| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О квазиобщих накрытиях проективной плоскости Вик. С. Куликов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9894e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеПусть $S$ – неособая неприводимая проективная поверхность, определенная над полем комплексных чисел $\mathbb C$, и пусть $f\colon S\to\mathbb P^2$ – конечный морфизм на проективную плоскость $\mathbb P^2$, разветвленный над неприводимой кривой $B_f\subset\mathbb P^2$. Морфизм $f$ индуцирует гомоморфизм монодромии $f_*\colon \pi_1(\mathbb P^2\setminus B_f,q)\to \mathbb S_{\operatorname{deg} f}$ в симметрическую группу $\mathbb S_{\operatorname{deg} f}$, действующую на слое $f^{-1}(q)=\{ q_1,\dots,q_{\operatorname{deg} f}\}$. Его образ $G_f:=f_*(\pi_1(\mathbb P^2\setminus B_f,q))\subset \mathbb S_{\operatorname{deg} f}$ называется группой монодромии морфизма $f$. Пусть $\gamma$ – так называемый геометрический порождающий элемент фундаментальной группы $\pi_1(\mathbb P^2\setminus B_f,q)$, т.е. элемент, представленный простой петлей вокруг кривой $B_f$ вблизи ее неособой точки $p\in B_f$. Обозначим через $\overline{r}_f=(r_1,\dots ,r_k)$ цикловой тип перестановки $f_*(\gamma)$, т.е. набор длин нетривиальных циклов, входящих в разложение перестановки $f^*(\gamma)$ в произведение непересекающихся циклов. Набор $\overline r_f$ целых чисел $r_j\geqslant 2$, $j=1,\dots,k$, называется данными ветвления морфизма $f$. Пусть $p$ – точка кривой $B_f\subset \mathbb P^2$. Хорошо известно, что группа $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B_f,p):=\pi_1(V_p\setminus B_f)$ не зависит от $V_p$, если $V_p\subset \mathbb P^2$ – это достаточно маленькая комплексно аналитическая окрестность точки $p$, биголоморфная шару радиуса $r\ll 1$ с центром в точке $p$. Образ $G_{f,p}:=\operatorname{im} f_{p*}:=\operatorname{im} f_*\circ \iota_*$ называется локальной группой монодромии морфизма $f$ в точке $p$, где $\iota_*\colon \pi_1^{\mathrm{loc}}(B_f,p)=\pi_1(V_p\setminus B_f,\widetilde q)\to \pi_1(\mathbb P^2\setminus B_f,q)$ – гомоморфизм, определенный однозначно с точностью до сопряжения в $\pi_1(\mathbb P^2\setminus B_f,q)$ вложением $\iota\colon V_p\hookrightarrow \mathbb P^2$. Набор
$$
\begin{equation*}
\mathcal G_f=\{ f_{p*}\colon \pi_1^{\mathrm{loc}}(B_f,p)\to G_{f,p} \mid p\in \operatorname{Sing} B_f\}
\end{equation*}
\notag
$$
гомоморфизмов $f_{p*}\colon \pi_1^{\mathrm{loc}}(B_f,p)\to G_{f,p}$, рассматриваемых с точностью до внутренних автоморфизмов групп $G_{f,p}$, называется данными локальных монодромий 1 морфизма $f$ и тройка $\mathrm{pas}(f)=(B_f,\overline r_f,\mathcal G_f)$ называется паспортом морфизма $f$. Скажем, что два конечных морфизма $f_i\colon S_i\to \mathbb P^2$, $i=1,2$, эквивалентны, если существует изоморфизм $\varphi\colon S_1\to S_2$ такой, что $f_1=f_2\circ\varphi$. Обозначим через $\mathcal F_{\overline r}$ множество конечных морфизмов $f\colon S\to\mathbb P^2$ гладких неприводимых поверхностей $S$ таких, что $\overline r_f=\overline r$. В [14] было определено понятие теоремы Кизини. В настоящей статье мы слегка изменим это определение. А именно, утверждение называется теоремой Кизини для морфизмов, принадлежащих подмножеству $\mathcal M$ множества $\mathcal F_{\overline r}$, если в нем утверждается, что существует константа $\mathfrak{d}=\mathfrak{d}(\mathcal M)\in\mathbb N$ такая, что если морфизмы $f_1$ и $f_2\in \mathcal M$ удовлетворяют условиям $\mathrm{pas}(f_1)=\mathrm{pas}(f_2)$ и $\max(\operatorname{deg} f_1,\operatorname{deg} f_2)\geqslant \mathfrak{d}$, то $f_1$ и $f_2$ являются эквивалентными морфизмами. Например, конечный морфизм $f\colon S\to\mathbb P^2$ неособой неприводимой поверхности $S$ называется общим накрытием проективной плоскости, если он удовлетворяет следующим условиям: (i) кривая ветвления (внизу) $B_f\subset\mathbb P^2$ морфизма $f$ неприводима, (ii) морфизм $f$ разветвлен с кратностью $2$ в общей точке кривой ветвления (вверху) $R_f\subset S$, (iii) $f_{\mid R_f}\colon R_f\to B_f$ является бирациональным морфизмом, (iv) особые точки кривой $B_f$ – это только обыкновенные ноуды и обыкновенные каспы. Отметим, что если поверхность $S$ вложена в проективное пространство $\mathbb P^n$, то, как хорошо известно (см., например, [3]), ограничение $f:=\operatorname{pr}_{\mid S}\colon S\to \mathbb P^2$ на $S$ линейной проекции $\operatorname{pr}\colon \mathbb P^n\to\mathbb P^2$, общей по отношению к вложению $S\subset\mathbb P^n$, является общим накрытием. Гипотеза Кизини (см. [2]) утверждает, что теорема Кизини с константой $\mathfrak{d}=5$ верна для множества $\mathcal F_{(2), G}\subset\mathcal F_{(2)}$ общих накрытий проективной плоскости2. Отметим (см., например, [6]), что существуют примеры неэквивалентных общих накрытий проективной плоскости, которые имеют один и тот же паспорт и степени которых $\leqslant 4$. Гипотеза Кизини была доказана в [8] для общих линейных проекций, и, используя результаты статьи [5], в [15] была доказана следующая Теорема 1. Теорема Кизини с константой $\mathfrak d=12$ верна для общих накрытий проективной плоскости. Конечный морфизм $f\colon S\to\mathbb P^2$ неособой неприводимой поверхности $S$ называется почти общим накрытием проективной плоскости, если он удовлетворяет условиям (i)–(iii) и следующему условию: (iv$'$) для каждой точки $p\in \mathbb P^2$ слой $f^{-1}(p)$ состоит из не менее $\operatorname{deg} f-2$ различных точек. В [14] была доказана следующая Теорема 2. Теорема Кизини с константой $\mathfrak d=12$ верна для почти общих накрытий проективной плоскости. В частности, если $f_1\colon S_1\to\mathbb P^2$ и $f_2\colon S_2\to\mathbb P^2$ – два почти общих накрытия проективной плоскости, $\max(\operatorname{deg} f_1,\operatorname{deg}, f_2)\geqslant 12$, разветвленных в одной и той же кривой $B\subset\mathbb P^2$, которая не имеет особых точек сингулярных типов $A_{6k-1}$, $k\in\mathbb N$, то накрытия $f_1$ и $f_2$ являются эквивалентными. Отметим, что если мы удалим условие (iii) в определении общих накрытий, то теорема, аналогичная теореме 1, уже не будет иметь место. Например, можно показать, что если $S$ – абелева поверхность с кольцом эндоморфизмов $\mathbb{Z}$, то для каждого простого числа $n$ существуют $(n^{4}-1)/(n-1)$ конечных этальных циклических накрытий $f_i\colon S_i\to S$ степени $n$ таких, что поверхности $S_{i_1}$ и $S_{i_2}$ не изоморфны при $i_1\neq i_2$. Поэтому если $f_0\colon S\to \mathbb P^2$ – общая проекция на плоскость, то для каждого простого числа $n$ существуют по крайней мере $(n^{4}- 1)/(n-1)$ неэквивалентных конечных морфизмов $\widetilde f_i=f_0\circ f_i\colon S_i\to\mathbb P^2$ степени $n\operatorname{deg} f_0$, удовлетворяющих условиям (i), (ii) и (iv) и имеющих один и тот же паспорт. Пусть $V_p\subset \mathbb P^2$ – достаточно малая односвязная окрестность точки $p\in B_f$ такая, что $\pi_1(V_p\setminus B_f,p)=\pi_1^{\mathrm{loc}}(B_f,p)$, и пусть $U_{p,j}\subset f^{-1}(V_p)\subset S$ – связная окрестность точки $p_j\in f^{-1}(p)$. Назовем ростком накрытия $f$ в точке $p_j$ ограничение $f_{\mid U_{p,j}}\colon U_{p,j}\to V_p$ накрытия $f$ на окрестность $U_{p,j}$ и назовем $f_{\mid U_{p,j}}$ нетривиальным ростком, если $\operatorname{deg} f_{\mid U_{p,j}}\geqslant 2$. Обозначим через $(B_j,p)\subset (B_f,p)\subset V_p$ росток кривой ветвления (внизу) нетривиального ростка $f_{\mid U_{p,j}}\colon U_{p,j}\to V_p$. Определение 1. Назовем конечный морфизм $f\in \mathcal F_{(2)}$ квазиобщим накрытием, если он удовлетворяет условиям (i)–(iii) и следующему условию: (IV) для каждой точки $p\in B_f$ и для каждого нетривиального ростка $f_{\mid U_{p,j}}$: $U_{p,j}\to V_p$ морфизма $f$ в точке $p_j\in f^{-1}(p)\cap U_{p,j}$ степень $\operatorname{deg} f_{\mid U_{p,j}}$ отображения $f_{\mid U_{p,j}}$ равна $\mu_p(B_j)+1$, где $\mu_p(B_j)$ – кратность в точке $p$ ростка кривой ветвления $(B_j,p)\subset (B_f,p)$ ростка $f_{\mid U_{p_j}}$. Обозначим через $\mathcal F_{(2),Q}$ подмножество множества $\mathcal F_{(2)}$, состоящее из квазиобщих накрытий. В п. 2.3.3 (см. определение 3 определено подмножество $\mathcal F_{(2),E}$ множества $\mathcal F_{(2),Q}$, элементы которого называются экстраквазиобщими накрытиями и цель настоящей статьи – доказать следующие теоремы. Теорема 3. Теорема Кизини с константой $\mathfrak d=12$ верна для экстраквазиобщих накрытий проективной плоскости. Теорема 4. Если для каждой точки $p\in \operatorname{Sing} B_f$ тип сингулярности ростка кривой ветвления $(B_j,p)\subset (B_f,p)$ каждого нетривиального ростка $f_{\mid U_{p_j}}$: $U_{p_j}\to V_p$ в точке $p_j$ накрытия $f\in \mathcal F_{(2)}$ является одним из $\mathrm{ADE}$-типов, то $f$ принадлежит множеству $\mathcal F_{(2),E}$ и в этом случае тип сингулярности ростка $(B_j,p)$ – либо $A_0$ (т.е. $(B_j,p)$ – неособый в точке $p$ росток), либо $A_{3n-1}$ при некотором $n\geqslant 1$, либо $E_6$. Обозначим через $\mathcal F_{(2),\mathrm{ADE}}$ подмножество множества $\mathcal F_{(2)}$, состоящее из накрытий $f\colon S\to\mathbb P^2$, разветвленных в кривых $B_f$, имеющих особые точки только $\mathrm{ADE}$-типа. Следствие 1. Теорема Кизини с константой $\mathfrak d=12$ верна для накрытий, принадлежащих множеству $F_{(2),\mathrm{ADE}}$. Кривая ветвления $B_f$ накрытия $f\in \mathcal F_{(2),\mathrm{ADE}}$ может иметь особые точки только следующих типов сингулярности: $A_{n}$, $D_{3n+2}$, $n\in\mathbb N$, $E_6$ и $E_7$. Если $\max(\operatorname{deg} f_1,\operatorname{deg}, f_2)\geqslant 12$ для накрытий $f_1$ и $f_2\in\mathcal F_{(2),\mathrm{ADE}}$, разветвленных в одной и той же кривой $B\subset\mathbb P^2$, то накрытия $f_1$ и $f_2$ эквивалентны, если $B$ не имеет особых точек сингулярного типа $A_{6n-1}$ и $D_{6n+2}$, $n\geqslant 1$. В [9] было введено понятие так называемых дуализирующих накрытий плоскости, ассоциированных с плоскими кривыми. Множество $\mathcal F_{(2),D_g}$ дуализирующих накрытий, ассоциированных с неприводимыми проективными кривыми $C$ рода $g$, погруженных в проективную плоскость, является подмножеством множества $\mathcal F_{(2)}$. В § 5 доказывается Теорема 5. Пусть $\iota\colon C\hookrightarrow \widehat{\mathbb P}^2$ – погружение неприводимой проективной кривой $C$ рода $g$ и $f_{\iota(C)}\colon X_{\iota(C)}\to \mathbb P^2$ – дуализирующее накрытие плоскости, ассоциированное с кривой $\iota(C)$, и пусть накрытие $f\colon X\to \mathbb P^2$ принадлежит множеству $\mathcal F_{(2)}$. Если $\mathrm{pas}(f)=\mathrm{pas}(f_{\iota(C)})$, то накрытия $f$ и $f_{\iota(C)}$ эквивалентны, если либо $g\geqslant 1$ и $\operatorname{deg} \iota(C)\geqslant 8$, либо $g=0$ и $\operatorname{deg} \iota(C)\geqslant 12$. Основные шаги доказательства теоремы 3 совпадают с шагами доказательства теоремы 2 в [14]. В §§ 1 и 2 исследуются свойства квазиобщих накрытий и свойства расслоенного произведения двух неэквивалентных квазиобщих накрытий, разветвленных в одной и той же кривой. В § 3, применяя результаты, полученные в §§ 1 и 2, а также используя теорему Ходжа об индексе и неравенство Богомолова–Мияоки–Яу, завершается доказательство теоремы 3. В § 4 приведено доказательство теоремы 4 и следствия 1. § 1. Свойства накрытий, принадлежащих множеству $\mathcal F_{(2)}$Обозначим через $B\subset \mathbb P^2$ кривую ветвления (внизу) и через $R\subset S$ кривую ветвления (вверху) накрытия $\{ f\colon S\to\mathbb P^2\} \in \mathcal F_{(2)}$, $\operatorname{deg} f=N$, и пусть $f^{-1}(B)=R\cup C$, где $C\subset S$ – это дополнительная к кривой $R$ кривая в собственном прообразе $f^{-1}(B)$ кривой ветвления $B$. Из условия (ii) следует, что образ дивизора $B\in \operatorname{Pic} \mathbb P^2$ при гомоморфизме $f^*\colon \operatorname{Pic} \mathbb P^2\to \operatorname{Pic} S$ равен $f^*(B)=2R+C\in \operatorname{Pic} S$. 1.1. Группы монодромии накрытий, принадлежащих множеству $\mathcal F_{(2)}$Лемма 1. Группа монодромии $G_f\subseteq \mathbb S_N$ накрытия $f\in \mathcal F_{(2)}$ совпадает с $\mathbb S_{N}$. Доказательство. Группа $\pi_1(\mathbb P^2\setminus B,q)$ порождается геометрическими порождающими. Из условий (ii) и (iii) следует, что для геометрической порождающей $\gamma\in\pi_1(\mathbb P^2\setminus B,q)$ ее образ $f_*(\gamma)\in \mathbb S_N$ является транспозицией. Поэтому группа $G_f\subset\mathbb S_N$ порождается транспозициями, и она действует транзитивно на слое $f^{-1}(q)$, так как $S$ – неприводимая поверхность. Следовательно, $G_f=\mathbb S_N$. Лемма доказана. 1.2. Локальные свойства накрытий, принадлежащих множеству $\mathcal F_{(2)}$1.2.1.Через $\mathbb S_m\subset \mathbb S_N$, $m\leqslant N$, будем обозначать подгруппу симметрической группы $\mathbb S_N$, порожденную несколькими транспозициями группы $\mathbb S_N$, сопряженными друг другу в группе $\mathbb S_m$. Обозначим через $V_p\subset \mathbb P^2$ достаточно малую окрестность точки $p\in B$ такую, что $\pi_1(V_p\setminus B,q)=\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,p)$, и пусть $\mu_p(B)$ – это кратность кривой $B$ в точке $p$. Лемма 2. Для точки $p\in B$ локальная группа монодромии $G_{f,p}\subset \mathbb S_N$ накрытия $f\in\mathcal F_{(2)}$, $\operatorname{deg} f=N$, разветвленного в кривой $B\subset \mathbb P^2$, имеет следующий вид: где $m_{p,j}\geqslant 2$ при $1\leqslant j\leqslant k_p$, $m_{p,j}=1$ при $j>k_p$ и – это число орбит действия группы $G_{f,p}$ на множестве $f^{-1}(q)=\{ q_1,\dots, q_N\}$. Доказательство. Согласно теореме Зариского–ван Кампена (см., например, [7]), группа $\pi_1^{\mathrm{loc}}(B,p)$ порождается $\mu_p(B)$ геометрическими порождающими, а из леммы 1 следует, что для геометрических порождающих $\gamma\in \pi_1^{\mathrm{loc}}(B,p)$ их образы $f_{p*}(\gamma)\in \mathbb S_N$ являются транспозициями. Следовательно, группа $G_{f,p}$ порождается не более чем $\mu_p(B)$ транспозициями. Поэтому локальная группа монодромии $G_{f,p}$ имеет вид (1) и прообраз является несвязным объединением $M_p$ связных ростков неособой поверхности, где $M_p$ – число орбит действия группы $G_{f,p}$ на множестве $f^{-1}(q)=\{ q_1,\dots, q_N\}$. Лемма доказана. 1.2.2.Обозначим через $(B_j,p)$ росток кривой ветвления нетривиального ростка $f_{p,j}:=f_{\mid U_{p,j}}\colon U_{p,j}\to V_p$. Отметим, что $(B_{j_1},p)\cap (B_{j_2},p)=p$ при $1\leqslant j_1< j_2\leqslant k_p$, так как $\operatorname{deg} f_{\mid R}=1$ и $(B,p)=(B_1,p)\cup\dots\cup (B_{k_p},p)$. Для $j=1,\dots, k_p$ вложение $\iota_j\colon (B_j,p)\hookrightarrow (B,p)$ индуцирует эпиморфизм
$$
\begin{equation*}
\iota_{j_*}\colon \pi_1^{\mathrm{loc}}(B,p)=\pi_1(V_p\setminus B,q)\to \pi_1(V_p\setminus B_j,q)=\pi_1^{\mathrm{loc}}(B_j,p),
\end{equation*}
\notag
$$
который может быть включен в следующую коммутативную диаграмму: в которой эпиморфизм $f_{p,j*}\colon \pi_1^{\mathrm{loc}}(B_j,p) \to\mathbb S_{m_{p,j}}$ – это гомоморфизм монодромии $m_{p,j}$-листного накрытия $f_{p,j}\colon U_{p,j}\to V_p$. Таким образом, при $1\leqslant j\leqslant k_p$ нетривиальные ростки $f_{p,j}:=f_{\mid U_{p,j}}\colon U_{p,j}\to V_p$ накрытия $f$ являются $m_{p,j}$-листными накрытиями и для $j=k_p+1,\dots,M_p$ ростки $f_{p,j}:=f_{\mid U_{p,j}}\colon U_{p,j}\to V_p$ являются биголоморфными отображениями. Следующая лемма хорошо известна. Лемма 3. Пусть $f_{p,j}\colon (U_{p,j},p_j)\to V_p$ – это двулистный росток над точкой $p\in B$ накрытия $\{ f\colon S\to \mathbb P^2\} \in\mathcal F_{(2)}$, разветвленного в кривой $B$. Тогда существуют локальные координаты $z_j,w_j$ в $U_{p,j}$ и $u_j,v_j$ в $V_p$ такие, что $f_{p,j}$ задано функциями $u_j=z_j$, $v_j=w_j^2$. В частности, росток кривой ветвления $(B_j,p)$ накрытия $f_{p,j}$ задан уравнением $v_j=0$ и является неособым в точке $p$ ростком кривой, и, следовательно, нетривиальный росток $f_{p,j}$ накрытия $f$ удовлетворяет условию (IV). 1.2.3.Рассмотрим точку $p\in \operatorname{Sing} B$. При $j\leqslant k_p$ ростки $(B_j,p)$ в точке $p$ состоят из нескольких неприводимых ростков: $(B_j,p)=(B_{j,1},p)\cup\dots\cup (B_{j,k_{p,j}},p)$. Имеем По определению (см. [10]), целые числа
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c_{v,p}(B):=\sum_{j=1}^{k_p}\sum_{l=1}^{k_{p,j}} (\mu_{p}(B_{j,l})-1)=\mu_p(B)-\sum_{j=1}^{k_p}k_{p,j}, \\ {n}_{v,p}(B):=\delta_p(B)-c_{v,p}(B), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_{p}(B)$ – это $\delta$-инвариант особенности ростка $(B,p)$, называются соответственно числом виртуальных каспов и числом виртуальных ноудов ростка кривой $(B,p)$, а
$$
\begin{equation}
c_v(B):=\sum_{p\in \operatorname{Sing} B}c_{v,p}(B), \qquad n_v(B):=\sum_{p\in \operatorname{Sing} B}n_{v,p}(B)
\end{equation}
\tag{4}
$$
называются соответственно числом виртуальных каспов и числом виртуальных ноудов кривой $B\subset\mathbb P^2$. Пусть $\widehat{B}$ – двойственная к кривой $B$ кривая рода $g$. Из обобщенных формул Плюккера (см. [10]) следует, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{deg} \widehat B = 2\operatorname{deg} B-c_v(B) +2g-2,
\end{equation*}
\notag
$$
и так как $\operatorname{deg} \widehat B > 0$, то Лемма 4. Число точек $M_p$ в слое $f^{-1}(p)$ накрытия $\{ f\colon S\to\mathbb P^2\}\in\mathbb F_{(2),Q}$, $\operatorname{deg} f=N$, равно Доказательство. Из условия (IV) следует, что для каждого нетривиального ростка $f_{p,j}\colon U_{p,j}\to V_p$ имеет место равенство и поэтому лемма 4 следует из (2). 1.3. Инварианты кривых ветвления (внизу и вверху)Лемма 5. Степень $\operatorname{deg} B:=2d$ кривой ветвления $B$ накрытия $\{ f\colon S\to\mathbb P^2\}\in \mathcal F_{(2)}$ является четным числом. Доказательство. Согласно лемме 1 гомоморфизм монодромии $f_*\colon \pi_1(\mathbb P^2\setminus B)\to \mathbb S_N$ является эпиморфизмом. Поэтому индуцированный им гомоморфизм также является эпиморфизмом. Следовательно, $\operatorname{deg} B$ является четным числом, так как, как хорошо известно, $H_1(\mathbb P^2\setminus B,\mathbb Z) \simeq \mathbb Z_{\operatorname{deg} B}$ для неприводимой кривой $B\subset\mathbb P^2$. Лемма доказана. Обозначим через $\delta(R)$ $\delta$-инвариант кривой ветвления (вверху) $R$ накрытия $\{ f\colon S\to\mathbb P^2\}\in \mathcal F_{(2)}$ и через $g$ род кривой $R$ и кривой ветвления (внизу) $B$ накрытия $f$. Лемма 6. Индекс самопересечения в $S$ кривой ветвления (вверху) $R$ накрытия $\{ f\colon S\to\mathbb P^2\}\in \mathcal F_{(2)}$ равен Доказательство. Канонический класс поверхности $S$ равен где $L$ – прямая в $\mathbb P^2$. Имеем $(f^*(L),R)_S=\operatorname{deg} B=2d$, так как $f_{\mid R}\colon R\to B$ является бирациональным морфизмом. Поэтому и, следовательно, $(R^2)_S=3d+g+\delta(R)-1$. Лемма доказана. 1.4. Инварианты накрывающей поверхностиПусть $N=\operatorname{deg} f$ – это степень накрытия $\{ f\colon S\to\mathbb P^2\}\in\mathcal F_{(2)}$, разветвленного в кривой $B\subset\mathbb P^2$. Предложение 2. Для накрытия $\{ f\colon S\to\mathbb P^2\}\in\mathcal F_{(2),Q}$ топологическая эйлерова характеристика $e(S)$ накрывающей поверхности $S$ равна Доказательство. В обозначениях, введенных выше, имеем
$$
\begin{equation}
e(S)=Ne(\mathbb P^2\setminus B)+(N-1)e(B\setminus \operatorname{Sing} B) +e(f^{-1}(\operatorname{Sing} B))
\end{equation}
\tag{7}
$$
и предложение 2 следует из (7), равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, e(\mathbb P^2)=3, \qquad e(\mathbb P^2\setminus B)=e(\mathbb P^2)-e(B), \\ e(B) = 2-2g- \sum_{p\in\operatorname{Sing} B}\biggl(\sum_{j=1}^{k_p}k_{p,j}+1\biggr), \\ e(B\setminus \operatorname{Sing} B) = 2-2g- \sum_{p\in\operatorname{Sing} B}\sum_{j=1}^{k_p}k_{p,j}, \\ e(f^{-1}(\operatorname{Sing} B)) = \sum_{p\in\operatorname{Sing} B}M_p \stackrel{(6)}{=} \sum_{p\in\operatorname{Sing} B} \biggl(N- c_{v,p}(B)-\sum_{j=1}^{k_p}k_{p,j}\biggr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и равенства (4)). Предложение доказано. § 2. Расслоенные произведения неэквивалентных накрытий, принадлежащих множеству $\mathcal F_{(2)}$Пусть $\{ f_1\colon S_1\to \mathbb P^2\}$ и $\{ f_2\colon S_2 \to\mathbb P^2\}$ – два накрытия, принадлежащие множеству $\mathcal F_{(2)}$ и разветвленные в одной и той же кривой $B\subset \mathbb P^2$, $\operatorname{deg} f_i=N_i$ для $i=1,2$, и пусть $\mathrm{pas}(f_1)=\mathrm{pas}(f_2)$. Имеем $f^{*}_1(B)=2R_1+C_1$ и $f^{*}_2(B)=2R_2+C_2$, где $R_i\subset S_i$ – кривые ветвления накрытий $f_i$, $i=1,2$, и $f_i^*\colon \operatorname{Div}(\mathbb P^2)\to\operatorname{Div}(S_i)$ – отображение из множества дивизоров в $\mathbb P^2$ в множество дивизоров в $S_i$, индуцированное накрытием $f_i$. 2.1. Неприводимость расслоенного произведения двух неэквивалентных накрытий, принадлежащих множеству $\mathcal F_{(2)}$Рассмотрим расслоенное произведение
$$
\begin{equation*}
S_1\times _{\mathbb P^2}S_2=\{(x,y)\in S_1\times S_2\mid f_1(x)=f_2(y)\}
\end{equation*}
\notag
$$
поверхностей $S_1$ и $S_2$ над $\mathbb P^2$. Пусть $\nu\colon \widetilde X=\widetilde{S_1\times _{\mathbb P^2}S_2}\to S_1\times _{\mathbb P^2}S_2$ – это нормализация произведения $S_1\times _{\mathbb P^2}S_2$. Обозначим через $g_{1}\colon \widetilde X\to S_1$, $g_{2}\colon \widetilde X\to S_2$ и $g_{1,2}\colon \widetilde X\to \mathbb P^2$ соответствующие естественные морфизмы. Имеем $\operatorname{deg} g_1=N_2$, $\operatorname{deg} g_2=N_1$ и $\operatorname{deg} g_{1,2}=N_1N_2$. Далее будут использованы следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde R=g_1^{-1}(R_1)\cap g_2^{-1}(R_2) \subset \widetilde X, \\ \widetilde C=g_1^{-1}(C_1)\cap g_2^{-1}(C_2), \quad \widetilde C_1=g_1^{-1}(R_1)\cap g_2^{-1}(C_2), \quad \widetilde C_2= g_2^{-1}(R_2)\cap g_1^{-1}(C_1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 3. Если $f_1\colon S_1\to \mathbb P^2$ и $f_2\colon S_2 \to\mathbb P^2$ – два неэквивалентных накрытия, то $\widetilde X$ является неприводимой поверхностью. Доказательство дословно совпадает с доказательством предложения 2 в [5]. 2.2. Особые точки расслоенных произведений накрытий, принадлежащих множеству $\mathcal F_{(2)}$Пусть $\operatorname{pr}_i\colon S_1\times_{\mathbb P^2}S_2\to S_i$, $i=1,2$, – проекции на множители. Обозначим $\mathcal R_{1,2}=\operatorname{pr}_1^{-1}(R_1)\cap \operatorname{pr}_2^{-1}(R_2)\subset S_1\times_{\mathbb P^2}S_2$. Доказательство. Рассмотрим точки $x\in S_1$ и $y\in S_2$ такие, что $f_1(x)=f_2(y)$, и пусть $U_1\subset S_1$ и $U_2\subset S_2$ – две достаточно малые окрестности точек $x$ и $y$, $f_1(U_1)=f_2(U_2)=V$.
Если $x\not\in R_1$, то $f_1\colon U_1\to V$ является биголоморфным отображением. Поэтому окрестность $U_1\times_{V}U_2\subset S_1\times_{\mathbb P^2}S_2$ биголоморфна графику отображения $f_2\colon U_2\to V$, и, следовательно, поверхность $S_1\times_{\mathbb P^2}S_2$ неособа в точке $(x,y)$. Аналогично, $S_1\times_{\mathbb P^2}S_2$ – неособая поверхность в точке $(x,y)$, если $y\not\in R_2$. Поэтому поверхность $(S_1\times_{\mathbb P^2}S_2)\setminus \mathcal R_{1,2}$ неособа. Если $x\in R_1\setminus \operatorname{Sing} R_1$ и $y\in R_2\setminus \operatorname{Sing} R_2$, то $(x,y)\in \mathcal R_{1,2}$ и согласно лемме 3 существуют локальные координаты $(z_i,w_i)$ в $U_{i}$, $i=1,2$, и локальные координаты $(u,v)$ в $V$ такие, что двулистные накрытия $f_i\colon U_{i}\to V$ задаются функциями $u=z_i$ и $v=w_i^2$. Поэтому поверхность $U_1\times_{V}U_2$ задается в $U_1\times U_2$ уравнениями $z_1=z_2$ и $w_1^2=w_2^2$. Следовательно, $(x,y)\in \operatorname{Sing} (S_1\times_{\mathbb P^2}S_2)$, если $x\in R_1\setminus \operatorname{Sing} R_1$ и $y\in R_2\setminus \operatorname{Sing} R_2$, т.е. $\operatorname{Sing} (S_1\times_{\mathbb P^2}S_2)=\mathcal R_{1,2}$, так как $\operatorname{Sing} (S_1\times_{\mathbb P^2}S_2)$ и $\mathcal R_{1,2}$ – замкнутые подмножества в $S_1\times_{\mathbb P^2}S_2$. Лемма доказана. 2.3. Разрешение особых точек поверхности $\widetilde X$Пусть $\rho \colon X\to \widetilde X$ – разрешение особых точек поверхности $\widetilde X$, которое будет описано ниже (разрешение, которое будет использоваться, не обязательно будет минимальным и, более того, будет позволено раздувать некоторые неособые точки поверхности $\widetilde X$). 2.3.1.Обозначим через
$$
\begin{equation*}
\overline R=\rho^{-1}(\widetilde R), \qquad \overline C=\rho^{-1}(\widetilde C), \qquad \overline C_i=\rho^{-1}(\widetilde C_i), \quad i=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
собственные прообразы кривых $\widetilde R$, $\widetilde C$ и $\widetilde C_i$. Рассмотрим морфизм $h_1=g_1\circ \rho\colon X \to S_1$. Доказательство непосредственно следует из доказательства леммы 7, так как $\widetilde R$ – это собственный прообраз $\nu^{-1}(\mathcal R_{1,2})$ кривой $\mathcal R_{1,2}$ при нормализации поверхности $S_1\times_{\mathbb P^2}S_2$. В следующих п. 2.3.2 и 2.3.3 будут исследоваться свойства дивизора $h_1^*(R_1)=\rho^*(\widetilde R+\widetilde C_1)$ в точках, принадлежащих множеству
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Supp}(\rho^*(\widetilde R))\cap \operatorname{Supp}(\rho^*(\widetilde C_1)).
\end{equation*}
\notag
$$
2.3.2.Так как $\mathrm{pas}(S_1)=\mathrm{pas}(f_2)$, то согласно теореме Римана–Штейна (см. [16], [4]) для каждой точки $p\in \operatorname{Sing} B$ росток
$$
\begin{equation*}
f_{1,p}:=f_{1\mid Z_{1,p}}\colon Z_{1,p}:=f_{1}^{-1}(V_p)\to V_p
\end{equation*}
\notag
$$
накрытия $f_1$ может быть отождествлен с ростком
$$
\begin{equation*}
f_{2,p}:=f_{2\mid Z_{2,p}}\colon Z_{2,p}:=f_{2}^{-1}(V_p)\to V_p
\end{equation*}
\notag
$$
накрытия $f_2$ над точкой $p\in V_p$, и мы будем использовать полученные в п. 1.1 результаты, слегка изменив использованные там обозначения. А именно, через $U_{p,i,j}\subset S_i$ будет обозначаться окрестность $U_{p,j}$ в прообразе $f^{-1}(V_p)=\bigsqcup U_j\subset S$, когда $f=f_i$, $i=1,2$. В частности, окрестности $Z_{1,p}\times_{V_p} Z_{2,p}\subset S_1\times_{\mathbb P^2} S_2$ и $Z_{1,p}\times_{V_p} Z_{1,p}\subset S_1\times_{\mathbb P^2} S_1$ естественным образом биголоморфны друг другу. Обозначим через $\widetilde W_{p,j_1,j_2}=\widetilde{U_{p,1,j_1}\times_{V_p} U_{p,2,j_2}}\subset \widetilde X$ нормализации расслоенных произведений окрестностей $U_{p,1,j_1}$ и $U_{p,2,j_2}$ над окрестностью $V_p$. Из доказательства леммы 7 следует, что
$$
\begin{equation*}
h_1(\operatorname{Supp}(\rho^*(\widetilde R))\cap \operatorname{Supp}(\rho^*(\widetilde C_1)))\subset f^{-1}_1(\operatorname{Sing} B).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что
$$
\begin{equation}
\widetilde R\cap\widetilde W_{p,j,j}=\varnothing \quad \text{для }\ j>k_{p},
\end{equation}
\tag{8}
$$
так как $\widetilde R\cap\widetilde W_{p,j,j} =((R_1\cap U_{p,1,j})\times_V (R_2\cap U_{p,2,j}))$ и $R_1\cap U_{i,j}=\varnothing$ для $j>k_{p}$. Отметим также, что
$$
\begin{equation}
\widetilde R_1\cap\widetilde W_{p,j_1,j_2}=\varnothing \quad \text{для }\ j_1\neq j_2,
\end{equation}
\tag{9}
$$
так как $g_1(\widetilde R\cap \widetilde W_{p,j_1,j_2})=R_1\cap U_{p,1,j_1}$ и $f_1(R_1\cap U_{p,1,j_1})=B_{j_1}\subset V_p$, но
$$
\begin{equation*}
g_2(\widetilde R\cap \widetilde W_{p,j_1,j_2})= R_2\cap U_{p,2,j_2}, \qquad f_2(R_2\cap U_{p,2,j_2})=B_{j_2}\subset V_p
\end{equation*}
\notag
$$
и $B_{j_1}\cap B_{j_2}=\{ p\}$ для $j_1\neq j_2$. Поэтому из (8) и (9) следует, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Supp}(\rho^*(\widetilde R))\cap \operatorname{Supp}(\rho^*(\widetilde C_1))\cap g_{1,2}^{-1}(V_p)\subset \rho^{-1}\biggl(\bigcup_{j=1}^{k_p}\widetilde W_{p,j,j}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
2.3.3.Чтобы описать множество $\widetilde W_{p,j,j}$, рассмотрим гомоморфизмы монодромии
$$
\begin{equation*}
f_{i\mid U_{p,i,j}*} \colon \pi_1(V_p\setminus B_j) \to \mathbb S_{m_{p,j}}
\end{equation*}
\notag
$$
$m_{p,j}$-листных накрытий $f_{i\mid U_{p,i,j}}\colon U_{p,i,j}\to V_p$, разветвленных в ростках кривых $V_p\cap B_j$. Так как мы отождествляем накрытия $f_{i\mid U_{p,i,j}}$,
$$
\begin{equation*}
f_{\mid U_{p,j}}:=f_{1\mid U_{p,1,j}}=f_{2\mid U_{p,2,j}}\colon U_{p,j}=U_{p,1,j}=U_{p,2,j}\to V_p,
\end{equation*}
\notag
$$
то мы можем считать, что $f_{\mid U_{p,j}*}:=f_{1\mid U_{p,1,j}*}=f_{2\mid U_{p,2,j}*}$, так как гомоморфизмы монодромии эквивалентных накрытий $f_{i\mid U_{p,i,j}*}$ совпадают друг с другом с точностью до сопряжения в группе $\mathbb S_{m_{p,j}}$, а гомоморфизм монодромии накрытия $g_{1,2\mid \widetilde W_{p,j,j}}\colon \widetilde W_{p,j,j}\to V_p$ – это гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
g_{1,2\mid\widetilde W_{p,j,j}*} = (f_{\mid U_{p,j}*},f_{\mid U_{p,j}*}) \colon \pi_1(V_p\setminus B_j,q) \to \mathbb S_{m_{p,j}}\times \mathbb S_{m_{p,j}}\subset \mathbb S_{m_{p,j}^2},
\end{equation*}
\notag
$$
определяемый следующим действием:
$$
\begin{equation*}
g_{1,2\mid\widetilde W_{p,j,j}*}(\gamma)((q_i,q_j))=(f_{\mid U_{p,j}*}(\gamma)(q_i),f_{\mid U_{p,j}*}(\gamma)(q_j))
\end{equation*}
\notag
$$
элементов $\gamma\in\pi_1(V_p\setminus B_j,q)$ на множестве
$$
\begin{equation*}
f_{\mid U_{p,j}}^{-1}(q)\times f_{\mid U_{p,j}}^{-1}(q)=\{ q_1,\dots,q_{m_{p,j}}\}\times \{ q_1,\dots,q_{m_{p,j}}\}\subset U_{p,j}\times_{V_p} U_{p,j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда легко видеть, что множество $ f_{\mid U_{p,j}}^{-1}(q)\times f_{\mid U_{p,j}}^{-1}(q)$ является объединением двух орбит $O'$ и $O''$ относительно действия группы $g_{1,2\mid\widetilde W_{p,j,j}*}(\pi_1(V_p\setminus B_j,q))\simeq\mathbb S_{m_{p,j}}$ на произведении $ f^{-1}_{\mid U_{p,j}}(q)\times f_{\mid U_{p,j}}^{-1}(q)$,
$$
\begin{equation*}
O'=\{ (q_1,q_1),\dots,(q_{m_{p,j}}, q_{m_{p,j}})\}, \quad O''=\{ (q_{j_1},q_{j_2})\mid 1\leqslant j_1, j_2,\leqslant m_{p,j},\,j_1\neq j_2\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\widetilde W_{p,j,j}=\widetilde W'_{p,j,j}\sqcup \widetilde W_{p,j,j}''$ является несвязным объединением двух окрестностей таких, что $g_{i,p\mid\widetilde W_{p,j,j}'}\colon \widetilde W_{p,j,j}'\to U_{p,i,j}$ является биголоморфным отображением, а $g_{1,2\mid\widetilde W_{p,j,j}'}\colon \widetilde W_{p,j,j}'\to V_p$ совпадает с $f_{1\mid U_{p,1,j}}$ и $f_{2\mid U_{p,2,j}}$ (так как ограничения отображений $g_{1,p}$ и $g_{2,p}$ на $\widetilde W_{j,j}'$ являются изоморфизмами). Поэтому $g^{-1}_{1\mid \widetilde W_{p,j,j}'}(R_1)=g^{-1}_{2\mid \widetilde W_{p,j,j}'}(R_2)=\widetilde R\cap\widetilde W_{p,j,j}'$, и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\widetilde R\cap \widetilde C_1\cap\widetilde W_{p,j,j}'=\varnothing.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Из леммы 8 следует, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{deg} g_{1\mid \widetilde W_{p,j,j}'\cap\widetilde R}=\operatorname{deg} g_{1\mid \widetilde W_{p,j,j}''\cap\widetilde R}=1,
\end{equation}
\tag{11}
$$
а степень отображения $g_{1\mid \widetilde W_{p,j,j}''}\colon \widetilde W_{p,j,j}''\to U_{p,1,j}$ равна $m_{p,j}-1$. Поэтому $g_{1\mid \widetilde W_{p,j,j}''}$: $\widetilde W_{p,j,j}''\to U_{p,1,j}$ также является биголоморфным отображением, если $m_{p,j}=2$, и аналогично равенству (10) получаем, что
$$
\begin{equation}
\widetilde R\cap \widetilde C_1\cap\widetilde W_{p,j,j}''=\varnothing,
\end{equation}
\tag{12}
$$
если $m_{p,j}=2$. Положим $W_{p,j_1,j_2}''=\rho^{-1}(\widetilde W_{p,j_1,j_2}'')$. В случае, когда $m_{p,j}\geqslant 3$, дивизор $h^*(R_1)$ в окрестности $W_{p,j,j}''$ равен где $E''_{p,j}$ – это некоторый дивизор с носителем в $\rho^{-1}(g_{1,2\mid \widetilde W_{p,j,j}''}^{-1}(p))$.Пусть $p_{1,j}=f_1^{-1}(p)\cap U_{p,1,j}$, и пусть $\delta_{p_{1,j}}(R_1)$ – это $\delta$-инвариант кривой $R_1$ в точке $p_{1,j}$. Отметим, что согласно лемме 3 имеем равенство $\delta_{p_{1,j}}(R_1)=0$, если $m_{p,1,j}=2$. Определение 2. Скажем, что нетривиальный росток $f_{\mid U_{p,j}}\colon U_{p,j}\to V_p$ накрытия $\{ f=f_1\colon S\to \mathbb P^2\}\in \mathcal F_{(2)}$ обладает экстрасвойством над точкой $p\in\operatorname{Sing} B$, если либо $\operatorname{deg} f_{1\mid U_{p,1,j}}=2$, либо $\operatorname{deg} f_{1\mid U_{p,1,j}}>2$ и где $(\operatorname{Div}_1,\operatorname{Div}_2)_{W_{p,j,j}''}$ – это индекс пересечения дивизоров $\operatorname{Div}_1$ и $\operatorname{Div}_2$ в $W_{p,j,j}''$ (здесь мы полагаем, что в определении ростка $W_{p,j,j}''$ накрытие $f_2=f_1=f$). Определение 3. Квазиобщее накрытие $f\colon S\to\mathbb P^2$ является экстраквазиобщим, если над каждой точкой $p\in \operatorname{Sing} B$ все его нетривиальные ростки обладают экстрасвойством. Замечание 1. Отметим, что если $\mathrm{pas}(f_1)=\mathrm{pas}(f_2)$ и накрытие $f_1$ является экстраквазиобщим, то $f_2$ также является экстраквазиобщим накрытием. Для экстраквазиобщего накрытия $f\colon S\to \mathbb P^2$ положим
$$
\begin{equation*}
E_{\overline R}= \sum_{p\in\operatorname{Sing} B}\sum_{j=1}^{k_p}E_{p,j,\overline R}, \qquad E_{\overline C_1}= \sum_{p\in\operatorname{Sing} B}\sum_{j=1}^{k_p}E_{p,j,\overline C_1},
\end{equation*}
\notag
$$
где по определению $E_{p,j,\overline R}=E_{p,j,\overline C_1}=0$, если $m_{p,j}=2$. Из (8)–(13) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (\overline R+E_{\overline R},\overline C_1+E_{\overline C_1})_X &= \sum_{p\in\operatorname{Sing} B}\sum_{j=1}^{k_p}(\overline R+E_{p,j,\overline R},\overline C_1+E_{p,j,\overline C_1})_{W_{p,j,j}''} \\ &\leqslant \sum_{p\in\operatorname{Sing} B} \sum_{j=1}^{k_p}(2 \delta_{p_{1,j}}(R_1)+c_{v,p}(B_j))=2 \delta(R)+c_{v}(B). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
§ 3. Доказательство теоремы 3Отметим, что если $f\colon S\to \mathbb P^2$ – это экстраквазиобщее накрытие, то
$$
\begin{equation*}
h_1^*(R_1)=\overline R+\overline C_1+E_{\overline R}+E_{\overline C_1}+E',
\end{equation*}
\notag
$$
где $E'$ – это дивизор с носителем в
$$
\begin{equation*}
\rho^{-1}(g_{1,2}^{-1}(\operatorname{Sing} B))\cap\biggl(\bigcup_p \biggl(\bigcup_{j_1\neq j_2}W_{p,j_1,j_2}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем так как носители дивизоров $E_{\overline R}$ и $E_{\overline C_1}$ содержатся в $\rho^{-1}(g_{1,2}^{-1}(\operatorname{Sing} B))\cap \bigl(\bigcup_p \bigcup_{j=1}^{k_p}W''_{p,j,j}\bigr)$. Так как $\widetilde R\cap \bigl( \bigcup_p \bigcup_{j_1\neq j_2}W_{p,j_1,j_2}\bigr)=\varnothing,$ то Положим
$$
\begin{equation*}
D=\overline R+E_{\overline R}, \qquad D_1=\overline C_1+E_{\overline C_1}+E'.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем $h_1^*(R_1)=D+D_1$. Доказательство. Из (14)–(16) следует, что
Применяя леммы 6 и 8, получаем, что
$$
\begin{equation*}
(h_1^*(R_1),D)_X=(h_1^*(R_1),\overline R+E_D)_X=\operatorname{deg} h_{1\mid \overline R}(R_1,R_1)_{S_1}=2(3d+g-1+\delta(R)).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, и, следовательно, $(D,D)_X= 2(3d+g-1+\delta_R)-(D,D_1)_X$.Аналогично из леммы 6 следует, что Поэтому так как $D_1=h_1^*(R_1)-D$. Лемма доказана.Следующее предложение 4 (аналог теоремы 1 в [5]) играет решающую роль в доказательстве теоремы 3. Предложение 4. Пусть $f_i\colon S_i\to \mathbb P^2$, $i=1,2$, – два экстраквазиобщих накрытия проективной плоскости, разветвленные в кривой $B\subset \mathbb P^2$, $\operatorname{deg} f_i= N_i$. Если $\mathrm{pas}(f_1)=\mathrm{pas}(f_2)$, но $f_1$ и $f_2$ – неэквивалентные накрытия, то Доказательство. Из неравенства (5) получаем, что Поэтому согласно лемме 9
$$
\begin{equation*}
(D,D)_X = 2(3d+g-1+\delta(R))- (D,D_1)_X\geqslant 2(3d+g-1+\delta(R))-(2\delta(R)+c_v(B))> 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя теорему Ходжа об индексе и лемму 9 к дивизорам $D$ и $D_1$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{vmatrix} (D,D)_X & (D,D_1)_X \\ (D_1,D)_X & (D_1,D_1)_X \end{vmatrix} &= 2(N_2-2)(3d+g-1+\delta(R))^2 \\ &\qquad -N_2(3d+g-1+\delta(R))(D,D_1)_X \leqslant 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &N_2[2(3d+g-1+\delta(R))-(2\delta(R)+c_v(B))] \\ &\qquad \leqslant N_2[2(3d+g-1+\delta(R))- (D,D_1)_X] \leqslant 4(3d+g-1+\delta(R)) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если мы изменим нумерацию накрытий $f_1$ и $f_2$, то получим неравенство
$$
\begin{equation*}
N_1[2(3d+g-1+\delta(R))-(2\delta(R)+c_v(B))] \leqslant 4(3d+g-1+\delta(R)) .
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, если $f_1\colon S_1\to \mathbb P^2$ и $f_2\colon S_2\to\mathbb P^2$ – два неэквивалентных экстраквазиобщих накрытия, разветвленные в одной и той же кривой $B$ и $\mathrm{pas}(f_1)=\mathrm{pas}(f_2)$, то их степени удовлетворяют неравенству (17). Предложение доказано. Чтобы завершить доказательство теоремы 3, осталось применить аргументы, использованные в [15]. Если $f\colon S\to\mathbb P^2$ – квазиобщее накрытие, то согласно предложению 1 индекс самопересечения канонического класса $K_S$ поверхности $S$ равен и согласно предложению 2 топологическая эйлерова характеристика $e(S)$ поверхности $S$ равна
$$
\begin{equation}
e(S)=3N+ 2(g-1)-c_{v}(B)=3N+ 2(g-1+\delta(R))-(2\delta(R)+c_{v}(B)).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Лемма 10. Если поверхность $S$ удовлетворяет неравенству Богомолова–Мияоки–Яу $K^2_S\leqslant 3e(S)$, то Доказательство. Имеем неравенство
$$
\begin{equation*}
9N-9d+g-1+\delta(R)\leqslant 3(3N+ 2(g-1+\delta(R))- (2\delta(R)+c_v(B)),
\end{equation*}
\notag
$$
которое эквивалентно неравенству (20). Лемма доказана. Следовательно, в случае, когда $K^2_S\leqslant 3e(S)$, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{4(3d+g-1+\delta_R)}{2(3d+g-1+\delta(R))-(2\delta(R)+c_v(B))}\leqslant 4+\frac{8(g-1+\delta(R))}{9d+(g-1+\delta(R))}<12.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Лемма 11. Если поверхность $S$ не удовлетворяет неравенству Богомолова–Мияоки–Яу $K^2_S\leqslant 3e(S)$, то Доказательство. Если поверхность $S$ не удовлетворяет неравенству Богомолова–Мияоки–Яу, то $S$ является иррегулярной линейчатой поверхностью (см., например, [1]), и, следовательно, $K^2_S\leqslant 2e(S)$. Из (18) и (19) следует неравенство (22). Лемма доказана. Следовательно, когда поверхность $S$ не удовлетворяет неравенству Богомолова–Мияоки–Яу, имеем неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{4(3d+g-1+\delta(R))}{2(3d+g-1+\delta(R))-(2\delta(R)+c_v(B))} \leqslant 8.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Окончательно получаем, что теорема 3 следует из неравенств (17), (21) и (23). § 4. О нетривиальных ростках квазиобщих накрытий, разветвленных в кривых, имеющих особые точки $\mathrm{ADE}$-типаВ дальнейшем предполагаем, что точка $p\in \operatorname{Sing} B$ принадлежит множеству $\mathcal S_{\mathrm{ADE}}$ особых точек $\mathrm{ADE}$-типа, и используем введенные выше обозначения. Чтобы доказать теорему 4 и следствие 1, достаточно доказать, что любое квазиобщее накрытие $f\colon S\to\mathbb P^2$, имеющее нетривиальные ростки, разветвленные в ростках кривых, имеющих особые точки $\mathrm{ADE}$-типа, является экстраквазиобщим. 4.1. Локальные группы монодромии квазиобщих накрытий, разветвленных в кривых, имеющих особые точки $\mathrm{ADE}$-типаНапомним, что если точка $p\in \operatorname{Sing} B$ принадлежит множеству $\mathcal S_{\mathrm{ADE}}$, то кривая $B$ локально может быть задана одним из следующих уравнений: $A_n$: $u^2-v^{n+1}=0$, $n\geqslant 0$; $D_n$: $v(u^2-v^{n-2})=0$, $n\geqslant 4$; $E_6$: $ u^3-v^4=0$; $E_7$: $ u(u^2-v^3)=0$; $E_8$: $ u^3-v^5=0$. (Кривая $B$ имеет особенность $A_0$-типа в точке $p$ означает, что $B$ неособа в точке $p$.) Лемма 12. Пусть точка $p\in \operatorname{Sing} B$ принадлежит множеству $\mathcal S_{\mathrm{ADE}}$. Тогда локальная группа монодромии $G_{f,p}\subset \mathbb S_N$ квазиобщего накрытия $f\colon S\to\mathbb P^2$, разветвленного в кривой $B\subset \mathbb P^2$, – это одна из следующих подгрупп: случай (2): $\mathbb S_2$; случай (2,2): $\mathbb S_2\times\mathbb S_2$; случай (2,2,2): $\mathbb S_2\times\mathbb S_2\times\mathbb S_2$; случай (3): $\mathbb S_3$; случай (3,2): $\mathbb S_3\times\mathbb S_2$; случай (4): $\mathbb S_4$. Доказательство следует из леммы 2 (и ее доказательства), так как $1\leqslant \mu_p(B)\leqslant 3$ для кратности $\mu_p(B)$ в точке $p$ кривой $B$. Из леммы 12 следует, что имеются шесть возможных случаев: случай (2): $f^{-1}(V)=\bigsqcup_{j=1}^{N-1}U_j$, $k_p=1$, $m_{p,1}=2$; случай (2,2): $f^{-1}(V)=\bigsqcup_{j=1}^{N-2}U_j$, $k_p=2$, $m_{p,1}=m_{p,2}=2$; случай (2,2,2): $f^{-1}(V)=\bigsqcup_{j=1}^{N-3}U_j$, $k_p=3$, $m_{p,1}=m_{p,2}=m_{p,3}=2$; случай (3): $f^{-1}(V)=\bigsqcup_{j=1}^{N-2}U_j$, $k_p=1$, $m_{p,1}=3$; случай (3,2): $f^{-1}(V)=\bigsqcup_{j=1}^{N-3}U_j$, $k_p=2$, $m_{p,1}=3$ и $m_{p,2}=2$; случай (4): $f^{-1}(V)=\bigsqcup_{j=1}^{N-3}U_j$, $k_p=1$, $m_{p,1}=4$. 4.1.1.В случае (2) из леммы 3 следует, что двулистный росток $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\to V_p$ над точкой $p\in B$ квазиобщего накрытия $f\colon S\to \mathbb P^2$ разветвлен в неособом ростке кривой $(B_1,p)$. Согласно определению 2 росток $f_{\mid U_{p,1}}$ обладает экстрасвойством над точкой $p$. 4.1.2.В случае (2,2) согласно лемме 3 имеем вложение $f^{-1}(V_p)\cap R\subset U_{p,1}\cup U_{p,2}$ и, кроме того, существуют локальные координаты $z_j,w_j$ в $U_{p,j}$ и $u_j,v_j$ в $V_p$, $j=1,2$, такие, что накрытия $f_{\mid U_{p,j}}\colon U_{p,j}\to V_p$ заданы функциями $u_j=z_j$ и $v_j=w_j^2$. Для $j=1,2$ пересечение $U_{p,j}\cap R$ задано уравнением $w_j=0$, а росток кривой $B\cap V$ задан уравнением $v_1v_2=0$, а его неприводимые ростки $B_j=f(R\cap U_{p,j})$, заданные уравнениями $v_j=0$, $j=1,2$, являются неособыми и $B_1\neq B_2$, так как $\operatorname{deg} f_{\mid R}=1$. Следовательно, $p\in B\cap V$ – особая точка кривой $B$ сингулярного типа $A_{2n-1}$, где $n$ – это индекс пересечения $(B_1,B_2)_p$ ростков $B_1$ и $B_2$ в точке $p$. Отметим, что согласно определению 2 нетривиальные ростки $f_{\mid U_{p,j}}\colon U_{p,j}\to V_p$ обладают экстрасвойством над точкой $p$. 4.1.3.Случай (2,2,2) аналогичен случаю (2,2). В этом случае из леммы 3 следует, что существуют локальные координаты $z_j,w_j$ в $U_{p,j}$ и $u_j,v_j$ в $V_p$, $j=1,2,3$, такие, что $f_{\mid U_{p,j}}\colon U_{p,j}\to V_p$ задается функциями $u_j=z_j$ и $v_j=w_j^2$. В нашем случае имеем $f^{-1}(V_p)\cap R\subset U_{p,1}\cup U_{p,2}\cup U_{p,3}$, и пересечение $U_{p,j}\cap R$ задается уравнением $w_j=0$ при $j=1,2,3$. Пересечение $B\cap V_p$ задается уравнением $v_1v_2v_3=0$, а его неприводимые ветви $B_j$ ростка $V_p\cap B$, заданные уравнениями $v_j=0$, $j=1,2,3$, неособы и $B_{j_1}\neq B_{j_2}$ для $1\leqslant j_1< j_2\leqslant 3$, так как $\operatorname{deg} f_{\mid R}=1$. Так как $p\in V_p\cap B$ – это особая точка кривой $B$ одного из $\mathrm{ADE}$-типа и росток $V_p\cap B$ состоит из трех неприводимых компонент, то тип сингулярности кривой $B$ в точке $p$ – это $D_{2n+2}$ при некотором $n\geqslant 1$. Отметим, что согласно определению 2 в нашем случае нетривиальные ростки $f_{\mid U_{p,j}} \colon U_{p,j}\to V_p$ обладают экстрасвойством над точкой $p$. 4.1.4.Случай (3) был рассмотрен в [14] и в этом случае мы имеем Предложение 5. Если $\operatorname{deg} f_{\mid U_{p,1}}=3$ для нетривиального ростка $f_{\mid U_{p,1}}$: $U_{p,1}\to V_p$ квазиобщего накрытия $f\colon S\to\mathbb P^2$, разветвленного в ростке кривой $(B_1,p)\,{\subset} (B,p)\subset V_p$, то тип сингулярности ростка $(B_1,p)$ – это $A_{3n-1}$ при некотором $n\in \mathbb N$. Если $U_{p,1}$ и $V_p$ – неприводимые ростки неособых поверхностей и $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\,{\to} V_p$ – росток конечного накрытия, разветвленный в ростке кривой $(B_1,p)\subset V_p$, имеющей тип сингулярности $A_{3n-1}$, $n\geqslant 1$, то $\operatorname{deg} f_{\mid U_{p,1}}=\mu_p(B_1)+1=3$ и росток $f_{\mid U_{p,1}}$ обладает экстрасвойством над точкой $p$. Доказательство. Из теоремы 2 в [12] (см. также [14]) следует, что существуют локальные координаты $z,w$ в $U_{p,1}$ и $u,v$ в $V_p$, а также число $n\in \mathbb N$ такие, что росток накрытия $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\to V_p$ задается функциями Росток кривой ветвления $R\cap U_{p,1}$ задается уравнением $w^2-z^n=0$, т.е. $p_1=f^{-1}(p)\cap U_{p,1}$ является особой точкой кривой $R$ сингулярного типа $A_{n-1}$. Следовательно, $\delta$-инвариант кривой $R$ в точке $p_1$ равен
Согласно утверждению 4 в [14] росток кривой ветвления $V_p\cap B$ задается уравнением т.е. $p$ является особой точкой кривой $B$ сингулярного типа $A_{3n-1}$ и число виртуальных каспов кривой $B$ в точке $p$ равно
$$
\begin{equation}
c_{v,p}(B)=0, \quad\text{если }\ n=2k-1, \quad\text{и }\ c_{v,p}(B)=1, \quad\text{если }\ n=2k.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Из (24) и (25) следует, что
В [14] было показано (см. [14; разд. 2.2.3]), что точка $p_{1,1}''=g_{1,2}^{-1}(p)\cap \widetilde W_{p,1,1}''$ является особой точкой окрестности $\widetilde W_{p,1,1}''$ сингулярного типа $A_{n-1}$,
$$
\begin{equation*}
g_{i\mid\widetilde W_{p,1,1}''}^{-1}(R_1\cap U_{p,1,1})=(\widetilde R\cap \widetilde W_{p,1,1}'')\cup (\widetilde C_1\cap \widetilde W_{p,1,1}''),
\end{equation*}
\notag
$$
и кривые $g_{1,2}^{-1}(V_p)\cap\widetilde R$ и $g_{1,2}^{-1}(V_p)\cap\widetilde C_1$ пересекаются только в точке $p_{1,1}''$. Разрешение особенностей $\rho\colon W_{p,1,1}\to\widetilde W_{p,1,1}$, описанное в [14], имеет следующие свойства: в окрестности $W_{p,1,1}''=\rho^{-1}(\widetilde W_{p,1,1}'')$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
h_1^*(U_1\cap R_1)= \overline R+\overline C_1 +2E_{p},
\end{equation}
\tag{27}
$$
где $E_{p}$ – это дивизор, носитель которого содержится в $\rho^{-1}(g_{1,2}^{-1}(p)\cap W''_{p,1,1})$,
$$
\begin{equation}
(E_p,E_p)_X=-n, \qquad (\overline R,E_p)_{X}=(\overline C_1, E_p)_{X}=n,
\end{equation}
\tag{28}
$$
Положим $E_{p,\overline R}=E_{p,\overline C_1}=E_{p}$. Тогда из (26)–(29) следует, что нетривиальный росток $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\to V_p$ квазиобщего накрытия, разветвленного в ростке кривой $(B_1,p)\subset V_p$, имеющем сингулярный тип $A_{3n-1}$, $n\geqslant 1$, обладает экстрасвойством над точкой $p$. Чтобы завершить доказательство предложения 5, достаточно заметить, что $\mu_p(B_1)=2$ для особой точки типа $A_{3n-1}$. Поэтому из леммы 2 (и ее доказательства) следует, что $\operatorname{deg} f_{\mid U_{p,1}}\leqslant 3$, и согласно лемме 3 случай двулистного ростка накрытия $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\to V_p$, разветвленного в ростке кривой $(B_1,p)\subset V_p$, имеющем особую точку сингулярного типа $A_{3n-1}$, $n\geqslant 1$, невозможен, так как $U_{p,1}$ является ростком неособой поверхности. Предложение доказано. 4.1.5.Случай (3,2) является комбинацией случаев (2) и (3). Предложение 6. Пусть $B$ – это кривая ветвления квазиобщего накрытия $f\colon S\to\mathbb P^2$, точка $p\in \operatorname{Sing} B$ имеет один из $\mathrm{ADE}$-типов сингулярности, и пусть $G_{f,p}=\mathbb S_3\times \mathbb S_2$. Тогда: (1) тип сингулярности кривой $B$ в точке $p$ – это либо $D_{3n+2}$ при некотором $n\in\mathbb N$, либо $E_7$, (2) нетривиальные ростки $f_{\mid U_{p,j}}\colon U_{p,1}\to V_p$, $\operatorname{deg} f_{\mid U_{p,1}}=3$, и $f_{\mid U_{p,2}}\colon U_{p,2}\to V_p$, $\operatorname{deg} f_{\mid U_{p,2}}=2$, обладают экстрасвойством над точкой $p\in\operatorname{Sing} B$. Доказательство. Согласно предложению 5 росток $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\to V_p$ является трехлистным ростком накрытия, разветвленным в ростке кривой $(B_1,p)$, имеющем тип сингулярности $A_{3n-1}$, а из леммы 3 следует, что $f_{\mid U_{p,2}}\colon U_{p,2}\to V$ является двулистным ростком, разветвленным в гладком ростке кривой $(B_2,p)$. Следовательно, $(B,p)=(B_1,p)\cup (B_2,p)$.
Так как $B$ имеет один из $\mathrm{ADE}$-типов сингулярности в точке $p$, то имеются две возможности в зависимости от индекса пересечения $(B_1,B_2)_p$, который может быть равен либо $2$, либо $3$. Таким образом, мы получаем, что тип сингулярности кривой $B$ в точке $p$ – это либо $D_{3n+2}$, если $(B_1,B_2)_p=2$, либо $E_7$, если $(B_1,B_2)_p=3$. Утверждение $(2)$ предложения 6 непосредственно следует из определения 2 и предложения 5. Предложение доказано. 4.1.6.В случае (4) имеем $f^{-1}(V_p)\cap R=U_{p,1}\cap R$ и предполагаем, что тип сингулярности ростка $V_p\cap B$ в точке $p$ – это один из $\mathrm{ADE}$-типа. Из теоремы 1 в [11] и ее доказательства следует, что с точностью до эквивалентности существует только один четырехлистный росток $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\to V_p$ квазиобщего накрытия, разветвленный в ростке кривой $(B_1,p)\subset V_p\cap B$, имеющем особую точку $\mathrm{ADE}$-типа, и это только случай, когда тип сингулярности ростка $(B_1,p)$ – это $E_6$ (случай $F_{4_2,0,1}$ в обозначениях, использованных в [11]), и в этом случае существуют локальные координаты $z,w$ в $U_{p,1}$ и – $u,v$ в $V_p$, в которых росток $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\to V_p$ задается функциями Предложение 7. Если степень $\operatorname{deg} f_{\mid U_{p,1}}=4$ нетривиального ростка $f_{\mid U_{p,1}}$: $U_{p,1}\to V_p$ квазиобщего накрытия $f\colon S\to\mathbb P^2$, разветвленного в ростке кривой $(B_1,p)\subset (B,p)\subset (V,p)$, имеющем особую точку одного из $\mathrm{ADE}$-типа, то тип сингулярности ростка $(B_1,p)$ в точке $p$ – это $E_6$. Нетривиальный росток $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\to V_p$ квазиобщего накрытия, разветвленный в ростке кривой $(B_1,p)\subset V_p$, имеющем особую точку типа $E_6$, обладает экстрасвойством над точкой $p$ и $\operatorname{deg} f_{\mid U_{p,1}}=4$. Предложение 7 является частным случаем предложения 11, которое будет доказано в § 5. Теорема 4 и следствие 1 непосредственно следуют из теоремы 3 и предложений 5–7. § 5. Доказательство теоремы 55.1. Свойства дуализирующих накрытий плоскости, ассоциированных с погруженными в плоскость кривымиПусть $\iota\colon C\to {\mathbb P}^2$ – это морфизм гладкой неприводимой приведенной проективной кривой $C$ в проективную плоскость такой, что $\iota \colon C\to \iota(C)$ является бирациональным морфизмом, $\operatorname{deg} \iota(C)=d\geqslant 2$. Рассмотрим точку $p\in C$ и ее образ $P=\iota(p)\in {\mathbb P}^2$. Выберем локальный параметр $w$ в комплексно аналитической окрестности $U\subset C$ точки $p$, где $U\simeq \{ w\in \mathbb C\mid |w|<\varepsilon\}$, и выберем однородные координаты $(x_1,x_2,x_3)$ в ${\mathbb P}^2$ такие, что $P=(0,0,1)$ и морфизм $\iota$ задан функциями
$$
\begin{equation}
x_1=w^{d_p}+\sum_{i=d_p+1}^{\infty} a_iw^i, \qquad x_2=-d_pw^{r_p}, \qquad x_3=-1,
\end{equation}
\tag{30}
$$
где $a_{d_p+1}\neq 0$ и $d_p>r_p\geqslant 1$. Число $r_p$ называется кратностью особенности ростка $\iota(U)$ кривой $\iota(C)$ в точке $P$, прямая $l_p=\{ x_1=0\}$ называется касательной прямой к кривой $\iota(C)$ в точке $P$ и число $d_p$ называется касательной кратностью ростка $\iota(U)$ в точке $P$. Если морфизм $\iota$ является погружением кривой $C$, то $r_p=1$ для всех точек $p\in C$. Пусть $B\subset \widehat{\mathbb P}^2$ – это двойственная кривая к кривой $\iota(C)$ (кривая $B$ состоит из прямых $l_p\in\widehat{\mathbb P}^2$, касательных к кривой $\iota(C)$) в точках $p\in C$. Граф соответствия между кривыми $\iota(C)$ и $B$ – это кривая $\check C$ в ${\mathbb P}^2\times \widehat{\mathbb P}^2$ (так называемое раздутие Нэша кривой $\iota(C)$),
$$
\begin{equation*}
\check C=\{ (\iota(p),l_p)\in I\mid p\in C \text{ и }\ l_p -\text{ касательная прямая к }\ \iota(C)\text{ в точке }\ \iota(p)\in C\},
\end{equation*}
\notag
$$
которая лежит в многообразии инцидентности $I=\{ (P,l)\in {\mathbb P}^2\times \widehat{\mathbb P}^2\mid P\in l\}$. Ниже через $L_P\subset \widehat{\mathbb P}^2$ обозначается прямая, двойственная точке $P\in \iota(C)\,{\subset}\, \mathbb P^2$. Пусть $\operatorname{pr}_1\colon \mathbb P^2\times \widehat{\mathbb P}^2\to \mathbb P^2$ и $\operatorname{pr}_2\colon \mathbb P^2\times \widehat{\mathbb P}^2\to \widehat{\mathbb P}^2$ – проекции на множители, $X'=\operatorname{pr}_1^{-1}(\iota(C))\cap I$ и $h\colon X'\to \widehat{\mathbb P}^2$ – ограничение проекции $\operatorname{pr}_2$ на $X'$. Очевидно, $h^{-1}(l)$ состоит из точек $(P,l)\in\mathbb P^2\times \widehat{\mathbb P}^2$ таких, что $P\in \iota(C)\cap l$, и поэтому $\operatorname{deg} h=\operatorname{deg} \iota(C)=d$. Пусть $\nu\colon X\to X'$ – это нормализация поверхности $X'$. Морфизм $f_{\iota(C)}=h\circ \nu\colon X\to \widehat{\mathbb P}^2$ называется дуализирующим накрытием плоскости, ассоциированным с кривой $\iota(C)\subset \mathbb P^2$. Имеем $\operatorname{deg} f_{\iota(C)}=d$. Легко видеть, что поверхность $X$ изоморфна расслоенному произведению $C\times_{\iota(C)}X'$ морфизма $\iota\colon C\to \iota(C)$ и проекции $\operatorname{pr}_1\colon X'\to \iota(C)$. Проекция $\operatorname{pr}_1\colon X'\to \iota(C)$ задает на $X'$ структуру линейчатой поверхности, и эта структура индуцирует линейчатую структуру на $X$ над $C$. Отметим, что $\widetilde {C}=\nu^{-1}(\check C)\subset X$ является сечением этой линейчатой структуры, а образ $f_{\iota(C)}(F_p)$ слоя $F_p$ является прямой $L_{\iota(p)}\subset \widehat{\mathbb P}^2$, двойственной к точке $\iota(p)\in \iota(C)\subset \mathbb P^2$. Из доказательства теоремы 1 в [9] следует, что кривая ветвления (вверху) накрытия $f_{\iota(C)}$ – это кривая $R=\widetilde C\cup \widetilde F$, где $\widetilde F= \bigcup_{r_p\geqslant 2} F_p$ и объединение взято по всем точкам $p\in C$, для которых в точках $P=\iota(p)$ кратности $r_p\geqslant 2$. Ограничение накрытия $f_{\iota(C)}$ на каждую компоненту кривой $R$ является бирациональным морфизмом на образ этой компоненты и $f_{\iota(C)}$ ветвится с кратностью $2$ в общей точке кривой $\widetilde C$ и с кратностью $r_p$ в общей точке кривой $F_p\subset R$. Кривая ветвления (внизу) накрытия $f_{\iota(C)}$ – это кривая $B=\widehat C\cup \widehat L$, где $\widehat L= \bigcup_{r_p\geqslant 2} L_{\nu(p)}$ и объединение взято по всем точкам $p\in C$, для которых $r_p\geqslant 2$ в точках $P=\iota(p)$. Далее мы предполагаем, что $\iota\colon C\to\mathbb P^2$ является погружением, и пусть в окрестности $U\subset C$ точки $p\in C$ погружение $\iota$ задано параметризацией (30),
$$
\begin{equation}
x_1=w^{n+1}+\sum_{i=n+2}^{\infty} a_iw^i, \qquad x_2=-(n+1)w, \qquad x_3=-1,
\end{equation}
\tag{31}
$$
где $d_p=n+1$ – это касательная кратность ростка $\iota(U)$ в точке $P$. Если $(y_1,y_2,y_3)$ – это однородные координаты в $\widehat{\mathbb P}^2$, двойственные к однородным координатам $(x_1,x_2,x_3)$ в $\mathbb P^2$, то поверхность $X$ в окрестности $U\times \widehat{\mathbb P}^2\subset C\times \widehat{\mathbb P}^2$ задается уравнением
$$
\begin{equation*}
y_1\biggl(w^{n+1}+\sum_{i=n+2}^{\infty} a_iw^i\biggr)-(n+1)y_2w-y_3=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, пересечение $X_{U,1}:=X\cap (U\times \widehat{\mathbb P}^2)$, лежащее в $U\times {\mathbb C}^2$, задается уравнением где $\mathbb C^2=\{ y_1\neq 0\}$ – это аффинная плоскость в $\widehat{\mathbb P}^2$ и $z=y_2/y_1$, $v=y_3/y_1$. Следовательно, $X$ является гладкой поверхностью и $(z,w)$ – локальные координаты в $X_{U,1}$.Ограничение $f_{\iota(C)\mid X_{U,1}}\colon X_{U,1}=U\times \mathbb C^2\to \mathbb C^2$ накрытия $f_{\iota(C)}$ на $X_{U,1}$ является ограничением проекции $(z,w,v)\mapsto (z,v)$, и поэтому оно задается функциями
$$
\begin{equation}
u = z,\qquad v = w^{n+1}+ \sum_{i=n+2}^{\infty} a_iw^i -(n+1)zw.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Легко видеть, что $\operatorname{deg} f_{\iota(C)\mid X_{U,1}}=n+1$ и якобиан накрытия $f_{\iota(C)\mid X_{U,1}}$ равен
$$
\begin{equation*}
J(f_{\iota(C)\mid X_U})=(n+1)\biggl(w^{n}+\frac{1}{n+1}\sum_{i=n+2}^{\infty}i a_it^{i-1} -z\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, накрытие $f_{\iota(C)\mid X_{U,1}}$ разветвлено с кратностью 2 в ростке $R_p$ кривой ветвления (вверху) $R_{f_{\iota(C)}}$, задающимся уравнением
$$
\begin{equation}
w^{n}+\frac{1}{n+1}\sum_{i=n+2}^{\infty} ia_iw^{i-1} -z=0.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Из (33) и (34) следует, что росток $(B,l_p)=(f_{\iota(C)\mid X_{U,1}}(R_p),l_p)$ кривой ветвления (внизу) $B_{f_{\iota(C)}}$ задается параметрически функциями
$$
\begin{equation}
u= w^{n}+\frac{1}{n+1}\sum_{i=n+2}^{\infty} ia_iw^{i-1},\qquad v = -nw^{n+1}- \sum_{i=n+2}^{\infty}(i-1) a_iw^i.
\end{equation}
\tag{35}
$$
5.2. Деформации ростков дуализирующих накрытий5.2.1.Рассмотрим семейство
$$
\begin{equation*}
F\colon \mathcal U_{l_p}=U_{l_p}\times \Delta \to \mathcal V_{l_p}=V_{l_p}\times \Delta
\end{equation*}
\notag
$$
ростков конечных накрытий, заданное функциями
$$
\begin{equation}
u = z, \qquad v = w^{n+1}+ (1-\tau)\sum_{i=n+2}^{\infty} a_iw^i -(n+1)zw,
\end{equation}
\tag{36}
$$
где $\Delta=\{ \tau\in \mathbb C\mid |\tau|<1+\varepsilon\}$. Для $\tau_0\in\Delta$ положим $V_{l_p,\tau_0}=V_{l_p}\times \{ \tau=\tau_0\}$, $U_{l_p,\tau_0}=U_{l_p}\times \{\tau=\tau_0\}$ и $f_{\tau_0}=F_{\mid U_{l_p,\tau_0}}\colon U_{l_p,\tau_0}\to V_{l_p,\tau_0}$. Предложение 8. Семейство $F\colon \mathcal U_{l_p}\to \mathcal V_{l_p}$ конечных накрытий, заданное функциями (36), является строгой деформацией накрытия $f_{0}\colon U_{l_p,0} \to V_{l_p,0}$, заданного функциями (33). Доказательство. Легко показать, что ростки $(B_{\tau_0},l_p)$ кривых ветвления (внизу) конечных накрытий $f_{\tau_0}\colon U_{l_p,\tau} \to V_{l_p,\tau_0}$, $\tau_0\in \Delta$, задаются параметрически функциями ($\tau=\tau_0$)
Отметим, что $\mathcal U_{l_p}$ является гладким трехмерным комплексным многообразием и дифференциальная форма $F^*(d\tau)\neq 0$ в каждой точке многообразия $\mathcal U_{l_p}$. Поэтому согласно определениям 2 и 4 в [13] (см. также [18], [17]) достаточно показать, что особые точки семейства ростков кривых $B_{\tau_0}$ могут быть одновременно разрешены до дивизоров с нормальными пересечениями с помощью последовательности $\sigma$-процессов. Пусть $\sigma_1\colon V_{l_p,\tau_0}'\to V_{l_p,\tau_0}$ – $\sigma$-процесс с центром в $l_p\times \{ \tau=\tau_0\}$. В одной из окрестностей с координатами $u_1$, $v_1$ накрывающего ростка $V_{l_p,\tau_0}'$ отображение $\sigma_1$ задается функциями $u=u_1$, $v=u_1v_1$ и собственный прообраз $\sigma_1^{-1}(B_{\tau_0})\subset V_{l_p,\tau_0}'$ ростка $B_{\tau_0}$ задается параметрически функциями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_1= w^{n}+\frac{1-\tau_0}{n+1}\sum_{i=n+2}^{\infty} ia_iw^{i-1}, \\ v_1 = -w\frac{n-(1-\tau_0) \sum_{i=n+2}^{\infty}(i-1) a_iw^{i-n-1}}{1+((1-\tau_0)/(n+1))\sum_{i=n+2}^{\infty} ia_iw^{i-n-1}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Из (38) следует, что ростки $\sigma_1^{-1}(B_{\tau_0})$, $\tau_0\in \Delta$, неособы, они касаются исключительной кривой раздутия $\sigma_1$ (заданной уравнением $u_1=0$) и касаются друг друга с кратностью $n$.
Поэтому нам надо сделать еще $n$ $\sigma$-процессов, чтобы получить дивизор с нормальными пересечениями, двойственный граф которого изображен на рис. 1, где собственный прообраз ростка $B_{\tau_0}$ обозначен той же буквой и $E_i$ – это собственный прообраз исключительной кривой $i$-го $\sigma$-процесса для $i=1,\dots,n+1$. Предложение 8 доказано. 5.2.2.По определению пара $(\mathcal V_p,\mathcal C)$, где $\mathcal C$ – поверхность в $\mathcal V_p=V_p\times \Delta$ такая, что $\operatorname{Sing} \mathcal C=\{ p\}\times \Delta$, является строгой эквисингулярной деформацией ростков кривых
$$
\begin{equation*}
C_{\tau_0}=\operatorname{pr}_2^{-1}(\tau_0)\cap \mathcal C\subset V_{p,\tau_0}=\operatorname{pr}_2^{-1}(\tau_0), \qquad \tau_0\in \Delta,
\end{equation*}
\notag
$$
если существует конечная последовательность моноидальных преобразований $\overline{\sigma}_i\colon \mathcal V_{p,i}\to \mathcal V_{p,i-1}$ (здесь $\mathcal V_{p,0}=\mathcal V_p$) с центрами в сечениях проекции на $\Delta$ такая, что $\overline{\sigma}^{-1}(\mathcal C)$ является дивизором с нормальными пересечениями в $\mathcal V_{p,n}$, где $\overline{\sigma}=\overline{\sigma}_1\circ\dots\circ\overline{\sigma}_n\colon \mathcal V_{p,n}\to\mathcal V_p$. Следующее утверждение является очевидным. Лемма 13. Если $\mathcal C=\mathcal C_{1}\cup \dots \cup \mathcal C_{n}$ – объединение неприводимых поверхностей и $(\mathcal V_p,\mathcal C)$ – строгая эквисингулярная деформация ростков кривых $C_{\tau_0}\subset V_{p,\tau_0}$, то (i) для каждого $k\leqslant n$ пара $(\mathcal V_{p},\mathcal C_{1}\cup \dots \cup \mathcal C_{k})$ является строгой эквисингулярной деформацией ростков кривых $C_{1,\tau_0}\cup\dots\cup C_{k,\tau_0}\subset V_{p,\tau_0}$, где $C_{j,\tau_0}=\mathrm{pr}_2^{-1}(\tau_0)\cap \mathcal C_{j}$, $j=1,\dots,k$; (ii) кратности $\mu_{p_{\tau_0}}(C_{j,\tau_0})$ ростков кривых $C_{j,\tau_0}$ в точке $p_{\tau_0}=p\times \{\tau=\tau_0\}$ не зависят от $\tau_0\in \Delta$; (iii) для $j_{1}\neq j_{2}$ индексы пересечения $(C_{j_{1},\tau_0},C_{j_2,\tau_0})_{p_{\tau_0}}$ в точке $p_{\tau_0}$ не зависят от $\tau_0\in \Delta$. Легко показать, что если $\operatorname{pr}_2\colon (\mathcal V_p,\mathcal C)\to \Delta$ является строгой эквисингулярной деформацией ростков кривых, то (уменьшая, если необходимо, окрестность $V_p$) отображение $\operatorname{pr}_2 \colon (\mathcal V_p,\mathcal C)\to \Delta$ является $C^{0}$-локально тривиальным расслоением пары $(\mathcal V_{p,\tau_0},\mathcal C_{\tau_0})$. В частности, существует естественный изоморфизм $\pi_1(\mathcal V_p\setminus \mathcal C)\simeq \pi_1(V_{p,\tau_0}\setminus C_{\tau_0})$. Если $f_p\colon U_p\to V_p$ – росток $N$-листного конечного накрытия гладких поверхностей и $\operatorname{pr}_2\colon (\mathcal V_p,\mathcal B)\to \Delta$ – строгая эквисингулярная деформация ростка кривой ветвления $(B,p):=B_{\tau_0}\subset V_{p,\tau_0}=V_p$ накрытия $f_p$, то согласно теореме Римана–Штейна (см. [16]) гомоморфизм монодромии
$$
\begin{equation*}
F_*\colon \pi_1(\mathcal V_p\setminus \mathcal B)\simeq \pi_1(V_{p,\tau_0}\setminus B_{\tau_0})\xrightarrow{f_{p*}} G_{f_p,p}\subset \mathbb S_N
\end{equation*}
\notag
$$
определяет конечное $N$-листное накрытие $F\colon \mathcal U_p\to \mathcal V_p=V_p\times \Delta$, разветвленное в $\mathcal B\subset\mathcal V_p$. Предложение 9. Накрытие $F\colon \mathcal U_p\to \mathcal V_p=V_p\times \Delta$ является строгой деформацией ростка $f_p\colon U_p\to V_p$. Отображение $\operatorname{pr}_2{\circ}\, F\colon (\mathcal U_p,F^{-1}(\mathcal B))\to \Delta$ является строгой эквисингулярной деформацией прообраза $f_p^{-1}(B)$ кривой ветвления $B$ ростка $f_p\colon U_p\to V_p$. Доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 3 в [11]. В обозначениях, введенных в п. 2.3.3, пусть $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\to V_p$ – это неприводимый росток конечного накрытия $f\colon S\to \mathbb P^2$, принадлежащего множеству $\mathcal F_{(2)}$, и пусть $(B_1,p)\subset V_p$ – росток кривой ветвления ростка $f_{\mid U_{p,1}}$. Предложение 10. Пусть $F\colon \mathcal U_{p,1}\to \mathcal V_{p}$ строгая деформация ростка $f_{\mid U_{p,1}}$: $U_{p,1}\to V_p$, $\operatorname{deg} f_{\mid U_{p,1}}=n+1$, накрытия $\{ f\colon S\to\mathbb P^2\} \in\mathcal F_{(2)}$. Если росток $f_{\mid U_{p,1}}$ удовлетворяет следующим условиям: (1) если $f_i\colon U_{p,i,1}\to V_p$, $i=1,2$, – две копии ростка $f_{\mid U_{p,1}} \colon U_{p,1}\to V_p$, то нормализация расслоенного произведения $U_{p,1,1}\times_{V_p}U_{p,2,1}$ является несвязным объединением $\widetilde W_{p,1,1}'\sqcup \widetilde W_{p,1,1}''$ двух гладких окрестностей 3, (2) росток $f_{\mid U_{p,1}}$ удовлетворяет условию (IV) и обладает экстрасвойством над точкой $p$, то для всех $\tau_0\in\Delta$ ростки $f_{\tau_0}\colon U_{p,\tau_0}\to V_{p,\tau_0}$ удовлетворяют условию (IV) и обладают экстрасвойством над точкой $p$. Доказательство. Утверждение о том, что ростки $f_{\tau_0}\colon U_{p,\tau_0}\to V_{p,\tau_0}$ удовлетворяют условию (IV), непосредственно следует из утверждения (ii) леммы 13.
Далее мы используем обозначения, введенные в п. 2.3.3. Чтобы доказать, что ростки $f_{\tau_0}\colon U_{p,\tau_0}\to V_{p,\tau_0}$ обладают экстрасвойством над точкой $p$, рассмотрим накрытие $g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''}\colon \widetilde W_{p,1,1}''\to U_{p,1,1}$. Накрытие $g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''}$ является $n$-листным накрытием, разветвленным (внизу) в $C_1\cap U_{p,1,1}$ и разветвленным (вверху) в $\widetilde C_2\cap \widetilde W_{p,1,1}''$. Для описания гомоморфизма монодромии
$$
\begin{equation*}
g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}\colon \pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1, q_1)\to \mathbb S_n
\end{equation*}
\notag
$$
отождествим группу $\pi_1(U_{p,1,1}\setminus f_{1\mid U_{p,1,1}}^{-1}(B_1), q_1)$ со стабилизатором
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi_1(V_p\setminus B_1,q)^{q_1} &=\{ \gamma\in \pi_1(V_p\setminus B_1)\mid f_{1\mid U_{p,1,1}*}(\gamma)(q_1)=q_1 \} \\ &\simeq \pi_1(U_{p,1,1}\setminus f_{\mid U_{p,1,1}}^{-1}(B_1), q_1) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
точки $q_1\in f_1^{-1}(q)$. Пусть $\iota_*\colon \pi_1(U_{p,1,1}\setminus f_{\mid U_{p,1,1}}^{-1}(B_1),q_1)\to \pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1,q_1)$ – это эпиморфизм, индуцированный вложением $\iota \colon U_{p,1,1}\setminus f_{1\mid U_{p,1,1}}^{-1}(B_1)\to U_{p,1,1}\setminus C_1$. Тогда гомоморфизм монодромии $g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}\colon \pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1, q_1)\to \mathbb S_n$ определяется действием группы $\pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1,q_1)$ на множестве $g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''}^{-1}(q_1)=\{ (q_1,q_2),\dots, (q_1,q_{n+1})\}$, элементы которой $\iota_*(\gamma)\in \pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1, q_1)$ действуют по правилу
$$
\begin{equation}
g_{1*}(\iota_*(\gamma))((q_1,q_j))=(q_1,f_*(\gamma)(q_j)),
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $\gamma\in \pi_1(U_{p,1,1}\setminus f^{-1}(B), q_1)^{q_1}$.
Отметим, что $g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}\colon \pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1, q_1)\to \mathbb S_n$ является эпиморфизмом, так как $f_{1\mid U_{p,1,1}*}\colon \pi_1(V_p\setminus B_1,q)\to \mathbb S_{n+1}$ – эпиморфизм. Окрестность $U_{p,1,1}$ является ростком неособой поверхности. Поэтому она односвязна и согласно теореме Зариского–ван Кампена группа $\pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1, q_1)$ порождается геометрическими порождающими элементами. Легко видеть, что при отождествлении группы $\pi_1(U_{p,1,1}\setminus f_{1\mid U_{p,1,1}}^{-1}(B_1), q_1)$ со стабилизатором $\pi_1(V_p\setminus B_1,q)^{q_1}$ точки $q_1$ геометрические порождающие, принадлежащие группе $\pi_1(V_p\setminus B_1,q)^{q_1}$, являются геометрическими порождающими группы $\pi_1(U_{p,1,1}\setminus f_1^{-1}(B_1), q_1)$ и элементы $\iota_*(\gamma)\in \pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1, q_1)$ являются геометрическими порождающими группы $\pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1, q_1)$, если $\gamma\not\in \ker \iota_*$. Поэтому из (39) следует, что образы $g_{1*}(\overline{\gamma})\in \mathbb S_n$ геометрических порождающих $\overline{\gamma}\in \pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1, q_1)$ являются транспозициями. Аналогично гомоморфизм монодромии
$$
\begin{equation*}
g_{1,2\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}\colon \pi_1(\widetilde W_{p,1,1}''\setminus g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''}^{-1}(B_1))\to \mathbb S_{n(n+1)}
\end{equation*}
\notag
$$
накрытия $g_{1,2\mid \widetilde W_{p,1,1}''}\colon \widetilde W_{p,1,1}''\to V_{p}$ определяется действием группы $\pi_1(V_{p}\setminus B_1,q)$ на множестве $g_{1,2\mid \widetilde W_{p,1,1}''}^{-1}(q)=\{ (q_{j_1},q_{j_2})\in \{ q_1,\dots,q_{n+1}\}^2\mid q_{j_1}\neq q_{j_2}\}$, заданным следующим образом:
$$
\begin{equation}
g_{1,2\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}(\gamma)((q_{j_1},q_{j_2}))=(f_{1\mid \widetilde U_{p,1}*}(\gamma)(q_{j_1}),f_*(\gamma)(q_{j_2})).
\end{equation}
\tag{40}
$$
Рассмотрим деформацию $F\colon \mathcal U_{p,1,1}=\mathcal U_{p,1}\to \mathcal V_p$, разветвленную в $\mathcal B\subset \mathcal V_p$, где $\operatorname{pr}_2\colon (\mathcal V_p,\mathcal B)\to\Delta$ – строгая эквисингулярная деформация ростка кривой $(B_{\tau_0},p_{\tau_0})\subset V_{p,\tau_0}$. Из предложения 9 и леммы 13 следует, что гомоморфизмы монодромии $g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}\colon \pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1)\to \mathbb S_{n}$ и $g_{1,2\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}\colon \pi_1(V_{p}\setminus B_1)\to \mathbb S_{n(n+1)}$, однозначно определенные формулами (39) и (40), задают строгие деформации $G_1\colon \widetilde{\mathcal W}''_{p,1,1}\to \mathcal U_{p,1,1}$ ростка $g_1\colon \widetilde W''_{p,1,1}\to U_{p,1,1}$ и $G_{1,2}\colon \widetilde{\mathcal W}''_{p,1,1}\to \mathcal V_{p}$ ростка $g_{1,2}\colon \widetilde W''_{p,1,1}\to V_{p}$. Легко видеть, что деформации $G_1$ и $G_{1,2}$ могут быть включены в следующую коммутативную диаграмму: и чтобы завершить доказательство предложения 10, достаточно применить утверждения (i) и (iii) леммы 13 и предложение 9 к поверхности $G_{1,2}^{-1}(\mathcal B)$, принимая во внимание то, что отображение $F$ разветвлено в строгой эквисингулярной деформации $ \mathcal R_1\subset \mathcal U_{p,1,1}$ кривой ветвления $R_1\cap U_{p,1,1}$ накрытия $f_1\colon U_{p,1,1}\to V_p$ и что $G_1^{-1}(\mathcal R_1)\subset G_{1,2}^{-1}(\mathcal B)$. Предложение 10 доказано. 5.3. Конец доказательства теоремы 5Рассмотрим $(n+1)$-листный росток $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\to V_p$ конечного накрытия $\{ f\colon S\to\mathbb P^2 \}\in \mathcal F_{(2)}$, заданного в локальных координатах $(z,w)$ в $U_{p,1}$ и $(u,v)$ в $V_p$ формулами Отметим, что росток накрытия $f_{\mid U_{p,1}}$ совпадает с ростком $f_1\colon U_{l_p,1}\to V_{l_p,1}$ в деформации $F\colon \mathcal U_{l_p}\to \mathcal V_{l_p}$ ростка накрытия, заданного формулами (36). Поэтому теорема 5 следует из предложений 10 и 4, неравенств (21) и (23), теоремы 3 и следующего предложения.Предложение 11. Росток $f_{\mid U_{p,1}} \colon U_{p,1}\to V_p$ накрытия $\{ f\colon S\to\mathbb P^2\} \in\mathcal F_{(2)}$, заданный функциями (41), удовлетворяет следующим условиям: (1) если $f_{i}\colon U_{p,i,1}\to V_p$, $i=1,2$, – две копии ростка $f_{\mid U_{p,1}} \colon U_{p,1}\to V_p$, то нормализация расслоенного произведения $U_{p,i,1}\times_{V_p}U_{p,2,1}$ является несвязным объединением $\widetilde W_{p,1,1}'\sqcup \widetilde W_{p,1,1}''$ двух гладких окрестностей, (2) росток $f_{\mid U_{p,1}}$ удовлетворяет условию (IV) и обладает экстрасвойством над точкой $p$. Доказательство. Мы используем обозначения, введенные в п. 2.3.3. Легко видеть, что кривые ветвления (вверху) $R_i\subset U_{p,i,1}$ накрытий $f_i$, $i=1,2$, задаются уравнением и легко проверить, что росток $(B,p)\subset V_p$ кривой ветвления (внизу) $B$ задается уравнением Поэтому где $p_{i,1}=f_{i} ^{-1}(p)\cap U_{p,i,1}$, и, следовательно, росток $f_{\mid U_{p,1}}$ удовлетворяет условию (IV).
Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & f_i^*(v^n+(-1)^{n+1}n^nu^{n+1}) = (w^{n+1}-(n+1)wz)^n+(-1)^{n+1}n^nz^{n+1} \\ &\qquad = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}C_n^i(n+1)^{n-i}w^{n(i+1)}z^{n-i}+(-1)^{n+1}n^nz^{n+1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
$$
Из (42) и (43) следует, что прообраз $f_i^*(v^n+(-1)^{n+1}n^nu^{n+1})$ делится на $(w^n{-}\,z)^2$, и легко видеть, что многочлен, стоящий в правой части равенства (45) является квазиоднородным многочленом от переменных $w$ и $z$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
f_i^*(v^n+(-1)^{n+1}n^nu^{n+1})= (w^n-z)^2\prod_{i=1}^{n-1}(w^n-\alpha_iz),
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $C_i\cap U_{p,i,1}=C_{i,1}\cup \dots\cup C_{i,n-1}$ состоит из $n-1$ неприводимых компонент $C_{i,j}$, заданных уравнениями $w^n-\alpha_jz=0$ (напомним, что $f_i^*(B)=2R_i+C_i$ в обозначениях, использованных в п. 2.3.3). Заметим, что ростки $C_{i,j}$, $j=1,\dots,n-1$, и $R_i$ являются гладкими ростками кривых и
$$
\begin{equation}
(R_i,C_{i,j})_{p_{i,1}}=(C_{i,j_1},C_{i,j_2})_{p_{i,1}}=n
\end{equation}
\tag{46}
$$
для $j=1,\dots, n-1$ и $1\leqslant j_1<j_2\leqslant n-1$.
В обозначениях, использованных в п. 2.3.3, $n$-листное накрытие $g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''}$: $\widetilde W_{p,1,1}''\to U_{p,1,1}$ разветвлено (внизу) вдоль $C_1\cap U_{p,1,1}$ и разветвлено (вверху) вдоль $\widetilde C_2\cap \widetilde W_{p,1,1}''$. Свойства гомоморфизма монодромии
$$
\begin{equation*}
g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}\colon \pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1, q_1)\to \mathbb S_n
\end{equation*}
\notag
$$
были рассмотрены в доказательстве предложения 10. В частности, там было показано, что $g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}\colon \pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1, q_1)\to \mathbb S_n$ является эпиморфизмом и образы $g_{1*}(\overline{\gamma})\in \mathbb S_n$ геометрических порождающих $\overline{\gamma}\in \pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1, q_1)$ являются транспозициями.
Чтобы описать ростки кривых $\widetilde R\cap \widetilde W_{p,1,1}''$ и $\widetilde C_1\cap \widetilde W_{p,1,1}''$, разрешим особую точку $p_1$ кривой $C_1\cap U_{p,1,1}=\bigcup_{j=1}^{n-1}C_{1,j}$ с помощью последовательности $\psi=\sigma_1\circ \dots \circ\sigma_n \colon Z_n\to U_{p,1,1}$ $n$ $\sigma$-процессов таких, что $\psi^{-1}(C_1\cap U_{p,1,1})$ является дивизором с нормальными пересечениями. Двойственный взвешенный граф кривой $\psi^{-1}(C_1\cap U_{p,1,1})$ изображен на рис. 2, в котором собственные прообразы ростков кривых $C_{1,j}$ обозначены теми же буквами и собственный прообраз исключительной кривой $i$-го $\sigma$-процесса обозначен через $E_i$ для $i=1,\dots,n-1$. Применяя [13; теорема 4], легко показать, что фундаментальная группа
$$
\begin{equation*}
\pi_1\biggl(U_{p,1,1}\setminus \biggl(\bigcup_{j=1}^{n-1}C_{1,j}\biggr)\biggr) \stackrel{\psi}\simeq\pi_1\biggl(Z_n\setminus \psi^{-1}\biggl(\bigcup_{j=1}^{n-1} C_{1,j}\biggr)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
имеет следующее копредставление:
$$
\begin{equation}
\qquad=\bigl\langle c_{1,1},\dots, c_{1,n-1},e_1,\dots, e_{n} \mid e_1^2=e_2, \ e_i^2=e_{i-1}e_{i+1}, \ 2\leqslant i\leqslant n-1,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad [e_n,c_{1,1}]=\dots =[e_n,c_{1,n-1}]=1\bigr\rangle,
\end{equation}
\tag{50}
$$
где $e_i$ (соответственно $c_{1,j}$) – некоторые геометрические порождающие, представленные простыми петлями вокруг кривых $E_i$ (соответственно $C_{1,j}$). Из (47) и (48) следует, что группа $\pi_1(U_{p,1,1}\setminus C_1)$ порождается элементами $c_{1,j}$, $j=1,\dots, n-1$, и элементом $e_n$, и, кроме того, из (50) следует, что элемент $e_n$ принадлежит центру группы $\pi_1\bigl(Z_n\setminus \psi^{-1}\bigl(\bigcup_{j=1}^{n-1}C_{1,j}\bigr)\bigr)$. Поэтому
$$
\begin{equation}
g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}(e_{n})=\mathrm{id},
\end{equation}
\tag{51}
$$
так как центр группы $g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}(\pi_1(Z_n\setminus \psi^{-1}(\bigcup_{j=1}^{n-1}C_{1,j}))=\mathbb S_n$ тривиален. Следовательно, транспозиции $g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}(c_{1,j})$, $j=1,\dots, n-1$, порождают группу $\mathbb S_n$ и
$$
\begin{equation}
g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}(e_{n-1})=\bigl(g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}(c_{1,1})\dots g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}(c_{1,n-1})\bigr)^{-1}
\end{equation}
\tag{52}
$$
является циклом длины $n$. Обозначим через $R'=\psi^{-1}(R_1\cap U_{p,1,1})\subset Z_n$ собственный прообраз ростка $R_1\cap U_{p,1,1}$. Применяя (46), легко видеть, что для $1\leqslant i\leqslant n-1$, $1\leqslant j\leqslant n-1$ и для $1\leqslant j\leqslant n-1$.Пусть $T_n\subset Z_n$ – маленькая трубчатая окрестность кривой $\bigcup_{i=1}^{n-1}E_i$. Хорошо известно (см., например, гл. III, § 5 в [1]), что: $(1_n)$ цикл $\bigcup_{i=1}^{n-1}E_i$ может быть стянут в нормальную особую точку $p'\in Z_n'$ типа $A_{n,n-1}$ бирациональным отображением $\eta\colon Z_n\to Z_n'$, где окрестность $T_n'=\eta(T_n)$ изоморфна окрестности начала координат поверхности в $\mathbb C^3$, заданной уравнением $z^n=xy$ и, не ограничивая общности изложения, можем считать, что кривая $\eta(T_n\cap E_n)$ задана в $T_n'$ уравнением $x=z=0$; $(2_n)$ $\pi_1\bigl(T_n\setminus \bigcup_{i=1}^{n-1}E_i\bigr)=\pi_1(T_n'\setminus p')\simeq \mathbb Z_n$ и универсальное неразветвленное накрытие
$$
\begin{equation*}
\alpha\colon \Delta_1^2\setminus \{ (0,0)\}=\{ (z_1,z_2)\in \mathbb C^2\mid |z_1|>1, |z_2|<1, (z_1,z_2)\neq (0,0)\}\to T_n'\setminus p'
\end{equation*}
\notag
$$
задано функциями $z=z_1z_2$, $x=z_1^n$, $y=z_2^n$; в частности, собственный прообраз $\alpha^{-1}(\eta(T_n\cap E_n))$ задается в $\Delta_1^2$ уравнением $z_1=0$ и является неособым ростком кривой. Легко видеть, что бимероморфное отображение $\psi\colon Z_n\to U_{p,1,1}$ можно разложить в композицию $\psi=\overline{\sigma}_n\circ \eta$ двух отображений $\eta\colon Z_n\to Z_n'$ и $\overline{\sigma}_n\colon Z_n'\to U_{p,1,1}$. Пусть $\widetilde Z_n$ и $\widetilde Z_n'$ – это нормализации расслоенных произведений $Z_n\times_{U_{p,1,1}} \widetilde W_{p,1,1}''$ и $Z_n\times_{U_{p,1,1}} \widetilde W_{p,1,1}''$. Имеем коммутативную диаграмму Гомоморфизмы монодромии
$$
\begin{equation*}
\widetilde g_{1*}\colon \pi_1\biggl(Z_n\setminus \psi^{-1}\biggr(\bigcup_{j=1}^{n-1}C_{1,j}\biggr)\biggr)\to \mathbb S_n, \qquad \widetilde g_{1*}\colon \pi_1\biggl(Z_n'\setminus \overline{\sigma}_n^{-1}\biggl(\bigcup_{j=1}^{n-1}C_{1,j}\biggr)\biggr)\to \mathbb S_n
\end{equation*}
\notag
$$
совпадают с $g_{1\mid \widetilde W_{1,1}''*}$, так как $\psi\colon Z_n\setminus \psi^{-1}(\bigcup_{l=j}^{n-1}C_{1,j})\to U_{p,1,1}\setminus (\bigcup_{j=1}^{n-1}C_{1,j})$ и $\overline{\sigma}_n\colon Z_n'\setminus \overline{\sigma}_n^{-1}(\bigcup_{j=1}^{n-1}C_{1,j})\to U_{p,1,1}\setminus (\bigcup_{j=1}^{n-1}C_{1,j})$ являются биголоморфными отображениями. Из (51) и (52) следует, что накрытие $\widetilde{g}_n'\colon \widetilde Z_n'\to Z_n'$ не разветвлено в кривой $\eta(E_n)\subset Z_n'$, а разветвлено в точке $p'$ с кратностью $n$ и также в собственных прообразах (обозначенных снова теми же буквами) кривых $C_{1,j}:=\eta(C_{1,j})\subset Z_n'$, $j=1,\dots, n-1$. Из $(1_n)$ и (52) следует, что мы можем отождествить накрытие $\widetilde g_{n\mid \widetilde g_n^{-1}(T_n')}'\colon \widetilde g_n^{-1}(T_n')\to T_n'$ с накрытием $\alpha\colon \Delta_1^2\to T_n'$, определенном в свойстве $(2_n)$. Так как $C_{1,j}\subset Z_n'$ – гладкие ростки кривых и $C_{1,j_1}\cap C_{1,j_2}=\varnothing$ в $Z_n'$ при $j_1\neq j_2$, то применяя свойство $(2_n)$, получаем, что $\widetilde Z_n'$ не особо и бимероморфное голоморфное отображение $\widetilde{\sigma}_n'$ стягивает неособую кривую $E=\widetilde g_n'^{-1}(\eta(E_n))$ в точку $p_{1,1}=g_{1,2}^{-1}(p)\cap \widetilde W''_{p,1,1}$. Отметим, что $E=\widetilde{\sigma}_n^{-1}(p_1)$ – связная кривая, так как $\widetilde{\sigma}_n\colon \widetilde Z_n'\to \widetilde W''_{p,1,1}$ – голоморфное бимероморфное отображение из связного гладкого ростка поверхности и $g_{1,2}^{-1}(p)\cap \widetilde W_{p,1,1}''=\{ p_{1,1}\}$ – это одна точка. Так как $g_{1\mid \widetilde W_{p,1,1}''*}(c_{1,j})$ являются транспозициями для $j=1,\dots, n-1$, то прообразы $\widetilde g_1'^*(C_{1,j})$ дивизоров $C_{1,j}$ в $Z_n'$ равны
$$
\begin{equation}
\widetilde g_1'^*(C_{1,j})=2\widetilde C_{2,1,j}+ \sum_{l=1}^{n-1}\widetilde C_{1,2,j,l},
\end{equation}
\tag{55}
$$
где $\widetilde C_{2,1,j}$ – это неприводимые компоненты кривой $\widetilde{\sigma}_n'^{-1}(\widetilde C_2)$ и $\widetilde C_{1,2,j,l}$ – неприводимые компоненты кривой $\widetilde{\sigma}_n'^{-1}(\widetilde C)$. Кроме того, из (54) следует, что для $j=1,\dots,n-1$. Чтобы доказать, что окрестность $\widetilde W_{p,1,1}''$ не особа, рассмотрим дифференциальную $2$-форму $\omega= dz\wedge dw$, где $z,w$ – это локальные координаты в $U_{p,1,1}$. Легко видеть, что дивизор формы $\psi^*(\omega)$ в $Z_n$ – это $(\psi^*(\omega))=\sum_{j=1}^njE_j$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
(\widetilde g_n'^*(\sigma_n'^*(\omega))=nE+ \sum_{j=1}^{n-1}\widetilde C_{2,1,j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, принимая во внимание равенство (56), из формулы присоединения получаем, что
$$
\begin{equation*}
2g(E)-2= ((\widetilde g_n'^*(\sigma_n'^*(\omega))+E,E)_{\widetilde Z_n'}=(n+1)(E^2)_{\widetilde Z_n'}+ n-1\geqslant -2.
\end{equation*}
\notag
$$
Но кривая $E$ стягивается в точку отображением $\widetilde{\sigma}_n'$. Поэтому $(E^2)_{\widetilde Z_n'}< 0$, и, следовательно, $(E^2)_{\widetilde Z_n'}=-1$ и $g(E)=0$, т.е. $E$ – исключительная кривая $\sigma$-процесса $\widetilde{\sigma}_n\colon \widetilde Z_n'\to \widetilde W''_{p,1,1}$ с центром в точке $p_{1,1}$. Таким образом, $\widetilde W_{p,1,1}''$ является неособой поверхностью. Из (53) и (54) следует, что $\widetilde g_1'^{-1}(R')=\bigsqcup_{j=1}^nR'_j$ является несвязным объединением $n$ неприводимых гладких ростков $R'_{j}$ кривой и $\widetilde{\sigma}_n(\widetilde g_1'^{-1}(R'))=g_1^{-1}(R_1)\cap \widetilde W_{p,1,1}''$,
$$
\begin{equation}
(\widetilde{\sigma}_n(R'_{j_1}),\widetilde{\sigma}_n(R'_{j_2}))_{\widetilde W_{p,1,1}''}=1
\end{equation}
\tag{57}
$$
при $j_1\neq j_2$. Применяя равенство (11), получаем, что только один росток кривой, скажем $\widetilde{\sigma}_n'(R'_{1})$, является ростком $\widetilde R\cap \widetilde W_{p,1,1}''$, а $\widetilde{\sigma}_n'(R'_{j})$ – это ростки кривой $\widetilde C_1\cap \widetilde W_{p,1,1}''$ при $j\geqslant 2$. Поэтому из (57) следует, что
$$
\begin{equation*}
(\overline R,\overline C_1)_{\widetilde W_{p,1,1}''}=n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, согласно (44) росток отображения $f_{\mid U_{p,1}}\colon U_{p,1}\to V_p$ обладает экстрасвойством над точкой $p$. Предложение 11 доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kul24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|