| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Построение новых полуортогональных разложений в арифметической геометрии М. В. Бондаркоab a Санкт-Петербургский государственный университет b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9752e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеЭта работа посвящена посвящена построению новых полуортогональных разложений (см. определения 2.3, 1 и 2.9, II, 2 ниже) из исходных; актуальность этой задачи обсуждается в замечании 1.4, 2. Доказывается несколько общих теорем существования; они применяются к различным триангулированным подкатегориям производной категории $D(\operatorname{Qcoh}(X))$ (см. определение 1.1, 7); мы всегда считаем $X$ схемой, собственной над спектром нётерова кольца $R$. Для получения этих следствий используются основные результаты статей [21] и [22], а также новая теорема 1.5. Сформулируем в важной теореме 1.3 некоторые результаты статьи на языке допустимых подкатегорий. Применив предложение 2.5, довольно легко вывести все эти утверждения из соответствующих фактов о разложениях (см. теорему 4.12); см. замечания 4.22 и 2.4 ниже. Во всей статье мы будем рассматривать только строго полные подкатегории и только малые копроизведения. Нам понадобятся следующие определения и обозначения. Определение 1.1. Пусть $\mathcal{D}$ — триангулированная категория, а $\mathcal{T},\mathcal{T}'$ и некоторые $\mathcal{T}_i$ – ее (строго полные) триангулированные подкатегории. 1. Будем говорить, что подкатегория $\mathcal{T}$ допустима слева (соответственно справа) в $\mathcal{D}$ если существует левый (соответственно правый) сопряженный к функтору вложения $\mathcal{T}\to \mathcal{D}$. Будем говорить, что подкатегория $\mathcal{T}$ допустима в $\mathcal{D}$, если она допустима и справа, и слева в этой категории. 2. Обозначим через $\mathcal{T}\cap{\mathcal{T}'}$ подкатегорию $\mathcal{D}$, класс объектов которой равен $\operatorname{Obj} \mathcal{T}\cap \operatorname{Obj} \mathcal{T}'$. Соответственно, мы будем обозначать семейство категорий $(\mathcal{T}_i\cap{\mathcal{T}'})$ через $(\mathcal{T}_i)\cap{\mathcal{T}'}$. 3. Пусть $C$ – аддитивная категория, а $M,N\in\operatorname{Obj} C$. Будем обозначать группу $C$-морфизмов из $M$ в $N$ через $C(M,N)$. Далее, если $D,E\subset \operatorname{Obj} \mathcal{D}$, то будем писать $D\perp E$, если $\mathcal{D}(X,Y)=\{0\}$ для всех $X\in D$, $Y\in E$. 4. Обозначим через $\mathcal{T}^\perp_{\mathcal{T}'}$ подкатегорию $\mathcal{T}'$, чей класс объектов равен
$$
\begin{equation*}
\{Y\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}'\colon \{X\}\perp \{Y\}\ \forall\, X\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем обозначать через ${}^{\perp}_{\mathcal{T}'}\mathcal{T}$ подкатегорию $\mathcal{T}'$, чей класс объектов равен
$$
\begin{equation*}
\{Y\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}'\colon \{Y\}\perp \{X\}\ \forall\, X\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, $(\mathcal{T}_i)^{\perp}_{\mathcal{T}'}$ будет обозначать семейство $(\mathcal{T}_i{}^{\perp}_{\mathcal{T}'})$. 5. Пусть категория $\mathcal{D}$ замкнута относительно (малых) копроизведений. Обозначим через $\mathcal{T}^{\coprod}$ наименьшую (строго полную) триангулированную подкатегорию категории $\mathcal{D}$, замкнутую относительно $\mathcal{D}$-копроизведений и содержащую $\mathcal{T}$. Далее, будем обозначать через $\mathcal{T}^{\coprod}_{\mathcal{T}'}$ (соответственно $(\mathcal{T}_i)^{\coprod}$ и $({\mathcal{T}_i})^{\coprod}_{\mathcal{T}'}$) категорию $\mathcal{T}^{\coprod}\cap {\mathcal{T}'}$ (соответственно семейства $(\mathcal{T}_i^{\coprod})$ и $(\mathcal{T}_i^{\coprod}\cap {\mathcal{T}'})$). 6. Во всей статье $R$ будет коммутативным кольцом с единицей. $R-\operatorname{mod}\subset R\text{-}\operatorname{Mod}$ будет обозначать подкатегорию конечнопорожденных $R$-модулей; $S=\operatorname{Spec} R$. 7. Для (фиксированной) схемы $X$, собственной над $S$, будем обозначать через
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{D}_{\mathrm p} &= D_{\mathrm{perf}}(X)\subset \mathcal{D}^{\mathrm{b}}= D^{\mathrm{b}}_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X)) \subset \mathcal{D}^-= D^-_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X)) \subset \mathcal{D}^{\mathrm u} \\ &= D_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X)) \subset \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}=D(\operatorname{Qcoh}(X)); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $D_{\mathrm{perf}}(X)\subset \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ – подкатегория совершенных комплексов на $X$ (см. [30; гл. 20, определение 20.49.1]); комплекс $N$ принадлежит $\mathcal{D}^{\mathrm u}$, если все его когомологические пучки $H^i(N)$ когерентны; он принадлежит еще и $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ (соответственно $\mathcal{D}^-$), если также $H^i(N)=0$ для $i\gg 0$ и $i\ll 0$ (соответственно только для $i\gg 0$). Кроме того, рассмотрим категорию $\mathcal{D}^+= D^+_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))\subset \mathcal{D}^{\mathrm u}$, которая определяется аналогично. Мы обсудим эти категории в замечании 1.4, 3 ниже; см. также замечание 3.1. 8. Будем говорить, что схема $X$ проективна над $S=\operatorname{Spec} R$, если $X$ – замкнутая подсхема проективизации $Y$ векторного расслоения $\mathcal{E}$ над $S$. 9. Говорим, что аддитивный функтор $\mathcal{D}\to \mathfrak{E}$, где $\mathfrak{E}$ – абелева категория, гомологичен, если он переводит выделенные треугольники в длинные точные последовательности. Замечание 1.2. Очевидно, все описанные в определении 1.1, 2–5 подкатегории $\mathcal{D}$ триангулированы; напомним, что “исходные” подкатегории строги. Теорема 1.3. Пусть кольцо $R$ нётерово, а $X$ – собственная схема над $S=\operatorname{Spec} R$. I. Пусть $\mathcal{X}$ – допустимая слева (соответственно справа) подкатегория в $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ (см. определение 1.1, 7). 1. Тогда категории $\mathcal{X}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}$, $\mathcal{X}^{\perp}_{\mathcal{D}^-}$ и $\mathcal{X}^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$ допустимы слева (соответственно справа) в $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$, $\mathcal{D}^-$ и $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ соответственно. 2. Если $X$ проективна (см. определение 1.1, 8) над $\operatorname{Spec} R$, то категория $\mathcal{X}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}$ допустима слева (соответственно справа) в $\mathcal{D}^{\mathrm u}$, а $\mathcal{X}^{\perp}_{\mathcal{D}^+}$ допустима слева (соответственно справа) $\mathcal{D}^+$. II. Пусть категория $\mathcal{W}$ допустима слева (соответственно справа) в $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$, а схема $X$ или регулярна и конечной размерности Крулля, или у всех ее целых замкнутых подсхем существуют регулярные альтерации1. 1. Тогда категория $\mathcal{W}$ равна ${\mathcal{X}}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}$ для некоторой допустимой слева (соответственно справа) подкатегории $\mathcal{X}$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm p}$. Кроме того, подкатегории $\mathcal{W}^{\coprod}_{\mathcal{D}^-}$ и $\mathcal{W}^{\coprod}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$ допустимы слева (соответственно справа) в категориях $\mathcal{D}^-$ и $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ соответственно. К тому же соответствие $\mathcal{W}\mapsto \mathcal{W} \cap \mathcal{D}_{\mathrm p}$ задает биекцию между допустимыми справа подкатегориями $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ и допустимыми слева подкатегориями $\mathcal{D}_{\mathrm p}$. 2. Допустим также, что схема $X$ проективна над $\operatorname{Spec} R$. Тогда категории $\mathcal{W}^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}$ и $\mathcal{W}^{\coprod}_{\mathcal{D}^+}$ допустимы слева (соответственно справа) в категориях $\mathcal{D}^{\mathrm u}$ и $\mathcal{D}^+$ соответственно. Замечание 1.4. 1. Второе и третье утверждения п. II, 1 теоремы 1.3 широко обобщают теорему A.1 статьи [13]. 2. Отметим, что допустимые подкатегории и полуортогональные разложения некоторых производных категорий (квази)когерентных пучков важны для так называемой некоммутативной геометрии. 3. Напомним, что очевидные точные функторы $D^-(\operatorname{coh}(X)){\kern1pt}{\to}\, D^-_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$ и $D^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(X))\to D^{\mathrm{b}}_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$ – эквивалентности категорий; см. [30; гл. 36, лемма 36.11.1]. С другой стороны, аналогичный функтор $D(\operatorname{coh}(X))\to D_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$ не всегда является эквивалентностью; см. § 3 статьи [24]. Однако он задает эквивалентность если схема $X$ регулярна и конечномерна; см. [24; следствие 5.12]. 4. Отметим также, что теорему 1.3 несколько сложнее доказывать в случае $D_{\mathrm{perf}}(X)\neq D^{\mathrm{b}}_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$, т.е. если схема $X$ сингулярна2; ср. следствие 4.18 ниже. Этот случай привлекает несколько меньше внимания, чем регулярный. Отметим, однако, что теорема 6.7 и следствие 6.10 статьи [2] дают ряд полуортогональных разложений $D^{\mathrm{b}}(X)$ для не обязательно регулярной схемы $X$. Кроме того, в случае сингулярной поверхности $X$ полуортогональные разложения подробно изучаются в [13]. 5. Эта статья была вдохновлена некоторой двойственностью между весовыми и $t$-структурами, которую автор изучал в ряде статей, начиная с [7; п. 4.4]. Этот вопрос подробнее обсуждается в п. 4.3 архивной версии [9] текущей работы; отметим при этом, что некоторые определения той версии несколько отличаются от используемых здесь. Кроме того, в вышеупомянутой версии больше замечаний различного рода, чем в настоящей. В новом препринте [8] получены новые утверждения об ортогональных весовых и $t$-структурах, обобщающие ряд основных результатов настоящей статьи. 6. Основные результаты настоящей статьи также опираются на описания некоторых из вышеупомянутых категорий как некоторых категорий функторов из $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ и $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. Последние содержатся в теореме 1.7 ниже (доказанной А. Нееманом) и в следующей теореме, важной как для настоящей статьи, так и самой по себе. В следующей теореме будем обозначать через $\operatorname{Fun}_R((\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}},R\text{-}\operatorname{Mod})$ категорию $R$-линейных аддитивных функторов $((\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}})\to R\text{-}\operatorname{Mod}$. Обозначим через $\mathcal{Y}^{\mathrm u}\colon\mathcal{D}^{\mathrm u}\to \operatorname{Fun}_R((\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}},R\text{-}\operatorname{Mod})$ соответствующий функтор Йонеды, т.е. для $N\in \mathcal{D}^{\mathrm u}$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Y}^{\mathrm u}(N)=\mathcal{D}^{\mathrm u}(\cdot,N)\big{|}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.5. Пусть схема $X$ собственна над $S=\operatorname{Spec} R$, где $R$ – нётерово кольцо. 1. Тогда функтор $\mathcal{Y}^{\mathrm u}$ полон. 2. Пусть схема $X$ проективна над $S$ (см. определение 1.1, 8). Тогда для объекта $N$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ условие $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M,N)\in R-\operatorname{mod}$ выполнено для всех $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm p}$ тогда и только тогда, когда $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}^{\mathrm u}$ (см. определение 1.1, 7, 6). Кроме того, объект $N$ категории $\mathcal{D}^{\mathrm u}$ принадлежит $ \mathcal{D}^-$ (соответственно $\mathcal{D}^+$, $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$) тогда и только тогда, когда для любого $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm p}$ выполнено $\{M[i]\}\perp \{N\}$, если $i\ll 0$ (соответственно $i\gg 0$ в обоих случаях). Замечание 1.6. Теорема 1.5 дополняет следствие 0.5 статьи [21]; см. теорему 1.7, 1 ниже. Соответственно, можно предположить, что в этой теореме (а также в следствии 1.10 ниже; см. замечание 1.11, 2) достаточно предположить, что схема $X$ собственна над $S$. Напомним также, что следствие 0.5 статьи [21] было мотивировано вопросом о существовании некоторых сопряженных функторов; см. замечание 0.7 там же. Следствие 4.5 ниже дает общее утверждение такого типа; мы соединяем его с теоремой 1.5, 1 в замечании 4.8. Возможно, эти утверждения удобнее для применения, чем соответствующее следствие 0.4 статьи [21]. Напомним теперь некоторые результаты Неемана, важные для нашей статьи; это поможет читателям точнее оценить теорему 1.5. Будем считать $R$ коммутативным нётеровым кольцом. Теорема 1.7. Пусть схема $X$ собственна над $S=\operatorname{Spec} R$. 1. Обозначим через $\mathcal{Y}^-\colon \mathcal{D}^-\to \operatorname{Fun}_R((\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}},R\text{-}\operatorname{Mod})$ соответствующий функтор Йонеды, т.е. для $N\in \mathcal{D}^-$ определим $\mathcal{Y}^-(N)$ как ограничение функтора $\mathcal{D}^-(\cdot,N)$ на $\mathcal{D}_{\mathrm p}$. Тогда функтор $\mathcal{Y}^-\colon \mathcal{D}^-\to \operatorname{Fun}_R((\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}},R\text{-}\operatorname{Mod})$ полон, а гомологический функтор $H\colon (\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}}\to R\text{-}\operatorname{Mod}$ принадлежит существенному образу $\mathcal{Y}^-$ тогда и только тогда, когда для каждого $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm p}$ модуль $H(M)$ конечно порожден над $R$ и существует такое $c_M>0$, что $H(M[i])=0$ при $i>c_M$. Кроме того, ограничение $\mathcal{Y}^{\mathrm{b}}$ функтора $\mathcal{Y}^-$ на $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ строго, а его существенный образ состоит из функторов, удовлетворяющих следующим условиям: для любого $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm p}$ модуль $H(M)$ конечно порожден и существует $c_M>0$ такое, что $H(M[i])=0$ для всех $|i|>c_M$. 2. Предположим теперь, что $X$ регулярна и конечномерна, или у всех целых замкнутых подсхем $X$ существуют регулярные альтерации. Тогда объекты $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ копредставляют такие и только такие гомологические функторы $F\colon \mathcal{D}^{\mathrm{b}}{\to}\, R\text{-}\operatorname{Mod}$, что для любого $N\,{\in} \operatorname{Obj} \mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ $R$-модуль $\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}}F(N[i])$ конечно порожден. Доказательство. 1. По сути это следствие 0.5 статьи [21]; отличие в том, что производные категории, упомянутые там, заменены на эквивалентные, описанные в определении 1.1, 7 (см. замечание 1.4, 3).
2. В случае, когда у всех целых замкнутых подсхем $X$ существуют регулярные альтерации, это утверждение немедленно следует из теоремы 0.2 статьи [22] (но снова нужно принять во внимание замечание 1.4, 3). В случае, когда $X$ регулярна и конечномерна, это утверждение легко выводится из п. 1; см. следствие 4.18 ниже. Теорема доказана. Отметим также, что обе части теоремы были выведены из довольно общих абстрактных утверждений, которые были получены при помощи разработанной Нееманом теории аппроксимаций; см. п. 3.2 ниже. Теперь перейдем к одному из важнейших результатов статьи [19], непосредственно связанным с (новым) следствием 1.10. Для этого понадобятся следующие хорошо известные определения. Определение 1.8. Пусть $\mathcal{D}$ – триангулированная категория, замкнутая относительно копроизведений. 1. Говорим, что объект $M$ категории $\mathcal{D}$ компактен (в $\mathcal{D}$) если функтор $\mathcal{D}(M,\cdot)\colon \mathcal{D}\to \operatorname{Ab}$ сохраняет копроизведения. 2. Будем говорить, что (триангулированная) подкатегория $\mathcal{T}$ компактно порождает $\mathcal{D}$, если $\mathcal{T}$ существенно мала, ее объекты компактны в $\mathcal{D}$ и $\mathcal{D}=\mathcal{T}^{\coprod}$ (см. определение 1.1, 5). 3. Будем говорить, что категория $\mathcal{T}$ счетна, если ее объекты разбиваются на счетное количество классов изоморфности и все $\mathcal{T}$-множества морфизмов счетны. Предложение 1.9. Пусть категория $\mathcal{T}$ счетна и компактно порождает $\mathcal{D}$. Тогда все гомологические функторы $\mathcal{T}^{\mathrm{op}}\to \operatorname{Ab}$ представимы объектами $\mathcal{D}$. Доказательство. Это утверждение мгновенно следует из предложения 4.11 и теоремы 5.1 статьи [19] (см. также предложение сразу после формулировки последней).
Предложение доказано. Будет также доказано следующее утверждение; оно не будет применяться в этой статье Следствие 1.10. Пусть схема $X$ собственна над $S=\operatorname{Spec} R$ (где $R$ – нётерово кольцо), $R$ или счетно, или самоинъективно, т.е. инъективно как модуль над собой, а $H\colon (\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}}\to R-\operatorname{mod}$ – гомологический функтор. 1. Тогда $H$ представлен объектом $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$. 2. Дополнительно предположим, что схема $X$ проективна над $S$. Тогда $H$ представлен объектом $\mathcal{D}^{\mathrm u}$. Кроме того, если для каждого $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm p}$ существует $c_M>0$ такое, что $H(M[i])=0$ для всех $i<-c_M$, то $H$ представлен объектом $\mathcal{D}^+$. Замечание 1.11. 1. Условие счетности $R$ связано с предложением 1.9, а доказательство самоинъективной версии первого пункта основано на рассуждении из доказательства [6; теорема A.1]. 2. Напомним, что $\mathcal{D}^-$ и $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$-версии следствия 1.10, 2 даны следствием 0.5 статьи [21] (см. теорему 1.7, 1); к тому же, в этом следствии предполагается всего лишь, что схема $X$ собственна над $S$. 3. Объект $\mathcal{D}$, представляющий $H$, единственен с точностью до изоморфизма согласно лемме 3.5, 1 ниже. Теперь опишем содержание статьи. Дополнительную информацию такого рода можно найти в началах параграфов. Параграф 2 содержит основные определения, (в основном) связанные с триангулированными категориями и полуортогональными разложениями. Доказывается ряд простых (и, в основном, не новых) утверждений. В § 3 доказываются теорема 1.5, следствие 1.10 и несколько других утверждений, связанных с работами Неемана. В § 4 доказывается абстрактная теорема 4.4 о существовании некоторых полуортогональных разложений. Она применяется к доказательству теоремы 1.3 (см. теорему 4.12 и замечание 4.22), доказательству простого следствия 4.5 о существовании некоторых сопряженных функторов (см. замечание 4.8) и к изучению некоторых подкатегорий с носителем в $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ (см. предложение 4.14). Автор искренне благодарит рецензента за ряд важных замечаний к статье. § 2. Предварительные сведенияВ этом параграфе обсуждаются несложные понятия, связанные с триангулированными категориями и полуортогональными разложениями. В п. 2.1 приведен ряд определений и утверждений, связанных с триангулированными категориями. В п. 2.2 определяются и изучаются полуортогональные разложения длины $2$. В п. 2.3 приводятся основы теории полуортогональных разложений произвольной длины. Они будут применяться только в п. 3.1 и п. 4.4. В п. 2.4 мы напоминаем определение и несколько свойств счетных гомотопических копределов в триангулированных категориях. Они понадобятся только в п. 3.2. 2.1. Базовые определения и утверждения$\bullet$ Пусть $C',C$ – категории; будем писать $C'\subset C$, если $C'$ – полная подкатегория $C$; напомним, что в этой статье рассматриваются только строго полные подкатегории. $\bullet$ Ниже буквы $\mathcal{T}$, $\mathcal{D}$, $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ (иногда снабженные индексами) всегда будут обозначать триангулированные категории. $\bullet$ Пусть $A,B,C \in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$; будем говорить, что $C$ – расширение $B$ при помощи $A$, если существует выделенный треугольник $\bullet$ Если $X\xrightarrow{f}Y\to Z$ – выделенный треугольник, то будем писать $Z=\operatorname{Cone}(f)$; напомним, что $Z$ определяется $f$ с точностью до неканонического изоморфизма. Напомним, что в этой статье мы рассматриваем только малые копроизведения. Лемма 2.1. Пусть $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ – (строго полные) триангулированные подкатегории $\mathcal{T}$. Обозначим через $\mathcal{C}$ класс тех $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$, для которых существует выделенный треугольник $B\to M\to A\to B[1]$, где $B\in \mathcal{B}$ и $A\in \mathcal{A}$. 1. Если $\mathcal{B}\perp \mathcal{A}$, то $\mathcal{C}$ является классом объектов триангулированной подкатегории $\mathcal{T}$. 2. Если категория $\mathcal{T}$ замкнута относительно (малых) копроизведений, $\mathcal{B}$ и $\mathcal{A}$ тоже замкнуты относительно $\mathcal{T}$-копроизведений, то класс $\mathcal{C}$ также замкнут относительно $\mathcal{T}$-копроизведений. Доказательство. Оба пункта легко выводятся из предложения 2.1.1, (1,2) статьи [10] (отметим, что в п. 1 $\mathcal{C}[1]=\mathcal{C}$); п. 2 также следует из замечания 1.2.2 книги [20].
Лемма доказана. Следующие простые утверждения хорошо известны. Лемма 2.2. Пусть категория $\mathcal{T}$ замкнута относительно копроизведений, а $\mathcal{B}$ – триангулированная подкатегория $\mathcal{T}$. 1. Тогда $\mathcal{B}^{\perp}_{\mathcal{T}}=(\mathcal{B}^{\coprod})^{\perp}_{\mathcal{T}}$. 2. Если подкатегория $\mathcal{B}$ существенно мала и состоит из компактных объектов (см. определение 1.8, 1), и $\mathcal{B}^{\perp}_{\mathcal{T}}=\{0\}$, то $\mathcal{B}$ компактно порождает $\mathcal{T}$. Доказательство. Первый пункт очень прост. Достаточно заметить, что для каждого объекта $N$ категории $\mathcal{T}$ класс ${}^\perp_{\mathcal{T}} \{N\}$ замкнут относительно $\mathcal{T}$-копроизведений, так как для произвольного семейства $\{M_i\}$ объектов $\mathcal{T}$.
Пункт 2 следует из предложения 8.4.1 книги [20]. Лемма доказана. 2.2. Полуортогональные разложения длины 2Дадим еще несколько важных для этой статьи определений. Определение 2.3. Пусть $\mathcal{T}\subset \mathcal{D}$. 1. Пусть $\mathcal{B}$ и $\mathcal{A}$ – (строго полные триангулированные) подкатегории $\mathcal{T}$. Будем называть пару $D=(\mathcal{A},\mathcal{B})$ полуортогональным разложением категории $\mathcal{T}$ (или говорить, что она дает разложение $\mathcal{T}$) если $\operatorname{Obj} \mathcal{B}\perp \operatorname{Obj} \mathcal{A}$ и для каждого $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$ существует выделенный треугольник с $B\in \mathcal{B}$ и $A\in \mathcal{A}$.Мы будем называть (2.1) треугольником $D$-разложения (для $M$). 2. Если $D_{\mathcal{D}}=(\mathcal{A}_{\mathcal{D}},\mathcal{B}_{\mathcal{D}})$ – полуортогональное разложение категории $\mathcal{D}$, а
$$
\begin{equation*}
D_{\mathcal{D}}\cap\mathcal{T}=(\mathcal{A}_{\mathcal{D}}\cap \mathcal{T},\mathcal{B}_{\mathcal{D}}\cap \mathcal{T})
\end{equation*}
\notag
$$
(см. определение 1.1, 2) – полуортогональное разложение $\mathcal{T}$, то будем говорить, что разложение $D_{\mathcal{D}}$ ограничивается на $\mathcal{T}$, $D_{\mathcal{D}}\cap\mathcal{T}$ – соответствующее ограничение, а $D_{\mathcal{D}}$ – расширение разложения $D_{\mathcal{D}}\cap\mathcal{T}$ на $\mathcal{D}$. 3. Пусть $\mathcal{T},\mathcal{T}'\subset \mathcal{D}$, $D=(\mathcal{A},\mathcal{B})$ – полуортогональное разложение категории $\mathcal{T}$; тогда будем обозначать пару $(\mathcal{A}^{\perp}_{\mathcal{T}'},\mathcal{B}^{\perp}_{\mathcal{T}'})$ (соответственно $({}^{\perp}_{\mathcal{T}'}\mathcal{A},{}^{\perp}_{\mathcal{T}'}\mathcal{B})$; см. определение 1.1, 4) через $D^{\perp}_{\mathcal{T}'}$ (соответственно ${}^{\perp}_{\mathcal{T}'}D$). Аналогично, если категория $\mathcal{D}\supset \mathcal{T}$ замкнута относительно копроизведений и $\mathcal{T}'\subset \mathcal{D}$, то будем обозначать пару $(\mathcal{A}^{\coprod},\mathcal{B}^{\coprod})$ (соответственно $(\mathcal{A}^{\coprod}_{\mathcal{T}'}, \mathcal{B}^{\coprod}_{\mathcal{T}'})$; см. определение 1.1, 5) через $D^{\coprod}$ (соответственно $D^{\coprod}_{\mathcal{T}'}$). Замечание 2.4. Полуортогональные разложения определения 2.3, 1 соответствуют разложениям длины $2$ в определении 2.9, II, 2 ниже. Разложения произвольной длины будут определены только в п. 2.3, потому что это обобщение не позволяет доказывать новых свойств допустимых (слева и справа) подкатегорий. С другой стороны, полуортогональные разложения длины $2$ играют важную роль в доказательствах этой работы, несмотря на то, что теорема 4.12 ниже содержит не намного больше информации, чем соответствующие утверждения в теореме 1.3 (ср. замечание 4.22). Предложение 2.5. 1. Пусть $D=(\mathcal{A},\mathcal{B})$ – полуортогональное разложение категории $\mathcal{T}$. Тогда $\mathcal{B}^\perp_{\mathcal{T}}= \mathcal{A} $, $\mathcal{B}={}^\perp_{\mathcal{T}} \mathcal{A}$, существует точный правый сопряженный функтор $R_D$ ко вложению $\mathcal{B}\to \mathcal{T}$, а также левый сопряженный $L_D$ ко вложению $\mathcal{A}\to\mathcal{T}$. Нам будет удобно считать, что функторы $L_D$ и $R_D$ действуют из $\mathcal{T}$ в себя. Кроме того, выделенный треугольник (2.1) функториально определен объектом $M$, а морфизмы $B\to M\to A$ в нем получаются применением соответствующих сопряженностям преобразований. 2. Соответствие $D\mapsto \mathcal{A}$ (соответственно $D\mapsto \mathcal{B}$) задает биекцию между классом полуортогональных разложений категории $\mathcal{T}$ и классом допустимых слева (соответственно справа) ее подкатегорий; см. определение 1.1, 1. 3. Пара $D=(\mathcal{A},\mathcal{B})$ дает полуортогональное разложение категории $\mathcal{T}$ тогда и только тогда, когда пара $D^{\mathrm{op}}=(\mathcal{B}^{\mathrm{op}},\mathcal{A}^{\mathrm{op}})$ дает полуортогональное разложение категории $\mathcal{T}^{\mathrm{op}}$. Доказательство. Пункты 1 и 2 хорошо известны. Их легко можно вывести из леммы 3.1 статьи [4]; отметим, однако, что соответствующие морфизмы в треугольнике (2.1) вычислены в доказательстве этой леммы, а функториальность (2.1) сформулирована в лемме 2.3 статьи [16].
Пункт 3 очевиден. Предложение доказано. Нам также понадобятся следующие свойства наших понятий. Предложение 2.6. Пусть $\mathcal{T},\mathcal{T}'\subset \mathcal{D}$, $\mathcal{D}$ – $R$-линейная категория (см. определение 1.1, 6), а $D$ (соответственно $D'$) – полуортогональное разложение категории $\mathcal{T}$ (соответственно $\mathcal{T}'$). Если $D'=D^{\perp}_{\mathcal{T}'}$ (см. определение 2.3, 3), то следующие бифункторы $\mathcal{T}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{T}'\to R\text{-}\operatorname{Mod}$ канонически изоморфны3: Доказательство. Пусть $T \in \mathcal{T}$, а $T' \in \mathcal{T}'$. Согласно предложению 2.5, 1, выделенные треугольники
$$
\begin{equation}
R_D(T)\to T\to L_D (T) \quad\text{и}\quad R_{D'}(T')\to T'\to L_{D'} (T')
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
функториально определяются $T$ и $T'$ соответственно. Из этого предложения (вспомнив определение 2.3, 1) получаем, что $L_D(T)[i]\perp L_{D'}(T')$ и $R_D(T)[i]\perp R_{D'}(T')$ для всех $i\in \mathbb{Z}$. Поэтому, применив функтор $\mathcal{D}(L_D(T),\cdot)$ ко второму треугольнику в формуле (2.2) получаем изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}(L_D(T),R_{D'}(T'))\to\mathcal{D}(L_D(T),T'),
\end{equation*}
\notag
$$
функториальные относительно $T$ и $T'$. Аналогично, применяя функтор $\mathcal{D}(\cdot,R_{D'}(T'))$ к первому треугольнику в (2.2) получаем изоморфизм функториальный относительно $T$ и $T'$. Композиция этих двух изоморфизмов дает изоморфизм бифункторов $\mathcal{D}(L_D(\cdot),\cdot)\cong \mathcal{D}(\cdot,R_{D'}(\cdot))$.
Аналогично второй изоморфизм получается композированием изоморфизмов $\mathcal{D}(R_D(T),T')\to \mathcal{D}(R_D(T),L_{D'}(T'))$ и $\mathcal{D}(R_D(T),L_{D'}(T'))\to \mathcal{D}(T,L_{D'}(T'))$, которые строятся аналогично указанным выше изоморфизмам. Предложение доказано. Теперь изучим некоторое упорядочивание полуортогональных разложений. Определение 2.7. Будем писать $D_1\leqslant_{R} D_2$, если $D_i=(\mathcal{A}_i,\mathcal{B}_i)$, $i=1,2$, – полуортогональные разложения категории $\mathcal{T}$ и $\mathcal{B}_1\subset \mathcal{B}_2$. Предложение 2.8. Пусть $D_i=(\mathcal{A}_i,\mathcal{B}_i)$, где $i=1,2$, – полуортогональные разложения категории $\mathcal{T}$. I. Справедливы следующие утверждения. 1. $D_1\leqslant_{R} D_2$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}_2\subset \mathcal{A}_1$. 2. $D_1\leqslant_{R} D_2$ и $D_2\leqslant_{R} D_1$ тогда и только тогда, когда $D_1=D_2$. II. Пусть $\mathcal{T},\mathcal{T}'\subset \mathcal{D}$, и $D'_i=(\mathcal{A}'_i,\mathcal{B}'_i)$, где $i=1,2$, – полуортогональные разложения категории $\mathcal{T}'$. 1. Если $D_1={}{}^{\perp}_{\mathcal{T}}D_1'$ и $D_2'=(D_1)^{\perp}_{\mathcal{T}'}$, то $D'_1=({}{}^{\perp}_{\mathcal{T}}D_1')^{\perp}_{\mathcal{T}'}(=D'_2)$. 2. Пусть $D_i'=(D_i)^{\perp}_{\mathcal{T}'}$, где $i=1,2$. Если $D_1\leqslant_{R} D_2$, то $D'_2\leqslant_{R} D'_1$. Кроме того, если $\mathcal{T}\subset \mathcal{T}'$, то эти два условия равносильны. Доказательство. I. Мгновенно следует из наших определений и предложения 2.5, 1, 3.
II. Докажем сначала п. 1. 1. Очевидно, $\mathcal{B}_1'\subset \mathcal{B}_2'$ и $\mathcal{A}'_1\subset \mathcal{A}'_2$. Применяя п. I, получаем, что действительно $D'_1=D'_2$. 2. Если $D_1\leqslant_{R} D_2$, то, очевидно, $\mathcal{A}_1'\subset \mathcal{A}_2'$. Применяя п. I.1, получаем, что $D'_2\leqslant_{R} D'_1$. Далее, нам нужно доказать, что если $\mathcal{T}\subset \mathcal{T}'$ и $\mathcal{B}_2'\subset \mathcal{B}'_1$, то $D_1\leqslant_{R} D_2$. Согласно п. I.1 последнее условие выполнено тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}_2\subset \mathcal{A}_1$. Имеем $\mathcal{B}_i'=(\mathcal{B}_i)^{\perp}_{\mathcal{D}}\cap \mathcal{T}'$ и $\mathcal{A}_i=(\mathcal{B}_i)^{\perp}_{\mathcal{D}}\cap \mathcal{T}$ (где $i=1,2$; снова см. предложение 2.5, 1); отсюда $\mathcal{A}_i=\mathcal{B}_i'\cap \mathcal{T}$. Получаем, что, действительно, $\mathcal{A}_2\subset \mathcal{A}_1$. Предложение доказано. 2.3. Полуортогональные разложения произвольной длиныТеперь рассмотрим полуортогональные разложения произвольных длин. Они соответствуют некоторым цепочкам подкатегорий. До конца пункта будем считать $n$ натуральным числом. Определение 2.9. I. Пусть $C=(C_{<i})$, $1\leqslant i\leqslant n$, семейство подкатегорий $\mathcal{T}$. 1. Будем называть $C$ левой допустимой цепочкой длины $n$ (ср. определение 4.1 статьи [5]) в $\mathcal{T}$, если все $C_{<i}$ допустимы слева в $\mathcal{T}$ и $C_{<i}\subset C_{<j}$ для любых $0< i<j\leqslant n$. 2. Для $0\leqslant i\leqslant n$ положим $C_{\geqslant i}={}^{\perp}_{\mathcal{T}}(C_{<i})$ и $\mathcal{D}ec(C)_i=C_{<i+1}{} \cap C_{\geqslant i}$; здесь мы считаем $C_{<0}=\{0\}$, $C_{<n+1}=\mathcal{T}$. Соответственно, определим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}ec(C)=(\mathcal{D}ec(C)_i,\ 0\leqslant i\leqslant n).
\end{equation*}
\notag
$$
II. Пусть $D=(D_i)$, $0\leqslant i\leqslant n$, это набор (строго полных) триангулированных подкатегорий $\mathcal{T}$. 1. Для любого $j$, $0\leqslant j\leqslant n+1$, обозначим через $D_{< j}$ (соответственно $D_{\geqslant j}$) наименьшую (строго полную) триангулированную подкатегорию $\mathcal{T}$, содержащую $D_i$ для всех $i< j$ (соответственно $i\geqslant j$)4. Обозначим через $D_{<}$ семейство $(D_{< j})$, $1\leqslant i\leqslant n$. 2. Будем говорить, что семейство $D$ дает полуортогональное разложение длины $n+1$ категории $\mathcal{T}$ (или просто разложение $\mathcal{T}$) если $D_j\perp D_i$ при всех $0\leqslant i<j\leqslant n$ и $D_{< n+1}=\mathcal{T}$. Теперь свяжем левые допустимые цепочки с полуортогональными разложениями. Предложение 2.10. Пусть $D= (D_i)$ – полуортогональное разложение длины $n+1$ категории $\mathcal{T}$, а $C$ – левой допустимой цепочкой длины $n$ в $\mathcal{T}$. 1. Для любого $j$, $1\leqslant j\leqslant n$, пара $(D_{<j},D_j)$ – полуортогональное разложение $D_{<j+1}$ в смысле определения 2.3, 1, а $(D_{< j}, D_{\geqslant j})$ – разложение $\mathcal{T}$ (в том же смысле). 2. Отображения $D\mapsto D_{<}$ и $C\mapsto \mathcal{D}ec(C)$ – взаимно обратные биекции между классом полуортогональных разложений длины $n+1$ категории $\mathcal{T}$ и классом левых допустимых цепочек длины $n$ в $\mathcal{T}$. Кроме того, для каждого $j$, $0\leqslant j\leqslant n$, выполнено $\mathcal{D}ec(C)_{\geqslant j}=C_{\geqslant j}$. Доказательство. 1. Очевидно, $D_j\perp D_{<j}$ (см. простую лемму 2.1 статьи [16]). Существование разложений типа (2.1) для всех объектов $D_{<j+1}$ легко выводится из леммы 2.1, 1. Действительно, класс $G$ тех $M\in \operatorname{Obj} D_{<j+1}$, для которых существует выделенный треугольник $B\to M\to A\to B[1]$ такой, что $B\in D_j$ и $A\in D_{<j}$, дает триангулированную подкатегорию $\mathcal{T}$, которая, очевидно, содержит все $D_i$ при $0\leqslant i\leqslant j$; следовательно, $G=\operatorname{Obj} D_{<j+1}$.
Аналогично доказывается, что $(D_{< j}, D_{\geqslant j})$ – разложение категории $\mathcal{T}$. Легко видеть, что $D_{\geqslant j}\perp D_{< j}$, и класс $G'$ тех $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$, для которых существует выделенный треугольник $B\to M\to A\to B[1]$ такой, что $B\in D_{\geqslant j}$ и $A\in D_{<j}$ дает триангулированную подкатегорию $\mathcal{T}$, содержащую $D_i$ при $0\leqslant i\leqslant n$. 2. Применив п. 1 и предложение 2.5, 1, получаем, что подкатегория $D_{<i}$ допустима слева в категории $D_{< i+1}$ при $1\leqslant i\leqslant n$. Так как $D_{< n+1}=\mathcal{T}$, получаем, что все $D_{<i }$ допустимы слева в $\mathcal{T}$. Следовательно, $D_<$ – допустимая слева цепочка (длины $n$) в $\mathcal{T}$. Обратно, все подкатегории $\mathcal{D}ec(C)_i$, очевидно, триангулированы в $\mathcal{T}$ и $\mathcal{D}ec(C)_j\perp \mathcal{D}ec(C)_i$ при $0\leqslant i<j\leqslant n$. Применяя простое индуктивное рассуждение и п. 1 легко получаем, что $(\mathcal{D}ec(C))_{< i+1}=C_{<i+1}$ для любого $i$, $0\leqslant i \leqslant n$. В частности, $(\mathcal{D}ec(C))_{< n+1}=\mathcal{T}$. Следовательно, $\mathcal{D}ec(C)$ – полуортогональное разложение длины $n+1$ категории $\mathcal{T}$, а $(\mathcal{D}ec(C))_<=C$. Наконец, рассмотрим $D'=\mathcal{D}ec(D_<)$. Очевидно, $D'_i$ содержит категорию $D_i$ для любого $i$, $0\leqslant i\leqslant n$. Применив п. 1 и обратную индукцию по $i$ легко заключаем, что $D'_i=D_i$; см. предложение 2.8, I. Предложение доказано. Замечание 2.11. Это предложение близко к предложению 4.4 статьи [5]. 2.4. Счетные гомотопические копределы: напоминаниеНапомним теперь основные свойства триангулированных гомотопических пределов, введенных в статье [3]. Они понадобятся нам в п. 3.2 ниже. Будем считать триангулированную категорию $\mathcal{D}$ замкнутой относительно счетных копроизведений. Определение 2.12. Пусть $Y_i$, $i\geqslant 0$, – последовательность объектов $\mathcal{D}$ и фиксированы морфизмы $f_i\colon Y_{i}\to Y_{i+1}$. Определим где морфизм $f$ на $Y_i$ равен композиции $Y_i\xrightarrow{f_i}Y_{i+1}{\hookrightarrow}\coprod Y_i$. Будем называть $\operatorname{\underrightarrow{\mathrm{hocolim}}} Y_i$ гомотопическим копределом $Y_i$. Замечание 2.13. 1. Отметим, что эти копределы не вполне каноничны, так как конус морфизма не каноничен. Гомотопические пределы из нашего определения определены только с точностью до неканонических изоморфизмов. 2. Наше определение дает канонический морфизм $\coprod Y_i\to \operatorname{\underrightarrow{\mathrm{hocolim}}} Y_i$; соответственно, заданы канонические морфизмы $Y_i\to \operatorname{\underrightarrow{\mathrm{hocolim}}} Y_i$. Лемма 2.14. Пусть $Y=\operatorname{\underrightarrow{\mathrm{hocolim}}} Y_i$ (в $\mathcal{D}$). 1. Гомотопический копредел $Y_{i_j}$ изоморфен $Y$ для любой подпоследовательности $Y_{i_j}$ объектов $Y_i$. В частности, можно выкинуть любое конечное количество начальных членов в $(Y_i)$. 2. Обозначим через $c_i$ канонический морфизм $Y_i\to Y$, упомянутый в замечании 2.13, 2. Пусть $H\colon \mathcal{D}\to R\text{-}\operatorname{Mod}$ – гомологический функтор, где $R$ – кольцо (см. определение 1.1, 9); пусть $H$ сохраняет счетные копроизведения. Тогда морфизмы $H(c_i)$ задают изоморфизм $\varinjlim H(Y_i)\to H(Y)$. Доказательство. 1. Это лемма 1.7.1 книги [20].
2. Это частный случай [30; гл. 13, лемма 13.33.8] (см. также лемму 2.8 статьи [18]). Лемма доказана. § 3. О теореме 1.5 и аппроксимируемостиВ п. 3.1 доказывается теорема 1.5, 2. В п. 3.2 доказывается абстрактная теорема 3.8, близкая по духу статье [21] (ср. теорема 1.7, 1). С ее помощью доказывается теорема 1.5, 1; далее доказывается следствие 1.10. 3.1. Доказательство теоремы 1.5, 2Напомним несколько утверждений из проекта [30], которые позволяют применять его результаты к различным категориям квазикогерентных пучков. Замечание 3.1. “Основные” производные категории проекта [30] – производные категории $\mathcal{O}_X$-модулей. Далее, категория $D(\mathcal{O}_X)$ содержит полную триангулированную подкатегорию $D_{\operatorname{Qcoh}}(\mathcal{O}_X)$, состоящую из тех комплексов, чьи когомологии квазикогерентны. Если схема $X$ нётерова, то очевидное вложение $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}=D({\operatorname{Qcoh}}(X))\to D_{\operatorname{Qcoh}}(\mathcal{O}_X)$ – эквивалентность; см. [30; гл. 36, предложение 36.8.3]. Отсюда очевидно следует, что $D_{\operatorname{coh}}({\operatorname{Qcoh}}(X))\cong D_{\operatorname{coh}} (\mathcal{O}_X)$ (ср. обозначения в 1.1, 7 и [30; гл. 13, начало п. 13.17]). Далее, функторы прямого и обратного образа (т.е. $f_*\colon D(\mathcal{O}_X) \leftrightarrows D(\mathcal{O}_Y)\colon f^* $, где $f\colon X\to Y$ – квазикомпактный квазиотделимый морфизм схем), и тензорные произведения сохраняют подкатегории типа $D_{\operatorname{Qcoh}}(\mathcal{O})$ в $D(\mathcal{O})$; см. [30; гл. 36, леммы 36.3.8, 36.4.1, 36.3.9]. Эти наблюдения позволяют применять результаты проекта [30] к категориям $D(\operatorname{Qcoh}(\cdot))$ и их подкатегориям, упомянутым в определении 1.1, 7, вместо $D_{\operatorname{Qcoh}}(\mathcal{O})\subset D(\mathcal{O})$ и соответствующих триангулированных подкатегорий, определенных в терминах когомологий комплексов пучков модулей (аналогично определению 1.1, 7). Теперь докажем обобщение одного из следствий в теореме 1.5, 2. Лемма 3.2. Пусть схема $X$ собственна над $S=\operatorname{Spec} R$, $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm p}$. 1. Тогда для любого $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}^{\mathrm u}$ выполнено $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M,N)\in R-\operatorname{mod}$. 2. $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M[i],N)=\{0\}$ если $N$ – объект $ \mathcal{D}^-$ (соответственно $ \mathcal{D}^+$), а $i$ достаточно мало (соответственно велико). Доказательство. 1. Спектральная последовательность, использованная в доказательстве [30; гл. 36, лемма 36.18.2], позволяет свести утверждение к случаю, когда $N$ – когерентный пучок. В этой ситуации факт легко выводится из [30; гл. 36, лемма 36.11.7] (тут также следует вспомнить замечание 3.1).
2. Утверждение легко доказывается применением замечания 3.1 в сочетании с [30; гл. 36, лемма 36.18.2]. Лемма доказана. Замечание 3.3. 1. Объект $N\in \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ принадлежит $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ тогда и только тогда, когда он принадлежит и категории $\mathcal{D}^-$, и категории $\mathcal{D}^+$. Следовательно, если $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm p}$ и $N\in \mathcal{D}^{\mathrm{b}}$, то $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M[i],N)=\{0\}$ как для достаточно малых, так и для достаточно больших значений $i$. 2. Аналогично, чтобы доказать обратное следствие в теореме 1.5, 2 достаточно проверить критерии, соответствующие условиям $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}^-$ и $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}^+$; см. ниже. Доказательство теоремы 1.5, 2. Нужно доказать, что объект $N$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ принадлежит категории $\mathcal{D}^{\mathrm u}$, если $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M,N)\in R-\operatorname{mod}$ для всех $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm p}$. Кроме того, для $N\in \mathcal{D}^{\mathrm u}$ выполнено $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}^-$ (соответственно $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}^+$) тогда и только тогда, когда $\{M[i]\}\perp \{N\}$ при $i\ll 0$ (соответственно $i\gg 0$) и (любого фиксированного) $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm p}$. Обозначим проекцию $X\to S$ через $p$.
Будем рассуждать аналогично доказательству [6; теорема A.1]. Так как схема $X$ проективна над $S$, она является замкнутой подсхемой проективизации $Y$ некоторого векторного расслоения над $S$. Напомним, что объект $N$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ принадлежит категории $\mathcal{D}^{\mathrm u}$ тогда и только тогда, когда все (квазикогерентные) когомологии $H^i(N)$ когерентны. Кроме того, $N$ принадлежит $\mathcal{D}^-$ (соответственно $\mathcal{D}^+$), если также выполнено $H^i(N)=0$ для $i\gg 0$ (соответственно $i\ll 0$). Сведем искомые утверждения к случаю $X=Y$. Для каждого $M\in D_{\mathrm{perf}}(Y)$ выполнено $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(Li^*M,N)\cong D(\operatorname{Qcoh}(Y))(M, i_*N)$, где $i$ – вложение $X\to Y$. Так как $Li^*M\in\mathcal{D}_{\mathrm p}$, функтор, представленный объектом $i_*N$, удовлетворяет соответствующим предположениям. Остается заметить, что $N$ принадлежит $\mathcal{D}^{\mathrm u}$ (соответственно $\mathcal{D}^+$, $\mathcal{D}^-$) тогда и только тогда, когда объект $i_*N$ принадлежит $D_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(Y))$ (соответственно $D^+_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(Y))$, $D^-_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(Y))$); см. [30; гл. 29, лемма 29.4.1, гл. 30, лемма 30.9.8] (и также замечание 3.1). Теперь будем считать, что $X=Y$, и $X$ размерности $d\geqslant 0$ над $S$. Тогда теорема 6.7 статьи [2] дает существование полных строгих функторов
$$
\begin{equation*}
\Phi_j\colon D(R)\to \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}; \qquad F\mapsto p^*F(j)=p^*F\otimes \mathcal{O}(j),
\end{equation*}
\notag
$$
где $j\in \mathbb{Z}$ (см. [30; гл. 27, определение 27.10.1]); здесь мы отождествляем $D(\operatorname{Qcoh}(S))$ с категорией $D(R)$ (см. [6; следствие 3.3.5]). Кроме того, она дает полуортогональное разложение $D$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ длины $d+1$, компоненты $D_j$ которого – существенные образы $\operatorname{Im} \Phi_j$ при $0\leqslant j\leqslant d$; см. определение 2.9, II, 2 (или [2; определение 5.3]).
Докажем индукцией по $m$, $-1\leqslant m\leqslant d$, что $N$ принадлежит $ \mathcal{D}^{\mathrm u}$ (соответственно $\mathcal{D}^+$, $\mathcal{D}^-$), если дополнительно предположить, что $N$ принадлежит $D_{<m+1}$; напомним, что $D_{<m+1}$ – наименьшая триангулированная подкатегория $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$, содержащая $D_j$ при $0\leqslant j\leqslant m$, а $D_{<d+1}=\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$. Это утверждение бессодержательно при $m=-1$. Пусть предположение индукции выполнено при $m=m_0-1$ (где $0\,{\leqslant}\,m_0\,{\leqslant}\, d$), а $N\in \operatorname{Obj} D_{< m_0+1}$. Согласно предложению 2.10, 1 (ср. определение 2.2 из [16]), подкатегории $D_{< m_0}$ и $D_{m_0}$ дают полуортогональное разложение категории $ D_{< m_0+1}$. Следовательно, существует выделенный треугольник где $N'\,{\in}\, D_{m_0}$ и $N''\,{\in}\, \operatorname{Obj} D_{< m_0}$, причем $N'\cong \Phi_{m_0}\circ \Phi_{m_0}^! (N)$; здесь функтор $\Phi_{m_0}^!$ сопряжен справа к вложению $\Phi_{m_0}\colon D(R)\to D_{< m_0+1}$. Далее, когомологии комплекса $\Phi_{m_0}^! (N)$ изоморфны $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(p^*R(m_0),N[i])\cong \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(\mathcal{O}_X(m_0),N[i])$ для $i\,{\in}\, \mathbb{Z}$ (здесь $R\in D(R)\cong D(\operatorname{Qcoh}(S))$ – комплекс, чей единственный ненулевой член – $R$ в степени $0$). Так как $\mathcal{O}_X(m_0)$ – линейное расслоение на $X$ (и, следовательно, совершенный комплекс), комплекс $M=\Phi_{m_0}^! (N)$ принадлежит $ D_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(S))\subset D(R\text{-}\operatorname{Mod})$ (соответственно $D^+_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(S))$, $D^-_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(S))$). Следовательно, объект $\Phi_{m_0}(M)$ (равный $N'$) принадлежит $ \mathcal{D}^{\mathrm u}$ (соответственно $\mathcal{D}^+$, $\mathcal{D}^-$); заметим, что функтор $\Phi_{m_0}$ переводит $D_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(S))$ (соответственно $D^+_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(S))$, $D^-_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(S))$) в $ \mathcal{D}^{\mathrm u}$ (соответственно в $\mathcal{D}^+$, $\mathcal{D}^-$; ср. предложение 3.5 статьи [2]). Применив (3.1) к функторам, копредставленные объектами $\mathcal{D}_{\mathrm p}$, получаем, что модуль $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M,N'')$ принадлежит $R-\operatorname{mod}$ для любого $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm p}$ (а для $\mathcal{D}^+$-версии рассуждения также выполнено $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M[-i],N'')=\{0\}$ для $i\ll 0$, а для $\mathcal{D}^-$-версии выполнено $ \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M[-i],N'')=\{0\}$ при $i\gg 0$). Применив индукционное предположение, получаем, что $N''$ – также объект $ \mathcal{D}^{\mathrm u}$ (соответственно $\mathcal{D}^+$, $\mathcal{D}^-$), следовательно, $N$ тоже удовлетворяет этому свойству.Теорема 1.5, 2 доказана. 3.2. Аппроксимируемость по Нееману, теорема 1.5, 1 и следствие 1.10Докажем несколько общих результатов, из которых следует теорема 1.5, 1. Нам понадобятся некоторые определения и обозначения из статьи [21]; наши рассуждения также близки к тем, что применялись там. Начнем с частного случая [21; определение 5.1] (см. также замечание 5.6 там же). Определение 3.4. Пусть категория $\mathcal{T}$ $R$-линейна (напомним, что $R$ – коммутативное кольцо с единицей) и компактно порождена (см. определение 1.8, 2) своей триангулированной подкатегорией $\mathcal{T}^{\mathrm c}$. 1. Обозначим соответствующее отображение Йонеды $\mathcal{T}\to\operatorname{Fun}_R((\mathcal{T}^{\mathrm c})^{\mathrm{op}}, R\text{-}\operatorname{Mod})$ через $\mathcal{Y}$; оно переводит $N\in \mathcal{T}$ в
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Y}(N)=\mathcal{T}(\cdot,N)\big{|}_{\mathcal{T}^{\mathrm c}}.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Будем называть (бесконечную) цепочку морфизмов $E_0\to E_1\to \dotsb$ аппроксимацией объекта $F$ категории $\mathcal{T}$, если 3. Если аппроксимация $F$ существует, то будем говорить, что объект $F$ $\mathcal{T}^{\mathrm c}$-аппроксимируем. Обозначим через $\mathcal{T}_{\mathrm{a}}$ полную подкатегорию $\mathcal{T}^{\mathrm c}$-аппроксимируемых объектов категории $\mathcal{T}$. Очевидно, эта подкатегория строга. 4. Пусть $\mathcal{T}'$ – подкатегория $\mathcal{T}$ и ограничение функтора $\mathcal{Y}$ на нее полно. Будем говорить, что это ограничение консервативно5, если для $F,F'\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}'$ из условия $\mathcal{Y}(F)\cong \mathcal{Y}(F')$ следует $F\cong F'$. Лемма 3.5. Пусть категория $\mathcal{T}$ ($R$-линейна) и компактно порождена своей триангулированной подкатегорией $\mathcal{T}^{\mathrm c}$, $F\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$. 1. Если объект $F$ $\mathcal{T}^{\mathrm c}$-аппроксимируем, то для любого $G\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$ каждый $\operatorname{Fun}_R((\mathcal{T}^{\mathrm c})^{\mathrm{op}},R\text{-}\operatorname{Mod})$-морфизм $\varphi\colon \mathcal{Y}(F)\to \mathcal{Y}(G)$ равен $\mathcal{Y}(h)$ для некоторого $h\in \mathcal{T}(F,G)$. Соответственно, ограничение $\mathcal{Y}$ на подкатегорию $\mathcal{T}_{\mathrm{a}}\subset \mathcal{T}$ полно. Кроме того, это ограничение консервативно (см. определение 3.4, 4). 2. $E_0\to E_1\to\dotsb$ (для некоторых $E_i\in \mathcal{T}^{\mathrm c}$) – аппроксимация $F$ тогда и только тогда, когда $F\cong \operatorname{\underrightarrow{\mathrm{hocolim}}} E_i$ (см. определение 2.12). Доказательство. 1. Лемма 5.8 статьи [21] дает существование $h$ такого, что $\varphi=\mathcal{Y}(h)$; см. замечание 5.7 там же. Как частный случай этого утверждение, получаем полноту ограничения $\mathcal{Y}$ на подкатегорию $\mathcal{T}_{\mathrm{a}}$.
Далее, из полноты получаем, что любой $\mathcal{T}_{\mathrm{a}}$-изоморфизм $\mathcal{Y}(F)\to \mathcal{Y}(F')$ имеет вид $\mathcal{Y}(h')$ для некоторого $h'\in \mathcal{T}(F,F')$. Так как сдвиги переводят категорию $\mathcal{T}^{\mathrm c}$ в себя, морфизм $\mathcal{Y}(h'[i])$ обратим для любого $i\in \mathbb{Z}$. Так как $\mathcal{Y}$ – гомологический функтор, $\mathcal{Y}(\operatorname{Cone}(h'))=0$. Из леммы 2.2, 1 получаем, что $\operatorname{Cone}(h')=0$; следовательно, $h'$ – изоморфизм. 2. Так как функтор $\mathcal{Y}$ сохраняет копроизведения, согласно лемме 2.14, 2 он переводит $\operatorname{\underrightarrow{\mathrm{hocolim}}} E_i$ в $\varinjlim \mathcal{Y}(E_i)$. Следовательно, $(E_i)$ – аппроксимация $F$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{Y}(F)\cong \mathcal{Y}(\operatorname{\underrightarrow{\mathrm{hocolim}}} E_i)$. Наконец, из предыдущего пункта получаем, что последнее условие равносильно $F\cong \operatorname{\underrightarrow{\mathrm{hocolim}}} E_i$. Лемма доказана. Теперь напомним следующее определение (это определение 1.3.1 статьи [1]). Определение 3.6. Пара полных подкатегорий $\mathcal{T}^{\geqslant 0},\mathcal{T}^{\leqslant 0}\subset \mathcal{T}$ дает $t$-структуру на $\mathcal{T}$, если она удовлетворяет следующим свойствам: (i) подкатегории $\mathcal{T}^{\geqslant 0}$ и $\mathcal{T}^{\leqslant 0}$ строги; (ii) $\mathcal{T}^{\geqslant 0}\subset \mathcal{T}^{\geqslant 0}[1]$ и $\mathcal{T}^{\leqslant 0}[1]\subset\mathcal{T}^{\leqslant 0}$; (iii) $ \mathcal{T}^{\leqslant 0}[1]\perp \mathcal{T}^{\geqslant 0}$; (iv) для любого $X\in\operatorname{Obj} \mathcal{T}$ существует выделенный треугольник такой, что $A\in \mathcal{T}^{\leqslant 0}$, $B\in \mathcal{T}^{\geqslant 0}[-1]$.При $n\in \mathbb{Z}$ будем рассматривать следующие категории: $\mathcal{T}^{\geqslant n}=\mathcal{T}^{\geqslant 0}[-n]$ и $\mathcal{T}^{\leqslant n}=\mathcal{T}^{\leqslant 0}[-n]$. Нам понадобится следующее свойство $t$-структур. Лемма 3.7. Для любого $n\in \mathbb{Z}$ существует правый сопряженный к функтору вложения $\mathcal{T}^{\geqslant n}\to \mathcal{T}$. Для каждого $X\in \mathcal{T}$ будем обозначать через $X^{\leqslant n}\to X$ соответствующий коединичный морфизм; в этих обозначениях имеем $\operatorname{Cone}(X^{\leqslant n}\to X)\in \mathcal{T}^{\geqslant n+1}$. Лемма немедленно следует из предложения 1.3.3 статьи [1]. Теорема 3.8. Пусть категория $\mathcal{T}$ ($R$-линейна) и компактно порождена своей триангулированной подкатегорией $\mathcal{T}^{\mathrm c}$; $F\in \mathcal{T}$. I. Пусть в $F_0'\to F'_1\to \dotsb$ – цепочка $\mathcal{T}$-морфизмов, $F'_i$ снабжены согласованной системой морфизмов $t_i$ в $F$, дающих изоморфизм $\varinjlim \mathcal{Y}(F'_i)\cong \mathcal{Y}(F)$ (ср. определение 3.4, 2). Пусть также заданы морфизмы $c_i\colon E_i'\to F_i'$ такие, что $E'_i\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}^{\mathrm c}$ и для любого $T\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}^{\mathrm c}$ существует $N_T\geqslant 0$ такое, что $\{T\}\perp\{\operatorname{Cone}(c_i)\}$ для всех $i>N_T$. Тогда некоторая подпоследовательность $E_i$ последовательности $E'_i$, снабженная некоторыми связывающими морфизмами, дает аппроксимацию $F$. II. Пусть категория $\mathcal{T}$ порождена $G\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}^{\mathrm c}$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\{G[i],\ i\in\mathbb{Z}\}^{\perp}_{\mathcal{T}}=\{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда если выполнено одно из указанных ниже условий, объект $F$ $\mathcal{T}^{\mathrm c}$-аппроксимируем. 1. Существуют $E_i'\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}^{\mathrm c}$, $F_i'\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$, $c_i\colon E_i'\to F_i'$, цепочка $\mathcal{T}$-морфизмов $F_0'\to F'_1\to \dotsb$ и согласованные морфизмы $t_i\colon F_i'\to F$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\{G[s],\ -j\leqslant s\leqslant j\}\perp \{\operatorname{Cone}(c_j),\operatorname{Cone}(t_j)\}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $j\geqslant 0$. 2. Существует $t$-структура $\mathcal{T}$ и число $N\,{\in}\,\mathbb{Z}$ такое, что $G\in \mathcal{T}^{\leqslant N}$ и $ \{G\}\perp \mathcal{T}^{\leqslant -N}$, и для каждого $i\geqslant 0$ существует морфизм $c'_i\colon \mathcal{E}_i\to F^{\leqslant i}$ (это обозначение введено в лемме 3.7) такой, что $\mathcal{E}_i\in \operatorname{Obj}\mathcal{T}^{\mathrm c}$ и $\operatorname{Cone}(c'_i)\in \mathcal{T}^{\leqslant -i}$. Доказательство. I. Докажем, что для каждого $j\geqslant 0$ существует $l>j$ и морфизм $E'_j\to E'_l$ такой, что квадрат коммутативен. Из точной последовательности получаем, что тут можно взять любое $l>\max(N_{{E'_j}},j)$.
Применяя это рассуждение индуктивно, начиная с $n_0=0$, получаем бесконечную коммутативную диаграмму Положим $E_i=E'_{n_i}$.Наконец, для каждого объекта $T$ категории $\mathcal{T}^{\mathrm c}$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\varinjlim_{i\geqslant 0} \mathcal{T}(T,E_i) \cong \varinjlim_{i>N_{T\oplus T[1]}} \mathcal{T}(T,E_i)\cong \varinjlim_{i>N_{T\oplus T[1]}} \mathcal{T}(T,F'_{n_i})\cong \mathcal{T}(T,F).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $E_i$ дают аппроксимацию $F$.
II. Докажем сначала п. 1. 1. Согласно п. I достаточно проверить, что $\varinjlim \mathcal{Y}(F'_i)\cong \mathcal{Y}(F)$ и для каждого объекта $T$ категории $\mathcal{T}^{\mathrm c}$ существует $N_T\geqslant 0$ такое, что $\{T\}\perp\{\operatorname{Cone}(c_i), i>N_T\}$. Чтобы проверить первое утверждение, нужно для каждого объекта $T$ категории $\mathcal{T}^{\mathrm c}$ проверить существование $N'_T\geqslant 0$ такого, что отображение $\mathcal{T}(T,t_i)$ биективно для всех $i>N'_T$. Последнее, очевидно, выполнено, если $\{T, T[1]\}\perp \{\operatorname{Cone}(t_i),\ i>N'_T\}$. Теперь зафиксируем $T\in \mathcal{T}^{\mathrm c}$ и напомним, что существует $N>0$ такое, что $T$ – прямое слагаемое некоторого объекта $T'$, принадлежащего наименьшему классу $\mathrm{EC}$ объектов $\mathcal{T}$, содержащему множество $ \{G[i]\colon {-}N\,{\leqslant}\, i\,{\leqslant}\, N\} \,{\cup}\,\{0\}$ и замкнутому относительно расширений (пар своих объектов); см. пример 0.13 и замечание 0.15 статьи [21] или предложение 4.4.1 книги [20]. Так как $\{G[s], -j\leqslant s\leqslant j\}\perp \{\operatorname{Cone}(c_j),\operatorname{Cone}(t_j)\}$, можно взять $N_T=N'_T=N+1$. 2. Применим предыдущий пункт для $c_i=c'_{i+N}$ и $t_i$, равным коединичным морфизмам $ F^{\leqslant N+i}\to F$ (см. лемму 3.7); соответственно, положим $F'_i=F^{\leqslant N+i}$ и $E'_i=\mathcal{E}_{i+N}$. Нам остается доказать, что $\{G[i],\ -j\leqslant i\leqslant j\}\perp \{\operatorname{Cone}(c'_{j+N}), \operatorname{Cone}(t_j)\}$ для всех $j\geqslant 0$. Из наших предположений получаем $\{G[i],\ -j\leqslant i\leqslant j\}\subset \mathcal{T}^{\leqslant N+j}\cap {}^{\perp}_{\mathcal{T}} \mathcal{T}^{\leqslant -N-j}$ для любого $j\geqslant 0$; см. аксиому (ii) в определении 3.6, и напомним также, что $\operatorname{Cone}(c_j)=\operatorname{Cone}(c'_{j+N}) \in \mathcal{T}^{\leqslant -j-N}$. Согласно лемме 3.7 имеем $\operatorname{Cone}(t_j)\in \mathcal{T}^{\geqslant j+N+2}$. Отсюда получаем искомое утверждение. Теорема доказана. Следствие 3.9. Пусть схема $X$ собственна над $S=\operatorname{Spec} R$. 1. Тогда категория $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ порождена некоторым объектом $G$ подкатегории $\mathcal{D}_{\mathrm p}$, а $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ – подкатегория компактных объектов категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$. 2. Возьмем $\mathcal{T}=\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ и $\mathcal{T}^{\mathrm c}=\mathcal{D}_{\mathrm p}$. Тогда $\mathcal{D}^{\mathrm u}\subset \mathcal{T}_{\mathrm{a}}$. 3. Ограничение $\mathcal{Y}^{\mathrm u}\colon \mathcal{D}^{\mathrm u}\to \operatorname{Fun}_R((\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}},R\text{-}\operatorname{Mod})$ соответствующего функтора $\mathcal{Y}$ на подкатегорию $\mathcal{D}^{\mathrm u}$ (для $N\in \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ мы полагаем $\mathcal{Y}(N)$ равным ограничению функтора $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(\cdot,N)$ на $\mathcal{D}_{\mathrm p}$) полно. Кроме того, если $\mathcal{Y}(N')\cong \mathcal{Y}(N)$ для $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}^{\mathrm u}$ и $N'\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$, то $N'\cong N$ (ср. определение 3.4, 4). Доказательство. 1. Это теорема 3.1.1 статьи [6].
2. Рассмотрим стандартную $t$-структуру $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ (в терминологии [21]; ср. пример 1.3.2, (i) статьи [1]) и выберем компактный порождающий объект $G$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ (чье существование гарантировано предыдущим пунктом). Тогда существует $N\in \mathbb{Z}$ такое, что $G\in \mathcal{T}^{\leqslant N}$ и $ \{G\}\perp \mathcal{T}^{\leqslant -N}$; см. пример 3.4 статьи [21]. Согласно теореме 3.8, II, 2 остается проверить, что для любых $F\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}^{\mathrm u}$ и $i\geqslant 0$ существуют морфизмы $c'_i\colon \mathcal{E}_i\to F^{\leqslant i}$ такие, что $\mathcal{E}_i\in \operatorname{Obj}\mathcal{T}^{\mathrm c}$ и $\operatorname{Cone}(c'_i)\in \mathcal{T}^{\leqslant -i}$. Далее, напомним, что объект $F^{\leqslant i}$ принадлежит $\mathcal{D}^-$ для любого $i\in \mathbb{Z}$; ср. примеры 1.3.2, (i,ii) статьи [1]. Согласно примеру 3.4 статьи [21], в этом случае $\mathcal{D}^-$ равна соответствующей подкатегории $\mathcal{T}^-_{\mathrm{c}}$ категории $\mathcal{T}$; см. определение 0.16 там же. Следовательно, существование морфизмов $c'_i$, удовлетворяющим нашим предположениям, следует из леммы 7.5, (ii) там же; см. замечания 7.4 и 7.6 там же. 3. Немедленно получается из предыдущего пункта и леммы 3.5. Следствие доказано. Замечание 3.10. 1. Следствие 3.9, 2, 3 дает теорему 1.5, 1. 2. Чтобы доказать следствие 3.9, 3 достаточно применить утверждение о полноте из леммы 3.5, 1 и лемму 3.5, 2. Для доказательства следствия 1.10 нам понадобится простая лемма. Лемма 3.11. Пусть $\mathfrak{B}$ – $R$-линейная аддитивная категория. 1. Тогда категория $\operatorname{Fun}_R(\mathfrak{B},R\text{-}\operatorname{Mod})$ (это обозначение было введено в теореме 1.5) эквивалентна категории $ \operatorname{Fun}_{\mathbb{Z}}(\mathfrak{B},\operatorname{Ab})$. 2. Функтор $\mathfrak{B}^{\mathrm{op}}\to R\text{-}\operatorname{Mod}$ представим в $\mathfrak{B}$ тогда и только тогда, когда его композиция с забывающим функтором $R\text{-}\operatorname{Mod}\to \operatorname{Ab}$ представима, если рассматривать $\mathfrak{B}$ просто как аддитивную категорию. Доказательство. 1. Аддитивный функтор $F\colon \mathfrak{B}\to \operatorname{Ab}$ естественным образом становится $R$-линейным если определить умножение на $r\in R$ на группе $F(B)$, где $B\in \operatorname{Obj} \mathfrak{B}$, как применение эндоморфизма $F(r\operatorname{id}_{B})$. Остается заметить, что эта конструкция – единственный способ превратить $F$ в $R$-линейный функтор в категорию $R\text{-}\operatorname{Mod}$.
2. Немедленно следует из п. 1. Лемма доказана. Доказательство следствия 1.10. 1. Предположим сначала, что кольцо $R$ счетно.
Для каждой схемы $Y$ конечного типа над $S=\operatorname{Spec} R$ проверим, что категория $D^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(Y))$ счетна в смысле определения 1.8, 3. Это утверждение – [30; гл. 57, лемма 57.17.3], но доказательство в проекте не приведено. Поэтому заметим, что $D^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(Y))$ – локализация по Вердье категории $K^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(Y))$. Следовательно, достаточно проверить счетность категории $K^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(Y))$. Действительно, множество классов изоморфности объектов категории $D^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(Y))$, очевидно, является фактором множества классов изоморфности объектов $K^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(Y))$, а счетность множеств морфизмов в локализации счетной триангулированной категории немедленно получается из хорошо известного описания таких множеств, приведенного в предложении 2.1.24 книги [20] (см. определение 2.1.15 там же). Далее, легко видеть, что счетность категории $K^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(Y))$ равносильная счетности $\operatorname{coh}(Y)$. При этом, категория $\operatorname{coh}(Y)$, очевидно, счетна, если схема $Y$ аффинна. Наконец, счетность категории $\operatorname{coh}(Y)$ для произвольной схемы $Y$ конечного типа над $S$ легко выводится из счетности категорий $\operatorname{coh}(Y_i)$ и $\operatorname{coh}(W_{ijk})$ при помощи лемм о склейке [30; гл. 6, леммы 6.33.1 и 6.33.4]; здесь $Y_i$, $1\leqslant i\leqslant n$, – компоненты открытого аффинного покрытия $Y$, а $W_{ijk}$ дают открытые аффинные покрытия схем $Y_i\cap Y_j$ (для каждой пары $(i,j)$, $1\leqslant i,j\leqslant n$). Напомним теперь, что категория $D^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(X))$ эквивалента категории $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}=D^{\mathrm{b}}_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$, а $\mathcal{D}_{\mathrm p}\subset \mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ (см. замечания 3.1, 1.4, 3); следовательно, категория $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ также счетна. Следовательно, можно применить предложение 1.9 (доказанное А. Нееманом) и получить, что все гомологические функторы $(\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}}\to \operatorname{Ab}$ представлены объектами $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$. Соответственно, все гомологические функторы $(\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}}\to R\text{-}\operatorname{Mod}$ также представимы; см. лемму 3.11, 2. Теперь перейдем к случаю самоинъективного кольца $R$. Аналогично доказательству [6; теорема A.1], применим двойственность дважды. Идея в том, чтобы продолжить функтор $H\colon (\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}}\to R-\operatorname{mod}$ до “хорошего” функтора $H'\colon (\mathcal{D}_{\mathrm{Q}})^{\mathrm{op}}\to R\text{-}\operatorname{Mod}$. Рассмотрим функторы $(\cdot)^*\colon R\text{-}\operatorname{Mod}\to R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathrm{op}}$, $N\mapsto \operatorname{Hom}_R(N,R)$, и $\widehat{H}$: $\mathcal{D}_{\mathrm p}\to R\text{-}\operatorname{Mod}$, $M\mapsto H(M)^*$. Так как кольцо $R$ – инъективный $R$-модуль, функтор $\widehat{H}$ гомологичен. Далее, он продолжается до гомологического функтора $\widehat{H}'\colon \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}\to R\text{-}\operatorname{Mod}$, сохраняющего копроизведения; см. предложение 2.3 статьи [15]. Рассмотрим теперь $H'\colon (\mathcal{D}_{\mathrm{Q}})^{\mathrm{op}}\to R\text{-}\operatorname{Mod}$, $M\mapsto (\widehat{H}'(M))^*$. Этот функтор, очевидно, гомологичен и сохраняет произведения (т.е. переводит $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$-копроизведения в произведения $R$-модулей). Далее, лемма 2.2, 2 дает возможность применить теорему 3.1 статьи [18] (представимость Брауна компактно порожденной категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$) и получить, что все когомологические функторы $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}\to \operatorname{Ab}$, которые сохраняют произведения, представимы (если рассматривать $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ как аддитивную категорию). Соответственно, функтор $H'$ также представим; см. лемму 3.11, 2. Остается проверить, что ограничение $H'$ на $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ изоморфно $H$. Для этого достаточно доказать, что для каждого конечнопорожденного $R$-модуля $N$ естественное отображение $N\to N^{**}$ биективно, т.е. что модуль $N$ рефлексивен (см. замечание 4.65(a) книги [17]). Далее, $R$ – квазифробениусово кольцо; см. теорему 15.1 книги6 [17]. Следовательно, теорема 15.11 книги [17] дает рефлексивность $N$. 2. Так как значения $H$ принадлежат $R-\operatorname{mod}$, $H$ представлен объектом $N$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ согласно следствию 1.10, 1. Далее, схема $X$ проективна над $S$; соответственно, из теоремы 1.5, 2 получаем, что $N$ принадлежит $\mathcal{D}^{\mathrm u}$. Наконец, если для каждого $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}_{\mathrm p}$ существует $c_M>0$ такое, что $H(M[i])=0$ при $i<-c_M$, то из теоремы 1.5, 2 также получаем, что $N$ принадлежит $\mathcal{D}^+$. Следствие доказано. Замечание 3.12. Напомним, что коммутативные квазифробениусовы кольца (см. доказательство следствия 1.10, 1) можно описать относительно явно; см. теорему 15.27 книги [17]. Впрочем, наиболее важные (с точки зрения алгебраической геометрии) квазифробениусовы кольца – это поля, которые как раз и рассматривались в статье [6]. § 4. Основные результаты о полуортогональных разложенияхВ п. 4.1 доказываются основные абстрактные утверждения о существовании полуортогональных разложений – предложение 4.1 и теорема 4.4. Далее выводится несложное следствие 4.5 о существовании сопряженных функторов. В п. 4.2 эти общие результаты применяются к полуортогональным разложениям различных подкатегорий $D(\operatorname{Qcoh}(X))$ (где схема $X$ собственна над $S= \operatorname{Spec} R$); это дает геометрическую теорему 4.12 о полуортогональных разложениях категорий $D_{\mathrm{perf}}(X)$, $D^{\mathrm{b}} (\operatorname{coh}(X))$, $D^-_{\mathrm{coh}}(X)$, $D^+_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$ и $D_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$. Далее, предложение 4.14 говорит, что соответствующие разложения можно ограничить на некоторые “подкатегории с носителем”, соответствующие объединениям замкнутых подмножеств $S$. В п. 4.3 мы применяем двойственность Гротендика для доказательства регулярного случая теоремы 1.7, 2. Мы также изучаем связь между полуортогональными разложениями и двойственностью; см. предложение 4.19. В п. 4.4 мы даем некоторые определения и обобщаем теорему 4.12 на полуортогональные разложения произвольной длины. Также мы завершаем доказательство теоремы 1.3 (см. замечание 4.22). 4.1. Общие утверждения о разложенияхИзучим теперь разложения, которые можно получить из полуортогональных разложений подкатегорий компактных объектов. Наши формулировки используют определения 1.1 и 1.8. Вплоть до п. 4.4 мы не будем рассматривать полуортогональные разложения длины $\neq 2$ (ср. определение 2.9, II, 2). Предложение 4.1. Пусть $\mathcal{D}=\mathcal{T}^{\coprod}$, где $\mathcal{T}\subset \mathcal{D}$ – триангулированная подкатегория, чьи объекты компактны в $\mathcal{D}$, и $D=(\mathcal{A},\mathcal{B})$ – полуортогональное разложение категории $\mathcal{T}$. 1. Тогда пара $D^{\coprod}=(\mathcal{A}^{\coprod},\mathcal{B}^{\coprod})$ – полуортогональное разложение категории $\mathcal{D}$. 2. Предположим, что категория $\mathcal{T}$ существенно мала (соответственно, она компактно порождает $\mathcal{D}$). Тогда пара $D^{\perp}_{\mathcal{D}}$ также дает полуортогональное разложение категории $\mathcal{D}$. К тому же $D^{\perp}_{\mathcal{D}}=(D^{\coprod})^{\perp}_{\mathcal{D}}$, и $\mathcal{B}^{\perp}_{\mathcal{D}}=\mathcal{A}^{\coprod}$. 3. Пусть $\mathcal{T}_0$ – триангулированная подкатегория $\mathcal{D}$ такая, что ограничение разложения $D^{\perp}_{\mathcal{D}}$ на $\mathcal{T}_0$ (см. определение 2.3, 2) дает полуортогональное разложение $D_0$ этой категории. Тогда разложение $D^{\perp}_{\mathcal{D}}$ также ограничивается на категорию $\mathcal{T}_{0}^{\coprod}$, и соответствующее ограничение равно $D_0^{\coprod}$. Доказательство. 1. Это утверждение схоже с предложением 4.2 статьи [16], и доказательство этого предложение легко дает искомое утверждение; см. также теорему 3.1.1 препринта [9].
2. Применив п. 1, предложение 2.5, 1 и лемму 2.2, 1 получаем, что $\mathcal{A}^{\coprod}=(\mathcal{B}^{\coprod})^{\perp}_{\mathcal{D}}=\mathcal{B}^{\perp}_{\mathcal{D}}$; следовательно, $(\mathcal{B}^{\perp}_{\mathcal{D}})^{\perp}_{\mathcal{D}}=(\mathcal{A}^{\coprod})^{\perp}_{\mathcal{D}}=\mathcal{A}^{\perp}_{\mathcal{D}}$. Остается проверить, что подкатегория $\mathcal{A}^{\coprod}$ допустима справа в $\mathcal{D}$; см. предложение 2.5. Это – теорема 4.1 статьи [18]. 3. Так как все объекты подкатегорий $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ компактны, и $\mathcal{A}^{\perp}_{\mathcal{D}}$, и $\mathcal{B}^{\perp}_{\mathcal{D}}$ замкнуты относительно $\mathcal{D}$-копроизведений. Поэтому если $D_0=(\mathcal{A}_0,\mathcal{B}_0)$, то $\mathcal{B}_{0}^{\coprod}\perp \mathcal{A}_{0}^{\coprod}$. Следовательно, достаточно проверить, что класс $\mathcal{C}_{0}$ расширений объектов $\mathcal{A}_{0}^{\coprod}$ при помощи объектов $\mathcal{B}_{0}^{\coprod}$ совпадает с $\operatorname{Obj} \mathcal{T}_0^{\coprod}$; см. предложение 2.5, 1. Далее, $\mathcal{C}_{0}$ содержит $\operatorname{Obj} \mathcal{T}_{0}$, и согласно лемме 2.1 этот класс дает триангулированную подкатегорию $\mathcal{D}$, замкнутую относительно копроизведений. Отсюда $\mathcal{C}_{0}=\operatorname{Obj} \mathcal{T}_0^{\coprod}$. Предложение доказано. Для формулировки одной из основных теорем понадобятся довольно технические определения. Заметим, что определение 4.2, 3 ниже аксиоматизирует свойства категорий вида $\mathfrak{E}^s$, описанных в определении 4.2, 3; ср. замечание 4.3, 1. Определение 4.2. 1. Пусть $R$ – кольцо; будем обозначать через $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$ абелеву категорию $\mathbb{Z}$-градуированных $R$-модулей. 2. Положим $\mathfrak{E}^{\mathrm u}=R-\operatorname{mod}^{\mathbb{Z}}\subset R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$ (см. определение 1.1, 6). Будем обозначать через $\mathfrak{E}^-$ (соответственно $\mathfrak{E}^+$) следующие подкатегории $\mathfrak{E}^{\mathrm u}$: $M=\bigoplus M^i\in \operatorname{Obj} \mathfrak{E}^-$ (соответственно $\mathfrak{E}^+$), если $M^i=\{0\}$ для $i\gg 0$ (соответственно для $i\ll 0$). Положим $\mathfrak{E}^{\mathrm{b}}=\mathfrak{E}^-\cap \mathfrak{E}^+$ (ср. определение 1.1, 2). 3. Будем говорить, что $\mathfrak{E}$ – градуированная слабая подкатегория Серра категории $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$ (ср. [30; гл. 12, лемма 12.10.3, определение 12.10.1]), если $\mathfrak{E}$ – абелева подкатегория $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$, замкнутая относительно расширений и сдвигов градуировки (т.е. категория $\mathfrak{E}$ содержит $M=\bigoplus M^i$ тогда и только тогда, когда она содержит $M[1]=\bigoplus M^{i+1}$). 4. Пусть $\mathcal{T}\subset \mathcal{D}$ – триангулированные категории, $M,N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}$. Обозначим через $\mathcal{D}^{\bullet}(M,N)$ градуированный модуль $\bigoplus_{j\in \mathbb{Z}} \mathcal{D}(M[-j],N)$. Далее, для градуированной слабой подкатегории Серра $\mathfrak{E}$ категории $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$ определим следующую полную подкатегорию $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$ категории $\mathcal{D}$: $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}$ – объект $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$, если для каждого $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$ градуированный модуль $\mathcal{D}^{\bullet}(M,N)$ принадлежит $\mathfrak{E}$. Замечание 4.3. 1. Очевидно, если кольцо $R$ нётерово, то категории $\mathfrak{E}^{\mathrm u}$, $\mathfrak{E}^-$, $\mathfrak{E}^+$ и $\mathfrak{E}^{\mathrm{b}}$ – градуированные слабые подкатегории Серра категории $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$. Ниже мы будем пользоваться этим определением только в ситуации, когда $R$ – коммутативное нётерово кольцо с единицей; в качестве $\mathfrak{E}$ мы обычно будем брать одну из наших категорий $\mathfrak{E}^s$ (где $s=\mathrm u,-,+,\mathrm b$). Заметим, однако, что, видимо, можно рассмотреть конечно представимые модули не над нётеровым, а над когерентным кольцом; см. определение 2.1, теорему 2.4, следствие 2.7 и лемму 2.8 статьи [25]. Однако соответствующие подробности нуждаются в дополнительной проверке. 2. Можно зафиксировать бесконечный кардинал $\aleph$ и взять категорию $\mathfrak{E}$, состоящую из $M=\bigoplus M^i$ так, что каждый $M^i$ порожден менее чем $\aleph$ своих элементов как $R$-модуль. Получаем некоторую фильтрацию малости на категории $\mathcal{D}$; эта фильтрация исчерпывающая, так как категория $\mathcal{T}$ существенно мала. Кроме того, в предложении 4.14 мы рассмотрим некоторые категории $\mathfrak{E}$, соответствующие носителям $T\subset S=\operatorname{Spec} R$. Теорема 4.4. Пусть $\mathcal{D}=\mathcal{T}^{\coprod}$, где $\mathcal{T}\subset \mathcal{D}$ – триангулированная подкатегория, чьи объекты компактны в $R$-линейной категории $\mathcal{D}$, а $\mathfrak{E}$ – градуированная слабая подкатегория Серра категории $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$. I. Справедливы следующие утверждения. 1. Подкатегория $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$ триангулирована. 2. Пусть $\mathfrak{E}'$ – тоже градуированная слабая подкатегория Серра категории $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$. Тогда $\mathfrak{E}\cap\mathfrak{E}'$ – также градуированная слабая подкатегория Серра в $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$, и $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}\cap\mathfrak{E}'}=\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}\cap \mathcal{T}_{\mathfrak{E}'}$. II. Пусть $D$ – полуортогональное разложение $\mathcal{T}$. 1. Тогда для любых $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$ и $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}$ выполнено $\mathcal{D}^{\bullet}(M,{L_{D^{\perp}_{\mathcal{D}}}(N)})\cong \mathcal{D}^{\bullet}(R_D(M),N)$ и $\mathcal{D}^{\bullet}(M, S_{R_{D^{\perp}_{\mathcal{D}}}(N)})\,{\cong}\, \mathcal{D}^{\bullet}(L_D(M),N)$; здесь $L_{D^{\perp}_{\mathcal{D}}}$ и $R_{D^{\perp}_{\mathcal{D}}}$ – функторы, соответствующие разложению $D^{\perp}_{\mathcal{D}}$ (напомним, что это действительно полуортогональное разложение; см. определение 2.3, 3, и предложения 2.5, 1 и 4.1, 2). 2. Функторы $L_{D^{\perp}_{\mathcal{D}}}$ и $R_{D^{\perp}_{\mathcal{D}}}$ переводят категорию $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$ в себя. К тому же пара $D^{\perp}_{\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}}$ – разложение категории $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$. Доказательство. I. Докажем сначала пункт 1.
1. Так как $\mathfrak{E}=\mathfrak{E}[1]$ (см. определение 4.2, 3), очевидно, то же выполнено для $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$. Далее, для $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$ функтор $\mathcal{D}(M,\cdot)$ $\mathcal{D}(\cdot,N)$, $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}$, переводит выделенные треугольники в длинные точные последовательности. Следовательно, если $B[-1] \xrightarrow{g} A \to C \to B$ – выделенный треугольник, то существует точная последовательность
$$
\begin{equation*}
0\to \operatorname{Coker} \mathcal{D}^*(M,g)\to \mathcal{D}^*(M,C)\to \operatorname{Ker} \mathcal{D}^*(M,g[1])\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
в категории $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$. Так как $\mathfrak{E}$ – градуированная слабая подкатегория Серра категории $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$, из этой короткой точной последовательности получаем, что если $A$ и $B$ – объекты $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$, то $C$ также принадлежит $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$.
2. Очевидно. II. Докажем сначала пункт 1. 1. Согласно предложению 2.6
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}(M[-j], L_{D^{\perp}_{\mathcal{D}}}(N)) \cong \mathcal{D}(R_D(M[-j]),N)\cong \mathcal{D}(R_D(M)[-j],N).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично $ \mathcal{D}(M[-j],R_{D^{\perp}_{\mathcal{D}}}(N))\cong \mathcal{D}(L_D(M)[-j],N)$. Переходя к градуированным прямым суммам по всем $j\in \mathbb{Z}$, получаем требуемые изоморфизмы.
2. Так как объекты $R_D(M)$ и $L_D(M)$ принадлежат $\mathcal{T}$, получаем, что если $N$ принадлежат категории $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$, то $L_{D^{\perp}_{\mathcal{D}}}(N)$ и $R_{D^{\perp}_{\mathcal{D}}}(N)$ принадлежат ей же. Остается проверить, что у каждого объекта $N$ категории $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$ существует ${D^{\perp}_{\mathcal{D}}}$-разложение типа (2.1) в $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$. Это утверждение немедленно следует из первой части этого пункта согласно предложению 2.5, 1. Теорема доказана. Из теоремы 4.4 немедленно выводится существование некоторых сопряженных функторов. Следствие 4.5. Пусть категория $\mathcal{D}$ компактно порождена своей триангулированной подкатегорией $\mathcal{T}$, $F\colon \mathcal{D}\to \mathcal{D}'$ – точный функтор, сохраняющий копроизведения, $\mathcal{D}''$ – подкатегория $\mathcal{D}'$, $\mathfrak{E}$ – градуированная слабая подкатегория Серра категории $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$ (см. определение 4.2, 3). Предположим, к тому же, что категория $\mathcal{D}$ $R$-линейна, $\mathcal{T} \subset \mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$, и $\mathcal{D}''$ содержит существенный образ $F(\mathcal{T}_{\mathfrak{E}})$; обозначим ограничение $F$ на $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$ через $F''\colon \mathcal{T}_{\mathfrak{E}}\to \mathcal{D}''$. Для любых объектов $M$ и $N$ категорий $\mathcal{D}$ и $\mathcal{D}'$ соответственно зададим на абелевой группе $\mathcal{D}'(F(M),N)$ структуру $R$-модуля следующим образом: определим умножение на $r\in R$ (на $\mathcal{D}'(F(M),N)$) как применение эндоморфизма $F(r\operatorname{id}_{M})$. Тогда к функтору $F''$ существует правый сопряженный тогда и только тогда, когда для любых $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$ и $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}''$ градуированный $R$-модуль
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}'{}^{\bullet}(F(M),N)= \bigoplus_{j\in \mathbb{Z}}\mathcal{D}'(F(M[-j]),N)
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит $\mathfrak{E}$. Далее, если $\mathcal{D}''$ – триангулированная подкатегория $\mathcal{D}'$, то этот сопряженный точен. Доказательство. Если у $F''$ есть правый сопряженный функтор $G''\colon \mathcal{D}''\to \mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$, то для любых $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$ и $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}''$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}'{}^{\bullet}(F(M),N) \cong \mathcal{D}{}^{\bullet}(M,G''(N));
\end{equation*}
\notag
$$
ср. доказательство теоремы 4.4, II, 1. Так как $\mathcal{T}\subset \mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$, получаем, что если $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}$, то градуированный модуль $\mathcal{D}'{}^{\bullet}(F(M),N)$ принадлежит $\mathfrak{E}$.
Докажем обратное следствие. Так как категория $\mathcal{D}$ компактно порождена, а функтор $F$ сохраняет копроизведения, хорошо известно, что существует точный функтор $G$, сопряженный справа к $F$; см. теорему 4.1 статьи [18] и лемму 5.3.6 книги [20]. Следовательно, остается проверить, что $G$ переводит подкатегорию $\mathcal{D}''$ в $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$. Далее, если $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}''$ и $M$ – объект категории $\mathcal{T}$, то $\mathcal{D}{}^{\bullet}(M,G(N)) \cong \mathcal{D}'{}^{\bullet}(F(M),N)\in \operatorname{Obj} \mathfrak{E}$; следовательно, объект $G(N)$ принадлежит $ \mathcal{T}_{\mathfrak{E}}$. Следствие доказано. 4.2. Основные геометрические приложенияДо конца статьи будем считать, что выполнены следующие условия. Опишем некоторые примеры выполнения условий теоремы 4.4. Теорема 4.7. Пусть $\mathcal{T}=\mathcal{D}_{\mathrm p}$, а $\mathcal{D}=\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ (см. определение 1.1, 7). 1. Тогда категория $\mathcal{D}$ компактно порождена $\mathcal{T}$. 2. Если s – это $\mathrm u$, $+$, $-$ или $\mathrm b$, то $\mathcal{D}^s\subset \mathcal{T}_{\mathfrak{E}^s}$ (см. определение 4.2, 2 и определение 4.2, 4). 3. Это включение можно заменить на равенство, если предположить, что схема $X$ проективна над $S$ (в слабом смысле, указанном в определении 1.1, 8) или $s\in \{\mathrm{b},-\}$. Доказательство. 1. Так как кольцо $R$ нётерово, $X$ – нётерова отделимая схема; соответственно, искомое утверждение хорошо известно; см. теорему 3.1.1 статьи [6].
2. Это простое утверждение, вероятно, хорошо известно. Оно легко выводится из леммы 3.2; см. замечание 3.3, 1. 3. В ситуации, когда схема $X$ проективна над $S$, этот пункт – переформулировка теоремы 1.5, 2 (которая была доказана в п. 3.1). В случаях $s\,{=}\,\mathrm b$ и $s\,{=}\,-$ согласно следствию 0.5 статьи [21] (см. теорему 1.7, 1) для каждого $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}_{\mathfrak{E}^s}$ существует такой $N'\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}^s$, что $\mathcal{Y}(N)\cong \mathcal{Y}(N')$; здесь используются обозначения теоремы 1.5. Остается заметить, что $N\cong N'$ согласно следствию 3.9, 3. Теорема доказана. Замечание 4.8. Конечно же, соединив следствие 4.5 с теоремой 4.7, 3 можно получить необходимые и достаточные условия существования правого сопряженного к соответствующему ограничению $F''\colon \mathcal{D}^s\to \mathcal{D}''$, где $F\colon \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}\to \mathcal{D}$ – точный функтор, сохраняющий копроизведения, $F(\mathcal{D}^s)\subset \mathcal{D}''$, а $(X,s)$ –любая пара, удовлетворяющая предположениям теоремы 4.7, 3. В некоторых утверждениях нам также понадобится следующее (довольно слабое) предположение. Предположение 4.9. Схема $X$ конечномерна и или регулярна, или у каждой ее целой замкнутой подсхемы существует регулярная альтерация (см. замечание 4.10). Замечание 4.10. Напомним, что альтерации были введены в статье [11]; регулярные альтерации обобщают разрешения особенностей по Хиронаке. Регулярная альтерация схемы $Z$ – это собственный сюръективный морфизм $Y\to Z$, конечный в общей точке и такой, что схема $Y$ регулярна и конечномерна. Согласно теореме 1.1 статьи [27], разрешения особенностей существуют для любых регулярных квазипревосходных $\operatorname{Spec}\mathbb{Q}$-схем; следовательно, наше условие выполнено, если $R$ – квазипревосходная нётерова $\mathbb{Q}$-алгебра. Кроме того, предположение 4.6 выполнено, если $X$ – схема конечного типа над квазипревосходной схемой $B$ размерности $\leqslant 3$; см. теорему 1.2.5 статьи [28]. Предложение 4.11. Пусть схема $X$ удовлетворяет предположению 4.9. Тогда существует $R$-линейная триангулированная категория $\mathcal{D}$, компактно порожденная своей подкатегорией $\mathcal{T}=(\mathcal{D}^{\mathrm{b}})^{\mathrm{op}}$, в которой соответствующая подкатегория $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}^{\mathrm{b}}}$ равна $(\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}}$. Доказательство. Очевидно, чтобы найти категорию $\mathcal{D}$, компактно порожденную $\mathcal{T}$, достаточно построить точный строго полный функтор $F\colon \mathcal{T}\to \underline{E}$ в некоторую $R$-линейную триангулированную категорию $\underline{E}$, компактно порожденную существенным образом $F$. Существование такого функтора $F$ легко доказать. Хорошо известно (см. [14; п. 3.6]) и легко проверить, что категория $\mathcal{T}$ обладает дг-оснащением, т.е. существует малая $R$-линейная дифференциальная градуированная категория $C$, чья гомотопическая категория $H^0(C)$ (см. [14; п. 2.2]; берем $k=R$ в обозначениях этой статьи) эквивалентна $\mathcal{T}$. Действительно, категория $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ существенно мала, и ее можно вложить в гомотопическую категорию $K(\operatorname{Inj}(X))$ комплексов инъективных квазикогерентных пучков на $X$, а $K(\operatorname{Inj}(X))$ эквивалентна $H^0(C')$ для некоторой $R$-линейной дифференциальной градуированной категории $C'$; см. [14; лемма 3.3]. Следовательно, можно взять $C$ равной малой подкатегории $C'$, для которой вложение $H^0(C)\to H^0(C')$ индуцирует эквивалентность $H^0(C)\to \mathcal{T}$ ($C$ должна быть достаточно большой малой подкатегорией, когомологии объектов которой ограничены и когерентны.) Тогда из следствия 3.7 статьи [14] (см. также предшествующий ей текст) получаем, что можно взять $\underline{E}=D(C)$ (см. п. 3.2 там же).
Предположим теперь, что категория $\mathcal{D}$ компактно порождена $\mathcal{T}$, а схема $X$ удовлетворяет предположению 4.9. Согласно теореме 1.7, 2 объекты $(\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}}\,{\subset}\, \mathcal{T}$ представляют все гомологические функторы $H\colon \mathcal{D}^{\mathrm{b}}\to R\text{-}\operatorname{Mod}$ такие, что $R$-модуль $\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}}H(M[i])$ конечно порожден для любого $M\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. Следовательно, для каждого $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{T}_{\mathfrak{E}^{\mathrm{b}}}$ существует $N'\in (\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}}$ такой, что ограничения функторов $\mathcal{D}(\cdot,N)$ и $\mathcal{D}(\cdot,N')$ на $\mathcal{T}$ изоморфны. Так как объект $N'$ принадлежит $\mathcal{T}$, $\operatorname{id}_{N'}$ задает канонический морфизм $f\colon N'\to N$, и выполнено $\operatorname{Obj} \mathcal{T}\perp \operatorname{Cone}(f)$. Отсюда легко получаем $\operatorname{Cone}(f)=0$; см. лемму 2.2, 1. Следовательно, категория $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}^{\mathrm{b}}}$ действительно равна $(\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}}$. Предложение доказано. Теперь вернемся к полуортогональным разложениям; см. определения 2.3 и 1.1 (п. 1, 2, 7, 8). Теорема 4.12. Пусть $D$ – полуортогональное разложение категории $\mathcal{D}_{\mathrm p}$. I. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Пары $D^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$, $D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}$ и $D^{\perp}_{\mathcal{D}^-}$ задают полуортогональные разложения категорий $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$, $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ и $\mathcal{D}^-$ соответственно. Кроме того, $D^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}=(D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}})^{\coprod}$; следовательно, $D^{\perp}_{\mathcal{D}^-}= (D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}})^{\coprod}_{\mathcal{D}^-}$. Наконец, если $X$ – проективная $S$-схема, то $D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}$ – разложение $\mathcal{D}^{\mathrm u}$, а $D^{\perp}_{\mathcal{D}^+}$ – разложение $\mathcal{D}^+$. 2. Отображение $D\mapsto D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}$ задает вложение множества всех полуортогональных разложений категории $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ во множество полуортогональных разложений категории $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. II. Дополнительно предположим, что схема $X$ удовлетворяет предположению 4.9, а $E$ – полуортогональное разложение категории $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. 1. Тогда отображение $D\mapsto D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}$ дает биекцию между множествами всех полуортогональных разложений категорий $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ и $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. Обратное отображение задается как $E\mapsto {}^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}} E$. 2. Следовательно, пара $E^{\coprod}$ дает полуортогональное разложение категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$, совпадающее с $ ({}^{\perp} E)^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$, и это разложение ограничивается до полуортогонального разложения $({}^{\perp} E)^{\perp}_{\mathcal{D}^-}$ категории $\mathcal{D}^-$. Кроме того, если схема $X$ проективна над $S$, то разложение $E^{\coprod}$ также ограничивается на $\mathcal{D}^{\mathrm u}$ и $\mathcal{D}^+$. 3. Отображение $\mathcal{E}\mapsto \mathcal{E}\cap \mathcal{D}_{\mathrm p}$ дает биекцию между допустимыми справа подкатегориями в $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ и допустимыми слева подкатегориями $\mathcal{D}_{\mathrm p}$. Доказательство. I. Докажем сначала п. 1.
1. Согласно предложению 4.1, 2 (и теореме 4.7, 1), пара $D^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$ – полуортогональное разложение $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$. Далее, теорема 4.7, 3 дает возможность применить теорему 4.4, II, 2 и получить, что пары $D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}$ и $D^{\perp}_{\mathcal{D}^-}$ дают полуортогональные разложения соответствующих категорий. Аналогичное утверждение также выполнено для пар $D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}$ и $D^{\perp}_{\mathcal{D}^+}$, если $X$ – проективная схема над $S$. Напомним теперь, что $\mathcal{D}_{\mathrm p}\subset \mathcal{D}^{\mathrm{b}}\subset \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$. Следовательно, $(\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\coprod}=(\mathcal{D}^{\mathrm{b}})^{\coprod}=\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ (см. теорему 4.7, 1); поэтому из предложения 4.1, 3 получаем, что $D^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}=(D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}})^{\coprod}$. Отсюда сразу получаем $D^{\perp}_{\mathcal{D}^-}= (D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}})^{\coprod}_{\mathcal{D}^-}$. 2. Немедленно следует из предложения 2.8 (п. I, 2 и п. II, 2). II. Докажем сначала п. 1. 1. Предложение 4.11 дает существование категории $\mathcal{D}$, компактно порожденной подкатегорией $(\mathcal{D}^{\mathrm{b}})^{\mathrm{op}}$, в которой соответствующая категория $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}^{\mathrm{b}}}$ равна $(\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}}$. Поэтому из теоремы 4.4, II.2 (вместе с предложением 2.5, 3) получаем, что пара ${}^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}} E$ дает разложение $\mathcal{D}_{\mathrm p}$. Далее, из предложения 2.8, II.1 получаем, что разложение $({}^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}} E)^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}$ (см. п. I.1) равно $E$. Применив теперь п. I.2 получаем, что отображение $E\mapsto {}^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}} E$ дает биекцию между множествами всех полуортогональных разложений категорий $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ и $\mathcal{D}_{\mathrm p}$, а функция $D\mapsto D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}$ задает обратное отображение. 2. Пусть $D={}^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}} E$. Из п. II.1 получаем, что $D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}=E$. Тогда из п. I.1 получаем, что $E^{\coprod}=D^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$ – разложение категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$. Кроме того, $D^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$ ограничивается до разложений $D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}$ и $D^{\perp}_{\mathcal{D}^-}$ соответствующих категорий (эти разложения существуют согласно п. I.1). Далее, если схема $X$ проективна над $S$, то разложение $E^{\coprod}=D^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$ также ограничивается на категории $\mathcal{D}^{\mathrm u}$ и $\mathcal{D}^+$ (по тем же причинам). 3. Из предложения 2.5, 1, 2 немедленно следует, что отображение $C_{\mathcal{D}_{\mathrm p}}\colon \mathcal{D}\mapsto \mathcal{D}^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}}$ дает биекцию между множеством допустимых справа подкатегорий $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ и множеством допустимых слева подкатегорий $\mathcal{D}_{\mathrm p}$. Применив п. II, 1 мы также получаем, что функция $C_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}\colon \mathcal{D}\mapsto \mathcal{D}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}$ задает биекцию между множеством допустимых справа подкатегорий $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ и множеством допустимых слева подкатегорий $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. Следовательно, отображение $D=C_{\mathcal{D}_{\mathrm p}}\circ C_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}^{-1}$ биективно отображает множество допустимых справа подкатегорий $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ на множество допустимых слева подкатегорий $\mathcal{D}_{\mathrm p}$, и остается заметить, что $D(\mathcal{D}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}})=\mathcal{D}^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}}=(\mathcal{D}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}})\cap \mathcal{D}_{\mathrm p}$. Теорема доказана. Замечание 4.13. 1. Автор не встречал соображений, позволяющих “непосредственно” расширять полуортогональные разложения $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ на категории $\mathcal{D}^-\subset \mathcal{D}^{\mathrm u}$ (ср. п. II, 2 теоремы 4.12). Напомним, однако, что в следствии 1.12 статьи [23] рассматриваются разложения $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$, чьи компоненты допустимы в смысле определения 1.1, 1. Это дополнительное ограничение позволяют применить (в доказательстве предложения 1.10 указанной статьи) рассуждения, несколько сходные с использованными выше, но не нуждающиеся в дополнительных категориях, и позволяющие доказать, что такие разложения ограничиваются на подкатегорию $\mathcal{D}_{\mathrm p}$. Также стоит заметить, что вышеупомянутые предложение 1.10 и следствие 1.12 легко распространить на $R$-линейный случай (по крайней мере) в ситуации, когда схема $X$ проективна над $S$, так как тогда $X$ удовлетворяют упомянутому там же условию (ELF) (см. пример (c) в [29; п. 2.1.2]). 2. Аналогично теореме 4.12, I, 2, из теоремы 2.8, I ,2 и II, 2 следует, что отображения $D\mapsto D^{\perp}_{\mathcal{D}^-}$ и $D\mapsto D^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$ также задают вложения множества полуортогональных разложений категории $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ в классы полуортогональных разложений соответствующих категорий. Так как и $\mathcal{D}^-$, и $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ содержат категорию $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$, это утверждение также следует из теоремы 4.12, I, 2. Теперь изучим некоторые категории с носителем. Предложение 4.14. Пусть $\mathfrak{B}$ – абелева подкатегория категории $R\text{-}\operatorname{Mod}$, замкнутая относительно расширений, а $\mathfrak{B}^\mathbb{Z}$ – соответствующая (градуированная) подкатегория $(R\text{-}\operatorname{Mod})^{\mathbb{Z}}$. Положим $\mathcal{T}=\mathcal{D}_{\mathrm p}$ и $\mathcal{D}=\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$, где $X$ – собственная схема над $S=\operatorname{Spec} R$, и выберем $s\in \{\mathrm u,+,-,\mathrm b\}$. 1. Тогда для любого разложения $D$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ пара $D^{\perp}_{(\mathcal{T}_{\mathfrak{B}^\mathbb{Z}})}$ дает разложение соответствующей категории $\mathcal{T}_{\mathfrak{B}^\mathbb{Z}}$, и это разложение ограничивается на $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}^s}\cap \mathcal{T}_{\mathfrak{B}^\mathbb{Z}}$ (см. описания этих категорий $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}^s}$ в теореме 4.7). 2. Пусть $\mathfrak{B}$ – категория $R$-модулей с носителем $T$, где $T$ – подмножество $S=\operatorname{Spec} R$, замкнутое относительно специализации, т.е. $T$ – объединение некоторых замкнутых подмножеств $S$ (см. [30; гл. 10, определение 10.40.1]). Тогда $\mathcal{T}_{\mathfrak{B}^\mathbb{Z}}$ состоит из тех объектов категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$, сечения когомологий которых (рассматриваемых как пучки $R$-модулей) имеют носитель в $T$. Доказательство. 1. Очевидно, $\mathfrak{B}^\mathbb{Z}$ – градуированная слабая подкатегория Серра в $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$ (см. определение 4.2, 3); следовательно, $\mathfrak{B}^\mathbb{Z}\cap \mathfrak{E}^s$ – также градуированная слабая подкатегория Серра в $R\text{-}\operatorname{Mod}^{\mathbb{Z}}$ (см. теорему 4.4, I, 2 и замечание 4.3, 1).
Получаем, что искомое утверждение следует из теоремы 4.4 (п. I, 2 и п. II, 2). 2. Согласно определению носителя, объект $C$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ принадлежит $\mathcal{T}_{\mathfrak{B}^\mathbb{Z}}$ тогда и только тогда, когда для любого объекта $M$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ и любой схемной точки $s_0\in S\setminus T$ выполнено $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M,C)\otimes_R R_{s_0}=\{0\}$; здесь $R_{s_0}$ – локализация кольца $R$ в $s_0$. Далее, для двойственного объекта $M^{\bigvee}$ выполнено: $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M,C)\cong H^0(X,M^{\bigvee}\otimes C)$; см. [30; гл. 21, лемма 21.48.4]. Так как кольцо $R_{s_0}$ – плоский $R$-модуль, применив ассоциативность $-\otimes -$ получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M,C)\otimes_R R_{s_0}\cong \mathcal{D}_{\mathrm{Q}}(M,C\otimes_R R_{s_0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 4.7, 1 и леммы 2.2, 1 получаем, что $C$ принадлежит $\mathcal{T}_{\mathfrak{B}^\mathbb{Z}}$ тогда и только тогда, когда $C\otimes_R R_{s_0}=0$ для всех ${s_0}\in S\setminus T$.
Кроме того, из плоскости $R_{s_0}$ получаем, что для каждого $n\in \mathbb{Z}$ и открытого $U\subset X$ выполнено $H^n(C\otimes_R R_{s_0})(U)\cong H^n(C)(U)\otimes_R R_{s_0}$. Так как комплекс пучков ацикличен тогда и только тогда, когда все сечения его когомологий тривиальны, получаем, что $C\otimes_R R_{s_0}=0$ тогда и только тогда, когда все пучки $H^n(C)$ имеют носитель $T$. Предложение доказано. Замечание 4.15. Очевидно, все категории $\mathcal{T}_{\mathfrak{E}^s}\cap \mathcal{T}_{\mathfrak{B}^\mathbb{Z}}$ в предложении 4.14, 1 определяются категорией $\mathfrak{B}\cap (R-\operatorname{mod})$. Напомним теперь, что любая абелева подкатегория категории $R-\operatorname{mod}$, замкнутая относительно расширений, состоит из конечнопорожденных $R$-модулей с носителем в некотором $T$, удовлетворяющем условиям предложения 4.14, 2; см. теорему A статьи7 [26]. 4.3. Рассуждения, связанные с двойственностьюТеперь перейдем к рассуждениям, связанным с двойственностью Гротендика; см. определение 1.1, 7. Замечание 4.16. Наибольший интерес в алгебраической геометрии представляют схемы конечного типа над конечномерными регулярными схемами (в частности, над спектрами колец и дедекиндовых областей). В этом случае $X$ автоматически обладает дуализирующим комплексом; см. предложение 4.17, 3. Предложение 4.17. Пусть $X$ обладает дуализирующим комплексом $K{\in}{\kern1pt}\mathcal{D}^{\mathrm u}$ в смысле [30; гл. 48, определение 48.2.2, лемма 48.2.5 ] (обратите внимание на замечание 3.1). 1. Тогда существует (и единственен с точностью до изоморфизма) точный функтор двойственности Гротендика $D_X\colon \mathcal{D}^{\mathrm u}\to (\mathcal{D}^{\mathrm u})^{\mathrm{op}}$.8 При этом функтор $(D_X)^{\mathrm{op}}\circ D_X$ изоморфен тождественному; соответственно, $D_X$ – эквивалентность. 2. $D_X$ переводит подкатегории $\mathcal{D}^-$ и $\mathcal{D}^+$ друг в друга, а $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ – в себя. 3. Если $Y'$ – схема конечного типа над конечномерной горенштейновой схемой $Y$ (см. [30; гл. 48, определение 48.24.1]), то $Y'$ обладает дуализирующим комплексом. Кроме того, если схема $X$ горенштейнова и конечномерна, то $D_X$ ограничивается до эквивалентности $\mathcal{D}_{\mathrm p}\to (\mathcal{D}_{\mathrm p})^{\mathrm{op}}$. В частности, это утверждение выполнено, если $X$ конечномерна и регулярна. 4. Пусть $D_0=(\mathcal{A}_0,\mathcal{B}_0)$ – полуортогональное разложение триангулированной подкатегории $\mathcal{T}_0$ категории $\mathcal{D}^{\mathrm u}$; обозначим через $D_X(D_0)$ пару $(D_X(\mathcal{B}_0), D_X(\mathcal{A}_0))$. Тогда $D_X(D_0)$ – полуортогональное разложение триангулированной подкатегории $(D_X)^{\mathrm{op}}(\mathcal{T}_0^{\mathrm{op}}) $ категории $\mathcal{D}^{\mathrm u}$. Доказательство. Все утверждения п. 1–3 легко следуют из свойств двойственности Гротендика, указанных в [30; гл. 48, начало п. 48.19, леммы 48.24.3, 48.24.4] и в [12]; см. достаточное условие 2 в п. V.10 этой книги.
Пункт 4 непосредственно следует из предложения 2.5, 3; напомним, что функтор $D_X$ строго полон. Предложение доказано. Эти утверждения позволяют закончить доказательство теоремы 1.7, 2. Следствие 4.18. Пусть схема $X$ регулярна и конечномерна. Тогда $\mathcal{D}_{\mathrm p}=\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$, а объекты $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ копредставляют такие и только такие гомологические функторы $F\colon \mathcal{D}^{\mathrm{b}}\to R\text{-}\operatorname{Mod}$, что для любого $N\in \operatorname{Obj} \mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ $R$-модуль $\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}}F(N[i])$ конечно порожден (ср. теорема 1.7, 2). Доказательство. Хорошо известно, что $\mathcal{D}_{\mathrm p}=\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ если схема $X$ регулярна.
Далее, согласно предложению 4.17, 3 $X$ обладает дуализирующим комплексом. Применив $D_X$, сводим второе утверждение пункта к теореме 1.7, 1 (ср. теорему 4.7, 3). Следствие доказано. Свяжем теперь полуортогональные разложения с двойственностью. Предложение 4.19. Пусть схема $X$ обладает дуализирующим комплексом. I. Пусть $X$ удовлетворяет предположению 4.9, а $E$ – полуортогональное разложение $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. 1. Тогда $E$ расширяется (см. определение 2.3, 2) до следующего разложения категории $\mathcal{D}^+$: $E^+=D_X( D_X(E)^{\coprod}_{\mathcal{D}^-})$. 2. Дополнительно предположим, что $X$ проективна над $S$. Тогда разложение $E^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}$ категории $\mathcal{D}^{\mathrm u}$ (см. теорему 4.12, II) равно $E^{\mathrm u}=D_X(D_X(E)^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}})$. Соответственно, определенное выше разложение $E^+$ совпадает с $E^{\coprod}_{\mathcal{D}^+}$. II. Пусть $X$ – конечномерная горенштейнова схема (см. предложение 4.17, 3), а $D=(\mathcal{A},\mathcal{B})$ – полуортогональное разложение $\mathcal{D}_{\mathrm p}$. Тогда пара ${}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}D=({}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}\mathcal{A}, {}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}\mathcal{B})$ – полуортогональное разложение $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$, а ${}^{\perp}_{\mathcal{D}^+}D$ – полуортогональное разложение $\mathcal{D}^+$. Кроме того, если $X$ – проективна над $S$, то ${}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}D$ – полуортогональное разложение $\mathcal{D}^{\mathrm u}$. Доказательство. I. Согласно предложению 4.17 (п. 1, 2, 4) $D_X(E)$ – полуортогональное разложение $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. Поэтому из теоремы 4.12, II, 1 получаем, что $D={}^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}} (D_X(E))$ – разложение $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ и $D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}=D_X(E)$. Кроме того, пара $(D_X(E))^{\coprod}_{\mathcal{D}^-}=D^{\perp}_{\mathcal{D}^-}$ – разложение $\mathcal{D}^-$, ограничивающееся до $D_X(E)$ на $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$.
1. Применив $D_X$ к разложению $(D_X(E))^{\coprod}_{\mathcal{D}^-}$, получаем, что $E^+$ – разложение $\mathcal{D}^+$, которое, действительно, ограничивается до $D_X(D_X(E))=E$ на подкатегории $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. 2. Аналогично рассуждению выше, в данной ситуации из теоремы 4.12, II, 1 получаем, что $E^{\mathrm u}$ – разложение $\mathcal{D}^{\mathrm u}$, которое является расширением как $E^+$, так и $E=(\mathcal{A}^{\mathrm{b}},\mathcal{B}^{\mathrm{b}})$. Далее, из теоремы 4.12, II, 1 также следует $D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}=(D_X(E))^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}$ (напомним, что $D={}^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}} (D_X(E))$); следовательно, $D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}=D_X(D_X(D_X(E)^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}})) =D_X(E^{\mathrm u})$. Пусть $D=(\mathcal{A},\mathcal{B})$. Из предложение 4.17, 4 получаем
$$
\begin{equation*}
E^{\mathrm u}=D_X(D_X(E^{\mathrm u}))=D_X(D^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}})=D_X((\mathcal{A}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}},\mathcal{B}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}))= ({}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}D_X(\mathcal{B}),{}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}D_X(\mathcal{A})).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как разложение $E^{\mathrm u}=(\mathcal{A}^{\mathrm u},\mathcal{B}^{\mathrm u})$ – расширение $E$, получаем, что $\mathcal{A}^{\mathrm{b}}\subset {}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}D_X(\mathcal{B})$ и $\mathcal{B}^{\mathrm{b}}\subset {}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}D_X(\mathcal{A})$. Далее, представимые функторы когомологичны и переводят копроизведения в произведения; следовательно, классы ${}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}^{\perp}D_X(\mathcal{B})$ и ${}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}^{\perp}D_X(\mathcal{A})$ замкнуты относительно копроизведений. Отсюда $(\mathcal{A}^{\mathrm{b}})^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}=(\mathcal{A}^{\mathrm{b}})^{\coprod}\cap\mathcal{D}^{\mathrm u}\subset {}^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}D_X(\mathcal{B})= \mathcal{A}^{\mathrm u}$ и $(\mathcal{B}^{\mathrm{b}})^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}\subset \mathcal{B}^{\mathrm u}$.
Следовательно, $E^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}\leqslant_{R} E^{\mathrm u}$, и из предложения 2.8, I, 1 мы получаем $E^{\mathrm u}\leqslant_{R} E^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}$; отсюда $E^{\mathrm u}= E^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}$ согласно предложению 2.8, I, 2. II. Применив предложение 4.17, 3, 4, получаем, что $D_X(D)$ – тоже полуортогональное разложение $\mathcal{D}_{\mathrm p}$. Поэтому из теоремы 4.12, I, 1 получаем, что $(D_X(D))^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}$ и $(D_X(D))^{\perp}_{\mathcal{D}^-}$ – разложения категорий $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ и $\mathcal{D}^-$ соответственно; если $X$ проективна над $S$, то пары $(D_X(D))^{\perp}_{\mathcal{D}^+}$ и $(D_X(D))^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}$ также дают разложения соответствующих категорий. Остается применить предложение 4.17, 4, 2 и получить все требуемые утверждения. Предложение доказано. 4.4. Обобщения на разложения произвольной длиныДо конца статьи будем считать $n$ натуральным числом. Вернемся к рассмотрению полуортогональных разложений длины $n+1$; см. соответствующие определения в п. 2.3. Нам снова понадобятся некоторые ортогональные дополнения; обратите внимание на нумерацию подкатегорий в рассматриваемых семействах! Определение 4.20. Пусть $\mathcal{D}$ – триангулированная категория, а $\mathcal{T}$ и $\mathcal{T}'$ – ее триангулированные подкатегории. 1. Пусть $C=(C_{<i})$, $1\leqslant i\leqslant n$, – семейство подкатегорий $\mathcal{T}$. Определим семейство $C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]=(C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<i})$ (соответственно ${[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]}C=({[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]}C_{<i})$; в обоих случаях берем $1\leqslant i\leqslant n$): $C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<i}=(C_{<n+1-i}){}^{\perp}_{\mathcal{T}'}$ (соответственно ${[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]}C_{<i}={}^{\perp}_{\mathcal{T}'}(C_{<n+1-i})$). 2. Пусть $D=(D_i)$, $0\leqslant i\leqslant n$, – набор триангулированных подкатегорий $\mathcal{T}$. Обозначим через $D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]$ (соответственно $[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]D$) семейство (соответственно $([^{\perp}_{\mathcal{T}'}]D_i)= (\bigcap_{0\leqslant j\leqslant n,\ j\neq n- i}{}^{\perp}_{\mathcal{T}'}D_j)$).Докажем сначала следующее обобщение на разложения длины $n$ теоремы 1.3. Предложение 4.21. Пусть $R$ – нётерово кольцо, а схема $X$ проективна над $S=\operatorname{Spec} R$. 1. Пусть $C$ – левая допустимая цепочка длины $n$ в категории $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ (см. определение 2.9, I, 1). Тогда семейства $C[^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}]$, $C[^{\perp}_{\mathcal{D}^-}]$, $C[^{\perp}_{\mathcal{D}^+}]$, $C[^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}]$ и $C[^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}]$ – левые допустимые цепочки длины $n$ в категориях $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$, $\mathcal{D}^-$, $\mathcal{D}^+$, $\mathcal{D}^{\mathrm u}$ и $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ соответственно. К тому же $C[^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}]=C[^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}]^{\coprod}$ (см. определение 1.1, 5). Кроме того, соответствие $C\mapsto C[^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}]$ вкладывает множество всех левых допустимых цепочек длины $n$ в $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ во множество левых допустимых цепочек длины $n$ в $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. 2. Пусть схема $X$ удовлетворяет предположению 4.9, а $B=(B_{<i})$ – левая допустимая цепочка длины $n$ в $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. Тогда соответствие $C\mapsto C[^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}]$ задает биекцию между множеством всех левых допустимых цепочек длины $n$ в категории $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ и множеством левых допустимых цепочек длины $n$ в $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$; функция же $B\mapsto {[^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}}]}B$ задает обратное отображение. Кроме того, семейства $B^{\coprod}_{\mathcal{D}^-}=(B_{<i}{}^{\coprod}_{\mathcal{D}^-})$ (см. определение 1.1, 5), $B^{\coprod}_{\mathcal{D}^+}$, $B^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}$ и $B^{\coprod}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$ – левые допустимые цепочки длины $n$ в категориях $\mathcal{D}^-$, $\mathcal{D}^+$, $\mathcal{D}^{\mathrm u}$ и $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ соответственно. Наконец, для каждого $j$, $1\leqslant j\leqslant n$, выполнено $ (B_{\geqslant j})^{\coprod}\perp (B_{<j})^{\coprod}$. Доказательство. Все эти утверждения легко сводятся к случаю $n=1$ (заметим, что большая часть этих версий содержится в теореме 1.3). Далее, если $n=1$, то достаточно применить теорему 4.12 вместе с предложением 2.5, 1, 2.
Предложение доказано. Замечание 4.22. 1. Аналогично рассуждениям выше, для доказательства того, что семейства $C[^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}]$, $C[^{\perp}_{\mathcal{D}^-}]$ и $C[^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}]$ – левые допустимые цепочки длины $n$ в категориях $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$, $\mathcal{D}^-$ и $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ соответственно (если $C$ – левые допустимые цепочки длины $n$ в $\mathcal{D}_{\mathrm p}$), достаточно предположить, что схема $X$ собственна над $S$. Кроме того, если $B=(B_{<i})$ – левая допустимая цепочка длины $n$ в $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$ а $X$ удовлетворяет предположению 4.9, то $B^{\coprod}_{\mathcal{D}^-}$ и $B^{\coprod}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$ – левые допустимые цепочки длины $n$ в $\mathcal{D}^-$ и $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ соответственно. 2. Аналогично рассуждениям выше легко сформулировать и доказать допустимые справа версии предложения 4.21 и его модификации, описанной в замечании 4.22, 1. 3. Заметим, что теорема 4.12, II, 3 дает последнее утверждение в теореме 1.3, II, 1. Все остальные утверждения получаются из предложения 4.21 и замечания 4.22, 1, 2, если положить $n=1$. Напомним теперь, что если $C$ – левая допустимая цепочка длины $n$ в $\mathcal{T}$, то семейство $D=\mathcal{D}ec(C)$ – полуортогональное разложение длины $n+1$ категории $\mathcal{T}$; см. определение 2.9, I, 2 и предложение 2.10, 2. Теорема 4.23. Пусть $\mathcal{T},\mathcal{T}'\subset \mathcal{D}$, $C$ – левая допустимая цепочка длины $n$ в $\mathcal{T}$, а $D=(D_i)$ – это полуортогональное разложение $\mathcal{D}ec(C)$ (длины $n+1$). 1. Для каждого $j$, $0\leqslant j\leqslant n$, выполнено $D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_j=C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<j+1}\cap (D_{\geqslant n+1-j}){}^{\perp}_{\mathcal{T}'}$ и $(D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}])_{<j}\subset C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<j}$ (см. определение 2.9, II, 1). 2. Пусть для каждого $j$, $1\leqslant j \leqslant n$, пара $((C_{<j}){}^{\perp}_{\mathcal{T}'}, (C_{\geqslant j}){}^{\perp}_{\mathcal{T}'})$ (см. определение 2.9, I, 2) – полуортогональное разложение $\mathcal{T}'$. Тогда $C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]=(D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}])_{<}$. 3. Аналогично, если для каждого $j$, $1\leqslant j \leqslant n$, пара $({}^{\perp}_{\mathcal{T}'}(C_{<j}),{}^{\perp}_{\mathcal{T}'}(C_{\geqslant j}))$ – полуортогональное разложение $\mathcal{T}'$, то $[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]C=([^{\perp}_{\mathcal{T}'}]D)_{<}$. 4. Предположим, что категория $\mathcal{D}$ замкнута относительно копроизведений и $ (C_{\geqslant j})^{\coprod}\perp (C_{<j})^{\coprod}$ для всех $j$, $1\leqslant j\leqslant n$. Тогда $((C_{< i})^{\coprod}_{\mathcal{T}'})=(D^{\coprod}_{\mathcal{T}'})_{<}$. Доказательство. 1. Оба утверждения немедленно получаются при помощи следующего тривиального наблюдения: если $A_i$, $i\in I$, – семейство подкатегорий $\mathcal{T}$, $A$ – наименьшая триангулированная подкатегория $\mathcal{T}$, содержащая $A_i$, и $A_i=A_i[1]$ для всех $ i\in I$, то $A{}^{\perp}_{\mathcal{T}'}=\bigcap_{ i\in I}((A_i){}^{\perp}_{\mathcal{T}'})$.
2. Согласно п. 1 $(D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}])_{<j}\subset C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<j}$, а значит, достаточно доказать, что $C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<j}\subset (D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}])_{<j}$. Докажем это утверждение индукцией по $j$. Если $j=1$, то $(D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}])_{<j}=D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_0$. Согласно п. 1 $D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_0=C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<1}\cap (D_{\geqslant n+1}){}^{\perp}_{\mathcal{T}'}=(C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}])_{<1}$. Далее, пусть $2\leqslant j\leqslant n$, $C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<j-1}\subset (D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}])_{<j-1}$, и $M\in C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<j}$. Напомним, что $((C_{<n+2-j})^{\perp}_{\mathcal{T}'}, (C_{\geqslant n+2-j})^{\perp}_{\mathcal{T}'})$ – разложение $\mathcal{T}'$. Следовательно, существует выделенный треугольник с $B\in (C_{\geqslant n+2-j})^{\perp}_{\mathcal{T}'}= (D_{\geqslant n+2-j})^{\perp}_{\mathcal{T}'}$ (см. предложение 2.10, 2) и $A\in (C_{<n+2-j})^{\perp}_{\mathcal{T}'}$. Так как $(C_{<n+2-j})^{\perp}_{\mathcal{T}'}=C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<j-1}$, получаем $A\in (D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}])_{<j-1}$. Так как $M,A\in C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<j}$, получаем, что $B\in (D_{\geqslant n+2-j})^{\perp}_{\mathcal{T}'}\cap C[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{<j}=D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}]_{j-1}$. Следовательно, $M\in (D[^{\perp}_{\mathcal{T}'}])_{<j}$, и это завершает переход индукции.3. Доказательство п. 2 легко переделывается в доказательство этого пункта заменой соответствующих “правых $\mathcal{T}'$-ортогональных дополнений” на левые). 4. Очевидно, достаточно рассмотреть случай $\mathcal{T}'=\mathcal{D}$. Далее, для любого $j$, $1\leqslant j\leqslant n$, категория $(C_{<j})^{\coprod}_{\mathcal{D}}=(D_{<j})^{\coprod}_{\mathcal{D}}$ триангулирована, замкнута относительно $\mathcal{D}$-копроизведений и содержит $D_i$ при $0\leqslant i<j$. Следовательно, $(D^{\coprod}_{\mathcal{T}'})_{<j}\subset (C_{<j})^{\coprod}_{\mathcal{D}}$. Докажем обратное включение индукцией по $j$. Оно очевидно в случае $j=1$. Пусть $j\geqslant 2$ и $(C_{<j-1})^{\coprod}_{\mathcal{D}}\subset (D^{\coprod}_{\mathcal{T}'})_{<j-1}$. Достаточно проверить, что класс $\mathcal{C}$ расширений объектов $(C_{<j-1})^{\coprod}_{\mathcal{D}}$ при помощи объектов $(D_{j-1})^{\coprod}_{\mathcal{D}}$ содержит $(C_{<j})^{\coprod}_{\mathcal{D}}$. Напомним, что $ (C_{\geqslant j-1})^{\coprod}\perp (C_{<j-1})^{\coprod}$; следовательно, $(D_{j-1})^{\coprod}\perp (C_{<j-1})^{\coprod}$. Согласно лемме 2.1 $\mathcal{C}$ дает триангулированную подкатегорию $\mathcal{D}$, замкнутую относительно $\mathcal{D}$-копроизведений. Далее, категория $\mathcal{C}$ содержит $C_{<j}$ (см. предложение 2.10, 1); следовательно, она действительно содержит $(C_{<j})^{\coprod}_{\mathcal{D}}$. Теорема доказана. Замечание 4.24. 1. Конечно же, можно дуализировать понятие левой допустимой цепочки (ср. предложение 2.5, 3); это дает правые допустимые цепочки. Соответственно, п. 2 и п. 3 теоремы 4.23 не двойственны друг к другу. 2. Предположение $ (C_{\geqslant j})^{\coprod}\perp (C_{<j})^{\coprod}$, очевидно, равносильно $ C_{\geqslant j}\perp (C_{<j})^{\coprod}$. Теперь мы можем обобщить некоторые утверждения в теореме 4.12. Следствие 4.25. Пусть $R$ – нётерово кольцо, схема $X$ проективна над $S=\operatorname{Spec} R$, а $D$ – полуортогональное разложение длины $n+1$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm p}$. 1. Тогда семейства $D[^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}]$, $D[^{\perp}_{\mathcal{D}^-}]$, $D[^{\perp}_{\mathcal{D}^+}]$, $D[^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}]$ и $D[^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}]$ – полуортогональные разложения длины $n+1$ категорий $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$, $\mathcal{D}^-$, $\mathcal{D}^+$, $\mathcal{D}^{\mathrm u}$ и $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ соответственно. Кроме того, $D[^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}]=(D[^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}])^{\coprod}$. 2. Предположим также, что схема $X$ удовлетворяет предположению 4.9, а $E$ – полуортогональное разложение длины $n+1$ категории $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$. Тогда соответствие $D \mapsto D[^{\perp}_{\mathcal{D}^{\mathrm{b}}}]$ задает биекцию между множеством всех полуортогональных разложений длины $n+1$ категории $\mathcal{D}_{\mathrm p}$ и множеством полуортогональных разложений длины $n+1$ категории $\mathcal{D}^{\mathrm{b}}$, а функция $E\mapsto {[^{\perp}_{\mathcal{D}_{\mathrm p}}]}E$ задает обратное отображение. Кроме того, $E^{\coprod}_{\mathcal{D}^-}=(E_{<i}{}^{\coprod}_{\mathcal{D}^-})$, $E^{\coprod}_{\mathcal{D}^+}$, $E^{\coprod}_{\mathcal{D}^{\mathrm u}}$ и $E^{\coprod}_{\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}}$ – полуортогональные разложения длины $n+1$ категорий $\mathcal{D}^-$, $\mathcal{D}^+$, $\mathcal{D}^{\mathrm u}$, и $\mathcal{D}_{\mathrm{Q}}$ соответственно. Доказательство. Все эти утверждения легко выводятся из их левых цепочечных версий, содержащихся в предложении 4.21. Для этого достаточно применить теорему 4.23; заметим, что из теоремы 4.12, I, 1, и II, 1 (вместе с предложением 2.5, 2) следует, что предположения теоремы 4.23, 2 и 3 выполнены.
Следствие доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bon24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|