Свободные подгруппы и компактные элементы связных групп Ли

Пусть $\Omega_G$ – множество компактных (т.е. содержащихся в некоторой компактной подгруппе) элементов топологической группы $G$, $\overline\Omega_G$ – его замыкание. Доказаны утверждения:
Теорема 1. Компактная связная полупростая группа Ли $G$ обладает свободной плотной подгруппой, каждый неединичный элемент которой является порождающим максимального тора $G$.
Теорема 2. {\it Пусть связная группа Ли $G$ не имеет нетривиальных компактных элементов в центре и совпадает с замыканием своего коммутанта, $\mathscr G$ – ее алгебра Ли. Эквивалентны условия:
{(i)} $\overline\Omega_G=G$;
{(ii)} $G$ имеет плотную подгруппу из компактных элементов;
{(iii)} $\mathscr G=\mathscr S\oplus\mathscr V$, где $\mathscr V$ – нильпотентный идеал, $\mathscr S$ – полупростая компактная алгебра, присоединенное действие которой на $\mathscr V$ не имеет нулевого веса;
{(iv)} $G=SV$, где $V$ – нильпотентный связный односвязный нормальный делитель, $S$ – полупростая компактная связная подгруппа, центр $Z(S)$ которой действует (сопряжениями) на $V$ регулярно}.
Следствие. Локально компактная связная группа $G$, совпадающая с замыканием своего коммутанта, тогда и только тогда имеет плотную подгруппу из компактных элементов, когда $\overline\Omega_G=G$.
Библиография: 16 названий.