Аналог теории Морса для плоских линейных сетей и обобщенная проблема Штейнера

Изучается обобщенная проблема Штейнера – задача поиска всех локально минимальных сетей, затягивающих данное граничное множество. Для решения этой проблемы предлагается использовать развиваемый в работе аналог теории Морса для плоских линейных сетей. Строится пространство $\mathscr K$ всех плоских линейных сетей, затягивающих данное граничное множество. Для функции длины $\ell $ плоской линейной сети определяется понятие критической точки и ее индекса. Показано, что локально минимальные сети являются локальными минимумами функции $\ell $ на $\mathscr K$ и критическими точками индекса 1. Доказывается теорема о том, что сумма индексов всех критических точек равна $\chi (\mathscr K)=1$. С помощью этой теоремы находятся оценки количества локально минимальных сетей, затягивающих данное граничное множество.
Библиография: 15 названий.