| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Базисность полиномов Лежандра в пространстве Лебега с переменным показателем М. Г. Магомед-Касумовab, Т. Н. Шах-Эмировa, Р. М. Гаджимирзаевa a Дагестанский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Махачкала b Владикавказский научный центр Российской академии наук
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9891e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеГ. Поллард показал, что система полиномов Лежандра является базисом пространства Лебега $L^p([-1,1])$ при $4/3<p<4$ и не является им при $p\in[1,4/3)\cup(4,\infty)$ (см. [1]). Дж. Ньюмен и У. Рудин дополнили этот результат, показав, что полиномы Лежандра не образуют базиса и при $p \in \{4/3, 4\}$ (см. [2]). В случае пространства Лебега с переменным показателем вопрос о базисности полиномов Лежандра рассмотрен И. И. Шарапудиновым в работе [3]. Остановимся на этом результате подробнее. Обозначим через $\mathscr P(-1,1)$ класс переменных показателей $p(x)$, удовлетворяющих следующим условиям: (A) $p(x)>1$ для всех $x \in[-1,1]$ и $p(x)$ удовлетворяет условию Дини–Липшица (2.8) при $x,y\in[-1,1]$; (B) в окрестностях точек $\pm 1$ показатель $p=p(x)$ является константой, т.е. найдутся такие числа $l=l(p)$, $r=r(p)$, $\delta_1=\delta_1(p)$ и $\delta_2=\delta_2(p)$, что $l,r > 1$, $0<\delta_1,\delta_2<1$,
$$
\begin{equation}
p(x)= \begin{cases} l, & \text{если } x\in[-1,-1+\delta_1], \\ r, & \text{если } x\in[1-\delta_1,1]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
В работе [3] была доказана следующая теорема. Теорема A. Пусть $p=p(x)\in\mathscr P(-1,1)$ и $p(\pm1)\in(4/3,4)$. Тогда ортонормированная система полиномов Лежандра (2.17) является базисом пространства Лебега с переменным показателем $L^{p(\cdot)}([-1,1])$. Как отмечается в [3], величины $\delta_1$ и $\delta_2$ могут быть сколь угодно малыми. Возникает вопрос, можно ли отказаться от условия (B) постоянства переменного показателя в окрестностях точек $\pm1$. В настоящей статье получен положительный ответ на этот вопрос, а именно, доказана следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть $p=p(x)>1$ удовлетворяет условию Дини–Липшица (2.8) и $p(\pm1)\in(4/3,4)$. Тогда ортонормированная система полиномов Лежандра (2.17) является базисом пространства $L^{p(\cdot)}([-1,1])$. § 2. Вспомогательные сведения2.1. Пространство Лебега с переменным показателемПусть $p(x)$ – неотрицательная измеримая функция, заданная на измеримом множестве $E$. Множество функций $f$ таких, что обозначим через $L^{p(\cdot)}(E)$ и назовем пространством Лебега с переменным показателем. Для $E=[-1,1]$ мы будем писать короче: $L^{p(\cdot)}$. Положим $p_+(E)=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in E} p(x)$ и $p_-(E)=\operatorname*{ess\,inf}_{x\in E} p(x)$. При условии $1\leqslant p_-(E)\leqslant p(x)\leqslant p_+(E)<\infty$ пространство $L^{p(\cdot)}(E)$ нормируемо (см. [4]), и одну из эквивалентных норм можно задать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\|f\|_{p(\cdot)}=\|f\|_{p(\cdot)}(E)=\inf\biggl\{\lambda>0\colon \int_{E}\biggl|\frac{f(x)}\lambda\biggr|^{p(x)}\,dx\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Отметим некоторые свойства этих пространств, которые понадобятся в дальнейшем. Пусть $1\leqslant p(x)\leqslant q(x)\leqslant q_+(E)<\infty$, $E \subset [-1,1]$. Тогда $L^{q(\cdot)}(E)\subset L^{p(\cdot)}(E)$ и для $f\in L^{q(\cdot)}(E)$ (см. [5]) где $r_{p,q}=1/(\mu_-(E))+1/\mu'(E)$ ($\mu(x)=q(x)/p(x)$, $1/\mu(x)+1/\mu'(x)=1$).Если $p(x)>1$, $x \in E$ (не исключая и случай, когда $p_-(E)=1$), то справедливо неравенство типа Гёльдера для пространств Лебега с переменным показателем (см. [4; неравенство (8)]):
$$
\begin{equation}
\int_E |f(x)|\,|g(x)|\,dx \leqslant c(p) \|f\|_{p(\cdot)}(E) \|g\|_{p'(\cdot)}(E),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $1/p(x)+1/p'(x)=1$, $c(p)\leqslant 1/p_-(E)+1/p_-'(E)$. Через $c, c(\alpha), c(\alpha,\beta),\dots$ здесь и далее будут обозначаться положительные числа, зависящие лишь от указанных параметров, различные в разных местах. Для любых измеримых множеств $A\subset B$ справедливо неравенство Нам также понадобится эквивалентная норма (см. [3])
$$
\begin{equation}
\|f\|^*_{p(\cdot)}=\sup_{\substack{g\in L^{p'(\cdot)}(E)\\ \|g\|_{p'(\cdot)}\leqslant1}} \int_{E}f(x)g(x)\,dx,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
причем
$$
\begin{equation}
\|f\|_{p(\cdot)}\leqslant\|f\|^*_{p(\cdot)}\leqslant c(p)\|f\|_{p(\cdot)}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Основополагающую роль в теории пространств Лебега с переменным показателем играет условие Дини–Липшица
$$
\begin{equation}
|p(x)-p(y)| \leqslant \frac{c}{|\log |x-y||}, \qquad x,y \in E,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
которое в контексте пространств Лебега с переменным показателем впервые было введено Шарапудиновым в работе [5] при изучении вопроса базисности системы Хаара в $L^{p(\cdot)}([0,1])$. Нам также понадобится следующий результат, см. [6; следствие 2.23]. Лемма 2.1. Пусть $A$ – измеримое множество, Для доказательства основной теоремы нам потребуется несколько лемм, позволяющих перейти от переменного показателя к постоянному. Лемма 2.2. Пусть $p(x)$ удовлетворяет условию Дини–Липшица (2.8) на $[a,b]$, $0 \leqslant a < b \leqslant 1$. Тогда Если $b=1$, то справедлива и оценка снизу: Доказательство. В силу условия Дини–Липшица имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{p(x)-p(1)} \leqslant \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{|p(x)-p(1)|} \leqslant \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{c/|\log(1-x)|} \\ &\qquad =\exp\biggl(\log \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{c/|\log(1-x)|}\biggr) =\exp\biggl(\frac{c}{|\log(1-x)|} \log\biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)\biggr) \\ &\qquad= \exp\biggl(\frac{-c\log(1-x)}{|\log(1-x)|} \biggr)=e^{c}, \qquad x \in [0,1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
J=\int_{a}^{b} \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{p(1)} \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{p(x)-p(1)}\,dx \leqslant c(p)\int_{a}^{b} \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{p(1)}\,dx, \qquad a \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем теперь оценку снизу. Обозначим $E_+=\{ x \in [a,1]\colon p(x)-p(1) \geqslant 0 \}$, $E_-=\{ x \in [a,1]\colon p(x)-p(1) < 0 \}$ и запишем интеграл в виде суммы интегралов:
$$
\begin{equation*}
\int_{a}^{1} \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{p(x)}\, dx= \int_{E_+} \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{p(x)}\, dx + \int_{E_-} \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{p(x)}\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $1/(1-x) \geqslant 1$, то
$$
\begin{equation*}
\int_{E_+} \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{p(x)} \,dx= \int_{E_+} \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{p(1)} \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{p(x)-p(1)}\,dx \geqslant \int_{E_+} \biggl(\frac{1}{1-x} \biggr)^{p(1)} \,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $x \in E_{-}$ имеем Поэтому Лемма доказана. Будем говорить, что $p(x)$ удовлетворяет условию Дини–Липшица в точке $a$ слева, если для $x$ из некоторой левой окрестности точки $a$ выполняется соотношение Лемма 2.3. Пусть $p(x)$ удовлетворяет условию Дини–Липшица в точке $1$ слева. Тогда существует константа $c(p)$, зависящая только от $p(x)$, такая, что для любого $y$ из некоторой левой окрестности $1$ и $x \in [y,1]$ справедливо неравенство Если $p(1)>0$, то имеет место и обратное неравенство Доказательство. Представим $f(x,y)$ в виде
$$
\begin{equation}
f(x,y)=\biggl(\frac{1}{1-y}\biggr)^{p(1)}\biggl(\frac{1}{1-y}\biggr)^{p(x)-p(1)}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
и покажем, что при условиях леммы второй множитель является ограниченной функцией. В самом деле, в силу условия Дини–Липшица (2.9) и неравенства $x \geqslant y$, которое вытекает из условий леммы, имеем
Обратное неравенство доказывается аналогично тому, как это было сделано в лемме 2.2. Лемма доказана. Лемма 2.4. Если $0 \leqslant f(x) \leqslant c/(1-x)^\alpha$, $x \in [a,1]$, и $p(x)$ удовлетворяет условию Дини–Липшица на этом же отрезке, то Доказательство. В самом деле,
$$
\begin{equation*}
f(x)^{p(x)}=f(x)^{p(1)} f(x)^{p(x)-p(1)} \leqslant f(x)^{p(1)} \biggl(\frac{c}{(1-x)^\alpha}\biggr)^{p(x)-p(1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для второго множителя в силу леммы 2.3 имеем Лемма доказана. Доказательство. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_a^{2x-1} \frac{|f(y)|\,dy}{(1-y)^{3/4}} &\leqslant \frac{c}{(1-x)^{3/4}} \int_a^{2x-1} |f(y)|\,dy \\ &\leqslant\frac{c(p)}{(1-x)^{3/4}} \|f\|_{p(\cdot)} \leqslant \frac{c(p)}{(1-x)^{3/4}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то утверждение вытекает из леммы 2.4. Лемма доказана. Отметим тут также следующее соотношение, которое легко получить, например, с помощью неравенства Гёльдера для сумм:
$$
\begin{equation}
\biggl(\sum_{k=1}^N a_k \biggr)^p \leqslant N^{p-1} \sum_{k=1}^N a_k^p, \qquad p \geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
2.2. Ядро $K(x,y)$Следуя [3; формула (5.16)], введем обозначение
$$
\begin{equation}
K(x,y)=\frac{1}{|x-y|}\biggl| \biggl(\frac{1-y^2}{1-x^2} \biggr)^{1/4} - 1 \biggr|
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
и приведем некоторые свойства ядра $K(x,y)$. Доказательство. Нетрудно показать, что в условиях леммы Остается заметить, что поскольку $(y+1)/2< x$, то Лемма доказана. Лемма 2.7. Справедливы неравенства [3; формула (5.20)] где Лемма 2.8. Пусть $-1+\varepsilon < x < 1 - \varepsilon$, $0 < \varepsilon < 1$. Тогда ядро $K(x,y)$ равномерно ограничено по $y \in [-1,1]$: 2.3. Полиномы ЛежандраПолиномы Лежандра можно определить при помощи формулы Родрига Они образуют ортогональную с единичным весом систему на отрезке $[-1,1]$:
$$
\begin{equation*}
\int_{-1}^1P_n(x)P_m(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{nm},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_{nm}$ – символ Кронекера. Далее нам понадобятся следующие свойства полиномов Лежандра (см. [7; теорема (7.3.3), теорема (7.33.3)]):
$$
\begin{equation}
(1-x^2)^{1/4}n^{1/2}|P_n(x)|\leqslant\sqrt{\frac2\pi},
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
$$
\begin{equation}
(1-x^2)^{1/4}(n+1)^{1/2}|P_n(x)-P_{n+2}(x)|\leqslant c,\ x\in[-1,1].
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Ортонормированная система полиномов Лежандра имеет вид Функции $f(x)$, интегрируемой на $[-1,1]$, мы можем поставить в соответствие ряд Фурье–Лежандра где – коэффициенты Фурье–Лежандра функции $f$. Частичная сумма ряда (2.18) имеет вид В дальнейшем нам понадобится интегральное представление частичных сумм Фурье–Лежандра через ядра Кристоффеля–Дарбу
$$
\begin{equation*}
K_n(x,t)=\sum_{k=0}^n\frac{2k+1}{2}P_k(x)P_k(t) =\frac{n+1}2\frac{P_{n+1}(x)P_n(t)-P_{n+1}(t)P_n(x)}{x-t},
\end{equation*}
\notag
$$
имеющее вид 2.4. Преобразование ГильбертаОбозначим через $\mathbb{P}(-1,1)$ класс показателей $p(x)>1$, удовлетворяющих условию (2.8) на $[-1,1]$. Пусть $p(x)\in\mathbb{P}(-1,1)$. Тогда для $f\in L^{p(\cdot)}$ мы можем определить преобразование Гильберта Интеграл в правой части (2.20) понимается в смысле главного значения Коши. Отметим, что функция $Hf(x)$ конечна почти для всех $x\in[-1,1]$. В работах [8], [9] было показано, что§ 3. Доказательство теоремы 1.1Определим следующие операторы:
$$
\begin{equation}
T_1(f)(x)=\int_{-1}^1 K(x,y)|f(y)|\,dy, \qquad T_2(f)(x)=\int_{-1}^1 K(y,x)|f(y)|\,dy.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Как видно из работы [3], ограниченность этих операторов в $L^{p(\cdot)}$ играет важную роль в доказательстве равномерной ограниченности частичных сумм Фурье–Лежандра в $L^{p(\cdot)}$. В [3; лемма 5.2] была показана их ограниченность при условии $p(x)\in\mathscr P(-1,1)$. В настоящей работе мы покажем, что указанные операторы будут ограниченными и без требования (B) постоянства показателя $p(x)$ на концах отрезка. Лемма 3.1 (основная лемма). Пусть $p=p(x)$ удовлетворяет условию Дини–Липшица (2.8) и $p(\pm1)\in(4/3,4)$. Тогда операторы $T_1(f)$ и $T_2(f)$ ограничены в $L^{p(\cdot)}$. Доказательство этой леммы дано в § 4. Указанная лемма позволяет доказать следующее утверждение. Лемма 3.2. Пусть $p=p(x)$ удовлетворяет условию Дини–Липшица (2.8) и $p(\pm1)\in(4/3,4)$. Для $f \in L^{p(\cdot)}$ справедлива оценка Доказательство леммы 3.2 в целом не отличается от доказательства равномерной ограниченности $S_n$, приведенного в [3; доказательство теоремы 5], за тем исключением, что в данном случае мы пользуемся леммой 3.1 вместо [3; лемма 5.2], а также применяем лемму 2.2. Для полноты изложения мы все же приведем тут это доказательство. Доказательство леммы 3.2. Из (2.19) и [3; лемма 5.1] имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_n(f,x) &=\frac{n+2}{2n+3}\,\frac{n+1}2P_{n+1}(x)\int_{-1}^{1} \frac{P_n(y)-P_{n+2}(y)}{x-y}f(y)\,dy \\ &\qquad +\frac{n+2}{2n+3}\,\frac{n+1}2[P_{n+2}(x)-P_n(x)] \int_{-1}^{1}\frac{P_{n+1}(y)}{x-y}f(y)\,dy \\ &\qquad +\frac{n+1}2P_{n+1}(x)\int_{-1}^{1}P_{n+1}(y)f(y)\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первые два интеграла в правой части понимаются в смысле главного значения Коши. Отсюда, применяя весовую оценку (2.15) и неравенство (2.16), выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |S_n(f,x)| &\leqslant c(n+1)^{1/2}(1-x^2)^{-1/4}\biggl|\int_{-1}^{1}\frac{P_n(y)-P_{n+2}(y)}{x-y}f(y)\,dy\biggr| \\ \notag &\qquad +c(n+1)^{1/2}(1-x^2)^{1/4}\biggl|\int_{-1}^{1}\frac{P_{n+1}(y)}{x-y}f(y)\,dy\biggr| \\ \notag &\qquad+c(n+1)^{1/2}(1-x^2)^{-1/4}\biggl|\int_{-1}^{1}P_{n+1}(y)f(y)\,dy\biggr| \\ &=Q_1(x)+Q_2(x)+Q_3(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для $Q_3$ с помощью весовой оценки (2.15) и неравенства Гёльдера (2.4) получаем
$$
\begin{equation*}
Q_3(x)\leqslant c(p)(1-x^2)^{-1/4}\|(1-y^2)^{-1/4}\|_{p'(\cdot)}(-1,1).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 2.2 интеграл $\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-y^2)^{-p'(y)/4}\,dy$, а вместе с ним и норма $\|(1- y^2)^{-1/4}\|_{p'(\cdot)}(-1,1)$ конечны. Следовательно, $Q_3(x)\leqslant c(p)(1-x^2)^{-1/4}$ и
Далее, для $Q_1$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag Q_1(x) &=\biggl|\int_{-1}^{1}\biggl(\frac{1-y^2}{1-x^2}\biggr)^{1/4}\frac{A_n(y)}{x-y}f(y)\,dy\biggr| \\ \notag &\leqslant\biggl|\int_{-1}^{1}\biggl[\biggl(\frac{1-y^2}{1-x^2}\biggr)^{1/4}-1\biggr] \frac{A_n(y)f(y)}{x-y}\,dy\biggr|+ \biggl|\int_{-1}^{1}\frac{A_n(y)f(y)}{x-y}\,dy\biggr| \\ &=Q_{11}(x)+Q_{12}(x), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где Последовательность $A_n$ в силу (2.16) равномерно ограничена на $(-1,1)$, откуда вытекает, что функция $A_n(x)f(x)$ принадлежит пространству $L^{p(\cdot)}$. Тогда из (2.21) получаем
$$
\begin{equation}
\|Q_{12}\|_{p(\cdot)}(-1,1)\leqslant c(p)\|A_nf\|_{p(\cdot)}(-1,1)\leqslant c(p)\|f\|_{p(\cdot)}(-1,1)\leqslant c(p).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Оценим $Q_{11}$. В силу (2.12) и (3.1) имеем
$$
\begin{equation*}
Q_{11}(x)\leqslant \int_{-1}^{1}|A_n(y)K(x,y)f(y)|\,dy\leqslant c \int_{-1}^{1}K(x,y)|f(y)|\,dy=c T_1(f)(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из леммы 3.1 выводим Тогда из (3.4)–(3.6) получаем
Величина $Q_{2}$ оценивается по той же схеме, что и $Q_{1}$. При этом вместо оценки (2.16) и ограниченности оператора $T_1$ нужно использовать оценку (2.15) и ограниченность оператора $T_2$. Таким образом, имеет место оценка Оценки (3.3), (3.7), (3.8) вместе с неравенством (3.2) дают что и требовалось доказать. Лемма 3.2 доказана.Для доказательства теоремы 1.1 достаточно заметить, что множество алгебраических полиномов всюду плотно в $L^{p(\cdot)}$, $S_n(p_k,x)=p_k(x)$ при $k\leqslant n$, где $p_k(x)$ – алгебраический полином степени $k$, и, следовательно, в силу леммы 3.2
$$
\begin{equation*}
\|S_{n}(f)-f\|_{p(\cdot)}\leqslant \|p_n-f\|_{p(\cdot)}+\|S_{n}(f-p_n)\|_{p(\cdot)}<(c(p)+1)\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 4. Доказательство леммы 3.1Пусть $f\in L^{p(\cdot)}$ и Положим $\delta=(1/2)\min\{ 4 - p(1), p(1)-4/3 \}$. В силу равномерной непрерывности $p'(x)$ на $[-1,1]$ можно подобрать натуральное $N_0$ так, чтобы при $N \geqslant N_0$ для любого $k \in \mathcal{I}=\{-N+1, \dots, N\}$
$$
\begin{equation}
p'_+(\Delta_k) - p'_-(\Delta_k) < \frac{\delta}{4-\delta}, \qquad \Delta_k=\Delta_k^{(N)}= \biggl[\frac{k-1}{N},\frac{k}{N}\biggr].
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Пусть $N=\max\{N_1, N_2\}$. Выберем $\varepsilon < 1/(2N)$ таким образом, чтобы
$$
\begin{equation}
\frac 43+\delta < p_-(\mathcal{E}) \leqslant p_+(\mathcal{E}) \leqslant 4 - \delta, \qquad \mathcal{E}=[1-\varepsilon,1].
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Это возможно в силу непрерывности $p(x)$ в точке $x=1$ и условия $p(\pm 1) \in (4/3, 4)$. Для доказательства основной леммы 3.1 нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения. Лемма 4.1. Пусть $p(x)$ удовлетворяет условию Дини–Липшица (2.8) и $4/3<p(1)<4$. Тогда при $\|f\|_{p(\cdot)}\leqslant1$ имеет место следующее неравенство: Доказательство. Соотношение $J(f,p(x))\leqslant c(p)J(f,p(1))$ сразу вытекает из лемм 2.3 и 2.5. Докажем последнее неравенство в (4.4).
Представим $f(x)$ в виде суммы двух функций $f(x)\chi_{E_1}(x)$ и $f(x)\chi_{E_2}(x)$, где $E_1=\{x\colon |f(x)| < 1\}$, $E_2=\{x\colon |f(x)| \geqslant 1\}$. Ясно, что $J(f) \leqslant c(p)\bigl(J(f\chi_{E_1})+J(f\chi_{E_2})\bigr)$, причем нетрудно убедиться (например, с помощью леммы 2.2), что $J(f\chi_{E_1}) \leqslant c(p)$. Поэтому далее мы можем полагать, что функция $|f(x)|$ всюду на $[1- 1/N,1]$ либо равна $0$, либо $\geqslant1$. Рассмотрим отдельно два случая. 1. Случай $p(x)\geqslant p(1)$. Пусть $1/p'(1)<\beta<3/4$. Для оценки величины $J(f,p(1))$ применим неравенство Гёльдера к внутреннему интегралу:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J(f,p(1)) &=\int_\mathcal{E}\biggl[\frac1{(1-x)^{1/4}} \int_{1-1/N}^{2x-1}\frac{|f(y)|\,dy}{(1-y)^{3/4-\beta}(1-y)^{\beta}}\biggr]^{p(1)}\,dx \\ &\leqslant \int_\mathcal{E}\biggl[\frac1{(1-x)^{1/4}} \biggl(\int_{1-1/N}^{2x-1}\frac{|f(y)|^{p(1)}\,dy}{(1-y)^{(3/4-\beta)p(1)}} \biggr)^{1/p(1)} \\ &\qquad\times \biggl(\int_{1-1/N}^{2x-1}\frac{dy}{(1-y)^{\beta p'(1)}}\biggr)^{1/p'(1)} \biggr]^{p(1)}dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\biggl(\int_{1-1/N}^{2x-1}\frac{dy}{(1-y)^{\beta p'(1)}}\biggr)^{1/p'(1)}\leqslant c(p)(1-x)^{1-1/p-\beta},
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
J(f,p(1))\leqslant c(p)\int_\mathcal{E}\frac1{(1-x)^{1-(3/4-\beta)p(1)}} \int_{1-1/N}^{2x-1}\frac{|f(y)|^{p(1)}\,dy}{(1-y)^{(3/4-\beta)p(1)}}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, меняя порядок интегрирования и учитывая (2.3), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J(f,p(1)) &\leqslant c(p)\int_{1-1/N}^{1}|f(y)|^{p(1)}\frac1{(1-y)^{(3/4-\beta)p(1)}} \int_{(y+1)/2}^{1}\frac{dx}{(1-x)^{1-(3/4-\beta)p(1)}}\,dy \\ &=c(p)\int_{1-1/N}^{1}|f(y)|^{p(1)}\,dy=c(p)\|f\|_{p(1)}^{p(1)}\leqslant c(p)\|f\|_{p(\cdot)}^{p(1)}\leqslant c(p). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
2. Случай $p(x)\leqslant p(1)$. Представим $f\in L^{p(\cdot)}$ в следующем виде:
$$
\begin{equation}
f(x)=g(x)\biggl(\frac1{1-x}\biggr)^\alpha, \qquad g(x)=(1-x)^\alpha f(x), \qquad \alpha=\frac6{p'(1)}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Из условия Дини–Липшица (2.8) получаем
$$
\begin{equation}
|f(x)|^{p(1)}=|f(x)|^{p(x)}|f(x)|^{p(1)-p(x)}\leqslant c(p)|f(x)|^{p(x)}|g(x)|^{p(1)-p(x)}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Далее нам понадобятся множества $E_1=\{x\in[1-1/N,1]\colon g(x)\geqslant1\}$, $E_2=\{x\in[1-1/N,1]\colon g(x)<1\}$. Тогда мы можем записать
$$
\begin{equation}
f(x)=f(x)\chi_{E_1}(x)+f(x)\chi_{E_2}(x)=f_1(x)+f_2(x).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Повторяя те же рассуждения, что и в (4.5), находим
$$
\begin{equation*}
J(f_2,p(1))\leqslant c(p)\int_{1-1/N}^{1}|f_2(y)|^{p(1)}\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (4.7) выводим
$$
\begin{equation}
J(f_2,p(1))\leqslant c(p)\int_{1-1/N}^{1}|f_2(y)|^{p(1)}\,dy\leqslant \int_{1-1/N}^{1}|f_2(y)|^{p(y)}\,dy\leqslant c(p).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Займемся оценкой $J(f_1,p(1))$. Отметим, что при $x\in E_1$ из (4.7) вытекает
$$
\begin{equation*}
|f(x)|^{p(1)}\leqslant c(p)|f(x)|^{p(x)}|g(x)|^{p(1)-p(x)+\gamma}, \qquad \gamma=\frac{p(1)}{6},
\end{equation*}
\notag
$$
или же
$$
\begin{equation*}
|f(x)|\leqslant c(p)|f(x)|^{p(x)/p(1)}|g(x)|^{(p(1)-p(x)+\gamma)/p(1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя это соотношение, применим неравенство типа Гёльдера к $J(f_1)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J(f_1,p(1))&\leqslant c(p)\int_\mathcal{E}\frac{1}{(1-x)^{p(1)/4}} \int_{1-1/N}^{2x-1}\frac{|f_1(y)|^{p(y)}\,dy}{(1-y)^{(3/4-1/p'(1))p(1)}} \\ &\qquad\times \biggl(\int_{1-1/N}^{2x-1}\frac{|g(y)|^{r(y)}}{1-y}\,dy\biggr)^{p(1)/p'(1)}\,dx, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
где $r(y)=(p(1)-p(y)+\gamma)(p'(1)-1)$. Поскольку $r(y)\leqslant p(y)$, то
$$
\begin{equation}
I(x)=\int_{1-1/N}^{2x-1}\frac{|g(y)|^{r(y)}}{1-y}\,dy \leqslant \int_{1-1/N}^{2x-1}\frac{|f(y)|^{p(y)}\,dy}{(1-y)^{1-\alpha r(y)}}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Так как при заданных $\alpha$ и $\gamma$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
1-\alpha r(y)=1-\alpha (p(1)-p(y)+\gamma)(p'(1)-1)\leqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
то из (4.11) вытекает $I(x)\leqslant c(p)$. C учетом этого из (4.10) после изменения порядка интегрирования получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J(f_1,p(1)) &\leqslant c(p)\int_{1-1/N}^1\frac{|f_1(y)|^{p(y)}}{(1-y)^{(3/4-1/p'(1))p(1)}} \int_{(y+1)/2}^{1}\frac{dx}{(1-x)^{p(1)/4}}\,dy \\ &=c(p)\int_{1-1/N}^1\frac{|f_1(y)|^{p(y)}}{(1-y)^{(3/4-1/p'(1))p(1)+p(1)/4-1}}\,dy \notag \\ &=c(p)\int_{1-1/N}^1 |f_1(y)|^{p(y)}\,dy \leqslant c(p). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Из (4.8), (4.9) и (4.12) для случая $p(x) \leqslant p(1)$ окончательно выводим
Переходя к общему случаю, положим $E_+=\{x\in[1-1/N,1]\colon p(x)\geqslant p(1)\}$ и $E_-=[1-1/N,1]\setminus E_+$. Тогда из (4.5) и (4.13) имеем
$$
\begin{equation}
J(f,p(1))\leqslant c(p)(J(f\chi_{E_+},p(1))+J(f\chi_{E_-},p(1)))\leqslant c(p).
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Лемма 4.1 доказана. Лемма 4.2. Существует константа $c(p)$ такая, что для любой функции $f$ с $\|f\|_{L^{p(\cdot)}} \leqslant 1$ справедлива оценка Доказательство. Используя соотношение (2.14), для внутреннего интеграла получим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{x-(1-x)}^{x+(1-x)}K(x,y)|f(y)|\,dy \leqslant c(p)\frac{1}{(1-x)^{1/4}} \int_{x-(1-x)}^{x+(1-x)}\frac{|f(y)|}{(1-x)^{3/4}}\,dy \\ &\qquad\leqslant c(p)\frac{1}{2(1-x)} \int_{x-(1-x)}^{x+(1-x)}|f(y)|\,dy \leqslant c(p) Mf(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу свойства [6; следствие 2.23] и ограниченности максимальной функции Харди–Литтлвуда в пространстве $L^{p(\cdot)}$ (см. [6; теорема 3.16]) имеем Лемма доказана. Вернемся теперь к доказательству основной леммы 3.1. Рассмотрим сначала оператор $T_1$. Разобьем интеграл на три части:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{-1}^1 T_1(f)(x)^{p(x)}\,dx \\ &\qquad=\biggl(\int_{-1}^{-1+\varepsilon}+\int_{-1+\varepsilon}^{1-\varepsilon}+ \int_{1-\varepsilon}^{1}\biggr)T_1(f)(x)^{p(x)}\,dx=J_1+J_2+J_3, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где фиксированное $\varepsilon$, зависящее только от $p$, определяется перед (4.3). В силу леммы 2.8 для $J_2$ получаем
$$
\begin{equation*}
J_2\leqslant\int_{-1+\varepsilon}^{1-\varepsilon}\biggl(\frac c\varepsilon\int_{-1}^{1} |f(y)|dy\biggr)^{p(x)}\,dx\leqslant c(p)\int_{-1+\varepsilon}^{1-\varepsilon}\biggl(\int_{-1}^{1} |f(y)|dy\biggr)^{p(x)}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда неравенство Гёльдера, примененное к внутреннему интегралу, и соотношение (4.1) дают
$$
\begin{equation}
J_2\leqslant c(p)\int_{-1+\varepsilon}^{1-\varepsilon}\|1\|_{p'(\cdot)}^{p(x)}\|f\|_{p(\cdot)}^{p(x)}\,dx\leqslant c(p)\int_{-1+\varepsilon}^{1-\varepsilon}\|1\|_{p'(\cdot)}^{p(x)}\,dx\leqslant c(p).
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Перейдем к оценке $J_3$. Согласно (3.1)
$$
\begin{equation*}
J_3=\int_{\mathcal{E}} \biggl(\int_{-1}^1 K(x,y)|f(y)|\,dy \biggr)^{p(x)}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем обозначение $\displaystyle I_k(x)=\int_{\Delta_k} K(x,y)|f(y)|\,dy$, разобьем внутренний интеграл в $J_3$ на части по промежуткам $\Delta_k$, определенным в (4.2) ($N$ задано перед формулой (4.3)), и применим (2.11):
$$
\begin{equation}
J_{3}=\int_{\mathcal{E}} \biggl(\sum_{k=-N+1}^{N} I_k(x) \biggr)^{p(x)}\,dx \leqslant c(p) \sum_{k=-N+1}^{N} \int_{\mathcal{E}} I_k(x)^{p(x)}\,dx.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Пользуясь неравенством типа Гёльдера (2.4) и учитывая (4.1), для $I_k(x)$ получим
$$
\begin{equation}
I_k(x) \leqslant c(p)\|K(x,\cdot)\|_{L^{p'(x)}(\Delta_k)}.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
В силу леммы 2.1
$$
\begin{equation}
\|K(x,\cdot)\|_{L^{p'(x)}(\Delta_k)} \leqslant \max \biggl\{1, \biggl(\int_{\Delta_k} K(x,y)^{p'(y)}\,dy \biggr)^{1/p'_-(\Delta_k)} \biggr\}.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Для оценки интеграла в правой части выражения при $k \in \mathcal{I} \setminus \{N\}$ и $x \in \mathcal{E}$ применим формулу (2.13):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\Delta_k} K(x,y)^{p'(y)}\,dy\leqslant 2^{5p'_+(\Delta_k)/4} \biggl(\frac{1}{1-x}\biggr)^{p'_+(\Delta_k)/4} \int_{\Delta_k} \biggl(\frac{1}{1-y}\biggr)^{3p'_+(\Delta_k)/4} \,dy \\ &\qquad\leqslant2^{5p'_+(\Delta_k)/4} \biggl(\frac{1}{1-x}\biggr)^{p'_+(\Delta_k)/4} N^{3p'_+(\Delta_k)/4-1}= c(p)\biggl(\frac{1}{1-x}\biggr)^{p'_+(\Delta_k)/4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (4.18) и (4.19) имеем
$$
\begin{equation*}
I_k(x) \leqslant c(p) \biggl(\frac{1}{1-x}\biggr)^{(p'_+(\Delta_k))/(4p'_-(\Delta_k))}, \qquad k \in \mathcal{I} \setminus \{ N \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя полученную оценку в (4.17), выводим
$$
\begin{equation}
J_3 \leqslant c(p)\biggl(\sum_{k \in \mathcal{I} \setminus \{N\}} \int_\mathcal{E} \biggl(\frac{1}{1-x}\biggr)^{p_+(\mathcal{E}) (p'_+(\Delta_k))/(4p'_-(\Delta_k))}\,dx+ \int_\mathcal{E} I_N(x)^{p(x)}\,dx \biggr).
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Заметим, что в силу (4.2), (4.3) и условия $p(x)>1$ для всех $k \in \mathcal{I}$
$$
\begin{equation*}
\frac14 p_+(\mathcal{E})\frac{p'_+(\Delta_k)}{p'_-(\Delta_k)} < \frac14 (4-\delta) \frac{p'_-(\Delta_k)+\delta/(4-\delta)}{p'_-(\Delta_k)} < 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, из (4.20) вытекает, что
$$
\begin{equation}
J_3 \leqslant c(p)\biggl(1+\int_\mathcal{E} I_N(x)^{p(x)}\,dx \biggr).
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Для оценки интеграла в (4.21) представим $I_N(x)$ в виде суммы:
$$
\begin{equation*}
I_N(x)=\biggl(\int_{1-1/N}^{x-(1-x)}+\int_{x-(1-x)}^1 \biggr) K(x,y)|f(y)|\,dy= I_N^{(1)}(x)+I_N^{(2)}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда с учетом (2.11) этот интеграл можно оценить следующим образом:
$$
\begin{equation}
\int_\mathcal{E} I_N(x)^{p(x)}\,dx \leqslant c(p)\biggl(\int_\mathcal{E} I_N^{(1)}(x)^{p(x)}\,dx+\int_\mathcal{E} I_N^{(2)}(x)^{p(x)}\,dx\biggr).
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
В силу леммы 4.2 сразу находим
$$
\begin{equation}
\int_\mathcal{E} I_N^{(2)}(x)^{p(x)}\,dx\leqslant c(p).
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Рассмотрим теперь величину $I_N^{(1)}(x)$. Из (2.14) имеем
$$
\begin{equation*}
I_N^{(1)}(x) \leqslant \int_{1-1/N}^{x-(1-x)} \overline{K}(x,y)|f(y)|\,dy\leqslant \frac{c}{(1-x)^{1/4}}\int_{1-1/N}^{2x-1}\frac{f(y)\,dy}{(1-y)^{3/4}}, \qquad x\in \mathcal{E},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу леммы 4.1 приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\int_\mathcal{E} I_N^{(1)}(x)^{p(x)}\,dx\leqslant c(p)\int_\mathcal{E}\biggl[\frac1{(1-x)^{1/4}} \int_{1-1/N}^{2x-1}\frac{f(y)\,dy}{(1-y)^{3/4}}\biggr]^{p(x)}\,dx\leqslant c(p).
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Таким образом, из (4.21) и (4.22)–(4.24) выводим окончательно Для оценки величины $J_1$ воспользуемся последовательной заменой переменных $x=-t$, $y=-u$ и очевидным свойством $K(-x,-y)=K(x,y)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1&=\int_{-1}^{-1+\varepsilon}\biggl(\int_{-1}^{1}K(x,y)|f(y)|\,dy\biggr)^{p(x)}\,dx \\ &=\int_{1-\varepsilon}^{1}\biggl(\int_{-1}^{1}K(t,u)|f(-u)|\,du\biggr)^{p(-t)}\,dt= \int_{1-\varepsilon}^{1}\biggl(\int_{-1}^{1}K(t,u)|g(u)|\,du\biggr)^{q(t)}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, заметим, что $g\in L^{q(\cdot)}$ и справедливо равенство В самом деле, из определения нормы (2.2) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f\|_{p(\cdot)} =\inf\biggl\{\lambda>0\colon \int_{-1}^{1}\biggl|\frac{f(x)}\lambda\biggr|^{p(x)}\,dx &=\int_{-1}^{1}\biggl|\frac{f(-x)}\lambda\biggr|^{p(-x)}\,dx \\ &=\int_{-1}^{1}\biggl|\frac{g(x)}\lambda\biggr|^{q(x)}\,dx\biggr\}=\|g\|_{q(\cdot)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, величина $J_1$ для $f\in L^{p(\cdot)}$ совпадает с величиной $J_3$ для функции $g\in L^{q(\cdot)}$, которая ограничена в силу доказанного выше, так как показатель $q(x)$ удовлетворяет условию леммы и $\|g\|_{q(\cdot)}\leqslant1$. Следовательно, Из (4.16), (4.25) и (4.26) окончательно имеем Перейдем к вопросу ограниченности оператора $T_2$ в $L^{p(\cdot)}$. Здесь мы повторим рассуждения, проведенные в [3]. Воспользуемся нормой (2.6):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|T_2(f)\|^*_{p(\cdot)} &=\sup_{\substack{\|g\|_{p'(\cdot)}\leqslant1 \\ g(x)\geqslant0}}\int_{-1}^{1}g(x)\,dx \int_{-1}^{1}K(y,x)|f(y)|\,dy \\ &=\sup_{\substack{\|g\|_{p'(\cdot)}\leqslant1 \\ g(x)\geqslant0}}\int_{-1}^{1}|f(y)|\,dy \int_{-1}^{1}K(y,x)g(x)\,dx \\ &=\sup_{\substack{\|g\|_{p'(\cdot)}\leqslant1 \\ g(x)\geqslant0}}\int_{-1}^{1}|f(y)|T_1(g)(y)\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $p'(x)$ удовлетворяет вместе с $p(x)$ условиям леммы, то в силу уже доказанного имеем Следовательно, справедливо также и неравенство $\|T_1(g)\|_{p'(\cdot)} < c(p')$. Отсюда и из неравенств (2.7), (2.4) и (4.1) окончательно выводим
$$
\begin{equation*}
\|T_2(f)\|_{p(\cdot)} \leqslant \sup_{\substack{\|g\|_{p'(\cdot)}\leqslant1 \\ g(x)\geqslant0}} c(p)\|f\|_{p(\cdot)}\|T_1(g)\|_{p'(\cdot)} \leqslant c(p)c(p')\|f\|_{p(\cdot)} < c(p).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.1 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MagShaGad24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|