| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Седловые связки А. В. Дуков Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm10096e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1. Нижняя оценка на цикличность полицикловПусть $\mathcal{M}$ – $C^{r+1}$-гладкое, $r \geqslant 3$, двумерное ориентируемое многообразие. Обозначим через $\operatorname{Vect}^r(\mathcal{M})$ пространство всех $C^r$-гладких векторных полей на многообразии $\mathcal{M}$. Определение 1. Гиперболическим полициклом векторного поля называется конечный ориентируемый граф $\gamma$, вложенный в многообразие $\mathcal{M}$, который удовлетворяет следующим требованиям: Вопрос о количестве рождающихся предельных циклов при разрушении полициклов является одной из самых сложных проблем теории нелокальных бифуркаций и частным случаем проблемы Гильберта–Арнольда (подробнее см. [7]). О верхних оценках можно прочитать в работах [10], [13], [15], [16], [21]. В настоящей работе мы докажем нижнюю оценку на количество рождающихся предельных циклов. Определение 2. Отображением Пуанкаре полицикла называется отображение монодромии вдоль векторного поля с трансверсали к полициклу на нее же. Полицикл называется монодромным, если его отображение Пуанкаре определено даже в невозмущенном состоянии (рис. 1). Определение 3. Характеристическим числом седла называется модуль отношения его собственных значений, где отрицательное стоит в числителе. Теорема 1. Пусть $\gamma$ – монодромный гиперболический полицикл поля $v_0 \in \operatorname{Vect}^r(\mathbb{S}^2)$, $r \geqslant 3$, образованный $n$ различными седлами и $n$ сепаратрисными связками. Пусть седла полицикла $\gamma$ можно занумеровать таким образом (не обязательно в порядке обхода), что характеристические числа $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ его седел для любого $i=1,\dots,n-1$ удовлетворяют неравенствам Тогда при разрушении полицикла $\gamma$ в типичном $C^r$-гладком $n$-параметрическом семействе $V$ рождается как минимум $n$ предельных циклов. Как будет показано в п. 2.3 (см. предложение 1), близкие к $v_0$ векторные поля $v$ с полициклом $\gamma(v)$, близким к полициклу $\gamma(v_0)$, образуют банахово подмногообразие коразмерности $n$. Под типичностью семейства $V$ подразумевается, что $V$ трансверсально пересекает это банахово подмногообразие. Теорема 1 имеет непростую историю. Впервые ее сформулировал Рейн [18] в 1980 г. Для $n=2$ и $n=3$ Рейн приводит алгоритм доказательства, основанный на отщеплении седел (этим же алгоритмом воспользуемся ниже и мы). В нем на каждом шаге индукции $k=1,\dots,n$ необходимо проверять, что выполняются следующие два утверждения:
Рейн доказывает утверждение 2), в то время как утверждение 1) полагает само собой разумеющимся. Для произвольного $n$ доказательство теоремы 1 у Рейна отсутствует. По его словам, в общем виде теорема 1 доказывается аналогично случаю $n=3$, но аккуратное доказательство не приведено. В 1990 г. в своей докторской диссертации [17] А. Муртада доказывает (не формулируя явно теорему), что для любого $n$ существует такой гиперболический полицикл из $n$ седел, что при его возмущении рождается как минимум $n$ предельных циклов. Проверить приводимое им доказательство проблематично, поскольку он использует сложные обозначения, которые, возможно, имеют смысл для других доказываемых в диссертации утверждений, но не оправданы для такого довольно простого результата, как теорема 1. О статье Рейна Муртада не упоминает. В 2004 г. похожую теорему доказывают Хан, Ву и Би [12]. Единственное отличие их теоремы от теоремы 1 заключается в том, что они доказывают существование гладкого семейства, при разрушении полицикла внутри которого рождается $n$ циклов, но при этом не доказывают, что результат верен и для любого типичного семейства. Авторы так же, как и Муратада, не ссылаются на работу Рейна. Они ссылаются на работы Муртады, но не на его диссертацию [17], где доказывается похожая теорема. Таким образом, аналоги теоремы 1 независимо доказывали несколько математиков. При этом либо результат, либо доказательство каждого из них содержит недочеты. Это подтолкнуло автора настоящей статьи доказать теорему 1 заново. 1.2. Определения и обозначенияНа самом деле теорема 1 не является основным результатом настоящей работы. Нас будут интересовать связки гиперболических седел, которые могут родиться при возмущении связок исходного поля. Частный случай – это вопрос о рождении дочерних полициклов (см. ниже определение 5) при возмущении исходного гиперболического полицикла (выше сказано, что как раз этот шаг был пропущен Рейном в работе [18]). Пусть поле $v_0 \in \operatorname{Vect}^r(\mathcal{M})$ содержит набор связок $\mathrm{SC}_i$, $i=1,\dots,n$, гиперболических седел. Этот набор будем называть базовым. Запрета на наличие дополнительных вырождений в поле $v_0$ (в том числе на наличие других седловых связок, не входящих в базовый набор) мы не накладываем. К каждой сепаратрисной связке $\mathrm{SC}_i$ проведем $C^r$-гладкую трансверсаль $\Gamma_i$, не пересекающую другие связки базового набора. Обозначим через $U_\varepsilon \subset \mathcal{M}$ произвольную $\varepsilon$-окрестность множества $\bigcup_{i=1}^n \mathrm{SC}_i$ (подразумеваем, что сами седла принадлежат связке, которую они образуют). Полагаем, что $\varepsilon$ выбрано таким малым, что:
Поле $v_0$, гладкость $r$, базовый набор связок $\{\mathrm{SC}_i\}_{i=1}^n$, трансверсали $\Gamma_i$, $i=1, \dots, n$, и окрестность $U_\varepsilon$ на протяжении всей работы полагаем фиксированными. Если поле $v_0$ слегка возмутить, то некоторые из связок базового набора разомкнутся и смогут образовать новые связки. Определение 4. Сепаратрисную связку поля $v$, близкого к полю $v_0$, будем называть внутренней для базового набора седловых связок $\mathrm{SC}_i$, $i=1, \dots, n$, поля $v_0$, если она целиком содержится в окрестности $U_\varepsilon$ (рис. 2, b). Остальные связки поля $v$ будем называть внешними. Хотя мы будем иметь дело лишь с внутренними связками, тем не менее приведем пример внешних. На рис. 3, a базовый набор состоит из одной связки – сепаратрисной петли седла $S_1$. При малом возмущении может родиться связка, показанная штриховой линией. Она будет внешней для этого набора, поскольку седло $S_2$ не лежит в сколь угодно малой окрестности $U_\varepsilon$ сепаратрисной петли. Если в базовый набор добавить сепаратрисную петлю седла $S_2$ (рис. 3, b), то седло $S_2$ будет содержаться в окрестности $U_\varepsilon$. Тем не менее показанная штриховой линией связка останется внешней, поскольку соединяет седла, лежащие в разных компонентах множества $U_\varepsilon$. Внутренние сепаратрисные связки будем обозначать через $\mathrm{ISC}$ (от слов interior saddle connection), например, $\mathrm{ISC}_1$, $\mathrm{ISC}_2$ и т.д. Очевидно, что внутренняя сепаратрисная связка образована теми же седлами, что и базовые связки. Определение 5. Родившийся в семействе $V=\{v_\delta\}_\delta$, $\delta \in (\mathbb{R}^k,0)$, полицикл $\widetilde \gamma$ будем называть дочерним для данного полицикла $\gamma$ поля $v_0$, если он стремится к полициклу $\gamma$ при $\delta \to 0$ в метрике Хаусдорфа. Из этого стремления в метрике Хаусдорфа следует, что любой дочерний полицикл $\widetilde \gamma$ образован внутренними связками. 1.3. Основные результатыМножество близких к полю $v_0$ полей пространства $\operatorname{Vect}^r(\mathcal{M})$, $r \geqslant 3$, с тем же набором связок $\{\mathrm{SC}_i\}_{i=1}^n$ образует $C^{r-1}$-гладкое банахово подмногообразие $\mathcal{X}_{\mathrm{SC}_1\dots \mathrm{SC}_n}$ коразмерности $n$ (см. п. 2.3; там же приведено определение банахова многообразия). Основные результаты работы представлены тремя теоремами. Теорема 2. Пусть $\mathrm{ISC}_1, \dots, \mathrm{ISC}_l$ – внутренние седловые связки, никакие две из которых не пересекают одну и ту же трансверсаль. Тогда любое $C^1$-гладкое многообразие $V$, трансверсально пересекающее в точке $v_0$ множество $\mathcal{X}_{\mathrm{SC}_1\dots \mathrm{SC}_n}$, трансверсально пересекает вблизи точки $v_0$ и банахово подмногообразие $\mathcal{X}_{\mathrm{ISC}_1\dots \mathrm{ISC}_l}$, соответствующее набору связок $\mathrm{ISC}_1, \dots, \mathrm{ISC}_l$. Данная теорема иллюстрирует принцип “трансверсальность к меньшему влечет трансверсальность к большему”. Она является простым следствием теоремы 3. Одна из основных задач теории бифуркаций – полное описание возмущений векторного поля. Эта задача подразумевает построение бифуркационных диаграмм (т.е. множества значений параметров, соответствующих вырожденным полям) семейств, которые его возмущают. Но если поле сильно вырожденное, то диаграмма может быть настолько сложно устроена, что полное ее описание в одной статье становится затруднительным из-за объема работы, которую необходимо проделать, чтобы ее описать. Первый напрашивающийся выход – исследовать только поля с простыми вырождениями (см., например, [1], [20], [5], [17], [11], [19]). Второй возможный вариант – временно отказаться от идеи полного исследования бифуркации, а изучать лишь некоторые элементы бифуркационной диаграммы, но при этом для сколь угодно вырожденных векторных полей. В настоящей работе мы пойдем вторым путем. Нас будут интересовать лишь седловые связки. Определение 6. Пусть поле $v_0$ возмущается внутри семейства $V$ с базой параметров $B$. Рассмотрим множество $X_{\mathrm{ISC}}\subset B$ таких значений параметров, что соответствующие им поля семейства имеют внутреннюю сепаратрисную связку $\mathrm{ISC}$. Множество $X_{\mathrm{ISC}}$ будем называть бифуркационным множеством сепаратрисной связки $\mathrm{ISC}$. Бифуркационным множеством набора связок $\mathrm{ISC}_1, \dots, \mathrm{ISC}_l$ будем называть множество $X_{\mathrm{ISC}_1 \dots \mathrm{ISC}_l}=X_{\mathrm{ISC}_1} \cap \dots \cap X_{\mathrm{ISC}_l}$. Теорема 3 ( теорема о гладкой структуре). Пусть $V$ – $C^r$-гладкое, $r\geqslant 3$, конечно-параметрическое семейство векторных полей с базой параметров $B=(\mathbb{R}^k, 0)$ в пространстве $\operatorname{Vect}^r(\mathcal{M})$, трансверсально пересекающее банахово подмногообразие $\mathcal{X}_{\mathrm{SC}_1\dots \mathrm{SC}_n}$. Пусть $\mathrm{ISC}_1, \dots, \mathrm{ISC}_l$ – внутренние сепаратрисные связки, никакие две из которых не пересекают одну и ту же трансверсаль. Тогда бифуркационное множество $X_{\mathrm{ISC}_1 \dots \mathrm{ISC}_l}$ является $C^r$-гладким многообразием коразмерности $l$. Поясним, почему в теоремах 2 и 3 говорится о пересечении связками трансверсалей. Под некоторой внутренней связкой $\mathrm{ISC}$ близкого к $v_0$ поля $v$ мы понимаем не просто связку двух конкретных седел, а связку, которая помимо этого близка к конкретным базовым связкам исходного поля $v_0$. То есть чтобы определить внутреннюю связку $\mathrm{ISC}$, необходимо задать “путь”, который она проходит. Выпишем все трансверсали, которые пересекает внутренняя связка $\mathrm{ISC}$ поля $v$: $\Gamma_{\sigma_1},\dots,\Gamma_{\sigma_s}$, $\sigma_i \in \{1, \dots, n\}$ (см. рис. 2, b). Трансверсали могут повторяться. Порядок трансверсалей в наборе определяется временем на сепаратрисной связке $\mathrm{ISC}$. Если при малом возмущении поля $v$ сепаратрисная связка $\mathrm{ISC}$ сохраняется (остается связкой тех же самых сепаратрис), то она пересекает тот же самый упорядоченный набор трансверсалей. Верно и другое очевидное утверждение: в поле $v$, близком к полю $v_0$, не может быть двух внутренних сепаратрисных связок, пересекающих один и тот же набор трансверсалей. Оба этих утверждения следуют из определения окрестности $U_\varepsilon$. Таким образом, в дальнейшем, чтобы однозначно задать внутреннюю сепаратрисную связку, мы будем указывать упорядоченный набор трансверсалей, который она пересекает. Внутренние сепаратрисные связки разных, но близких к $v_0$ полей, пересекающие один и тот же упорядоченный набор трансверсалей, отождествляем, разные наборы – различаем, даже если они соединяют одни и те же седла. Сопоставим каждой внутренней связке слово $\sigma_1\dots\sigma_s$ в конечном алфавите $\{1,\dots,n\}$, состоящее из номеров трансверсалей $\Gamma_{\sigma_1},\dots,\Gamma_{\sigma_s}$, которые она пересекает. Порядок номеров в слове определяется порядком пересечения связкой трансверсалей. Поскольку сепаратрисная связка может пересекать некоторую трансверсаль неоднократно, то один и тот же номер может встречаться в слове несколько раз. Далее вместо того, чтобы говорить “внутренняя связка $\mathrm{ISC}$, которой соответствует слово $\sigma_1\dots\sigma_s$”, мы будем говорить “внутренняя связка $\sigma_1\dots\sigma_s$” и писать $\mathrm{ISC}=\sigma_1\dots\sigma_s$. Пусть $A=\mathrm{ISC}_1,\dots,\mathrm{ISC}_l$ – некоторый набор слов из алфавита $\{1,\dots,n\}$. И хотя слова в этом наборе мы обозначаем так же, как внутренние связки ($\mathrm{ISC}_i$), не факт, что соответствующие этим словам связки могут родиться при возмущении базовых связок. Вопрос: каким конечным наборам слов из алфавита $\{1,\dots,n\}$ соответствуют наборы внутренних связок, которые рождаются при возмущении базовых связок в типичном семействе? Под бифуркационным множеством набора слов $A$ будем понимать бифуркационное множество соответствующего набора внутренних связок и будем обозначать его $X_A$. В частности, указанный выше вопрос о рождении набора связок в семействе можно переформулировать в виде вопроса о непустоте множества $X_A$. В п. 4.3 мы введем класс $\mathcal{A}$, состоящий из наборов слов в алфавите $\{1,\dots,n\}$, для которого верна следующая теорема. Теорема 4 ( достаточное условие рождения набора связок). Пусть $V$ – $C^r$-гладкое, $r\geqslant 3$, конечно-параметрическое семейство векторных полей с базой параметров $B=(\mathbb{R}^k, 0)$ в пространстве $\operatorname{Vect}^r(\mathcal{M})$, трансверсально пересекающее банахово подмногообразие $\mathcal{X}_{\mathrm{SC}_1\dots \mathrm{SC}_n}$. Тогда для любого набора $A \in \mathcal{A}$ бифуркационное множество $X_A$ непусто. Статья организована следующим образом. В § 2 вводятся основные обозначения и при помощи теоремы 3 доказывается теорема 2. Весь § 3 занимает доказательство теоремы 3, а § 4 посвящен описанию топологических свойств бифуркационных множеств внутренних сепаратрисных связок. В § 5 доказывается теорема 1. § 2. Подготовительные шаги2.1. Координаты на трансверсаляхПусть поле $v_0$, содержащее базовые седловые связки $\mathrm{SC}_1, \dots, \mathrm{SC}_n$, возмущается внутри $C^r$-гладкого $k$-параметрического семейства $V=\{v_\delta\}$, $\delta \in B=(\mathbb{R}^k, 0)$, $k\geqslant n$. Как будет видно ниже, под параметрами $\delta_1, \dots, \delta_n$ мы подразумеваем параметры, разрушающие базовые седловые связки, а под параметрами $\delta_{n+1}, \dots, \delta_k$ подразумеваем любые другие не зависящие от них параметры. Считаем, что для любого $i=1, \dots, n$ трансверсаль $\Gamma_i$, проведенная к базовой связке $\mathrm{SC}_i$, не зависит от параметра $\delta$ и параметр $\delta$ выбирается настолько малым, что каждая из трансверсалей $\Gamma_i$ остается трансверсальной возмущенному векторному полю $v_\delta$. Любая базовая связка $\mathrm{SC}_i$ образована двумя сепаратрисами: одной входящей и одной выходящей. Точку пересечения трансверсали $\Gamma_i$ и входящей сепаратрисы обозначим через $s_i$ (от слова stable). Точку пересечения трансверсали $\Gamma_i$ и выходящей сепаратрисы обозначим через $u_i$ (от слова unstable). Поскольку сепаратрисы невозмущенного поля $v_0$ не разомкнуты, то для любого $i=1, \dots, n$ точки $u_i$ и $s_i$ на трансверсали $\Gamma_i$ совпадают. Пусть в невозмущенном поле $v_0$ имеются две базовые связки $\mathrm{SC}_{i-1}$ и $\mathrm{SC}_i$, смежные по общему седлу $S$: связка $\mathrm{SC}_{i-1}$ входит в седло $S$, а связка $\mathrm{SC}_i$ из него выходит. Седло $S$ имеет ровно один гиперболический сектор, ограниченный частями трансверсалей $\Gamma_{i-1}$ и $\Gamma_i$. Обозначим эти части (полутрансверсали) через $\Gamma_{i-1}^-$ и $\Gamma_i^+$ соответственно. Теперь рассмотрим возмущенное поле $v_\delta$. По аналогии вводятся точки $s_i(\delta)$, $u_i(\delta)$ и полутрансверсали $\Gamma_{i-1}^-(\delta)$, $\Gamma_i^+(\delta)$ для сектора седла $S=S(\delta)$, близкого к рассмотренному выше сектору седла $S(v_0)$. При этом, вообще говоря, точки $s_i(\delta)$ и $u_i(\delta)$ на трансверсали $\Gamma_i$ могут не совпадать, что означает размыкание связки $\mathrm{SC}_i$. Рассмотрим на многообразии $\mathcal{M}$ произвольную риманову метрику. Тогда любую гладкую кривую можно параметризовать натуральным параметром (выбрать карту): разность координат любых двух точек в этой карте по модулю будет равна длине отрезка кривой между этими двумя точками. Пусть для трансверсали $\Gamma_i$ определены две полутрансверсали $\Gamma_i^-$ и $\Gamma_i^+$, соответствующие двум примыкающим к трансверсали $\Gamma_i$ секторам. Выберем на трансверсали $\Gamma_i$ такой натуральный параметр (карту), что точка $s_i(\delta)$ имеет в этой карте координату 0, а любая точка полутрансверсали $\Gamma_i^-(\delta)$ имеет положительную координату. В то же время на той же трансверсали $\Gamma_i$ выберем такой натуральный параметр (карту), что точка $u_i(\delta)$ имеет в этой карте координату 0, а любая точка полутрансверсали $\Gamma_i^+(\delta)$ имеет положительную координату. Так как к каждой трансверсали $\Gamma_i$ примыкает четыре сектора (по два для каждого седла связки $\mathrm{SC}_i$), то на трансверсали $\Gamma_i$ указанным выше образом может быть задано до четырех карт. Заметим, что любая фазовая кривая возмущенного поля $v_\delta$ (которая, вообще говоря, может пересекать хоть все эти четыре сектора) в момент пересечения трансверсали $\Gamma_i$ проходит лишь через два сектора – те, которые располагаются по разные стороны от трансверсали $\Gamma_i$ в окрестности их точки пересечения. Выберем любые два сектора, расположенные по разные стороны от трансверсали $\Gamma_i$, но примыкающие к ней, и опишем отображение перехода из карты, соответствующей полутрансверсали $\Gamma_i^+(\delta)$ (к которой примыкает один сектор), в карту, соответствующую полутрансверсали $\Gamma_i^-(\delta)$ (к которой примыкает другой сектор). Обозначим координату точки $u_i(\delta)$ в карте, соответствующей полутрансверсали $\Gamma_i^-(\delta)$, через $\tau_i(\delta)$. Но поскольку во всех доказываемых в работе теоремах рассматриваемое семейство $V$ трансверсально пересекает соответствующее базовым сепаратрисным связкам банахово подмногообразие $\mathcal{X}_{\mathrm{SC}_1 \dots \mathrm{SC}_n}$, то без ограничения общности можно считать, что $|\tau_i(\delta)|=|\delta_i|$. Мы будем полагать, что при $\delta_i > 0$ выходящая сепаратриса связки $\mathrm{SC}_i$ проходит правее (если смотреть вдоль векторного поля) входящей, а при $\delta_i < 0$ – левее. Параметр $\delta_i$ будем называть величиной размыкания сепаратрисной связки $\mathrm{SC}_i$. Тогда переход из карты, соответствующей полутрансверсали $\Gamma_i^+(\delta)$, в карту, соответствующую полутрансверсали $\Gamma_i^-(\delta)$, осуществляется отображением
$$
\begin{equation}
x \mapsto \epsilon \delta_i + \eta x, \qquad \epsilon, \eta=\pm 1.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Знаки $\epsilon$ и $\eta$ в формуле (2) зависят от того, по одну (рис. 4, a) или по разные стороны (рис. 4, b) от связки $\mathrm{SC}_i$ располагаются рассматриваемые сектора в невозмущенном поле $v_0$, а также от направления векторного поля (подробнее см. п. 3.3). 2.2. Уравнение на внутреннюю седловую связкуПусть для некоторого $\delta \in B$ поле $v_\delta$ содержит внутреннюю сепаратрисную связку $\mathrm{ISC}=\sigma_1\dots \sigma_s$. Она проходит через внутренности $s-1$ (возможно, совпадающих) секторов седел. Для любого $i=1, \dots, s-1$ пересекаемый ею $i$-й по счету сектор ограничен полутрансверсалями $\Gamma_{\sigma_i}^-(\delta)$ и $\Gamma_{\sigma_{i+1}}^+(\delta)$. Тогда для любого $i=2, \dots, s$ определено отображение соответствия $\Delta_i(\delta, \cdot)\colon \Gamma_{\sigma_{i-1}}^-(\delta) \to \Gamma_{\sigma_i}^+(\delta)$, заданное в $(i-1)$-м по счету секторе. Карты на полутрансверсалях $\Gamma_{\sigma_{i-1}}^-(\delta)$ и $\Gamma_{\sigma_i}^+(\delta)$ (см. п. 2.1) заданы так, что отображение $\Delta_i(\delta, \cdot)$ в этих картах принимает вид $\Delta_i(\delta, \cdot)\colon \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$. Если поле $C^r$-гладкое, то это отображение является $C^r$-гладким по аргументу $x$ (простое следствие теоремы о выпрямлении векторного поля). Более того, любая его производная по $x$ непрерывно (на самом деле $C^r$-гладко) зависит от параметра $\delta$. Выбранные таким образом карты называются естественными для данного сектора. Лемма 1 (см. [8; лемма 6]). Пусть $C^3$-гладкое семейство $V=\{v_\delta\}_\delta$, $\delta \in B$, с базой параметров $B= (\mathbb{R}^k, 0)$ возмущает векторное поле $v_0 \in \operatorname{Vect}^3(\mathbb{R}^2)$ с гиперболическим седлом $S$. Тогда отображение соответствия $\Delta_S(\delta, x)$ седла $S(\delta)$ в естественных картах на полутрансверсалях обладает свойствами Стремление обоих выражений к нулю равномерно по параметру $\delta$ на некоторой окрестности нуля базы $B$. Рассмотрим следующие функции:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f_1(\delta, x)=\epsilon_1 \delta_{\sigma_1}, \qquad \epsilon_1=\pm 1; \\ f_i(\delta, \cdot)\colon \Gamma_{\sigma_{i-1}}^-(\delta) \to \Gamma_{\sigma_i}(\delta), \qquad f_i(\delta, x)=\epsilon_i\delta_{\sigma_i} + \eta_i \Delta_i(\delta, x); \\ \epsilon_i, \eta_i=\pm 1, \qquad i=2, \dots, s. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Для любого $i=2,\dots, s$ отображение $f_i(\delta, \cdot)$ является композицией отображения соответствия $\Delta_i(\delta, \cdot)$ и отображения склейки карт (2). Знаки $\epsilon_i$ и $\eta_i$ зависят от расположения $(i-1)$-го и $i$-го по счету сектора относительно связки $\mathrm{SC}_i$ невозмущенного поля $v_0$ (подробнее см. п. 3.3). Бифуркационное множество $X_{\mathrm{ISC}}$ связки $\mathrm{ISC}$ задается уравнением Здесь и далее под композицией $g \circ h$ функций $g(\delta, x)$ и $h(\delta, x)$ понимаем $g \circ h(\delta, x)=g(\delta, h(\delta, x))$. 2.3. Банаховы подмногообразия. План доказательства теоремы 2Определение 7. Рассмотрим подмножество $\mathcal{X}$ некоторого нормированного пространства. Множество $\mathcal{X}$ называется $C^r$-гладким, $r\geqslant 1$, банаховым подмногообразием коразмерности $k \geqslant 0$, если для любой точки $x\in \mathcal{X}$ существуют такая ее окрестность $W$ в объемлющем пространстве и такая $C^r$-гладкая функция $\mathbf{F}\colon W\to \mathbb{R}^k$, что: Покажем, что близкие поля с седловой связкой образуют гладкое банахово подмногообразие. Лемма 2. Пусть $C^r$-гладкое, $r \geqslant 2$, векторное поле $v_0$ на двумерном многообразии $\mathcal{M}$ содержит седловую связку $\mathrm{SC}$. Тогда множество близких к $v_0$ векторных полей в пространстве $\operatorname{Vect}^r(\mathcal{M})$ с близкой к $\mathrm{SC}$ седловой связкой образует $C^{r-1}$-гладкое банахово подмногообразие $\mathcal{X}$. Более того, для любой точки $x_0 \in \mathrm{SC}$ существуют такая сколь угодно малая окрестность $Ox_0$ и такое векторное поле $h$ с носителем в этой окрестности, что $d\mathbf{F}(v_0)[h] \neq 0$, где $\mathbf{F}$ – функционал, задающий подмногообразие $\mathcal{X}$. Для доказательства1 леммы 2 нам потребуется следующая лемма из статьи Сотомайора. Лемма 3 (см. [20; лемма 4.3]). Пусть $S$ – гиперболическое седло поля $v_0 \in \operatorname{Vect}^r(\mathcal{M})$, $r \geqslant 1$. Тогда существуют такая окрестность $W$ поля $v_0$ и такая окрестность $U$ седла $S$, что выполнены следующие утверждения. 1. Для любого поля $v \in W$ окрестность $U$ содержит единственную особую точку – гиперболическое седло $S(v)$. 2. Любая из сепаратрис $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$, $\gamma_4$ седла $S(v)$ пересекает границу области $U$ в единственной точке $y_i(v)$, $i=1,2,3,4$. 3. Граница $\partial U$ дифференцируема; более того, для любого $i=1,\dots,4$ найдется такая трансверсальная любому полю $v \in W$ дуга $C_i \ni y_i(v)$ границы $\partial U \ni y_i(v)$, что отображение $y_i\colon W \to C_i$ является $C^{r-1}$-гладким2. Доказательство леммы 2. Отображение соответствия вдоль трубки траекторий, не содержащей в замыкании особых точек, $C^r$-гладко зависит от векторного поля. Это следует из существования в окрестности каждой неособой точки выпрямляющей карты, которая гладко зависит от векторного поля (см. [2; теорема 21.6]). Значит, на некоторой гладкой трансверсали к сепаратрисной связке для близких к $v_0$ полей определены точки ее пересечения с сепаратрисами образующих связку седел, причем в силу леммы 3 величина размыкания $\mathbf{F}(v)$, равная разности координат этих точек, является $C^{r-1}$-гладким отображением. Равенство этого функционала нулю соответствует случаю наличия седловой связки. Осталось лишь показать, что дифференциал этого отображения ненулевой.
По теореме о выпрямлении векторного поля существует такая окрестность $Ox_0$ точки $x_0$, что в некоторой карте с координатами $(x,y)$ поле в этой окрестности имеет вид $v_0= \frac{\partial}{\partial x}$. Далее все рассуждения проходят в выпрямляющей карте. Рассмотрим бесконечно гладкое поле $h=\rho(x,y)\,\frac{\partial}{\partial y}$, где $\rho(x,y)$ больше нуля в окрестности $Ox_0$ и тождественно равно нулю на всей сфере, кроме окрестности $Ox_0$. В этой окрестности поле перпендикулярно полю $v_0$. Рассмотрим однопараметрическое семейство векторных полей $v_0+\xi h$, где $\xi\in(\mathbb{R}, 0)$. В выпрямляющей карте это семейство задается в виде
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{x}=1, \\ \dot{y}=\xi \rho(x,y). \end{cases}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Фазовые кривые $y_\xi(x)$ этой системы зависят от параметра $\xi$, причем при $\xi=0$ все фазовые кривые задаются равенством $y_0(x)=\mathrm{const}$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
F(v_0+\xi h)=y_\xi(x)-y_0(x)=\xi \int_{-\infty}^x\rho(x,y_\xi)\,dx-y_0(x).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{d\xi} F(v_0+\xi h) =\int_{-\infty}^x\rho(x,y_\xi)\,dx+\xi\int_{-\infty}^x \frac{d}{d\xi}\rho(x,y_\xi)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме о непрерывной зависимости решения от параметра второе слагаемое после знака равенства стремится к нулю при $\xi\to 0$. Поскольку $\rho$ неотрицательно и не равно тождественно нулю во всей окрестности $Ox_0$, то получаем, что $dF(v_0)[h]\neq 0$. Это неравенство сохраняется при переходе в исходную карту.
Лемма 2 доказана. Обобщим полученный результат на случай нескольких связок. Предложение 1. Пусть векторное поле $v_0 \in \operatorname{Vect}^r(\mathcal{M})$, $r \geqslant 2$, имеет седловые связки $\mathrm{SC}_1,\dots,\mathrm{SC}_n$. Тогда множество всех близких к $v_0$ полей $v \in \operatorname{Vect}^r(\mathcal{M})$ с близкими к связкам $\mathrm{SC}_1,\dots,\mathrm{SC}_n$ седловыми связками образует $C^{r-1}$-гладкое банахово подмногообразие $\mathcal{\mathcal{X}}_{\mathrm{SC}_1 \dots \mathrm{SC}_n}$ коразмерности $n$. Доказательство. Согласно лемме 2 каждой сепаратрисной связке $\mathrm{SC}_i$, $i=1,\dots,n$, соответствует $C^{r-1}$-гладкий функционал $\mathbf{F}_i$, который равняется нулю на всех близких к $v_0$ полях с близкой к $\mathrm{SC}_i$ седловой связкой. Из доказательства этой леммы видно, что функционал $\mathbf{F}_i$ есть величина размыкания связки $\mathrm{SC}_i$ на некоторой $C^r$-гладкой трансверсали к ней. Следовательно, заданное в окрестности поля $v_0$ отображение $\mathbf{F}=(\mathbf{F}_1,\dots,\mathbf{F}_n)$ является гладким отображением, которое равно нулю тогда и только тогда, когда поле имеет $n$ седловых связок, близких к исходному набору. Более того, согласно лемме 2 для каждой связки $\mathrm{SC}_i$ существует векторное поле $h_i$, носитель которого содержится в произвольно малой окрестности некоторой точки на сепаратрисной связке $\mathrm{SC}_i$, и $d\mathbf{F}_i(v_0)[h_i] \neq 0$. В силу их произвольной малости можем считать, что эти окрестности не пересекаются друг с другом и не пересекают другие сепаратрисные связки набора. Таким образом, откуда следует сюръективность дифференциала $d\mathbf{F}(v_0)$.
Предложение доказано. Замечание 1. С учетом обозначений из п. 2.1 можно полагать, что для любого поля $v_\delta$ типичного семейства $V$ верно $\mathbf{F}_i(v_\delta) \equiv \delta_i$. Теперь перейдем к доказательству теоремы 2. Нам потребуется следующее предложение. Предложение 2 (см. [6; предложение 6]). Пусть $W$ – открытое подмножество банахова пространства, и пусть $\mathbf{F}\colon W \to \mathbb{R}^n$ – невырожденное отображение во всем множестве $W$. Пусть $V\colon (\mathbb{R}^k,0) \to W$, $k \geqslant n$, – $C^1$-гладкое семейство, $\mathbf{F}(v_0)=0$ и $\mathbf{F}|_V$ невырождено в точке $v_0$. Тогда $V$ трансверсально пересекает банахово подмногообразие $\{v \in W| \mathbf{F}(v)=0\}$. Доказательство теоремы 2. Согласно предложению 1 для любого поля $v$ семейства $V$ множество близких к $v$ векторных полей из пространства $\operatorname{Vect}^r(\mathcal{M})$ с набором связок $\mathrm{ISC}_1, \dots, \mathrm{ISC}_l$ образует банахово подмногообразие $\mathcal{X}_{\mathrm{ISC}_1 \dots \mathrm{ISC}_l}$. По определению банахова подмногообразия это множество является поверхностью уровня некоторого отображения $\mathbf{F}$. В то же время семейство $V\colon B \to \operatorname{Vect}^r(\mathcal{M})$ является вложением, а по теореме 3 бифуркационное множество $X_{\mathrm{ISC}_1 \dots \mathrm{ISC}_l}$ – гладкое многообразие. Следовательно, $\mathbf{F}|_V$ невырождено. Согласно предложению 2 семейство $V$ трансверсально пересекает поверхность $\mathcal{X}_{\mathrm{ISC}_1 \dots \mathrm{ISC}_l}$.
Теорема доказана. Без учета теоремы 3 теорема 2 доказана. Замечание 2. В теоремах 1–4 требуется гладкость полей $r\geqslant 3$, так как в них используются леммы 1 и 2. Для всех остальных рассуждений и построений достаточно $C^1$-гладкости. Требования на гладкость в этих леммах кажутся завышенными. Поэтому если когда-либо будут доказаны их аналоги для всего лишь $C^1$-гладких полей, то автоматически усилятся и все теоремы в настоящей работе. § 3. Доказательство теоремы 33.1. План доказательства теоремы о гладкой структуреСначала рассмотрим частный случай теоремы 3 о гладкой структуре, когда набор внутренних связок образован всего лишь одной связкой, которую мы обозначим через $\mathrm{ISC}$. Покажем, что бифуркационное множество $X_{\mathrm{ISC}}$ внутренней сепаратрисной связки $\mathrm{ISC}$ является $C^r$-гладким многообразием. Внутренняя сепаратрисная связка задается уравнением (5). Напрашивается следующая (неверная) стратегия доказательства: найти предел дифференциала $dF(\delta)$ при $\delta \to 0$. Если предел окажется конечным и отличным от нулевого линейного функционала (ковектора), то это завершит доказательство теоремы о гладкой структуре для связки $\mathrm{ISC}$. Действительно, в этом случае при малых $\delta$ функция $F(\delta)$ будет иметь ненулевой дифференциал. Пример. К сожалению, указанного предела может и не быть. Рассмотрим связку $\mathrm{ISC}$, пересекающую ровно две трансверсали $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$. В частности, она проходит вблизи некоторого седла $S$ с отображением соответствия $\Delta_S(x)$. Любое отображение соответствия гиперболического седла имеет степенную асимптотику с показателем $\lambda > 0$, где $\lambda$ – характеристическое число седла $S$ (см. определение 3). В частности, при $\lambda(0) \notin \mathbb{Q}$ оно гладко сопряжено отображению $x \mapsto x^{\lambda(\delta)}$. Этот факт нигде в настоящей работе использоваться не будет, поэтому за подробностями отсылаем читателя к статье [9]. Тем не менее можем считать, что связка $\mathrm{ISC}$ задается уравнением $\delta_2 \pm \delta_1^\lambda=0$, дифференциал левой части которого может не иметь предела при $\delta_1, \delta_2 \to 0$ и $\lambda(\delta) \to 1$ (рис. 5). В силу приведенного примера вместо предела формы $dF(\delta)$ при $\delta \to 0$ мы будем искать ее множество предельных точек. Для любых $m$ ковекторов $u_1, \dots, u_m$ из сопряженного пространства $T^*_\delta B$ введем обозначение
$$
\begin{equation}
\langle u_1,\dots, u_m\rangle_+=\bigl\{a_1 u_1 +\dots + a_m u_m \mid \forall\, i \ a_i \geqslant 0,\,a_1 + \dots + a_m \neq 0 \bigr\}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Таким образом, операция $\langle\dots\rangle_+$ нескольким ковекторам сопоставляет некоторое выпуклое подмножество пространства $T^*_\delta B$. Для любого $i=1, \dots, s$ отображению где функции $f_i$ задаются формулой (4), сопоставим множество $M_i$, построенное следующим рекуррентным образом:
$$
\begin{equation}
M_1=\langle \epsilon_1\, d\delta_{\sigma_1}\rangle_+, \qquad M_i=\langle \epsilon_i \,d\delta_{\sigma_i}, \eta_i M_{i-1}\rangle_+.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Константы $\epsilon_j,\eta_j$, $j=1, \dots, i$, те же, что в формуле (4). Определение 8. Множество $M=M_s\subset T_\delta^* B$, описанное выше, будем называть ограничивающим множеством функции $F=F_s$ или же связки $\mathrm{ISC}$, задаваемой уравнением (5). Лемма 4. Для любого $i=1,\dots,s$ ограничивающее множество задаваемой формулой (9) функции $F_i$ представимо в виде Лемма 4 будет доказана в п. 3.3. Кроме того, рассмотрим следующее отображение:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi_\delta\colon T^*_\delta B\setminus\{0\}\to \mathbf{Gr}(k-1, T_\delta B), \nonumber \\ \varphi_\delta\colon u \mapsto \operatorname{Ker}u, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $\mathbf{Gr}(k-1, T_\delta B)$ – грассманово многообразие, образованное всевозможными линейными гиперплоскостями пространства $T_\delta B$. Значение дифференциальной формы $dF(\delta)$ в произвольной точке $\delta$ есть линейный функционал (ковектор) из пространства $T^*_\delta B$. Следовательно, для любой некритической точки $\delta$ значение выражения $\varphi_\delta (dF(\delta))$ совпадает с касательным пространством $T_\delta X_{\mathrm{ISC}}$ бифуркационного множества $X_{\mathrm{ISC}}$. Бифуркационное множество седловой связки $\mathrm{ISC}$ и ограничивающее множество задающей ее функции $F$ связывает следующее предложение, которое мы докажем в п. 3.2. Предложение 3. Пусть выполнены условия теоремы 3, и пусть ограничивающее множество $M_i$ задаваемой формулой (9) функции $F_i$ не содержит нулевой ковектор. Тогда при любом малом $\delta$ дифференциал $d F_i$ в точке $\delta$ отличен от нуля и касательное пространство $\varphi_\delta(dF_i)$ стремится к множеству $\varphi_0(M_i)$ при $\delta \to 0$. Доказательство теоремы 3. Поскольку из леммы 4 следует, что множество $M_i$ для любого $i=1, \dots, s$ не содержит нулевой ковектор, то согласно предложению 3 бифуркационное множество $X_{\mathrm{ISC}}$ внутренней сепаратрисной связки $\mathrm{ISC}$ является гладким многообразием.
Обозначим через $M_{\mathrm{ISC}_1}, \dots, M_{\mathrm{ISC}_l}$ ограничивающие множества связок $\mathrm{ISC}_1,\dots, \mathrm{ISC}_l$. Так как по условиям данные связки пересекают попарно разные трансверсали, то согласно лемме 4 множества $M_{\mathrm{ISC}_1}, \dots, M_{\mathrm{ISC}_l}$ порождаются разными наборами ковекторов $d\delta_i$. Следовательно, любые ковекторы $u_j \in M_{\mathrm{ISC}_j}$, $j=1, \dots, l$, являются линейно независимы. Для любого малого $\delta \in B$ обозначим через $\mathcal{T}_\delta \subset (\mathbf{Gr}(k-1, T_\delta B))^l$ множество всех наборов из $l$ пересекающихся трансверсально гиперплоскостей. Множество $\mathcal{T}_\delta$ открыто, а в силу сказанного выше оно содержит множество $\varphi_\delta(M_{\mathrm{ISC}_1}) \times \dots \times \varphi_\delta(M_{\mathrm{ISC}_l})$, где отображение $\varphi_\delta$ задается формулой (11). Поскольку согласно предложению 3 набор касательных гиперплоскостей $(T_\delta X_{\mathrm{ISC}_1}, \dots, T_\delta X_{\mathrm{ISC}_l})$ стремится при $\delta \to 0$ к множеству $\varphi_0(M_{\mathrm{ISC}_1}) \times \dots \times \varphi_0(M_{\mathrm{ISC}_l})$ (которое замкнуто), то для точки $\delta$, достаточно близкой к нулю, касательная гиперплоскость $T_\delta X_{\mathrm{ISC}_1 \dots \mathrm{ISC}_l}$ лежит в открытом множестве $\mathcal{T}_0$. 3.2. Касательные гиперплоскости бифуркационного множестваВ этом пункте докажем предложение 3. Доказательство предложения 3. Докажем утверждение индукцией по $i=1,\dots,s$.
База индукции: $i=1$. Заметим, что на протяжении всего доказательства под дифференциалом $d$ понимаем дифференциал по параметру $\delta$. Из формулы (4) имеем
$$
\begin{equation*}
d F_1=d f_1=\epsilon_1\, d\delta_{\sigma_1} \in M_1=\langle \epsilon_1 d\delta_{\sigma_1}\rangle_+.
\end{equation*}
\notag
$$
База индукции доказана.
Шаг индукции. Пусть утверждение доказано для некоторого $i-1$. Из формулы (9) следует соотношение Докажем, что для любого $i=1, \dots, s$ выполнено рекуррентное соотношение
$$
\begin{equation}
d F_i=\epsilon_i \,d\delta_{\sigma_i} + \eta_i\,\frac{\partial \Delta_i}{\partial x}(F_{i-1})\,d F_{i-1} + o(1)
\end{equation}
\tag{13}
$$
при $\delta \to 0$. Действительно, применяя дифференциал к соотношению (12), получаем
$$
\begin{equation}
d F_i=d f_i\big|_{F_{i-1}} + \frac{\partial f_i}{\partial x}(F_{i-1})\,d F_{i-1}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Здесь и далее под $\big|_{F_{i-1}}$ подразумеваем подстановку вместо переменной $x$.
Заметим, что согласно свойству (3) отображения соответствия седла $\Delta_i$ и определению (4) функции $f_i$ верно
$$
\begin{equation}
d f_i\big|_{F_{i-1}}=\epsilon_i \,d\delta_{\sigma_i} + \eta_i \,d \Delta_i \big|_{F_{i-1}}= \epsilon_i\, d\delta_{\sigma_i} + o(1)
\end{equation}
\tag{15}
$$
при $\delta \to 0$. Подставляем выражение (15) в равенство (14). Так как из формулы (4) следует равенство $\frac{\partial f_i}{\partial x}=\eta_i\frac{\partial \Delta_i}{\partial x}$, то отсюда получаем формулу (13).
Рассмотрим любую такую последовательность значений параметра $\delta(\alpha) \to 0$, что выражение $\frac{\partial \Delta_i}{\partial x}(F_{i-1})$ имеет конечный или бесконечный предел, а гиперплоскость $\varphi_{\delta(\alpha)}(dF_{i-1})$ имеет предел $\varphi_0 (u)$, где ковектор $u$ принадлежит множеству $M_{i-1}$. Последнее возможно в силу предположения индукции. Рассмотрим два случая.
В обоих случаях аргумент предельной функции $\varphi_0$ есть некоторая линейная комбинация ковекторов $d\delta_{\sigma_i}$ и $u$, коэффициенты которой не равны нулю одновременно. Так как согласно предположению индукции ковектор $u$ принадлежит множеству $M_{i-1}$, то по определению ограничивающих множеств полученная линейная комбинация принадлежит множеству $M_i$ (см. формулу (10)). Поскольку по условию ограничивающее множество $M_i$ не содержит нулевой ковектор, то для любой плоскости $\varphi_0(u)$, $u \in M_i$, и любой последовательности значений параметра $\delta(\alpha) \to 0$, для которой существует предел $\varphi_{\delta(\alpha)}(dF_i) \to \varphi_0(u)$ при $\delta(\alpha) \to 0$, найдется такая последовательность скаляров $c_\alpha \neq 0$, что $c_\alpha\, dF_i\to u \neq 0$ при $\delta(\alpha) \to 0$. Следовательно, при малом $\delta$ дифференциал $dF_i(\delta)$ отличен от нуля. Предложение 3 доказано. 3.3. Лемма об ограничивающих множествах Доказательство леммы 4. Каждая базовая седловая связка образована двумя сепаратрисами: выходящей из некоторого седла и входящей в некоторое седло (седло может быть одним и тем же). Рассмотрим следующее вспомогательное утверждение: если внутренняя сепаратрисная связка $\mathrm{ISC}$ пересекает трансверсаль $\Gamma_{\sigma_i}$ справа (если смотреть по направлению векторного поля) от входящей сепаратрисы связки $\mathrm{SC}_{\sigma_i}$, то коэффициент $\epsilon_i$ равен $+1$, если слева, то $\epsilon_i$ равен $-1$.
Мы будем индукцией по $i=1, \dots, s$ одновременно доказывать и это вспомогательное утверждение, и саму лемму 4. База индукции. Пусть $i=1$. Тогда согласно формуле (10)
$$
\begin{equation*}
M_1=\langle\epsilon_1 d\delta_{\sigma_1}\rangle_+=\epsilon_1 \langle d\delta_{\sigma_1}\rangle _+,
\end{equation*}
\notag
$$
что совпадает с утверждением леммы. Поскольку функция $f_2(\delta, x)$ определена лишь при $x>0$, то в силу формул (4) и (5) величина $f_1(\delta, 0)=\epsilon_1\delta_{\sigma_1}$ должна быть больше нуля. Но $\delta_{\sigma_1}$ – величина размыкания связки $\mathrm{SC}_{\sigma_1}$, и по своему определению (см. п. 2.1) она больше нуля тогда и только тогда, когда исходящая сепаратриса связки $\mathrm{SC}_{\sigma_1}$ проходит справа от входящей. Следовательно, вспомогательное утверждение тоже выполнено. База индукции доказана.
Шаг индукции. Пусть и вспомогательное утверждение, и утверждение леммы доказаны для $i-1$. Полагаем, что величина размыкания $\delta_{\sigma_i}$ не равна нулю, т.е. базовая связка $\mathrm{SC}_{\sigma_i}$ разомкнута. Кроме того, полагаем, что $i \neq s$, т.е. связка $\mathrm{ISC}$ не совпадает со входящей сепаратрисой (в данном поле $v_\delta$ разомкнутой) базовой связки $\mathrm{SC}_{\sigma_i}$. Эти исключения будут разобраны позже, в конце доказательства. Шаг индукции следует из ориентируемости выступающего в роли фазового пространства многообразия $\mathcal{M}$, рекуррентной формулы (10) и рассмотрения шести возможных случаев, приведенных в табл. 1 (все шесть случаев проиллюстрированы на рис. 6). Таблица 1.Вычисление знака ограничивающего множества $M_i$
Поясним, как из табл. 1 следует утверждение леммы 4. В каждом из шести случаев (поле таблицы “случай”), пользуясь соответствующим рисунком (поле “рисунок”), устанавливаем явный вид отображения
$$
\begin{equation*}
f_i(\delta, x)=\epsilon_i\,\delta_{\sigma_i} + \eta_i\,\Delta_i(\delta, x)
\end{equation*}
\notag
$$
(поле “$f_i(\delta, x)$”) и расположение связки $\mathrm{ISC}$ относительно исходящей и входящей сепаратрис базовой связки $\mathrm{SC}_{\sigma_i}$ (поля “было” и “стало” соответственно). Из формулы для функции $f_i(\delta, x)$ находим значения констант $\epsilon_i$ (поле “$\epsilon_i$”) и $\eta_i$ (поле “$\eta_i$”). Под знаком ограничивающего множества
$$
\begin{equation*}
M_{i-1}=\pm \langle d\delta_{\sigma_1},\dots, d\delta_{\sigma_{i-1}}\rangle _+
\end{equation*}
\notag
$$
подразумевается знак перед выражением $\langle d\delta_{\sigma_1},\dots, d\delta_{\sigma_{i-1}}\rangle _+$. Этот знак определяется из предположения индукции: согласно вспомогательному утверждению, если в поле “было” указано значение “справа”, то в поле “знак $M_{i-1}$” стоит плюс, иначе стоит минус. После того как все указанные выше поля таблицы заполнены, находим множество $M_i$. Пользуясь рекуррентной формулой (10) (поле “$M_i$”), получаем, что $M_i$ равно выражению $\langle d\delta_{\sigma_1},\dots, d\delta_{\sigma_i}\rangle _+$ с каким-то знаком. Этот знак и указываем в поле “знак $M_i$”. После того как знак множества $M_i$ найден, проверяем, что он совпадает со знаком $\epsilon_i$ и соответствует значению в поле “стало” (знак плюс должен соответствовать значению “справа”, а знак минус должен соответствовать значению “слева”). Эта проверка доказывает и вспомогательное утверждение, и саму лемму 4. Осталось рассмотреть лишь исключительные случаи. Пусть $\delta_{\sigma_i}=0$, т.е. базовая связка $\mathrm{SC}_{\sigma_i}$ не разомкнута. Тогда рассуждения аналогичны разобранным случаям 1 и 4 (если связка $\mathrm{ISC}$ проходит справа от базовой связки $\mathrm{SC}_{\sigma_i}$) или случаям 3 и 6 (если проходит слева). Пусть $i=s$, т.е. связка $\mathrm{ISC}$ совпадает со входящей сепаратрисой базовой связки $\mathrm{SC}_{\sigma_s}$. Тогда рассуждения аналогичны разобранным случаям 2 и 3 (при $\delta_{\sigma_s}>0$) или случаям 4 и 5 (при $\delta_{\sigma_s} < 0$). Заметим, что в каждой из этих пар случаев функции $f_s$ в строках таблицы “$f_i(\delta,x)$” отличаются знаками, что, вообще говоря, влечет разные знаки множеств $M_s=M$. Тем не менее оба представления функции $f_s$ допустимы, поскольку безразлично, какое уравнение на сепаратрисную связку $\mathrm{ISC}$ рассматривается, $f_s(F_{s-1})=0$ или $-f_s(F_{s-1})=0$. Это завершает доказательство теоремы 3. Замечание 3. Из леммы 4 следует, что ограничивающее множество $M$ задаваемой формулой (5) функции $F$ на самом деле очень просто устроено. Рассмотрим частный случай $s=k=n$, т.е. связка $\mathrm{ISC}=1\dots n$ родилась при возмущении всех $n$ базовых связок в типичном $n$-параметрическом семействе. В силу леммы 4 ограничивающее множество $M$ функции (5) для связки $\mathrm{ISC}$ имеет вид $M= \pm\langle d\delta_1,\dots, d\delta_n\rangle _+$. Таким образом, в линейном пространстве $T^*_\delta B$ с базисом $\{d\delta_i\}_{i=1}^n$ множество $M$ представляет собой один из $2^n$ (замкнутых) ортантов, из которого выбросили начало координат. Кроме того, заметим, что мы почти не пользовались тем фактом, что отображения $\Delta_i(\delta,x)$, $i=1,\dots,s$, являются отображениями соответствия именно седел, за исключением тех их свойств, которые предоставляет лемма 1. Поэтому полученный результат можно обобщить на случай сепаратрисной связки произвольных особых точек. Предложение 4. Пусть $\mathcal{M}$ – двумерное ориентируемое многообразие и поле $v_0 \in \operatorname{Vect}^1(\mathcal{M})$ имеет $s$ сепаратрисных связок (не обязательно седел). Пусть при возмущении в $C^1$-гладком конечно-параметрическом семействе $V= \{v_\delta\}_\delta$, $\delta \in (\mathbb{R}^k,0)$, рождается сепаратрисная связка $\mathrm{ISC}$, задаваемая уравнением (5) (см. также формулу (4)) на функцию $F(\delta)$. Пусть для любого $i=1,\dots,s$ отображение соответствия $\Delta_i(\delta,x)$ $i$-й особой точки удовлетворяет соотношениям Тогда дифференциал $dF(\delta)$ при достаточно малых $\delta$ отличен от нуля. § 4. Свойства бифуркационных множествВ этом параграфе мы опишем топологические свойства бифуркационных множеств седловых связок. Кроме того, мы докажем достаточное условие рождения заданного набора внутренних сепаратрисных связок. Во всех утверждениях этого параграфа (если не оговорено противное) подразумевается, что мы рассматриваем поле $v_0$ с базовым набором седловых связок $\mathrm{SC}_1, \dots, \mathrm{SC}_n$. Поле $v_0$ возмущается $C^r$-гладким, $r\geqslant 3$, семейством $V=\{v_\delta\}$ с базой параметров $B=(\mathbb{R}^k, 0)$, $k \geqslant n$, причем семейство $V$ трансверсально пересекает соответствующее базовым связкам банахово подмногообразие $\mathcal{X}_{\mathrm{SC}_1 \dots \mathrm{SC}_n}$. 4.1. Край бифуркационного множестваОпределение 9. Пусть $X$ – некоторое многообразие, вложенное в евклидово пространство. Краем многообразия $X$ будем называть множество $\overline{X}\setminus X$ и обозначим его $\partial X$. Заметим, что хотя мы используем термин “край”, замыкание $\overline{X}_{\mathrm{ISC}}$ бифуркационного множества, вообще говоря, может не быть многообразием с краем. Здесь мы опишем, из чего состоит край бифуркационного множества внутренней связки. Определение 10. Мелькающей сепаратрисной связкой будем называть сепаратрисную связку, пересекающую некоторую трансверсаль хотя бы два раза. Все остальные связки будем называть немелькающими. Название объясняется тем, что если в семействе $V$ внутренняя связка пересекла трансверсаль хотя бы два раза, то в этом семействе встречаются связки, пересекающие эту трансверсаль сколь угодно много раз (оставляем без доказательства). Простейший пример полицикла, при разрушении которого рождаются мелькающие сепаратрисные связки, – полицикл “сердце” (подробнее см. [5]). Определение 11. Пусть поле $v_\delta$ семейства $V$ имеет немелькающую сепаратрисную связку $\mathrm{ISC}=\sigma_1\dots\sigma_s$. Подразбиением связки $\mathrm{ISC}$ будем называть набор из $l>1$ внутренних сепаратрисных связок $\sigma_{m_j + 1}\dots\sigma_{m_{j+1}}$ (вообще говоря, других полей семейства $V$), где $0=m_1<\dots<m_j<\dots<m_{l+1}=s$ (рис. 7). Предложение 5. Пусть $X$ – связная компонента бифуркационного множества $X_{\mathrm{ISC}}$ немелькающей сепаратрисной связки $\mathrm{ISC}$. Тогда край $\partial X$ содержится в дизъюнктивном объединении бифуркационных множеств наборов, являющихся подразбиениями связки $\mathrm{ISC}$. На самом деле край $\partial X$ не просто содержится в указанном объединении, а в точности с ним совпадает. Это будет доказано позже, в п. 4.4. Доказательство предложения 5. Напомним уравнение (5) на сепаратрисную связку $\mathrm{ISC}$: Если значение функции $F$ в некоторой близкой к нулю точке $\delta \in X$ определено, то по теореме 3 дифференциал функции $F$ в точке $\delta$ невырожден. Значит, многообразие $X$ продолжается либо до выхода за пределы малой окрестности нуля, либо до некоторой точки, в которой функция $F$ не определена.
Согласно формуле (4) функции $f_i(\delta, x)$ определены только при малых положительных $x$. Следовательно, для любой точки $\delta \in \partial X$ существует такой набор из $l+1$ чисел $1=m_1<\dots<m_j<\dots<m_{l+1}=s$, что
$$
\begin{equation}
f_{m_{j+1}} \circ \dots \circ f_{m_j+1}(\delta, 0)=0.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Здесь под выражением $f_{m_j+1}(\delta, 0)$ понимается предельное при $x \to 0$ значение $\epsilon_{m_j+1} \delta_{\sigma_{m_j+1}}$ функции $f_{m_j+1}(\delta, x)$. Функция $F$ в точке $\delta$ не определена, так как к выражению (16) нельзя применить функцию $f_{m_{j+1}+1}$, ведь значение $x=0$ лежит вне области определения этой функции.
Заметим, что для каждого $j=1,\dots, l$ уравнение (16) задает бифуркационное множество $X_{\mathrm{ISC}_j}$ внутренней сепаратрисной связки $\mathrm{ISC}_j=\sigma_{m_j+1}\dots\sigma_{m_{j+1}}$. Таким образом, любая точка края $\delta \in \partial X$ соответствует полю $v_\delta$ с набором внутренних седловых связок, являющимся подразбиением связки $\mathrm{ISC}$. Предложение доказано. 4.2. Типичные семейства векторных полейОпределение 12. Пусть поле $v \in V$ имеет конечный набор седловых связок (не обязательно базовых). Будем говорить, что семейство $V$ типично по отношению к данному набору связок (или относительно данного набора связок), если семейство $V$ трансверсально пересекает соответствующее этому набору банахово подмногообразие (см. предложение 1). В частности, рассматриваемое нами семейство $V$ является типичным по отношению к базовому набору связок $\mathrm{SC}_1, \dots, \mathrm{SC}_n$. Предложение 6. Пусть $X_{\mathrm{ISC}_1 \dots \mathrm{ISC}_l}$ – бифуркационное множество набора внутренних сепаратрисных связок $\mathrm{ISC}_1, \dots, \mathrm{ISC}_l$, попарно пересекающих разные трансверсали. Тогда любое $C^1$-гладкое многообразие $L\subset B$ размерности $m \geqslant l$, трансверсально пересекающее множество $X_{\mathrm{ISC}_1 \dots \mathrm{ISC}_l}$ в некоторой точке $\delta_0$, задает типичное по отношению к связкам $\mathrm{ISC}_1, \dots, \mathrm{ISC}_l$ $m$-параметрическое семейство $\widetilde{V}$ с базой параметров $\widetilde{B}=(L, \delta_0)$. Доказательство. Согласно предложению 1 соответствующее связкам $\mathrm{ISC}_1,\dots, \mathrm{ISC}_l$ банахово подмногообразие $\mathcal{X}_{\mathrm{ISC}_1 \dots \mathrm{ISC}_l}$ в некоторой окрестности поля $v_{\delta_0}$ задается уравнением $\mathbf{F}(v)=0$ (см. определение 7), где $\mathbf{F}$ – гладкое отображение со значением в $\mathbb{R}^l$ с невырожденным дифференциалом. Поскольку по теореме 3 бифуркационное множество $X_{\mathrm{ISC}_1 \dots \mathrm{ISC}_l}$ набора связок $\mathrm{ISC}_1, \dots, \mathrm{ISC}_l$ является $C^r$-гладким многообразием, то дифференциал отображения $\mathbf{F}|_{\widetilde{V}}$ сюръективен. Следовательно, согласно предложению 2 семейство $\widetilde{V}$ пересекает банахово подмногообразие $\mathcal{X}_{\mathrm{ISC}_1 \dots \mathrm{ISC}_l}$ трансверсально.
Предложение доказано. 4.3. Специальный класс наборов словВ этом пункте мы введем класс $\mathcal{A}$ наборов слов, который упоминается в теореме 4. Напомним, что каждую внутреннюю сепаратрисную связку $\mathrm{ISC}$ мы задаем номерами трансверсалей, которые она пересекает (см. § 1). Определение 13. Будем называть слово $\sigma_1\dots\sigma_s$ в алфавите $\{1,\dots,n\}$ допустимым, если для любого $i=1,\dots,s-1$ базовые связки $\mathrm{SC}_{\sigma_i}$ и $\mathrm{SC}_{\sigma_{i+1}}$ образованы соответственно входящей и выходящей сепаратрисам одного и того же седла. Обозначим через $\mathcal{A}$ множество всех конечных наборов $A$ слов в алфавите $\{1,\dots,n\}$, удовлетворяющих следующим свойствам:
Если набору $A$ соответствует набор внутренних сепаратрисных связок, рождающихся в семействе $V$, то первое требование означает, что любая связка этого набора является немелькающей (см. определение 10), а второе – что никакие две связки этого набора не пересекают одну и ту же трансверсаль. Если первые два условия – это наше намеренное упрощение задачи, то третье условие для внутренних связок, очевидно, является необходимым. Слова произвольного набора слов $A$ будем отделять вертикальной чертой. Например, на рис. 7 набор связок $A$, состоящий из единственной связки $\mathrm{ISC}$, будем обозначать через $A=12345$, а набор $\widetilde{A}$, состоящий из связок $\mathrm{ISC}_1$, $\mathrm{ISC}_2$, $\mathrm{ISC}_3$, будем обозначать через $\widetilde{A}=12|3|45$. По аналогии с определением 11 подразбиением слова $\sigma_1\dots\sigma_s$ будем называть любой набор слов, получающихся из данного расставлением вертикальных черт, причем получающиеся после такого разделения слова мы дозволяем писать в произвольном порядке. Набор слов $\widetilde{A}$ будем называть подразбиением набора $A\in \mathcal{A}$, если набор $\widetilde{A}$ получается из набора $A$ заменой хотя бы одной входящей в набор $A$ связки ее подразбиением. Например, набор $\widetilde{A}=5|234|67|1$ является подразбиением набора $A=1234|567$. Очевидно, что если набор $A$ принадлежат классу $\mathcal{A}$, то и любое его подразбиение принадлежит классу $\mathcal{A}$. Если набор $\widetilde{A}$ является подразбиением набора $A$, то будем это обозначать следующим образом: $\widetilde{A} \prec A$. Нетрудно видеть, что отношение $\prec$ на множестве $\mathcal{A}$ транзитивно. Подмножество класса $\mathcal{A}$, состоящее из всех наборов из $l$ слов, будем обозначать $\mathcal{A}^l$. Очевидно, $\mathcal{A}=\bigsqcup_{l=1}^n \mathcal{A}^l$. Бифуркационное множество набора слов $A$ будем обозначать через $X_A$, подразумевая под этим бифуркационное множество набора соответствующих им внутренних связок. Если же набору слов $A$ не соответствует никакой набор связок, рождающихся в семействе $V$, то мы полагаем, что $X_A$ пусто. Если же $X_A \neq \varnothing$ и набор $A$ состоит из $l$ слов, то по теореме 3 множество $X_A$ является $C^r$-гладким многообразием коразмерности $l$. 4.4. Достаточное условие рождения набора седловых связокВ этом пункте докажем теорему 4, т.е. что при возмущении поля $v_0$ в любом семействе $V$, типичном по отношению к базовым связкам, рождается любой набор $A \in \mathcal{A}$. Предложение 7. Пусть поле $v_0$ имеет ровно две базовые седловые связки $\mathrm{SC}_1$ и $\mathrm{SC}_2$, пересекающие трансверсали $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ соответственно. Причем связки $\mathrm{SC}_1$ и $\mathrm{SC}_2$ образованы соответственно входящей и выходящей сепаратрисами некоторого седла $S$. Пусть $V=\{v_\delta\}_\delta$, $\delta\in(\mathbb{R}^2,0)$, является $C^r$-гладким, $r \geqslant 3$, семейством $C^r$-гладких векторных полей и типично по отношению к связкам $\mathrm{SC}_1$, $\mathrm{SC}_2$ (см. определение 12). Тогда бифуркационное множество $X_{\mathrm{ISC}}$ внутренней сепаратрисной связки $\mathrm{ISC}=12$ – непустое связное многообразие размерности $1$. Доказательство. Пусть $\Delta_S\colon \Gamma_1^- \to \Gamma_2^+$ – зависящее от параметров $\delta_1$ и $\delta_2$ отображение соответствия седла $S$. Тогда, при необходимости заменяя $\delta_1$ на $-\delta_1$, а $\delta_2$ на $-\delta_2$, уравнение (5) на сепаратрисную связку $\mathrm{ISC}$ можно записать в виде
$$
\begin{equation}
F(\delta_1, \delta_2)=\delta_2 - \Delta_S(\delta_1)=0.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Заметим, что при $\delta_1 \to 0$, $\delta_2>0$ функция $F$ в силу свойства (3) стремится к $\delta_2>0$. В то же время при $\delta_1 > 0$, $\delta_2=0$ выполнено неравенство $F=-\Delta_S(\delta_1)<0$. Следовательно, в силу непрерывности функции $F$ множество нулей $\{F=0\}$ непусто и накапливается к началу координат.
Так как в силу свойства (3) верно
$$
\begin{equation}
\frac{\partial F}{\partial \delta_2}=1 - \frac{\partial \Delta_S}{\partial \delta_2}(\delta_1) \to 1 \neq 0
\end{equation}
\tag{18}
$$
при $\delta_1, \delta_2 \to 0$, то по теореме о неявной функции множество $\{F=0\}$ является $C^r$-гладким одномерным многообразием, накапливающимся к началу координат. Поскольку соотношение (18) при достаточно малых $\delta_1$ и $\delta_2$ влечет монотонность функции $F$ по $\delta_2$ при фиксированном $\delta_1$, то многообразие $X_{\mathrm{ISC}}=\{ F=0 \}$ связно.
Предложение доказано. Следствие 1. Пусть $A \,{\in}\, \mathcal{A}^{n-1}$. Тогда бифуркационное множество $X_A$ непусто и связно. Доказательство. Поскольку слов в наборе $A$ лишь на единицу меньше количества символов (номеров трансверсалей), чем в алфавите, а символы в словах по определению класса $\mathcal{A}$ должны быть различны, то возможны следующие два варианта.
Следствие доказано. Теперь можно перейти к доказательству достаточного условия рождения набора связок. Доказательство теоремы 4. Применим индукцию по отношению строгого порядка $\prec$.
База индукции. Минимальными элементами класса $\mathcal{A}$ относительно строго порядка $\prec$ являются наборы, состоящие только из слов единичной длины. Пусть набор $A$ состоит из $l$ слов длины 1, например, $A=1|\dots|l$. Следовательно, ему соответствует набор, состоящий из $l$ базовых связок $\mathrm{SC}_1,\dots,\mathrm{SC}_l$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
X_A=\{ \delta=(\delta_1,\dots,\delta_k) \mid \delta_1=\dots=\delta_l=0 \}
\end{equation*}
\notag
$$
и утверждение очевидно.
Шаг индукции. Пусть утверждение доказано для всех подразбиений набора $A \in \mathcal{A}^l$. Тогда рассмотрим произвольное подразбиение $\widetilde{A}\prec A$, состоящее из $l+1$ слов. Тогда в наборе $\widetilde{A}$ есть ровно два слова, отсутствующие в наборе $A$. Поскольку согласно предположению индукции множество $X_{\widetilde A}$ непусто, то этим двум словам соответствуют рождающиеся в семействе $V$ внутренние связки, которые мы обозначим через $\mathrm{ISC}_1$ и $\mathrm{ISC}_2$. Более того, так как набор $A$ состоит лишь из допустимых слов (см. определение 13), то связки $\mathrm{ISC}_1$ и $\mathrm{ISC}_2$ образованы соответственно входящей и исходящей сепаратрисами некоторого седла. Рассмотрим любое $C^1$-гладкое многообразие $L$ размерности $l+1$, трансверсально пересекающее множество $X_{\widetilde{A}}$ в произвольной точке $\delta_0$. Согласно предложению 6 семейство $\widetilde{V}$ с базой параметров $\widetilde{B}= (L,\delta_0)$ является по отношению к набору $\widetilde{A}$ типичным $(l+1)$-параметрическим семейством. Так как набор $A$ имеет порядок $l$, что на единицу меньше количества базовых связок в семействе $\widetilde{V}$, то согласно следствию 1 множество $X_A \cap \widetilde{B}$ непусто. Гладкость многообразия $X_A$ следует из теоремы 3. Теорема 4 доказана. 4.5. Следствия из теоремы 4В этом пункте мы приведем несколько следствий из достаточного условия рождения наборов седловых связок. Поскольку в теореме 4 мы доказали, что любой набор слов $A \in \mathcal{A}$ соответствует некоторому набору внутренних связок, рождающихся в семействе $V$, то можно говорить о наборе слов $A$ как о наборе связок. Доказательство. Включение $\subset$ следует из предложения 5. Докажем обратное включение индукцией по отношению строгого порядка $\prec$.
База индукции тривиальна, поскольку минимальные наборы не имеют подразбиений. Значит, их бифуркационные множества замкнуты. Шаг индукции. Пусть утверждение доказано для любого подразбиения набора $A \in \mathcal{A}^l$. Следовательно, достаточно доказать включение $X_{\widetilde{A}} \subset \partial X_A$ для любого подразбиения $\widetilde{A}\prec A$, состоящего из $l+1$ связок. Согласно теореме 4 многообразие $X_{\widetilde{A}}$ непусто. Пусть $L$ – произвольное гладкое многообразие размерности $l+1$, трансверсально пересекающее множество $X_{\widetilde{A}}$ в некоторой точке $\delta_0$. Тогда согласно предложению 6 оно задает типичное по отношению к набору $\widetilde{A}$ семейство $\widetilde{V}$ c $(l+1)$-мерной базой параметров $\widetilde{B}=(L, \delta_0)$. Согласно теореме 4 в семействе $\widetilde{V}$ рождается набор связок $A$. Следовательно, пересечение $X_A \cap L$ непусто и накапливается к точке $\delta_0$. Поскольку многообразие $L$ можно было трансверсально провести к любой точке $\delta_0$ из множества $X_{\widetilde{A}}$, то получаем, что $X_{\widetilde{A}} \subset \partial X_A$. Следствие доказано. Определение 14. Пусть набор связок $A$ содержит внутренние связки $\mathrm{ISC}_1$ и $\mathrm{ISC}_2$, которые являются соответственно входящей и выходящей сепаратрисами некоторого седла $S_i$. Рассмотрим набор слов $\widetilde{A}$, состоящий из тех же слов, что и набор $A$, с той лишь разницей, что вместо слов $\mathrm{ISC}_1$ и $\mathrm{ISC}_2$ он содержит их конкатенацию $\mathrm{ISC}_1+\mathrm{ISC}_2$. В этом случае мы будем говорить, что связки набора $\widetilde{A}$ получаются из набора $A$ отщеплением седла $S_i$. Лемма 5. Пусть набор $\widetilde{A}$ получается из набора $A \in \mathcal{A}$ отщеплением нескольких седел. Тогда $\widetilde{A} \in \mathcal{A}$. Доказательство. Достаточно доказать утверждение в случае отщепления одного седла. Поскольку в определении 14 связки $\mathrm{ISC}_1$ и $\mathrm{ISC}_2$ являются входящей и выходящей сепаратрисами одного и того же седла $S_i$, то слово $\mathrm{ISC}_1\,{+}\,\mathrm{ISC}_2$ является допустимым (см. определение 13). Количество вхождений каждого символа в слова набора $\widetilde{A}$ при этом не меняется (см. п. 4.3). Следовательно, $\widetilde A \in \mathcal{A}$.
Лемма доказана. Пусть $\gamma$ – некоторый гиперболический полицикл (см. определение 1), образованный всеми базовыми связками $\mathrm{SC}_1,\dots,\mathrm{SC}_n$. Ему соответствует набор слов $1|\dots|n$. Пусть полицикл $\gamma$ возмущается в $C^3$-гладком семействе $V= \{v_\delta\}_\delta$, типичном по отношению к этим базовым связкам. Следствие 3. Любой набор слов $A \in \mathcal{A}$, в который входят все номера трансверсалей, соответствует дочернему полициклу (см. определение 5), рождающемуся в семействе $V$. Доказательство. Очевидно, что набор слов $A$ можно получить из базового набора $1|\dots|n$ за конечное число шагов, заменяя некоторые пары слов их конкатенацией. Пусть на некотором шаге два слова $\mathrm{ISC}_1$ и $\mathrm{ISC}_2$ мы заменили их конкатенацией. Так как $A \in \mathcal{A}$, а слово $\mathrm{ISC}_1{+}\,\mathrm{ISC}_2$ является подсловом некоторого слова из набора $A$, то оно является допустимым (см. определение 13). Следовательно, связки $\mathrm{ISC}_1$ и $\mathrm{ISC}_2$ образованы входящей и выходящей сепаратрисами одного и того же седла. Другими словами, набор $A$ получается из базового набора отщеплением седел (см. определение 14).
Поскольку в набор слов $A$ по условию входят все номера трансверсалей, то при стремлении параметров к нулю объединение связок набора стремится к полициклу $\gamma$ в метрике Хаусдорфа. Более того, заметим, что при отщеплении седла сохраняется порядок обхода полицикла (см. определение 1). Следовательно, набор $A$ соответствуют дочернему полициклу. Согласно лемме 5 и теореме 4 этот полицикл рождается в семействе $V$. Следствие доказано. Докажем утверждение, которое в некотором роде обращает следствие 3. Пусть $\gamma$ – гиперболический полицикл векторного поля $v_0 \in \operatorname{Vect}^3(\mathbb{S}^2)$. Вновь полагаем, что $\gamma$ образован всеми базовыми связками. Пусть $C^3$-гладкое конечно-параметрическое семейство $V$ типично по отношению к базовым связкам. Следствие 4. Пусть в семействе $V$ рождается дочерний полицикл (см. определение 5). Тогда этому дочернему полициклу соответствует набор слов $A \in \mathcal{A}$, в который входят все номера трансверсалей. Доказательство. Предположим, что две связки $\mathrm{ISC}_1$ и $\mathrm{ISC}_2$ дочернего полицикла пересекли одну и ту же трансверсаль. Обозначим их точки пересечения через $B_1$ и $B_2$. По определению 1 дочерний полицикл линейно связен. Значит, существует кривая $\tau$ в дочернем полицикле, которая соединяет точки $B_1$ и $B_2$. Но так как эти точки лежат на одной трансверсали, то замкнутая кривая $\tau \cup [B_1,B_2]$, где $[B_1,B_2]$ – отрезок трансверсали между этими точкам, образует так называемый мешок Бендиксона. Поскольку фазовым пространством выступает двумерная сфера, то одна из связок $\mathrm{ISC}_1$ или $\mathrm{ISC}_2$ (та из них, которая в прямом или в обратном времени входит в этот мешок) не может его покинуть. Это противоречит эйлеровости дочернего полицикла (см. определение 1). Аналогично доказывается, что никакая связка дочернего полицикла не может быть мелькающей (см. определение 10). Допустимость любого слова, который соответствует связке дочернего полицикла, очевидна. Следовательно, любому дочернему полициклу соответствует набор слов из класса $\mathcal{A}$. Более того, поскольку по определению $\widetilde \gamma(\delta) \to \gamma$ при $\delta \to 0$, то набор связок дочернего полицикла, записанный в виде набора слов, должен содержать номера всех трансверсалей.
Следствие доказано. Замечание 4. В отличие от предыдущих утверждений в следствии 4 фазовым пространством выступает двумерная сфера. Дело в том, что не на сфере при разрушении полицикла могут родиться дочерние полициклы, которые дважды проходят вблизи базовой связки. На рис. 8, a показан полицикл на торе (тор изображен в виде прямоугольника со склеенными противоположными сторонами), образованный четырьмя сепаратрисными связками. При его возмущении (рис. 8, b) может родиться дочерний полицикл, одна из связок которого дважды проходит вблизи разомкнувшейся базовой связки3. § 5. Нижняя оценка на цикличностьТеперь докажем нижнюю оценку на цикличность монодромного полицикла. Доказательство теоремы 1. Отщепим от полицикла $\gamma$ седло с номером $n$. Согласно следствию 3 получившемуся набору соответствует дочерний полицикл $\gamma_{n-1}$, который рождается в семействе $V$, причем в силу предложения 6 семейство $V$ остается типичным по отношению к связкам полицикла $\gamma_{n-1}$. Отщепим от полицикла $\gamma_{n-1}$ седло с номером $n-1$ и по тем же причинам получим монодромный гиперболический полицикл $\gamma_{n-2}$. И так далее. В итоге мы получим набор дочерних полициклов $\{\gamma_{n-i}\}$ ($\gamma_n=\gamma$), где для любого $i=0,\dots,n-1$ дочерний полицикл $\gamma_{n-i}$ образован $n\,{-}\,i$ седлами и является дочерним для полицикла $\gamma_{n-i+1}$ в том же самом семействе $V$ (в силу предложения 6). В частности, бифуркационные множества этих дочерних полициклов накапливаются в базе параметров $B$ к началу координат.
Обозначим через $\Delta(\delta, x)$ отображение Пуанкаре, заданное на некоторой трансверсали $\Gamma$ к полициклу, а через $P(\delta, x)$ – отображение смещения $P(\delta,x)= \Delta(\delta,x) - x$. Полагаем, что карта на трансверсали выбрана таким образом, что для поля $v_0$ отображения $\Delta(0,x)$ и $P(0,x)$ определены на положительной полуоси в этой карте. Отображения $\Delta(\delta,x)$ и $P(\delta,x)$ являются общими как для полицикла $\gamma$, так и для его дочерних полициклов. Утверждение. Для любого $i=0,\dots,n$ и любого $\varepsilon>0$ найдутся такое $\delta \in B$, $|\delta| < \varepsilon$, и такие числа $\xi_0 > \dots > \xi_i$ на трансверсали $\Gamma$, что: Из этого утверждения при $i=n$ в силу непрерывности отображения Пуанкаре $\Delta(\delta,x)$ следует существование $n$ его неподвижных точек на трансверсали $\Gamma$. В частности, при возмущении полицикла $\gamma$ в семействе $V$ рождается $n$ предельных циклов. Доказательство утверждения. Воспользуемся индукцией по $i=0,\dots,n$. Нам потребуется следующая теорема А. А. Черкаса.
Теорема 5 (см. [3]). Пусть поле $v_0 \in \operatorname{Vect}^1(\mathbb{R}^2)$ имеет монодромный гиперболический полицикл с характеристическими числами седел $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Пусть выполнено неравенство $\lambda_1\cdots\lambda_n > 1$ ($\lambda_1\cdots\lambda_n < 1$). Тогда полицикл устойчив (неустойчив), т.е. траектории наматываются на него в прямом (обратном) времени. База индукции $i=0$. Рассмотрим поле $v_0$. В силу неравенства (1) произведение всех характеристических чисел седел полицикла $\gamma$ отлично от нуля. Без ограничения общности можем считать, что $\lambda_1\cdots\lambda_n > 1$. Следовательно, по теореме 5 полицикл $\gamma$ устойчив. В частности, найдется такое число $\xi_0$, что для любого $x \leqslant \xi_0$ верно $\Delta(0,x) > x$. Шаг индукции. Пусть утверждение доказано для $i-1<n-1$. Поскольку полицикл $\gamma_{n-i}$ некоторого поля $v_\delta$ является дочерним для полицикла $\gamma_{n-i+1}$ и получается из него сколь угодно малым возмущением, то можем полагать, что для любой точки $\xi_j$, $j=0,\dots,i-1$, значения отображения смещения $P$ для этих полициклов в точке $\xi_j$ имеют один и тот же знак. В силу неравенства (1) и теоремы 5 устойчивость полицикла $\gamma_{n-i}$ противоположна устойчивости полицикла $\gamma_{n-i+1}$. Следовательно, найдется такая точка $\xi_i$, что для любого $x \leqslant \xi_i$, при котором определено отображение $P(\delta,x)$, верно На последнем шаге индукции $i=n$ мы проводим аналогичные рассуждения с той лишь разницей, что вместо перехода к дочернему полициклу $\gamma_{n-i}$ мы пользуемся тем фактом, что при разрушении сепаратрисной петли $\gamma_1$ при $\lambda_1 \neq 1$ рождается предельный цикл. Это известный результат А. А. Андронова и Е. А. Леонтович [1]. Таким образом, мы доказали указанное выше утверждение, а значит, и теорему 1.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Duk24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|