| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 2 статье) Модули полустабильных пучков ранга Д. А. Васильевa, А. С. Тихомировb a Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва b Факультет математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10087e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1.В 1980 г. Р. Хартсхорн, исследуя в работе [15] спектры стабильных рефлексивных когерентных пучков ранга $2$ на проективном пространстве $\mathbb{P}^3$, доказал ограниченность третьего класса Черна $c_3$ этих пучков при фиксированных первом и втором классах Черна $c_1$ и $c_2$. Полученные им точные оценки для класса $c_3$ имеют вид (см. [15; теорема 8.2])
$$
\begin{equation}
c_3\leqslant c^2_2-c_2+2 \quad\text{при }\ c_1=0, \qquad c_3\leqslant c^2_2 \quad\text{при }\ c_1=-1.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
В этой же работе доказана неприводимость, гладкость и рациональность пространств модулей таких пучков для $c_1=-1$, произвольного $c_2>0$ и максимального $c_3=c^2_2$. В 2018 г. Б. Шмидт в работе [25], исследуя свойства тилт-стабильности в производной категории $\mathrm{D}^b(\mathbb{P}^3)$, доказал, что оценки (1.1) верны для всех полустабильных пучков ранга $2$ на $\mathbb{P}^3$, и дал явное описание их пространства модулей для $-1\leqslant c_1\leqslant0$, $c_2>0$ и максимального $c_3$. Как следствие он получил, что эти пространства являются неприводимыми гладкими рациональными проективными многообразиями. Нетрудно видеть, что пространства модулей рефлексивных пучков, описанные Хартсхорном, являются открытыми подмножествами этих многообразий (см. теорему 1.4 ниже). Отметим также, что совсем недавно в работе [27] 2023 г. Шмидт обобщил вышеуказанные результаты на случай пучков всех рангов от 0 до 4 на $\mathbb{P}^3$. В настоящей статье изучаются пространства модулей полустабильных пучков ранга $2$ на рациональных трехмерных многообразиях Фано основной серии. Таких многообразий четыре – это проективное пространство $X_1=\mathbb{P}^3$, трехмерная квадрика $X_2$, полное пересечение $X_4$ двух квадрик в пространстве $\mathbb{P}^5$ и сечение $X_5$ грассманиана $\operatorname{Gr}(2,5)$, вложенного по Плюккеру в пространство $\mathbb{P}^9$, подпространством $\mathbb{P}^6$ (см., например, [1] или [16]). Здесь нижний индекс многообразия $X_i$ есть его проективная степень. Классы Черна пучков $E$ на $X=X_i$ определяются целыми числами $c_1$, $c_2$, $c_3$ (см. формулы (2.3) ниже), и соответствующие пространства модулей (схемы модулей Гизекера–Маруямы) полустабильных пучков ранга $2$ на $X$ будем обозначать $M_X(2;c_1,c_2,c_3)$. Первое направление исследования в настоящей статье касается вопроса об ограниченности третьего класса Черна $c_3$ полустабильных пучков ранга $2$ на $X$ при фиксированных $c_1\in\{-1,0\}$ и $c_2\geqslant0$ и получении оценок на третий класс Черна $c_3$. Пользуясь техникой тилт-стабильности в производной категории $\mathrm{D}^b(X)$, мы даем полный ответ на этот вопрос для трехмерной квадрики $X_2$ в следующей теореме (см. пункты (3.1)–(4.2) в теореме 3.1). Теорема 1.1. (i) Пусть $E$ – полустабильный пучок на квадрике $X_2$ ранга $2$ с $c_1=-1$. Тогда $c_2\geqslant0$ и $c_3\leqslant\frac12c_2^2$, если $c_2$ четно, и, соответственно, $c_3\leqslant\frac12(c_2^2-1)$, если $c_2$ нечетно. (ii) Пусть $E$ – полустабильный пучок ранга $2$ с $c_1(E)=0$. Тогда $c_2\geqslant0$ и $c_3\leqslant\frac 12c_2^2$, если $c_2$ четно, и, соответственно, $c_3\leqslant\frac 12(c_2^2+1)$, если $c_2$ нечетно. Эти оценки являются точными для всех $c_3\geqslant0$. Доказательство этой теоремы основано на исследовании взаимосвязи между тилт-полустабильностью и полустабильностью по Бриджланду в $\mathrm{D} ^b(X_2)$. Ключевым здесь является важный технический результат Шмидта (2014 г.) об описании подкатегории в $\mathrm{D}^b(X_2)$, порожденной парами кручения в смысле Бриджланда, см. предложение 2.4. К сожалению, к настоящему моменту не известно аналогов этого результата для многообразий $X_4$ и $X_5$. Поэтому для этих многообразий не удается получить тем же методом точные оценки сверху на класс $c_3$ для всех полустабильных пучков ранга $2$ на $X_4$ и $X_5$. Однако, применяя более традиционную технику, использующую поведение стабильных пучков при стандартных бирациональных перестройках $X_4\dashrightarrow X_1$ и $X_5\dashrightarrow X_2$, мы даем частичный ответ на вопрос об ограниченности $c_3$ для достаточно широкого класса пучков на $X_4$ и $X_5$. А именно, мы рассматриваем стабильные рефлексивные пучки ранга $2$ с $c_1= 0$, называемые в статье пучками общего типа. Это пучки $E$ на $X_i$, $i=4,5$, такие, что $E|_l\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}^{\oplus2}$ для общей прямой $l\subset X_i$, а прямые, для которых либо $E|_l\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(a)\oplus \mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-a)$, где $a\geqslant2$, либо $E|_l$ не локально свободен, составляют подмножество размерности $\leqslant0$ в базе семейства прямых на $X_i$ (см. определение 4.1). В теореме 4.7 мы приводим примеры бесконечных серий компонент пространств модулей полустабильных пучков, в которых общий пучок является рефлексивным пучком общего типа. (Предположительно, свойство быть пучком общего типа верно для всех стабильных рефлексивных пучков ранга $2$ с $c_1=0$, т.е., возможно, для них имеет место аналог теоремы Грауэрта–Мюлиха, справедливой для стабильных рефлексивных пучков ранга $2$ на $X_1$.) Для пучков общего типа мы доказываем следующую теорему (см. теоремы 6.2 и 6.5). Теорема 1.2. Пусть $E$ – стабильный рефлексивный пучок ранга $2$ общего типа с классами Черна $c_1=0$, $c_2>0$, $c_3$ на многообразии $X_4$ или $X_5$. Тогда для класса $c_3$ пучка $E$ верны следующие неравенства. (i) На $X_4$: $c_3\leqslant c_2^2-c_2+2$. (ii) На $X_5$: $c_3\leqslant\frac 29c_2^2$, если $c_2$ четно, и, соответственно, $c_3\leqslant\frac 29c_2^2+\frac 12$, если $c_2$ нечетно. Вопрос о том, точны ли эти оценки, является открытым. 1.2.Вторым направлением исследования в настоящей статье является построение новых бесконечных серий (с растущим классом $c_2$) компонент пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на многообразиях $X_1$, $X_2$, $X_4$ и $X_5$, включающее явное описание общих1 пучков в этих компонентах. Первые две бесконечные серии таких пучков на $X_1=\mathbb{P}^3$ были построены Р. Хартсхорном в работе [14] в 1978 г. для векторных расслоений (это серия инстантонных компонент с $c_1=0$ и параллельная серия компонент с $c_1=-1$) и в работе [15] в 1980 г. для рефлексивных пучков с $c_1=-1$ и максимальным $c_3$ и с $c_1=0$ и максимальным спектром. В 1978 г. В. Барт и К. Хулек в [6] построили еще одну бесконечную серию семейств стабильных векторных расслоений ранга $2$ на $\mathbb{P}^3$, и в 1981 г. Г. Эллингсруд и С. А. Стрёмме доказали в [12], что эти семейства – открытые подмножества неприводимых компонент пространств модулей. В работе [29] 1985 г. и работе [30] 1987 г. В. К. Ведерников построил новые бесконечные серии семейств стабильных векторных расслоений ранга $2$ на $\mathbb{P}^3$, а в 1984 г. А. П. Рао в [23] построил более общую серию семейств, включающую серии Ведерникова. Л. Эйн в 1988 г. в работе [11] независимо описал эти семейства и доказал, что они являются открытыми подмножествами неприводимых компонент пространств модулей. В 2019 г. А. А. Кытманов, А. С. Тихомиров и С. А. Тихомиров в работе [19] доказали рациональность значительной части компонент этой серии. Большое число новых бесконечных серий компонент пространств модулей на полустабильных пучков ранга $2$ на $\mathbb{P}^3$ было найдено в работе М. Жардима, Д. Маркушевича и А. С. Тихомирова [17] в 2017 г. и в работе Ч. Алмейды, М. Жардима и А. С. Тихомирова [2] в 2022 г., и были описаны общие пучки в этих компонентах. Б. Шмидт в вышеупомянутой работе [25] дал полное описание всех схем модулей стабильных пучков ранга $2$ с максимальным классом Черна $c_3$, доказав их проективность, неприводимость при любых допустимых значениях классов Черна $c_1$ и $c_2$, рациональность и почти во всех случаях гладкость. Отметим, что последнее свойство гладкости – довольно неожиданный феномен для проективных схем модулей Гизекера–Маруямы полустабильных пучков ранга $2$ на трехмерных многообразиях. Что касается многообразий $X_2$, $X_4$ и $X_5$, то к настоящему времени на каждом из них была найдена лишь одна бесконечная серия компонент модулей полустабильных пучков ранга $2$. Это серии компонент, содержащих в качестве открытых множеств семейства инстантонных расслоений. Инстантонные расслоения на $X_2$ были определены Л. Коста и Р. М. Миро-Ройг в [10] в 2009 г., а на $X_4$ и $X_5$ и других многообразиях Фано А. Кузнецовым в [18] в 2012 г. и Д. Фаенци в [13] в 2013 г. В работе [13] Фаенци доказал, что семейства инстантонных расслоений на $X_2$, $X_4$ и $X_5$ действительно составляют открытые подмножества неприводимых приведенных в общей точке компонент пространств модулей, имеющих ожидаемую размерность. В последние годы исследованиям расслоений инстантонной серии посвящено обширное число работ, обзор которых можно найти, например, в [3] и [9]. В настоящей статье мы строим ряд новых бесконечных серий неприводимых рациональных компонент пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на многообразиях $X_1$, $X_2$, $X_4$ и $X_5$, описываем общие пучки в этих компонентах и доказываем их рефлексивность, а также находим размерности построенных компонент. Эти результаты доказаны в теоремах 4.2–4.6. Они собраны в следующей теореме. Теорема 1.3. Пусть $X$ – одно из многообразий $X_1$, $X_2$, $X_4$, $X_5$, и пусть $\mathcal O_X(1)$ – обильный пучок на $X$ такой, что $\operatorname{Pic}(X)= \mathbb{Z}[\mathcal O_X(1)]$. Рассмотрим пучок $E$ ранга $2$ на $X$, задаваемый одним из нетривиальных расширений вида (1) для $X_1$, $X_2$, $X_4$, $X_5$ в случае $i=j=1$, $k\geqslant1$, $n=\lceil k/2\rceil$, $m<-n$, (2) для $X_1$, $X_4$, $X_5$ в случае $i=2$, $j=1$, $k\geqslant1$, $n=\lfloor k/2\rfloor$, $m<-n$, (3) для $X_2$ в каждом из случаев (3.1) $i=1$, $j=2$, $n=1$, $m\leqslant-1$, (3.2) $i=3$, $j=1$, $k\geqslant1$, $n=\lfloor k/2\rfloor+1$, $m\leqslant-n$, (3.3) $i=3$, $j=2$, $n=1$, $m\leqslant-1$ множество $M$ является гладким плотным открытым подмножеством неприводимой компоненты $\overline{M}$ схемы модулей $M_X(v)$. При этом $M$ является тонким пространством модулей, и рефлексивные пучки составляют в $M$ плотное открытое множество. Более того, все компоненты $\overline{M}$ бесконечных серий (1), (2) и (3.1)–(3.3) являются рациональными многообразиями для каждого из многообразий $X_i$, $l=1,2,4,5$, кроме серии (2) для $X=X_4$, в которой каждая компонента нерациональна. Кроме того, во всех случаях найдены размерности компонент $\overline{M}$ как многочлены из $\mathbb{Q}[k,m,n]$ либо $\mathbb{Q}[m]$ соответственно. 1.3.Значительную часть содержания настоящей статьи составляет исследование полустабильных пучков ранга $2$ с максимальным классом $c_3$ на квадрике $X_2$. Оно показывает, что для $c_1\in\{-1,0\}$ и всех значениях класса $c_2$, кроме нескольких малых значений, всякий такой пучок задается расширением (1.2), т.е. в обозначениях (1.3) мы имеем равенство $M=\overline{M}$. В этом случае конструкция доказательства теоремы 1.3 допускает существенное уточнение, дающее полное описание всех пространств модулей полустабильных пучков с максимальным классом $c_3$ на $X_2$. В оставшихся случаях малых значений $c_2$ и максимального $c_3\geqslant0$ также удается получить явное описание пространств модулей. (Единственный случай отрицательного максимального $c_3$ – случай $(c_1,c_2,c_{3\max})=(0,1,-1)$ – указан в замечании 3.1.) Эти результаты, доказанные в теоремах 5.1–5.4, собраны в следующих двух теоремах. Теорема 1.4. Пусть $X=X_2$ – квадрика, а $M_X(v)$ – схема модулей Гизекера–Маруямы полустабильных пучков $E$ ранга $2$ на $X$ с классами Черна $(c_1,c_2,c_3)$, где $c_1\in\{-1,0\}$, $c_2\geqslant0$, $c_3=c_{3\max}\geqslant0$ максимален при каждом $c_2$, и где $H=c_1(\mathcal O_X(1))$. Тогда имеют место следующие утверждения. (1.i) При $c_1=-1$, четном $c_2=2p$, $p\geqslant2$, и $c_{3\max}= \frac12c_2^2$ многообразие $M_X(v)$ является грассманизацией двумерных факторпространств векторного расслоения ранга $\frac14(c_2+2)^2$ на пространстве $\mathbb{P}^4$, определяемого первой формулой (4.15) при $n=1$ и $m=-p$. При этом $\dim M_X(v)=\frac12(c_2+2)^2$. (1.ii) При $c_1=-1$, нечетном $c_2=2p+1$, $p\geqslant1$, и $c_{3\max}= \frac12(c_2^2-1)$ многообразие $M_X(v)$ является грассманизацией двумерных факторпространств векторного расслоения ранга $\frac14(c_2+1)(c_2+3)$ на грассманиане $\mathbb{G}=\operatorname{Gr}(2,4)$, определяемого второй формулой (4.15) при $m=-p$. При этом $\dim M_X(v)=\frac12(c_2+1)(c_2+3)$. (1.iii) При $c_1=0$, нечетном $c_2=2p+1$, $p\geqslant1$, и $c_{3\max}= \frac12(c_2^2+1)$ многообразие $M_X(v)$ является проективизацией векторного расслоения ранга $\frac12(c_2+1)(c_2+3)$ на пространстве $\mathbb{P}^4$, определяемого формулой (4.38) при $n=1$ и $m=-p$. При этом $\dim M_X(v)=\frac12c_2^2+2c_2+\frac92$. (1.iv) При $c_1=0$, четном $c_2=2p$, $p\geqslant3$, и $c_{3\max}= \frac12c_2^2$ многообразие $M_X(v)$ является проективизацией векторного расслоения ранга $\frac12c_2^2+2c_2+1$ на грассманиане $\mathbb{G}$, определяемого формулой (4.54) при $m=1-p$. При этом $\dim M_X(v)=\frac12c_2^2+2c_2+4$. (2) Во всех вышеуказанных случаях схема $M_X(v)$ неприводима и является гладким рациональным проективным многообразием, все пучки из $M_X(v)$ стабильны, общий пучок из $M_X(v)$ рефлексивен и $M_X(v)$ – тонкое пространство модулей. Теорема 1.5. В условиях и обозначениях теоремы 1.4 справедливы следующие утверждения. (1) При $c_1=-1$, $c_2=1$ и $c_{3\max}=0$ многообразие $M_X(v)$ – точка $[\mathcal S(-1)]$. (2) При $c_1=c_2=c_{3\max}=0$ многообразие $M_X(v)$ – точка $[\mathcal O_X^{\oplus2}]$. (3) При $c_1=-1$, $c_2=2$ и $c_{3\max}=2$ имеем $M_X(v)\simeq G(2,5)$. (4) При $c_1=0$, $c_2=2$ и $c_{3\max}=2$ схема $M_X(v)$ неприводима, имеет размерность 9 и не является гладкой. (5) При $c_1=0$, $c_2=4$ и $c_{3\max}=8$ схема $M_X(v)= M_X(2;0,4,8)$ является объединением двух неприводимых компонент $M_1$ и $M_2$. Эти компоненты описываются следующим образом. (5.i) $M_1$ – гладкое рациональное многообразие размерности 20, являющееся проективизацией локально свободного пучка ранга 17 на грассманиане $\mathbb{G}$. $M_1$ – тонкое пространство модулей, и все пучки из $M_X(v)_1$ стабильны. При этом схема $M_X(v)$ неособа вдоль $M_1$. (5.ii) Схема $M_2$ неприводима, имеет размерность 21, и полистабильные пучки из $M_2$ составляют замкнутое подмножество размерности 12 в $M_2$, в котором схема $M_X(v)$ не является гладкой. Последнее утверждение (iii) теоремы 5.4 мы выделим ввиду его важности в виде отдельной теоремы. Теорема 1.6. Для квадрики $X=X_2$ схема $M_X(2;0,4,8)$ несвязна: а ее неприводимые компоненты $M_1$ и $M_2$ описаны выше в утверждениях (5.i)–(5.ii) теоремы 1.5. Этот результат дает первый пример несвязной схемы модулей полустабильных пучков ранга $2$ на гладком проективном трехмерном многообразии. Во всех известных до настоящего времени немногочисленных случаях, когда обсуждался вопрос о связности схемы модулей $M_X(2;c_1,c_2,c_3)$ при фиксированных $c_1$, $c_2$, $c_3$, объединение всех известных компонент схемы модулей оказывалось связным. В частности, в работе [17; теорема 25, теорема 27] доказана связность схемы $M_{\mathbb{P}^3}(2;0,2,0)$ и связность объединения известных к 2017 г. семи неприводимых компонент схемы $M_{\mathbb{P}^3}(2;0,3,0)$, и там же в [17; предложение 24] для произвольного положительного значения $n$ доказана связность объединения некоторого растущего с ростом $n$ числа известных компонент схемы $M_{\mathbb{P}^3}(2;0,n,0)$. В работе [2; основная теорема 3] доказана связность схем $M_{\mathbb{P}^3}(2;-1,2,m)$ для всех допустимых положительных значений $m$, а именно, для $m=0,2, 4$. По мнению авторов, одной из возможных причин несвязности схемы $M_{X_2}(2;0,4,8)$ в теореме 1.6 может быть тот факт, что квадрика $X_2$, в отличие от $\mathbb{P}^3$, не является торическим многообразием. 1.4.Перейдем к краткому изложению содержания статьи. В § 2 приведены необходимые технические средства для работы в производных категориях когерентных пучков на многообразиях Фано, которые используются в дальнейшем. В § 3 доказывается ключевой результат статьи – теорема 3.1 об ограниченности третьего класса Черна $c_3$ полустабильных объектов, в том числе пучков, в $\mathrm{D}^b(X_2)$ и дается их полная классификация для максимальных значений $c_3\geqslant0$. В § 4 построены новые бесконечные серии компонент пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на многообразиях $X_1$, $X_2$, $X_4$, $X_5$. Как частный случай этих серий в § 5 описываются пространства модулей полустабильных пучков ранга $2$ с максимальным третьим классом Черна на квадрике $X_2$. В конце того же параграфа доказывается несвязность пространства модулей $M_{X_2}(2;0,4,8)$. Параграф 6 посвящен доказательству ограниченности класса $c_3$ полустабильных рефлексивных пучков ранга $2$ общего типа с $c_1=0$ на многообразиях $X_4$ и $X_5$. ОбозначенияВ работе используются следующие обозначения: $\mathbf k=\mathbb{C}$ – основное поле, $X_1$ – трехмерное проективное пространство $\mathbb{P}^3$, $X_2$ – гладкая трехмерная квадрика в $\mathbb{P}^4$, $X_4$ – гладкое пересечение двух четырехмерных квадрик в $\mathbb{P}^5$, $X_5$ – гладкое сечение грассманиана $G(2,5)$, вложенного по Плюккеру в пространство $\mathbb{P}^9$, подпространством $\mathbb{P}^6$, $\mathcal S$ – спинорное расслоение на квадрике $X_2$ с $\det\mathcal S\cong\mathcal O_Q(1)$, $X$ – одно из многообразий $X_1$, $X_2$, $X_4$, $X_5$, $H$ – положительная образующая группы Пикара $\operatorname{Pic}X\simeq\mathbb{Z}$ – класс гиперплоского сечения при вложении $X=X_i\hookrightarrow \mathbb{P}^{2+i}$, $i=1,2$, $X_i\hookrightarrow\mathbb{P}^{1+i}$, соответственно, $i=4,5$, $\operatorname{Coh}(X)$ – категория когерентных пучков на $X$, $[E]$ – класс $S$-эквивалентности $H$-полустабильного по Гизекеру пучка $E\in\operatorname{Coh}(X)$, $\mathrm D^b(X)$ – ограниченная производная категория когерентных пучков на $X$, $\mathcal H^{i}(E)$ – $i$-я группа когомологий комплекса $E\in\mathrm D^b(X)$, $\operatorname{ch}(E)$ – характер Черна объекта $E \in\mathrm D^b(X)$, $\operatorname{ch}_{\leqslant m}(E)$ – $(\operatorname{ch}_0(E), \dots, \operatorname{ch}_m(E))$, $M_X(v)$ – пространство (схема) модулей $H$-полустабильных по Гизекеру, пучков $E$ на $X$ с $\operatorname{ch}(E)=v$, $M_X(r;c_1,c_2,c_3)$ – альтернативное, более традиционное, обозначение схемы модулей $M_X(v)$, где $r$, $c_1$, $c_2$, $c_3$ – ранг и классы Черна пучка $[E]\in M_X(v)$, $\operatorname{ext}^i(\mathcal F,\mathcal G)$ – $:=\dim\operatorname{Ext}^i(\mathcal F,\mathcal G)$ для когерентных пучков $\mathcal F$ и $\mathcal G$ на $X$. § 2. Предварительные сведения2.1.В этом параграфе собраны необходимые определения и результаты, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Пусть $X$ – одно из многообразий $X_i$, $i=1,2,4,5$. Кольцо когомологий $H^*(X,\mathbb{Z})$ порождено классом гиперплоского сечения $H\in H^2(X,\mathbb{Z})$, прямой $L\in H^4(X,\mathbb{Z})$ (понимаемой как проективная прямая в пространстве $\mathbb{P}^{2+i}\supset X_i=X$) и точки $\{\mathrm{pt}\}\in H^6(X, \mathbb{Z})$ (для простоты мы будем также обозначать класс точки через 1). При этом
$$
\begin{equation}
H^2=iL, \qquad H\cdot L=1, \qquad H^3=i, \qquad X=X_i, \quad i=1,2,4,5.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Наклон когерентного пучка $E\in\operatorname{Coh}(X)$ определяется как
$$
\begin{equation*}
\mu(E)=\frac{(H^2\cdot\operatorname{ch}_1(E))}{(H^3\cdot\operatorname{ch}_0(E))}
\end{equation*}
\notag
$$
(в случае деления на 0 полагаем $\mu(E)=+\infty$). Когерентный пучок $E$ называется $\mu$-(полу)стабильным, если для любого собственного подпучка $0\ne F\hookrightarrow E$ выполнено неравенство $\mu(F)<(\leqslant)\mu(E/F)$. Пусть $f, g \in \mathbb{R}[m]$ – многочлены. Если $\deg(f) < \deg(g)$, то полагаем $f > g$. Если $d = \deg(f) = \deg(g)$ и $a$, $b$ суть старшие коэффициенты в $f$, $g$ соответственно, то полагаем $f < (\leqslant) g$ если ${f(m)}/{a} < (\leqslant){g(m)}/{b}$ для всех $m \gg 0$. Для произвольного пучка $E\in\operatorname{Coh}(\mathbb{P}^3)$ определим числа $a_i(E)$ для $i \in \{0,1, 2, 3\}$ через многочлен Гильберта $P(E, m):=\chi(E(m))=a_3(E)m^3+a_2(E) m^2+ a_1(E) m + a_0(E)$. Кроме того, положим $P_2(E,m):=a_3(E)m^2+a_2(E)m+a_1(E)$. Пучок $E \in \operatorname{Coh}(\mathbb{P}^3)$ называется (полу)стабильным (по Гизекеру) (соответственно 2-(полу)стабильным (по Гизекеру)), если для любого собственного подпучка $0\ne F \hookrightarrow E$ выполнено неравенство $P(F, m) < (\leqslant) P(E/F, m)$ (соответственно неравенство $P_2(F, m) < (\leqslant) P_2(E/F, m)$). Стабильность, 2-стабильность и $\mu$-стабильность пучка связаны соотношениями: Напомним понятие тилт-стабильности. Пусть $\beta\in\mathbb{R}$. Определим скрученный характер Черна как $\operatorname{ch}^\beta=e^{-\beta H}\cdot\operatorname{ch}$. Отметим, что для $\beta\in\mathbb{Z}$ и любого $E\in\mathrm D^b(X)$ верно равенство $\operatorname{ch}^\beta(E)=\operatorname{ch}(E(-\beta))$. Приведем явные формулы для компонент $\operatorname{ch}_i^\beta=\operatorname{ch}_i^\beta(E)$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{ch}_0^\beta=r, \qquad \operatorname{ch}_1^\beta=\operatorname{ch}_1-\beta H\operatorname{ch}_0, \qquad \operatorname{ch}_2^\beta=\operatorname{ch}_2-\beta H\operatorname{ch}_1+ \frac{\beta^2}{2} H^2\operatorname{ch}_0,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation} \operatorname{ch}_3^\beta=\operatorname{ch}_3-\beta H\operatorname{ch}_2+\frac{\beta^2}{2} H^2\operatorname{ch}_1-\frac{\beta^3}{6} H^3\operatorname{ch}_0.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В частности, для
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag X=X_2\quad\text{и}\quad E\in\mathrm D^b(X), \\ \notag v=\operatorname{ch}(E)=(r,cH,dH^2,e[\mathrm{pt}]), \qquad r,c\in\mathbb{Z}, \quad d\in\frac{1}{2}\mathbb{Z}, \quad e\in\frac{1}{6}\mathbb{Z}, \end{gathered}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
c(E)=(1,c_1(E),c_2(E),c_3(E))=(1,c_1H,c_2[l],c_3[\mathrm{pt}]), \qquad c_1,c_2,c_3\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
имеем:
$$
\begin{equation}
\nonumber \operatorname{ch}_0^\beta(E)=r, \qquad \operatorname{ch}_1^\beta(E)=(c-\beta r)H, \qquad \operatorname{ch}_2^\beta(E)=\biggl(d-\beta c+\frac{\beta^2}{2} r\biggr)H^2,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{ch}_3^\beta(E)=e-2\beta d+\beta^2c-\frac{\beta^3}{3}r,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
c_1=c, \qquad c_2=c^2-2d, \qquad c_3=2e+\frac13c^3-2cd,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{ch}(E)=\biggl(r,c_1H,\frac12(c_1^2-c_2)H^2,\frac12\biggl(c_3+\frac23c_1^3-c_1c_2\biggr) [\mathrm{pt}]\biggr).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Определим пару кручения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal T_\beta=\{E\in\operatorname{Coh}(X)\colon\text{любой фактор }E\to G \text{ удовлетворяет }\mu(G)>\beta\}, \\ \mathcal F_\beta=\{E\in\operatorname{Coh}(X)\colon\text{любой подпучок }0\ne F\to E\text{ удовлетворяет }\mu(F)\leqslant\beta\} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и категорию $\operatorname{Coh}^\beta(X)$ как подкатегорию $\langle\mathcal F_\beta[1],\mathcal T_\beta\rangle$ в $D^b(X)$. Для $\alpha\in\mathbb{R}_+$ тилт-наклон объекта $E\in\operatorname{Coh}^\beta(X)$ определяется как
$$
\begin{equation*}
\nu_{\alpha,\beta}(E)=\nu_{\alpha,\beta}(\operatorname{ch}_0(E), \operatorname{ch}_1(E),\operatorname{ch}_2(E))=\frac{H\cdot \operatorname{ch}_2^\beta(E)-(\alpha^2/2)H^3\cdot\operatorname{ch}_0^\beta(E)} {H^2\cdot\operatorname{ch}_1^\beta(E)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Объект $E{\kern1pt}{\in}\operatorname{Coh}^\beta(X)$ называется тилт-(полу)стабильным (или $\nu_{\alpha,\beta}$-(полу)стабильным), если для любого подобъекта $0\ne F\hookrightarrow E$ выполняется неравенство $\nu_{\alpha,\beta}(F)<(\leqslant)\nu_{\alpha,\beta}(E/F)$. В случае, когда последнее неравенство становится равенством, будем также говорить, что $E$ дестабилизируется точной тройкой $0\to F\to E\to E/F\to0$. Предложение 2.1. (i) Объект $E\in\operatorname{Coh}^{\beta}(X)$ $\nu_{\alpha,\beta}$-(полу)стабилен для $\beta<\mu(E)$ и $\alpha\gg0$ тогда и только тогда, когда $E$ является 2-(полу)стабильным пучком. (ii) Пусть $X=X_2$. Для любого $\nu_{\alpha,\beta}$-полустабильного объекта $E\in\operatorname{Coh}^\beta(X_2)$ с $\operatorname{ch}(E)=(r,cH,dH^2,e)$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta(E)=\Delta(\operatorname{ch} E):=\frac{(H^2\cdot\operatorname{ch}_1^\beta(E))^2-2(H^3 \cdot \operatorname{ch}_0^\beta(E)) (H\cdot\operatorname{ch}_2^\beta(E))}{(H^3)^2}=c^2-2rd\geqslant 0, \\ \begin{split} W_{\alpha,\beta}(E) &:=\alpha^2\Delta(E)+\frac{4(H\cdot\operatorname{ch}_2^\beta(E))^2}{(H^3)^2} -\frac{6(H^2\cdot\operatorname{ch}_1^\beta(E))\operatorname{ch}_3^\beta(E)}{(H^3)^2} \\ &=(\alpha^2+\beta^2)(c^2-2rd)+(3re-2cd)\beta+4d^2-3ce\geqslant 0. \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Утверждение (i) доказано в [8; предложение 14.2] для К3-поверхностей, но доказательство остается в силе и в нашем случае. Доказательство первого неравенства в (ii) см. в [21; теорема 2.1], а второго – в [21; предположение C]. Множество полустабильных объектов меняется при вариации пар $(\alpha,\beta)$. Рассмотрим $H\cdot\operatorname{ch}_{\leqslant 2}$ как отображение в $\Lambda=\mathbb Z^2\oplus\frac{ 1}{2}\mathbb{Z}$. Численной стенкой относительно вектора $v\in\Lambda$ называется непустое собственное подмножество $W$ верхней полуплоскости $\{\alpha,\beta)\mid \alpha>0\}$, заданное уравнением вида $\nu_{\alpha,\beta}(v)=\nu_{\alpha,\beta}(w)$ для некоторого другого вектора $w\in\Lambda$. Подмножество $\mathcal U$ численной стенки $W$ называется актуальной стенкой (или просто стенкой), если множество полустабильных объектов $E\in D^b(X)$ с $\operatorname{ch}(E)=v$ меняется при переходе через $\mathcal U$. Предложение 2.2 (см. [25; теорема 2.9]). Пусть $v\in\Lambda$ – фиксированный класс. Всюду ниже численные стенки рассматриваются относительно класса $v$. (i) Численные стенки являются либо полуокружностями с центрами на $\beta$-оси, либо лучами параллельными $\alpha$-оси. Если $v_0\neq 0$, то имеется ровно одна вертикальная численная стенка с уравнением $\beta = v_1/v_0$. Если $v_0 = 0$, то актуальных вертикальных стенок нет. (ii) Кривая $\nu_{\alpha, \beta}(v) = 0$ является гиперболой, которая может вырождаться, если $v_0 = 0$ либо $\Delta(v) = 0$. Более того, эта гипербола пересекает все стенки-полуокружности в их верхней точке. (iii) Если две численные стенки, заданные классами $w,u \in \Lambda$, пересекаются, то $v$, $w$ и $u$ линейно зависимы. В частности, эти две стенки совпадают. (iv) Если численная стенка имеет хотя бы одну точку, в которой она является актуальной стенкой, тогда она является актуальной стенкой в каждой точке. (v) Если $v_0\neq0$, то существует наибольшая стенка-полуокружность по обе стороны от единственной вертикальной стенки. (vi) Если имеется актуальная стенка, численно заданная посредством точной тройки тилт-полустабильных объектов $0\to F\to E\to G\to0$ такой, что $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}(E)= v$, то $\Delta(F) + \Delta(G) \leqslant \Delta(E)$. При этом равенство выполняется тогда и только тогда, когда $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}(G)=0$. (vii) Если $\Delta(E) = 0$, то $E$ может дестабилизироваться в единственной численной вертикальной стенке. В частности, линейные расслоения и их сдвиги на единицу являются всюду тилт-полустабильными. 2.2.Всюду ниже в этом параграфе мы рассматриваем случай, когда – трехмерная квадрика. Следующая лемма проверяется прямым вычислением.Лемма 2.1. Пусть $E\in\mathrm D^b(X)$ и $\operatorname{ch}(E)=(r,cH,dH^2,e)$. Тогда уравнение $W_{\alpha,\beta}(E)= 0$ равносильно соотношению $\nu_{\alpha,\beta}(r,cH,dH^2)=\nu_{\alpha,\beta}(2c,4dH,3eH^2)$. В частности, уравнение $W_{\alpha,\beta}(E)=0$ описывает численную стенку в тилт-стабильности. Обозначим радиус стенки-полуокружности $W_{\alpha,\beta}(E)=0$ через $\rho_W(E)$, а ее центр через $s_W(E)$. Центр стенки-полуокружности $\nu_{\alpha,\beta}(E)=\nu_{\alpha, \beta}(F)$ также будем обозначать через $s(E,F)$. Ниже мы будем использовать следующие результаты о тилт-полустабильных объектах. Лемма 2.2 (см. [7; лемма 7.2.1]). Если объект $E\in\operatorname{Coh}^\beta(X)$ является $\nu_{\alpha,\beta} $-полустабильным для $\alpha\gg0$, то выполнено одно из следующих утверждений: (1) $\mathcal H^{-1}(E)=0$ и $\mathcal H^0(E)$ – чистый $\mu$-полустабильный пучок размерности $\geqslant 0$, (2) $\mathcal H^{-1}(E)=0$ и $\mathcal H^0(E)$ – пучок размерности $\leqslant 1$, (3) $\mathcal H^{-1}(E)$ – $\mu$-полустабильный пучок без кручения и $\mathcal H^0(E)$ – пучок размерности $\leqslant 1$. Предложение 2.3 (см. [21; лемма 2.4]). Предположим, что объект $E$ тилт-полустабилен и дестабилизируется либо подобъектом $F\hookrightarrow E$, либо факторобъектом $E\twoheadrightarrow F$ в $\operatorname{Coh}^\beta(X)$, индуцируя непустую стенку-полуокружность $W$. Предположим далее, что $\operatorname{ch}_0(F)>\operatorname{ch}_0(E)\geqslant0$. Тогда радиус $\rho_W$ стенки $W$ удовлетворяет неравенству Напомним конструкцию условий стабильности по Бриджланду на $X$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal T'_{\alpha,\beta} &=\{E\in\operatorname{Coh}^\beta(X)\mid \text{всякий фактор }E\twoheadrightarrow G\ \text{удовлетворяет}\ \nu_{\alpha,\beta}(G)>0\}, \\ \mathcal F'_{\alpha,\beta} &=\{E\in\operatorname{Coh}^\beta(X)\mid \text{всякий подобъект}\ 0\ne F\hookrightarrow E\ \text{удовлетворяет} \\ &\qquad\nu_{\alpha,\beta}(F)\leqslant 0\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и положим $\mathcal A^{\alpha,\beta}(X)=\langle \mathcal F'_{\alpha,\beta}[1],\mathcal T'_{\alpha,\beta}\rangle$. Для любого $s>0$ определим
$$
\begin{equation*}
\lambda_{\alpha,\beta,s}=\frac{\operatorname{ch}^{\beta}_3 - s\alpha^2 H^2\cdot\operatorname{ch}^{\beta}_1}{H\cdot\operatorname{ch}^{\beta}_2 - ({\alpha^2}/{2})H^3\cdot \operatorname{ch}^{\beta}_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Объект $E\in\mathcal A^{\alpha, \beta}(X)$ называется $\lambda_{\alpha, \beta, s}$-(полу)стабильным, если для любого нетривиального подобъекта $F\hookrightarrow E$ имеем $\lambda_{\alpha,\beta,s}(F)<(\leqslant)\lambda_{\alpha,\beta,s}(E)$. В $D^b(X)$ имеется полный сильный исключительный набор $(\mathcal O_X(-1),\mathcal S(-1)$, $\mathcal O_X,\mathcal O_X(1))$, где $\mathcal S$ – спинорное расслоение на $X$. Предложение 2.4 (см. [24], [26; теорема 6.1(2)]). (i) Пусть $\alpha<\frac 13$, $\beta\in [-\frac 12,0]$, $s=\frac 16$. Для любого $\gamma\in\mathbb{R}$ определим пару кручения (ii) Пусть $v$ – характер Черна объекта из $\mathrm D^b(X)$ и $\alpha_0>0$, $\beta_0\in\mathbb{R}$ и $s>0$ такие, что $\nu_{\alpha_0,\beta_0}(v)=0$, $H^2\cdot v_1^{\beta_0}>0$, и $\Delta(v)\geqslant 0$. Предположим, что все $\nu_{\alpha_0, \beta_0}$-полустабильные объекты класса $v$ являются $\nu_{\alpha_0,\beta_0 }$-стабильными. Тогда существует окрестность $U$ точки $(\alpha_0,\beta_0)$ такая, что для всех $(\alpha,\beta)\in U$ таких, что $\nu_{\alpha,\beta}(v) >0$, объект $E\in\operatorname{Coh}^\beta(X)$ с $\operatorname{ch}(E)=v$ является $\nu_{\alpha,\beta}$-полустабильным тогда и только тогда, когда он $\lambda_{\alpha,\beta,s}$-полустабилен. Замечание 2.1. Из доказательства [21; предложение 3.2] следует, что для тилт-полустабильного объекта $E\in\operatorname{Coh}^\beta(X)$ с $\operatorname{ch}(E)=(1,0,-dH^2,e)$ имеет место неравенство $e\leqslant d(d+1)$. В дальнейшем нам потребуются равенства
$$
\begin{equation}
\operatorname{ch}(\mathcal O_X(n))=\biggl(1,nH,\frac {n^2}2H^2,\frac{n^3}3[\mathrm{pt}]\biggr), \qquad \operatorname{ch}(\mathcal S(-1))=\biggl(2,-H,0,\frac16[\mathrm{pt}]\biggr),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
точная тройка пучков на $X$ (см. [24])
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal S(-1)\to V\otimes\mathcal O_X\xrightarrow{\varepsilon}\mathcal S\to 0, \qquad V\cong\mathbf k^4,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
и следующие свойства спинорного расслоения $\mathcal S$ на $X$. В тройке (2.8) эпиморфизм $\varepsilon$ дает изоморфизм в сечениях $h^0(\varepsilon)\colon V\xrightarrow{\cong}H^0(\mathcal S)$. Пусть $B$ – база семейства прямых на $X$. Всюду ниже мы будем отождествлять $B$ с $\mathbb{P}^3$ посредством изоморфизма $f\colon \mathbb{P}^3=\mathbb{P}(V) \xrightarrow{\cong}B$, $\mathbf k v\mapsto l$, где прямая $l$ – это схема нулей сечения $h^0(\varepsilon)(v)$. Пусть $\mathbb{P}^4=\langle X\rangle$ – проективная оболочка квадрики $X$, $\check{\mathbb{P}}^4=|\mathcal O_X(1)|$ и $\mathbb{S}\subset\check{\mathbb{P}}^4\times X$ – универсальное семейство двумерных квадрик (гиперплоских сечений) на $X$. Пусть $\mathbb{G}:=\operatorname{Gr}( 2,V)$ – грассманиан прямых в $\mathbb{P}^3$, и пусть $l_x$ – прямая в $\mathbb{P}^3$, соответствующая точке $x\in\mathbb{G}$. Тогда $f(l_x)$ – это серия образующих прямых на двумерной квадрике $S_x\in\check{\mathbb{P}}^4$. Нетрудно видеть, что $\mu\colon \mathbb{G}\to\check{\mathbb{P}}^4$, $x\mapsto S_x$ – двойное накрытие, разветвленное в двойственной квадрике $\check{X}\subset \check{\mathbb{P}}^4$. Накрытие $\mu\colon \mathbb{G}\to\check{\mathbb{P}}^4$ определяет на $X$ семейство двумерных квадрик $\widetilde{\mathbb{S}}:=\mathbb{G} \times_{\check{\mathbb{P}}^4}\mathbb{S}\subset\mathbb{G}\times X$ с базой $\mathbb{G}$. Тавтологическое подрасслоение $g\colon \mathcal K\to V\otimes\mathcal O_{\mathbb{G}}$ ранга $2$ на $\mathbb{G}$ и эпиморфизм $\varepsilon$ в (2.8) определяют композицию $e\colon \mathcal K\boxtimes\mathcal O_X\xrightarrow{g\boxtimes\mathrm{id}_X}V\otimes\mathcal O _{\mathbb{G}}\boxtimes\mathcal O_X\xrightarrow{\mathrm{id}_{\mathbb{G}} \boxtimes\varepsilon}\mathcal O_{\mathbb{G}}\boxtimes\mathcal S$, и пусть $\mathbb{I} :=\operatorname{im}(e)\otimes\mathcal O_{\mathbb{G}}\boxtimes\mathcal O_X(-1)$. Нетрудно видеть, что $\ker(e)\cong\mathcal O_{\mathbb{G}}(-1)\boxtimes\mathcal S(-1)$. Тем самым, мы имеем точную тройку на $X\times\mathbb{G}$:
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal O_{\mathbb{G}}(-1)\boxtimes\mathcal S(-1)\to\mathcal K\to\mathbb{I}\otimes \mathcal O_{\mathbb{G}}\boxtimes\mathcal O_X(1)\to0.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Для произвольной точки $x\in\mathbb{G}$ ограничение этой тройки на $\{x\}\times X$ дает точную тройку:
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal S(-1)\to\mathcal O^{\oplus2}_X\to\mathcal I(1)\to0, \qquad \mathcal I:=\mathcal I_{\mathbb{P}^1,S}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Здесь $\mathcal I_{\mathbb{P}^1,S}$ – пучок идеалов произвольной прямой $\mathbb{P}^1\subset S$ из серии прямых, определяемой точкой $x$, на двумерной квадрике $S=S_x$.
§ 3. Полустабильные объекты ранга $2$ в $\mathrm{D}^b(X_2)$ с максимальным третьим классом Черна $c_3$3.1.В этом параграфе мы доказываем один из основных результатов статьи – теорему 3.1 об описании полустабильных объектов ранга $2$ из $\mathrm{D}^b(X_2)$, в том числе пучков, на трехмерной квадрике имеющих максимальный третий класс Черна $c_3$. Всюду ниже через $Q_2$ обозначается двумерная квадрика – гиперплоское сечение квадрики $X$ и через $\mathbb{P}^1$ обозначается проективная прямая на поверхности $Q_2$.Теорема 3.1. Пусть $E{\kern1pt}{\in}\!\operatorname{Coh}^\beta(X)$ – тилт-полустабильный объект с $\operatorname{ch}(E)=(2,cH,dH^2,e)$, $d\in\frac{1}{2}\mathbb{Z}$, $e\in\frac{1}{6}\mathbb{Z}$. (1) Если $c=-1$, то $d\leqslant 0$. (1.1) Если $d=0$, то $e\leqslant \frac 16$. В случае $e=\frac16$ имеем $E\cong\mathcal S(-1)$. (1.2) Если $d=-\frac 12$, то $e\leqslant\frac 53$. В случае равенства $E$ дестабилизируется точной тройкой $0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus3}\to E\to\mathcal O_X(-2)[1]\to 0$. (1.3) Если $d\leqslant -1$ – целое число, то $e\leqslant d^2-2d+\frac 16$. В случае равенства $E$ дестабилизируется точной тройкой $0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}\to E\to \mathcal I_{\mathbb{P}^1,Q_2}(d)\to 0$. (1.4) Если $d\leqslant-\frac 32$ – нецелое число, то $e\leqslant d^2-2d+\frac {5}{12}$. В случае равенства $E$ дестабилизируется точной тройкой $0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}\to E\to\mathcal O_{Q_2}(d-\frac 12)\to 0$. (2) Если $c=0$, то $d\leqslant 0$. (2.1) Если $d=0$, то $e\leqslant 0$. В случае равенства $E\cong\mathcal O_X^{\oplus 2}$. (2.2) Если $d=-\frac 12$, то $e\leqslant -\frac 12$. (2.3) Если $d=-1$, то $e\leqslant 1$. В случае $e=1$ пучок $E$ дестабилизируется точной тройкой $0\to \mathcal O_X(-1)^{\oplus 6}\to E\to \mathcal S(-2)^{\oplus 2}[1]\to0$. (2.4) Если $d\leqslant-\frac 32$ – нецелое число, то $e\leqslant d^2+\frac 14$. В случае равенства $E$ дестабилизируется точной тройкой $0\to \mathcal S(-1)\to E\to\mathcal O_{Q_2}(d+\frac 12)\to 0$. (2.5) Если $d=-2$, то $e\leqslant 4$. В случае $e=4$ пучок $E$ дестабилизируется одной из точных троек $0\to\mathcal S(-1)\to E\to \mathcal I_{\mathbb{P}^1,Q_2}(-1)\to 0$, $0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 4}\to E\to\mathcal O(-2)^{\oplus 2}[1]\to0$. (2.6) Если $d\leqslant -3$ – целое число, то $e\leqslant d^2$. В случае равенства $E$ дестабилизируется точной тройкой $0\to \mathcal S(-1)\to E\to\mathcal I_{\mathbb{P}^1,Q_2}(d+1)\to 0$. (3) Пусть $E\in\operatorname{Coh}(X)$ – полустабильный пучок ранга $2$ с $c_1(E)=-H$, $c_2(E)=c_2[l]$, $c_3(E)=c_3[\mathrm{pt}]$. Тогда $c_2\geqslant0$ и (3.1) если $c_2$ четно, то (3.2) если $c_2$ нечетно, то (4) Пусть $E\in\operatorname{Coh}(X)$ – полустабильный пучок ранга $2$ с $c_1(E)=0$, $c_2(E)= c_2[l]$, $c_3(E)=c_3[\mathrm{pt}]$. Тогда $c_2\geqslant0$ и (4.1) если $c_2$ четно, то (4.2) если $c_2$ нечетно, то Замечание 3.1. В утверждениях (1.1)–(1.4), (2.1), (2.3)–(2.6) теоремы максимальное значение $c_{3\max}(E)$ неотрицательно. Утверждение (2.2) дает единственный случай, когда $c_{3\max}(E)=-1$ отрицательно. В этом случае не известно, является ли объект $E$ с классами Черна $c_1(E)=0$, $c_2(E)=1$, $c_3(E)=c_{3\max}(E)=-1$ (полу)стабильным по Гизекеру пучком. 3.2.Доказательство теоремы 3.1 мы предварим серией вспомогательных утверждений – лемм 3.1–3.11. Лемма 3.1. Пусть $E\,{\in}\operatorname{Coh}^\beta(X)$ – тилт-полустабильный объект с $\operatorname{ch}(E)=(2,0,0,e)$. Тогда $e\leqslant 0$, и если $e=0$, то $E\cong \mathcal O_X^{\oplus 2}$. Доказательство. Так как $E\in\operatorname{Coh}^\beta(X)$, то $\beta< 0$. Имеем $ W_{\alpha,\beta}(E)=6e\beta\geqslant 0$, поэтому $e\leqslant 0$. Если $e=0$, то, следуя аргументам из доказательства утверждения [26; предложение 4.1] и используя предложение 2.4, находим $E\cong\mathcal O_X^{\oplus2}$. Лемма доказана. Лемма 3.2. Пусть $E\,{\in}\operatorname{Coh}^\beta(X)$ – тилт-полустабильный объект с $\operatorname{ch}(E)=(2,-H,0,e)$. Тогда $e\leqslant\frac 16$, и если $e=\frac 16$, то $E\cong \mathcal S(-1)$. Доказательство. Так как $E\in\operatorname{Coh}^\beta(X)$, то $\beta<-\frac 12$. Гипербола $\nu_{\alpha,\beta}(E)\,{=}\,0$ пересекает $\beta$-ось в точке $\beta=-1$, поэтому, если существует актуальная стенка-полуокружность, она должна пересекать прямую $\beta=-1$. В нашем случае $H^2\cdot\operatorname{ch}_1 ^{-1}(E)$ имеет наименьшее положительное значение, поэтому если $E$ $\nu_{\alpha,-1}$-полустабилен, он должен быть $\nu_{\alpha,-1} $-полустабильным для любого $\alpha$ [26; лемма 3.5]. Следовательно, для $E$ нет других стенок, кроме единственной вертикальной стенки.
Заметим, что $\nu_{1/4,(2-\sqrt{5})/4}(E(1))=0$, поэтому, применяя предложение 2.4 к $E(1)$, получаем, что $E(1)$ или $E(1)[1]$ принадлежит категории $\mathfrak C$. Решая уравнение $\operatorname{ch}(E(1))=a\operatorname{ch}(\mathcal O_X(-1)[3])+b\operatorname{ch}(\mathcal S(-1)[2])+c\operatorname{ch}(\mathcal O_X[1])+d\operatorname{ch}( \mathcal O_X(1))$, где $a,b,c,d\in\mathbb Z$ одновременно неотрицательны или неположительны, получаем требуемую границу для $\operatorname{ch}_3(E)$, и для максимального его значения находим $a=d=0$, $b=-1$, $c=-4$. Получаем точную тройку $0\to \mathcal S(-2)\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 4}\to E\to 0$. Вычисление показывает, что уравнение $\nu_{\alpha,\beta}(E)=\nu_{\alpha, \beta}(\mathcal O_X(-1))$ не выполняется ни для каких $(\alpha,\beta)$, и $\nu_{\alpha,\beta}(E)>\nu_{\alpha,\beta}(\mathcal O_X(-1))$. Следовательно, не существует морфизма $E\twoheadrightarrow\mathcal O_X(-1)$. Поскольку $\operatorname{Hom}(\mathcal S(-2),\mathcal O_X(-1)) \cong\mathbb{C}^4$, отсюда следует, что любые два инъективных морфизма $\mathcal S(-2) \to\mathcal O_X(-1)^{ \oplus 4}$ с тилт-полустабильным коядром $E$ лежат в одной орбите $\mathrm{GL}(4)$-действия. Поэтому существует единственный с точностью до изоморфизма объект $E$, и точная тройка (2.8) показывает, что $E\cong \mathcal S(-1)$. Лемма доказана. Лемма 3.3. Пусть $E\,{\in}\operatorname{Coh}^\beta(X)$ – тилт-полустабильный объект с $\operatorname{ch}(E)=(2,0,-\frac 12H^2,e)$. Тогда $e\leqslant -\frac 12$. Доказательство. Предположим, что существует стенка-полуокружность, пересекающая прямую $\beta\,{=}\,{-}1$. Имеем $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}^{-1}(E)\,{=}\,(2,2H,H^2/{2})$, поэтому в таком случае существует дестабилизирующий пучок $F\hookrightarrow E$ с $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}(F)=(R,H,xH^2)$. Из условия $\nu_{\alpha,-1}(F)= \nu_{\alpha,-1}(E)$ получаем $x-\frac 14=\alpha^2(R-1)$. Случай $R=1$ невозможен, так как $x\in\frac 12\mathbb Z$; при $R\geqslant 2$ имеем $x>\frac 14$, и это противоречит условию $\Delta(F)\geqslant 0$; если $R\leqslant 0$, то вместо $F$ мы можем работать с пучком $E/F$.
Заметим, что из тилт-полустабильности $E$ следует, что $H^0(E)=0$. Также $H^2(E)\cong\operatorname{Hom}(E,\omega_X[1])=0$, так как при существовании ненулевого морфизма $E\to\omega_X[1]$ мы имели бы стенку-полуокружность, пересекающую прямую $\beta= -1$. Класс Тодда для $X$ имеет вид $\operatorname{td}(T_X)=(1,{3H}/{2},13H^2/{12},1)$. По теореме Римана–Роха находим, что $e+\frac{1}{2}=\chi(E)=-h^1(E)-h^3(E)\leqslant 0$, т.е. $e\leqslant-\frac 12$. Лемма доказана. Лемма 3.4. Пусть $E\,{\in}\operatorname{Coh}^\beta(X)$ – тилт-полустабильный объект с $\operatorname{ch}(E)=(2,0,-H^2,e)$. Тогда $e\leqslant 1$, и если $e=1$, то $E$ дестабилизируется точной тройкой $0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 6}\to E\to\mathcal S(-2)^{\oplus 2}[1]\to 0$. Доказательство. Имеем $\beta<0$, и любая стенка-полуокружность пересекает прямую $\beta=-1$. Так как $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}^{-1}(E)=(2,2H,0)$, то любой дестабилизирующий объект $F\hookrightarrow E$ имеет $\operatorname{ch}^{-1}(F)=(R,H,xH^2,e')$. Тогда равенство $\nu_{\alpha,-1}(F)=\nu_{\alpha,-1}(E)$ приобретает вид $x=(R-1)\alpha^2/2$. Если $R=1$, то $x=0$. Поскольку $\operatorname{ch}_1^{-1}(F)$ минимален, объект $F$ тилт-полустабилен при всех $\alpha>0$, $\beta<0$.
Поскольку $F$ стабилен, $H^0(F)=0$. Если $H^2(F)\neq 0$, то по двойственности Серра существует нетривиальный морфизм $F\to\mathcal O_X(-3)[1]$. Однако такой морфизм определял бы стенку-полуокружность, поэтому $H^2(F)=0$. По теореме Римана–Роха находим, что $e'-\frac{1}{2}=\chi(F)=-h^1(F)-h^3(F)\leqslant 0$. Таким образом, $e'\,{\leqslant}\,\frac 12$. Поскольку $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}(E/F)=\operatorname{ch}_{\leqslant 2}(F)$, также и $\operatorname{ch}_3(E/F)\,{\leqslant}\,\frac 12$. Следовательно, в этом случае $e\leqslant 1$, и равенство достигается при $e'=\frac 12$. Применяя предложение 2.4, получаем для этого случая точную тройку $0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 3}\to F\to \mathcal S(-2)[1]\to 0$, и аналогичную точную тройку для $E/F$, из чего следует утверждение леммы при $R=1$. Наконец, если $R\neq 1$, то без ограничения общности можно считать, что $R\geqslant 2$, тогда $x>0$. Однако уравнение $\Delta(F)\geqslant 0$ влечет, что $x\leqslant\frac 14$, что невозможно, так как $x\in\frac 12\mathbb Z$. Наконец, если у $E$ нет дестабилизирующих подобъектов, задающих стенку-полуокружность, то, проводя для $E$ рассуждения, аналогичные рассуждениям для $F$ в случае $R=1$, получаем требуемое утверждение. Лемма доказана. Лемма 3.5. Пусть $E\in\operatorname{Coh}^\beta(X)$ и $\operatorname{ch}(E)=(2,0, -\frac 32H^2,e)$. Тогда $e\leqslant \frac 52$, и если $e=\frac 52$, то $E$ дестабилизируется точной тройкой $0\to\mathcal S(-1)\to E\to\mathcal O_{Q_2}(-1)\to 0$. Доказательство. Имеем $W_{0,-1}(E)=15-6e$, и если $e\geqslant\frac 52$, то $E$ дестабилизируется при $\beta=-1$, либо точка $\beta=-1,\alpha=0$ является предельной точкой стенки-полуокружности. Вычислением получаем $\operatorname{ch}^{-1}(E)=(2,2H, -\frac 12H,e-\frac 73)$, а значит, существует дестабилизирующий подобъект либо факторобъект $F$ с $\operatorname{ch}_1^{-1}(F)\in\{0,H\}$. Если $\operatorname{ch}^{-1}(F)=(R,H,xH^2,e')$, то соотношение $\nu_{\alpha,1}(E)=\nu_{\alpha,1}(F)$ равносильно равенству $x+\frac 14=\alpha^2(R-1)$. Мы можем считать, что $R>1$; тогда $\Delta(F)\geqslant 0$ влечет $x=0$. Имеем $\operatorname{ch}^{-1}(E/F)=(2-R,H,-\frac 12H^2,e'')$, и из неравенства $\Delta(E/F)\geqslant 0$ получаем $R\in\{2,3\}$.
Пусть $R=2$. Из леммы 3.2 следует, что $e'\leqslant -\frac 16$, и в случае равенства $F\cong \mathcal S(-1)$. Имеем $\operatorname{ch}(E/F)=(0,H,-\frac 32H^2,e''+2)$, и любая стенка для $E/F$ пересекает прямую $\beta=-\frac 32$. Так как $\operatorname{ch}_1^{-3/2}(E/F)=H$, то любой дестабилизирующий подобъект $F'\hookrightarrow E/F$ имеет $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}^{-3/2}(F')=(r,\frac 12H,xH^2)$. Отсюда находим $0=2x-\alpha^2 r$, поэтому, предполагая, что $r>0$, получаем единственную возможность $r=1$, $x=\frac 18$. Из леммы 3.1 следует, что $\operatorname{ch}_3(F')\leqslant -\frac 13$ (в случае равенства $F'\cong\mathcal O_Q(-1)$). Вдобавок, $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}((E/F)/F')=(-1,2H,-2H^2)$, поэтому $\operatorname{ch}_3$ этого объекта меньше или равен $\frac 83$. Из этих неравенств находим $e\leqslant\frac 52$. В случае равенства мы можем считать, что оба объекта $F$ и $E/F$ $\nu_{\alpha,\beta} $-полустабильны, откуда следует, что $E/F\cong\mathcal O_{Q_2}(-1)$. В этом случае мы имеем $\operatorname{Ext}^1(F,E/F)=0$, следовательно, $F$ действительно является подобъектом, а не факторобъектом объекта $E$. Это зануление доказывается с использованием определения исключительного набора и точной тройки (2.8). Если $R=3$, обозначим дестабилизирующий подобъект через $F'\hookrightarrow E$, и $\operatorname{ch}(F')=(3,-2H,\frac 12H^2,e')$. Любая стенка-полуокружность необходимо пересекает прямую $\beta=-1$, но $\operatorname{ch}^{-1}_1(F')=H$. Отсюда $F'(1)[1]\in\mathfrak C$, и вычисление дает $e'\leqslant-\frac 16$. Кроме того, $\operatorname{ch}(E/F')=(-1,2H,-2H^2,e'')$, где $e''\leqslant \frac 83$. Из этих ограничений получаем $e\leqslant\frac 52$. В случае равенства получаем точные тройки $0\to F'\to E\to \mathcal O_X(-2)[1]\to 0$, $0\to \mathcal O_X(-1)^{ \oplus 5}\to F'\to \mathcal S(-2)[1]\to 0$. Из последней точной тройки следует, что $F'\cong\mathcal O_X(-1)\oplus F''$, причем, как и в доказательстве леммы 3.2, $\nu_{\alpha,\beta}(\mathcal O_X(-1))\neq\nu_{\alpha,\beta}(F'')$, поэтому объект $F'$ не является тилт-полустабильным. Получаем, что $e<\frac 52$ в случае $R=3$. Наконец, если $\operatorname{ch}^{-1}_{\leqslant 2}(F)=(r,0,xH^2)$ и $\nu_{\alpha,\beta}(F) =\nu_{\alpha,\beta}(E)$ на стенке-полуокружности, имеющей предельную точку $\beta=-1$, $\alpha=0$, то наклон $\nu_{\alpha,\beta}(F)$ должен стремиться к конечному пределу при стремлении к этой точке вдоль стенки, поэтому $x=0$. Из неравенства $0\leqslant\Delta(E/F)\leqslant\Delta(E)$ следует, что $0\leqslant r\leqslant 6$. Случаи с $r\leqslant 5$ сводятся к разобранному выше случаю $R=2$, а при $r=6$ получаем $(E/F)(1)[1]\in\mathfrak C$, и вычисление дает $\operatorname{ch}_3((E/F)(1))\leqslant -\frac 56$, откуда $\operatorname{ch}_3(E)\leqslant\frac32$. Лемма доказана. Лемма 3.6. Пусть $E\,{\in}\operatorname{Coh}^\beta(X)$ – тилт-полустабильный объект с $\operatorname{ch}(E)=(2,-H,-\frac 12H^2,e)$. Тогда $e\leqslant \frac 53$, и если $e=\frac 53$, то $E$ дестабилизируется точной тройкой $0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 3}\to E\to\mathcal O_X(-2)[1]\to 0$. Доказательство. Предположим, что $e\geqslant\frac 53$. Тогда $W_{0,-3/2}(E)<0$, а значит, существует стенка, пересекающая прямую $\beta=-\frac 32$. Вдобавок, $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}^{-3/2}(E)=(2,2H,\frac 14H^2)$, так что существует дестабилизирующий подобъект либо факторобъект $F$ объекта $E$ с $\operatorname{ch}_1^{-3/2}(F)\in\{\frac 12H,H\}$. Если $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}^{-3/2}(F)=(R,\frac 12H,xH^2)$, то из равенства $\nu_{\alpha,- 3/2}(E)=\nu_{\alpha,-3/2}(F)$ получаем $2x-\frac 18=\alpha^2(2R-1)$. Заметим, что $R$ должно быть нечетным, так как $H^2\cdot \operatorname{ch}^{-3/2}_1(F)$ нечетно. Тогда неравенства $\Delta(F)\geqslant 0,\Delta(E/F)\geqslant 0$ влекут $R\in\{-1,1\}$. Если $R=-1$, то $x=-\frac 18$ и $\operatorname{ch}_3$ максимизируется объектом $F\cong\mathcal O_X(-2)[1] $. Если $R=1$, то $x=\frac 18$ и $F\cong\mathcal O_X(1)$. Если $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}^{-3/2}(F)=(R,H,xH^2)$, то $x-\frac 18=\alpha^2(R-1)$, $R$ четно, и мы можем считать, что $R>1$. Но тогда $R=2$, $x=\frac 14$, $F\cong\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}$. В любом случае мы получаем искомые неравенство и точную тройку.
Лемма доказана. Лемма 3.7. Для $d\in\mathbb{Z}$ пусть $G_d\in\operatorname{Coh}^\beta(X)$ – тилт-полустабильный объект с $\operatorname{ch}(G_d)=(0,H,dH^2,e)$. Тогда выполнено неравенство $e\leqslant d^2-\frac 16$, и в случае равенства имеем $G_d\cong\mathcal I_{\mathbb{P}^1,Q_2}(d+1)$ для некоторой двумерной квадрики $Q_2\subset X$ и прямой $\mathbb{P}^1\subset Q_2$. Доказательство. Кривая $\nu_{\alpha, \beta}(G_d)=0$ является прямой $\beta=d$, и не существует стенок-полуокружностей, так что $(G_d)(-d)[1] \in\mathfrak C$. Вычисление дает искомое неравенство и точную тройку
Как известно, схема нулей $(s)_0$ любого сечения $0\ne s\in H^0(\mathcal S)$ есть приведенная проективная прямая $\mathbb{P}^1\subset X$, откуда получаем точную тройку $0\to\mathcal O_X\xrightarrow{s}\mathcal S\to\mathcal I_{\mathbb{P}^1}(1)\to0$. Отсюда $\operatorname{coker}(\mathcal O_X^{\oplus 2}\xrightarrow{s,s'}\mathcal S)=\operatorname{coker}(\mathcal O_X \xrightarrow{\phi}\mathcal I_{\mathbb{P}^1}(1)$. Рассмотрим двумерную квадрику $Q_2=\operatorname{supp}\operatorname{coker}(\phi)$. Морфизм $\mathcal I_{Q_2}(1)\cong\mathcal O_X \xrightarrow{\phi}\mathcal I_{\mathbb{P}^1}(1)$ продолжается до точной тройки $0 \to\mathcal I_{Q_2}(1)\xrightarrow{\phi}\mathcal I_{\mathbb{P}^1}(1)\to\mathcal I_{\mathbb{P}^1,Q_2}(1)\to0 $. Отсюда следует точность тройки $0\to\mathcal O_X^{\oplus 2}\to\mathcal S\to\mathcal I_{\mathbb{P}^1,Q_2}(1)\to0$. Применяя к ней функтор $R\mathcal H om(\cdot,\mathcal O_X(d))$ и учитывая легко проверяемый изоморфизм $\operatorname{Ext}^1(\mathcal I _{\mathbb{P}^1,Q_2}(1),\mathcal O_X(d))\cong\mathcal I_{\mathbb{P}^1,Q_2}(d+1)$, получаем точную тройку $0\to\mathcal S(d-1)\to\mathcal O(d)^{\oplus 2}\to\mathcal I_{\mathbb{P}^1,Q_2}(d+1)\to 0$. Эта тройка по построению изоморфна тройке (3.1) при подходящем выборе сечений $s,s'$, откуда $G_d\cong\mathcal I_{\mathbb{P}^1,Q_2}(d+1)$. Лемма доказана. Лемма 3.8. Пусть $E\,{\in}\operatorname{Coh}^\beta(X)$ – тилт-полустабильный объект с $\operatorname{ch}(E)=(2,0,-2H^2,e)$. Тогда $e\leqslant 4$, и если $e=4$, то $E$ дестабилизируется одной из точных троек Доказательство. Имеем $W_{0,-1}(E)\,{=}\,24-6e$, поэтому неравенство $W_{0,-1}\,{\geqslant}\, 0$ эквивалентно $e\leqslant 4$. Следовательно, достаточно проверить, что $e\leqslant 4$ для объектов, которые имеют стенку-полуокружность при $\beta=-1$. Мы имеем $\operatorname{ch}_{\leqslant2}^{-1}(E)=(2,2H,-H^2)$, поэтому в данном случае существует дестабилизирующий подобъект либо факторобъект $F$ объекта $E$ с $\operatorname{ch}_1^{-1}(F)=H$. Пусть $\operatorname{ch}_{\leqslant2}^{-1}(F)=(R,H,xH^2)$, тогда $\nu_{\alpha,-1}(F) =\nu_{\alpha,-1}(E)$ влечет $x+\frac 12=\frac{\alpha^2}{2}(R-1)$. Мы можем считать, что $R\geqslant2$, и тогда неравенство $\Delta(F)\geqslant 0$ влечет $x\in\{-\frac 12,0\}$.
Предположим, что $x=-\frac 12$. Из неравенства $\Delta(E/F)\geqslant 0$ получаем $R\in\{2,3\}$. Если $R=2$, то $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}(F)=(2,-H,-\frac 12H^2)$ и $\operatorname{ch}_{\leqslant2}(E/F)=(0,H,-\frac 32H^2 )$ (мы предполагаем, злоупотребляя обозначениями, что $F$ является подобъектом в $E$) поэтому, пользуясь леммой 3.6 и доказательством леммы 3.5, получаем искомое неравенство и одну из точных троек где $F\,{\in}\, M(2,-H,-\frac 12H^2,\frac 53)$. По лемме 3.6 имеем точную тройку $0\,{\to}\,\mathcal O_X(-1)^{\oplus 3}\to F\to\mathcal O_X(-2)[1]\to 0$, также имеется точная тройка $0\to\mathcal O_X(-1)\to\mathcal O_{Q_2}(-1)\to\mathcal O_X(-2)[1]\to 0$. Поскольку, как показывает рассмотрение длинных точных последовательностей групп $\operatorname{Ext}$, $\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_X(-1),F)= \operatorname{Ext}^1(\mathcal O_X(-1),\mathcal O_{Q_2}(-1))= 0$, получаем отображение $F'=\mathcal O_X(-1)^{\oplus4}\cong \mathcal O_X(-1)^{\oplus 3}\oplus\mathcal O_X(-1)\to E$. По лемме о змее находим, что это отображение является вложением и $E/F'\cong\mathcal O_X(-2)^{\oplus 2}[1]$.Если $R=3$, то $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}(F)=(3,-2H,0)$ и $\operatorname{ch}_3(E/F)$ максимизируется объектом $\mathcal O_X(-2)[1]$. Кривая $\nu_{\alpha,\beta}(F)=0$ пересекается с $\beta$-осью в точке $\beta=-\frac 43$, поэтому любая стенка-полуокружность для $F$ пересекает прямую $\beta= -\frac 43$. Имеем $\operatorname{ch}_{\leqslant2}^{-4/3}(F)=(3,2H,0)$, поэтому существует дестабилизирующий подобъект либо факторобъект $G$ объекта $E$ с $\operatorname{ch}_1^{-4/3}(G)\in\{\frac 13H, \frac 23H,H\}$. В первом случае имеем $G\cong\mathcal O_X(-1)$, во втором $G\cong\mathcal O_X(-1)^{\oplus2}$ либо $G\cong\mathcal O_X(-2)[1]$, а в третьем $G\cong\mathcal O_X(-1)^{\oplus 3}$. В любом случае получаем требуемое неравенство и точную тройку (3.2). Предположим теперь, что $x=0$. Тогда $R=2$, и мы находим $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}(F)=(2,-H,0)$ и $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}(E/F)=(0,H,-2H^2)$. Леммы 3.2 и 3.7 дают искомое неравенство и точную тройку (3.3). Мы доказали, что $e\leqslant 4$. Для $e=4$ заметим, что точная тройка (3.2) задает стенку $W_{\alpha,\beta}(E)=0$, поэтому эта стенка наименьшая, и повторение аргументов из доказательства [26; теорема 5.1] показывает, что любой объект, дестабилизирующийся этой стенкой, задается точной тройкой (3.2). Любые другие стенки пересекают прямую $\beta=-1$ в точке с $\alpha>0$, поэтому при $R\,{\geqslant}\, 2$ для них применимы приведенные выше рассуждения. Если же $R=1$, то ввиду того, что $W_{0,-1}(F)=6-3\operatorname{ch}_3(F)$ и $\operatorname{ch}_1^{-1}(F)$ минимально, получаем, что $\operatorname{ch}_3(F)\leqslant 2$ и стенка $W_{\alpha,\beta}(F)=0$ единственная. Эта стенка задается точной тройкой $0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}\to F\to\mathcal O_X(-2)[1]\to 0$, из чего, вместе с аналогичной точной тройкой для $E/F$, по лемме о змее получаем вложение $\mathcal O_X(-1)^{\oplus 4}\hookrightarrow E$ и точную тройку (3.2). Для доказательства утверждения про тилт-стабильность объекта $E$ из (3.3) достаточно проверить его тилт-стабильность при $\beta=-1$, $\alpha>1$. Поскольку $\nu_{1,-1}(\mathcal S(-1))=\nu_{1,-1}(\mathcal I_{\mathbb{P}^1,Q_2}(-1))$, объект $E$ $\nu_{1,-1}$-полустабилен. Если $F$ – подобъект, дестабилизирующий $E$ при $\beta=-1$, то $\operatorname{ch}_1^{-1}(F)\,{=}\,H$ (случай $\operatorname{ch}_1^{-1}(F)= 0$ невозможен, так как в этом случае $\nu_{1,-1}(F)=+\infty$, что противоречит $\nu_{1,-1}$-полустабильности $E$, а в случае $\operatorname{ch}_1^{-1}(F)=2H$ мы имеем $\nu_{\alpha,-1}(F)<\nu_{\alpha,-1}(E/F)\,{=}\,{+}\infty$, так что $F$ не дестабилизирует $E$). Повторяя рассуждения, проведенные выше в доказательстве настоящей леммы, получаем, что либо $F\cong\mathcal S(-1)$, либо $E$ включается в точную тройку вида (3.2). Непосредственное вычисление показывает, что $\mathcal S(-1)$ не дестабилизирует $E$ при $\beta=-1$, $\alpha>1$, а для объекта $E$ из (3.2) имеем $\operatorname{Hom}(\mathcal S(-1),E)= \operatorname{Hom}(E,\mathcal I_{\mathbb{P}^1,Q_2}(-1))=0$, т.е. $E$ не может включаться одновременно в (3.2) и в (3.3). Лемма доказана. Лемма 3.9. Пусть $E\,{\in}\operatorname{Coh}^\beta(X)$ – тилт-полустабильный объект с $\operatorname{ch}(E)=(2,-H,-H^2,e)$. Тогда $e\leqslant{19}/{6}$, и если $e={19}/{6}$, то $E$ дестабилизируется точной тройкой Доказательство. Предположим, что $e\geqslant{19}/{6}$. Тогда $W_{0,-3/2}(E)<0$, и имеем $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}^{-3/2}(E)=(2,2H,-\frac 14H^2)$, поэтому существует дестабилизирующий подобъект либо факторобъект $F$ объекта $E$ с $\operatorname{ch}_1^{-3/2}(F)\in \{\frac 12H,H\}$. Предположим, что $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}^{-3/2}(F)=(R,H,xH^2)$; тогда равенство $\nu_{\alpha,-3/2}(F)=\nu_{\alpha,-3/2}(E)$ влечет $x+\frac 18 =\alpha^2(R-1)$. Предположим, что $R>1$, тогда $-\frac 18<x\leqslant\frac 14$. Если $x=0$, то $\Delta(E/F)\geqslant 0$, из целочисленности классов Черна следует, что $R=4$, откуда получаем обычным образом, что $e\leqslant\frac 76$. Случай $x=\frac 18$ невозможен по численным соображениям, и если $x=\frac 14$, то $R=2$, и получаем искомое неравенство и точную тройку (3.6).
Предположим, что $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}^{-3/2}(F)=(R,\frac 12H,xH^2)$. Тогда равенство $\nu_{\alpha,-3/2}(F)=\nu_{\alpha,-3/2}(E)$ влечет $2x+\frac 18=\alpha^2 (2R-1)$. Для $R\geqslant 1$ имеется единственная возможность $R=1$, $x=\frac 18$, и тогда $\operatorname{ch}_3(F)$ максимизируется пучком $F\cong\mathcal O_X(-1)$, а также получаем точную тройку (3.6). Для $R<1$ имеется единственная возможность $R=-1,x=-\frac 18$, откуда $F\cong\mathcal O_X(-2)[1]$. При этом также получаем $e\leqslant\frac 76$. Лемма доказана. 3.3.Теперь можем перейти к общему случаю. Лемма 3.10. Пусть $E\,{\in}\operatorname{Coh}^\beta(X)$ – тилт-полустабильный объект с $\operatorname{ch}(E)=(2,cH,dH^2,e)$. Предположим, что либо Тогда $E$ дестабилизируется вдоль стенки-полуокружности подобъектом либо факторобъектом ранга не более двух. Доказательство. 1) Предположим, что $c=-1$, $d\leqslant -\frac 32$, и $e\geqslant d^2-2d+\frac 16$. Тогда вычисление дает
$$
\begin{equation*}
\frac{\rho_W(E)}{\Delta(E)}\geqslant -\frac{9}{64}\, d-\frac{19}{256}-\frac{9}{128(1-4d)} -\frac{27}{64(1-4d)^2}+\frac{81}{256(1-4d)^3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ограничивая каждый член, находим $\rho_W(E)/\Delta(E)>\frac{1}{12} $, и, значит, мы можем применить предложение 2.3.
2) Предположим, что $c=0$, $d\leqslant -\frac 52$, и $e\geqslant d^2$. Вычисление дает
$$
\begin{equation*}
\frac{\rho_W(E)}{\Delta(E)}\geqslant -\frac{9}{64}\, d-\frac{1}{4},
\end{equation*}
\notag
$$
и применение предложения 2.3 завершает доказательство леммы. Лемма 3.11. Пусть $E\,{\in}\operatorname{Coh}^\beta(X)$ – тилт-полустабильный объект с $\operatorname{ch}(E)=(2,cH,dH^2,e)$. 1) Пусть $c=-1$ и $d\leqslant-\frac 32$. Если $E$ дестабилизируется подобъектом $F$ ранга 1, то $e\leqslant d^2-2d+\frac{5}{12}$. Если $e=d^2-2d+\frac{5}{12}$ с нецелым $d$, либо $e=d^2-2d+\frac 16$ с целым $d$, то $F\cong\mathcal O_X(-1)$ и $E$ дестабилизируется подобъектом ранга $2$. 2) Пусть $c=0$ и $d\leqslant-\frac 52$. Если $E$ дестабилизируется подобъектом либо факторобъектом $F$ ранга 1, то $e<d^2$. Доказательство. 1) Предположим, что $c=-1$, $d\leqslant-\frac 32$ и $e\geqslant d^2-2d+\frac 16$. Вычисление дает $W_{0,-3/2}(E)=4d^2-6d+\frac 94-6e\leqslant -2d^2+6d+\frac 54<0$, и, следовательно,
Отсюда $\operatorname{ch}_1(F)\in\{-H,0\}$. Допустим, что $\operatorname{ch}_1(F)=-H$. Покажем, что $F$ является подобъектом, а не факторобъектом объекта $E$. Имеем $\operatorname{ch}(F)= (1,0,-yH^2,z)\cdot\operatorname{ch}(\mathcal O_X(-1))$, и замечание 2.1 показывает, что $z\leqslant y(y+1)$. Вычисление дает
$$
\begin{equation*}
s_W(E)=\frac{d+3e}{4d-1}\leqslant\frac{6d^2-10d+1}{8d-2}, \qquad s(E,F)=d+2y-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $s(E,F)\leqslant s_W(E)$, то имеем
Пользуясь замечанием 2.1 для фактора $E/F$, находим
$$
\begin{equation*}
e\leqslant\biggl(\frac 12-d-y\biggr)\biggl(\frac 32-d-y\biggr)+y(y+1)+2y-\frac 13.
\end{equation*}
\notag
$$
Правая часть этого неравенства есть квадратичная функция от $y$ с минимумом в точке $y=-d/2-1/4$. Поэтому максимум достигается в точке $y=0$ c $F\cong\mathcal O_Q (-1)$, и мы получаем $e\leqslant d^2-2d+{5}/{12}$. Заметим также, что для $y>0$ имеем $e\leqslant d^2-d+{17}/{12}<d^2-2d+1/6$, поэтому для целого $d$ мы также получаем, что $y=0$. Теперь из доказательства [21; предложение 3.2] следует, что существует дестабилизирующий морфизм $\mathcal O_X(-1)\to G=E/F$, и фактор имеет характер Черна $\operatorname{ch}_{\leqslant 2}(G')=(0,H,(d-1)H^2)$. Рассуждения из доказательств лемм 3.5 и 3.8 показывают, что для нецелого $d$ характер $\operatorname{ch}_3(G')$ максимизируется пучком $G'\cong\mathcal O_{Q_2}(d-\frac 12)$, тогда как для целого $d$ имеется точная тройка
$$
\begin{equation*}
0\to \mathcal S(d-2)\to\mathcal O_X(d-1)^{\oplus 2}\to G'\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисление показывает, что в любом случае $\operatorname{Ext}^1(F,G)=0$, так что $F$ действительно является подобъектом в $E$, и существует дестабилизирующий морфизм $\mathcal O_X(-1)^{ \oplus 2}\to E$.
2) Предположим, что $c=0$, $d\leqslant-\frac 52$ и $e\geqslant d^2$. Вычислением получаем $W_{0,-1}(E)=4d^2-4d-6e\leqslant-2d^2-4d<0$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
0<H^2\cdot\operatorname{ch}_1^{-1}(F)<H^2\cdot\operatorname{ch}_1^{-1}(E)=2.
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что $\operatorname{ch}_1(F)\,{=}\,0$, но такой $F$ не определяет стенку-полуокружность.
Лемма доказана. 3.4.Доказательство теоремы 3.1. Неравенства на $d$ следуют из первого неравенства в предложении 2.1, (ii). Остальные утверждения теоремы доказываются индукцией по $\Delta(E)$, причем база индукции дается леммами 3.1–3.9. Лемма 3.10 показывает, что $E$ дестабилизируется подобъектом $F\hookrightarrow E$, где $F$ имеет ранг $R\in\{0,1,2\}$. Лемма 3.11 имеет дело со случаем $R=1$. Предположим, что $R=2$. В дальнейшем мы покажем, что случай $R=0$ реализуется только если $E$ является прямой суммой. (1) Предположим, что $c=-1$, $d\leqslant-3/2$ и $e\geqslant d^2-2d+1/6$. Как и в доказательстве леммы 3.11, имеем $W_{0,-3/2}(E)<0$, а также $W_{0,-2}(E)<0$. Тогда неравенства $H^2\cdot\operatorname{ch}_1^{-3/2}>0$ и $H^2\cdot\operatorname{ch}_1^{-2}(F)<H^2\cdot\operatorname{ch}_1^{-2}(E)$ вместе влекут, что $\operatorname{ch}_1(F)=-2H$. Поэтому мы можем считать, что $\operatorname{ch}(F)=(2,0,yH^2,z)\cdot\operatorname{ch}(\mathcal O_X(-1))$. Если $y=0$, то $z\leqslant 0$, рассуждения из доказательства леммы 3.11 дают требуемое утверждение. Предположим, что $y\leqslant-1/2$. По предположению индукции имеем $z\leqslant y^2$. Вычисление дает:
$$
\begin{equation*}
s_W(E)=\frac{d+3e}{4d-1}\leqslant\frac{6d^2-10d+1}{8d-2}, \qquad s(E,F)=d-y-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $s(E,F)\leqslant s_W(E)$, то $y\geqslant(2d^2+1)/(8d-2)>d/2$. Максимизируя $\operatorname{ch}_3(E/F)$, получаем где $C$ – константа, зависящая от того, являются ли $d$ и $y$ целыми или полуцелыми. Для $y\in\mathbb{Z}$ либо $y\in\frac 12+\mathbb{Z}$ правая часть неравенства есть квадратичная функция от $y$ с минимумом в точке $y=\frac d2$. Поэтому максимум достигается при $y=-\frac 12$ либо $y=-1$. Для $y=-\frac 12$ вычислением получаем а для $y=-1$ находим (2) Предположим, что $c=0$, $d\leqslant-\frac 52$, и $e\geqslant d^2$. Как и в доказательстве леммы 3.11, имеем $W_{0,-1}(E)<0$, откуда следует, что $\operatorname{ch}_1(F)=-H$. Предположим, $\operatorname{ch}(F)=(2,-H,yH^2,z)$. По предположению индукции имеем $z\leqslant y^2-2y+\frac{5}{12}$. Вычисление дает:
$$
\begin{equation*}
s_W(E)=\frac{3e}{4d}\leqslant\frac 34d, \qquad s(E,F)=d-y,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $y\geqslant d/4>d/2+1/2$. Максимизируя $\operatorname{ch}_3(E/F)$, находим где $C$ – константа, зависящая от того, являются ли $d$ и $y$ целыми или полуцелыми. Для $y\in\mathbb{Z}$ либо $y\in\frac 12+\mathbb{Z}$ правая часть неравенства есть квадратичная функция от $y$ с минимумом в точке $y=d/2+1/2$. Поэтому максимум достигается при $y=0$ либо $y=-\frac 12$. Для $y=-\frac 12$ получаем $e\leqslant d^2+d+2<d^2$, откуда следует, что $y=0$. Остается заметить, что верно равенство $\operatorname{Ext}^1(F,E/F)=0$, проверяемое по точным тройкам, задающим $F$ и $E/F$. (3) и (4). Прямые следствия утверждений (1) и (2) соответственно. Теорема 3.1 доказана. § 4. Бесконечные серии компонент пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на многообразиях $X_1$, $X_2$, $X_4$ и $X_5$4.1. Первая серияВ этом пункте мы рассматриваем расширения одного из следующих двух видов. (1) Расширение на $X=X_1,X_2,X_4$ или $X_5$ вида
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 0\to\mathcal O_X(-n)^{\oplus2}\to E\to\mathcal O_S(m)\to 0, \qquad S\in|\mathcal O_X(k)|, \\ \text{где} \qquad k\geqslant1, \qquad n=\biggl\lceil\frac k2\biggr\rceil, \qquad m+n<0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
(2) либо расширение на квадрике $X=X_2$ вида
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}\to E\to\mathcal I(m)\to 0, \qquad S\in|\mathcal O_X(1)|, \\ \text{где }\ \mathcal I=\mathcal I_{\mathbb{P}^1,S}, \qquad m<0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$\mathbb{P}^1$ – проективная прямая на двумерной квадрике $S$, а пучок $\mathcal I$ описан в (2.10). В основном в этом пункте рассматриваются расширения (4.1). В частности, для $E$ из (4.1) имеем:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{rk}(E)=2, \qquad c_1(E)=0, \qquad c_2(E)=\biggl(\frac{k^2}{4}-km\biggr)H^2, \\ c_3(E)=\biggl(\frac{k^3}{4}-k^2m+km^2\biggr)H^3, \quad \text{если }\ k\ \text{четно}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, c_1(E)=-H, \qquad c_2(E)=\biggl(\frac{(k-1)^2}{4}-km\biggr)H^2, \\ c_3(E)=\biggl(\frac{k(k-1)^2}{4} +km-k^2m+km^2\biggr)H^3, \quad \text{если }\ k\ \text{нечетно}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $H$ – класс когомологий гиперплоского сечения $X$. Хорошо известно и проверяется стандартным вычислением, что
$$
\begin{equation}
h^i(\mathcal O_X(\ell))=0, \qquad \ell\in\mathbb{Z}, \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Предположим теперь, что В этом случае из (2.10), (4.1), (4.2), (4.5), точных троек
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal O_X(-k)\to\mathcal O_X\to\mathcal O_S\to0,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad 0\to\mathcal I\to\mathcal O_S\to\mathcal O_{\mathbb{P}^1}\to0, \qquad X=X_2,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
двойственности Серра–Гротендика и стабильности $E$ следуют равенства (a) для расширения (4.1):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \hom(E,E)=\hom(\mathcal O_S(m),\mathcal O_S(m))=\hom(E,\mathcal O_S(m))=1, \\ \operatorname{ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_S(m))=N, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} & \hom(\mathcal O_X(-n)^{\oplus 2},\mathcal O_S(m))=0, \\ & \operatorname{ext}^1(\mathcal O_X(-n)^{\oplus 2},E)=\operatorname{ext}^1(\mathcal O_X(-n) ^{\oplus 2},E)=\operatorname{ext}^1(\mathcal O_X(-n)^{\oplus 2},\mathcal O_S(m)) \\ &\qquad=\operatorname{ext}^1(\mathcal O_X(-n)^{\oplus 2},\mathcal O_X(-n)^{\oplus 2})= \operatorname{ext}^i(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus 2})=0, \qquad i=0,2. \end{split}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
(b) для расширения (4.2):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \hom(E,E)=\hom(\mathcal O_S(m),\mathcal O_S(m))=\hom(E,\mathcal O_S(m))=1, \\ \operatorname{ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_S(m))=4, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \hom(\mathcal I(m),\mathcal I(m))=\hom(E,\mathcal I(m))=1, \qquad \hom(\mathcal O_X(-n)^{\oplus2},\mathcal I(m))=0, \\ \operatorname{ext}^i(\mathcal O_X(-1)^{\oplus2},\mathcal I(m))=0, \qquad i=0,1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
$$
\begin{equation}
\hom(\mathcal O_X(-1)^{\oplus2},\mathcal I(1))=4, \qquad \hom(\mathcal S(-1),\mathcal I(1))=7, \qquad \operatorname{ext}^1(\mathcal O_X^{\oplus2},\mathcal I(1))=0,
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \hom(\mathcal O_S,\mathcal O_{\mathbb{P}^1})=1, \qquad \operatorname{ext}^1(\mathcal O_S,\mathcal O_{\mathbb{P}^1})=k+1, \qquad \operatorname{ext}^1(\mathcal O_S,\mathcal O_S)=N, \\ \operatorname{ext}^i(\mathcal I(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus 2})=0, \qquad i=0,2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Пусть $\mathbb{P}^N=|\mathcal O_X(k)|$, $\mathbb{S}\subset\mathbb{P}^N\times X$ – универсальное семейство поверхностей степени $k$ в $X$ и $\mathbb{P}^N\times X\xrightarrow{p} \mathbb{P}^N$ – проекция. Соответственно, в обозначениях тройки (2.9) пусть $\mathbb{G}\times X_2\xrightarrow{\widetilde{p}}\mathbb{G}$ – проекция. Ввиду гладкости $\mathbb{P}^N$ и $\mathbb{G}$ из (4.10)–(4.14), [20; теорема 1.4], [5; теорема 3.(ii)] на $\mathbb{P}^N$ и $\mathbb{G}$ определены локально свободные пучки $\mathcal A$ и $\widetilde{\mathcal A}$ соответственно:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal A=\mathcal E xt_p^1(\mathcal O_{\mathbb{P}^N} \boxtimes\mathcal O_X(m)|_{\mathbb{S}},\mathcal O_{\mathbb{P}^N} \boxtimes\mathcal O_X(-n)), \\ \widetilde{\mathcal A}=\mathcal E xt_{\widetilde{p}}^1(\mathbb{I}\otimes\mathcal O_{ \mathbb{G}}\boxtimes\mathcal O_{X_2}(m),\mathcal O_{\mathbb{G}}\boxtimes\mathcal O_{X_2}(-1)), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
построение которых коммутирует с заменой базы:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \tau_S\colon \mathcal A\otimes\mathbf k_{S}\xrightarrow{\cong}\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)), \qquad S\in|\mathcal O_X(k)|, \\ \widetilde{\tau}_x\colon \widetilde{\mathcal A}\otimes\mathbf k_x\xrightarrow{\cong} \operatorname{Ext}^1(\mathcal I(m),\mathcal O_X(-1)), \qquad x\in\mathbb{G}, \quad S=S_x, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
а также равенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal E xt_p^0(\mathcal O_{\mathbb{P}^N}\boxtimes\mathcal O_X(m)|_{\mathbb{S}},\mathcal O_{\mathbb{P}^N} \boxtimes\mathcal O_X(-n))=0, \\ \mathcal E xt_{\widetilde{p}}^0(\mathbb{I}\otimes\mathcal O_{\mathbb{G}}\boxtimes \mathcal O_{X_2}(m),\mathcal O_{\mathbb{G}}\boxtimes\mathcal O_{X_2}(-1))=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Рассмотрим многообразия $P=\mathbb{P}(\mathcal A^{\vee})$, $X_P=P\times X$, $\widetilde{P}=\mathbb{P}(\widetilde{\mathcal A}^{\vee})$, $X_{\widetilde{P}}= \widetilde{P}\,{\times}\, X_2$ с проекциями $P\xrightarrow{\rho}\mathbb{P}^N$, $\widetilde{P}\xrightarrow{\widetilde{\rho}}\mathbb{G}$, $P\xleftarrow{ p_P}X_P\xrightarrow{\rho_P}\mathbb{P}^N\times X$, $\widetilde{P}\xleftarrow{ \widetilde{p}_P}X_{\widetilde{P}}\xrightarrow{\widetilde{\rho}_P} \mathbb{G}\,{\times}\, X_2$. Из (4.16), (4.17) и [20; следствие 4.5] следует, что на $X_P$ и $X_{\widetilde{P}}$ имеются универсальные семейства расширений соответственно:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 0\to p_P^*\mathcal O_P(1)\otimes(\mathcal O_{\mathbb{P}^N}\boxtimes\mathcal O_X(-n))\to\mathcal V\to \rho_P^*(\mathcal O_{\mathbb{P}^N}\boxtimes\mathcal O_X(m)|_{\mathbb{S}})\to0, \\ 0\to\widetilde{p}_P^*\mathcal O_{\widetilde{P}}(1)\otimes(\mathcal O_{\mathbb{G}} \boxtimes\mathcal O_{X_2}(-1))\to\widetilde{\mathcal V}\to\widetilde{\rho}_P^*(\mathbb{I}\otimes \mathcal O_{\mathbb{G}}\boxtimes\mathcal O_{X_2}(m))\to0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к этим тройкам функторы $\rho_{P*}$ и $\widetilde{\rho}_{P*}$ соответственно, получаем на $\mathbb{P}^N\times X$ и $\mathbb{G}\times X$ универсальные расширения, где $\mathcal W=\rho_{P*}\mathcal V$ и $\widetilde{\mathcal W}=\widetilde{\rho}_{P*}\widetilde{\mathcal V}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 0\to p^*\mathcal A^{\vee}\otimes(\mathcal O_{\mathbb{P}^N}\boxtimes\mathcal O_X(-n))\to\mathcal W\to\mathcal O_{\mathbb{P}^N}\boxtimes \mathcal O_X(m)|_{\mathbb{S}}\to0, \\ 0\to\widetilde{p}^*\widetilde{\mathcal A}^{\vee}\otimes(\mathcal O_{\mathbb{G}}\boxtimes\mathcal O_{X_2}(-1)) \to\widetilde{\mathcal W}\to\mathbb{I}\otimes\mathcal O_{\mathbb{G}}\boxtimes\mathcal O_{X_2}(m)\to0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Заметим, что расширения (4.1) и (4.2) задаются соответственно элементами $\xi\in\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus 2})$ и $\widetilde{\xi}\in\operatorname{Ext}^1(\mathcal I (m),\mathcal O_{X_2}(-1)^{\oplus 2})$, рассматриваемыми как гомоморфизмы
$$
\begin{equation}
\xi\colon \operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n))^{\vee}\to\mathbf k^2, \qquad \widetilde{\xi}\colon \operatorname{Ext}^1(\mathcal I(m),\mathcal O_{X_2}(-1))^{\vee}\to\mathbf k^2.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Дальнейшее рассуждение в этом пункте проведем для верхней точной тройки (4.18). (Для нижней тройки (4.18) все рассуждения полностью аналогичны – см. п. 4.2.) По универсальности эта тройка, ограниченная на $\{S\}\times X$, с учетом замены базы (4.16) включается с расширением (4.1), где $E=E _{\xi}$, в коммутативную pushout-диаграмму Заметим, что гомоморфизм $\xi$ в (4.19) – ненулевой, поскольку расширение (4.1) нетривиально. Более того, если $E_{\xi}$ стабильно, то $\xi$ является эпиморфизмом. В самом деле, если $\xi$ имеет ранг 1, то диаграмма (4.20) пропускается через подрасширение $0\to\mathcal O_X(-n)\to E'\to\mathcal O_S(m)\to0$ расширения (4.1), откуда следует существование гомоморфизма $E_{\xi}\twoheadrightarrow \mathcal O_X(-n)$, вопреки стабильности $E_{\xi}$. Предположим, что $\xi$ в (4.20) – эпиморфизм. Класс $[\xi]$ эпиморфизма $\xi$ по модулю автоморфизмов пространства $\mathbf k^2$ является точкой грассманиана $\operatorname{Gr}(\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n))^{\vee},2)$. Поэтому рассмотрим грассманизацию
$$
\begin{equation}
\pi\colon {\mathcal G}r(\mathcal A^{\vee},2)\to\mathbb{P}^N
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
двумерных факторпространств расслоения $\mathcal A^{\vee}$ на $\mathbb{P}^N$ и ее открытые подмножества
$$
\begin{equation}
\mathcal Y_{k,m,n}:=\{[\xi]\in{\mathcal G}r(\mathcal A^{\vee},2)\mid E_{\xi}\ \text{стабилен}\},
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal R_{k,m,n}:=\{[\xi]\in{\mathcal G}r(\mathcal A^{\vee},2)\mid E_{\xi}\ \text{рефлексивен}\}.
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Доказательство. (1) Сначала проверим рефлексивность общего пучка $E$ в тройке (4.1). (В остальных случаях доказательства полностью аналогичны.) А именно, применяя к тройке (4.1) функтор $\mathbf{R}\mathcal H om(-,\mathcal O_X)$ и учитывая, что $\mathcal E xt^1(\mathcal O_S(m), \mathcal O_X)\cong\mathcal O_S(k-m)$, получаем точную последовательность
$$
\begin{equation}
0\to E^{\vee}\to\mathcal O_X(n)^{\oplus2}\to\mathcal O_S(m)\to\tau\to0, \qquad \tau:=\mathcal E xt^1(E,\mathcal O_X).
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Длинная точная последовательность, определяемая спектральной последовательностью локальных и глобальных Ext-ов
$$
\begin{equation*}
E^{pq}_2=H^p(\mathcal E xt_{\mathcal O_X}^q(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus2 })) \Longrightarrow\operatorname{Ext}^{p+q}(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus2}),
\end{equation*}
\notag
$$
дает изоморфизм
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus2}) &\xrightarrow{\cong}H^0(\mathcal E xt^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus2})) \\ &\cong H^0(\mathcal O_S(k-m-n)^{\oplus2}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
При этом изоморфизме элементу $\xi\in\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus2})$, задающему расширение (4.1), отвечает сечение $s_{\xi}\in H^0(\mathcal O_S(k-m-n)^{\oplus2})$, схема нулей $Z_{\xi}= (s_{\xi})_0$ которого в силу обильности пучка $\mathcal O_S(k-m-n)$ при $k\geqslant1$, $m+ n<0$ нульмерна для $\xi$, принадлежащего открытому плотному подмножеству в $\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus2}))$. Стандартное локальное вычисление показывает, что $\operatorname{Sing} E=Z_{\xi}$, так что $\tau$ – артинов пучок, и поэтому $\mathcal E xt^i(\tau,\mathcal O_X)=0$ для $i\leqslant2$. Поэтому, применяя к (4.25) функтор $\mathbf{R}\mathcal H om(-,\mathcal O_X)$ и учитывая изоморфизм $\mathcal E xt^1(\mathcal O_S(k-m),\mathcal O_X)\cong\mathcal O_S(m)$, получаем точную тройку $0\to\mathcal O_X(-n)^{\oplus 2}\to E^{\vee\vee}\to\mathcal O_S(m)\to 0$ и ее изоморфизм с тройкой (4.1) посредством функтора $(-)^{\vee\vee}$. Отсюда следует требуемый изоморфизм $E\cong E^{\vee\vee}$.
(2) Докажем стабильность произвольного пучка $E\in\mathcal R_{k,m,n}$. Напомним, что в (4.1) $k\geqslant1$, $n=\lceil k/2\rceil\geqslant1$, $m<-n\leqslant1$. Отсюда следует, что Предположим, что $E$ нестабилен. Ввиду (4.27) максимальный дестабилизирующий подпучок $F$ ранга 1 пучка $E$ имеет вид $F=\mathcal I_{Z,\mathbb{P}^3}(q)$, $q\geqslant0$. В силу рефлексивности $E$ мономорфизм $F\to E$ продолжается до мономорфизма $\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(q) \cong F^{\vee\vee}\overset{s}{\to}E$, т.е. сечения $0\ne s\in h^0(E(-q)) $. Это противоречит (4.28), поскольку $q\geqslant0$.Теорема доказана. Рассмотрим модулярный морфизм многообразия $\mathcal Y_{k,m,n}$ в схему модулей Гизекера–Маруямы $M_X(v)$:
$$
\begin{equation}
\Theta\colon \mathcal Y_{k,m,n}\to M_X(v), \qquad [\xi]\mapsto[E_{\xi}],
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
где $[E_{\xi}]$ – класс изоморфизма стабильного пучка $E_{\xi}$, получаемого по точке $\xi$ как нижнее расширение в диаграмме (4.20), а $v=\operatorname{ch}(E)$ определяется по формулам (2.4) и (4.3)–(4.4). Отметим, что в силу первого равенства (4.10) пучок $[E=E_{[\xi]}]\in \Theta( \mathcal Y_{k,m,n})$ имеет единственный подпучок $\mathcal O_X(-n)^{\oplus2}$, а значит, расширение (4.1) определено однозначно, т.е. класс $[\xi]$ восстанавливается по точке $[E]$ однозначно. Тем самым
$$
\begin{equation}
\Theta\colon \mathcal Y_{k,m,n}\to M_{k,m,n}:=\Theta(\mathcal Y_{k,m,n}) -\text{ биекция},
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} & \dim M_{k,m,n}=\dim\mathcal Y_{k,m,n}=\dim\operatorname{Gr}(\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n))^{\vee},2) \\ &\qquad\qquad +\dim|\mathcal O_X(k)|=\operatorname{ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus2})-4+N. \end{split}
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Применяя к тройке (4.1) бифунктор $\mathbf{R}\operatorname{Hom}(-,-)$ и учитывая равенства (4.9) и (4.10), получаем для $[E]\in\dim\mathcal Y_{k,m,n}$ коммутативную диаграмму Из этой диаграммы и равенства $\operatorname{ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_S(m))=N$ (см. (4.9)) получаем
$$
\begin{equation}
\operatorname{ext}^1(E,E)=\operatorname{ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus2})-4+N,
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
откуда в силу (4.31) находим $\dim\Theta(\mathcal Y_{k,m,n})\,{=}\operatorname{ext}^1(E,E)\,{=} \dim_{[E]} M_X(v)$. С учетом теоремы 4.1 это означает, что $M_{k,m,n}$ – гладкое открытое подмножество неприводимой компоненты $\overline{M}_{k,m,n}$ схемы модулей $M_X(v)$. Отсюда и из (4.30) согласно [28; гл. 2, § 4.4, теорема 2.16] вытекает, что
$$
\begin{equation}
\Theta\colon \mathcal Y_{k,m,n}\to M_{k,m,n} -\text{ изоморфизм},
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
т.е. $M_{k,m,n}$ – гладкое рациональное многообразие, изоморфное ввиду теоремы 4.1 плотному открытому подмножеству в гладком многообразии ${\mathcal G}r(\mathcal A ^{\vee},2)$. При этом из диаграммы (4.20) непосредственно вытекает, что на $M_{k,m,n}$ существует универсальное семейство пучков. Формулы для размерностей многообразий $M_{k,m,n}$ как функций от $k,m,n$ получаются с учетом теоремы Римана–Роха для $X_5$, формул (4.5), (4.7), (4.31) и стандартных резольвент для пучков $\mathcal O_{X_2}$, $\mathcal O_{X_4}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 0\to\mathcal O_{\mathbb{P}^4}(-2)\to\mathcal O_{\mathbb{P}^4}\to\mathcal O_{X_2}\to0, \\ 0\to\mathcal O_{\mathbb{P}^5}(-4)\to\mathcal O_{\mathbb{P}^5}(-2)^{\oplus2}\to\mathcal O_{\mathbb{P}^5}\to\mathcal O_{X_4}\to0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
Кроме того, ввиду теоремы 4.1 рефлексивные пучки в $M_{k,m,n}$ составляют плотное открытое множество
$$
\begin{equation}
R_{k,m,n}:=\Theta(\mathcal R_{k,m,n})\cong\mathcal R_{k,m,n}.
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
Таким образом, имеет место следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть $X$ – одно из многообразий Фано $X_1$, $X_2$, $X_4$, $X_5$. Для произвольного натурального числа $k$ и целых чисел $m$ и $n=\lceil k/2\rceil$ таких, что $m+n<0$, пусть $M_X(v)$ – схема модулей Гизекера–Маруямы полустабильных пучков $E$ на $X$ с характером Черна $v=\operatorname{ch}(E)$, определяемым по формулам (2.4) и (4.3)–(4.4). Тогда верны следующие утверждения. (i) Семейство
$$
\begin{equation*}
M_{k,m,n}=\{[E]\in M_X(v)\mid E-\textit{ стабильное расширение (4.1), где}\ S\in|\mathcal O_X(k)|\}
\end{equation*}
\notag
$$
является гладким плотным открытым подмножеством неприводимой рациональной компоненты схемы $M_X(v)$, и имеет место изоморфизм (4.34), в котором $\mathcal Y_{k,m,n}$ – определенное в (4.22) открытое подмножество грассманизации $\pi\colon {\mathcal G}r(\mathcal A ^{\vee},2)\to\mathbb{P}^N$, где $\mathcal A$ – локально свободный пучок на $\mathbb{P}^N=|\mathcal O_X(k)|$, задаваемый первой формулой (4.15); при этом $M_{k,m,n}$ является тонким пространством модулей и рефлексивные пучки составляют в $M_{k,m,n}$ плотное открытое множество $R_{k,m,n}$, определенное в (4.36). (ii) Размерность многообразия $M_{k,m,n}$ дается формулами: (ii.1) $\dim M_{k,m,n}=2\binom{k-m-n+3}{3}-2\binom{-m-n+3}{3}+\binom{k+3}{k}-5$ для $X=X_1$, (ii.2) $\dim M_{k,m,n}=2\binom{k-m-n+4}{4}-2\binom{k-m-n+2}{4}-2\binom{-m-n+4}{4}+ 2\binom{-m-n+2}{4}+\binom{k+4}{4}-\binom{k+2}{4}-5$ для $X=X_2$, (ii.3) $\dim M_{k,m,n}=2\binom{k-m-n+5}{5}$ ${}-4\binom{k-m-n+3}{5}$ ${}+2\binom{k-m-n+1}{5}$ ${}- 2\binom{-m-n+5}{5}$ ${}+4\binom{-m-n+3}{5}$ ${}-2\binom{-m-n+1}{5}$ ${}+2\binom{k+5}{5}$ ${}-2\binom{k+3 }{5}$ ${}+\binom{k+1}{5}-5$ для $X=X_4$, (ii.4) $\dim M_{k,m,n}=\frac53(k-m-n)^3+5(k-m-n)^2$ ${}+\frac{16}3 (k-m-n)$ ${}-\frac53(-m-n)^3$ ${}-5(-m-n)^2$ ${}-\frac{16}3(-m-n) $ ${}+\frac53k^3$ ${}+5k^2$ ${}+\frac{16}3k-4$ для $X=X_5$. (iii) Размерность многообразия $M_{k,m,n}$ совпадает с виртуальной размерностью схемы $M_X(v)$, т.е. $\operatorname{ext}^2(E,E)=0$ для $[E]\in M_{k,m,n}$, тогда и только тогда, когда $k<i$ и $m>k-n-i$, где $i$ – индекс многообразия Фано $X$. Доказательство. Утверждения (i) и (ii) теоремы доказаны выше. Утверждение (iii) доказывается прямым вычислением по аналогии с формулами (4.10). Теорема доказана. Замечание 4.1. Прямая проверка при помощи формул (4.3) и (4.4) для классов Черна пучка $[E]\in M_{k,m,n}$ показывает, что Замечание 4.2. На квадрике $X=X_2$ рассмотрим нетривиальное расширение вида Теорема 4.3. Пусть $X=X_2$ – трехмерная квадрика. Тогда в обозначениях замечания 4.2 верны следующие утверждения. (i) Семейство
$$
\begin{equation*}
M_{k,m,n}=\{[E]\in M_X(v)\mid E-\textit{ стабильное расширение (4.37), где}\ S\in|\mathcal O_X(k)|\}
\end{equation*}
\notag
$$
является гладким плотным открытым подмножеством неприводимой рациональной компоненты схемы $M_X(v)$, и имеет место изоморфизм $\Theta$ в (4.40), в котором $\mathcal Y_{\mathcal S,k,m,n}$ – определенное в замечании 4.2 открытое подмножество проективизации $\pi\colon \mathbb{P}(\mathcal A_{\mathcal S}^{\vee})\to\mathbb{P}^N$, где $\mathcal A_{\mathcal S}$ – локально свободный пучок на $\mathbb{P}^N=|\mathcal O_X(k)|$, задаваемый формулой (4.38); при этом $M_{k,m,n}$ является тонким пространством модулей, и рефлексивные пучки составляют в $M_{k,m,n}$ плотное открытое множество $R_{\mathcal S,k,m,n}=\Theta(\mathcal R_{\mathcal S,k,m,n})$, где $\mathcal R_{\mathcal S,k,m,n}$ определено в замечании 4.2. (ii) Размерность многообразия $M_{k,m,n}$ дается формулой 4.2. Вторая серияВ этом пункте рассматриваются более подробно расширения (4.2) на квадрике $X=X_2$. Найдем сначала размерность пространства $\operatorname{Ext}^1(\mathcal I(m),\mathcal I(m))$, которая нам потребуется ниже. Для этого применим к тройке (2.10) функтор $\mathbf{R}\operatorname{Hom}(-,\mathcal I(1))$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\to\operatorname{Hom}(\mathcal I(1),\mathcal I(1))\to\operatorname{Hom}(\mathcal O_X^{\oplus2},\mathcal I(1))\to\operatorname{Hom}(\mathcal S(-1),\mathcal I(1)) \\ & \to\operatorname{Ext}^1(\mathcal I(1),\mathcal I(1))\to\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_X^{\oplus2},\mathcal I(1)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (4.12) и (4.13) находим
$$
\begin{equation}
\operatorname{ext}^1(\mathcal I(m),\mathcal I(m))=\operatorname{ext}^1(\mathcal I(1),\mathcal I(1))=4.
\end{equation}
\tag{4.41}
$$
Рассмотрим теперь нижнюю тройку (4.18). По универсальности эта тройка, ограниченная на $\{x\}\times X$, $x\in\mathbb{G}$, с учетом замены базы (4.16) включается с расширением (4.2), где $\widetilde{\xi}\colon \operatorname{Ext}^1(\mathcal I(m),\mathcal O_X(-1))^{\vee} \to \mathbf k^2$ – второй гомоморфизм в (4.19) и $E=E_{\widetilde{\xi}}$, в коммутативную диаграмму, аналогичную (4.20): При этом, как и в (4.20), если $E_{\widetilde{\xi}}$ стабильно, то $\widetilde{\xi}$ является эпиморфизмом. Поэтому по аналогии с (4.22)–(4.23) рассмотрим грассманизацию
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\pi}\colon {\mathcal G}r(\widetilde{\mathcal A}^{\vee},2)\to\mathbb{G}
\end{equation*}
\notag
$$
двумерных факторпространств расслоения $\widetilde{\mathcal A}^{\vee}$ на $\mathbb{G}$, определенного в (4.15), и ее открытые подмножества
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal Y}_m:=\{[\widetilde{\xi}]\in{\mathcal G}r(\widetilde{\mathcal A}^{\vee},2)\mid E_{\widetilde{\xi} } \text{ стабилен}\},
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal R}_m:=\{[\widetilde{\xi}]\in{\mathcal G}r(\widetilde{\mathcal A}^{\vee},2)\mid E_{\widetilde{\xi}}\ \text{рефлексивен}\}.
\end{equation}
\tag{4.44}
$$
Повторяя доказательство теоремы 4.1 для $E$ из тройки (4.2), получаем вложения плотных открытых множеств
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal R}_m\subset\widetilde{\mathcal Y}_m\subset{\mathcal G}r(\widetilde{\mathcal A}^{\vee},2).
\end{equation}
\tag{4.45}
$$
Как и в (4.29), имеем модулярный морфизм $\Theta\colon \widetilde{\mathcal Y}_m\to M_X(v)$, $[\xi]\mapsto[E_{\widetilde{\xi}}]$, где $[E_{\widetilde{\xi}}]$ – класс изоморфизма пучка $E_{\widetilde{\xi}}$, получаемого по точке $\widetilde{\xi}$ как нижнее расширение в диаграмме (4.42). Полагая $\widetilde{M}_m=\Theta( \widetilde{\mathcal Y}_m)$, как и в (4.30) и (4.31), имеем биекцию
$$
\begin{equation}
\Theta\colon \widetilde{\mathcal Y}_m\xrightarrow{\simeq}\widetilde{M}_m
\end{equation}
\tag{4.46}
$$
и равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \dim\widetilde{M}_m &=\dim\widetilde{\mathcal Y}_m=\dim\operatorname{Gr}(\operatorname{Ext}^1(\mathcal I(m), \mathcal O_X(-1))^{\vee},2)+\dim\mathbb{G} \\ &=2\operatorname{ext}^1(\mathcal I(m),\mathcal O_X(-1))-4+4 =\operatorname{ext}^1(\mathcal I(m),\mathcal O_X(-1)^{\oplus2}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.47}
$$
Применяя к тройке (4.2) бифунктор $\mathbf{R}\operatorname{Hom}(-,-)$ и учитывая равенства (4.9)–(4.12), получаем коммутативную диаграмму Из этой диаграммы и равенств (4.41) и (4.47) получаем
$$
\begin{equation}
\operatorname{ext}^1(E,E)=\operatorname{ext}^1(\mathcal I(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus2})=\dim\widetilde{M}_m.
\end{equation}
\tag{4.49}
$$
Отсюда по теории деформации ввиду стабильности $E$ следует, что $\widetilde{M}_{k,m,n}$ – гладкое открытое подмножество неприводимой компоненты схемы модулей $M_X(v)$. Поэтому из (4.46), как и в (4.34), вытекает, что
$$
\begin{equation}
\Theta\colon \widetilde{\mathcal Y}_m\to\widetilde{M}_m -\text{ изоморфизм},
\end{equation}
\tag{4.50}
$$
т.е. $\widetilde{M}_m$ – гладкое рациональное многообразие, изоморфное ввиду (4.45) плотному открытому подмножеству в гладком многообразии ${\mathcal G}r(\widetilde{\mathcal A}^{\vee},2)$. При этом $\widetilde{M}_m$ также является тонким пространством модулей. Формулы для размерностей многообразий $\widetilde{M}_m$ как функций от $m$ получаются с учетом (4.5)–(4.8) и (4.47) по аналогии с формулами для размерностей $M_m$. Кроме того, ввиду (4.45) рефлексивные пучки в $\widetilde{M}_m$ составляют плотное открытое множество
$$
\begin{equation}
\widetilde{R}_m:=\Theta(\widetilde{\mathcal R}_m)\cong\widetilde{\mathcal R}_m.
\end{equation}
\tag{4.51}
$$
Итак, справедлива следующая теорема. Теорема 4.4. Пусть $X=X_2$ – квадрика, и пусть $M_X(v)$ – схема модулей Гизекера–Маруямы полустабильных пучков $E$ на $X$ с характером Черна $v=\operatorname{ch}(E)$, определяемым по формулам (2.6) и (4.2). Тогда верны следующие утверждения. (i) Семейство
$$
\begin{equation}
\widetilde{M}_m=\{[E]\in M_X(v)\mid E-\textit{ стабильное расширение (4.2)}\}
\end{equation}
\tag{4.52}
$$
является гладким плотным открытым подмножеством неприводимой рациональной компоненты схемы $M_X(v)$, и имеет место изоморфизм (4.50), в котором $\widetilde{\mathcal Y }_m$ – определенное в (4.43) открытое подмножество грассманизации $\widetilde{\pi}\colon {\mathcal G}r(\widetilde{\mathcal A}^{\vee},2)\to\mathbb{G}$, где $\widetilde{\mathcal A}$ – локально свободный пучок на $\mathbb{G}$, задаваемый второй формулой (4.15); при этом $\widetilde{M}_m$ является тонким пространством модулей, и рефлексивные пучки составляют в $\widetilde{M}_m$ плотное открытое множество $\widetilde{R}_m$, определенное в (4.51). (ii) Размерность многообразия $\widetilde{M}_m$ дается формулой Замечание 4.3. На квадрике $X=X_2$ рассмотрим нетривиальное расширение вида Теорема 4.5. Пусть $X=X_2$ – квадрика. Тогда в обозначениях замечания 4.3 верны следующие утверждения. (i) Семейство
$$
\begin{equation*}
M_m=\{[E]\in M_X(v)\mid E-\textit{ стабильное расширение (4.53)} \}
\end{equation*}
\notag
$$
является гладким плотным открытым подмножеством неприводимой рациональной компоненты схемы $M_X(v)$, и имеет место изоморфизм $\Theta$ в (4.56), в котором $\widetilde{\mathcal Y}_{\mathcal S,m}$ – определенное в замечании 4.3 открытое подмножество проективизации $\widetilde{\pi}\colon \mathbb{P}(\widetilde{\mathcal A}_{\mathcal S}^{\vee})\to \mathbb{G}$, где $\widetilde{\mathcal A}_{\mathcal S}$ – локально свободный пучок ранга $\operatorname{rk}\widetilde{\mathcal A}_{\mathcal S}=2m^2-8m+7$ на $\mathbb{G}$, задаваемый формулой (4.54); при этом $M_m$ является тонким пространством модулей, и рефлексивные пучки составляют в $M_m$ плотное открытое множество $\widetilde{R}_{\mathcal S,m}=\Theta(\widetilde{\mathcal R}_{\mathcal S,m})$, где $\widetilde{\mathcal R} _{\mathcal S,m}$ определено в замечании 4.3. (ii) Размерность многообразия $M_m$ дается формулой $\dim M_m{=}\,2m^2-8m+ 10$. 4.3. Третья серияПусть $k\geqslant1$, $n=\lfloor k/2\rfloor+1$ и $m+n<0$. Рассмотрим на $X$ пучок $F$ ранга $2$ и многообразие $W$, определяемые следующим образом. (I) В случае $X=X_1$ пучок $F$ определяется из точной тройки
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(-1)\to\mathcal O_{\mathbb{P}^3}^{\oplus 3}\to F\to 0.
\end{equation}
\tag{4.57}
$$
Как известно (см., например, [15; пример 4.2.1]), либо [2; замечание 2]), пространство модулей $W$ пучков $F$ изоморфно $\mathbb{P}^3$, и изоморфизм $W\xrightarrow{\simeq}\mathbb{P}^3$ дается формулой $[F]\mapsto\operatorname{Sing}(F)$. (II) В случае, когда $X=X_4$ – полное пересечение общего пучка гиперквадрик в $\mathbb{P}^5$, пусть $\mathbb{P}^1\subset|\mathcal O_{\mathbb{P}^5}(2)|$ – база этого пучка квадрик, и пусть $\Gamma$ – гиперэллиптическая кривая рода $2$, определяемая как двойное накрытие $\rho\colon \Gamma\to \mathbb{P}^1$, разветвленное в точках, соответствующих вырожденным квадрикам пучка. Пусть $\Gamma^*=\rho^{-1}({\mathbb{P}^1}^*)$, где ${\mathbb{P}^1}^*\subset\mathbb{P}^1$ – открытое подмножество невырожденных квадрик пучка, и пусть $\Delta=\rho^{-1}(\mathbb{P}^1\setminus{\mathbb{P}^1}^*)$. Всякой точке $x\in\Gamma^*$ отвечает одна из двух серий образующих плоскостей на невырожденной четырехмерной квадрике $Q(y):=\rho(y)$, и этой серии отвечает спинорное расслоение $\mathcal S(y)$ ранга $2$ на $Q(y)$ c $\det\mathcal S(y)=\mathcal O_{Q(y)}(1)$. В этом случае полагаем $F_y=\mathcal S(y)|_X$. Известно, что $\mathcal S(y)$ является арифметически Коэн–Маколеевым пучком (кратко: ACM-пучком), т.е. удовлетворяет равенствам
$$
\begin{equation}
h^i(\mathcal S(y)(\ell))=0, \qquad \ell\in\mathbb{Z}, \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{4.58}
$$
Отсюда и из когомологий тройки $0\to\mathcal S(y)(-2)\to\mathcal S(y) \to F_y\to0$ следует, что $F_y$ также является ACM-пучком. Пусть теперь $y\in\Delta$, т.е. вырожденная квадрика $Q(y)$ есть конус с вершиной в точке, скажем, $z(y)$, так что определена проекция $\mu\colon Q(y)\setminus \{z(y)\}\to Q_y$, где $Q_y$ – гладкая трехмерная квадрика. На $Q_y$ определено спинорное расслоение $\mathcal S_{Q_y}$ c $\det\mathcal S_{Q_y}=\mathcal O_{Q_y}(1) $, и полагаем $F_y=\mu^*\mathcal S_{Q_y}|_X$. Пучок $F_y$ также является ACM-пучком. В этом случае полагаем $W=\{[F_y]\mid y\in\Gamma\}\simeq \Gamma$. (III) В случае $X=X_5$ пучок $F$ определяется как ограничение на $X$ подкрученного на $\mathcal O_X(1)$ тавтологического расслоения на грассманиане $\operatorname{\operatorname{Gr}}(2,5)$. Класс изоморфизма $[F]$ пучка $F$ определен однозначно, и полагаем, что $W$ – это точка $\{[F]\}$. Отметим, что $F$ также является ACM-пучком. Отметим, что во всех случаях (I)–(III) на $W\times X$ определено универсальное семейство $\mathbb{F}$ пучков $F$. Рассмотрим пучок $E$ на $X$, получаемый как нетривиальное расширение
$$
\begin{equation}
0\to F(-n)\to E\to\mathcal O_S(m)\to0, \qquad S\in|\mathcal O_X(k)|, \qquad k\geqslant1.
\end{equation}
\tag{4.59}
$$
Далее, в случае, когда $E$ стабилен, по аналогии с (4.10), пользуясь определением и вышеуказанными свойствами пучка $F$, точной тройкой $0\to\mathcal O_X(-k)\to\mathcal O_X\to \mathcal O_S\to0$ и условием $m+n<0$, имеем равенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \hom(E,E) &=\hom(F,F)=\hom(\mathcal O_S(m),\mathcal O_S(m)) =\hom(E,\mathcal O_S(m)) \\ &=\hom(F(-n),E)=1, \end{aligned} \\ \hom(F(-n),\mathcal O_S(m)) =\operatorname{ext}^2(\mathcal O_S(m), F(-n))=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.60}
$$
Пусть, как и выше, $\mathbb{P}^N=|\mathcal O_X(k)|$, $\mathbb{S}\subset\mathbb{P}^N \times X$ – универсальное семейство поверхностей степени $k$ в $X$, и пусть $W\times X\xleftarrow{q}W\times\mathbb{P}^N \times X\xrightarrow{p}W\times\mathbb{P}^N$ – проекции. На $W\times\mathbb{P}^N$ по аналогии с (4.15)–(4.17) имеем локально свободный пучок
$$
\begin{equation}
\mathcal A=\mathcal E xt_p^1(\mathcal O_{W\times\mathbb{P}^N}\boxtimes\mathcal O_X(m)|_{W\times\mathbb{S}},\mathcal O_{\mathbb{P}^N} \boxtimes \mathcal O_X(-n)\otimes q^*\mathbb{F}),
\end{equation}
\tag{4.61}
$$
построение которого коммутирует с заменой базы:
$$
\begin{equation}
\tau_{F,S}\colon \mathcal A\otimes\mathbf k_{\{F,S\}}\xrightarrow{\cong} \operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),F(-n)),
\end{equation}
\tag{4.62}
$$
а также равенство
$$
\begin{equation}
\mathcal E xt_p^0(\mathcal O_{W\times\mathbb{P}^N}\boxtimes\mathcal O_X(m)|_{W\times\mathbb{S}},\mathcal O_{W\times\mathbb{P}^N} \boxtimes\mathcal O_X(-n)\otimes q^*\mathbb{F})=0.
\end{equation}
\tag{4.63}
$$
Рассмотрим многообразия $Y=\mathbb{P}(\mathcal A^{\vee})$ и $X_Y=Y\times X$ с проекциями $Y\xrightarrow{ \rho}\mathbb{P}^N$ и $Y\xleftarrow{p_Y}X_Y\xrightarrow{\rho_Y}W\times\mathbb{P}^N\times X$. Из (4.62), (4.63) и [20; следствие 4.5] следует, что на $X_Y$ имеется универсальное семейство расширений
$$
\begin{equation*}
0\to p_Y^*\mathcal O_P(1)\otimes(\mathcal O_{W\times\mathbb{P}^N}\boxtimes\mathcal O_X(-n)\otimes q^*\mathbb{F})\to\mathcal V \to\rho_Y^*(\mathcal O_{W\times\mathbb{P}^N}\boxtimes\mathcal O_X(m)|_{W\times\mathbb{S}})\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к этой тройке функтор $\rho_{Y*}$, получаем на $W\times\mathbb{P}^N\times X$ универсальное расширение, где $\mathcal U=\rho_{Y*}\mathcal V$:
$$
\begin{equation}
0\to p^*\mathcal A^{\vee}\otimes(\mathcal O_{W\times\mathbb{P}^N}\boxtimes\mathcal O_X(-n)) \to\mathcal U\to\mathcal O_{\mathbb{P}^N}\boxtimes\mathcal O_X(m)|_{\mathbb{S}}\to0.
\end{equation}
\tag{4.64}
$$
Заметим, что расширение (4.59) задается элементом $\xi\,{\in}\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m), F(-n))$, рассматриваемым как гомоморфизм
$$
\begin{equation}
\xi\colon \operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n))^{\vee}\to\mathbf k.
\end{equation}
\tag{4.65}
$$
По универсальности точная тройка (4.64), ограниченная на $\{S\}\times X$, с учетом замены базы (4.62) включается с расширением (4.59) в коммутативную диаграмму Гомоморфизм $\xi$ в (4.65) ненулевой, поскольку расширение (4.59) нетривиально. Тем самым $\xi$ является эпиморфизмом. Класс $[\xi]$ эпиморфизма $\xi$ по модулю автоморфизмов пространства $\mathbf k$ является точкой проективизации $\mathbb{P}( \operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m)\mathcal O_X(-n))^{\vee})$. Имеем подмножество $\mathcal Y_{k,m,n}$ в $\mathbb{P} (\mathcal A ^{\vee})$, определяемое как $\mathcal Y_{k,m,n}:=\{[\xi]\in \mathbb{P}(\mathcal A ^{\vee})\mid \text{ расширение }E_{[\xi]}\ \text{в}\ (4.66)\ \text{стабильно}\}$, с модулярным морфизмом $\Theta\colon \mathcal Y_{k,m,n}\to M_X(v)$, $ [\xi]\mapsto[E_{[\xi]}]$, определяемым дословно как и в (4.29). При этом, как и в случае расширения (4.1), ввиду (4.60) расширение (4.59) определено по пучку $E$ однозначно, т.е. класс $[\xi]$ восстанавливается по точке $[E]$ однозначно. Тем самым $\Theta$ является биекцией многообразия $\mathcal Y_{k, m,n}$ на его образ $M_{k,m,n}$ в $M_X(v)$, и по аналогии с (4.31) имеем равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \dim M_{k,m,n} &=\dim\mathcal Y_{k,m,n}=\dim\mathbb{P}(\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S (m),F(-n))^{\vee})+\dim W \\ &\qquad +\dim|\mathcal O_X(k)|=\operatorname{ext}^1(\mathcal O_S(m),F(-n))+\dim W+N-1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.67}
$$
Применяя к тройке (4.59) бифунктор $\mathbf{R} \operatorname{Hom}(-,-)$ и учитывая равенства (4.60), получаем коммутативную диаграмму: Из этой диаграммы и равенства $\operatorname{ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_S(m)){\kern1pt}{=}{\kern1pt}N$ и $\operatorname{ext}^1(F(-n),F(-n))=\dim W$ следует, что $\operatorname{ext}^1(E,E)=\operatorname{ext}^1(\mathcal O_S(m),F(-n))-1+\dim W +N$, откуда в силу (4.67) находим $\dim\Theta(\mathcal Y_{k,m,n})=\operatorname{ext}^1(E,E) =\dim_{[E]} M_X(v)$. Это означает, что $M_{k,m,n }$ – гладкая компонента схемы модулей $M_X(v)$. Отсюда, как и в (4.34) и (4.50), получаем изоморфизм $\Theta\colon \mathcal Y_{k,m,n}\to M_{k,m,n}$, т.е. $M_{k,m,n}$ – гладкое многообразие. При этом из диаграммы (4.20) получаем, что $M_{k,m,n}$ – тонкое пространство модулей. Точные формулы для размерностей многообразий $M_{k,m,n}$ получаются с учетом (4.67) по аналогии с формулами (4.10). Итак, имеет место следующая теорема. Теорема 4.6. Пусть $X$ – одно из многообразий $X_1$, $X_4$, $X_5$, пусть $k\geqslant1$, $n=\lfloor k/2\rfloor+1$, $m<-n$, а $M_X(v)$ – схема модулей Гизекера–Маруямы полустабильных пучков $E$ на $X$ с характером Черна $v=\operatorname{ch}(E)$, определяемым из тройки (4.59). Тогда (i) семейство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{k,m,n} &{=}\,\{[E]\,{\in}\, M_X(v)\,|\, E \textit{ задается расширением (4.59), в котором}\ S\,{\in}\,|\mathcal O_X(k)|, \\ &\qquad \textit{a пучок}\ F\ \textit{определяется вышеописанными условиями } \textrm{(I)}{-}\textrm{(III)}\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
является гладкой неприводимой компонентой схемы $M_X(v)$ и описывается как проективизация $\pi\colon \mathbb{P}(\mathcal A^{\vee})\to W\times\mathbb{P}^N$ пучка $\mathcal A^{\vee}$, где многообразие $W$ определено условиями (I)–(III) выше, а $\mathcal A$ – локально свободный пучок на $W\times\mathbb{P}^N$, где $\mathbb{P}^N=| \mathcal O_X(k)|$, задаваемый формулой (4.61); эта компонента – рациональное многообразие для $X=X_1,X_2,X_5$ и нерациональное для $X=X_4$; при этом $M_{k,m,n}$ является тонким пространством модулей, и все пучки из $M_{k,m,n}$ стабильны; (ii) размерность многообразия $M_{k,m,n}$ дается формулами: (ii.1) для $X=X_1$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dim M_{k,m,n} &=\binom{k+3}{3}+3\binom{-m-n+k+3}{3}-\binom{-m-n+k+2}{3} \\ &\qquad -3\binom{-m-n+3}{3}+\binom{-m-n+2}{3}+1; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(ii.2) для $X=X_4$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dim M_{k,m,n} &=4\biggl[\binom{k-m-n+4}{4}-\binom{k-m-n+2}{4} \\ &\qquad -\binom{-m-n+4}{4} +\binom{-m-n+2}{4}\biggr]; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(ii.3) для $X=X_5$ 4.4. Рефлексивные стабильные пучки общего типа с $c_1=0$ на $X_4$ и $X_5$В заключение этого параграфа докажем одну теорему, касающуюся рефлексивных пучков в компонентах схемы Гизекера–Маруямы, построенных в теоремах 4.2–4.6. Для $X=X_4$ или $X_5$ обозначим через $B(X)$ базу семейства прямых на $X$. Как известно, $B(X_4)$ есть гладкая абелева поверхность, а $B(X_5)\simeq\mathbb{P}^2$. Дадим следующее определение, которое будет ключевым для использования в § 6. Определение 4.1. Рефлексивный пучок $E$ ранга $2$ с первым классом Черна $c_1(E)=0$ на $X=X_4$ либо $X=X_5$ называется пучком общего типа, если для любой прямой $l\in B(X)$, не проходящей через точки из $\operatorname{Sing} E$, либо $E|_l\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}^{\oplus2}$, и такие прямые составляют плотное открытое множество в $B(X)$, либо $E|_l\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(m)\oplus\mathcal O_{ \mathbb{P}^1}(-m)$, где $m>0$, причем множество $B_2(X):=\{l\in B(X)\mid E|_l \cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(m)\oplus\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-m),\ m\geqslant2\}$ имеет размерность $\leqslant0$. В нижеследующей теореме приведены примеры бесконечных серий неприводимых компонент схемы модулей Гизекера–Маруямы для многообразий $X_4$ и $X_5$ таких, что общие точки этих компонент являются рефлексивными пучками общего типа. Теорема 4.7. Рассмотрим следующие бесконечные серии компонент схемы модулей Гизекера–Маруямы полустабильных пучков ранга $2$ на многообразиях $X_4$ и $X_5$: (I) серии компонент $M_{2,m,1}$ из теоремы 4.2 для случая $k=2$, $m\leqslant-2$, $n=1$; (II) серии компонент $M_{1,m,1}$ из теоремы 4.6 для случая $k=n=1$, $m\leqslant-1$. Тогда общий пучок в каждой из этих компонент является рефлексивным стабильным пучком общего типа. Доказательство. (I) Для $[E]\in M_{2,m,1}$ имеем тройку (4.1) для $k=2$, $m\leqslant-2$, $n=1$ и $S\in\mathbb{P}^N=|\mathcal O_X(2)|$:
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}\to E\to\mathcal O_S(m)\to 0, \qquad S\in|\mathcal O_X(2)|.
\end{equation}
\tag{4.68}
$$
Рассмотрим многообразие $\Pi:=\{(\mathbb{P}^1,S)\in B(X)\times\mathbb{P}^N\mid \mathbb{P}^1\subset S\}$ с проекциями $B(X)\xleftarrow{\mathrm{pr}_1}\Pi\xrightarrow{\mathrm{pr}_2}\mathbb{P}^N$. Простое вычисление показывает, что размерность слоя проекции $\mathrm{pr}_1$ равна $N-3$. С другой стороны, как известно (см. [1]), $\dim B(X)\,{=}\,2$ для $X=X_4$. Отсюда $\dim\Pi=N-1<N=\dim\mathbb{P}^N$. Поэтому возьмем в тройке (4.68) поверхность $S$ такую, что $S\in\mathbb{P}^N\setminus(\mathrm{pr}_2(\Pi))$. По определению $\Pi$ это означает, что на поверхности $S$ нет прямых. Поэтому, беря произвольную прямую $\mathbb{P}^1 \subset X$, не пересекающуюся с $\operatorname{Sing} E$, имеем схему $Z_2:=s\cap\mathbb{P}^1$ длины $\ell(Z_2) =2$. Ограничивая тройку (4.68) на $\mathbb{P}^1$, получаем точную тройку
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-1)^{\oplus 2}\to E|_{\mathbb{P}^1}\to\mathcal O_{Z_2}\to0.
\end{equation}
\tag{4.69}
$$
Это ограничение можно рассматривать как гомоморфизм пространств расширений $r\colon \operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-1)^{\oplus2}))\to\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_{Z_2},\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-1)^{\oplus2}))$, при котором $r(\xi)=\xi_{\mathbb{P}^1}$, где элементы $\xi$ и $\xi_{\mathbb{P}^1}$ задают расширения (4.68) и (4.69) соответственно. Гомоморфизм $r$ разлагается в композицию
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r\colon \operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-n)^{\oplus2}) &\xrightarrow[\cong]{\varphi}H^0( \mathcal O_S(1-m)^{\oplus2})\xrightarrow{\otimes\mathcal O_{\mathbb{P}^1}}H^0(\mathcal O_{Z_2}^{\oplus2}) \\ &\xrightarrow[\cong]{\varphi_{\mathbb{P}^1}^{-1}}\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_{Z_2},\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-1)^{\oplus2}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi$ – это изоморфизм (4.26) для $k=2$, $n=1$, а изоморфизм $\varphi_{ \mathbb{P}^1}$ строится по аналогии с $\varphi$. Проверим, что $r$ – эпиморфизм. Для этого достаточно убедиться в эпиморфности гомоморфизма $\otimes\mathcal O_{\mathbb{P}^1}$. Рассмотрим вложение $X=X_q\hookrightarrow\mathbb{P}^{q+1}$, $q\in\{4,5\}$, и пусть $L\cong\mathbb{P}^{q-1}$ – подпространство коразмерности 2 в $\mathbb{P}^{q+1}$, содержащее подсхему $Z_2$ и пересекающее $S$ по некоторой 0-мерной схеме $Z$. (Простой счет параметров показывает, что для общего $L$ через $Z_2$ условие $\dim Z=0$ выполнено.) Тогда имеем $\mathcal O_S$-резольвенту Кошуля пучка
Пользуясь тройкой (4.7) и условием $m\leqslant-2$, находим $H^2(\mathcal O_S(-m-1))=H^1(\mathcal O_S(-m))=0$, и резольвента дает эпиморфизм $h^0(\varepsilon)\colon H^0(\mathcal O_S(-m+1)^{\oplus2})\to H^0(\mathcal O_Z^{\oplus2})$. Тем самым
$$
\begin{equation*}
\otimes\mathcal O_{\mathbb{P}^1}\colon H^0(\mathcal O_S(-m+1)^{\oplus2})\xrightarrow{h^0(\otimes\mathcal O_Z)}H^0( \mathcal O_Z^{\oplus2})\overset{h^0(\otimes\mathcal O_{Z_2})}{\twoheadrightarrow}H^0(\mathcal O_{Z_2}^{\oplus2})
\end{equation*}
\notag
$$
– эпиморфизм. Так как $\mathbb{P}^1\cap\operatorname{Sing} E=\varnothing$, то пучок $E|_{\mathbb{P}^1}$ локально свободен, поэтому тройка (4.69) показывает, что $E|_{\mathbb{P}^1}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(a)\oplus\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-a)$, $0\leqslant a\leqslant1$. С другой стороны, для общего $\xi_{\mathbb{P}^1}\in\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_{Z_2},\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-1)^{\oplus2})$ в (4.69) имеем $E|_{\mathbb{P}^1}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}^{\oplus2}$. Отсюда ввиду сюръективности $r$ следует, что для общего $\xi\in\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal O_X(-1)^{\oplus2})$ пучок $E$ в (4.68) является пучком общего типа. (II) Рассмотрим случай $[E]\in M_{1,m,1}$ из теоремы 4.6. Имеем тройку (4.1) для $k=n=1$, $m\leqslant-1$ и $S\in\mathbb{P}^N=|\mathcal O_X(1)|$:
$$
\begin{equation}
0\to F(-1)\to E\to\mathcal O_S(m)\to 0, \qquad S\in|\mathcal O_X(1)|.
\end{equation}
\tag{4.70}
$$
В этом случае общая поверхность $S\in|\mathcal O_X(1)|$ для обоих многообразий $X\,{=}\,X_4$ и $X=X_5$ есть гладкая поверхность дель Пеццо, содержащая конечное число прямых и удовлетворяющая условию $S\cap\operatorname{Sing} E=\varnothing$. Тогда пучок $E|_{\mathbb{P}^1}$ локально свободен, и тройка (4.70), ограниченная на любую прямую $\mathbb{P}^1\subset S$, дает эпиморфизм $E|_{\mathbb{P}^1}\twoheadrightarrow\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(m)$, откуда $E|_{\mathbb{P}^1}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(a)\oplus\mathcal O _{\mathbb{P}^1}(-a)$, $a\leqslant m$. Пусть теперь $\mathbb{P}^1$ – любая прямая на $X$ такая, что $\mathbb{P}^1\not \subset S$ и $\mathbb{P}^1\cap\operatorname{Sing} E=\varnothing$. Тогда по-прежнему пучок $E|_{\mathbb{P}^1}$ локально свободен, и, ограничивая тройку (4.70) на $\mathbb{P}^1$, получаем точную тройку
$$
\begin{equation*}
0\to\mathcal O_{\mathbb{P}^1}\oplus\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-1)\to E|_{\mathbb{P}^1}\to\mathbf k_x\to0, \qquad x=\mathbb{P}^1\cap S.
\end{equation*}
\notag
$$
По аналогии со случаем (I) нам достаточно проверить сюръективность гомоморфизма $r\colon \operatorname{Ext}^1(\mathcal O_S(m),\mathcal S(-1))\to\operatorname{Ext}^1(\mathbf k_x,\mathcal O_{\mathbb{P}^1}\oplus\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-1))$, которая, в свою очередь, эквивалентна сюръективности гомоморфизма $h^0(\otimes\mathcal O_Z)$:$H^0(\mathcal S(-m)|_S)\to H^0(\mathcal O_Z^{\oplus2})$ для 0-мерной схемы $Z=L\cap S$, содержащей точку $x$, где, как и выше, $L$ – подпространство коразмерности 2 в $\mathbb{P}^{q+1}$. Сюръективность $h^0(\otimes\mathcal O_Z)$ при $m\leqslant-1$ проверяется с помощью резольвенты
$$
\begin{equation*}
0\to F(-m-2)|_S\to F(-m-1)^{\oplus2}|_S\to F(-m)|_S\xrightarrow{\otimes\mathcal O_Z}\mathcal O_Z^{\oplus2}\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что рефлексивность и стабильность общего $E$ в (4.68) и (4.70) следуют из теоремы 4.1. Теорема 4.7 доказана. § 5. Пространства модулей полустабильных пучков ранга $2$ с максимальным третьим классом Черна на трехмерной квадрике $X_2$5.1. Общий случай полустабильных пучков ранга $2$ с $-1\,{\leqslant}\, c_1\,{\leqslant}\,0$ и максимальным классом $c_3$ на квадрике $X_2$Стабильные пучки $E$ ранга $2$ с максимальным третьим классом Черна, описанные в теореме 3.1, являются частными случаями пучков, входящих в точные тройки (4.1), (4.2), (4.37), (4.53). А именно, для пучка $E$ с $v=\operatorname{ch}(E)=(2,cH,dH^2,e[\mathrm{pt}])$ имеем: (1) При $c=-1$, нецелом $d\leqslant-3/2$ и $e=d^2-2d+5/{12}$ согласно утверждению (1.4) теоремы 3.1 пучок $E$ входит в точную тройку (4.1) с $k=n=1$, $m=d-1/2$, $S=Q_2$. (2) При $c=-1$, целом $d\leqslant-1$ и $e=d^2-2d+\frac 16$ согласно утверждению (1.3) теоремы 3.1 пучок $E$ входит в точную тройку (4.2) с $m=d$, $S=Q_2$. (3) При $c=0$, нецелом $d\leqslant-\frac32$ и $e=d^2+\frac14$ согласно утверждению (2.4) теоремы 3.1 пучок $E$ входит в точную тройку (4.37) с $k=n=1$, $m=d+\frac12$, $S=Q_2$. (4) При $c=0$, целом $d\leqslant-3$ и $e=d^2$ согласно утверждению (2.6) теоремы 3.1 пучок $E$ входит в точную тройку (4.53) с $m=d$, $S=Q_2$. В этом пункте доказывается следующая теорема, дающая полное описание пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ с максимальным третьим классом Черна на квадрике $X_2$ для всех возможных значений второго класса Черна $c_2$ в случаях (1)–(4) выше. Теорема 5.1. Пусть $X=X_2$ – квадрика, а $M_X(v)$ – схема модулей Гизекера–Маруямы полустабильных пучков $E$ ранга $2$ на $X$ с классами Черна $(c_1,c_2,c_3)$, где $c_1\in\{-1,0\}$, $c_2\geqslant0$, $c_3=c_{3\max}$ максимален при каждых $c_1$ и $c_2$, и (i) При $c_1=-1$, четном $c_2=2p$, $p\geqslant2$, и $c_{3\max}=\frac12c_2^2$ многообразие $M_X(v)$ является грассманизацией двумерных факторпространств векторного расслоения $\mathcal A^{\vee}$ ранга $\operatorname{rk}\mathcal A=\frac14(c_2+2)^2$ на пространстве $\mathbb{P}^4$, определяемого первой формулой (4.15) при $n=1$ и $m=-p$. При этом $\dim M_X(v)= \frac12(c_2+2)^2$. (ii) При $c_1=-1$, нечетном $c_2=2p+1$, $p\geqslant1$, и $c_{3\max}=\frac12(c_2^2-1)$ многообразие $M_X(v)$ является грассманизацией двумерных факторпространств векторного расслоения $\widetilde{\mathcal A}^{\vee}$ ранга $\operatorname{rk}\widetilde{\mathcal A}^{\vee}=\frac14(c_2+1)(c_2+3)$ на грассманиане $\mathbb{G}$, определяемого второй формулой (4.15) при $m=-p$. При этом $\dim M_X(v)=\frac12(c_2+1)(c_2+3)$. (iii) При $c_1=0$, нечетном $c_2=2p+1$, $p\geqslant1$, и $c_{3\max}=\frac12(c_2^2+1)$ многообразие $M_X(v)$ является проективизацией векторного расслоения $\mathcal A_{\mathcal S}^{\vee}$ ранга $\operatorname{rk}\mathcal A_{\mathcal S}^{\vee}=\frac12(c_2+1)(c_2+3)$ на пространстве $\mathbb{P}^4$, определяемого формулой (4.38) при $n=1$ и $m=-p$. При этом $\dim M_X(v)= \frac12c_2^2+2c_2+\frac92$. (iv) При $c_1=0$, четном $c_2=2p$, $p\geqslant3$, и $c_{3\max}=\frac12c_2^2$ многообразие $M_X(v)$ является проективизацией векторного расслоения $\widetilde{\mathcal A} _{\mathcal S}^{\vee}$ ранга $\operatorname{rk}\widetilde{\mathcal A}_{\mathcal S}^{\vee}= \frac12c_2^2+2c_2+ 1$ на грассманиане $\mathbb{G}$, определяемого формулой (4.54) при $n=1$ и $m=1-p$. При этом $\dim M_X(v)=\frac12c_2^2+2c_2+4$ . Доказательство. (i), (ii) Покажем, что всякий пучок $E$, задаваемый расширением (4.1) для случая $k=n=1$, $m=-p$, $S\in|\mathcal O_X(1)|$
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}\to E\to\mathcal O_{S}(-p)\to0, \qquad p\geqslant2,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
либо расширением (4.2) для $m=-p$
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}\to E\to\mathcal J_{\mathbb{P}^1,S}(-p)\to0, \qquad p\geqslant1,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
стабилен, т.е. согласно определениям (4.22) и (4.43), что
$$
\begin{equation}
\mathcal Y_{1,m,1}={\mathcal G}r(\mathcal A^{\vee},2), \quad m\leqslant-2, \qquad\widetilde{\mathcal Y}_m={\mathcal G}r(\widetilde{\mathcal A}^{\vee},2), \quad m\leqslant-1.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Действительно, задание расширения (5.1) равносильно заданию элемента пространства $\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_{S}(-p),\mathcal O_X(-1)^{\oplus2})$. Для полустабильного пучка $E$ тройка (5.1) есть его тилт-фильтрация Хардера–Нарасимхана в смысле [7; лемма 3.2.4], если $E$ является тилт-нестабильным. Факторы тилт-фильтрации Хардера–Нарасимхана единственны, т.е. $E$ определяет поверхность $S$ и подпучок $\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}$. При этом группа $\operatorname{GL}(2)$ действует автоморфизмами пучка $\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}$, не меняя класса изоморфизма пучка $E$. Это значит, что имеется подпространство в $\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_{S}(-p),\mathcal O_X(-1))$. Если это подпространство нульмерно, то $E$ является прямой суммой и, значит, нестабильно. Предположим, что это подпространство одномерно. Тогда морфизм $\mathcal O_{S}(-p)\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus2}[1]$ пропускается через $\mathcal O_X(-1)[1]$. Тогда из аксиомы октаэдра вытекает существование отображения $E\twoheadrightarrow\mathcal O_X(-1)$, вопреки стабильности $E$.
Обратно, пусть задано двумерное подпространство в $\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_{S}(-p),\mathcal O_X(-1))$. Выбор в этом подпространстве двух базисных векторов дает расширение (5.1). Здесь $E$ строго полустабилен вдоль индуцированной стенки $W$. Его факторы фильтрации Жордана–Гёльдера вдоль стенки суть две копии пучка $\mathcal O_X(-1 )$ и одна копия пучка $\mathcal O_{S}(-p)$. Тогда факторы Жордана–Гёльдера любого дестабилизирующего подобъекта для $E$ содержатся среди указанных пучков. По построению имеем $\operatorname{Hom}(E,\mathcal O_X(-1))=0$. Поэтому ни пучок $\mathcal O_{S}(-p)$, ни расширение пучка $\mathcal O_{S}(-p)$ посредством $\mathcal O_X(-1)$ не может быть подобъектом в $E$. В случае расширения (5.2) рассуждение аналогично случаю расширения (5.1). Применяя теперь утверждения (i) и (ii.2) теорем 4.2 и 4.4 к многообразиям $\mathcal Y_{1,m,1}={\mathcal G}r(\mathcal A^{\vee},2)$ и $\widetilde{\mathcal Y} _m={\mathcal G}r(\widetilde{\mathcal A}^{\vee},2)$ из (5.3) соответственно, получаем утверждения (i) и (ii) настоящей теоремы. (iii), (iv) Покажем, что всякий пучок $E$, задаваемый расширениями (4.37) и (4.53) для случая $k=n=1$, $m=-p$, $S\in|\mathcal O_X(1)|$:
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal S(-1)\to E\to\mathcal O_{S}(-p)\to0, \qquad p\geqslant1,
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal S(-1)\to E\to\mathcal J_{\mathbb{P}^1,S}(-p)\to0, \qquad p\geqslant2,
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
стабилен, т.е. согласно определениям $\mathcal Y_{\mathcal S,1,m,1}$ и $\widetilde{\mathcal Y}_{\mathcal S,1,m,1}$ (см. замечания 4.2 и 4.3 соответственно), что
$$
\begin{equation}
\mathcal Y_{\mathcal S,1,m,1}=\mathbb{P}(\mathcal A_{\mathcal S}^{\vee}), \quad m\leqslant-1; \qquad \widetilde{\mathcal Y}_{\mathcal S,m}=\mathbb{P}(\widetilde{\mathcal A}_{\mathcal S}^{\vee}), \quad m\leqslant-2.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Действительно, расширение (5.4) соответствует элементу из $\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_{S} (-p),\mathcal S(-1))$. Для полустабильных объектов это расширение есть тилт-фильтрация Хардера–Нарасимхана для $E$ при условии, что $E$ является тилт-нестабильным. Факторы Хардера–Нарасимхана единственны. Это означает, что $E$ определяет двумерную квадрику $S$ и пучок $\mathcal S(-1)$ как подобъект в $E$. Умножение морфизма $\mathcal S(-1)\to E$ на скаляр не меняет класс изоморфизма пучка $E$. Вдобавок, если $E$ является прямой суммой, он не является стабильным.
Обратно, пусть задано одномерное подпространство в $\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_{S}(-p),\mathcal S(-1))$. Выбор любого ненулевого вектора в этом подпространстве дает нетривиальное расширение (5.4). Этот объект $E$ строго полустабилен вдоль индуцированной стенки $W$. Факторы Жордана–Гёльдера объекта $E$ определены однозначно, и единственные подходящие дестабилизирующие подобъекты в $E$ над стенкой суть либо $\mathcal S(-1)$, либо $\mathcal O_{S}(-p)$. Однако $\mathcal S(-1)$ не дестабилизирует $E$ по численным причинам. С другой стороны, нерасщепимость предыдущей точной тройки означает, что $\mathcal O_{S}(-p)$ не может быть подобъектом в $E$. В случае расширения (5.5) рассуждение аналогично случаю расширения (5.4). Применяя теперь утверждения (i) и (ii.2) теорем 4.3 и 4.5 к многообразиям $\mathcal Y_{\mathcal S,1,m,1}={\mathcal G}r(\mathcal A_{\mathcal S}^{\vee},2)$ и $\widetilde{\mathcal Y}_{\mathcal S,1,m,1}={\mathcal G}r(\widetilde{\mathcal A}_{\mathcal S}^{\vee},2)$ из (5.6) соответственно, получаем утверждения (iii) и (iv) настоящей теоремы. Теорема 5.1 доказана. 5.2. Специальные случаи полустабильных пучков ранга $2$ с малыми значениями класса $c_2$ и максимальным классом $c_3\geqslant0$ на $X_2$Теорема 5.1 покрывает бо́льшую часть возможных значений классов Черна полустабильных пучков $E$ ранга $2$ на квадрике $X_2$. Оставшиеся частные случаи для $c_3\geqslant0$ и малых значений класса $c_2$ указаны в утверждениях (1.1), (1.2), (2.1), (2.2), (2.3) и (2.5) теоремы 3.1. Ниже в теореме 5.2 мы описываем модули пучков $E$ для первых трех из указанных случаев, а в теоремах 5.3 и 5.4 – для двух последних случаев соответственно. Теорема 5.2. В условиях и обозначениях теоремы 5.1 справедливы следующие утверждения. (1) При $c_1=-1$, $c_2=1$ и $c_{3\max}=0$ многообразие $M_X(v)$ – точка $[\mathcal S(-1)]$. (2) При $c_1=c_2=c_{3\max}=0$ многообразие $M_X(v)$ – точка $[\mathcal O_X^{\oplus2}]$. (3) При $c_1=-1$, $c_2=2$ и $c_{3\max}=2$ имеем $M_X(v)\simeq \operatorname{Gr}(2,5)$. Доказательство. Утверждения (1) и (2) следуют непосредственно из утверждений (1.1) и (2.1) теоремы 3.1. Перейдем к рассмотрению последнего случая.
(3) В этом случае согласно утверждению (1.2) теоремы 3.1 пучок $E$ определяется точной тройкой
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal O_X(-2)\xrightarrow{f}\mathcal O_X(-1)\otimes U\to E\to0.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Морфизм $f$ можно рассматривать как трехмерный фактор $U$ пространства $H^0(\mathcal O_X(1))^{\vee }$, т.е. как точку грассманиана $\operatorname{Gr}(2,5)$. Рассмотрим отображение $\varphi\colon \operatorname{Gr}(2,5)\to M\colon (H^0(\mathcal O_X(1))^{\vee}\twoheadrightarrow U)\mapsto E$, где $E$ определено в (5.7).
Проверим, что функция $\varphi$ корректно определена. Для этого достаточно убедиться, что $E$ $\mu$-стабилен. По теореме 3.1 имеется единственная стенка $W$ для вышеуказанных объектов $E$, заданная точной тройкой
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 3}\to E\to\mathcal O_X(-2)[1]\to0.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Поэтому проверка того, что объект $E=\varphi(U)$ $\mu$-стабилен, равносильна проверке $\nu_{\alpha, \beta}$-стабильности $E$ в окрестности этой стенки $W$ над ней. Если $E$ не полустабилен над $W$, то имеется дестабилизирующий полустабильный фактор $E\twoheadrightarrow G$. Поскольку $E$ строго полустабилен вдоль $W$, то фактор удовлетворяет равенству $\nu_{ \alpha,\beta}(E)=\nu_{\alpha, \beta}(G)$ для $(\alpha,\beta)$ на $W$. Как известно, в любой фильтрации Жордана–Гёльдера для $E$ имеются три стабильных фактора $\mathcal O_X(-1)$ и один стабильный фактор $\mathcal O_X(-2)[1]$. Тем самым стабильные факторы объекта $G$ содержатся среди этих пучков. Фактор $\mathcal O_X(-2)[1]$ не дестабилизирует $E$ над $W$ по численным причинам. Векторное пространство $\operatorname{Hom}(E,\mathcal O_X(-1))$ является ядром гомоморфизма $\operatorname{Hom}(\mathcal O_X(-1)\otimes U,\mathcal O_X(-1))\to\operatorname{Hom}(\mathcal O_X(-2), \mathcal O_X(-1))$, который инъективен. Следовательно, $G\not\cong\mathcal O_X(-1)^{\oplus a}$ для $a\in\{1,2,3\}$. Если $G$ – расширение $\mathcal O_X(-1)$ посредством $\mathcal O_X(-2)[1]$, то соответствующий подобъект есть $\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2} $, и он не дестабилизирует $E$ над стенкой. Аналогично, если $G$ – расширение $\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}$ посредством $\mathcal O(-2)[1]$, то соответствующий подобъект дается пучком $\mathcal O_X(-1)$, который не дестабилизирует $E$ над стенкой. Таким образом, $E$ $\mu$-стабилен.
Проверим, что $\varphi$ – биекция. Согласно теореме 3.1, (1.2) любой полустабильный объект $E$ с $c_1=-1$, $c_2=2$ и $c_{3\max}=0$ удовлетворяет точной тройке (5.8). Задание такого расширения равносильно заданию элемента $\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_X(-2)[1], \mathcal O_X(-1)^{\oplus 3})=H^0(\mathcal O_X(1))^{\oplus 3}$. В теореме 3.1 было показано, что это расширение есть тилт-фильтрация Хардера–Нарасимхана для $E$ под стенкой. Факторы этой фильтрации единственны. Это означает, что $E$ определяет подобъект $\mathcal O_X(-1)^{\oplus 3}$. Однако группа $\mathrm{GL}(3)$ действует автоморфизмами на $\mathcal O_X(-1)^{\oplus 3}$, не меняя класса изоморфизма $E$. Это означает, что мы получаем единственное подпространство в $H^0(\mathcal O_X(1))$. Однако, если это подпространство не трехмерно, то имеется дестабилизирующий морфизм $E\twoheadrightarrow\mathcal O_X(-1)$. Этим одновременно доказывается сюръективность и инъективность $\varphi$. Покажем, что $\varphi$ – морфизм схем. Для этого достаточно построить универсальное семейство $\mathcal E$ пучков $E$ на $\operatorname{Gr}(2,5)\times \mathbb{P}^3$. Универсальное свойство схемы $M_X(v)$ тогда показывает, что $\varphi$ является морфизмом. Имеем две проекции $\operatorname{Gr}(2,5)\xleftarrow{p_1}\operatorname{Gr}(2,5)\times X\xrightarrow{p_2}X$ и тавтологическое факторрасслоение ранга $3$ $\mathcal O_{\operatorname{Gr}(2,5)}\otimes H^0(\mathcal O_X(1))^{\vee}\twoheadrightarrow\mathcal Q$ на $\operatorname{Gr}(2,5)$. Искомое универсальное семейство $\mathcal E$ получается как коядро композиции морфизмов $p_2^*\mathcal O_X(-2)\to H^0(\mathcal O_X(1))^{\vee}\otimes p_2^*\mathcal O_X(-1)\to\mathcal Q\boxtimes\mathcal O_X(-1)$. Для доказательства гладкости $M_X(v)$ достаточно показать $\operatorname{Ext}^2(E,E){\kern1pt}{=}\,0$. Это получается применением трех функторов ${\mathbf R}\operatorname{Hom}(-,\mathcal O_X(-2)[1])$, ${\mathbf R}(-,\mathcal O_X(-1))$ и ${\mathbf R}\operatorname{Hom}(E,-)$ к точной тройке (5.8). Из гладкости $M_X(v)$ и биективности $\varphi$ и [28; гл. 2, § 4.4, теорема 2.16] вытекает, что $\varphi$ – изоморфизм. Теорема доказана. Теорема 5.3. При $c_1=0$, $c_2=2$ и $c_{3\max}=2$ схема $M_X(v)$ неприводима, имеет размерность 9 и не является гладкой. Доказательство. Пусть $E$ – полустабильный по Гизекеру пучок с $c_1=0$, $c_2=2$ и $c_{3\max}=2$, т.е. $[E]\in M_X(v)$, где $v=(2,0,-H^2, \{\mathrm{pt}\})$. По теореме 3.1, (2.3) $E$ дестабилизируется точной тройкой
Докажем, что существуют стабильные пучки $E$, включающиеся в (5.9). Пусть $E$ собственно полустабилен, тогда существует подпучок $F\subset E$ ранга $1$ такой, что $\chi(F(m))=\frac 12\chi(E(m))$ при $m\gg 0$. Отсюда получаем, что $F\in M(1,0,-\frac 12H^2,\frac 12)$. Поскольку $F$ стабилен, по доказательству леммы 3.4 находим точную тройку $0\to\mathcal S(-2)\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus3}\to F\to 0$. Так как $\operatorname{Ext}^1 (\mathcal O_X(-1)^{\oplus 6},\mathcal S(-2)^{\oplus 2})=0$, вложение $F\to E$ индуцирует морфизм $\mathcal O_X (-1)^{\oplus 3}\to \mathcal O_X(-1)^{\oplus 6}$. Обозначим $W=H^0(\mathcal S(1))\cong\mathbf k^{16}$ и $A=H^0(\alpha^\vee(-1))\colon \mathbf k^6\to\mathbf k^2\otimes W$, тогда получаем коммутативную диаграмму с точными строками Другими словами, матрица отображения $A$ в некоторых базисах пространств $\mathbf k^6$ и $\mathbf k^2$ (согласованных с выбором подпространств $\mathbf k^3\subset\mathbf k^6,\mathbf k\subset\mathbf k^2$) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} * & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & * & * & * \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим многообразие инцидентности
$$
\begin{equation*}
X=\{(A_i)_{i=1}^{16}\in\operatorname{Hom}(\mathbf k^6,\mathbf k^2)^{\oplus16},V_1\in\operatorname{Gr}(3,6), V_2\in\operatorname{Gr}(1,2)|A_i(V_1)\subset V_2\}
\end{equation*}
\notag
$$
с проекцией $X\to Y=\operatorname{Hom} (\mathbf k^6,\mathbf k^2)^{\oplus 16}$. Так как $\dim\operatorname{Gr}(3,6)=9$, $\dim\operatorname{Gr}(1,2)\,{=}\,1$ и на каждую из $16$ матриц $A_i$ накладываются три независимых линейных условия, $\dim X=16\cdot 12+9+1-16\cdot 3<16\cdot 12=\dim Y$. Отсюда следует, что существует плотное открытое подмножество многообразия $Y$, не пересекающееся с образом $X$ при проекции $X\to Y$. Это доказывает существование стабильных по Гизекеру пучков $E=\operatorname{coker}\alpha$.
Поскольку $E$ тилт-полустабилен над стенкой-полуокружностью, то выполнено $\operatorname{Hom}(E,\mathcal O_X(-1))=0$. Кроме того, $\operatorname{Ext}^1(\mathcal S(-2),\mathcal S(-2))=0$ (так как $\mathcal S(-1)$ – исключительный объект категории $D^b(X)$) и $\operatorname{Ext}^2(\mathcal O_X(-1),\mathcal S(-2))\,{=}\,0$ (так как $\mathcal S(-1)$ – ACM-пучок). Теперь из (5.9) следует равенство $\operatorname{Ext}^2(E, \mathcal S(-2)^{\oplus2})=0$, так что имеем точную последовательность
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0 &\to\operatorname{Hom}(E,E)\to\operatorname{Ext}^1(E,\mathcal S(-2)^{\oplus 2}) \\ &\to\operatorname{Ext}^1(E,\mathcal O_X(-1)^{\oplus 6})\to\operatorname{Ext}^1(E,E)\to0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Если теперь пучок $E$ стабилен, то $\hom(E,E)=1$, и вычисление по (5.10) и (5.9) дает $\operatorname{ext}^1(E,E)=9$. С другой стороны, из тройки (5.9) следует, что $M_X(v)$ неприводимо и $\dim M_X(v)=12h^0(\mathcal S)-\dim(\mathrm{GL}(2,\mathbf k)\times \mathrm{GL}(6,\mathbf k)/\mathbf k^*)=12\cdot4-4-36+1=9$, так что $M_X(v)$ гладко в точке $[E]$.
В чисто полустабильном случае воспользуемся следующим результатом [22; с. 294, лемма]. Лемма 5.1. Пусть $E$ – полустабильный пучок ранга $2$, $E\cong E_1\oplus E_2$, где $\chi(E_1(m))= \chi(E_2(m))=\frac 12\chi(E(m))$ и $E_1\not\cong E_2$. Если $\operatorname{Ext}^2(E,E)=0$, то касательное пространство к схеме модулей полустабильных пучков в точке $[E]$ изоморфно $\operatorname{Ext}^1(E_1,E_1)\oplus(\operatorname{Ext}^1(E_1,E_2)\oplus\operatorname{Ext}^1(E_2,E_1))\oplus\operatorname{Ext}^1(E_2,E_2)$. В нашем случае применим эту лемму к пучку $E\cong E_1\oplus E_2$, где $E_1\not\cong E_2$, пучки $E_1$ и $E_2$ стабильны и включаются в точные тройки вида
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal S(-2)\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 3}\to E_i\to 0.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Так как $\operatorname{Ext}^1(\mathcal S(-2),\mathcal O_X(-1)))\cong H^1(\mathcal S)=0$ и $\operatorname{Ext}^2(\mathcal O_X(-1),\mathcal O_X(-1))=0$, то с учетом (5.11) имеем $\operatorname{Ext}^2(E,\mathcal O_X(-1)^{\oplus 6})=0$. С другой стороны, поскольку $\operatorname{Ext}^2(\mathcal S(-2),\mathcal S(-2))=\operatorname{Ext}^3(\mathcal O_X(-1),\mathcal S(-2))=0$ ввиду исключительности пары $(\mathcal S(-1),\mathcal O_X)$ в $D^b(X)$, то $\operatorname{Ext}^3(E,\mathcal S(-2))=0$. Отсюда и из (5.9) получаем $\operatorname{Ext}^2(E,E)=0$. Теперь по лемме 5.1 размерность касательного пространства к $M_X(v)$ в точке $[E]=[E_1\oplus E_2]$ равна $3+2+2+3=10\neq 9$, поэтому $M_X(v)$ не гладко. Теорема 5.3 доказана. Теорема 5.4. При $c_1=0$, $c_2=4$ и $c_{3\max}=8$ схема $M_X(v)$ является объединением двух неприводимых компонент $M_1$ и $M_2$. Эти компоненты описываются следующим образом. (i) $M_1$ – гладкое рациональное многообразие размерности $20$, являющееся проективизацией локально свободного пучка ранга $17$ на $\mathbb{G}$. $M_1$ – тонкое пространство модулей, и все пучки из $M_1$ стабильны. При этом схема $M_X(v)$ неособа вдоль $M_1$. (ii) схема $M_2$ неприводима, имеет размерность $21$, и полустабильные пучки из $M_2$ составляют замкнутое подмножество размерности $12$ в $M_2$, в котором схема $M_X(v)$ не является гладкой. (iii) Схема $M_X(v)$ несвязна: Доказательство. Пусть $E$ – полустабильный по Гизекеру пучок с $c_1=0$, $c_2=2$ и $c_{3\max} =2$, т.е. $[E]\in M_X(v)$, где $v=(2,0,-2H^2,4\{\mathrm{pt}\})$. По теореме 3.1, (2.5) пучок $E$ дестабилизируется точной тройкой либо точной тройкой
(i) Согласно лемме 3.8 всякий пучок $E$ в тройке (5.12) тилт-стабилен при $\beta<0,\alpha\gg0$, а значит, стабилен согласно предложению 2.1. Другими словами, в обозначениях замечания 4.3 имеем равенство $\widetilde{\mathcal Y} _{\mathcal S,1,m,1}=\mathbb{P}( \widetilde{\mathcal A}_{\mathcal S}^{\vee})$, аналогичное второму равенству (5.6) (в нашем случае $m=-1$). Поэтому, применяя теорему 4.5 для $k=n=1$, $m=-1$, получаем, что пучки $E$, входящие в тройку (5.12), составляют гладкую неприводимую рациональную компоненту $M_1:=M_{1,-1,1}$ схемы $M_X(v)$, описываемую как проективизация $\widetilde{\pi}\colon \mathbb{P}(\widetilde{\mathcal A}_{\mathcal S}^{\vee})\to \mathbb{G}$, где $\mathcal A_{\mathcal S}$ – локально свободный пучок ранга 17 на $\mathbb{G}$. При этом $\dim M_1=20$, $M_1$ является тонким пространством модулей, и согласно вышесказанному все пучки из $M_1$ стабильны. (ii) Обозначим $M_2{=}\,\{[E]\in M_X(v)\mid E\ \text{включается в тройку}\ (5.13)\}$. Из (5.13) получаем, что $M_2$ неприводимо как фактор открытого подмножества пространства $\operatorname{Hom}(\mathcal O_X(-2)^{\oplus2}, \mathcal O_X(-1)^{\oplus4})$ по группе $\mathrm{GL}(2,\mathbf k)\times \mathrm{GL}(4,\mathbf k)/\mathbf k^*$, причем $\dim M_2{=}\hom(\mathcal O_X(-2)^{\oplus2},\mathcal O_X(-1)^{\oplus4})-\dim (\mathrm{GL}(2,\mathbf k)\times \mathrm{GL}(4,\mathbf k)/\mathbf k^*)\,{=}\,2\cdot4\cdot5-4-16+1=21$. Далее проведем для пучков $E$ из $M_2$ рассуждение, аналогичное рассуждению с тройкой (5.9), проведенному в доказательстве теоремы 5.3. В частности, проверяется, что в $M_2$ существуют стабильные пучки $E$. Для стабильных пучков $E$ имеем $\operatorname{Hom}(E, \mathcal O_X(-1)^{\oplus 4})=0$, а также $\operatorname{Ext}^2(E,\mathcal O_X(-2)^{\oplus2})= 0$ ввиду исключительности линейных расслоений на $X$ и свойства ACM. Тем самым и в этом случае имеется аналогичная (5.10) точная последовательность
$$
\begin{equation*}
0\,{\to}\operatorname{Hom}(E,E)\to\operatorname{Ext}^1(E,\mathcal O_X(-2)^{\oplus2})\to\operatorname{Ext}^1(E,\mathcal O_X(-1)^{\oplus 4})\to\operatorname{Ext}^1 (E,E)\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Стандартное вычисление по этой последовательности с учетом (5.13) показывает, что размерность $\operatorname{ext}^1 (E,E)$ касательного пространства к $M_X(v)$ в точке $[E]$ для стабильного $E$ равна 21, что совпадает с $\dim M_2$. Тем самым $M_2$ есть неприводимая компонента схемы $M_X(v)$.
Рассмотрим теперь точку $[E]=[E_1\oplus E_2]$, где $E_1\not\cong E_2$ и $E_i$ включаются в точные тройки вида
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal O_X(-2)\to\mathcal O_X(-1)^{\oplus 2}\to E_i\to0, \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Простое вычисление по этим тройкам показывает, что $\operatorname{Ext}^2(E_i,E_j)=0$, $1\leqslant i,j\leqslant2$, $\operatorname{ext}^1(E_i,E_i)=6$, $i=1,2$, $\operatorname{ext}^1(E_i,E_j)=5$, $i\ne j$. Отсюда имеем $\operatorname{Ext}^2(E,E)=0$, и по лемме 5.1 $\dim T_{[E]}M_X(v)=6+5+5+6=22\neq 21$, поэтому $M_X(v)$ не гладко в точке $[E]$.
(iii) Согласно последнему утверждению леммы 3.8 $M_1\cap M_2= \varnothing$, т.е. объединение $M_1\cup M_2$ дизъюнктно. Теорема 5.4 доказана. § 6. Ограниченность третьего класса Черна стабильных рефлексивных пучков ранга $2$ общего типа с $c_1=0$ на многообразиях $X_4$ и $X_5$В этом параграфе рассматриваются стабильные рефлексивные пучки ранга $2$ общего типа с $c_1=0$ (см. определение 4.1) на многообразиях $X_4$ и $X_5$. Для всякого такого пучка $E$ мы доказываем ограниченность сверху третьего класса Черна $c_3$ пучка $E$ квадратичным многочленом от второго класса Черна $c_2$ – см. теоремы 6.5 и 6.2 ниже. 6.1. Стабильные рефлексивные пучки ранга $2$ общего типа с $c_1=0$ на многообразии $X_5$В этом пункте всюду $X=X_5$. Напомним некоторые известные факты о многообразии $X$ (см., например, [1; теорема 4.2, (iii) и следствие 6.6, (ii)]). 1) База $B=B(X)$ семейства прямых на $X$ изоморфна $\mathbb{P}^2$. 2) Для произвольной прямой $l\in B$ множество $B_l=\{l'\in B\mid l'\cap l\ne\varnothing\}$ есть прямая в $\mathbb{P}^2$. 3) Для произвольной прямой $l\in B$ либо $N_{l/X}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}^{\oplus2}$ (общий случай), либо $N_{l/X}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(1)\oplus\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-1)$. 4) Пусть $\varphi\colon X\dashrightarrow \mathbb{P}^4$ – линейная проекция многообразия $X\subset\mathbb{P}^6$ в пространство $\mathbb{P}^4$ из прямой $l\subset X$, для которой $N_{l/X}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}^{\oplus2}$. Тогда $\varphi(X)=Q\cong X_2$ – гладкая квадрика в $\mathbb{P}^4$, морфизм $\varphi\colon X\dashrightarrow Q$ бирационален и разлагается в домик Хиронаки Здесь $\delta^{-1}\colon X\dashrightarrow\widetilde{X}$ – раздутие $X$ с центром в $l$, $S =\delta^{-1}(l)\simeq\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$, $\sigma|_S\colon S\xrightarrow{\simeq}\sigma(S) =Q_2$ – изоморфизм $S$ на гладкую двумерную квадрику $Q_2\subset Q$, а $\sigma^{-1}\colon Q\dashrightarrow\widetilde{X}$ – раздутие $Q$ с центром в гладкой рациональной кубической кривой $C$ типа (2,1) на $Q_2$, так что $\widetilde{X}\simeq\mathbb{P} (\mathcal I_{C,Q})$. В частности, точна тройка $0\to N_{C,Q_2}\to N_{C/Q}\to N_{Q_2/Q}|_{C}\to0$, где в силу изоморфизмов $Q_2\simeq\mathbb{P}^1 \times\mathbb{P}^1$ и $C\simeq\mathbb{P}^1$ получаем $N_{C/Q_2}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1} (3)$, $N_{Q_2/Q}|_{C}\cong\mathcal O_Q(H)|_{C}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(3)$, откуда $\det N_{C/Q}\cong \mathcal O_{\mathbb{P}^1}(6)$.5) Пусть $\Gamma=\{(x,l)\in X\times B\mid x\in l\}$ – график инциденции с проекциями $X\xleftarrow{p_1}\Gamma\xrightarrow{p_2}B$. Как известно (см. [1; предложение 5.2]), $p_1\colon \Gamma\to X$ – конечный в общей точке морфизм и $\dim\{x\in X\mid \dim p_1^{-1} (x)\geqslant1\}\leqslant0$. Рассмотрим расширение
$$
\begin{equation}
\xi\colon 0\to\mathcal O_Q(nH)\to F\xrightarrow{\varepsilon}\mathcal I_{C,Q}\to0.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Пучок $\mathcal Hom(\mathcal I_{C,Q},\mathcal O_Q(nH))\,{\cong}\,\mathcal O_Q(nH)$ на $Q$ и пучок $\mathcal M\,{=}\operatorname{Ext}^1(\mathcal I_{C,Q}, \mathcal O_Q(nH)) \cong\operatorname{Ext}^2(\mathcal O_C,\mathcal O_Q(nH))\cong\det N_{C/Q}\otimes\mathcal O_Q(nH)\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(6+3n)$ на $C$ при $n\gg0$ очень обильны. Поэтому можно считать, что справедливы следующие утверждения. 1) $H^i(\mathcal Hom(\mathcal I_{C,Q},\mathcal O_Q(nH)))=0$, $i=1,2$, а значит, длинная точная последовательность $\operatorname{Ext}$-групп для пары пучков $\mathcal I_{C,Q},\mathcal O_Q(nH)$ дает изоморфизмы $\operatorname{Ext}^1(\mathcal Hom(\mathcal I_{C,Q},\mathcal O_Q(nH))\,{\cong}\, H^0(\operatorname{Ext}^1(\mathcal I_{C,Q},\mathcal O_Q(nH)) \,{\cong}\, H^0(\operatorname{Ext}^2(\mathcal O_C,\mathcal O_Q(nH))=H^0(\mathcal M)$. 2) Тройка (6.2) как расширение $\xi\in\operatorname{Ext}^1(\mathcal Hom(\mathcal I_{C,Q},\mathcal O_Q(nH)))=H^0(\mathcal M)$ является сечением пучка $\mathcal M$, схема нулей $(\xi)_0$ которого приведена, т.е. является простым дивизором $D_{\xi}=x_1+\dots+x_{3n+6}$. Это означает по конструкции Серра (см. [15; § 4]), что в (6.2) пучок $F$ является рефлексивным пучком ранга $2$ с $\operatorname{Sing} F=D_{\xi}$ и простейшими особенностями в точках $x_i$, т.е. $\operatorname{Ext}^1(F,\mathcal O_Q)\cong\oplus_{i=1}^{3n+6}\mathbf{k }_{x_i}$. Тем самым согласно [4; следствие 2.8] проективный спектр $Y=\mathbb{P}(F)$ пучка $F$ является гладким многообразием. Эпиморфизму $\varepsilon$ в (6.2) соответствует вложение $i$ дивизора $\widetilde{X}=\mathbb{P}(\mathcal I_{C,Q})$ в $Y$, и пусть $p\colon Y\to Q$ – естественная проекция, так что $\sigma=p\circ i$. Заметим также, что пучок обилен при $m\gg0$, где $\mathcal O_{Y/Q}(1)$ – пучок Гротендика на $Y=\mathbb{P}(F)$.Пусть
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & E-\text{ стабильный рефлексивный пучок ранга $2$ общего типа} \\ &\text{с}\ c_1(E)=0 \ \text{на}\ X;\ \text{в частности,}\ H^0(E)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Так как $\dim\operatorname{Sing} E\leqslant0$, то из свойств 1)–5) следует, что можно выбрать в качестве $l$ общую прямую на $X$, для которой $N_{l/X}\cong\mathcal O_{ \mathbb{P}^1}^{\oplus2}$, такую, что выполнены следующие условия. а) $B_l\cap p_2(p_1^{-1}(\operatorname{Sing} E))=\varnothing$, так что поверхность $S_l=p_1(p_2^{-1}(B_l))$ не пересекается с множеством $\operatorname{Sing} E$. Так как по построению $S_l=\delta(S)$, то это означает, что пучок удовлетворяет условию Заметим, что из формулы проекции для раздутия $\delta$ следует, что $E=\delta_*\widetilde{E}$, $R^i\delta_*\widetilde{E}=0$, $i>0$, поэтому и, кроме того, (4.6) влечетb) Так как $E$ – пучок общего типа, то множество $G_C=\{x\in C\mid \widetilde{E}| _{\sigma^{-1}(x)}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(1)\oplus\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-1)\}$ является собственным подмножеством кривой $C$, и $\widetilde{E}|_{\sigma^{-1}(x)}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}^{\oplus2}$ для $x\in C\setminus G_C$. Кроме того, будем считать сечение $\xi$ пучка $\mathcal M$ достаточно общим, так что Ниже нам потребуется еще одно достаточно общее сечение $\xi'\in H^0(\mathcal L)$ такое, что
$$
\begin{equation}
D_{\xi'}\cap G_C=\varnothing, \qquad D_{\xi}\cap D_{\xi'} =\varnothing.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q^0:=Q\setminus(p(\operatorname{Sing}\widetilde{E})\cup D_{\xi}), \qquad C^0:=C\setminus D_{\xi}\hookrightarrow Q^0, \\ X^0:=\sigma^{-1}(Q^0)=\widetilde{X}\setminus (\operatorname{Sing}\widetilde{E}\cup\sigma^{-1}D_{\xi}), \\ Y^0=Y\setminus p^{-1}(Q^0), \qquad\widetilde{E}^0:=\widetilde{E}|_{X^0}, \qquad\overline{E}^0:=\sigma_*\widetilde{E}^0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
где $X^0$ является дивизором в $Y^0$ посредством определенного выше вложения $i$, так что коммутативна диаграмма Заметим, что ввиду (6.10) множества $\operatorname{Sing} F=D_{\xi}$ и $Q^0$ не пересекаются, так что $\mathcal O_{Q^0}$-пучок $F|_{Q^0}$ локально свободен, и, значит, $p\colon Y^0=\mathbb{P}(F|_{Q^0})\to Q^0$ – локально тривиальное $\mathbb{P}^1$-расслоение. Поэтому по теореме Серра при достаточно больших натуральных числах $m,s,r$ существует эпиморфизм $e\colon \mathcal L_0:=(L^{\otimes-s}|_{Y^0})^{\oplus r}\twoheadrightarrow \widetilde{E}^0$. Поскольку $\overline{E}^0$ – локально свободный $\mathcal O_{X^0}$-пучок на гладком дивизоре $X^0$ в гладком многообразии $Y^0$, то $\mathcal O_{Y^0}$-пучок $\widetilde{E}^0$ имеет гомологическую размерность 1, так что $\mathcal L_1:=\ker e$ – локально свободный $\mathcal O_{Y^0} $-пучок. Тем самым точна тройка
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal L_1\to\mathcal L_0\xrightarrow{e}\widetilde{E}^0\to0.
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Из определения (6.10) кривой $C^0$ следует, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{E}^0|_{\sigma^{-1}(x)}\cong \begin{cases} \mathcal O_{\mathbb{P}^1}^{\oplus2}, &x\in C^0\setminus G_C, \\ \mathcal O_{\mathbb{P}^1}(1)\oplus\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-1), & x\in G_C,\quad\chi(\widetilde{E}^0|_{\sigma^{-1}(x)})=2, \\ \mathbf{k}^2_{\sigma^{-1}(x)}, &x\in Q^0\setminus C^0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Поэтому, применяя [12; предложение 1.13] к проекции $\sigma\colon X^0\to Q^0$, получаем, что
$$
\begin{equation}
\overline{E}^0|_{Q^0\setminus G_C} -\text{ локально свободный}\ {\mathcal O_{Q^0\setminus G_C}-}\text{пучок},
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{E}^0|_{X^0\setminus \sigma^{-1}(G_C)}=\sigma^*(\overline{E}^0|_{Q^0 \setminus G_C}), \qquad \operatorname{Supp}(R^1\sigma_*\widetilde{E}^0)\subset G_C.
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
Так как $x\in Q^0$, слой $p^{-1}(x)$ изоморфен $\mathbb{P}^1$, и
$$
\begin{equation}
\mathcal L_0|_{p^{-1}(x)}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-s)^{\oplus r},
\end{equation}
\tag{6.16}
$$
так что $p_*\mathcal L_0=0$, и с учетом относительной двойственности Серра для локально тривиального $\mathbb{P}^1$-расслоения $p\colon Y^0\to Q^0$ получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal M_0=R^1p_*\mathcal L_0 -\text{ локально свободный пучок ранга} \\ \operatorname{rk}\mathcal M_0=h^1(\mathcal L_0|_{p^{-1}(x)})=-\chi(\mathcal L_0|_{p^{-1}(x)})=r(s-1), \qquad x\in Q^0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.17}
$$
Ограничивая точную тройку (6.12) на слой $p^{-1}(x)$, получаем точную тройку
$$
\begin{equation}
0\to\mathcal L_1|_{p^{-1}(x)}\to\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-s)^{\oplus r}\to\widetilde{E}^0|_{\sigma^{-1}(x)} \to0.
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
Из (6.13) и (6.18) следует, что
$$
\begin{equation*}
\chi(\mathcal L_1|_{p^{-1}(x)})=\chi(\mathcal L_0|_{p^{-1}(x)})-\chi(\widetilde{E}^0|_{\sigma^{-1} (x)})=-r(s-1)-2,
\end{equation*}
\notag
$$
и по аналогии с (6.17) находим, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal M_1=R^1p_*\mathcal L_1- \text{ локально свободный пучок ранга} \\ \operatorname{rk}\mathcal M_1=h^1(\mathcal L_1|_{p^{-1}(x)})=-\chi(\mathcal L_1|_{p^{-1}(x)})=r(s-1)+2, \qquad x\in Q^0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
Как следствие, применяя к (6.12) функтор $R^ip_*$, получаем точную последовательность
$$
\begin{equation}
0\to\overline{E}^0\to\mathcal M_1\to\mathcal M_0\to\kappa\to0,\qquad \ \kappa:=R^1\sigma_*\widetilde{E}^0,
\end{equation}
\tag{6.20}
$$
и ввиду (6.15) имеем включение Поскольку $\mathcal M_0$ и $\mathcal M_1$ – локально свободные пучки на гладком трехмерном многообразии $Q^0$, то отсюда следует (см., например, [15; предложение 1.1]), что
$$
\begin{equation}
\overline{E}^0 -\text{ рефлексивный}\ \mathcal O_{Q^0}\text{-пучок}.
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
С другой стороны, снова ввиду локальной свободы $\mathcal M_0$ и $\mathcal M_1$, применяя к (6.20) функтор $\operatorname{Ext}^i_{\mathcal O_{Q^0}}(-,\mathcal O_{Q^0})$ и учитывая, что $\kappa$ – пучок размерности $\leqslant0$, получаем изоморфизм пучков
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q^0}}^1(\overline{E}^0,\mathcal O_{Q^0})\cong\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q^0}}^3( \kappa,\mathcal O_{Q^0}).
\end{equation}
\tag{6.23}
$$
Поскольку $\dim\kappa\leqslant0$, то пучок $\kappa$ – либо нулевой, либо артинов пучок, а значит, он имеет конечную (возможно, пустую) фильтрацию с факторами – полями вычетов $\mathbf{k}_x$ точек $x\in\operatorname{Supp}(\kappa)$. Поскольку $\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q^0}}^3 (\mathbf{k}_x,\mathcal O_{Q^0})\cong\mathbf{k}_x$, $x\in\operatorname{Supp}(\kappa)$, то $\chi(\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q^0}}^3(\kappa,\mathcal O_{Q^0}))=\chi(\kappa)$. Отсюда и из (6.23) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Supp}(\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q^0}}^1(\overline{E}^0,\mathcal O_{Q^0}))=\operatorname{Supp}(\kappa),
\end{equation}
\tag{6.24}
$$
$$
\begin{equation}
d:=\chi(\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q^0}}^1(\overline{E}^0,\mathcal O_{Q^0}))=\chi(\kappa).
\end{equation}
\tag{6.25}
$$
Так как $\sigma\colon \widetilde{X}\setminus S\xrightarrow{\cong}Q\setminus C$ – изоморфизм и $\operatorname{Sing}\widetilde{E}\subset\widetilde{X}\setminus S$, то, полагая имеем
$$
\begin{equation*}
\sigma(\operatorname{Sing}\widetilde{E})=\operatorname{Sing}(\overline{E}|_{Q\setminus C}) \subset\operatorname{Sing}\overline{E},
\end{equation*}
\notag
$$
а также получаем изоморфизм артиновых пучков
$$
\begin{equation}
\sigma_*\colon \operatorname{Ext}_{\mathcal O_{\widetilde{X}}}^1(\widetilde{E},\mathcal O_{\widetilde{X}}) \xrightarrow{\cong}\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q}}^1(\overline{E},\mathcal O_{Q})|_{Q\setminus C},
\end{equation}
\tag{6.26}
$$
откуда
$$
\begin{equation}
\operatorname{Supp}(\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q}}^1(\overline{E},\mathcal O_{Q})|_{Q\setminus C})= \operatorname{Sing}(\overline{E}|_{Q\setminus C}).
\end{equation}
\tag{6.27}
$$
При этом, полагая $c_3:=c_3(E)$, имеем
$$
\begin{equation}
c_3=c_3(\widetilde{E})=\chi(\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{\widetilde{X}}}^1(\widetilde{E},\mathcal O_{ \widetilde{X}}))=\chi(\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q}}^1(\overline{E},\mathcal O_{Q})|_{Q\setminus C}).
\end{equation}
\tag{6.28}
$$
Здесь в (6.28) первое равенство вытекает из (6.5), второе равенство доказано в [15; предложение 2.6], а третье равенство следует из (6.26). Положим
$$
\begin{equation}
Q_{\xi}:=Q\setminus D_{\xi}=Q^0\cup\operatorname{Sing}\overline{E}, \qquad X_{\xi}:=\sigma^{-1}(Q_{\xi}), \qquad \widetilde{E}_{\xi}:=\widetilde{E}|_{X_{\xi}}, \qquad \overline{E}_{\xi}:=\sigma_*\widetilde{E}_{\xi}.
\end{equation}
\tag{6.29}
$$
По построению $\overline{E}^0=\overline{E}_{\xi}|_{Q^0}$, поэтому из (6.8), (6.14), (6.22) и (6.29) следует, что $\overline{E}_{\xi}$ – рефлексивный пучок, локально свободный в точках кривой $C_{\xi}= C\setminus D_{\xi}$, в частности, в точках дивизора $D_{\xi'}$ на $C$:
$$
\begin{equation}
\overline{E}_{\xi}-\text{ рефлексивный пучок, локально свободный в точках из}\ D_{\xi'}.
\end{equation}
\tag{6.30}
$$
Беря теперь $\xi'$ вместо $\xi$ и полагая по аналогии с (6.29)
$$
\begin{equation}
Q_{\xi'}:=Q\setminus D_{\xi'}, \qquad X_{\xi'}:=\sigma^{-1}(Q_{\xi'}), \qquad \widetilde{E}_{\xi'}:=\widetilde{E}|_{X_{\xi'}}, \qquad \overline{E}_{\xi'}:=\sigma_*\widetilde{E}_{\xi'},
\end{equation}
\tag{6.31}
$$
получаем аналогично (6.30):
$$
\begin{equation}
\overline{E}_{\xi'} -\text{ рефлексивный пучок, локально свободный в точках из}\ D_{\xi}.
\end{equation}
\tag{6.32}
$$
Рассмотрим пучок Из (6.7) имеем Заметим, что в силу (6.29) и (6.31) $E_{\xi}=\overline{E}|_{Q_{\xi}}$, $E_{\xi'}=\overline{E}|_{Q_{ \xi'}}$. Отсюда и из (6.30) и (6.32) получаем, что $\overline{E}$ – рефлексивный пучок. При этом для любой прямой $l'$ на $X$, не пересекающей прямую $l$, имеем изоморфизм $\beta:=(\sigma\circ\delta^{-1}|_l)\colon l'\xrightarrow{\sim}m:=\beta(l')$ такой, что $E|_{l'}\cong\overline{E}|_m$, откуда $c_1(\overline{E})=c_1(\overline{E}|_{m})=c_1(E|_{l'})=0$. Тем самым в силу (6.33) $E$ стабилен. Итак,
$$
\begin{equation}
\overline{E}-\text{ стабильный рефлексивный пучок с}\ c_1(\overline{E})=0.
\end{equation}
\tag{6.34}
$$
Заметим также, что из (6.21), (6.29), (6.31) и того, что $\overline{E}^0=\overline{E}|_{Q^0}$, следует, что $\kappa=R^1\sigma_*\widetilde{E}^0=R^1\sigma_*\widetilde{E}$, откуда
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q}}^1(\overline{E},\mathcal O_{Q})|_{Q_0}=\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q^0}}^1(\overline{E}^0, \mathcal O_{Q^0})
\end{equation}
\tag{6.35}
$$
и ввиду (6.24) $\operatorname{Supp}(\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q^0}}^1(\overline{E}^0, \mathcal O_{Q^0}))\subset G_C$. Поскольку $G_C\cap(Q\setminus C)=\varnothing$, то из (6.35) вытекает равенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q}}^1(\overline{E},\mathcal O_{Q})=\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q^0}}^1(\overline{E}^0,\mathcal O_{ Q^0})\oplus\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q}}^1(\overline{E},\mathcal O_{Q})|_{Q\setminus C}.
\end{equation}
\tag{6.36}
$$
Заметим, что ввиду [15; предложение 2.6] и (6.34) имеем
$$
\begin{equation*}
\overline{c}_3:=c_3(\overline{E})=\chi(\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{Q}}^1(\overline{E},\mathcal O_{Q})),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому (6.25), (6.28), (6.36) и равенство $\kappa=R^1\sigma_* \widetilde{E}$ дают
$$
\begin{equation}
\overline{c}_3=d+c_3, \qquad d=\chi(R^1\sigma_*\widetilde{E}).
\end{equation}
\tag{6.37}
$$
Поскольку, очевидно, $R^i\sigma_*\widetilde{E}=0$, $i\geqslant2$, то спектральная последовательность Лере для морфизма $\sigma\colon \widetilde{X}\to Q$ дает $ \chi(\widetilde{E})=\chi(\overline{E})-\chi(R^1\sigma_* \widetilde{E})$. Отсюда с учетом (6.37) и (6.6) имеем
$$
\begin{equation}
\chi(\overline{E}))=\chi(E)+\chi(R^1\sigma_*\widetilde{E})=\chi(E)+d.
\end{equation}
\tag{6.38}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
c_2:=c_2(E), \qquad \overline{c}_2:=c_2(\overline{E}).
\end{equation}
\tag{6.39}
$$
Напомним общую формулу Римана–Роха для произвольного когерентного пучка $\mathcal E$ ранга $r$ с классами Черна $\widetilde{c}_1,\widetilde{c}_2,\widetilde{c}_3$ на гладком проективном трехмерном многообразии Фано $X$ с каноническим классом $\omega_X$:
$$
\begin{equation}
\chi(\mathcal E)=r\chi(\mathcal O_X)+\frac 16\widetilde{c}_1^3+\frac 12(\widetilde{c}_3-\widetilde{c}_1\widetilde{ c}_2)-\frac 14\omega_X(\widetilde{c}_1^2-2\widetilde{c}_2)+\frac{\widetilde{c}_1}{12}(c_2(\Omega _X)+\omega_X^2).
\end{equation}
\tag{6.40}
$$
Применяя эту формулу к пучку $E$ на $X=X_5$ (см. (4.6)) и соответственно к пучку $\overline{E}$ на $X=Q$, получаем
$$
\begin{equation}
\chi(\overline{E})=2+\frac{1}{2}\overline{c}_3-\frac{3}{2}\overline{c}_2.
\end{equation}
\tag{6.42}
$$
Кроме того, согласно теореме 1.1.(4) имеем
$$
\begin{equation}
\overline{c}_3\leqslant \begin{cases} \dfrac 12\overline{c}_2^2, &\text{если}\ c_2\ \text{четно}, \\ \dfrac 12(\overline{c}_2^2+1), & \text{если}\ c_2\ \text{нечетно}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.43}
$$
Из (6.38), (6.41) и (6.42) находим $\overline{c}_2=\frac 23c_2-\frac 13d$. Подставляя это соотношение и вытекающее из (6.37) равенство $c_3=\overline{c}_3-d$ в (6.43), получаем неравенство
$$
\begin{equation}
c_3=\overline{c}_3-d\leqslant \begin{cases} \dfrac 12\biggl(\dfrac 23c_2-\dfrac 13d\biggr)^2-d, &\text{если}\ c_2\ \text{четно}, \\ \dfrac 12\biggl(\biggl(\dfrac 23c_2-\dfrac 13d\biggr)^2+1\biggr)-d, &\text{если}\ c_2\ \text{нечетно}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.44}
$$
Tak как $\overline{c}_2=\frac 23c_2-\frac 13d\geqslant0$ и $d\geqslant0$, то, полагая в (6.44) $d=0$, получаем основной результат этого пункта – следующую теорему. Теорема 6.5. Пусть $E$ – стабильный рефлексивный пучок ранга $2$ общего типа с $c_1(E)=0$, $c_2=c_2(E)>0$, $c_3=c_3(E)$ на многообразии $X=X_5$. Тогда справедливы неравенства 6.2. Стабильные рефлексивные пучки ранга $2$ общего типа на многообразии $X_4$В этом пункте всюду $X=X_4$. Перечислим некоторые известные факты о многообразии $X$ (см., например, [1; теорема 4.2, (iii)]). 1) База $B=B(X)$ семейства прямых на $X$ изоморфна якобиану $J(C)$ гладкой кривой $C$ рода $2$. 2) Для произвольной прямой $l\in B$ множество $B_l=\{l'\in B\mid l'\cap l\ne\varnothing\}$ есть кривая в $B$, изоморфная кривой $C$. 3) Для произвольной прямой $l\in B$ либо $N_{l/X}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}^{\oplus2}$ (общий случай), либо $N_{l/X}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(1)\oplus\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(-1)$. 4) Пусть $\varphi\colon X\dashrightarrow \mathbb{P}^4$ – линейная проекция многообразия $X\subset\mathbb{P}^5$ в пространство $\mathbb{P}^3$ из прямой $l\subset X$, для которой $N_{l/X}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^1} ^{\oplus2}$. Тогда $\varphi(X)=\mathbb{P}^3$, морфизм $\varphi\colon X\dashrightarrow\mathbb{P}^3$ бирационален и разлагается в домик Хиронаки Здесь $\delta^{-1}\colon X\dashrightarrow\widetilde{X}$ – раздутие $X$ с центром в $l$, $S =\delta^{-1}(l)\simeq\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$, $\sigma|_S\colon S\xrightarrow{\simeq}\sigma(S) =Q_2$ – изоморфизм $S$ на гладкую двумерную квадрику $Q_2\subset\mathbb{P}^3$, а $\sigma^{-1}\colon X\dashrightarrow\widetilde{X}$ – раздутие $X$ с центром в гладкой кривой $C$ типа (2,3) на $Q_2$, так что $\widetilde{X}\simeq\mathbb{P}(\mathcal I_{C,\mathbb{P}^3})$, изоморфной кривой $C$ из п. 1) выше. В частности, точна тройка $0\to N_{C,Q_2}\to N_{C/\mathbb{P}^3}\to N_{Q_2/\mathbb{P}^3}|_{C}\to0$, где в силу изоморфизма $Q_2\simeq\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ получаем $N_{C/Q_2}\cong \mathcal O_C(D_{\mathrm{I}})$, $\deg D_{\mathrm{I}}=12$, $N_{Q_2/\mathbb{P}^3}|_{C}\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(2H)|_{C}\cong\mathcal O_C(D_{\mathrm{II}})$, $\deg D_{\mathrm{II}}=10$, откуда $\det N_{C/\mathbb{P}^3}\cong\mathcal O_C(D_{\mathrm{I}}+D_{\mathrm{II}})$. Заметим, что дивизор $D_{\mathrm{I}}+D_{\mathrm{II}}$ на $C$ очень обилен, так как $C$ – кривая рода $2$.5) Пусть $\Gamma=\{(x,l)\in X\times B\mid x\in l\}$ – график инциденции с проекциями $X\xleftarrow{p_1}\Gamma\xrightarrow{p_2}B$. Известно (см. [1; предложение 5.2]), что $p_1\colon \Gamma\to X$ – конечный в общей точке морфизм и $\dim\{x\in X\mid \dim p_1^{-1} (x)\geqslant1\}\leqslant0$. Рассмотрим расширение
$$
\begin{equation}
\xi\colon 0\to\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(nH)\to F\xrightarrow{\varepsilon}\mathcal I_{C,\mathbb{P}^3}\to0.
\end{equation}
\tag{6.47}
$$
Пучок $\mathcal Hom(\mathcal I_{C,\mathbb{P}^3},\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(nH))\cong\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(nH)$ на $\mathbb{P}^3$ и пучок
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal M &=\operatorname{Ext}^1(\mathcal I_{C,\mathbb{P}^3},\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(nH))\cong\operatorname{Ext} ^2(\mathcal O_C,\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(nH)) \\ &\cong\det N_{C/\mathbb{P}^3} \otimes\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(nH)\cong\mathcal O_C(D_{\mathrm{I}}+D_{\mathrm{II}}+nH) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
на $C$ при $n\gg0$ очень обильны. Поэтому можно считать, что справедливы следующие утверждения. 1) $H^i(\mathcal Hom(\mathcal I_{C,\mathbb{P}^3},\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(nH)))=0$, $i=1,2$, а значит, длинная точная последовательность $\operatorname{Ext}$-групп для пары пучков $\mathcal I_{C,\mathbb{P}^3},\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(nH)$ дает изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Ext}^1(\mathcal Hom(\mathcal I_{C,\mathbb{P}^3},\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(nH)) &\cong H^0(\operatorname{Ext}^1(\mathcal I_{C,\mathbb{P}^3}, \mathcal O_{\mathbb{P}^3}(nH)) \\ &\cong H^0(\operatorname{Ext}^2(\mathcal O_C,\mathcal O_{\mathbb{P}^3}(nH))=H^0(\mathcal M). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2) Тройка (6.47) как расширение $\xi\in\operatorname{Ext}^1(\mathcal Hom(\mathcal I_{C,\mathbb{P}^3},\mathcal O_Q(nH))=H ^0(\mathcal M)$ является сечением пучка $\mathcal M$, схема нулей $(\xi)_0$ которого приведена, т.е. является простым дивизором $D_{\xi}=x_1+\dots+x_{5n+22}$. Это означает по конструкции Серра (см. [15; гл. 4]), что в (6.47) пучок $F$ является рефлексивным пучком ранга $2$ с $\operatorname{Sing} F=D_{\xi}$ и простейшими особенностями в точках $x_i$, т.е. $\operatorname{Ext}^1(F,\mathcal O_Q)\cong\oplus_{i=1}^{3n+6}\mathbf{k}_{x_i}$. Тем самым согласно [4; следствие 2.8] проективный спектр $Y=\mathbb{P}(F)$ пучка $F$ является гладким многообразием. Эпиморфизму $\varepsilon$ в (6.47) соответствует вложение $i$ дивизора $\widetilde{X}=\mathbb{P}(\mathcal I_{C,\mathbb{P}^3})$ в $Y$, и пусть $p\colon Y\to\mathbb{P}^3$ – естественная проекция, так что $\sigma=p\circ i$. Заметим также, что пучок
$$
\begin{equation*}
L=\mathcal O_{Y/\mathbb{P}^3}(1)\otimes p^*\mathcal O(mH)
\end{equation*}
\notag
$$
обилен при $m\gg0$, где $\mathcal O_{Y/\mathbb{P}^3}(1)$ – пучок Гротендика на $Y=\mathbb{P}(F)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & E-\text{ стабильный рефлексивный пучок ранга $2$ общего типа} \\ &\text{с}\ c_1(E)=0\ \text{на}\ X_4; \text{в частности,}\ H^0(E)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Повторяя для пучка $E$ дословно все рассуждения из (6.4)–(6.44) с заменой $Q$ и $Q^0$ на $\mathbb{P}^3$ и $(\mathbb{P}^3)^0$ соответственно и пользуясь результатом Хартсхорна для стабильных рефлексивных пучков на $\mathbb{P}^3$ (см. [15; теорема 8.2, (b)]), получаем следующий аналог теоремы 6.5 для $X=X_4$. Теорема 6.2. Пусть $E$ – стабильный рефлексивный пучок ранга $2$ общего типа с $c_1(E)=0$, $c_2=c_2(E)>0$, $c_3=c_3(E)$ на многообразии $X=X_4$. Тогда справедливо неравенство 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VasTik24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|