigma^{\vee}=\{ m\in M_{\mathbb{Q}}\mid \langle u,m\rangle\geqslant 0 \ \forall\, u\in \sigma\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда многообразие $X_{\sigma}=\operatorname{Spec}(\mathbb{K}[\sigma^{\vee}\cap M])$ является торическим, и любое аффинное торическое многообразие можно построить таким образом. $T$-орбиты на многообразии $X_\sigma$ находятся во взаимно однозначном соответствии с гранями конуса $\sigma$. В частности, каждому лучу конуса $\sigma$ можно сопоставить $T$-инвариантный простой дивизор Вейля на многообразии $X_\sigma$, который является замыканием соответствующей $T$-орбиты. Назовем вектор решетки примитивным, если он является самым коротким целочисленным на своем луче. Если конус $\sigma$ содержит $r$ лучей с примитивными векторами $v_1,\dots,v_r$, то соответствующие им простые $T$-инвариантные дивизоры будем обозначать $D_1,\dots,D_r$. Торическое многообразие называется невырожденным, если оно не имеет обратимых регулярных функций кроме констант. Торическое многообразие $X$ невырождено тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде прямого произведения некоторого торического многообразия на алгебраический тор. Данное условие эквивалентно тому, что конус $\sigma$, соответствующий многообразию $X$, полной размерности. В п. 2.2 и 2.3 полагаем $X$ невырожденным аффинным торическим многообразием, соответствующим конусу $\sigma$. 2.2. Группа классов дивизоровОбозначим через $\operatorname{WDiv}(X)$ группу дивизоров Вейля на нормальном алгебраическом многообразии $X$ и через $\operatorname{PDiv}(X)$ подгруппу главных дивизоров, т.е.
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PDiv}(X)=\{\operatorname{div}(f)\mid f\in\mathbb{K}(X)^{\times}\},
\end{equation*}
\notag
$$
где через $\operatorname{div}(f)$ обозначен дивизор нулей и полюсов рациональной функции $f$. Группой классов $\operatorname{Cl}(X)$ многообразия $X$ называется факторгруппа группы дивизоров Вейля по подгруппе главных дивизоров:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cl}(X)=\operatorname{WDiv}(X)/\operatorname{PDiv}(X),
\end{equation*}
\notag
$$
см. [9; гл. III, § 1]. Обозначим через $\operatorname{WDiv}_{T}(X)$ подгруппу дивизоров Вейля на торическом многообразии $X$ с действующим тором $T$, инвариантных относительно действия $T$. Она свободно порождается $T$-инвариантными простыми дивизорами $D_1,\dots,D_r$. Для каждого элемента $m\in M$ обозначим через $\chi^m$ соответствующий характер тора. По [7; теорема 4.1.3] существует точная последовательность
$$
\begin{equation*}
M\to \operatorname{WDiv}_{T}(X)\to \operatorname{Cl}(X)\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где первое отображение задано по правилу $m\mapsto\operatorname{div}(\chi^m)$, а второе отображение переводит $T$-инвариантный дивизор $D$ в его класс $[D]\in\operatorname{Cl}(X)$. По [7; предложение 4.1.2] имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{div}(\chi^m)=\sum_{i=1}^r\langle v_i, m\rangle D_i
\end{equation*}
\notag
$$
в обозначениях п. 2.1. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Cl}(X) &\simeq \langle D_1,\dots,D_r \rangle / \langle \operatorname{div}(\chi^{e_j})\mid j=1,\dots,n \rangle \\ &=\langle D_1,\dots,D_r \rangle/\biggl\langle \sum_{i=1}^r v_{ij}D_i\Bigm|j=1,\dots,n \biggr\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $v_{i1},\dots,v_{ij}$ – координаты вектора $v_i$ в базисе решетки $N$, двойственного к базису $e_1,\dots,e_n$ решетки $M$. В частности, отсюда следует, что для аффинного торического многообразия группа классов является конечно порожденной. Любой автоморфизм из $\operatorname{Aut}(X)$ естественным образом действует на множестве простых дивизоров и, следовательно, на группе дивизоров Вейля. Под этим действием главные дивизоры переходят в главные, и, значит, мы имеем действие группы $\operatorname{Aut}(X)$ на группе $\operatorname{Cl}(X)$. Таким образом, существует гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\alpha}\colon \operatorname{Aut}(X)\to \operatorname{Aut}(\operatorname{Cl}(X)).
\end{equation*}
\notag
$$
Если дан автоморфизм $\varphi\in\operatorname{Aut}(X)$, то автоморфизм $\widetilde{\alpha}(\varphi)\in \operatorname{Aut}(\operatorname{Cl}(X))$ действует следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\alpha}(\varphi)\colon [D]\mapsto [\varphi(D)].
\end{equation*}
\notag
$$
Определим антигомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\alpha\colon \operatorname{Aut}(X)\to \operatorname{Aut}(\operatorname{Cl}(X)), \qquad \varphi\mapsto \widetilde{\alpha}(\varphi^{-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ker}\alpha=\operatorname{Ker}\widetilde{\alpha},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde{\alpha}(\varphi)=\operatorname{id}_{\operatorname{Cl}(X)} \quad\Longleftrightarrow\quad [D]=[\varphi(D)]\ \forall\, D\in \operatorname{WDiv}(X) \\ &\qquad \quad\Longleftrightarrow\quad [D]=[\varphi^{-1}(D)]\ \forall\, D\in \operatorname{WDiv}(X) \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha(\varphi)=\operatorname{id}_{\operatorname{Cl}(X)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation}
\widetilde{\alpha}(\operatorname{Aut}(X))=\alpha(\operatorname{Aut}(X)).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\xi\in \widetilde{\alpha}(\operatorname{Aut}(X)) \quad\Longleftrightarrow\quad \xi^{-1}\in \widetilde{\alpha}(\operatorname{Aut}(X)) \quad\Longleftrightarrow\quad \xi\in \alpha(\operatorname{Aut}(X)).
\end{equation*}
\notag
$$
В [10; лемма 2.2] доказано, что для невырожденного аффинного торического многообразия $X$ компонента $\operatorname{Aut}(X)^0$ содержится в ядре действия группы автоморфизмов $X$ на группе классов $X$. В предложении 2 мы покажем, что на самом деле здесь выполнено равенство:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(X)^0=\operatorname{Ker}\widetilde{\alpha}=\operatorname{Ker}\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
2.3. Кольца КоксаВпервые кольцо Кокса было введено в работе [4], за подробными сведениями мы также отсылаем читателя к [11]. Напомним конструкцию кольца Кокса для нормального алгебраического многообразия $X$ без непостоянных обратимых регулярных функций с конечно порожденной группой классов дивизоров. Для дивизора Вейля $D$ на многообразии $X$ рассмотрим векторное пространство
$$
\begin{equation*}
L(X, D):=\{f\in \mathbb{K}(X)^{\times}\mid \operatorname{div}(f)+D \geqslant 0 \} \cup \{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для подгруппы $K\subseteq \operatorname{WDiv}(X)$ рассмотрим $K$-градуированную $\mathbb{K}[X]$-алгебру:
$$
\begin{equation*}
S_K:=\bigoplus_{D\in K}S_D, \quad\text{где }\ S_D=L(X,D).
\end{equation*}
\notag
$$
Умножение на $S_K$ определяется на однородных элементах следующим образом. Если $f_1\in S_{D_1}$ и $f_2\in S_{D_2}$, то их произведение в $S_K$ является произведением $f_1f_2$ в $\mathbb{K}(X)$, рассматриваемым как элемент $S_{D_1+D_2}$. Для произвольных элементов $S_K$ умножение определяется по дистрибутивности. В группе дивизоров Вейля можно выбрать свободную конечно порожденную подгруппу $K$, которая сюръективно отображается на группу классов дивизоров при факторизации по подгруппе главных дивизоров. Рассмотрим групповой гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\chi\colon K \cap\operatorname{PDiv}(X)\to \mathbb{K}(X)^{\times},
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющий правилу Обозначим через $I$ идеал $S_K$, порожденный элементами $1-\chi(E)$ для всех дивизоров Вейля $E\in K \cap\operatorname{PDiv}(X)$, где $1$ является однородным элементом степени $0$, элемент $\chi(E)$ однороден и имеет степень $-E$. Кольцом Кокса называется факторкольцо $R(X):=S_K/I$. Данное кольцо градуировано группой классов дивизоров $X$: причем $R(X)_0=\mathbb{K}[X]$. Известно, что кольцо Кокса многообразия $X$ не зависит от выбора подгруппы $K$ и гомоморфизма $\chi$ с точностью до изоморфизма $\operatorname{Cl}(X)$-градуированных колец.Квазитором Нерона–Севери многообразия $X$ называется квазитор $N(X)$, чья группа характеров изоморфна $\operatorname{Cl}(X)$. Квазитор $N(X)$ действует на $R(X)$ автоморфизмами, и $R(X)_u$ являются весовыми подпространствами для данного действия, т.е. $N$ действует на $R(X)_u$ домножением на соответствующий характер. Таким образом, при действии элементов из $N(X)$, $\operatorname{Cl}(X)$-однородные компоненты $R(X)$ сохраняются. В [3; теорема 5.1] доказано, что для неприводимого нормального аффинного многообразия с конечно порожденной группой классов дивизоров и без обратимых регулярных функций, кроме констант, имеется точная последовательность
$$
\begin{equation}
1\to N(X) \to \widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X)) \xrightarrow{\beta} \operatorname{Aut}(X) \to 1,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где через $\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))$ обозначены автоморфизмы кольца Кокса, нормализующие градуировку группой классов дивизоров:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X)) &:=\bigl\{\varphi \in \operatorname{Aut}(R(X))\mid \exists\, \varphi_0 \in \operatorname{Aut}(\operatorname{Cl}(X)): \\ &\qquad\qquad \varphi(R(X)_u)=R(X)_{\varphi_0(u)}\ \forall\, u\in \operatorname{Cl}(X)\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как автоморфизмы из $\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))$ нормализуют градуировку группой классов, нулевая компонента кольца Кокса является инвариантным подмножеством для любого $\psi\,{\in}\,\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))$. Значит, корректно определено ограничение $\psi|_{R(X)_0}$. Антигомоморфизм $\beta$ задается следующим правилом: $\beta(\psi)=\varphi$, если т.е. для любых $x\in X$, $f\in \mathbb{K}[X]$. По определению группы $\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))$ автоморфизму кольца Кокса, нормализующему $\operatorname{Cl}(X)$-градуировку, можно сопоставить автоморфизм группы классов. Таким образом, имеем гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\gamma\colon \widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X)) \to \operatorname{Aut}(\operatorname{Cl}(X)).
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [4] доказано, что для невырожденного торического многообразия $X=X_\sigma$ кольцо Кокса изоморфно алгебре многочленов от $r$ переменных над полем $\mathbb{K}$, где через $r$ обозначено количество лучей конуса $\sigma$, где $T_i$ однородны относительно $\operatorname{Cl}(X)$-градуировки и $\operatorname{deg}(T_i) = [D_i]$.§ 3. Критерий связностиПредложение 1. Пусть $X$ – вырожденное аффинное торическое многообразие. Тогда группа автоморфизмов $X$ не является связной. Доказательство. Вырожденность торического многообразия $X$ с действием тора $T$ равносильна следующему утверждению: многообразие $X$ разлагается в прямое произведение $X=Y\times \widetilde{T}$, а для тора $T$ верно $T=\overline{T}\times \widetilde{T}$, где $\overline{T}$ и $\widetilde{T}$ – алгебраические торы, а $Y$ – невырожденное аффинное торическое многообразие с действующим тором $\overline{T}$. Таким образом, имеем следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\mathbb{K}[X]=\mathbb{K}[Y] \otimes \mathbb{K}[\widetilde{T}]=\mathbb{K}[Y] \otimes \mathbb{K}[t_1,t_1^{-1},\dots,t_q,t_q^{-1}],
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $t_1,\dots,t_q$ – координатные функции на $\widetilde{T}$. Пусть $\varphi\in\operatorname{Aut}(X)$ – автоморфизм многообразия $X$. Тогда $\varphi^*$ является автоморфизмом алгебры (3.1). Покажем, что $\varphi^*$ действует на координатных функциях $y_1,\dots,y_p$ многообразия $Y$ и $t_1,\dots,t_q$ тора $\widetilde{T}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\varphi^*\colon y_i\mapsto \varphi^*(y_i), \quad i=1,\dots,p; \qquad t_j\mapsto \nu^* (t_j), \quad j=1,\dots,q,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
для некоторого автоморфизма $\nu^*$ алгебры $\mathbb{K}[\widetilde{T}]$. Действительно, под действием автоморфизма обратимые функции, в частности, $t_i$, переходят в обратимые, а алгебра $\mathbb{K}[Y]$ обратимых функций кроме констант не содержит, следовательно, обратимые элементы алгебры (3.1) являются мономами Лорана от переменных $t_1,\dots,t_q$. Следовательно, $\nu^* (t_j)$ не может зависеть от $y_1,\dots,y_p$.
Предположим, что группа $\operatorname{Aut}(X)$ является связной. Покажем, что из связности $\operatorname{Aut}(X)$ следовала бы связность $\operatorname{Aut}(\widetilde{T})$, что является противоречием. Выберем любой автоморфизм $\psi\in \operatorname{Aut}(\widetilde{T})$ и построим по нему автоморфизм $\varphi\in\operatorname{Aut}(X)$ так, чтобы для $\varphi^*$ выполнялось
$$
\begin{equation*}
\varphi^*\colon y_i\mapsto y_i, \quad i=1,\dots,p; \qquad t_j\mapsto \psi^*(t_j), \quad j=1,\dots,q.
\end{equation*}
\notag
$$
Из связности $\operatorname{Aut}(X)$ следует, что $\varphi$ можно включить в некоторое алгебраическое семейство $\{\varphi_s\}_{s\in S}$, содержащее тождественный автоморфизм. Из (3.2) каждый автоморфизм $\varphi_s^*$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\varphi_s^*\colon y_i\mapsto \varphi_s^*(y_i), \quad i=1,\dots,p; \qquad t_j\mapsto \nu_s^* (t_j), \quad j=1,\dots,q,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\nu_s^*$ является автоморфизмом алгебры $\mathbb{K}[\widetilde{T}]$. Следовательно, семейство $\{\nu_s\}_{s\in S}$ будет алгебраическим семейством, содержащим автоморфизм $\psi$ и тождественный автоморфизм тора $\widetilde{T}$.
Предложение 1 доказано. Далее мы можем ограничиться только невырожденными аффинными торическими многообразиями $X$. Для этого класса многообразий корректно определено кольцо Кокса $R(X)$, см. § 2. Напомним, что там же были введены антигомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha\colon \operatorname{Aut}(X)\to\operatorname{Aut}(\operatorname{Cl}(X)), \\ \beta\colon \widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))\to \operatorname{Aut}(X) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\gamma\colon \widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))\to \operatorname{Aut}(\operatorname{Cl}(X)).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Пусть $\varphi\in\operatorname{Aut}(X)$. Следуя [3], построим автоморфизм из $\beta^{-1}(\varphi)$. Покажем, что $\varphi^*$ продолжается до отображения для любого дивизора Вейля $D\in\operatorname{WDiv}(X)$. Действительно, для любых $x\in X$, $f\in\mathbb{K}(X)^{\times}$. Значит,
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}(\varphi^*(f))=\varphi^{-1}(\operatorname{div}(f)),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
и выполняется
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f\in L(X,D) \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{div}(f)+D\geqslant 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \varphi^{-1}(\operatorname{div}(f))+\varphi^{-1}(D)\geqslant 0 \\ &\qquad \stackrel{(3.4)}{\Longleftrightarrow}\quad \operatorname{div}(\varphi^*(f))+\varphi^{-1}(D)\geqslant 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \varphi^*(f)\in L(X,\varphi^{-1}(D)) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $f\in\mathbb{K}(X)^{\times}$, $D\in\operatorname{WDiv}(X)$. Таким образом, (3.3) доказано. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\varphi^*\colon S_K=\bigoplus_{D\in K}L(X,D)\to S_{\varphi^{-1}(K)}=\bigoplus_{D\in\varphi^{-1}(K)}L(X,D).
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $\varphi^*$ определяет корректный автоморфизм $R(X)$. При отображении $\varphi^*$ элемент $1-\chi(E)$ переходит в элемент $1-\varphi^*(\chi(E))$, где $1$ – однородный элемент степени $0$ и $\varphi^*(\chi(E))$ имеет степень $-\varphi^{-1}(E)$ из (3.3). Определим гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\chi'=\varphi^* \circ \chi \circ \varphi\colon \operatorname{PDiv}(X)\cap \varphi^{-1}(K)\to\mathbb{K}(X)^{\times}.
\end{equation*}
\notag
$$
Построенный гомоморфизм удовлетворяет равенству $\operatorname{div}(\chi'(D))=D$ для любого дивизора Вейля $D\in \operatorname{PDiv}(X)\cap \varphi^{-1}(K)$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{div}(\chi'(D))=\operatorname{div}(\varphi^*\circ\chi\circ\varphi(D))\stackrel{(3.4)}{=} \varphi^{-1}(\operatorname{div}(\chi\circ\varphi(D)))=\varphi^{-1}(\varphi(D))=D
\end{equation*}
\notag
$$
для любого главного дивизора Вейля $D$ из $\varphi^{-1}(K)$. Таким образом, $\varphi^*$ переводит идеал $I$ в идеал кольца $S_{\varphi^{-1}(K)}$, порожденный элементами $1-\chi'(D)$ для всех дивизоров Вейля $D$ из $\operatorname{PDiv(X)}\cap\varphi^{-1}(K)$, где $1$ является однородным элементом степени $0$, элемент $\chi'(D)$ однороден и имеет степень $-D$. Значит, $\varphi^*$ является гомоморфизмом, отображающим кольцо Кокса, построенное по гомоморфизму $\chi$ и подгруппе $K$, в кольцо Кокса, построенное по гомоморфизму $\chi'$ и подгруппе $\varphi^{-1}(K)$. Кольцо Кокса не зависит от выбора гомоморфизма и подгруппы в группе дивизоров Вейля, удовлетворяющих требованиям из п. 2.3. Существует обратный к $\varphi^*$ гомоморфизм колец Кокса, он получается аналогичным построением из автоморфизма $\varphi^{-1}$. Таким образом, $\varphi^*$ является автоморфизмом кольца Кокса.
Показано, что множество $\beta^{-1}(\varphi)$ содержит автоморфизм $\varphi^*$, который отображает компоненту кольца Кокса степени $[D]$ в компоненту степени $[\varphi^{-1}(D)]$ относительно $\operatorname{Cl}(X)$-градуировки. Осталось заметить, что из точности последовательности (2.3) любой другой автоморфизм из $\beta^{-1}(\varphi)$ отличается от $\varphi^*$ на автоморфизм, соответствующий действию некоторого элемента из квазитора Нерона – Севери. При действии квазитора $N(X)$ на $R(X)$ однородные компоненты сохраняются. Следовательно, для любого автоморфизма $\psi^*{\in}\, \widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))$ и для любого дивизора Вейля $D$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\gamma(\psi^*)\colon [D]\mapsto [\beta(\psi^*)^{-1}(D)]=\alpha\circ\beta(\psi^*)([D]).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, лемма 1 доказана. Рассмотрим ядро гомоморфизма $\gamma$. Оно состоит в точности из тех автоморфизмов кольца Кокса, что сохраняют градуировку группой классов. Любому автоморфизму ${g^*\in \operatorname{Ker}\gamma}$ можно сопоставить автоморфизм
$$
\begin{equation*}
g\in\operatorname{Aut}(\operatorname{Spec}(R(X))) = \operatorname{Aut}(\mathbb{A}^r).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
G:=\{ g\in \operatorname{Aut}(\mathbb{A}^r)\mid g^*\in\operatorname{Ker}\gamma\}\subseteq \operatorname{Aut}(\mathbb{A}^r).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. По аналогии с [6; лемма 4] и [2; теорема 6] покажем, что каждый автоморфизм из $G$ является композицией автоморфизмов из подгрупп $A$ и $H$, где $A$ и $H$ – связные подгруппы в $G$. Из этого будет следовать связность $G$ в $\operatorname{Aut}(\mathbb{A}^r)$.
Напомним, что кольцо Кокса многообразия $X$ является алгеброй многочленов с $\operatorname{Cl}(X)$-градуировкой:
$$
\begin{equation*}
R(X)=\mathbb{K}[T_1,\dots,T_r], \qquad \operatorname{deg}(T_i)=[D_i]\in\operatorname{Cl}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого автоморфизма $\varphi^*\in\operatorname{Aut}(R(X))$ через $l(\varphi^*)$ обозначим гомоморфизм алгебры $R(X)$ в себя, построенный следующим образом. Пусть $\varphi^*$ действует на переменных по формуле
$$
\begin{equation}
\varphi^*\colon T_i \mapsto F_{i0}+F_{i1}(T_{1},\dots,T_{r})+\dots+F_{im}(T_{1},\dots,T_{r}),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $F_{ij}(T_{1},\dots,T_{r})$ – форма степени $j$ от $T_1,\dots,T_r$. Тогда положим
$$
\begin{equation*}
l(\varphi^*)\colon T_i\mapsto F_{i0}+F_{i1}(T_{1},\dots,T_{r})
\end{equation*}
\notag
$$
и продолжим на $R(X)=\mathbb{K}[T_1,\dots,T_r]$ по линейности и мультипликативности.
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
l(\varphi^* \circ \psi^*)=l(\varphi^*)\circ l(\psi^*)
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $\varphi^*,\psi^*\in\operatorname{Aut}(R(X))$. Отсюда имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{id}_{R(X)}=l(\varphi^* \circ (\varphi^*)^{-1})=l(\varphi^*)\circ l((\varphi^*)^{-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
значит, $l(\varphi^*)^{-1}=l((\varphi^*)^{-1})$, и $l(\varphi^*)$ обратим, следовательно, является автоморфизмом алгебры $R(X)$ для любого автоморфизма $\varphi^*\in \operatorname{Aut}(R(X))$.
Далее рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
A^*:= \{l(\varphi^*)\mid \varphi^*\in\operatorname{Ker}\gamma \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что, если автоморфизм $\varphi^*$ нормализует $\operatorname{Cl}(X)$-градуировку, то $l(\varphi^*)$ тоже. Для этого достаточно показать, что для любого элемента $g\in R(X)$ выполняется
$$
\begin{equation}
\operatorname{deg}(\varphi^*(g))=\operatorname{deg}(l(\varphi^*)(g)).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Тогда в качестве $\varphi_0$ для $l(\varphi^*)$ из определения $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ подойдет $\gamma(\varphi^*)$. Для переменных $T_1,\dots,T_r$ равенство (3.6) выполняется в силу того, что все слагаемые в разложении (3.5) однородны и имеют степень $\gamma(\varphi^*)([D_i])$. Для произведений однородных элементов и сумм однородных элементов одной степени (3.6) выполняется по линейности и мультипликативности $l(\varphi^*)$.
При этом $\gamma(\varphi^*)\,{=}\,\gamma(l(\varphi^*))$. Значит, для любого $\varphi^*{\in}\,\operatorname{Ker}\gamma$ автоморфизм $l(\varphi^*)$ также содержится в ядре $\gamma$. Несложно проверить, что $A^*$ является подгруппой $\operatorname{Ker}\gamma$. Далее рассмотрим подгруппу Докажем, что подгруппа $A$ связна. Пусть среди элементов $[D_1],\dots,[D_r]$ есть ровно $k$ различных: $d_1,\dots,d_k$, и пусть для любого $i=1,\dots,k$ есть ровно $n_i$ переменных $T_j$ со степенью $d_i$, т.е. ${r=n_1+\dots+n_k}$. Введем новые обозначения для индексов у переменных $T_j$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{deg}(T_{11})=\dots=\operatorname{deg}(T_{1n_1})=d_1, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \operatorname{deg}(T_{k1})=\dots=\operatorname{deg}(T_{kn_k})=d_k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если среди элементов $d_1,\dots,d_k$ нет нулевого, то группа
$$
\begin{equation}
A\simeq A^* = \operatorname{GL}_{n_1}(\mathbb{K})\times\dots\times \operatorname{GL}_{n_k}(\mathbb{K})
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
является связной. Если $d_i=0\in\operatorname{Cl}(X)$, то в произведении (3.7) соответствующий множитель $\operatorname{GL}_{n_i}(\mathbb{K})$ заменится на $\operatorname{GL}_{n_i}(\mathbb{K}) \rightthreetimes \mathbb{K}^{n_i}$. В этом случае $A$ также является связной.
Далее рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
H^*:=\{ l(\varphi^*)^{-1}\circ \varphi^*\mid \varphi^*\in\operatorname{Ker}\gamma\} =\{\varphi^*\in\operatorname{Ker}\gamma\mid l(\varphi^*)=\operatorname{id}_{R(X)} \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $H^*$ является подгруппой $\operatorname{Ker}\gamma$.
Рассмотрим подгруппу и докажем, что она является связной. Рассмотрим любой автоморфизм $h\in H$ и соответствующий ему автоморфизм $h^*\in H^*$. Линейная часть автоморфизма $h^*$ является тождественным автоморфизмом, и, следовательно, $h^*$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
h^*(T_i)=T_i+ \sum_{j=2}^{m_i} h_{ij}, \qquad i=1,\dots,r,
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых чисел $m_i\in\mathbb{N}_{\geqslant 2}$, где $h_{ij}$ либо нулевые, либо являются однородными формами степени $j$ по $T_1,\dots, T_r$. Здесь имеется в виду однородность относительно стандартной градуировки $\operatorname{deg}(T_j)=1\in \mathbb{Z}$ для любого $j=1,\dots ,r$.
Для любого элемента $t\in \mathbb{K}^{\times}$ обозначим через $\xi_{t}^*\in A^*$ автоморфизм, который действует на переменных следующим образом: Пусть тогда
$$
\begin{equation*}
h^*_t(T_i)=T_i+\sum_{j=2}^{m_i}t^{j-1}h_{ij}, \qquad i=1,\dots,r.
\end{equation*}
\notag
$$
Доопределим $h^*_0:=\operatorname{id}_{R(X)}$, и тогда $\{h_t\}_{t\in\mathbb{K}}\subseteq H$ будет алгебраическим семейством, содержащим $h=h_1$ и $\operatorname{id}_{\mathbb{A}^r}=h_0$. Следовательно, подгруппа $H$ является связной.
Осталось заметить, что для любого $\varphi^*\in \operatorname{Ker}\gamma$ верно
$$
\begin{equation*}
\varphi^*=l(\varphi^*)\circ l(\varphi^*)^{-1}\circ \varphi^*=a^*\circ h^*,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a^*=l(\varphi^*)\in A^*$ и $h^*=l(\varphi^*)^{-1}\circ \varphi^*\in H^*$. Значит, для любого $\varphi\in G$ существует разложение в композицию $\varphi=h\circ a$, где $h\in H$, $a\in A$. Из связности подгрупп $A$ и $H$ следует связность группы $G$.
Лемма 2 доказана. Заметим, что антигомоморфизм $\beta$ сюръективно отображает ядро гомоморфизма $\gamma$ на ядро антигомоморфизма $\alpha$. Это верно, так как если элемент $f$ содержится в ядре $\alpha$, то его прообраз относительно $\beta$ существует и лежит в группе $\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))$ из-за сюръективности $\beta$. Тогда по лемме 1 выполняется $\gamma(\beta^{-1}(f))=\alpha(f)=\operatorname{id}_{\operatorname{Cl}(X)}$ и элемент $\beta^{-1}(f)$ содержится в $\operatorname{Ker}\gamma$. Предложение 2. Для невырожденного аффинного торического многообразия $X$ выполняется равенство $\operatorname{Aut}(X)^0=\operatorname{Ker}(\operatorname{Aut}(X)\curvearrowright \operatorname{Cl}(X))$. Доказательство. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ker}(\operatorname{Aut}(X)\curvearrowright \operatorname{Cl}(X))=\operatorname{Ker}\widetilde{\alpha} \stackrel{(2.1)}{=} \operatorname{Ker}\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что $\operatorname{Ker}\alpha$ является связной подгруппой $\operatorname{Aut}(X)$. Рассмотрим автоморфизм
$$
\begin{equation*}
\varphi\in \operatorname{Ker} \alpha\subseteq \operatorname{Aut}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Из сюръективности антигомоморфизма $\beta$ существует такой автоморфизм
$$
\begin{equation*}
\psi^*\in\operatorname{Ker}\gamma\subseteq \widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X)),
\end{equation*}
\notag
$$
что $\beta(\psi^*)=\varphi$. Автоморфизму $\psi^*$ кольца Кокса сопоставим автоморфизм
$$
\begin{equation*}
\psi\in G\subseteq \operatorname{Aut}(\operatorname{Spec}(R(X)))=\operatorname{Aut}(\mathbb{A}^r).
\end{equation*}
\notag
$$
Подгруппа $G$ является связной в $\operatorname{Aut}(\mathbb{A}^r)$ по лемме 2. Следовательно, для некоторого неприводимого аффинного алгебраического многообразия $S$ существует алгебраическое семейство $\Psi=\{\psi_{s}\}_{s\in S}\subseteq G$, содержащее $ \psi$ и $\operatorname{id}_{\mathbb{A}^r}$. Так как данное семейство алгебраическое, отображение является морфизмом алгебраических многообразий.
Для каждого элемента $\psi_s\in \Psi$ рассмотрим $\psi_s^*\in \operatorname{Aut}(R(X))$. Отметим, что $\psi_s^*$ содержится в $\operatorname{Ker}\gamma$, так как $\psi_s\in G$ для любого $s\in S$. Значит, автоморфизм $\psi_s^*$ сохраняет $\operatorname{Cl}(X)$-градуировку на $R(X)$, и корректно определено ограничение $\psi_s^*|_{R(X)_0}$. Обозначим
$$
\begin{equation}
\varphi_s^*:=\psi_s^*|_{R(X)_0}=\psi_s^*|_{\mathbb{K}[X]}\in\operatorname{Aut}(\mathbb{K}[X]).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Автоморфизм $\varphi_s^*\in \operatorname{Aut}(\mathbb{K}[X])$ соответствует некоторому автоморфизму $\varphi_s\in \operatorname{Aut}(X)$. Причем $\psi_s^*\in\operatorname{Ker}\gamma$ и $\varphi_s=\beta(\psi_s^*)$, значит, $\varphi_s\in \operatorname{Ker}\alpha$. Итак, множество $\Phi=\{\varphi_s\}_{s\in S}$ является семейством в $\operatorname{Ker}\alpha$, содержащим $\varphi$ и тождественный автоморфизм многообразия $X$. Осталось доказать, что семейство $\Phi$ является алгебраическим.
Для морфизма $\xi$, определенного выше, рассмотрим гомоморфизм Заметим, что
$$
\begin{equation}
(\xi^*(f))(s,z)=f(\xi(s,z))=f(\psi_s(z))=(\psi_s^*(f))(z)
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
для любых $s\in S$, $f\in R(X)$ и $z\in \operatorname{Spec}(R(X))=\mathbb{A}^r$.
Пусть $f\in R(X)_0$. Тогда из (3.9) имеем так как $\psi_s^*\in \operatorname{Ker}\gamma$, и, следовательно, $\psi_s^*(f)\in R(X)_0$.Значит, корректно определен гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\zeta^*:=\xi^*|_{R(X)_0}\colon R(X)_0\to \mathbb{K}[S]\otimes R(X)_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание, что $R(X)_0=\mathbb{K}[X]$, заметим, что гомоморфизм алгебр $\zeta^*$ соответствует морфизму Покажем, что данный морфизм является искомым, т.е. $\zeta(s,x)=\varphi_s(x)$. Для любых элементов $s\in S$, $f\in\mathbb{K}[X]$ и $x\in X$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f(\zeta(s,x)) &=(\zeta^*(f))(s,x)=(\xi^*(f))(s,x) \stackrel{(3.9)}{=} (\psi_s^*(f))(x) \\ &\!\!\stackrel{(3.8)}{=} (\varphi_s^*(f))(x)=f(\varphi_s(x)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, максимальные идеалы в $\mathbb{K}[X]$, отвечающие точкам $\zeta(s,x)$ и $\varphi_s(x)$, совпадают, т.е. $\mathfrak{m}_{\zeta(s,x)}=\mathfrak{m}_{\varphi_s(x)}$, где $\mathfrak{m}_x=\{f\in\mathbb{K}[X]\mid f(x)=0\}$. Следовательно, выполняется равенство $\zeta(s,x)=\varphi_s(x)$, и морфизм $\zeta$ является искомым. Итак, мы показали, что любой автоморфизм $\varphi\in\operatorname{Ker}\alpha$ можно включить в некоторое алгебраическое семейство $\Phi\subseteq \operatorname{Ker}\alpha$, содержащее тождественный автоморфизм многообразия $X$. Таким образом, $\operatorname{Ker}\alpha$ является связной подгруппой $\operatorname{Aut}(X)$. Имеем включение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ker}\alpha=\operatorname{Ker}(\operatorname{Aut}(X)\curvearrowright \operatorname{Cl}(X)) \subseteq \operatorname{Aut}(X)^0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обратное включение следует из [10; лемма 2.2]. Предложение 2 доказано. Следовательно, имеем коммутативную диаграмму: Воспользуемся описанием связной компоненты единицы, полученным в предложении 2, чтобы доказать критерий связности группы автоморфизмов невырожденного аффинного торического многообразия. Теорема 1. Пусть $X$ – невырожденное аффинное торическое многообразие с действием тора ${T=(\mathbb{K}^{\times})^n}$. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) группа автоморфизмов $X$ связна; 2) автоморфизмы кольца Кокса, нормализующие градуировку группой классов дивизоров, сохраняют эту градуировку, т.е. $\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))=\operatorname{Ker}\gamma$; 3) не существует такого преобразования $L\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$, $L(\sigma)=\sigma$, что $L(v_i)= v_j$, но $[D_i]\neq [D_j]$, где $v_i$ – примитивный вектор на $i$-м луче конуса $\sigma$, а $[D_i]$ – класс соответствующего ему $T$-инвариантного простого дивизора в группе классов. Отметим, что еще одно условие, эквивалентное связности группы автоморфизмов, будет приведено в следствии 1. Доказательство теоремы 1. Докажем равносильность условий 1) и 2). Если
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))=\operatorname{Ker}\gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
то из диаграммы (3.10) имеем $\operatorname{Aut}(X)=\operatorname{Ker}\alpha.$ По предложению 2 выполняется $\operatorname{Ker} \alpha=\operatorname{Aut}(X)^0,$ следовательно, $\operatorname{Aut}(X)=\operatorname{Aut}(X)^0$, группа $\operatorname{Aut}(X)$ является связной. Обратно, если существует автоморфизм то и группа $\operatorname{Aut}(X)$ не является связной. Эквивалентность 1) и 2) доказана.
Осталось доказать, что условия 1) и 3) равносильны. Существование такого линейного оператора $L\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$, $L(\sigma)=\sigma$, что для некоторых натуральных чисел $i$, $j$ верно $L(v_i)=v_j$, но ${[D_i]\neq [D_j]}$, равносильно тому, что существует такой $T$-эквивариантный автоморфизм $\varphi\in \operatorname{Aut}(X)$, что для некоторых $i$, $j$ выполняется ${\varphi(D_i)=D_j}$, но $[D_i]\neq [D_j]$, см. [7; теорема 3.3.4]. Следовательно, $\varphi\not\in \operatorname{Aut}(X)^0$, так как $\varphi$ нетривиально действует на группе классов дивизоров, и группа $\operatorname{Aut}(X)$ несвязна. Обратно, пусть группа автоморфизмов $X$ несвязна. Воспользуемся следствием 1, которое будет доказано в § 4. Из несвязности группы автоморфизмов $X$ следует, что существует нетривиальный автоморфизм $\varphi$ группы $\operatorname{Cl}(X)$, переставляющий элементы $[D_1],\dots,[D_r]$ в соответствии с некоторой подстановкой $\tau\in S_r$. Зафиксируем некоторый базис $e_1,\dots,e_n$ решетки $M$. Пусть в базисе векторного пространства $N_{\mathbb{Q}}$, соответствующего двойственному к $e_1,\dots,e_n$ базису, примитивные векторы на лучах конуса $\sigma$ имеют координаты
$$
\begin{equation*}
v_i=\begin{pmatrix} v_{i1} \\ \vdots \\ v_{in} \end{pmatrix}, \qquad i=1,\dots,r.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $V$ и $V_{\tau^{-1}}$ матрицы, составленные из координат данных векторов:
$$
\begin{equation*}
V=\begin{pmatrix} v_1 & \dots & v_r\end{pmatrix}, \qquad V_{\tau^{-1}}=\begin{pmatrix} v_{\tau^{-1}(1)} & \dots & v_{\tau^{-1}(r)}\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из п. 2.2 следует, что для элементов $[D_1],\dots,[D_r]$ выполняются соотношения
$$
\begin{equation}
V \begin{pmatrix} [D_1] \\ \vdots \\ [D_r] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} [\operatorname{div}(\chi^{e_1})] \\ \vdots \\ [\operatorname{div}(\chi^{e_n})] \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
и любые другие соотношения на элементы $[D_1],\dots,[D_r]$ являются линейными комбинациями соотношений из (3.11), так как подгруппа $T$-инвариантных главных дивизоров порождается элементами $\operatorname{div}(\chi^{e_1}),\dots,\operatorname{div}(\chi^{e_n}).$ Заметим, что $\varphi$ является гомоморфизмом групп и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
V \begin{pmatrix} \varphi([D_1]) \\ \vdots \\ \varphi([D_r]) \end{pmatrix} = V \begin{pmatrix} [D_{\tau(1)}] \\ \vdots \\ [D_{\tau(r)}] \end{pmatrix} =V_{\tau^{-1}}\begin{pmatrix} [D_1] \\ \vdots \\ [D_r] \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \widetilde{D_1} \\ \vdots \\ \widetilde{D_n} \end{pmatrix}:= V_{\tau^{-1}}\begin{pmatrix} D_1 \\ \vdots \\ D_r \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Дивизоры $\widetilde{D_1}, \dots , \widetilde{D_n}$ являются $T$-инвариантными как линейные комбинации $T$-инвариантных. При этом они главные, так как их образы в группе классов дивизоров равны нулю. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \widetilde{D_1} \\ \vdots \\ \widetilde{D_n} \end{pmatrix}= L\begin{pmatrix} \operatorname{div}(\chi^{e_1}) \\ \vdots \\ \operatorname{div}(\chi^{e_n}) \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой целочисленной матрицы $L$ размера $n\times n$. Осталось заметить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \widetilde{D_1} \\ \vdots \\ \widetilde{D_n} \end{pmatrix}=V_{\tau^{-1}}\begin{pmatrix} D_1 \\ \vdots \\ D_r \end{pmatrix}= L\begin{pmatrix} \operatorname{div}(\chi^{e_1}) \\ \vdots \\ \operatorname{div}(\chi^{e_n}) \end{pmatrix} =LV\begin{pmatrix} D_1 \\ \vdots \\ D_r \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и элементы $D_1,\dots,D_r$ независимы. Следовательно, $V_{\tau^{-1}}=LV$ и матрица $L$ является невырожденной. Соответствующий ей линейный оператор отображает вектор $v_i$ в вектор $v_{\tau^{-1}(i)}$ для $i=1,\dots,r$. Заметим, что существует такой номер $j$, что так как $\varphi$ является нетривиальным автоморфизмом группы классов дивизоров, а элементы $[D_1],\dots,[D_r]$ группу классов порождают.
Теорема 1 доказана. § 4. Группа компонентДалее $X$ – невырожденное аффинное торическое многообразие, соответствующее рациональному полиэдральному конусу $\sigma$. Группой компонент группы автоморфизмов называется факторгруппа Обозначим через $\Sigma_D$ множество таких отображений $\operatorname{Cl}(X)$ в себя, что они переставляют элементы $[D_1],\dots,[D_r]$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\Sigma_D:=\{\varphi\colon \operatorname{Cl}(X)\to \operatorname{Cl}(X)\mid \exists\,\tau\in S_r\colon \varphi([D_i])=[D_{\tau(i)}]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждому элементу из $\Sigma_D$ можно сопоставить хотя бы одну подстановку из $S_r$ в соответствии с тем, как он действует на порождающих $[D_1],\dots,[D_r]$. При этом для разных элементов $\Sigma_D$ данные подстановки будут разными. Следовательно, $|\Sigma_D|\leqslant |S_r|=r!$. Опишем группу компонент $\operatorname{Aut}(X)$ и докажем, что она является конечной. Теорема 2. Для невырожденного аффинного торического многообразия $X$ выполняется В частности, где $r$ – количество лучей конуса $\sigma$. Доказательство. Первая часть (4.1) следует из предложения 2 и теоремы о гомоморфизме:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(X)/\operatorname{Aut}(X)^0\simeq \operatorname{Aut}(X)/\operatorname{Ker}\widetilde{\alpha}\simeq \widetilde{\alpha}(\operatorname{Aut}(X)).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом выполнено
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\alpha}(\operatorname{Aut}(X)) \stackrel{(2.2)}{=} \alpha(\operatorname{Aut}(X)).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 1 диаграмма (3.10) является коммутативной. Следовательно, Осталось доказать, что Если $\varphi$ является автоморфизмом $\operatorname{Cl}(X)$ и при этом переставляет элементы $[D_1],\dots,[D_r]$ между собой в соответствии с подстановкой $\tau$, то его прообраз относительно $\gamma$ будет содержать автоморфизм $T_i\mapsto T_{\tau(i)}$. Данное отображение является автоморфизмом кольца Кокса и при этом нормализует градуировку группой классов.
Обратно, включение $\gamma(\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X)))\subseteq \operatorname{Aut}(\operatorname{Cl}(X))$ следует из определения гомоморфизма $\gamma$. Покажем включение $\gamma(\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X)))\,{\subseteq}\, \Sigma_D$. Пусть $\varphi\,{\in}\, \widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))$. Якобиан $\varphi$ является ненулевым элементом поля $\mathbb{K}$. Следовательно, существует такая подстановка $\tau\in S_r$, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\varphi(T_1)}{\partial T_{\tau(1)}} \dotsb \frac{\partial\varphi(T_r)}{\partial T_{\tau(r)}}
\end{equation*}
\notag
$$
содержит в качестве слагаемого некоторый ненулевой элемент поля $\mathbb{K}$. Значит, для каждого $i=1,\dots ,r$ элемент $\varphi(T_i)$ содержит ненулевое линейное слагаемое по $T_{\tau(i)}$:
$$
\begin{equation*}
\varphi(T_i)=c_i T_{\tau(i)}+\dotsb, \qquad i=1\dots,r,
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых ненулевых констант $c_i$ из поля $\mathbb{K}$. Итак, пользуясь фактом о том, что $\operatorname{deg}(T_i)=[D_i]$, а также тем, что автоморфизм $\varphi$ отображает однородные элементы в однородные, мы можем заключить, что Включение $\gamma(\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X)))\subseteq \Sigma_D$ доказано.
Неравенство (4.2) следует из доказанного (4.1) и из того, что $|\Sigma_D|\leqslant r!$ . Теорема 2 доказана. Замечание 1. В [4; следствие 4.7 (v)] приведено описание группы компонент группы автоморфизмов полного симплициального торического многообразия. Введем необходимые обозначения в соответствии с [4]. Лучи веера $\Delta$, соответствующего торическому многообразию $X$, можно представить в виде объединения $\Delta_1\cup\dots\cup \Delta_s$, где степени относительно $\operatorname{Cl}(X)$-градуировки координатных функций кольца Кокса, соответствующих лучам из одного $\Delta_i$, совпадают. Через $\operatorname{Aut}(N,\Delta)$ обозначим группу автоморфизмов решетки $N$, сохраняющих веер $\Delta$. Рассмотрим подгруппы $\Sigma_{\Delta_i}$ в группе $\operatorname{Aut}(N,\Delta)$, состоящие из автоморфизмов, переставляющих элементы внутри $\Delta_i$ и не меняющие остальные элементы. Для полного симплициального торического многообразия $X$ выполняется Покажем, что для невырожденных аффинных торических многообразий группа компонент группы автоморфизмов имеет такое же описание. Для этого докажем, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Aut}(\operatorname{Cl}(X))\cap \Sigma_D\simeq \operatorname{Aut}(N,\sigma) / \prod_{i=1}^s \Sigma_{\Delta_i}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Рассмотрим гомоморфизм групп
$$
\begin{equation*}
\kappa\colon \operatorname{Aut}(N,\sigma)\to \operatorname{Aut}(\operatorname{Cl}(X)).
\end{equation*}
\notag
$$
Каждому автоморфизму $\lambda\in \operatorname{Aut}(N,\sigma)$ соответствует $T$-эквивариантный автоморфизм $\varphi_{\lambda}\in\operatorname{Aut}(X)$ по [7; теорема 3.3.4]. Положим $\kappa(\lambda)=\widetilde{\alpha}(\varphi_\lambda)$. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\kappa(\operatorname{Aut}(N,\sigma))\subseteq \widetilde{\alpha}(\operatorname{Aut}(X))=\operatorname{Aut}(\operatorname{Cl}(X))\cap \Sigma_D.
\end{equation*}
\notag
$$
На самом деле, здесь выполнено равенство, так как для любого автоморфизма $\varphi$ группы классов, переставляющего элементы $[D_1],\dots,[D_r]$ в соответствии с некоторой подстановкой $\tau$, существует невырожденное линейное преобразование $L$ решетки $N$, переставляющее лучи конуса $\sigma$ в соответствии с $\tau^{-1}$, как было показано при доказательстве теоремы 1. Следовательно, $\kappa(L^{-1})=\varphi$, и гомоморфизм $\kappa$ является сюръективным. Ядро $\kappa$ состоит из автоморфизмов решетки $N$, переставляющих те лучи конуса $\sigma$, которые соответствуют эквивалентным простым дивизорам в группе классов. Значит, $\operatorname{Ker}\kappa=\prod_{i=1}^s \Sigma_{\Delta_i}.$ По теореме о гомоморфизме групп имеем (4.3). В качестве следствия из теоремы 2 сформулируем еще одно условие, равносильное связности группы автоморфизмов. Следствие 1. Пусть $X$ – невырожденное аффинное торическое многообразие. Тогда группа $\operatorname{Aut}(X)$ связна тогда и только тогда, когда не существует нетривиальных автоморфизмов группы $\operatorname{Cl}(X)$, переставляющих элементы $[D_1],\dots,[D_r]$. § 5. Аффинные торические поверхностиВ этом параграфе мы применим полученные результаты для изучения связности группы автоморфизмов аффинной торической поверхности. Напомним, что группы автоморфизмов таких поверхностей были описаны в [12; теорема 4.2]. Пусть $X$ – невырожденная аффинная торическая поверхность. Рациональный полиэдральный конус $\sigma^{\vee}$, соответствующий поверхности, можем с помощью замены координат привести к виду $\langle (1,0),(a,b)\rangle$, где $b > a \geqslant 0$, и $(a,b)$ является примитивным вектором, см. [8; стр. 32, 33]. Тогда конус $\sigma$, двойственный к $\sigma^{\vee}$, порождается векторами $v_1=(0,1)$ и $v_2=(b,-a)$ (рис. 1). Для начала найдем группу $\operatorname{Cl}(X)$. Пусть $T$-инвариантные простые дивизоры $D_1$ и $D_2$ соответствуют векторам $v_1$ и $v_2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cl}(X)=\langle [D_1], [D_2] \rangle=\langle D_1,D_2 \rangle/ \langle \operatorname{div}(\chi^{(1,0)}),\operatorname{div}(\chi^{(0,1)}) \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{div}(\chi^{(1,0)}) &=\langle v_1,(1,0)\rangle D_1+ \langle v_2,(1,0)\rangle D_2=bD_2, \\ \operatorname{div}(\chi^{(0,1)}) &=\langle v_1,(0,1)\rangle D_1+ \langle v_2,(0,1)\rangle D_2=D_1-aD_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cl}(X)\simeq \mathbb{Z}_b, \qquad [D_1]=a\in \mathbb{Z}_b, \qquad [D_2]=1\in \mathbb{Z}_b.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 3. Пусть $X$ – невырожденная аффинная торическая поверхность, соответствующая конусу $\sigma$, определенному выше. Тогда группа $\operatorname{Aut}(X)$ связна тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий: При этом в случае, когда $\operatorname{Aut}(X)$ несвязна, выполняется Доказательство. Докажем данное утверждение с применением следствия 1. Если группа $\operatorname{Aut}(X)$ несвязна, то существует нетривиальный автоморфизм $\varphi$ группы $\operatorname{Cl}(X)\simeq \mathbb{Z}_b$, меняющий местами $[D_1]=a\in\mathbb{Z}_b$ и $[D_2]=1\in\mathbb{Z}_b$. Следовательно, $b\neq 1$, иначе группа классов тривиальна, и $a\neq 1$, иначе классы дивизоров $D_1$ и $D_2$ совпадают. Автоморфизм $\varphi$ действует следующим образом: Все автоморфизмы группы $\mathbb{Z}_b$ имеют вид умножения на некоторый обратимый по умножению элемент. Следовательно, имеем систему
$$
\begin{equation}
\begin{cases} a^2\equiv1\ (\operatorname{mod}b), \\ a\neq 1, \\ b\neq 1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Обратно, если выполняются условия системы (5.2), то в качестве нетривиального автоморфизма группы $\operatorname{Cl}(X)$, переставляющего $[D_1]$ и $[D_2]$, подойдет автоморфизм, заданный формулой (5.1).
В случае, когда группа автоморфизмов поверхности $X$ несвязна, имеем
$$
\begin{equation*}
1< |\operatorname{Aut}(X)/\operatorname{Aut}(X)^0|\leqslant 2!
\end{equation*}
\notag
$$
по теореме 2. Следовательно, группа компонент группы автоморфизмов $X$ состоит ровно из двух элементов и изоморфна $\mathbb{Z}_2$.
Предложение 3 доказано. Замечание 2. Приведем также доказательство первой части предложения 3 с использованием теоремы 1. Возможно, этот подход окажется полезен при рассмотрении многообразий большей размерности. Покажем, как первая часть предложения 3 может быть доказана с помощью условия 2) из теоремы 1. Если группа автоморфизмов $X$ несвязна, то существует автоморфизм кольца Кокса, нормализующий, но не сохраняющий градуировку группой классов дивизоров. Обозначим его через $\varphi$. Значит, образ $\varphi$ при отображении $\gamma$ является нетождественным автоморфизмом группы классов. Заметим, что из этого следует, что $b\neq 1$, иначе группа классов тривиальна и не имеет нетривиальных автоморфизмов. Автоморфизмы группы $\mathbb{Z}_b$ имеют вид умножения на некоторый обратимый по умножению элемент из $\mathbb{Z}_b$. Пусть $\gamma(\varphi)$ – умножение на обратимый элемент $c\in \mathbb{Z}_b$. Из сказанного выше следует, что $c$ и $b$ взаимно просты и $c\neq 1$. Из работы [4] имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg}(T_1)=[D_1]=a\in \operatorname{Z}_b, \qquad \operatorname{deg}(T_2)=[D_2]=1\in \mathbb{Z}_b.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\operatorname{deg}(\varphi(T_1))$ совпадает с $ac\ (\operatorname{mod}b)$ в группе $\mathbb{Z}_b$, а $\operatorname{deg}(\varphi(T_2))$ совпадает с $c$. При этом якобиан автоморфизма $\varphi$ – ненулевой элемент поля $\mathbb{K}$, значит, каждый из элементов $\varphi(T_1)$ и $\varphi(T_2)$ содержит линейный член по $T_1$ или $T_2$. При этом, если бы $\varphi(T_i)$ содержал линейный член по $T_i$, то $c$ равнялось бы 1, что невозможно. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\varphi(T_1) = k_1T_2+\dotsb, \qquad \varphi(T_2) = k_2T_1+\dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых ненулевых элементов $k_1$, $k_2$ поля $\mathbb{K}$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{deg}(\varphi(T_1)) &= c\operatorname{deg}(T_1) = \operatorname{deg}(T_2), \\ \operatorname{deg}(\varphi(T_2)) &= c\operatorname{deg}(T_2) = \operatorname{deg}(T_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, имеем
$$
\begin{equation*}
ac \equiv 1\ (\operatorname{mod}b), \qquad c = a, \qquad c\neq 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из несвязности группы автоморфизмов $X$ следует система (5.2). Докажем обратное. Пусть выполнены условия системы (5.2). Рассмотрим автоморфизм $\varphi\in\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))$: Автоморфизм $\varphi$ нормализует $\operatorname{Cl}(X)$-градуировку, так как переставляет однородные компоненты $R(X)$ в соответствии с умножением на $a$ в группе классов дивизоров. При этом $\varphi$ не сохраняет градуировку, так как $a\neq 1$. Следовательно, $\widetilde{\operatorname{Aut}}(R(X))\neq\operatorname{Ker}\gamma$, и по условию (2) теоремы 1 группа автоморфизмов $X$ несвязна.Приведем доказательство первой части предложения 3 с применением условия (3) из теоремы 1. Пусть группа автоморфизмов $X$ несвязна. Тогда существует такое преобразование $L\in\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$, $L(\sigma)=\sigma$, что $L(v_1)=v_2$, $L(v_2)=v_1$, но $[D_1]\neq [D_2]$. Заметим, что из этого следует $b\neq 1$, иначе группа классов тривиальна и не содержит различных элементов, и $a\neq 1$, иначе $[D_1]=[D_2]$. Далее, заметим, что Таким образом, из линейности $L$ следует
$$
\begin{equation*}
L((1,0))=\frac{L(v_2)+aL(v_1)}{b}=\frac{(ab,1-a^2)}{b}=\biggl(a,\frac{1-a^2}{b}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $L\in\operatorname{GL_2}(\mathbb{Z})$, имеем $(1-a^2)/{b}\in\mathbb{Z}$ и $a^2\equiv 1\ (\operatorname{mod}b)$. Следовательно, из несвязности группы автоморфизмов $X$ следует система (5.2). Докажем обратное. Пусть выполнены условия системы (5.2). Тогда для доказательства несвязности $\operatorname{Aut}(X)$ достаточно предъявить оператор $L\in\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$, удовлетворяющий условию (3) теоремы 1. В качестве такого оператора подойдет отображение, заданное на базисных векторах следующим образом: Действительно, $\widetilde{L}$ меняет местами векторы $v_1$ и $v_2$, и при этом $[D_1]\neq [D_2]$.§ 6. ПримерыПример 1. Группа автоморфизмов $\mathbb{A}^n$ является связной по [2; теорема 6]. Также ее связность легко следует из теоремы 1, так как аффинное пространство является факториальным многообразием, а группа классов факториального многообразия тривиальна, см., к примеру, [7; теорема 4.0.18 (b)]. Пример 2. Рассмотрим многообразие  Рис. 2.Конусы $\sigma _{1}^{\lor }$, $\sigma _{2}^{\lor }$ и $\sigma _{3}^{\lor }$ из примеров 2, 3 и 4. Пример 3. Пусть Пример 4. Далее Пример 5. Рассмотрим невырожденное несимплициальное аффинное торическое многообразие Примитивные векторы на лучах конуса $\sigma_4$, двойственного к $\sigma_4^{\vee}$, будут следующими:
$$
\begin{equation*}
v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad v_4=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Данным векторам соответствуют $T=(\mathbb{K}^{\times})^3$-инвариантные простые дивизоры:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} D_1 &=\{ x=w=0\}, &\qquad D_2&=\{x=z=0\}, \\ D_3&=\{z=y=0\}, &\qquad D_4&=\{y=w=0\}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем группу классов многообразия $X_4$. Группа $T$-инвариантных главных дивизоров на $X_4$ порождается следующими дивизорами Вейля:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{div}(\chi^{(0,0,1)})=\sum_{i=1}^{4}\langle v_i,(0,0,1) \rangle D_i=D_4-D_2, \\ \operatorname{div}(\chi^{(0,1,0)})=\sum_{i=1}^{4}\langle v_i,(0,1,0) \rangle D_i=D_3-D_1, \\ \operatorname{div}(\chi^{(1,0,0)})=\sum_{i=1}^{4}\langle v_i,(1,0,0) \rangle D_i=D_1+D_2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cl}(X_4)\simeq \langle D_1,D_2,D_3,D_4 \rangle /(D_4-D_2,D_3-D_1,D_1+D_2)\simeq \langle [D_1] \rangle \simeq \mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом Группа $\operatorname{Cl}(X_4)$ имеет единственный нетривиальный автоморфизм $\varphi$, переставляющий элементы множества $\{[D_1],[D_2],[D_3],[D_4]\}$, он соответствует умножению на $-1$ в группе $\mathbb{Z}$. По теореме 2 имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}(X_4)/\operatorname{Aut}(X_4)^0\simeq \mathbb{Z}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что по предложению 2 связная компонента единицы группы автоморфизмов $X_4$ содержит автоморфизм
$$
\begin{equation*}
x\mapsto y, \qquad y\mapsto x, \qquad z\mapsto w, \qquad w\mapsto z
\end{equation*}
\notag
$$
и не содержит автоморфизма
$$
\begin{equation*}
x\mapsto y, \qquad y\mapsto x, \qquad z\mapsto z, \qquad w\mapsto w.
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 6. В заключение приведем пример аффинного торического многообразия с некоммутативной группой компонент группы автоморфизмов. Пусть конус $\sigma_5$ порожден в трехмерном рациональном векторном пространстве векторами 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kik24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|