| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Диффузные ортогонально аддитивные операторы Н. М. Абасовa, Н. А. Джусоеваb, М. А. Плиевcd a Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет) b Северо-Осетинский государственный университет имени Коста Левановича Хетагурова, г. Владикавказ c Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ d РНОМЦ "Северо-Кавказский центр математических исследований" Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9909e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и предварительные сведенияОртогонально аддитивные операторы (ОАО) естественно возникают в теории нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений, теории динамических систем и выпуклой геометрии (см. [21], [42], [45], [46]). Первые результаты теории ОАО восходят к работам Л. Древновского, В. Орлича, М. Маркуса и В. Мизеля (см. [20], [29], [30]). В контексте теории векторных решеток ортогонально аддитивные операторы впервые были рассмотрены Дж. Мазоном и С. Сегурой де Леоном в 90-х годах XX века (см. [28], [45]). В последние годы общая теория ОАО в упорядоченных пространствах активно разрабатывается рядом российских и зарубежных математиков (см. [3], [13], [23]–[25], [36], [43]). В работе [35] было установлено, что пространство регулярных ортогонально аддитивных операторов $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$, действующих из векторной решетки $E$ в порядково полную векторную решетку $F$, является порядково полной векторной решеткой. В связи с этим возникает задача исследования решеточной порядковой структуры пространства ортогонально аддитивных операторов. Отметим, что данная задача представляет не только самостоятельный интерес в рамках абстрактного “порядкового” анализа, но также важна и для приложений. Иллюстрацией данного тезиса в случае линейных регулярных операторов является решение проблемы характеризации линейных непрерывных операторов в пространстве $L_2[0,1]$, сформулированной Дж. фон Нейманом в связи вопросами обоснования квантовой механики в 1932 г. и решенной А. В. Бухваловым в 1974 г. (см. [1]). Ключевую роль в решении проблемы фон Неймана сыграл факт наличия “богатой” порядковой структуры на множестве регулярных линейных интегральных операторов, действующих в пространстве $L_2[0,1]$. Изучению различных порядковых свойств пространства $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ посвящены работы [10]–[12], [26], [32]. Целью настоящей статьи является изучение нового класса – диффузных ортогонально аддитивных операторов в векторных решетках. Диффузные операторы тесно связаны с другим важным классом ОАО, сохраняющих дизъюнктность. Диффузные ОАО образуют порядково замкнутый идеал в векторной решетке $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$, дизъюнктный полосе, порожденной ортогонально аддитивными операторами, сохраняющими дизъюнктность. В линейном случае данный класс операторов был исследован в работах [4], [27], [47]. Схожие с диффузными узкие ОАО изучались в [38]–[40]. Вкратце изложим содержание работы. Ниже мы приведем необходимые предварительные сведения и обозначения, которые далее будут использованы в тексте. В § 2 укажем базовые примеры ОАО и покажем, что линейные регулярные операторы естественно вкладываются в пространство регулярных ОАО. Далее мы рассмотрим ортогонально аддитивные операторы, сохраняющие дизъюнктность, и установим критерий дизъюнктности главных латеральных проекторов порядково полной векторной решетки $E$. В § 3 перейдем к основной теме работы – диффузным ОАО. Покажем, что единственным примером ОАО, действующего в конечномерном векторном пространстве, является нулевой оператор. Далее мы приведем критерий диффузности регулярного ортогонально аддитивного оператора, обобщая на нелинейный случай теорему 2.2 работы [27]. Мы применим полученный критерий для установления диффузности латерально непрерывных ОАО. В § 4 изучим интегральные ОАО. Мы найдем критерий регулярности интегрального оператора Урысона и покажем, что множество регулярных ОАО образует подрешетку в векторной решетке всех регулярных ОАО. Также покажем, что интегральный оператор Урысона, заданный на безатомном банаховом функциональном пространстве, является диффузным. В § 5 мы приведем общий вид оператора порядкового проектирования на полосу в $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$, порожденную операторами, сохраняющими дизъюнктность. Все необходимые сведения о векторных решетках и банаховых идеальных пространствах можно найти в [2], [14], [15]. Все векторные решетки предполагаются архимедовыми. Будем говорить, что сеть $(x_\alpha)_{\alpha\in A}$ элементов векторной решетки $E$ порядково сходится к элементу $x\in E$, если существует сеть $e_{\alpha}\downarrow 0$ в $E_+$ такая, что $|x-x_{\alpha}|\leqslant e_{\alpha}$ для любого $\alpha\in A$ такого, что $\alpha\geqslant\alpha_{0}$ для некоторого фиксированного индекса $\alpha_0\in A$. Два элемента $x$, $y$ векторной решетки $E$ называются дизъюнктными (обозначение $x\perp y$), если $|x|\wedge|y|=0$. Запись $x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_{i}$ означает, что $x=\sum_{i=1}^{n}x_{i}$ и $x_{i}\perp x_{j}$ для всех $i\neq j$. Для случая $n=2$ будем использовать обозначение $x=x_{1}\sqcup x_{2}$. Элемент $y$ называется осколком $x \in E$ (обозначение $y \sqsubseteq x$), если $y\perp(x-y)$. Множество всех осколков элемента $x\in E$ обозначается $\mathfrak{F}_{x}$. Предложение 1 (см. [31; предложение 3.4]). Пусть $E$ – векторная решетка и $x,y\in E$. Тогда отношение $y\sqsubseteq x$ выполняется тогда и только тогда, когда $y^{+}\sqsubseteq x^{+}$ и $y^{-}\sqsubseteq x^{-}$, причем множество $\mathfrak{F}_{x}$ является булевой алгеброй относительно частичного порядка $\sqsubseteq$ с наименьшим элементом $0$ и с наибольшим элементом $x$. При этом булевы операции имеют вид Будем говорить, что булева алгебра $\mathfrak{B}$ порядково полна, если каждое подмножество $D$ алгебры $\mathfrak{B}$ имеет супремум и инфимум. Бинарное отношение $\sqsubseteq$ на $E$ является отношением частичного порядка, называемого латеральным порядком (см. [31]). Линейное подпространство $E_0$ векторной решетки $E$ называется порядковым идеалом $E$, если для любых $x\in E_0$, $y\in E$ из неравенства $|y|\leqslant|x|$ следует включение $y\in E_0$. Пусть $D$ – произвольное подмножество векторной решетки $E$. Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
D^{\perp}:=\{x\in E\colon x\perp y\text{ для любого }y\in D\}, \qquad D^{\perp\perp}:=(D^{\perp})^{\perp}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что $D^{\perp}$ – дизъюнктное дополнение $D$. Подмножество $B$ в векторной решетке $E$ называется полосой, если $B=D^{\perp}$ для некоторого $D\subset E$. Отметим, что для произвольного множества $D\subset E$ его дизъюнктное дополнение (полоса) $D^{\perp}$ является порядково замкнутым порядковым идеалом в $E$. Говорят, что полоса $B$ в $E$ порождена множеством $D$, если $B=D^{\perp\perp}$. Полоса $B$ в $E$ называется главной, если $B=\{x\}^{\perp\perp}$ для некоторого элемента $x\in E$. Линейный оператор $T\colon E\to F$ называется решеточным гомоморфизмом, если для любых $x,y\in E$ выполняется хотя бы одно из равенств:
Отметим, что каждый решеточный гомоморфизм является положительным оператором, и выполнение любого из равенств 1)–5) автоматически влечет выполнение всех остальных. Решеточным мономорфизмом будем называть инъективный решеточный гомоморфизм. Оператор $\pi\colon E\to E$ (не обязательно линейный) называется проектором на $E$, если $\pi=\pi^2$. Положительный линейный оператор $\pi\colon E\to E$ называется порядковым проектором, если:
Множество всех порядковых проекторов на $E$ обозначается $\mathfrak{B}(E)$. Множество $\mathfrak{B}(E)$ является булевой алгеброй относительно частичного порядка
$$
\begin{equation*}
\pi\leqslant \rho\quad \Longleftrightarrow\quad \pi\circ\rho=\pi,
\end{equation*}
\notag
$$
причем булевы операции имеют вид
$$
\begin{equation*}
\pi\wedge\rho:=\pi\circ\rho, \qquad \pi\vee\rho:=\pi+\rho-\pi\circ\rho, \qquad \neg\,\pi=\mathrm{Id}-\pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Полоса $B$ в векторной решетке $E$ допускает порядковое проектирование, если для каждого элемента $x$ векторной решетки $E$ существует однозначное разложение
$$
\begin{equation*}
x=x_{1}+x_2, \qquad x_1\in B, \quad x_2\in B^{\perp}.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае линейный оператор $\pi\colon E\to E$, заданный формулой $\pi x=x_1$, будет порядковым проектором на полосу $B$. Говорят, что $E$ – векторная решетка с проекциями (проекциями на главные полосы), если в $E$ существует порядковой проектор на любую полосу (главную полосу). Заметим, что каждая полоса $B$ в порядково полной векторной решетке $E$ допускает порядковое проектирование (см. [15; теорема 1.42]). Пусть $E$ – векторная решетка с проекциями и $D$ – подмножество $E$. Через $\pi_{D}$ обозначим порядковый проектор в $E$ на полосу $\{D\}^{\perp\perp}$. Характеристическую функцию множества $D$ будем обозначать $1_{D}$. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ и $(B,\Xi,\nu)$ – пространства с $\sigma$-конечными мерами. Через $L_{0}(\mu)$ и $L_{0}(\nu)$ обозначим векторные пространства классов эквивалентностей измеримых почти всюду конечных функций на $A$ и $B$ соответственно. В пространстве $L_{0}(\nu)$ существует естественный частичный порядок: $f\leqslant g$, если $f(t)\leqslant g(t)$ для почти всех $t\in A$. Известно, что относительно указанного частичного порядка $L_{0}(\nu)$ является порядково полной векторной решеткой (см. [14; теорема 1.80]). Через $\mathcal{L}_{\infty}(B,\Xi,\nu)$ (или $\mathcal{L}_{\infty}(\nu)$ для краткости) обозначим банахово пространство ограниченных $\nu$-измеримых действительнозначных функций, заданных на $B$. Пространство $L_{\infty}(\nu)$ существенно ограниченных измеримых функций (классов эквивалентности) является векторной подрешеткой $L_{0}(\nu)$. Заметим, что $L_{\infty}(\nu)$ является факторпространством пространства $\mathcal{L}_{\infty}(\nu)$, причем каноническое факторотображение $\pi\colon \mathcal{L}_{\infty}(\nu)\to L_{\infty}(\nu)$ переводит измеримую функцию $f\in\mathcal{L}_{\infty}(\nu)$ в класс функций, эквивалентный $f$. Для класса эквивалентности $f$, являющегося элементом $L_{\infty}(\nu)$, через $\widehat{f}$ обозначим соответствующий элемент $\mathcal{L}_{\infty}(\nu)$. Положительный линейный оператор $l\colon L_{\infty}(\nu)\to\mathcal{L}_{\infty}(\nu)$ называется лифтингом, если выполняются следующие условия: 1) $\pi(l(f))=f$, $f\in L_{\infty}(\nu)$; 2) $l(0)=0$; 3) $l(1_{B})=1_{B}$. Образ $l(f)$ элемента $f\in L_{\infty}(\nu)$ при отображении $l\colon L_{\infty}(\nu)\to\mathcal{L}_{\infty}(\nu)$ будем обозначать через $\widehat{f}$. Подробное изложение теории лифтинга можно найти в монографии [7]. § 2. Регулярные ортогонально аддитивные операторыВ этом параграфе мы введем в рассмотрение регулярные ОАО и приведем несколько базовых примеров. Мы продолжим изучение проекторов на латеральные полосы, начатое в [22], и установим критерий дизъюнктности главных латеральных проекторов. Определение 2. Пусть $E$ – векторная решетка и $X$ – действительное векторное пространство. Отображение $T\colon E\to X$ называется ортогонально аддитивным оператором, если $T(x\sqcup y)=Tx+Ty$ для любых дизъюнктных $x,y\in E$. Из определения следует, что $T(0)=0$. Определение 3. Пусть $E,F$ – векторные решетки. Ортогонально аддитивный оператор $T\colon E\to F$ называется: Ясно, что каждый порядково ограниченный ОАО является осколочно ограниченным. Следующий пример показывает, что, в отличие от линейного случая, положительность ортогонально аддитивного оператора не гарантирует его порядковой ограниченности. Рассмотрим отображение $T\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, заданное формулой
$$
\begin{equation*}
T(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x^{2}}, &\text{если } x\neq 0, \\ 0, &\text{если }x=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что два произвольных элемента $x,y\in\mathbb{R}$ дизъюнктны тогда и только тогда, когда хотя бы один из элементов равен нулю, в силу чего $T$ является ортогонально аддитивным оператором. Оператор не может быть порядково ограниченным, так как образ $T(-1,1)$ интервала $(-1,1)$ неограничен в $\mathbb{R}$. Так как неравенство выполняется для любого положительного ОАО $T\colon E\to F$ и любых $x,y\in E$, где $y\in\mathfrak{F}_x$, то положительные и регулярные ОАО являются осколочно ограниченными. Множества всех положительных, регулярных, порядково и осколочно ограниченных ОАО из $E$ в $F$ обозначаются через $\mathcal{OA}_{+}(E,F)$, $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$, $\mathcal{OA}_{\mathrm b}(E,F)$ и $\mathcal{P}(E,F)$ соответственно. Далее для $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,E)$ будем использовать короткое обозначение $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E)$. Существует естественный частичный порядок на $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$, задаваемый соотношением
$$
\begin{equation*}
S\leqslant T\quad\Longleftrightarrow\quad (T-S)\in\mathcal{OA}_{+}(E,F).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что упорядоченные пространства $L_{\mathrm r}(E,F)$ и $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ существенно отличаются друг от друга. В частности, единственным линейным оператором $T\colon E\to F$, положительным как в смысле определения 1, так и в смысле определения 3, будет $T=0$. Если векторная решетка образов $F$ порядково полна, то упорядоченное векторное пространство $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ является порядково полной векторной решеткой. Лемма 1 (см. [35; теорема 3.6]). Пусть $E$, $F$ – векторные решетки, причем $F$ порядково полна. Тогда $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F) = \mathcal{P}(E,F)$ и $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ является порядково полной векторной решеткой. Кроме того, для любых $S$, $T\in \mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ и $x\in E$ справедливы следующие формулы: 1) $(T\vee S)x=\sup\{Ty+Sz\colon x=y\sqcup z\}$; 2) $(T\wedge S)x=\inf\{Ty+Sz\colon x=y\sqcup z\}$; 3) $T^{+}x=\sup\{Ty\colon y\sqsubseteq x\}$; 4) $T^{-}x=-\inf\{Ty\colon y\sqsubseteq x\}$; 5) $|T|x=\sup\{Ty-Tz\colon x=y\sqcup z\}$; 6) $|Tx|\leqslant|T|x$. Множество всех сохраняющих дизъюнктность ОАО из $E$ в $F$ обозначается через $\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)$. Заметим, что, в отличие от линейного случая, ортогонально аддитивный оператор, сохраняющий дизъюнктность, автоматически является регулярным. Предложение 2. Пусть $E$, $F$ – векторные решетки. Тогда $\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)\,{\subset} \mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$. Доказательство. Пусть $T\in\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)$. Рассмотрим отображение $R$: $E\to F$, заданное формулой Возьмем дизъюнктные элементы $x,y\in E$. Тогда и $R\in \mathcal{OA}_{+}(E,F)$. Ясно, что $T\leqslant R$. Регулярность оператора $T$ следует из представления $T=R-(R-T)$, где $R$ и $R-T$ – положительные ОАО.
Предложение доказано. Следующие вспомогательные утверждения понадобятся ниже. Предложение 3 (см. [15; теорема 1.50]). Пусть $E$ – решетка с проекциями на главные полосы, $F$ – порядково полная векторная решетка и $T\colon E\to F$ – регулярный линейный оператор. Тогда Предложение 4. Пусть $E$ – векторная решетка и $x\in E$. Тогда множества $A:=\{z\colon z\sqsubseteq |x|\}$ и $B:=\{|z|\colon z\sqsubseteq x\}$ совпадают. Доказательство. Докажем включение $A\subset B$. Пусть $z\sqsubseteq |x|=x_{+}\sqcup x_-$. Согласно [35; лемма 3.5] существует представление $z=z_1\sqcup z_2$, где $z_1\sqsubseteq x_{+}$ и $z_2\sqsubseteq x_-$. Пусть $y=z_1-z_2$. Тогда $y\sqsubseteq x$ и $|y|=z$. Докажем обратное включение $B\subset A$. Пусть $y\sqsubseteq x$. Тогда согласно [31; утверждение 3.1] получаем $y_+\sqsubseteq x_{+}$, $y_-\sqsubseteq x_-$ и $|y|=(y_{+}\sqcup y_-)\sqsubseteq|x|$.
Предложение доказано. Ниже мы рассмотрим некоторые примеры регулярных ортогонально аддитивных операторов. Следующее утверждение показывает, что для широких классов векторных решеток $E$ и $F$ существует изоморфное вложение $L_{\mathrm r}(E,F)$ в $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$. Лемма 2. Пусть $E$ – векторная решетка с проекциями на главные полосы и $E$ – порядково полная векторная решетка. Тогда существует решеточный мономорфизм $J\colon L_{\mathrm r}(E,F)\to \mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$. Доказательство. Возьмем $T\in L_{+}(E,F)$ и рассмотрим отображение $j(T)$: $E\to F$, заданное формулой Тогда для любых дизъюнктных $x_1,x_2\in E$
$$
\begin{equation*}
j(T)(x_1\sqcup x_2)=T|x_1\sqcup x_2|=T(|x_1|\sqcup |x_2|)=j(T)x_1+j(T)x_2,
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу положительности линейного оператора $T$ получаем, что $j(T)$ – положительный ОАО. Так как $j(T_1+T_2)=j(T_1)+j(T_2)$ для любых $T_1,T_2\in L_{+}(E,F)$, то в силу теоремы Канторовича (см. [15; теорема 1.10]) существует единственный линейный положительный оператор $J\colon L_{\mathrm r}(E,F)\to \mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ такой, что
Покажем инъективность оператора $J$. Прежде заметим, что для любых $T,S\in L_{+}(E,F)$ равенство влечет тождество $T=S$. Возьмем теперь $T,S\in L_{+}(E,F)$, и пусть $J(T)=J(S)$. Тогда для любого $x\in E_+$ в силу чего $T=S$ и оператор $J$ инъективен на конусе $L_{+}(E,F)$. Пусть теперь $T,S\in L_{\mathrm r}(E,F)$ и $J(T)=J(S)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &J(T)=J(T_+)-J(T_-), \qquad J(S)=J(S_+)-J(S_-) \\ &\qquad\Longrightarrow \quad J(T_{+}+S_-)=J(S_{+}+T_-) \quad \Longrightarrow \quad T_{+}+S_-=S_{+}+T_-, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
вследствие чего $T=S$ и оператор $J$ инъективен на всем пространстве $L_{\mathrm r}(E,F)$.
Покажем теперь, что $J\colon L_{\mathrm r}(E,F)\to \mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ является решеточным гомоморфизмом. Согласно определению решеточного гомоморфизма достаточно показать, что Возьмем произвольный элемент $x\in E$ и линейный регулярный оператор $T$: $E\to F$. Тогда, применяя предложения 3 и 4, а также лемму 1, можем записать
$$
\begin{equation*}
J(T_+)x=T_+|x|\stackrel{\rm \text{предл. }3}{=} \sup\{Tz\colon z\sqsubseteq |x|\}\stackrel{\rm \text{предл. }4}{=} \sup\{T|z|\colon z\sqsubseteq x\} \stackrel{\rm \text{лемма }1}{=}J(T)_{+}x.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Теория линейных регулярных операторов в векторных решетках является хорошо разработанной областью современного анализа, широко представленной в литературе (см. [14], [15]). Регулярные ОАО впервые были рассмотрены в работе [35]. Следующий пример особенно важен для приложений. Определение 4. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ и $(B,\Xi,\nu)$ – пространства с конечными мерами. Через $(A\times B,\mu\otimes\nu)$ обозначим их произведение. Отображение $K$: $A\times B\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ называется функцией Каратеодори, если выполняются следующие условия: $(\mathrm C_{1})$ $K(\cdot,\cdot,r)$ является $\mu\otimes\nu$-измеримой для любого $r\in\mathbb{R}$; $(\mathrm C_{2})$ $K(s,t,\cdot)$ является непрерывной на $\mathbb{R}$ для $\mu\otimes\nu$-почти всех $(s,t)\in A\times B$. Будем говорить, что $K$ – это нормализованная функция Каратеодори, если $K(s,t,0)=0$ для $\mu\otimes\nu$-п.в. $(s,t)\in A\times B$. Предложение 5 (см. [22; утверждение 3.2]). Пусть $E$ и $E$ – порядковые идеалы в пространстве $L_{0}(\nu)$, $K\colon A\times B\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ – нормализованная функция Каратеодори и для любого элемента $f\in E$ неравенство выполняется для почти всех $s\in A$. Тогда отображение $T\colon E\to L_{0}(\mu)$, заданное равенством является регулярным ортогонально аддитивным оператором из $E$ в $L_{0}(\mu)$. Отображение $T\colon E\to L_{0}(\mu)$, задаваемое равенством (2.1), известно в литературе как интегральный оператор Урысона (см. [5]). Третий класс примеров связан с операторами суперпозиции. Определение 5. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ – пространство с конечной мерой. Функция $N\colon A\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ называется: Предложение 6 (см. [22; пример 1]). Пусть $E$ – порядковый идеал пространства $L_{0}(\nu)$, $N\colon A\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ – суперизмеримая функция. Тогда формула задает регулярный ортогонально аддитивный оператор $\mathcal{N}\colon E\to L_{0}(\mu)$. Оператор $\mathcal{N}$ известен в литературе как нелинейный оператор суперпозиции или оператор Немыцкого (см. [16]). Следующий класс примеров связан с латеральным порядком в векторных решетках. Определение 6. Пусть $E$ – векторная решетка. Подмножество $\mathcal{I}$ решетки $E$ называется латеральным идеалом, если выполняются следующие условия: 1) если $x\in \mathcal{I}$, то ${y}\in \mathcal{I}$ для любого $y\in \mathfrak{F}_{x}$; 2) если $x,y\in \mathcal{I}$ и $x\perp y$, то $x\sqcup y\in \mathcal{I}$. Отметим, что каждый порядковый идеал векторной решетки является и латеральным идеалом. Типичным примером “нелинейного” латерального идеала является множество осколков $\mathfrak{F}_x$ произвольного элемента $x\in E$. Важность латеральных идеалов для теории ортогонально аддитивных операторов демонстрирует следующий факт. Предложение 7 (см. [31; предложение 6.4]). Пусть $E$, $F$ – векторные решетки и $T\colon E \to F$ – положительный ортогонально аддитивный оператор. Тогда $\ker T: = \{x \in E\colon Tx = 0\}$ – латеральный идеал в $E$. Будем говорить, что сеть $(x_\alpha)_{\alpha\in A}$ (последовательность $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$) элементов векторной решетки $E$ латерально сходится к $x\in E$, если сеть $(x_\alpha)_{\alpha\in A}$ (последовательность $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$) порядково сходится к $x$ и из условия $\alpha\leqslant\beta$ ($n\leqslant m$) следует, что $x_{\alpha}\sqsubseteq x_{\beta}$ ($x_{n}\sqsubseteq x_{m}$) для любых индексов $\alpha,\beta\in A$ ($n,m\in\mathbb{N}$). Подмножество $D$ векторной решетки $E$ называется латерально замкнутым (латерально $\sigma$-замкнутым), если оно содержит пределы всех латерально сходящихся сетей (последовательностей), состоящих из элементов $D$. Определение 7. Пусть $E$ – векторная решетка. Латерально замкнутый латеральный идеал $\mathcal{I}$ в $E$ называется латеральной полосой. Каждая полоса в векторной решетке $E$ является латеральной полосой. Множество осколков $\mathfrak{F}_x$ произвольного элемента $x\in E$ является латеральной полосой. Векторная решетка $E$ называется осколочно полной, если для любого $x\in E_+$ булева алгебра $\mathfrak{F}_{x}$ является порядково полной. Каждая порядково полная векторная решетка осколочно полна (см. [15; теорема 1.49]). Заметим, что класс последних строго включает в себя порядково полные векторные решетки (см. [34; предложение 4.2]). Рассмотрим пример порядково неполной, но осколочно полной векторной решетки. Пусть $A$ – открытое ограниченное подмножество $\mathbb{R}^n$, $\Sigma$ – $\sigma$-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств $A$, $\mu$ – мера Лебега на $A$. Через $S(A,\Sigma,\mu)$ (или $S(\mu)$ для краткости) обозначим векторное пространство всех ступенчатых измеримых функций на $A$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
f\in S(\mu) \quad\Longleftrightarrow \quad f=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i1_{A_i}, \qquad \lambda_i\in\mathbb{R}, \quad A_i\in\Sigma, \quad 1\leqslant i\leqslant n, \quad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Покажем, что $S(\mu)$ является векторной решеткой. Возьмем $f,g\in S(\mu)$, где $f=\bigsqcup_{i=1}^{n}\lambda_{i}1_{A_i}$ и $g=\bigsqcup_{j=1}^{m}\kappa_{j}1_{B_j}$. Тогда можем записать где
Покажем теперь осколочную полноту векторной решетки $S(\mu)$. Пусть $f\,{\in}\, S_{+}$ и $f=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}1_{A_i}$. Возьмем произвольное подмножество $D\subset \mathfrak{F}_{f}$. Достаточно установить существование элемента $z=\sup{D}$. Пусть $g\in D$. Согласно [34; предложение 3.1] отношение $g\sqsubseteq \bigl(\bigsqcup_{i=1}^{n}\lambda_{i}1_{A_i}\bigr)$ влечет существование дизъюнктного разложения $g=\bigsqcup_{i=1}^{n}g_i$, где $g_i\sqsubseteq \lambda_{i}1_{A_i}$ для любого $1\leqslant i\leqslant n$. Заметим, что $g_i=\lambda_{i}1_{A_i^{g}}$, где $A_i^{g}\in\Sigma$ и $A_i^{g}\subset A_i$ для любого $1\leqslant i\leqslant n$. Множество $D_i=\{1_{A_{i}^{g}}\colon g\in D\}$, $1\leqslant i\leqslant n$, порядково ограниченно в $L_{0}(\mu)$, и, используя порядковую полноту $L_{0}(\mu)$ (см. [14; теорема 1.80]), выводим существование конечного набора измеримых функций $G_i=\sup D_i$. Кроме того, $G_i=\sup_{k}\{1_{A_{i}^{g_k}}\}$ для любого $1\leqslant i\leqslant n$, где $(1_{A_{i}^{g_k}})_{k\in\mathbb{N}}$ – возрастающая последовательность в $D_i$. Положим $A_{D_i}=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{i}^{g_k}$. Укажем, что $A_{D_i}\in\Sigma$ и $A_{D_i}\subset A_i$. Заметив, что элемент $z:=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}1_{A_{D_i}}$ является искомым супремумом, мы завершаем доказательство. Предложение доказано. Предложение 9 (см. [22; теорема 5.1]). Пусть $E$ – осколочно полная векторная решетка и $\mathcal{B}$ – латеральная полоса в $E$. Тогда существует отображение $\mathfrak{p}_{\mathcal{B}}\colon E\to E$, удовлетворяющее следующим условиям: 1) $\mathfrak{p}_{\mathcal{B}}$ – ортогонально аддитивный оператор; 2) $\mathfrak{p}_{\mathcal{B}}$ – латерально непрерывный оператор; 3) $\mathfrak{p}_{\mathcal{B}}$ – оператор, сохраняющий дизъюнктность; 4) $\mathfrak{p}_{\mathcal{B}}$ – проектор на $\mathcal{B}$. При этом оператор $\mathfrak{p}_{\mathcal{B}}$ вычисляется по формуле где супремум вычисляется относительно латерального порядка $\sqsubseteq$.В случае, когда латеральная полоса $\mathcal{B}$ совпадает с $\mathfrak{F}_{x}$ для некоторого $x\in E$, для оператора $\mathfrak{p}_{\mathcal{B}}$ будем использовать обозначение $\mathfrak{p}_{x}$. Операторы $\mathfrak{p}_{\mathcal{B}}$ называются латеральными проекторами. Латеральные проекторы вида $\mathfrak{p}_{x}$ называются главными. Если латеральная полоса $\mathcal{B}$ в векторной решетке $E$ является “классической” полосой, то оператор $\mathfrak{p}_{\mathcal{B}}$ совпадает с порядковым проектором на полосу. Ниже представлен пример нелинейного проектора на латеральную полосу. Предложение 10 (см. [22; предложение 5.4]). Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ – пространство с конечной мерой и $f\in L_{0}(\mu)$. Тогда существует нормализованная суперизмеримая функция $N_{f}\colon A\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ такая, что Определение 8. Пусть $E$ – векторная решетка и $x,y\in E$. Будем говорить, что $x$ латерально дизъюнктен $y$, и писать $x\mathbin{\unicode{8224}} y$, если $\{z\in\mathcal{F}_{x}\cap\mathcal{F}_y\}=0$. Подмножества $H$ и $D$ векторной решетки $E$ называются латерально дизъюнктными (обозначение $H\mathbin{\unicode{8224}} D$), если $x\mathbin{\unicode{8224}} y$ для любых $x\in H$ и $y\in D$. Следующая теорема является основным результатом текущего параграфа. Теорема 1. Пусть $E$ – порядково полная векторная решетка. Тогда для любых $x,y\in E$ справедливы следующие формулы: 1) $(\mathfrak{p}_x)_{+}=\mathfrak{p}_{x_+}$; 2) $(\mathfrak{p}_x)_{-}=\mathfrak{p}_{x_-}$; 3) $|\mathfrak{p}_x|=\mathfrak{p}_{|x|}$; 4) $\mathfrak{p}_x\perp\mathfrak{p}_{y}$ $\Longleftrightarrow$ $|x|\mathbin{\unicode{8224}} |y|$. Доказательство. Регулярность оператора $\mathfrak{p}_x$ непосредственно следует из предложения 2.
Установим сначала равенство 1). Согласно лемме 1 можем записать
$$
\begin{equation*}
(\mathfrak{p}_x)_{+}u=\sup\{\mathfrak{p}_{x}z\colon z\sqsubseteq u\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\mathfrak{p}_{x}z\sqsubseteq x=x_{+}\sqcup (-x_{-})$, то существует дизъюнктное разбиение элемента
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{p}_{x}z=w_1^z\sqcup w_2^z, \quad \text{где }\ w_1^z\sqsubseteq x_{+},\quad w_2^z\sqsubseteq -x_{-}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\mathfrak{p}_x)_{+}u &=\sup\{\mathfrak{p}_{x}z\colon z\sqsubseteq u\}=\sup\{w_1^z\sqcup w_2^z\colon z\sqsubseteq u\}=\sup\{w_1^z\colon z\sqsubseteq u\} \\ &=\sup\{z\in\mathfrak{F}_{x_+}\cap \mathfrak{F}_u\}=\mathfrak{p}_{x_+}u. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем равенство 2). Используя аргументы, аналогичные приведенным выше, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\mathfrak{p}_x)_{-}u &=-\inf\{\mathfrak{p}_{x}z\colon z\sqsubseteq u\}=-\inf\{w_1^z\sqcup w_2^z\colon z\sqsubseteq u\} \\ &=-\inf\{w_2^z\colon z\sqsubseteq u\} =\sup\{-z\in\mathfrak{F}_{-x_-}\cap\mathfrak{F}_u\}=\sup\{z\in\mathfrak{F}_{x_-}\cap \mathfrak{F}_u\}=\mathfrak{p}_{x_-}u. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем равенство 3). Пусть $u$ – произвольный элемент $E$, $v\in\mathfrak{F}_{x_+}\cap\mathfrak{F}_u$ и $w\in\mathfrak{F}_{x_-}\cap\mathfrak{F}_u$. Тогда $u\sqcup w\in \mathfrak{F}_{|x|}\cap\mathfrak{F}_u$, в силу чего имеем
$$
\begin{equation*}
\{z\colon z\in\mathfrak{F}_{|x|}\cap \mathfrak{F}_u\}\supset\bigl\{\{v\colon v\in\mathfrak{F}_{x_{+}}\cap \mathfrak{F}_u\}\sqcup\{w\colon w\in\mathfrak{F}_{x_{-}}\cap \mathfrak{F}_u\}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $v\sqcup w\sqsubseteq \mathfrak{p}_{|x|}u$ для любых $v\in\mathfrak{F}_{x_{+}}\cap \mathfrak{F}_u$ и $w\in\mathfrak{F}_{x_{-}}\cap \mathfrak{F}_u$, и, переходя к латеральному супремуму, получаем $\mathfrak{p}_{x_{+}}\sqcup\mathfrak{p}_{x_{-}}\sqsubseteq \mathfrak{p}_{|x|}$. Установим обратное включение. Пусть $z\in\mathfrak{F}_{|x|}\cap\mathfrak{F}_u$. Тогда $z\sqsubseteq (x_{+}\sqcup x_{-})$, $z\sqsubseteq u$ и существует представление $z=z_1\,{\sqcup}\, z_2$, где $z_1\in\mathfrak{F}_{x_{+}}\cap\mathfrak{F}_u$ и $z_2\in\mathfrak{F}_{x_{-}}\cap\mathfrak{F}_u$. Тогда $z\sqsubseteq \mathfrak{p}_{x_{+}}u\sqcup \mathfrak{p}_{x_{-}}u$ для любых $z\in\mathfrak{F}_{|x|}\cap \mathfrak{F}_u$, и, переходя к латеральному супремуму, получаем $\mathfrak{p}_{|x|}u\sqsubseteq \mathfrak{p}_{x_{+}}u\sqcup\mathfrak{p}_{x_{-}}u$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{p}_{|x|}u=\mathfrak{p}_{x_{+}}u\sqcup\mathfrak{p}_{x_{-}}u =(\mathfrak{p}_x)_{+}u\sqcup(\mathfrak{p}_x)_{-}u=|\mathfrak{p}_x|u
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $u\in E$ и равенство 3) установлено.
Докажем теперь эквивалентность 4). Пусть $|x|\mathbin{\unicode{8224}} |y|$ и $z$ – произвольный элемент $E$. Заметим, что $|\mathfrak{p}_x|z\sqsubseteq |x|$, $|\mathfrak{p}_y|z\sqsubseteq |y|$, и в силу латеральной дизъюнктности элементов $|x|$ и $|y|$ имеем $|\mathfrak{p}_x|z\,{\wedge}\, |\mathfrak{p}_y|z=0$. Применяя теперь лемму 1, выводим
$$
\begin{equation*}
|\mathfrak{p}_x|\wedge|\mathfrak{p}_{y}|(z)=\inf\{|\mathfrak{p}_x|u+|\mathfrak{p}_y|v\colon z=u\sqcup v\}\leqslant |\mathfrak{p}_x|z\wedge|\mathfrak{p}_y|z.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, импликация $|x|\mathbin{\unicode{8224}} |y|$ $\Longrightarrow$ $\mathfrak{p}_x\perp\mathfrak{p}_{y}$ установлена. Обратную импликацию докажем от противного. Предположим, что существует $0\neq z\in \mathfrak{F}_{|x|}\cap\mathfrak{F}_{|y|}$. Тогда можем записать
$$
\begin{equation*}
|\mathfrak{p}_x|\wedge|\mathfrak{p}_{y}|(z)=\inf\{|\mathfrak{p}_x|u+|\mathfrak{p}_y|v\colon z=u\sqcup v\}= u\sqcup v=z>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пришли к противоречию.
Теорема 1 доказана. Замечание 1. Заметим, что латеральный порядок естественно возникает при исследовании ортогонально аддитивных отображений в векторных решетках, а также в теории операторных алгебр (см. [6], [17], [19], [31], [22], [34]). § 3. Критерий диффузности регулярного ОАОВ этом параграфе мы введем диффузные ортогонально аддитивные операторы и найдем критерий диффузности регулярного ОАО, действующего из векторной решетки $E$ в порядково полную векторную решетку $F$. Определение 9. Пусть $E,F$ – векторные решетки, причем решетка $F$ порядково полна. Регулярный ОАО $T\colon E\to F$ называется диффузным, если $T\perp S$ для любого $S\in \mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)$. Множество всех диффузных ортогонально аддитивных операторов из $E$ в $F$ обозначается $\mathcal{OA}_{\mathrm{dif}}(E,F)$. Из определения ясно что $\mathcal{OA}_{\mathrm{dif}}(E,F)$ является полосой в $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$. Дополнительную к $\mathcal{OA}_{\mathrm{dif}}(E,F)$ полосу $\{\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)\}^{\perp\perp}$ будем обозначать $\mathcal{OA}_{\mathrm a}(E,F)$. Элементы $\mathcal{OA}_{\mathrm a}(E,F)$ традиционно называются атомическими операторами. Порядковая полнота $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ обеспечивает дизъюнктное разложение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)=\mathcal{OA}_{\mathrm a}(E,F)\oplus\mathcal{OA}_{\mathrm{dif}}(E,F)
\end{equation*}
\notag
$$
векторной решетки $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ в прямую сумму дизъюнктных полос $\mathcal{OA}_{\mathrm a}(E,F)$ и $\mathcal{OA}_{\mathrm{dif}}(E,F)$. Рассмотрим некоторые примеры диффузных операторов. Напомним, что положительный элемент $x$ векторной решетки $E$ называется атомом, если из условий $0\leqslant y\leqslant x$, $0\leqslant z\leqslant x$ и $y\perp z$ следует, что хотя бы один из элементов $y$ или $z$ является нулевым. Векторная решетка $E$ называется безатомной, если все атомы в $E$ нулевые. Типичным примером безатомной векторной решетки является $L_{p}([0,1],\Sigma,\mu)$, $0\leqslant p\leqslant \infty$, где $\mu$ – мера Лебега. Определение 10. Пусть $E,F$ – векторные решетки. Ортогонально аддитивный оператор $T\colon E\to F$ называется латерально непрерывным (латерально $\sigma$-непрерывным), если для каждой сети $(x_{\alpha})_{\alpha\in A}$ (последовательности $(x_n)_{n\in \mathbb{N}A}$), латерально сходящейся в $E$ к элементу $x\in E$, сеть $(Tx_{\alpha})_{\alpha\in A}$ (последовательность $(Tx_n)_{n\in \mathbb{N}A}$) порядково сходится в $F$ к элементу $Tx\in F$. Множества регулярных латерально непрерывных и латерально $\sigma$-непрерывных ОАО из $E$ в $F$ обозначаются через $\mathcal{OA}_{\mathrm c}(E,F)$ и $\mathcal{OA}_{\sigma \mathrm c}(E,F)$ соответственно. Предложение 11 (см. [35; теорема 3.13]). Пусть $E$, $F$ – векторные решетки, причем решетка $F$ порядково полна. Тогда $\mathcal{OA}_{\mathrm c}(E,F)$ и $\mathcal{OA}_{\sigma \mathrm c}(E,F)$ – полосы в порядково полной векторной решетке $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$. Предложение 12. Пусть $E$ – безатомная векторная решетка. Тогда каждый регулярный, латерально $\sigma$-непрерывный ортогонально аддитивный функционал $T\colon E\to \mathbb{R}$ является диффузным. Доказательство. Согласно предложению 11 множество $\mathcal{OA}_{\sigma \mathrm c}(E,\mathbb{R})$ является полосой и, следовательно, порядково полной подрешеткой в $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,\mathbb{R})$. Поэтому достаточно установить, что если $0\leqslant T\in\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)$ является латерально $\sigma$-непрерывным оператором, то $T=0$. Предположим, что найдется $x\in E$ такой, что $Tx=r>0$. В силу безатомности $E$ существует дизъюнктное разбиение $x=x_1\sqcup x_2$, где элементы $x_1,x_2$ отличны от нуля. Так как $x_1\perp x_2$, то $Tx_1\perp Tx_2$ и либо $Tx_1=0$, либо $Tx_2=0$. Пусть $Tx_1=0$ и $Tx_2=Tx$. Далее, возьмем дизъюнктное разбиение $x_2=x_3\sqcup x_4$, где $Tx_3=0$ и $Tx_4=Tx$, и построим последовательность $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ такую, что $x_{2k}=x_{2k+1}\sqcup x_{2k+2}$, $Tx_{2k+1}=0$ и $Tx_{2k+2}=Tx$ для любого натурального $k\geqslant 1$. Построим теперь новую последовательность $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$, заданную согласно правилу Последовательность $(y_{n})$ латерально сходится к $x$, причем $Ty_{n}=0$ для любого $n\in\mathbb{N}$. Пришли к противоречию.
Предложение доказано. Следующее предложение показывает, что множество всех диффузных ОАО, действующих в конечномерных пространствах, состоит из нулевого оператора. Предложение 13. Пусть $n,m\in\mathbb{N}$. Тогда $\mathcal{OA}_{\mathrm{dif}}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)=\{0\}$. Доказательство. Рассуждаем от противного. Предположим, что найдутся положительный диффузный ОАО $T\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ и коэффициент $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$ такие, что
$$
\begin{equation*}
T\xi=T(\xi_1,\dots,\xi_n)=\sum_{i=1}^{n}T(\xi_i)= \biggl(\sum_{i=1}^{n}T_{1i}(\xi_i),\dots,\sum_{i=1}^{n}T_{mi}(\xi_i)\biggr)>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $T_{ki}\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}_{+}$, $k\in\{1,\dots,m\}$, $i\in\{1,\dots,n\}$, $T_{ki}(0)=0$. Так как
$$
\begin{equation*}
\biggl(\sum_{i=1}^{n}T_{1i}(\xi_i),\dots,\sum_{i=1}^{n}T_{mi}(\xi_i)\biggr)>0,
\end{equation*}
\notag
$$
то найдется номер $k_{0}\in \{1,\dots,m\}$ такой, что $\sum_{i=1}^{n}T_{k_{0}i}(\xi_i)>0$. Предположим, что $k_{0}\,{=}\,1$. Без ограничения общности можем полагать, что $\xi_1\,{\neq}\, 0$ и $T_{11}(\xi_1)\,{>}\,0$. Возьмем оператор $S\in\mathcal{OA}_{\mathrm r}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$, заданный формулой
$$
\begin{equation*}
S(x_1,\dots,x_{n})=\biggl(\sum_{i=1}^{n}S_{1i}(\xi_i),\dots,\sum_{i=1}^{n}S_{mi}(\xi_i)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где для каждого $x\in \mathbb{R}$ функции $S_{ki}$, $k\in\{1,\dots,m\}$, $i\in\{1,\dots,n\}$, задаются формулами
$$
\begin{equation*}
S_{ki}(x)=\begin{cases} x^{2}, &\text{если }(k,i)=(1,1), \\ 0&\text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $S$ – положительный, сохраняющий дизъюнктность ортогонально аддитивный оператор из $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{R}^m$ и в силу диффузности $T$ справедливо равенство $T\wedge S=0$. Через $\xi'$ обозначим вектор $(\xi_1,0,\dots,0)$. Согласно лемме 1 можем записать Получили противоречие.
Предложение доказано. Предложение 14 (см. [34; предложение 3.11]). Пусть $E$ – векторная решетка и $\bigsqcup_{i=1}^{n}x_{i}=\bigsqcup_{k=1}^{m}y_{k}$ для некоторых наборов $(x_{i})_{i=1}^{n}$ и $(y_{k})_{k=1}^{m}$ элементов $E$. Тогда существует семейство $(z_{ik})$ попарно дизъюнктных элементов $E$, где $i\in\{1,\dots,n\}$ и $k\in\{1,\dots,m\}$, такое, что: (i) $x_{i}=\bigsqcup_{k=1}^{m}z_{ik}$ для любого $i\in\{1,\dots,n\}$; (ii) $y_k=\bigsqcup_{i=1}^{n}z_{ik}$ для любого $k\in\{1,\dots,m\}$; (iii) $\bigsqcup_{i=1}^{n}\bigsqcup_{k=1}^{m}z_{ik}=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_{i} =\bigsqcup_{k=1}^{m}y_{k}$. Пусть $E$ – векторная решетки и $x\in E$. Семейство $(x_i)_{i=1}^{n}$ попарно дизъюнктных элементов $E$ такое, что $x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i$, называется конечным дизъюнктным разбиением $x$. Множество всех конечных дизъюнктных разбиений $x$ обозначается $\Theta(x)$. Заметим, что существует естественный частичный порядок $\preceq$ на $\Theta(x)$, а именно
$$
\begin{equation*}
\xi=(x_i)_{i=1}^{n}\preceq (y_j)_{j=1}^{m}=\zeta \quad\Longleftrightarrow\quad x_{i}=\bigsqcup_{j(i)}^{k(i)}y_{j_{i}}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $i\in\{1,\dots, n\}$ и некоторого множества $\{j(i),\dots, k(i)\}\subset\{1,\dots, m\}$. Напомним, что частично упорядоченное множество $(X,\leqslant)$ называется направленным вверх, если для любых $x,y\in X$ найдется элемент $z\in X$ такой, что $x\leqslant z$ и $y\leqslant z$. Из предложения 14 непосредственно следует, что множество $(\Theta(x),\preceq)$ направлено вверх для любого элемента $x$ произвольной векторной решетки $E$. Пусть теперь $F$ – порядково полная векторная решетка. С каждым оператором $T\in\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ можно связать отображение $\mathfrak{d}_{T}\colon E\to F$, заданное следующей формулой:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{d}_{T}(x):=\bigwedge_{(x_i)_{i=1}^{n}\in\Theta(x)}\,\bigvee_{i=1}^{n}|T|x_{i}, \qquad x\in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $\mathfrak{d}_{T}$ задано корректно, так как векторная решетка $F$ порядково полна. Для дальнейшего нам потребуются некоторые дополнительные вспомогательные конструкции. Предложение 15. Пусть $E$ – векторная решетка, $x \in E$ и $y,z\in\mathfrak{F}_x$. Тогда $y+z=y\cup z+y\cap z$. Доказательство. Имеют место следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, y+z&=y^{+}-y^{-}+z^{+}-z^{-}=(y^{+}+z^{+})-(y^{-}+z^{-}) \\ &=(y^{+}\vee z^{+}+y^{+}\wedge z^{+})-(y^{-}\vee z^{-}+y^{-}\wedge z^{-}) \\ &=(y^{+}\vee z^{+})-(y^{-}\vee z^{-})+(y^{+}\wedge z^{+})-(y^{-}\wedge z^{-}) =y\cup z+y\cap z. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Определение 11. Пусть $E$, $F$ – векторные решетки и $\mathcal{I}$ – латеральный идеал решетки $E$. Подмножество $D\subset \mathcal{I}$ называется порядково ограниченным, если существует элемент $y\in E_{+}$ такой, что $|x|\leqslant y$ для любого $x\in D$. Отображение $R\colon \mathcal{I}\to F$ называется:
Предложение 16 (см. [8; теорема 1]). Пусть $E,F$ – векторные решетки, причем решетка $F$ порядково полна, $\mathcal{I}$ – латеральный идеал $E$ и $R\colon \mathcal{I}\to F$ – положительное, порядково ограниченное ортогонально аддитивное отображение. Тогда существует положительный ортогонально аддитивный оператор $\widetilde{R}_{\mathcal{I}}\colon E\to F$ такой, что $\widetilde{R}_{\mathcal{I}}x=Rx$ для любого $x\in \mathcal{I}$. Оператор $\widetilde{R}_{\mathcal{I}}\in\mathcal{OA}_{+}(E,F)$ (или $\widetilde{R}$ для краткости) называется минимальным продолжением (относительно $\mathcal{I}$) ортогонально аддитивного отображения $R\colon \mathcal{I}\to F$. Отметим, что оператор $\widetilde{R}$ действует на элементе $x\in E$ по правилу
$$
\begin{equation*}
\widetilde{R}x=\sup\{Ry\colon y\in \mathcal{I}\cap\mathfrak{F}_{x}\}, \qquad x\in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 17. Пусть $E$, $F$, $\mathcal{I}$ такие же, как в предложении 16, и $R\colon\mathcal{I}\to F$ – положительное порядково ограниченное, сохраняющее дизъюнктность ортогонально аддитивное отображение. Тогда оператор $\widetilde{R}\,{\in}\,\mathcal{OA}_{+}(E,F)$ сохраняет дизъюнктность. Определение 12. Пусть $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ – решетки (не обязательно векторные пространства). Функция $\varphi\colon\mathfrak{A}\to \mathfrak{B}$ называется: Если $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ – булевы алгебры и, кроме того, $\varphi(0_{\mathfrak{A}})=0_{\mathfrak{B}}$ ($\varphi(1_{\mathfrak{A}})=1_{\mathfrak{A}}$), то будем говорить, что $\varphi$ – булево $\cup$-отображение (булево $\cap$-отображение). Предложение 18. Пусть $E$ – векторная решетка, $x\in E$, $y\in \mathfrak{F}_x$ и $\xi=(x_{i})_{i=1}^{n}\in\Theta(x)$. Тогда существует конечное дизъюнктное разбиение $(y_{i}^{\xi})_{i=1}^{n}$ элемента $y$ такое, что $y_i\sqsubseteq x_i$ для любого $1\leqslant i\leqslant n$. Доказательство. Рассмотрим двойное разбиение элемента $x$. Существование требуемого конечного дизъюнктного разбиения следует из предложения 14.
Предложение доказано. Пусть $E$, $F$ – векторные решетки, причем векторная решетка $F$ порядково полна, $x\in E$ и $T\in\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$. С каждым элементом $\xi=(x_i)_{i=1}^{n}\in\Theta(x)$ можно связать отображение $\mathfrak{d}_{T,\xi}\colon \mathfrak{F}_x\to F$, заданное формулой
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{d}_{T,\xi}(y):=\bigvee_{i=1}^{n}|T|y_{i}^{\xi}, \qquad y\in \mathfrak{F}_x.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно из определения отображений $\mathfrak{d}_{T,\xi}$ и $\mathfrak{d}_{T}$ следует, что для любого элемента $x\in E$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{d}_{T}(x)=\inf_{\xi\in\Theta(x)}\mathfrak{d}_{T,\xi}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для любых $y,z\in\mathfrak{F}_x$ и $\xi\in\Theta(x)$ отношение $y\sqsubseteq z$ влечет $\mathfrak{d}_{T,\xi}(y)\leqslant \mathfrak{d}_{T,\xi}(z)$, в силу чего $\mathfrak{d}_{T}(y)\leqslant \mathfrak{d}_{T}(z)$. Предложение 19. Пусть $E$, $F$ – векторные решетки, причем векторная решетка $F$ порядково полна, $x\in E$ и $T\in\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$. Тогда $\mathfrak{d}_{T}\colon \mathfrak{F}_x\to F$ является $\cup$-отображением. Доказательство. Требуется показать, что для любых $y,z\in\mathfrak{F}_x$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{d}_{T}(y\cup z)=\mathfrak{d}_{T}(y)\vee\mathfrak{d}_{T}(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим сначала частный случай, когда $y\perp z$. Зафиксируем $\xi\in \Theta(x)$. Тогда можем записать
$$
\begin{equation*}
y=\bigvee_{i=1}^{n}y_{i}^{\xi}, \qquad z=\bigvee_{i=1}^{n}z_{i}^{\xi}, \qquad y\sqcup z=\bigvee_{i=1}^{n}(y_{i}^{\xi}\sqcup z_{i}^{\xi}).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как латеральный инфимум $y\cap z$ дизъюнктных элементов $y$, $z$ равен нулю, то получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{d}_{T,\xi}(y\cup z) &\stackrel{\rm \text{предл. }15}{=} \mathfrak{d}_{T,\xi}(y\sqcup z)= \bigvee_{i=1}^{n}|T|(y_{i}^{\xi}\sqcup z_{i}^{\xi}) \\ &\quad\ \geqslant\bigvee_{i=1}^{n}|T|y_{i}^{\xi}\vee\bigvee_{i=1}^{n}|T|z_{i}^{\xi} \geqslant\mathfrak{d}_{T}(y)\vee\mathfrak{d}_{T}(z) \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Longrightarrow\quad \mathfrak{d}_{T}(y\cup z)\geqslant \mathfrak{d}_{T}(y)\vee\mathfrak{d}_{T}(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, для любого $\xi\in \Theta(x)$
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{d}_{T}(y\cup z)\leqslant \bigvee_{i=1}^{n}|T|y_{i}^{\xi}\vee\bigvee_{i=1}^{n}|T|z_{i}^{\xi},
\end{equation*}
\notag
$$
и, переходя к инфимуму в правой части неравенства по всем $\xi\in \Theta(x)$, выводим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{d}_{T}(y\cup z)\leqslant \mathfrak{d}_{T}(y)\vee\mathfrak{d}_{T}(z) \quad\Longrightarrow\quad \mathfrak{d}_{T}(y\cup z)=\mathfrak{d}_{T}(y)\vee\mathfrak{d}_{T}(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $y$, $z$ произвольны. Тогда имеем $y\cup z=y\sqcup (z-y\cap z)$. Заметив, что $\mathfrak{d}_{T}(y)\vee \mathfrak{d}_{T}(y\cap z)=\mathfrak{d}_{T}(y)$, можем записать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{d}_{T}(y\cup z) &=\mathfrak{d}_{T}(y\sqcup (z-y\cap z)) \\ &= \mathfrak{d}_{T}(y)\vee\mathfrak{d}_{T}(z-y\cap z) \\ &=\mathfrak{d}_{T}(y)\vee\mathfrak{d}_{T}(y\cap z)\vee\mathfrak{d}_{T}(z-y\cap z) \\ &= \mathfrak{d}_{T}(y)\vee\mathfrak{d}_{T}((y\cap z)\cup(z-y\cap z)) \\ &=\mathfrak{d}_{T}(y)\vee\mathfrak{d}_{T}((y\cap z)\sqcup (z-y\cap z))= \mathfrak{d}_{T}(y)\vee\mathfrak{d}_{T}(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что компакт $Q$ называется экстремально-несвязным или экстремальным, если замыкание каждого открытого подмножества $D$ пространства $Q$ открыто-замкнуто в $Q$. Для экстремального компакта $Q$ через $C_{\infty}(Q)$ обозначим пространство непрерывных функций, принимающих бесконечные значения на нигде не плотных подмножествах компакта. Известно, что $C_{\infty}(Q)$ является порядково полной векторной решеткой (см. [2; теорема 5.2.2]). Порядково плотный идеал $F$ векторной решетки $C_{\infty}(Q)$ называется фундаментом в $C_{\infty}(Q)$. Каждая порядково полная векторная решетка $F$ является фундаментом векторной решетки $C_{\infty}(Q)$ для некоторого экстремально-несвязного компакта $Q$ (см. [2; теорема 5.4.2]). Предложение 20 (см. [44; теорема 10.32]). Пусть $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ – булевы алгебры, причем алгебра $\mathfrak{B}$ порядково полна и $\varphi\colon\mathfrak{A}\to \mathfrak{B}$ является булевым $\cup$-отображением. Тогда каждый булев гомоморфизм $\psi_{0}\colon \mathfrak{A}_{0}\to \mathfrak{B}$, заданный на булевой подалгебре $\mathfrak{A}_{0}$ алгебры $\mathfrak{A}$, удовлетворяющий условию $\psi_{0}(x)\leqslant\varphi(x)$ для любого $x\in \mathfrak{A}_0$, может быть продолжен до булева гомоморфизма $\psi\colon\mathfrak{A}\to \mathfrak{B}$ с условием $\psi(x)\leqslant\varphi(x)$ для любого $x\in \mathfrak{A}$. Ниже будем полагать, что $F$ является фундаментом порядково полной векторной решетки $C_{\infty}(Q)$ для некоторого экстремально несвязного компакта $Q$. В этом случае оператор порядкового проектирования на полосу $C_{\infty}(Q)$ является оператором умножения на характеристическую функцию $1_{G}$ открыто-замкнутого множества $G\subset Q$. Пусть $x\in E$. Открыто-замкнутое множество $\{q\in Q$: $\mathfrak{d}_{T}(y)(q)=\mathfrak{d}_{T}(x)(q)\}$ обозначим через $\{\mathfrak{d}_{T}(y)=\mathfrak{d}_{T}(x)\}$. Рассмотрим отображение $\phi\colon\mathfrak{F}_x\to\mathfrak{F}_{\mathfrak{d}_{T}(x)}$, заданное формулой
$$
\begin{equation*}
\phi(y):=1_{\{\mathfrak{d}_{T}(y)=\mathfrak{d}_{T}(x)\}}\mathfrak{d}_{T}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 21. Пусть $E$, $F$, $T$ и $T$ такие же, как и в предложении 19. Тогда $\phi\colon\mathfrak{F}_x\to\mathfrak{F}_{\mathfrak{d}_{T}(x)}$ является $\cup$-отображением. Доказательство. Требуемое следует из предложения 19 и следующей цепочки равенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi(y\cup z)&=1_{\{\mathfrak{d}_{T}(y\cup z)=\mathfrak{d}_{T}(x)\}}\mathfrak{d}_{T}(x) =1_{\{\mathfrak{d}_{T}(y)=\mathfrak{d}_{T}(x)\cup\mathfrak{d}_{T}(z) =\mathfrak{d}_{T}(x)\}}\mathfrak{d}_{T}(x) \\ &=1_{\{\mathfrak{d}_{T}(y)=\mathfrak{d}_{T}(x)\}}\mathfrak{d}_{T}(x)\vee 1_{\{\mathfrak{d}_{T}(z)=\mathfrak{d}_{T}(x)\}}\mathfrak{d}_{T}(x)= \phi(y)\vee\phi(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Предложение 22. Пусть $E$, $F$ – векторные решетки, причем решетка $F$ порядково полна, $x\in E$ и $T\in \mathcal{OA}_+(E,F)$. Тогда Доказательство. Возьмем сохраняющий дизъюнктность ОАО $S\colon E\to F$ такой, что $0\leqslant S\leqslant T$, и произвольный элемент $\xi=(x_{i})_{i=1}^{n}\in \Theta(x)$. Тогда можно записать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \bigvee_{i=1}^{n}Tx_{i}\geqslant\bigvee_{i=1}^{n}Sx_{i}=\sum_{i=1}^{n}Sx_{i} =S\biggl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\biggr)=Sx \\ & \quad\Longrightarrow\quad \mathfrak{d}_{T}(x)\geqslant Sx \quad\Longrightarrow\quad \mathfrak{d}_{T}(x)\geqslant\sup\{Sx\colon S\in [0,T]\cap\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\mathfrak{d}_{T}(x)-\sup\{Sx\colon S\in [0,T]\cap\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)\}>0$. В силу предложения 21 отображение $\phi\colon\mathfrak{F}_x\to\mathfrak{F}_{\mathfrak{d}_{T}(x)}$ является $\cup$-отображением. Рассмотрим булев гомоморфизм $\psi_{0}\colon \{0,x\}\to \mathfrak{F}_{\mathfrak{d}_{T}(x)}$, заданный формулами
$$
\begin{equation*}
\psi_{0}(0)=0, \qquad \psi_{0}(x)=\mathfrak{d}_{T}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\psi_{0}(y)\leqslant \phi(y)$ для всех элементов булевой подалгебры $\{0,x\}$. Согласно предложению 20 булев гомоморфизм $\psi_0$ может быть продолжен до булева гомоморфизма $\psi\colon\mathfrak{F}_x\to \mathfrak{F}_{\mathfrak{d}_{T}(x)}$ с условием $\psi(y)\leqslant\varphi(y)$ для любого $y\in \mathfrak{F}_x$. Заметим, что $\psi\colon \mathfrak{F}_x\to F$ является положительным порядково ограниченным, сохраняющим дизъюнктность ортогонально аддитивным отображением. Тогда согласно предложению 17 $\widetilde{\varphi}\colon E\to F$ является положительным сохраняющим дизъюнктность ОАО таким, что $0\leqslant \varphi\leqslant T$, причем $\varphi(x)=\mathfrak{d}_{T}(x)$. Получили противоречие.
Предложение доказано. Следующее утверждение является основным результатом этого параграфа. Теорема 2. Пусть $E$, $F$ – векторные решетки, причем решетка $F$ порядково полна и $T\colon E\to F$ – регулярный ортогонально аддитивный оператор. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) $T$ – диффузный оператор; 2) $\mathfrak{d}_{T}(x)=0$ для любого $x\in E$. Доказательство. 1) $\Longrightarrow$ 2). В силу диффузности оператора $T$ множество $[0,|T|]\cap \mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)$ состоит из нулевого оператора. Тогда в силу предложения 22 получаем, что $\mathfrak{d}_{T}(x)=0$.
2) $\Longrightarrow$ 1). Так как равенство
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{d}_{T}(x)=\sup\{Sx\colon S\in [0,|T|]\cap\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)\}=0
\end{equation*}
\notag
$$
выполняется для любых $x\in E$, то $[0,|T|]\cap \mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)=0$. Тогда $[0,|T|]\cap \mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)^{\perp\perp}=0$ и $T$ является диффузным оператором.
Теорема доказана. Замечание 2. Отметим, что частный случай теоремы 2, когда $F$ является порядковым идеалом банаховой решетки с порядково непрерывной нормой, ранее был установлен М. Плиевым и М. Поповым (см. [37; теорема 2.6]). Пользуясь критерием диффузности ортогонально аддитивного оператора, можно значительно усилить предложение 13. Через $s$ обозначим векторную решетку всех покоординатно упорядоченных действительных числовых последовательностей. Предложение 23. Пусть $E$ – порядковый идеал векторной решетки $s$, $F$ – порядково полная векторная решетка и $T\colon E\to F$ – латерально $\sigma$-непрерывный диффузный ортогонально аддитивный оператор. Тогда $T=0$. Доказательство. Рассуждаем от противного. Предположим, что существует ненулевой латерально $\sigma$-непрерывный диффузный ОАО $T\colon E\to F$. Согласно [35; теорема 3.13] и определению диффузного оператора модуль $|T|$ оператора $T$ также является латерально $\sigma$-непрерывным диффузным ОАО $E$ в $F$, в силу чего можно считать оператор $T$ положительным. Так как в силу предположения оператор $T$ ненулевой, то найдется последовательность $x=(x_i)_{i=1}^{\infty}\in E$ такая, что $f=Tx>0$. Рассмотрим семейство осколков $x^1,\dots, x^n,\dots$ элемента $x$, заданное следующим способом:
$$
\begin{equation*}
x^{1}=(x_1,0,\dots,0,\dots), \quad \dots,\quad x^{n}=(x_1,x_2,\dots,x_n,0,\dots), \quad\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательность $(x^{n})_{n=1}^{\infty}$ латерально сходится к $x$, в силу чего последовательность $(Tx^{n})_{n=1}^{\infty}$ порядково сходится к $Tx$. Тогда найдется последовательность $(e_n)_{n=1}^{\infty}$ в $F_+$ такая, что $e_n\downarrow 0$ и неравенство $|Tx\,{-}\,Tx^{n}|\leqslant e_n$ выполняется для всех $n\in\mathbb{N}$ таких, что $n\geqslant n_0$ для некоторого $n_0\in\mathbb{N}$. Таким образом, найдутся индекс $k_0\in\mathbb{N}$, $k_0>n_{0}$, и порядковый проектор $\pi\in\mathfrak{B}(F)$ такие, что $\pi e_{k_0}< \pi f$. Тогда можем записать
$$
\begin{equation*}
Tx-Tx^{k_0}=|Tx-Tx^{k_0}|\leqslant e_{k_0} \quad\Longrightarrow\quad 0\leqslant Tx\leqslant Tx^{k_0}+e_{k_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $e^i$ обозначим последовательность $(e_{n}^{i})_{n=1}^{\infty}$, на $i$-й позиции которой стоит $1$, а на всех оставшихся позициях стоит $0$. Тогда Заметим, что Таким образом, $Tx^{k_0}=0$ и, следовательно, $f=Tx\leqslant e_{k_0}$. Получили противоречие.
Предложение доказано. § 4. Ортогонально аддитивные интегральные операторыВ этом параграфе мы приведем критерий регулярности интегрального оператора Урысона, действующего в порядковых идеалах измеримых функций, и, воспользовавшись этим критерием, установим диффузность ортогонально аддитивного интегрального оператора. Рассмотрим интегральный оператор Урысона $T\colon E\to F$ с ядром $K$, действующий в порядковых идеалах $E$ и $F$ пространств измеримых функций $L_{0}(\nu)$ и $L_{0}(\mu)$ соответственно. Заметим, что оператор $R\colon E\to F$, заданный следующим равенством:
$$
\begin{equation}
Rf(s):=\int_{B}|K(s,t,f(t))|\,d\nu(t), \qquad f\in E,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
действует из $E$ в $L_{0}(\mu)$. Ниже мы приведем необходимые и достаточные условия регулярности интегрального оператора. Теорема 3. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$, $(B,\Theta,\nu)$ – пространства с конечными мерами, $E$, $F$ – порядковые идеалы в $L_{0}(\nu)$ и $L_{0}(\mu)$ соответственно, $T\colon E\to F$ – интегральный оператор Урысона с ядром $K$. Тогда следующие условия эквивалентны: Кроме того, для любого элемента $f\in E$ имеют место формулы Доказательство. 2) $\Longrightarrow$ 1). Прежде всего заметим, что в силу нормализованности ядра $K$ интегрального оператора $T$ для любого элемента $f\in E$ справедливо следующее равенство (см. [22; предложение 3.2]):
$$
\begin{equation*}
\int_{B}K(\cdot,t,f1_{\operatorname{supp}f}(t))\,d\nu(t) =\int_{B}K(\cdot,t,f(t))1_{\operatorname{supp}f}\,d\nu(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $f=g\sqcup h$ – разбиение $f$ на два дизъюнктных осколка. Заметим, что для дизъюнктных элементов $g,h\in E$ имеем $\nu\{t\in\operatorname{supp}g\cap \operatorname{supp}h\}=0$. Далее, можем записать
$$
\begin{equation*}
\int_{B}K(\cdot,t,g(t))\,d\nu(t) \leqslant\int_{B}|K(\cdot,t,g(t))|\,d\nu(t),
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{B} (-K(\cdot,t,h(t)))\,d\nu(t) \leqslant\int_{B}|K(\cdot,t,h(t))|\,d\nu(t) \\ &\quad\Longrightarrow\quad \int_{B}K(\cdot,t,g(t)1_{\operatorname{supp}g})\,d\nu(t) -\int_{B}K(\cdot,t,h(t)1_{\operatorname{supp}h})\,d\nu(t) \\ &\qquad= \int_{B}K(\cdot,t,g(t))1_{\operatorname{supp}g}\,d\nu(t) -\int_{B}K(\cdot,t,h(t))1_{\operatorname{supp}h}\,d\nu(t) \\ &\qquad= \int_{\operatorname{supp}g}K(\cdot,t,g(t))\,d\nu(t) -\int_{\operatorname{supp}h}K(\cdot,t,h(t))\,d\nu(t) \\ &\qquad= \int_{\operatorname{supp}g}|K(\cdot,t,g(t))|\,d\nu(t) +\int_{\operatorname{supp}h}|K(\cdot,t,h(t))|\,d\nu(t) \\ &\qquad= \int_{\operatorname{supp}f}|K(\cdot,t,f(t))|\,d\nu(t) =\int_{B}|K(\cdot,t,f(t))|\,d\nu(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к супремуму в правой части вышеприведенного неравенства по всем дизъюнктным разбиениям $f=g\sqcup h$ элемента $f$, получаем в силу чего оператор $|T|$ корректно определен и
2) $\Longrightarrow$ 1). Так как $T\in \mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$, $T^{-},T^+, |T|\in \mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ и $|T|=T^{+}+T^-$, то достаточно установить, что для почти всех $s\in A$ справедливы равенства: (i) $\displaystyle T^{+}f(s)=\int_{B}K(s,t,f(t))^{+}\,d\nu(t)$, $f\in E$; (ii) $\displaystyle T^{-}f(s)=\int_{B}K(s,t,f(t))^{-}\,d\nu(t)$, $f\in E$. Установим сначала формулу (i). Так как $T^{+}=T\vee 0$, то
$$
\begin{equation*}
T^{+}f(\cdot)\leqslant \int_{B}K(\cdot,t,f(t))^{+}\,d\nu(t), \qquad f\in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\displaystyle \psi_f(\cdot)\,{=}\int_{B}K(\cdot,t,f(t))^{+}\,d\nu(t)$, и пусть $A_n:=\{s\in A\colon n-1\,{\leqslant}\,\psi_f(s)\,{<}\,n\}$, $n\in\mathbb{N}$. Тогда $A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$. Так как достаточно для произвольного $n\in\mathbb{N}$ установить равенство $T^{+}f(\cdot)1_{A_n}=\psi_f(\cdot)1_{A_n}$, то можем полагать, что функция $\psi_f(\cdot)$ интегрируема по мере $\mu$. Возьмем произвольное множество $D\in \Sigma$, и пусть $D_{\Sigma}:=\{H\in D\cap \Sigma \}$. Покажем, что для любого $\mu\otimes\nu$-измеримого множества $V\subset D\times B$ выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{D}T^{+}f(s)\,d\mu(s)=\int_{V}K(s,t,f(t))^{+}\,d\mu\otimes\nu(s,t), \qquad f\in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $V=\bigcup_{i=1}^{n}D_i\times B_i$, где $D_i\in D_{\Sigma}$ и $B_i\in \Theta$. Измельчая при необходимости разбиения, можно представить $V$ в виде
$$
\begin{equation*}
V=\bigcup_{i=1}^{n}\bigcup_{j=1}^{m(i)}D_i\times B_{ij}, \qquad D_i\subset D_{\Sigma}, \quad B_{ij}\in \Theta,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $(D_{i})_{i=1}^{n}$ попарно дизъюнктны и для каждого $i\in\{1,\dots,n\} $ множества $(B_{ij})_{j=1}^{m(i)}$ попарно дизъюнктны. Далее, можем записать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{aligned} \, \int_{D_i}T^{+}f(s)\,d\mu(s) &\geqslant\int_{D_i}T^{+}\bigl(f1_{\bigcup_{j=1}^{m(i)}B_{ij}}(s)\bigr)\,d\mu(s) \\ &\geqslant \int_{D_i}K\bigl(s,t,f1_{\bigcup_{j=1}^{m(i)}B_{ij}}(s)\bigr)\,d\mu\otimes\nu(s,t) \end{aligned} \\ &\begin{aligned} \, \quad\Longrightarrow\quad\sum_{i=1}^{n}\int_{D_i}T^{+}f(s)\,d\mu(s) &\geqslant\sum_{i=1}^{n}\int_{D_i}T^{+}\bigl(f1_{\bigcup_{j=1}^{m(i)}B_{ij}}(s)\bigr)\,d\mu(s) \\ &=\int_{\bigcup_{i=1}^{n}\bigcup_{j=1}^{m(i)}D_i\times B_{ij}}K(s,t,f(s))\,d\mu\otimes\nu(s,t). \end{aligned} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда выводим
$$
\begin{equation*}
\int_{D}T^{+}f(s)\,d\mu(s)\geqslant\int_{V}K(s,t,f(s))\,d\mu\otimes\nu(s,t).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $V$ – произвольное $\mu\otimes\nu$-измеримое подмножество $D\times B$ и $\varepsilon>0$. В силу абсолютной непрерывности интеграла найдется $\delta>0$ такое, что для любого $\mu\otimes\nu$-измеримого множества $H\subset D\times B$ условие $\mu\otimes\nu(H)<\delta$ влечет следующее неравенство:
$$
\begin{equation*}
\int_{H}|K(s,t,f(s))|\,d\mu\otimes\nu(s,t)<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем семейство $\bigcup_{i=1}^{n}D_i\times B_i$ такое, что $\mu\otimes\nu\bigl(V\triangle(\bigcup_{i=1}^{n}D_i\times B_i) \bigr)<\delta$, где символом $\triangle$ обозначена операция взятия симметрической разности множеств. Далее, можем записать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{aligned} \, \int_{V}K(s,t,f(s))\,d\mu\otimes\nu(s,t) &\leqslant \int_{V\triangle(\bigcup_{i=1}^{n}D_i\times B_i)}|K(s,t,f(s))|\,d\mu\otimes\nu(s,t) \\ &\qquad+\int_{\bigcup_{i=1}^{n}D_i\times B_i}|K(s,t,f(s))|\,d\mu\otimes\nu(s,t) \end{aligned} \\ &\quad\Longrightarrow\quad \int_{V}K(s,t,f(s))\,d\mu\otimes\nu(s,t)\leqslant \int_{D}T^{+}f(s)\,d\mu(s). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $V:=\{(s,t)\in D\times B\colon K(s,t,f(t))\geqslant 0\}$. Заметим, что $V$ является $\mu\otimes\nu$-измеримым множеством и
$$
\begin{equation*}
\int_{V}K(s,t,f(s))\,d\mu\otimes\nu(s,t)=\int_{D\times B}K(s,t,f(s))^{+}\,d\mu\otimes\nu(s,t).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду доказанного выше выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{D}T^{+}f(s)\,d\mu(s)\geqslant\int_{D\times B}K(s,t,f(s))^{+}\,d\mu\otimes\nu(s,t) \\ &\quad\Longrightarrow\quad \int_{D}T^{+}f(s)\,d\mu(s)=\int_{D\times B}K(s,t,f(s))^{+}\,d\mu\otimes\nu(s,t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как вышеприведенное равенство справедливо для любого $D\in\Sigma$, то отсюда следует, что Интегральное выражение для отрицательной части $T^{-}$ оператора $T$ получается с использованием аналогичных рассуждений, что и выше. Окончательно получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |T|f(\cdot) &=(T^{+}+T^{-})f(\cdot) \\ &=\int_{B}\bigl(K(\cdot,t,f(s))^{+}+K(\cdot,t,f(s))^{-}\bigr)\,d\nu(t) =\int_{B}|K(\cdot,t,f(s))|\,d\nu(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3 доказана. Замечание 3. Теорема 3 показывает, что регулярные интегральные операторы Урысона образуют векторную подрешетку порядково полной векторной решетки $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$. Ниже будет установлена диффузность регулярного интегрального оператора Урысона, действующего в идеальных подпространствах пространств измеримых функций. Теорема 4. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ – пространство с конечной мерой, $(B,\Theta,\nu)$ – пространство с конечной безатомной мерой, $E$, $F$ – порядковые идеалы в $L_{0}(\nu)$ и $L_{0}(\mu)$ соответственно, $T\colon E\to F$ – регулярный интегральный оператор Урысона с ядром $K$. Тогда $T\in\mathcal{OA}_{\mathrm{dif}}(E,F)$. Доказательство. Возьмем произвольный элемент $f\in E$ и покажем, что $\mathfrak{d}_{T}(f)=0$. Согласно теореме 2 можем записать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{d}_{T}(f) &=\inf \biggl\{ \bigvee_{i=1}^m |T| f_i\colon f = \bigsqcup_{i=1}^m f_i, \ m \in \mathbb N\biggr\} \\ &=\inf \biggl\{ \bigvee_{i=1}^m \int_{B} |K(\cdot,t,f1_{B_i}(t))|\,d\nu(t)\colon f = \bigsqcup_{i=1}^m f1_{B_i}, \ B=\bigsqcup_{i=1}^m B_{i},\ m \in \mathbb N \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\psi=:\mathfrak{d}_{T}(f)$ отличен от нуля. Тогда найдутся измеримое множество $D\in \Sigma$ и $0<c$ такие, что $c1_{D}\leqslant \psi$. В силу секвенциальной порядковой полноты пространства $L_{0}(\mu)$ (см. [2]) найдется убывающая последовательность $(\varphi_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ в $F$ такая, что $\psi=\inf_{n}(\varphi_n)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi_n(\cdot)=\bigvee_{i=1}^{m(n)} \int_{B} |K(\cdot,t,f1_{B_i^n}(t))|\,d\nu(t), \\ f = \bigsqcup_{i=1}^{m(n)} f1_{B_i^n}, \quad B=\bigsqcup_{i=1}^{m(n)} B_{i}^n, \qquad n, m(n)\in \mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем $K>0$ такое, что $K>c$. Для $g\in F$ введем следующее обозначение:
$$
\begin{equation*}
g_{K}(s)=\begin{cases} g(s),&\text{если } g(s)\leqslant K, \\ K,&\text{если }\ g(s)>K. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что из неравенства $c1_{D}\leqslant \psi$ следует оценка $c1_{D}\leqslant \psi_{K}$. Ясно, что для любого $g\in F$ справедливо включение $g_{K}\in L_{\infty}(\mu)$. Возьмем теперь некоторый лифтинг $\mathrm{l}\colon L_{\infty}(\mu)\to\mathcal{L}(\mu)$, и пусть
$$
\begin{equation*}
\widehat{g}:=\mathrm{l}(g),\qquad g\in L_{\infty}(\mu).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу монотонности лифтинга $\mathrm{l}$ получаем, что $\widehat{c1_{D}}\leqslant \widehat{\psi_{K}}$. Тогда найдется $s_0\in D$ такое, что $\widehat{\psi_{K}}(s_0)\geqslant c>0$. Отсюда выводим существование последовательности измеримых множеств $(B^{n}_{k(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ такой, что $\nu(B^{n}_{k(n)})\downarrow 0$ и выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
c\leqslant\widehat{\psi_{K}}(s_0)\leqslant\inf_{n}\left\{\widehat{\xi^{n}_{K}}(s_0)\right\},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\xi^{n}(\cdot):=\int_{B} |K(\cdot,t,f1_{B^n_{k(n)}}(t))|\,d\nu(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\int_{B} |K(\cdot,t,f1_{B^n_{k(n)}}(t))|\,d\nu(t)\leqslant \int_{B} |K(\cdot,t,f(t))|\,d\nu(t)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $n\in\mathbb{N}$, то в силу теоремы о монотонной сходимости инфимум в правой части неравенства (4.5) равен нулю. Пришли к противоречию.
Теорема 4 доказана. § 5. Проектирование на полосу, порожденную операторами, сохраняющими дизъюнктностьВ этом параграфе мы установим формулу, вычисляющую проекцию положительного ортогонально аддитивного оператора на полосу, порожденную ортогонально аддитивными операторами, сохраняющими дизъюнктность. Еще раз напомним, что элементы полосы $\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)^{\perp\perp}$, порожденной ортогонально аддитивными операторами, сохраняющими дизъюнктность, традиционно называются атомическими операторами. Полосу атомических ОАО будем обозначать через $\mathcal{OA}_{\mathrm a}(E,F)$. Предположим, что векторная решетка $F$ порядково полна. Тогда в силу порядковой полноты векторной решетки $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ имеет место представление решетки $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)=\mathcal{OA}_{\mathrm a}(E,F)\oplus\mathcal{OA}_{\mathrm{dif}}(E,F)$ в виде прямой суммы дизъюнктных полос $\mathcal{OA}_{\mathrm a}(E,F)=\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)^{\perp\perp}$ и $\mathcal{OA}_{\mathrm{dif}}(E,F)$, в силу чего каждый регулярный ортогонально аддитивный оператор $T\colon E\to F$ единственным образом представляется в виде суммы
$$
\begin{equation*}
T=T_{\mathrm a}+ T_{\mathrm{dif}}, \quad \text{где }\ T_{\mathrm a}\in \mathcal{OA}_{\mathrm a}(E,F), \quad T_{\mathrm{dif}}\in \mathcal{OA}_{\mathrm{dif}}(E,F).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, определен порядковый проектор $\pi_{\mathrm a}\colon \mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)\to \mathcal{OA}_{\mathrm a}(E,F)$ на полосу $\mathcal{OA}_{\mathrm a}(E,F)$, где
$$
\begin{equation*}
\pi_{\mathrm a}T= T_{\mathrm a}, \qquad T\in \mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что $\pi_{\mathrm a}T$ – атомическая составляющая регулярного ортогонально аддитивного оператора $T$. Заметим, что определение аналитического представления оператора порядкового проектирования на ту или иную полосу в пространстве операторов является традиционной задачей функционального анализа в упорядоченных пространствах (см. [4], [9], [18], [33], [41]). Следующая лемма, дополняющая лемму 1, устанавливает формулы для вычисления супремума и инфимума произвольного ограниченного семейства регулярных ортогонально аддитивных операторов. Лемма 3. Пусть $E, F$ – векторные решетки, причем решетка $F$ порядково полна, $x\in E$ и $\mathfrak{A}$ – порядково ограниченное подмножество $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$. Тогда справедливы следующие формулы: 1) $\sup\{\mathfrak{A}\}x=\sup\bigl\{\sum_{i=1}^{n}T_ix_i\colon x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i;\ T_i\in\mathfrak{A},\ 1\leqslant i\leqslant n,\ n\in\mathbb{N}\bigr\}$; 2) $\inf\{\mathfrak{A}\}x=\inf\bigl\{\sum_{i=1}^{n}T_ix_i\colon x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i;\ T_i\in\mathfrak{A},\ 1\leqslant i\leqslant n,\ n\in\mathbb{N}\bigr\}$. Доказательство. Существование супремума и инфимума для порядково ограниченных семейств операторов следует из порядковой полноты векторной решетки $\mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$. Правую часть формулы в 1) обозначим $Rx$. Покажем, что $R$ – ортогонально аддитивный оператор. Возьмем дизъюнктные элементы $x,y\in E$, и пусть $x\sqcup y=\bigsqcup_{i=1}^{n}u_i$. Согласно предложению 14 существуют дизъюнктные разбиения $u_i=x_i\sqcup y_i$, $1\leqslant i\leqslant n$, такие, что $x\sqcup y=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i$ и $x\sqcup y=\bigsqcup_{i=1}^{n}y_i$. Далее, для любого конечного набора $T_1,\dots, T_n$ элементов $\mathfrak{A}$ можем записать Переходя к супремуму в левой части этого неравенства по всем конечным суммам вида $\sum_{i=1}^{n}T_iu_i$, $T_i\in\mathfrak{A}$, $1\leqslant i\leqslant n$, $n\in\mathbb{N}$, получаем оценку
Докажем обратное неравенство. Пусть $x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i$, $y=\bigsqcup_{j=1}^{m}y_j$, $T_1,\dots,T_n$ и $S_1,\dots,S_m$ – конечные наборы элементов $\mathfrak{A}$. Рассмотрим семейство попарно дизъюнктных элементов $u_1,\dots, u_{n+m}$, где $u_i=x_i$, $1\leqslant i\leqslant n$, и $u_{i=j}=y_j$, $1\leqslant j\leqslant m$. Положим также $T_{n+j}:=S_j$, $1\leqslant j\leqslant m$. Тогда $x\sqcup y=\bigsqcup_{i=1}^{n+m}u_i$ и
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}T_ix_i+\sum_{j=1}^{m}S_jy_j= \sum_{i=1}^{n+m}T_iu_i\leqslant R(x\sqcup y).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к супремуму в левой части этого неравенства по всем конечным суммам вида $\sum_{i=1}^{n}T_ix_i$ и $\sum_{j=1}^{m}S_jy_j$, можем записать
$$
\begin{equation*}
Rx+Ry\leqslant R(x\sqcup y) \quad\Longrightarrow\quad Rx+Ry=R(x\sqcup y).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, установлено, что $R$ – регулярный ортогонально аддитивный оператор и $T\leqslant R$ для любого $T\in \mathfrak{A}$. Покажем, что $R=\sup\{\mathfrak{A}\}$. Действительно, пусть $x\in E$, $H\in \mathcal{OA}_{\mathrm r}(E,F)$ и $T\leqslant H$ для любого $T\in \mathfrak{A}$. Возьмем произвольное дизъюнктное разбиение $x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i$ элемента $x$ и конечный набор $T_1,\dots,T_n$ элементов $\mathfrak{A}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}T_ix_i\leqslant\sum_{i=1}^{n}Hx_i=H\biggl(\sum_{i=1}^{n}x_i\biggr)=Hx,
\end{equation*}
\notag
$$
и, переходя к супремуму в левой части неравенства по всем конечным суммам $\sum_{i=1}^{n}T_ix_i$ таким, что $x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i$ и $\{T_1,\dots, T_n\}\subset \mathfrak{A}$, получаем, что $R\leqslant H$. Теперь воспользуемся известным равенством $\inf\{\mathfrak{A}\}=-\sup\{-\mathfrak{A}\}$, справедливым в любой векторной решетке при условии существования супремума (инфимума) данного множества $\mathfrak{A}$ (см. [15; с. 3]). Напомним, что $-\mathfrak{A}:=\{-T\colon T\in\mathfrak{A}\}$. Тогда для любого $x\in E$ справедлива следующая цепочка равенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \inf\{\mathfrak{A}\}x &=-\sup\{-\mathfrak{A}\}x \\ &=-\sup\biggl\{\sum_{i=1}^{n}-T_ix_i\colon x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i;\ T_i\in\mathfrak{A},\ 1\leqslant i\leqslant n,\ n\in\mathbb{N}\biggr\} \\ &=\inf\biggl\{\sum_{i=1}^{n}T_ix_i\colon x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i;\ T_i\in\mathfrak{A},\ 1\leqslant i\leqslant n,\ n\in\mathbb{N}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3 доказана. Семейство $H$ элементов в $\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)$, состоящее из попарно дизъюнктных операторов, будем называть дизъюнктной системой в $\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)$. Множество всех дизъюнктных семейств в $\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)$ обозначим через $\mathfrak{D}$. На множестве $\mathfrak{D}$ существует естественный частичный порядок $\preceq$: Используя лемму Цорна, можно показать, что в $\mathfrak{D}$ существует максимальный элемент $H^*$. Ясно, что $\mathcal{OA}_{\mathrm a}(E,F)=\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)^{\perp\perp}=\{H^*\}^{\perp\perp}$.Ниже представлен основной результат текущего параграфа. Теорема 5. Пусть $E$, $F$ – векторные решетки, причем решетка $F$ порядково полна, $x\in E$ и $T\in\mathcal{OA}_+(E,F)$. Тогда атомическая составляющая $\pi_{\mathrm a}T$ оператора $T$ может быть вычислена по следующему правилу: Доказательство. Правую часть равенства (5.1) обозначим $g(T)x$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{A}:=\{S\in \mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)\colon 0\leqslant S\leqslant T\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $H^*$ – максимальная дизъюнктная система в $\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)$. В силу вышесказанного $\mathcal{OA}_{\mathrm{dpo}}(E,F)^{\perp\perp}\cap[0,T]=\{H^*\}^{\perp\perp}\cap[0,T]$. Покажем, что $\pi_{\mathrm a}T=\sup\{\mathfrak{A}\}$. Ясно, что $\pi_{\mathrm a}T\geqslant\sup\{\mathfrak{A}\}$. Установим обратное неравенство. Действительно, $\pi_{\mathrm a}T=\sup_{\alpha\in A}T_{\alpha}$, где $(T_{\alpha})_{\alpha\in A}$ – возрастающая сеть положительных ОАО таких, что для любого индекса $\alpha\in A$ оператор $T_{\alpha}$ представляется в виде Тогда $T_{\alpha}\leqslant \sup\{\mathfrak{A}\}$ для любого $\alpha\in A$, в силу чего
Покажем теперь, что $g(T)x=\sup\{\mathfrak{A}\}x$ для любого $x\in E$. Возьмем произвольное конечное дизъюнктное разбиение $x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i$ элемента $x$ и произвольный конечный набор $S_{1},\dots, S_{n}$ элементов $\mathfrak{A}$. Тогда можем записать
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}S_ix_i\leqslant \sum_{i=1}^{n}\mathfrak{d}_{T}(x_i)\leqslant g(T)x.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к супремуму в левой части этого неравенства по всем суммам вида $\sum_{i=1}^{n}S_ix_i$ и принимая во внимание лемму 3, получаем оценку С другой стороны, согласно предложению 22 имеем $\mathfrak{d}_{T}(x)=\sup_{S\in \mathfrak{A}}Sx\leqslant\sup\{\mathfrak{A}\}x$. Тогда для произвольного конечного дизъюнктного разбиения $x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i$ элемента $x$ можем записать Переходя к супремуму в левой части последнего неравенства по всем суммам вида $\sum_{i=1}^{n}\mathfrak{d}_{T}(x_i)$, выводим $g(T)x\leqslant\sup\{\mathfrak{A}\}x$. Окончательно получаем завершая по существу доказательство теоремы. БлагодарностьАвторы выражают признательность рецензенту за внимательное прочтение статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AbaDzhPli24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|