| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Оценки колмогоровских поперечников пересечения двух шаров в смешанной норме А. А. Васильеваab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9877e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ настоящей работе изучается задача о порядковых оценках колмогоровских поперечников пересечения двух конечномерных шаров в смешанной норме. Сначала дадим необходимые определения и обозначения. Пусть $m, k\in \mathbb{N}$, $1\leqslant p<\infty$, $1\leqslant \theta<\infty$. Через $l_{p,\theta}^{m,k}$ обозначим пространство $\mathbb{R}^{mk}$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,\,1\leqslant j\leqslant k}\|_{l_{p,\theta}^{m,k}} =\biggl(\sum _{j=1}^k\biggl(\sum _{i=1}^m |x_{i,j}|^p\biggr)^{\theta/p}\biggr)^{1/\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $p=\infty$ или $\theta=\infty$ определение модифицируется естественным образом. Через $B_{p,\theta}^{m,k}$ обозначим единичный шар пространства $l_{p,\theta}^{m,k}$. В случае $k\,{=}\,1$ пространство и единичный шар будем обозначать соответственно через $l_p^m$ и $B_p^m$. Пусть $X$ – нормированное пространство, $M\subset X$, $n\in \mathbb{Z}_+$. Колмогоровским $n$-поперечником множества $M$ в пространстве $X$ называется величина
$$
\begin{equation*}
d_n(M, X)=\inf _{L\in {\cal L}_n(X)} \sup _{x\in M} \inf _{y\in L} \|x-y\|;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь ${\cal L}_n(X)$ – совокупность всех подпространств в $X$ размерности не выше $n$. О свойствах поперечников можно прочитать, например, в [1]–[3]. Точные значения поперечников $d_n(B_p^m, l_q^m)$ были получены в работах [4], [5] (случай $p\geqslant q$) и [6], [7] (случай $p=1$, $q=2$). При $p\leqslant q<\infty$ в [8], [9] получены порядковые оценки. Задача об оценках $d_n(B_p^m, l_\infty^m)$ исследовалась в [10]–[12]; при $p\geqslant 2$ получены порядковые оценки; для $1\leqslant p<2$ значения известны с точностью до множителя, имеющего вид степени логарифма $em/n$. Вопрос об аппроксимативных характеристиках шаров $B^{m,k}_{p,\theta}$ в пространстве $l^{m,k}_{q,\sigma}$ возникает при исследовании классов Бесова с доминирующей смешанной гладкостью (см. [13]–[15]) и весовых классов Бесова (см. [16]). В [14], [16]–[21] изучалась задача об оценках колмогоровских поперечников $d_n(B^{m,k}_{p,\theta}, l^{m,k}_{q,\sigma})$ при $n \leqslant mk/{2}$ (точнее, в [14] рассматривались гельфандовские поперечники, но если $p$, $\theta$, $q$, $\sigma \geqslant 1$, то задачу можно переформулировать в терминах колмогоровских поперечников; см. [22]). Порядковые оценки получены для следующих значений параметров:
Кроме того, Э. М. Галеевым в [23] получена оценка снизу при $1\leqslant p\leqslant \infty$, $\theta=\infty$, $2\leqslant q<\infty$, $\sigma=q$, $n\leqslant c(q)mk$ (здесь $c(q)$ – некоторое положительное число). Задача об оценке поперечников пересечения семейства классов Соболева или Бесова (см. [13], [17], [24], [25]) методом дискретизации сводится к оценке поперечников пересечения шаров $d_n(\bigcap _{\alpha \in A} \nu_\alpha B^m_{p_\alpha}, l_q^m)$. Э. М. Галеев в [24] получил порядковые оценки этой величины при $n=m/{2}$; в [26] этот результат был обобщен на случай $n \leqslant {m}/{2}$. Естественным образом возникает вопрос об оценке поперечников пересечения конечномерных шаров в смешанной норме. Полученный результат может использоваться в задаче о поперечниках пересечения весовых классов Бесова или классов Бесова с доминирующей смешанной гладкостью. Здесь будет рассмотрен случай двух шаров $\nu_i B^{m,k}_{p_i,\theta_i}$, $i=1, 2$, при этом $2\leqslant q<\infty$, $2\leqslant \sigma <\infty$, $1\leqslant p_i\leqslant q$, $1\leqslant \theta_i\leqslant \sigma$, $i=1, 2$. Оказывается, для этих значений параметров задача сводится к вычислению поперечников одного шара в смешанной норме, порядки которых уже вычислены в [16] (см. теорему 1 ниже). Пусть $X$, $Y$ – множества, $f_1$, $f_2\colon X\times Y\to \mathbb{R}_+$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
f_1(x, y)\underset{y}{\lesssim} f_2(x, y) \quad \Bigl(\text{или } f_2(x, y)\underset{y}{\gtrsim} f_1(x, y)\Bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
если для любого $y\in Y$ существует $c(y)>0$ такое, что $f_1(x, y)\leqslant c(y)f_2(x, y)$ для любого $x\in X$; если $f_1(x, y) \underset{y}{\lesssim} f_2(x, y)$ и $f_2(x,y)\underset{y}{\lesssim} f_1(x, y)$. Пусть $q>2$, $1\leqslant p\leqslant q$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\lambda_{p,q}=\min \biggl\{\frac{1/p-1/q}{1/2-1/q}, 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $q=2$, $1\leqslant p\leqslant 2$ положим $\lambda_{p,2}=1$. Теорема 1 (см. [16]). Пусть $m$, $k\in \mathbb{N}$, $n\in \mathbb{Z}_+$, $n\leqslant {mk}/{2}$, $2\leqslant q<\infty$, $2\leqslant \sigma <\infty$, $1\leqslant p\leqslant q$, $1\leqslant \theta \leqslant \sigma$. Тогда В [16] эта теорема была доказана для $n \leqslant a(q, \sigma)mk$; кроме того, в формулировке константы из порядковых равенств зависели от $p$, $\theta$, $q$, $\sigma$, но из доказательства видно, что зависимости от $p$ и $\theta$ нет. Оценка сверху верна для всех $n\leqslant mk$. Для $a(q, \sigma)mk \leqslant n \leqslant mk/{2}$ оценка снизу будет доказана в § 2 (следствие). Отметим, что если $2\leqslant p\leqslant q$, $2\leqslant \theta\leqslant \sigma$, $\lambda_{p,q}= \lambda_{\theta,\sigma}$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (n^{-1/2}m^{1/q}k^{1/\sigma})^{\lambda_{p,q}} &=m^{1/q-1/p}(n^{-1/2}m^{1/2}k^{1/\sigma})^{\lambda_{\theta,\sigma}} \\ &=(n^{-1/2}m^{1/q}k^{1/\sigma})^{\lambda_{\theta,\sigma}}= k^{1/\sigma-1/\theta}(n^{-1/2}k^{1/2}m^{1/q})^{\lambda_{p,q}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Сформулируем основной результат статьи. Теорема 2. Пусть $m$, $k\in \mathbb{N}$, $n\in \mathbb{Z}_+$, $n\leqslant {mk}/{2}$, $2\leqslant q<\infty$, $2\leqslant \sigma < \infty$, $1\leqslant p_i\leqslant q$, $1\leqslant \theta_i\leqslant \sigma$, $\nu_i>0$, $i=1, 2$. Определим величины $\Phi_j=\Phi_j(m, k, n, p_1, p_2, \theta_1, \theta_2, q, \sigma, \nu_1, \nu_2)$, $j=1, \dots, 5$, следующим образом: 1) $\Phi_j=\nu_j d_n(B^{m,k}_{p_j,\theta_j}, l^{m,k}_{q,\sigma})$, $j=1, 2$; 2) если $p_1\ne 2$ и существует такое $\widetilde \lambda \in (0, 1)$, что $\frac 12= \frac{1-\widetilde \lambda}{p_1}+\frac{\widetilde \lambda}{p_2}$, то определяем число $\widetilde \theta$ равенством $\frac{1}{\widetilde \theta}=\frac{1-\widetilde \lambda}{\theta_1}+\frac{\widetilde \lambda}{\theta_2}$ и полагаем $\Phi_3= \nu_1^{1-\widetilde \lambda}\nu_2^{\widetilde \lambda} d_n(B^{m,k}_{2,\widetilde\theta}, l^{m,k}_{q,\sigma})$; иначе полагаем $\Phi_3=+\infty$; 3) если $\theta_1\ne 2$ и существует такое $\widetilde \mu \in (0, 1)$, что $\frac 12= \frac{1-\widetilde \mu}{\theta_1}+\frac{\widetilde \mu}{\theta_2}$, то определяем число $\widetilde p$ равенством $\frac{1}{\widetilde p}=\frac{1-\widetilde \mu}{p_1}+ \frac{\widetilde \mu}{p_2}$ и полагаем $\Phi_4=\nu_1^{1-\widetilde \mu}\nu_2^{\widetilde \mu} d_n(B^{m,k}_{\widetilde p,2}, l^{m,k}_{q,\sigma})$; иначе полагаем $\Phi_4=+\infty$; 4) если $q>2$, $\sigma>2$, $\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}\ne \frac{1/\theta_1-1/\sigma}{1/2-1/\sigma}$ и существуют такие $\lambda \in (0, 1)$, $p\in (2, q]$, $\theta\in (2, \sigma]$, что $\frac 1p=\frac{1-\lambda}{p_1}+ \frac{\lambda}{p_2}$, $\frac{1}{\theta}=\frac{1-\lambda}{\theta_1}+ \frac{\lambda}{\theta_2}$ и $\lambda_{p,q}=\lambda_{\theta,\sigma}$, то полагаем $\Phi_5=\nu_1^{1-\lambda}\nu_2^{\lambda} d_n(B^{m,k}_{p,\theta}, l^{m,k}_{q,\sigma})$; иначе полагаем $\Phi_5=+\infty$. Тогда Результат анонсирован в работе [27] в эквивалентной формулировке. § 2. Вспомогательные утвержденияПусть $k,m,r,l\in \mathbb{N}$, $1\leqslant r\leqslant m$, $1\leqslant l\leqslant k$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
G=\bigl\{(\tau_1, \tau_2, \varepsilon_1, \varepsilon_2)\colon \tau_1\in S_m,\, \tau_2\in S_k,\, \varepsilon_1\in \{1, -1\}^m,\, \varepsilon_2\in \{1, -1\}^k\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $S_m$ и $S_k$ – группы перестановок $m$ и $k$ элементов соответственно. Для $x=(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m, 1\leqslant j\leqslant k}\in \mathbb{R}^{mk}$, $\gamma=(\tau_1, \tau_2, \varepsilon_1, \varepsilon_2)\in G$, $\varepsilon_1=(\varepsilon_{1,i})_{1\leqslant i\leqslant m}$, $\varepsilon_2=(\varepsilon_{2,j})_{1\leqslant j\leqslant k}$ положим
$$
\begin{equation}
\gamma(x)=(\varepsilon_{1,i}\varepsilon_{2,j}x_{\tau_1(i)\tau_2(j)})_{1\leqslant i\leqslant m,\,1\leqslant j\leqslant k}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Обозначим $e=(e_{i,j}^{m,k,r,l})_{1\leqslant i\leqslant m, 1\leqslant j\leqslant k}$, где
$$
\begin{equation}
e_{i,j}^{m,k,r,l}= \begin{cases} 1, &\text{если } 1\leqslant i\leqslant r,\, 1\leqslant j\leqslant l, \\ 0 &\text{в противном случае}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
V_{r,l}^{m,k}=\operatorname{conv}\{\gamma(e)\colon \gamma\in G\}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
В [16; формула (34)] было показано: если $2\leqslant q<\infty$, $2\leqslant \sigma<\infty$, $n\in \mathbb{Z}_+$, $n\leqslant a(q, \sigma) m^{2/q}k^{2/\sigma}r^{1-2/q} l^{1-2/\sigma}$, то
$$
\begin{equation}
d_n(V^{m,k}_{r,l}, l^{m,k}_{q,\sigma}) \geqslant b(q, \sigma) r^{1/q}l^{1/\sigma},
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $a(q, \sigma)>0$, $b(q, \sigma)>0$, при этом $a(\cdot, \cdot)$ – невозрастающая по каждому аргументу функция, $b(\cdot, \cdot)$ – непрерывная функция. Здесь мы получим оценку для всех $n\leqslant mk/2$. При доказательстве используем метод из работы Е. Д. Глускина [8]. Предложение. Пусть $2\leqslant q<\infty$, $2\leqslant \sigma <\infty$, $n\in \mathbb{Z}_+$, $n\leqslant mk/2$. Тогда Доказательство. При $n\leqslant a(q, \sigma)m^{2/q}k^{2/\sigma}r^{1-2/q} l^{1-2/\sigma}$ оценка следует из неравенства (8).
Рассмотрим случай $a(q, \sigma)m^{2/q}k^{2/\sigma}r^{1-2/q} l^{1-2/\sigma} \leqslant n\leqslant a(q, \sigma)mk$. Существуют числа $\widetilde q\in [2, q]$ и $\widetilde \sigma \in [2, \sigma]$ такие, что
$$
\begin{equation}
n=a(q, \sigma)m^{2/\widetilde q}k^{2/\widetilde\sigma}r^{1-2/\widetilde q} l^{1-2/\widetilde\sigma}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Так как функция $a(\cdot, \cdot)$ невозрастающая по каждому из аргументов, то $n\leqslant a(\widetilde q, \widetilde \sigma)m^{2/\widetilde q}k^{2/\widetilde\sigma}r^{1-2/\widetilde q} l^{1-2/\widetilde\sigma}$. Значит, в силу (8)
$$
\begin{equation*}
d_n(V^{m,k}_{r,l}, l^{m,k}_{\widetilde q,\widetilde \sigma}) \geqslant b(\widetilde q, \widetilde \sigma) r^{1/\widetilde q}l^{1/\widetilde\sigma} \underset{q,\sigma}{\gtrsim} r^{1/\widetilde q}l^{1/\widetilde\sigma}
\end{equation*}
\notag
$$
(мы воспользовались тем, что функция $b$ непрерывна). Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d_n(V^{m,k}_{r,l}, l^{m,k}_{q,\sigma}) &\geqslant m^{1/q-1/\widetilde q}k^{1/\sigma -1/\widetilde \sigma}d_n(V^{m,k}_{r,l}, l^{m,k}_{\widetilde q,\widetilde \sigma}) \\ &\underset{q,\sigma}{\gtrsim} m^{1/q-1/\widetilde q}k^{1/\sigma -1/\widetilde \sigma}r^{1/\widetilde q}l^{1/\widetilde\sigma} \stackrel{(10)}{\underset{q,\sigma}{\asymp}} m^{1/q}k^{1/\sigma}n^{-1/2}r^{1/2} l^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось рассмотреть случай $a(q, \sigma)mk \leqslant n \leqslant mk/2$. Сначала покажем, что
$$
\begin{equation}
d_n(V^{m,k}_{r,l}, l^{m,k}_{2,2}) \gtrsim r^{1/2}l^{1/2} \quad \text{при }\ n\leqslant \frac{mk}{2}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Для этого проводим рассуждения из [16; с. 14–17] в этом более простом случае; вместо использования неравенства (35) из [16] пишем формулу для квадрата разности, а неравенства Гёльдера и Юнга в конце доказательства не применяем. В итоге получаем, что для некоторого $\xi \in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation*}
d_n(V^{m,k}_{r,l}, l^{m,k}_{2,2})\geqslant rl -2\biggl(\frac{nrl}{mk}\biggr)^{1/2}\xi+\xi^2 \geqslant rl \biggl(1-\frac{n}{mk}\biggr)\geqslant \frac{rl}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
при $n\leqslant mk/2$.
Пусть теперь $q\in [2, \infty)$, $\sigma \in [2, \infty)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
d_n(V^{m,k}_{r,l}, l^{m,k}_{q,\sigma}) \stackrel{(11)}{\gtrsim} m^{1/q-1/2} k^{1/\sigma-1/2}r^{1/2} l^{1/2}, \qquad n\leqslant \frac{mk}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что для $a(q, \sigma)mk\leqslant n\leqslant mk/2$
$$
\begin{equation*}
d_n(V^{m,k}_{r,l}, l^{m,k}_{q,\sigma}) \underset{q,\sigma}{\gtrsim} n^{-1/2}m^{1/q} k^{1/\sigma}r^{1/2} l^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Следствие. Пусть $2\leqslant q<\infty$, $2\leqslant \sigma <\infty$, $1\leqslant p\leqslant q$, $1\leqslant \theta \leqslant \sigma$, $m, k, n\in \mathbb{N}$, $a(q, \sigma)mk \leqslant n \leqslant mk/2$. Тогда Доказательство. При $\min\{p, \theta\}\geqslant 2$ мы будем использовать включение $m^{-1/p}k^{-1/\theta}V^{m,k}_{m,k} \subset B^{m,k}_{p,\theta}$, при $\theta \leqslant 2\leqslant p$ – включение $m^{-1/p}V^{m,k}_{m,1}\subset B^{m,k}_{p,\theta}$, при $p\leqslant 2 \leqslant \theta$ – включение $k^{-1/\theta}V^{m,k}_{1,k} \subset B^{m,k}_{p,\theta}$, при $\max\{p, \theta\}\leqslant 2$ – включение $V^{m,k}_{1,1}\subset B^{m,k}_{p,\theta}$. Применив (9), получим требуемую оценку.
Следствие доказано. Всюду далее $m$, $k\in \mathbb{N}$, $n\in \mathbb{Z}_+$, $n\leqslant mk/2$, $\nu_i>0$, $1=1, 2$. Лемма 1. Пусть $1\leqslant p_i\leqslant \infty$, $1\leqslant \theta_i\leqslant \infty$, $\lambda \in [0, 1]$. Определим числа $p$, $\theta\in [1, \infty]$ равенствами Тогда Доказательство. Достаточно доказать неравенство
$$
\begin{equation*}
\|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,\,1\leqslant j\leqslant k}\|_{l_{p,\theta}^{m,k}} \leqslant \|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,\, 1\leqslant j\leqslant k}\|^{1-\lambda}_{l_{p_1,\theta_1}^{m,k}} \|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,\, 1\leqslant j\leqslant k}\|_{l_{p_2,\theta_2}^{m,k}}^\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим число $\beta$ равенством $\frac{\beta}{p}=\frac{\lambda}{p_2}$. В силу (12) $\frac{1-\beta}{p}=\frac{1-\lambda}{p_1}$, так что $\beta \in [0, 1]$. Применяя неравенство Гёльдера, получаем для каждого $j\in \{1, \dots, k\}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m}\|_{l_p^m} &=\biggl(\sum _{i=1}^m |x_{i,j}|^{p(1-\lambda)} |x_{i,j}|^{p\lambda}\biggr)^{1/p} \\ & \leqslant \|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m}\|_{l_{p_1}^m}^{1-\lambda}\|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m}\|_{l_{p_2}^m}^{\lambda}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Затем определяем число $\gamma$ равенством $\frac{\gamma}{\theta}=\frac{\lambda}{\theta_2}$. Тогда $\frac{1-\gamma}{\theta} \stackrel{(12)}{=} \frac{1-\lambda}{\theta_1}$, откуда получаем $\gamma \in [0, 1]$. Снова применяем неравенство Гёльдера и получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m, 1\leqslant j\leqslant k}\|_{l_{p,\theta}^{m,k}} &\stackrel{(13)}{\leqslant} \biggl(\sum _{j=1}^k \|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m}\|_{l_{p_1}^m}^{(1-\lambda)\theta}\|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m}\|_{l_{p_2}^m}^{\lambda\theta}\biggr)^{1/\theta} \\ &\leqslant \|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,\,1\leqslant j\leqslant k}\|^{1-\lambda}_{l_{p_1,\theta_1}^{m,k}} \|(x_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,\,1\leqslant j\leqslant k}\|_{l_{p_2,\theta_2}^{m,k}}^\lambda. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 2. Пусть $\lambda \in [0, 1]$, $\frac 1p=\frac{1-\lambda}{p_1}+\frac{\lambda}{p_2}$, $\frac{1}{\theta}=\frac{1-\lambda}{\theta_1}+\frac{\lambda}{\theta_2}$, $\widetilde r \in [1, m]$, $\widetilde l=[1, k]$, $r=\lfloor \widetilde r \rfloor$ или $r=\lceil \widetilde r \,\rceil$, $l=\lfloor \widetilde l\, \rfloor$ или $l=\lceil \,\widetilde l\, \rceil$, Тогда Доказательство. В силу (5)–(7) достаточно доказать, что
$$
\begin{equation*}
\nu_1^{1-\lambda}\nu_2^{\lambda} \widetilde r^{\,1/p_1 -1/p} \widetilde l^{\,1/\theta_1-1/\theta}\leqslant \nu_1,\qquad \nu_1^{1-\lambda}\nu_2^{\lambda} \widetilde r^{\,1/p_2-1/p} \widetilde l^{\,1/\theta_2-1/\theta}\leqslant \nu_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Это следует из (14).
Лемма доказана. Доказательство. Из включения $\min\{\nu_1, \nu_2\} V^{m,k}_{1,1} \subset \nu_1B^{m,k}_{p_1,\theta_1}\cap \nu_2B^{m,k}_{p_2,\theta_2}$ и предложения (см. выше) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &d_n(\nu_1B^{m,k}_{p_1,\theta_1}\cap \nu_2B^{m,k}_{p_2,\theta_2}, l^{m,k}_{q,\sigma}) \\ &\qquad \geqslant d_n(\min\{\nu_1, \nu_2\} V^{m,k}_{1,1}, l^{m,k}_{q,\sigma}) \underset{q,\sigma}{\gtrsim} \min\{\nu_1, \nu_2\}\min\{1, n^{-1/2}m^{1/q}k^{1/\sigma}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 4. Пусть $2\leqslant q<\infty$, $2\leqslant \sigma <\infty$, $m^{2/q} k^{2/\sigma}< n \leqslant mk/2$. 1. Пусть $2\leqslant p_1\leqslant q$, $\lambda_{p_1,q}\leqslant \lambda_{\theta_1,\sigma}$,
$$
\begin{equation}
\frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant \begin{cases} (n^{1/2}m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}}, & m^{2/q} k^{2/\sigma}< n \leqslant mk^{2/\sigma}, \\ m^{1/p_1 -1/p_2} (n^{1/2}m^{-1/2} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}}, & mk^{2/\sigma}< n \leqslant \dfrac{mk}{2}, \, \theta_1\geqslant 2, \\ m^{1/p_1 -1/p_2}, & mk^{2/\sigma}< n \leqslant \dfrac{mk}{2}, \, \theta_1< 2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &d_n(\nu_1B^{m,k}_{p_1,\theta_1}\cap \nu_2B^{m,k}_{p_2,\theta_2}, l^{m,k}_{q,\sigma}) \\ &\qquad \underset{q,\sigma}{\gtrsim} \nu_1\min\{(n^{-1/2} m^{1/q} k^{1/\sigma})^{\lambda_{p_1,q}}, m^{1/q-1/p_1} (n^{-1/2}m^{1/2} k^{1/\sigma})^{\lambda_{\theta_1,\sigma}}\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
2. Пусть $2\leqslant \theta_1\leqslant \sigma$, $\lambda_{\theta_1,\sigma}\leqslant \lambda_{p_1,q}$,
$$
\begin{equation*}
\frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant \begin{cases} (n^{1/2}m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}}, & m^{2/q}k^{2/\sigma}< n \leqslant m^{2/q}k, \\ k^{1/\theta_1 -1/\theta_2} (n^{1/2}m^{-1/q} k^{-1/2})^{\frac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}}, & m^{2/q}k < n\leqslant \dfrac{mk}{2}, \, p_1\geqslant 2, \\ k^{1/\theta_1 -1/\theta_2}, & m^{2/q}k < n\leqslant \dfrac{mk}{2}, \, p_1< 2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &d_n(\nu_1B^{m,k}_{p_1,\theta_1}\cap \nu_2B^{m,k}_{p_2,\theta_2}, l^{m,k}_{q,\sigma}) \\ &\qquad\underset{q,\sigma}{\gtrsim} \nu_1\min \bigl\{(n^{-1/2} m^{1/q} k^{1/\sigma})^{\lambda_{\theta_1,\sigma}}, k^{1/\sigma-1/\theta_1} (n^{-1/2}m^{1/q} k^{1/2})^{\lambda_{p_1,q}}\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Докажем п. 1 (п. 2 доказывается аналогично).
Пусть $m^{2/q}k^{2/\sigma}< n \leqslant mk^{2/\sigma}$. Тогда $q>2$ и правая часть (16) равна
$$
\begin{equation*}
\nu_1 (n^{-1/2} m^{1/q} k^{1/\sigma})^{\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation}
r=\bigl\lceil(n^{1/2}m^{-1/q}k^{-1/\sigma})^{\frac{1}{1/2-1/q}}\bigr\rceil.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Так как $m^{2/q} k^{2/\sigma}\leqslant n\leqslant mk^{2/\sigma}$, то $1\leqslant r\leqslant m$. Покажем, что
$$
\begin{equation}
\nu_1 r^{-1/p_1} V^{m,k}_{r,1} \subset 2(\nu_1B^{m,k}_{p_1,\theta_1}\cap \nu_2B^{m,k}_{p_2,\theta_2}).
\end{equation}
\tag{18}
$$
Достаточно проверить, что (см. (6), (7)). Это следует из (15) и (17).
В силу (17) имеем $n\leqslant m^{2/q}k^{2/\sigma} r^{1-2/q}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
d_n(\nu_1B^{m,k}_{p_1,\theta_1}\cap \nu_2B^{m,k}_{p_2,\theta_2}, l^{m,k}_{q,\sigma}) \stackrel{(18)}{\gtrsim} \nu_1 r^{-1/p_1}d_n(V_{r,1}^{m,k}, l_{q,\sigma}^{m,k}) \stackrel{(9)}{\underset{q,\sigma}{\gtrsim}} \nu_1 r^{1/q-1/p_1};
\end{equation*}
\notag
$$
отсюда и из (17) следует (16).
Пусть $mk^{2/\sigma}< n \leqslant mk/2$, $\theta_1\geqslant 2$. Тогда $\sigma > 2$ и правая часть (16) равна
$$
\begin{equation*}
\nu_1m^{1/q-1/p_1}(n^{-1/2} m^{1/2} k^{1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\sigma}{1/2-1/\sigma}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
l=\bigl\lceil (n^{1/2}m^{-1/2}k^{-1/\sigma})^{\frac{1}{1/2-1/\sigma}}\bigr\rceil.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Так как $mk^{2/\sigma}\leqslant n \leqslant mk/2$, то $1\leqslant l\leqslant k$.
Покажем, что
$$
\begin{equation}
\nu_1 m^{-1/p_1} l^{-1/\theta_1} V^{m,k}_{m,l} \subset 2(\nu_1B^{m,k}_{p_1,\theta_1}\cap \nu_2B^{m,k}_{p_2,\theta_2}).
\end{equation}
\tag{20}
$$
Достаточно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\nu_1 m^{1/p_2-1/p_1} l^{1/\theta_2-1/\theta_1} \leqslant 2\nu_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Это следует из (15) и (19).
Далее, $n\leqslant m^{2/q}k^{2/\sigma} m^{1-2/q}l^{1-2/\sigma}$ в силу (19). В итоге получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &d_n(\nu_1B^{m,k}_{p_1,\theta_1}\cap \nu_2B^{m,k}_{p_2,\theta_2}, l^{m,k}_{q,\sigma}) \\ &\qquad\stackrel{(20)}{\gtrsim} \nu_1 m^{-1/p_1} l^{-1/\theta_1}d_n(V_{m,l}^{m,k}, l^{m,k}_{q,\sigma})\stackrel{(9)}{\underset{q,\sigma}{\gtrsim}} \nu_1m^{1/q-1/p_1}l^{1/\sigma-1/\theta_1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (19) следует (16).
Пусть $mk^{2/\sigma}< n \leqslant mk/2$, $\theta_1< 2$. Снова $\sigma > 2$, а правая часть (16) равна Из неравенства $\nu_1 m^{1/p_2-1/p_1}\,{\stackrel{(15)}{\leqslant}}\, \nu_2$ следует $\nu_1 m^{-1/p_1}V^{m,k}_{m,1} \subset \nu_1B_{p_1,\theta_1}^{m,k}\cap \nu_2 B_{p_2,\theta_2}^{m,k}$. Далее, $n\geqslant m^{2/q}k^{2/\sigma} m^{1-2/q}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &d_n(\nu_1B_{p_1,\theta_1}^{m,k}\cap \nu_2 B_{p_2,\theta_2}^{m,k}, l_{q,\sigma}^{m,k}) \\ &\qquad\geqslant d_n(\nu_1 m^{-1/p_1}V_{m,1}^{m,k}, l_{q,\sigma}^{m,k}) \stackrel{(9)}{\underset{q,\sigma}{\gtrsim}} \nu_1 m^{-1/p_1} n^{-1/2} m^{1/q} k^{1/\sigma}m^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 5. Пусть $q>2$, $\sigma>2$. Предположим, что: 1) если $m^{2/q}k^{2/\sigma} \leqslant n\leqslant \min\{mk^{2/\sigma}, m^{2/q}k\}$, то
$$
\begin{equation*}
(n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/p_1-1/p_2} {1/2-1/q}} \leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant (n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}}
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
(n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}} \leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant (n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/p_1-1/p_2} {1/2-1/q}};
\end{equation}
\tag{21}
$$
2) если $km^{2/q}\leqslant n \leqslant mk^{2/\sigma}$, то
$$
\begin{equation*}
(n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}}\leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant k^{1/\theta_1-1/\theta_2} (n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/2})^{\frac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}}
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
k^{1/\theta_1-1/\theta_2} (n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/2})^{\frac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}} \leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant (n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}};
\end{equation}
\tag{22}
$$
3) если $mk^{2/\sigma}\leqslant n \leqslant km^{2/q}$, то
$$
\begin{equation*}
(n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}}\leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant m^{1/p_1-1/p_2} (n^{1/2} m^{-1/2} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}}
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
m^{1/p_1-1/p_2} (n^{1/2} m^{-1/2} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}} \leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant (n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}};
\end{equation}
\tag{23}
$$
4) если $\max\{mk^{2/\sigma}, m^{2/q}k\}\leqslant n \leqslant mk/2$, то
$$
\begin{equation*}
m^{1/p_1-1/p_2} (n^{1/2} m^{-1/2} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}} \,{\leqslant}\, \frac{\nu_1}{\nu_2} \,{\leqslant}\, k^{1/\theta_1 -1/\theta_2}(n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/2})^{\frac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}}
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
k^{1/\theta_1 -1/\theta_2}(n^{1/2} m^{-1/q} k^{-1/2})^{\frac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}} \,{\leqslant}\, \frac{\nu_1}{\nu_2} \,{\leqslant}\, m^{1/p_1-1/p_2} (n^{1/2} m^{-1/2} k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Пусть $\lambda \in [0, 1]$, $\frac 1p=\frac{1-\lambda}{p_1}+\frac{\lambda}{p_2} \in [\frac1{q}, \frac12]$, $\frac{1}{\theta}=\frac{1-\lambda}{\theta_1}+\frac{\lambda}{\theta_2}\in [\frac1{\sigma}, \frac12]$, Тогда Доказательство. Пусть $1\leqslant \widetilde r\leqslant m$, $1\leqslant \widetilde l\leqslant k$ таковы, что выполнено (14). Положим $r=\lceil \widetilde r\rceil$, $l=\lceil \widetilde l \rceil$, $W=\nu_1^{1-\lambda} \nu_2^\lambda r^{-1/p}l^{-1/\theta} V_{r,l}^{m,k}$. В силу леммы 2 Числа $\widetilde r$ и $\widetilde l$ определяем следующим образом.
В случае 1) положим
$$
\begin{equation}
\widetilde r=(n^{1/2}m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{1-\alpha}{1/2-1/q}}, \qquad \widetilde l=(n^{1/2}m^{-1/q} k^{-1/\sigma})^{\frac{\alpha}{1/2-1/\sigma}},
\end{equation}
\tag{28}
$$
в случае 2) –
$$
\begin{equation}
\widetilde r=(n^{1/2} m^{-1/q}k^{-1/\sigma})^{\frac{1-\alpha}{1/2-1/q}}(n^{1/2} m^{-1/q}k^{-1/2})^{\frac{\alpha}{1/2-1/q}}, \qquad \widetilde l=k^\alpha,
\end{equation}
\tag{29}
$$
в случае 3) –
$$
\begin{equation}
\widetilde r=m^\alpha, \qquad \widetilde l=(n^{1/2} m^{-1/q}k^{-1/\sigma})^{\frac{1-\alpha}{1/2-1/\sigma}}(n^{1/2} m^{-1/2}k^{-1/\sigma})^{\frac{\alpha}{1/2-1/\sigma}},
\end{equation}
\tag{30}
$$
в случае 4) –
$$
\begin{equation}
\widetilde r=m^{1-\alpha}(n^{1/2}m^{-1/q}k^{-1/2})^{\frac{\alpha}{1/2-1/q}}, \qquad \widetilde l=(n^{1/2} m^{-1/2} k^{-1/\sigma})^{\frac{1-\alpha}{1/2-1/\sigma}}k^\alpha,
\end{equation}
\tag{31}
$$
где $\alpha \in [0, 1]$ выбирается так, чтобы выполнялось (14); оно существует в силу (21), (22), (23) и (24) соответственно. В каждом случае из соответствующего ограничения на $n$ следуют неравенства $1\leqslant \widetilde r \leqslant m$, $1\leqslant \widetilde l\leqslant k$.
Из (28)–(31) следует, что $n\leqslant m^{2/q} k^{2/\sigma} r^{1-2/q} l^{1-2/\sigma}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
d_n(\nu_1B^{m,k}_{p_1,\theta_1} \cap \nu_2 B_{p_2,\theta_2}^{m,k}, l^{m,k}_{q,\sigma}) \stackrel{(27)}{\gtrsim} d_n(W, l^{m,k}_{q,\sigma}) \stackrel{(9)}{\underset{q,\sigma}{\gtrsim}} \nu_1^{1-\lambda} \nu_2^\lambda r^{1/q-1/p} l^{1/\sigma -1/\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (4), (25), (28)–(31) следует (26).
Лемма 5 доказана. Лемма 6. Пусть $q\geqslant 2$, $\sigma\geqslant 2$. 1. Пусть $mk^{2/\sigma}\leqslant n \leqslant \frac{mk}2$, $\widetilde \mu\in [0, 1]$, $\frac12= \frac{1-\widetilde \mu}{\theta_1}+\frac{\widetilde \mu}{\theta_2}$, $\frac{1}{\widetilde p}=\frac{1-\widetilde \mu}{p_1}+\frac{\widetilde \mu}{p_2}$,
$$
\begin{equation*}
m^{1/p_1-1/p_2} (n^{1/2}m^{-1/2}k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}} \leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant m^{1/p_1-1/p_2}
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
m^{1/p_1-1/p_2} \leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant m^{1/p_1-1/p_2} (n^{1/2}m^{-1/2}k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
d_n(\nu_1B_{p_1,\theta_1}^{m,k}\cap \nu_2 B_{p_2,\theta_2}^{m,k}, l_{q,\sigma}^{m,k}) \underset{q,\sigma}{\gtrsim} \nu_1^{1-\widetilde \mu}\nu_2^{\widetilde \mu} m^{1/q-1/\widetilde p+1/2} k^{1/\sigma} n^{-1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Пусть $m^{2/q}k\leqslant n \leqslant \frac{mk}2$, $\widetilde \lambda\in [0, 1]$, $\frac12= \frac{1-\widetilde \lambda}{p_1}+\frac{\widetilde \lambda}{p_2}$, $\frac{1}{\widetilde \theta}=\frac{1-\widetilde \lambda}{\theta_1}+\frac{\widetilde \lambda}{\theta_2}$,
$$
\begin{equation*}
k^{1/\theta_1-1/\theta_2} (n^{1/2}m^{-1/q}k^{-1/2})^{\frac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}} \leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant k^{1/\theta_1-1/\theta_2}
\end{equation*}
\notag
$$
или Тогда Доказательство. Докажем п. 1 (п. 2 доказывается аналогично).
Так как $mk^{2/\sigma}\leqslant n\leqslant mk/2$, то $\sigma >2$. Положим
$$
\begin{equation*}
W=\nu_1^{1-\widetilde \mu}\nu_2^{\widetilde \mu} m^{-1/\widetilde p} l^{-1/2}V_{m,l}^{m,k},\quad \text{где }\ l=\lfloor \widetilde l\rfloor,\quad \widetilde l=(n^{1/2}m^{-1/2}k^{-1/\sigma})^{\frac{1-\alpha}{1/2-1/\sigma}};
\end{equation*}
\notag
$$
число $\alpha \in [0, 1]$ подбирается так, что ${\nu_1}/{\nu_2}=m^{1/p_1-1/p_2} \widetilde l^{\,1/\theta_1 -1/\theta_2}$. Так как $mk^{2/\sigma} \leqslant n \leqslant mk$, то $1\leqslant l\leqslant k$. По лемме 2 $W \subset 4(\nu_1B_{p_1,\theta_1}^{m,k}\cap \nu_2 B_{p_2,\theta_2}^{m,k})$. Также заметим, что $n \geqslant m^{2/q} k^{2/\sigma} m^{1-2/q} l^{1-2/\sigma}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d_n(\nu_1B_{p_1,\theta_1}^{m,k}\cap \nu_2 B_{p_2,\theta_2}^{m,k}, l_{q,\sigma}^{m,k}) &\gtrsim d_n(\nu_1^{1-\widetilde \mu}\nu_2^{\widetilde \mu} m^{-1/\widetilde p} l^{-1/2}V_{m,l}^{m,k}, l_{q,\sigma}^{m,k}) \\ &\!\stackrel{(9)}{\underset{q,\sigma}{\gtrsim}} \nu_1^{1-\widetilde \mu}\nu_2^{\widetilde \mu} m^{-1/\widetilde p} l^{-1/2} n^{-1/2} m^{1/q} k^{1/\sigma} m^{1/2}l^{1/2} \\ &= \nu_1^{1-\widetilde \mu}\nu_2^{\widetilde \mu} m^{1/q-1/\widetilde p} n^{-1/2} m^{1/2}k^{1/\sigma}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 7. Пусть $q\geqslant 2$, $\sigma\geqslant 2$. 1. Пусть
$$
\begin{equation*}
1\leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant r_0^{1/p_1-1/p_2} \quad\textit{или}\quad r_0^{1/p_1-1/p_2} \leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
r_0= \begin{cases} (n^{1/2}m^{-1/q}k^{-1/\sigma})^{\frac{1}{1/2-1/q}}, & \textit{если }m^{2/q}k^{2/\sigma} < n \leqslant mk^{2/\sigma}, \\ m, & \textit{если }mk^{2/\sigma}< n \leqslant \dfrac{mk}{2}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть существует $\widetilde \lambda\in [0, 1]$ такое, что $\frac{1}{2}=\frac{1-\widetilde \lambda}{p_1}+\frac{\widetilde \lambda}{p_2}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
d_n(\nu_1B_{p_1,\theta_1}^{m,k} \cap \nu_2B_{p_2,\theta_2}^{m,k}, l_{q,\sigma}^{m,k}) \underset{q,\sigma}{\gtrsim} \nu_1^{1-\widetilde \lambda} \nu_2^{\widetilde \lambda} n^{-1/2}m^{1/q} k^{1/\sigma}.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Пусть
$$
\begin{equation*}
1\leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant l_0^{1/\theta_1-1/\theta_2} \quad\textit{или}\quad l_0^{1/\theta_1-1/\theta_2}\leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2} \leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где Пусть существует $\widetilde \mu\in [0, 1]$ такое, что $\frac{1}{2}=\frac{1-\widetilde \mu}{\theta_1}+\frac{\widetilde \mu}{\theta_2}$. Тогда Доказательство. Докажем п. 1 (п. 2 доказывается аналогично).
Если $m^{2/q}k^{2/\sigma} < n \leqslant mk^{2/\sigma}$, то $q>2$, поэтому формула для $r_0$ корректно определена. Положим $r=\lfloor r_0^\alpha \rfloor$, где $\alpha \in [0, 1]$ выбирается так, что ${\nu_1}/{\nu_2}=r_0^{\alpha(1/p_1-1/p_2)}$. Из определения $r_0$ следует, что $1\leqslant r\leqslant m$. В силу леммы 2
$$
\begin{equation*}
\nu_1^{1-\widetilde \lambda} \nu_2^{\widetilde \lambda} r^{-1/2}V^{m,k}_{r,1} \subset 4(\nu_1B_{p_1,\theta_1}^{m,k} \cap \nu_2B_{p_2,\theta_2}^{m,k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $n\geqslant m^{2/q}k^{2/\sigma} r^{1-2/q}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &d_n(\nu_1B_{p_1,\theta_1}^{m,k} \cap \nu_2B_{p_2,\theta_2}^{m,k}, l_{q,\sigma}^{m,k}) \\ &\qquad\gtrsim d_n(\nu_1^{1-\widetilde \lambda} \nu_2^{\widetilde \lambda} r^{-1/2}V^{m,k}_{r,1}, l_{q,\sigma}^{m,k})\stackrel{(9)}{\underset{q,\sigma}{\gtrsim}} \nu_1^{1-\widetilde \lambda} \nu_2^{\widetilde \lambda} r^{-1/2} n^{-1/2}m^{1/q} k^{1/\sigma} r^{1/2} \\ &\qquad=\nu_1^{1-\widetilde \lambda} \nu_2^{\widetilde \lambda} n^{-1/2}m^{1/q} k^{1/\sigma}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. § 3. Оценки поперечников пересечения конечномерных шаров Доказательство теоремы 2. Оценка сверху поперечников следует из леммы 1. Докажем оценку снизу.
При $n\leqslant m^{2/q}k^{2/\sigma}$ используем лемму 3 и (1)–(3). Далее рассматриваем $m^{2/q}k^{2/\sigma} < n \leqslant mk/2$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde \Phi_j=\nu_jD_{m,k,n,q,\sigma}(p_j, \theta_j),\qquad j=1, 2
\end{equation*}
\notag
$$
(см. теорему 1). Для $j=3, 4, 5$ полагаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde \Phi_j=+\infty,\quad\text{если }\ \Phi_j=+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
иначе
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde \Phi_3 :=\nu_1^{1-\widetilde \lambda} \nu_2^{\widetilde \lambda}D_{m,k,n,q,\sigma}(2, \widetilde\theta),\qquad \widetilde \Phi_4 :=\nu_1^{1-\widetilde \mu} \nu_2^{\widetilde \mu}D_{m,k,n,q,\sigma}(\widetilde p, 2), \\ \widetilde \Phi_5 := \nu_1^{1-\lambda} \nu_2^{\lambda}D_{m,k,n,q,\sigma}(p, \theta). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы 1 достаточно доказать, что
$$
\begin{equation*}
d_n(\nu_1 B_{p_1,\theta_1}^{m,k}\cap \nu_2 B_{p_2,\theta_2}^{m,k}, l_{q,\sigma}^{m,k}) \underset{q,\sigma}{\gtrsim} \min _{1\leqslant j\leqslant 5} \widetilde\Phi_j=:\Psi.
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала заметим, что достаточно рассмотреть случай, когда
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac12, \frac12\biggr) \notin \biggl[\biggl(\frac1{p_1}, \frac1{\theta_1}\biggr), \biggl(\frac1{p_2}, \frac1{\theta_2}\biggr)\biggr],\qquad p_i\ne 2,\quad \theta_i\ne 2\quad (i=1, 2),
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\frac{1/p_i-1/q}{1/2-1/q}\ne \frac{1/\theta_i-1/\sigma}{1/2-1/\sigma}\quad (i=1, 2)\quad\text{при }\ q>2,\quad \theta>2;
\end{equation*}
\notag
$$
иначе $p_i$, $\theta_i$ заменяем достаточно близкими величинами, для которых указанные условия уже выполнены (здесь используется непрерывность функций $D_{m,k,n,q,\sigma}$; если $\widetilde \Phi_j=+\infty$, то $p_i$, $\theta_i$ сдвигаем так, чтобы это условие сохранилось). Тогда $(1/p_i, 1/\theta_i)$ попадает в одну из следующих областей:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G_1 &=\biggl\{(t, s)\colon \frac12<t\leqslant 1,\, \frac12< s\leqslant 1\biggr\}, \\ G_2&=\biggl\{(t, s)\colon \frac12<t\leqslant 1,\, \frac 1\sigma\leqslant s<\frac12\biggr\}, \\ G_3&=\biggl\{(t, s)\colon \frac1q\leqslant t<\frac12,\, \frac12<s\leqslant 1\biggr\}, \\ G_4&=\biggl\{ (t, s)\colon \frac1q\leqslant t<\frac12, \frac1\sigma\leqslant s<\frac12,\, \lambda_{1/t,q}<\lambda_{1/s,\sigma}\biggr\}, \\ G_5&=\biggl\{ (t, s)\colon \frac1q\leqslant t<\frac12, \frac1\sigma\leqslant s<\frac12,\, \lambda_{1/t,q}>\lambda_{1/s,\sigma}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Случай 1: $\Psi=\widetilde \Phi_j$, где $j\in \{1, 2\}$. Без ограничения общности можно считать, что $j=1$. Пусть $(1/p_1, 1/\theta_1)\in G_i$ для некоторого $i\in \{1, \dots, 5\}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda_*=\sup\biggl\{\mu \in [0, 1]\colon \biggl(\frac{1-\mu}{p_1}+\frac{\mu}{p_2},\, \frac{1-\mu}{\theta_1}+\frac{\mu}{\theta_2}\biggr) \in G_i\biggr\}, \\ \frac{1}{p_*}=\frac{1-\lambda_*}{p_1}+\frac{\lambda_*}{p_2}, \qquad \frac{1}{\theta_*}=\frac{1-\lambda_*}{\theta_1}+\frac{\lambda_*}{\theta_2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\lambda_*>0$. Если $\lambda_*=1$, то $(p_*, \theta_*)=(p_2, \theta_2)$; иначе $(p_*, \theta_*)=(2, \widetilde \theta)$, $(p_*, \theta_*)=(\widetilde p, 2)$ или $(p_*, \theta_*)=(p, \theta)$. Значит, из условия $\Psi=\widetilde \Phi_1$ получаем
$$
\begin{equation}
\nu_1 D_{m,k,n,q,\sigma}(p_1, \theta_1) \leqslant \nu_1^{1-\lambda_*} \nu_2^{\lambda_*} D_{m,k,n,q,\sigma}(p_*, \theta_*).
\end{equation}
\tag{32}
$$
Пусть $p_1>2$, $\theta_1>2$, $\lambda_{p_1,q}< \lambda_{\theta_1,\sigma}$. Из (32) и (2) получаем
$$
\begin{equation*}
\nu_1(n^{-1/2}m^{1/q}k^{1/\sigma})^{\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}} \leqslant \nu_1^{1-\lambda_*} \nu_2^{\lambda_*} (n^{-1/2}m^{1/q}k^{1/\sigma})^{\frac{(1-\lambda_*)/p_1+\lambda_*/p_2-1/q}{1/2-1/q}}
\end{equation*}
\notag
$$
при $m^{2/q}k^{2/\sigma}< n\leqslant mk^{2/\sigma}$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\nu_1m^{1/q-1/p_1}(n^{-1/2}m^{1/2}k^{1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\sigma}{1/2-1/\sigma}} \\ &\qquad \leqslant \nu_1^{1-\lambda_*} \nu_2^{\lambda_*} m^{1/q-(1-\lambda_*)/p_1-\lambda_*/p_2} (n^{-1/2}m^{1/2}k^{1/\sigma})^{\frac{(1-\lambda_*)/\theta_1+\lambda_*/\theta_2-1/\sigma} {1/2-1/\sigma}} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $mk^{2/\sigma}< n\leqslant mk/2$; отсюда следует (15). Остается применить лемму 4. Аналогично разбирается случай $p_1>2$, $\theta_1>2$, $\lambda_{p_1,q}> \lambda_{\theta_1,\sigma}$.
Пусть $p_1>2$, $\theta_1<2$. Из (32) и (2) снова следует (15), и оценка поперечников следует из леммы 4. Аналогично разбирается случай $p_1<2$, $\theta_1>2$. Пусть $p_1<2$, $\theta_1<2$. Из (32) и (1) следует, что $\nu_1\leqslant \nu_2$. Остается применить лемму 3. Перед тем как рассматривать остальные случаи, отметим, что из условия $(1/2, 1/2) \notin [(1/p_1, 1/\theta_1), (1/p_2, 1/\theta_2)]$ следует: если $\Psi=\widetilde \Phi_3$, то $\widetilde \theta \ne 2$, а если $\Psi=\widetilde \Phi_4$, то $\widetilde p\ne 2$. Случай 2а: $\Psi=\widetilde \Phi_3$, $\widetilde \theta<2$. Без ограничения общности можно считать, что $p_1>p_2$. Заметим, что на отрезке $[(1/p_1, 1/\theta_1), (1/p_2, 1/\theta_2)]$ малые полуокрестности точки $(1/2, 1/\widetilde \theta)$ лежат в областях $G_1$ и $G_3$. Положим
$$
\begin{equation}
\nonumber \lambda_*=\inf \biggl\{\mu\in [0, \widetilde \lambda]\colon \biggl(\frac{1-\mu}{p_1}+\frac{\mu}{p_2}, \frac{1-\mu}{\theta_1}+\frac{\mu}{\theta_2}\biggr)\in G_3\biggr\},
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \lambda_{**}=\sup \biggl\{\mu\in [\widetilde \lambda, 1]\colon \biggl(\frac{1-\mu}{p_1}+\frac{\mu}{p_2}, \frac{1-\mu}{\theta_1}+\frac{\mu}{\theta_2}\biggr)\in G_1\biggr\},
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{p_*}=\frac{1-\lambda_*}{p_1}+\frac{\lambda_*}{p_2}, \qquad \frac{1}{\theta_*}= \frac{1-\lambda_*}{\theta_1}+\frac{\lambda_*}{\theta_2},
\end{equation}
\tag{33}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{p_{**}}=\frac{1-\lambda_{**}}{p_1}+\frac{\lambda_{**}}{p_2}, \qquad \frac{1}{\theta_{**}}=\frac{1-\lambda_{**}}{\theta_1}+\frac{\lambda_{**}}{\theta_2}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Из условия $\Psi=\widetilde \Phi_3$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \nu_1^{1-\widetilde \lambda}\nu_2^{\widetilde \lambda} D_{m,k,n,q,\sigma}(2, \widetilde \theta) \leqslant \nu_1^{1-\lambda_*}\nu_2^{\lambda_*} D_{m,k,n,q,\sigma}(p_*, \theta_*), \\ \nu_1^{1-\widetilde \lambda}\nu_2^{\widetilde \lambda} D_{m,k,n,q,\sigma}(2, \widetilde \theta) \leqslant \nu_1^{1-\lambda_{**}}\nu_2^{\lambda_{**}} D_{m,k,n,q,\sigma}(p_{**}, \theta_{**}). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{35}
$$
Поскольку $(1/p_{**}, 1/\theta_{**})\in G_1$, то из (1) и второго неравенства (35) получаем ${\nu_1}/{\nu_2}\leqslant 1$. Из (2) и первого неравенства (35) следует, что если $n\leqslant mk^{2/\sigma}$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{\nu_1}{\nu_2} \geqslant (n^{1/2}m^{-1/q}k^{-1/\sigma})^{\frac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}},
\end{equation*}
\notag
$$
а если $n> mk^{2/\sigma}$, то ${\nu_1}/{\nu_2} \geqslant m^{1/p_1-1/p_2}$. Остается применить лемму 7.
Случай 2b: $\Psi=\widetilde \Phi_4$, $\widetilde p<2$. Он рассматривается аналогично случаю 2a. Случай 3a: $\Psi=\widetilde \Phi_3$, $\widetilde \theta>2$. Без ограничения общности можно считать, что $p_1>p_2$. Заметим, что на отрезке $[(1/p_1, 1/\theta_1), (1/p_2, 1/\theta_2)]$ малые полуокрестности точки $(1/2, 1/\widetilde \theta)$ лежат в областях $G_2$ и $G_5$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_* &=\inf \biggl\{\mu\in [0, \widetilde \lambda]\colon \biggl(\frac{1-\mu}{p_1}+\frac{\mu}{p_2}, \frac{1-\mu}{\theta_1}+\frac{\mu}{\theta_2}\biggr)\in G_5\biggr\}, \\ \lambda_{**} &=\sup \biggl\{\mu\in [\widetilde \lambda, 1]\colon \biggl(\frac{1-\mu}{p_1}+\frac{\mu}{p_2}, \frac{1-\mu}{\theta_1}+\frac{\mu}{\theta_2}\biggr)\in G_2\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
числа $p_*$, $\theta_*$, $p_{**}$, $\theta_{**}$ определяем формулами (33), (34). Тогда выполнено (35).
В случае $n\leqslant m^{2/q}k$ из (35) и (3) следует
$$
\begin{equation*}
\frac{\nu_1}{\nu_2}= (n^{1/2}m^{-1/q}k^{-1/\sigma})^{\frac{1/\theta_1-1/\theta_2}{1/2-1/\sigma}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\nu_1^{1-\widetilde \lambda}\nu_2^{\widetilde \lambda}D_{m,k,n,q,\sigma}(2, \widetilde \theta)=\nu_1^{1-\lambda_{**}}\nu_2^{\lambda_{**}}D_{m,k,n,q,\sigma}(p_{**}, \theta_{**})$, откуда получаем $\Psi=\widetilde\Phi_2$ или $\Psi=\widetilde \Phi_4$, $\widetilde p<2$. Эти случаи уже разобраны.
В случае $n> m^{2/q}k$ из (35) и (3) следует, что
$$
\begin{equation*}
k^{1/\theta_1-1/\theta_2}(n^{1/2}m^{-1/q}k^{-1/2})^{\frac{1/p_1-1/p_2}{1/2-1/q}}\leqslant \frac{\nu_1}{\nu_2}\leqslant k^{1/\theta_1-1/\theta_2};
\end{equation*}
\notag
$$
далее применяем лемму 6.
Случай 3b: $\Psi=\widetilde \Phi_4$, $\widetilde p>2$. Он аналогичен случаю 3a. Случай 4: $\Psi=\widetilde \Phi_5$. Без ограничения общности можно считать, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}< \frac{1/\theta_1-1/\sigma}{1/2-1/\sigma}, \qquad \frac{1/p_2-1/q}{1/2-1/q}> \frac{1/\theta_2-1/\sigma}{1/2-1/\sigma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что на отрезке $[(1/p_1, 1/\theta_1), (1/p_2, 1/\theta_2)]$ малые полуокрестности точки $(1/p, 1/\theta)$ лежат в областях $G_4$ и $G_5$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_* &=\inf \biggl\{\mu\in [0, \widetilde \lambda]\colon \biggl(\frac{1-\mu}{p_1}+\frac{\mu}{p_2}, \frac{1-\mu}{\theta_1}+\frac{\mu}{\theta_2}\biggr)\in G_4\biggr\}, \\ \lambda_{**} &=\sup \biggl\{\mu\in [\widetilde \lambda, 1]\colon \biggl(\frac{1-\mu}{p_1}+\frac{\mu}{p_2}, \frac{1-\mu}{\theta_1}+\frac{\mu}{\theta_2}\biggr)\in G_5\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
числа $p_*$, $\theta_*$, $p_{**}$, $\theta_{**}$ определяем формулами (33), (34). Тогда
$$
\begin{equation*}
\nu_1^{1-\lambda}\nu_2^{\lambda} D_{m,k,n,q,\sigma}(p, \theta) \leqslant \nu_1^{1-\lambda_*}\nu_2^{\lambda_*} D_{m,k,n,q,\sigma}(p_*, \theta_*),
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
\nu_1^{1- \lambda}\nu_2^{\lambda} D_{m,k,n,q,\sigma}(p, \theta) \leqslant \nu_1^{1-\lambda_{**}}\nu_2^{\lambda_{**}} D_{m,k,n,q,\sigma}(p_{**}, \theta_{**}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2)–(4) следует, что выполнены условия леммы 5. Получаем оценку (26).
Теорема 2 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vas24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|