| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О бифуркациях, меняющих гомотопический тип замыкания инвариантного седлового многообразия диффеоморфизма поверхности Е. В. Ноздринова, О. В. Починка Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Нижний Новгород
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9564 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПроблема существования дуги с не более чем счетным (конечным) числом бифуркаций, соединяющей структурно устойчивые системы (системы Морса– Смейла) на многообразиях, вошла в список пятидесяти проблем Палиса–Пью (см. [29]) под номером 33. В 1976 г. Ш. Ньюхаусом, Дж. Палисом и Ф. Такенсом (см. [22]) было введено понятие устойчивой дуги, соединяющей две структурно устойчивые системы на многообразии. Такая дуга не меняет своих качественных свойств при малом шевелении. В том же году Ш. Ньюхаус и М. Пейшото (см. [24]) доказали существование простой дуги (содержащей лишь элементарные бифуркации) между любыми двумя потоками Морса–Смейла. Из результата работы Ж. Флейтас [8] вытекает, что простую дугу, построенную Ньюхаусом и Пейшото, всегда можно заменить на устойчивую (см. [23]). Для диффеоморфизмов Морса–Смейла, заданных на многообразиях любой размерности, известны примеры систем, которые не могут быть соединены устойчивой дугой (см. точное определение устойчивой дуги в § 2). Препятствия появляются уже для сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности $S^1$, которые соединяются устойчивой дугой только в случае совпадения чисел вращения (см. [25]). Начиная с размерности 2 появляются дополнительные препятствия к существованию устойчивых дуг между изотопными диффеоморфизмами. Они связаны с наличием периодических точек (см. [4], [27]), гетероклинических пересечений (см. [17]), диких вложений сепаратрис (см. [7]) и др. На шестимерной сфере известны примеры диффеоморфизмов источник-сток, не соединяющихся никакой гладкой дугой (см. [6]), что, собственно, является следствием существования различных гладких структур на сфере размерности 7. В размерности $2$ и $3$ нетривиальный факт существования пути без бифуркаций (дуги, состоящей из попарно топологически сопряженных структурно устойчивых диффеоморфизмов) между двумя системами источник-сток установлен в работах [6], [26]. Естественным обобщением систем источник-сток являются полярные диффеоморфизмы – диффеоморфизмы Морса–Смейла, неблуждающее множество $\Omega_f$ которых содержит ровно две узловые точки, а именно одну стоковую и одну источниковую. Из теории Морса следует, что такие диффеоморфизмы существуют на любых многообразиях. Например, те, которые являются сдвигами на единицу времени градиентного потока функции Морса с одним минимумом и одним максимумом. Деформация таких потоков тесно связана с деформациями их функций Морса. Однако полярные диффеоморфизмы, как правило, не являются сдвигами на единицу времени потоков Морса–Смейла, поэтому прямой связи между деформациями диффеоморфизмов и деформациями функции Морса нет. Более того, даже в случае включаемости диффеоморфизма в поток возникающие стандартные бифуркации (например, гетероклиническое касание) при деформации функций Морса на уровне дискретизации не являются типичными для диффеоморфизмов. Поэтому построение устойчивой дуги между диффеоморфизмами является абсолютно самостоятельной задачей. В настоящей работе рассматривается класс $G$ полярных градиентно-подобных диффеоморфизмов на двумерном торе $\mathbb T^2$ в предположении, что все неблуждающие точки неподвижны и имеют положительный тип ориентации. В § 3 устанавливается, что любой диффеоморфизм $f\in G$ имеет в точности две седловые точки и изотопен тождественному. Кроме того, все диффеоморфизмы рассматриваемого класса попарно топологически сопряжены (см., например, [5], [11]). При этом замыкания устойчивых (неустойчивых) многообразий седловых точек разных диффеоморфизмов могут принадлежать любым гомотопическим классам замкнутых кривых на торе (рис. 1). Откуда следует, что в общем случае не существует дуги без бифуркаций, соединяющей два диффеоморфизма рассматриваемого класса. Основным результатом работы является доказательство следующей теоремы. Теорема 1. Любые диффеоморфизмы $f,f'\in G$ соединяются устойчивой дугой с конечным числом седло-узловых бифуркаций. § 2. Устойчивые дуги в пространстве диффеоморфизмовРассмотрим однопараметрическое семейство диффеоморфизмов многообразия $M$ (дугу) $\varphi_t\colon M \to M$, $t \in [0,1]$. Дуга $\varphi_t$ называется гладкой, если гладким является отображение $F\colon M\times[0,1]\to M$, заданное формулой $F(x,t)=\varphi_t(x)$. Гладкая дуга $\varphi_t$ называется произведением гладких дуг $\varphi^1_t$ и $\varphi^2_t$ таких, что $\varphi^1_1=\varphi^2_0$, если
$$
\begin{equation*}
\varphi_t=\begin{cases} \varphi^1_{\tau(2t)}, &0\leqslant t\leqslant\dfrac12, \\ \varphi^2_{\tau(2t-1)}, &\dfrac12\leqslant t\leqslant 1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau\colon [0,1] \to [0,1] $ – гладкая монотонная функция такая, что $\tau (t)=0$ для $0\leqslant t\leqslant{1}/3$ и $\tau (t)=1$ для ${2}/{3} \leqslant t\leqslant 1$. Мы будем писать $\varphi_t=\varphi^1_t*\varphi^2_t$. Согласно [23] гладкая дуга $\varphi_t$ называется устойчивой, если она является внутренней точкой класса эквивалентности относительно следующего отношения: дуги $\varphi_t$, $\varphi'_t$ называются сопряженными, если существуют гомеоморфизмы $h\colon [0,1] \to [0,1 ]$, $H_t\colon M \to M $ такие, что $H_t \varphi_t= \varphi'_{h(t)} H_t$, $t\in[0,1]$ и $H_t$ непрерывно зависит от $t$. В работе [23] также установлено, что дуга $\{\varphi_t\}$, состоящая из диффеоморфизмов с конечным предельным множеством, является устойчивой тогда и только тогда, когда все ее точки являются структурно устойчивыми диффеоморфизмами, за исключением конечного числа бифуркационных точек $\varphi_{b_i}$, $i=1,\dots,q$, таких, что: 1) предельное множество диффеоморфизма $\varphi_{b_i}$ содержит единственную негиперболическую периодическую орбиту, которая является седло-узлом или флипом; 2) диффеоморфизм $\varphi_{b_i}$ не имеет циклов; 3) инвариантные многообразия всех периодических точек диффеоморфизма $\varphi_{b_i}$ пересекаются трансверсально; 4) переход через $\varphi_{b_i}$ имеет одну негиперболическую периодическую орбиту, которая является орбитой некритического седло-узла или флипа и бифурцирует общим образом. Напомним определение типично проходящей бифуркации для случая неподвижного седло-узла. Говорят, что дуга $\{\varphi_t\}\in \mathcal{Q}$ проходит типично через седло-узловую бифуркацию $\varphi_{b_i}$ (рис. 2), если в некоторой окрестности негиперболической точки $(p,b_i)$ дуга $\varphi_t$ сопряжена дуге
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde\varphi_{\widetilde t}(x_1,x_2,\dots,x_{1+n_{\mathrm u}},x_{2+n_{\mathrm u}},\dots,x_{n}) \\ &\qquad =\biggl(x_1+\frac{x_1^2}{2}+\widetilde t,\pm 2x_2,\dots,\pm 2 x_{1+n_{\mathrm u}},\frac{\pm x_{2+n_{\mathrm u}}}{2},\dots,\frac{\pm x_{n}}{2}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n$, $|x_i|< 1/2$, $|\widetilde t|<1/10$. В локальных координатах $(x_1,\dots,x_n,\widetilde t)$ бифуркация происходит в момент времени $\widetilde t=0$ и начало координат $O\in\mathbb R^n$ является седло-узловой точкой. При этом ось $Ox_1$ является центральным многообразием $W^{\mathrm c}_O$, полупространство
$$
\begin{equation*}
\{(x_1,x_2, \dots, x_{n})\in\mathbb R^n\colon x_1\geqslant 0,\,x_{2+n_{\mathrm u}}=\dots=x_n=0\}
\end{equation*}
\notag
$$
является неустойчивым многообразием $W^{\mathrm u}_O$, полупространство
$$
\begin{equation*}
\{(x_1,x_2, \dots, x_{n})\in\mathbb R^n\colon x_1\leqslant 0,\,x_{2}=\dots=x_{1+n_{\mathrm u}}=0\}
\end{equation*}
\notag
$$
является устойчивым многообразием $W^{\mathrm{s}}_O$ точки $O$. Если $p$ – седло-узловая точка диффеоморфизма $\varphi_{b_i}$, то на устойчивом многообразии $W^{\mathrm{s}}_p$ точки $p$ существует единственное $\varphi_{b_i}$-инвариантное слоение $F^{\mathrm{ss}}_p$ с гладкими слоями такими, что $\partial W^{\mathrm{s}}_p$ является слоем этого слоения (см. [15]); $F^{\mathrm{ss}}_p$ называется сильно устойчивым слоением (рис. 3). Аналогичное сильно неустойчивое слоение обозначается $F^{\mathrm{uu}}_p$. Точка $p$ называется $\mathrm s$-критической, если существует некоторая гиперболическая периодическая точка $q$ такая, что $W^{\mathrm u}_q$ пересекает некоторый слой слоения $F^{\mathrm{ss}}_p$ не трансверсально; $\mathrm u$-критичность определяется аналогично. Точка $p$ называется: полукритической, если она является либо $\mathrm s$-, либо $\mathrm u$-критической; бикритической, если она является $\mathrm s$- и $\mathrm u$-критической; некритической, если она не является полукритической1. § 3. Динамика диффеоморфизмов класса $G$В этом параграфе устанавливаются основные динамические свойства диффеоморфизмов из класса $G$. Напомним, что $G$ – класс полярных градиентно-подобных диффеоморфизмов $f\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ в предположении, что все неблуждающие точки неподвижны и имеют положительный тип ориентации. Диффеоморфизм $f$ является градиентно-подобным, если его неблуждающее множество $\Omega_f$ состоит из конечного числа гиперболических точек и инвариантные многообразия различных седловых точек не пересекаются. Зафиксируем систему образующих фундаментальной группы тора $\mathbb T^2=\mathbb S^1\times \mathbb S^1$:
$$
\begin{equation*}
a=\mathbb S^1\times\{0\}=\langle 1,0\rangle, \qquad b=\{0\}\times\mathbb S^1=\langle0,1\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что алгебраическим автоморфизмом $\widehat L\colon \mathbb T^2\to \mathbb T^2$ тора $\mathbb T^2=\mathbb R^2/\mathbb Z^2$ называется диффеоморфизм, определенный матрицей $L= \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta\end{pmatrix}$, принадлежащей множеству $\mathrm{GL}(2,\mathbb Z)$ унимодулярных целочисленных матриц – матриц с определителем $\pm 1$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\widehat L(x,y)=(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y) \pmod 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Любой диффеоморфизм $f\in G$ обладает следующими свойствами. 1. Неблуждающее множество $\Omega_f$ диффеоморфизма $f$ состоит в точности из четырех неподвижных гиперболических точек – стока $\omega_f$, источника $\alpha_f$ и седел $\sigma_f^1$, $\sigma_f^2$, замыкания инвариантных многообразий которых являются замкнутыми кривыми:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c^{\mathrm s1}_f=\operatorname{cl} W^{\mathrm{s}}_{\sigma_f^1}=W^{\mathrm{s}}_{\sigma_f^1}\cup\alpha_f, \qquad c^{\mathrm u1}_f=\operatorname{cl}W^{\mathrm u}_{\sigma_f^1}=W^{\mathrm u}_{\sigma_f^1}\cup\omega_f, \\ c^{\mathrm s2}_f=\operatorname{cl}W^{\mathrm{s}}_{\sigma_f^2}=W^{\mathrm{s}}_{\sigma_f^2}\cup\alpha_f, \qquad c^{\mathrm u2}_f=\operatorname{cl} W^{\mathrm u}_{\sigma_f^2}=W^{\mathrm u}_{\sigma_f^2}\cup\omega_f. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
2. Существует единственный выбор нумерации седловых точек $\sigma_f^1$, $\sigma_f^2$ и ориентации замыканий их инвариантных многообразий такой, что кривые $c^{\mathrm s1}_f$, $c^{\mathrm u2}_f$ имеют гомотопический тип $\langle\mu_f^1,\nu_f^1\rangle$ и кривые $c^{\mathrm s2}_f$, $c^{\mathrm u1}_f$ имеют гомотопический тип $\langle\mu_f^2,\nu_f^2\rangle$ в базисе $a$, $b$, при этом $J_f=\begin{pmatrix} \mu^1_f& \mu_f^2 \\ \nu_f^1& \nu_f^2\end{pmatrix}$ является унимодулярной матрицей со следующими свойствами: a) $\mu^1_f\geqslant\mu^2_f\geqslant 0$; b) $\nu^1_f>\nu^2_f$, если $\mu^1_f=\mu^2_f$; c) $\nu^2_f=1$, если $\mu_f^2=0$. 3. Диффеоморфизм $f$ изотопен тождественному отображению. Доказательство. Пусть $f\in G$. Докажем последовательно все пункты теоремы.
1. Обозначим через $k_f^0$, $k_f^1$, $k_f^2$ соответственно число стоков, седел и источников диффеоморфизма $f$. Согласно [30] на торе $\mathbb T^2$ существует функция Морса, множество критических точек которой совпадает с множеством $\Omega_f$ и индексы критических точек совпадают с размерностями неустойчивых многообразий неблуждающих точек диффеоморфизма $f$. Тогда из неравенств Морса (см., например, [20]) следует, что Поскольку диффеоморфизм $f$ является полярным, то $k_f^0=k_f^2=1$ и, следовательно, $k_f^1=2$. Таким образом, неблуждающее множество $\Omega_f$ диффеоморфизма $f$ состоит в точности из четырех неподвижных гиперболических точек – стока $\omega_f$, источника $\alpha_f$ и седел $\sigma_f^1$, $\sigma_f^2$.Так как инвариантные многообразия различных седловых точек диффеоморфизма $f$ не пересекаются, то согласно [13; предложение 2.1.3]
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{cl}(W^{\mathrm u}_{\sigma_f^1})\setminus W^{\mathrm u}_{\sigma_f^1}=\operatorname{cl}(W^{\mathrm u}_{\sigma_f^2})\setminus W^{\mathrm u}_{\sigma_f^2}=\omega_f, \\ \operatorname{cl}(W^{\mathrm{s}}_{\sigma_f^1})\setminus W^{\mathrm{s}}_{\sigma_f^1}=\operatorname{cl}(W^{\mathrm{s}}_{\sigma_f^2})\setminus W^{\mathrm{s}}_{\sigma_f^2}=\alpha_f \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и множества $c^{\mathrm u1}_f=\operatorname{cl} W^{\mathrm u}_{\sigma_f^1}$, $c^{\mathrm s1}_f=\operatorname{cl} W^{\mathrm{s}}_{\sigma_f^1}$, $c^{\mathrm u2}_f=\operatorname{cl} W^{\mathrm u}_{\sigma_f^2}$, $c^{\mathrm s2}_f=\operatorname{cl} W^{\mathrm{s}}_{\sigma_f^2}$ гомеоморфны окружностям. 2. Обозначим через $\langle\mu_f^1,\nu_f^1\rangle$ и $\langle\mu_f^2,\nu_f^2\rangle$ гомотопические типы ориентированных кривых $c^{\mathrm s1}_f$ и $c^{\mathrm u1}_f$ соответственно в базисе $a$, $b$. Положим $J_f=\begin{pmatrix} \mu^1_f& \mu_f^2 \\ \nu_f^1& \nu_f^2\end{pmatrix}$. Из предыдущего п. 1 следует, что замкнутые кривые $c^{\mathrm s1}_f$, $c^{\mathrm u1}_2$ имеют единственную точку трансверсального пересечения $\sigma_f^1$. Тогда индекс пересечения этих кривых по модулю равен 1. Поскольку этот индекс совпадает с определителем матрицы $J_f$ (см., например, [31; гл. 2, п. D, упражнение 7]), то матрица $J_f$ является унимодулярной. Таким образом, кривые $c^{\mathrm s1}_f$, $c^{\mathrm u1}_f$ не гомотопны нулю. Тогда, не умаляя общности, будем считать, что ориентация на кривых была выбрана так, что $\mu^i_f\geqslant 0$ и $\nu^i_f=1$, если $\mu^i_f= 0$ (эти условия единственным образом ориентируют кривые). Поскольку диффеоморфизм $f$ является градиентно-подобным, то кривые $c^{\mathrm u1}_f$, $c^{\mathrm s2}_f$ и $c^{\mathrm u2}_f$, $c^{\mathrm s1}_f$ попарно не пересекаются. Тогда ориентированные кривые $c^{\mathrm u2}_f$ и $c^{\mathrm s2}_f$ также имеют гомотопические типы $\langle\mu_f^1,\nu_f^1\rangle$ и $\langle\mu_f^2,\nu_f^2\rangle$ соответственно в базисе $a$, $b$ (см., например, [31; гл. 2, п. D, теорема 13]). Тогда, не умаляя общности, будем считать, что нумерация седловых точек выбрана так, что $\mu^1_f\geqslant\mu^2_f$, и если $\mu^1_f=\mu^2_f$, то $\nu^1_f>\nu^2_f$ (эти условия единственным образом определяют нумерацию седловых точек). 3. Диффеоморфизм $f$ индуцирует изоморфизм $f_* \colon \pi_1(\mathbb T^2) \to \pi_1(\mathbb T^2)$ в фундаментальной группе тора $\pi_1(\mathbb T^2)$, изоморфной абелевой группе $\mathbb Z^2$. Тогда изоморфизм $f_*$ однозначно определяется унимодулярной целочисленной матрицей $L_f=\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{pmatrix}$, переводящей базис $a$, $b$ в базис $\langle\alpha,\gamma\rangle$, $\langle\beta,\delta\rangle$. Диффеоморфизм $f$ изотопен тождественному тогда и только тогда, когда $L_f=E$, где $E=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}$ (см., например, [31; гл. 2, п. D, лемма 3]). Покажем, что $L_f=E$ для $f\in G$. Положим $h=\widehat J^{-1}_f f \widehat J_f\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$. По построению диффеоморфизм $h$ гладко сопряжен с диффеоморфизмом $f$. При этом кривые $c^{\mathrm s1}_h$, $c^{\mathrm u2}_h$ и $c^{\mathrm s2}_h$, $c^{\mathrm u1}_h$ имеют гомотопические типы $\langle1,0\rangle$ и $\langle0,1\rangle$ соответственно. Поскольку все эти кривые являются $h$-инвариантными, то $L_h=E$. Так как $f=\widehat J_f h\widehat J_f^{-1}$, то $L_f=J_f L_hJ_f^{-1}=J_f EJ_f^{-1}=E$. Теорема 2 доказана. § 4. Схема построения устойчивой дуги между диффеоморфизмами класса $G$В этом параграфе мы приведем схему доказательства теоремы 1 со ссылками на утверждения, которые будут доказаны ниже. Пусть $f,f'\in{G}$. Докажем, что диффеоморфизмы $f$, $f'$ соединяются устойчивой дугой $\varphi_{t}\colon \mathbb T^{2}\to\mathbb T^{2}$, $t\in[0,1]$, все диффеоморфизмы которой являются градиентно-подобными, за исключением конечного числа типично проходящих некритических седло-узловых бифуркаций. Доказательство теоремы. В § 5 для любой унимодулярной целочисленной матрицы $J=\begin{pmatrix} \mu^1& \mu^2\\ \nu^1& \nu^2 \end{pmatrix}$ такой, что $\mu^1\geqslant\mu^2\geqslant0$ и $\nu^1>\nu^2$, если $\mu^1=\mu^2$, мы построим модельный диффеоморфизм ${f}_J\in{G}$, для которого $J_{f_J}=J$. В силу леммы 1 каждый диффеоморфизм $f\in G$ соединяется с модельным диффеоморфизмом $f_{J_f}$ дугой без бифуркаций $H_{f,t}$. В силу леммы 7 диффеоморфизм $f_J$ соединяется дугой $H_{J,t}$ с конечным числом типично проходящих некритических седло-узловых бифуркаций с диффеоморфизмом $f_{0}$. Тогда искомая дуга $\varphi_t$ имеет вид
§ 5. Построение модельных диффеоморфизмов в классе $G$В этом параграфе для любой унимодулярной целочисленной матрицы $J=\begin{pmatrix} \mu^1& \mu^2\\ \nu^1& \nu^2 \end{pmatrix}$ такой, что $\mu^1\geqslant\mu^2\geqslant0$ и $\nu^1>\nu^2$, если $\mu^1=\mu^2$, мы построим модельный диффеоморфизм ${f}_J\in{G}$, для которого $J_{f_J}=J$. Простейшим примером диффеоморфизма из класса $G$ является прямое произведение двух копий диффеоморфизма источник-сток на окружности $\mathbb S^1$, обозначим его через $f_0$. Сначала построим диффеоморфизм источник-сток на окружности. Для этого рассмотрим функцию $\overline{F}_0\colon \mathbb R\to\mathbb R$, заданную формулой
$$
\begin{equation*}
\overline{F}_0(x)=x-\frac{1}{4\pi} \sin \biggl(2\pi\biggl(x-\frac14\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
По построению $x=1/4$ и $x=3/4$ – неподвижные точки отображения $\overline{F}_0$ на отрезке $[0,1]$ (рис. 4). Рассмотрим проекцию $\pi\colon \mathbb{R}\to \mathbb{S}^1$, заданную формулой $\pi(x)=e^{2\pi i x}$. В силу того, что функция $\overline{F}_0$ является строго монотонно возрастающей и удовлетворяет условию $\overline{F}_0(x+1)=\overline{F}_0(x)+1$, она допускает проекцию на окружность в виде диффеоморфизма
$$
\begin{equation*}
F_0=\pi\overline F_0 \pi^{-1}\colon \mathbb S^1\to\mathbb S^1.
\end{equation*}
\notag
$$
По построению диффеоморфизм $F_0$ имеет неподвижный гиперболический сток в точке $N=\pi(1/4)$ и неподвижный гиперболический источник в точке $S=\pi(3/4)$. Определим диффеоморфизм $f_0\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ формулой (рис. 5) По построению диффеоморфизм $f_0$ имеет неподвижный гиперболический сток в точке $\omega=(N,N)$, гиперболический источник $\alpha=(S,S)$ и имеет две седловые точки $\sigma_1=(N,S)$, $\sigma_2=(S,N)$ (рис. 6). При этом замыкания инвариантных многообразий каждой из них лежат в классе образующих $a$, $b$. Именно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c^{\mathrm s1}_{f_0}=\operatorname{cl}W^{\mathrm{s}}_{\sigma_1}=\mathbb S^1\times\{S\}, \qquad c^{\mathrm u1}_{f_0}= \operatorname{cl}W^{\mathrm u}_{\sigma_1}=\{N\}\times\mathbb S^1, \\ c^{\mathrm s2}_{f_0}= \operatorname{cl}W^{\mathrm{s}}_{\sigma_2}=\{S\}\times\mathbb S^1, \qquad c^{\mathrm u2}_{f_0}=\operatorname{cl}W^{\mathrm u}_{\sigma_2}=\mathbb S^1\times\{N\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $f_J=\widehat J f_0\widehat J^{-1}$. Будем называть диффеоморфизм $f_J$ модельным. Заметим, что по построению $f_E=f_0$. § 6. Построение дуги $H_{f,t}$6.1. Схема построенияЛемма 1. Любой диффеоморфизм $f\in G$ соединяется дугой без бифуркаций $H_{f,t}$ с диффеоморфизмом $f_{J_f}$. Доказательство. Приведем схему доказательства леммы 1 со ссылками на утверждения, которые будут доказаны ниже. Рассмотрим отдельно два возможных случая: 1) $J_f=E$; 2) $J_f\neq E$. 1) В силу леммы 2 можно считать, что диффеоморфизм $f$ в окрестности стока $\omega_f$ имеет локальную карту $(U_{\omega_f}, \psi_{\omega_f})$, $\psi_{\omega_f} \colon U_{\omega_f} \to \mathbb R^2$ такую, что диффеоморфизм $g=\psi_{\omega_f} f \psi_{\omega_f}^{-1}\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ имеет вид $g(x,y)=(x/2,y/2)$. Кроме того, в силу леммы 3 можно считать, что
$$
\begin{equation*}
\psi_{\omega_f}(c^{\mathrm u2}_{f}\cap U_{\omega_f})\subset Ox, \qquad \psi_{\omega_f}(c^{\mathrm u1}_{f}\cap U_{\omega_f})\subset Oy,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. кривые $c^{\mathrm u2}_{f}$, $c^{\mathrm u1}_{f}$ являются гладкими. Поскольку они лежат в одном гомотопическом классе с кривыми $c^{\mathrm u2}_{f_0}=\mathbb S^1\times\{N\}$, $c^{\mathrm u1}_{f_0}=\{N\}\times\mathbb S^1$, то в силу предложения 1 существует гладко изотопный тождественному диффеоморфизм $\xi\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\xi(c^{\mathrm u1}_{f})=c^{\mathrm u1}_{f_0}, \qquad \xi(c^{\mathrm u2}_{f})=c^{\mathrm u2}_{f_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\xi_t\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ – гладкая изотопия такая, что $\xi_0=\mathrm{id}$ и $\xi_1=\xi$. Тогда дуга $\xi_t f \xi_t^{-1}\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ соединяет диффеоморфизм $f$ с диффеоморфизмом $f_1=\xi f \xi^{-1}\in G$ таким, что
$$
\begin{equation*}
c^{\mathrm u1}_{f_1}=c^{\mathrm u1}_{f_0}, \qquad c^{\mathrm s2}_{f_1}=c^{\mathrm s2}_{f_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку диффеоморфизмы $f_1$ и $f_0$ топологически сопряжены на замыканиях неустойчивых седловых многообразий, то в силу леммы 4 существует дуга без бифуркаций, соединяющая $f_1$ с диффеоморфизмом $f_2\in G$, совпадающим с $f_0$ в некоторых окрестностях $K_{1}^{\mathrm u}$, $K^{\mathrm u}_2$ кривых $c^{\mathrm u1}_{f_0}$, $c^{\mathrm u2}_{f_0}$. По построению многообразия множество $A=c^{\mathrm u1}_{f_0}\cup c^{\mathrm u2}_{f_0}$ является аттрактором диффеоморфизмов $f_2$, $f_0$ и множество $U_A=K_{1}^{\mathrm u}\cup K^{\mathrm u}_2$ является его окрестностью. По построению пространство $\mathbb T^2\setminus U_A$ гомеоморфно двумерному диску и содержит в своей внутренности точки $\alpha$ и $\alpha_{f_2}$. В силу [14; гл. 8, теорема 3.2] существует гладко изотопный тождественному диффеоморфизм $\eta\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\eta(\alpha_{f})=\alpha, \qquad \eta|_{U_A}=\mathrm{id}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы о продолжении изотопии (см., например, [18; теорема 5.8]) существует дуга $\eta_t\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ такая, что $\eta_0=\mathrm{id}$, $\eta_1=\xi$ и $\eta_t|_{U_A}=\mathrm{id}$. Тогда дуга $\eta_t f_2 \eta_t^{-1}\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ соединяет диффеоморфизм $f_2$ с диффеоморфизмом $f_3=\eta f_2\eta^{-1}\in G$ таким, что $f_2|_{U_A\cup\alpha}=f_0|_{U_A\cup\alpha}$. Более того, в силу леммы 2 можно считать, что диффеоморфизм $f_3$ совпадает с диффеоморфизмом $f_0$ в окрестности источника $\alpha$. Тогда в силу леммы 5 существует дуга без бифуркаций, соединяющая диффеоморфизм $f_3$ с диффеоморфизмом $f_0=f_{E_f}$. 2) Для диффеоморфизма $f\in G$ такого, что $J_f\neq E$, положим $h=\widehat J^{-1}_f f \widehat J_f$: $\mathbb T^2\to\mathbb T^2$. Тогда диффеоморфизм $h$ принадлежит классу $G$ и $J_h=E$. Согласно п. 1) существует дуга без бифуркаций $\zeta_t\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ такая, что $\zeta_0=h$ и $\zeta_1=f_0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
H_{f,t}=\widehat J_f \zeta_t \widehat J^{-1}_f\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2
\end{equation*}
\notag
$$
– искомая изотопия, соединяющая диффеоморфизм $H_{f,0}=f$ с диффеоморфизмом $H_{f,1}=\widehat J_f f_0 \widehat J^{-1}_f=f_{J_f}$. Лемма 1 доказана. 6.2. Приведение структурно устойчивого диффеоморфизма к линейному в окрестностях гиперболических периодических точекПусть $p$ – гиперболическая неподвижная точка диффеоморфизма $f\colon M^n\,{\to}\, M^n$. Типом точки $p$ называется набор параметров $(q_p,\nu_p,\mu_p)$, где $q_p=\dim W^{\mathrm u}_{p}$, $\nu_p=+1$ ($\nu_p=-1$), если $f|_{W^{\mathrm u}_{p}}$ сохраняет (меняет) ориентацию, и $\mu_p=+1$ ($\mu_p=-1$), если $f|_{W^{\mathrm{s}}_{p}}$ сохраняет (меняет) ориентацию. В силу [28; теорема 5.5] диффеоморфизм $f$ в некоторой окрестности точки $p$ типа $(q_p,\nu_p,\mu_p)$ топологически сопряжен линейному диффеоморфизму пространства $\mathbb{R}^n$, заданному матрицей
$$
\begin{equation*}
A_p=\begin{pmatrix} \nu_p\cdot 2&0&\dots&0&0&0&\dots&0 \\ 0&2&\dots&0&0&0&\dots&0 \\ & &\ddots \\ 0&0&\dots&2&0&0&\dots&0 \\ 0&0&\dots&0&\mu_p\cdot \dfrac12&0&\dots&0 \\ 0&0&\dots&0&0&\dfrac12&\dots&0 \\ & & & & & &\ddots \\ 0&0&\dots&0&0&0&\dots&\dfrac12 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где количество строк матрицы $A_p$, содержащих число $2$ (включая $\nu_p\cdot 2$), равно $q_{p}$. Обозначим через $\overline A_p\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n$ линейный диффеоморфизм, заданный матрицей $A_p$. Положим $\mathbb R^{\mathrm u}=Ox_1\dotsb x_{q_p}$, $\mathbb R^{\mathrm s}=Ox_{q_p+1}\dotsb x_{n}$, $\overline A^{\,\mathrm u}_p=\overline A_p|_{\mathbb R^{\mathrm u}}$ и $\overline A^{\,\mathrm s}_p=\overline A_p|_{\mathbb R^{\mathrm s}}$. Тогда в координатах $x^{\mathrm u}=(x_1,\dots, x_{q_p})\in \mathbb R^{\mathrm u}$, $x^{\mathrm s}=(x_{q_p+1},\dots, x_{n})\in \mathbb R^{\mathrm s}$ диффеоморфизм $\overline A_p$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\overline A_p(x^{\mathrm u},x^{\mathrm s})=(\overline A^{\,\mathrm u}_p(x^{\mathrm u}),\overline A^{\,\mathrm s}_p(x^{\mathrm s})).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2. Пусть структурно устойчивый диффеоморфизм $\varphi_0\colon M^n\to M^n$ имеет изолированную гиперболическую неподвижную точку $p$, и пусть $(U_0,\psi_0)$ – локальная карта многообразия $M^n$ такая, что $p\in U_0$, $\psi_0(p)=O$ и $U_0$ не содержит неблуждающих точек диффеоморфизма $\varphi_0$, отличных от $p$. Тогда существуют окрестности $U_1$, $U_2$ точки $p$, $U_2\subset U_1\subset U_0$, и дуга $\varphi_t\colon M^n\to M^n$, $t\in[0,1]$, без бифуркаций такая, что: 1) диффеоморфизм $\varphi_t$, $t\in[0,1]$, совпадает с диффеоморфизмом $\varphi_0$ вне множества $U_{1}$; 2) $p$ – изолированная гиперболическая точка для каждого $\varphi_t$; 3) $W^{\mathrm{s}}_{p}(\varphi_t)=W^{\mathrm{s}}_{p}(\varphi_0)$ и $W^{\mathrm u}_{p}(\varphi_t)=W^{\mathrm u}_{p}(\varphi_0)$ вне множества $U_{1}$; 4) диффеоморфизм $\psi_0\varphi_1\psi_0^{-1}$ совпадает с диффеоморфизмом $\overline A_p$ на множестве $\psi_0(U_{2})$. Доказательство. Для $r>0$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_r &=\biggl\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n\colon \sum_{i=1}^nx_i^2\leqslant r^2\biggr\}, \\ B^{\mathrm u}_r &=\biggl\{(x_1,\dots, x_{q_p})\in\mathbb R^{\mathrm u}\colon \sum_{i=1}^{q_p}x_i^2\leqslant r^2\biggr\}, \\ B^{\mathrm s}_r &=\biggl\{(x_{q_p+1},\dots, x_{n})\in\mathbb R^{\mathrm s}\colon \sum_{i=q_p+1}^nx_i^2\leqslant r^2\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу структурной устойчивости диффеоморфизма $\varphi_0$ любой достаточно близкий к $\varphi_0$ в $C^1$-топологии диффеоморфизм соединяется с $\varphi_0$ дугой без бифуркаций. Тогда в силу леммы Фрэнкса2 (см. [9]) можно считать, что диффеоморфизм $\overline\varphi_0=\psi_0\varphi_0\psi_0^{-1}$ в некотором шаре $B_{r_0}\subset\psi_0(U_0)$ совпадает с линейным диффеоморфизмом $\overline\Phi_p\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n$, заданным матрицей $\Phi_p$, все собственные значения которой попарно различны. Тогда диффеоморфизм $\overline\Phi_p$ гладко сопряжен с линейным диффеоморфизмом $\overline Q_p$, заданным нормальной жордановой формой $Q_p$ матрицы $\Phi_p$ (см., например, [10; гл. 3]). То есть существует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм $\xi\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n$ такой, что $\overline Q_p=\xi\overline\Phi_p\xi^{-1}$. В силу [19; § 6, лемма 2] $\xi$ является изотопным тождественному, что означает наличие изотопии $\xi_t$ от $\xi_0=\mathrm{id}$ до $\xi_1=\xi$. В силу теоремы о продолжении изотопии (см., например, [18; теорема 5.8]) существует изотопия $\Xi_t\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^2$ от тождественного отображения $\Xi_0=\mathrm{id}$, которая совпадает с $\xi_t$ на $B_{r_2}$ и является тождественной вне $B_{r_1}$ для некоторых $r_2<r_1< r_0$. Таким образом, дуга $\overline\eta_t=\Xi_t\overline\Phi_p\Xi_t^{-1}\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n$ соединяет диффеоморфизм $\overline\eta_0=\overline\Phi_p$ с диффеоморфизмом $\overline\eta_1$, совпадающим с $\overline Q_p$ на $B_{r_2}$ и с $\overline\Phi_p$ вне $B_{r_1}$. Кроме того, $\overline\eta_t$ – дуга без бифуркаций, $O$ – изолированная гиперболическая точка для каждого $\overline\eta_t$ и $W^{\mathrm{s}}_{O}(\overline\eta_t)=W^{\mathrm{s}}_{O}(\overline\Phi_p)$, $W^{\mathrm u}_{O}(\overline\eta_t)=W^{\mathrm u}_{O}(\overline\Phi_p)$ вне множества $B_{r_1}$. Если $Q_p=A_p$, то лемма доказана. В противном случае в силу того, что собственные значения матрицы $Q_p$ попарно различны, она имеет квазидиагональную форму с блоками, состоящими либо из собственных значений, либо из матриц вида $\left( \begin{matrix}\alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{matrix}\right)$, где $0<\alpha^2+\beta^2<1$ или $\alpha^2+\beta^2>1$. Тогда диффеоморфизм $\overline Q_p$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\overline Q_p(x^{\mathrm u},x^{\mathrm s})=(\overline Q^{\,\mathrm u}_p(x^{\mathrm u}),\overline Q^{\,\mathrm s}_p(x^{\mathrm s})),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\overline Q^{\,\mathrm u}_p)^{-1}(B^{\mathrm u}_r)\subset \operatorname{int}B^{\mathrm u}_r$ для любого диска $B^{\mathrm u}_r$ и $\overline Q^{\,\mathrm s}_p(B^{\mathrm s}_r)\subset \operatorname{int}B^{\mathrm s}_r$ для любого диска $B^{\mathrm s}_r$. Выберем $r_3<r_2$ так, что $B^{\mathrm u}_{r_3}\times (\overline Q^{\,\mathrm s}_p)^{-1}(B^{\mathrm s}_{r_3})\subset \operatorname{int}B_{r_2}$. Выберем $r^u_4,r^s_4\in(r_3/2,r_3)$ таким образом, что $(\overline Q^{\,\mathrm u}_p)^{-1}(B^{\mathrm u}_{r_3})\subset \operatorname{int}B^{\mathrm u}_{r_4^u}$ и $\overline Q^{\,\mathrm s}_p(B^{\mathrm s}_{r_3})\subset \operatorname{int}B_{r_4^s}$. В доказательстве предложения 5.4 монографии [28] построены дуги $\overline\tau^{\,\mathrm u}_t$: $\mathbb R^{\mathrm u}\to\mathbb R^{\mathrm u}$, $\overline\tau^{\,\mathrm s}_t\colon \mathbb R^{\mathrm s}\to\mathbb R^{\mathrm s}$ из линейных гиперболических сжатий такие, что:
Рассмотрим изотопии $\overline\lambda^{\,\mathrm u}_t=\overline Q^{\,\mathrm u}_p\overline\tau^{\,\mathrm u}_t$, $\overline\lambda^{\,\mathrm s}_t=(\overline Q^{\,\mathrm s}_p)^{-1}\overline\tau^{\,\mathrm s}_t$, которые соединяют тождественное отображение $\overline\lambda^{\,\mathrm u}_0=\overline\lambda^{\,\mathrm s}_0=\mathrm{id}$ с диффеоморфизмами $\overline\lambda^{\,\mathrm u}_1=\overline Q^{\,\mathrm u}_p(\overline A^{\,\mathrm u}_p)^{-1}$ и $\overline\lambda^{\,\mathrm s}_1=(\overline Q^{\,\mathrm s}_p)^{-1}\overline A^{\,\mathrm s}_p$ соответственно. По построению $\overline\lambda^{\,\mathrm u}_t (B^{\mathrm u}_{r_3})\subset \overline Q^{\,\mathrm u}_p(B_{r^u_4})$ и $\overline\lambda^{\,\mathrm s}_t (B^{\mathrm s}_{r_3})\subset (\overline Q^{\,\mathrm s}_p)^{-1}(B_{r^s_4})$ для каждого $t\in[0,1]$. Тогда в силу теоремы о продолжении изотопии (см., например, [18; теорема 5.8]) существуют изотопии $\overline\Lambda^{\,\mathrm u}_t\colon \mathbb R^{\mathrm u}\to\mathbb R^{\mathrm u}$, $\overline\Lambda^{\,\mathrm s}_t\colon \mathbb R^{\mathrm s}\to\mathbb R^{\mathrm s}$ от тождественного отображения $\overline\Lambda^{\,\mathrm u}_0=\overline\Lambda^{\,\mathrm s}_0=\mathrm{id}$, которые совпадают с $\overline\lambda^{\,\mathrm u}_t$, $\overline\lambda^{\,\mathrm s}_t$ на $B^{\mathrm u}_{r_3}$, $B^{\mathrm s}_{r_3}$ и являются тождественными вне $\overline Q^{\,\mathrm u}_p(B_{r^u_4})$, $(\overline Q^{\,\mathrm s}_p)^{-1}(B_{r^s_4})$ соответственно. Положим
$$
\begin{equation*}
\overline\Lambda_t(x^{\mathrm u},x^{\mathrm s})=((\overline\Lambda^{\,\mathrm u}_t)^{-1}\overline Q^{\,\mathrm u}_p(x^{\mathrm u}),\overline Q^{\,\mathrm s}_p\overline\Lambda^{\,\mathrm s}_t(x^{\mathrm s})).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\overline\zeta_t\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n$ дугу, совпадающую с $\overline\eta_1$ вне $B_{r_2}$ и совпадающую с $\overline\Lambda_t$ на $B_{r_2}$. Выберем $r_5<r_4$ так, что $B_{r_5}\subset\overline Q^{\,\mathrm u}_p(B^{\mathrm u}_{r_3})\times B^{\mathrm s}_{r_3}$. Положим $\overline U_2=B_{r_5}$, $\overline U_1=B_{r_1}$ и Тогда $\overline\varphi_t$ – дуга без бифуркаций, совпадающая с $\overline\varphi_0$ вне $\overline U_{1}$, $O$ – изолированная гиперболическая точка для каждого $\overline\varphi_t$, $W^{\mathrm s}_{O}(\overline\varphi_t)=W^{\mathrm s}_{O}(\overline\varphi_0)$, $W^{\mathrm u}_{O}(\overline\varphi_t)=W^{\mathrm u}_{O}(\overline\varphi_0)$ вне множества $\overline U_{1}$ и диффеоморфизм $\overline\varphi_1$ совпадает с диффеоморфизмом $\overline A_p$ на $\overline U_2$. Таким образом, дуга $\varphi_t\colon M^n\to M^n$, совпадающая с $\psi_0^{-1}\overline\varphi_1\psi_0$ на $U_0$ и совпадающая с $\varphi_0$ вне $U_0$, удовлетворяет всем условиям леммы относительно окрестностей $U_1=\psi_0^{-1}(\overline U_1)$ и $U_2=\psi_0^{-1}(\overline U_2)$. Лемма 2 доказана. Следствие. Утверждение, аналогичное лемме 2, имеет место и в случае, когда точка $p$ является периодической с периодом $m$. Для доказательства достаточно взять изотопию для диффеоморфизма $f^m$ с неподвижной точкой $p$, существующую в силу леммы 2, и распространить ее вдоль окрестности орбиты точки $p$ в силу диффеоморфизма $f$. § 7. Выпрямление инвариантных седловых многообразийИнвариантное многообразие седловой точки диффеоморфизма Морса–Смейла всегда является гладким подмногообразием. Однако его замыкание в градиентно-подобном случае может не являться даже топологическим подмногообразием (рис. 7). В этом параграфе приведем утверждения и факты, позволяющие соединить любой градиентно-подобный 2-диффеоморфизм дугой без бифуркаций с диффеоморфизмом, у которого замыкания инвариантных многообразий всех седловых точек являются гладкими подмногообразиями. Предложение 1 (см. [31; гл. 2, п. C, теорема 13], [21] и [13; утверждения 10.60 и 10.51]). Пусть на торе $\mathbb T^2$ имеется $p\in\mathbb N\cup \{0\}$ попарно не пересекающихся замкнутых гладких кривых $c_1,\dots,c_{p}$, имеющих гомотопический тип $\langle1,0\rangle$, и $q\in\mathbb N\cup \{0\}$ попарно не пересекающихся замкнутых гладких кривых $d_1,\dots,d_{q}$, имеющих гомотопический тип $\langle0,1\rangle$, таких, что каждая пара кривых $c_i$, $d_j$ пересекается трансверсально по одной точке. Пусть $C_p$ – дизъюнктное объединение $p$ окружностей вида $\mathbb S^1\times \{w\}$, $w\in\mathbb S^1$ и $D_q$ – дизъюнктное объединение $q$ окружностей вида $\{z\}\times \mathbb S^1$, $z\in\mathbb S^1$. Тогда существует изотопный тождественному диффеоморфизм $\xi\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ такой, что $\xi(c_1\cup\dots\cup c_p)=C_p$ и $\xi(d_1\cup\dots\cup d_q)=D_q$. Лемма 3. Пусть диффеоморфизм $\varphi_0\colon M^2\to M^2$ имеет гиперболический сток $\omega_0$ и гиперболические седла $\sigma_1,\dots,\sigma_k$ такие, что их неустойчивые сепаратрисы $\gamma^1_{\varphi_0},\dots,\gamma^k_{\varphi_0}$ лежат в бассейне стока $W^{\mathrm s}_{\omega_0}$ и имеют тот же период $m$, что и сток $\omega_0$. Пусть $(U_0,\psi_0)$ – локальная карта многообразия $M^2$ такая, что $\omega_0\in U_0$, $\psi_0(\omega_0)=O$ и $\varphi_0^m(U_0) \subset U_0$. Пусть $L_k\subset\mathbb{R}^2$ – пучок лучей $l_1,\dots,l_k$, имеющих в полярных координатах $(\rho,\theta)$ вид $l_i=\{(\rho,\theta)\in\mathbb R^2\colon \theta=\theta_i\}$, $\theta_i\in[0,2\pi)$. Тогда существуют окрестности $V_1$, $V_2$ точки $\omega_0$ такие, что $V_2\subset V_1\subset U_0$ и дуга $\varphi_t\colon M^2\to M^2$, $t\in[0,1]$, без бифуркаций со следующими свойствами: 1) диффеоморфизм $\varphi_t$, $t\in[0,1]$, совпадает с диффеоморфизмом $\varphi_0$ вне множества $\bigcup_{k=0}^{m-1}\varphi_0^k(V_{1})$ и $\bigcup_{k=0}^{m-1}\varphi_0^k(\omega_0)$ является гиперболической стоковой орбитой периода $m$ для всех $\varphi_t$; 2) $\psi_0(\bigcup_{i=0}^{k} \gamma^i_{\varphi_1})\cap V_2)\subset L_k$, где $\gamma^i_{\varphi_1}$ – неустойчивые сепаратрисы седел $\sigma_i$ относительно диффеоморфизма $\varphi_1$. Доказательство. Пусть $\phi_0=\varphi_0^m$ и $\overline\phi_0=\psi_0\phi_0\psi_0^{-1}\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^2$. Обозначим через $O(0,0)$ начало координат в плоскости $\mathbb R^2$. Для любого $r>0$ положим $B_r=\{(x,y)\in\mathbb R^2\colon x^2+y^2<r^2\}$. В силу леммы 2, не умаляя общности, можно считать, что $\overline\phi_0=g$, где $ g(x,y)=(x/2,y/2)$ на диске $B_{2r_0}$ для некоторого $r_0>0$. Положим $K_0=B_{2r_0}\setminus B_{r_0}$, $\gamma^i_{\overline\phi_0}=\psi_0(\gamma^i_{\varphi_0})$. Обозначим через $E_g$ множество сжатий $\overline\phi\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^2$, совпадающих с $\overline\phi_0$ вне $B_{2r_0}$ и с $g$ на $B_{r_{\overline\phi}}$, где $r_{\overline\phi}\leqslant 2 r_0$. Для любого $\overline\phi\in E_g$ положим
$$
\begin{equation*}
\gamma^i_{\overline\phi}=\bigcup_{k\in\mathbb Z}\overline\phi^k(\gamma^i_{\overline\phi_0}\cap K_0).
\end{equation*}
\notag
$$
По построению $\overline\phi$-инвариантные кривые $\gamma^i_{\overline\phi}$ совпадают c $\overline\phi_0$-инвариантными кривыми $\gamma^i_{\overline\phi_0}$ вне диска $B_{r_0}$. Тогда для доказательства леммы достаточно построить дугу из сжатий $\overline\phi_t$: $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $t\in[0,1]$, такую, что: $\overline 1)$ диффеоморфизм $\overline\phi_t$, $t\in[0,1]$, совпадает с диффеоморфизмом $\overline\phi_0$ вне множества $B_{r_0}$; $\overline 2)$ $\psi_0\bigl(\bigl(\bigcup_{i=0}^{k} \gamma^i_{\varphi_1}\bigl)\,{\cap}\, V_2\bigr)\subset L_k$. Дуга $\varphi_t\colon M^2\to M^2$ получается из дуги $\overline\phi_t$, как и в лемме 2, если положить $V_1=\psi^{-1}_0(B_{r_0})$ и $V_2=\psi_0^{-1}(B_{r_{\overline\phi_1}})$. Для построения дуги $\overline\phi_t$ введем следующие обозначения для любого диффеоморфизма $\overline\phi\in E_g$. Представим двумерный тор $\mathbb T^2$ как пространство орбит действия диффеоморфизма $g$ на множестве $\mathbb R^2\setminus O$ и обозначим через $p\colon \mathbb R^2\setminus O\to\mathbb T^2$ естественную проекцию. Зафиксируем на торе $\mathbb T^2$ образующие $\widehat a=p(OX^+)$ и $\widehat b=p(\mathbb S^1)$. Положим $\widehat l_i=p(l_i)$ и $K_{\overline\phi}=B_{r_{\overline\phi}}\setminus B_{r_{\overline\phi}}/2$, $\widehat\gamma^i_{\overline\phi}=p(\gamma^i_{\overline\phi}\cap K_{\overline\phi})$. Тогда кривые $\widehat\gamma^i_{\overline\phi}$ являются узлами на торе $\mathbb T^2$, имеющими разложение $\langle1,-n_{\overline\phi}\rangle$, $n_{\overline\phi}\in\mathbb Z$, по базису $\widehat a$, $\widehat b$ (см., например, [13]). Дуга $\overline\phi_t$ будет гладким произведением дуг $\eta_t$ и $\zeta_t$, где: I) дуга $\eta_t$, $t\in[0,1]$, состоит из сжатий, совпадающих с диффеоморфизмом $\overline\phi_0$ вне множества $B_{r_0}$, и соединяет диффеоморфизм ${\eta}_0=\overline\phi_0$ с некоторым диффеоморфизмом ${\eta}_1\in E_g$ таким, что узлы $\widehat{\gamma}_{\eta_1}$ и $\widehat{\xi}_{\eta_1}$ имеют разложение $\langle1,0\rangle$ по базису $\widehat a$, $\widehat b$; II) дуга $\zeta_t\in E_g$, $t\in[0,1]$, соединяет диффеоморфизм $\zeta_0=\eta_1$ с диффеоморфизмом $\zeta_1$ таким, что $\widehat\gamma^i_{\zeta_1}=\widehat l_i$. В случае I), если $n_{\overline\phi}= 0$, то положим $\eta_t=\overline\phi_0$ для всех $t\in[0,1]$. В противном случае определим диффеоморфизм $\theta_t \colon \mathbb R^2\to\mathbb R^2$, $t\in[0,1]$, в полярных координатах $\rho$, $\varphi$ так, что $\theta_t(O)=O$ и ${\theta}_t(\rho e^{i\varphi})=\rho e^{i(\varphi+\varphi_t(\rho))}$, где $\varphi_t(\rho)$ – гладкая монотонная функция, равная $2n_{\overline\phi}\pi t$ для $\rho\leqslant1/2$ и равная $0$ для $\rho\geqslant1$. Тогда $\eta_t=\theta_t \overline\phi_0\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ – искомая дуга (рис. 8). В случае II) по построению диффеоморфизм $\eta_1\in E_g$ и узлы $\widehat \gamma^i_{\eta_1}$ имеют разложение $\langle1,0\rangle$ по базису $\widehat a$, $\widehat b$. Положим $\widehat L_k=p(L_k)$. Согласно предложению 1 существует гладко изотопный тождественному диффеоморфизм $\widehat h\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$ такой, что $\widehat h(\bigcup_{i=1}^k\widehat\gamma^i_{\eta_1})=\widehat L_k$. Для $r>0$ положим $K_r=B_r\setminus B_{r/2}$. Выберем открытое покрытие $D=\{D_1,\dots, D_q\}$ тора $\mathbb{T}^2$ такое, что компонента связности $\overline D_i$ множества $p^{-1}(D_i)$ является подмножеством $K_{r_i} $ для некоторых $r_i<r_{i-1}/2$ и $r_1\leqslant r_0/2$. Согласно [3; лемма о фрагментации] существуют гладко изотопные тождественному диффеоморфизмы $\widehat{w}_1, \dots, \widehat{w}_q\colon\mathbb {T}^2\to\mathbb{T}^2$ со следующими свойствами: i) для каждого $i\in\{1,\dots, q\}$ существует гладкая изотопия $\{\widehat{w}_{i,t}\}$, тождественная вне $D_{i}$ и соединяющая тождественное отображение и $\widehat{w}_{i}$; ii) $\widehat{h}=\widehat{w}_{1} \cdots \widehat {w}_q$. Пусть ${w}_{i,t}\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ – диффеоморфизм, который совпадает с $(p|_{K_{r_i}})^{-1}\widehat{w}_{i,t}p$ на $K_{r_i}$ и совпадает с тождественным отображением вне $K_{r_i}$ (рис. 9). Тогда искомая дуга определяется формулой Лемма 3 доказана. 7.1. Изменение динамики в окрестности аттрактораВ этом пункте мы докажем, что динамику градиентно-подобного 2-диффеоморфизма в окрестности гладко вложенного замыкания неустойчивого многообразия седловой точки можно заменить на любую топологически сопряженную переходом по дуге без бифуркаций. Лемма 4. Пусть: Тогда существуют дуга без бифуркаций $\varphi_t\colon M^2\to M^2$, $t\in[0,1]$, и окрестность $K_*\subset K_0$ кривой $c$ со следующими свойствами: 1) $\varphi_0=\phi_0$, $\varphi_1$ совпадает c $\phi_1$ на $K_{*}$ и совпадает с $\phi_0$ вне $K_0$; 2) $\phi_1$ совпадает с $\phi_0$ вне $K_0$, и если $\phi_1$ совпадает с $\phi_0$ в некоторой окрестности стока на кривой $c$, то $\varphi_t$ совпадает с $\phi_0$ в этой окрестности. Доказательство. Рассмотрим случай, когда кривая $c$ является замкнутой (в случае, когда кривая $c$ не является замкнутой, доказательство аналогичное). Тогда существует гладкое вложение $\nu\colon \mathbb S^1\times[-1,1]\to M^2$ такое, что $\nu\colon \mathbb S^1\times\{0\}\,{=}\,c$ и $K_0=\nu(\mathbb S^1\times[-1,1])$. Искомая дуга $\varphi_t$ будет гладким произведением дуг без бифуркаций $\mu_t$ и $\delta_t$, где: I) дуга $\mu_t$, $t\in[0,1]$, соединяет диффеоморфизм $\mu_0=\varphi_0$ с диффеоморфизмом $\mu_1$ таким, что $\Omega_{\eta_1|_c}=\Omega_{\phi_1|_c}$; II) дуга $\delta_t$, $t\in[0,1]$, соединяет диффеоморфизм $\delta_0=\mu_1$ с искомым диффеоморфизмом $\delta_1=\varphi_1$. В случае I), если $\Omega_{\phi_0|_c}=\Omega_{\phi_1|_c}$, то $\mu_t=\phi_0$ для всех $t\in[0,1]$. В противном случае по условию диффеоморфизмы $w_0={\phi_0}|_c$, $w_1={\phi_1}|_c$ являются топологически сопряженными грубыми преобразованиями окружности. В силу [17] они имеют равные количества гиперболических притягивающих и отталкивающих периодических точек, чередующихся на окружности. Тогда возможны три случая расположения этих точек на окружности $c$: 1) существуют периодические точки $p_0^0$, $p_0^1$ диффеоморфизмов $w_0$, $w_1$ соответственно, которые совпадают и имеют одинаковые устойчивости; 2) существует дуга $\beta\subset c$ такая, что $\operatorname{int}\beta$ содержит периодические точки $p_0^0$, $p_0^1$ диффеоморфизмов $w_0$, $w_1$ соответственно с одинаковыми устойчивостями и не содержит других периодических точек диффеоморфизмов $w_0$, $w_1$; 3) существует дуга $\beta\subset c$ такая, что $\operatorname{int}\beta$ содержит все периодические точки обоих диффеоморфизмов $p_0^0,p_1^0,p_0^1,p_1^1,\dots,p_{2n-2}^0,p_{2n-1}^0,p_{2n-2}^1,p_{2n-1}^1$, расположенные на дуге в указанном порядке, где $p_{2i}^0$, $p_{2i}^1$ – притягивающие точки, $p_{2i-1}^0$, $p_{2i-1}^1$ – отталкивающие точки диффеоморфизмов $w_0$, $w_1$ соответственно для $i\in\{0,\dots,n-1\}$. В случае 1) положим $\beta=c\setminus U_0$, где $U_0$ – дуга окружности $c$, содержащая точку $p_0^0$ и не содержащая никаких других периодических точек диффеоморфизмов $w_0$, $w_1$. Выберем трубчатую окрестность $N(\beta)\subset K_0$ дуги $\beta$ так, что существует диффеоморфизм $h\colon N(\beta)\to\Pi$, где $\Pi= [0,1]\times[-1,1]$. Перенумеруем как $p_1^0,p_2^0,\dots,p_{2n-1}^0$ и $p_1^1,p_2^1,\dots,p_{2n-1}^1$ периодические точки диффеоморфизмов $w_0$ и $w_1$ соответственно на дуге $\beta$ так, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 0<h(p_1^0)<h(p_2^0)<\dots<h(p_{2n-1}^0)<1, \\ 0<h(p_1^1)<h(p_2^1)<\dots<h(p_{2n-1}^1)<1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим гладкую монотонно возрастающую функцию $r(x)\colon [0,1]\to[0,1]$, являющуюся тождественной в некоторых окрестностях точек $0$, $1$ и на множестве $h(\nu(B))$, такую, что $r(h(p_i^0))=h(p_i^1)$ (рис. 10). Положим $r_t(x)=tr(x)+(1-t)x$, $x\in[0,1]$, $t \in [0,1]$, и $r_{t,y}(x)=(1-y)r_t(x)+yx$, $x\in [0,1]$, $t\in[0,1]$, $y \in [0,1]$. Определим гладкую изотопию $R_t\colon \Pi\to\Pi$ формулой Поскольку изотопия $R_t$ является тождественной на $\partial\Pi$ для всех $t\in[0,1]$, то существует гладкая изотопия $\rho_t\colon M^2\to M^2$, тождественная вне $N(\beta)$ и совпадающая с $h^{-1}R_th$ на $N(\beta)$. Тогда $\mu_t=\rho_tf\rho^{-1}_t$ является искомой изотопией, совмещающей периодические точки диффеоморфизма $w_0$ с периодическими точками диффеоморфизма $w_1$ на дуге $\beta$.В случае 2) (используя технику, описанную выше) получаем, что искомая изотопия $\mu_t$ составляется из изотопии, совмещающей точку $p_0^0$ с точкой $p_0^1$ на дуге $\beta$, и изотопии, совмещающей периодические точки диффеоморфизма $w_0$ с периодическими точками диффеоморфизма $w_1$ на дуге, дополнительной к $\beta$. В случае 3) искомая изотопия $\mu_t$ совмещает периодические точки диффеоморфизма $w_0$ с периодическими точками диффеоморфизма $w_1$ с сохранением порядка на дуге $\beta$. Если $\phi_1$ совпадает с $\phi_0$ в некоторой окрестности стока на кривой $c$, то, очевидно, дугу $\mu_t$ можно построить совпадающей с $\phi_0$ в этой окрестности. В случае II), если ${\mu_1}$ совпадает с $\phi_1$ в некоторой окрестности окружности $c$, то $\delta_t=\mu_1$ для всех $t\in[0,1]$. В противном случае, поскольку окружность $c$ является аттрактором для диффеоморфизма $\phi_1$, то существует гладкое кольцо $K\subset \operatorname{int}K_{0}$, являющееся захватывающей окрестностью аттрактора $c$ диффеоморфизма $\phi_1$. Выберем значение $0<\varepsilon_*<1$ так, что для кольца $K_*=\nu(\mathbb S^1\times[-\varepsilon_*,\varepsilon_*])$ справедливо включение $K_{*}\subset \operatorname{int}(\phi^2_1(K)\cap \mu^2_1(K_0))$. Из теоремы о кольце (см., например, [31]) получаем, что существует диффеоморфизм $\gamma\colon K\to K_0$ такой, что $\gamma|_{K_{\varepsilon_*}}=\mathrm{id}$ и $\gamma(\phi^i_1(K))=\mu^i_1(K_0)$, $i=1,2$. Зададим на $\mathbb S^1\times[-1,1]$ диффеоморфизмы $\widetilde\phi_1=\nu^{-1}\gamma\phi_1\gamma^{-1}\nu$ и $\widetilde\mu_1=\nu^{-1}\mu_1\nu$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde\xi_t=(1-t)\widetilde\mu_1+t\widetilde\phi_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда дуга $\widetilde q_t=\widetilde\mu_1^{-1}\widetilde\xi_t$ соединяет тождественное отображение $\widetilde q_0=\mathrm{id}$ с диффеоморфизмом $\widetilde q_1=\widetilde\mu_1^{-1}\widetilde\phi_1$ и $\widetilde q_t(\widetilde\mu_1(\mathbb S^1\times[-1,1]))\subset \mathbb S^1\times(-1,1)$. В силу теоремы о продолжении изотопии (см., например, [18; теорема 5.8]) существует изотопия $\widetilde Q_t\colon \mathbb S^1\times[-1,1]\to\mathbb S^1\times[-1,1]$, совпадающая с $\widetilde q_t$ на $\widetilde\mu_1(\mathbb S^1\times[-1,1])$ и тождественная на $\mathbb S^1\times\{-1,1\}$. Тогда искомая изотопия $\delta_t\colon M^2\to M^2$ совпадает с $\mu_1$ вне $K_0$ и совпадает с $\mu_1\nu{\widetilde Q}_t\nu^{-1}$ на $K_0$. Если $\phi_1$ совпадает с $\mu_1$ в некоторой окрестности стока на кривой $c$, то, очевидно, кольцо $K$ можно выбрать совпадающим с кольцом $K_0$ и диффеоморфизм $\gamma$ – тождественным в этой окрестности. Лемма 4 доказана. 7.2. Изменение динамики в блуждающем множествеЗамыкания неустойчивых седловых многообразий любого градиентно-подобного 2-диффеоморфизма образуют связный аттрактор этого диффеоморфизма, а дуальный к нему репеллер состоит из всех источников (см., например, [12]). В этом пункте мы докажем, что любые два диффеоморфизма, совпадающие в некоторых окрестностях таких аттрактора и репеллера, могут быть соединены дугой без бифуркаций. Лемма 5. Пусть градиентно-подобные 2-диффеоморфизмы $\varphi_0,\varphi_1\colon M^2\to M^2$ совпадают на замыканиях неустойчивых седловых многообразий и в некоторых их окрестностях, а также в окрестностях источников. Тогда существует дуга без бифуркаций, их соединяющая. Доказательство. Пусть $A$ – аттрактор диффеоморфизмов $\varphi_0$, $\varphi_1$, образованный замыканиями неустойчивых многообразий всех седловых точек, и $R$ – дуальный к нему репеллер, состоящий из источников. Пусть $K_A$ – захватывающая окрестность аттрактора $A$. Тогда каждая компонента связности $M^2\setminus K_A$ является двумерным диском, лежащим в бассейне некоторого источника из репеллера $R$. Выберем в репеллере источники $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ с попарно не пересекающимися орбитами периодов $m_1,\dots, m_k$ соответственно так, что
Ниже мы построим дугу $H_{\varphi_0,\alpha_1,t}$ без бифуркаций со следующими свойствами:
Аналогичным образом строятся дуги $H_{\varphi_{\alpha_1},\alpha_2,t},\dots, H_{\varphi_{\alpha_{k-1}},\alpha_k,t}$. Тогда искомая дуга $\varphi_t$ будет следующим гладким произведением дуг:
$$
\begin{equation*}
\varphi_t=H_{\varphi_0,\alpha_1,t}*\dots*H_{\varphi_{\alpha_{k-1}},\alpha_k,t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь построим дугу $H_{\varphi_0,\alpha_1,t}$. Для простоты будем считать источник $\alpha_1$ неподвижным. В случае, когда точка $\alpha_1$ является периодической с периодом $m_1$, достаточно взять изотопию для диффеоморфизма $f^{m_1}$ с неподвижной точкой $\alpha_1$ и распространить ее вдоль окрестности орбиты точки $\alpha_1$ в силу диффеоморфизма $\varphi_0$. Обозначим через $\Phi_{\varphi_1}$ множество градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхности $M^2$, совпадающих с $\varphi_1$ на $K_A$ и в некоторой окрестности точки $\alpha_1$ (в частности, диффеоморфизм $\varphi_0$ принадлежит множеству $\Phi_{\varphi_1}$). Тогда любой диффеоморфизм $\varphi\in\Phi_{\varphi_1}$ гладко сопряжен на $W_{\alpha_1}^{\mathrm u}\setminus\alpha_1$ с $\varphi_1$ посредством диффеоморфизма где $k\in\mathbb Z$ такое, что $\varphi^k(x)\in K_A$ для $x \in W_{\alpha_1}^{\mathrm u}\setminus\alpha$. Таким образом, $\varphi_1=\rho_{\varphi} \varphi_0 \rho_{\varphi}^{-1}$ на $W_{\alpha_1}^{\mathrm u}\setminus\alpha_1$.Для диффеоморфизма $\varphi$ возможны два случая: I) $\rho_{\varphi}$ гладко продолжается на точку $\alpha_1$ условием $\rho_{\varphi}(\alpha_1)=\alpha_1$; II) $\rho_{\varphi}$ не продолжается гладко на точку $\alpha_1$. В случае I) в силу [32] диффеоморфизм $\rho_{\varphi}$ изотопен тождественному. Более того, в силу теоремы Тома о продолжении изотопии на $W_{\alpha_1}^{\mathrm u}$ существует гладкая изотопия $\varrho_{\varphi,t}$ такая, что $\varrho_{\varphi,0}=\mathrm{id}$, $\varrho_{\varphi,1}=\rho_{\varphi}$ и $\varrho_{\varphi,t}=\mathrm{id}$, $t\in[0,1]$, в некоторой окрестности $K_\varphi\subset K_A$ аттрактора $A$. Изотопия $\varrho_{\varphi,t}$ продолжается до изотопии несущей поверхности $\varrho_{\varphi,t}\colon M^2\to M^2$ тождественным отображением вне $W^{\mathrm u}_{\alpha_1}$. Тогда дуга без бифуркаций
$$
\begin{equation*}
H_{\varphi,\alpha_1,t}=\varrho_{\varphi,t}^{-1}\varphi\varrho_{\varphi,t}
\end{equation*}
\notag
$$
соединяет диффеоморфизм $\varphi$ с диффеоморфизмом $\varphi_1$. В случае II) применим следующую конструкцию. Пусть $(U_{\alpha_1}, \psi_{\alpha_1})$, $\psi_{\alpha_1}$: $U_{\alpha_1} \to \mathbb R^2$, $\psi_{\alpha_1}=O$ – локальная карта многообразия $M^2$. Рассмотрим на $\mathbb R^2$ диффеоморфизмы $\overline{\varphi}=\psi_{\alpha_1} \varphi \psi_{\alpha_1}^{-1}$, $\overline{\varphi_1}=\psi_{\alpha_1} \varphi_1 \psi_{\alpha_1}^{-1}$ и $\overline{\rho}_\varphi=\psi_{\alpha_1} \rho_\varphi \psi_{\alpha_1}^{-1}$, являющиеся локальными представлениями диффеоморфизмов $\varphi$, $\varphi_1$ и $\rho$ соответственно. Поскольку точка $O$ является гиперболическим источником диффеоморфизмов $\varphi$ и $\varphi_1$, то существует 2-диск $B_\varphi\ni O$ такой, что $\overline\varphi^{-1}(B_\varphi)\subset \operatorname{int} B_\varphi$ и кольцо $K_\varphi$ является фундаментальной областью ограничения диффеоморфизма $\overline \varphi$ на $\operatorname{int}B_\varphi\setminus\{O\}$. Представим $\mathbb T^2$ как пространство орбит $(\operatorname{int} B_\varphi\setminus\{O\})/{\overline \varphi}$. Обозначим через $p_\varphi\colon B_\varphi\setminus\{O\}\to\mathbb T^2$ естественную проекцию. Тогда кривая $b=p_\varphi(\partial B_\varphi)$ имеет гомотопический тип $\langle0,1\rangle$ и можно однозначно определить кривую $a$, имеющую гомотопический тип $\langle1,0\rangle$, такую, что кривые $a$, $b$ являются образующими фундаментальной группы $\pi_1(\mathbb T^2)$. Так как $\overline\rho_\varphi$ переводит орбиты $\overline\varphi$ в орбиты $\overline\varphi_1$ и $K_\varphi$ является общей фундаментальной областью для $\overline\varphi$, $\overline\varphi_1$ на $\operatorname{int}B_\varphi\setminus\{O\}$, то $\overline\rho_\varphi$ проектируется на $\mathbb T^2$ формулой $\widehat{\rho}_\varphi=p_\varphi\overline\rho_\varphi p_\varphi^{-1}$. Тогда индуцированный изоморфизм $\widehat{\rho}_{\varphi*}\colon \pi_1(\mathbb T^2)\to\pi_1(\mathbb T^2)$ сохраняет гомотопический класс образующей $a$ и, следовательно, задается матрицей для некоторого целого $n_\varphi$.Рассмотрим два подслучая: a) $n_\varphi=0$; b) $n_\varphi\neq 0$. В подслучае a) построим дугу без бифуркаций $\nu_{\varphi,t}\colon M^2\to M^2$ такую, что $\nu_{\varphi,0}=\varphi$, $\nu_{\varphi,1}\in \Phi_{\varphi_1}$ и диффеоморфизм $\rho_{\nu_{\varphi,1}}$ гладко продолжается на источник $\alpha_1$. Тогда дуга без бифуркаций
$$
\begin{equation*}
H_{\varphi,\alpha_1,t}=\nu_{\varphi,t}*(\varrho_{\nu_{\varphi,1},t}^{-1} \nu_{\varphi,1}\varrho_{\nu_{\varphi,1},t})
\end{equation*}
\notag
$$
соединяет диффеоморфизм $\varphi$ с диффеоморфизмом $\varphi_1$. Опишем построение дуги $\nu_{\varphi,t}$. Выберем покрытие $U=\{U_1,\dots, U_q\}$ тора $\mathbb{T}^2$, состоящее из 2-дисков таких, что некоторая компонента связности множества $p_\varphi^{-1}(U_i)$ является подмножеством кольца $K_i=B_i\setminus \overline\varphi^{-1}(B_i)$, полученного из 2-диска $B_i$, такого, что $B_i\subset\overline\varphi^{-1}(B_\varphi)$, $i=1,\dots,q$. В силу леммы о фрагментации (см. [3]) существуют гладко изотопные тождественному диффеоморфизмы $\widehat {w}_{1}, \dots, \widehat {w}_{q}\colon \mathbb {T}^2\to\mathbb{T}^2$ такие, что: i) для каждого $i=1,\dots, q$ существует $U_{j (i)} \in U$ такое, что для каждого $t\in [0,1] $ отображение $\widehat{w}_{i, t} $ является тождественным вне $U_{j (i)}$, где $\{\widehat{w}_{i,t}\}$ – гладкая изотопия между тождественным отображением и $\widehat{w}_{i}$; ii) $\widehat\rho_{\varphi}=\widehat{w}_{1} \dotsb \widehat {w}_{q} $. Выберем числа $n_i\in\mathbb N$ так, что $\overline\varphi^{-n_q}(B_{j(q)})\subset\dots\subset\overline\varphi^{-n_1}(B_{j(1)})$. Положим $\overline K_i=\overline\varphi^{-n_{j(i)}}(B_{j(i)})\setminus \overline\varphi^{-n_{j(i)}-1}(B_{j(i)})$. Обозначим через $\overline w_{i,t}\colon \mathbb R^2\to\mathbb R^2$ диффеоморфизм, совпадающий с $(p_\varphi|_{\overline K_{i}})^{-1}\widehat w_{i,t}p_\varphi$ на $\overline K_i$ и тождественный вне $\overline K_i$. Положим $\overline w_t=\overline w_{1,t}\cdots\overline w_{q,t}$ и $\overline\nu_{\varphi,t}=\overline\varphi\,\overline w^{-1}_t$. Обозначим через $\nu_{\varphi,t}\colon M^2\to M^2$ диффеоморфизм, совпадающий с $\psi_{\alpha_1}^{-1}\overline \nu_{\varphi,t} \psi_{\alpha_1}$ на $B_\varphi$ и совпадающий с $\varphi$ вне $B_\varphi$. Тогда $\nu_{\varphi,1}\in\Phi_{\varphi_1}$, поскольку $\overline\nu_{\varphi,1}$ совпадает с $\overline\varphi_1$ на некотором диске $B_{\nu_{\varphi,1}}=\overline\varphi^{-m}(B_\varphi)\subset\overline\varphi^{-n_{j(q)}-1}(B_{j(q)})$. По построению $\overline\rho_{\nu_{\varphi,1}} =\overline\varphi_1^{-m}\overline\rho_{\varphi}(\overline\varphi\,\overline w^{-1}_1)^{m}$ и, следовательно, $\widehat\rho_{\nu_{\varphi,1}}(\widehat x)=\widehat x$, $\widehat x\in \mathbb T^2$. Таким образом, диффеоморфизм $\rho_{\nu_{\varphi,1}}$ в окрестности точки $\alpha_1$ совпадает с некоторой степенью диффеоморфизма $\varphi$ и, следовательно, гладко продолжается на точку $\alpha_1$. В подслучае b) построим дугу без бифуркаций $\mu_{\varphi,t}\colon M^2\to M^2$ такую, что $\mu_{\varphi,0}=\varphi$, $\mu_{\varphi,1}\in \Phi_{\varphi_1}$ и $n_{\mu_{\varphi,1}}=0$. Тогда дуга без бифуркаций
$$
\begin{equation*}
H_{\varphi,\alpha_1,t}=\mu_{\varphi,t}*\nu_{\mu_{\varphi,1},t}* (\varrho_{\nu_{\mu_{\varphi,1},1},t}^{-1}\nu_{{\mu_{\varphi,1},1}} \varrho_{\nu_{\mu_{\varphi,1},1},t})
\end{equation*}
\notag
$$
соединяет диффеоморфизм $\varphi$ с диффеоморфизмом $\varphi_1$. Опишем построение дуги $\mu_{\varphi,t}$. Введем на диске $B_\varphi$ координаты $r$, $\phi$, в которых кривая $\overline\varphi^{-k}(\partial B_\varphi)$, $k\in\mathbb N$, имеет вид $r=2^{-k}$, $\phi\in[0,2\pi)$. Определим диффеоморфизм $\overline\theta_t\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^2$ так, что $\overline\theta_t(O)=O$ и $\overline{\theta}_t(r,\phi)=r e^{i(\phi+\phi_t(r))}$, где $\phi_t(r)$ – гладкая монотонная функция, равная $-2n_{\varphi}\pi t$ для $r\leqslant1/2$ и равная $0$ для $r\geqslant{1}$. Положим $ \overline\mu_{\varphi,t}=\overline\varphi\overline\theta_t$ и обозначим через $\mu_{\varphi,t}\colon M^2\to M^2$ диффеоморфизм, совпадающий с $\psi_{\alpha_1}^{-1}\overline \mu_{\varphi,t} \psi_{\alpha_1}$ на $B_\varphi$ и совпадающий с $\varphi$ вне $B_\varphi$. Тогда $\mu_{\varphi,1}\in\Phi_{\varphi_1}$, поскольку $\overline\mu_{\varphi,1}$ совпадает с $\overline\varphi_1$ на диске $B_{\mu_{\varphi,1}}=\overline\varphi^{-1}(B_\varphi)$. По построению $\overline\rho_{\mu_{\varphi,1}}=\overline\varphi_1^{-1} \overline\rho_{\varphi}\overline\varphi\overline\theta_1$ и, следовательно, $n_{\mu_{\varphi,1}}=0$. Лемма 5 доказана. § 8. Построение дуги $H_{J,t}$8.1. Построение вспомогательных функцийВ этом пункте мы построим модельные функции, которые в дальнейшем будут использованы в построении устойчивой дуги. В основе построения лежит принцип склейки бесконечно гладких функций посредством следующей сигмоид-функции. Пусть $a<b$ и $\delta_{a;b}\colon \mathbb R\to[0,1]$ – сигмоид-функция, определенная формулой (рис. 11)
$$
\begin{equation*}
\delta_{a;b}(x)= \begin{cases} 0,&x\leqslant a, \\ \dfrac{1}{1+\exp\Bigl(\frac{(a+b)/2-x}{{(x-a)}^2{(x-b)}^2}\Bigr)}, &a<x<b, \\ 1,&x\geqslant b. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функцию $\overline \phi_1\colon \mathbb R\to\mathbb R$ формулой (рис. 12)
$$
\begin{equation*}
\overline \phi_1(x)= x-\frac{1}{12\pi}\sin\biggl(6\pi\biggl (x-\frac{1}{4}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функцию $\overline g_1\colon \mathbb R\to\mathbb R$ формулой (рис. 13)
$$
\begin{equation*}
\overline g_1 (x)= \begin{cases} \overline {\phi}_0(x), &0\leqslant x \leqslant 0.26, \\ (1-\delta_{0.26; 0.27}(x))\overline \phi_0(x)+\delta_{0.26; 0.27}(x) \overline \phi_1(x), &0.26< x <0.27, \\ \overline {\phi}_1(x), &0.27 \leqslant x \leqslant 0.76, \\ (1-\delta_{0.76; 0.77}(x))\overline \phi_1(x)+\delta_{0.76; 0.77}(x) \overline \phi_0(x), &0.76< x <0.77, \\ \overline {\phi}_0(x), &0.77 \leqslant x \leqslant 1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функцию $\overline \phi_2\colon \mathbb R\to\mathbb R$ формулой (рис. 14)
$$
\begin{equation*}
\overline \phi_2(x) = x+\frac{1}{4\pi}\sin\biggl(\frac{5}{6}\pi\biggl(x-\frac{5}{12}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функцию $\overline g_2\colon \mathbb R\to\mathbb R$ формулой (рис. 15)
$$
\begin{equation*}
\overline g_2 (x)= \begin{cases} \overline {g}_1(x), &0\leqslant x \leqslant 0.42, \\ (1-\delta_{0.42; 0.43}(x))\overline g_1(x)+ \delta_{0.42; 0.43}(x) \overline \phi_2(x), &0.42< x <0.43, \\ \overline {\phi}_2(x), &0.43 \leqslant x \leqslant 0.98, \\ (1-\delta_{0.98; 0.99}(x))\overline \phi_2(x)+ \delta_{0.98; 0.99}(x) \overline g_1(x), &0.98< x <0.99, \\ \overline {g}_1(x), &0.99 \leqslant x \leqslant 1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
8.2. Построение модельных дугВ этом пункте мы построим дуги, которые являются основными компонентами, составляющими дугу $H_{J,t}$. Для $n\in\mathbb Z$ положим $J_n=\begin{pmatrix} 1& 0\\ n& 1\end{pmatrix}$. Лемма 6. Диффеоморфизм $f_0$ соединяется с диффеоморфизмом $f_{J_1}$ устойчивой дугой $H_{0,1,t}$ с двумя типично проходящими некритическими седло-узловыми бифуркациями. Доказательство. Везде далее в этом доказательстве отображения без черты являются проекциями на $\mathbb S^1$ посредством $ \pi $ отображения с чертой, заданного на прямой $\mathbb R$. Устойчивая дуга $H_{0,1,t}$, соединяющая диффеоморфизм $f_0$ с диффеоморфизмом $f_{J_1}$, является произведением дуг $\Gamma^1_t$, $\Gamma^2_t$, построенных в шаге 1 и шаге 2 ниже, и дуги $H_{\Gamma^2_1,t}$. Шаг 1. Первая седло-узловая бифуркация. 1. Рождение седло-узловой точки. Начнем с диффеоморфизма $f_0\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$, определенного формулой
$$
\begin{equation*}
f_0(z,w)=(\phi_0(z),\phi_0(w)), \qquad z,w\in\mathbb S^1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline\eta^1_t(x)=(1-t)\overline{\phi}_0(x)+t\overline g_1(x), \qquad x\in\mathbb R, \quad t\in[0,1], \\ \overline\eta^1_{t,\tau}(x)=(1-\tau)\overline{\eta}^1_t(x)+\tau\overline \phi_0(x), \qquad x\in\mathbb R, \quad t\in[0,1], \quad \tau\in[0,1]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим гладкую дугу $H^1_t\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$, $t\in [0,1]$, формулой
$$
\begin{equation*}
H^1_t(z,w)= \begin{cases} (\phi_0(z),\eta^1_{t,|8x-2|}(w)), &z=\pi(x), \ \ x\in\biggl(\dfrac18,\dfrac38\biggr), \ \ w\in\mathbb S^1, \\ f_0(z,w), &z=\pi(x), \ \ x\in\biggl(-\dfrac{5}{8},\dfrac18\biggr), \ \ w\in\mathbb S^1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
При $t=3/4$ диффеоморфизм $H^1_{3/4}$ имеет седло-узловую точку $p=(N,\pi(0))$, устойчивое многообразие которой диффеоморфно полуплоскости, границей которой является дуга $\gamma_p$ (рис. 16). 2. Поворот сепаратрисы седла $\sigma_2$. Рассмотрим фундаментальную область $K=[\pi(0),\pi(1/4)] \times \mathbb S^1$ ограничения диффеоморфизма $f_0$ на $V=[\pi(-1/4), \pi(1/4)] \times \mathbb S^1 $. Положим $\widehat V=V/f_0$. Тогда $\widehat V$ – двумерный тор, полученный из $K$ отождествлением границ в силу отображения $f_0$. Обозначим через $q\colon V\to\widehat V$ естественную проекцию. Положим $\widehat \gamma_{2}=q(W^{\mathrm u}_{\sigma_2}\cap V)$ и $\widehat \gamma_{1}=q(W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\cap V)$. Поскольку диффеоморфизм $H_t$ при всех $t\in[0,1]$ совпадает с $f_0$ на кольце $[\pi(-1/4),\pi(1/8)]\times \mathbb S^1 $, то корректно определена окружность $\widehat\gamma_p=q(\gamma_p\cap K)$. Положим $W=[\pi(-1/4),\pi(1/4)] \times [\pi(-1/4),\pi(1/4)]$ и $\widehat W=p(W)$. По построению окружность $\widehat\gamma_p$ делит кольцо $\widehat W$ на два кольца, замыкания которых обозначим через $\widehat W_1$, $\widehat W_2$, полагая, что $\widehat\gamma_{1}\subset\widehat W_1$ и $\widehat\gamma_{2}\subset\widehat W_2$ (рис. 17). Выберем гладкую не гомотопную нулю кривую $\widehat\gamma\subset \operatorname{int}\widehat W_1$, трансверсальную проекции сильно устойчивого слоения седло-узловой точки. Такая кривая всегда существует, поскольку проекция каждого слоя этого слоения является кривой, накручивающейся на узел $\widehat\gamma_{1}$ (см. рис. 17). Согласно работе [31] существует гладко изотопный тождественному диффеоморфизм $\widehat h_1\colon \widehat V\to\widehat V$ такой, что $\widehat h_1 (\widehat\gamma_2)=\widehat\gamma$. Для $x_i\in [-1/4,0]$ положим $K_{i}=[ \pi(x_i),(\pi(\overline\phi_0^{-1}(x_i))] \times \mathbb S^1$. Выберем открытое покрытие $D=\{D_1,\dots, D_{k_1}\}$ тора $\mathbb{T}^2$ такое, что компонента связности $\overline D_i$ множества $q^{-1}(D_i)$ является подмножеством $K_{i} $ для некоторых $x_i<\overline\phi_0^{-1}(x_{i-1})$. Согласно лемме о фрагментации (см. [3]) существуют гладко изотопные тождественному диффеоморфизмы $\widehat{w}_{1}, \dots, \widehat {w}_{k_1}\colon \mathbb {T}^2\to\mathbb{T}^2$ со следующими свойствами: i) для каждого $i\in\{1,\dots, k_1\}$ существует гладкая изотопия $\{\widehat{w}_{i,t}\}$, тождественная вне $D_{i}$ и соединяющая тождественное отображение и $\widehat{w}_{i}$; ii) $\widehat{h}_1=\widehat{w}_{1} \cdots \widehat {w}_{k_1} $. Пусть ${w}_{i,t}\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ – диффеоморфизм, который совпадает с $(q|_{K_{i}})^{-1}\widehat{w}_{i,t}q$ на $K_{i}$ и совпадает с тождественным отображением вне $K_{i}$. Положим
$$
\begin{equation*}
{\zeta}_{t}={w}_{1,t}\dotsb {w}_{k_1,t}f_0, \qquad G^1_t=\begin{cases} \zeta_{2t},&0\leqslant t<\dfrac12, \\ \zeta_1,&\dfrac12\leqslant t\leqslant 1 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
(рис. 18). 3. Объединение изотопий $H^1_t$ и $G^1_t$. Определим гладкую дугу $\Gamma^1_t \colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$, $t\in [0,1]$, формулой (рис. 19)
$$
\begin{equation*}
\Gamma^1_t(z,w)= \begin{cases} H^1_t(z,w),&z=\pi(x),\ \ x\in\biggl(\dfrac18,\dfrac38\biggr),\ \ w\in\mathbb S^1, \\ G^1_t(z,w),&z=\pi(x),\ \ x\in\biggl(-\dfrac14,0\biggr),\ \ w\in\mathbb S^1, \\ f_0(z,w),&z=\pi(x),\ \ x\in\biggl[-\dfrac{5}{8},-\dfrac14\biggr]\cup \biggl[0,\dfrac18\biggr],\ \ w\in\mathbb S^1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 2. Вторая седло-узловая бифуркация. 1. Слияние седловой и узловой точек. Для всех $t\in [0,1]$ положим $\overline{\eta}^2_t(x)=t\overline{g_2}(x)+(1-t)\overline{g_1}(x)$, $x\in\mathbb{R}$ и
$$
\begin{equation*}
\overline\eta^2_{t,\tau}(x)=(1-\tau)\overline{\eta}^2_t(x)+\tau\overline \phi_0(x), \qquad x\in\mathbb R, \quad t\in[0,1], \quad \tau\in[0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Определим гладкую дугу $H^2_t\colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$, $t\in [0,1]$, формулой
$$
\begin{equation*}
H^2_t(z,w)= \begin{cases} (\phi_0(z),\eta^2_{t,|8x-2|}(z)),&z=\pi(x),\ \ x\in\biggl(\dfrac18,\dfrac38\biggr),\ \ w\in\mathbb S^1, \\ \Gamma_1(z,w),&z=\pi(x),\ \ x\in\biggl(-\dfrac{5}{8},\dfrac18\biggr),\ \ w\in\mathbb S^1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Дуга $H^2_t$ реализует слияние стока $\widetilde\omega$ и седла $\sigma_1$ в седло-узловую точку $\widetilde p$ и дальнейшее ее исчезновение. Обозначим через $\beta_{\widetilde p}$ границу устойчивого многообразия седло-узла $\widetilde p$. 2. Поворот сепаратрисы седла $\sigma_2$. Поскольку диффеоморфизм $H^2_t$ при всех $t\in[0,1]$ совпадает с $f_0$ на кольце $K$, то корректно определены окружности $\widehat \beta_{2}=q(W^{\mathrm u}_{\sigma_2}\cap K)$, $\widehat \beta_{1}=q(W^{\mathrm s}_{\widetilde {\sigma}}\cap K)$ и $\widehat\beta_{\widetilde {p}}=q(\beta_{\widetilde {p}}\cap K)$. Пусть $\widehat W_3$ – окрестность кривой $\widehat \beta_{1}$; тогда выберем гладкую не гомотопную нулю кривую $\widehat\gamma\subset \widehat W_3$, трансверсальную проекции сильно устойчивого слоения седло-узловой точки. Такая кривая всегда существует, поскольку проекция каждого слоя этого слоения является кривой, накручивающейся на узел $\widehat\beta_{1}$ (строим аналогично п. 2 шага 1). Согласно работе [31] существует гладко изотопный тождественному диффеоморфизм $\widehat h_2\colon \widehat V\to\widehat V$ такой, что $\widehat h_2 (\widehat\beta_{2})=\widehat\beta$ и $\widehat h_2 (\widehat\beta_{1})=\widehat\beta_1$. Выберем открытое покрытие $U=\{U_1,\dots, U_{k_2}\}$ тора $\mathbb{T}^2$ такое, что компонента связности $\overline U_i$ множества $q^{-1}(U_i)$ является подмножеством $K_{i} $ для некоторых $x_i<\overline\phi_0^{-1}(x_{i-1})$. Согласно лемме о фрагментации (см. [3]) существуют гладко изотопные тождественному диффеоморфизмы $\widehat{v}_{1}, \dots, \widehat {v}_{k_2}\colon \mathbb {T}^2\to\mathbb{T}^2$ со следующими свойствами: i) для каждого $i\in\{1,\dots, k_2\}$ существует гладкая изотопия $\{\widehat{v}_{i,t}\}$, тождественная вне $U_{i}$ и соединяющая тождественное отображение и $\widehat{v}_{i}$; ii) $\widehat{h}_2=\widehat{v}_{1} \cdots \widehat {v}_{k_2} $. Пусть ${v}_{i,t}\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ – диффеоморфизм, который совпадает с $(q|_{K_{i}})^{-1}\widehat{v}_{i,t}q$ на $K_{i}$ и совпадает с тождественным отображением вне $K_{i}$. Положим
$$
\begin{equation*}
{\xi}_{t}={v}_{1,t}\cdots {v}_{k_2,t}\Gamma_1, \qquad G^2_t=\begin{cases} \xi_{2t},&0\leqslant t<\dfrac12, \\ \xi_1,&\dfrac12\leqslant t\leqslant 1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
3. Объединение изотопий $H^2_t$ и $G^2_t$. Определим гладкую дугу $\Gamma^2_t \colon \mathbb T^2\to\mathbb T^2$, $t\in [0,1]$, формулой (рис. 20)
$$
\begin{equation*}
\Gamma^2_t(z,w)= \begin{cases} H^2_t(z,w),&z=\pi(x),\ \ x\in\biggl(\dfrac18,\dfrac38\biggr),\ \ w\in\mathbb S^1, \\ G^2_t(z,w),&z=\pi(x),\ \ x\in\biggl(-\dfrac14,0\biggr),\ \ w\in\mathbb S^1, \\ f_0(z,w),&z=\pi(x),\ \ x\in\biggl[-\dfrac{5}{8},-\dfrac14\biggr]\cup \biggl[0,\dfrac18\biggr],\ \ w\in\mathbb S^1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 1 диффеоморфизм $\Gamma^2_1$ можно соединить дугой без бифуркаций $H_{\Gamma^2_1,t}$ с диффеоморфизмом $f_{J_1}$. Обозначим через $H_{n,n+1,t}$ дугу с двумя седло-узловыми бифуркациями, соединяющую диффеоморфизмы $f_{J_n}$, $f_{J_{n+1}}$ и заданную формулой
$$
\begin{equation*}
H_{n,n+1,t}=\widehat J_n H_{0,1,t} \widehat J_n^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
8.3. Алгоритм построения дуги $H_{J,t}$В этом пункте, используя построенные выше модельные дуги, мы докажем следующую лемму. Лемма 7. Диффеоморфизм $f_J$ соединяется устойчивой дугой $H_{J,t}$ с конечным числом типично проходящих некритических седло-узловых бифуркаций с диффеоморфизмом $f_0$. Доказательство. Пусть $J= \begin{pmatrix} \mu^1& \mu^2\\ \nu^1& \nu^2\end{pmatrix}$ – унимодулярная целочисленная матрица такая, что $\mu^1\geqslant\mu^2\geqslant0$ и $\nu^1>\nu^2$, если $\mu^1=\mu^2$. Рассмотрим следующие возможности для матрицы $J$: 1) $\mu^2=0$; 2) $\mu^1=\mu^2=1$; 3) $\mu^2>\mu^1>0$. Построим дугу $H_{J,t}$ в каждом из случаев отдельно.
В случае 1) $J=J_n$. Если $n>0$, то $H_{J_n,t}=H_{n-1,n,1-t}\,{*}\,\cdots\,{*}\,H_{0,1,1-t}$ – искомая дуга. Если $n<0$, то $H_{J_n,t}=\widehat{J}_{n} H_{J_{-n},1-t} \widehat{J}_{n}^{-1}$ – искомая дуга. В случае 2) $H_{J,t}=\widehat{J} H_{J_{-1},1-t} \widehat{J}^{-1}*H_{J_{\nu^2,t}}$ – искомая дуга. В случае 3) применение алгоритма Евклида к паре $\mu_1$, $\mu_2$ порождает последовательность натуральных чисел $n_1,\dots,n_m$, $k_1,\dots,k_m$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu^1=n_1 \mu^2 + k_1, \qquad \mu^2=n_2 k_1 + k_2, \\ k_1=n_3 k_2 + k_3,\quad\dots,\quad k_{m-2}=n_m k_{m-1} + k_m, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $k_{m-1}=1$, $k_m=0$. Положим $k_{-1}=\mu^1$, $k_0=\mu^2$. Тогда последовательность $k_{-1},k_0,k_1,\dots,k_m$ удовлетворяет рекуррентному соотношению Положим $l_{-1}=\nu^1$, $l_0=\nu^2$ и определим последовательность $l_{-1},l_0,l_1,\dots,l_m$ рекуррентным соотношением Положим $L_i=\begin{pmatrix} k_{i-1}& k_i\\ l_{i-1}& l_i\end{pmatrix}$, $i=0, \dots ,m$. Тогда дуга $F_{i,t}=\widehat L_{i-1}H_{J_{-n_i},t}\widehat L_{i-1}^{-1}$, $i=1, \dots ,m$, соединяет диффеоморфизмы $f_{L_{i-1}}$ и $f_{L_i}$ и содержит $2n_i$ некритических седло-узловых бифуркаций. Поскольку $f_{L_m}=f_{J_{l_{m-1}}}$, то $H_{J,t}=F_{1,t}* \dots *F_{m,t}*H_{J_{l_{m-1}}}$ – искомая дуга. Лемма доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{NozPoc22} |
|
||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|