| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Некоторые функционалы для случайных блужданий и критические ветвящиеся процессы в экстремально неблагоприятной среде В. А. Ватутинa, К. Донгb, Е. Е. Дьяконоваa a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Xidian University, Xi'an, P. R. China
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10081e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение и основные результатыМы будем анализировать асимптотическое поведение некоторых функционалов, заданных на траекториях случайного блуждания
$$
\begin{equation*}
S_{0}=0, \qquad S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}, \quad n\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
с независимыми одинаково распределенными приращениями $X_{i}$, $i=1,2,\dots$ . Для формулировки условий, накладываемых нами на приращения случайного блуждания, введем множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}:=\{\alpha \in (0,2)\setminus \{1\},\,|\beta|<1\}\cup \{\alpha =1,\,\beta=0\}\cup \{\alpha=2,\,\beta=0\}\subset \mathbb{R}^{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для пары $(\alpha,\beta)\in \mathcal{A}$ и случайной величины $X$ будем писать $X\in \mathcal{D}(\alpha,\beta) $, если распределение случайной величины $X$ принадлежит области притяжения устойчивого закона с плотностью $g_{\alpha,\beta }(x)$, $x\in (-\infty ,+\infty)$, и характеристической функцией
$$
\begin{equation*}
G_{\alpha,\beta }(w)=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{iwx}g_{\alpha,\beta}(x)\,dx =\exp \biggl\{ -c|w|^{\alpha }\biggl(1-i\beta \frac{w}{|w|}\operatorname{tg}\frac{\pi \alpha }{2}\biggr) \biggr\}, \qquad c>0,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\mathbf{E}X=0$, если это математическое ожидание существует. Отсюда, в частности, следует, что существует такая возрастающая последовательность положительных чисел где последовательность $\ell (1),\ell (2),\dots$ медленно меняется на бесконечности, что при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\biggl\{ \frac{S_{[ nt] }}{a_{n}},\,t\geqslant 0\biggr\} \quad \Longrightarrow\quad \mathcal{Y}=\{ Y_{t},\,t\geqslant 0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}e^{iwY_{t}}=G_{\alpha,\beta }(wt^{1/\alpha }), \qquad t\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и символ $\Longrightarrow $ означает сходимость по распределению в пространстве $D[0,\infty)$ с топологией Скорохода. Отметим, что если $X_{n}\overset{d}{=}X\in \mathcal{D}(\alpha,\beta) $ для всех $n\in \mathbb{N}:=\{ 1,2,\dots\} $, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty }\mathbf{P}(S_{n}>0)=:\rho =\mathbf{P}(Y_{1}>0) \in (0,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Перечислим основные условия, накладываемые в настоящей статье на свойства случайного блуждания. Условие A1. Случайные величины $X_{n}$, $n\in \mathbb{N}$, являются независимыми вероятностными копиями случайной величины $X\in \mathcal{D}(\alpha,\beta) $, распределение которой нерешетчато. Некоторые наши утверждения требуют введения более сильного ограничения. Условие A2. Мера $\mathbf{P}$, порождаемая распределением случайной величины $X$, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на множестве $\mathbb{R}$, причем существует $n\in \mathbb{N}$ такое, что плотность распределения $\mathbf{P}(S_{n}\in dx)/dx$ случайной величины $S_{n}$ ограничена. Обозначим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M_{n}:=\max (S_{1},\dots,S_{n}), \qquad L_{n}:=\min (S_{1},\dots,S_{n}), \notag \\ \tau _{n} :=\min \{ 0\leqslant k\leqslant n\colon S_{k}=\min (0,L_{n})\}, \notag \end{gathered}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
b_{n}:=\frac{1}{a_{n}n}=\frac{1}{n^{1/\alpha +1}\ell (n)},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
и введем функцию восстановления
$$
\begin{equation*}
U(x):= \begin{cases} 0, &x<0, \\ \displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty }\mathbf{P}(S_{n}\geqslant-x,\, M_{n}<0) \\ \displaystyle \qquad\ \ =1+\sum_{n=1}^{\infty }\mathbf{P}(S_{n}\geqslant -x,\, \tau _{n}=n), &x\geqslant 0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство следует из принципа двойственности для случайных блужданий (см., например, [7; гл. XII, § 2]). Наряду с функцией $U$ мы будем использовать две другие функции восстановления:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, V_0(x):= \begin{cases} 0, &x>0, \\ \displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty }\mathbf{P}(S_{n}\leqslant -x,\, L_{n}\geqslant 0),&x\leqslant 0, \end{cases} \\ V(x):= \begin{cases} 0,&x\geqslant 0, \\ \displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty }\mathbf{P}( S_{n}<-x,\, L_{n}\geqslant 0), & x<0. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
V_{0}(0)=1+\sum_{n=1}^{\infty }\mathbf{P}(S_{n}=0,\, L_{n}\geqslant 0) =\frac{1}{1-\zeta },
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \zeta &=\mathbf{P}(S_{1}=0) +\sum_{n=2}^{\infty}\mathbf{P}(S_{1}>0,\dots,S_{n-1}>0,\, S_{n}=0) \\ &=\mathbf{P}(S_{1}=0) +\sum_{n=2}^{\infty }\mathbf{P}(S_{1}<0,\dots,S_{n-1}<0,\, S_{n}=0) \in (0,1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь при переходе от первой строки ко второй мы использовали соотношение
$$
\begin{equation*}
\{ S_{n}-S_{n-k},\,k=0,1,\dots,n\} \overset{d}{=}\{S_{k},\,k=0,1,\dots,n\},
\end{equation*}
\notag
$$
также следующее из принципа двойственности. Очевидно, что если выполнено условие A2, то и $V(x)=V_{0}(x)$ при всех $x\in(-\infty,+\infty)$.В последующем мы будем рассматривать случайные блуждания, стартующие в нулевой момент времени из произвольной точки $x\in \mathbb{R}$, и обозначать соответствующие вероятности и математические ожидания как $\mathbf{P}_x(\cdot) $ и $\mathbf{E}_{x }[ \cdot]$. Мы также будем писать $\mathbf{P}$ и $\mathbf{E}$ вместо $\mathbf{P}_{0}$ и $\mathbf{E}_0$ соответственно. Перейдем к формулировкам основных результатов статьи, связанных со свойствами случайных блужданий. Теорема 1. Пусть выполнено условие A1. Если детерминированная функция $\varphi (n)\to +\infty $ при $n\to \infty $ так, что $\varphi(n)=o(a_{n})$, то для любого $\lambda >0$ В следующих трех утверждениях анализируется ситуация, когда $S_{n}\to -\infty $ п.н. при $n\to \infty $. Теорема 2. Пусть выполнено условие A1. Если детерминированная функция $\psi (n)\to -\infty $ при $n\to \infty $ так, что $\psi (n)=o(a_{n})$, то для любых $\lambda >0$ и $x\leqslant 0$ при $n\to \infty $. Применяя принцип двойственности для случайных блужданий и полагая $x=0$ в соотношении (1.4), мы приходим к следующему выводу. Следствие 1. Если выполнено условие A1 и детерминированная функция $\psi (n)\to-\infty $ при $n\to \infty $ так, что $\psi (n)=o(a_{n})$, то для любого $\lambda >0$ при $n\to \infty $. Естественным дополнением к следствию 1 является следующее утверждение. Теорема 3. Пусть выполнено условие A1 и детерминированная функция $\psi (n)\to-\infty $ при $n\to \infty $ так, что $\psi (n)=o(a_{n})$. Тогда для любого $\lambda >0$ при $n\to \infty $. Рассмотрим теперь случай, когда значение случайного блуждания в момент $n$ не превосходит фиксированной константы $K$. Теорема 4. Пусть выполнены условия A1 и A2. Тогда для любых фиксированных $K$ и $\lambda >0$ Отметим, что задачи, близкие к рассматриваемой в настоящей работе, исследовались рядом авторов. Так, в статье К. Хирано [8] в предположении, что пара $(K,x)$ фиксирована и $\mathbf{E}X^{2}<\infty$, изучалось асимптотическое поведение при $n\to \infty $ функционала
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}_{x}[ e^{\lambda S_{n}};\, M_{n}\leqslant K]=e^{\lambda x}\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{n}};\, M_{n}\leqslant K-x] .
\end{equation*}
\notag
$$
Результаты Хирано были обобщены в работе [2] на случай $X\in \mathcal{D}(\alpha,\beta)$, где было показано, что если $n\to \infty, $ то для $\lambda >0$ и фиксированного $x\leqslant 0$
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}_{x}[ e^{\lambda S_{n}}; M_{n}<0] \sim g_{\alpha,\beta }(0)b_{n}V(x)\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda z}U(w)\,dw,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
в то время как для фиксированного $x\geqslant 0$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}_{x}[ e^{-\lambda S_{n}};\, L_{n}\geqslant 0] \sim g_{\alpha,\beta }(0)b_{n}U(x)\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda z}V(-w)\,dw.
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношения (1.6) и теоремы непрерывности для преобразований Лапласа следует, что для фиксированного $y\leqslant 0$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{n}};\, S_{n}<y,\, M_{n}<0] \sim g_{\alpha,\beta }(0)b_{n}\int_{-y}^{\infty }e^{-\lambda z}U(w)\,dw
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $, что дает возможность в какой-то степени предугадать асимптотическое поведение математического ожидания, стоящего в левой части соотношения (1.5). Оставшаяся часть статьи организована следующим образом. В § 2 содержатся необходимые нам известные результаты о свойствах случайных блужданий, рассматриваемых при условии их неотрицательности или отрицательности на полуоси. В § 3 мы доказываем теорему 1. Параграф 4 посвящен доказательству теоремы 2. Параграф 5 содержит доказательство теоремы 3. Доказательство теоремы 4 дано в § 6. В § 7 мы вводим меры $\mathbf{P}_{x}^{+}$ и $\mathbf{P}_{x}^{-}$, порождаемые соответственно случайными блужданиями, рассматриваемыми при условии их неотрицательности или отрицательности, и с помощью теоремы 4 исследуем вероятность невырождения критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в экстремальной случайной среде. В дальнейшем через $C,C_{1},C_{2},\dots$ мы будем обозначать некоторые абсолютные константы, не обязанные совпадать в различных формулах или даже внутри одной формулы. § 2. Вспомогательные результатыСформулируем сначала ряд утверждений, проясняющих важность введенных выше функций восстановления $U$, $V_{0}$ и $V$. Напомним, что положительная последовательность $\{ c_{n},\,n\in \mathbb{N}\} $ (или действительная функция $c(x)$, $x\geqslant x_{0}$) называется правильно меняющейся на бесконечности с индексом $\gamma \in \mathbb{R}$, что обозначается как $c_{n}\in R_{\gamma }$ или $c(x)\in R_{\gamma }$, если $c_{n}=n^{\gamma }l(n)$ ($c(x)=x^{\gamma }l(x)$), где $l(x)$ – медленно меняющаяся на бесконечности функция, т.е. такая положительная функция, что $l(tx)/l(x)\to 1$ при $x\to \infty $ для любого фиксированного $t>0$. Известно (см., например, [10], [11]), что если выполнено условие A1, то
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}(M_{n}<0) \in R_{-\rho }, \qquad U(x)\in R_{\alpha \rho},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}(L_{n}\geqslant 0) \in R_{-(1-\rho)}, \qquad V(-x)\in R_{\alpha (1-\rho)}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Наши доказательства существенно опираются на неравенства, приведенные в следующей лемме. Лемма 1 (см. [2; предложение 2.3] и [12; лемма 2]). Если выполнено условие A1, то существует такое число $C>0$, что для всех $n$ и $x,y\geqslant 0$, Нам также понадобятся некоторые соотношения эквивалентности, установленные Р. Дони в [6] и сформулированные ниже в терминах обозначений настоящей статьи. Лемма 2 (см. [6; утверждение 18]). Если $X\in \mathcal{D}(\alpha,\beta) $ и распределение случайной величины $X$ является нерешетчатым, то для каждого фиксированного $\Delta >0$ равномерно по неотрицательным $z$ и $y$ таким, что $\max (z,y)\in [ 0,\delta _{n}a_{n}]$, где $\delta _{n}\to 0$ при $n\to\infty $. Интегрирование соотношения (2.5) по $y\in (0,x)$ дает следующее важное утверждение для $z=0$ (см. также теорему 4 в [15]). Следствие 2. При выполнении условий леммы 2 равномерно по $x\in (0,\delta _{n}a_{n}]$, где $\delta _{n}\to 0$ при $n\to \infty $. Объединяя соотношения (2.1) и (2.6), убеждаемся в справедливости следующего утверждения. Следствие 3. Пусть $X\in \mathcal{D}(\alpha,\beta) $ и распределение случайной величины $X$ является нерешетчатым. Тогда для каждого фиксированного $\Delta >0$ равномерно по $x\in [ 0,\delta _{n}a_{n}]$ и $y\in [ T_{n},\delta _{n}a_{n}]$, где $T_{n}\to \infty $ и $\delta _{n}\to 0$ при $n\to\infty $ так, что $T_{n}<\delta_{n}a_{n} $. В дальнейшем мы будем неоднократно использовать (без явных ссылок) следующее простое наблюдение. Лемма 3. Пусть $g(x)$, $x\geqslant 0$, – положительная неубывающая функция такая, что $g(2x_{0})\geqslant 1$ для некоторого $x_{0}>0$. Тогда для любых $x\geqslant x_0$ и $y\geqslant 0$ Если, к тому же, то существует такая константа $C\in (0,\infty)$, что для всех $y\geqslant 0$ и всех достаточно больших $x$. § 3. Доказательство теоремы 1 Доказательство теоремы 1. Зафиксируем натуральное число $J<n$ и запишем разложение
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{\tau _{n}}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n)] =\sum_{j=0}^{J}\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n),\, \tau_{n}=j] +R(J+1,n),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
R(J+1,n):=\sum_{j=J+1}^{n}\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n),\, \tau _{n}=j] .
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.4) и (2.3) следует, что для всех натуральных чисел $n$ и $k$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\mathbf{P}(S_{n}\in [ -k,-k+1),\, M_{n}<0) \\ &\qquad=\mathbf{P}(S_{n}\in [ -k,-k+1),\, \tau _{n}=n)\leqslant Cb_{n}U(k), \end{split}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}(0\leqslant S_{n}<y,\, L_{n}\geqslant 0) \leqslant Cb_{n}\int_{0}^{y}V(-w)\,dw.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Пусть $\{ S_{n}',\,n\geqslant 0\} $ –независимая вероятностная копия случайного блуждания $\{ S_{n},\,n\geqslant 0\} $ и $L_{n}'=\min \{ S_{1}',\dots,S_{n}'\} $. Используя (3.2) и (3.3), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n),\, \tau _{n}=j] \notag \\ &\qquad =\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}}\, \mathbf{P}(S_{n-j}'\leqslant \varphi (n)-S_{j},\, L_{n-j}'\geqslant 0\mid S_{j}); \, \tau _{j}=j] \notag \\ &\qquad \leqslant \sum_{k=1}^{\infty }e^{\lambda (-k+1) }\, \mathbf{P}(S_{j}\in [ -k,-k+1),\, \tau _{j}=j) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)+k,\, L_{n-j}\geqslant 0) \notag \\ &\qquad \leqslant Cb_{j}\sum_{k=1}^{\infty }e^{\lambda (-k+1)}U(k)\, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)+k,\, L_{n-j}\geqslant 0) \notag \\ &\qquad \leqslant Cb_{j}b_{n-j}\sum_{k=1}^{\infty }e^{-\lambda k}U(k)\int_{0}^{\varphi(n)+k}V(-z)\,dz. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Заметим, что ввиду (1.1) и свойств правильно меняющихся функций существует такая константа $C\in (0,\infty)$, что $b_{j}\leqslant Cb_{n}$ для всех $n$ и $j\in [ n/2,n]$.
Так как $U(x)$ и $V(-x)$ являются функциями восстановления, то найдется константа $C\in (0,\infty)$ такая, что при всех $x\in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation}
U(x)+V(-x)\leqslant C(|x|+1), \qquad U(x)V(-2x)\leqslant C(|x|+1)^2.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }e^{-\lambda k}U(k)(1+V(-2k))<\mathbf{\infty }
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\lambda >0$. Используя эту оценку и неравенство (2.7) с $g(x)=V(-x)$, заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=[ n/2] +1}^{n}\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n),\, \tau _{n}=j] \notag \\ &\qquad \leqslant C\sum_{k=1}^{\infty }e^{-\lambda k}U(k)\sum_{j=[ n/2]+1}^{n}b_{j}\, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)+k,\, L_{n-j}\geqslant 0) \notag \\ &\qquad \leqslant C_{1}b_{n}\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\lambda k}U(k)\sum_{j=[n/2] +1}^{n}\mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)+k,\, L_{n-j}\geqslant 0) \notag \\ &\qquad \leqslant C_{1}b_{n}\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\lambda k}U(k)V(-\varphi(n)-k) \notag \\ &\qquad \leqslant C_{2}b_{n}V(-\varphi (n))\biggl(\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\lambda k}U(k)(1+V(-2k))\biggr) \notag \\ &\qquad \leqslant C_{3}b_{n}V(-\varphi (n)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Согласно (2.2) $V(-w)\in R_{\alpha (1-\rho)}$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{y}V(-w)\,dw\sim \frac{yV(-y)}{\alpha (1-\rho)+1}\in R_{\alpha(1-\rho)+1}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
при $y\to\infty$ (см. [7; гл. VIII, § 9, теорема 1]). Объединяя этот факт с (3.6) и следствием 2, заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=[ n/2] +1}^{n}\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n),\, \tau _{n}=j] \leqslant Cb_{n}V(-\varphi (n)) \notag \\ &\qquad =o\biggl(b_{n}\int_{0}^{\varphi (n)}V(-w)\,dw\biggr) =o(\mathbf{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\, L_{n}\geqslant 0)) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
при $n\to \infty $ и существует такая константа $C>0$, что
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{2y}V(-w)\,dw\leqslant C\int_{0}^{y}V(-w)\,dw
\end{equation*}
\notag
$$
для всех достаточно больших $y$. Из этих оценок и соотношения (3.4) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{J+1\leqslant j\leqslant n/2}\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n),\, \tau _{n}=j] \notag \\ &\qquad \leqslant C\sum_{J\leqslant j\leqslant n/2}b_{j}b_{n-j}\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\lambda k}U(k)\int_{0}^{\varphi (n)+k}V(-w)\,dw \notag \\ &\qquad \leqslant C_{1}b_{n}\int_{0}^{2\varphi (n)}V(-w)\,dw\sum_{J\leqslant j\leqslant n/2}b_{j}\biggl(\sum_{k=1}^{\infty }e^{-\lambda k}U(k)\biggr( 1+\int_{0}^{2k}V(-w)\,dw\biggr)\biggr) \notag \\ &\qquad \leqslant C_{2}\sum_{J\leqslant j\leqslant \infty }b_{j} b_{n}\int_{0}^{\varphi (n)}V(-w)\,dw=\varepsilon _{J}\mathbf{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\, L_{n}\geqslant 0), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $\varepsilon _{J}\to 0$ при $J\to \infty $ в силу (1.1) и следствия 2. Оценки (3.8) и (3.9) позволяют убедиться в том, что
$$
\begin{equation}
\lim_{J\to \infty }\lim_{n\to \infty }\frac{R(J+1,n)}{\mathbf{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\, L_{n}\geqslant 0) }\leqslant C\lim_{J\to \infty }\varepsilon _{J}=0.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Зафиксируем теперь $j\in [ 0,J]$ и запишем разложение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n),\, \tau _{n}=j] \\ &\qquad=\mathbf{E}\bigl[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n),\, \tau_{n}=j,\, S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)}\, \bigr] \\ &\qquad\qquad +\mathbf{E}\bigl[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n),\, \tau_{n}=j,\, S_{j}\leqslant -\sqrt{\varphi (n)}\, \bigr] . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $j$ фиксировано, то согласно лемме 5 работы [13]
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\bigl[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n),\, \tau_{n}=j,\, S_{j}\leqslant -\sqrt{\varphi (n)}\, \bigr]=o(\mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant\varphi (n),\, L_{n-j}\geqslant 0))
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty$. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}\bigl[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n),\, \tau_{n}=j,\, S_{j}>-\sqrt{\varphi (n)}\, \bigr] \\ &\qquad =\int_{-\sqrt{\varphi (n)}}^{0}e^{\lambda x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi(n)-x,\, L_{n-j}\geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $x\in [ -\sqrt{\varphi (n)},0]$ и фиксированного $j$ имеем
$$
\begin{equation*}
0\leqslant \varphi (n)-x\leqslant \varphi (n)+\sqrt{\varphi (n)}=o(a_{n})=o(a_{n-j})
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $. Эта оценка и следствие 2 показывают, что при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)-x,\, L_{n-j}\geqslant 0)\sim g_{\alpha,\beta }(0)b_{n-j}\int_{0}^{\varphi (n)-x}V(-w)\,dw
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x\in (-\sqrt{\varphi (n)},0]$. Вспоминая, что $b_{n}\in R_{1+\alpha^{-1}}$, заключаем, что $b_{n-j}\sim b_{n}$ при $n\to \infty $ для любого фиксированного $j$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty }\sup_{x\in (-\sqrt{\varphi (n)},0]} \left(\frac{\displaystyle\int_{0}^{\varphi (n)-x}V(-w)\,dw} {\displaystyle\int_{0}^{\varphi (n)}V(-w)\,dw}-1\right)=0
\end{equation*}
\notag
$$
согласно (3.7). Отсюда следует, что для любого фиксированного $j$ при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)-x,\, L_{n-j}\geqslant 0) &\sim g_{\alpha,\beta }(0)b_{n}\int_{0}^{\varphi (n)}V(-w)\,dw \\ &\sim \mathbf{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\, L_{n}\geqslant 0) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $x\in (-\sqrt{\varphi (n)},0]$. Таким образом, при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{-\sqrt{\varphi (n)}}^{0}e^{\lambda x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant \varphi (n)-x,\, L_{n-j}\geqslant 0) \\ &\qquad \sim \mathbf{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\, L_{n}\geqslant 0)\int_{-\infty }^{0}e^{\lambda x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau_{j}=j) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обращаясь к (3.10) и суммируя приведенные выше оценки по $j$ от $0$ до $\infty $, получаем, принимая во внимание (3.1), что при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{E}[ e^{\lambda S_{\tau _{n}}};\, S_{n}\leqslant \varphi (n)] &\sim\mathbf{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\, L_{n}\geqslant 0)\int_{-\infty }^{0}e^{\lambda x}\sum_{j=0}^{\infty }\mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) \\ &=\mathbf{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\, L_{n}\geqslant 0) \biggl(1+\int_{-\infty}^{0}e^{\lambda x}U(-dx)\biggr) \\ &=\mathbf{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n),\, L_{n}\geqslant 0)\lambda \int_{0}^{\infty }e^{-\lambda x}U(x)\,dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где при последнем переходе мы использовали равенство $U(0+)=1$.
Объединение этого соотношения со следствием 2 завершает доказательство теоремы 1. § 4. Доказательство теоремы 2 Доказательство теоремы 2. Исходным пунктом наших рассуждений будет представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}_{x}[ e^{\lambda S_{n}};\, S_{n}\leqslant \psi (n),\, M_{n}<0] =\int_{-\infty }^{\psi (n)}e^{\lambda w}\, \mathbf{P}_{x}(S_{n}\in dw,M_{n}<0) \\ &\qquad=e^{\lambda \psi (n)}\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda y}\, \mathbf{P}_{x}(S_{n}\in \psi (n)-dy,\, M_{n}<0) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вводя для $h\in (0,1]$ и $N\in \mathbb{N}$ обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_{1}(n,N,h)&:= \sum_{k=0}^{[ N/h] }e^{-\lambda kh}\, \mathbf{P}_{x}(S_{n}\in [ \psi (n)-(k+1) h,\, \psi (n)-kh),\, M_{n}<0), \\ T_{2}(n,N)&:= \sum_{r=N}^{\infty }e^{-\lambda r}\, \mathbf{P}_{x}( S_{n}\in [ \psi (n)-(r+1),\, \psi (n)-r),\, M_{n}<0), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
Используя оценку (2.4), лемму 3 и первое из неравенств в (3.5), заключаем, что существует такое натуральное число $N_{0}$, что для всех $N\geqslant N_{0}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_{2}(n,N) &\leqslant Cb_{n}V(x)\sum_{r=N}^{\infty }e^{-\lambda r}U(r+1-\psi (n)) \\ &\leqslant Cb_{n}V(x)U(-\psi (n))\biggl(\sum_{r=N}^{\infty }e^{-\lambda r}(1+U(2r+2))\biggr) \\ &=Cb_{n}V(x)U(-\psi (n))e^{-\lambda N}\biggl(\sum_{r=0}^{\infty }e^{-\lambda r}(1+U(2r+2N+2))\biggr) \\ &\leqslant 2Cb_{n}V(x)U(-\psi (n))e^{-\lambda N}\sum_{r=0}^{\infty }e^{-\lambda r}(r+N+2) \\ &\leqslant C_{1}b_{n}V(x)U(-\psi (n))Ne^{-\lambda N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, если выполнено условие A1, то согласно следствию 3
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}_{x}(S_{n}\in [ \psi (n)-(k+1) h,\, \psi(n)-kh),\, M_{n}<0) \notag \\ &\qquad \sim g_{\alpha,\beta }(0)b_{n}V(x)hU((k+1)h-\psi(n)) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
при $n\to \infty $ равномерно по отрицательным $x=o(a_{n})$ и $\psi (n)-(k+1) h=o(a_{n})$ с $(k+1) h\leqslant 2N$. Кроме того, при $n\to \infty $ равномерно по значениям $z=o(\psi (n))$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_{1}(n,N,h) &=(1+o(1))g_{\alpha,\beta }(0)b_{n}V(x)h\sum_{k=0}^{[ N/h] }e^{-\lambda kh}U(kh-\psi (n)) \\ &=(1+o(1))g_{\alpha,\beta }(0)b_{n}V(x)U(-\psi (n)) h\sum_{k=0}^{[ N/h] }e^{-\lambda kh} \\ &\leqslant (1+\varepsilon)g_{\alpha,\beta }(0)b_{n}V(x)U(-\psi (n)) h(1-e^{-\lambda h})^{-1} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\varepsilon >0$ и достаточно больших $n\geqslant n_{0}(\varepsilon)$. Итак,
$$
\begin{equation*}
\limsup_{n\to \infty }\frac{\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda y}\, \mathbf{P}_{x}(S_{n}\in \psi (n)-dy,\, M_{n}<0) }{b_{n}U(-\psi (n))V(x)}\leqslant (1+\varepsilon)g_{\alpha,\beta }(0)h(1-e^{\lambda h})^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как величины $\varepsilon >0$ и $h>0$ могут быть выбранными сколь угодно малыми, то
$$
\begin{equation*}
\limsup_{n\to \infty }\frac{\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda y}\, \mathbf{P}_{x}(S_{n}\in \psi (n)-dy,\, M_{n}<0) }{b_{n}U(-\psi (n))V(x)}\leqslant \frac{g_{\alpha,\beta }(0)}{\lambda }.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в том, что для любого $\varepsilon >0$ и для всех достаточно больших $n$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, e^{-\lambda h}T_{1}(n,N,h) &\geqslant (1-\varepsilon)g_{\alpha,\beta }(0)b_{n}V(x)U(-\psi (n)) h \\ &\qquad \times \biggl((1-e^{-\lambda h})^{-1}-\sum_{r=N}^{\infty }e^{-\lambda r}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\liminf_{n\to \infty } \frac{\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda y}\, \mathbf{P}_{x}(S_{n}\in \psi (n)-dy,\, M_{n}<0) }{b_{n}U(-\psi (n))V(x)} \\ &\qquad \geqslant \liminf_{N\to \infty }\liminf_{h\downarrow 0}\lim_{\varepsilon \downarrow 0}\liminf_{n\to \infty }\frac{e^{-\lambda h}T_{1}(n,N,h)}{b_{n}U(-\psi (n))V(x)}\geqslant \frac{g_{\alpha ,\beta }(0)}{\lambda }. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, что и требовалось доказать. § 5. Доказательство теоремы 3 Доказательство теоремы 3. Запишем равенство
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{\tau _{n}}};\, S_{n}\leqslant \psi (n)] =R(0,n-J)+\sum_{j=n-J+1}^{n}\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \psi (n),\tau _{n}=j],
\end{equation*}
\notag
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
R(0,n-J):=\sum_{j=0}^{n-J}\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \psi(n),\, \tau_{n}=j] .
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что для каждого $j\in [ 0,n]$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \psi (n),\, \tau _{n}=j] \notag \\ &\qquad =\int_{-\infty }^{\psi (n)}e^{\lambda x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant \psi (n)-x,\, L_{n-j}\geqslant 0) \notag \\ &\qquad =e^{\lambda \psi (n)}T_{3}(n,j), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
T_{3}(n,j):=\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda y}\, \mathbf{P}(S_{j}\in \psi (n)-dy,\, \tau _{j}=j) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant y,\, L_{n-j}\geqslant0).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.2) существует константа $C\in (0,\infty)$ такая, что для всех $y\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
e^{-\lambda y}\int_{0}^{y}V(-w)\,dw\leqslant Ce^{-\lambda y/2}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Используя теперь неравенства (2.3), (2.4) и соотношение (2.1), нетрудно убедиться в справедливости следующей цепочки неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T_{3}(n,j) &\leqslant Cb_{n-j}\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda y}\, \mathbf{P}( S_{j}\in \psi (n)-dy,\, \tau _{j}=j) \int_{0}^{y}V(-w)\,dw \notag \\ &\leqslant Cb_{n-j}\sum_{k=0}^{\infty }e^{-\lambda k}\, \mathbf{P}(S_{j}\,{\in}\, [ \psi (n)\,{-}\,k\,{-}\,1,\, \psi (n)\,{-}\,k),\, \tau _{j}\,{=}\,j) \int_{0}^{k+1}V(-w)\,dw \notag \\ &\leqslant C_{1}b_{n-j}b_{j}\sum_{k=0}^{\infty }e^{-\lambda k/2}U(k+1-\psi (n)) \notag \\ &\leqslant C_{1}b_{n-j}b_{j}U(-2\psi (n))\sum_{k=0}^{\infty }e^{-\lambda k/2}(U(2k+2)+1) \notag \\ &\leqslant C_{2}b_{n-j}b_{j}U(-\psi (n)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
В силу (1.1) $b_{n-j}\leqslant Cb_{n}$ для всех $j\leqslant n/2$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=J}^{n-J}\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \psi (n),\, \tau _{n}=j] \leqslant C_{2}U(-\psi (n))e^{\lambda \psi (n)}\sum_{j=J}^{n-J}b_{n-j}b_{j} \\ &\qquad \leqslant C_{3}b_{n}U(-\psi (n))e^{\lambda \psi (n)}\sum_{j=J}^{n/2}b_{j}\leqslant \varepsilon _{J}b_{n}U(-\psi (n))e^{\lambda \psi (n)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varepsilon _{J}=C_{3}\sum_{j=J}^{\infty }b_{j}\to 0$ при $J\to \infty $. Далее, для любого фиксированного $j\in [ 0,J]$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_{3}(n,j) &\leqslant Cb_{n-j}\sum_{k=0}^{\infty }e^{-\lambda k/2}\, \mathbf{P}(S_{j}\in [ \psi (n)-k-1,\, \psi (n)-k),\, \tau _{j}=j) \\ &\leqslant C_{1}b_{n}\, \mathbf{P}(S_{j}\leqslant \psi (n))\sum_{k=0}^{\infty }e^{-\lambda k/2}=o(b_{n}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\limsup_{J\to \infty }\limsup_{n\to \infty }\frac{R(0,n-J)}{b_{n}U(-\psi (n)) e^{\lambda \psi (n)}}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим теперь значения $j=n-t$, где $t\in [ 0,J]$. Для любого $N\in \mathbb{N}$ и $h>0$ где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_{4}(n,N,h,j) &:=\sum_{k=0}^{[ N/h] }e^{-\lambda kh}\, \mathbf{P}(S_{j}\in [ \psi (n)-(k+1)h,\, \psi (n)-kh),\, \tau _{j}=j) \\ &\qquad\times\mathbf{P}(S_{t}\leqslant (k+1)h,\, L_{t}\geqslant 0), \\ T_{5}(n,N,j) &:=\sum_{r=N}^{\infty }e^{-\lambda r}\, \mathbf{P}(S_{j}\in [ \psi (n)-r-1,\, \psi (n)-r),\, \tau _{j}=j) \\ &\qquad\times\mathbf{P}(S_{t}\leqslant r+1,\, L_{t}\geqslant 0) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (2.4) при $x=0$, заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T_{5}(n,N,j) &\leqslant Cb_{j}\sum_{r=N}^{\infty }e^{-\lambda r}U(r+1-\psi (n))\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant r+1,\, L_{t}\geqslant 0) \notag \\ &\leqslant Cb_{j}U(-2\psi (n))\sum_{r=N}^{\infty }e^{-\lambda r}( U(2r+2)+1) \notag \\ &\leqslant C_{1}b_{j}U(-\psi (n))e^{-\lambda N}\sum_{r=0}^{\infty }e^{-\lambda r}(U(2r+2N+2)+1) \notag \\ &\leqslant C_{2}b_{j}U(-\psi (n))e^{-\lambda N}\sum_{r=0}^{\infty }e^{-\lambda r}(r+N+2) \notag \\ &\leqslant C_{3}b_{j}U(-\psi (n))Ne^{-\lambda N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Далее, если $0\leqslant n-j\leqslant J$ и $n\to \infty $, то в силу (2.6) и принципа двойственности для случайных блужданий
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}(S_{j}\in [ \psi (n)-(k+1) h,\, \psi(n)-kh),\, \tau _{j}=j) \\ &\qquad =\mathbf{P}(S_{j}\in [ \psi (n)-(k+1)h,\, \psi (n)-kh),\, M_{j}<0) \\ &\qquad \sim g_{\alpha,\beta }(0)b_{j}\int_{kh-\psi (n)}^{( k+1) h-\psi (n)}U(z)\,dz\sim g_{\alpha,\beta }(0)b_{j}hU(-\psi (n)) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $ равномерно по $0\leqslant (k+1) h\leqslant N$. Используя эти соотношения, мы видим, что для любого фиксированного $h>0$
$$
\begin{equation}
T_{4}(n,N,h,j)\sim g_{\alpha,\beta }(0)b_{j}U(-\psi (n))h\sum_{k=0}^{[ N/h] }e^{-\lambda kh}\,\mathbf{P}(S_{t}\leqslant (k+1)h,\,L_{t}\geqslant 0) .
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Очевидные оценки позволяют убедиться в справедливости следующих цепочек неравенств:
$$
\begin{equation}
h\sum_{k=0}^{[ N/h] }e^{-\lambda kh}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant (k+1) h,\, L_{t}\geqslant 0) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\leqslant e^{2\lambda h}\sum_{k=0}^{[ N/h] }\int_{(k+1) h}^{(k+2) h}e^{-\lambda z}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant z,\, L_{t}\geqslant 0) \,dz \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \leqslant e^{2\lambda h}\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda z}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant z,\, L_{t}\geqslant 0) \,dz,
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
$$
\begin{equation}
h\sum_{k=0}^{[ N/h] }e^{-\lambda kh}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant (k+1) h,\, L_{t}\geqslant 0) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \geqslant e^{-2\lambda h}\sum_{k=0}^{[ N/h]}he^{-\lambda (k-1)h}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant kh,\, L_{t}\geqslant 0) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad \geqslant e^{-2\lambda h}\int_{0}^{N-1}e^{-\lambda z}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant z,\, L_{t}\geqslant 0) \,dz.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Объединяя (5.5)–(5.7), мы видим, что для $j=n-t\in (n-J,n]$
$$
\begin{equation*}
\lim_{h\downarrow 0}\lim_{N\to \infty }\lim_{n\to \infty }\frac{T_{4}(n,N,h,j)}{g_{\alpha,\beta }(0)b_{j}U(-\psi (n))}=\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda z}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant z,\, L_{t}\geqslant 0) \,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя эквивалентность $b_{j}\sim b_{n}$, справедливую для $j\in (n-J,n]$, и обращаясь к (5.4), заключаем, что
$$
\begin{equation}
\limsup_{n\to \infty }\frac{T_{3}(n,j)}{g_{\alpha,\beta }(0)b_{n}U(-\psi (n))}\leqslant \int_{0}^{\infty }e^{-\lambda z}\mathbf{P}( S_{t}\leqslant z,L_{t}\geqslant 0) \,dz.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Для вывода аналогичной оценки снизу заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &T_{3}(n,j)\geqslant T_{6}(N,n,h,j) \\ &:=\sum_{k=1}^{[ N/h] }e^{-\lambda (k+1)h}\, \mathbf{P}( S_{j}\in [ \psi (n)-(k+1) h,\, \psi (n)-kh),\, \tau_{j}=j) \, \mathbf{P}(S_{t}\,{\leqslant}\, kh,\, L_{t}\,{\geqslant}\, 0) \\ &\sim g_{\alpha,\beta }(0)b_{j}U(-\psi (n))h\sum_{k=1}^{[ N/h] }e^{-\lambda (k+1)h}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant kh,\, L_{t}\geqslant 0) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &h\sum_{k=1}^{[ N/h] }e^{-\lambda (k+1)h}\, \mathbf{P}( S_{t}\leqslant kh,\, L_{t}\geqslant 0) \\ &\qquad \geqslant e^{-2\lambda h}\sum_{k=1}^{[ N/h] }he^{-\lambda (k-1)h}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant kh,\, L_{t}\geqslant 0) \\ &\qquad \geqslant e^{-2\lambda h}\int_{0}^{N-1}e^{-\lambda z}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant z,\, L_{t}\geqslant 0)\, dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\liminf_{n\to \infty }\frac{T_{3}(n,j)}{g_{\alpha,\beta }(0)b_{j}U(-\psi (n))} \geqslant \lim_{h\downarrow 0}\lim_{N\to \infty }\lim_{n\to \infty }\frac{T_{6}(n,N,h,j)}{g_{\alpha,\beta }(0)b_{j}U(-\psi (n))} \\ &\qquad =\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda z}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant z,\, L_{t}\geqslant 0) \,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, для любого $t=n-j\in [ 0,J]$
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty }\frac{T_{3}(n,j)}{g_{\alpha,\beta}(0)b_{n}U(-\psi (n))} =\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda z}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant z,\, L_{t}\geqslant 0) \,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, обращаясь к (5.1), мы видим, что для любого фиксированного $J$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=n-J+1}^{n}\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant \psi(n),\, \tau _{n}=j] \\ &\qquad \sim g_{\alpha,\beta }(0)b_{n}U(-\psi (n))e^{\lambda \psi (n)}\int_{0}^{\infty }e^{-\lambda z}\sum_{t=0}^{J}\mathbf{P}(S_{t}\leqslant z,\, L_{t}\geqslant 0)\,dz \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $. Устремляя $J$ к бесконечности, получаем что и требовалось. § 6. Доказательство теоремы 4 Доказательство теоремы 4. Запишем разложение
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{\tau _{n}}};\, S_{n}\leqslant K] =R(0,J)+R(J+1,n-J)+R(n-J+1,n),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
R(N_{1},N_{2}):=\sum_{j=N_{1}}^{N_{2}}\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j] .
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что слагаемое $R(J+1,n-J)$ дает пренебрежимо малый вклад по сравнению с другими слагаемыми в интересующее нас математическое ожидание. В силу леммы 1 и оценки (5.2)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j] \\ &\qquad =\int_{-\infty }^{K\wedge 0}e^{\lambda x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant K-x,\, L_{n-j}\geqslant 0) \\ &\qquad =e^{\lambda K}\int_{K\vee 0}^{\infty }e^{-\lambda y}\, \mathbf{P}(S_{j}\in K-dy,\, M_{j}<0) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant y,\, L_{n-j}\geqslant 0) \\ &\qquad \leqslant Cb_{n-j}\int_{K\vee 0}^{\infty }e^{-\lambda y}\, \mathbf{P}(S_{j}\in K-dy,\, M_{j}<0) \int_{0}^{y}V(-w)\,dw \\ &\qquad \leqslant Cb_{n-j}\sum_{k\geqslant K\vee 0}e^{-\lambda k}\, \mathbf{P}(S_{j}\in [ K-k-1,\, K-k),\, M_{j}<0) \int_{0}^{k+1}V(-w)\,dw \\ &\qquad \leqslant C_{1}b_{n-j}b_{j}\sum_{k\geqslant K\vee 0}e^{-\lambda k/2}U(k+1-K) \\ &\qquad \leqslant C_{1}b_{n-j}b_{j}U((-2K)\vee 0)\sum_{k\geqslant K\vee 0}e^{-\lambda k/2}(U(2k+2)+1) \leqslant C_{2}b_{n-j}b_{j}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
R(J+1,n-J)\leqslant C\sum_{j=J+1}^{n-J}b_{n-j}b_{j}\leqslant C_{1}b_{n}\sum_{j=J+1}^{n/2}b_{j}\leqslant \varepsilon _{J}b_{n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varepsilon _{J}=C_{1}\sum_{j=J+1}^{\infty }b_{j}\to 0$ при $J\to \infty $. Далее, для фиксированного $j\in [ 0,J]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j] }{b_{n}} \\ &\qquad=\int_{-\infty }^{K\wedge 0}e^{\lambda x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) \, \frac{\mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant K-x,\, L_{n-j}\geqslant 0) }{b_{n}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для любого фиксированного $x\leqslant K\wedge 0$
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant K-x,\, L_{n-j}\geqslant 0)\sim g_{\alpha,\beta}(0)b_{n-j}\int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $, и согласно (2.3) существует такая константа $C\in (0,\infty)$, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbf{P}(0\leqslant S_{n}<K-x,\, L_{n}\geqslant 0) }{b_{n}}\leqslant C\int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $n$ и всех $x\leqslant K\wedge 0$. Объединяя эти оценки и соотношение (3.7), получаем, что для любого $\lambda >0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{-\infty }^{K\wedge 0}e^{\lambda x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau_{j}=j) \int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw \\ &\qquad \leqslant \int_{-\infty }^{0}e^{\lambda x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx) \int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw \\ &\qquad \leqslant C_{1}\int_{-\infty }^{0}e^{\lambda x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx) (|x|^{2}+|K|^{2}+1) <\infty . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обращаясь к следствию 2 и применяя теорему о мажорируемой сходимости, заключаем, что для любого $j\in [ 0,J]$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty }\frac{\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant K,\,\tau _{n}=j] }{b_{n}} \\ &\qquad =g_{\alpha,\beta }(0)\int_{-\infty }^{K\wedge 0}e^{\lambda x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) \int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{J\to \infty }\lim_{n\to \infty }\frac{R(0,J)}{b_{n}} \notag \\ &\qquad=g_{\alpha,\beta }(0)\int_{-\infty }^{K\wedge 0}e^{\lambda x}\sum_{j=0}^{\infty }\mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) \int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw \notag \\ &\qquad =g_{\alpha,\beta }(0)\int_{-\infty }^{K\wedge 0}e^{\lambda x}\, U(-dx)\int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw<\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Чтобы оценить величину $R(n-J+1,n)$ при $j=n-t\in [ n-J+1,n]$, запишем представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j] }{b_{n}} \\ &\qquad=\int_{-\infty }^{K\wedge 0}e^{\lambda x}\, \frac{\mathbf{P}( S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) }{b_{n}}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant K-x,\, L_{t}\geqslant 0) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и заметим, что ввиду (2.4) и принципа двойственности для случайных блужданий для любого $H>0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{-\infty }^{-H}e^{\lambda x}\, \frac{\mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) }{b_{n}}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant K-x,\, L_{t}\geqslant 0) \notag \\ &\qquad \leqslant \mathbf{P}(L_{t}\geqslant 0) \int_{-\infty }^{-H}e^{\lambda x}\, \frac{\mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) }{b_{n}} \notag \\ &\qquad \leqslant \mathbf{P}(L_{t}\geqslant 0) \sum_{k=H}^{\infty }e^{-\lambda k}\, \frac{\mathbf{P}(S_{j}\in [ -k-1,-k),\, \tau _{j}=j) }{b_{n}} \notag \\ &\qquad \leqslant C_{1}\, \mathbf{P}(L_{t}\geqslant 0) \sum_{k=H}^{\infty }e^{-\lambda k}U(k+1), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
причем правая часть этого соотношения стремится к нулю при $H\to \infty $. Таким образом, нам осталось оценить интеграл
$$
\begin{equation*}
\int_{-H}^{K\wedge 0}e^{\lambda x}\, \frac{\mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) }{b_{n}}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant K-x,\, L_{t}\geqslant 0) .
\end{equation*}
\notag
$$
Для его оценивания мы используем теорему 5.1 в [3] (записанную в наших обозначениях), согласно которой при выполнении условия A2
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) }{b_{n}dx}\sim g_{\alpha,\beta }(0)U(-x)
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to \infty $ равномерно по $x<0$, $x=o(a_{n})$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty }\int_{-H}^{K\wedge 0}e^{\lambda x}\, \frac{\mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) }{b_{n}}\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant K-x,\, L_{t}\geqslant 0) \notag \\ &\qquad =g_{\alpha,\beta }(0)\int_{-H}^{K\wedge 0}e^{\lambda x}U(-x)\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant K-x,\,L_{t}\geqslant 0)\, dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Объединяя (6.2) и (6.3), заключаем, что для фиксированного $t=n-j\in [ 0,J]$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty }\frac{\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{j}};\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j] }{b_{n}} \\ &\qquad=g_{\alpha,\beta }(0)\int_{-\infty }^{K\wedge 0}e^{\lambda x}U(-x)\, \mathbf{P}(S_{t}\leqslant K-x,\, L_{t}\geqslant 0) \,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммирование этого равенства по $t$ от $0$ до $\infty$ дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{J\to \infty }\lim_{n\to \infty}\frac{R(n-J+1,n)}{b_{n}} \nonumber \\ &\qquad=g_{\alpha,\beta }(0)\int_{-\infty }^{K\wedge 0}e^{\lambda x}U(-x)V_{0}(K-x)\,dx<\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to \infty }\frac{\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{\tau_{n}}};\, S_{n}\leqslant K] }{b_{n}} \\ &\qquad=g_{\alpha,\beta}(0)\int_{-\infty}^{K\wedge 0}e^{\lambda x}\, U(-dx)\int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw \\ &\qquad\qquad+g_{\alpha,\beta }(0)\int_{-\infty }^{K\wedge 0}e^{\lambda x}U(-x)V_{0}(K-x)\,dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. § 7. Вероятность невырождения ветвящихся процессов, эволюционирующих в экстремально неблагоприятной средеВ этом параграфе мы применим результаты, полученные для случайных блужданий, к исследованию асимптотического поведения вероятностей невырождения критических ветвящихся процессов, эволюционирующих в неблагоприятной случайной среде. Для формального описания задачи, которую мы будем рассматривать, обозначим $\mathfrak{F}=\{ \mathfrak{f}\} $ пространство всех вероятностных мер на множестве $\mathbb{N}_{0}:=\{0,1,2,\dots\}$. Для удобства обозначений будем отождествлять меру $\mathfrak{f}=\{\mathfrak{f}(\{ 0\}),\mathfrak{f} (\{ 1\}),\dots\} \in \mathfrak{F}$ с соответствующей вероятностной производящей функцией
$$
\begin{equation*}
f(s)=\sum_{k=0}^{\infty }\mathfrak{f}(\{ k\})s^{k}, \qquad s\in [ 0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
и не делать различия между $\mathfrak{f}$ и $f$. Оснащенное равномерной метрикой, пространство $\mathfrak{F} =\{\mathfrak{f}\}=\{ f\} $ превращается в польское пространство. Пусть
$$
\begin{equation*}
F(s)=\sum_{j=0}^{\infty }F(\{ j\}) s^{j}, \qquad s\in[ 0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
– случайная величина, принимающая значения в пространстве $\mathfrak{F}$, и пусть
$$
\begin{equation*}
F_{n}(s)=\sum_{j=0}^{\infty }F_{n}(\{ j\}) s^{j}, \qquad s\in [ 0,1], \quad n\in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
– последовательность назависимых вероятностных копий случайной величины $F$. Бесконечная последовательность $\mathcal{E}=\{ F_{n},n\in \mathbb{N}\} $ называется случайной средой. Последовательность неотрицательных целочисленных случайных величин $\mathcal{Z}\,{=}\,\{ Z_{n},\,n\,{\in}\, \mathbb{N}_{0}\} $, заданных на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P})$, называется ветвящимся процессом в случайной среде (ВПСС), если $Z_{0}$ не зависит от $\mathcal{E}$ и, при фиксации среды $\mathcal{E}$, процесс $\mathcal{Z}$ является марковской цепью, в которой
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}(Z_{n}\mid Z_{n-1}=z_{n-1},\, \mathcal{E}=(f_{1},f_{2},\dots)) =\mathcal{L}(\xi _{n1}+\dots +\xi _{ny_{n-1}})
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $n\in \mathbb{N}$, $z_{n-1}\in \mathbb{N}_{0}$ и $f_{1},f_{2},\ldots\in \mathfrak{F}$, где $\xi _{n1},\xi _{n2},\dots $ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с распределением $f_{n}$. Таким образом, $Z_{n-1}$ – это число частиц в $(n-1)$-м поколении ветвящегося процесса, а $f_{n}$ – производящая функция числа потомков каждой частицы $(n-1)$-го поколения. Последовательность
$$
\begin{equation*}
S_{0}=0, \qquad S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}, \quad n\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $X_{i}=\log F_{i}'(1)$, $i=1,2,\dots$, называется сопровождающим случайным блужданием для процесса $\mathcal{Z}$. Мы предполагаем, что $Z_{0}=1$ и накладываем следующие ограничения на свойства анализируемого ВПСС. Согласно классификации ВПСС (см., например, [1] и [9]), условие B1 означает, что мы рассматриваем критический ВПСС. Наше второе условие на свойства случайной среды касается законов размножения частиц. Пусть
$$
\begin{equation*}
\gamma (b):=\frac{\sum_{k=b}^{\infty }k^{2}F(\{ k\}) }{\bigl(\sum_{i=0}^{\infty }iF(\{ i\})\bigr)^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Условие B2. Существуют такие числа $\varepsilon >0$ и $b\in \mathbb{N}$, что где $\log ^{+}x=\log (x\vee 1)$. Известно (см. [1; теорема 1.1 и следствие 1.2]), что если выполнены условия B1 и B2, то существуют такие константа $\theta\in(0,\infty)$ и последовательность $l(1),l(2),\dots$, медленно меняющаяся на бесконечности, что при $n\to \infty$
$$
\begin{equation}
\mathbf{P}(Z_{n}>0) \sim\theta \, \mathbf{P}(L_n\geqslant 0)\sim \theta n^{-(1-\rho)}l(n),
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
и для любого $x\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant xa_{n}) &=\mathbf{P}(S_{n}\leqslant xa_{n}\mid Z_{n}>0) \, \mathbf{P}(Z_{n}>0) \notag \\ &\sim \mathbf{P}(Y_{1}^{+}\leqslant x)\, \mathbf{P}(Z_{n}>0), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
где $\mathcal{Y}^{+}=\{ Y_{t}^{+},\,0\leqslant t\leqslant1\} $ обозначает извилину строго устойчивого процесса $\mathcal{Y}$ индекса $\alpha$, т.е. строго устойчивый процесс Леви, рассматриваемый при условии его положительности на полуинтервале времени $(0, 1]$ (см. [4], [5]). Таким образом, если критический ВПСС не выродился к далекому моменту $n$, то состояние $S_n$ сопровождающего случайного блуждание в этот момент отличается от $a_{n}$ на случайный положительный ограниченный множитель. Так как $\mathbf{P}(Y_{1}^{+}\leqslant0)=0$, то из (7.2) следует, что для функции $\varphi (n)$, удовлетворяющей ограничению
$$
\begin{equation}
\limsup_{n\to \infty }\frac{\varphi (n)}{a_{n}}\leqslant 0,
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
при $n\to \infty $ справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant \varphi (n)) &=\mathbf{P}(S_{n}\leqslant \varphi (n)\mid Z_{n}>0) \mathbf{P}(Z_{n}>0) \\ &=o(\mathbf{P}(Z_{n}>0)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Естественно рассматривать случайную среду, подчиняющуюся ограничению $S_n\leqslant \varphi (n)$ с функцией $\varphi (n)$, удовлетворяющей оценке (7.3), как неблагоприятную для развития критического ВПСС. Важный случай неблагоприятной случайной среды был рассмотрен в [12] и [14], где показано, что если $\varphi (n)\to \infty $ при $n\to \infty $ таким образом, что $\varphi (n)=o(a_{n})$, то
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant \varphi (n)) \sim C b_{n}\int_{0}^{\varphi (n)}V(-w)\,dw, \qquad C \in (0,\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
и исследованы условные распределения числа частиц в процессе в моменты $m\leqslant n$ при условии $ \{Z_{n}>0,\,S_{n}\leqslant \varphi (n)\}$. В настоящей работе мы дополняем результаты статьи [12], накладывая более сильные ограничения на случайную среду. А именно, мы будем предполагать, что в момент наблюдения $n$ случайная среда удовлетворяет условию $S_{n}\leqslant K$ для некоторой фиксированной константы $K$, и называть такую среду экстремально неблагоприятной. Наш основной результат выглядит следующим образом. Теорема 5. Пусть выполнены условия B1 и B2. Тогда для любого фиксированного $K$ Для доказательства теоремы введем новые вероятностные меры $\mathbf{P}^{+}$ и $\mathbf{P}^{-}$ с помощью соотношений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{E}[U(x+X);\, X+x\geqslant 0]&=U(x), \qquad x\geqslant 0 , \\ \mathbf{E}[V(x+X);\, X+x<0]&=V(x), \qquad x\leqslant 0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
выполняющихся для любого осциллирующего случайного блуждания (см. [9; гл. 4.4.3]). Процедура построения этих мер стандартна и детально описана для $\mathbf{P}^{+}$ и $\mathbf{P}^{-}$ в [1] и [2] (см. также [9; гл. 5.2]). Здесь мы напомним лишь основные определения, связанные с этой конструкцией. Пусть $\mathcal{F}_{n}$, $n\geqslant 0$, – $\sigma $-алгебра событий, порождаемая случайными величинами $F_{1},F_{2},\dots,F_{n}$ и $Z_{0},Z_{1},\dots,Z_{n}$. Совокупность этих $\sigma $-алгебр образует фильтрацию $\mathcal{F}$. Будем предполагать, что случайное блуждание $\mathcal{S=}\{ S_{n},\,n\geqslant 0\} $ с начальным значением $S_{0}=x$, $x\in \mathbb{R}$, согласовано с фильтрацией $\mathcal{F}$ . Введем при $x\geqslant 0$ вероятностные меры $\mathbf{P}_{x}^{+}$ и математические ожидания $\mathbf{E}_{x}^{+}$ следующим образом. Для любой последовательности $T_{0},T_{1},\dots$ случайных величин со значениями в некотором пространстве $\mathcal{T}$, согласованных с фильтрацией $\mathcal{F}$, и для любой ограниченной измеримой функции $g\colon \mathcal{T}^{n+1}\to \mathbb{R}$, $n\in \mathbb{N}_{0}$, положим
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}_{x}^{+}[g(T_{0},\dots,T_{n})]:= \frac{1}{U(x)}\, \mathbf{E}_{x}[g(T_{0},\dots,T_{n})U(S_{n});\, L_{n}\geqslant 0].
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом при $x\leqslant 0$ функция $V$ позволяет ввести вероятностные меры $\mathbf{P}_{x}^{-}$ и математические ожидания $\mathbf{E}_{x}^{-}$, определяемые для каждого $n\in \mathbb{N}_{0}$ уравнением
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}_{x}^{-}[g(T_{0},\dots,T_{n})]:= \frac{1}{V(x)}\, \mathbf{E}_{x}[g(T_{0},\dots,T_{n})V(S_{n});\, M_{n}<0].
\end{equation*}
\notag
$$
В силу соотношений (7.4) приведенные определения корректны и согласованы по параметру $n$. Приводимые ниже для удобства ссылок леммы являются ключевыми при доказательстве теоремы 5. Лемма 4 (см. [12; лемма 4]). Пусть выполнено условие B1. Пусть $H_{1},H_{2},\dots$ – равномерно ограниченная последовательность случайных величин, согласованных с некоторой фильтрацией $\widetilde{\mathcal F}\,{=}\,\{ \widetilde{\mathcal{F}}_{k},\,k\,{\in}\, \mathbb{N}\}$ и сходящихся $\mathbf{P}^{+}$-п.н. к случайной величине $H_{\infty }$. Если $\varphi (n)$, $n\in \mathbb{N}$, – такая детерминированная функция, что $\inf_{n\in \mathbb{N}}\varphi (n)\geqslant C>0$ и $\varphi (n)=o(a_{n})$ при $n\to \infty $, то В утверждении следующей леммы $F_{1},\dots,F_{n}$ – первые $n$ элементов рассматриваемой случайной среды $\mathcal{E}=\{ F_{k},k\in \mathbb{N}\} $ . Лемма 5. Пусть $0<\delta <1$ и Доказательство. Прежде всего отметим, что утверждение этой леммы почти дословно совпадает с утверждением теоремы 2.8 в [2]. Единственное отличие состоит в том, что вместо последовательности $\{ \widehat{W}_{n},\,n\geqslant 1\} $ в [2] рассматривалась последовательность
$$
\begin{equation*}
W_{n}=g_{n}(F_{1},\dots,F_{\lfloor \delta n\rfloor }), \qquad n\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющая условию
$$
\begin{equation*}
W_n\to W_{\infty } \quad \mathbf{P}_{x}^{+}\text{-п.н.}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой $\mathcal{W}$-значной случайной величины $W_{\infty }$ и всех $x\geqslant 0$. В частности, в [2] было показано, что для любых непрерывных ограниченных функций $\varphi_1(u)$, $\varphi_2(b)$, $\varphi_3(z)$ при $n\to\infty$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbf{E}[\varphi_1(W_n)\varphi_2(\widetilde{B}_n)\varphi_3(S_n)e^{\lambda S_{n}};\, \tau _{n}=n]}{\mathbf{E}[e^{\lambda S_{n}};\, \tau _{n}=n]} \\ &\qquad \to K_{1}\iiint \varphi_1(u)\varphi_2(b)\varphi_3(-z)\, \mathbf{P}_{z}^{+}(W_{\infty }\in du) \, \mathbf{P}^{-}(B_{\infty }\in db) U(z)e^{-\lambda z}\,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $\widehat{\varphi}_1(w)$, $w\in(-\infty,+\infty)$, – непрерывная функция такая, что при всех $w\in (-\infty,+\infty)$ $|\widehat{\varphi}_1(w)|\leqslant C$, а
$$
\begin{equation*}
W_{n}=W_n(F_{1},\dots,F_{\lfloor \delta n\rfloor })=\mathbf{E}[ \widehat{\varphi}_1(\widehat{W}_n)\mid F_{1},\dots,F_{\lfloor \delta n\rfloor }].
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия (7.6) и теоремы об ограниченной сходимости следует, что
Введем функцию
$$
\begin{equation*}
\varphi _{1}(u)= \begin{cases} 0, & \text{если } u<-2C, \\ -2C-u, & \text{если } -2C\leqslant u<-C, \\ u, & \text{если } -C\leqslant u\leqslant C, \\ 2C-u, & \text{если } C<u<2C, \\ 0, &\text{если } 2C\leqslant u. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу определения функции $\varphi_1$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_1(u)\, \mathbf{P}_{z}^{+}( W_{\infty }\in du) &=\int_{-C}^C u\, \mathbf{P}_{z}^{+}( W_{\infty }\in du)=\mathbf{E}^+_z[W_{\infty }] \\ \notag &=\mathbf{E}_z^+\bigl[\mathbf{E}[\widehat{\varphi}_1(\widehat{W}_{\infty}) \mid \mathcal{E}]\bigr]=\mathbf{E}_z^+[\widehat{\varphi}_1(\widehat{W}_{\infty})] \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{\varphi}_1(w)\mathbf{P}_{z}^{+}( \widehat{W}_{\infty }\in dw). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Так как случайные величины $\widetilde B_n$, $S_n$ и $\tau_n$ зависят только от состояний среды, но не от последовательности $Z_0, Z_1, \dots, Z_n$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}[\widehat{\varphi}_1(\widehat{W}_n)\varphi_2(\widetilde{B}_n)\varphi_3(S_n)e^{\lambda S_{n}};\, \tau_{n}=n] \\ &\qquad=\mathbf{E}[\varphi_1(W_n)\varphi_2(\widetilde{B}_n)\varphi_3(S_n)e^{\lambda S_{n}};\, \tau_{n}=n]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (7.7) следует, что для любых непрерывных ограниченных функций $\widehat{\varphi}_1(w)$, $\varphi_2(b)$, $\varphi_3(z)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbf{E}[\widehat{\varphi}_1(\widehat{W}_n)\varphi_2(\widetilde{B}_n) \varphi_3(S_n)e^{\lambda S_{n}};\, \tau_{n}=n]}{\mathbf{E}[e^{\lambda S_{n}};\, \tau _{n}=n]} \\ &\qquad=\frac{\mathbf{E}[\varphi_1(W_n)\varphi_2(\widetilde{B}_n) \varphi_3(S_n)e^{\lambda S_{n}};\, \tau_{n}=n]}{\mathbf{E}[e^{\lambda S_{n}};\, \tau _{n}=n]} \\ &\qquad\to K_{1}\iiint \varphi_1(u)\varphi_2(b)\varphi_3(-z)\, \mathbf{P}_{z}^{+}( W_{\infty }\in dw)\, \mathbf{P}^{-}(B_{\infty }\in db)U(z)e^{-\lambda z}\,dz \\ &\qquad\to K_{1}\iiint \widehat{\varphi}_1(w)\varphi_2(b)\varphi_3(-z)\, \mathbf{P}_{z}^{+}( \widehat{W}_{\infty }\in dw) \, \mathbf{P}^{-}(B_{\infty }\in db) U(z)e^{-\lambda z}\,dz \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\to\infty$.
Для завершения доказательства леммы осталось вспомнить о возможности сколь угодно точного приближения на компакте любой ограниченной непрерывной функции $\Psi(w,b,z) $ от трех переменных линейными комбинациями произведений функций вида $\widehat{\varphi}_1(w)\varphi_2(b)\varphi_3(z)$ и заметить, что элементы последовательностей $\{\widehat{W}_n,\, n\geqslant 1\}$, $\{\widetilde{B}_n,\, n\geqslant 1\}$ и случайные величины $\widehat{W}_{\infty}$, $B_{\infty}$ ограничены, а величина $\displaystyle\int_J^{\infty}U(z)e^{-\lambda z}\,dz$ может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора параметра $J$. Лемма 5 доказана. Доказательство теоремы 5. Заметим сначала, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}(Z_{n}>0\mid \mathcal{E}) &\leqslant \min_{0\leqslant k\leqslant n}\mathbf{P}(Z_{k}>0\mid \mathcal{E}) \\ &\mathbf{\leqslant }\min_{0\leqslant k\leqslant n}\mathbf{E}[ Z_{k}\mid \mathcal{E}] =\min_{0\leqslant k\leqslant n}e^{S_{k}}=e^{S_{\tau _{n}}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта оценка и рассуждения, использованные в доказательстве теоремы 4, показывают, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\limsup_{J\to \infty }\limsup_{n\to \infty}\frac{\mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}\in [J+1,n-J])}{b_{n}} \notag \\ &\qquad=\limsup_{J\to \infty }\limsup_{n\to \infty}\frac{\mathbf{E}[ \mathbf{P}(Z_{n}>0\mid \mathcal{E});\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}\in [ J+1,n-J] ] }{b_{n}} \notag \\ &\qquad \leqslant \limsup_{J\to \infty }\limsup_{n\to \infty} \frac{\mathbf{E}[ e^{S_{\tau _{n}}};\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}\in [J+1,n-J] ] }{b_{n}}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Таким образом, нам осталось рассмотреть только случаи, когда Зафиксируем достаточно большие натуральные числа $J$ и $N>|K|$ и для $j\in [ 0,J]$ рассмотрим цепочку оценок
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j, \, S_{j}<-N) \\ &\qquad \leqslant \mathbf{E}[ e^{S_{j}};\, S_{n}\leqslant K, \, \tau_{n}=j,\, S_{j}<-N] \\ &\qquad =\int_{-\infty }^{-N}e^{x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau_{j}=j) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant K-x, \, L_{n-j}\geqslant 0) \\ &\qquad \leqslant \int_{-\infty }^{-N}e^{x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant -2x, \, L_{n-j}\geqslant 0) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.3) и оценки (3.5) для любого $\varepsilon >0$ найдется такое достаточно большое число $N=N(\varepsilon)$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{-\infty }^{-N}e^{x} \, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\tau_{j}=j) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant -2x,\, L_{n-j}\geqslant 0) \\ &\qquad \leqslant Cb_{n-j}\int_{-\infty }^{-N}e^{x}\, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j) \int_{0}^{-2x}V(-w)\,dw \\ &\qquad \leqslant C_{1}b_{n-j}\int_{-\infty }^{-N}e^{x} (|x|^{2}+1) \, \mathbf{P}(S_{j}\in dx) \leqslant \varepsilon b_{n-j} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $n-j\geqslant 0$. Таким образом, при всех достаточно больших значениях $N$
Далее, в силу (3.3) и (2.2) для любого $Q\in \mathbb{N}$ и $N>K$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j,\, S_{j}\geqslant -N,\, Z_{j}>Q) \\ &\qquad \leqslant \mathbf{P}(S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j,\, S_{j}\geqslant -N,\, Z_{j}>Q) \\ &\qquad =\int_{-N}^{K\wedge 0}\mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau_{j}=j,\, Z_{j}>Q) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant K-x,\, L_{n-j}\geqslant 0) \\ &\qquad \leqslant \int_{-N}^{0}\mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau_{j}=j,\, Z_{j}>Q) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant 2N,\, L_{n-j}\geqslant 0) \\ &\qquad \leqslant \mathbf{P}(\tau _{j}=j,\, Z_{j}>Q) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant 2N,\, L_{n-j}\geqslant 0) \\ &\qquad \leqslant Cb_{n-j}\, \mathbf{P}(\tau _{j}=j,\, Z_{j}>Q) \int_{0}^{2N}V(-w)\,dw \\ &\qquad \leqslant C_{1}b_{n-j}\, \mathbf{P}(\tau _{j}=j,\, Z_{j}>Q) N^{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{Q\to \infty }\mathbf{P}(\tau _{j}=j,\, Z_{j}>Q) \leqslant \lim_{Q\to \infty }Q^{-1}\, \mathbf{E}[e^{S_{j}};\, \tau_{j}=j]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, можно подобрать такое достаточно большое $Q$, для которого
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(\tau _{j}=j,\, Z_{j}>Q) N^{2}\leqslant \varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
и получить оценку
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j,\, Z_{j}>Q) \leqslant C_{1}\varepsilon b_{n-j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим теперь вероятность
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j,\, S_{j}\geqslant -N,\, Z_{j}\leqslant Q).
\end{equation*}
\notag
$$
Введем событие
$$
\begin{equation*}
A_{\mathrm{u.s}}:=\{ Z_{n}>0\text{ для всех }n\geqslant 0\}
\end{equation*}
\notag
$$
и для $0\leqslant s\leqslant 1$ определим итерации
$$
\begin{equation*}
F_{k,n}(s):=F_{k+1}(F_{k+2}(\dots F_{n}(s)\dots))\quad \text{при }\ 0\leqslant k<n\ \text{ и }\ F_{n,n}(s):=s.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty }\mathbf{P}(Z_{n}>0\mid \mathcal{E},\, Z_{0}=q)=\lim_{n\to \infty }(1-F_{0,n}^{q}(0))=:1-F_{0,\infty }^{q}(0)
\end{equation*}
\notag
$$
существует $\mathbf{P}^{+}$-п.н. в силу монотонности вероятности невырождения ветвящихся процессов, то из леммы 4 следует, что при $n\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}[ 1-F_{0,n}^{q}(0)\mid S_{n}\leqslant y_{n},\, L_{n}\geqslant 0] \to \mathbf{E}^{+}[ 1-F_{0,\infty }^{q}(0)] =\mathbf{P}_{q}^{+}(A_{\mathrm{u.s}}),
\end{equation*}
\notag
$$
если $y_{n}=o(a_{n})$. Кроме того, согласно утверждению 3.1 в [1] величина $\mathbf{P}_{q}^{+}(A_{\mathrm{u.s}}) $ положительна для любого $q=1,2,\dots$ . Обращаясь к следствию 2, заключаем, что для фиксированного $q\leqslant Q$ и $x\in [ -N,K]$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \mathbf{P}(Z_{n-j}>0,\, S_{n-j}\leqslant K-x,\, L_{n-j}\geqslant 0,\, Z_{0}=q) \\ &\qquad =\mathbf{E}[ 1-F_{0,n-j}^{q}(0);\, S_{n-j}\leqslant K-x,\, L_{n-j}\geqslant 0] \\ &\qquad \sim \mathbf{P}_{q}^{+}(A_{\mathrm{u.s}}) \, \mathbf{P}(S_{n-j}\leqslant K-x,\, L_{n-j}\geqslant 0) \\ &\qquad \sim g_{\alpha,\beta }(0)\mathbf{P}_{q}^{+}(A_{\mathrm{u.s}})b_{n-j}\int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n-j\to \infty $. Отсюда, используя (3.3) еще раз и применяя теорему о мажорируемой сходимости, выводим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j,\, S_{j}\geqslant -N,\, Z_{j}=q) }{b_{n-j}} \\ &\quad =\int_{-N}^{K\wedge 0}\mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau_{j}=j,\, Z_{j}=q) \, \frac{\mathbf{E}[ 1-F_{0,n-j}^{q}(0);\, S_{n-j}\leqslant K-x,\, L_{n-j}\geqslant 0] }{b_{n-j}} \\ &\quad \sim g_{\alpha,\beta }(0)\, \mathbf{P}_{q}^{+}(A_{\mathrm{u.s}}) \int_{-N}^{K\wedge 0}\mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau _{j}=j,\, Z_{j}=q) \int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n-j\to \infty $.
Объединяя полученные оценки, устремляя $Q$ и $N$ к бесконечности и используя определение (1.1), мы видим, что для любого фиксированного $j\in [ 0,J]$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m_{j} &:=\lim_{n\to \infty }\frac{\mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j) }{b_{n}} \\ &=g_{\alpha,\beta }(0)\int_{-\infty }^{K\wedge 0}\mathbf{E}\biggl[ \mathbf{P}_{Z_{j}}^{+}(A_{\mathrm{u.s}}) \, \mathbf{P}(S_{j}\in dx,\, \tau_{j}=j) \int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw\biggr] . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
G_{\mathrm{left}}(K):=\lim_{J\to \infty }\lim_{n\to \infty} \frac{\mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}\in [ 0,J])}{b_{n}}=\sum_{j=0}^{\infty }m_{j}.
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G_{\mathrm{left}}(K) &\geqslant m_{1} \\ &\geqslant g_{\alpha,\beta }(0)\, \mathbf{P}^{+}(A_{\mathrm{u.s}}\mid Z_{0}=1)\int_{-\infty }^{K\wedge 0}\mathbf{P}(S_{1}\in dx) \int_{0}^{K-x}V(-w)\,dw >0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство $G_{\mathrm{left}}(K)<\infty $ следует из (6.1) и оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}\in [ 0,J]) &=\mathbf{E}[ 1-F_{0,n}(0);\, S_{n}\leqslant K,\, \tau_{n}\in [ 0,J]] \\ &\leqslant \mathbf{E}[ e^{S_{\tau _{n}}};\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}\in [0,J]]=R(0,J). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим теперь, что $n-j=t\in[ 0,J]$. Поскольку наборы $F_{1},\dots,F_{j}$ и $F_{j+1},\dots,F_{n}$ независимы, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j)=\mathbf{E}[1-F_{0,n}(0);\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}=j] \\ &\quad =\mathbf{E}[ 1-F_{0,j}(F_{j,n}(0));\, S_{j}\leqslant K-(S_{n}-S_{j}),\, \tau_{n}=j] \\ &\quad =\int_{K}^{\infty }\int_{0}^{1}\mathbf{P}(F_{0,t}(0)\in ds,\, S_{t}\in dx,\, L_{t}\geqslant 0) \, \mathbf{E}[1-F_{0,j}(s);\, S_{j}\leqslant K-x,\, \tau_{j}=j] . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наша цель состоит в исследовании асимптотического поведения величины
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}[ 1-F_{0,j}(s);\, S_{j}\leqslant K-x,\, \tau _{j}=j]
\end{equation*}
\notag
$$
при $j\to\infty$ для фиксированных $s\in [ 0,1] $ и $x\geqslant K$.
Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{E}[ 1-s^{Z_{j}}\mid \mathcal{E}] &=\mathbf{E}\bigl[ \mathbf{E}[ 1-s^{Z_{j}}\mid Z_{[j/2]}] \mathcal{E}\bigr]=\mathbf{E}\bigl[ 1-(F_{[ j/2],j}(s)) ^{Z_{[j/2]}}\bigm|\mathcal{E}\bigr] \\ &=\mathbf{E}\bigl[ 1-(F_{[ j/2],j}(s))^{\exp\{ S_{[ j/2] }-S_{j}\} Z_{[j/2]} \exp \{ -S_{[j/2] }\} \exp \{ S_{j}\} }\bigm| \mathcal{E}\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $w\geqslant 0$, $0\leqslant b\leqslant 1$, $z\in \mathbb{R}$ введем функцию
$$
\begin{equation*}
\Psi _{K-x}(w,b,z)=\bigl(1-b^{w\exp \{ z\} }\bigr)e^{-z}I\{ z\leqslant K-x\},
\end{equation*}
\notag
$$
полагая по определению, что $0^{0}=1$. Продолжим функцию $\Psi _{K-x}$ на другие значения троек $w,b,z$ так, чтобы получить ограниченную гладкую функцию во всех точках, кроме точек $(0,0,z)$ и $(w,b,K-x)$, в которых мы неизбежно будем иметь разрывы. Наша цель – применить к функции $\Psi _{K-x}$ лемму 5. Однако эту лемму можно применять лишь к ограниченным непрерывным функциям. Покажем, что в ситуации с ВПСС это препятствие можно обойти.
Используя введенные обозначения, запишем равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}[ 1-F_{0,j}(s);\, S_{j}\leqslant K-x,\, \tau _{j}=j] \nonumber \\ &\qquad=\mathbf{E}\bigl[ \Psi _{K-x}(\widehat{W}_{j},\widetilde{B}_{j}(s),S_{j})e^{S_{j}};\, \tau _{j}=j\bigr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
\widehat{W}_{j}:=Z_{[j/2]}e^{-S_{[ j/2] }}, \qquad \widetilde{B}_{j}(s):=(F_{[ j/2],j}(s)) ^{\exp \{ S_{[ j/2]}-S_{j}\} }.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как последовательность $\{ \widehat{W}_{j},\, j\geqslant 1\} $ является неотрицательным мартингалом, то при $j\to \infty $
$$
\begin{equation*}
\widehat{W}_{j}=Z_{[j/2]}e^{-S_{[ j/2] }}\to \widehat{W}_{\infty } \quad \mathbf{P}_{z}^{+}\text{-п.н.,}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat{W}_{\infty }$ – некоторая неотрицательная случайная величина. Более того, из утверждения 3.1 статьи [1] следует, что
для любого $z\geqslant 0$. (Оценка (7.11) была доказана в [1] лишь для меры $\mathbf{P}_{0}^{+}$. Для того, чтобы убедиться в справедливости этого неравенства для любого $z>0$ достаточно заметить, что начальное значение сопровождающего случайного блуждания не влияет на законы размножения частиц, и полностью повторить соответствующие рассуждения из [1] с заменой $S_{\ast }$ на $S_{\ast}+z$.) Далее, согласно лемме 3.2 в [2] последовательность
$$
\begin{equation*}
B_{j}(s):=(F_{[ j/2],0}(s))^{\exp \{ -S_{[j/2] }\}}, \qquad j=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
является неубывающей и $B_{j}(s)\geqslant s^{\exp \{ -S_{0}\} }$. Значит,
$$
\begin{equation*}
B_{j}(s)\to B_{\infty }(s)\geqslant s^{\exp \{ -S_{0}\}}=s \quad \mathbf{P}^{-}\text{-п.н.}
\end{equation*}
\notag
$$
при $j\to \infty $. В силу равенства
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(\widetilde{B}_{j}(s)\geqslant s)=\mathbf{P}(B_{j}(s)\geqslant s)=1
\end{equation*}
\notag
$$
вторая случайная величина в выражении $\Psi _{K-x}(\widehat W_{j},\widetilde{B}_{j}(s),S_{j})$ отделена от $0$ с вероятностью $1$.
Поэтому, желая применить лемму 5 к функции $\Psi _{K-x}$, мы можем рассматривать эту функцию лишь в области $(w,b,z\neq K-x)$ с $b>0$, в которой эта функция непрерывна. Наконец, разрыв в точке $z=K-x$ имеет вероятность $0$ относительно меры
$$
\begin{equation*}
\mu (dz) :=K_{1}e^{-z}U(z)\, \mathbf I\{ z\geqslant 0\}\, dz,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\displaystyle K_{1}^{-1}:=\int_{0}^{\infty }e^{-z}U(z)\,dz$.
Приведенные выше рассуждения позволяют нам применить лемму 5 и заключить, что при $j\to \infty $
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbf{E}[ \Psi_{K-x}(\widehat{W}_{j},\widetilde{B}_{j}(s),S_{j})e^{S_{j}};\, \tau _{j}=j] }{\mathbf{E}[ e^{S_{j}};\, \tau _{j}=j]}\to h(s,K-x),
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
где функция
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &h(s,K-x) \\ &\qquad:=K_{1}\iiint \Psi _{K-x}(w,b,-z)\, \mathbf{P}_{z}^{+}(\widehat{W}_{\infty }\in dw) \, \mathbf{P}^{-}(B_{\infty }(s)\in db)\, e^{-z}U(z)\,dz \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
ограничена.
Как было показано при доказательстве леммы 3.4 в [2], при выполнении условий B1 и B2 неравенство $B_{\infty }(s)<1$ справедливо $\mathbf{P}^{-}$-п.н. Следовательно, правая часть соотношения (7.12) положительна. Используя неравенство
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}[ 1-F_{0,j}(s);\, S_{j}\leqslant K-x,\, \tau _{j}=j] \leqslant \mathbf{E}[ e^{S_{j}};\, \tau _{j}=j]
\end{equation*}
\notag
$$
и теорему о мажорируемой сходимости, получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{j\to \infty }\int_{K}^{\infty }\int_{0}^{1}\mathbf{P}(F_{0,t}(0)\in ds,\, S_{t}\in dx,\, L_{t}\geqslant 0)\, \frac{\mathbf{E}[1-F_{0,j}(s);\, S_{j}\leqslant K-x,\, \tau _{j}=j] }{\mathbf{E}[e^{S_{j}};\, \tau_{j}=j]} \notag \\ &\qquad =\int_{K}^{\infty }\int_{0}^{1}\mathbf{P}(F_{0,t}(0)\in ds,\, S_{t}\in dx,\, L_{t}\geqslant 0) h(s,K-x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
Согласно (1.6)
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}[ e^{S_{j}};\, \tau _{j}=j]=\mathbf{E}[e^{S_{j}};\, M_{j}<0] \sim g_{\alpha,\beta}(0)b_{j}\int_{0}^{\infty}e^{-w}U(w)\,dw
\end{equation*}
\notag
$$
при $j\to \infty $. Опираясь на этот факт и суммируя соотношение (7.13) по $t$ от $0$ до $\infty$, заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &G_{\mathrm{right}}(K):=\lim_{J\to \infty }\lim_{n\to \infty}\frac{\mathbf{P}(Z_{n}>0;\, S_{n}\leqslant K,\, \tau_{n}\in [ n-J+1,n])}{b_{n}} \notag \\ &\qquad =g_{\alpha,\beta }(0)\int_{0}^{\infty }e^{-w}U(w)\,dw \notag \\ &\qquad\qquad \times \int_{K}^{\infty }\int_{0}^{1}\sum_{t=0}^{\infty} \mathbf{P}(F_{0,t}(0)\in ds,\, S_{t}\in dx,\, L_{t}\geqslant 0) h(s,K-x)>0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Неравенство $G_{\mathrm{right}}(K)<\infty $ следует из (6.4) и оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{P}(Z_{n}>0,\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}\in [ n-J+1,n]) \\ &\qquad =\mathbf{E}[ 1-F_{0,n}(0);\, S_{n}\leqslant K,\, \tau _{n}\in [n-J+1,n]] \\ &\qquad \leqslant \mathbf{E}[ e^{S_{\tau _{n}}};\, S_{n}\leqslant K,\, \tau_{n}\in [ n-J+1,n]]=R(n-J+1,n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. БлагодарностьАвторы выражают благодарность рецензенту, конструктивные замечания которого позволили улучшить изложение представленных в статье результатов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VatDonDya24} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|