| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О существовании и свойствах решений в одной нелинейной задаче на собственные значения Д. В. Валовик, С. В. Тихов Пензенский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9892e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Постановка задачиПусть $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$, $\mathbb R_+=(0,+\infty)$, $\mathbb R_+^0=\mathbb R_+ \cup \{0\}$, $\mathrm I=(0, 1)$, $\overline{\mathrm I}=[0, 1]$, $\mathrm I^\ast=(0, x^\ast)$, $\overline{\mathrm I}^\ast=[0, x^\ast]$, где $x^\ast>0$ – произвольное число, $\alpha>0$ – параметр, $\lambda \in \mathbb R$ – спектральный параметр, $a(s)$ и $f(s)$ есть непрерывно дифференцируемые функции переменной $s \in \mathbb R_+^0$ такие, что $a' \geqslant 0$, $f(0)=0$, $f' \geqslant 0$, при этом где $\lim_{s \to+\infty} s^{-q} f_1(s)=0$ и $q>0$ – постоянная величина.Рассмотрим уравнение где $u \equiv u(x; \lambda)$ и $(x, \lambda) \in \overline{\mathrm I} \times \mathbb R$, с краевыми условиями и дополнительным условием где $A>0$ – некоторая фиксированная (заданная) постоянная; при этом предполагаем, чтоВсюду ниже мы также будем использовать обозначения
$$
\begin{equation}
a_\ast=\min_{x \in \overline{\mathrm I}^\ast} a(x)=a(0), \qquad a^\ast=\max_{x \in \overline{\mathrm I}^\ast} a(x)=a(x^\ast),
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
в частности, $a^\ast=a(1)$ при $x \in \overline{\mathrm I}$. Введем необходимое Определение 1. Число $\lambda=\widehat\lambda$ такое, что существует функция $u \equiv u(x; \widehat\lambda)$, которая удовлетворяет уравнению (1.2) и условиям (1.3)–(1.5), будем называть собственным значением, а функцию $u(x; \widehat\lambda)$, отвечающую числу $\widehat\lambda$, – собственной функцией задачи (1.2)–(1.5). Учитывая специфику рассматриваемой задачи, уместно ее собственные значения называть $A$-собственными значениями. В дальнейшем мы не будем каждый раз на это указывать. Задачу (1.2)–(1.5) назовем задачей $\mathcal P$. Собственные значения задачи $\mathcal P$ будем обозначать $\widehat\lambda$ или $\widehat\lambda_i$, предполагая, что номер собственного значения равен числу нулей на $[0,1)$ соответствующей ему собственной функции. Как будет доказано далее, в задаче $\mathcal P$ существует бесконечное число пар (различных) собственных значений таких, что отвечающие каждой паре (и различные) собственные функции имеют одинаковое число нулей. Начиная с некоторого номера $i$ собственные значения в указанных парах имеют разные знаки, и в рассуждениях ниже эти случаи рассматриваются порознь, поэтому нет необходимости в дополнительных обозначениях, разделяющих положительные и отрицательные собственные значения. Отметим, что частный случай задачи $\mathcal P$ возникает в теории распространения электромагнитных волн в нелинейных волноведующих структурах. Более точно: положительные собственные значения $\widehat\lambda$ отвечают постоянным распространения в задаче о нахождении собственных волн плоского экранированного диэлектрического волновода, заполненного средой, имеющей неоднородную нелинейную диэлектрическую проницаемость; формулировки близких задач см. в [1]–[3]. В электродинамике, как правило, рассматривается ситуация $a>0$ (но в некоторых случаях используют и $a<0$). Отметим, что электродинамические приложения хотя и допускают условие $a' \geqslant 0$, но не подразумевают его необходимости. В то же время условие $f' \geqslant 0$ охватывает многие типы нелинейностей, возникающих в нелинейной математической физике и в нелинейной теории волоноводов, в частности, кубическую и полиномиальную нелинейности, а также степенную нелинейность (см. [1], [2], [4]–[7]). Поскольку условия (1.3), (1.4) содержат начальные данные задачи Коши для уравнения (1.2), то очевидно, что прежде чем исследовать разрешимость задачи $\mathcal P$, необходимо выяснить существование единственного непрерывного при $x \in \overline{\mathrm I}$ решения указанной задачи Коши. Ниже мы изучим задачу Коши для уравнения (1.2) с начальными данными при $x \in \overline{\mathrm I}^\ast$, где $A>0$ – некоторая постоянная, и условии $u(x) \in C^2 (\overline{\mathrm I}^\ast)$. Задачу Коши (1.2), (1.7) мы намеренно формулируем на отрезке $\overline{\mathrm I}^\ast$ (а не на отрезке $\overline{\mathrm I}$) для сокращения некоторых рассуждений, касающихся задачи $\mathcal P$. Именно по этой причине функция $a(x)$, введенная в начале этого параграфа, определена на $\mathbb R_+^0$. Рассмотрение вспомогательной задачи Коши на множестве $\overline{\mathrm I}$ не ограничило бы общность полученных ниже результатов, но привело бы к дополнительным выкладкам при их обосновании. Отметим, что доказательства предложений и теорем собраны в § 5. В завершение настоящего параграфа кратко изложим основные идеи и результаты данного исследования. Для изучения задачи $\mathcal P$ в работе применяется метод интегрального характеристического уравнения. Используя этот метод, для задачи $\mathcal P$ мы получим интегральное характеристическое уравнение (см. формулу (3.14)), которое эквивалентно исходной задаче (см. теорему 1), т.е. всякое его решение является собственным значением задачи $\mathcal P$ и наоборот. Исследуя уравнение (3.14), мы установим разрешимость задачи $\mathcal P$ и выясним некоторые свойства ее собственных значений: существование бесконечного числа отрицательных и положительных собственных значений, асимптотическое поведение собственных значений и максимумов собственных функций (см. теоремы 2 и 3). Кроме того, в работе доказаны теоремы сравнения, устанавливающие связь между решениями двух (отличающихся параметрами) задач типа $\mathcal P$ (см. теоремы 4 и 5), а также результаты, которые устанавливают связь между решениями исходной и отвечающей ей линеаризованной задач (см. предложения 8 и 9). В настоящей работе мы не касались вопросов полноты и базисности множества собственных функций (для фиксированного $A$ и совокупности всех $A$) в естественных функциональных пространствах (эти вопросы рассмотрены, например, в работе [8]). § 2. Линейная задачаЛинейную задачу (при $\alpha=0$) назовем задачей $\mathcal P_0$. Собственные значения задачи $\mathcal P_0$ будем обозначать $\widetilde\lambda$ или $\widetilde\lambda_i$, предполагая, что номер собственного значения равен числу нулей на $[0,1)$ соответствующей ему собственной функции. Отметим, что, в отличие от задачи $\mathcal P$, в задаче $\mathcal P_0$ существует не более одной собственной функции с заданным числом нулей. Задача $\mathcal P_0$ заключается в нахождении таких $\lambda=\widetilde{\lambda}$, при которых существует нетривиальное решение $v \equiv v (x; \lambda) \in C^2 (\overline{\mathrm I})$ уравнения удовлетворяющее краевым условиям Заметим, что условие (1.4), необходимое в задаче $\mathcal P$ для определения дискретных собственных значений, в линейной задаче не требуется и потому опущено.Задача $\mathcal P_0$ является классической в теории Штурма–Лиувилля и хорошо изучена (см. [9]–[12]). Принимая во внимание известные результаты, сформулируем следующее предложение. Предложение 1. Задача $\mathcal P_0$ имеет бесконечное число отрицательных $\widetilde\lambda$ и конечное число (возможно, ни одного) положительных $\widetilde\lambda$ собственных значений; кроме того, все решения задачи $\mathcal P_0$ являются однократными. Асимптотика собственных значений $\widetilde\lambda_n$ определяется формулой $\widetilde\lambda_n= O^\ast(n^2)$, где коэффициент перед главным членом асимптотики равен $-\pi^2$. Результат предложения 1 имеет место и в том случае, когда свойство $a'(x) \,{\geqslant}\, 0$ не выполняется. В том случае, когда $a'(x) \geqslant 0$, результат предложения 1 можно уточнить. Действительно, в дополнение к предложению 1 справедливо Предложение 2. Если $a'(x) \geqslant 0$, то всякое собственное значение $\widetilde\lambda$ задачи $\mathcal P_0$ удовлетворяет неравенству $\widetilde\lambda<a^\ast$. § 3. Интегральное характеристическое уравнениеНачнем этот параграф с формулировки результата о существовании решения задачи Коши для уравнения (1.2) с начальными данными (1.7). Умножая (1.2) на $u'$ и интегрируя, получаем
$$
\begin{equation}
u'^2+(a-\lambda) u^2+\alpha F(u^2)-\int_{0}^x a' (s) u^2 (s)\,ds \equiv C,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $\displaystyle F(u^2)=\int_0^{u^2} f(t)\,dt$, $C$ – постоянная. Используя (1.7), находим $C=A^2> 0$. С учетом (1.1) имеем где $\displaystyle F_1(u^2)=\int_{0}^{u^2} f_1(s)\,ds$ и $\lim_{u^2 \to+\infty} (F_1(u^2)/u^{2(q+1)})=0$. Используя выражение (3.1), можно доказать Предложение 3. Задача Коши (1.2), (1.7) имеет единственное решение $u \equiv u(x; \lambda)$, определенное и непрерывное при $(x, \lambda, \alpha) \in \overline{\mathrm I}^\ast \times \mathbb R \times \mathbb R_+$. Перейдем к выводу интегрального характеристического уравнения. Введем новые переменные по следующим формулам: Для сокращения записи часто будем опускать зависимость рассматриваемых величин от параметров. Используя (3.3), запишем уравнение (1.2) в виде
$$
\begin{equation}
\tau' =2\tau\eta, \qquad \eta'=-(a-\lambda+\alpha f(\tau)+\eta^2).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
В переменных (3.4) и при условиях (1.7) соотношение (3.1) примет вид
$$
\begin{equation}
(\eta^2+a-\lambda)\tau+\alpha F(\tau)-\int_{0}^x a' (s) \tau (s) \,ds=A^2.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Поскольку формула (3.5) неявно определяет функцию $\tau \equiv \tau(x, \eta; \lambda)$, то второе уравнение системы (3.4) можно переписать в виде $\eta'=-w(x, \eta; \lambda)$, где
$$
\begin{equation}
w(x, \eta; \lambda)=\eta^2+a (x)-\lambda+\alpha f(\tau(x, \eta; \lambda)).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Легко проверить, что $w>0$ для всех $\lambda \in \mathbb R$. Действительно, предположим, что $w$ обращается в нуль в некоторой точке $x=x'$. Из равенства $w=0$ находим $\eta^2+a- \lambda=- \alpha f(\tau)$. Подставляя это в (3.5), получаем
$$
\begin{equation*}
A^2=\alpha F(\tau)-\alpha f(\tau)\tau-\int_{0}^{x'} a'(s) \tau(s)\,ds= -\alpha\int_{0}^{\tau} f'(s)s\,ds-\int_{0}^{x'} a'(s) \tau(s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $f' \geqslant 0$, $a ' \geqslant 0$, то, значит, $A^2 \leqslant 0$, что, очевидно, противоречит условию $A>0$. Полученное противоречие показывает, что $w$ не обращается в нуль и, стало быть, сохраняет знак при всех $\lambda \in \mathbb R$. Вычисляя $w$ при $\lambda \leqslant a_\ast$, получаем $w>0$. Отсюда следует, что $\eta'=-w(x, \eta; \lambda)< 0$ и, значит, функция $\eta(x)$ монотонно убывает при $x \in \overline{\mathrm I}^\ast$. Из второй формулы (3.3) следует, что $\eta$ непрерывна, если и только если $u$ не обращается в нуль. Пусть $u(x)$ имеет $n \geqslant 0$ нулей $x_1, \dots, x_{n} \in \mathrm I^\ast$, которые упорядочены по возрастанию, а также обращается в нуль при $x=0$; тогда $\eta(x)$ терпит разрыв в точках $x_0, \dots, x_{n}$, где $x_0=0$. Предполагаем, что на интервале $(x_n, x^\ast)$ функция $u(x)$ в нуль не обращается; при этом точка $x=x^\ast$ может являться нулем функции $u(x)$, в этом случае считаем, что $x^\ast=x_{n+1}$. Очевидно, что если $u \not\equiv 0$, то $u'(x_i) \ne 0$ для всех $i=0,\dots, n+1$. Действительно, если решение $u$ уравнения (1.2) обращается в нуль вместе со своей производной $u'$ в некоторой точке, то из классических результатов о (локальном) существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения следует $u \equiv 0$ (см. [13]). Таким образом, все точки разрыва являются точками разрыва II рода. Из монотонного убывания $\eta(x)$ и условий (1.3), (1.4) следует
$$
\begin{equation}
\eta(x_0+0)=+\infty, \qquad \eta(x_{n+1}-0)=- \infty.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Первое соотношение в (3.7) следует из формулы (1.3); второе имеет место в случае, когда $x^\ast=x_{n+1}$. Введем интервалы
$$
\begin{equation}
\mathrm I_j=(x_j, x_{j+1}), \qquad \mathrm I_n=(x_n, x^\ast),
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $j=0,\dots, n-1$, а $x_0=0$. На концах интервалов $\mathrm I_j$ имеем Функция $\eta$ монотонно убывает от $+\infty$ до $-\infty$ при $x \in \mathrm I_{j}$, $j= 0,\dots, n-1$, и функция $\eta$ монотонно убывает от $+\infty$ до $\eta (x^\ast)$ при $x \in \mathrm I_{n}$, при этом не обязательно $\eta (x^\ast)=-\infty$ (очевидно, что $\eta(x^\ast)$ зависит от $\lambda$). Это в свою очередь означает, что существуют естественные непрерывные биекции
$$
\begin{equation}
g_{j}\colon \mathbb R \to \mathrm I_{j}\colon \eta \mapsto x
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
прямой $\mathbb R$ на интервал $\mathrm I_{j}$, где $j=0,\dots, n-1$, а также непрерывная биекция
$$
\begin{equation}
g_{n}\colon (\eta(x^\ast),+\infty) \to \mathrm I_{n}\colon \eta \mapsto x.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
При помощи этих биекций, в частности, можно определить значение функции $a$ на каждом интервале $\mathrm I_j$ как функцию переменной $\eta$, а именно $a (x) \equiv a (g_j (\eta))$. Обозначим определенную формулой (3.6) функцию $w$, рассматриваемую на интервале $\mathrm I_j$, как здесь $\tau \equiv \tau (s; g_j (s); \lambda)$ определяется из (3.5) при $\eta=s$, $x=g_j (s)$, а $g_j (s)$ есть одно из введенных выше отображений.Имеет место Предложение 4. Пусть решение $u \equiv u(x; \lambda)$ задачи Коши (1.2), (1.7) имеет $n \geqslant 0$ нулей при $x \in \overline{\mathrm I}^\ast$. Тогда справедлива формула где значение $\eta(x^\ast)$ зависит от $\lambda$. Если $n=0$, то это значит, что функция $u$ при $x \in \overline{\mathrm I}^\ast$ в нуль не обращается, а в левой части формулы (3.13) остается лишь последнее слагаемое. Имеет место Предложение 5. Определенная левой частью формулы (3.13) функция существует, непрерывна и положительна при $\lambda \in \mathbb R$. Отметим, что значения $n$ и $\eta(x^\ast)$ в предложении 5 не фиксированы. При условии $x^\ast=x_{n+1}=1$ и выполнении второго из условий (3.7) из соотношения (3.13) получаем интегральное характеристическое уравнение задачи $\mathcal P$, которое имеет вид
$$
\begin{equation}
\Phi_{\alpha}(\lambda; n) \equiv \sum_{j=0}^{n} T_j (\lambda)-1=0,
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где $n=0, 1,\dots$ и
$$
\begin{equation*}
T_j(\lambda)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ds}{w_j(s; \lambda)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение (3.14) и введенные выше функции $T_j$ являются важнейшими объектами в настоящем исследовании. Изучение уравнения (3.14), а следовательно, и исходной задачи на собственные значения, опирается на изучение функций $T_j$. В частности, свойства $T_j$ при $\lambda \to \pm \infty$ позволят доказать разрешимость задачи $\mathcal P$. Соотношение (3.14) является семейством (но не системой) уравнений при различных $n$. Отметим, что выбранная в начале статьи нумерация собственных значений имеет ясную связь с числом слагаемых в формуле (3.14). Действительно, номер всякого собственного значения $\widehat\lambda_{n+1}$ равен числу нулей соответствующей собственной функции $u \equiv u(x; \widehat\lambda_{n+1})$ на полуинтервале $[0, 1)$. Ясно, что этот номер совпадает с числом слагаемых в формуле (3.14). Результатом, позволяющим перейти от изучения задачи $\mathcal P$ к изучению уравнения (3.14), является Теорема 1 (об эквивалентности). Уравнение (3.14) эквивалентно задаче $\mathcal P$ в том смысле, что число $\widehat\lambda \in \mathbb R$ является собственным значением задачи $\mathcal P$, если и только если существует целое число $\widehat n \geqslant 0$ такое, что $\lambda= \widehat\lambda$ удовлетворяет уравнению (3.14) при $n=\widehat n$; при этом собственная функция $u \equiv u(x; \widehat\lambda)$ имеет $\widehat n$ (простых) нулей $x_m \in \mathrm I$, где $x_m=\sum_{j=0}^{m} T_j(\widehat\lambda)$ и $m=1,\dots,\widehat n$. В связи с теоремой 1 можно ввести Определение 2. Собственное значение $\widehat\lambda$ задачи $\mathcal P$ имеет кратность $p$, если $\lambda=\widehat\lambda$ является корнем кратности $p$ уравнения (3.14). В определении 2 речь идет о той ситуации, когда возможно определить кратность корня уравнения (3.14). § 4. Основные результатыВ дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства функций $T_j$ как функций от $\lambda$; см. формулы (3.14). Начнем этот параграф с их изучения. Представим $T_{j}$ в форме, в некоторых случаях для нас более удобной: перейдем в $T_{j}$ от переменной интегрирования $s=\eta$ к $\tau$. Выполняя такую замену, необходимо определить, каким образом будет пересчитываться $x$ через $\tau$. Так как $T_{j}$ рассматривается при $x \in \mathrm I_j$, где функция $\eta \equiv \eta (x)$ непрерывна и монотонна, то, используя отображение $g_j$ (см. формулу (3.10)), мы пересчитываем $x$ через $\eta$ и тем самым придаем смысл $T_j$. Теперь установим биективное соответствие между $x$ и $\tau$. Ясно, что функция $\tau$, в отличие от $\eta$, не является монотонной при ${x \in \mathrm I_j}$. Однако $\mathrm I_j$ можно разбить на два интервала, на которых $\tau$ монотонна. Действительно, функция $\eta$ при $x \in \mathrm I_{j}$ непрерывна и монотонно убывает от $+\infty$ до $-\infty$ (или до $\eta(x^\ast)$). Пусть $x_j^{\ast} \in \mathrm I_j$ – такая точка, в которой $\eta (x_j^{\ast})=0$; тогда $\eta>0$ при $x \in (x_j, x_j^{\ast})$ и $\eta<0$ при $x \in (x_j^{\ast}, x_{j+1})$. По определению $\eta=u' / u$; следовательно, когда $\eta>0$, функция $\tau=u^2$ монотонно возрастает, а когда $\eta<0$, функция $\tau$ монотонно убывает. Вводя обозначение $\tau_j^{\ast}=\tau (x_j^{\ast})$ и учитывая, что $x_j$, $x_{j+1}$ есть нули функции $u$, заключаем, что $\tau$ монотонно возрастает от $0$ до $\tau_j^{\ast}$ при $x \in (x_j, x_j^{\ast})$ и монотонно убывает от $\tau_j^{\ast}$ до $0$ при $x \in (x_j^{\ast}, x_{j+1})$. Таким образом, можно заключить, что существует непрерывное биективное отображение переводящее интервал $(0, \tau_j^{\ast})$ в интервал $\mathrm I_{j}^{(1)}=(x_j, x_j^{\ast})$; аналогично, существует непрерывная биекция отображающая $(0, \tau_j^{\ast})$ на $\mathrm I_{j}^{(2)}=(x_j^{\ast}, x_{j+1})$. Аналогичным образом соответствующие отображения определяются при $x \in (x_n, x^\ast)$.Имеет место Предложение 6. Справедлива формула Нас интересует поведение $T_j(\lambda)$ при $\lambda \to \pm\infty$. Для вычисления асимптотики $T_j(\lambda)$ при $\lambda \to -\infty$ используем выражение для этого интеграла из формулы (3.14), а для вычисления асимптотики при $\lambda \to+\infty$ используем (эквивалентное) выражение (4.3). Поведение функций $T_j (\lambda)$ характеризует Предложение 7. Для каждого $j$ функция $T_j (\lambda)$ определена, положительна и непрерывна при всех достаточно больших $|\lambda|$; при этом для отрицательных и достаточно больших по абсолютной величине $\lambda$ справедливы неравенства где $t_{1,2}=|\lambda|^{-q-r_{1,2}}$, а $r_{1,2}>0$ зависят от свойств функции $f_1$ и для достаточно больших $\lambda>0$ справедлива формула В силу теоремы 1 формулы (4.5) и (4.6) дают оценки расстояния между соседними нулями собственных функций, когда значение $|\lambda|$ достаточно велико (или, что то же самое, когда этих нулей достаточно много на $\overline{\mathrm I}$). Для задачи $\mathcal P_0$ оценка расстояния между соседними нулями соответствующей собственной функции дана ниже формулой (4.14). Вопрос об оценке расстояния между нулями решений является классическим в теории Штурма–Лиувилля (см. [11], [14]). Разрешимость задачи $\mathcal P$ устанавливают следующие две теоремы. Теорема 2. Задача $\mathcal P$ имеет бесконечное число отрицательных собственных значений $\widehat\lambda_n$ с точкой накопления на бесконечности; при этом для всех достаточно больших номеров $n$ справедливы неравенства и оценка для максимума собственной функции где $\delta>0$ зависит от свойств функции $f_1$. Отметим, что $O^\ast$ в формуле (4.7) означает, что коэффициент при члене $n^{-2q}$ известен (см. доказательство); функция $f_1$ определена в (1.1). Теорема 3. Задача $\mathcal P$ имеет бесконечное число положительных собственных значений $\widehat\lambda_n$ с точкой накопления на бесконечности; при этом для всех достаточно больших номеров $n$ справедливы неравенства где $\Delta>0$ – произвольная постоянная, $\lambda_n= g^{-1}\bigl(\frac{q}{n(q+1)}\bigr)$, $g^{-1}$ – функция, обратная к $g(t)=t^{-1/2}{\ln t}$, и оценка для максимума собственной функции где $\delta>0$ зависит от свойств функции $f_1$. Множество $\Sigma$ всех собственных значений $\widehat\lambda$ задачи $\mathcal P$ можно разделить на два подмножества: $\Sigma=\Sigma_1 \cup \Sigma_2$, где $\Sigma_1 \cap \Sigma_2= \varnothing$. Собственные значения $\widehat\lambda \in \Sigma_1$ обладают следующим свойством: всякое собственное значение $\widehat\lambda \in \Sigma_1$ переходит в некоторое собственное значение $\widetilde\lambda$ задачи $\mathcal P_0$ при $\alpha \to+0$. Собственные значения $\widehat\lambda \in \Sigma_2$ этим свойством не обладают (являются нелинеаризуемыми). Как будет видно далее, множество $\Sigma_1$ содержит бесконечное число элементов $\widehat\lambda_n$ и $\lim_{n \to \infty} \widehat\lambda_n=-\infty$. В частном случае, когда $a \equiv \mathrm{const}$ и $f(s) \equiv s$, с помощью элементарных оценок можно показать, что для всякого $\lambda=\widehat\lambda>a+\delta$, где $\delta>0$ – произвольная постоянная (необходимые для этого оценки см. в [15]). Из этого следует, что $\lim_{\alpha \to+0} \widehat\lambda(\alpha)=+\infty$, где $\widehat\lambda=\widehat\lambda(\alpha)$ – собственное значение, для которого выполняется (4.11). Отсюда следует, что всякое собственное значение $\widehat\lambda$, для которого выполняется (4.11), является нелинеаризуемым (таких собственных значений бесконечное число).Оценки (4.5), (4.7) для отрицательных и (4.6), (4.9) для положительных собственных значений задачи $\mathcal P$ позволяют получить результаты о сравнении собственных значений как для двух нелинейных задач с различными параметрами, так и для нелинейной и отвечающей ей линеаризованной задач. Рассмотрим две задачи типа $\mathcal P$, которые обозначим через $\mathcal P_1$ и $\mathcal P_2$, при этом будем считать, что все параметры и функции, характеризующие эти задачи, тоже снабжены соответствующими индексами. Теорема 2 утверждает, что каждая из задач $\mathcal P_1$ и $\mathcal P_2$ имеет бесконечное число отрицательных собственных значений $\lambda=\widehat\lambda^{(1)}_{i}$ и $\lambda=\widehat\lambda^{(2)}_{i}$ соответственно, где $\lim_{i\to\infty} \widehat\lambda^{(j)}_{i}=-\infty$ ($j=1,2$). Тогда справедлива Теорема 4. Если функции $a_j$ задач $\mathcal P_1$ и $\mathcal P_2$ таковы, что то для достаточно больших номеров $i$ выполняется неравенство $\widehat\lambda^{(1)}_{i}< \widehat\lambda^{(2)}_{i}$. Отметим, что если $\max_{x\in \overline{\mathrm I}} a_1(x)=\min_{x\in \overline{\mathrm I}} a_2(x)$, то для справедливости теоремы необходимо выполнение неравенства $\alpha_1 A_1^{q_1}<\alpha_2 A_2^{q_2}$. Теорема 3 утверждает, что каждая из задач $\mathcal P_1$ и $\mathcal P_2$ имеет бесконечное число положительных собственных значений $\lambda=\widehat\lambda^{(1)}_{i}$ и $\lambda=\widehat\lambda^{(2)}_{i}$ соответственно, где $\lim_{i\to\infty} \widehat\lambda^{(j)}_{i}=+\infty$ ($j=1,2$). Тогда справедлива Теорема 5. Если $q_1<q_2$, то для достаточно больших номеров $i$ выполняется неравенство $\widehat\lambda^{(1)}_{i}>\widehat\lambda^{(2)}_{i}$. Перейдем к формулировке некоторых результатов, связывающих собственные значения задач $\mathcal P$ и $\mathcal P_0$. Несмотря на то, что задача $\mathcal P_0$ давно и подробно изучена с помощью различных подходов (см. [9]–[11], [16]), мы применим к ней в том числе подход, развитый выше. Этот подход является еще одним методом, который позволяет получить асимптотическую оценку для собственных значений задачи $\mathcal P_0$. Уравнение типа (3.14) можно строго вывести для задачи $\mathcal P_0$, но мы, однако, опустим большую часть выкладок, поскольку они являются попросту повторением того, что уже проделано при выводе уравнения (3.14). Положив $\alpha=0$ в уравнении (3.14), получим интегральное характеристическое уравнение задачи $\mathcal P_0$. Это уравнение имеет вид
$$
\begin{equation}
\Phi_0(\lambda; n) \equiv \sum_{j=0}^{n} \widetilde T_j (\lambda)-1=0,
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widetilde T_j(\lambda)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ds}{\widetilde w_j(s; \lambda)},\qquad \widetilde w_j(s; \lambda)=s^2+a-\lambda,\quad \lambda \in (-\infty, a^\ast),\quad n=0, 1,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $a \equiv a(x)$, $x=\widetilde g_j(s)$, где отображения $\widetilde g_j$ определены аналогично определению отображений $g_j$ в задаче $\mathcal P$. Мы отдельно не рассматриваем вопрос о существовании решения задачи Коши для уравнения (2.1), поскольку этот вопрос также хорошо изучен (см. [13], [17]). Важно отметить, что уравнение (4.13) эквивалентно задаче $\mathcal P_0$ в смысле теоремы 1. Мы не доказываем здесь этот факт, но его доказательство получается так же, как доказательство теоремы 1; доказательства в более сложной (но линейной по искомой функции) задаче Штурма–Лиувилля приведены в [18], [19]. Для всех $\lambda<a_\ast$ интеграл $\widetilde T_j(\lambda)$ оценивается элементарно:
$$
\begin{equation}
\frac{\pi}{\sqrt{-\lambda+a^\ast}} \leqslant \widetilde T_j(\lambda) \leqslant \frac{\pi}{\sqrt{-\lambda+a_\ast}}.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Имея в виду (4.14), из (4.13) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\pi(n+1)}{\sqrt{-\lambda+a^\ast}} \leqslant \sum_{j=0}^{n} \widetilde T_j (\lambda) \leqslant \frac{\pi(n+1)}{\sqrt{-\lambda+a_\ast}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего с учетом (4.13) получаем
$$
\begin{equation}
-\pi^2 n^2+a_\ast \leqslant \widetilde \lambda_n \leqslant -\pi^2 n^2+a^\ast,
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
что и дает известную оценку $\widetilde \lambda_n=O^\ast(n^2)$, где коэффициент перед главным членом асимптотики равен $-\pi^2$. Из неравенств (4.7) и (4.15) можно заключить, что асимптотические оценки для отрицательных собственных значений с большим индексом задач $\mathcal P$ и $\mathcal P_0$ совпадают в главном члене асимптотических разложений, т.е. нелинейность $f(u^2)$ с произвольным степенным ростом оказывает влияние на поведение собственных значений лишь во втором и последующих членах асимптотического разложения. Пусть $v \equiv v(x; \lambda)$ – какое-либо нетривиальное решение задачи Коши для уравнения (2.1), удовлетворяющее условию $v|_{x=0}=0$, а $u \equiv u(x; \lambda, \alpha)$ – решение задачи Коши (1.2), (1.7). Тогда функция $v(1; \lambda)$ называется характеристической функцией задачи $\mathcal P_0$, а характеристическое уравнение $v(1; \lambda)=0$ определяет ее собственные значения (см. [10]). По аналогии с этим назовем функцию $u(1; \lambda, \alpha)$ характеристической функцией задачи $\mathcal P$, тогда можно показать, что характеристическое уравнение определяет собственные значения задачи $\mathcal P$.Рассмотрим уравнение которое получено вычитанием функции $v(1; \lambda)$ из обеих частей уравнения (4.16).Используя соотношение (4.17), получаем Предложение 8. В любой окрестности всякого собственного значения $\widetilde\lambda$ задачи $\mathcal P_0$ существует по крайней мере одно собственное значение $\widehat\lambda= \widehat\lambda(\alpha)$ задачи $\mathcal P$ при условии, что $\alpha>0$ достаточно мало; при этом для указанных собственных значений имеет место свойство Доказательство существования собственных значений в близких задачах на основе уравнения типа уравнения (4.17) реализовано в [3]. Рассмотрим уравнение (3.14). Вычитая из обеих частей этого уравнения функцию $\Phi_0(\lambda; n)$, получаем
$$
\begin{equation}
\Phi_0(\lambda; n)-\Phi_{\alpha}(\lambda; n)=\Phi_0(\lambda; n).
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Используя соотношение (4.19), получаем Предложение 9. Для любого $\alpha>0$ существует такая постоянная $\lambda_0\,{>}\,0$ (возможно, достаточно большая), что справедливо следующее свойство: в любой окрестности всякого собственного значения $\widetilde\lambda_i \in (-\infty, -\lambda_0)$ задачи $\mathcal P_0$ существует по крайней мере одно собственное значение $\widehat\lambda_i$ задачи $\mathcal P$, при этом для указанных собственных значений имеет место свойство Отметим, что результат предложения 9 имеет место сразу для бесконечного числа собственных значений $\widetilde\lambda_i \in (-\infty, -\lambda_0)$ задачи $\mathcal P_0$ при одном и том же $\alpha$. Кроме этого, подчеркнем, что упомянутые в предложении 9 окрестности можно выбрать одного и того же радиуса для каждого собственного значения из этого бесконечного набора (из доказательства предложения 9 следует, что эти окрестности уменьшаются вместе с ростом $n$). Доказательства предложений 8 и 9 реализуют варианты метода возмущений. Результат, в некотором смысле аналогичный предложению 8, может быть доказан с использованием принципиально иного подхода, основанного на обращении с помощью функции Грина линейной части дифференциального оператора, определенного уравнением (1.2); см., например, [20]. § 5. Доказательства Доказательство предложения 2. Пусть $a'(x) \geqslant 0$ и $\lambda \geqslant a^\ast$. Умножая (2.1) на $v'$, интегрируя и используя условие $v (0)=0$, получаем
$$
\begin{equation}
v'^2(x)=v'^2 (0)+(\lambda-a(x))v^2(x)+\int_0^x a' (s) v^2 (s)\, ds.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Поскольку для нетривиального решения $v'(0) \ne 0$, то правая часть (5.1) строго положительна. Отсюда следует, что $v'$ не обращается в нуль, а так как $v(x)$ непрерывна при $x \in \overline{\mathrm I}$, то $v'$ сохраняет знак. Получаем, что в этом случае $v(x)$ монотонна при $x \in \overline{\mathrm I}$. Но тогда функция $v$ не может принять нулевое значение в точке $x=1$.
Предложение доказано. Доказательство предложения 3. Интегрируя по частям в (3.1), получаем
Пусть функция $u$ существует как решение задачи Коши (1.2), (1.7) при $x \in [0, x_{\ast})$, где $x_{\ast}>0$ – некоторая постоянная. Предположим, что функция $u$ неограниченна, т.е. $|u| \to+\infty$, $|u'| \to+\infty$ при $x \to x_{\ast}$. Ясно, что $u (x) u' (x) \,{\to}\,{+}\infty$ при $x \to x_{\ast}$. Пусть $x=x'<x_{\ast}$ – такая точка, что для всех $x \in [x', x_{\ast})$ выполняется $u(x) u'(x)>0$. Пусть $\lambda<0$. Тогда при $x \in [x', x_{\ast})$ все слагаемые справа в (5.2), кроме первого, отрицательны. Предполагая неограниченность $u$, получаем, что начиная с некоторого $x'' \in [x', x_{\ast})$ правая часть уравнения (5.2) отрицательна, тогда как левая всегда неотрицательна. Получили противоречие. Пусть теперь $\lambda>0$. Положим в (5.2) $x=x_{\ast}-\delta$, где $0<\delta< x_{\ast}-x'$. Запишем (5.2) в виде
$$
\begin{equation}
u'^2=A^2\,{-}\,2 \int_0^{x'} a (s) u(s) u'(s) \,ds\,{+}\,\lambda u^2\,{-}\,\alpha F(u^2)\,{-}\,2 \int_{x'}^{x_{\ast}-\delta} a (s) u(s) u'(s)\,ds.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Применяя к интегралу $\displaystyle\int_{x'}^{x_{\ast}-\delta} a (s) u(s) u'(s)\, ds$ теорему о среднем, получаем
$$
\begin{equation*}
2 \int_{x'}^{x_{\ast}-\delta} a (s) u(s) u'(s) \,ds=a (\xi) \int_{x'}^{x_{\ast}- \delta} 2 u(s) u'(s)\, ds=a (\xi) \bigl( u^2 (x_{\ast}-\delta)-u^2 (x') \bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi \in [x', x_{\ast}-\delta]$. Подставляя полученный результат в (5.3), получаем
$$
\begin{equation*}
u'^2=A^2-2 \int_0^{x'} a (s) u(s) u'(s)\, ds+a (\xi) u^2 (x')+\lambda u^2-\alpha F(u^2)-a (\xi) u^2(x_{\ast}-\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что интеграл $\displaystyle\int_0^{x'} a (s) u(s) u'(s)\,ds$ и $a (\xi) u^2 (x')$ есть некоторые ограниченные величины; в дальнейшем анализе они не играют роли, поэтому последнее соотношение удобно записать в виде где $\displaystyle C_1=A^2-2 \int_0^{x'} a (s) u(s) u'(s) \,ds+a (\xi) u^2 (x')$.
Подставляя $F(u^2)$ из (3.2) в (5.4), получаем
$$
\begin{equation*}
u'^2=C_1+\lambda u^2-\frac{\alpha}{q+1} u^{2q+2}-F_1(u^2)-a (\xi) u^2.
\end{equation*}
\notag
$$
При уменьшении $\delta$ величина $|u|=|u(x_{\ast}-\delta)|$ неограниченно возрастает. В последнем уравнении быстрее растет слагаемое $\frac{\alpha}{q+1} u^{2q+2}$, поэтому начиная с некоторого $x=x_{\ast}-\delta'$ правая часть уравнения станет отрицательна, в то время как левая положительна. Полученное противоречие показывает, что предположение о неограниченности $u$ неверно и в случае $\lambda>0$.
Из проведенных рассуждений следует, что правая часть выражения (5.2) остается ограниченной, отсюда следует, что и величина $u'$ остается ограниченной. Итак, функция $u$ определена, непрерывна и ограниченна при $x \in [0, x_{\ast})$ и любом фиксированном $\lambda \in \mathbb R$. В проведенных рассуждениях $x=x_\ast$ является произвольной точкой, поэтому можно взять $x_\ast=x^\ast$. Поскольку правая часть уравнения (1.2) непрерывна по $x \in \overline{\mathrm I}^\ast$, $u \in \mathbb R$, $\alpha \in \mathbb R_+$ и $\lambda \in \mathbb R$, то решение $u$ задачи Коши (1.2), (1.7) единственно и непрерывно зависит от $x$ и параметров $\lambda$, $\alpha$ при $(x, \lambda, \alpha) \in \overline{\mathrm I}^\ast \times \mathbb R \times \mathbb R_+$. Предложение 3 доказано. Доказательство предложения 4. Пусть $u$ имеет $n \geqslant 0$ нулей $x_1, \dots,x_n \in (0, x^\ast)$; тогда $\eta(x)$ имеет $n+1$ точек разрыва $x_0, x_1, \dots, x_n$, где $x_0=0$, причем все они являются точками разрыва второго рода.
Интегрируя уравнение $\eta'=-w_j (\eta; \lambda)$ на каждом из интервалов $\mathrm I_j$ и принимая во внимание формулы (3.7) и (3.9), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 0<x_{i+1}-x_i=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ds}{w_i (s; \lambda)}, \qquad i= 0,\dots, n-1, \\ 0<x^\ast-x_n=\int_{\eta(x^\ast)}^{+\infty} \frac{ds}{w_n (s; \lambda)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Из формул (5.5) следует сходимость всех рассматриваемых несобственных интегралов. Кроме того, формулы (5.5) дают явные выражения для расстояний между нулями функции $u$. Далее, складывая все соотношения (5.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &x_1+x_2-x_1+x_3-x_2+\dots+x_{n-1}-x_{n-2}+x_n-x_{n-1}+x^\ast-x_n \\ &\qquad =\sum_{i=0}^{n-1} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ds}{w_i (s; \lambda)}+ \int_{\eta(x^\ast)}^{+\infty} \frac{ds}{w_n (s; \lambda)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Формула (3.13) тривиально следует из полученного соотношения.
Предложение доказано. Доказательство предложения 5. Функция $\tau \equiv \tau(\eta; \lambda) \geqslant 0$ существует при всех $\lambda \in \mathbb R$ и непрерывно зависит от $(\eta, \lambda) \in \mathbb R \times \mathbb R$. Поскольку функции $w_j (\eta; \lambda)$ строго положительны и непрерывно зависят от $\lambda \in \mathbb R$, то отсюда следует справедливость предложения. Отдельно отметим, что число $n$, как и значение $\eta(x^\ast)$, не является фиксированным в этих рассмотрениях.
Предложение доказано. Доказательство теоремы 1. Поскольку уравнение (3.14) является следствием задачи $\mathcal P$, то всякое собственное значение этой задачи является также и корнем этого уравнения.
Докажем обратное. Пусть $\lambda=\widehat\lambda$ – решение уравнения (3.14) при $n= n'$. Этому решению соответствует решение $u \equiv u(x; \widehat\lambda)$ задачи Коши для уравнения (1.2) с условиями (1.7). Существование единственного непрерывного решения $u(x; \widehat\lambda)$, определенного при $x \in \overline{\mathrm I}$, следует из предложения 3. Используя найденное решение $u$ задачи Коши, построим функции $\tau=u^2$ и $\eta=u'/u$. Ясно, что $ \tau(0; \widehat\lambda)=0$, $\eta(0; \widehat\lambda)=+\infty$. Предположим, что $\eta(1; \widehat\lambda) \,{\ne}\,{-}\infty$. Для определенности пусть $\eta(1; \widehat\lambda)=-\delta>-\infty$. При помощи $\tau$ и $\eta$ построим выражение
$$
\begin{equation*}
\int_{-\delta}^{+\infty} \frac{ds}{w_{ n'} (s; \widehat\lambda)}+ \sum_{j=0}^{n'-1} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ds}{w_j (s; \widehat\lambda)}=1,
\end{equation*}
\notag
$$
аналогичное (3.14). Полученное соотношение есть в точности
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ds}{w_{n'} (s; \widehat\lambda)}- \int_{-\infty}^{-\delta} \frac{ds}{w_{ n'} (s; \widehat\lambda)}+ \sum_{j=0}^{n'-1} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ds}{w_j (s; \widehat\lambda)}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\lambda=\widehat\lambda$ является решением уравнения (3.14) при $n=n'$, то
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ds}{w_{n'} (s; \widehat\lambda)}+\sum_{j=0}^{ n'-1} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ds}{w_j (s; \widehat\lambda)}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислив разность двух последних выражений, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{-\delta} \frac{ds}{w_{ n'} (s; \widehat\lambda)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $w_{ n'} (s; \lambda)>0$, то очевидно, что допущение ${-\delta>-\infty}$ неверно. Стало быть, $-\delta=-\infty$.
По построению функция $u \equiv u(x; \widehat\lambda)$ удовлетворяет первому из условий (1.3). Выполнение условия $\eta(1)=-\infty$ означает, что $u$ удовлетворяет и второму из условий (1.3). Но тогда $u$ является собственной функцией, а $\lambda= \widehat\lambda$ – собственным значением задачи $\mathcal P$. Таким образом, (спектральная) эквивалентность задачи $\mathcal P$ и уравнения (3.14) доказана. Формулы (5.5) дают явные выражения для расстояний между нулями функции $u$, в частности, отсюда получается формула для $i$-го нуля $x_i$ функции $u$. Теорема 1 доказана. Доказательство предложения 6. Представим $T_{j}$ в виде суммы:
$$
\begin{equation*}
T_{j}=\int_{-\infty}^{0} \frac{ds}{w_j (s; \lambda)}+\int_{0}^{+\infty} \frac{ds}{w_j (s; \lambda)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выражая $\eta=s$ из (3.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s=\pm \frac{1}{\sqrt{\tau}} \sqrt{A^2-(a-\lambda) \tau-\alpha F(\tau)+\int_{0}^x a' \tau\, dt }, \\ ds=\pm \frac{\bigl( \alpha F(\tau)-\int_{0}^x a' \tau dt-\alpha f(\tau) \tau-A^2\bigr) \,d \tau}{2 \tau \sqrt{\tau} \sqrt{A^2-(a-\lambda) \tau-\alpha F(\tau)+\int_{0}^x a' \tau\, dt}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пределам интегрирования $s=\pm \infty$ отвечает $\tau=0$, поскольку $s \to+\infty$ и $s \to -\infty$ при $x \to x_{j'}$ и $x \to x_{j'+1}$ соответственно, а $\tau$ обращается в нуль в этих точках. Предел интегрирования, отвечающий $s=0$, определяется как решение уравнения (4.4), где $x=x_{j}^{\ast}$ – такая точка интервала $\mathrm I_{j'}$, в которой $\eta (x_{j}^{\ast})=0$; последнее уравнение получается из представленного выше выражения для $s$ при $s=0$. Объединяя полученные результаты, приходим к формуле (4.3). Предложение доказано. Доказательство предложения 7. Существование, непрерывность и положительность функций $T_j (\lambda)$, в том числе при всех достаточно больших $|\lambda|$, устанавливается предложением 5.
Рассмотрим случай достаточно больших по абсолютному значению отрицательных $\lambda$. Оценить интеграл $T_j(\lambda)$ снизу и сверху можно, заменив величину $\tau$ в $T_j(\lambda)$ большей величиной $\tau^\ast$ и меньшей величиной $\tau_\ast$ соответственно. Величины $\tau^\ast$ и $\tau_\ast$ можно определить из уравнений, которые получаются, если в формуле (3.5) “огрубить” некоторые слагаемые. В частности, $\tau=\tau^\ast$ определяется как решение уравнения
$$
\begin{equation}
(\eta^2+a-\lambda)\tau+\alpha F(\tau)=A^2+\tau_{\max}\int_{0}^x a' (s) \,ds,
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
где $\tau_{\max}=\max u^2$ – максимальное значение функции $\tau$. Это максимальное значение определено формулой (4.8).
Величина $\tau=\tau_\ast$ определяется как решение уравнения Оказывается, что асимптотические представления для $\tau^\ast$ и $\tau_\ast$ в главном члене совпадают, а различаются, начиная со второго слагаемого. Таким образом, получаем
$$
\begin{equation}
\tau^\ast=A^2|\lambda|^{-1}+O(|\lambda|^{-1-r_1}), \qquad \tau_\ast= A^2|\lambda|^{-1}+O(|\lambda|^{-1-r_2}),
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где $r_{1,2}>0$ зависят от свойств $f_1$. Для наших целей этой точности достаточно.
Теперь, подставляя $a^\ast$ вместо $a$, $\tau^\ast$ вместо $\tau$ в интеграл $T_j(\lambda)$ и используя (1.1), получаем оценку снизу для $T_j(\lambda)$. Аналогично, подставляя $a_\ast$ вместо $a$, $\tau_\ast$ вместо $\tau$ в интеграл $T_j(\lambda)$ и используя (1.1), получаем оценку сверху для $T_j(\lambda)$. Заметим, что интегралы, получающиеся в указанных оценках, элементарно вычисляются и в результате дают формулу (4.5). Теперь перейдем к случаю достаточно больших положительных $\lambda$. Можно видеть, что функция $\tau \equiv \tau(\eta; \lambda)$, определяемая формулой (3.5), неограниченна при $\lambda \to+\infty$. “Нормируем” (3.5) так, чтобы избежать появления больших значений $\tau(\eta; \lambda)$. Используя “нормированные” переменные $\tau= \lambda^{1/q}\overline\tau$ и $\eta=\lambda^{1/2}\overline\eta$, перепишем (3.5) в виде
$$
\begin{equation}
\overline C+(1-\overline a-\overline\eta^{\,2})\overline\tau-\alpha \lambda^{-1-1/q} F(\lambda^{2/q}\overline\tau)+\int_{0}^x \overline a' \overline \tau \,dt=0,
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где $\overline a=a\lambda^{-1}$, $\overline C=A^2 \lambda^{-1-1/q}$. Неявная функция $\overline\tau \equiv \overline\tau(\overline\eta; \lambda)$, определяемая уравнением (5.9), положительна и ограниченна для всех возможных значений $\lambda$. Заметим, что $\lim_{\overline\eta \to \pm\infty} \overline\tau(\overline\eta; \lambda)=0$ независимо от $\lambda$.
Используя предложение 6, получаем формулу $T_j=T_{j}^{(1)}+T_{j}^{(2)}$, где
$$
\begin{equation}
T_j^{(1)}=\frac{1}{2 \sqrt{\lambda}} \int_{0}^{\overline\tau_j^{\,\ast}} \frac{d \overline \tau}{\overline v_{j}^{\,(1)} (\overline \tau; \lambda)},
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
$$
\begin{equation}
T_j^{(2)}=\frac{1}{2 \sqrt{\lambda}} \int_{0}^{\overline\tau_j^{\,\ast}} \frac{d \overline \tau}{\overline v_{j}^{\,(2)} (\overline \tau; \lambda)};
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
здесь
$$
\begin{equation*}
\overline v_j^{(r)} (\tau; \lambda)=\sqrt{\overline \tau}\sqrt{\overline C-(\overline a-1) \overline \tau+\int_{0}^x \overline a' \overline \tau \,dt-\alpha \lambda^{-1-1/q} F(\lambda^{2/q}\overline\tau)},
\end{equation*}
\notag
$$
$\overline a=\overline a (x)$, $x=g_{j}^{(r)} (\overline \tau)$, $ g_{j}^{(r)}$ – одно из биективных отображений (4.1), (4.2), $\tau=\overline\tau_j^{\,\ast}$ – (единственный) положительный корень уравнения (5.9) при $\overline\eta=0$, $x=x_j^{\ast}$, $x_j^{\ast}$ – такая точка, в которой $\overline \eta (x_j^{\ast})=0$. Отметим, что $\overline\tau_j^{\,\ast}= \lambda^{-1/q}\tau_j^{\ast}$.
Рассмотрим отдельно $T_j^{(r)}$, например, при $r=1$. Выражение под “большим” радикалом в (5.10) есть не что иное, как левая часть (5.9) при $\overline\eta=0$ и $x= x_j^{\ast}$. Положив $\overline\eta=0$ (и $x=x_j^{\ast}$), используя (3.2) и переходя к пределу при $\lambda \to+\infty$, получаем из (5.9) уравнение
$$
\begin{equation*}
\overline\tau\biggl(1-\frac{\alpha}{q+1} \overline\tau^{\,q}\biggr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
которое имеет не менее двух вещественных корней: $\tau_-^0=0$ и $\tau_+^0= ((q+1)/\alpha)^{1/q}$. Отсюда следует, что уравнение (5.9) при $\overline\eta=0$ и достаточно больших $\lambda$ имеет не менее двух вещественных корней, которые обозначим $\overline\tau_j^{\,-}$ и $\overline\tau_j^{\,+}=\overline\tau_j^{\,\ast}$, где $\overline\tau_j^{\,+}>0$.
Можно показать, что $\lim_{\gamma \to \infty} \overline\tau_j^{\,-}=\tau_-^0$ и $\lim_{\gamma \to \infty} \overline\tau_j^{\,+}=\tau_+^0$. Однако корень $\overline \tau_j^{\,-}$ может быть отрицательным, в этом случае предполагаем, что $\overline \tau_j^{\,-}$ – наибольший из отрицательных корней. Поскольку $\tau=u^2$, то отрицательные значения $\tau$ отвечают чисто мнимым значениям $u$. Для использования отрицательных $\tau$ ниже мы продолжим выражение (5.9) в область $\overline\tau<0$. Найдем асимптотические выражения для $\overline\tau_j^{\,-}$ и $\overline\tau_j^{\,+}$ при больших $\lambda$. Величины $\tau_-^0$ и $\tau_+^0$ являются первыми приближениями к $\overline\tau_j^{\,-}$ и $\overline\tau_j^{\,+}$ соответственно. Используя (3.2), перепишем равенство (5.9) в виде
$$
\begin{equation*}
(\overline\eta^{\,2}+\overline a -1)\overline\tau=\overline C-\frac{\alpha}{q+1}|\overline\tau|^{q}\overline\tau-\lambda^{-1- 1/q} F_1(\lambda^{1/q}\overline\tau)-\int_0^{x} \overline a' \overline \tau \,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Для продолжения правой части полученного равенства в область отрицательных значений $\overline\tau$ использован знак модуля. Поскольку в интеграле $T_j^{(1)}$ переменная интегрирования неотрицательна, то знак модуля не влияет на вычисления при $\overline\tau \geqslant 0$, но позволяет корректно использовать значение $\overline\tau_j^{\,-}$. Имея в виду формулу (3.1), ясно, что использованное продолжение является естественным.
Используя (5.9) при $\overline\eta=0$ и найденные приближения, получаем
$$
\begin{equation*}
\overline\tau_j^{\,-}=-A^2 \lambda^{-1-1/q}+O(\lambda^{-r_-}), \qquad \overline\tau_j^{\,\ast}=\biggl(\frac{q+1}{\alpha}\biggr)^{1/q}+O(\lambda^{-r_+}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $r_->1+q^{-1}$, $r_+>0$ зависят от свойств $F_1$. В общем случае, когда $a$ не является постоянной, $\overline\tau_j^{\,\pm}$ различны при разных $j$. Однако, как станет ясно далее, вид $a$ не влияет на главный член асимптотической оценки; для удобства будем в дальнейшем опускать индекс $j$ у полученных корней и просто писать $\overline \tau_-$, $\overline \tau_+$.
Ясно, что “большой” радикал в (5.10) обращается в нуль при $\overline\tau=\overline\tau_-$ и ${\overline\tau=\overline\tau_+}$; при этом $\overline\tau_- \to 0$, когда $\lambda \to+\infty$. Другими словами, при $\lambda \to+\infty$ в (5.10) получаем логарифмическую особенность в окрестности точки $\overline\tau=0$. Выражение под “большим” радикалом в (5.10) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\overline C+(1-\overline a)\overline\tau-\alpha\lambda^{-1-1/q} F(\lambda^{1/q}\overline\tau)+ \int_0^{x} \overline a' \overline \tau\, dt=(\overline\tau-\overline\tau_-) f_0(\overline\tau),
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
где $f_0(\overline\tau_+)=0$ и $\lim_{\lambda \to+\infty} f_0(\overline\tau)=1-(\alpha/(q+1)) |\overline\tau|^q$. Пусть $g(\overline\tau)={1}/{\sqrt{f_0(\overline\tau)}}$, тогда формулу (5.10) можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
T_j^{(1)}=\frac{1}{2 \sqrt{\lambda}} \int_{0}^{\overline\tau_j^{\,\ast}} \frac{g(\overline\tau)\,d\overline\tau}{\sqrt{\overline\tau(\overline\tau-\overline\tau_-)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $g_0(\overline\tau)={1}/{\sqrt{\lim_{\lambda \to+\infty}f_0(\overline\tau)}}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag T_j^{(1)} &=\frac{1}{2 \sqrt{\lambda}} \int_{0}^{\overline\tau_j^{\,\ast}} \frac{g(\overline\tau)\,d\overline\tau}{\sqrt{\overline\tau(\overline\tau-\overline\tau_-)}} \\ &=\frac{1}{2 \sqrt{\lambda}} \int_{0}^{\overline\tau_j^{\,\ast}} \frac{g(\overline\tau)- g_0(\overline\tau_-)}{\sqrt{\overline\tau(\overline\tau-\overline\tau_-)}}\,d\overline\tau+\frac{g_0(\overline\tau_-)}{2 \sqrt{\lambda}} \int_{0}^{\overline\tau_j^{\,\ast}} \frac{d\overline\tau}{\sqrt{\overline\tau(\overline\tau- \overline\tau_-)}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Первое слагаемое в правой части (5.13) оценивается так:
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\overline\tau_+} \frac{g(\overline\tau)-g_0(\overline\tau_-)}{\sqrt{\overline\tau(\overline\tau- \overline\tau_-)}}\,d\overline\tau=\lim_{\lambda \to+\infty} \int_{0}^{\overline\tau_+} \frac{g(\overline\tau)-g_0(\overline\tau_-)} {\sqrt{\overline\tau(\overline\tau-\overline\tau_-)}}\,d\overline\tau+ O(\lambda^{-r_1}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $r_1>0$. Далее, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{\lambda \to+\infty} \int_{0}^{\overline\tau_+} \frac{g(\overline\tau)- g_0(\overline\tau_-)}{\sqrt{\overline\tau(\overline\tau-\overline\tau_-)}}\,d\overline\tau &= \int_{0}^{((q+1)/\alpha)^{1/q}} \biggl(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{q+1}\, \overline\tau^{\,q}}}-1\biggr)\,\frac{d\overline\tau}{\overline\tau} \\ &=\int_{0}^{((q+1)/\alpha)^{1/q}} \frac{\frac{\alpha}{q+1}\, \overline\tau^{\,q-1}}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{q+1}\, \overline\tau^{\,q}} \biggl(1+\sqrt{1-\frac{\alpha}{q+1}\, \overline\tau^{\,q}} \biggr)} \,d\overline\tau \\ &=\frac 2q \int_{0}^{1} \frac{dv}{1+v}=\frac{2\ln2}{q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Второе слагаемое в правой части (5.13) вычисляется точно и дает
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\overline\tau_+} \frac{d\overline\tau}{\sqrt{\overline\tau(\overline\tau-\overline\tau_-)}}=2 \ln\bigl(\sqrt{\overline\tau_+}+\sqrt{\overline\tau_+-\overline\tau_-}\bigr)-2\ln\sqrt{-\overline\tau_-}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, используя формулы для $\overline\tau_-$ и $\overline\tau_+$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \ln\bigl(\sqrt{\overline\tau_+}+\sqrt{\overline\tau_+-\overline\tau_-}\bigr) &=\ln2+ \frac{1}{2q}\ln\frac{q+1}{\alpha} +O(\lambda^{-\delta}),\\ \ln\sqrt{-\overline\tau_-} &=-\frac{1}{2}\biggl(1+\frac{1}{q}\biggr) \ln\lambda+\ln A+ O(\lambda^{-r_-+1+1/q}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta=\min\{r_+, 1+q^{-1}\}$. Используя (5.12), получаем
$$
\begin{equation*}
g_0(\overline\tau_-)=\frac{1}{\sqrt{1-\alpha |\overline\tau_-|^q}}=1+O(\lambda^{-1-q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя результаты, получаем
$$
\begin{equation*}
T_j^{(1)}=\frac{1}{2}\biggl( 1+\frac{1}{q} \biggr) \frac{\ln \lambda}{\sqrt{\lambda}}+O(\lambda^{-1/2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $T_j^{(2)}$ справедлива такая же оценка. Отсюда следует формула (4.6).
Предложение 7 доказано. Доказательство теоремы 2. Из неравенств (4.5) ясно, что $T_j(\lambda) \to 0$ при $\lambda \to -\infty$; это верно для всех $1 \leqslant j \leqslant n$. Отсюда следует существование целого числа $m_0 \geqslant 0$ такого, что уравнение (3.14) имеет по крайней мере одно решение $\widehat\lambda_n$ для каждого $n=m_0, m_0+1,\dots$; при этом ясно, что $\lim_{i\to \infty} \widehat\lambda_i=-\infty$. Таким образом, задача $\mathcal P$ имеет бесконечно много отрицательных собственных значений $\widehat\lambda_i$.
Неравенства (4.7) следуют из формулы (3.14) и оценок (4.5). Оценку для $\max_{x\in[0,1]} u^2(x; \widehat\lambda)$ можно получить следующим образом. Если $u(x; \widehat\lambda)$ имеет более одного нуля внутри $(0, 1)$, то найдется точка $z \in (0, 1)$ такая, что $u'(z)=0$. Искомый максимум равен $u^2(z)$. Положив $u'=0$ в (3.1), получаем
$$
\begin{equation}
(a-\lambda) u^2+\alpha F(u^2)-\int_{0}^z a' (s) u^2 (s) \,ds=A^2.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Можно показать, что при отрицательных $\lambda$, больших по абсолютному значению, искомый максимум $u^2(z)$ нужно искать в виде $u^2=|\lambda|^p c+O(|\lambda|^{p_1})$, где $p$, $p_1$, $c$ – пока не известные постоянные и $p_1<p$. Подставляя указанное представление для $u^2$ в выражение (5.14), используя (3.2) и приравнивая степени у ведущих слагаемых, получаем, что $p=-1$, $c=A^2$. Вычисляя степень слагаемого, следующего после максимального, получаем, что $p_1=-1-\delta$, где $\delta>0$ зависит от свойств $f_1$. Отсюда следует формула (4.8). Теорема 2 доказана. Доказательство теоремы 3. Из формулы (4.6) ясно, что $T_j(\lambda) \to 0$ при $\lambda \to+\infty$; это верно для всех $1 \leqslant j \leqslant n$. Отсюда следует существование целого числа $n_0 \geqslant 0$ такого, что уравнение (3.14) имеет по крайней мере одно решение $\widehat\lambda_n$ для каждого $n=n_0, n_0+1,\dots$; при этом ясно, что $\lim_{i\to \infty} |\widehat\lambda_i|=+\infty$. Таким образом, задача $\mathcal P$ имеет бесконечно много положительных собственных значений $\widehat\lambda_i$.
Из формулы (4.6) видно, что главный член асимптотического разложения не зависит от $\alpha$ и, следовательно, для любого $\alpha>0$ существует бесконечное число положительных собственных значений задачи $\mathcal P$. Кроме этого, задача $\mathcal P_0$ может иметь лишь конечное число положительных собственных значений. Отсюда получаем, что бесконечное число положительных собственных значений задачи $\mathcal P$ не стремится к каким-либо собственным значениям задачи $\mathcal P_0$ даже при $\alpha \to+0$. Неравенства (4.9) следует из формул (3.14) и (4.6). Оценку для $\max_{x\in[0,1]}u^2(x; \widehat\lambda)$ будем искать таким же способом, как и при доказательстве теоремы 2. Предполагая, что точка $z \in (0,1)$ такова, что ${u'(z)= 0}$, получаем, что искомый максимум равен $u^2(z)$, где $u^2(z)$ удовлетворяет соотношению (5.14). Можно показать, что при достаточно больших $\lambda$ искомый максимум $u^2(z)$ нужно искать в виде $u^2=|\lambda|^p c+O(|\lambda|^{p_1})$, где $p$, $p_1$, $c$ – пока не известные постоянные и $p_1<p$. Подставляя указанное представление для $u^2$ в выражение (5.14), используя (3.2) и приравнивая степени ведущих слагаемых, получаем
$$
\begin{equation*}
p=\frac{1}{q}, \qquad c=\biggl(\frac{q+1}{\alpha}\biggr)^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя степень слагаемого, следующего после максимального, получаем, что $p_1=1/q-\delta$, где $\delta>0$ зависит от свойств $f_1$. Отсюда следует формула (4.10).
Теорема 3 доказана. Доказательство теоремы 4. Используя формулу (4.7) для задач $\mathcal P_1$ и $\mathcal P_2$ и неравенство (4.12), получаем Из полученного неравенства следует основное предложение.
Теорема доказана. Доказательство теоремы 5. Используя формулу (4.6) для задач $\mathcal P_1$ и $\mathcal P_2$, получаем где $j=1,2$ и предполагается, что $\lambda>0$ достаточно велико. Отсюда ясно, что если $q_1< q_2$, то $T_1>T_2$ для достаточно больших $\lambda$ и, следовательно, $\widehat\lambda^{(1)}_{i}>\widehat\lambda^{(2)}_{i}$.
Теорема доказана. Доказательство предложения 8. Рассмотрим уравнение (4.17). Его левая часть зависит от $\alpha$ и, как можно показать, стремится к нулю, когда $\alpha \to+0$ при условии, что $\lambda \in \Lambda$, где $\Lambda$ – наперед заданное ограниченное множество. Это следует из того, что для используемых решений задач Коши имеет место свойство
когда $\lambda \in \Lambda$. Правая часть уравнения (4.17) от $\alpha$ не зависит и обращается в нуль при $\lambda=\widetilde\lambda$ (т.е. на собственных значениях задачи $\mathcal P_0$). В силу того, что собственные значения $\widetilde\lambda$ задачи $\mathcal P_0$ являются простыми (см. предложение 1), и принимая во внимание эквивалентность уравнения $v(1; \lambda)=0$ задаче $\mathcal P_0$, получаем, что всякое собственное значение $\widetilde\lambda$ задачи $\mathcal P_0$ можно окружить окрестностью $U_{\delta}= [\widetilde\lambda-\delta, \widetilde\lambda+\delta]$, которая не содержит других собственных значений этой задачи и такая, что на противоположных концах отрезка $U_{\delta}$ функция $\Phi_0(\lambda; n)$ принимает значения разных знаков. Далее, принимая во внимание непрерывность левой части и правой частей уравнения (4.17) по $\lambda$, из классического результата анализа следует, что в окрестности нуля правой части обязательно найдется нуль уравнения (4.17), как только $|\alpha|$ будет достаточно мало. Ясно, что упомянутую окрестность можно выбрать тем меньшего диаметра, чем ближе $\alpha$ к нулю. Из этого рассуждения следует справедливость указанного в предложении предельного перехода. Предложение доказано. Доказательство предложения 9. Преобразуем разность, стоящую в левой части уравнения (4.19), следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Phi_0(\lambda; n)-\Phi_{\alpha}(\lambda; n)&=\sum_{j=0}^n (\widetilde T_j(\lambda)- T_j(\lambda)) \\ \notag &=\sum_{j=0}^n \biggl(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{ds}{s^2+a-\lambda}- \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{ds}{s^2+a-\lambda+\alpha f(\tau)}\biggr) \\ \notag &=\sum_{j=0}^n \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{a(\widetilde g_j(s))- a(g_j(s))+\alpha f(\tau)}{(s^2+a-\lambda)\bigl(s^2+a-\lambda+\alpha f(\tau)\bigr)}\,ds \\ \notag &\leqslant \sum_{j=0}^n \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{a(\widetilde g_j(s))- a(g_j(s))+\alpha f(\tau)}{(s^2+a-\lambda)^2}\,ds \\ &\leqslant (a^\ast-a_\ast+\alpha f(t)|_{t=\max \tau})\sum_{j=0}^n \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{ds}{(s^2+a-\lambda)^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Для всякого фиксированного $\lambda$ величина $f(t)|_{t=\max \tau}$ остается ограниченной, а при условии $a-\lambda>0$ интегралы сходятся. Проанализируем правую часть формулы (5.15). При достаточно больших по абсолютному значению отрицательных $\lambda$ имеем $\max \tau=A^2|\lambda|^{-1}+ O(|\lambda|^{-1-\delta})$, где $\delta>0$; см. формулу (4.8). Если использовать оценку $a \geqslant a_\ast$, то несобственный интеграл в правой части формулы (5.15) вычисляется элементарно. Таким образом, формула (5.15) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Phi_0(\lambda; n)-\Phi_{\alpha}(\lambda; n) &\leqslant \frac{a^\ast-a_\ast+\alpha \bigl(A^2 |\lambda|^{-1}+O(|\lambda|^{-1-\delta})\bigr)}{2(|\lambda|+a_\ast)^{3/2}}\pi(n+1) \\ &\leqslant \frac{(a^\ast-a_\ast)\pi(n+1)}{2(|\lambda|+a_\ast)^{3/2}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
где $\delta>0$.
Из оценки (5.16) следует, что разность $\Phi_0(\lambda; n)- \Phi_{\alpha}(\lambda; n)$ уменьшается при возрастании $\lambda$ и возрастает вместе с ростом $n$. Здесь важно, что $n$ и $\lambda$ не могут меняться независимо: при росте $n$ растет и $\lambda$. Поскольку мы ищем решение уравнения (4.19) в окрестности решений $\widetilde\lambda$ задачи $\mathcal P_0$, то можно в правую часть формулы (5.16) подставить оценку $\widetilde\lambda_n=-\pi^2n^2+O(1)$, которая следует из неравенств (4.15). Подставляя $\widetilde\lambda_n=-\pi^2n^2+O(1)$ вместо $\lambda$ в правую часть формулы (5.16), получаем
$$
\begin{equation}
\Phi_0(\lambda; n)-\Phi_{\alpha}(\lambda; n)=O^\ast((n+1)^{-2}),
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
где коэффициент перед главным членом разложения есть $(a^\ast-a_\ast)/(2\pi^2)$.
Из полученной формулы следует, что исследуемая разность начиная с некоторого $\lambda= \lambda_0$ (возможно, достаточно большого по абсолютному значению) становится меньше любой наперед заданной величины (независимо от $\alpha$). Но тогда, используя ту же аргументацию, что и в доказательстве предложения 8, получаем, что уравнение (4.19) будет иметь по крайней мере одно решение $\widehat\lambda$ в окрестности всякого решения $\widetilde\lambda<-\lambda_0$. Другими словами, в окрестности каждого нуля $\lambda=\widetilde\lambda \in (-\infty, -\lambda_0)$ (которых бесконечное число) правой части (4.19) найдется по крайней мере одно решение $\widehat\lambda$ задачи $\mathcal P$. При этом $\alpha>0$ можно выбрать одним и тем же для всех (бесконечного числа) решений. Ясно, что каждая из упомянутых окрестностей тем меньше, чем больше $\lambda$. Из этого рассуждения следует справедливость указанного в предложении предельного перехода. Предложение 9 доказано. БлагодарностьАвторы благодарят анонимных рецензентов за полезные комментарии. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ValTik24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|