| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Численно-аналитическое построение обобщенного решения уравнения эйконала в плоском случае П. Д. Лебедевab, А. А. Успенскийa a Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, г. Екатеринбург b Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9500e 
Реферативные базы данных:
    ВведениеНелинейные уравнения в частных производных первого порядка (УЧППП), как правило, не имеют классического (дифференцируемого) решения на всей области рассмотрения. Проблема построения содержательного решения, адекватно отражающего моделируемые процессы в механике, геометрической оптике, теории оптимального управления, дифференциальных играх, сейсмологии, экономике, в других отраслях знания и сферах приложения УЧППП, преодолевается введением обобщенного решения в соответствующих классах функций. Существуют различные подходы в определении обобщенного решения УЧППП и обосновании его единственности [1]–[4]. С. Н. Кружков, опираясь на конструкции функционального анализа и используя метод коротковолновой аппроксимации, ввел [1] понятие обобщенного решения уравнения эйконала – основного уравнения геометрической оптики. В последующем этот метод был развит многими исследователями и приложен к построению обобщенных решений различных типов уравнений в частных производных, пополнив копилку методов исчезающей вязкости [2]. Указанный подход к определению обобщенных решений уравнений УЧППП связан с введением в рассмотрение малого параметра при старшей производной, изучением свойств их решений и функции, получаемой предельным переходом по параметру малости. Выделим другой подход, опирающийся на конструкции теории позиционных дифференциальных игр [5], который дал возможность А. И. Субботину для уравнений указанного типа ввести определение минимаксного решения [3], не вовлекающее, в отличие от метода исчезающей вязкости, производные старших порядков. Следует отметить, что минимаксный подход позволяет строить решения УЧППП в том числе в условиях нарушений гладкости краевых условий и при наличии особенностей дифференциальных операторов. Безусловно полезными с точки зрения аналитического инструментария выявления негладких особенностей обобщенных решений краевых задач УЧППП в ситуации гладкости краевых условий являются методы теории особенностей дифференцируемых отображений [6]. Техника группового анализа позволяет выделить классы уравнений эйконала, для которых в явном виде удается получить формулы для волновых фронтов в случае точечного источника [7]. Переход от теоретических конструкций к численным алгоритмам сопряжен с необходимостью корректных аппроксимаций негладких функций. Численные процедуры построения обобщенных решений уравнений гамильтонова типа и уравнения эйконала, использующие разностные схемы математической физики и конструкции метода характеристик, развивают как зарубежные (например, в [8]), так и отечественные исследователи (например, в [9]). В рамках минимаксной концепции удается сформировать вычислительные и численно-аналитические процедуры построения негладких решений теории позиционных дифференциальных игр и оптимального управления, а также решений уравнений Гамильтона–Якоби, использующие конструкции субдифференциального исчисления и негладкого анализа (см., например, [10]). В настоящей работе рассмотрена плоская задача Дирихле для уравнения эйконала с постоянным коэффициентом преломления среды. Изучен случай, когда граница краевого множества дважды дифференцируемая, при этом имеет особые точки с конечными скачками производных третьего порядка координатных функций. Предложен численно-аналитический подход к построению обобщенного по С. Н. Кружкову решения. На основе конструкций, получивших развитие в рамках минимаксной концепции для уравнения Гамильтона–Якоби [11]–[14], разработана новая процедура построения обобщенного эйконала, использующая в том числе теорию неподвижных точек [15] гладких отображений. При этом идейной предпосылкой процедуры стало понятие меры невыпуклости замкнутого множества евклидова пространства [16], а вывод ключевых соотношений осуществлен с помощью аппроксимативной техники струй [17], также применены элементы выпуклого анализа [18]. Для случая краевого множества с дважды гладкой границей, имеющей точки негладкого экстремума кривизны, пройдены все звенья пути в исследовательской цепочке “теория, методы, алгоритмы, численное моделирование”. § 1. Объект исследования, основные понятияВ известной работе [1] С. Н. Кружков исследовал проблему существования обобщенного решения УЧППП на множестве функций $u=u(x)$, $x\in \mathbb{R}^k$, отнесенных к им определенному классу устойчивости. Здесь $u_x=\biggl(\dfrac{\partial u}{\partial x_1},\dots,\dfrac{\partial u}{\partial x_k}\biggr)$, $\mathbf{n}(x)$ – в общем случае измеримая строго положительная скалярная функция. На левую часть (1.1) накладываются условия, позволяющие интерпретировать это уравнение как уравнение эйконала – классическое уравнение геометрической оптики. Типичным представителем этого класса является уравнение при
$$
\begin{equation*}
F(x,u,p)=F^{(0)}(p)=\sum_{i=1}^k {p_i^2}, \qquad p_i \in\mathbb{R}, \quad i=1,\dots,k.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказана единственность решения в смысле введенного определения, удовлетворяющего на границе $\partial \Omega $ области $\Omega \subset \mathbb{R}^k$ условию для краевой функции $u^{(0)}=u^{(0)}(x)$, которая может быть как гладкой, так, вообще говоря, и недифференцируемой. При этом подчеркнуто, что теорема о существовании и единственности обобщенного решения не опирается на какие-либо свойства границы $\partial\Omega $ множества $\Omega \subset\mathbb{R}^k$, в частности, не зависит от гладкости $\partial \Omega $ и геометрии области $ \Omega $. Построив нелокальную теорию для уравнения эйконала общего вида, далее С.Н. Кружков рассмотрел более простой класс уравнений где матрица Гессе для $F^{(0)}=F^{(0)}(p)$, $p\in \mathbb{R}^k$, положительно определена, $F^{(0)}(0)=0$ и $F^{(0)}(p)\to+\infty $ при $\| p \|=\sqrt {\sum_{i=1}^m{p_i^2}} \to+\infty $. Для случая выпуклой области $\Omega \subset \mathbb{R}^k$ им обоснована формула обобщенного решения краевой задачи Дирихле (1.2), (1.3) (сам автор называл ее задачей Коши–Дирихле)
$$
\begin{equation}
u(x)=\sup_{y\in \partial \Omega} [{u^{(0)}(y)-\Phi(y-x)}], \quad\text{где }\ \Phi(l)=\max_{p\colon F(p)=1} \langle {l,p}\rangle, \quad l\in \mathbb{R}^k .
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Формула (1.4) имеет родственные, основанные на экстремальных операциях и теории двойственности формулы Хопфа [19], которые определяют вязкостные (и минимаксные в силу их совпадения с вязкостными) решения соответствующих краевых задач для УЧППП [20]. Важно также подчеркнуть, что такого рода формулы служат основой для аппроксимационных разностных схем численного построения минимаксных/вязкостных решений уравнений Гамильтона–Якоби [21]. В дальнейшем сосредоточимся на формировании конструктивных элементов численно-аналитического построения решения краевой задачи на плоскости, когда $u^{(0)}(x)\equiv 0$. Как отмечено в [1], в этом случае задача связана с исследованием эволюции волновых фронтов в области $\Omega \subset \mathbb{R}^k$, при этом начальный фронт $\Gamma=\Gamma (0)$ совпадает с его границей $\partial \Omega $, а последующие фронты $\Gamma (\tau)$, где параметр $\tau$ не меньше нуля и интерпретируется как время, строятся из огибающих семейств овалоидов. Рассматривается краевая задача Дирихле для уравнения эйконала на плоскости с постоянным коэффициентом преломления среды
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial u}{\partial x_1}\biggr)^2 +\biggl(\frac{\partial u}{\partial x_2}\biggr)^2=1, \qquad u_\Gamma=0.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Краевое условие в (1.5) определено на $\Gamma=\partial \Omega $ – границе замкнутого множества $\Omega \subset \mathbb{R}^2$, $\Gamma$ не имеет точек самопересечения. Полагаем, что $\Gamma=\{x=(\gamma_1 (t),\gamma_2 (t))\colon t\in T\}$, где $\gamma \colon T\to \mathbb{R}^2 $ – непрерывное отображение числового промежутка $T=(\check{t},\widehat{t}\,)$, $-\infty\leqslant\check{t}<\widehat{t}\leqslant\infty$, на плоскость. В рассмотрение также включим контуры – кривые, заданные на $T=[\check{t},\widehat{t}\,]$, $-\infty<\check{t}<\widehat{t}<\infty$, так, что $\gamma(\check{t})=\gamma(\widehat{t})$. Определим замыкание дополнения множества $\Omega \subset \mathbb{R}^2$: Тогда обобщенное по С. Н. Кружкову решение задачи (1.5) в силу формулы (1.4) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag u(x) &=\sup_{y\in \partial \Omega}[-\Phi(y-x)] =- \inf_{y\in \partial\Omega} \Phi(y-x) \\ &=-\inf_{y\in \partial \Omega} \max_{p\colon\| p \|=1} \langle y-x,p\rangle=-\rho(x,M), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $\rho (x,M)=\inf_{y\in \partial \Omega} \| y-x \|=\inf_{y\in M} \| y-x\|$ – евклидово расстояние от точки $x=(x_1,x_2)$ до множества $M$. Подчеркивая взаимосвязь между двумя различными подходами (минимаксным и подходом С. Н. Кружкова) к определению обобщенного решения УЧППП, отметим, что $\widetilde{u}(x)=\rho (x,M)$ – минимаксное решение задачи Дирихле для уравнения Гамильтона–Якоби [11]
$$
\begin{equation}
\min_{\nu \colon\| \nu \|\leqslant 1} \biggl(\nu_1\, \frac{\partial \widetilde{u}}{\partial x_1}+\nu_2 \, \frac{\partial\widetilde{u}}{\partial x_2}\biggr)+1=0, \qquad {\widetilde{u}} |_\Gamma=0,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
с теми же краевыми условиями, что и в (1.5). Обобщенные решения формально разных задач (1.5) и (1.7), при этом полученные в рамках различных подходов, отличаются только знаком, следовательно, решения имеют совпадающие карты линий уровня. Поэтому методы построения обобщенного решения одной из задач могут быть применены для построения обобщенного решения другой краевой задачи. В данном исследовании конструкции, получившие развитие при построении минимаксных решений уравнений Гамильтона–Якоби, функций оптимального результата для задач управления по быстродействию [11]–[14], адаптированы и развиты для целей построения обобщенного эйконала. Следуя за С. Н. Кружковым (см. [1; замечание 6.2.]), здесь также можно заметить, что в процессе решения модельной задачи (1.5) формируется структурная единица, которая может быть использована для построения обобщенного решения для уравнения эйконала общего вида (1.1). В дальнейшем будем называть $M\subset \mathbb{R}^2$ краевым множеством задачи (1.5), а замыкание его дополнения $\Omega \subset \mathbb{R}^2 $ – областью определения обобщенного решения задачи (1.5). В силу введенных определений эти множества имеют общую границу $\Gamma=\partial \Omega=\partial M$. Важно отметить, что дифференциальные свойства $\Gamma $ существенным образом влияют на структуру сингулярного множества обобщенного решения задачи (1.5). Укажем свойства кривой $\Gamma $, ограничивающей краевое множество $M$. Обозначим $\det(a,b)$ определитель второго порядка, построенный на векторах $a=(a_1,a_2)$, $b=(b_1,b_2)$, записанных по строкам. Далее будем полагать, что граница краевого множества удовлетворяет следующим условиям: $(\Gamma1)$ $\gamma (t)=(\gamma_1 (t),\gamma_2 (t))$ является дважды непрерывно дифференцируемой функцией всюду на $T$; $(\Gamma2)$ $\gamma' (t)\neq(0,0)$, $t\in T$; $(\Gamma3)$ существует конечная совокупность $T^0\subset T$ точек $t_0\in T^0$, в которых односторонние производные третьего порядка конечны и при этом нарушается хотя бы одно из равенств $\gamma_1'''(t_0 -0)=\gamma_1''' (t_0+0)$, $\gamma_2''' (t_0-0)=\gamma_2''' (t_0+0)$; $(\Gamma4)$ $\det (\gamma'(t),\gamma''(t))\ne 0$, $t\in T^0$. Замечание 1. Условие $(\Gamma1)$ влечет существование классической кривизны кривой $\Gamma$, а условие $(\Gamma2)$ означает ее регулярность. Условие $(\Gamma3)$ фиксирует наличие у границы краевого множества точек с разрывами производных – особых точек, которые могут порождать ветви сингулярного множества решения краевой задачи (1.5). Из условий $(\Gamma2)$ и $(\Gamma4)$, рассматриваемых в системе, следует, что координатные функции в особых точках кривой не являются плоскими, что позволяет при исследовании этих точек применять аппроксимативную технику струй [17], [21]. Множество кривых $\Gamma $ без точек самопересечения с указанными дифференциальными свойствами $(\Gamma1)$–$(\Gamma4)$ обозначим $\{\Gamma \}_T$. Дадим определения основных конструктивных элементов развиваемого подхода (см. также [11]–[14]). В дальнейшем изучаются свойства решений уравнения, связывающего дифференциальный оператор эйконала с границей краевого множества, Структура уравнения конкретизирована ниже. Предварительно укажем на то, что $G=G(t_1,t_2) $ – симметрическая функция двух переменных в плоскости параметров $(t_1,t_2)\in \mathbb{R}^2. $ Зафиксируем $t_0\in T^0$ и параметры малости $\delta_1 >0$, $\delta_2 >0$. Под решениями этого уравнения понимаются локальные диффеоморфизмы [17; § 1], определенные с одной стороны от точки рассмотрения. Будем говорить, что локальный диффеоморфизм $t_2=t_2 (t_1)$, определенный уравнением (1.8), полунепрерывен слева в точке $t_1=t_0 $ и отображает левую полуокрестность точки $t_1=t_0 $ в ее правую полуокрестность, если выполняются условия:$(\textrm{A1})$ $t_2((t_0 -\delta_1,t_0))=(t_0,t_0+\delta_2)$, $\delta_1 >0$, $\delta_2 >0$; $(\textrm{A2})$ $\lim_{t_1 \to t_0 -0} t_2 (t_1)=t_0 $. Соответственно будем говорить, что локальный диффеоморфизм $t_1=t_1(t_2)$, определенный уравнением (1.8), полунепрерывен справа в точке $t_1=t_0 $ и отображает правую полуокрестность точки $t_2=t_0$ в ее правую полуокрестность, если выполняются условия, аналогичными свойствам $(\textrm{A1})$, $(\textrm{A2})$, а именно выполняются соотношения: $(\underline{\textrm{A1}})$ $t_1((t_0,t_0+\delta_2))=(t_0 -\delta_1,t_0)$, $\delta_1 >0$, $\delta_2 >0$; $(\underline{\textrm{A2}})$ $ \lim_{t_2 \to t_0+0} t_1 (t_2)=t_0 $. Замечание 2. Пары условий $(\textrm{A1})$, (А2) и $(\underline{\textrm{A1}})$, $(\underline{\textrm{A2}})$ помимо полунепрерывности выражают определения (в предельной форме) неподвижных точек в пространстве параметров. Существование таких точек и их определяющих локальных диффеоморфизмов ранее показано на примерах краевых условий с разными порядками гладкости [12]–[14]. Зафиксируем $t_0\in T$, когда $k(t_0)\neq 0$ (см. [23]), выберем два произвольных момента $t_1 $ и $ t_2 $ из окрестности $O(t_0, \delta)=(t_0-\delta, t_0+\delta)$, $\delta >0$, упорядоченных в силу неравенства $t_1<t_0 <t_2 $. Проведем через точки $\gamma (t_1)$ и $\gamma (t_2)$ касательные прямые и построим двухпараметрическое семейство решений $x^*=x^*(t_1, t_2)$ соответствующей системы уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (x_1^\ast -\gamma_1 (t_1))\gamma_2' (t_1)=(x_2^\ast -\gamma_2 (t_1))\gamma_1' (t_1), \\ (x_1^\ast -\gamma_1 (t_2))\gamma_2' (t_2)=(x_2^\ast -\gamma_2 (t_2))\gamma_1' (t_2) . \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Обратимся к уравнению
$$
\begin{equation}
G(t_1,t_2) \triangleq\rho^2\bigl(\gamma (t_1), x^\ast(t_1,t_2)\bigr) -\rho^2\bigl(\gamma (t_2),x^\ast (t_1,t_2)\bigr)=0,
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
которое является содержательной конкретизацией (1.8). Предположим, что существует определяемый уравнением (1.10) локальный диффеоморфизм $t_2= t_2 (t_1)$, удовлетворяющий условиям $(\textrm{A1})$, $(\textrm{A2})$. Построим сужение $x^*=x^*(t_1,t_2(t_1))$ семейства решений $x^*=x^*(t_1, t_2)$. Однопараметрическое множество $x^*=x^*(t_1,t_2(t_1))$ является линией квазисимметрии. По построению это множество состоит из точек пересечения касательных, которые равноудалены от точек касания. С точки зрения геометрии псевдовершина является точкой пересечения кривой $\Gamma$ с замыканием линии квазисимметрии. Условия существования псевдовершины для дважды дифференцируемой кривой обоснованы в [23]. Замечание 3. Определение псевдовершины может быть переформулировано в терминах обратного к $t_2=t_2 (t_1)$ локального диффеоморфизма $t_1=t_ 1(t_2)$, удовлетворяющего условиям $(\underline{\textrm{A1}})$, $(\underline{\textrm{A2}})$. Будем называть $t_2=t_2 (t_1)$ и $t_1=t_ 1(t_2)$ локальными диффеоморфизмами, порождающими псевдовершину $x^{(0)}\in \Gamma$. Привлечем оператор проецирования $P_M(x)$ точек $x\in \operatorname{int}\Omega $, $\operatorname{int}\Omega=\Omega \setminus \Gamma $, на $M$. Решение уравнения эйконала дифференцируемо внутри области рассмотрения $\Omega $, если значения $P_M(x)$, $x\in \operatorname{int}\Omega $, являются одноэлементными множествами, т.е. когда $\operatorname{card}P_M(x)=1$ [24]. Такая ситуация в рассматриваемых задачах реализуется в случае выпуклости краевого множества $M$. Тогда $M$ является “солнцем” [25], а эйконал – гладкой функцией и его построение может быть осуществлено классическими методами. Если $M$ – невыпуклое множество, оно не обладает указанным свойством, ибо количество проекций точек из его дополнения может отличаться от единицы, здесь в общем случае $\operatorname{card}P_M(x)>1$. Применительно к задаче (1.5) множество $L$ при $Z=M$ состоит из точек, имеющих две и более ортогональных проекций на $M$. Таким образом, биссектриса $L$ множества $M\subset \mathbb{R}^k$ собрана из точек $M$, в которых нарушается гладкость евклидова расстояния, т.е. $L$ является множеством сингулярности эйконала. Биссектриса относится к множествам симметрии, топологические свойства которых изучаются в теории особенностей гладких отображений (например, [26]). Определение 3. Ветвью $L(x^{(0)})$ биссектрисы $L$ кривой $\Gamma$, где ${x}^{(0)}$ – псевдовершина $\Gamma$, называется множество точек $x=( {x_1,x_2})\in \mathbb{R}^2$, удовлетворяющих системе уравнений где $t_2=t_2 (t_1)$ – локальный диффеоморфизм, порождающий псевдовершину ${x}^{(0)} $. Замечание 4. Система (1.11) является сопряженной к системе (1.9). Ее решениями являются точки $x\in \mathbb{R}^2\setminus \Gamma$, имеющие две ближайшие точки на $\Gamma=\partial M=\partial \Omega $. Псевдовершины и ветви биссектрисы являются основными структурными элементами в задаче построения сингулярного множества задачи (1.5). Введем скалярные характеристики псевдовершин. Определение 4. Левая односторонняя производная называется левым маркером псевдовершины ${x}^{(0)}\in \Gamma$; здесь $t_2=t_2 (t_1)$ – локальный диффеоморфизм, порождающий псевдовершину ${x}^{(0)}$. Определение 5. Правая односторонняя производная называется правым маркером псевдовершины $ {x}^{(0)}\in \Gamma$; здесь $t_1=t_1 (t_2)$ – локальный диффеоморфизм, порождающий псевдовершину ${x}^{(0)}$. В силу симметрии значимой части уравнения (1.10), если локальный диффеоморфизм $t_2=t_2 (t_1)$, $t_1\in(t_0 -\delta_1,t_0)$, является решением (1.10), то ему обратный локальный диффеоморфизм $t_1=t_1(t_2)$, $t_2\in(t_0,t_0+\delta_2)$, также является решением уравнения (1.10) (см. [12]). При этом условия полунепрерывности $(\textrm{A2})$ и $(\underline{\textrm{A2}})$ влекут существование у их графиков общей предельной точки $(t_1,t_2)=(t_0,t_0)$. В этом случае односторонние маркеры взаимообратны: Отметим также, что $\lambda\leqslant0$, ибо $t_2'(t_1)<0$, $t_1\in(t_0 -\delta_1,t_0)$, $\delta_1 >0$. Тогда в силу (1.14) $\mu\leqslant0$.Замечание 5. Область возможных значений (спектр) односторонних маркеров – замыкание отрицательной полупрямой $\Lambda=[-\infty,0]$. Маркеры принимают соответствующие значения из $\Lambda$ в зависимости от порядка гладкости кривой в псевдовершине [12], [14]. Знание маркеров позволяет конструировать ветви сингулярного множества, действуя в соответствии с определением 3 либо с помощью интегральных кривых (подробнее см. [14]). Замечание 6. Проблемы существования псевдовершин и других структурных элементов теории (ветвей биссектрисы, крайних точек биссектрисы, маркеров псевдовершин) разобраны в статьях авторов на кривых с различными дифференциальными свойствами, приведены иллюстрирующие примеры (например, в [12]–[14]). § 2. Основной теоретический результатНайдем для односторонних маркеров их “место” в спектре $\Lambda=[-\infty,0]$ для случая границы краевого множества задачи (1.5) с разрывами гладкости кривизны. Основной результат сформулирован для левого маркера псевдовершины, значение правого маркера получается обращением левого маркера. Теорема. Пусть в задаче Дирихле (1.5) $x^{(0)}=(\gamma_1(t_0), \gamma_2(t_0))$ – псевдовершина границы $\Gamma=\{\gamma(t)\colon t\in T\}\in \{\Gamma\}_T$, $ t_0 \in T_0$, $t_2=t_2 (t_1)$ – локальный диффеоморфизм, порождающий псевдовершину $x^{(0)}$, в которой Если существует и конечен левый маркер $\lambda=t_2'(t_0-0)\leqslant0 $, то найдутся зависящие от него коэффициенты выпуклой комбинации такие, что здесь $k' (t_0+0) $ и $k'(t_0 -0)$ – односторонние производные кривизны в псевдовершине $x^{(0)}=(\gamma_1(t_0), \gamma_2(t_0))$. Доказательство. Обоснование равенства (2.2) опирается на условия трансверсальности (см. [12])
$$
\begin{equation}
\lim_{t_1 \to t_0 -0} \biggl(\frac{\partial G(t_1,t_2 (t_1))}{\partial t_1} +t_2' \, \frac{\partial G(t_1,t_2(t_1))}{\partial t_2}\biggr)=0
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
в точках $(t_1,t_2)=(t_1,t_2(t_1))$ графика локального диффеоморфизма $t_2=t_2 (t_1)$, $t_1 \in(t_0 -\delta_1,t_0)$, $\delta_1 >0$, порождающего псевдовершину $x^{(0)}=(\gamma_1(t_0), \gamma_2(t_0))$. При этом локальный диффеоморфизм $t_2=t_2 (t_1)$ является решением уравнения
$$
\begin{equation}
G(t_1,t_2)\triangleq \frac{\gamma_2(t_2)-\gamma_2(t_1)}{\gamma_1(t_2)-\gamma_1(t_1)} -\frac{-\gamma_1'(t_1)\gamma_1'(t_2)+\gamma_2'(t_1)\gamma_2'(t_2)+s(t_1)s(t_2)} {\gamma_2'(t_1)\gamma_1'(t_2)+\gamma_2'(t_2)\gamma_1'(t_1)}=0,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
к которому сводится исходное уравнение (1.10) (см. обоснование в [13]). Здесь $s(t)=\sqrt {(\gamma_1' (t))^{2}+(\gamma_2' (t))^{2}} $ – длина касательного вектора, которая в силу условия $(\Gamma2)$ строго больше нуля. Содержательно равенство (2.3) выражает условие трансверсального пересечения замыкания графика локального диффеоморфизма $t_2=t_2 (t_1)$ с графиком тождественного диффеоморфизма $t_2=t_1 $ в общей предельной точке $(t_1,t_2)=(t_0,t_0)$. Тождественный диффеоморфизм в силу симметрии уравнения (2.4) является его решением (см. [12]), при этом не удовлетворяет условиям (А1), (А2). Функцию $t_2=t_1 $ следует рассматривать как “побочное” решение уравнения (1.10). Заметим, что его присутствие в рассматриваемых конструкциях вносит существенные ограничения при применении классических теорем анализа, например, здесь не может быть использована теорема о существовании и единственности неявно заданной функции.
В силу условий теоремы левый маркер существует и конечен, стало быть, из (2.3) следует формула его вычисления
$$
\begin{equation}
t_2' (t_0 -0)=-\lim_{t_1 \to t_0 -0} \biggl(\frac{\partial G(t_1,t_2 (t_1))}{\partial t_1} \cdot\biggl(\frac{\partial G(t_1,t_2 (t_1))}{\partial t_2}\biggr)^{-1}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Далее, применяя по существу технику струй [17], найдем аппроксимации частных производных в (2.5), рассматриваемых вдоль диффеоморфизма $t_2=t_2 (t_1)$.
Примем ряд соглашений, нацеленных на минимизацию выкладок. Во всех аппроксимационных разложениях, которые имеют одностороннюю направленность, точка рассмотрения фиксирована, в них $t_2=t_0$ и $t_1=t_0$ (в зависимости от направления разложения – вправо или влево) и для краткости изложения значение $t_0$ аргументов $t_2$ и $t_1$ опущено. Сначала идет формирование аппроксимаций при произвольно взятых положительных приращениях $\Delta_1=t_0-t_1$, $\Delta_2=t_2-t_0$, а затем осуществляются аппроксимации при связанных приращениях, обусловленных локальным диффеоморфизмом $t_2=t_2 (t_1)$. Важно отметить, что когда тройка точек $t_1,t_0,t_2 $ из $T$, где $t_1 <t_0 <t_2 $, связана локальным диффеоморфизмом $t_2=t_2 (t_1)$, приращение $\Delta_2=\Delta_2(\Delta_1)=t_2(t_1)-t_0$, т.е. $\Delta_2 $, зависит от $\Delta_1 $, причем
$$
\begin{equation}
\Delta_2 \,{=}\,\Delta_2(\Delta_1)\,{=}\,t_2(t_1)-t_0\,{=}\,t_2'(t_0-0)(t_1-t_0)+o (t_1-t_0) \,{=}\,-\lambda\Delta_1+o(\Delta_1).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Отсюда, в частности, следует
$$
\begin{equation}
\Delta \,{=}\,\Delta_1+\Delta_2(\Delta_1)\,{=}\,\Delta_1-\lambda\Delta_1+o(\Delta_1) \,{=}\,(1-\lambda)\Delta_1+o(\Delta_1),\quad\text{где }\ 1-\lambda\neq0.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Здесь и далее обозначения вида $o(\Delta_1^k)$, где $k=1,2,3$, используются для функций, принадлежащих классу функций, имеющих более высокий порядок малости по отношению к аргументу слева от точки рассмотрения, т.е. здесь
$$
\begin{equation*}
\lim_{\Delta_1\downarrow0} \frac{o(\Delta_1^k)}{\Delta_1^k}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначение $\varepsilon(\Delta_1)$ используется для функций, принадлежащих классу бесконечно малых в левой полуокрестности точки рассмотрения, здесь Полагаем также, что две скалярные функции $y=q(t)$ и $y=g(t)$ эквивалентны слева от точки $t=t_0\in \mathbb{R}$, если В этом случае пишем $q(t) \sim g(t)$, $t \to t_0-0 $.
Для функций, задействованных в выкладках, в частности, для координатных функций $\gamma_1(t), \gamma_2(t)$, кривизны $k(t)$, длины касательного вектора $s(t)$ и их производных, вычисленных в центральном узле $t=t_0 $, будем опускать обозначение аргумента, при этом для односторонних производных уберем обозначения $t_0-0$ и $t_0+0$, опуская соответствующий знак минус или плюс в нижний индекс:
$$
\begin{equation*}
\gamma_i'=\gamma_i'(t_0), \quad \gamma_i''=\gamma_i''(t_0), \quad \gamma_{i,-}'''=\gamma_i'''(t_0-0), \quad \gamma_{i,+}'''=\gamma_i'''(t_0+0), \qquad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
и т.д. Приступим к разложению частной производной по первой переменной:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial G(t_1,t_2)}{\partial t_1} =\frac{\det (\gamma'(t_1),\gamma (t_2)-\gamma (t_1))} {(\gamma_1 (t_2)-\gamma_1 (t_1))^2} -\frac{s^2(t_2)\det (\gamma' (t_1),\gamma''(t_1))}{(\gamma_2'(t_1)\gamma_1'(t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2} \\ &\quad+\frac{s(t_2)[ {s(t_1)(\gamma_2'' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1'' (t_1)) -s'(t_1)(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1'(t_1))}]} {(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала преобразуем последнее слагаемое. Зная, что
$$
\begin{equation*}
s'(t)=\frac{\langle {\gamma'(t),\gamma''(t)} \rangle}{s(t)}=\frac{\gamma_1'(t)\gamma_1''(t)+\gamma_2' (t)\gamma_2'' (t)}{s(t)},
\end{equation*}
\notag
$$
перегруппируем члены и получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac{s(t_2)[ s(t_1)(\gamma_2'' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1'' (t_1)) -s'(t_1)(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))]} {(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2} \\ &\qquad =\frac{s(t_2)}{s(t_1)}\cdot \biggl(\frac{((\gamma_1' (t_1))^2+(\gamma_2'(t_1))^2) (\gamma_2'' (t_1)\gamma_1' (t_2 )+\gamma_2' (t_2)\gamma_1'' (t_1))}{(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2} \\ &\qquad\qquad -\frac{(\gamma_1' (t_1)\gamma_1'' (t_1)+\gamma_2' (t_1)\gamma_2'' (t_1)) (\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))}{(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2}\biggr) \\ &\qquad =\frac{s(t_2)}{s(t_1)} \cdot\biggl(\frac{((\gamma_1' (t_1))^2\gamma_1' (t_2)\gamma_2'' (t_1)-\gamma_1' (t_1)\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)\gamma_1'' (t_1))}{(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2} \\ &\qquad\qquad +\frac{((\gamma_2' (t_1))^2\gamma_2' (t_2)\gamma_1'' (t_1)-\gamma_2' (t_1)\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1)\gamma_2'' (t_1))}{(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2}\biggr) \\ &\qquad =\frac{s(t_2)}{s(t_1)}\cdot\biggl( \frac{\gamma_1' (t_1)\gamma_1' (t_2)(\gamma_1' (t_1)\gamma_2'' (t_1)-\gamma_2' (t_1)\gamma_1'' (t_1))}{(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2} \\ &\qquad\qquad +\frac{\gamma_2' (t_1)\gamma_2' (t_2)(\gamma_2' (t_1)\gamma_1'' (t_1)-\gamma_1' (t_1)\gamma_2'' (t_1))}{(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2}\biggr) \\ &\qquad =\frac{s(t_2)}{s(t_1)}\cdot \frac{\gamma_1' (t_1)\gamma_1' (t_2) \det (\gamma' (t_1),\gamma'' (t_1))-\gamma_2'(t_1)\gamma_2' (t_2)\det (\gamma' (t_1),\gamma'' (t_1))}{(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2} \\ &\qquad =\frac{s(t_2)\det (\gamma' (t_1),\gamma'' (t_1))(\gamma_1' (t_1)\gamma_1' (t_2)-\gamma_2' (t_1)\gamma_2' (t_2))} {s(t_1)(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial G(t_1,t_2)}{\partial t_1} &=\frac{\det (\gamma'(t_1),\gamma (t_2)-\gamma (t_1))}{(\gamma_1 (t_2)-\gamma_1 (t_1))^2} -\frac{s^2(t_2)s^3(t_1)k(t_1)}{(\gamma_2'(t_1)\gamma_1'(t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2} \\ &\qquad+\frac{s(t_2)s^2(t_1)k(t_1)(\gamma_1' (t_1)\gamma_1' (t_2)-\gamma_2' (t_1)\gamma_2' (t_2))} {(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2} \\ &=\frac{\det (\gamma' (t_1),\gamma (t_2)-\gamma (t_1))}{(\gamma_1 (t_2)-\gamma_1 (t_1))^2} \\ &\qquad+\frac{s(t_2)s^2(t_1)k(t_1)(\gamma_1' (t_1)\gamma_1' (t_2)-\gamma_2'(t_1)\gamma_2' (t_2)-s(t_2)s(t_1))} {(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С этого момента полагаем, что аргументы входящих функций связаны локальным диффеоморфизмом $t_2=t_2 (t_1)$, порождающим псевдовершину; здесь $ t_1 \in (t_0 -\delta_1,t_0)$, $\delta >0$. Другими словами, эта функция в силу (2.4) удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation*}
\frac{\gamma_1' (t_1)\gamma_1' (t_2)-\gamma_2' (t_1)\gamma_2'(t_2)-s(t_2)s(t_1)} {\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1)} =-\frac{\gamma_2 (t_2)-\gamma_2 (t_1)}{\gamma_1(t_2)-\gamma_1 (t_1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Использовав это равенство и формулу кривизны представим частную производную в упрощенной форме:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\partial G(t_1,t_2)}{\partial t_2} &=\frac{\det (\gamma'(t_2),\gamma (t_1)-\gamma (t_2))}{(\gamma_1 (t_2)-\gamma_1 (t_1))^2} \\ &\qquad -\frac{(\gamma_2 (t_2)-\gamma_2 (t_1))s(t_1)\det (\gamma' (t_2),\gamma''(t_2))} {(\gamma_1 (t_2)-\gamma_1 (t_1))s(t_2)(\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1)+\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2))}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Далее для сокращения объема вычислений воспользуемся подвижным репером (репером Френе) на плоскости. Обратимся к натуральному параметру (длине дуги кривой) $l\geqslant 0$, где Примем $\overline \gamma (l)\triangleq\gamma (t(l))$. Тогда векторы $v=\overline \gamma'(l)$ и $w=v'(l)$, вычисленные при $l=l_0 \triangleq l(t_0)$, образуют ортонормированный подвижный репер, привязанный к точке $\overline\gamma (l_0)=\gamma (t_0)$. Для вектор-функции воспользуемся односторонними разложениями Тейлора третьего порядка в указанной точке
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline \gamma (l_0 -\Delta l_1) &=\overline \gamma (l_0)-\overline \gamma'(l_0)\Delta l_1 \\ &\qquad+\frac{1}{2}\overline \gamma''(l_0)\Delta l_1^2 -\frac{1}{6}\overline \gamma_-''' (l_0)\Delta l_1^3+o(\Delta l_1^3), \qquad \Delta l_1 >0, \\ \overline \gamma (l_0+\Delta l_2) &=\overline \gamma (l_0)+\overline \gamma'(l_0)\Delta l_2 \\ &\qquad+\frac{1}{2}\overline \gamma''(l_0)\Delta l_2^2 +\frac{1}{6}\overline \gamma_+''' (l_0)\Delta l_2^3 +o(\Delta l_2^3), \qquad \Delta l_2>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае в подвижном базисе $v_0=\overline \gamma'(l_0)$, $w_0=v'(l_0)$ с началом в точке $\overline \gamma (l_0)$ разложения примут вид (см. [27; формула (5.9)])
$$
\begin{equation}
\nonumber \overline \gamma (l_0 -\Delta l_1) =\overline \gamma (l_0)+\biggl(-\Delta l_1+\frac{1}{6}\overline k^2(l_0)\Delta l_1^3+o(\Delta l_1^3)\biggr)v_0
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad +\biggl(\frac{1}{2}\overline k (l_0)\Delta l_1^2-\frac{1}{6}\overline k_-' (l_0)\Delta l_1^3+o(\Delta l_1^3)\biggr)w_0,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \overline \gamma (l_0+\Delta l_2) =\overline \gamma (l_0)+\biggl(\Delta l_2 -\frac{1}{6}\overline k^2(l_0)\Delta l_2^3+o(\Delta l_2^3)\biggr)v_0
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad +\biggl(\frac{1}{2}\overline k (l_0)\Delta l_2^2+\frac{1}{6}\overline k_+' (l_0)\Delta l_2^3+o(\Delta l_2^3)\biggr)w_0 .
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Здесь $\overline k (l)$ – кривизна кривой в соответствующей точке.
Приняв во внимание (2.9)–(2.11), запишем разложения для исходной параметризации вектор-функции в крайних узлах:
$$
\begin{equation}
\gamma (t_1) =\gamma+\biggl(-s\Delta_1+\frac{1}{6}k^2s^3\Delta_1^3+o(\Delta_1^3)\biggr)v_0 \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\biggl(\frac{1}{2}ks^2\Delta_1^2 -\frac{1}{6}k_-' s^3\Delta_1^3+o(\Delta_1^3)\biggr)w_0,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma (t_2) =\gamma+\biggl(s\Delta_2-\frac{1}{6}k^2s^3\Delta_2^3+o(\Delta_2^3)\biggr)v_0 \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\biggl(\frac{1}{2}ks^2\Delta_2^2+\frac{1}{6}k_+' s^3\Delta_2^3+o(\Delta_2^3)\biggr)w_0.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Здесь $\Delta l_i=l'(t_0)\Delta_i=s\Delta_i $, $i=1,2$, и $\Delta_i \to 0$, когда $\Delta l_i \to 0 $. Производные до второго порядка включительно, вычисленные в этих же узлах, принимают вид
$$
\begin{equation}
\gamma'(t_1)=\biggl(s-\frac{1}{2}k^2s^3\Delta_1^2+o(\Delta_1^2)\biggr)v_0 +\biggl(-ks^2\Delta_1^+\frac{1}{2}k_-' s^3\Delta_1^2+o(\Delta_1^2)\biggr)w_0,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma'(t_2)=\biggl(s-\frac{1}{2}k^2s^3\Delta_2^2+o(\Delta_2^2)\biggr)v_0 +\biggl(ks^2\Delta_2+\frac{1}{2}k_+' s^3\Delta_2^2+o(\Delta_2^2)\biggr)w_0,
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma''(t_1)=(k^2s^3\Delta_1+o(\Delta_1))v_0 +(ks^2-k_-' s^3\Delta_1+o(\Delta_1))w_0,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma''(t_2)=(-k^2s^3\Delta_2+o(\Delta_2))v_0+(ks^2+k_+' s^3\Delta_2+o(\Delta_2))w_0 .
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Здесь учтено, что $\Delta_1'=(t_0 -t_1)'=-1$, $\Delta_2'=(t_2 -t_0)'=1$.
Опираясь на (2.10)–(2.12), разложим определитель:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\det (\gamma' (t_1),\gamma (t_2)-\gamma (t_1)) \\ &{=}{\kern1pt}\Delta {\small\begin{vmatrix} s-\dfrac{1}{2}k^2s^3\Delta_1^2+o(\Delta_1^2) &-ks^2\Delta_1+\dfrac{1}{2}k_-' s^3\Delta_1^2+o(\Delta_1^2) \\ s{\kern0.8pt}{-}{\kern0.8pt}\dfrac{1}{6}k^2 s^3(\Delta_2^2{\kern0.8pt}{-}{\kern0.8pt}\Delta_1 \Delta_2{\kern0.8pt}{+}{\kern0.8pt}\Delta_1^2){\kern0.8pt}{+}{\kern0.8pt}o(\Delta_2^2) &\dfrac{1}{2}ks^2(\Delta_2 {-}{\kern0.8pt}\Delta_1){\kern0.8pt}{+}{\kern0.8pt}\dfrac{1}{6} k_+'s^3\dfrac{\Delta_2^3}{\Delta}{\kern0.8pt}{+}{\kern0.8pt}\dfrac{1}{6}k_-' s^3 \dfrac{\Delta_1^3}{\Delta}{\kern0.8pt}{+}{\kern0.8pt}o (\Delta_2^2) \end{vmatrix}} \\ &{=}\,\Delta \biggl(\frac{1}{2}ks^3(\Delta_2 -\Delta_1)+\frac{1}{6}k_+' s^4\frac{\Delta_2^3}{\Delta} +\frac{1}{6}k_-'s^4\frac{\Delta_1^3}{\Delta}+ks^3\Delta_1 -\frac{1}{2}k_-' s^4\Delta_1^2+o(\Delta_{12}^2)\biggr) \\ &{=}\,s^3\Delta \biggl(\frac{1}{2}k(\Delta_2+\Delta_1)+\frac{1}{6}k_+' s\frac{\Delta_2^3}{\Delta} +\frac{1}{6}k_-'s\frac{\Delta_1^3}{\Delta}-\frac{1}{2}k_-' s\Delta_1^2+o(\Delta_{12}^2)\biggr) \\ &{=}\,s^3\Delta^2\biggl(\frac{1}{2}k+\frac{1}{6}k_+' s\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2} +\frac{1}{6}k_-' s\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2}-\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta}+o(\Delta_{12})\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью (2.12), (2.13) преобразуем разность:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \gamma_1 (t_2)-\gamma_1 (t_1) &=\gamma_1+s\Delta_2 -\frac{1}{6}k^2s^3\Delta_2^3 -\gamma_1+s\Delta_1-\frac{1}{6}k^2s^3\Delta_1^3+o(\Delta_{12}^3) \\ \notag &=s(\Delta_2+\Delta_1)-\frac{1}{6}k^2s^3\Delta_2^3 -\frac{1}{6}k^2s^3\Delta_1^3+o(\Delta_{12}^3) \\ \notag &=s\Delta -\frac{1}{6}k^2s^3(\Delta_2^3+\Delta_1^3)+o(\Delta_{12}^3) \\ &=s\Delta \biggl(1-\frac{1}{6}k^2s^2(\Delta_2^2 -\Delta_1 \Delta_2+\Delta_1^2) +o(\Delta_{12}^2)\biggr) \notag \\ &=s\Delta(1+o(\Delta_{12})) . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
С учетом двух последних равенств уменьшаемое в (2.8) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{\det (\gamma' (t_1),\gamma (t_2)-\gamma (t_1))}{(\gamma_1 (t_2)-\gamma_1 (t_1))^2} \\ \notag &\qquad =\frac{s^3\Delta^2(\frac{1}{2}k+\frac{1}{6}k_+'s\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2} +\frac{1}{6}k_-' s\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2}-\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta}+o(\Delta_{12}))} {s^2\Delta^2(1+o(\Delta_{12}))} \\ &\qquad = s\biggl(\frac{1}{2}k+\frac{1}{6}k_+' s\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2} +\frac{1}{6}k_-' s\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2}-\frac{1}{2}k_-'s\frac{\Delta_1^2}{\Delta}+o(\Delta_{12})\biggr) . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Обратимся к вычитаемому в (2.8). Последовательно разложим множители, стоящие в его числителе и знаменателе, опираясь на (2.12)–(2.17):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\gamma_2 (t_2)-\gamma_2 (t_1) \\ &\qquad=\Delta\biggl(\frac{1}{2}ks^2(\Delta_2 -\Delta_1)+\frac{1}{6}k_+' s^3\frac{\Delta_2^3}{\Delta} +\frac{1}{6}k_-'s^3\frac{\Delta_1^3}{\Delta}+o(\Delta_{12}^2)\biggr) \\ &\qquad=s^2\Delta^2\biggl(\frac{1}{2}k\frac{\Delta_2 -\Delta_1}{\Delta} +\frac{1}{6}k_+' s\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2}+\frac{1}{6}k_-'s\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2}+o(\Delta_{12})\biggr), \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, &\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1) \\ &\qquad =\biggl(-ks^2\Delta_1+\frac{1}{2}k_-' s^3\Delta_1^2+o(\Delta_1^2)\biggr) \biggl(s-\frac{1}{2}k^2s^3\Delta_2^2+o(\Delta_2^2)\biggr) \\ &\qquad\qquad +\biggl(ks^2\Delta_2+\frac{1}{2}k_+' s^3\Delta_2^2+o(\Delta_2^2)\biggr)\biggl(s-\frac{1}{2}k^2s^3\Delta_1^2+o(\Delta_1^2)\biggr) \\ &\qquad =-ks^3\Delta_1^+\frac{1}{2}k_-' s^4\Delta_1^2+ks^3\Delta_2 +\frac{1}{2}k_+' s^4\Delta_2^2+o(\Delta_{12}^2) \\ &\qquad =ks^3(\Delta_2 -\Delta_1)+\frac{1}{2}k_-' s^4\Delta_1^2+\frac{1}{2}k_+' s^4\Delta_2^2+o(\Delta_{12}^2), \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, \det (\gamma' (t_1),\gamma''(t_1)) &=\begin{vmatrix} s-\dfrac{1}{2}k^2s^3\Delta_1^2+o(\Delta_1^2) &-ks^2\Delta_1+\dfrac{1}{2}k_-' s^3\Delta_1^2+o(\Delta_1^2) \\ k^2s^3\Delta_1+o(\Delta_1) &ks^2-k_-'s^3\Delta_1+o(\Delta_1) \end{vmatrix} \\ &=ks^3-k_-' s^4\Delta_1+o(\Delta_1) =s^3(k-k_-' s\Delta_1+o(\Delta_1)), \end{aligned} \\ s(t_2)=s+\Delta_2 s'+o(\Delta_2), \qquad s(t_1)=s-s'\Delta_1+o(\Delta_1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Приняв во внимание эти разложения, а также равенство (2.18), для уменьшаемого в (2.8) получим следующее представление:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{(\gamma_2 (t_2)-\gamma_2 (t_1))s(t_2)\det (\gamma' (t_1),\gamma''(t_1))} {(\gamma_1 (t_2)-\gamma_1 (t_1))s(t_1)(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))} \\ &=s^2\Delta^2\biggl(\frac{1}{2}k\frac{\Delta_2 -\Delta_1}{\Delta} +\frac{1}{6}k_+' s\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2}+\frac{1}{6}k_-'s\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2}+o(\Delta_{12})\biggr) \\ &\quad \times \frac{s^3(k-k_-' s\Delta_1+o(\Delta_1))}{s\Delta(1-\frac{1}{6}k^2s^2(\Delta_2^2 -\Delta_1\Delta_2+\Delta_1^2)+o(\Delta_{12}^2))} \\ &\quad\times\frac{s+\Delta_2 s'+o(\Delta_2)}{(ks^3(\Delta_2 -\Delta_1)\,{+}\,\frac{1}{2}k_-'s^4\Delta_1^2\,{+}\,\frac{1}{2}k_+' s^4\Delta_2^2\,{+}\,o(\Delta_{12}^2))(s\,{-}\,s'\Delta_1\,{+}\,\frac{1}{2}s''\Delta_1^2\,{+}\,o(\Delta_1^2))} \\ &=s^5\Delta^2 \biggl(\frac{1}{2}k^2\frac{\Delta_2 \,{-}\,\Delta_1}{\Delta}\,{+}\,\frac{1}{6}kk_+' s\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2} \,{+}\,\frac{1}{6}kk_-' s\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2}\,{-}\,\frac{1}{2}kk_-'s\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta}\,{+}\,o(\Delta_{12})\biggr) \\ &\quad \times \frac{s+\Delta_2 s'+o (\Delta_2)}{s^4\Delta (k(\Delta_2 -\Delta_1)+\frac{1}{2}k_-' s\Delta_1^2+\frac{1}{2}k_+' s\Delta_2^2\,{+}\,o(\Delta_{12}^2)) (s\,{-}\,s'\Delta_1\,{+}\,\frac{1}{2}s''\Delta_1^2\,{+}\,o(\Delta_1^2))} \\ &=s\Delta \biggl(\frac{1}{2}k^2s\frac{\Delta_2 -\Delta_1}{\Delta}+\frac{1}{6}kk_+' s^2\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2} +\frac{1}{6}kk_-'s^2\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2} \\ &\quad \qquad -\frac{1}{2}kk_-' s^2\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta} +\frac{1}{2}k^2ss'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_2}{\Delta}+o (\Delta_{12}) \biggr) \\ &\quad \times\frac{1}{ks (\Delta_2 -\Delta_1)+\frac{1}{2}k_-' s^2\Delta_1^2+\frac{1}{2}k_+' s^2\Delta_2^2 -kss' (\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1+o (\Delta_{12}^2)} \\ &=\biggl(\frac{1}{2}k^2s\frac{\Delta_2 -\Delta_1}{\Delta}+\frac{1}{6}kk_+' s^2\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2} +\frac{1}{6}kk_-'s^2\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2} \\ &\quad \qquad -\frac{1}{2}kk_-' s^2\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta} +\frac{1}{2}k^2ss'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_2}{\Delta}+o(\Delta_{12}) \biggr) \\ &\quad \times\frac{1}{k\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta}+\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta} +\frac{1}{2}k_+'s\frac{\Delta_2^2}{\Delta}-ks'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta}+o(\Delta_{12})}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s(t_1)s'(t_1) &=\frac{s(t_1)\langle \gamma'(t_1),\gamma''(t_1)\rangle}{s(t_1)} =\langle \gamma'(t_1),\gamma''(t_1) \rangle \\ &=\biggl(s-\frac{1}{2}k^2s^3\Delta_1^2+o(\Delta_1^2)\biggr)(k^2s^3\Delta_1+o(\Delta_1)) \\ &\qquad+\biggl(-ks^2\Delta_1+\frac{1}{2}k_-' s^3\Delta_1^2+o(\Delta_1^2)\biggr)(ks^2-k_-' s^3\Delta_1+o(\Delta_1)) \\ &=k^2s^4\Delta_1 -k^2s^4\Delta_1+o(\Delta_1)=o(\Delta_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу дифференциальной теоремы о среднем
$$
\begin{equation*}
s(t_1)s'(t_1)=((s'(\vartheta))^2+s(\vartheta) s''(\vartheta))\Delta_1,\qquad t_0<\vartheta<t_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $ss'=C\Delta_1+o(\Delta_1)$, $C=-((s'(\vartheta))^2+s(\vartheta) s''(\vartheta)) $. Стало быть, анализируемая дробь содержит в числителе бесконечно малую
$$
\begin{equation*}
\frac{k^2s s'}{2}\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_2}{\Delta}=o (\Delta_{12}^2)
\end{equation*}
\notag
$$
более высокого порядка по отношению к $o (\Delta_1)$. Этой величиной допустимо пренебречь, что ведет к упрощению дроби
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{(\gamma_2 (t_2)-\gamma_2 (t_1))s(t_2)\det (\gamma'(t_1),\gamma''(t_1))} {(\gamma_1 (t_2)-\gamma_1 (t_1))s(t_1)(\gamma_2' (t_1)\gamma_1' (t_2)+\gamma_2' (t_2)\gamma_1' (t_1))} \\ &\ =\frac{\frac{1}{2}k^2s\frac{\Delta_2-\Delta_1}{\Delta} +\frac{1}{6}kk_+' s^2\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2}+\frac{1}{6}kk_-'s^2\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2} -\frac{1}{2}kk_-' s^2\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta}+o(\Delta_{12})} {k\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta}+\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta} +\frac{1}{2}k_+'s\frac{\Delta_2^2}{\Delta}-ks'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1+o(\Delta_{12})}{\Delta}+o(\Delta_{12})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
С учетом (2.19) и (2.20) частная производная $\dfrac{\partial G(t_1,t_2)}{\partial t_1}$, когда $t_2=t_2 (t_1)$, после алгебраических преобразований принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{\partial G(t_1,t_2 (t_1))}{\partial t_1} =\biggl(\frac{1}{2}ks+\frac{1}{6}k_+' s^2\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2}+\frac{1}{6}k_-' s^2\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2} -\frac{1}{2}k_-'s^2\frac{\Delta_1^2}{\Delta}+o(\Delta_{12})\biggr) \\ \notag &\qquad\qquad -\frac{\frac{1}{2}k^2s\frac{\Delta_2 -\Delta_1}{\Delta}+\frac{1}{6}kk_+' s^2\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2} +\frac{1}{6}kk_-'s^2\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2}-\frac{1}{2}kk_-' s^2\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta} +o(\Delta_{12})}{k\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta}+\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta} +\frac{1}{2}k_+'s\frac{\Delta_2^2}{\Delta}-ks'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta}+o (\Delta_{12})} \\ \notag &=\biggl(\frac{1}{2}ks+\frac{1}{6}k_+' s^2\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2} +\frac{1}{6}k_-' s^2\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2}-\frac{1}{2}k_-'s^2\frac{\Delta_1^2}{\Delta}+o (\Delta_{12})\biggr) \\ \notag &\qquad \times \frac{k\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta}+\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta} +\frac{1}{2}k_+'s\frac{\Delta_2^2}{\Delta}-ks'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta}+o (\Delta_{12})} {k\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta}+\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta} +\frac{1}{2}k_+'s\frac{\Delta_2^2}{\Delta}-ks'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta}+o (\Delta_{12})} \\ \notag &\qquad\qquad -\frac{\frac{1}{2}k^2s\frac{\Delta_2 -\Delta_1}{\Delta}+\frac{1}{6}kk_+' s^2\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2} +\frac{1}{6}kk_-'s^2\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2}-\frac{1}{2}kk_-' s^2\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta} +o(\Delta_{12})}{k\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta}+\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta} +\frac{1}{2}k_+'s\frac{\Delta_2^2}{\Delta}-ks'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta}+o(\Delta_{12})} \\ \notag &=\frac{\frac{1}{6}kk_-' s^2(\frac{3\Delta_1^2}{2\Delta}+\frac{\Delta_1^3 (\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta^3} -\frac{3\Delta_1^2 (\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta^2}-\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2} +\frac{3(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta})}{k\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta} +\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta} +\frac{1}{2}k_+' s\frac{\Delta_2^2}{\Delta}-ks'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta}+o(\Delta_{12})} \\ &\qquad\qquad +\frac{\frac{1}{6}kk_+' s^2 (\frac{3\Delta_2^2}{2\Delta}+\frac{\Delta_2^3 (\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta^3} -\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2})+o(\Delta_{12})} {k\frac{(\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta} +\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta}+\frac{1}{2}k_+' s\frac{\Delta_2^2}{\Delta}-ks'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta} +o (\Delta_{12})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
В разложении (2.21) частной производной $\dfrac{\partial G(t_1,t_2)}{\partial t_1}$ вдоль диффеоморфизма $t_2=t_2 (t_1)$ вынесем за скобки $\Delta_1=t_0 -t_1$ и вычислим, опираясь на (2.6), (2.7), предел дробного выражения в скобках, сократив числитель и знаменатель на общий сомножитель $k(t_0)\ne 0$ (см. (2.1)):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lim_{\Delta_1 \downarrow 0}\biggl[\frac{\frac{1}{6}kk_-'s^2(\frac{3\Delta_1}{2\Delta} +\frac{\Delta_1^2 (\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta^3}-\frac{3\Delta_1 (\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta^2} -\frac{\Delta_1^2}{\Delta^2}+\frac{3 (\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta})} {k\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta} +\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta}+\frac{1}{2}k_+'s\frac{\Delta_2^2}{\Delta} -ks'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta}+o (\Delta_{12})} \\ \notag &\qquad\qquad +\frac{\frac{1}{6}kk_+' s^2(\frac{\Delta_2^3 (\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta_1 \Delta^3} +\frac{3\Delta_2^2}{2\Delta\Delta_1}-\frac{\Delta_2^3}{\Delta_1 \Delta^2})+\varepsilon(\Delta_{12})} {k\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)}{\Delta}+\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta} +\frac{1}{2}k_+'s\frac{\Delta_2^2}{\Delta}-ks'\frac{(\Delta_2 -\Delta_1)\Delta_1}{\Delta}+o(\Delta_{12})}\biggr] \\ \notag &\qquad =\frac{\frac{1}{6}kk_-' s^2(\frac{3}{2}\frac{1}{1-\lambda}-\frac{1+\lambda}{(1-\lambda)^3} +\frac{3+3\lambda}{(1-\lambda)^2}-\frac{1}{(1-\lambda)^2}-\frac{3+3\lambda}{(1-\lambda)})}{-\frac{1+\lambda}{1-\lambda}k} \\ \notag &\qquad\qquad +\frac{\frac{1}{6}kk_+' s^2(\frac{\lambda^4+\lambda^3}{(1-\lambda)^3}+\frac{3}{2}\frac{\lambda^2}{(1-\lambda)} +\frac{\lambda^3}{(1-\lambda)^2})}{-\frac{1+\lambda}{1-\lambda}k} \\ \notag &\qquad =\frac{\frac{1}{6}k_-' s^2(\frac{3}{2}-\frac{1+\lambda}{(1-\lambda)^2}+\frac{2+3\lambda}{(1-\lambda)}-3-3\lambda) l+\frac{1}{6}k_+' s^2(\frac{\lambda^4+\lambda^3}{(1-\lambda)^2}+\frac{3}{2}\lambda^2+\frac{\lambda^3}{(1-\lambda)})}{-(1+\lambda)} \\ &\qquad =-\frac{1}{12}k_-' s^2\frac{-6\lambda^3+3\lambda^2-1}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)} -\frac{1}{12}k_+' s^2\lambda^2\frac{3\lambda^2-2\lambda+3}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)} . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Получили линейную асимптотику функции $\dfrac{\partial G(t_1,t_2(t_1))}{\partial t_1}$ слева от $t_0\in \mathbb{R}$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial G(t_1,t_2 (t_1))}{\partial t_1}\sim C_1 (\lambda)(t_0 -t_1), \qquad t_1 \to t_0-0.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Здесь коэффициент в разложении равен пределу (2.22):
$$
\begin{equation*}
C_1 (\lambda)=-\frac{1}{12}k_-' s^2\frac{-6\lambda^3+3\lambda^2-1}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)} -\frac{1}{12}k_+' s^2\lambda^2\frac{3\lambda^2-2\lambda+3}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Руководствуясь соображениями симметрии при формировании разложения $\dfrac{\partial G(t_1,t_2 (t_1))}{\partial t_2}$, используем соответствующие компоненты $\dfrac{\partial G(t_1,t_2 (t_1))}{\partial t_1}$, заменяя в них приращение $\Delta_{2}$ на $-\Delta_{1}$, $\Delta_{1}$ на $-\Delta_{2}$, $\Delta $ на $-\Delta $, $k_-' $ на $k_+'$, $k_+' $ на $k_-' $, и запишем знаменатель дроби в (2.5):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\partial G(t_1,t_2 (t_1))}{\partial t_2} &=\frac{\frac{1}{6}kk_+' s^2(-\frac{3\Delta_3^2}{2\Delta} +\frac{\Delta_2^3 (\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta^3} -\frac{3\Delta_2^2 (\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta^2} +\frac{\Delta_2^3}{\Delta^2}+\frac{3(\Delta_2-\Delta_1)\Delta_2}{\Delta})} {k\frac{(\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta}+\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta} +\frac{1}{2}k_+' s\frac{\Delta_2^2}{\Delta}-ks'\frac{(\Delta_2-\Delta_1)\Delta_2}{\Delta}+o(\Delta_{12})} \\ &\qquad + \frac{\frac{1}{6}kk_-' s^2(\frac{\Delta_1^3 (\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta^3} -\frac{3\Delta_1^2}{2\Delta}+\frac{\Delta_1^3}{\Delta^2})+o(\Delta_{12})}{-k\frac{(\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta} -\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta}-\frac{1}{2}k_+' s\frac{\Delta_2^2}{\Delta} -ks'\frac{(\Delta_2-\Delta_1)\Delta_2}{\Delta}+o(\Delta_{12})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Аналогично в разложении (2.24) частной производной $\dfrac{\partial G(t_1,t_2)}{\partial t_2}$ вдоль диффеоморфизма $t_2=t_2 (t_1)$ вынесем за скобки $\Delta_1=t_0 -t_1 $ и перейдем к пределу дробного сомножителя при этом приращении, используя условие (2.1) и предельные равенства (2.6), (2.7):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \lim_{\Delta_1 \downarrow 0} \biggl[ \frac{\frac{1}{6}kk_+'s^2(-\frac{3\Delta_3^2}{2\Delta \Delta_1} +\frac{\Delta_2^3(\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta_1 \Delta^3} -\frac{3\Delta_2^2 (\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta_1\Delta^2} +\frac{\Delta_2^3}{\Delta_1 \Delta^2} +\frac{3(\Delta_2-\Delta_1)\Delta_2}{\Delta_1 \Delta})}{-k\frac{(\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta} -\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta}-\frac{1}{2}k_+'s\frac{\Delta_2^2}{\Delta} -ks'\frac{(\Delta_2-\Delta_1)\Delta_2}{\Delta}+o(\Delta_{12})} \\ &\qquad\qquad +\frac{\frac{1}{6}kk_-' s^2(\frac{\Delta_1^2 (\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta^3}-\frac{3\Delta_1}{2\Delta} +\frac{\Delta_1^2}{\Delta^2})+\varepsilon(\Delta_{12})}{-k\frac{(\Delta_2-\Delta_1)}{\Delta} -\frac{1}{2}k_-' s\frac{\Delta_1^2}{\Delta}-\frac{1}{2}k_+' s\frac{\Delta_2^2}{\Delta} -ks'\frac{(\Delta_2-\Delta_1)\Delta_2}{\Delta}+o(\Delta_{12})}\biggr] \\ &\qquad =\frac{\frac{1}{6}kk_+' s^2(-\frac{3}{2}\frac{\lambda^2}{1-\lambda} +\frac{\lambda^3(1+\lambda)}{(1-\lambda)^3}+3\frac{\lambda^2(1+\lambda)}{(1-\lambda)^2} -\frac{\lambda^3}{(1-\lambda)^2}+\frac{3\lambda^2+3\lambda}{1-\lambda})}{\frac{1+\lambda}{1-\lambda}k} \\ &\qquad\qquad +\frac{\frac{1}{6}kk_-' s^2(-\frac{(1+\lambda)}{(1-\lambda)^3}-\frac{3}{2}\frac{1}{(1-\lambda)} +\frac{1}{(1-\lambda)^2})}{\frac{1+\lambda}{1-\lambda}k} \\ &\qquad =\frac{1}{12}k_+' s^2\frac{\lambda^4-3\lambda^2+6\lambda}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)} +\frac{1}{12}k_-'s^2\frac{-3\lambda^2+2\lambda -3}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получили линейную асимптотику функции $\dfrac{\partial G(t_1,t_2(t_1))}{\partial t_2}$ слева от $t_0\in \mathbb{R}$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial G(t_1,t_2 (t_1))}{\partial t_2}\sim C_2 (\lambda)(t_0 -t_1), \qquad t_1 \to t_0-0.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
С учетом (2.23) и (2.25) равенство (2.5) принимает вид $\lambda=\dfrac{C_1(\lambda)}{C_2 (\lambda)}$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\lambda=-\frac{-\frac{1}{12}k_-' s^2\frac{-6\lambda^3+3\lambda^2-1}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)} -\frac{1}{12}k_+' s^2\lambda^2\frac{3\lambda^2-2\lambda+3}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)}} {\frac{1}{12}k_+' s^2\frac{\lambda^4-3\lambda^2+6\lambda}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)} +\frac{1}{12}k_-' s^2\frac{-3\lambda^2+2\lambda -3}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство имеет структуру, характерную для неподвижных точек. Сократим числитель и знаменатель дроби на $\frac{1}{12}s^2\ne 0$, выполним алгебраические преобразования и выделим корни многочленов, стоящих в числителях и знаменателях:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & k_+' \frac{\lambda^5-3\lambda^3+6\lambda^2}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)} +k_-' \frac{-3\lambda^3+2\lambda^2-3\lambda}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)} \\ &\qquad\qquad -k_-' \frac{-6\lambda^3+3\lambda^2-1}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)}-k_+' \frac{3\lambda^4-2\lambda^3 +3\lambda^2}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)}=0, \\ & k_+' \frac{\lambda^5-3\lambda^4-\lambda^3+3\lambda^2}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)} +k_-' \frac{3\lambda^3-\lambda^2-3\lambda+1}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)}=0, \\ & k_+' \frac{\lambda^2(1+\lambda)(\lambda -1)(\lambda -3)}{(1-\lambda)^2 (1+\lambda)}+k_-' \frac{(1+\lambda)(\lambda-1)(3\lambda -1)}{(1-\lambda)^2(1+\lambda)}=0 . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $1-\lambda >0$, поскольку $\lambda\in\Lambda=[ {-\infty,0} ]$. Кроме того, здесь $1+\lambda \ne 0$, ибо значение маркера $\lambda=-1$ реализуется в исключенном в данном исследовании случае псевдовершины с гладкой кривизной [13]. Сократим в числителях и знаменателях дробей общие сомножители:
$$
\begin{equation*}
k_+' \frac{\lambda^2(3-\lambda)}{(1-\lambda)}+k_-' \frac{1-3\lambda}{(1-\lambda)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Разделив обе части равенства на $(1-\lambda)^2\ne 0$, получим
$$
\begin{equation}
k_+' \frac{\lambda^2(3-\lambda)}{(1-\lambda)^3}+k_-' \frac{1-3\lambda}{(1-\lambda)^3}=0.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Таким образом, $\alpha (\lambda)k' (t_0+0)+\beta (\lambda)k' (t_0 -0)=0$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha (\lambda)=\frac{\lambda^2(3-\lambda)}{(1-\lambda)^3}, \qquad \beta (\lambda)=\frac{1-3\lambda}{(1-\lambda)^3}, \\ \alpha (\lambda)\geqslant 0, \qquad \beta (\lambda)\geqslant 0, \qquad \alpha (\lambda)+\beta (\lambda)=1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь учтено, что в силу формулы разложения бинома Ньютона числители соответствующих дробных коэффициентов в сумме образуют куб двучлена, стоящего в знаменателях дробей,
$$
\begin{equation*}
\lambda^2(3-\lambda)+1-3\lambda=1-3\lambda+3\lambda^2-\lambda^3=(1-\lambda)^3
\end{equation*}
\notag
$$
и являются неотрицательными числами, поскольку $\lambda \leqslant 0$. Тогда неотрицательными являются и сами коэффициенты, поскольку их общий знаменатель $(1-\lambda)^3$ строго больше нуля.
Равенство (2.26) доказывает истинность (2.3). Важно отметить, что коэффициенты выпуклой комбинации односторонних кривизн получены конструктивно. Теорема доказана. Предложение. В условиях теоремы из § 2, если левый маркер $\lambda=t_2' (t_0 -0)$ строго меньше нуля, то для правого маркера $\mu=t_1' (t_0 +0)$ найдутся зависящие от него коэффициенты выпуклых комбинаций такие, что Доказательство. Односторонние маркеры взаимообратны; см. (1.14). Подставим $\lambda=\mu^{-1}<0$ в (2.26) и выполним алгебраические преобразования:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k_+' \frac{\mu^{-2}(3-\mu^{-1})}{(1-\mu^{-1})^3}+k_-' \frac{1-3\mu^{-1}}{(1-\mu^{-1})^3}=0, \\ k_+' \frac{3\mu -1}{(\mu -1)^3}+k_-' \frac{\mu^2(\mu -3)}{(\mu -1)^3}=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Получили требуемое разложение (2.27), в котором в силу неравенства $\mu <0$
Предложение доказано. Замечание 7. Равенства нулю выпуклых комбинаций односторонних кривизн, обоснованные в теореме и предложении из § 2 для псевдовершины кривой с нарушениями гладкости кривизны, согласуются с результатом работы [13], в которой рассмотрен класс трижды гладких кривых и показано, что в псевдовершинах выполняется условие стационарности кривизны. В этом смысле результаты настоящего исследования для задачи (1.5) устанавливают согласованное соответствие между границами краевых множеств, имеющих гладкую кривизну и кривизну с разрывами ее гладкости. § 3. Нахождение односторонних маркеровФормулы для односторонних маркеров однотипны и подходы к их вычислению принципиально не отличаются друг от друга. Рассмотрим, например, задачу нахождения левого маркера. Сократим в (2.26) нормирующий сомножитель $\dfrac{1}{(1-\lambda)^3}:$ Остановимся на изучении одного случая, когда односторонние производные кривизны строго отделены от нуля и имеют разные знаки: Содержательно речь идет о ситуации, когда псевдовершина является точкой негладкого экстремума кривизны границы краевого условия.Лемма. В условиях теоремы из § 2 при соблюдении неравенства (3.2) левый маркер псевдовершины вычисляется по формуле Доказательство. Рассматривая (3.1) как алгебраическое уравнение относительно маркера, запишем уравнение через коэффициент $\sigma={k_+'}/{k_-'}$:
$$
\begin{equation*}
\lambda^3-3\lambda^2+\frac{3}{\sigma}\lambda -\frac{1}{\sigma}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Исследуем его решения. Осуществив преобразование Чирнгаузена (см. [22; п. 5.36)]) запишем уравнение в приведенной форме $y^3+py+q=0$, где $p=3({1}/{\sigma}-1)$, $q=2({1}/{\sigma}-1)$, т.е. в виде
$$
\begin{equation}
y^3+3\biggl(\frac{1}{\sigma}-1\biggr)y+2\biggl(\frac{1}{\sigma}-1\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Найдем пропорциональную дискриминанту многочлена константу
$$
\begin{equation*}
Q=\biggl(\frac{p}{3}\biggr)^3+\biggl(\frac{q}{2}\biggr)^2 =\biggl(\frac{1}{\sigma}-1\biggr)^3+\biggl(\frac{1}{\sigma}-1\biggr)^2 =\frac{1}{\sigma}\biggl(\frac{1}{\sigma}-1\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.2) $Q<0$, следовательно, уравнение (3.5) имеет три действительных решения, причем они допускают тригонометрическую форму представления (см. [28; § 1])
$$
\begin{equation*}
y_k=2\sqrt {-\frac{p}{3}} \cos \biggl(\frac{1}{3}\arccos \biggl(\frac{3q}{2p}\sqrt {-\frac{3}{p}}\biggr) -\frac{2\pi k}{3}\biggr), \qquad k=0,1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
В нашем случае
$$
\begin{equation*}
y_k=2\sqrt {\frac{\sigma -1}{\sigma}} \cos \biggl(\frac{1}{3}\arccos \sqrt {\frac{\sigma}{\sigma -1}} -\frac{2\pi k}{3}\biggr), \qquad k=0,1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Для краткости примем $\eta=\sqrt {\sigma/(\sigma -1)} $, где $0<\eta<1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
y_k=\frac{2}{\eta}\cos \biggl(\frac{1}{3}\arccos \eta -\frac{2\pi k}{3}\biggr), \qquad k=0,1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Выявим области возможных значений этих корней. Нетрудно показать, используя классический аппарат анализа, что $y_k $, $k=0,1,2$, как функции от $\eta \in (0,1)$ являются строго монотонными. Рассмотрим, например,
$$
\begin{equation*}
y_2 (\eta)=\frac{2}{\eta}\cos \biggl(\frac{1}{3}\arccos \eta-\frac{4\pi}{3}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Ее производная –
$$
\begin{equation*}
y_2' (\eta)=-2\frac{\varphi'(\eta)\eta\sin\varphi(\eta)+\cos\varphi(\eta)}{\eta^{2}},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\varphi(\eta)=\frac{1}{3} \arccos\eta-\frac{4\pi}{3}, \qquad \varphi'(\eta)=-\frac{1}{3\sqrt{1-\eta^{2}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
-\frac{4\pi}{3}<\varphi(\eta)=\frac{1}{3} \arccos\eta-\frac{4\pi}{3}<-\frac{7\pi}{6},
\end{equation*}
\notag
$$
когда $0 <\eta<1$. Введем нормирующую функцию
$$
\begin{equation*}
q(n)=\sqrt{a^2(\eta)+b^2(\eta)}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{9-8\eta^{2}}{1-\eta^{2}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим коэффициенты:
$$
\begin{equation*}
a(\eta)=\frac{\varphi'(\eta)\eta}{q(n)}=-\frac{\eta}{\sqrt{9-8\eta^{2}}}, \qquad b(\eta)=\frac{1}{q(n)}=3\sqrt{\frac{1-\eta^{2}}{9-8\eta^{2}}},
\end{equation*}
\notag
$$
и запишем производную в виде
$$
\begin{equation*}
y_2' (\eta)=-2q(n) \frac{a(\eta)\sin\varphi(\eta)+b(\eta)\cos\varphi(\eta)}{\eta^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $-1<a(\eta)<0$, $0<b(\eta)<1$, $a(\eta)^{2}+b(\eta)^{2}=1$, то найдется угол $\psi(\eta)$, ${\pi}/{2}<\psi(\eta)<\pi$, такой, что $a(\eta)=\cos\psi(\eta)$, $b(\eta)=\sin\psi(\eta)$. Воспользуемся формулами тригонометрии и представим производную в виде В силу ограничений $-{4\pi}/{3}<\varphi(\eta)<-{7\pi}/{6}$ и ${\pi}/{2}<\psi(\eta)<\pi $ получим границы изменения суммы углов Стало быть, $\sin(\varphi(\eta)+\psi(\eta))<0$, когда $0<\eta<1$. Поскольку $-{2q(n)}/{\eta^{2}}<0 $, то производная $y_2' (\eta)$ строго больше нуля при всех допустимых $\eta\in(0, 1)$.
Таким образом, функция
$$
\begin{equation*}
y_2(\eta)=\frac{2}{\eta}\cos \biggl(\frac{1}{3}\arccos \eta- \frac{4\pi}{3}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
строго возрастает, при этом границы интервала значений определяются пределами
$$
\begin{equation*}
\lim_{\eta \to+0} y_2 (\eta)=-\infty, \qquad \lim_{\eta \to1-0} y_2 (\eta)=y_2 (1)=-1,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. Аналогично рассуждая, показывается, что функция
$$
\begin{equation*}
y_0 (\eta)=\frac{2}{\eta}\cos \biggl(\frac{1}{3}\arccos \eta\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
строго монотонно убывает на интервале $(0,1)$ со множеством ее значений $(2,+\infty)$, т.е. функция
$$
\begin{equation*}
y_1 (\eta)=\frac{2}{\eta}\cos \biggl(\frac{1}{3}\arccos \eta -\frac{2\pi}{3}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
также строго монотонно убывает, принимая значения на интервале $(-1,-2/3)$, т.е. Таким образом, с учетом неравенств (3.6)–(3.8) и замены (3.4) исходное уравнение при любом допустимом $\eta \in (0,1)$ имеет три действительных корня, из них два положительные и один отрицательный. При этом отрицательный корень, на котором реализуется маркер псевдовершины, отвечает индексу $k=2$, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\lambda=y_2+1\triangleq 2\sqrt {\frac{\sigma -1}{\sigma}} \cos \biggl(\frac{1}{3}\arccos \sqrt {\frac{\sigma}{\sigma -1}}-\frac{4\pi}{3}\biggr)+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. § 4. Численно-аналитическое моделирование обобщенного решенияРассмотрим пример задачи Дирихле (1.5) для случая замкнутого неограниченного выпуклого множества $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ с дважды гладкой границей
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\{{\gamma (t)\in \mathbb{R}^2\colon \gamma (t)=(\gamma_1(t),\gamma_2 (t)),\,t\in T} \},
\end{equation*}
\notag
$$
где $T=\mathbb{R}$,
$$
\begin{equation*}
\gamma_1 (t) =t, \qquad \gamma_2 (t)= \begin{cases} \dfrac{1}{8}(t^2-2t+4),&t\leqslant 0, \\ (t+2)^{-1},&t>0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Кривая $\Gamma=\partial \Omega $ имеет единственную псевдовершину $x^{(0)}=(\gamma_1(t_0), \gamma_2(t_0))$, отвечающую параметру $t_0=0$; здесь $T^0=\{0 \}$. Нетрудно убедиться, что в указанной точке нарушается гладкость кривизны кривой, поскольку $\gamma_{2,-}''' (t_0)=0\ne \gamma_{2,+}''' (t_0)=-\frac{3}{8}$. При этом кривизна $k(t_0)$ равна $\frac{16}{17^{3/2}}\ne 0$. Вычислим отношение односторонних кривизн в псевдовершине и соотнесем с нулем:
$$
\begin{equation*}
\sigma=\frac{k_+'}{k_-'}=\frac{\gamma_2''' (t_0+0)(1+({\gamma_2' (t_0)})^2) -3(\gamma_2'' (t_0))^2\gamma_2' (t_0)}{\gamma_2''' (t_0 -0)(1+(\gamma_2' (t_0))^2)-3(\gamma_2'' (t_0))^2\gamma_2' (t_0)}=-7.5<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы находимся в условиях теоремы из § 2, при этом выполняется условие (3.2). Левый маркер вычислим по формуле (3.3): Единственной псевдовершине краевого условия отвечает одна ветвь $L(x^{(0)})$ сингулярного множества. Конструирование этой ветви требует знания по крайней мере одного диффеоморфизма из пары взаимообратных диффеоморфизмов $t_{2}= t_{2}(t_{1})$ и $t_{1}=t_{1}(t_{2})$. В общем случае нахождение этих функций в аналитической форме возможно лишь в редких случаях [11]. Поэтому дальнейшие построения осуществляются с помощью вычислительных процедур (см. [13]). Графики взаимообратных диффеоморфизмов $t_{2}=t_{2}(t_{1})$ и $t_{1}= t_{1}(t_{2})$, порождающих псевдовершину, найдены численно и приведены на рис. 1. Рисунок иллюстрирует геометрический смысл односторонних маркеров в плоскости параметров $t_{1}$, $t_{2}$. Левый маркер $\lambda $ есть тангенс угла наклона к положительному направлению оси $t_{1}$ односторонней левой касательной к графику $t_{2}=t_{2}(t_{1})$ в точке склейки графиков взаимообратных диффеоморфизмов. Соответственно правый маркер $\mu=\lambda^{-1}$ есть тангенс угла наклона к положительному направлению оси $t_{2}$ односторонней правой касательной к графику $t_{1}=t_{1}(t_{2})$ в той же точке. Далее, зная в псевдовершине ее левый маркер и локальный диффеоморфизм $t_{2}=t_{2}(t_{1})$, порождающий эту псевдовершину, конструируем ветвь сингулярного множества, решая систему уравнений (1.11). Заметим, что здесь может быть реализован и другой подход к построению ветви сингулярного множества, связанный с интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения, для которого начальные условия определяются маркерами псевдовершины, а динамика – локальными диффеоморфизмами, порождающими эту псевдовершину (см. [14]). Авторами создан программный комплекс [29], позволяющий строить линии уровня функции евклидова расстояния до замкнутого множества $M$. Основу алгоритма составляет нахождение геометрического места точек, расположенных на нормалях к кривой $\Gamma$ на заданном расстоянии $r>0$ от оснований нормалей. Затем ищется пересечение этого множества с сингулярным множеством $L$ и исключаются те участки, которые находятся по отношению к $M$ на расстоянии меньше $r$. На рис. 2 показаны найденные приближенными методами сингулярное множество и карта линий уровня обобщенного эйконала (эволюции волновых фронтов). По заданному набору кривых $\Phi $ программный комплекс строит таблицу значений функции $u(x_1,x_2)$ на прямоугольной сетке на заданном компактном подмножестве множества $\Omega$. На рис. 3 представлена аппроксимация графика обобщенного решения задачи (1.5), теряющего гладкость в точках сингулярного множества. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LebUsp24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|