| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Классификация неособых четырехмерных потоков с нескрученной седловой орбитой В. Д. Галкин, О. В. Починка, Д. Д. Шубин Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Нижний Новгород
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10091e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение и формулировка результатовВ настоящей работе рассматриваются так называемые НМС-потоки $f^t$, т.е. неособые (без неподвижных точек) потоки Морса–Смейла, заданные на замкнутых ориентируемых $n$-многообразиях $M^n$, $n\geqslant 2$. Неблуждающее множество такого потока состоит из конечного числа периодических гиперболических орбит. В случае малого числа орбит известные инварианты можно значительно упростить и, главное, довести задачу классификации до реализации, описав допустимость полученных инвариантов. В работе [17] была получена исчерпывающая классификация потоков с двумя орбитами на произвольных замкнутых $n$-многообразиях. В статье [23] полная топологическая классификация получена для потоков с тремя периодическими орбитами, заданных на ориентируемых 3-многообразиях. В работах [20], [24] решен вопрос классификации для трехмерных потоков Морса–Смейла с конечным числом особых траекторий. Топологическая эквивалентность неособых потоков в предположениях различной общности на 3-сфере получена, например, в [5], [22]. В работе [21] установлено, что единственным ориентируемым 4-многообразием, допускающим НМС-потоки в точности с одной седловой периодической орбитой в предположении, что она скрученная (ее инвариантные многообразия неориентируемы), является $\mathbb S^3\times\mathbb S^1$. Там же доказано, что такие потоки разбиваются на восемь классов эквивалентности. Сразу отметим, что в случае нескрученной орбиты число классов эквивалентности таких потоков бесконечно, как следует из работы [16], и среди них есть потоки с дико вложенными инвариантными многообразиями седловой орбиты. Настоящая работа посвящена топологической эквивалентности четырехмерных НМС-потоков в точности с одной седловой периодической орбитой в предположении, что она нескрученная. Перейдем к формулировке результатов. Пусть $M^4$ – связное замкнутое ориентируемое 4-многообразие, $f^t\colon M^4\to M^4$ – НМС-поток и $\mathcal O$ – его периодическая орбита. В окрестности гиперболической периодической орбиты $\mathcal O$ поток допускает простое описание (с точностью до топологической эквивалентности), а именно существует ее трубчатая окрестность $V_{\mathcal O}$, гомеоморфная $\mathbb D^3\times \mathbb S^1$, в которой поток топологически эквивалентен надстройке над некоторым линейным диффеоморфизмом пространства $\mathbb R^3$, заданным матрицей с положительным определителем и действительными собственными значениями, по модулю отличными от единицы (см. предложение 7 ниже). Число значений, по модулю больших единицы, называется индексом Морса орбиты $\mathcal O$ и обозначается $i_{\mathcal O}$. Если $i_{\mathcal O}=0$ ($i_{\mathcal O}=3$), то соответствующая периодическая орбита является притягивающей (отталкивающей), в противном случае – седловой. Седловая орбита называется скрученной, если ровно два собственных значения отрицательны, при этом одно из них больше, другое меньше единицы по модулю, и называется нескрученной в противном случае. Будем добавлять минус к индексу Морса $i_{\mathcal O}$ в случае скрученности орбиты $\mathcal O$. Через будем обозначать число оборотов узла $c\subset V_{\mathcal O}$ вдоль орбиты ${\mathcal O}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{\mathcal O}=\partial V_{\mathcal O}\cong\mathbb S^2\times\mathbb S^1
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначим через $e_{\mathcal O}\subset\Sigma_{\mathcal O}$ образующую фундаментальной группы $\pi_1(\Sigma_{\mathcal O})$ такую, что Напомним, что узел в $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ называется стандартным, если существует гомеоморфизм $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$, переводящий его в узел $\{s\}\times\mathbb S^1$. Рассмотрим класс $G^+_1(M^4)$ НМС-потоков $f^t\colon M^4\to M^4$ с единственной седловой орбитой $S$ в предположении, что она является нескрученной. Для седловой орбиты $S$ потока $f^t\in G^+_1(M^4)$ возможны два следующих варианта: 1) $\dim W^{\mathrm{u}}_S=3$; 2) $\dim W^{\mathrm{u}}_S=2$. Обозначим через $G^{+1}_1(M^4)$, $G^{+2}_1(M^4)$ классы потоков типа 1), 2) соответственно. Очевидно, что в силу различия в размерностях неустойчивых седловых многообразий никакой поток множества $G^{+1}_1(M^4)$ не эквивалентен никакому потоку множества $G^{+2}_1(M^4)$. Кроме того, $G^{+2}_1(M^4)=\{f^{-t}\colon f^t\in G^{+1}_1(M^4)\}$ и потоки $f^t$, $f'^t$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $f^{-t}$, $f'^{-t}$. Непосредственно отсюда следует, что решение проблемы классификации в множестве $G^+_1(M^4)$ сводится к решению этой проблемы в классе $G=G^{+1}_1(M^4)$. В п. 3.1 мы установим следующий факт. Лемма 1. Неблуждающее множество любого потока $f^t\in G$ содержит единственную притягивающую орбиту $A$. Из эквивалентности потока надстройке в окрестностях периодических орбит следует, что множество гомеоморфно двумерному тору (рис. 1; в дальнейшем многообразие будем изображать в виде шарового слоя $\mathbb S^2\times [0, 1]$ с основаниями, отождествленными по правилу $(x,0)\sim (x,1)$). При этом если $N_{T}\subset\Sigma_S$ – замкнутая трубчатая окрестность тора $T$, то множество $\Sigma_S\setminus \operatorname{int} N_{T}$ состоит из пары заполненных торов $V^{-}$, $V^{+}$, являющихся трубчатыми окрестностями узлов $L^\pm$ таких, что Везде далее будем полагать узел $L^\pm$ ориентированным так, что $\langle L^\pm\rangle_S=1$.Обозначим через $\mathcal R$ множество отталкивающих орбит потока $f^t$, положим
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{\mathcal R}=\bigsqcup_{R\in\mathcal R}\Sigma_R.
\end{equation*}
\notag
$$
В п. 3.3 будет показано, что окрестность $N_{T}$ можно выбрать так, что
$$
\begin{equation*}
N_{T}\subset \Sigma_A, \qquad (\Sigma_S\setminus \operatorname{int} N_{T})\subset \Sigma_{\mathcal R}.
\end{equation*}
\notag
$$
На рис. 2 изображены возможные вложения тора $T$ в многообразие $\Sigma_A$. В п. 3.4 мы установим следующий факт о числе отталкивающих орбит и расположении узлов $L^-$, $L^+$ в многообразии $\Sigma_{\mathcal R}$ потока $f^t$ (рис. 3). Лемма 2. Для потоков множества $G$ реализуются в точности две возможности: Не умаляя общности, будем полагать, что стандартным является узел $L^+$, положим $L=L^-$ и, если $\mathcal R$ состоит из двух орбит, положим $R=R^-$ и обозначим через $B\subset\Sigma_R$ 3-шар, ограниченный 2-сферой, разделяющей в $\Sigma_{R}$ узлы $L^-,L^+$. Каждому потоку $f^t\in G$ поставим в соответствие пару чисел $\rho_1\in\{-1,1\}$, $\rho_2\in\{-2,-1,1,2\}$ по следующему правилу (см. рис. 3). Если поток $f^t$ имеет две отталкивающие орбиты, то $\rho_1=\langle L^+\rangle_{R^+}$, $\rho_2=2\langle e_{A}\rangle_{R^-}$. Если поток $f^t$ имеет одну отталкивающую орбиту, то $\rho_1=\langle L^+\rangle_{R}$, $\rho_2=1(-1)$, если образующая $e_A$ в многообразии $\Sigma_{R}$ направлена внутрь шара $B$ (наружу шара $B$). Набор назовем схемой потока $f^t\in G$ (рис. 4).Схемы $\mathcal S_{f^t}=(\Sigma_{R},L,\rho_1,\rho_2)$, $\mathcal S_{f'^t}=(\Sigma_{R'},L',\rho'_1,\rho'_2)$ потоков $f^t,f'^t\in G$ назовем эквивалентными, если существует гомеоморфизм $\varphi\colon \Sigma_{R}\to\Sigma_{R'}$ такой, что:
Основным результатом работы является следующая теорема, доказанная в § 4. Теорема 1. Потоки $f^t, f'^t\in G$ топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их схемы $\mathcal S_{f^t},\mathcal S_{f'^t}$ эквивалентны. Для решения проблемы реализации потоков рассматриваемого класса опишем абстрактную схему. Набор назовем абстрактной схемой, если:
Непосредственно из леммы 2 следует, что схема любого потока $f^t\in G$ эквивалентна некоторой абстрактной схеме. Классификацию потоков рассматриваемого класса завершает следующая теорема, конструктивно доказанная в § 5. Теорема 2. Для любой абстрактной схемы $\mathcal S$ существует поток $f^t\in G$, схема которого ей эквивалентна. Частным случаем рассматриваемых потоков являются надстройки над 3-диффеоморфизмами Морса–Смейла с единственной седловой орбитой. Согласно работе [14] несущим многообразием любого такого диффеоморфизма является сфера $\mathbb S^3$, а из работ [3], [4] следует, что полным инвариантом их топологической сопряженности также является вложение узла в многообразие $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Непосредственным следствием этой классификации и теоремы 1 является следующий факт. Теорема 3. Поток $f^t\in G$ с инвариантом $\mathcal S_{f^t}=(\Sigma_{R},L,\rho_1,\rho_2)$ эквивалентен надстройке над 3-диффеоморфизмом Морса–Смейла тогда и только тогда, когда В частности, поток $f^t\in G$ с инвариантами $\langle L\rangle_{R}=1$, $\rho_1=1$, $\rho_2=2$ эквивалентен надстройке над так называемыми диффеоморфизмами Пикстона [15]. В этом случае узел $L$ является узлом Хопфа (т.е. принадлежит гомотопическому классу $\langle e_R\rangle_R$). Из результатов работы [1] следует, что существует счетное число попарно не эквивалентных (объемлюще не гомеоморфных) хопфовских узлов (рис. 5). Согласно [3] любой узел Хопфа может быть реализован диффеоморфизмом Пикстона. В работе [16] установлено, что надстройка над диффеоморфизмом Пикстона, реализованным по узлу, не эквивалентному стандартному узлу $L_0$, является потоком с дико вложенными инвариантными многообразиями седловой орбиты. Несмотря на возможность дикого вложения инвариантных многообразий седловой орбиты несущее многообразие любого потока $f^t\in G$, являющегося надстройкой над 3-диффеоморфизмом, гомеоморфно многообразию $\mathbb S^3\times\mathbb S^1$. Удивительным фактом настоящей работы является доказательство следующего результата. Теорема 4. Несущее многообразие любого потока $f^t\in G$ гомеоморфно многообразию $\mathbb S^3\times\mathbb S^1$. § 2. О вложениях в многообразие $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$Напомним, что $C^{r}$-вложением $(r\geqslant 0)$ многообразия $X$ в многообразие $Y$ называется отображение $\lambda\colon X \to Y$ такое, что $\lambda \colon X\to \lambda(X)$ – это $C^r$-диффеоморфизм. $C^0$-вложение называют также топологическим вложением. Топологическое вложение $\lambda\colon X \to Y$ $m$-многообразия $X$ в $n$-многообразие $Y$ ($m\leqslant n$) называется локально плоским в точке $\lambda(x)$, $x \in X$, если точка $\lambda(x)$ принадлежит такой карте $(U,\psi)$ многообразия $Y$, что $\psi (U \cap \lambda(X)) =\mathbb{R}^{m}$, где $\mathbb{R}^{m} {\subset}\,\mathbb{R}^{n}$ – множество точек, у которых последние $n-m$ координат равны нулю, или $\psi(U \cap \lambda(X)) = R^{m}_{+}$, где $\mathbb{R}^{m}_{+} \subset\mathbb{R}^{m}$ – множество точек, у которых последняя координата неотрицательна. Вложение $\lambda$ называется локально плоским, а многообразие $X$ – локально плоско вложенным, если $\lambda$ является локально плоским в каждой точке $\lambda(x)$, $x\in X$. В противном случае вложение $\lambda$ называется диким, а многообразие $X$ – дико вложенным. Любая точка $\lambda(x)$, в которой отображение $\lambda$ не является локально плоским, называется точкой дикости. Положим $\Sigma=\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Предложение 1 (см. [3; лемма 3.1]). Пусть $\Lambda$ – двумерная сфера, локально плоско вложенная в многообразие $\Sigma$. Тогда $\Lambda$ либо ограничивает на сфере 3-шар, либо объемлюще изотопна сфере $\mathbb S^2\times\{s_0\}$, $s_0\in\mathbb S^1$. Напомним, что заполненным тором $V$ называется 3-многообразие с краем, гомеоморфное многообразию $\mathbb D^2\times\mathbb S^1$. Меридианом заполненного тора $V$ называется узел $\mu\subset \partial V$, ограничивающий 2-диск $d\subset V$ такой, что $d\cap \partial V=\mu$. Предложение 2 (см. [18]). Пусть $V_1$, $V_2$ – заполненные торы и $h\colon \partial V_1\to\partial V_2$ – гомеоморфизм. Тогда гомеоморфизм $h$ продолжается до гомеоморфизма $h\colon V_1\to V_2$, если и только если он переводит меридиан заполненного тора $V_1$ в меридиан заполненного тора $V_2$. Предложение 3 (см. [2]). Пусть $V_1$, $V_2$ – заполненные торы, локально плоско вложенные в 3-многообразие $M^3$ так, что $M^3=V_1\cup V_2$, $V_1\cap V_2=\partial V_1=\partial V_2$. Тогда $M^3\cong\Sigma$, если и только если меридиан заполненного тора $V_1$ одновременно является меридианом заполненного тора $V_2$. Предложение 4 (см. [2]). Локально плоский узел $L\subset\Sigma$ является стандартным тогда и только тогда, когда дополнение до его трубчатой окрестности в $\Sigma$ гомеоморфно заполненному тору. Локально плоский узел $L\subset\mathbb S^3$ называется тривиальным, если существует гомеоморфизм $\mathbb S^3$, переводящий его в узел $\mathbb S^1\subset\mathbb S^3$. В противном случае узел называется нетривиальным. Предложение 5 (см. [7; теорема 3], [6; замечание]). Пусть множество $W$ гомеоморфно дополнению $\mathbb S^3$ до трубчатой окрестности нетривиального узла $L\,{\subset}\,\mathbb S^3$ и $M^3{=}\,W\,{\cup}\, V$, где $V$ – заполненный тор такой, что $W\,{\cap}\, V\,{=}\,\partial W\,{=}\,\partial V$. Тогда $M^3$ не гомеоморфно многообразию $\Sigma$. Пусть $T$ – локально плоско вложенный в многообразие $\Sigma$ двумерный тор и $i_T\colon T\to\Sigma$ – отображение включения. Будем говорить, что тор $T$ вложен гомотопически тривиально (не тривиально), если $i_{T*}(\pi_1(T))=0$ ($i_{T*}(\pi_1(T))\neq 0$). Предложение 6 (см. [3; теорема 4]). Пусть $T$ – двумерный тор, гомотопически нетривиально вложенный в многообразие $\Sigma$. Тогда $T$ ограничивает в $\Sigma$ заполненный тор. Для описания двумерного тора $T$, гомотопически тривиально вложенного в многообразие $\Sigma$, заметим, что для любого такого тора $T$ существует гладко вложенная 2-сфера $\Lambda\subset \Sigma$, гомотопная слою $\mathbb S^2\times\{s_0\}$ и не пересекающаяся с тором $T$. Лемма 3. Пусть $T$ – двумерный тор, гомотопически тривиально вложенный в многообразие $\Sigma$. Тогда для тора $T$ реализуются следующие возможности: Доказательство. Представим $\mathbb S^3$ как компактификацию $\mathbb S^2\times\mathbb R$ северным $N$ и южным $S$ полюсами. Определим проекцию $p\colon \mathbb S^2\times\mathbb R\to\Sigma$ формулой $p(s,r)=(s,r\pmod 1)$. Тогда многообразие $\Sigma$ является пространством орбит действия на $\mathbb S^2\times\mathbb R$ группы диффеоморфизмов $\{g^n,\,n\in\mathbb Z\}$, где диффеоморфизм $g\colon\mathbb S^2\times \mathbb R\to \mathbb S^2\times\mathbb R$ задается формулой
Обозначим через $\widetilde\Lambda\subset\mathbb S^3$ компоненту связности множества $p^{-1}(\Lambda)$ и через $\widetilde K\subset \mathbb S^3$ – трехмерное кольцо, ограниченное 2-сферами $\widetilde \Lambda$, $g(\widetilde \Lambda)$. При этом сфера $\widetilde \Lambda$ ($g(\widetilde \Lambda)$) ограничивает в $\mathbb S^3$ 3-шар $B_N$ ($B_S$), содержащий полюс $N$ ($S$) (рис. 6). Обозначим через $\widetilde T\subset\widetilde K$ компоненту связности множества $p^{-1}(T)$, которая в силу гомотопической тривиальности тора $T$ является локально плоско вложенным двумерным тором. Поскольку многообразие $\mathbb S^3$ является неприводимым (любая локально плоско вложенная в него 2-сфера ограничивает в нем 3-шар), то тор $\widetilde T$ ограничивает там заполненный тор $\widetilde V\subset\mathbb S^3$ (см., например, [13]). Положим $\widetilde W=\mathbb S^3\setminus \operatorname{int}\widetilde V$. Поскольку тор $\widetilde T$ не пересекается с шарами $B_N$, $B_S$, то для множеств $\widetilde V$, $\widetilde W$ существуют следующие возможности:
Непосредственно отсюда получаются следующие возможности для тора $T$: 1), 2) $T$ ограничивает заполненный тор $V=p(\widetilde V)$ в $\Sigma$; 3), 4) $T$ не делит многообразие $\Sigma$ и множество $\Sigma\setminus(\Lambda\cup T)$ состоит из двух компонент связности, замыкание одной из которых $p(\widetilde V\setminus \operatorname{int}B_N)$ гомеоморфно заполненному тору без 3-шара, другой $p(g(\widetilde \Lambda)\setminus \operatorname{int}\widetilde V)$ – 3-шару без заполненного тора; 5) $T$ делит многообразие $\Sigma$ на две компоненты связности, одна из которых гомеоморфна $p(\mathbb S^3\setminus \operatorname{int}\widetilde V)$. Лемма доказана. § 3. Динамика потоков класса $G$3.1. Единственность притягивающей орбитыНастоящий пункт посвящен доказательству леммы 1: неблуждающее множество любого потока $f^t\in G$ содержит единственную притягивающую орбиту $A$. Доказательство леммы 1. Основой доказательства является следующее представление несущего многообразия $M^4$ НМС-потока $f^t$ с множеством периодических орбит $\operatorname{Per}_{f^t}$ (см., например, [19]):
$$
\begin{equation}
M^4 = \bigcup_{\mathcal O \in \operatorname{Per}_{f^t}} W^{\mathrm{u}}_{\mathcal O}=\bigcup_{\mathcal O \in \operatorname{Per}_{f^t}} W^{\mathrm{s}}_{\mathcal O},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
а также асимптотическое поведение инвариантных многообразий
$$
\begin{equation}
\operatorname{cl}(W^{\mathrm{u}}_{\mathcal O}) \setminus W^{\mathrm{u}}_{\mathcal O} = \bigcup_{\widetilde{\mathcal O} \in \operatorname{Per}_{f^t}\colon W^{\mathrm{u}}_{\mathcal O}\cap W^{\mathrm{s}}_{\widetilde{\mathcal O}}\neq \varnothing} W^{\mathrm{u}}_{\widetilde{\mathcal O}},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{cl}(W^{\mathrm{s}}_{\mathcal O}) \setminus W^{\mathrm{s}}_{\mathcal O} = \bigcup_{\widetilde{\mathcal O} \in \operatorname{Per}_{f^t}\colon W^{\mathrm{s}}_{\mathcal O}\cap W^{\mathrm{u}}_{\widetilde{\mathcal O}}\neq \varnothing} W^{\mathrm{s}}_{\widetilde{\mathcal O}}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Аналогично теореме 1 работы [9] все источниковые орбиты, объединенные с устойчивыми многообразиями всех седловых обит потока $f^t$, образуют репеллер1. Поскольку размерность устойчивых многообразий равна 2, то построенный репеллер (обозначим его через $R$) имеет топологическую размерность 2. Согласно [10; гл. 4, § 5, следствие 1] многообразие $M^4\setminus R$ связно так же, как и многообразие $M^4\setminus \operatorname{int}U_R$, где $U_R$ – захватывающая окрестность репеллера $R$. С другой стороны, множество $U_A=M^4\setminus \operatorname{int}U_R$ является захватывающей окрестностью объединения $A$ всех притягивающих орбит потока $f^t$, являющегося аттрактором. Поскольку $A=\bigcap_{t\geqslant 0} f^{t}(U_{A})$ и $U_A$ связно, то $A$ связно и, следовательно, состоит из одной орбиты.
Лемма доказана. 3.2. Канонические окрестности периодических орбитНапомним определение надстройки. Пусть $\varphi\colon M^3\to M^3$ – диффеоморфизм трехмерного многообразия. Определим диффеоморфизм $g_{\varphi}\colon M^3\times \mathbb R \to M^3\times \mathbb R$ формулой
$$
\begin{equation*}
g_{\varphi}(x_1,x_2,x_3, x_4) = (\varphi(x_1,x_2, x_3),x_4-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда группа $\{g_{\varphi}^n\}\cong\mathbb Z$ действует свободно и разрывно на $M^3\times \mathbb R$, в силу чего пространство орбит $\Pi_\varphi = M^3\times \mathbb R/ g_{\varphi}$ является гладким 4-многообразием, а естественная проекция $v_\varphi\colon M^3\times \mathbb R\to \Pi_\varphi$ – накрытием. При этом поток $\xi^t\colon M^3\times \mathbb R\to M^3\times \mathbb R$, заданный формулой индуцирует поток $[\varphi]^t= v_\varphi \xi^t v^{-1}_\varphi\colon\Pi_\varphi\to\Pi_\varphi$, называемый надстройкой над диффеоморфизмом $\varphi$. Определим диффеоморфизмы $a_0,a_{\pm 1},a_{\pm 2},a_3\colon \mathbb R^{3}\to \mathbb R^{3}$ формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_3(x_1, x_2, x_3) = (2x_1, 2x_2, 2x_3), \qquad a_0 = a_3^{-1}, \\ a_{\pm 1}(x_1, x_2, x_3) = \biggl(\pm 2x_1, \pm\frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{2}\biggr), \qquad a_{\pm 2} = a_{\pm 1}^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline V_{0}&= \{ (x_1,x_2, x_3, x_4)\in \mathbb R^3 \mid 4^{x_4} x_1^2 + 4^{x_4}x^2_2 + 4^{x_4}x^2_3 \leqslant 1 \}, \\ \overline V_{\pm 1}&= \{ (x_1,x_2, x_3, x_4)\in \mathbb R^3 \mid 4^{-x_4} x_1^2 + 4^{x_4}x^2_2 + 4^{x_4}x^2_3 \leqslant 1 \}, \\ \overline V_{\pm 2}&= \{ (x_1,x_2, x_3, x_4)\in \mathbb R^3 \mid 4^{-x_4} x_1^2 + 4^{-x_4}x^2_2 + 4^{x_4}x^2_3 \leqslant 1 \}, \\ \overline V_{3}&= \{ (x_1,x_2, x_3, x_4)\in \mathbb R^3 \mid 4^{-x_4} x_1^2 + 4^{-x_4}x^2_2 + 4^{-x_4}x^2_3 \leqslant 1 \}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $i\in\{0,\pm 1,\pm 2,3\}$ положим $v_i = v_{a_i}$, $\overline\Sigma_i=\partial{\overline V_i}$, $V_i=v_i(\overline V_i)$ и $\Sigma_{i} = v_i(\overline\Sigma_i)$. Положим $e_{i}=v_i(Ox_4)$. Через $\langle c\rangle_i$ будем обозначать число оборотов узла $c\subset \Sigma_{i}$ вдоль образующей $e_{i}$. Следующее утверждение, доказанное М. Ирвином [11], описывает поведение потоков в окрестности гиперболических периодических орбит. Предложение 7. Для любой гиперболической периодической орбиты $\mathcal O$ потока $f^t\colon M^4\to M^4$, заданного на замкнутом ориентируемом многообразии $M^4$, существуют трубчатая окрестность $V_{\mathcal O}$ орбиты $\mathcal O$ и число $i_{\mathcal O}\in\{0,\pm 1,\pm 2,3\}$ такие, что поток $f^t|_{V_{\mathcal O}}$ топологически эквивалентен посредством некоторого гомеоморфизма $H_{\mathcal O}$ потоку $[a_{i_{\mathcal O}}]^t|_{V_{i_{\mathcal O}}}$. Окрестность $V_\mathcal O=H_{\mathcal O}(V_{i_\mathcal O})$, описанную в предложение 7, назовем канонической окрестностью периодической орбиты $\mathcal O$. При доказательстве топологической эквивалентности будем использовать следующий факт, который следует из доказательства теоремы 4 и леммы 4 в [17], а также может быть найден в [20; теорема 1.1]. Предложение 8. Гомеоморфизм $h_i\colon \Sigma_i\to \Sigma_i$ для $i\in\{0,3\}$ продолжается до гомеоморфизма $H_i\colon V_i\to V_i$, реализующего эквивалентность потока $[a_i]^t$ с самим собой, тогда и только тогда, когда индуцированный изоморфизм $h_{i*}\colon \pi_1(\Sigma _i)\to \pi_1(\Sigma _i)$ является тождественным. 3.3. Разбиение несущего многообразия на канонические окрестностиПоложим $\overline\Gamma = \{(x_1, x_2, x_3, x_4)\in \overline\Sigma_{2}\mid 4^{x_4}x_3^2 = 1/2\}$ и $\overline T = Ox_2x_3x_4\cap\overline\Sigma_{2}$. По построению множество $\overline\Sigma_{2}$ гомеоморфно $\mathbb S^2\times\mathbb R$, множество $\overline\Gamma$ состоит из двух поверхностей, каждая из которых гомеоморфна $\mathbb S^1\times\mathbb R$, делящих $\overline\Sigma_{2}$ на три компоненты связности, одна из которых $N_{\overline T}$ содержит цилиндр $\overline T\cong\mathbb S^1\times\mathbb R$, а каждая из двух оставшихся гомеоморфна $\mathbb D^2\times\mathbb R$. Тогда Рассмотрим поток $f^t\in G$. В силу леммы 1 поток $f^t$ обладает единственной притягивающей орбитой $A$ с канонической окрестностью $V_A=H_A(V_0)$, ограниченной многообразием $\Sigma_A=\partial V_A\cong\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. Пусть $S$ – седловая орбита потока $f^t$. Тогда $V_S=H_S(V_{2})$ – каноническая окрестность орбиты $S$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T=H_S(\mathbb T), \qquad N_{T}=H_S(N_{\mathbb T}), \qquad V^-=H_S(\mathbb V^-), \qquad V^+=H_S(\mathbb V^+), \\ \Sigma^{\mathrm{u}}_A=\biggl(\bigcup_{t>0,\,w\in N_{T}}f^{t}(w)\biggr)\cap \Sigma_A. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\lambda^\pm\subset\partial V^\pm$ образующую заполненного тора $V^\pm$ и через $\mu^\pm$ его меридиан. Определим непрерывную функцию $\tau_{A}\colon \Sigma_A\to\mathbb R^+$ так, что $f^{\tau_{A}(a)}(a)\in N_{T}$ для $a\in \Sigma^{\mathrm{u}}_A$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde V_A=V_A\cup\biggl(\bigcup_{a\in \Sigma_A}\biggl(\bigcup_{t\in[0,\tau_A(a)]}f^{-t}(a)\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что поток $f^t|_{\widetilde V_A}$ топологически эквивалентен надстройке $[a_0]^t|_{V_0}$. Поэтому везде далее мы будем полагать $V_A=\widetilde V_A$. В силу равенства (3.1) каждая компонента связности множества содержит в точности одну отталкивающую орбиту $R$ и поток $f^t$ на замыкании этой компоненты эквивалентен надстройке $[a_3]^t|_{V_3}$, в силу чего мы будем обозначать эту компоненту $V_R$. Обозначим через $\mathcal R$ множество всех отталкивающих орбит потока $f^t$. Тогда несущее многообразие $M^4$ представляется в виде объединения канонических окрестностей с попарно не пересекающимися внутренностями:
$$
\begin{equation}
M^4 = V_A \cup V_S \cup\bigsqcup_{R\in\mathcal R}V_R.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
3.4. Число отталкивающих орбитНастоящий пункт посвящен доказательству леммы 2: для потоков множества $G$ реализуются в точности две возможности:
Доказательство леммы 2. Из формулы (3.4) следует, что
$$
\begin{equation}
\Sigma_A\setminus \operatorname{int}N_T=\Sigma_{\mathcal R}\setminus \operatorname{int}(V^+\sqcup V^-).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Положим $Y=\Sigma_A\setminus \operatorname{int}N_T$. Поскольку $N_T$ – трубчатая окрестность тора $T$, то $\partial Y$ состоит из двух двумерных торов, $T^+$ и $T^-$. При этом в силу формулы (3.5) где $h_{\pm}\colon \partial V^\pm\to T^\pm$ – некоторый гомеоморфизм. Обозначим через $\mu^\pm$ меридиан заполненного тора $V^\pm$. В силу предложения 6 и леммы 3 для множества $Y$ возможны следующие варианты:
Далее рассмотрим каждый случай отдельно. 1) Обозначим через $Y^+$, $Y^-$ компоненты связности множества $Y$, ограниченные торами $T^+$, $T^-$ соответственно. Тогда из формулы (3.6) следует, что множество $\Sigma_{\mathcal R}$ также состоит из двух компонент связности. Следовательно, множество $\mathcal R$ состоит в точности из двух орбит $R^-$, $R^+$ таких, что $\Sigma_{R^\pm}=V^\pm\cup_{h_\pm}Y^\pm$. Поскольку хотя бы одно из множеств $Y^+$, $Y^-$ (положим для определенности $Y^+$) гомеоморфно заполненному тору, то многообразие $\Sigma_{R^+}$ получается склейкой двух заполненных торов $V^+\cup_{h_+}Y^+$. Поскольку многообразие $\Sigma_{R^+}$ гомеоморфно многообразию $\Sigma$, то в силу предложения 3 $h_+(\mu^+)$ – меридиан заполненного тора $Y^+$, а в силу предложения 4 узел $L^+$ является стандартным в $\Sigma_{R^+}$. Кроме того, по построению $h_-(\mu^-)$ – меридиан заполненного тора $\Sigma_A\setminus Y^-$ и, следовательно, в силу предложения 2 многообразие $V^-\cup_{h_-}Y^-$ гомеоморфно многообразию $\Sigma_A$ (рис. 7). Таким образом, случай 1) возможен, и мы доказали утверждение леммы в этом случае. 2) Поскольку множество $Y$ связно, то из формулы (3.6) следует, что множество $\Sigma_{\mathcal R}$ также связно. Следовательно, множество $\mathcal R$ состоит в точности из одной орбиты $R$ такой, что $\Sigma_{R}=V^+\cup_{h_+}Y\cup_{h_-}V^-$. Кроме того, 2-сфера $\Lambda$ разделяет в $\Sigma_{R}$ заполненные торы $V^+$, $V^-$, а значит, и узлы $L^+$, $L^-$. С другой стороны, в силу предложения 1 она ограничивает 3-шар $B\subset \Sigma_{R}$, в котором лежит один из этих заполненных торов, для определенности положим, что это тор $V^-$ (рис. 8). Тогда $B\setminus \operatorname{int}V^-=\dot Y^-$ и $\Sigma_{R}\setminus \operatorname{int}(B\cup V^+)=\dot Y^+$. Из последнего равенства следует, что $\Sigma_{R}\setminus \operatorname{int}V^+=\dot Y^+\cup B$. Поскольку $\dot Y^+\cup B$ – заполненный тор, то узел $L^+$ является стандартным в $\Sigma_{R}$. 3) Поскольку $Y$ состоит из двух компонент связности, одна из которых гомеоморфна дополнению 3-сферы $S^3$ до трубчатой окрестности нетривиального узла, то компонента связности множества $\Sigma_{\mathcal R}$ получается из нее приклеиванием заполненного тора к ее границе. В силу предложения 5 полученное множество не может быть гомеоморфно многообразию $\Sigma$, что говорит о нереализуемости случая 3). Лемма 2 доказана. § 4. Необходимые и достаточные условия эквивалентности потоков класса $G$В настоящем параграфе мы докажем теорему 1: потоки $f^t, f'^t\in G$ топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их схемы $\mathcal S_{f^t}$, $\mathcal S_{f'^t}$ эквивалентны. Доказательство теоремы 1. $\Rightarrow$. Пусть потоки $f^t\colon M^4\to M^4\in G$ и $f'^t\colon M'^4\to M'^4\in G$ топологически эквивалентны посредством гомеоморфизма $h\colon M^4\to M'^4$. Поскольку $h$ переводит периодические орбиты потока $f^t$ в периодические орбиты потока $f'^t$ с сохранением направления движения по орбите и ее инвариантных многообразий, то $\Omega_{f'^t}=\{\mathcal O'=h(\mathcal O)$, $\mathcal O\in\Omega_{f^t}\}$. Тогда, не умаляя общности, можно считать, что $V_{\mathcal O'}=h(V_{\mathcal O})$. Следовательно, $\varphi= h|_{\Sigma_R}\colon \Sigma_R\to \Sigma_{R'}$ – искомый гомеоморфизм, осуществляющий эквивалентность схем $\mathcal S_{f^t}$, $\mathcal S_{f'^t}$ и $\rho_i=\rho'_i$, $i=1,2$.
$\Leftarrow$. Пусть $\varphi\colon \Sigma_R\to\Sigma_{R'}$ – гомеоморфизм, осуществляющий эквивалентность схем $\mathcal S_{f^t}$, $\mathcal S_{f'^t}$ потоков $f^t\colon M^4\to M^4\in G$, $f'^t\colon M'^4\to M'^4\in G$. Построим по шагам гомеоморфизм $h\colon M^4\to M'^4$, осуществляющий эквивалентность этих потоков. По предложению 7 существует гомеоморфизм $H_S$, осуществляющий эквивалентность потока $f^t|_{V_S}$ с надстройкой $[a_{+1}]|_{V_{+1}}$. Положим Тогда гомеоморфизм $\varphi_S$ осуществляет эквивалентность потоков $f^t|_{V_S}$ и $f'^t|_{V_{S'}}$, откуда следует, что $\varphi_S(T)={T'}$, $\varphi_S(N_T)=N_{T'}$ и гомеоморфизм $\varphi_S$ переводит пару узлов $L^-$, $L^+$ в пару узлов ${L'}^-$, $L'^+$ с сохранением их ориентации. С другой стороны, гомеоморфизм $\varphi\colon \Sigma_{R}\to\Sigma_{R'}$ переводит узел $L^-$ в узел $L'^-$ с сохранением ориентации. Не умаляя общности, будем считать, что $\varphi(V^-)=V'^-$. Тогда изоморфизм, индуцированный гомеоморфизмом $\varphi|_{T^-}\colon T^-\to T'^-$, в образующих $\lambda^-$, $\mu^-$, $\lambda'^-$, $\mu'^-$ задается матрицей
$$
\begin{equation*}
\mathcal A=\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & \delta \end{pmatrix}, \qquad k\in\mathbb Z, \quad \delta\in\{-1,1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим гомеоморфизм $Q\colon\mathbb V_{1}\to\mathbb V_{1}$ формулой
$$
\begin{equation*}
Q = v_{a_{2}}\overline Q v_{a_{2}}^{-1}, \quad\text{где }\ \overline Q(x_1, x_2, x_3,x_4) = (\delta_1x_1,\widetilde Q(x_2, x_3),x_4)\colon V_{1}\to V_{1},
\end{equation*}
\notag
$$
$\delta_1\in\{-1,1\}$ и $\widetilde Q\colon Ox_2x_3\to Ox_2x_3$ – линейный диффеоморфизм, заданный матрицей
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 & k_2 \\ 0 & \delta_2 \end{pmatrix}, \qquad k_2\in\mathbb Z, \quad \delta_2\in\{-1,1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что построенный гомеоморфизм $Q$ осуществляет эквивалентность потока $[a_{2}]^t$ с самим собой. Положим выбрав значение $\delta_1$ так, что $h_S(V^-)=V'^-$, и значения $\delta_2$, $k_2$ так, что изоморфизм, индуцированный гомеоморфизмом $h_S|_{T^-}\colon T^-\to T'^-$, в образующих $\lambda^-$, $\mu^-$, $\lambda'^-$, $\mu'^-$ записывается матрицей $\mathcal A$.
Таким образом, гомеоморфизмы $\varphi|_{T^-},h_S|_{T^-}\colon T^-\to {T'}^-$ изотопны (см., например, [18]), а значит, существует гомеоморфизм $h_-\colon \Sigma_{R}\to\Sigma_{R'}$, совпадающий с гомеоморфизмом $h_S$ на $V_-$ и совпадающий с $\varphi$ вне некоторой окрестности заполненного тора $V_-$. Далее рассмотрим отдельно два случая: 1) $|\rho_2|=2$; 2) $|\rho_2|=1$. В случае 1) поток $f^t$ ($f'^t$) имеет две отталкивающие орбиты $R^-$, $R^+$ ($R'^-$, $R'^+$) и трубчатая окрестность $N_T$ ($N_{T'}$) тора $T$ ($T'$) делит многообразие $\Sigma_A$ ($\Sigma_{A'}$) на две компоненты связности $Y^-$, $Y^+$ ($Y'^-$, $Y'^+$), ограниченные торами $T^-$, $T^+$ ($T'^-$, $T'^+$) соответственно. В силу леммы 2 узел $L^+$ ($L'^+$) является стандартным в многообразии $\Sigma_{R^+}$ ($\Sigma_{R'^+}$), а следовательно, множество $Y^+$ ($Y'^+$) гомеоморфно заполненному тору. При этом $\Sigma_{R^+}=V^+\cup Y^+$ ($\Sigma_{R'^+}=V'^+\cup Y'^+$). На множестве $V^+$ определен гомеоморфизм $h_{R^+}=h_S|_{V^+}\colon V^+\to V'^+$. Поскольку изоморфизм, индуцированный гомеоморфизмом $h_{R^+}|_{T^+}\colon T^+\to T'^+$, в образующих $\lambda^+$, $\mu^+$, $\lambda'^+$, $\mu'^+$ задается матрицей $\mathcal A$, то $h_{R^+}|_{T^+}$ переводит меридиан заполненного тора $Y^+$ в меридиан заполненного тора $Y'^+$. В этом случае (см., например, [18]) гомеоморфизм $h_{R^+}$ продолжается на заполненный тор $Y^+$ гомеоморфизмом $h_{R^+}\colon \Sigma_{R^+}\to\Sigma_{R'^+}$. Положим $h_{R^-}=h_-$. Тогда на множестве $\Sigma_A$ определен гомеоморфизм $h_A$: $\Sigma_A\to \Sigma_{A'}$, совпадающий с гомеоморфизмом $h_S$ на $N_T$, с гомеоморфизмом $h_{R^-}$ на $\Sigma_{R^-}\setminus\operatorname{int}V^-$ и с гомеоморфизмом $h_{R^+}$ на $\Sigma_{R^+}\setminus\operatorname{int}V^+$. Поскольку $\rho_i=\rho'_i$, $i=1,2$, то в силу предложения 8 гомеоморфизм $h_{\mathcal O}$: $\Sigma_{\mathcal O}\to \Sigma_{\mathcal O'}$, $\mathcal O\in\{R^-,A,R^+\}$, продолжается до гомеоморфизма $h_{\mathcal O}\colon V_{\mathcal O}\to V_{\mathcal O'}$, осуществляющего эквивалентность потоков $f^t|_{V_{\mathcal O}}$ и $f'^t|_{V_{\mathcal O'}}$. Таким образом, искомый гомеоморфизм $h\colon M^4\to M'^4$ совпадает с гомеоморфизмом $h_{\mathcal O}$, $\mathcal O\in\{S,A,R^-,R^+\}$, на $V_{\mathcal O}$. В случае 2) поток $f^t$ ($f'^t$) имеет одну отталкивающую орбиту $R$ ($R'$). В силу леммы 2 узел $L^+$ ($L'^+$) является стандартным в многообразии $\Sigma_{R}$ ($\Sigma_{R'}$), а заполненный тор $V^-$ ($V'^-$) лежит в 3-шаре $B\subset(\Sigma_{R}\setminus V^+)$ ($B'\subset(\Sigma_{R'}\setminus V'^+)$). Поскольку гомеоморфизм $h_-\colon \Sigma_{R^-}\to\Sigma_{R'^-}$ переводит заполненный тор $V^-$ в заполненный тор $V'^-$, то, не умаляя общности, можно считать, что $B'=h_-(B)\subset(\Sigma_{R'}\setminus V'^+)$. Положим $\widetilde L^+=h^{-1}_-(L'^+)$, $\widetilde V^+=h^{-1}_-(V'^+)$. Поскольку узлы $L^+$, $\widetilde L^+$ являются стандартными в многообразии $\Sigma_R$, то существует разбиение многообразия $\Sigma_R$ на два заполненных тора $W^+$, $W^-$ таких, что $B\subset\operatorname{int} W^-$ и $V^+,\widetilde V^+\subset \operatorname{int} W^+$. Тогда пространства $W^+\setminus\operatorname{int} V^+$, $W^+\setminus\operatorname{int} \widetilde V^+$ гомеоморфны многообразию $\mathbb T^2\times [0,1]$. Следовательно, существует гомеоморфизм $\psi\colon \Sigma_R\to\Sigma_R$, тождественный на $W^-$ и такой, что $\psi(L^+)=\widetilde L^+$, $\psi(V^+)=\widetilde V^+$. Положим $\widetilde h_-=h_-\psi \colon\Sigma_R\to\Sigma_R$. Тогда $\widetilde h_-(V^+)=V'^+$. Положим $\widetilde W^-=\Sigma_R\setminus\operatorname{int}V^+$ и $\widetilde W'^-=\Sigma_{R'}\setminus\operatorname{int}V'^+$. Поскольку $B\subset\widetilde W^-$ – 3-шар и $\widetilde W^-$, $\widetilde W'^-$ – заполненные торы, то существует гомеоморфизм $\widetilde\psi\colon \widetilde W^-\to\widetilde W^-$, тождественный на $B$ и такой, что изоморфизм, индуцированный гомеоморфизмом $\widetilde h_{-}\widetilde\psi|_{T^+}\colon T^+\to T'^+$, в образующих $\lambda^+$, $\mu^+$, $\lambda'^+$, $\mu'^+$ задается матрицей $\mathcal A$. Тогда существует гомеоморфизм $h_R\colon \Sigma_R\to\Sigma_{R'}$, совпадающий с $h_S$ на $V^+$ и с $\widetilde h_{-}\widetilde\psi$ вне некоторой окрестности заполненного тора $V^+$. Тогда на множестве $\Sigma_A$ определен гомеоморфизм $h_A\colon \Sigma_A\to\Sigma_{A'}$, совпадающий с гомеоморфизмом $h_S$ на $N_T$ и с гомеоморфизмом $h_{R}$ на $\Sigma_{R}\setminus\operatorname{int}(V^-\cup V^+)$. Поскольку $\rho_i=\rho'_i$, $i=1,2$, то в силу предложения 8 гомеоморфизм $h_{\mathcal O}$: $\Sigma_{\mathcal O}\to \Sigma_{\mathcal O'}$, $\mathcal O\in\{R,A\}$, продолжается до гомеоморфизма $h_{\mathcal O}\colon V_{\mathcal O}\to V_{\mathcal O'}$, осуществляющего эквивалентность потоков $f^t|_{V_{\mathcal O}}$ и $f'^t|_{V_{\mathcal O'}}$. Таким образом, искомый гомеоморфизм $h\colon M^4\to M'^4$ совпадает с гомеоморфизмом $h_{\mathcal O}$, $\mathcal O\in\{S,A,R\}$, на $V_{\mathcal O}$. Теорема 1 доказана. § 5. Реализация потоков класса $G$ по допустимой абстрактной схемеНапомним, что абстрактной схемой мы назвали набор со следующими свойствами:
В этом параграфе мы докажем теорему 2: для любой абстрактной схемы $\mathcal S$ существует поток $f^t\in G$, схема которого ей эквивалентна. Доказательство теоремы 2. Пусть $\mathcal S=(\Sigma,L,\rho_1,\rho_2)$ – некоторая абстрактная схема. Будем обозначать через $\langle L\rangle$ гомотопический тип узла $L$, равный числу его обходов (с учетом ориентации) вокруг образующей $e$ многообразия $\Sigma$. Опишем реализацию набора
потоком $f^t\in G$, схема которого ему эквивалентна, отдельно для двух случаев: 1) $\langle L\rangle\neq 0$; 2) $\langle L\rangle=0$. В случае 1) сначала реализуем надстройкой любую схему вида $\mathcal S=(\Sigma,L,1,2)$, $\langle L\rangle> 0$. Для этого опишем построение диффеоморфизма $f_L\colon \mathbb S^3\to\mathbb S^3$ по узлу $L$. Искомый поток будет надстройкой над построенным диффеоморфизмом. Затем покажем, как модифицировать надстройку, чтобы получить поток, реализующий произвольную схему вида 1). Поскольку согласно [3] любой 3-диффеоморфизм Морса–Смейла с единственной седловой орбитой топологически сопряжен диффеоморфизму $f_L$, то тем самым мы докажем теорему 3. Построение диффеоморфизма $f_L\colon \mathbb S^3\to\mathbb S^3$. Пусть $\mathbf x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3$, $\| \mathbf x \|=\sqrt{x_1 ^2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^2}$ и $\nu\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^ 3$ – диффеоморфизм, заданный формулой Определим отображение $p\colon\mathbb R^3\setminus O\to\Sigma$ формулой
$$
\begin{equation*}
p(\mathbf x)=\biggl(\frac{x}{\|\mathbf x\|}, \log_2(\|\mathbf x\|)\ (\operatorname{mod} 1)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $L\subset\Sigma$ – такой узел, что $\langle L\rangle=m\in\mathbb N$. Тогда множество $\overline L=p^{-1}(L)$ состоит из $\nu$-инвариантного объединения $m$ дуг:
$$
\begin{equation*}
\overline L=\overline L_0\sqcup\dots\sqcup \nu^{m-1}(\overline L_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $U(L)\subset\Sigma$ – трубчатая окрестность узла $L$. Тогда $U(\overline L)=p^{-1}(U(L))$ – $\nu$-инвариантная окрестность дуг $\overline L$, состоящая из $m$ компонент связности $U(\overline L_0),\dots, \nu^{m-1}(U(\overline L_0))$, каждая из которых диффеоморфна $\mathbb{D}^{2}\times\mathbb R$. Пусть $C=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\colon x_2^2+x_{3}^2\leqslant 4\}$, и пусть диффеоморфизм $g \colon C\to C$ определен формулой Определим диффеоморфизм $g_m\colon C\times\mathbb Z_m\to C\times\mathbb Z_m$ формулой
$$
\begin{equation*}
g_m(\mathbf x,j)=(g(\mathbf x),j+1 \ (\operatorname{mod} m)), \qquad \mathbf x\in C, \quad j\in\mathbb Z_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда существует диффеоморфизм ${\zeta}\colon {U(\overline L)}\to C\times\mathbb Z_m$, который сопрягает диффеоморфизмы $\nu\vert_{{U(\overline L)}}$ и $g_m$. Определим поток $\phi^t$ на $C$ следующими формулами:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dot{x}_1= \begin{cases} -\cos\biggl(\dfrac{\pi\|\mathbf x\|}{2}\biggr), & \|\mathbf x\| \leqslant 2, \\ 1, & \|\mathbf x\| > 2; \end{cases} \\ \dot{x}_2=\begin{cases} x_2,& \|\mathbf x\|<1, \\ {x_2}\biggl(1+\cos\biggl(\dfrac{3\pi\|\mathbf x\|}{2}\biggr)\biggr), & 1\leqslant\|\mathbf x\|\leqslant 2, \\ 0, & \|\mathbf x\| > 2; \end{cases} \\ \dot{x}_3=\begin{cases} x_3,& \|\mathbf x\|<1, \\ {x_3}\biggl(1+\cos\biggl(\dfrac{3\pi\|\mathbf x\|}{2}\biggr)\biggr), & 1\leqslant\|\mathbf x\|\leqslant 2, \\ 0, & \|\mathbf x\| > 2. \end{cases} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
По построению диффеоморфизм $\phi=\phi^1$ имеет две неподвижные точки: седло $P(-1,0,0)$ и источник $Q(1,0,0)$ (рис. 9), обе гиперболические. Одна устойчивая сепаратриса седла $P$ совпадает с открытым интервалом $\bigl\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\colon |x_1|<1,\,x_2=x_3=0\bigr\}$, принадлежащим бассейну источника $Q$, а другая – с лучом $\bigl\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\colon x_1<-1,\,x_2=x_3=0\bigr\}$. Кроме того, $\phi$ совпадает с диффеоморфизмом $g$ вне шара $\{(x_1,x_2,x_3)\in C\colon x_1^2+x_2^2+x_3^2\leqslant 4\}$. Определим диффеоморфизм $\phi_m\colon C\times\mathbb Z_m\to C\times\mathbb Z_m$ формулой
$$
\begin{equation*}
\phi_m(\mathbf x,j)=(\phi(\mathbf x),j+1\ (\operatorname{mod} m)), \qquad \mathbf x\in C, \quad j\in\mathbb Z_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим диффеоморфизм $\overline f_{L}\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3$ таким образом, что $\overline{f}_{L}$ совпадает с $\nu$ вне $U(\overline L)$ и совпадает с диффеоморфизмом ${\zeta}^{-1}\phi_m{\zeta}$ на $U(\overline L)$. Тогда $\overline f_{L}$ имеет в $U(\overline L)$ две периодические орбиты периода $m$: источниковую $\overline\alpha\sqcup\overline f_L(\overline\alpha)\sqcup\dots\sqcup\overline f^{m-1}_L(\overline\alpha)={\zeta}^{-1}(Q\times\mathbb Z_m)$ и седловую $\overline\sigma\sqcup\overline f_L(\overline\sigma)\sqcup\dots\sqcup\overline f^{m-1}_L(\overline\sigma)={\zeta}^{-1}(P\times\mathbb Z_m)$, обе гиперболические (рис. 10). Теперь спроецируем динамику на $3$-сферу. Для этого обозначим через $N(0,0,0, 1)$ северный полюс сферы $\mathbb S^3=\{s=(x_1,x_2,x_3,x_{4})\colon x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_{4}^2=1\}$. Для каждой точки $s\in(\mathbb{S}^3\setminus N)$ существует единственная прямая, проходящая через $N$ и $s$ в $\mathbb R^{4}$, и эта прямая пересекает $\mathbb R^3$ в единственной точке $\vartheta(s)$. Стереографическая проекция $\vartheta\colon \mathbb S^3\setminus N\to\mathbb R^3$, переводящая точку $s$ в точку $\vartheta(s)$, является диффеоморфизмом и задается формулой
$$
\begin{equation*}
\vartheta(x_1,x_2,x_3,x_{4})=\biggl(\frac{x_1}{1-x_{4}}, \frac{x_{2}}{1-x_{4}},\frac{x_3}{1-x_{4}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
По построению диффеоморфизм $\overline{f}_{L}$ совпадает с $\nu$ в некоторой окрестности точки $O$ и в окрестности бесконечно удаленной точки, следовательно, он индуцирует на $\mathbb{S}^3$ диффеоморфизм Морса–Смейла
$$
\begin{equation*}
f_{{L}}(s)=\begin{cases} \vartheta^{-1}\overline f_{L}\vartheta(s),& s\neq N, \\ N,& s=N. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Неблуждающее множество диффеоморфизма $f_L$ состоит из четырех орбит: неподвижного стока $N$, неподвижного источника $\vartheta^{-1}(O)$, источниковой орбиты $\mathcal O_\alpha=\alpha\sqcup f_L(\alpha)\sqcup\dots\sqcup f^{m-1}_L(\alpha)=\vartheta^{-1}({\zeta}^{-1}(Q\times\mathbb Z_m))$ периода $m$ и седловой орбиты $\mathcal O_\sigma=\sigma\sqcup f_L(\sigma)\sqcup\dots\sqcup f^{m-1}_L(\sigma)=\vartheta^{-1}({\zeta}^{-1}(P\times\mathbb Z_m))$ периода $m$. Построение и модификация надстройки. Обозначим через $[f_L]^t\colon \mathbb S^3\times\mathbb S^1$ надстройку над диффеоморфизмом $f_L$. Тогда неблуждающее множество потока $f^t=[f_L]^t$ состоит из четырех периодических орбит: притягивающей $A$, отталкивающих $R^-$ и $R^+$, седловой $S$, являющихся надстройками над орбитами $N,\vartheta^{-1}(O),\mathcal O_\alpha,\mathcal O_\sigma$ соответственно. Непосредственно из построения следует, что построенный поток принадлежит классу $G$, а его схема эквивалентна схеме $(\Sigma,L,1,2)$ и $\langle L\rangle=m$. Для реализации потока с отрицательными параметрами в схеме модифицируем поток в окрестности периодических орбит следующим образом. Пусть $\mathcal O$ – притягивающая или отталкивающая периодическая орбита потока $f^t$ и $V_{\mathcal O}$ – ее каноническая окрестность с границей $\Sigma_{\mathcal O}$. Положим
$$
\begin{equation*}
V^{t}_{\mathcal O} =f^t(V_{\mathcal O}), \quad \Sigma^{t}_{\mathcal O} =f^t(\Sigma_{\mathcal O}), \quad t\in\mathbb R, \qquad K_{\mathcal O}=\bigcup_{t\in[-1,1]}f^t(\Sigma_{\mathcal O}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $K_{\mathcal O}\cong\Sigma\times[-1,1]$. Пусть $x\in\Sigma$, $t\in[-1,1]$ и $\vec v_{\mathcal O}(x,t)$ – векторное поле, индуцированное потоком $f^t$ на $K_{\mathcal O}$ и $\vec n_{{\mathcal O}}(x,t)$ – векторное поле единичных внешних нормалей к гиперповерхностям $f^t(\Sigma_{\mathcal O})\cong\Sigma\times\{t\}$. Определим векторное поле $\vec w_{\mathcal O}(x,t)$ на $K_{\mathcal O}$ формулой
$$
\begin{equation*}
\vec w_{\mathcal O}(x,t)=(1-|t|)\vec n_{\mathcal O}(x,t)+|t|\vec v_{\mathcal O}(x,t).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\phi^t_{\mathcal O}$ поток на $K_{\mathcal O}$, порожденный векторным полем $\vec w_{\mathcal O}$. Не умаляя общности, будем считать, что окрестности $V^{-1}_A, V^1_{R^-},V^1_{R^+}$ попарно не пересекаются, и обозначим через $\phi^t$ поток на $\mathbb S^3\times \mathbb S^1$, совпадающий с потоком $\phi^t_{\mathcal O}$ на множествах $K_{\mathcal O}$, $\mathcal O\in\{A,R^+,R^-\}$, и с потоком $f^t$ вне этих множеств. По построению поток $\phi^t$ принадлежит множеству $G$, его периодические орбиты совпадают с орбитами $A,R^-,R^+,S$, а его схема эквивалентна схеме $(\Sigma,L,1,2)$. Пусть $\mathcal O$ – притягивающая или отталкивающая периодическая орбита потока $\phi^t$. Тогда $V_{\mathcal O}\cong\mathbb D^3\times\mathbb S^1$. Пусть $d\in\mathbb D^3$, $e^{i\varphi}\in\mathbb S^1$. Для $\delta\in\{-1,+1\}$ определим диффеоморфизм $g_{\mathcal O,\delta}\colon V_{\mathcal O}\to V_{\mathcal O}$ формулой
$$
\begin{equation*}
g_{\mathcal O,\delta}(d,e^{i\varphi}) = (d,e^{i\delta\varphi}).
\end{equation*}
\notag
$$
Для схемы $\mathcal S=(\Sigma,\delta_0L,\delta_1,2\delta_2)$, где $\delta_i\in\{-1,+1\}$, $i=0,1,2$, определим на $\mathbb S^3\times \mathbb S^1$ поток $f^t_{\mathcal S}$ формулой
$$
\begin{equation*}
f^t_{\mathcal S}(x) = \begin{cases} g_{R^-,\delta_0}\phi^t g_{R^-,\delta_0} (x), & x\in V_{R^-}, \\ g_{R^+,\delta_1}\phi^t g_{R^+,\delta_1} (x), & x\in V_{R^+}, \\ g_{A,\delta_0\delta_2}\phi^t g_{A,\delta_0\delta_2} (x), & x\in V_{A}, \\ \phi^t(x) & \text{в ином случае}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
По построению поток $f^t_{\mathcal S}$ имеет инвариант $\mathcal S$, а его несущим многообразием является $\mathbb S^3\times \mathbb S^1$. В случае 2) поток будем реализовывать “сшиванием” канонических окрестностей. Пусть $\mathcal S=(\Sigma,L,\rho_1,\rho_2)$ – схема, в которой узел $L\subset\Sigma$ такой, что $\langle L\rangle=0$. Дальнейшие построения проведем отдельно для двух следующих случаев: 2i) $|\rho_2|=1$; 2ii) $|\rho_2|=2$. В случае 2i), поскольку $\langle L\rangle=0$, существует 3-шар $B\subset\Sigma$, содержащий узел $L$ в своей внутренности. Выберем стандартный узел $L^+\subset(\Sigma\setminus B)$ так, что $\langle L^+\rangle=\rho_1$. Выберем попарно не пересекающиеся трубчатые окрестности $U^-,U^+\subset\Sigma$ узлов $L$, $L^+$ соответственно. Положим $E^+_R=\operatorname{cl}(\Sigma\setminus(U^+\cup B))$, $E^-_R=\operatorname{cl}(B\setminus U^-)$. Пусть $p_{\rho_2}\colon \mathbb S^2\times[0,1]\to \Sigma_0$ – гладкое отображение, являющееся диффеоморфизмом на $\mathbb S^2\times(0,1)$ и такое, что $p_{\rho_2}(s,0)=p_{\rho_2}(s,1)$, $\langle p_{\rho_2}(\{s\}\times[0,1])\rangle_0=\rho_2$. Выберем в многообразии $\mathbb S^2\times[0,1]$ гладкое подмногообразие $N\cong\mathbb T^2\times[-1,1]$ так, что множество $\mathbb S^2\times[0,1]\setminus \operatorname{int} N$ состоит из двух компонент связности, $E^-_A\cong E^-_R$ и $E^+_A\cong E^+_R$, содержащих сферы $\mathbb S^2\times\{0\}$ и $\mathbb S^2\times\{1\}$ соответственно в своих границах. Напомним, что $\mathbb{T}=v_{2}(\overline T)$ – двумерный тор с трубчатой окрестностью $N_{\mathbb T}=v_{2}(\operatorname{cl}(N_{\overline T}))$, дополнение до которой в $\Sigma_{2}\cong\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ состоит из двух заполненных торов, $\mathbb V^-$ и $\mathbb V^+$ (см. п. 3.3). Положим $U=p_{\rho_2}(N)$, $U_A=\operatorname{cl}(\Sigma_0\setminus U)$ и $U_R=\operatorname{cl}(\Sigma\setminus (U^+\cup U^-))$. Тогда существуют диффеоморфизмы $j_R\colon U^-\,{\sqcup}\, U^+\to \mathbb V^-\,{\sqcup}\,\mathbb V^+$, $j_A\colon U\to N_T$, $j_{RA}\colon U_R\to U_A$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \langle j_R(L)\rangle_2=\langle j_R(L^+)\rangle_2=1, \\ j_{RA}(E^-_R)=E^-_A, \qquad j_{RA}(E^+_R)=E^+_A,\qquad j_{RA}|_{\partial U_R}=j_Aj_R|_{\partial U_R}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Не умаляя общности, будем полагать, что $\Sigma=\Sigma_3$, $e=e_3$. Положим $\widetilde M^3=\mathbb V_0 \sqcup\mathbb V_2\sqcup\mathbb V_3$ и введем на множестве $\widetilde M^3$ минимальное отношение эквивалентности $\sim$ условием
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde x &\sim j_R(\widetilde x), \qquad \widetilde x\in(U^-\sqcup U^+), \\ \widetilde x &\sim j_A(\widetilde x), \qquad \widetilde x\in U, \\ \widetilde x &\sim j_{RA}(\widetilde x), \qquad \widetilde x\in U_R. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $M^3$ множество классов эквивалентности по введенному отношению и через $p\colon \widetilde M^3\to M^3$ – естественную проекцию. Определим поток $f^t\colon M^3\to M^3$ формулой
$$
\begin{equation*}
f^t(x) = \begin{cases} p[a_{0}]^t(p|_{\mathbb V_0})^{-1}(x), &x\in p(\mathbb V_0), \\ p[a_{2}]^t(p|_{\mathbb V_2})^{-1}(x), &x\in p(\mathbb V_2), \\ p [a_{3}]^t(p|_{\mathbb V_3})^{-1}(x), &x\in p(\mathbb V_3). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Построенный поток является непрерывным. Методами, аналогичными методам, предложенным в пункте 1), его можно сгладить, получив искомый поток $f^t_{\mathcal S}$, имеющий инвариант $\mathcal S$. В случае 2ii), поскольку $\langle L\rangle=0$, не умаляя общности, можно считать, что $e\cap L=\varnothing$. Выберем стандартный узел $L^+\subset(\Sigma_3\setminus B)$ так, что $\langle L^+\rangle_3=\rho_1$. Выберем попарно не пересекающиеся трубчатые окрестности $U^-\subset\Sigma$, $U^+\subset\Sigma_3$ узлов $L$, $L^+$ соответственно. Положим $E_{R^+}=\operatorname{cl}(\Sigma_3\setminus U^+)$, $E_{R^-}=\operatorname{cl}(\Sigma\setminus U^-)$. Выберем в многообразии $\Sigma_0$ гладкое подмногообразие $U\cong\mathbb T^2\times[-1,1]$ так, что множество $\Sigma_0\setminus \operatorname{int} U$ состоит из двух компонент связности $E^-_A\cong E_{R^-}$, $E^+_A\cong E_{R^+}$ и существует диффеоморфизм $j^-_{RA}(E_{R^-})=E^-_A$ такой, что $\langle j^-_{RA}(e)\rangle_0={\rho_2}/{2}$. Тогда существуют диффеоморфизмы $j_R\colon U^-\sqcup U^+\to \mathbb V^-\sqcup\mathbb V^+$, $j_A\colon U\to N_T$, $j^+_{RA}\colon E_{R^+}\to E^+_A$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\langle j_R(L)\rangle_2=\langle j_R(L^+)\rangle_2=1, \qquad j^\pm_{RA}|_{\partial U^\pm}=j_A j_R|_{\partial U^\pm}.
\end{equation*}
\notag
$$
Не умаляя общности, будем полагать, что $\Sigma=\Sigma_3$, $e=e_3$. Положим $\widetilde M^3=\mathbb V_0 \sqcup\mathbb V_2\sqcup\mathbb V_3\sqcup\mathbb V_3$ и введем на множестве $\widetilde M^3$ минимальное отношение эквивалентности $\sim$ условием
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde x &\sim j_R(\widetilde x), \qquad \widetilde x\in(U^-\sqcup U^+), \\ \widetilde x &\sim j_A(\widetilde x), \qquad \widetilde x\in U, \\ \widetilde x &\sim j^\pm_{AR}(\widetilde x), \qquad \widetilde x\in E_{R^\pm}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $M^3$ множество классов эквивалентности по введенному отношению и через $p\colon \widetilde M^3\to M^3$ – естественную проекцию. Определим поток $f^t\colon M^3\to M^3$ аналогично случаю 2i). Теорема 2 доказана. § 6. Топология несущего многообразия потоков класса $G$Настоящий параграф посвящен доказательству теоремы 4. Но сначала мы докажем следующий факт, существенно используемый при доказательстве теоремы. Лемма 4. Пусть: Тогда существует гомеоморфизм $H\colon P\to\widetilde P$, тождественный вне любой фиксированной окрестности $V_Q\subset P$ множества $Q$ и такой, что $V_Q\cap\partial P=Q$. Доказательство. Если $\partial Q=\varnothing$, то утверждение леммы следует из [8; лемма 3]. В противном случае для $t\in[0,1]$ определим изотопию $z_t\colon [0,1]\to[0,1]\times[0,1]$ формулой
$$
\begin{equation*}
z_t(s)=\begin{cases} ((1-t)s,2ts), &s\in\biggl[0,\dfrac12\biggr], \\ (1+(t+1)(s-1),t),& s\in\biggl[\dfrac12,1\biggr]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем изотопию $z_t$ в виде Рассмотрим “воротник” множества $\partial Q$ в $Q$, т.е. вложение $\mu\colon \partial Q \times [-1,0]\to Q$ такое, что $\mu(q,0) = q$ $\forall\, q\in \partial Q$. Положим $\check Q=\mu(\partial Q \times [-1,0])$ и $\widehat Q =\operatorname{cl}(Q\setminus\check Q)$. Для $t\in[0,1]$ определим изотопию $Z_t\colon Q\to Q\times[0,1]$ формулой Запишем изотопию $Z_t$ в виде Рассмотрим “воротник” множества $Q$ в $V_Q$, т.е. вложение $\nu\colon Q \times [-1,0]\to V_Q$ такое, что $\nu(q,0) = q$ $\forall\, q\in Q$. Положим $R^-=\nu(Q\times[-1,0])$. Для $t\in[-1,0]$ положим $Z^-_t(q)=(X_t(q),-Y_t(q))$ и $Z_t=\nu Z^-_t\colon Q\to R^-$. Тогда искомый гомеоморфизм $H\colon P\to\widetilde P$ определяется формулой
Лемма доказана. Теперь мы готовы доказать теорему 4: несущее многообразие любого потока $f^t\in G$ гомеоморфно $\mathbb S^3\times\mathbb S^1$. Доказательство теоремы 4. Пусть поток $f^t$ принадлежит классу $G$. В силу теоремы 1 полным инвариантом топологической эквивалентности такого потока является класс эквивалентности его схемы $\mathcal S_{f^t}=(\Sigma_R,L,\rho_1,\rho_2)$. Согласно теореме 2 любой поток $f^t\in G$ эквивалентен потоку, реализованному по абстрактной схеме $\mathcal S=(\Sigma_R,L,\rho_1,\rho_2)$, эквивалентной схеме $\mathcal S_{f^t}$.
Дальнейшее доказательство проведем отдельно для двух следующих случаев: 1)$\langle L\rangle\neq 0$; 2) $\langle L\rangle=0$. В случае 1) несущее многообразие потока, реализованного по узлу $\langle L\rangle\neq 0$, гомеоморфно $\mathbb S^3\times\mathbb S^1$, и, следовательно, для этого случая теорема 4 доказана. В случае 2) положим $D^{\mathrm{s}}_S=W^{\mathrm{s}}_S\cap V_S$. По построению $D^{\mathrm{s}}_S$ диффеоморфно двумерному кольцу $\mathbb S^1\times[-1,1]$, ограниченному узлами $L^-,L^+$. Выберем трубчатую окрестность $V^{\mathrm{s}}_S\subset V_S$ кольца $D^{\mathrm{s}}_S$, диффеоморфную $\mathbb D^2\times\mathbb S^1\times[-1,1]$, и диффеоморфизм $\nu\colon \mathbb D^2\times\mathbb S^1\times[-1,1]\to V^{\mathrm{s}}_S$ так, что $\nu(\mathbb D^2\times\mathbb S^1\times\{-1\})=V^-$, $\nu(\mathbb D^2\times\mathbb S^1\times\{+1\})=V^+$ и множество $\nu(\mathbb S^1\times\mathbb S^1\times[-1,1])$ трансверсально траекториям потока $f^t$. Положим $W_R=V^{\mathrm{s}}_S\cup V_{\mathcal R}$ и $W_A=M^3\setminus\operatorname{int}W_R$. По построению $\partial W_A$ является секущей для всех траекторий потока $f^t$, лежащих в множестве $W^{\mathrm{s}}_A\setminus A$, и, следовательно, $W_A\cong V_A\cong\mathbb D^3\times\mathbb S^1$. Ниже мы покажем, что $W_R\cong\mathbb D^3\times\mathbb S^1$. Тогда в силу [12] $M^3=W_A\cup W_R\cong\mathbb D^3\times\mathbb S^1$. Доказательство того, что $W_R\cong\mathbb D^3\times\mathbb S^1$, проведем отдельно для двух следующих случаев: 2i) $|\rho_2|=1$; 2ii) $|\rho_2|=2$. В случае 2ii) $V_{\mathcal R}=V_{R^-}\sqcup V_{R^+}$. Поскольку узел $L^+$ является стандартным в $V_{R^+}$, то существует гомеоморфизм $\nu_+\colon \mathbb D^2\times\mathbb S^1\times[1,2]\to V_{R^+}$ такой, что $\nu_+(\mathbb D^2\times\mathbb S^1\times\{1\})=V^+$. Тогда (см., например, [8; лемма 3]) $V^{\mathrm{s}}_S\cup V_{R^+}\cong \mathbb D^2\times\mathbb S^1\times[-1,2]$. Таким образом, $V^{\mathrm{s}}_S\cup V_{R^+}\cong V^-\times[-1,2]$ и, следовательно, $W_R\cong V_{R^-}\cup V^-\times[-1,2]$, где $V_{R^-}\cap V^-\times[-1,2]=V^-$. В силу леммы 4 В случае 2i) $V_{\mathcal R}=V_{R}$, узел $L^+$ является стандартным в $V_{R}$ и для узла $L^-$ существует 3-шар $B\subset \Sigma_R$ такой, что $V^-\subset \operatorname{int}B$ и $B\cap V^+=\varnothing$. Выберем 4-шар $\widetilde B\subset V_R$ так, что $\widetilde B\cap\Sigma_R=\partial\widetilde B\cap\Sigma_R=B$. Тогда $B_0=\operatorname{cl}(\partial\widetilde B\setminus B)\cong\mathbb D^3$. Положим $\overline W_R=\operatorname{cl}(W_R\setminus B_0)$. По построению $\overline W_R$ – связное 4-многообразие с краем, из которого многообразие $W_R$ получается отождествлением (с помощью меняющего ориентацию гомеоморфизма) двух не пересекающихся копий 3-шара $B_0$ на его границе. Тогда доказательство теоремы сводится к доказательству того, что $\overline W_R\cong \mathbb D^4$. Покажем, что $\overline W_R\cong \mathbb D^4$. Для этого представим $\overline W_R$ в следующем виде: $\overline W_R=\widetilde V_R\cup\widetilde V^{\mathrm{s}}_S$, где $\widetilde V_R=\operatorname{cl}(V_R\setminus \widetilde B)$, $\widetilde V^{\mathrm{s}}_S=V^{\mathrm{s}}_S\cup\widetilde B$. По построению $\widetilde V_R\,{\cap}\,\widetilde V^{\mathrm{s}}_S\,{=}\, V^-$. Аналогично пункту 2ii) показывается, что $\widetilde V_R\cup V^{\mathrm{s}}_S \cong V^-\times[-1,2]$, откуда получаем $\overline W_R\cong \widetilde B\cup V^-\times[-1,2]$, где $\widetilde B\cap V^-\times[-1,2]=V^-$. В силу леммы 4 Теорема 4 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GalPocShu24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|