| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Точная область однолистного покрытия на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками О. С. Кудрявцеваabc, А. П. Солодовab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Волгоградский государственный технический университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9901e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ настоящей работе изучаются свойства голоморфных отображений единичного круга $\mathbb D=\{z\in \mathbb C\colon |z|<1\}$ в себя с неподвижными точками. Такие исследования имеют богатую историю и дают возможность решения весьма сложных задач в тех областях естествознания, где при описании процессов используется динамика голоморфного отображения. Одним из примеров является задача теории ветвящихся случайных процессов о возможности вложения процесса Гальтона–Ватсона в однородный марковский ветвящийся процесс с непрерывным временем. Эта задача эквивалентна вопросу существования дробных итераций вероятностной производящей функции дискретного процесса, другими словами, ее вложения в однопараметрическую полугруппу вероятностных производящих функций. Полугруппы голоморфных функций также возникают в теории вероятностей. Безграничная делимость закона распределения эквивалентна вложимости его характеристической функции в однопараметрическую мультипликативную полугруппу характеристических функций. Описание таких однопараметрических полугрупп составляет формулу Леви–Хинчина. В некоммутативной теории вероятностей в связи с изучением аналогов формулы Леви–Хинчина имеет место задача вложения инверсированного преобразования Коши вероятностного распределения в однопараметрическую полугруппу относительно операции композиции. (Подробнее о задачах анализа и смежных областей, в которых естественным образом возникают полугруппы голоморфных функций, см. обзор [1].) При изучении свойств голоморфного отображения единичного круга в себя важную роль играют его неподвижные точки. В общем случае внутри единичного круга может не оказаться неподвижных точек. Однако для каждого такого отображения выделяется так называемая точка Данжуа–Вольфа, к которой сходится последовательность натуральных итераций. Если эта точка находится внутри круга, то она является неподвижной. В случае попадания этой точки на границу круга она также является неподвижной в смысле углового предела. Кроме точки Данжуа–Вольфа могут быть и другие неподвижные точки, но они должны располагаться на границе единичного круга. Изучая классы голоморфных отображений единичного круга в себя с двумя неподвижными точками, В. В. Горяйнов обнаружил в [2] новое явление: наличие областей однолистности при некоторых ограничениях на значения угловых производных в граничных неподвижных точках. Впоследствии в работах [3]–[7] осуществлялся поиск точных областей однолистности на указанных классах. Следующим естественным шагом становится выявление влияния угловых производных на области однолистного покрытия, определение их структуры и размеров. Исследованию этого вопроса посвящена настоящая работа. Вообще говоря, вопросы существования и определения количественных характеристик областей покрытия составляют классическое направление геометрической теории функций. Наиболее известна теорема Кёбе о существовании единого круга с центром в начале координат, покрываемого значениями произвольной однолистной в единичном круге $\mathbb D$ функции $f$, нормированной условиями $f(0)=0$, $f'(0)=1$. Гипотеза Кёбе о том, что значение радиуса этого круга равно $1/4$, была подтверждена Л. Бибербахом. Теорема A (Кёбе, см. [8], Бибербах, см. [9]). Если функция $f$ голоморфна и однолистна в круге $\mathbb D$ и удовлетворяет условиям $f(0)=0$, $f'(0)=1$, то образ $f(\mathbb D)$ содержит круг $\{w\in\mathbb C\colon |w|<1/4\}$. В дальнейшем класс голоморфных в единичном круге $\mathbb D$ функций $f$, нормированных условиями $f(0)=0$, $f'(0)=1$, будем обозначать через $\mathscr N$. Заметим, что на всем классе $\mathscr N$ (без дополнительного требования однолистности) теорема типа Кёбе, разумеется, не выполняется. В качестве примера достаточно привести функцию $f(z)=(1-(1-z)^n)/n$, $n\in\mathbb N$, не принимающую в $\mathbb D$ значения $1/n$, сколь угодно близкого к нулю при больших $n$. В то же время вместо требования однолистности на класс $\mathscr N$ могут быть наложены иные ограничения. Например, имеет место следующий результат Т. Каратеодори. Теорема B (Каратеодори, см. [10]). Если функция $f\in \mathscr N$ не имеет нулей в кольце $\{z\in\mathbb{D}\colon 0<|z|<1\}$, то образ $f(\mathbb D)$ содержит круг $\{w\in\mathbb C\colon |w|<1/16\}$. Тем не менее при правильной постановке вопроса экстремальная задача о круге покрытия имеет нетривиальное решение на всем классе $\mathscr N$. А. Блох показал, что для произвольной функции из класса $\mathscr N$ существует круг абсолютного радиуса (свой для каждой функции), однолистно покрываемый ее значениями. Теорема C (Блох, см. [11]). Существует $\beta>0$, обладающее следующим свойством. Если функция $f\in \mathscr N$, то найдется область $\Delta\subset\mathbb D$ такая, что $f$ однолистна в $\Delta$ и образ $f(\Delta)$ содержит круг радиуса $\beta$. Точная верхняя грань $B$ всех таких $\beta$ называется константой Блоха. Поиск ее значения составляет одну из важных и нерешенных задач геометрической теории функций. Лучшая на данный момент оценка сверху константы Блоха получена Л. В. Альфорсом и Г. Грунским (см. [12]):
$$
\begin{equation*}
B\leqslant \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{3}}}\,\frac{\Gamma(1/3)\Gamma(11/12)}{\Gamma(1/4)}\approx{0,472}.
\end{equation*}
\notag
$$
Альфорс также установил в [13] оценку снизу, которая до сих пор является лучшей по своей сути: $B\geqslant \sqrt{3}/4\approx{0,433}$. В дальнейшем удалось лишь незначительно приподнять нижнюю оценку константы Блоха. Так, М. Хейнс показал в [14], что $B> \sqrt{3}/4$, позднее М. Бонк установил в [15], что $B> \sqrt{3}/4+10^{-14}$, а Х. Чен и П. М. Готье получили в [16] оценку $B>\sqrt{3}/4+2\cdot 10^{-4}$. В основе одной из первых оценок константы Блоха лежит представляющий самостоятельный интерес результат о круге однолистного покрытия на классе $\mathscr N_M$, состоящем из функций класса $\mathscr N$, значения которых ограничены постоянной $M$, $M>1$. О. Л. Коши установил (см., например, [17]) существование единого круга с центром в начале координат, однолистно покрываемого всеми функциями из класса $\mathscr N_M$, и оценил снизу его радиус постоянной $1/(6M)$. Впоследствии Э. Ландау вычислил точное значение радиуса этого круга. Теорема D (Ландау, см. [18]). Пусть $f\in\mathscr N_M$, $M>1$. Тогда $f$ однолистно покрывает круг $\{w\in\mathbb C\colon |w|<M(M-\sqrt{M^2-1})^2\}$. При этом для любого $R>M(M-\sqrt{M^2-1})^2$ найдется функция $f\in\mathscr N_M$, не покрывающая круг $\{w\in\mathbb C\colon |w|<R\}$ однолистно. Любопытно, что одновременное требование однолистности и ограниченности, накладываемое на функцию класса $\mathscr N$, приводит к следующему усилению теорем A и D. Теорема E (Пик, см. [19]). Пусть функция $f\in\mathscr N_M$, $M>1$, однолистна в круге $\mathbb D$. Тогда образ $f(\mathbb D)$ содержит круг $\{w\in\mathbb C\colon |w|<M(2M-1-2\sqrt{M(M-1)})\}$. Нетрудно проверить, что при $M\to 1$ радиус покрываемого круга стремится к $1$, а при $M\to \infty$ – к $1/4$. Разумеется, круг покрытия теоремы E содержит круг покрытия теоремы D при каждом $M>1$. Заметим, что в условиях теоремы D можно отказаться от требования однолистности покрытия. В этом случае все функции класса $\mathscr N_M$ покрывают больший круг, размер которого вычислен точно. Теорема F (Ландау, см. [20]). Пусть $f\in\mathscr N_M$, $M>1$. Тогда $f$ покрывает круг $\{w\in\mathbb C\colon |w|<M \rho\}$, где $\rho$ – корень уравнения заключенный между $0$ и $1$. При этом для любого $R>M \rho$ найдется функция $f\in\mathscr N_M$, не покрывающая круг $\{w\in\mathbb C\colon |w|<R\}$. Особенно тесно с теоремой D связан результат Ландау о существовании единого круга однолистности на классе $\mathscr N_M$. Забегая вперед, отметим, что экстремальные функции, устанавливающие точность теорем D и G, одни и те же. Теорема G (Ландау, см. [18]). Пусть $f\in\mathscr N_M$, $M>1$. Тогда $f$ однолистна в круге $\{z\in\mathbb D\colon |z|<M-\sqrt{M^2-1}\}$. При этом для любого $R>M-\sqrt{M^2-1}$ найдется функция $f\in\mathscr N_M$, не однолистная в круге $\{z\in\mathbb D\colon |z|<R\}$. Результаты Ландау о кругах однолистности и покрытия интенсивно используются в геометрической теории функций и имеют большое количество уточнений и обобщений в разных направлениях. Отметим, например, работы Ж. Дьедонне [21] и А. Ф. Берманта [22], связанные с $n$-листными функциями. Теорема H (Дьедонне, см. [21]). Пусть $f\in\mathscr N_M$, $M>1$. Тогда $f$ не более чем $n$-листна в круге $\{z\in\mathbb D\colon |z|<r_n\}$, где $r_n$ – корень уравнения заключенный между $0$ и $1$. При этом для любого $R>r_n$ найдется функция $f\in\mathscr N_M$, не менее чем $(n+1)$-листная в круге $\{z\in\mathbb D\colon |z|<R\}$. Теорема I (Бермант, см. [22]). Пусть $f\in\mathscr N_M$, $M>1$. Тогда $f$ покрывает не более чем $n$-листно круг $\{w\in\mathbb C\colon |w|<M \rho_n\}$, где $\rho_n$ – корень уравнения заключенный между $0$ и $1$. При этом для любого $R>M \rho_n$ найдется функция $f\in\mathscr N_M$, не покрывающая не более чем $n$-листно круг $\{w\in\mathbb C\colon |w|<R\}$. Теорема H содержит в себе теорему G как частный случай при $n=1$, а теорема I перекидывает мост от теоремы D к теореме F, заполняя промежуток между однолистным и бесконечнолистным покрытием. Заметим, что какова бы ни была функция из класса $\mathscr N_M$, однолистно покрываемая ее значениями область существенно шире единого круга однолистного покрытия. Из результатов настоящей работы будет видно, что подобная ситуация имеет место не только для отдельных функций, но и для достаточно широких подклассов класса $\mathscr N_M$. Наша цель – найти точную область однолистного покрытия на одном из важных в приложениях классов, который образуют голоморфные отображения единичного круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками и ограничением на значение угловой производной в граничной неподвижной точке. Как будет видно в дальнейшем, класс таких функций после надлежащей перенормировки входит в класс $\mathscr N_M$. Опишем структуру работы. В § 2 и § 3 даны переработанные доказательства теорем G и D, которые, как нам кажется, проясняют качественные и количественные стороны теорем, позволяют ясно увидеть не только причины существования кругов однолистности и однолистного покрытия, но и геометрию, стоящую за конкретными размерами этих кругов. При этом наши рассуждения устроены так, что поиск точного круга однолистного покрытия возможен после нахождения точного круга однолистности и опирается на явный вид последнего. В § 4 приведены необходимые сведения о неподвижных точках голоморфного отображения и дан краткий обзор классических и новых результатов об областях однолистности в терминах угловой производной в граничной неподвижной точке. При этом особое место отводится теореме о точной области однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками и ограничением на значение угловой производной в граничной неподвижной точке. Эта теорема играет ключевую роль в наших исследованиях. В § 5 содержится основной результат работы – теорема о точной области однолистного покрытия на указанном выше классе функций. При доказательстве мы применяем подход, продемонстрированный в § 2, § 3, и в соответствии с ним используем явный вид точной области однолистности. В § 6 найден круг максимального радиуса, однолистно покрываемый всеми функциями изучаемого класса (центр этого круга отличен от начала координат и смещен в сторону неподвижной точки). В § 7 результаты § 5 распространяются на случай произвольного расположения внутренней неподвижной точки. Результаты настоящей работы были анонсированы в [23], [24]. § 2. Новое доказательство теоремы Ландау о круге однолистностиВ этом параграфе дано новое доказательство теоремы Ландау о круге однолистности на классе голоморфных ограниченных в единичном круге $\mathbb D$ функций. В чем отличие нового доказательства от первоначального? Дело в том, что рассуждения Ландау (см., например, [17]) позволили ему не только установить существование круга, в котором все функции из класса $\mathscr N_M$ однолистны, но еще и вычислить оптимальное значение его радиуса. Это безусловное преимущество оригинального доказательства приводит, однако, к его усложнению. Мы же будем полагать, что радиус единого круга однолистности известен. Точнее, его можно угадать, вычисляя радиус однолистности экстремальной функции, которой является произведение Бляшке, состоящее из двух множителей. Такое допущение позволит нам избежать технических трудностей, связанных с поиском точного значения радиуса однолистности, и сконцентрироваться на причинах существования самого круга однолистности. Переформулируем теорему G в терминах отображений единичного круга в себя. Но прежде введем необходимые обозначения. Пусть $\mathscr B$ – совокупность голоморфных функций, отображающих круг $\mathbb D$ в себя. Обозначим через $\mathscr B[0]$ подкласс функций, сохраняющих точку $z=0$: Для произвольного $M>1$ выделим в $\mathscr B[0]$ подкласс $\mathscr B_M[0]$, состоящий из функций, у которых модуль производной в точке $z=0$ отделен от нуля числом $1/M$:
$$
\begin{equation}
\mathscr B_{M}[0]=\biggl\{f\in \mathscr B[0]\colon |f'(0)|\geqslant\frac 1M\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Рассматривая класс $\mathscr B_{M}[0]$ вместо $\mathscr N_{M}$, имеем следующую эквивалентную формулировку теоремы G. Теорема G'. Пусть $f\in \mathscr B_M[0]$, $M>1$. Тогда $f$ однолистна в круге Какова бы ни была область $\mathscr{V}$, $\mathscr L\subset\mathscr{V}\subset\mathbb D$, $\mathscr{V}\neq \mathscr L$, найдется функция $f\in \mathscr B_M[0]$, не однолистная в области $\mathscr{V}$. Доказательство теоремы G', а следовательно, и теоремы G, основано на фундаментальных неравенствах Ландау и Лёвнера, на которых мы сейчас подробно остановимся. По лемме Шварца функция $f$ из класса $\mathscr B[0]$ отображает любой круг с центром в начале координат в себя. Тем самым неподвижная точка $z=0$ является притягивающей точкой отображения $f\in \mathscr B[0]$, исключая случай поворота круга $\mathbb D$. Оказывается, что притягивающий эффект становится особенно выраженным, если под действием такого отображения две различные точки переходят в одну точку. А именно, имеет место следующее неравенство Ландау. Лемма A (Ландау, см. [18]). Пусть $f\in \mathscr B[0]$ и точки $a, b\in \mathbb D$, $a\neq b$, таковы, что $f(a)=f(b)=c$. Тогда Доказательство. Рассмотрим композицию функции$f\in \mathscr B[0]$ с дробно-линейным преобразованием круга $\mathbb D$ на себя: Ясно, что $g\in \mathscr B$, причем $g(a)=g(b)=0$. Тогда в силу леммы Шварца–Пика (см. [25; гл. VIII, § 1]) функция $g$ представима в виде
$$
\begin{equation*}
g(z)=\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\,\frac{z-b}{1-\overline{b}z}h(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $h\in \mathscr B$, либо $h$ – тождественная константа, по модулю не превосходящая единицы. Полагая в этом представлении $z=0$, получаем $-c = a b h(0)$, откуда следует неравенство (2.3). Лемма доказана. С другой стороны, значения, близкие к неподвижной точке, не могут к ней притягиваться слишком сильно, что вытекает из следующего утверждения Лёвнера. Лемма B (Лёвнер, см. [26]). Пусть $f\in \mathscr B[0]$, $f(z)\not\equiv \varkappa z$, $|\varkappa|=1$. Тогда для любого $r\in(0,1)$ образ круга $\{z\in\mathbb D\colon |z|\leqslant r\}$ при отображении $g(z)=f(z)/z$ лежит в неевклидовом круге Доказательство. Поскольку $f\in \mathscr B[0]$, то в силу леммы Шварца функция $g(z)=f(z)/z$ принадлежит классу $\mathscr B$, причем $g(0)=f'(0)$. Тогда по лемме Шварца–Пика для любого $z\in \mathbb D$, $z\neq 0$, имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{g(z)-f'(0)}{1-\overline{f'(0)}g(z)}\biggr|\leqslant |z|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что если $|z|\leqslant r$, $r\in(0,1)$, то $g(z)$ лежит в неевклидовом круге (2.4). Лемма доказана. Ясно, что, если $r$ выбрать достаточно малым, неевклидов круг (2.4) не будет содержать начало координат, что приведет к оценке снизу на $|f(z)|/|z|$. Теперь мы можем приступить к доказательству теоремы. Доказательство теоремы G'. Получим сначала оценку сверху круга однолистности класса $\mathscr B_M[0]$, доказав вторую часть теоремы. Для доказательства достаточно для каждой точки границы круга $\mathscr L$ (см. (2.2)) предъявить функцию из класса $\mathscr B_M[0]$, производная которой обращается в нуль в этой точке. Для каждого $\varkappa$, $|\varkappa|=1$, рассмотрим следующее произведение Бляшке: Легко проверить, что при каждом $\varkappa$ функция $f_\varkappa$ принадлежит классу $\mathscr B_M[0]$ и имеет в точке $z_{\varkappa}=\varkappa(M-\sqrt{M^2-1})$ нулевую производную.
Покажем теперь, что любая функция $f\in\mathscr B_M[0]$ однолистна в круге $\mathscr L$. Если $f(z)=\varkappa z$, $|\varkappa|=1$, однолистность очевидна. Предположим, что функция $f\in \mathscr B_M[0]$, отличная от поворота круга $\mathbb D$, не однолистна в круге $\mathscr L$, т.е. найдутся точки $a, b\in \mathscr L$, $a\neq b$, такие, что $f(a)=f(b)$. Тогда по лемме A имеет место неравенство $|f(a)|\leqslant |a|\, |b|<(M-\sqrt{M^2-1})|a|$, которое равносильно следующему: где $ g(z)=f(z)/z$. Иначе говоря, $g(a)$ должно попасть внутрь круга $\mathscr L$.С другой стороны, согласно лемме B функция $g(z)$ отображает круг $\mathscr L$ в неевклидов круг
$$
\begin{equation}
\biggl\{w\in\mathbb D\colon \biggl|\frac{w-f'(0)}{1-\overline{f'(0)}w}\biggr|\leqslant M-\sqrt{M^2-1}\biggr\},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
который, как мы сейчас покажем, не пересекается с кругом $\mathscr L$. Действительно, неевклидов круг (2.6) – это евклидов круг $\{w\in\mathbb D\colon |w-c|=R\}$, где
$$
\begin{equation*}
c=\frac{\bigl(1-(M-\sqrt{M^2-1})^2\bigr)f'(0)}{1-(M-\sqrt{M^2-1})^2|f'(0)|^2}, \qquad R=\frac {(M-\sqrt{M^2-1})(1-|f'(0)|^2)}{1-(M-\sqrt{M^2-1})^2|f'(0)|^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $w$ из этого круга, в частности для $g(a)$, справедлива оценка снизу
$$
\begin{equation}
|g(a)|\geqslant |c|-R =\frac{|f'(0)|-(M-\sqrt{M^2-1})}{1-(M-\sqrt{M^2-1})|f'(0)|}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Поскольку $f\in\mathscr B_M[0]$, то $|f'(0)|\geqslant 1/M$ и, значит, выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{|f'(0)|-(M-\sqrt{M^2-1})}{1-(M-\sqrt{M^2-1})|f'(0)|}\geqslant M-\sqrt{M^2-1}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Из (2.7) и (2.8) получаем Оценки (2.5) и (2.9) противоречивы, и, значит, предположение о неоднолистности функции $f\in\mathscr B_M[0]$ в круге $\mathscr L$ ошибочно. Теорема доказана. Замечание 1. В процессе доказательства теоремы хорошо прослеживается геометрическая интерпретация точного значения радиуса однолистности как момента касания кругов, порождаемых леммами A и B. Действительно, круги $\{w\in\mathbb D\colon|w|<r\}$ и $\bigl\{w\in\mathbb D\colon \bigl|(w-f'(0))/(1-\overline{f'(0)}w)\bigr|\leqslant r\bigr\}$ не пересекаются при малых $r$. Рост $r$ приводит к сокращению расстояния между этими кругами, причем момент их касания наступает в точности тогда, когда $r$ достигает значения, равного радиусу круга однолистности (см. (2.5), (2.6) и рис. 1). § 3. Новое доказательство теоремы Ландау о круге однолистного покрытияКак уже упоминалось во введении, существование круга, однолистно покрываемого всеми функциями класса $\mathscr N_M$, обнаружил Коши. Он также получил оценку снизу радиуса этого круга: $R(M)\geqslant 1/(6M)$. Позже Ландау усовершенствовал технику Коши и нашел точное значение радиуса однолистного покрытия: $R(M)=M(M-\sqrt{M^2-1})^2$ (см., например, [17]). Этот результат (теорему D) Ландау доказал независимо от теоремы о круге однолистности (теоремы G). Более того, сначала был получен точный радиус круга однолистного покрытия, а только затем точный радиус круга однолистности. Предлагаемое в данном параграфе новое доказательство теоремы о круге однолистного покрытия формально тоже не зависит от теоремы о круге однолистности, но по сути опирается именно на нее. Как и при доказательстве теоремы G', мы не будем вычислять точное значение радиуса однолистного покрытия, предполагая его известным. Ввиду очевидной взаимосвязи обеих теорем, легко допустить, что в обоих случаях экстремальными функциями будут одни и те же произведения Бляшке, что позволяет угадать точное значение и для радиуса однолистного покрытия: $R(M)=M(M-\sqrt{M^2-1})^2$. Наконец, определяющее значение в доказательстве теоремы D играет полученный в теореме G точный круг однолистности. Именно внутри этого круга и будет лежать область, конформно отображаемая функцией класса $\mathscr N_M$ на круг радиуса $R(M)$. Как и в случае теоремы Ландау о круге однолистности, нам будет удобно сформулировать и доказать теорему Ландау о круге однолистного покрытия в терминах класса $\mathscr B_M[0]$. Теорема E'. Пусть $f\in \mathscr B_M[0]$, $M>1$. Существует функция, обратная к $f$ и конформно отображающая круг на некоторую область $\mathscr X\subset \mathbb D$. Какова бы ни была область $\mathscr V$, $\mathscr W\subset \mathscr V \subset \mathbb D$, $\mathscr V\neq \mathscr W$, найдется функция $f\in \mathscr B_M[0]$, не имеющая обратной в области $\mathscr V$. Доказательство. Как и при доказательстве теоремы G', сначала получим оценку сверху круга однолистного покрытия, доказав вторую часть теоремы. Для каждого $\varkappa$, $|\varkappa|=1$, рассмотрим произведение Бляшке При каждом $\varkappa$ функция $f_\varkappa$ принадлежит классу $\mathscr B_M[0]$ и имеет нулевую производную в точке $z_{\varkappa}=\varkappa (M-\sqrt{M^2-1})$. Следовательно, функция, обратная к $f_\varkappa$, имеет точку ветвления $w_{\varkappa}=f_{\varkappa}(z_{\varkappa})=\varkappa (M-\sqrt{M^2-1})^2$.
Покажем теперь, что в круге $\mathscr W$ все функции класса $\mathscr B_M[0]$ обратимы. Пусть $f\in \mathscr B_M[0]$. Достаточно проверить, что уравнение $f(z)=w$ при каждом $w\in \mathscr W$ имеет в некоторой области круга $\mathbb D$ единственное решение. Покажем, что в качестве такой области можно взять круг $\mathscr L$ (см. (2.2)). Если точка $z$ пробегает окружность $\{z\in\mathbb D\colon |z|=M-\sqrt{M^2-1}\}$, то по лемме B значения функции $g(z)=f(z)/z$ лежат в неевклидовом круге
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\zeta\in\mathbb D\colon \biggl|\frac{\zeta-f'(0)}{1-\overline{f'(0)}\zeta}\biggr|\leqslant M-\sqrt{M^2-1}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Точно так же, как и при доказательстве теоремы G', выводим оценку снизу
$$
\begin{equation*}
|g(z)|\geqslant \frac{|f'(0)|-(M-\sqrt{M^2-1})}{1-(M-\sqrt{M^2-1})|f'(0)|}.
\end{equation*}
\notag
$$
А с учетом того, что $|f'(0)|\geqslant 1/M$, получаем $|g(z)|\geqslant M-\sqrt{M^2-1}$. Наконец, вспоминая, что $g(z)=f(z)/z$ и $|z|=M-\sqrt{M^2-1}$, приходим для указанных $z$ к следующей оценке: $|f(z)|\geqslant (M-\sqrt{M^2-1})^2$. Иначе говоря, как только точка $z$ оказывается на границе круга $\mathscr L$, значение $f(z)$ должно попасть внутрь круга
$$
\begin{equation*}
\mathscr K(z)=\biggl\{\zeta\in\mathbb D\colon \biggl|\frac{\zeta-f'(0)z}{z-\overline{f'(0)}\zeta}\biggr|\leqslant M-\sqrt{M^2-1} \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
не пересекающегося с кругом $\mathscr W$.
На рис. 2 изображено взаимное расположение кругов, когда $|f'(0)|=1/M$ (в этом случае круг $\mathscr K(z)$ касается круга $\mathscr W$). В то время как точка $z$ пробегает окружность $\{z\in\mathbb D\colon |z|=M-\sqrt{M^2-1}\}$, круг $\mathscr K(z)$ катится по кругу $\mathscr W$. Таким образом, когда точка $z$ совершает один оборот против часовой стрелки по окружности $\{z\in\mathbb D\colon |z|=M-\sqrt{M^2-1}\}$, ее образ $f(z)$ совершает один оборот вокруг круга $\mathscr W$, и, следовательно, аргумент $f(z)-w$ получает приращение $2\pi$, какова бы ни была точка $w$ круга $\mathscr W$. Следовательно, в круге $\mathscr L$ уравнение $f(z)=w$ имеет ровно одно решение. Теорема доказана. Замечание 2. Кривая с упомянутым выше свойством (круги $\mathscr K(z)$, порожденные точками этой кривой, не пересекаются с кругом $\mathscr W$) уникальна. В качестве такой кривой может выступать исключительно граница круга $\mathscr L$. Если $|f'(0)|=1/M$ и $|z|\neq M-\sqrt{M^2-1}$, круги $\mathscr K(z)$ и $\mathscr W$ пересекаются. Замечание 3. С геометрической точки зрения границу круга $\mathscr W$ можно охарактеризовать как огибающую семейства кругов $\mathscr K(z)$, порождаемых точками $z$, пробегающими границу круга $\mathscr L$. Замечание 4. Как видно из доказательства, формулировка теоремы допускает следующее уточнение: область $\mathscr X$, на которую одна из ветвей функции, обратной к $f\in \mathscr B_M[0]$, осуществляет конформное отображение круга $ \mathscr W$, может быть выбрана внутри круга $\mathscr L$. § 4. Неподвижные точки и области однолистностиИзучение свойств голоморфного отображения круга в себя тесно связано с анализом его неподвижных точек. Если $f\in \mathscr B$ и $f(z)\not\equiv z$, то в силу леммы Шварца–Пика функция $f$ может иметь внутри круга ${\mathbb D}$ не более одной неподвижной точки. В общем случае функция $f\in \mathscr B$ может не иметь в круге ${\mathbb D}$ неподвижных точек. Однако теорема Данжуа–Вольфа (см. [17; гл. VI, § 43]) утверждает, что если $f \in \mathscr B$ отлична от дробно-линейного преобразования круга ${\mathbb D}$ на себя, то существует единственная точка $q$, $|q|\leqslant 1$, такая, что последовательность натуральных итераций $f^{n}=f\circ f^{n-1}$, $n=2,3,\dots$, функции $f=f^1$ сходится к $q$ локально равномерно в ${\mathbb D}$. При этом если $q$ является граничной точкой, т.е. лежит на единичной окружности $\mathbb{T} = \bigl\{ z\in\mathbb{C}\colon |z| = 1\bigr\}$, то в этой точке существуют угловые пределы
$$
\begin{equation*}
\angle\lim_{z\to q}f(z)=f(q), \qquad \angle \lim_{z\to q}f'(z)=\angle\lim_{z\to q}\frac{f(z)-q}{z-q}=f'(q),
\end{equation*}
\notag
$$
причем $f(q)=q$ и $0<f'(q)\leqslant 1$. Точка $q$ называется точкой Данжуа–Вольфа функции $f$. Если $q\in \mathbb D$, то в силу леммы Шварца–Пика выполняется неравенство $|f'(q)|\leqslant 1$. Таким образом, точка Данжуа–Вольфа функции $f$ является притягивающей ($|f'(q)|< 1$) или нейтральной ($|f'(q)|= 1$) неподвижной точкой. Если функция $f\in \mathscr B$ с точкой Данжуа–Вольфа $q$, $|q|\leqslant 1$, имеет дополнительную неподвижную точку $a$, то она должна располагаться на единичной окружности $\mathbb T$ и ее неподвижность понимается в смысле углового предела В граничной неподвижной точке всегда существует (см., например, [27]) угловой предел Если этот предел конечен, то он является положительным числом и $f'(z)$ имеет тот же угловой предел при $z\to a$. В этом случае предел (4.1) называется угловой производной функции $f$ в точке $a$ и обозначается $f'(a)$.Обозначим через $\mathscr B\{1\}$ класс функций с неподвижной точкой $a=1$:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B\{1\}=\Bigl\{f\in \mathscr B\colon \angle \lim_{z\to 1} f(z)=f(1)=1\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеет место следующая классическая оценка угловой производной. Теорема J (Жюлиа–Каратеодори). Пусть $f\in \mathscr B\{1\}$. Тогда для любого $z\in \mathbb D$ выполняется неравенство Хорошо известно условие локальной однолистности во внутренней точке: функция с отличной от нуля производной в точке однолистна в некоторой ее окрестности. Как показал Валирон, локальная однолистность в случае граничной неподвижной точки имеет место при похожем условии: функция с конечной угловой производной в граничной неподвижной точке однолистна в некотором секторе раствора, сколь угодно близкого к $\pi$. Теорема K (Валирон, см. [17]). Пусть $f\in \mathscr B\{1\}$ и $f'(1)<\infty$. Тогда для любого $\varphi\in(0, \pi/2)$ найдется такое достаточно малое $r>0$, что $f$ однолистна в секторе И. Н. Бейкер и К. Поммеренке в [28], [29] детально изучили характер и размеры областей однолистности функции $f\in\mathscr B\{1\}$ в зависимости от поведения итераций этой функции. В частности, оказалось, что если угловая производная равна единице, то однолистность можно гарантировать не только в секторе, но даже в некоторой области, граница которой касается окружности $\mathbb T$ в точке $z=1$. Относительно недавно Беккер и Поммеренке, исследуя задачу об областях однолистности функций класса $ \mathscr B\{1\}$, получили следующий результат. Теорема L (Беккер, Поммеренке, см. [30]). Пусть $f\in \mathscr B\{1\}$ и $f'(1)<\infty$. Тогда $f$ однолистна в области В силу теоремы Жюлиа–Каратеодори левая часть неравенства в (4.3) всегда больше $1$. Более того, внутри любого угла эта величина стремится к $1$ и, следовательно, внутри части достаточно малой окрестности, лежащей в этом угле, она меньше 2. Тем самым теорема L количественно характеризует утверждение Валирона об однолистности в окрестности граничной неподвижной точки. В качестве сектора (4.2), в котором функция $f$ однолистна, можно выбрать сектор, содержащийся в области (4.3). По аналогии с внутренней неподвижной точкой для произвольного $\alpha>1$ выделим в классе $\mathscr B\{1\}$ подкласс $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$, состоящий из функций, имеющих ограничение на значение угловой производной в граничной неподвижной точке:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B_{\alpha}\{1\}=\bigl\{f\in \mathscr B\{1\}\colon f'(1)\leqslant \alpha\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В [3] показано, что для существования непустых областей однолистности на классе функций только лишь условия на угловую производную не достаточно. Теорема M (Кудрявцева, Солодов, см. [3]). Ни при каком $\alpha>1$ на классе $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ нет непустых областей однолистности. Иначе говоря, полного аналога теоремы Ландау (теоремы G) в случае граничной неподвижной точки не существует. Класс $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ слишком обширен, и для существования непустых областей однолистности необходимо рассматривать более узкие классы. Наиболее естественное сужение класса $\mathscr B_\alpha\{1\}$ – его подкласс, состоящий из функций, имеющих наряду с отталкивающей неподвижной точкой $z=1$ притягивающую неподвижную точку $z=q$. В силу теоремы Данжуа–Вольфа притягивающая неподвижная точка обязательно существует, и дополнительное условие состоит лишь в фиксации ее расположения. Рассмотрим случай, когда точка Данжуа–Вольфа является внутренней. Без ограничения общности будем считать, что это начало координат. Полученный класс обозначим следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B_\alpha[0,1]=\mathscr B_\alpha\{1\}\cap \mathscr B[0], \qquad \alpha>1.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот класс функций был всесторонне исследован Горяйновым в [2]. Он показал, в частности, что при $\alpha\in(1,2)$ класс $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$ содержится в классе $\mathscr B_{\alpha/(2-\alpha)}[0]$ (см. (2.1)). С учетом этого вложения из теоремы G' следует существование единой области однолистности на классе $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, $\alpha\in(1,2)$. В качестве такой области, можно, например, взять круг с центром в нуле, в котором однолистны все функции класса $\mathscr B_{\alpha/(2-\alpha)}[0]$, $\alpha\in(1,2)$. Разумеется, этот круг не является оптимальной областью однолистности, кроме того, геометрия последней, ввиду несимметричности условий, имеет совсем другой характер. В [2] найдена более широкая область однолистности, нежели круг, который получается непосредственно из вложения классов и теоремы G'. Эта область не только содержит внутреннюю неподвижную точку $z=0$, но и примыкает к граничной неподвижной точке $z=1$. Дальнейшие исследования (см. [3], [6], [7]) были связаны с поиском максимально возможной области однолистности на классе $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ при $\alpha\in(1,2)$ и с вопросом существования области однолистности в случае $\alpha\geqslant 2$, когда вложения классов нет и воспользоваться теоремой G' не представляется возможным. Сложность состояла в том, что, в отличие от аналогичной задачи на классе $\mathscr N_M$, неизвестным был не столько размер, сколько геометрическая структура максимально возможной области однолистности. В [6], [7] была найдена точная область однолистности на классе $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ при $\alpha\in(1,4]$ (при $\alpha\in[2,4] $ область однолистности не содержит внутреннюю неподвижную точку). Вопрос о существовании и размере областей однолистности при $\alpha>4$ пока остается открытым. Теорема N (Солодов, см. [6], [7]). Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, $\alpha\in (1,4]$. Тогда $f$ однолистна в области Какова бы ни была область $\mathscr{V}$, $\mathscr D(\alpha)\subset\mathscr{V}\subset\mathbb D$, $\mathscr V\neq \mathscr D(\alpha)$, найдется функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, не однолистная в области $\mathscr{V}$. На рис. 3 можно увидеть структуру области $\mathscr D(\alpha)$ и сравнить ее размер с кругом $\mathscr O(\alpha)$, однолистность в котором всех функций класса $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, $\alpha\in(1,2)$, является следствием теоремы G'. Достаточно сложное в техническом плане доказательство теоремы N основано на идеях, продемонстрированных в § 2. В основе рассуждений лежит следующее неравенство, аналогичное, в определенном смысле, неравенству Ландау (см. лемму A). Лемма C (Cолодов, см. [6], [7]). Пусть $f\in \mathscr B\{1\}$, $f(0)=0$ и точки $a, b\in \mathbb D$, $a\neq b$, таковы, что $f(a)=f(b)=c$. Тогда где $\lambda(z)=-z{(1-\overline{z})}/{(1-z)}$. Замечание 6. Поскольку $|\lambda (z)|=|z|$ для любого $z\in\mathbb D$, то в силу леммы A верна оценка $|\lambda (c)/(\lambda(a)\lambda(b))|\leqslant 1$. Это влечет неотрицательность последнего слагаемого в правой части неравенства (4.5). Не вдаваясь в технические подробности доказательства теоремы N, отметим, что при фиксированном значении $f'(1)\in (1,4]$ некоторые области круга $\mathbb D$ обладают следующим свойством: если различные точки $a$ и $b$ лежат внутри области, неравенство (4.5) не выполняется ни при каком $c\in\mathbb D$. Существование таких областей вытекает из свойств инволюции $\lambda(z)$ (см. [7]). Максимально широкой областью с указанным выше свойством является область $\mathscr D(\alpha)$ (см. (4.4)). Точность области $\mathscr D(\alpha)$ устанавливает семейство произведений Бляшке. Для каждого $\theta\in(-\pi, \pi)$ рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
f_{\theta}(z)=z\frac{1-(\alpha-1)e^{i\theta}+\alpha e^{i\theta}z}{\alpha-(\alpha-1-e^{i\theta})z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что $f_{\theta}$ принадлежит классу $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ и имеет нулевую производную в точке
$$
\begin{equation}
z_{\alpha}(\theta)= \frac{\sqrt{\alpha-1}-e^{-i\theta/ 2}}{\sqrt{\alpha-1}+e^{i \theta/ 2}}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Нетрудно убедиться, что формула (4.6) задает кривую, ограничивающую область $\mathscr D(\alpha)$.
§ 5. Точная область однолистного покрытияСуществование непустой области однолистного покрытия на классе $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha\in(1,2)$, является следствием вложения этого класса в класс $\mathscr B_{\alpha/(2-\alpha)}[0]$ и теоремы E'. Утверждение 1. Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, $\alpha\in (1,2)$. Тогда существует функция, обратная к $f$ и конформно отображающая круг на некоторую область $\mathscr X\subset \mathbb D$. При каждом $\alpha\in(1,2)$ среди кругов с центром в нуле, однолистно покрываемых значениями всех функций класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, круг $\mathscr{E}(\alpha)$ имеет максимальный радиус. Действительно, функция принадлежит классу $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ и в точке $z_{\alpha}=-(1-\sqrt{\alpha-1})/(1+\sqrt{\alpha-1})$ имеет нулевую производную. Следовательно, функция, обратная к $f$, имеет точку ветвления $w_\alpha=f(z_{\alpha})=-(1-\sqrt{\alpha-1})^2/(1+\sqrt{\alpha-1})^2$, расположенную на границе круга $\mathscr{E}(\alpha)$.Поскольку класс $ \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ значительно у́же, чем $\mathscr B_{\alpha/(2-\alpha)}[0]$, мы вправе ожидать существования более широких областей однолистного покрытия, чем круги $\mathscr{E}(\alpha)$, тем более что приведенный выше пример препятствует расширению области однолистного покрытия лишь только в направлении одного луча. Ответ на вопрос о точной области однолистного покрытия на классе функций с внутренней и граничной неподвижными точками и ограничением на значение производной в граничной неподвижной точке дает следующая теорема. Теорема 1. Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, $\alpha\in(1,2)$. Тогда существует функция, обратная к $f$ и конформно отображающая область на некоторую область $\mathscr X\subset \mathbb D$. Какова бы ни была область $\mathscr V$, $\mathscr W(\alpha)\subset \mathscr V \subset \mathbb D$, $\mathscr V\neq \mathscr W(\alpha)$, найдется функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, не имеющая обратной в области $\mathscr V$. Наконец, при $\alpha\geqslant 2$ на классе $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ нет непустых областей однолистного покрытия. Замечание 7. Границей области $\mathscr W(\alpha)$ является кусочно гладкая кривая, описываемая уравнением Доказательство теоремы 1. Получим сначала оценку сверху области однолистного покрытия, доказав вторую часть теоремы. Для каждого $\theta\in (-\pi,\pi)$ рассмотрим следующее произведение Бляшке:
$$
\begin{equation*}
f_{\theta}(z)=z\frac{1-(\alpha-1)e^{i\theta}+\alpha e^{i\theta}z}{\alpha-(\alpha-1-e^{i\theta})z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $f_\theta$ принадлежит классу $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ и имеет нулевую производную в точке $z_{\theta}=({\sqrt{\alpha-1}-e^{-i\theta/ 2}})/({\sqrt{\alpha-1}+e^{i \theta/ 2}})$. Поэтому функция, обратная к $f_\theta$, имеет точку ветвления $w_{\theta}=f_{\theta}(z_{\theta})=-e^{i\theta}({\sqrt{\alpha-1}-e^{-i\theta/ 2}})^2/({\sqrt{\alpha-1}+e^{i \theta/ 2}})^2$. Таким образом, каждая точка границы области $\mathscr W(\alpha)$ (см. (5.3)), за исключением $z=1$, является точкой ветвления функции, обратной к некоторой функции из класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$.
Покажем теперь, что область $\mathscr W(\alpha)$ однолистно покрывается всеми функциями класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$. Выберем произвольную функцию $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$. Достаточно проверить, что уравнение $f(z)=w$ при каждом $w\in\mathscr W(\alpha)$ имеет в некоторой области круга $\mathbb D$ единственное решение. Покажем, что в качестве такой области можно взять область $\mathscr D(\alpha)$ (см. (4.4)). Реализуем тот же план доказательства, что и в теореме Ландау о круге однолистного покрытия (см. теорему E') . Идея состоит в том, чтобы совершить один оборот вдоль границы области $\mathscr D(\alpha)$ и применить принцип аргумента. В отличие от границы круга $\mathscr L$ (см. (2.2)), граница области $\mathscr D(\alpha)$ содержит точку излома $z=1$, в которой функция $f$, вообще говоря, может не быть аналитической. Однако это обстоятельство легко преодолевается. С этой целью мы заменим в процессе доказательства малый участок границы области $\mathscr D(\alpha)$ в окрестности точки излома на подходящую гладкую кривую, целиком лежащую внутри круга $\mathbb D$. Указанную замену траектории осуществим позже, а сначала проверим, что если точка $z$ расположена на кривой
$$
\begin{equation}
z_\varphi=\frac{\sqrt{\alpha-1}-e^{-i \varphi/2}}{\sqrt{\alpha-1}+e^{i \varphi/2}}, \qquad \varphi\in(-\pi, \pi),
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
то значение $f(z)$ не может оказаться внутри области $\mathscr W(\alpha)$. Кривая (5.4) как раз и состоит из всех точек границы области $\mathscr D(\alpha)$ за исключением одной точки, попадающей на окружность $\mathbb T$ и в которой аналитичность $f$ не предполагается.
В силу леммы Шварца функция $g(z)=f(z)/z$ принадлежит классу $\mathscr B$. Более того, легко проверить, что $g\in \mathscr B_{\alpha-1}\{1\}$. Вследствие теоремы Жюлиа–Каратеодори значение $g(z)$ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{|1-g(z)|^2}{1-|g(z)|^2}\leqslant (\alpha-1)\frac{|1-z|^2}{1-|z|^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым значение $f(z)$ должно принадлежать кругу
$$
\begin{equation*}
\mathscr U(z)=\biggl\{\zeta\in\mathbb D\colon 0\leqslant\frac{|z-\zeta|^2}{|z|^2-|\zeta|^2}\leqslant (\alpha-1)\frac{|1-z|^2}{1-|z|^2} \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
какова бы ни была точка $z\in\mathbb D$, в том числе и в случае, когда $z$ попадает на кривую (5.4). (При $\zeta=z$ полагаем $|z-\zeta|^2/\bigl(|z|^2-|\zeta|^2\bigr)=0$.)
Если допустить, что $f(z)\in\mathscr W(\alpha)$ при некотором $z$ на кривой (5.4), то найдется хотя бы одна точка границы области $\mathscr W(\alpha)$, расположенная строго внутри круга $\mathscr U(z)$. Иначе говоря, для некоторых $\varphi,\theta\in(-\pi,\pi)$ пара точек $z$ и $\zeta$, имеющих вид (5.4) и (5.3) соответственно, удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0&\,{<}\,\frac{|(\!\sqrt{\alpha\,{-}\,1}{\kern1pt}{-}\,e^{-i \varphi/2})/(\!\sqrt{\alpha\,{-}\,1}{\kern1pt}{+}\,e^{i \varphi/2})\,{+}\,e^{i\theta} ((\!\sqrt{\alpha\,{-}\,1}{\kern1pt}{-}\,e^{-i\theta/2})/ (\!\sqrt{\alpha\,{-}\,1}{\kern1pt}{+}\,e^{i\theta/2}))^2|^2} {|(\sqrt{\alpha\,{-}\,1}\,{-}\,e^{-i \varphi/2})/(\sqrt{\alpha\,{-}\,1}\,{+}\,e^{i \varphi/2})|^2 \,{-}\,|(\sqrt{\alpha\,{-}\,1}\,{-}\,e^{-i\theta/2})/(\sqrt{\alpha\,{-}\,1}\,{+}\,e^{i\theta/2})|^4} \\ &\,{<}\,(\alpha-1)\frac{|1-(\sqrt{\alpha-1}-e^{-i \varphi/2})/(\sqrt{\alpha-1}+e^{i \varphi/2})|^2}{1-|(\sqrt{\alpha-1}-e^{-i \varphi/2})/(\sqrt{\alpha-1}+e^{i \varphi/2})|^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
После серии преобразований неравенство (5.5) можно записать в следующей эквивалентной форме:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0&<\frac{(\alpha-1)(\alpha\cos(\theta/2)-2\cos(\varphi/2))^2 +((\alpha-1)\sin((\varphi+\theta)/2) +\sin((\varphi-\theta)/2))^2}{\sqrt{\alpha-1} (2\alpha^2\cos(\theta/2)-(\alpha^2+2\alpha-2)\cos(\varphi/2) -2(\alpha-1)\cos(\varphi/2)\cos\theta)} \\ &<\sqrt{\alpha-1}\cos\frac\varphi2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Наконец, равносильные преобразования оценки (5.6) приводят к неравенству
$$
\begin{equation}
8\alpha\sin^2\frac{\varphi-\theta}{4}\biggl( (\alpha-1)(\alpha+2)\sin^2\frac{\varphi+\theta}{4}+(2-\alpha) \cos^2\frac{\varphi-\theta}{4} \biggr)<0.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Поскольку $\alpha\in(1,2)$, неравенство (5.7), а значит, и (5.5) не может выполняться ни при каких значениях $\varphi,\theta\in(-\pi,\pi)$. Таким образом, какова бы ни была точка $z$, расположенная на границе области $\mathscr D(\alpha)$ (т.е. удовлетворяющая равенству (5.4)), ее образ $f(z)$ не может находиться внутри области $\mathscr W(\alpha)$.
На рис. 4 изображена иллюстрация к приведенным рассуждениям в случае $f'(1)=\alpha$. Точка $z$ пробегает по границе области $\mathscr{D}(\alpha)$, а порождаемый ей круг $\mathscr{U}(z)$ катится по границе области $\mathscr{W}(\alpha)$. Фиксируем теперь произвольную точку $w\in\mathscr W(\alpha)$ и приступим к построению упомянутой выше замены траектории. Укажем часть круга $\mathbb D$, в которой должен находиться измененный участок траектории. Положим
$$
\begin{equation}
\varepsilon=\min\biggl(\sqrt{\frac{\alpha-1}\alpha},\, \frac{|1-w|}4\biggr)
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
и рассмотрим следующий сектор:
$$
\begin{equation}
\biggl\{z\in\mathbb D\colon|1-z|<\varepsilon, \,|{\arg(1-z)}|<\operatorname{arctg} \frac 1{\sqrt{\alpha-1}}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Обратим внимание на то, что все точки кривой (5.4), попадающие в $\varepsilon$-окрестность точки $z=1$, находятся внутри сектора (5.9). Фиксируем произвольную точку $z$ внутри этого сектора. С учетом (5.8) имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (\alpha-1)\frac{|1-z|^2}{1-|z|^2} &=(\alpha-1)\frac{|1-z|}{2\cos(\arg(1-z))-|1-z|} <(\alpha-1)\frac{|1-z|}{2\sqrt{(\alpha-1)/\alpha}-\varepsilon} \\ &<\sqrt{\alpha(\alpha-1)}\,|1-z|<\varepsilon\sqrt{\alpha(\alpha-1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Так как круг $\mathscr U(z)$ может быть записан в следующей эквивалентной форме:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\zeta-\frac z{p+1}\biggr|\leqslant \frac {p|z|}{p+1}, \qquad p= (\alpha-1)\frac{|1-z|^2}{1-|z|^2},
\end{equation*}
\notag
$$
то, принимая во внимание (5.8)–(5.10), для любого $\zeta$, принадлежащего кругу $\mathscr U(z)$, выводим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |1-\zeta| &\leqslant |1-z|+\frac{p|z|}{p+1}+\biggl|\zeta-\frac{z}{p+1}\biggr| \leqslant |1-z|+\frac{2p|z|}{p+1}<|1-z|+2p \\ &<\varepsilon +2\varepsilon\sqrt{\alpha(\alpha-1)}<4\varepsilon<|1-w|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Совершим один оборот против часовой стрелки вокруг точки $w$ вдоль гладкой кривой, образуемой частью кривой (5.4), замыкаемой в $\varepsilon$-окрестности точки $z=1$ произвольной гладкой кривой, расположенной внутри сектора (5.9). Подобное срезание угла в $\varepsilon$-окрестности точки $z=1$ возможно, поскольку все точки кривой (5.4), принадлежащие этой окрестности, находятся внутри сектора (5.9). При обходе кривой (5.4), как уже отмечалось ранее, образ точки $z$ не может попасть внутрь области $\mathscr W(\alpha)$ и, следовательно, совершить оборот вокруг точки $w$. В то же время и при прохождении вдоль измененного фрагмента в окрестности точки $z=1$ оборот $f(z)$ вокруг $w$ невозможен ввиду оценки (5.11). Таким образом, когда точка $z$ совершает один оборот, аргумент $f(z)-w$ получает приращение $2\pi$. Поскольку измененный участок кривой может располагаться сколь угодно близко к точке $z=1$, во всей области $\mathscr D(\alpha)$ уравнение $f(z)=w$ имеет ровно одно решение. Так как факт существования единственного решения уравнения $f(z)=w$ установлен для произвольной точки $w\in\mathscr W(\alpha)$, первая часть теоремы доказана. Наконец, для доказательства последней части теоремы достаточно заметить, что кривая (5.3) при $\alpha\to 1+0$ непрерывно деформируется в окружность $\mathbb T$, а при $\alpha\to 2-0$ – в отрезок $[0,1]$. С другой стороны, при каждом $\theta\in [0,\pi)$ функция $f_{\theta}(z)=z \bigl(1-e^{i\theta}+2 e^{i\theta}z\bigr)/\bigl(2-(1-e^{i\theta})z\bigr)$ принадлежит классу $\mathscr B_2[0, 1]$, а функция, обратная к $f_{\theta}$, имеет точку ветвления $w_\theta=\operatorname{tg}^4(\theta/4)$. Тем самым каждая точка круга $\mathbb D$ является точкой ветвления некоторой функции из класса $\mathscr B_2[0, 1]$. Таким образом, уже на классе $\mathscr B_2[0, 1]$ нет непустых областей однолистного покрытия. Теорема 1 полностью доказана. Замечание 8. Кривая, обладающая тем свойством, что круги $\mathscr U(z)$, порожденные ее точками, не пересекаются с областью $\mathscr W(\alpha)$, уникальна. Такой кривой может быть только граница области $\mathscr D(\alpha)$. Если $f'(1)=\alpha$, а $z$ не лежит на границе области $\mathscr D(\alpha)$, круг $\mathscr U(z)$ и область $\mathscr W(\alpha)$ пересекаются. Замечание 9. С геометрической точки зрения границу точной области однолистного покрытия класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ можно охарактеризовать как огибающую семейства кругов $\mathscr U(z)$, порождаемых точками $z$, пробегающими границу точной области однолистности этого же класса. Замечание 10. Как видно из доказательства, формулировка теоремы допускает следующее уточнение: область $\mathscr X$, на которую одна из ветвей функции, обратной к $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, осуществляет конформное отображение области $ \mathscr W(\alpha)$, может быть выбрана внутри области $\mathscr D(\alpha)$. § 6. Максимальный круг однолистного покрытияВ этом параграфе найден круг наибольшего радиуса, который однолистно покрывается значениями всех функций класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$. Разумеется, центр этого круга расположен не в начале координат, а несколько правее. Теорема 2. Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, $\alpha\in(1,2)$. Существует функция, обратная к $f$ и конформно отображающая круг где $k_1=\sqrt{\alpha-1}$, $k_2=\sqrt{\alpha+1}$, $k_3=\sqrt{2\alpha-1}$, на некоторую область $\mathscr X\subset \mathbb D$. Каков бы ни был круг $\mathscr O$, имеющий радиус больший, чем радиус круга $\mathscr C(\alpha)$, найдется функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, не имеющая обратной в круге $\mathscr O$. Доказательство. Начнем с доказательства второй части теоремы. Достаточно показать, что круг радиуса $R$, $R>R(\alpha)$, где
$$
\begin{equation*}
R(\alpha)=\frac{2\alpha(k_3-k_1 k_2)}{(k_2+k_1 k_3)^2},
\end{equation*}
\notag
$$
нельзя вписать в область $\mathscr W(\alpha)$ (см. (5.2)).
Как уже отмечалось, граница области $\mathscr W(\alpha)$ описывается кривой (5.3). Следовательно, ордината этой кривой имеет вид
$$
\begin{equation*}
y=\frac{\alpha(2-\alpha)\sin \theta}{(\alpha+2k_1\cos({\theta}/{2}))^2}, \qquad \theta\in(-\pi,\pi].
\end{equation*}
\notag
$$
В то время как $\theta$ пробегает интервал $(0,\pi)$, производная $y'_{\theta}$ обращается в нуль в точке $\theta =\theta_0$ такой, что $\cos(\theta_0/2)=(k_2k_3-k_1)/(2\alpha)$. Поэтому максимум ординаты кривой, ограничивающей область $\mathscr W(\alpha)$, достигается при $\theta=\theta_0$. Учитывая, что $y(\theta_0)=R(\alpha)$, заключаем, что область $\mathscr W(\alpha)$ целиком находится в полосе шириной $2R(\alpha)$. Но в такую полосу, а тем более в область $\mathscr W(\alpha)$, круг радиуса $R$, $R>R(\alpha)$, вписать нельзя. Перейдем к доказательству первой части теоремы. Достаточно убедиться, что все точки границы круга $\mathscr C(\alpha)$ лежат в замыкании области $\mathscr W(\alpha)$. Рассмотрим произвольную точку на границе круга $\mathscr C(\alpha)$
$$
\begin{equation*}
w_{\varphi}=\frac{2k_1(k_2k_3-k_1)+2\alpha(k_3-k_1k_2)e^{i\varphi}} {(k_2+k_1k_3)^2}, \qquad \varphi\in(-\pi,\pi],
\end{equation*}
\notag
$$
и проверим, что она находится в замыкании области $\mathscr W(\alpha)$, т.е. выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\frac {|1-w_{\varphi}|}{1-|w_{\varphi}|}\leqslant \frac{\alpha}{2k_1}.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Подставляя $w_{\varphi}$ в левую часть (6.2), после преобразований получим
$$
\begin{equation}
\frac{|1-w_{\varphi}|}{1-|w_{\varphi}|}= \frac{2\alpha\sqrt{(k_2 k_3-k_1)^2-2\alpha(k_3-k_1k_2)\cos \varphi}}{(k_2+k_1k_3)^2-\sqrt{(k_2k_3-k_1)^4+8\alpha k_1(k_3-k_1k_2)(k_2k_3-k_1)\cos\varphi}}.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
С учетом (6.3) перепишем неравенство (6.2) в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &4\sqrt{(\alpha-1)((k_2k_3-k_1)^2-2\alpha(k_3-k_1k_2)\cos\varphi)} \\ &\qquad \leqslant (k_2+k_1k_3)^2-\sqrt{(k_2k_3-k_1)^4+8\alpha k_1(k_3-k_1k_2)(k_2k_3-k_1)\cos\varphi}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
В силу четности косинуса достаточно показать справедливость (6.4) на отрезке $[0,\pi]$. Поскольку при $\varphi=\pi/2$ неравенство (6.4) обращается в равенство, то достаточно проверить соответствующие неравенства для производных левой и правой частей (6.4) на промежутках $[0,\pi/2)$ и $(\pi/2, \pi]$. А именно, осталось убедиться, что для всех $\varphi\in[0,\pi/2)$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{4\alpha k_1(k_3-k_1k_2)\sin\varphi}{\sqrt{(k_2k_3-k_1)^2-2\alpha(k_3-k_1k_2)\cos\varphi}} \nonumber \\ &\qquad <\frac{4\alpha k_1(k_3-k_1k_2)(k_2k_3-k_1)\sin\varphi}{\sqrt{(k_2k_3-k_1)^4+ 8\alpha k_1(k_3-k_1k_2)(k_2k_3-k_1)\cos\varphi}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
а для всех $\varphi\in(\pi/2,\pi]$ – противоположное неравенство. После возведения в квадрат неравенство (6.5) можно преобразовать к виду $\cos \varphi > 0$, что верно при $\varphi\in[0,\pi/2)$, а противоположное неравенство – к виду $\cos \varphi < 0$, что верно при $\varphi\in(\pi/2,\pi]$. Теорема доказана. Рис. 5 иллюстрирует взаимное расположение и размеры кругов $\mathscr E(\alpha)$ и $\mathscr C(\alpha)$ (см. (5.1) и (6.1)). Заметим, что при $\alpha\to 1+0$ центр круга $\mathscr C(\alpha)$ стремится к нулю, а для радиусов $r(\alpha)$ и $R(\alpha)$ кругов $\mathscr E(\alpha)$ и $\mathscr C(\alpha)$ верна асимптотика
$$
\begin{equation*}
1-r(\alpha)\sim 4\sqrt{\alpha-1}, \qquad 1-R(\alpha)\sim \sqrt{2}\sqrt{\alpha-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при значениях $\alpha$, близких к 1, оба круга приближаются к кругу $\mathbb D$ и их радиусы отличаются от $1$ на одинаковую по порядку величину. Если же $\alpha$ близко к 2, картина несколько иная. При $\alpha\to 2-0$ центр круга $\mathscr C(\alpha)$ стремится к $z=1/3$, а для радиусов $r(\alpha)$ и $R(\alpha)$ кругов $\mathscr E(\alpha)$ и $\mathscr C(\alpha)$ верна асимптотика
$$
\begin{equation*}
r(\alpha)\sim \frac{(2-\alpha)^2}{16}, \qquad R(\alpha)\sim \frac{2-\alpha}{3\sqrt{3}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как видно из порядковых соотношений при значениях $\alpha$, близких к 2, радиус круга $\mathscr C(\alpha)$ намного больше радиуса круга $\mathscr E(\alpha)$.
§ 7. Случай произвольной внутренней неподвижной точкиПеренесем результат теоремы 1 на случай произвольной неподвижной точки $q\in \mathbb D$. Для этого рассмотрим следующее дробно-линейное преобразование:
$$
\begin{equation*}
w=T(z)=\frac{1-\overline{q}}{1-q}\,\frac{z-q}{1-\overline{q}z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оно отображает единичный круг $\mathbb D$ на себя и удовлетворяет условиям $T(q)=0$, $T(1)=1$. Тогда если функция $f\in \mathscr B[0, 1]$, то композиция $\widetilde{f}(z)=T^{-1}\circ f\circ T(z)$ принадлежит классу $\mathscr B[q, 1]$, причем $\widetilde{f}'(1)=f'(1)$. Иначе говоря, функция $T$ взаимно однозначно отображает класс $\mathscr B_\alpha[q, 1]$ на класс $\mathscr B_\alpha[0, 1]$. Применяя отображение $T$ к области $\mathscr W (\alpha)$ (см. (5.2)), получаем следующий результат. Теорема 3. Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[q, 1]$, $\alpha\in(1,2)$. Тогда существует функция, обратная к $f$ и конформно отображающая область на некоторую область $\mathscr X\subset \mathbb D$. Какова бы ни была область $\mathscr V$, $\mathscr W(\alpha, q)\subset \mathscr V \subset \mathbb D$, $\mathscr V\neq \mathscr W(\alpha, q)$, найдется функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[q, 1]$, не имеющая обратной в области $\mathscr V$. Наконец, при $\alpha\geqslant 2$ на классе $\mathscr B_{\alpha}[q, 1]$ нет непустых областей однолистного покрытия. Замечание 11. Нетрудно проверить, что границей области (7.1) является кривая $w_{q}(\theta)$, $\theta\in(-\pi,\pi]$, определяемая следующим равенством: На рис. 6 изображена область $\mathscr W(\alpha, q)$ в случае общего положения внутренней неподвижной точки $q$. Отметим, что локализация внутренней неподвижной точки, конечно же, влияет на размер и конфигурацию области $\mathscr W(\alpha, q)$. В то же время раствор угла области $\mathscr W(\alpha, q)$ в граничной неподвижной точке не зависит от расположения внутренней неподвижной точки. Величина этого угла зависит исключительно от значения производной в граничной неподвижной точке и равна $2\operatorname{arctg}\bigl((1-\alpha/2)/\sqrt{\alpha-1}\bigr)$. В заключение установим при помощи полученных результатов, что не существует аналога теоремы D на классе $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$, $\alpha>1$. А именно, класс $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ слишком обширен, чтобы для него можно было указать единую область однолистного покрытия. Более того, данная задача не имеет нетривиального решения даже на подклассе $\mathscr B'_{\alpha}\{1\}$ класса $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$, состоящем из функций, имеющих притягивающую неподвижную точку внутри круга $\mathbb D$. Теорема 4. Ни при каком $\alpha>1$ на классе $\mathscr B'_{\alpha}\{1\}$ нет непустых областей однолистного покрытия. Доказательство. В случае $\alpha\geqslant 2$ утверждение теоремы мгновенно следует из теоремы 3. Остановимся подробнее на случае $\alpha\in(1,2)$. Поскольку $\mathscr B'_{\alpha}\{1\}=\bigcup_{q\in\mathbb D}\mathscr B_{\alpha}[q,1]$, то область однолистного покрытия класса $\mathscr B'_{\alpha}\{1\}$ должна быть областью однолистного покрытия каждого из классов $\mathscr B_{\alpha}[q,1]$, $q\in\mathbb D$. Но тогда в силу теоремы 3 область однолистного покрытия класса $\mathscr B'_{\alpha}\{1\}$ должна для каждого $q\in\mathbb D$ содержаться в области $\mathscr W(\alpha,q)$.
С другой стороны, для точек кривой $w_{q}(\theta)$, $\theta\in (-\pi,\pi)$, ограничивающей область $\mathscr W(\alpha,q)$ (см. замечание 11), имеем следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|1-w_{q}(\theta)| \\ &=\frac{2\alpha\cos(\theta/2)|1-q|^2}{|(\alpha-1)(1- \overline{q}-\overline{q}(1-q)e^{i \theta})+(1-\overline{q})e^{i \theta}-\overline{q}(1-q)+2\sqrt{\alpha-1}\, e^{i\theta /2}(1-|q|^2)|} \\ &\leqslant \frac{2\alpha\cos(\theta/2)|1-q|^2}{\operatorname{Re}(e^{-i\theta /2}(\alpha-1+|q|^2-\alpha\overline{q})+e^{i\theta /2}((\alpha-1)|q|^2+1-\alpha\overline{q})\,{+}\,2\sqrt{\alpha-1}\, (1-|q|^2))} \\ &\leqslant \frac{\alpha\cos(\theta/2)|1-q|^2}{\sqrt{\alpha-1}\, (1-|q|^2)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку Из полученной оценки следует, что угловой предел $\angle \lim_{q\to 1} w_{q}(\theta)=1$ равномерно по $\theta\in (-\pi,\pi)$. Таким образом, $\bigcap_{q\in \mathbb D}\mathscr {W}(\alpha,q) =\varnothing$. Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KudSol24} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|