| Математический сборник |
|
|
|
|
|
В. М. Бухштаберab, А. Ю. Веснинcde a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Факультет компьютерных наук, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва c Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск d Национальный исследовательский Томский государственный университет e Новосибирский национальный исследовательский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10089e 
Реферативные базы данных:
    ВведениеОсновы теории формальных $n$-значных групп были заложены в работе В. М. Бухштабера и С. П. Новикова [1] в связи с теорией характеристических классов векторных расслоений. Аксиоматика и результаты по теории $n$-значных групп (конечных, дискретных, топологических, алгебро-геометрических) были получены в серии работ В. М. Бухштабера [2]–[5]. Эта теория получила дальнейшее развитие в работах В. М. Бухштабера и Э. Г. Рисса [6], [7]. Важными примерами $n$-значных групп являются циклические $n$-значные группы. В работе В. М. Бухштабера и А. П. Веселова [8] была использована естественная связь представлений циклических $n$-значных групп с теорией динамических систем дискретного времени; см. также [9]. В отличие от однозначных групп, проблема построения циклических $n$-значных групп оказалась нетривиальной; см. обзор [10] и проблему 1.1. В настоящей работе развита теория $n$-значных групп на основе перехода от групп, заданных аксиоматикой, к комбинаторным группам, заданным образующими и соотношениями. Введен широкий класс циклических $n$-значных групп. $n$-значные группы этого класса соответствуют однозначным группам с циклическим представлением, т.е. группам вида
$$
\begin{equation*}
G_n (w)=\langle x_1, x_2, \dots, x_n \mid w=1, \, \theta (w)=1, \, \theta^2 (w)=1, \, \dots, \, \theta^{n-1} (w)=1 \rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где $w=w (x_1, \dots, x_n)$ – некоторое слово в свободной группе $\mathbb F_n=\langle x_1, \dots, x_n\rangle$, а $\theta$ – автоморфизм, который переставляет порождающие циклически. Класс групп с циклическим представлением является достаточно богатым. Укажем примеры таких групп: группа Хигмана $H=G_4 (x_1^{-1} x_2 x_1 x_2^{-2})$, построенная Дж. Хигманом в [11]; группы Фибоначчи $F(2,n)=G_n (x_1 x_2 x_3^{-1})$, $n \geqslant 3$ [12], [13] и их многочисленные обобщения [14]–[16]. В 1965 г., когда в центре внимания специалистов по теории групп была проблема классификации конечных групп, Дж. Конвей [17] поставил вопрос: является ли группа Фибоначчи $F(2,5)$ конечной циклической группой порядка 11? Несколько доказательств этого факта были опубликованы в [18]. Позже было показано, что $F(2,n)$, $n \geqslant 3$, конечна тогда и только тогда, когда $n=3,4,5,7$; см., например, [19]. В 1986 г. были введены группы Сирадски $G_n (x_1 x_3 x_2^{-1})$, $n \geqslant 3$ [20], а в 1998 г. – дробные группы Фибоначчи $F^{k/\ell} (2,n)$, т.е. группы $G_n (x_1^{\ell} x_2^k x_3^{-\ell})$ [21]. Исследования алгебраического строения групп с циклическим представлением стало одним из актуальных направлений комбинаторной теории групп [12], [22], [23]. В последние годы активно изучается динамика групп с циклическим представлением, соответствующая сдвигу $\theta(x_i)=x_{i+1}$; см. [24], [25]. Наличие у групп $G_n(w)$ циклических автоморфизмов открывает возможность построения с помощью косетной конструкции новых семейств $n$-значных групп. А именно, как показано в лемме 1.4, каждое слово $w \in \mathbb F_n=\langle x_1, \dots, x_n \rangle$ в свободной группе ранга $n$ определяет структуру $n$-значной группы на множестве $X_n (w)=G_n (w) / A_n$, где $G_n(w)$ – группа с циклическим представлением, а $ A_n$ – циклическая группа, порожденная автоморфизмом $\theta(x_i)=x_{i+1}$, $i=1, \dots, n$. В примере 1.1 приведена 5-значная группа, соответствующая группе $F(2,5)$, введенной Дж. Конвеем [17]. В примере 1.2 для бесконечного семейства групп $G_4 (x_1^{\ell} x_2 x_3^{-\ell})$, $\ell \geqslant 1$, строятся 4-значные группы. В лемме 1.5 устанавливается, что $2$-значные группы, построенные по $G_4(x_1^\ell x_2 x_3^{-\ell})$, относятся к основной серии $2$-значных групп по классификации из [10]. В примере 1.3 описано бесконечное семейство $\Phi$ комбинаторных групп $F^{1/\ell}(2,2n)$, каждая из которых имеет два циклических представления, одно $G_{2n}(u_\ell)$ с $2n$ образующими, а другое $G_n(v_\ell)$ с $n$ образующими. Для каждой группы $G \in \Phi$ определены циклическая косетная $2n$-значная группа $X=G/A_{2n}$ и циклическая косетная $n$-значная группа $Y=G/A_n$, а также гомоморфизм $n$-значной группы $Y=G/A_n$ в $2n$-значную группу $X=G/A_{2n}$; см. лемму 1.3. Результаты теории групп с циклическим представлением демонстрируют нетривиальность теории циклических $n$-значных групп. Пример 1.4 показывает, что группа с циклическим представлением и ее подгруппа, не изоморфная ей, могут приводить к изоморфным $n$-значным группам. В связи с этим представляет интерес проблема: описать условия, при которых $n$-значные косетные группы, построенные по неизоморфным группам с автоморфизмами порядка $n$, являются изоморфными; см. проблему 1.2. В теореме 1.2 показано, что косетную конструкцию можно применять и к подгруппам группы, порожденной циклической перестановкой порождающих $x_1, \dots, x_n$. В центре внимания настоящей работы находится косетная конструкция $n$-значных групп. В связи с этим обратим внимание на следующую важную задачу: характеризовать структуры $n$-значных косетных групп в множестве всех структур конечных $n$-значных групп на данном пространстве $X$. Результаты в этом направлении связаны с глубокими фактами теории групп, теории чисел и алгебраической комбинаторики; см. [26]. Представления $n$-значных циклических групп тесно связаны с фундаментальными результатами теории разветвленных накрытий в смысле А. Дольда и Л. Смита. Возникает естественный вопрос: можно ли ввести понятие пространства орбит действия $n$-значной группы? Общих теоретических результатов в этом направлении пока нет. Исходя из целей настоящей работы мы формулируем в определении 2.4 условия существования пространства орбит действия $n$-значной группы на топологическом пространстве и доказываем, что в случае косетного действия эти условия выполняются. А именно, в теореме 2.1 устанавливается следующее свойство. Пусть $(G, A, \rho)$, где $\rho\colon A \to \operatorname{Aut} (G)$, – такая тройка, что $n$-значная косетная группа $X=G/\rho(A)$ косетно действует на топологическом пространстве $V=U/A$. Обозначим через $\langle G, A \rangle$ расширение группы $G$ с помощью автоморфизмов $\rho (A)$. Определено действие группы $\langle G, A \rangle$ на пространстве $U$ и $W=U/ \langle G, A \rangle$ является пространством орбит $n$-значного действия косетной группы $X= G/\rho(A)$ на топологическом пространстве $V=U/A$, согласованным с канонической проекцией $V \to W$. В задачах об интегрируемых многозначных динамиках дискретного времени используются представления $n$-значных циклических групп на многообразиях с особенностями. В то же время имеется естественная связь групп с циклическим представлением и разветвленных циклических накрытий трехмерной сферы. Работа Х. Хеллинга, А. Кима и Й. Меннике [13], в которой были построены многообразия Фибоначчи, т.е. замкнутые ориентируемые трехмерные многообразия, для которых фундаментальными группами являются группы Фибоначчи $F(2,2n)=G_{2n} (x_1 x_2 x_3^{-1})$ для $n \geqslant 2$, положила начало изучению в маломерной топологии вопроса: является ли группа, заданная циклическим представлением, фундаментальной группой некоторого замкнутого ориентируемого трехмерного многообразия? Отметим, что если $m \geqslant 3$ нечетное, то $F(2,m)$ является фундаментальной группой трехмерного многообразия тогда и только тогда, когда $m=3, 5,7$ [27]. Фундаментальными группами замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий являются многие другие группы с циклическим представлением, например, группы Сирадски $G_n (x_1 x_3 x_2^{-1})$ для $n \geqslant 3$ [28], группы $G_{2n} (x_1 x_2^k x_3^{-1})$ [15], $G_{2n} (x_1^{\ell} x_2^{k} x_3^{-\ell})$ [21], $G_n((x_1^{-\ell} x_2^{\ell})^k x_2^{\pm 1} (x_2^{-\ell} x_3^{\ell})^{-k})$ [29], [30]. Мы используем эту связь, чтобы ввести ключевой пример косетного действия $n$-значных групп на трехмерном пространстве $\mathbb R^3$ с пространством орбит, гомеоморфным $S^3$, при котором проекция $\mathbb R^3 \to S^3$ на пространство орбит связана коммутативной диаграммой с циклически разветвленным вдоль гиперболического узла накрытием сферы $S^3$ компактным гиперболическим трехмерным многообразием. А именно, в теореме 2.4 описывается действие $n$-значной косетной группы в случае, когда она соответствует группе с циклическим представлением, реализованной как фундаментальная группа замкнутого ориентируемого трехмерного гиперболического многообразия. В теоремах 2.5, 2.7 и 2.8 описываются действия $n$-значных косетных групп, соответствующих действиям групп Фибоначчи и дробных групп Фибоначчи. БлагодарностьАвторы выражают признательность А. А. Гайфуллину и Д. В. Гугнину за полезные обсуждения. § 1. $n$-значные группы, соответствующие группам с циклическим представлением1.1. $n$-значные косетные группыНапомним понятие $n$-значного умножения, следуя обзору [31]. Пусть $X$ – непустое множество, а $X^n$ – его $n$-я декартова степень, т.е. множество упорядоченных наборов $(x_1, \dots, x_n)$, где $x_i \in X$. Обозначим через $\operatorname{Sym}^n (X)$ $n$-кратную симметрическую степень множества $X$, т.е. факторпространство $X^n / \Sigma_n$, где симметрическая группа $\Sigma_n$ действует на $X^n$ перестановками координат:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sym}^n (X)=X^n / \Sigma_n=\{ (x_1, \dots, x_n) \colon (x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)} ) \sim (x_1, \dots, x_n), \, \sigma \in \Sigma_n \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Элементами множества $\operatorname{Sym}^n(X)$ являются $n$-мультимножества $[x_1, x_2, \dots, x_n]$, где $x_i \in X$. Напомним, что в мультимножестве допускается повторение одного и того же элемента несколько раз. Мультимножество, состоящее из $n$ экземпляров элемента $x\in X$, будем обозначать $n x=[x, \dots, x]$. Зададим на множестве $X$ $n$-значное умножение $\mu\colon X \times X \to \operatorname{Sym}^n (X)$: где $z_k=(x*y)_k$.Определение 1.1. Пара $(X, \mu)$, где $\mu$ – $n$-значное умножение на $X$, называется $n$-значной группой, если выполнены следующие аксиомы: $n$-значная группа называется коммутативной, если дополнительно для всех $x, y \in X$ $n$-мультимножества $x*y$ и $y*x$ совпадают. Из существования единичного элемента $e$ следует его единственность. Однако из существования отображения $\operatorname{inv}$ не следует его единственность. Как показано в [32], если $(X, \mu)$ – такая $n$-значная группа, что отображение $\operatorname{inv} (x)$ определено однозначно, то $\operatorname{inv} (\operatorname{inv} (x))=x$. В [26] установлено, что множество $n$-значных групп с условием $\operatorname{inv} (\operatorname{inv} (x))=x$ эквивалентно множеству комбинаторных алгебраических схем отношений; см. [33]. Определение 1.2. Пусть $(X, \mu)$ – $n$-значная группа. Если $Y$ – такое подмножество в $X$, что для всех $y, y' \in Y$ выполнено $\operatorname{inv} (y) \in Y$, а также $y * y'$ и $y' * y$ принадлежат $\operatorname{Sym}^n (Y)$, то будем говорить, что $Y$ является $n$-значной подгруппой в $X$, и обозначать $Y \leqslant X$. Как показано в [32], если $Y$ и $Z$ – две $n$-значные подгруппы в $n$-значной группе $X$, то их пересечение $Y \cap Z$ является $n$-значной подгруппой в $X$. Определение 1.3. Пусть $Y$ – непустое подмножество в $X$. Пересечение всех $n$-значных подгрупп из $X$, содержащих $Y$, называется $n$-значной подгруппой, порожденной множеством $Y$. Порожденная одним элементом $x \in X$ $n$-значная подгруппа $\langle x \rangle$ называется $n$-значной циклической группой. Подчеркнем, что, в отличие от однозначных групп, вопрос о классификации $n$-значных циклических групп является открытым. Определение 1.4. Будем называть $n$-значную группу $X$ инволютивной, если $\operatorname{inv} (x)=x$ для всех $x \in X$. Полная классификация конечно порожденных коммутативных инволютивных двузначных групп получена в работе [10]. Недавно А. А. Гайфуллин доказал, что любая инволютивная двузначная группа является коммутативной [34]. Для отображения $f\colon X \to Y$ рассмотрим его $n$-кратную симметрическую степень $\operatorname{Sym}^n (f)\colon \operatorname{Sym}^n (X) \to \operatorname{Sym}^n (Y)$, определенную по правилу
$$
\begin{equation}
\operatorname{Sym}^n (f) ([x_1, \dots, x_n])=[f(x_1), \dots, f(x_n)].
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Следуя работе [6], определим гомоморфизм $n$-значных групп. Определение 1.5. Пусть $(X, \mu_X)$ и $(Y, \mu_Y)$ – две $n$-значные группы. Отображение $f\colon X \to Y$ называется гомоморфизмом $n$-значных групп, если: Таким образом, гомоморфизм $f\colon X \to Y$ влечет следующую коммутативную диаграмму: Лемма 1.2. Пусть $X$ – $n$-значная группа с умножением $x*y=[z_1, \dots, z_n]$, а $k$ – натуральное число. Тогда на $X$ определена структура $nk$-значной группы с умножением $x *_k y$, в котором каждое значение $z_i$ умножения $x*y$ повторяется ровно $k$ раз. Утверждение проверяется непосредственно. Следуя [31], напомним конструкцию $n$-значной косетной группы. Пусть $G$ – (однозначная) группа с умножением $\mu_G$, единицей $e_G$ и обратным отображением $\operatorname{inv}_G (u)=u^{-1}$, а $\operatorname{Aut}(G)$ – группа автоморфизмов группы $G$. Пусть $A < \operatorname{Aut} (G)$ – конечная подгруппа порядка $n$, положим для определенности $A=\{ \alpha_1, \dots, \alpha_n\}$. Тогда имеется действие группы $A$ на $G$, $A \times G \to G$, по правилу $(\alpha,g) \to \alpha(g)$, где $\alpha \in A$, $g \in G$. Пусть $X=G / A=\{ A (g) \mid g \in G \}$ – множество орбит группы $G$ по действию группы $A$. Обозначим через $\pi\colon G \to X$ факторотображение, которое элементу $g$ сопоставляет его орбиту $\pi (g)=A (g)=[ \alpha_1 (g), \dots, \alpha_n(g) ]$. Зададим $n$-значное умножение $\mu\colon X \times X \to \operatorname{Sym}^n (X)$ формулой
$$
\begin{equation}
\mu(x,y)=[\pi (\mu_G (u, \alpha_1(v))), \dots, \pi (\mu_G (u, \alpha_n (v)))],
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $u \in \pi^{-1} (x)$ и $v\in \pi^{-1}(y)$. Описанная конструкция приводит к важным примерам $n$-значных групп. Теорема 1.1 (см. [31]). Пусть $X\,{=}\,G / A$ и умножение $\mu\colon X \,{\times}\, X \,{\to}\, \operatorname{Sym}^n (X)$ задано формулой (1.3). Тогда пара $(X, \mu)$ является $n$-значной группой с единицей $e_X= \pi (e_G)$ и однозначно определенным обратным отображением $\operatorname{inv}_X (x)=\pi (g^{-1})$, где $g \in \pi^{-1} (x)$. Определение 1.6. Многозначная группа $(X,\mu)$ из теоремы 1.1, где $X=G/A$, называется $n$-значной косетной группой пары $(G,A)$ или, кратко, косетной группой. Пусть заданы однозначная группа $G$, подгруппа $A_{kn}$ ее группы автоморфизмов и подгруппа $A_{n}$ группы $A_{kn}$. Тогда определены косетные группы $X_1=G/A_{kn}$ и $X_2=G / A_{n}$, а также гомоморфизм $X_2=G / A_n$ в $X_1=G / A_{kn}$. Этот гомоморфизм определяется гомоморфизмом $nk$-значных групп, в котором участвует $X_2=G/A_n$ с умножением $x *_k y$ относительно умножения $x*y$ в $n$-значной группе $X_2$. Определение 1.7. Рассмотрим две пары $(G_1, H_1)$ и $(G_2, H_2)$, где $H_i \,{\in}\operatorname{Aut}(G_i)$ и порядок группы $H_i$ равен $n_i$, $i=1,2$. Пару гомоморфизмов $(f,h)$ таких, что $f\colon G_2 \to G_1$ и $h\colon H_2 \to H_1$, будем называть эквивариантным гомоморфизмом из $(G_2, H_2)$ в $(G_1, H_1)$, если $f(g(x))=h(g)f(x)$ для любых $g \in H_2$ и $x \in G_2$. Лемма 1.3. Эквивариантный гомоморфизм $(f, h)$ из $(G_2, H_2)$ в $(G_1, H_1)$ определяет гомоморфизм $n_2$-значной группы $X_2=G_2/H_2$ в $n_1$-значную группу $X_1=G_1/H_1$. Доказательство непосредственно следует из конструкции $n$-значных групп и определения их гомоморфизмов. Переход от групп, заданных аксиоматикой, к комбинаторным группам, заданным образующими и соотношениями, позволяет получать нетривиальные примеры эквивариантных гомоморфизмов из $ (G_2, H_2)$ в $(G_1, H_1)$. В примере 1.3 приведен эквивариантный гомоморфизм $(f,h)$, где $f$ – изоморфизм группы Фибоначчи $G_2=G_1=F(2,2n)$, а $h$ – гомоморфизм циклической группы $H_2$ порядка $n$ в циклическую группу $H_1$ порядка $2n$. При $n=2$ эквивариантный гомоморфизм $(f,h)$ индуцирует гомоморфизм $X_2 \to X_1$, где $X_2$ – косетная $2$-значная группа на множестве их трех элементов, а $X_1$ – косетная $4$-значная группа на множестве из двух элементов. 1.2. Группы с циклическим представлениемДля $m \,{\geqslant}\, 2$ обозначим через $\mathbb F_m$ свободную группу с $m$ свободными образующими $x_1, x_2, \dots, x_m$. Пусть $\theta$ – автоморфизм группы $\mathbb F_m$, который циклически переставляет образующие, а именно, $\theta(x_i)=x_{i+1}$, где $i=1, \dots, m$ и индексы берутся по модулю $m$. Очевидно, $\theta^m=1$. Пусть $w=w (x_1, \dots, x_m)$ – некоторое слово в $\mathbb F_m$. Обозначим через $\theta (w)$ образ слова $w$ при автоморфизме $\theta$. Определим группу $G_m (w)$ следующим представлением:
$$
\begin{equation*}
G_m (w)=\langle x_1, x_2, \dots, x_m \mid w=1, \, \theta (w)=1, \, \theta^2 (w)=1, \, \dots, \, \theta^{m-1} (w)=1 \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Такое представление называется циклическим, а слово $w$ – определяющим словом. В циклическом представлении группы число определяющих соотношений равно числу образующих. Представление с таким свойством называют сбалансированным. В тех случаях, когда важно указать количество порождающих, говорят об $n$-циклических группах. Определение 1.8. Группа $G$ называется группой с циклическим представлением, если она изоморфна группе $G_m(w)$ для некоторых $m \geqslant 2$ и $w \in \mathbb F_m$. С каждым циклическим представлением $G_m (w)$ связан полином $f_w (t)=\sum_{i=1}^{m} a_i t^{i-1}$, где $a_i$ – сумма степеней образующего $x_i$ в определяющем слове $w$. Например, если $w=x_1 x_2 x_3^{-1}$, то $f_w (t)=1+t-t^2$. Отметим, что одна и та же группа может иметь различные циклические представления, а для представления $G_m (w)$ тривиальной группы не обязательно имеет место равенство $f_w (t)=\pm t^k$. Например, как показано в [35], циклическое представление $G_5 (x_1^{-1} x_2^{-1} x_4 x_3 x_2)$ задает тривиальную группу. Соответствующий полином имеет вид $f_w (t)=-1+t^2+t^3$. Лемма 1.4. Каждое слово $w$ в свободной группе $\mathbb F_m=\langle x_1, \dots, x_m \rangle$ ранга $m$ определяет структуру $m$-значной группы на множестве $X_m (w)=G_m (w) / A_m$, где $G_m(w)$ – группа с циклическим представлением, а $ A_m$ – циклическая группа, порожденная автоморфизмом $\theta(x_i)=x_{i+1}$, $i=1, \dots, m$, циклически переставляющим порождающие. Доказательство. Зададим умножение $\mu\colon X_m (w) \times X_m (w) \,{\to} \operatorname{Sym}^m (X_m (w))$ по формуле (1.3). Тогда по теореме 1.1 $(X_m (w), \mu)$ является $m$-значной косетной группой пары $(G_m (w), A_m)$.
Лемма доказана. Пример 1.1. Рассмотрим группу $F(2,5)$, с которой был связан вопрос Конвея [17]: Таким образом, на основе $F(2,5)$ построена 5-значная косетная группа $(Y, \mu_5)$, где $n y_i$ означает, что $y_i$ входит в соответствующее мультимножество $n$ раз. Данная группа принадлежит серии $(2k+1)$-значных групп, построенных на $Y$ с умножением $\mu_{2k+1}\colon Y \times Y \to \operatorname{Sym}^{2k+1} (Y)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_{2k+1} (y_0, y_1)=[(2k+1) y_1], \qquad \mu_{2k+1} (y_0, y_2)=[(2k+1) y_2], \\ \mu_{2k+1} (y_1, y_1)=[k y_1, (k+1)y_2], \qquad \mu_{2k+1} (y_2, y_2)=[(k+1) y_1, k y_2], \\ \mu_{2k+1} (y_1, y_2)=\mu_{2k+1} (y_2, y_1)=[y_0, k y_1, ky_2]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В [26] утверждается, что группа $(Y, \mu_{2k+1})$ является косетной тогда и только тогда, когда $4k+3=p^s$ для простого $p$ и натурального $s$. Как мы показали, при $k=2$ эта группа связана с группой Конвея $F(2,5)$. Пример 1.2. Рассмотрим группу $F^{1/\ell} (2,4)=G_4 (w_{\ell})$, где $w_{\ell}=x_1^{\ell} x_2 x_3^{-\ell}$ для целого $\ell \geqslant 1$, которая при $\ell=1$ совпадает с $F(2,4)$. Запишем циклическое представление: При этом $\theta(x_i)=x_{i+1}$, $i=1, \dots, 4,$ и $\theta$ порождает группу автоморфизмов $A_4=\langle \theta \mid \theta^4=1 \rangle$. Нетрудно проверить, что $G_4(w_{\ell})$ конечна и изоморфна циклической группе $C_k=\langle a \mid a^k=1\rangle$, где $k=4\ell^2+1$. При этом $x_1=a$, $x_2=a^{-2\ell}$, $x_3= a^{-1}$ и $x_4=a^{2\ell}$. Автоморфизм $\theta$ запишется в $C_k$ как возведение в степень $(-2\ell)$, в частности, $ \theta (x_1)=\theta (a)=a^{-2\ell}=x_2$, $\theta (x_2)= a^{4\ell^2}=a^{-1}=x_3$, $\theta(x_3)=(a^{-1})^{-2\ell}=a^{2\ell}=x_4$ и $\theta(x_4)= (a^{2\ell})^{-2\ell}=a=x_1$. Получаем множество орбит $X_4 (w_{\ell})=G_4(w_{\ell}) / A_4$, состоящее из $\ell^2+1$ классов, где один класс имеет вид $y_0=\{ 1 \}$, а каждый из остальных классов $y_1, \dots, y_{\ell^2}$ состоит из четырех элементов. В частности, при $\ell=2$ имеем $w_2=x_1^2 x_2 x_3^{-2}$, $G_4 (w_2) \cong C_{17}$ и получаем множество орбит $X_4 (w_2)$, где $a=x_1$ и $a^{17}=1$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y_1=\{ a, a^{13}, a^{16}, a^4 \}, \qquad y_2=\{ a^2, a^9, a^{15}, a^8 \}, \\ y_3=\{ a^3, a^5,a^{14}, a^{12} \}, \qquad y_4=\{ a^6, a^{10}, a^{11}, a^7 \}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а также $y_0=\{ 1 \}$. Факторотображение $\pi\colon G_4 (w_2) \to X_4(w_2)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \pi(a)=\pi(a^{13})=\pi(a^{16})=\pi(a^4)=y_1, \\ \pi(a^2)=\pi(a^9)=\pi(a^{15})=\pi(a^8)=y_2, \\ \pi(a^3)=\pi(a^5)=\pi(a^{14})=\pi(a^{12})=y_3, \\ \pi(a^6)=\pi(a^{10})=\pi(a^{11})=\pi(a^7)=y_4 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\pi(1)=y_0$. Следовательно, по формуле (1.3) определено 4-значное умножение $\mu_4\colon X_4(w_2) \times X_4(w_2) \to \operatorname{Sym}^4 (X_4(w_2))$. Нетрудно видеть, что $(X_4(w_2), \mu_4)$ является циклической инволютивной 4-значной группой. Отметим, что фактически теорема 1.1 влечет более общее утверждение, позволяющее рассматривать не только группу $A_m$, но и ее подгруппы. Теорема 1.2. Пусть $G_m(w)$ – группа с циклическим представлением, а $A$ – подгруппа порядка $n$ циклической группы $A_m$, порожденной автоморфизмом $\theta$, циклически переставляющим порождающие. Пусть $X=G_m (w) / A$. Тогда умножение $\mu_A\colon X\times X \to \operatorname{Sym}^n (X)$, определяемое формулой (1.3), задает структуру $n$-значной группы на множестве $X (w)=G_m (w) / A$. Доказательство следует из теоремы 1.1. В связи с теоремой 1.2 возникает следующая задача: для группы с циклическим представлением $G_n(w)$ найти в группе $\operatorname{Aut} (G_n (w))$ циклические подгруппы, которые дают циклические $m$-значные группы. Следующий пример содержит бесконечное количество групп с циклическим представлением, по которым строятся пары циклических $2n$-значных и $n$-значных косетных групп. Пример 1.3. Для целого $\ell \geqslant 1$ положим $u_{\ell}=x_1^{\ell} x_2 x_3^{-\ell}$ и для целых $n \geqslant 2$ рассмотрим группу Положим $y_{k}=x_{2k-1}$, где $k=1, \dots, n$. Тогда из соотношений $x_{2k-1}^{\ell} x_{2k}=x_{2k+1}^{\ell}$ получаем $x_{2k}=y_k^{-\ell} y_{k+1}^{\ell}$, и далее из $x_{2k}^{\ell} x_{2k+1}=x_{2(k+1)}^{\ell}$ получаем $v_{\ell}=1$, где $v_{\ell}=(y_{k}^{-\ell} y_{k+1}^{\ell})^{\ell} y_{k+1} (y_{k+1}^{-\ell} y_{k+2}^{\ell})^{-\ell}$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
F^{1/\ell} (2, 2n)\,{=}\,G_{n} (v_l)\,{=}\,\langle y_1, \dots, y_n \mid (y_{k}^{-\ell} y_{k+1}^{\ell})^{\ell} y_{k+1} (y_{k+1}^{-\ell} y_{k+2}^{\ell})^{-\ell}\,{=}\,1,\, k\,{=}\,1, \dots, n \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Этому представлению соответствует полином $f_{v_{\ell}} (t)=- \ell^2+(2 \ell^2+1) t-\ell^2 t^2$. Автоморфизм $\varphi (y_k)=y_{k+1}$, где $k=1, \dots, n$, порождает группу $A_n=\langle \varphi \mid \varphi^{n}=1 \rangle $ порядка $n$. По теореме 1.2 $Y(v_{\ell})=G_n (v_{\ell}) / A_n$ с операцией умножения, заданной по формуле (1.3), является $n$-значной циклической группой. Таким образом, на основе $2n$-циклического и $n$-циклического представлений группы $F^{1/\ell} (2,2n)$ получены циклические $2n$-значные и $n$-значные косетные группы $X(u_{\ell})$ и $Y(v_{\ell})$. Посмотрим на описанный пример с точки зрения леммы 1.3. Обозначим $G_1=G_{2n} (u_{\ell})$, $G_2=G_n (v_{\ell})$, а также $H_1=A_{2n}$, $H_2=A_n$. Тогда пара гомоморфизмов $(f,h)$, где $f\colon G_2 \to G_1$ – изоморфизм, при котором $f(y_i)=x_{2i-1}$, $i=1, \dots, n$, а $h\colon H_2 \to H_1$ – гомоморфизм, при котором $h (\varphi)=\theta^2$, является эквивариантным гомоморфизмом пары $(G_2, H_2)$ в пару $(G_1, H_1)$, т.е. $f(g(x))=h(g) f(x)$ для любых $x \in G_2$ и $g \in H_2$. Достаточно проверить выполнение этого свойства для порождающих $y_i \in G_2$ и $\varphi \in H_2$: $f (\varphi (y_i))=f(y_{i+1})= x_{2(i+1)-1}$ и $h(\varphi) (f (y_i))=\theta^2 (x_{2i-1})=x_{2i+1}$. Рассмотрим случай $n=2$. Получаем группу $G_2=G_1=F(2,4)$, рассмотренную в примере 1.2, которая изоморфна циклической группе $C_5=\langle a \mid a^5=1 \rangle$. При этом $x_1=a$, $x_2=a^3, x_3=a^4, x_4=a^2$ и $\theta (x_i)=x_{i+1}$. Следовательно, $G_1/H_1$ является 4-значной косетной группой на двух элементах. Поскольку $\varphi (x_i)=x_{i+2}$, то $G_2 / H_2$ является 2-значной косетной группой на множестве из трех элементов; см лемму 1.5. При косетной конструкции различным группам могут соответствовать изоморфные $n$-значные косетные группы. Такой пример был приведен в [6; предложение 3.2]. Здесь мы обращаем внимание на то, что он может быть получен в терминах групп с циклическим представлением. Пример 1.4. Рассмотрим группу с циклическим представлением $G_2 (w_1)$, где $w_1=x_1^2$. То есть $G_2(w_1)=\langle x_1, x_2 \mid x_1^2=x_2^2=1 \rangle=\mathbb Z_2 * \mathbb Z_2$. Автоморфизм $\theta$ такой, что $\theta(x_1)=x_2$ и $\theta(x_2)=x_1$, порождает группу $A_2= \langle \theta \mid \theta^2=1 \rangle$. Получаем множество орбит $Y_2 (w_1)=G_2 (w_1) / A_2=\{ y_0, y_1, y_2, \dots \}$, где $y_0=\{ 1 \}$, $y_1=\{ x_1, x_2 \}$ и, далее, $y_{2k}=\{ (x_1 x_2)^k, (x_2 x_1)^k \}$, $y_{2k+1}=\{ (x_1 x_2)^k x_1, (x_2 x_1)^k x_2 \}$ для $k \geqslant 0$. При факторотображении $\pi\colon G_2(w_1) \to Y_2 (w_1)$ имеем $\pi ((x_1 x_2)^k)=\pi ((x_2 x_1)^k )=y_{2k}$ и $\pi ((x_1 x_2)^k x_1)=\pi ((x_2 x_1)^k x_2 )=y_{2k+1}$. Следуя формуле (1.3), определим $2$-значное умножение $\mu_2\colon Y_2(w_1) \times Y_2(w_1) \to \operatorname{Sym}^2 (Y_2 (w_1))$: Рассмотрим в $G_2 (w_1)$ бесконечную циклическую подгруппу $H \cong \mathbb Z$, порожденную элементом $c=x_1 x_2$. Автоморфизм $\theta$ действует на $H$ по правилу $\theta (c)=\theta (x_1 x_2)=x_2 x_1=x^{-1}_2 x^{-1}_1=c^{-1}$. Пусть, как и выше, $A_2=\langle \theta \mid \theta^2=1 \rangle$. Получаем множество орбит $Z_2 (w_1)=H / A_2=\{ z_n \}$, где $z_n= \{c^n, c^{-n} \}$, и факторотображение $\pi\colon H \to Z_2 (w_1)$, при котором $\pi (c^n)=\pi (c^{-n})=z_n$, $n \geqslant 0$. Определим 2-значное умножение $\nu_2\colon Z_2(w_1) \times Z_2(w_1) \to \operatorname{Sym}^2 (Z_2(w_1))$:
$$
\begin{equation*}
\nu_2 (z_m, z_n) = [\pi (c^m \cdot c^n), \pi (c^m \cdot c^{-n})]=[ z_{m+n}, z_{|m-n|}], \qquad m, n \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, 2-значные группы $G_2 (w_1) / A_2=(Y_2 (w_1), \mu_2)$ и $H / A_2=(Z_2 (w_1), \nu_2)$ совпадают, хотя группы $G_2 (w_1)$ и $H$ не являются изоморфными. М. Корнев [36] исследовал функцию роста для группы $G_2(w_1)$, $w_1=x_1^2$, и ее обобщений. Рассмотрим группу $G_m(w_1)$, $m \geqslant 2$, и $m$-значную косетную группу $X_m(w_1)= G_m(w_1)/A_m$, где $A_m$ порождена автоморфизмом $\theta(x_i)=x_{i+1}$, $i=1, \dots, m$. Согласно [36; предложение 3] группа $X_m(w_1)$ имеет функцию роста
$$
\begin{equation*}
\zeta_k= \begin{cases} \dfrac{(m-1)^k-1}{m-2}+1, & m \geqslant 3, \\ k+1, &m=2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В связи с примером 1.4 сформулируем две открытые проблемы. Проблема 1.2. Описать условия, при которых $n$-значные косетные группы, построенные по неизоморфным группам с циклическим представлением, изоморфны. Проблема 1.3. Найти порядок роста и функцию роста для $n$-значных косетных групп, соответствующих группам с циклическим представлением. Рассмотрим в $F^{1/\ell} (2,4)=G_4 (w_{\ell})$ для $w_{\ell}=x_1^{\ell} x_2 x_3^{-\ell}$ автоморфизм второго порядка $\psi (x_i)=x_{i+2}$, где $i=1,2,3,4$. Напомним, что согласно [10], если $G$ – (однозначная) абелева группа, а $\varphi\colon G \to G$ – ее антиподальная инволюция, определяемая по правилу $\varphi (g)=g^{-1}$, то 2-значная косетная группа $X=G / \langle \varphi \rangle$ является инволютивной коммутативной группой. При этом говорят, что $X$ относится к основной серии 2-значных групп. Лемма 1.5. Рассмотрим группу $G_4 (w_{\ell})$, где $w_{\ell}=x_1^{\ell} x_2 x_3^{-\ell}$ для целого $\ell \geqslant 1$. Пусть $B_2=\langle \psi \mid \psi^2=1 \rangle$, где $\psi (x_i)=x_{i+2}$. Тогда 2-значная косетная группа $G(w_{\ell}) / B_2$ относится к основной серии 2-значных групп из [10]. Доказательство. Как показано в примере 1.2, $G_4 (w_{\ell})=C_k=\langle a \mid a^k= 1\rangle$, где $k=4 \ell^2+1$, $\ell \geqslant 1$, и, кроме того, $\psi=\theta^2$. Тогда $\psi(a)=a^{4 \ell^2}=a^{-1}$. Обозначив $B_2=\langle \psi \mid \psi^2=1 \rangle$, получаем множество орбит $Z_2(w_{\ell})=G_4 (w_{\ell}) / B_2=\{ z_0= \{ 1 \},\, z_i=\{ a^i, a^{-i} \},\text{ где }i=1, \dots, 2 \ell^2 \}$. Следовательно, факторотображение $\pi\colon G_4(w_{\ell}) \to Z_2 (w_{\ell})$ имеет вид $\pi (1)=z_0$ и $\pi (a^i)=\pi (a^{-i})=z_i$ для $i=1, \dots, 2 \ell^2$. Получаем $2$-значное умножение $\mu_2\colon Z_2 (w_{\ell}) \times Z_2 (w_{\ell}) \to \operatorname{Sym}^2 (Z_2(w_{\ell}))$: где $\overline{p}=p$, если $p \leqslant 2\ell^2$, и $\overline{p}=4 \ell^2+1-p$, если $p > 2 \ell^2$. Поскольку группа $F^{1/\ell}(2,4)=C_k$ коммутативная и $\psi(a)=a^{-1}$, то $2$-значная группа $(Z_2(w_{\ell}), \mu_2)$ относится к основной серии.
Лемма доказана. § 2. Действие циклических $n$-значных групп и трехмерные гиперболические многообразия2.1. Действие многозначной группыСледуя [31], введем понятие действия многозначной группы. Напомним, что (однозначная) группа $G$ с умножением $\mu_G (g,h)=g * h$ действует слева на пространстве $U$, если определено отображение $G \times U \to U$, сопоставляющее паре $(g, u)$ элемент $g(u) \in U$, такое, что выполнены следующие условия:
Пусть заданы действие группы $G$ на пространстве $U$ и действие конечной группы $A$ порядка $n$ на $U$. Если задано представление $\rho\colon A \to \operatorname{Aut} (G)$ и выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\alpha (g (v))=\alpha (g) (\alpha(v)) \quad \text{для всех } \ g \in G, \quad\alpha \in A, \quad v \in U,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\alpha (g)=\rho (\alpha) (g)$, то говорят, что тройка $(G,A, \rho)$ действует эквивариантно на $U$. Определение 2.1. Будем говорить, что $n$-значная группа $(X, \mu)$ действует на множестве $V$, если определено отображение $\varphi\colon X \times V \to \operatorname{Sym}^n (V)$ по правилу такое, что: Лемма 2.1. Если тройка $(G,A, \rho)$, где $\rho\colon A \to \operatorname{Aut} (G)$, действует эквивариантно на пространстве $U$, то имеет место действие косетной группы $X=G/\rho(A)$ на пространстве орбит $V=U/A$. Доказательство. Для определенности обозначим элементы группы $A$ через $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$. Пространство орбит множества $U$ по действию группы $A$ имеет вид $V=U/A=\{ A(u) \mid u \in U \}=\{ [\alpha_1 (u), \dots, \alpha_n (u)] \mid u \in U \}$. Зададим отображение $\pi_U\colon U \to V$, которое каждой точке сопоставляет $n$-мультимножество точек ее орбиты. Обозначим $\widehat{A}=\rho(A)$. Пространство орбит группы $G$ по действию $\widehat{A}$ имеет вид $X=G/\widehat{A}=\{ \widehat{A} (g) \mid g \in G \}=\{ [\widehat{\alpha}_1 (g), \dots, \widehat{\alpha}_n (g)] \mid g \in G \}$. Зададим факторотображение $\pi_G\colon G \to X$, которое каждому элементу группы сопоставляет $n$-мультимножество элементов его орбиты. По теореме 1.1 $n$-значное умножение $\mu\colon X \times X \to \operatorname{Sym}^n (X)$, заданное формулой где $g \in \pi_G^{-1} (x)$ и $h \in \pi_G^{-1} (y)$, задает на $X$ структуру $n$-значной косетной группы.
Определим действие $\varphi(x,v)=x \circ v\colon X \times V \to \operatorname{Sym^n (V)}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
x \circ v=[\pi_U (g (\alpha_1 (u)), \dots, \pi_U (g (\alpha_n (u))],
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $g \in \pi_G^{-1}(x)$ и $u \in \pi_U^{-1}(v)$. Непосредственная проверка показывает, что заданное действие удовлетворяет условиям определения 2.1, т.е. $n$-значная косетная группа $X$ действует на пространстве орбит $V$.
Лемма доказана. Определение 2.2. Если в обозначениях леммы 2.1 косетная группа $X=G / \rho(A)$ действует на пространстве орбит $V=U/A$, то будем говорить, что $X$ действует косетно на $V$. 2.2. Разветвленные накрытия и действие косетных группНапомним понятие $n$-разветвленного накрытия в смысле А. Дольда [37] и Л. Смита, следуя [7]. Пусть $X, Y$ – непустые множества. Каждое отображение $\pi\colon X \to Y$ индуцирует отображение $\operatorname{Sym}^n (\pi)\colon \operatorname{Sym}^n (X) \to \operatorname{Sym}^n (Y)$, определенное по формуле (1.2). Если $X$ – хаусдорфово пространство, то будем рассматривать $\operatorname{Sym}^n (X)$ с фактортопологией. Определение 2.3. Пусть $X$ и $Y$ – хаусдорфовы пространства. Непрерывное отображение $\pi\colon X \to Y$ называется $n$-разветвленным накрытием, если существует непрерывное отображение $t\colon Y \to \operatorname{Sym}^n (X)$ такое, что: Типичным примером $n$-разветвленного накрытия является следующая конструкция; см. [7; пример 3.3]. Пусть $G$ – конечная группа порядка $n$, действующая непрерывно и эффективно на хаусдорфовом пространстве $X$. Напомним, что действие $G$ на $X$ называется эффективным, если для любых элементов $g_1 \neq g_2$ из $G$ найдется точка $x \in X$ такая, что $g_1 (x) \neq g_2 (x)$. Пусть $\pi\colon X \to Y=X / G$ – отображение, сопоставляющее точке $x \in X$ ее орбиту $Gx \in Y$. Тогда $\pi$ является $n$-разветвленным накрытием. При этом отображение $t\colon Y \to \operatorname{Sym}^n (X)$ переводит $y$ в $n$-мультимножество точек орбиты $\{ x \in X \mid x=\pi^{-1} (y) \}$, взятых с учетом их кратности. Более того (см. [37; пример 1.4]), если $H < G$ – подгруппа конечного индекса $n$, а $G$ действует на $X$ эффективно, то факторотображение $X / H \to X / G$ является $n$-разветвленным накрытием. Напомним конструкцию из [7]. Обозначим $[n]=\{ 1, \dots, n \}$. Под эпиморфизмом множества $[n]$ на $n$-мультимножество элементов из $X$ будем понимать сюръективное отображение, при котором элементы в образе рассматриваются с учетом их кратности. Пусть $\pi\colon X \to Y$ – $n$-разветвленное накрытие. Обозначим через $E$ множество всех таких отображений $\psi\colon [n] \to X$, что $\pi \,{\circ}\, \psi(1)=\pi \,{\circ}\, \psi (2)=\dots=\pi \,{\circ}\, \psi(n)=y$ и $\psi$ – эпиморфизм множества $[n]$ на множество $ \pi^{-1} (y) $. Ясно, что симметрическая группа $\Sigma_n$ действует на $E$ перестановками точек множества $[n]$ и факторпространство по этому действию совпадает с $Y$. Кроме того, $E \times_{\Sigma_n} [n]$ изоморфно $X$ и проекцию на первый множитель можно отождествить с $\pi$. Про отображение $\psi$ можно думать как про “универсальную” расстановку кратностей точек на ветвях накрытия. Это влечет следующее утверждение из работы Дольда [37], которое мы формулируем, следуя [7]. Лемма 2.2 (см. [37; предложение 1.9], [7; теорема 4]). Каждое $n$-разветвленное накрытие может быть представлено как проекция $p\colon E \times_{\Sigma_n} [n] \to E / \Sigma_n$ для указанного выше $\Sigma_n$-пространства $E$. Пусть $X$ – $n$-значная группа, действующая на топологическом пространстве $V$; см. определение 2.1. Тогда $g \,{\circ}\, v$, где $v \in V$ и $x \in X$, является $n$-мультимножеством точек из $V$. Для $v \in V$ определим множество $ X v=\{ x \circ v \mid x \in X \} \subset \operatorname{Sym}^n (V)$. Для $v' \in V$ включение $v' \in Xv$ означает, что найдется элемент $x \in X$ такой, что $x \circ v \ni v'$. Заметим, что если $X$ – $n$-значная косетная группа, действующая косетно, то из $v' \in X v$ будет следовать $v \in X v'$. В самом деле, в силу теоремы 1.1, если $X=G/A$ – косетная группа с факторотображением $\pi\colon G \to X$, то $\operatorname{inv}_X (x)=\pi(g^{-1})$, где $g \in \pi^{-1} (x) \subset G$. Определение 2.4. Будем говорить, что действие $X$ на множестве $V$ обладает пространством орбит, если существуют множество $W$ и сюръективное отображение $\pi\colon V \to W$ такие, что для любой пары точек $v, v' \in V$ условие $\pi(v)=\pi(v')$ выполняется тогда и только тогда, когда $v' \in X v$. Более того, будем говорить, что непрерывное действие $X$ на топологическом пространстве $V$ обладает пространством орбит, если существуют топологическое пространство $W$ и непрерывное сюръективное отображение $\pi\colon V \to W$ такие, что для любой пары точек $v, v' \in V$ условие $\pi(v)=\pi(v')$ выполняется тогда и только тогда, когда $v' \in X v$. Теорема 2.1. Пусть $(G, A, \rho)$, где $\rho\colon A \to \operatorname{Aut} (G)$, – такая тройка, что $n$-значная косетная группа $X=G/\rho(A)$ косетно действует на топологическом пространстве $V=U/A$. Обозначим через $\langle G, A \rangle$ расширение $G$ с помощью автоморфизмов $\rho (A)$. Тогда пространство $W=U/ \langle G, A \rangle$ является пространством орбит этого действия относительно канонической проекции $V \to W$. Доказательство. По определению тройка $(G,A,\rho)$ состоит из однозначных группы $G$, конечной группы $A$ и представления $\rho\colon A \to \operatorname{Aut} (G)$. При этом тройка $(G,A, \rho)$ эквивариантно действует на пространстве $U$, т.е. где $\alpha(g)=\rho(\alpha) (g)$. Следовательно, определены факторпространства $U/G$ и $V= U/A$. Обозначим через $\widehat{G}=\langle G, A \rangle$ расширение группы $G$ с помощью группы автоморфизмов $\widehat{A}=\rho(A)$. Этому расширению соответствует короткая точная последовательность Обозначим $W=U / \widehat{G}$. Тогда имеет место диаграмма разветвленных накрытий Группа $A$ действует на $U/G$, поскольку действия $G$ и $A$ на $U$ коммутируют. Напомним, что $X$ является $n$-значной косетной группой, т.е. $X=G / \widehat{A}=\{ [\widehat{\alpha}_1(g), \dots, \widehat{\alpha}_n (g)] \mid g \in G\}$, где $\widehat{A}= \{ \widehat{\alpha}_1, \dots, \widehat{\alpha}_n \}$.
Пространство $V=U/A$ состоит из орбит $[v]=[ \alpha_1(u), \dots, \alpha_n (u) ]$ точек $u \in U$ под действием группы $A$, а элементами $n$-значной группы $X=G/\widehat{A}$ являются орбиты $[x]=[\widehat{\alpha}_1 (g), \dots, \widehat{\alpha}_n (g)]$ элементов $g \in G$ под действием группы автоморфизмов $\widehat{A}$. Поскольку тройка $(G, A, \rho)$ действует эквивариантно, получаем следующее покомпонентное действие:
$$
\begin{equation*}
[x] [v]=[ \widehat{\alpha}_1 (g), \dots, \widehat{\alpha}_n (g) ] [ \alpha_1(u), \dots, \alpha_n (u) ]= [ \alpha_1 (g (u)), \dots, \alpha_n (g (u)) ]=[g(u)],
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. результатом является орбита $[g(v)]$ точки $g(v) \in U/G$ под действием группы $A$, где $g(u)$ в свою очередь является орбитой точки $u \in U$ по действию группы $G$. Таким образом, определена каноническая проекция $\pi\colon V \to W$, при которой $\pi ([v])=[g(u)]$. Поскольку накрытия $U \to V=U/A$ и $U/G \to W=U / \widehat{G}$ согласованы с действием группы $A$, проекция $\pi$ определена корректно и удовлетворяет условиям определения 2.4.
Теорема доказана. Напомним, что компактное трехмерное многообразие $M$ называется гиперболическим, если $M=\mathbb H^3 / \Gamma$, где $\mathbb H^3$ – трехмерное гиперболическое пространство, а $\Gamma < \operatorname{Isom} (\mathbb H^3)$ – дискретная кокомпактная группа изометрий, не имеющая кручений [38], [39]. Обозначим через $\operatorname{Isom}^+(\mathbb H^3)$ группу, состоящую из всех сохраняющих ориентацию изометрий пространства $\mathbb H^3$. Нас будут интересовать группы с циклическим представлением, являющиеся фундаментальными группами замкнутых ориентируемых трехмерных гиперболических многообразий. Такими являются, например, группы Фибоначчи $F(2,2n)$ для $n \geqslant 4$. Для трехмерных гиперболических многообразий имеет место следующее важное свойство, которое называют теоремой жесткости. Теорема 2.2 (см. [38; теорема C.5.2]). Пусть $M_1=\mathbb H^3 / \Gamma_1$ и $M_2=\mathbb H^3 / \Gamma_2$, где $\Gamma_1, \Gamma_2 < \operatorname{Isom}^{+} (\mathbb H^3)$, – компактные ориентируемые трехмерные гиперболические многообразия. Если имеет место изоморфизм $\phi\colon \Gamma_1 \to \Gamma_2$, то найдется такая изометрия $q \in \operatorname{Isom} (\mathbb H^3)$, что которая индуцирует изометрию $\chi\colon M_1 \to M_2$ такую, что $\chi_*=\phi$. Кроме того, известна следующая связь между группой внешних автоморфизмов фундаментальной группы гиперболического многообразия и группой его изометрий. Теорема 2.3 (см. [38; теорема C.5.6]). Пусть $M$ – трехмерное связное компактное ориентируемое гиперболическое многообразие. Тогда группа внешних автоморфизмов $\operatorname{Out} (\pi_1(M))$ конечна и изоморфна группе изометрий $\operatorname{Isom}(M)$. В дальнейшем нас будут интересовать замкнутые ориентируемые трехмерные гиперболические многообразия, фундаментальные группы которых являются группами с циклическим представлением. Теорема 2.4. Пусть $G_n (w) < \operatorname{Isom}^{+} (\mathbb H^3)$ – такая группа с циклическим представлением, что факторпространство $M_n (w)=\mathbb H^3 / G_n(w)$ является замкнутым ориентируемым трехмерным гиперболическим многообразием. Пусть $A$ – конечная циклическая подгруппа порядка $k$ в группе $\operatorname{Isom}^{+} (M_n(w))$. Тогда $k$-значная косетная группа $G_n(w) / A$ действует на пространстве $\mathbb H^3 / A$. Доказательство. В силу леммы 2.1 достаточно показать, что пара $(G_n(w), A)$ эквивариантно действует на пространстве $\mathbb H^3$. Пусть $\phi \in A$. Тогда по теоремам 2.2 и 2.3 существует такая изометрия $q \in \operatorname{Isom} (\mathbb H^3)$, что $\phi (g)=q \,{\circ}\, g \,{\circ}\, q^{-1}$ для всех $g \in G_n(w)$. Таким образом, $\phi \in A$ действует на $G_n (w)$ сопряжением изометрией $q$, а на $\mathbb H^3$ – изометрией $q$. Следовательно, $\phi (g) (\phi(v))=q \,{\circ}\, g \,{\circ}\, q^{-1} ( q (v))=q (g(v))=\phi (g(v))$ для всех $g \in G_n(w)$, $v \in \mathbb H^3$, таким образом, пара $(G_n(w), \phi)$ действует эквивариантно для каждого $\phi \in A$. В силу леммы 2.1 имеет место действие $k$-значной косетной группы $G_n(w) / A$ на пространстве $\mathbb H^3 / A$.
Теорема доказана. 2.3. Разветвленные циклические накрытия с ветвлением вдоль узловНапомним понятие разветвленного накрытия трехмерного многообразия с ветвлением вдоль зацепления, следуя Р. Фоксу [40]. Все рассматриваемые многообразия предполагаются замкнутыми связными ориентируемыми с кусочно линейной топологией. Пусть $M$ и $N$ – триангулируемые $m$-мерные многообразия и $L$ является $(m-2)$-мерным подкомплексом в $N$. Невырожденное кусочно линейное отображение $f\colon M \to N$ называют $n$-кратным накрытием, разветвленным вдоль $L$, где $n>1$, если:
При этом говорят, что многообразие $M$ является разветвленным накрытием многообразия $N$, а $L$ называют множеством ветвления этого накрытия. Два разветвленных накрытия $f_1\colon M_1 \to N_1$ и $f_2\colon M_2 \to N_2$ будем считать эквивалентными, если существуют гомеоморфизмы $\psi\colon M_1 \to M_2$ и $\phi\colon N_1 \to N_2$ такие, что $\psi \circ f_2=f_1 \circ \phi$. Как следует из [41; предложение 2.3.2], если $f\colon M \to N$ является разветвленным накрытием по Фоксу трехмерных многообразий без края, то оно также является $n$-разветвленным накрытием по Дольду и Смиту, где $n$ – максимальная кратность отображения $f$. Поскольку отображение $t \circ \pi\colon M \to \operatorname{Sym}^n (M)$ из определения 2.3 по сути состоит в приписывании точкам многообразия $M$ их кратности, получаем Следствие 2.1. Пусть $f\colon M \to N$ – $n$-кратное разветвленное накрытие по Фоксу. Тогда каждой точке $x \in M$ можно непрерывно приписать целое положительное число $k(x)$, кратность отображения $f$ в этой точке. Здесь непрерывность понимается в следующем смысле, используемом в теории Дольда–Смита. Пусть $f\colon Y \to X$ – разветвленное $n$-листное накрытие в смысле Дольда–Смита. Тогда каждой точке $y \in Y$ можно приписать такое целое число $k(y)$, чтобы непрерывным было отображение $g\colon X \to \operatorname{Sym}^n (Y)$, определенное по правилу $g(x)=[k(y_i) y_i, i=1, \dots, m]$, где $[y_i, i=1, \dots, m]=f^{-1} (x)$ и $\sum_i k(y_i)=n$. В [40] Фокс показал, что разветвленное накрытие однозначно определяется обычным накрытием на дополнении к прообразу множества точек ветвления. Этот факт позволяет установить взаимно однозначное соответствие между $n$-листными накрытиями $N$, разветвленными над $L$, и классами эквивалентности отображений монодромии $\omega\colon \pi_1(N \setminus L, x_0)\to \Sigma_n$, где $\Sigma_n$ – симметрическая группа, а $x_0 \in N \setminus L$ – произвольная базисная точка. Если $N$ является $m$-мерной сферой $S^m$, то накрытие $N$, разветвленное над $L$, кратко называют разветвленным накрытием $L$. Таким образом, два $n$-листных разветвленных накрытия $f_1\colon M_1 \to N_1$, $f_2\colon M_2 \to N_2$ с множествами ветвления $L_1 \subset N_1$, $L_2 \subset N_2$ и отображениями монодромии $\omega_{f_1}$, $\omega_{f_2}$ эквивалентны, если и только если существуют внутренний автоморфизм $\lambda$ группы $\Sigma_n$ и гомеоморфизм $\phi\colon N_1 \to N_2$ такие, что $\phi (L_1)=L_2$ и $\lambda \circ \omega_{f_1}=\omega_{f_2}\circ \phi_*$, где гомоморфизм $\phi_*\colon \pi_1(N_1 \setminus L_1, x_0) \to \pi_1(N_2 \setminus L_2,\phi(x_0))$ индуцирован отображением $\phi _{|N_1 \setminus L_1}$. Результат Фокса позволяет перенести понятие циклического накрытия с обычных накрытий на разветвленные. А именно, разветвленное накрытие называется циклическим, если соответствующее ему обычное накрытие является циклическим. Аналогично вводятся понятия регулярного и абелева разветвленных накрытий. Поскольку циклическое накрытие является абелевым, оно с точностью до эквивалентности определяется эпиморфизмом
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\omega}_f\colon H_1(N \setminus L)\to \mathbb Z_n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb Z_n$ обозначает циклическую группу порядка $n$, вложенную в $\Sigma_n$ посредством мономорфизма, переводящего $1\in \mathbb Z_n$ в стандартную циклическую перестановку $(1\,2\,\dots\,n) \in \Sigma_n$. Если $N=S^3$ и $L=\bigcup_{i=1}^{\mu} K_i$ – $\mu$-компонентное зацепление в $S^3$, то $H_1(N \setminus L) \cong \mathbb Z^{\mu}$ и базис задается множеством гомологических классов меридианных петель вокруг компонент зацепления $L$. Следовательно, $n$-листное циклическое разветвленное накрытие $f$ зацепления $L$ определяется заданием ориентации на $L$ и сопоставлением каждой компоненте $K_i$ целого $k_i \in \mathbb Z_n \setminus \{0\}$ такого, что множество $\{k_1,\dots,k_{\mu}\}$ порождает $\mathbb Z_n$. Если $m_i$ – меридиан вокруг компоненты $K_i$, ориентированный согласованно с ориентацией на $L$, положим $\widetilde{\omega}_f[m_i]=k_i \in \mathbb Z_n$. Следовательно, $\omega_f[m_i]=(1\,2\,\dots\,n)^{k_i}$. Обозначим соответствующее многообразие через $M_{n,k_1,\dots,k_{\mu}}(L)$. Умножение каждого $k_i$ на один и тот же обратимый элемент $u$ из $\mathbb Z_n$ приведет к эквивалентному накрытию. А именно, два $n$-листных циклических разветвленных накрытия $f_1\colon M_1 \to N_1$ и $f_2\colon M_2 \to N_2$ с соответствующими отображениями $\widetilde{\omega}_{f_1}\colon H_1(N_1 \setminus L_1)\to \mathbb Z_n$ и $\widetilde{\omega}_{f_2}\colon H_1(N_2 \setminus L_2)\to \mathbb Z_n$ эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют $u \in \mathbb Z_n$ и гомеоморфизм $\phi\colon N_1 \to N_2$ такие, что $\gcd(u,n)=1$, $\phi (L_1)=L_2$ и $\widetilde{\omega}_{f_2} \circ \phi_\#=u \cdot \widetilde{\omega}_{f_1}$, где гомоморфизм $\phi_\#\colon H_1(N_1 \setminus L_1)\to H_1(N_2 \setminus L_2)$ индуцирован отображением $\phi_{\vert N_1 \setminus L_1}$, а $u \cdot \widetilde{\omega}_{f_1}$ обозначает умножение $\widetilde{\omega}_{f_1}$ на $u$. Напомним [42], что для разветвленных циклических накрытий зацеплений используется следующая терминология. Говорят, что $M_{n,k_1,\dots,k_{\mu}}(L)$ является:
Очевидно, что имеют место импликации $\text{(i)} \Rightarrow \text{(ii)} \Rightarrow\text{(iii)} \Rightarrow \text{(iv)} \Rightarrow \text{(v)}$. Более того, все пять определений эквивалентны, если $L$ является узлом или $n=2$. Выбором подходящей ориентации на зацеплении можно перейти от почти строго циклического накрытия к строго циклическому. Для одноциклического накрытия мы всегда можем с точностью до эквивалентности и переупорядочивания компонент считать, что $k_1=1$. В частности, если $\mu= 1$, то $n$-листное циклическое разветвленное накрытие узла $K$ будем обозначать $M_n(K)$. Напомним, что зацепление $L$ называется гиперболическим, если его дополнение $S^3 \setminus L$ допускает введение полной гиперболической метрики конечного объема. Зацепление называется $2\pi / n$-гиперболическим, $n \geqslant 2$, если $S^3$ допускает метрику постоянной отрицательной кривизны, которая является сингулярной с углом $2\pi/n$ вокруг каждой компоненты зацепления; см. подробнее в [43]. При $n=2$ получаем понятие $\pi$-гиперболического зацепления. Обозначим через $\mathcal O_n (L)$ трехмерный орбифолд, носителем которого является топологическое пространство $S^3$, а сингулярным множеством – зацепление $L$ с сингулярным углом $2\pi / n$ вокруг каждой компоненты $L$. Утверждение о том, что $L$ является $2\pi/n$-гиперболическим зацеплением, эквивалентно утверждению о том, что $\mathcal O_n (L)$ является гиперболическим орбифолдом. Хорошо известно [43; следствие 3], что если $K \subset S^3$ – гиперболический узел, то для $n\geqslant 3$, за исключением случая $n=3$ для узла “восьмерка”, $K$ является $2\pi/n$-гиперболическим. Если $L$ – зацепление в $S^3$ с $\mu$ компонентами $K_i$, $i=1, \dots, \mu$, и $m_i$ – ориентированный меридиан узла $K_i$, то орбифолдной фундаментальной группой орбифолда $\mathcal O_n (L)$ называют группу
$$
\begin{equation}
\pi_1 (\mathcal O_n (L) )=\pi_1 (S^3 \setminus L) / \langle m_1^n, \dots, m_{\mu}^n \rangle.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Каждый эпиморфизм $\psi\colon \pi_1 (\mathcal O_n (L)) \to \mathbb Z_n$ определяет $n$-листное разветвленное накрытие $M$ орбифолда $\mathcal O_n (L)$ такое, что $\pi_1 (M)= \operatorname{Ker} \psi$. Мы можем считать, что $\psi$ переводит гомотопический класс каждого меридиана зацепления $L$ в порождающий циклической группы $\mathbb Z_n$, т.е. разветвленное накрытие является строго циклическим. В этом случае $M$ является замкнутым 3-многообразием и прообразом $L$ в $M$ является зацепление $\widetilde{L}$ с тем же числом компонент, что у $L$. Дополнение $M \setminus \widetilde{L}$ является регулярным неразветвленным накрытием дополнения $S^3 \setminus L$, соответствующим ядру композиции (которую мы также обозначим через $\psi$)
$$
\begin{equation*}
\psi\colon \pi_1 (S^3 \setminus L) \to \pi_1 (\mathcal O_n(L)) \to \mathbb Z_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что если орбифолд $\mathcal O_n(L)$ является гиперболическим, то все $n$-листные циклические разветвленные накрытия зацепления $L$ являются гиперболическими многообразиями. Среди узлов и зацеплений в $S^3$ выделяют класс двухмостовых узлов (их также называют рациональными); см. определение и свойства в [44]. Обозначим через $\mathbf{b} (p/q)$ двухмостовый узел (или зацепление), который соответствует рациональному параметру $p/q$, где $p > 1$ целое и $q \in \mathbb Z_{2p}$ такое, что $(p,q)=1$. Хорошо известно, что $\mathbf{b} (p/q)$ является узлом, если $p$ нечетно, и двухкомпонентным зацеплением, если $p$ четно, а его диаграмма определяется разложением $p/q$ в непрерывную дробь. Кроме того, двухмостовый узел является торическим (при $|q|=1$) либо гиперболическим (при $|q| > 1$). В обзоре [42] приведены описания разветвленных циклических накрытий двухмостовых узлов и зацеплений через фундаментальный многогранник, диаграмму Хегора, хирургию на зацеплении и кристаллизацию. Ниже мы рассмотрим такие двухмостовые узлы $\mathbf{b} (p/q)$, что $p/q= 2\ell+1/(2\ell)$ для $\ell \geqslant 1$, и будем обозначать
$$
\begin{equation*}
K_{\ell}=\mathbf{b} \biggl(\frac{4 \ell+1}{2\ell}\biggr),\qquad \ell \geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Узел $K_1=\mathbf{b}(5/2)$ известен как узел “восьмерка”. 2.4. Группы Фибоначчи и узел “восьмерка”Интерес к группам Фибоначчи в контексте трехмерной геометрии и топологии связан со следующим результатом Х. Хеллинга, А. Кима и Й. Меннике [13]: для каждого $n \geqslant 2$ группа Фибоначчи $F(2,2n)$ реализуется как фундаментальная группа замкнутого ориентируемого трехмерного многообразия $M_n$, которое называют многообразием Фибоначчи. Формулы для объемов гиперболических многообразий Фибоначчи $M_n$, $n \geqslant 4$, получены в [45]. Известно, что $M_2$ – линзовое пространство $L(5,2)$, а $M_3$ – евклидово многообразие Ханцше–Вендта, построенное в 1935 г.; см. [46], [47] и [48; п. 3.5]. Согласно [13] при $n \geqslant 4$ группа
$$
\begin{equation}
F(2, 2n)=\langle x_1, \dots, x_{2n} \mid x_i x_{i+1}=x_{i+2}, \, i=1, \dots, 2n \rangle
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
действует в $\mathbb H^3$ свободно, и фундаментальным многогранником для ее действия является $4n$-гранник $\mathcal P_n$, представленный для $n=5$ разверткой на рис. 1, где предполагается, что левый и правый края следует склеить вдоль ломаной $P A_{10} A_1 Q$. Многогранник $\mathcal P_5$ имеет $20$ граней и комбинаторно устроен как икосаэдр. Поверхность $\mathcal P_n$ состоит из $4n$ одинаковых равносторонних треугольных граней. Грани $x_i (F_i)=F^*_i$ попарно отождествляются под действием порождающих $x_i$, $i=1, \dots, 2n$, в соответствии со следующими правилами:
Относительно действия порождающих $x_i$ все ребра многогранника $\mathcal P_n$ (их число равно $6n$) разбиваются на $2n$ классов эквивалентности, а все $2n+2$ вершин принадлежат одному классу эквивалентности. Отметим, что многогранник $\mathcal P_n$ имеет симметрию порядка $n$, ось которой $PQ$ указана на риc. 1 штриховой линией, и заданное попарное отождествление граней выдерживает эту симметрию. Согласно [49; с. 267] трехмерный комплекс, получающийся путем попарного отождествления сторон многогранника, является многообразием тогда и только тогда, когда его эйлерова характеристика равна нулю, что выполнено в данном случае. Из геометрической реализации многогранника $\mathcal P_n$, $n \geqslant 4$, в пространстве Лобачевского, описанной в [13], следует, что многообразие является гиперболическим. Х. Хилден, М. Т. Лозано и Х. Монтезинос-Амилибия [50] показали, что вращение вокруг оси $PQ$ (см. рис. 1) определяет действие циклической группы порядка $n$ на многообразии Фибоначчи $M_n$, $n \geqslant 2$. Более того, $M_n$, является разветвленным $n$-листным циклическим накрытием 3-сферы $S^3$ с ветвлением вдоль образа оси $PQ$ – узла “восьмерка” $K_1$, изображенного на рис. 2, т.е. $M_n=M_n (K_1)$ является $n$-листным циклическим накрытием орбифолда $\mathcal O_n(K_1)$. Этому накрытию соответствует автоморфизм $r_n \in \operatorname{Out} (F(2,2n))$ такой, что $r_n (x_i)=x_{i+2}$, $i=1, \dots, 2n$. В силу теорем 2.2 и 2.3 существует изометрия $\rho_n \in \operatorname{Isom} (\mathbb H^3)$, которая индуцирует автоморфизм: $r_n (x_i)=\rho_n^{-1} x_i \rho_n=x_{i+2}$, где $i=1, \dots, 2n$. Из рис. 1 видно, что в качестве $\rho_n$ можно выбрать вращение вокруг оси $PQ$. Для $n \geqslant 4$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathcal R_n=\langle \rho_n \mid \rho_n^n=1\rangle < \operatorname{Isom} (\mathbb H^3), \qquad R_n=\langle r_n \mid r_n^n=1\rangle < \operatorname{Out}(F(2,2n)).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2.5. При $n \geqslant 4$ имеет место действие $n$-значной косетной группы $F(2,2n) / R_n$ на пространстве, гомеоморфном $\mathbb R^3$, с пространством орбит, гомеоморфным $S^3$. Проекция $\mathbb R^3 \to S^3$ на пространство орбит связана коммутативной диаграммой с циклически разветвленным вдоль узла “восьмерка” накрытием сферы $S^3$ многообразием Фибоначчи $M_n=\mathbb H^3 / F(2,2n)$. Доказательство. Покажем, что при $n \geqslant 4$ имеет место действие $n$-значной косетной группы $F(2,2n) / R_n$ на $\mathbb H^3 / \mathcal R_n$ с пространством орбит $\mathcal O_n(K_1)$.
Рассмотрим группу $\Omega_n=\langle F(2, 2n) , \rho_n \rangle=\pi_1 (\mathcal O_n(K_1))$. Как показано в [29], [51], она имеет представление
$$
\begin{equation}
\Omega_n=\langle\rho_n, x_1, x_{2}\mid\rho_n^n=1,\, \rho_n^{-1}x_1\rho_n=x_1 x_{2},\, \rho_n^{-1}x_{2}\rho_n=x_{2}x_1x_{2} \rangle.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Следуя [29], выразив $x_1$ из третьего соотношения и подставив полученное выражение во второе соотношение, получим
$$
\begin{equation*}
x_{2}^{-1}\rho_n^{-1} x_{2} \rho_n =\rho_n x_{2}^{-1}\rho_n^{-1}x_{2} x_{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначив через $b_n$ такой элемент, что $x_{2}=b_n \rho_n$, придем к соотношению
$$
\begin{equation*}
\rho_n^{-1} b_n^{-1} \rho_n^{-1} b_n \rho_n = b_n^{-1} \rho_n^{-1} b_n\rho_nb_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя обозначение $[\rho_n, b_n]=\rho_n b_n \rho_n^{-1} b_n^{-1}$, перепишем (2.5) в виде
$$
\begin{equation}
\Omega_n=\langle \rho_n, b_n \mid\rho_n^n = b_n^n = 1, \,[ \rho_n, b_n] \rho_n^{-1}=b_n\, [\rho_n, b_n] \rangle.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В то же время хорошо известно [44], что
$$
\begin{equation}
\pi_1 (S^3 \setminus K_1)=\langle \rho, b \mid[\rho,b]\rho^{-1} = b[\rho,b] \rangle,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где ориентации петли $\rho$, которую можно выбрать в качестве меридиана узла, и петли $b$ соответствуют стрелкам на рис. 2.
Напомним [50], что каждое представление группы $\pi_1 (S^3 \setminus K)$ узла $K$ в группу $\operatorname{PSL}(2, \mathbb C)=\operatorname{Isom}^+(\mathbb H^3)$ поднимается до $\operatorname{SL} (2, \mathbb C)$. Для узла “восьмерка” $K_1$ представления $\sigma\colon G \to \operatorname{SL} (2, \mathbb C)$ группы $G=\pi_1 (S^3 \setminus K_{1})$ изучались в [52], где использовались обозначения $A=\sigma (\rho^{-1})$ и $B=\sigma (b)$. Пусть $\Lambda$ – множество всех подгрупп $\operatorname{SL} (2, \mathbb C)$, которые являются представлениями группы $G$. Абелева группа $H$ принадлежит $\Lambda$ тогда и только тогда, когда $H$ циклическая, а неабелева группа $H$ принадлежит $\Lambda$ тогда и только тогда, когда $H=\langle A, B \rangle$, где $\operatorname{tr} (A)=\operatorname{tr} (B)=\alpha$ для некоторого $\alpha \in \mathbb C$ и $\operatorname{tr} (AB)=\beta$, где
$$
\begin{equation*}
\beta=\frac{1}{2} \bigl(1+\alpha^2 \pm \sqrt{(\alpha^2-1) (\alpha^2-5)}\,\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
и с точностью до сопряжения $H$ порождается матрицами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A=\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{bmatrix}, \qquad \lambda=\frac{1}{2} \bigl(\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-4} \bigr) , \\ B=\begin{bmatrix} \mu & 1 \\ \mu (\alpha-\mu)-1 & \alpha-\mu \end{bmatrix} , \qquad \mu=\frac{\lambda \beta-\alpha}{\lambda^2-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Гиперболическая структура на орбифолде $\mathcal O_n(K_1)$ соответствует дискретному представлению $\sigma_n\colon \Omega_n \to \operatorname{SL} (2, \mathbb C)$, при котором $\sigma_n (\rho_n)=A^{-1}$, $\sigma_n (b_n)=B$, и имеет место $A^n=B^n=- I$, где $I$ – единичная матрица [50]. Следовательно, с точностью до сопряжения
$$
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{bmatrix}, \qquad \lambda^n=-1,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем $\lambda=e^{\pi i / n}$ и $\alpha=\operatorname{tr} (A)=2 \cos \frac{\pi}{n}$. Таким образом, действие группы $\mathcal R_n$ на $\mathbb H^3$ порождается поворотом на угол $2 \pi / n$ вокруг некоторой геодезической $\Gamma$. Следовательно, $\mathbb H^3 / \mathcal R_n$ является орбифолдом с носителем, гомеоморфным $\mathbb R^3$, и сингулярным множеством – геодезической кривой $\Gamma$ с сингулярностью порядка $n$. Индуцированная метрика на дополнении $\mathbb H^3 / \mathcal R_n \setminus \Gamma$ является несингулярной неполной римановой метрикой постоянной отрицательной кривизны, пополнение которой приводит к $\mathbb H^3 / \mathcal R_n$ [43]. В цилиндрических координатах метрика на $\mathbb H^3 / \mathcal R_n \setminus \Gamma$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
ds^2=dr^2+\biggl(\frac{1}{n} \operatorname{sh} (r) \biggr)^2 d \theta^2+ \operatorname{cosh}^2 (r) \, dh^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $r \in (0,+\infty)$ – расстояние до $\Gamma$, $\theta \in [0, 2\pi)$ – угловой параметр и $h \in \mathbb R$ – расстояние вдоль $\Gamma$.
Далее воспользуемся теоремой 2.4. Получаем, что имеет место следующая диаграмма накрытий: Перейдя, как в примере 1.3, к $n$-циклическому представлению группы $F(2,2n)$ с порождающими $y_k=x_{2k-1}$, $k=1, \dots, n$, получим действие $r_n (y_i)=y_{i+1}$ для $i=1, \dots, n$, из которого видно, что $n$-значная косетная группа $F(2,2n)/\mathcal R_n$ является циклической. В силу того, что носитель орбифолда $\mathbb H^3 / \mathcal R_n$ гомеоморфен $\mathbb R^3$, а носитель орбифолда $\mathcal O_n(K_1)$ гомеоморфен $S^3$, получаем утверждение теоремы.Отметим, что $2$-значная косетная группа $F(2,4) / R_2$, соответствующая сферическому случаю, была описана в лемме 1.5 как группа $(Z_2 (w_1), \mu_2)$. Симметрии узла “восьмерка” $K_1$ изучались М. Деном [53] и В. Магнусом [54]. Ден установил, что группа $\pi_1(S^3 \setminus K_1)$ имеет восемь внешних автоморфизмов, образующих группу диэдра $\mathbb D_8$ порядка 8. Затем Магнус показал, что других внешних автоморфизмов нет. В силу соответствия между порождающими $\rho$, $b$ группы $\pi_1 (S^3 \setminus K_1)$ и порождающими $\rho_n$, $b_n$ группы $\pi_1 (\mathcal O_n(K_1))$ симметрии узла $K_1$ индуцируют симметрии орбифолда $\mathcal O_n(K_1)$, которые поднимаются до изометрий многообразия Фибоначчи $M_n(K_1)$. А именно, следующий результат был установлен в [15] для $n=4, 5, 6, 8, 12$ и в [51] для $n \geqslant 4$. Теорема 2.6 (см. [15], [51]). Каждая симметрия узла “восьмерка” $K_1$ поднимается до изометрии гиперболического многообразия Фибоначчи $M_n(K_1)$, $n \geqslant 4$. Действие группы $\mathbb D_8$ на порождающих группы $\pi_1 (\mathcal O_n(K_1))$ описано в [51]. Мы рассмотрим ее подгруппу порядка 4
$$
\begin{equation*}
\mathbb D_4=\langle \sigma, \lambda \mid \sigma^2=\lambda^2=(\sigma \lambda)^2=1 \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Три ее нетривиальных элемента являются инволюциями и действуют на порождающих группы $\pi_1 (\mathcal O_n(K_1))$ следующим образом, где $\tau=\sigma \lambda$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma (b_n)=\rho_n, \qquad \sigma(\rho_n)=b_n, \\ \lambda (b_n)=\rho_n^{-1}, \qquad \lambda(\rho_n)=b_n^{-1}, \\ \tau (b_n)=b_n^{-1}, \qquad \tau(\rho_n)=\rho_n^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Оси инволюций $\tau$ и $\sigma$ указаны на рис. 2 штриховыми линиями, а ось инволюции $\lambda$ перпендикулярна плоскости диаграммы и отмечена точкой. Опишем действие группы $T_2=\langle \tau \mid \tau^2=1 \rangle$ на группе Фибоначчи $F(2, 2n)$. Напомним, что $x_2=b_n \rho_n$ и $x_1=\rho_n x_2^{-1} \rho_n^{-1} x_2=b_n^{-1} \rho_n^{-1} b_n \rho_n$. Поскольку $\tau (\rho_n)=\rho_n^{-1}$ и $\tau (b_n)=b_n^{-1}$, то
$$
\begin{equation*}
\tau (x_2)=\tau (b_n \rho_n)=b_n^{-1} \rho_n^{-1}=(b_n^{-1} \rho_n^{-1} b_n \rho_n) (\rho_n^{-1} b_n^{-1})=x_1 x_2^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau (x_1) &=\tau(b_n^{-1} \rho_n^{-1} b_n \rho_n^{-1})=b_n \rho_n b_n^{-1} \rho_n^{-1} \\ &= (b_n \rho_n) (b_n^{-1} \rho_n^{-1} b_n \rho_n) (b_n \rho_n)^{-1}=x_2 x_1 x_2^{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Образы остальных порождающих $x_k$, $k=3, \dots, 2n$, группы $F(2, 2n)$ определяются из соотношений $x_i x_{i+1}=x_{i+2}$, $i=1, \dots, 2n$. Например, $\tau(x_3)=\tau(x_1) \tau(x_2)=x_2 x_1 x_2^{-1} x_1 x_2^{-1}$. Обозначим через $\mathcal T_2$ группу изометрий пространства $\mathbb H^3$, соответствующую группе автоморфизмов $T_2 \in \operatorname{Out} (F(2,2n))$. В работе [51] показано, что носителем орбифолда $\mathbb H^3 / \langle F(2,2n), T_2 \rangle$ является $S^3$ и описано его сингулярное множество. Теорема 2.7. При $n \geqslant 4$ имеет место действие $2$-значной косетной группы $F(2,2n) / T_2$ на пространстве, гомеоморфном $\mathbb R^3$, с пространством орбит, гомеоморфным $S^3$. Проекция $\mathbb R^3 \to S^3$ на пространство орбит связана коммутативной диаграммой с двулистным разветвленным накрытием сферы $S^3$ многообразием Фибоначчи $M_n=\mathbb H^3 / F(2,2n)$. Доказательство. Аналогично теореме 2.5 доказательство следует из того, что при $n \geqslant 4$ имеет место действие $2$-значной косетной группы $F(2,2n) / T_2$ на $\mathbb H^3 / \mathcal T_2$ с пространством орбит $\mathbb H^3 / \langle F(2,2n), T_2 \rangle$, что соответствует следующей диаграмме:
Теорема доказана. Аналогичные утверждения верны для инволюций $\sigma$ и $\lambda$, а именно, эти инволюции приводят к действиям 2-значных косетных групп $F(2,2n) / S_2$ и $F(2,2n) / L_2$. При этом группа $S_2=\langle \sigma \mid \sigma^2=1 \rangle$ действует на $F(2,2n)$ так, что $\sigma (x_1)=x_1^{-1}$ и $\sigma(x_2)=x_2 x_1^{-1}$. Соотношение $x_{i} x_{i+1}=x_{i+2}$ позволяет найти образы остальных порождающих, в частности $\sigma(x_3)=x_1^{-1} x_2 x_1^{-1}$. А группа $L_2=\langle \lambda \mid \lambda^2=1 \rangle$ действует на $F(2,2n)$ так, что $\lambda(x_1)=x_2 x_1^{-1} x_2^{-1}$, $\lambda(x_2)=x_2^{-1}$, откуда $\lambda(x_3)=x_2 x_1^{-1} x_2^{-2}$, и т.д. 2.5. Дробные группы Фибоначчи и семейство двухмостовых узловВ [21] для целых положительных взаимно простых $k$ и $\ell$ и для $n \geqslant 2$ было введено семейство групп с циклическим представлением
$$
\begin{equation}
F^{k/\ell} (2,2n)=\langle x_1, \dots, x_{2n} \mid x_i^{\ell} x_{i+1}^k= x_{i+2}^{\ell}, \, i=1, \dots, 2n \rangle.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Группы $F^{k/\ell} (2,2n)$ были названы дробными группами Фибоначчи, поскольку при $k=\ell=1$ получаем группы Фибоначчи $F(2,2n)$. В [21] было показано, что группы $F^{k/\ell} (2,2n)$ являются фундаментальными группами замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий $M_n^{k/\ell}$, которые принадлежат семейству многообразий Такахаши [30]. Многообразия $M_n^{k/\ell}$ были названы дробными многообразиями Фибоначчи. В частности, многообразия $M_n^k$ были построены и изучены К. Маклачланом и А. Ридом в [15]. Как показано в [21], при $\ell \geqslant 1$ многообразие $M_n^{1/\ell}$ является $n$-листным циклическим накрытием $S^3$, разветвленным над узлом $K_{\ell}$, изображенным на рис. 3, т.е. $M_n^{1/\ell}=M_n (K_{\ell})$, и является $n$-листным циклическим накрытием орбифолда $\mathcal O_n(K_{\ell})$. В частности, при $\ell \geqslant 2$ многообразие $M_2 (K_{\ell})$ является линзовым пространством, а $M_n (K_{\ell})$, $n \geqslant 3$, – гиперболическим многообразием. При этом накрытию $M_n(K_{\ell}) \to \mathcal O_n (K_{\ell})$ соответствует автоморфизм $r_n \in \operatorname{Out} (F^{1/\ell}(2,2n))$ такой, что $r_n (x_i)=x_{i+2}$, где $i=1, \dots, 2n$; см. [21], [30]. В силу теорем 2.2 и 2.3 существует изометрия $\rho_n \in \operatorname{Isom} (\mathbb H^3)$, которая индуцирует автоморфизм: $r_n (x_i)=\rho_n^{-1} x_i \rho_n=x_{i+2}$, где $i=1, \dots, 2n$. Для $n \geqslant 3$ обозначим $\mathcal R_n=\langle \rho_n \mid \rho_n^n=1\rangle < \operatorname{Isom} (\mathbb H^3)$ и $R_n=\langle r_n \mid r_n^n=1\rangle < \operatorname{Out}(F^{1/\ell}(2,2n))$. Теорема 2.8. При $n \geqslant 3$ и $\ell \geqslant 2$ имеет место действие $n$-значной косетной группы $F^{1/\ell}(2,2n) / R_n$ на пространстве, гомеоморфном $\mathbb R^3$, с пространством орбит, гомеоморфным $S^3$. Проекция $\mathbb R^3 \to S^3$ на пространство орбит связана коммутативной диаграммой с циклически разветвленным вдоль гиперболического двухмостового узла $K_{\ell}$ накрытием сферы $S^3$ компактным гиперболическим трехмерным многообразием $\mathbb H^3 / F^{1/\ell}(2,2n)$. Доказательство. Аналогично теореме 2.5 доказательство следует из того, что при $n \geqslant 3$ и $\ell \geqslant 2$ имеет место действие $n$-значной косетной группы $F^{1/\ell}(2,2n) / R_n$ на $\mathbb H^3 / \mathcal R_n$ с пространством орбит $\mathcal O_n (K_{\ell})$, что соответствует следующей диаграмме:
Теорема доказана. Отметим, что $2$-значные косетные группы $F^{1/\ell}(2,4) / R_2$, соответствующие сферическому случаю, были описаны в лемме 1.5 как группы $(Z_2 (w_\ell), \mu_2)$. В заключение подчеркнем, что теоремы 2.5 и 2.8 устанавливают связь между группами с циклическим представлением, которые соответствуют разветвленным $n$-листным циклическим накрытиям узлов в $S^3$, и действием $n$-значных косетных групп, соответствующих циклическому автоморфизму. При этом $n$-значные косетные группы $F^{1/\ell} (2,2n) / R_n$, $\ell \geqslant 1$, действуют на гиперболических орбифолдах $\mathbb H^3 / \mathcal R_n$ с носителем $\mathbb R^3$, а пространством орбит являются гиперболические орбифолды $\mathcal O_n (K_{\ell})$ с носителем $S^3$. В связи с теоремами 2.5 и 2.8 представляет интерес следующая проблема. Проблема 2.1. Классифицировать действия $n$-значных косетных групп, соответствующие циклическим накрытиям трехмерной сферы, разветвленным над узлами и зацеплениями.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BucVes24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|