Применение разложений целых функций в ряды экспонент

Устанавливается равенство
\begin{equation} \varlimsup_{r\to\infty}\frac{\ln|F(re^{i\varphi})|}{r^\rho}=\varlimsup_{r\to\infty}\frac{\ln\Phi(re^{i\varphi})}{r^\rho} \end{equation}
при тех $\varphi$, где левая часть неотрицательна. Здесь $F(z)=\sum_1^\infty a_ke^{\lambda_kz}$, $\Phi(z)=\sum_1^\infty |a_ke^{\lambda_kz}|$, $\rho>1$. При этом предполагается, что $\lambda_k$ ($k\geqslant1$) – нули целой функции $L(\lambda)\in[\rho_1,0]$ $(1/\rho+1/\rho_1=1)$, причем
$$ \lim_{k\to\infty}\frac1{|\lambda_k|^{\rho_1}}\ln\biggl|\frac1{L'(\lambda_k)}\biggr|=0 $$
и правая часть в (1) конечна. Из этого результата следует, что индикатриса роста $h_F(\varphi)$ функции $F(z)$ определяется через модули коэффициентов $a_k$.
Далее рассматривается уравнение
\begin{equation} \sum_0^\infty c_k F^{(k)}(z)=f(z)\qquad\biggl(\sum_0^\infty c_k\lambda^k=L(\lambda)\biggr). \end{equation}
Пусть $0<H(\varphi)<\infty$ и $H(\varphi)r^\rho$ – выпуклая функция от $z=re^{i\varphi}$. Если $h_f(\varphi)\leqslant H(\varphi)$ $(h_f(\varphi)$ – индикатриса роста $f(z)$ при порядке $\rho)$, то уравнение (2) имеет решение с $h_F(\varphi)\leqslant H(\varphi)$. С помощью приведенного выше результата показывается, что не всегда имеется решение уравнения (2), которое удовлетворяло бы условию: $h_F(\varphi)\leqslant h_f(\varphi)$.
Библиография: 8 названий.