| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О емкостях, соизмеримых с гармоническими М. Я. Мазаловab a Национальный исследовательский университет "МЭИ", г. Смоленск b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9904e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $\mathbf x=(x_1,\dots,x_N) \in \mathbb R^N$, где $N\geqslant2$, $|\mathbf x|=(x_1^2+\dots+x_N^2)^{1/2}$,
$$
\begin{equation}
L(\mathbf x)=L_N(\mathbf x)=\sum_{i, j=1}^N c_{i j} x_{i} x_{j},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
– произвольный однородный полином второй степени в $\mathbb R^N$ с постоянными комплексными коэффициентами $c_{i j}=c_{ji}$, удовлетворяющий условию эллиптичности: $L(\mathbf x)\neq 0$ при всех $\mathbf x \neq \mathbf 0$. Полином $L(\mathbf x)$ является символом соответствующего эллиптического дифференциального оператора
$$
\begin{equation}
\mathcal L=\mathcal L_N =\sum_{i, j=1}^N c_{ij} \frac{\partial^2}{\partial x_{i} \,\partial x_{j}},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
например, полиному $\sum_{n=1}^N x_n^2$ соответствует лапласиан $\Delta=\Delta_N$ в $\mathbb R^N$. В случае $N=2$ есть своя специфика. Пусть
$$
\begin{equation}
\mathcal L=\mathcal L_2=c_{11}\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + 2c_{12}\frac{\partial^2}{\partial x_1 \,\partial x_2} + c_{22}\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
– эллиптический оператор в $\mathbb R^2$, а $\lambda_1$ и $\lambda_2$ – корни соответствующего характеристического уравнения $c_{11}\lambda^2 + 2c_{12}\lambda + c_{22}=0$. Свойство эллиптичности $\mathcal L_2$, очевидно, равносильно тому, что $\lambda_1$ и $\lambda_2$ невещественны. Оператор $\mathcal L_2$ является сильно эллиптическим, если мнимые части корней $\lambda_1$ и $\lambda_2$ имеют разные знаки, и не сильно эллиптическим, если знаки мнимых частей $\lambda_1$ и $\lambda_2$ совпадают. Различия в свойствах решений уравнений $\mathcal L_2f=0$ в сильно и не сильно эллиптических случаях принципиальны и проявляются, в частности, при изучении устранимых особенностей, условий разрешимости краевых задач, при построении критериев равномерной приближаемости функций решениями таких уравнений. Основная причина этих различий – строение фундаментальных решений. Напомним, что любое фундаментальное решение $\Phi_\mathcal L(\mathbf x)=\Phi_{\mathcal L_2} (\mathbf x)$ оператора $\mathcal L_2$ в $\mathbb R^2$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\Phi_\mathcal L(\mathbf x)=k_0\log|\mathbf x| + \Psi_0(\mathbf x),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $\Psi_0$ – некоторая однородная порядка $0$ функция класса $C^{\infty}(\mathbb R^2 \setminus \{0\})$, однозначно определенная с точностью до аддитивной постоянной, а $k_0$ – комплексная постоянная, причем $k_0\ne0$ тогда и только тогда, когда оператор $\mathcal L_2$ сильно эллиптический. Следовательно, только для не сильно эллиптического оператора фундаментальное решение ограничено. Точный вид функции $\Phi$ в зависимости от $\mathcal L_2$ дается в [1; предложение 2.2]. Эллиптические операторы в $\mathbb R^N$ при $N\geqslant3$ тесно связаны с сильно эллиптическими операторами в $\mathbb R^2$. Если $L(x_1,x_2,\dots, x_N)$ – символ эллиптического оператора, то $L(x_1,x_2,0,\dots,0)$ – символ сильно эллиптического оператора в $\mathbb R^2$ (см. [2; лемма 2]). При $N\geqslant3$ фундаментальное решение $\Phi_\mathcal L(\mathbf x)=\Phi_{\mathcal L_N} (\mathbf x)$ оператора $\mathcal L_N$ – однородная порядка $2-N$ функция класса $C^{\infty}(\mathbb R^N \setminus \{0\})$, точный вид которой в зависимости от $\mathcal L_N$ дается в [2; теорема 1]. Основным в работе будет случай $N\geqslant3$, при котором $\lim_{|\mathbf x|\to\infty}\Phi_{\mathcal L}(\mathbf x)=0$. Напомним определения емкостей $\gamma_{\mathcal L}$ и $\alpha_{\mathcal L}$, которые были введены Р. Харви и Дж. Полкингом в [3] для описания устранимых особенности решений уравнений $\mathcal Lf=0$ в классах соответственно ограниченных и непрерывных функций. Отметим, что в терминах этих емкостей получен (см. [4]) критерий равномерной приближаемости функций решениями уравнений $\mathcal Lf=0$ на компактных подмножествах $\mathbb R^N$ для $N\geqslant3$. Пусть $K\subset\mathbb R^N$ – компакт, $N\geqslant3$,
$$
\begin{equation}
\gamma_{\mathcal L}(K)=\sup_T\bigl\{|\langle T\mid 1\rangle|\colon \operatorname{Spt}(T)\subset K,\,\|T*\Phi_{\mathcal L}\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant1\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $\operatorname{Spt}(T)$ – носитель распределения (функции, меры) $T$, $\sup$ берется по всем указанным распределениям $T$, $*$ – оператор свертки, $\langle T\mid \varphi\rangle$ – действие распределения $T$ на функцию $\varphi$ класса $C^{\infty}(\mathbb R^N)$; при $K=\varnothing$ полагаем $\gamma_{\mathcal L}(K)=0$. Заметим, что $T*\Phi_{\mathcal L}\in C^{\infty}(\mathbb R^N\setminus \operatorname{Spt}(T))$. Комментарии к определению (1.5) даются в § 2, в частности, (1.5) равносильно следующему определению:
$$
\begin{equation}
\gamma_{\mathcal L}(K)=\sup_f\Bigl\{|\langle \mathcal Lf\mid 1\rangle|\colon \operatorname{Spt}(\mathcal Lf)\subset K,\,\|f\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N\setminus\operatorname{Spt}(T))}\leqslant1,\,\lim_{\mathbf x\to\infty}f(\mathbf x)=0\Bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Емкость $\alpha_{\mathcal L}(K)$ определяется в соответствии с (1.5), где дополнительно полагаем, что $T*\Phi_{\mathcal L}\in C(\mathbb R^N)$. Емкости $\gamma_{{\mathcal L,+}}$ и $\alpha_{{\mathcal L,+}}$ определяются аналогично $\gamma_{\mathcal L}$ и $\alpha_{\mathcal L}$ при условии, что распределения $T$ – неотрицательные борелевские меры с носителями на $K$, в частности,
$$
\begin{equation}
\gamma_{{\mathcal L,+}}(K)=\sup_{\mu}\bigl\{\|\mu\|\colon \operatorname{Spt}(\mu)\subset K,\, \mu\geqslant0,\,\|\mu*\Phi_{\mathcal L}\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant1\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где $\|\mu\|$ – полная масса меры $\mu$. Емкость произвольного ограниченного (борелевского) множества во всех указанных случаях определяется как супремум емкостей его компактных подмножеств. В силу определений очевидно, что каждая из емкостей $\gamma_{\mathcal L}$, $\alpha_{\mathcal L}$, $\gamma_{{\mathcal L,+}}$, $\alpha_{{\mathcal L,+}}$ есть неубывающая функция множества и что для любого ограниченного множества $U$ имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \gamma_{\mathcal L}(U)\geqslant \alpha_{\mathcal L}(U), \qquad \gamma_{{\mathcal L,+}}(U)\geqslant \alpha_{{\mathcal L,+}}(U), \\ \gamma_{\mathcal L}(U)\geqslant\gamma_{{\mathcal L,+}}(U), \qquad \alpha_{\mathcal L}(U)\geqslant\alpha_{{\mathcal L,+}}(U). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
В теории потенциала гармоническая емкость пропорциональна емкости $\gamma_{{\Delta,+}}$ из (1.7), где $\mathcal L=\Delta$ – оператор Лапласа. Именно, при $N\geqslant3$
$$
\begin{equation}
\Phi_{\Delta}(\mathbf x)=-\frac{1}{(N-2)\sigma_N|\mathbf x|^{N-2}},
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
где $\sigma_N$ – площадь единичной сферы в $\mathbb R^N$, поэтому емкость (1.7) больше (классической) гармонической емкости в $(N-2)\sigma_N$ раз. При этом для любого ограниченного множества $U$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\alpha_{{\Delta,+}}(U)=\alpha_{\Delta}(U)=\gamma_{{\Delta,+}}(U)=\gamma_{\Delta}(U),
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
его ключевые утверждения $\gamma_{{\Delta,+}}(U)=\gamma_{\Delta}(U)$ и $\alpha_{{\Delta,+}}(U)=\gamma_{{\Delta,+}}(U)$ доказываются соответственно в [3; теорема 3.1] и [5; гл. III, лемма 6] (см. также [6; лемма XII]). Важно отметить, что равенство (1.10) тесно связано с разрешимостью задачи Дирихле и принципом максимума для гармонических функций. В случае произвольных операторов $\mathcal L$ с комплексными коэффициентами соответствующий аппарат разработан недостаточно, что не позволяет его применить в общем случае к изучению содержательных свойств емкостей $\gamma_{\mathcal L}$, $\alpha_{\mathcal L}$, $\gamma_{{\mathcal L,+}}$, $\alpha_{{\mathcal L,+}}$. Возникает естественный вопрос о соизмеримости емкостей $\gamma_{\mathcal L}$ и $\gamma_{\Delta,+}$ (с точностью до положительного множителя, зависящего только от многочлена $L$ – символа оператора $\mathcal L$). Заметим, что положительный ответ в сочетании с (1.10) легко дает соизмеримость каждой емкости $\alpha_{\mathcal L}$, $\gamma_{{\mathcal L,+}}$ и $\alpha_{{\mathcal L,+}}$ с $\gamma_{\Delta,+}$. Так как $\sup_{\mathbf x\ne0} |\Phi_{\mathcal L}(\mathbf x)|/|\mathbf x|^{2-N}<\infty$ при $N\geqslant3$ для любого $\mathcal L$, то, очевидно, существует постоянная $A(L)\geqslant1$ такая, что для любого ограниченного множества $U\subset\mathbb R^N$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
A(L)\gamma_{\mathcal L,+}(U)\geqslant \gamma_{\Delta,+}(U), \qquad A(L)\alpha_{ \mathcal L,+}(U)\geqslant \alpha_{\Delta,+}(U).
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
С учетом (1.10) имеем
$$
\begin{equation}
A(L)\gamma_{\mathcal L}(U)\geqslant A(L)\gamma_{\mathcal L,+}(U) \geqslant \gamma_{\Delta,+}(U),
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
поэтому задача состоит в обращении неравенства (1.12), которое, очевидно, достаточно провести для компактов. Это устанавливается в следующей теореме, она является основным результатом настоящей работы. Теорема 1. Пусть $N\,{\geqslant}\,3$, $\mathcal L$ – произвольный эллиптический оператор (1.2) с комплексными коэффициентами. Тогда существует постоянная $A\,{=}\,A(L)\,{\geqslant}\,1$ такая, что $A\gamma_{\Delta,+}(K)\geqslant \gamma_{\mathcal L}(K)$ для любого компакта $K\subset\mathbb R^N$. Дадим комментарии к случаю $N=2$. Если $\mathcal L$ – не сильно эллиптический оператор в $\mathbb R^2$, то его фундаментальное решение (1.4) ограничено, и, следовательно, емкости $\gamma_{\mathcal L}$, $\gamma_{\mathcal L,+}$, определенные в соответствии с (1.5) и (1.7), положительны даже в случае одноточечных множеств. Весьма нетривиальным результатом этого факта является следующее утверждение – частный случай теоремы 1 из [7]. Пусть $X\subset\mathbb R^2$ – произвольный (непустой) компакт, $X^o$ – множество всех его внутренних точек, $f$ – произвольная функция из $C(X)$ такая, что $\mathcal Lf=0$ в $X^o$, тогда $f$ равномерно приближаема на $X$ с любой степенью точности функциями $F$, каждая из которых удовлетворяет уравнению $\mathcal LF=0$ в некоторой (своей) окрестности $X$. Если $\mathcal L$ – сильно эллиптический оператор в $\mathbb R^2$, то $\lim_{|\mathbf x|\to\infty}\Phi_{\mathcal L}(\mathbf x)=\infty$, поэтому емкости $\gamma_{\mathcal L}$, $\alpha_{\mathcal L}$, $\gamma_{{\mathcal L,+}}$, $\alpha_{{\mathcal L,+}}$ определяются локально (см., например, [8; § 1, (1.4)]). Это, в частности, означает, что в (1.5) и (1.7) норма $\|(\cdot)\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^2)}$ заменяется на $\|(\cdot)\|_{\mathrm L^{\infty}(B)}$, где $B$ – круг такой, что $K\subset(1/2)B$. В терминах локальных емкостей в [9] получен критерий равномерной приближаемости функций решениями сильно эллиптических уравнений на компактах в $\mathbb R^2$. Для гармонических емкостей в $\mathbb R^2$ имеется естественный аналог равенства (1.10) (см. [8; предложение 2.1]), а соответствующие емкости $\gamma_{\Delta,+}$ и $\gamma_{\mathcal L,+}$ соизмеримы между собой (см. [8; предложение 2.3]). Последнее утверждение является прямым следствием строения фундаментальных решений (1.4), где $k_0\ne0$. Основным результатом работы [8] является теорема 1.1, смысл которой состоит в следующем. Пусть $\mathcal L_2$ – произвольный сильно эллиптический оператор (1.3) в $\mathbb R^2$, тогда $\mathcal L_3=\mathcal L_2+c_{11}\partial^2/\partial x_3^2$ – эллиптический оператор в $\mathbb R^3$, при этом локальная емкость $\gamma_{\mathcal L_2}(K)$ компакта $K$ относительно круга $B$ радиуса $R$ такого, что $K\subset(1/2)B$, соизмерима с $R\gamma_{\mathcal L_3}(K')$, где $K'=K\times[-R,R]$ – декартово произведение в $\mathbb R^3$. Таким образом, в силу предложения 2.1 и теоремы 1.1 из [8] теорема 1 настоящей работы в $\mathbb R^3$ также приводит к соизмеримости локальных емкостей $\gamma_{\mathcal L_2}$ в $\mathbb R^2$ с гармоническими. В последние десятилетия получен ряд результатов об оценках и соизмеримости различных емкостей (см., например, обзор А. Л. Вольберга и В. Я. Эйдермана [10]), где, как правило, речь идет о свертках распределений и мер с нечетными ядрами. Заметим, что структура фундаментальных решений $\Phi_{\mathcal L}$ операторов $\mathcal L$ существенно иная. При $N=3$ и $N=4$ существует $\vartheta=\vartheta(L)\in(-\pi,\pi]$ такое, что $\operatorname{Re}(e^{i\vartheta}\Phi_{\mathcal L}(\mathbf x))>0$ (это легко влечет соизмеримость $\gamma_{\Delta}$ и $\gamma_{\mathcal L,+}$, но непосредственно не дает соизмеримости $\gamma_{\Delta}$ и $\gamma_{\mathcal L}$), а при $N\geqslant5$ аналогичное неравенство в общем случае не выполняется (см. [2; следствия 2, 3]), и вопрос о соизмеримости $\gamma_{\Delta}$ и $\gamma_{\mathcal L,+}$ – гипотеза 1 из [2]. Вместе с тем (см. [2; теорема 2]) среднее значение функции $\Phi_{\mathcal L_N}$ по единичной сфере в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, всегда отлично от нуля. Напомним, что в работе Х. Толсы [11] была доказана соизмеримость аналитических емкостей $\gamma$ и $\gamma_+$ (счетная субаддитивность емкости $\gamma$ является следствием этого факта). Емкости $\gamma$ и $\gamma_+$ определяются в соответствии с (1.5) и (1.7), где $\mathcal L=(\partial/\partial x_1+i \partial/\partial x_2)/2$ – оператор Коши–Римана с фундаментальным решением $\pi^{-1}/(x_1+ix_2)$. В доказательстве теоремы 1 будем применять некоторые идеи из [11], в частности, индукционные аргументы. Весьма полезной оказалась элементарная лемма 3 из [2]. Структура работы следующая. В § 2 даются подготовительные результаты. В § 3 к изучению емкостей применяется энергетический подход, доказывается предложение 2 – утверждение, аналогичное теореме 1 для емкостей $\gamma_{\mathcal L,+}$. В § 4 доказывается предложение 1, к которому сводится теорема 1, ключевое утверждение – основная лемма 9. В § 5 приводятся различные следствия теоремы 1, касающиеся устранимых особенностей, свойств емкостей и равномерных аппроксимаций (теоремы 2–5). Заметим, что лемма 9 существенно отличается от основных лемм 5.1 и 9.1 работы [11]. В отличие от нечетного ядра Коши, функции $\Phi_{\mathcal L}$ четные, причем с ненулевыми средними, и поэтому копировать доказательство из [11], использующее $\mathrm L^2$-теорию сингулярных интегралов, невозможно. Есть и некоторые технические усовершенствования, которые, по-видимому, могут быть полезны при изучении других емкостей. § 2. Подготовительные результатыВ дальнейшем через $A_1, A_2,\dots$ будем обозначать положительные постоянные, которые могут зависеть только от многочлена $L$ – символа оператора $\mathcal L$ (в частности, от $N$). Значения каждой из этих постоянных в разных соотношениях могут быть различными. Пусть $f=T*\Phi_{\mathcal L}$, где $T$ – распределение с компактным носителем в $\mathbb R^N$. В силу фундаментальности $\Phi_{\mathcal L}$ имеем $\mathcal Lf=T$, и, следовательно, $f=(\mathcal Lf)*\Phi_{\mathcal L}$ в обобщенном смысле. Если $f\in\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)$, то в обозначениях (1.5)
$$
\begin{equation}
\langle T\mid 1\rangle=\langle \mathcal Lf\mid 1\rangle =\int f(\mathbf x)\mathcal L(\varphi(\mathbf x))\,d\mathbf x,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb R^N)$ – произвольная функция, равная 1 в некоторой окрестности $\operatorname{Spt}(\mathcal Lf)$, интеграл вычисляется по мере Лебега в $\mathbb R^N$. Заметим (см., например, [12; лемма 3.1]), что для представления $f=(\mathcal Lf)*\Phi_{\mathcal L}$ достаточно, чтобы $\lim_{\mathbf x\to\infty}f(\mathbf x)=0$ и носитель $\mathcal Lf$ был ограничен; отсюда и из того, что $\mathcal L\varphi=0$ на $\operatorname{Spt}(\mathcal Lf)$, следует эквивалентность (1.5) и (1.6). Функционал $\langle T\mid 1\rangle$ представляет собой старший коэффициент $c_0$ разложения функции $T*\Phi_{\mathcal L}$ в ряд Лорана. Введем обозначения: $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_N)\in\mathbb Z_+^N$ – мультииндекс,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |\alpha|=\sum_{k=1}^N\alpha_k, \qquad \partial^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2} \dotsb\partial x_N^{\alpha_N}}, \\ \alpha!=\alpha_1!\,\alpha_2!\dotsb\alpha_N!, \qquad x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\dotsb x_N^{\alpha_N}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\operatorname{Spt}(T)\subset B(\mathbf a,r)$, где $B(\mathbf a,r)$ – шар в $\mathbb R^N$ с центром $\mathbf a$ радиуса $r$. Тогда (см., например, [13; 1.B], [14; § 7.2]) всюду вне шара $B(\mathbf a,A_1r)$, где $A_1{=}\,A_1(L)\,{>}\,1$, функция $T*\Phi_{\mathcal L}$ разлагается в ряд Лорана, сходящийся в $C^{\infty}$,
$$
\begin{equation}
T*\Phi_{\mathcal L}(\mathbf x)=c_0\Phi_{\mathcal L}(\mathbf x-\mathbf a)+\sum_{\{\alpha\colon |\alpha|\geqslant1\}} c_{\alpha}\partial^{\alpha}\Phi_{\mathcal L}(\mathbf x-\mathbf a),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
а коэффициенты определяются как действия $T$ на пробные $C^{\infty}$-функции:
$$
\begin{equation}
c_0=\langle T\mid 1\rangle, \qquad c_{\alpha}=c_{\alpha}(T,\mathbf a) =\frac{(-1)^{|\alpha|}}{\alpha!}\langle T\mid (\mathbf x-\mathbf a)^{\alpha}\rangle =\frac{(-1)^{|\alpha|}}{\alpha!}\langle (\mathbf x-\mathbf a)^{\alpha}T\mid 1\rangle.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Напомним некоторые элементарные свойства емкостей $\gamma_{\mathcal L}$. 1. Емкость $\gamma_{\mathcal L}$ сохраняется при параллельном переносе. 2. Пусть $K$ – компакт, $\widehat{K}$ – объединение $K$ и всех ограниченных компонент дополнения к $K$, $\partial \widehat{K}$ – граница $\widehat{K}$. Тогда $\gamma_{\mathcal L}(K)=\gamma_{\mathcal L}(\widehat{K})=\gamma_{\mathcal L}(\partial\widehat{K})$. (Действительно, так как формально $\gamma_{\mathcal L}(\partial\widehat{K})\leqslant\gamma_{\mathcal L}(K)\leqslant\gamma_{\mathcal L}(\widehat{K})$, достаточно показать, что $\gamma_{\mathcal L}(\partial\widehat{K})\geqslant\gamma_{\mathcal L}(\widehat{K})$. Для этого функции $f$, $\operatorname{Spt}(\mathcal Lf)\subset\widehat{K}$, достаточно положить равными нулю на $\widehat{K}\setminus\partial\widehat{K}$, функционал $\langle T\,|\, 1\rangle=\langle \mathcal Lf\,|\, 1\rangle=c_0$ определяется только асимптотикой (2.2) функции $f$ в бесконечности, и его значение не изменится.) 3. Пусть $B$ – шар радиуса $r$ в $\mathbb R^N$, $N\,{\geqslant}\,3$, тогда существует постоянная $A_2\,{>}\,1$ такая, что выполнена оценка
$$
\begin{equation}
(A_2)^{-1}r^{N-2}\leqslant\gamma_{\mathcal L}(B)\leqslant A_2r^{N-2}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
(действительно, оценка емкости сверху следует из (2.1), а для оценки емкости снизу достаточно взять, например, свертку $\Phi_{\mathcal L}$ с мерой, равномерно распределенной на $B$). Под кубами будем понимать замкнутые кубы с ребрами, параллельными осям координат. Для куба $Q=Q(\mathbf a,s)$ с центром $\mathbf a\in\mathbb R^N$ и ребром $s$ через $\lambda Q$ обозначим концентричный куб с ребром $\lambda s$. Двоичными кубами будем называть кубы вида
$$
\begin{equation*}
Q=[m_12^{-p},(m_1+1)2^{-p}]\times[m_22^{-p},(m_2+1)2^{-p}]\times\dots \times[m_N2^{-p},(m_N+1)2^{-p}],
\end{equation*}
\notag
$$
где $p, m_1,m_2,\dots, m_N$ – целые числа. В покрытиях всегда будем считать двоичные кубы раздельными, т.е. попарно не имеющими общих внутренних точек. При работе с двоичными кубами удобно использовать разбиения единицы из следующей леммы, установленной в [15]. Лемма 1. Пусть $\{Q_j\}$ – конечное семейство раздельных двоичных кубов с ребрами $s_j$. Тогда существуют (неотрицательные) функции $\varphi_j\in C^{\infty}_0(\mathbb R^N)$ такие, что $\operatorname{Spt}(\varphi_j)\subset (17/16)Q_j$, $0\leqslant \varphi_j(\mathbf x)\leqslant1$, $\sum_j\varphi_j(\mathbf x)=1$ на множестве $\bigcup_jQ_j$, и для всех $j$ и $\alpha$, $|\alpha|\leqslant2$, выполнены неравенства $\|\partial^{\alpha}\varphi_j\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant A(N)s_j^{-|\alpha|}$. Заметим, что конструкция функций $\varphi_j$ весьма прозрачна. Для каждого куба $Q_j$ возьмем функцию $\phi_j\in C^{\infty}_0(\mathbb R^N)$ такую, что $\operatorname{Spt}(\phi_j)\subset (17/16)Q_j$, $0\leqslant \phi_j(\mathbf x)\leqslant1$ при всех $\mathbf x$, $\|\partial^{\alpha}\phi_j\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant A_0(N)s_j^{-|\alpha|}$ для всех $|\alpha|\leqslant2$ и $\phi_j(\mathbf x)=1$ на $Q_j$. Проведем нумерацию так, что $s_1\geqslant\cdots\geqslant s_j\geqslant s_{j+1}\geqslant\cdots$. Возьмем $\varphi_1=\phi_1$, а для $j\geqslant2$ положим $\varphi_j=\phi_j\prod_{k=1}^{j-1}(1-\phi_k)$. При этом для всех $j$ выполнено равенство $\sum_{k=1}^j\varphi_k=1-\prod_{k=1}^j(1-\phi_k)$, а оценки производных функций $\varphi_j$ получаются суммированием геометрической прогрессии (см. [15; лемма 3.1]). В [15; лемма 3.1] взята постоянная $3/2$ вместо $17/16$, но это не существенно (из построения ясно, что можно взять любую постоянную вида $1+\varepsilon$, где $\varepsilon>0$). В дальнейшем желательно “с запасом” контролировать кратность пересечений, работая с кубами Уитни. Будем использовать принцип локализации особенностей, по существу предложенный А. Г. Витушкиным (см. [16; гл. 2]). Он включает в себя разбиения единицы и оценки функций с локализованными особенностями, где учитывается разложение (2.2), (2.3) и асимптотика функции в бесконечности. Для $\varphi\in C^{\infty}_0(\mathbb R^N)$ функция называется локализацией $f$ относительно $\varphi$. Следующее утверждение о свойствах локализаций хорошо известно (см., например, [14; § 14.3] или [7; лемма 1.2]).Лемма 2. Пусть $Q=Q(\mathbf a,s)$ – куб в $\mathbb R^N$, $f\in \mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)$, $\varphi\in C^{\infty}_0(Q)$. Для функции $V_{\varphi}f$ из (2.5) имеет место следующее: a) $\mathcal L(V_{\varphi}f)=\varphi\mathcal Lf$, и, следовательно, $\operatorname{Spt}(\mathcal L(V_{\varphi}f))\subset(\operatorname{Spt}(\varphi)\cap \operatorname{Spt}(\mathcal Lf))$; b) $\lim_{\mathbf x\to\infty}V_{\varphi}f(\mathbf x)=0$; c) выполнена следующая оценка с $A_3=A_3(L)$: где $\omega_f(Q)$ – колебание функции $f$ на $Q$.Заметим, что утверждения a) и b) очевидны, доказательство c) при $f\in C^{\infty}(\mathbb R^N)$ проводится с помощью интегрирования по частям, где учитывается фундаментальность $\Phi_{\mathcal L}$, а в общем случае используются регуляризация и предельный переход. Неравенство (2.6) позволяет оценить сверху лорановские коэффициенты локализаций через емкость $\gamma_{\mathcal L}$. Коэффициент $c_0$ оценивается непосредственно в силу определения емкости:
$$
\begin{equation}
|c_0(V_{\varphi}f)|\leqslant A_3\gamma_{\mathcal L}(\operatorname{Spt}(\varphi)\cap\operatorname{Spt}(\mathcal Lf))\omega_f(Q)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm L^{\infty}(Q)}s^2.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Для оценки остальных коэффициентов $c_{\alpha}$ надо в (2.5) заменить $\varphi$ на произведение $(\mathbf x-\mathbf a)^{\alpha}\varphi$ и в (2.6) воспользоваться элементарной оценкой
$$
\begin{equation*}
\|\nabla^2(\varphi(\mathbf x)(\mathbf x-\mathbf a)^{\alpha})\|_{\mathrm L^{\infty}(Q)}\leqslant A(N)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm L^{\infty}(Q)}(2s)^{|\alpha|}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (2.3) и (2.7) в итоге получим ($\mathbf a$ – центр куба $Q$)
$$
\begin{equation}
|c_{\alpha}(V_{\varphi}f,\mathbf a)|\leqslant(\alpha!)^{-1}A_3\gamma_{\mathcal L}\bigl(\operatorname{Spt}(\varphi)\cap\operatorname{Spt}(\mathcal Lf)\bigr)\omega_f(Q) \|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm L^{\infty}(Q)}(2s)^{2+|\alpha|}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Как следствие леммы 2, разложения (2.2)–(2.3) и оценок (2.7)–(2.8) получим следующее стандартное утверждение, фактически представляющее собой частный случай леммы 2.7 из [4]. Лемма 3. Пусть $f\in \mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)$, $Q$ – некоторый двоичный куб с центром $\mathbf a$ и ребром $s$, $\varphi$ – функция такая, что $\varphi\in C^{\infty}_0(\mathbb R^N)$, $\operatorname{Spt}(\varphi)\subset (17/16)Q$ и $\|\partial^{\alpha}\varphi\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant A(N)s^{-|\alpha|}$ при всех $|\alpha|\leqslant2$ с постоянной $A(N)$ из леммы 1, $V_{\varphi}f$ – локализация $f$ из (2.5) относительно $\varphi$. Тогда имеют место следующие оценки с $A_4=A_4(L)$: (i)
$$
\begin{equation}
|c_{\alpha}(V_{\varphi}f,\mathbf a)|\leqslant A_4s^{|\alpha|} \gamma_{\mathcal L}\biggl(\frac{17}{16}Q\cap\operatorname{Spt}(\mathcal Lf)\biggr)\omega_f \biggl(\frac{17}{16}Q\biggr), \qquad |\alpha|\leqslant1;
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
(ii) $\|V_{\varphi}f\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant A_4\omega_f((17/16)Q)$, причем, если $\mathbf x\not\in(9/8)Q$, то
$$
\begin{equation}
|V_{\varphi}f(\mathbf x)|\leqslant A_4\omega_f\biggl(\frac{17}{16}Q\biggr) \frac{\gamma_{\mathcal L}((17/16)Q\cap\operatorname{Spt}(\mathcal Lf))}{|\mathbf x-\mathbf a|^{N-2}};
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
(iii) если $c_0(V_{\varphi}f)=0$, то при $\mathbf x\not\in(9/8)Q$ Так как лемма 3 стандартна, ограничимся комментариями. Утверждение (i) следует из (2.7) и (2.8). Первое утверждение в (ii) следует из (2.6). Оценки (2.10) и (2.11) следуют из (2.2)–(2.3) и (2.7)–(2.8) суммированием геометрической прогрессии (т.е. по существу так же, как для голоморфных функций), но вне куба $A'Q$ (а не $(9/8)Q$), где $A'$ зависит от постоянной $A_1$, связанной с разложением (2.2). Устраняется $A'$ с помощью разбиения куба $(9/8)Q$ на более мелкие двоичные кубы в масштабе $1/A_1$, представления $V_{\varphi}f$ в виде суммы соответствующих локализаций с $\varphi_j$ из леммы 1 и разложения этих локализаций по отдельности в ряд Лорана. Следующее утверждение элементарно вытекает из леммы 3. Лемма 4. Пусть $Q=Q(\mathbf a,s)$ – двоичный куб, $V_{\varphi}f$ – локализация функции $f$ из леммы 3. Тогда существует функция $\nu_Q\in C_0^{\infty}((1/4)Q)$ такая, что: (1) $\|\nu_Q\|_{\mathrm L^{\infty}((1/4)Q)}\leqslant A_4\gamma_{\mathcal L}((17/16)Q\cap\operatorname{Spt}(\mathcal Lf))\omega_f((17/16)Q)/s^N$; (2) для функции $h_Q=\nu_Q*\Phi_{\mathcal L}$ имеем $\langle\varphi\mathcal Lf\mid 1\rangle=\langle\nu_{Q}\mid 1\rangle$ (т.е. $c_0(h_Q)=c_0(V_{\varphi}f)$), при этом $\|h_Q-V_{\varphi}f\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant A_4\omega_f((17/16)Q)$, и для $\mathbf x\not\in(9/8)Q$ выполнена оценка Доказательство. Возьмем функцию $\nu_{Q,0}\in C_0^{\infty}((1/4)Q)$ такую, что
$$
\begin{equation}
0\leqslant\nu_{Q,0}(\mathbf x)\leqslant 8^N, \qquad \int_{(1/4)Q}\nu_{Q,0}(\mathbf x)\,d\mathbf x=s^N, \qquad \nu_{Q}=\nu_{Q,0}c_0\frac{(V_{\varphi}f)}{s^N}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
В обозначениях (2.3) для функции $h_{Q,0}=\nu_{Q,0}*\Phi_{\mathcal L}$ имеем $c_0(h_{Q,0})=s^N$, причем $\|h_{Q,0}\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant A_4s^2$. Остается взять $h_Q=\nu_{Q}*\Phi_{\mathcal L}=c_0(V_{\varphi}f)h_{Q,0}/s^N$, воспользоваться оценкой (2.9) и оценкой (2.11) для разности $h_Q(\mathbf x)-V_{\varphi}f(\mathbf x)$ с учетом $c_0(h_Q-V_{\varphi}f)=0$. Лемма 4 доказана. Следующее утверждение – несколько ослабленный вариант леммы 8.1 из [11] (с учетом того, что $\mathcal L$, в отличие от оператора Коши–Римана, имеет второй порядок). Оно будет использоваться в доказательстве основной леммы 9. Лемма 5. Пусть $X$ – компакт в $\mathbb R^N$ с $\gamma_{\mathcal L}(X)>0$, $f=(\mathcal Lf)*\Phi_{\mathcal L}$ – функция такая, что $\operatorname{Spt}(\mathcal Lf)\subset X$ и $\|f\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant1$. Пусть $\{Q_j\}$ – некоторое покрытие $X$ конечным семейством раздельных двоичных кубов, причем существует $M\geqslant1$ такое, что для произвольного двоичного куба $D$, содержащего хотя бы один $Q_j$, выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\sum_{\{Q_j|Q_j\subset D\}}\gamma_{\mathcal L}\biggl(\frac{17}{16}Q_j\cap X\biggr)\leqslant (s(D))^{N-2}M.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Пусть $\{\varphi_j\}$ – соответствующее $\{Q_j\}$ разбиение единицы из леммы 1, $V_{\varphi_j}f$ – локализации $f$ из (2.5) при $\varphi=\varphi_j$, $\nu_{Q_j}$ – функции $\nu_Q$ из (2.13), соответствующие $V_{\varphi_j}f$ и $Q=Q_j$, $\nu=\sum_j\nu_{Q_j}$. Тогда для произвольного двоичного куба $Q=Q(\mathbf a,s)$ и (неотрицательной) функции $\varphi\in C_0^{\infty}((17/16)Q)$ такой, что $0\leqslant \varphi(\mathbf x)\leqslant1$ и $\|\partial^{\alpha}\varphi\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant A(N)s^{-|\alpha|}$ при всех $|\alpha|\leqslant2$ в обозначениях леммы 3, выполнены оценки Доказательство. Оценка (2.15), 1) непосредственно следует из (2.13) и (2.14). Докажем оценку (2.15), 2), она существенно сложнее.
Далее считаем, что $(17/16)Q$ не содержится в $Q_j$ ни при каком $j$, иначе оценка (2.15) при $M=1$ следует из (2.13) и $\nu_{Q_{j'}}(\mathbf x)=0$ на $(17/16)Q$ для всех $j'\ne j$. Используя разбиение единицы $\{\varphi_j\}$, представим $\langle\mathcal Lf\mid \varphi\rangle$ в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\langle\mathcal Lf\mid \varphi\rangle=\mathop{{\sum}'}_j\langle\varphi_j\mathcal Lf\mid \varphi\rangle+\mathop{{\sum}''}_j\langle \varphi_j\mathcal L f\mid \varphi\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где суммируются все $j$ такие, что $(17/16)Q_j$ пересекают $(17/16)Q$, в первой сумме $Q_j$ содержатся в $16Q$ для всех $j$, а во второй сумме рассматриваются остальные $j$.
Сначала рассмотрим вторую сумму. Для всех $j$ имеем: $s(Q_j)\geqslant4s(Q)$, причем $Q_j$ не содержит $(17/16)Q$. Так как $\operatorname{Spt}(\nu_{Q_j})\subset(1/4)Q_j$, отсюда следует, что $\nu_{Q_j}(\mathbf x)=0$ на $(17/16)Q$. Поэтому для $\varphi$ из (2.15), 2) имеем
$$
\begin{equation}
\mathop{{\sum}''}_j\langle \nu_{Q_j}\mid \varphi\rangle=0.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Пусть $\varphi_0=\mathop{{\sum}''}_j\varphi_j$. В силу построения имеем $0\leqslant \varphi_0(\mathbf x)\leqslant1$, и, суммируя геометрическую прогрессию, слагаемые в которой соответствуют кубам $Q_j$ одинакового размера, нетрудно показать, что $\|\partial^{\alpha}\varphi_0\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant A_6s^{-|\alpha|}$ при $|\alpha|\leqslant2$. Отсюда в силу неравенства (2.7) (в котором заменяется $\varphi$ на $\varphi\varphi_0$) получим
$$
\begin{equation}
\biggl|\mathop{{\sum}''}_j\langle{\varphi_j\mathcal L}f\mid \varphi\rangle\biggr|\leqslant A_5s^{N-2}.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Так как в силу (2.7) также имеем неравенство $|\langle\mathcal Lf\mid \varphi\rangle|\leqslant A_5s^{N-2}$, отсюда, из (2.17) и (2.16) получим
$$
\begin{equation}
\biggl|\mathop{{\sum}'}_j\langle{\varphi_j\mathcal L}f\mid \varphi\rangle\biggr|\leqslant A_5s^{N-2}, \qquad \langle\nu\mid \varphi\rangle=\mathop{{\sum}'}_j\langle \nu_{Q_j}\mid \varphi\rangle.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Пусть $Q_j=Q(\mathbf a_j,s_j)$. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\mathop{{\sum}'}_j\langle \nu_{Q_j}\mid \varphi\rangle=\mathop{{\sum}'}_j\varphi(\mathbf a_j)\langle\nu_{Q_j}\mid 1\rangle +\mathop{{\sum}'}_j\langle\nu_{Q_j}\mid (\varphi-\varphi(\mathbf a_j))\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу определения $\nu_{Q_j}$ и леммы 4 имеем $\varphi(\mathbf a_j)\langle\varphi_j\mathcal Lf\mid 1\rangle =\varphi(\mathbf a_j)\langle\nu_{Q_j}\mid 1\rangle$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathop{{\sum}'}_j\langle \nu_{Q_j}\mid \varphi\rangle =\mathop{{\sum}'}_j\varphi(\mathbf a_j)\langle\varphi_j\mathcal Lf\mid 1\rangle+\mathop{{\sum}'}_j\langle\nu_{Q_j}\mid (\varphi-\varphi(\mathbf a_j))\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в силу очевидного равенства
$$
\begin{equation*}
\mathop{{\sum}'}_j\varphi(\mathbf a_j)\langle\varphi_j\mathcal Lf\mid 1\rangle =\mathop{{\sum}'}_j\langle\varphi_j \mathcal Lf\mid \varphi\rangle-\mathop{{\sum}'}_j\langle\mathcal Lf\mid (\varphi-\varphi(\mathbf a_j))\varphi_j\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
и (2.18) для доказательства оценки (2.15) достаточно установить следующую оценку:
$$
\begin{equation}
\mathop{{\sum}'}_j\bigl(|\langle\mathcal Lf\mid (\varphi-\varphi(\mathbf a_j))\varphi_j\rangle| +|\langle\nu_{Q_j}\mid (\varphi-\varphi(\mathbf a_j))\rangle|\bigr)\leqslant A_7M^{2/3}s^{N-2}.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Пусть $s_j/s=2^{-k}$, где $k\geqslant-4$ и $k\in\mathbb Z$. В силу (2.6), где оценивается локализация $((\varphi-\varphi(\mathbf a_j))\varphi_j\mathcal Lf)*\Phi_{\mathcal L}$, (2.7) и леммы 4, (1) имеем
$$
\begin{equation}
\bigl|\langle\mathcal Lf\mid (\varphi-\varphi(\mathbf a_j))\varphi_j\rangle\bigr| +\bigl|\langle\nu_{Q_j}\mid (\varphi-\varphi(\mathbf a_j))\rangle\bigr|\leqslant 2^{-k}A_8\gamma_{\mathcal L}\biggl(\frac{17}{16}Q_j\cap X\biggr).
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Сумму всех слагаемых $A_8\gamma_{\mathcal L}((17/16)Q_j\cap X)$, для которых $s_j/s=2^{-k}$, обозначим $\lambda_k$, заметим, что количество таких слагаемых не превосходит $2^{(k+5)N}$. Оценим сверху левую часть (2.19), используя (2.14), (2.20) и неравенство Гёльдера:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_k\lambda_k2^{-k} &\leqslant \biggl(\sum_k\lambda_k\biggr)^{1/p} \biggl(\sum_k\lambda_k2^{-kq}\biggr)^{1/q} \\ &\leqslant A_9M^{1/p}s^{(N-2)/p}\biggl(\sum_k\frac{2^{kN}2^{-kq}}{2^{k(N-2)}}\biggr)^{1/q}s^{(N-2)/q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки сверху ряда в правой части как $\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}$ достаточно взять $q=3$, и тем самым $p=3/2$. Это завершает доказательство оценки (2.19) и следовательно, оценки (2.15). Лемма 5 доказана. § 3. Энергии, емкости $\gamma_{\mathcal L,+}$, предложения 1 и 2Напомним следующее утверждение, установленное в [2; лемма 3]. Лемма 6. Пусть $L(\mathbf x)$ из (1.1) – символ эллиптического оператора при $N\geqslant3$ или символ сильно эллиптического оператора при $N=2$. Тогда существуют $\tau\in(0,1)$ и $\vartheta\in(-\pi,\pi]$, зависящие от $L$, такие, что в $\mathbb R^N \setminus \{0\}$ имеет место оценка Заметим (см. [2; лемма 1]), что на не сильно эллиптические операторы утверждение леммы 6 не распространяется: образ окружности $|\mathbf x|=1$ при отображении соответствующим полиномом $L(\mathbf x)$ – это всегда эллипс, содержащий внутри себя точку $\mathbf x=0$. Напомним, что в [2; теорема 1] дается точный вид фундаментальных решений $\Phi_{\mathcal L}$ при всех $N\geqslant3$. В частности, при $N=3$ и $N=4$ установлена следующая оценка (см. [2; следствие 2]):
$$
\begin{equation}
\frac1{A_1|\mathbf x|^{N-2}}\leqslant \operatorname{Re} \bigl(e^{i\lambda}\Phi_{\mathcal L}(\mathbf x)\bigr) \leqslant|\Phi_{\mathcal L}(\mathbf x)|\leqslant\frac{A_1}{|\mathbf x|^{N-2}}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
(где $\lambda=\lambda(\mathcal L)\in(-\pi,\pi]$, $A_1=A_1(L)>1$), из которой непосредственно вытекает соизмеримость емкостей $\gamma_{\Delta}$ и $\gamma_{\mathcal L,+}$ при $N=3$ и $N=4$. На $N\geqslant5$ оценка (3.2) в общем случае не распространяется. Пусть $(\mathbf y, \mathbf x)=y_1x_1+\cdots+y_Nx_N$ для $\mathbf y$, $\mathbf x\in\mathbb R^N$, $\mathcal S(\mathbb R^N)$ – пространство Л. Шварца функций из $C^{\infty}(\mathbb R^N)$, убывающих в бесконечности вместе со своими частными производными быстрее любой отрицательной степени $|\mathbf x|$. Напомним формулы прямого и обратного преобразований Фурье ($\psi\in\mathcal S(\mathbb R^N)$):
$$
\begin{equation*}
F[\psi](\mathbf x) =\int_{\mathbb R^N} e^{-i(\mathbf y, \mathbf x)}\psi(\mathbf y)\,d\mathbf y, \qquad F^{-1}[\psi](\mathbf x) =\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{\mathbb R^N} e^{i(\mathbf y, \mathbf x)}\psi(\mathbf y)\,d\mathbf y.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\psi\in\mathcal S(\mathbb R^N)$, $\Psi\in\mathcal S'(\mathbb R^N)$, где $\mathcal S'(\mathbb R^N)$ – пространство распределений умеренного роста в $\mathbb R^N$, то на функции $\Psi$ преобразования Фурье действуют по формулам $\langle F[\Psi]\mid \psi\rangle=\langle \Psi\mid F[\psi]\rangle$, $\langle F^{-1}[\Psi]\mid \psi\rangle=\langle \Psi\mid F^{-1}[\psi]\rangle$, при этом $\langle \Psi\mid \psi\rangle=\langle F[\Psi]\mid F^{-1}[\psi]\rangle$. Напомним, что распределение $F[\Phi_{\mathcal L}]$ совпадает с функцией $-1/L$, где $L=L(\mathbf x)$ из (1.1) – символ оператора $\mathcal L$. При $N\geqslant3$ функция $-1/L$ локально интегрируема в $\mathbb R^N$, используя этот факт, дадим простое короткое доказательство теоремы 2 из [2] ($\sigma_{\mathbf x}$ – поверхностная мера единичной сферы в $\mathbb R^N$). Лемма 7. При $N\geqslant 3$ для всех $\mathcal L$ имеем $\displaystyle\int_{|\mathbf x|=1}\Phi_{\mathcal L}(\mathbf x)\,d\sigma_{\mathbf x}\ne0$. Доказательство. Заметим, что функция $\psi(\mathbf x)=\exp(-|\mathbf x|^2/2)$ принадлежит $\mathcal S(\mathbb R^N)$, причем $F[\psi]=c_N\psi$, где $c_N\ne0$, поэтому
$$
\begin{equation*}
c_N\langle\Phi_{\mathcal L}\mid \psi\rangle=\langle\Phi_{\mathcal L}\mid F[\psi]\rangle=\langle F[\Phi_{\mathcal L}]\mid \psi\rangle=-\biggl\langle \frac1{L} \biggm| \psi\biggr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\operatorname{Re}(e^{i\vartheta} L(\mathbf x))\geqslant\tau|L(\mathbf x)|$ в силу леммы 6 и функция $\psi(\mathbf x)$ положительна, то $\operatorname{Re}(e^{-i\vartheta}\langle1/L\mid \psi\rangle)>0$, следовательно, $\langle\Phi_{\mathcal L}\mid \psi\rangle\ne0$. Так как $\Phi_{\mathcal L}$ однородная степени $2-N$, отсюда получим:
Лемма 7 доказана. Пусть $K_{\varepsilon}$ – замыкание $\varepsilon$-окрестности компакта $K$. Тогда (см. [12; предложение 3.1])
$$
\begin{equation}
\lim_{\varepsilon\to0}\gamma_\mathcal L(K_{\varepsilon})=\gamma_\mathcal L(K),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
и теорема 1 сводится к следующему утверждению. Предложение 1. Пусть $\mathcal X$ – произвольное объединение конечного семейства раздельных двоичных кубов в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, тогда $A\gamma_{\Delta,+}(\mathcal X)\geqslant \gamma_{\mathcal L}(\mathcal X)$. В доказательстве будем использовать энергетический подход. Пусть $X$ – какое-либо объединение конечного семейства раздельных двоичных кубов (не обязательно фиксированный компакт $\mathcal X$ предложения 1). С учетом (1.9) энергией неотрицательной конечной меры $\mu$ такой, что $\operatorname{Spt}(\mu)\subset X$, называется следующий интеграл:
$$
\begin{equation}
I_{\mu, \Delta}=-(N-2)\sigma_N\int_{X}(\mu*\Phi_{\Delta})(\mathbf x)\,d\mu(\mathbf x)=\iint\frac1{|\mathbf x-\mathbf y|^{N-2}}\,d\mu(\mathbf x)\,d\mu(\mathbf y)
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
(в силу регулярности $X$ меры с конечной энергией на $X$, очевидно, существуют). Напомним (см., например, [17; гл. II, § 1]), что одно из эквивалентных определений гармонической емкости компакта $X$ – это $1/\inf(I_{\mu^0, \Delta})$, где $\inf$ берется по всем неотрицательны мерам $\mu^0$ таким, что $\operatorname{Spt}(\mu^0)\subset X$ и $\|\mu^0\|=1$. Обобщение (3.4) на произвольные $\mathcal L$ нам понадобится только для функций вида $f=(\mathcal Lf)*\Phi_{\mathcal L}$, где $\mathcal Lf\in C^{\infty}_0(X)$ – комплексная функция, которую обозначим $\nu$ (заметим, что в отличие от частного случая $\mathcal L=\Delta$ связь между энергией и емкостью неизвестна). Пусть
$$
\begin{equation}
I_{\nu, \mathcal L} =-(N-2)\sigma_N\int_{X}(\nu*\Phi_{\mathcal L})(\mathbf x)\overline{\nu(\mathbf x)}\,d\mathbf x =-(N-2)\sigma_N\langle \nu*\Phi_{\mathcal L}\mid \overline{\nu}\,\rangle
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
(горизонтальная черта означает комплексное сопряжение). Преобразование Фурье дает
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, F[\nu](\mathbf x)=\int_{\mathbb R^N} e^{-i(\mathbf y, \mathbf x)}\nu(\mathbf y)\,d\mathbf y, \\ F^{-1}[\overline{\nu}\,](\mathbf x) =\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{\mathbb R^N} e^{i(\mathbf y, \mathbf x)}\overline{\nu(\mathbf y)}\,d\mathbf y =\frac{\overline{F[\nu](\mathbf x)}}{(2\pi)^N}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу равенства $F[\nu*\Phi_{\mathcal L}]=-F[\nu]/L$ получаем
$$
\begin{equation}
\langle \nu*\Phi_{\mathcal L}\mid \overline{\nu}\, \rangle=-\biggl\langle \frac{F[\nu]}{L}\biggm| F^{-1}[\overline{\nu}\,]\biggr\rangle =-\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{\mathbb R^N}|F[\nu](\mathbf x)|^2 \frac{1}{L(\mathbf x)}\,d\mathbf x.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
В доказательствах будем использовать стандартную регуляризацию распределений. Возьмем некоторую функцию $\varphi_1 \in C^{\infty}_0(B(\mathbf 0,1))$ (где $B(\mathbf 0,1)$ – единичный шар в $\mathbb R^N$) такую, что $\varphi_1\geqslant0$ и $\displaystyle\int_{B}\varphi_1(\mathbf x) \,d\mathbf x=1$. Для произвольного $\varepsilon>0$ положим $\varphi_{\varepsilon}(\mathbf x)=\varepsilon^{-N}\varphi_1(\mathbf x/\varepsilon)$, так что $\displaystyle\int_{|\mathbf x|\leqslant\varepsilon}\varphi_{\varepsilon}(\mathbf x) \,d\mathbf x =1$. Для распределения $T$ с компактным носителем рассмотрим свертку $T_{\varepsilon}=T*\varphi_{\varepsilon}$. Очевидно, $T_{\varepsilon}\in C^{\infty}_0(\mathbb R^N)$, $\operatorname{Spt}(T_{\varepsilon})$ содержится в $\varepsilon$-окрестности $\operatorname{Spt}(T)$, и $\langle T_{\varepsilon}\mid 1\rangle=\langle T\mid 1\rangle$. В силу $T_{\varepsilon}*\Phi_{\mathcal L}=(T*\Phi_{\mathcal L})*\varphi_{\varepsilon}$ имеем $\|T_{\varepsilon}*\Phi_{\mathcal L}\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant\|T*\Phi_{\mathcal L}\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}$. Установим сначала аналог теоремы 1 для емкости $\gamma_{\mathcal L,+}$. Предложение 2. Пусть $N\geqslant3$, $\mathcal L$ – произвольный эллиптический оператор (1.2) с комплексными коэффициентами. Тогда существует постоянная $A=A(L)>0$ такая, что $A\gamma_{\Delta,+}(K)\geqslant \gamma_{\mathcal L,+}(K)$ для произвольного компакта $K\subset\mathbb R^N$. Доказательство. В силу (3.3) и с учетом регуляризации достаточно установить следующее ($X$ – подходящее замыкание окрестности компакта $K$).
Пусть $X$ – произвольное объединение конечного семейства раздельных двоичных кубов, тогда для произвольной функции $f=(\mathcal Lf)*\Phi_{\mathcal L}$ такой, что $\|f\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant1$, $\operatorname{Spt}(\mathcal Lf)\subset X$, $\nu=\mathcal Lf\in C^{\infty}_0(X)$ и $\nu\geqslant0$, выполнено неравенство $A\gamma_{\Delta,+}(X)\geqslant \langle \nu\mid 1\rangle$. Так как $\|\nu*\Phi_{\mathcal L}\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant1$ и $\nu=\mathcal Lf\geqslant0$, то в силу (3.5) имеем
$$
\begin{equation}
|I_{\nu, \mathcal L}|\leqslant(N-2)\sigma_N\langle \nu\mid 1\rangle.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Из (3.5) и (3.6) получаем (где $\vartheta$ из (3.1))
$$
\begin{equation}
I_{\nu, \mathcal L} =e^{i\vartheta}\frac{(N-2)\sigma_N}{(2\pi)^N} \int_{\mathbb R^N}|F[\nu(\mathbf x)]|^2\frac{e^{-i\vartheta}}{L(\mathbf x)}\,d\mathbf x.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
В силу (3.1) имеет место оценка в $\mathbb R^N\setminus\{0\}$ (где $A_2=A_2(L)>0$):
$$
\begin{equation}
A_2\operatorname{Re}\frac{e^{-i\vartheta}}{L(\mathbf x)}=A_2\frac{\operatorname{Re}(e^{i\vartheta} L(\mathbf x))}{|L(\mathbf x)|^2} \geqslant\frac{A_2\tau}{|L(\mathbf x)|}\geqslant\frac{1}{|\mathbf x|^{2}}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Из (3.7), (3.8) и (3.9) получаем
$$
\begin{equation}
I_{\nu, \Delta}\leqslant A_3\langle \nu\mid 1\rangle,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где $I_{\nu, \Delta}$ – интеграл энергии (3.5) при $\mathcal L=\Delta$ (и, соответственно, $L(\mathbf x)=|\mathbf x|^{2}$).
Отсюда для функции $\nu^o=\nu/\langle \nu\mid 1\rangle$ имеем $\displaystyle\int_{\mathbb R^N}\nu^o(\mathbf x)\,d\mathbf x=1$ и
$$
\begin{equation*}
I_{\nu^o, \Delta}\leqslant \frac{A_3}{\langle \nu\mid 1\rangle},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, в силу “энергетического” определения гармонической емкости выполнено неравенство $A\gamma_{\Delta,+}(X)\geqslant \langle \nu\mid 1\rangle$. Предложение 2 доказано. Важно отметить, что в общем случае для комплексных функций $\nu$, в отличие от неотрицательных, вместо (3.7) непосредственно получается значительно более слабая оценка
$$
\begin{equation}
|I_{\nu,\mathcal L}|\leqslant(N-2)\sigma_N\int_{\mathbb R^N}|\nu(\mathbf x)|\,d\mathbf x,
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
из которой, конечно, не следует предложение 1. В случае $\mathcal L=\Delta$ это не приводит к принципиальным трудностям, так как (с учетом регулярности компакта $X$) для неотрицательной меры $\mu$, реализующей минимум энергии в классе мер той же полной вариации, всюду на $X$ функция $\mu*|\mathbf x|^{2-N}$ равна положительной постоянной (например, [5; гл. III, теорема 3]). Действительно, пусть $\nu$ – комплексная мера на $X$ такая, что $I_{|\nu|, \Delta}<\infty$ и при этом $\langle \nu\mid 1\rangle>0$. Представим $\nu$ в виде суммы $\nu=\mu+\nu_1$, где $\mu$ – указанная выше неотрицательная мера, а $\langle \nu_1\mid 1\rangle=0$ (и, следовательно, $\langle \nu\mid 1\rangle=\langle \mu\mid 1\rangle$). Тогда
$$
\begin{equation*}
I_{\mu+\nu_1, \Delta}=I_{\mu, \Delta}+I_{\nu_1, \Delta}+\int_{X}\biggl(\mu*\frac1{|\mathbf x|^{N-2}}\biggr)(\mathbf x)\,d\bigl(\nu_1(\mathbf x)+\overline{\nu_1(\mathbf x})\bigr)=I_{\mu, \Delta}+I_{\nu_1, \Delta},
\end{equation*}
\notag
$$
где энергия $I_{\nu_1, \Delta}$ определяется в соответствии с (3.5), неотрицательна в силу равенств $L(\mathbf x)=|\mathbf x|^{2}$ и (3.5), (3.6). В частности,
$$
\begin{equation}
I_{\nu, \Delta}=I_{\mu+\nu_1, \Delta}\geqslant I_{\mu, \Delta}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Если дополнительно $\|\nu*|\mathbf x|^{2-N}\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant1$, то по формуле Фубини
$$
\begin{equation*}
\langle \mu\mid 1\rangle \geqslant\biggl|\int_{X}\biggl(\nu*\frac1{|\mathbf x|^{N-2}}\biggr) (\mathbf x)\,d\mu(\mathbf x)\biggr| =\biggl|I_{\mu, \Delta} +\int_{X}\biggl(\mu*\frac1{|\mathbf x|^{N-2}}\biggr)(\mathbf x)\,d\nu_1(\mathbf x)\biggr|=I_{\mu, \Delta},
\end{equation*}
\notag
$$
после нормировки $\mu^o=\mu/\langle \mu\mid 1\rangle$ получаем $I_{\mu^o, \Delta}\leqslant1/\langle \mu\mid 1\rangle=1/\langle \nu\mid 1\rangle$, и, следовательно, $\gamma_{\Delta,+}(X)\geqslant\langle \nu\mid 1\rangle$. В случае произвольных операторов $\mathcal L$ с комплексными коэффициентами ситуация значительно сложнее, так как аппарат разрешимости задачи Дирихле для произвольных компактов во многом пока не разработан. Поэтому в доказательстве предложения 1 будем использовать индукционные аргументы из [11], цель которых – улучшение оценки (3.11), именно, замена $\mathcal Lf$ на функции, имеющие такие же локальные средние и существенно меньшую вариацию. Целевым утверждением является основная лемма 9. § 4. Доказательство предложения 1Сначала установим лемму 8 о “почти аддитивности” гармонической емкости при специальных разложениях, аналогичную п. (a) и п. (b) леммы 5.1 из [11] – существенно более сложному утверждению о “почти аддитивности” емкости $\gamma_+$. Пусть $X$ – объединение конечного семейства раздельных двоичных кубов (в частности, но не обязательно исходный компакт $\mathcal X$ из предложения 1). В силу регулярности компакта $X$ относительно задачи Дирихле и определения гармонической емкости (также учитываем нормировку в (1.9)) существует неотрицательная мера $\mu$ такая, что $\operatorname{Spt}(\mu)\subset X$, $\|\mu\|=((N-2)\sigma_N)^{-1}\gamma_{\Delta,+}(X)$ и $\mu*|\mathbf x|^{2-N}=1$ всюду на $X$. Рассмотрим функцию $U_{\mu}=\mu*|\mathbf x|^{2-N}$. Зафиксируем достаточно малую положительную постоянную $\lambda=\lambda(N)\in(0,1/10)$, ее значение уточним в лемме 8. Пусть $\Omega_{\lambda,X}=\{\mathbf x\colon U_{\mu}(\mathbf x)>\lambda\}$ – ограниченное открытое подмножество $\mathbb R^N$, $\partial \Omega_{\lambda,X}$ – его граница. Из принципа максимума для гармонических функций (и из того, что емкость компакта равна емкости его границы) следует, что $\gamma_{\Delta,+}(\Omega_{\lambda,X})=\gamma_{\Delta,+}(X)/\lambda$. Разложим $\Omega_{\lambda,X}$ на кубы Уитни (см., например, [18; гл. 6, § 1]). Это счетное семейство раздельных двоичных кубов $Q_j$ со следующими свойствами: (1) $\sqrt{N}s(Q_j)\leqslant \operatorname{dist}(Q_j,\partial \Omega_{\lambda,X})\leqslant 4\sqrt{N}s(Q_j)$; (2) если два куба семейства $\{Q_j\}$ имеют общую граничную точку, то отношение длин их сторон не превосходит 4. Множество всех двоичных кубов $Q$ указанного семейства таких, что $Q\cap X^o\ne \varnothing$, обозначим $J(\lambda,X)$. Нетрудно показать, что: при всех достаточно малых $\lambda=\lambda(N)>0$ каждый куб $D$ из множества двоичных кубов, составляющих $X$, содержится в некотором кубе $Q$ из $J(\lambda,X)$, причем $32s(D)\leqslant s(Q)$. В частности, $J(\lambda,X)$ – конечное множество. Действительно, рассмотрим кубы $Q$ и $D$, имеющие общую внутреннюю точку. Всюду на $D$ имеем равенство $U_{\mu}(\mathbf x)=1$, и в противном случае (т.е. при условии $s(Q)<32s(D)$) из простых оценок гармонической меры следует, что на расстоянии от $Q$ не более $4\sqrt{N}s(Q)$ имеем $U_{\mu}(\mathbf x)\gg\lambda$, что противоречит свойству (1) кубов Уитни (напомним, что $4\sqrt{N}s(Q)\geqslant \operatorname{dist}(Q,\partial \Omega_{\lambda,X})$). Рассмотрим для произвольного куба $Q\,{\in}{\kern1pt} J(\lambda,X)$ следующие функции ($n\,{\in}\,\mathbb N$):
$$
\begin{equation}
U_{\mu,Q}=\mu\big|_{(5/4)Q}*|\mathbf x|^{2-N}, \quad \widetilde{U}_{\mu,Q}=\mu\big|_{X\setminus (5/4)Q}*|\mathbf x|^{2-N}, \quad U_{\mu,Q}^n=\mu\big|_{(2^n5/4)Q}*|\mathbf x|^{2-N}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Пусть $\mathbf y$ – произвольная точка $(17/16)Q\cap X$, $\mathbf z$ – ближайшая к $Q$ точка $\partial \Omega_{\lambda,X}$. Покажем, что имеет место следующая оценка ($A_{1}=A_{1}(N)$):
$$
\begin{equation}
|\widetilde{U}_{\mu,Q}(\mathbf y)-\widetilde{U}_{\mu,Q}(\mathbf z)|\leqslant A_{1}\lambda.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Действительно, так как
$$
\begin{equation}
U_{\mu,Q}^n(\mathbf z)\leqslant U_{\mu}(\mathbf z)=\lambda, \qquad U_{\mu,Q}(\mathbf z)\leqslant U_{\mu}(\mathbf z)=\lambda,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $U_{\mu,Q}^n$ и $U_{\mu,Q}$ из (4.1), и $ \operatorname{dist}(Q,\mathbf z)\leqslant 4\sqrt{N}s(Q)$, для любого $n\in\mathbb N$, очевидно, выполнена оценка
$$
\begin{equation*}
\mu\biggl(\frac{2^n5}4Q\setminus \frac{2^{n-1}5}4Q\biggr) \leqslant (2^ns(Q))^{N-2}A_{2}\lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
из которой оценка (4.2) в силу (4.3), $\mathbf y\,{\in}\, (17/16)Q$ и $|\mathbf y-\mathbf z|\leqslant8\sqrt{N}s(Q)$ получается суммированием по $n$:
$$
\begin{equation*}
|\widetilde{U}_{\mu,Q}(\mathbf y)-\widetilde{U}_{\mu,Q}(\mathbf z)|\leqslant A_{3}\lambda\sum_{n=1}^{\infty}(2^ns(Q))^{N-2}\frac{s(Q)}{(2^ns(Q))^{N-1}}\leqslant A_{1}\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\mathbf y\subset X$ и $\mathbf z\subset \partial \Omega_{\lambda,X}$, то
$$
\begin{equation*}
\widetilde{U}_{\mu,Q}(\mathbf y)-\widetilde{U}_{\mu,Q}(\mathbf z)+U_{\mu,Q}(\mathbf y)-U_{\mu,Q}(\mathbf z)=U_{\mu}(\mathbf y)-U_{\mu}(\mathbf z)=1-\lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
и при этом в силу (4.3) имеем $0<U_{\mu,Q}(\mathbf z)\leqslant\lambda$. Следовательно, в силу (4.2) получаем, что при всех достаточно малых $\lambda=\lambda(N)>0$ и $\mathbf y\in (17/16)Q\cap X$ выполнено неравенство $U_{\mu,Q}(\mathbf y)\geqslant1/2$. Отсюда, из определения гармонической емкости, из принципа максимума для гармонических функций (где $2U_{\mu,Q}$ играет роль мажоранты), с учетом нормировки в (1.9) и определения $U_{\mu,Q}$ в (4.1) следует
$$
\begin{equation}
\gamma_{\Delta,+}\biggl(\frac{17}{16}Q\cap X\biggr) \leqslant2(N-2)\sigma_N\mu\biggl(\frac54Q\biggr).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Так как свойство (2) кубов Уитни ограничивает кратность пересечений кубов $(5/4)Q$ для $Q\in J(\lambda,X)$, в силу построения, (4.4), а также равенства $\|\mu\|=((N-2)\sigma_N)^{-1}\gamma_{\Delta,+}(X)$ получено следующее утверждение (объединение всех кубов из $J(\lambda,X)$ обозначено $X'$). Лемма 8. Пусть $X$ – компакт, состоящий из конечного числа раздельных двоичных кубов $D_k$. Тогда для всех достаточно малых $\lambda=\lambda(N)>0$ существует компакт $X'$ со следующими свойствами: (1) $X\subset X'$, при этом $\gamma_{\Delta,+}(X')\leqslant\gamma_{\Delta,+}(X)/\lambda$; (2) $X'$ состоит из конечного числа раздельных двоичных кубов $Q_j$, причем каждый из кубов $D_k$, составляющих $X$, содержится в некотором $Q_j$ и $s(Q_j)\geqslant32s(D_k)$; (3) если $(5/4)Q_j$ пересекает $(5/4)Q_{j'}$, то $1/4\leqslant s(Q_j)/s(Q_{j'})\leqslant4$; (4) выполнено неравенство Возьмем “почти максимальное” $\lambda>0$ в соответствии с леммой 8. Рассмотрим произвольный куб $Q\in J(\lambda,X)$. В силу свойства (1) кубов из леммы 8 имеем $\gamma_{\Delta,+}(X)/(s(Q))^{N-2}>\lambda$, что равносильно следующему неравенству:
$$
\begin{equation}
(s(Q))^{N-2}<(\operatorname{diam}(X))^{N-2} \frac{\gamma_{\Delta,+}(X)}{\lambda(\operatorname{diam}(X))^{N-2}}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Для применения индукционных аргументов из [11] важно, чтобы диаметры кубов $Q_j$ компакта $X'$ были меньше диаметра $X$ хотя бы в два раза. Этого нетрудно добиться, если $\gamma_{\Delta,+}(X)$ существенно меньше $(\operatorname{diam}(X))^{N-2}$. В противном случае, т.е., если $\gamma_{\Delta,+}(X)$ и $(\operatorname{diam}(X))^{N-2}$ соизмеримы, теорема 1 и предложение 1 легко вытекают из (2.4) как его следствие. В силу (4.6), полагая отношение $\gamma_{\Delta,+}(X)/(\operatorname{diam}(X))^{N-2}$ достаточно малым, в дальнейшем будем считать, что для кубов $Q_j$ из леммы 8 выполнено неравенство $\operatorname{diam}(Q_j)=\sqrt{N}s(Q_j)\leqslant(1/10)\operatorname{diam}(X)$ – по существу условие (c) леммы 5.1 из [11]. Теперь применим индукционные аргументы, аналогичные [11; разд. 7.1]. Пусть сначала $X$ – это исходный компакт $\mathcal X$ из предложения 1. Возникает альтернатива: либо для всех $j$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{\gamma_\mathcal L(X)}{\gamma_{\Delta,+}(X)}\geqslant \frac{\gamma_{\mathcal L}(X\cap (17/16)Q_j)}{2\gamma_{\Delta,+}(X\cap (17/16)Q_j)}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
(случай 1), либо для какого-нибудь $j$ имеет место противоположное неравенство (случай 2). В силу строения $X$ и $Q_j$ очевидно, что числители и знаменатели всех дробей в (4.7) отличны от нуля. Случай 1. Ниже как следствие леммы 5, леммы 8 и неравенств (4.7) будет установлено следующее утверждение ($A_5=1/\lambda$, где зафиксировано “почти максимальное” $\lambda=\lambda(N)$ из леммы 8). Лемма 9 (основная). Пусть $X$ – компакт с $\gamma_{\mathcal L}(X)>0$, $f=(\mathcal Lf)*\Phi_{\mathcal L}$ – функция такая, что $\operatorname{Spt}(\mathcal Lf)\subset X$, $\|f\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant1$ и $\langle \mathcal Lf\mid 1\rangle\geqslant(1/2)\gamma_{\mathcal L}(X)$. При этом существует компакт $X'$, состоящий из конечного семейства раздельных двоичных кубов $Q_j$, такой, что $X\subset X'$, и имеет место следующее: (1) $\gamma_{\Delta,+}(X')\leqslant A_5\gamma_{\Delta,+}(X)$ (постоянная $A_5>1$ зависит только от $N$); (2) если $(5/4)Q_j$ пересекает $(5/4)Q_{j'}$, то $1/4\leqslant s(Q_j)/s(Q_{j'})\leqslant4$; (3) выполнены оценка (4.5) и неравенства (4.7) для всех $j$. Тогда для любого $M\geqslant2^N$ существуют $\alpha_M>0$, компакт $\mathbf X$, состоящий из конечного семейства раздельных двоичных кубов, и комплексная функция $\nu\in C^{\infty}_0(\mathbf X)$ такие, что: a) $\alpha_M\leqslant A_6M^{-1/9}$, где $A_6=A_6(L)$; b) $X'\subset\mathbf X$ и $\gamma_{\Delta,+}(\mathbf X)\leqslant \gamma_{\Delta,+}(X')+(A_7/M)\gamma_{\mathcal L}(X)$; c) $\langle \nu\mid 1\rangle=\langle \mathcal Lf\mid 1\rangle\geqslant(1/2)\gamma_{\mathcal L}(X)$ и $I_{\nu, \Delta}\leqslant (\alpha_M M)\gamma_{\mathcal L}(X)$, где $I_{\nu, \Delta}$ – энергия (3.5) при $\mathcal L=\Delta$. Из леммы 9 несложно выводится предложение 1 для компакта $X$. Действительно, так же, как в (3.12), существует неотрицательная мера $\mu_\mathbf X$, $\operatorname{Spt}(\mu_\mathbf X)\,{\subset}\, \mathbf X$, такая, что $\langle \mu_{\mathbf X}\mid 1\rangle=\langle \nu\mid 1\rangle$ и $I_{\mu_\mathbf X, \Delta}\leqslant I_{\nu, \Delta}$. В силу условия c) отсюда получаем, что $\gamma_{\Delta,+}(\mathbf X)>\gamma_{\mathcal L}(X)/(4\alpha_M M)$. Вместе с условием b) и условием (1) это дает
$$
\begin{equation}
A_5\gamma_{\Delta,+}(X)\geqslant\gamma_{\Delta,+}(X')\geqslant\gamma_{\Delta,+}(\mathbf X)-\frac{A_7}{M}\gamma_{\mathcal L} (X)\geqslant\frac{1}{M}\biggl(\frac{1}{4\alpha_M}-A_7\biggr)\gamma_{\mathcal L}(X).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Теперь условие a) позволяет выбрать $M=M(L)$ такое, что $M^{1/9}/(4A_6)>2A_7$, и, следовательно, $A\gamma_{\Delta,+}(X)\geqslant \gamma_{\mathcal L}(X)$. Случай 2. Выберем какое-нибудь $j$, для которого (4.7) не имеет места. Пусть $\gamma_{\mathcal L}(X)=C\gamma_{\Delta,+}(X)$, где $C$ – положительная постоянная, о которой больше ничего не утверждается. Случай 2 дает для выбранного $j$ неравенство $\gamma_\mathcal L(X\cap (17/16)Q_j)\geqslant2C\gamma_{\Delta,+}(X\cap (17/16)Q_j)$, причем $\operatorname{diam}(X\cap (17/16)Q_j)<(1/5)\operatorname{diam}(X)$. Напомним, что в лемме 8 компакт $X$ – произвольное конечное семейство раздельных двоичных кубов (совсем не обязательно тот самый компакт $\mathcal X$, с которого началось построение). Положив $X:={\mathcal X}^{(1)}=\mathcal X\cap (17/16)Q_j$ (где (1) означает номер итерации), снова проведем построение, приводящее к лемме 8, и рассмотрим альтернативу, связанную с (4.7). Если выполняется неравенство, соответствующее (4.7) при $X=\mathcal X^{(1)}$, то, применив основную лемму 9, получим $A\gamma_{\Delta,+}(\mathcal X^{(1)})\geqslant \gamma_\mathcal L(\mathcal X^{(1)})$, что дает
$$
\begin{equation*}
A\gamma_{\Delta,+}\biggl(\mathcal X\cap \frac{17}{16}Q_j\biggr)\geqslant 2C\gamma_{\Delta,+}\biggl(\mathcal X\cap \frac{17}{16}Q_j\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $C\leqslant A/2$, откуда $\gamma_\mathcal L(\mathcal X)\leqslant(A/2)\gamma_{\Delta,+}(\mathcal X)$, и это завершает доказательство предложения 1. Если неравенство, соответствующее (4.7) при $X=\mathcal X^{(1)}$, не выполняется, то, рассуждая так же, как и на предыдущем шаге, можем считать, что для некоторого $j$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{diam}\biggl(\mathcal X^{(1)}\cap \frac{17}{16}Q_j^{(1)}\biggr)<\frac15\operatorname{diam}(\mathcal X^{(1)}), \\ \frac{\gamma_\mathcal L(\mathcal X^{(1)}\cap (17/16)Q_j^{(1)})}{\gamma_{\Delta,+}(\mathcal X^{(1)}\cap (17/16)Q_j^{(1)})}\geqslant2\frac{\gamma_\mathcal L(\mathcal X^{(1)})}{\gamma_{\Delta,+}(\mathcal X^{(1)})}\geqslant4C. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее при необходимости продолжается та же процедура, причем случай 1 дает момент остановки, и если остановка произошла на $k$-й итерации, то $C\leqslant A/2^k$. В итоге имеем $\gamma_{\mathcal L}(\mathcal X)\leqslant(A/2^k)\gamma_{\Delta,+}(\mathcal X)$, и предложение 1 доказано. Но случай 2 не может продолжаться бесконечно долго, так как на каждой итерации выполнено условие (2) леммы 8, в силу чего двоичные кубы $D_k$, из которых составлен исходный компакт $\mathcal X$, не уменьшаются (кубы $(17/16)Q_j$ из-за достаточно большого размера двоичных кубов $Q_j$ их “не разрезают”); при этом линейные размеры кубов $(17/16)Q_j$ уменьшаются как минимум в пять раз, а неравенство (4.7) тривиально, если компакт $X$ – единственный двоичный куб. Таким образом, для доказательства предложения 1 и теоремы 1 остается установить лемму 9. Доказательство леммы 9. Значение условия (4.7) состоит в том, что оно позволяет перенести оценку (4.5) с $\gamma_{\Delta,+}(X)$ на $\gamma_\mathcal L(X)$. В силу (4.5) и (4.7) имеем:
Проведем построение (основное и дополнительное), докажем леммы 10–12, затем завершим доказательство леммы 9. Для каждого куба $Q_j$ будет удобно построить (неотрицательную) функцию $\mu_{\mathcal L,j}$ с носителем на $(1/4)Q_j$ такую, что:
$$
\begin{equation}
1)\ \mu_{\mathcal L,j}(\mathbf x)=\mathrm{const}, \qquad 2) \ \int_{(1/4)Q_j}\mu_{\mathcal L,j}(\mathbf x)\,d\mathbf x=\gamma_{\mathcal L}\biggl(X\cap \frac{17}{16}Q_j\biggr);\quad \mu_\mathcal L=\sum_j\mu_{\mathcal L,j}.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Возьмем произвольное $M\geqslant2^{N}$. Так как емкость $\gamma_\mathcal L$ не меняется при параллельном переносе, считаем без ограничения общности, что $\bigcup_jQ_j$ содержится в достаточно большом двоичном кубе $D=D_0$ и при этом выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
0<\int_D\mu_{\mathcal L}(\mathbf x)\,d\mathbf x< 2^{-N}(s(D))^{N-2}M.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Проведем двоичное разложение Кальдерона–Зигмунда по индукции, начиная с $D=D_0$. Если для куба $D$ выполняется неравенство (4.11), причем $D$ не совпадает ни с каким $Q_j$, то $D$ делится на $2^N$ двоичных кубов с в два раза меньшей длиной стороны. В противном случае $D$ фиксируется, если содержит хотя бы один $Q_j$, и исключается из рассмотрения, если не содержит никакого $Q_j$ (т.е. интеграл равен нулю). Таким образом, для зафиксированного куба $D$ выполнено хотя бы одно из двух условий: $D=Q_j$ для некоторого $j$ или
$$
\begin{equation}
2^{-N}(s(D))^{N-2}M\leqslant\int_D\mu_{\mathcal L}(\mathbf x)\,d\mathbf x< (s(D))^{N-2}M.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Далее процедура повторяется с каждым кубом, полученным в результате деления. Процесс завершится на конечном шаге, когда все соответствующие кубы будут зафиксированы. По окончании построения получим требуемый компакт $\mathbf X$ леммы 9, который состоит из всех кубов, зафиксированных в процессе построения. Это либо кубы $Q_j$ компакта $X'$, которые будем обозначать $Q_j^{\mathbf s}$, либо кубы $D$, зафиксированные в соответствии с (4.12), такие, что $D$ не совпадает ни с каким $Q_j$. Указанные кубы $D$ назовем новыми $Q_j$ и будем обозначать (введя соответствующую нумерацию) $Q_j^{\mathbf n}$. При этом все (старые) $Q_j$, находящиеся внутри (нового) $D$, исключаем из рассмотрения, сохранив (временно, до дополнительного построения) функции $\mu_{\mathcal L,j}$, $\operatorname{Spt}(\mu_{\mathcal L,j})\subset D$, и функцию $\mu_\mathcal L$. Результатом описанной выше процедуры является следующая лемма. Лемма 10. Имеют место следующие оценки: (1)
$$
\begin{equation*}
\sum_j(s(Q_j^{\mathbf n}))^{N-2}\leqslant \frac{A_8}M\gamma_{\mathcal L}(X), \qquad A_8=A_8(N);
\end{equation*}
\notag
$$
(2) если $D$ – двоичный куб, содержащий хотя бы один $Q_j^{\mathbf s}$ или $Q_j^{\mathbf n}$, то
$$
\begin{equation*}
\int_D\mu_{\mathcal L}(\mathbf x)\,d\mathbf x< (s(D))^{N-2}M;
\end{equation*}
\notag
$$
(3) если двоичный куб $D$ содержит хотя бы один $Q_j^{\mathbf n}$, то сумма $(s(Q_j^{\mathbf n}))^{N-2}$ по всем кубам $Q_j^{\mathbf n}$, содержащимся в $D$, не превосходит $2^N(s(D))^{N-2}$; (4) $\gamma_{\Delta,+}(\mathbf X)\leqslant \gamma_{\Delta,+}(X')+(A_7/M)\gamma_{\mathcal L}(X)$. Доказательство. Оценка (1) следует из первого неравенства в (4.12), (4.9) и (4.10). Оценка (2) следует из построения: в противном случае согласно (4.12) $D$ является собственной частью некоторого $Q_j^{\mathbf n}$. Оценка (3) следует из (2) и первого неравенства в (4.12) для каждого $Q_j^{\mathbf n}$:
Оценка (4) следует из (1) и полуаддитивности гармонической емкости:
$$
\begin{equation*}
\gamma_{\Delta,+}(\mathbf X)\leqslant \gamma_{\Delta,+}\biggl(\bigcup_jQ_j^{\mathbf s}\biggr) +\sum_j\gamma_{\Delta,+}(Q_j^{\mathbf n}) \leqslant\gamma_{\Delta,+}(X')+\frac{A_7}{M}\gamma_{\mathcal L}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 10 доказана. Дополнительное построение. Теперь для каждого куба $Q_j^{\mathbf n}$ исключим из рассмотрения все функции $\mu_{\mathcal L,j}$ с $\operatorname{Spt}(\mu_{\mathcal L,j})\subset Q_j^{\mathbf n}$ и вместо них построим одну функцию $\mu_{\mathcal L,j}$ в соответствии с (4.10), где $Q_j=Q_j^{\mathbf n}$. Замечание 1 (о сохранении оценок). В силу оценки (1) леммы 10, а также элементарной оценки (2.4), оценка (4.9) при переходе от $X'$ к $\mathbf X$ сохраняется, возможно, с несколько увеличенной постоянной $A_4$. В силу оценки (3) леммы 10 и (2.4) для соответствующей функции $\mu_\mathcal L=\sum_j\mu_{\mathcal L,j}$ сохраняется оценка (2) леммы 10 с заменой в правой части $M$ на $M+A_8$. Используя покрытие $\{Q_j\}=\{Q_j^{\mathbf s}\}\cup\{Q_j^{\mathbf n}\}$, построим разбиение единицы $\{\varphi_j\}$ из леммы 1 и представим исходную функцию $f$ леммы 9 в виде конечной суммы локализаций (2.5), для каждой локализации $V_{\varphi_j}f$ построим функции $\nu_{Q_j}$, $\operatorname{Spt}(\nu_{Q_j})\subset(1/4)Q_j$ и $h_{Q_j}=\nu_{Q_j}*\Phi_{\mathcal L}$ из леммы 4, возьмем $\nu=\sum_j\nu_{Q_j}$. В силу построения, леммы 5, леммы 10 и условий леммы 9 имеет место следующее утверждение. Лемма 11. (i) Выполнены оценки: (ii) Оценки (2.15), 1) и 2) для произвольного двоичного куба $Q$ выполняются, возможно, с несколько увеличенной постоянной $A_5=A_5(L)$. (iii) Если $Q'$ и $Q''$ – два различных куба из $\{Q_j^{\mathbf s}\}$ и $(5/4)Q'$ пересекает $(5/4)Q''$, то $1/4\leqslant s(Q')/s(Q'')\leqslant4$; если $Q'$ – куб из $\{Q_j^{\mathbf s}\}$, а $Q''$ – куб из $\{Q_j^{\mathbf n}\}$, то $(5/4)Q'$ не пересекает $(1/4)Q''$ – носитель функции $\nu_{Q''}$ из (2.13). Доказательство. В (i) утверждение a) следует из леммы 4 и условий, налагаемых на функцию $f$ леммы 9, утверждение b) следует из неравенств $|\nu_{Q_j}(\mathbf x)|\leqslant A_4\mu_{\mathcal L,j}(\mathbf x)$ (см. (4.10) и лемму 4) и сохранения оценки (4.9) при переходе от $X'$ к $\mathbf X$. Выполнение оценок (2.15) следует из сохранения оценки (2) леммы 10 при переходе от $X'$ к $\mathbf X$ (с заменой $M$ на $M+A_8$), (4.10) и леммы 5.
Утверждение (iii) для кубов $Q_j^{\mathbf s}$ следует из условия (2) леммы 9. Так как в силу построения каждый куб $Q_j^{\mathbf n}$ содержит хотя бы один куб из $X'$, не совпадая с ним (т.е. длина стороны как минимум вдвое больше), из условия (2) леммы 9 получаем требуемое утверждение и для пары кубов из $Q_j^{\mathbf s}$ и $Q_j^{\mathbf n}$. Лемма 11 доказана. Следующая ключевая оценка вытекает из лемм 4, 5 и 11. Комплексное сопряжение у $\nu$ понадобится для вычисления энергии $I_{\nu, \mathcal L}$ в соответствии с равенством (3.5). Лемма 12. Пусть $\{Q_j\}=\{Q_j^{\mathbf s}\}\cup\{Q_j^{\mathbf n}\}$, $g_j=h_{Q_j}-V_{\varphi_j}f$, где $h_Q$ из леммы 4. Тогда Доказательство. Пусть сначала $Q_j=Q_j^{\mathbf n}$. В силу (2.12), (2.4) и (2.15), 1) имеем
$$
\begin{equation}
\int_\mathbf X|g_j(\mathbf x)\nu(\mathbf x)|\,d\mathbf x\leqslant A_{11} (s(Q_j))^{N-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2^ns(Q_j))^{N-2}M}{(2^ns(Q_j))^{N-1}}=A_{11} (s(Q_j))^{N-2}M,
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
откуда в силу оценки (1) леммы 10 следует
В случае кубов $Q_j=Q_j^{\mathbf s}$ доказательство (4.13) существенно сложнее, оно использует оценку (2.15), 2). Пусть $Q_j=Q(\mathbf a_j,s_j)$ – какой-нибудь $Q_j^{\mathbf s}$, $Q=Q(\mathbf a,s)$ – двоичный куб такой, что $(9/8)Q_j$ и $(17/16)Q$ не пересекаются, $\varphi\in C_0^{\infty}((17/16)Q)$ – неотрицательная функция из леммы 5, соответствующая $Q$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{(17/16)Q}g_j(\mathbf x)\varphi(\mathbf x)\overline{\nu(\mathbf x)}\,d\mathbf x \\ &\qquad = g_j(\mathbf a)\int_{(17/16)Q}\varphi(\mathbf x)\overline{\nu(\mathbf x)}\,d\mathbf x +\int_{(17/16)Q}(g_j(\mathbf x)-g_j(\mathbf a))\varphi(\mathbf x)\overline{\nu(\mathbf x)}\,d\mathbf x. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись для первого интеграла в правой части оценкой (2.15), 2), а также оценкой (2.12), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \biggl|\int_{(17/16)Q}g_j(\mathbf x)\varphi(\mathbf x)\overline{\nu(\mathbf x)}\,d\mathbf x\biggr| \\ &\qquad \leqslant \frac{A_{13}s_j\gamma_{\mathcal L}((17/16)Q_j\cap X)}{|\mathbf a_j-\mathbf a|^{N-1}}\biggl(M^{2/3} s^{N-2}+\frac{s}{|\mathbf a_j-\mathbf a|}\int_{(17/16)Q}|\nu(\mathbf x)|\,d\mathbf x\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Используя конструкцию Уитни (см. [18; гл. 6, § 1]), разложим дополнение к точке $\mathbf a_j$ на счетное семейство раздельных двоичных кубов. Разделив каждый из кубов Уитни на одно и то же число двоичных кубов, зависящее от $M$, легко добиться следующего. Пусть $\{D_m\}$ – семейство всех полученных кубов, которые не пересекают $((5/4)Q_j)^o$, тогда справедливы следующие утверждения. 1. Для каждого $m$ куб $(17/16)D_m$ не пересекает $(9/8)Q_j$. 2. Если $(5/4)D_m$ и $(5/4)D_{m'}$ пересекаются, то $1/4\leqslant s(D_m)/s(D_{m'})\leqslant4$. 3. Существует постоянная $A_{14}>1$, зависящая только от $N$, такая, что
$$
\begin{equation}
A_{14}^{-1}\operatorname{dist}(D_m,\mathbf a_j)M^{-1/9}\leqslant s(D_m)\leqslant A_{14}\operatorname{dist}(D_m,\mathbf a_j)M^{-1/9}.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Из построения вытекают следующие утверждения. A) Кратность пересечения кубов $(9/8)D_m$ не превосходит постоянной, зависящей только от $N$. B) Количество кубов $D_m$, пересекающих слой $U_k=\{s_j2^{k-1}\leqslant \operatorname{dist}(\mathbf x,\mathbf a_j)\leqslant s_j2^{k}\}$, где $k\in\mathbb N$, в силу (4.16) не превосходит $A_{15}M^{N/9}$, а сумма $(s(D_m))^{N-2}$ по всем таким кубам не превосходит, соответственно, $A_{15}M^{N/9}(2^ks_j/M^{1/9})^{N-2}=A_{15}M^{2/9}(2^ks_j)^{N-2}$. Отсюда с учетом неравенства (2.15), 1) для раздельных двоичных кубов с длиной стороны $2^ks_j$, пересекающих слой $U_k$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{\{m|D_m\cap U_k\ne\varnothing\}}\biggl(M^{2/3} (s(D_m))^{N-2}+\frac{s(D_m)}{2^ks_j}\int_{(17/16)D_m}|\nu(\mathbf x)|\,d\mathbf x\biggr) \\ &\qquad \leqslant A_{16}\bigl(M^{2/3}M^{2/9}+M^{-1/9}M\bigr)(2^ks_j)^{N-2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Ясно, что число кубов $D_m$, пересекающих компакт $\mathbf X$, конечно. Построим на $\bigcup_mD_m$ разбиение единицы $\{\varphi_m\}$ из леммы 1, $\varphi_m\in C_0^{\infty}((17/16)D_m)$. Суммируя по всем слоям $U_k$ аналогично (4.14), используя оценку (4.15) для $Q=D_m$, с учетом (4.17) получим
$$
\begin{equation*}
\sum_m\biggl|\int_{(17/16)D_m}g_j(\mathbf x)\varphi_m(\mathbf x)\overline{\nu(\mathbf x)}\,d\mathbf x\biggr|\leqslant 2A_{16}M^{8/9}\gamma_{ \mathcal L}\biggl(\frac{17}{16}Q_j\cap X\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя полученные неравенства по всем $j$, в силу сохранения оценки (4.9) при переходе от $X'$ к $\mathbf X$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\sum_{\{j|Q_j=Q_j^{\mathbf s}\}}\biggl|\int_{\mathbf X\setminus(5/4)Q_j}g_j(\mathbf x)\overline{\nu(\mathbf x)}\,d\mathbf x\biggr|\leqslant A_{17}M^{8/9}\gamma_\mathcal L(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Такая же оценка при интегрировании по $(5/4)Q_j$ с $M=1$ следует из леммы 4, (2) и леммы 11 (утверждение (i), b) и утверждение (iii), гарантирующее ограниченную кратность пересечений соответствующих носителей $\nu$). Тем самым оценка (4.13) установлена. Лемма 12 доказана. Завершим доказательство основной леммы 9. С учетом $\|f\|_{\mathrm L^{\infty}(\mathbb R^N)}\leqslant1$, интегрируя по $\overline{\nu(\mathbf x)}d\mathbf x$ равенство
$$
\begin{equation*}
\sum_jg_j=\sum_j\bigl(\nu_{Q_j}*\Phi_{\mathcal L}-V_{\varphi_j}f\bigr)=\nu*\Phi_{\mathcal L}-f,
\end{equation*}
\notag
$$
в силу леммы 12 и утверждения (i), b) леммы 11, получим в обозначениях (3.5) для построенной функции $\nu$
$$
\begin{equation*}
|I_{\nu, \mathcal L}|\leqslant (N-2)\sigma_N(A_9+A_{10}M^{8/9})\gamma_{\mathcal L}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, так же, как и в доказательстве предложения 2, применив преобразование Фурье, (3.1), (3.6), (3.8) и (3.9), получим
$$
\begin{equation*}
I_{\nu, \Delta}\leqslant A_{18} M^{8/9}\gamma_{\mathcal L}(X),
\end{equation*}
\notag
$$
что вместе с утверждением (i), a) леммы 11 доказывает утверждения a) и c) леммы 9. Утверждение b) леммы 9 установлено в утверждении (4) леммы 10. Лемма 9 доказана. Вместе с ней доказаны предложение 1 и теорема 1. § 5. Некоторые следствия теоремы 1Теорема 2. Пусть $N\geqslant3$, $\operatorname{Cap}$ – любая из емкостей $\gamma_{\mathcal L}$, $\alpha_{\mathcal L}$, $\gamma_{{\mathcal L,+}}$, $\alpha_{{\mathcal L,+}}$. Тогда: 1) существует постоянная $A=A(L)>1$ такая, что для любого ограниченного (борелевского) множества $U$ выполнена оценка
$$
\begin{equation*}
A^{-1}\gamma_{\Delta,+}(U)\leqslant\operatorname{Cap}(U)\leqslant A\gamma_{\Delta,+}(U);
\end{equation*}
\notag
$$
2) имеет место счетная субаддитивность указанных емкостей, а именно, если $U=\bigcup_jU_j$, то Доказательство. Утверждение 1) непосредственно следует из теоремы 1, равенства (1.10) и элементарных оценок (1.8) и (1.11). Утверждение 2) следует из 1) и полуаддитивности гармонической емкости:
Теорема 2 доказана. Теорема 2 переносится на случай сильно эллиптических уравнений в $\mathbb R^2$, имеющий свою специфику в силу неограниченности фундаментальных решений в бесконечности. Емкости $\gamma_{\mathcal L}$, $\alpha_{\mathcal L}$, $\gamma_{{\mathcal L,+}}$, $\alpha_{{\mathcal L,+}}$ определяются локально. Именно, в (1.4) функция $\Psi_0$ задается с точностью до аддитивной постоянной, зафиксируем эту постоянную так же, как в [8; (1.3)], при этом $|\Phi_{\mathcal L}(\mathbf x)|\leqslant A_1(L)$ для $|\mathbf x|=1$. Определим емкости в соответствии с [8; (1.4)] при $R=1$. Пусть $U\subset B(\mathbf a,1/2)$, тогда
$$
\begin{equation}
\gamma_{\mathcal L}(U)=\gamma_{\mathcal L}^1(U)=\sup_T\{|\langle T\mid 1\rangle|\colon \operatorname{Spt}(T)\subset U,\,\|T*\Phi_{\mathcal L}\|_{\mathrm L^{\infty}(B(\mathbf a,1))}\leqslant1\},
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
в случае емкости $\gamma_{{\mathcal L,+}}$ распределения $T$ в (5.1) – неотрицательные меры с носителями на $U$, для емкостей $\alpha_{\mathcal L}$ и $\alpha_{{\mathcal L,+}}$ в (5.1) дополнительно полагаем $T* \Phi_{\mathcal L}\in C(B(\mathbf a,1))$. Напомним, что в $\mathbb R^2$ имеем $\Phi_{\Delta}=(1/{2\pi})\log|\mathbf x|$. С учетом знака логарифма для $\gamma_{{\Delta,+}}$ можно дать равносильное определение (см. [17; гл. II, § 4]):
$$
\begin{equation}
\gamma_{{\Delta,+}}(U)=\sup_{\mu}\{\|\mu\|\colon \operatorname{Spt}(\mu)\subset U,\, \mu\geqslant0,\,\mu*\Phi_{\Delta}\geqslant-1\},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
при этом емкость (5.2) больше гармонической (винеровой) емкости в $2\pi$ раз. Напомним, что для гармонических емкостей в $\mathbb R^2$ выполняется равенство (1.10) (см. [8; предложение 2.1]), а емкости $\gamma_{\Delta,+}$ и $\gamma_{\mathcal L,+}$ соизмеримы между собой с точностью до постоянной $A(L)>0$ (см. [8; предложение 2.3]). Теорема 1.1 из [8] сводит вопрос соизмеримости емкостей $\gamma_{\mathcal L}(U)$ и $\gamma_{{\Delta,+}}(U)$ в $\mathbb R^2$ к соизмеримости емкостей декартовых произведений $\gamma_{\mathcal L}(U\times[-1,1])$ и $\gamma_{{\Delta,+}}(U\times[-1,1])$ в $\mathbb R^3$. Отсюда в силу теоремы 1 в $\mathbb R^3$ для $U\times[-1,1]$ имеет место следующее утверждение. Теорема 3. Пусть $U$ – подмножество круга $B(\mathbf a,1/2)$, $\operatorname{Cap}$ – любая из емкостей $\gamma_{\mathcal L}$, $\alpha_{\mathcal L}$, $\gamma_{\mathcal L,+}$, $\alpha_{{\mathcal L,+}}$, определенных в соответствии с (5.1), $\gamma_{{\Delta,+}}$ определяется в соответствии с (5.2). Тогда (в указанных обозначениях) имеют место утверждения 1) и 2) теоремы 2. Заметим, что случай $U\subset B(\mathbf a,R/2)$ для произвольного $B=B(\mathbf a,R)$ рассматривается с помощью гомотетии (см. (1.4), (1.5) и предложение 2.2 в [8]). Именно, зафиксированное для $R=1$ фундаментальное решение $\Phi_\mathcal L$ из (1.4) заменяется на $\Phi_\mathcal L^R(\mathbf x) = k_0\log|\mathbf x/R| + \Psi_0(\mathbf x)$ (т.е. изменяется на аддитивную постоянную), и вводятся локальные емкости аналогично
$$
\begin{equation}
\gamma_{\mathcal L}^B(U)=\sup_T\{|\langle T\mid 1\rangle|\colon \operatorname{Spt}(T)\subset U,\,\|T*\Phi_{\mathcal L}^R\|_{\mathrm L^{\infty}(B)}\leqslant1\},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
при этом для любой гомотетии $P$ в $\mathbb R^2$ выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\gamma_{\mathcal L}^B(U)=\gamma_{\mathcal L}^{P(B)}(P(U)).
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Напомним (см. [3]), что в терминах емкости $\gamma_{\mathcal L}$ описываются устранимые особенности решений уравнения $\mathcal Lf=0$ в классе ограниченных функций, а в терминах емкости $\alpha_{\mathcal L}$ – соответственно устранимые особенности в классе непрерывных функций. В силу теоремы 1 имеет место следующее утверждение для всех рассматриваемых $\mathcal L$. Теорема 4. Компакт $K\subset\mathbb R^N$, $N\geqslant2$, является устранимым для решений уравнения $\mathcal Lf=0$ в классе ограниченных или классе непрерывных функций тогда и только тогда, когда $\gamma_{{\Delta,+}}(K)=0$. Теорема 4 в сочетании с теоремой 1 из [5; гл. IV] дает оценки размерности устранимых множеств для решений уравнений $\mathcal Lf=0$. Заметим, что при $N=2$ оценок подобного типа для произвольных $\mathcal L$ не было известно вообще. Приведем здесь только один новый результат. Следствие 1. Пусть $K\subset\mathbb R^2$ – компакт. Если для любого $\varepsilon>0$ компакт $K$ может быть покрыт конечным семейством открытых кругов $B_j$ радиусов $r_j<1$ таких, что $\sum_j(\log(1/r_j))^{-1}<\varepsilon$, то $K$ устраним для решений уравнений $\mathcal Lf=0$ в классах ограниченных и непрерывных функций при всех $\mathcal L$. Напомним, что в [4] при $N\geqslant3$ в терминах емкостей $\gamma_{\mathcal L}$ и в [9] при $N=2$ в терминах емкостей $\gamma_{\mathcal L}^B$ из (5.3) получен критерий равномерной приближаемости непрерывных функций решениями уравнений $\mathcal Lf=0$ на компактах в $\mathbb R^N$. Критерий может быть дан в различных равносильных формах, теорема 5 – следствие для $N\geqslant3$ теоремы 1 и теорем 1 и 3 из [4]. Пусть $N\geqslant3$, $X\subset\mathbb R^N$ – непустой компакт. Каждую функцию $f\in C(X)$ считаем продолженной (по теореме Брауэра–Урысона) за пределы $X$ как непрерывную и финитную, $\omega_f$ – ее модуль непрерывности. Через $H_\mathcal L(X)$ обозначим класс функций $f\in C(X)$ таких, что для любого $\varepsilon>0$ существует функция $F$, удовлетворяющая уравнению $\mathcal LF=0$ в некоторой окрестности $X$, и при этом $\|F-f\|_{\mathrm L^{\infty}(X)}<\varepsilon$. В задачах аппроксимации понятие $\mathcal L$-осцилляции $\mathcal O^\mathcal L_B(f)$ функции $f$ на шаре $B=B(\mathbf a,r)$ было введено П. В. Парамоновым в [19; § 2]. Именно, в обозначениях (1.1) для полинома $L$ – символа оператора $\mathcal L$ – имеем ($m(B)$ – объем шара в $\mathbb R^N$)
$$
\begin{equation*}
\mathcal O^\mathcal L_B(f)=\frac1{{\sigma(\partial B)}}\int_{\partial B}f(\mathbf x) \frac{L(\mathbf x-\mathbf a)}{r^2}\,d\sigma_{\mathbf x}-\frac{\sum_{j=1}^Nc_{jj}}{m(B)N}\int_B f(\mathbf x)\,d\mathbf x.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности,
$$
\begin{equation*}
\mathcal O^{\Delta}_B(f) =\frac1{{\sigma(\partial B)}}\int_{\partial B}f(\mathbf x)\,d\sigma_\mathbf x-\frac1{m(B)}\int_B f(\mathbf x)\,d\mathbf x
\end{equation*}
\notag
$$
– разность средних значений функции по сфере и шару (которую можно рассматривать как меру невыполнения теоремы о среднем). Теорема 5. Если существуют постоянная $k\geqslant1$ и функция $\epsilon\colon\mathbb R_+\to\mathbb R_+$, $\epsilon(t)\to0$ при $t\to0$, такие, что для любого шара $B$ радиуса ${r}$ выполнена оценка В силу теорем 1.1 и 1.4 из [9], а также (5.4), теорема 5 переносится на случай $N=2$, при этом условие (5.5) принимает вид
$$
\begin{equation*}
|\mathcal O^L_B(f)|\leqslant \epsilon({r})\gamma_{{\Delta,+}}(P(k B\setminus X)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $P$ – композиция сдвига и гомотетии, переводящая круг $k B$ в $B(\mathbf 0,1/2)$, $\gamma_{{\Delta,+}}$ – емкость из (5.2).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Maz24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|