| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Распределение нулей функций экспоненциального роста Б. Я. Казарновский Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9912e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Асимптотика распределения нулейРассмотрим множество $X$ совместных нулей целых функций экспоненциального роста $f_1,\dots,f_m$ в $\mathbb C^n$. Обозначим через $X_{\mathrm{reg}}$ множество точек $z\in X$ таких, что коразмерность аналитического множества $X$ в окрестности точки $z$ равна $m$. В ситуации общего положения $X_{\mathrm{reg}}=X$. Далее мы рассматриваем $X$ как поток $\mathfrak M(f_1,\dots,f_m)$, т.е. как интегрирование финитных дифференциальных форм степени $2n-2m$ по аналитическому множеству $X_{\mathrm{reg}}$. Например, если $m=n$, то $\mathfrak M(f_1,\dots,f_n)=\sum_x\delta(x)$, где $\delta(x)$ – дельта-функция с носителем в изолированном корне $x$ системы $f_1=\dots=f_n=0$. При фиксированном $t>0$ обозначим функцию $f_j(tz)$ через $f_{t,j}(z)$. Если предел потоков $\frac{1}{t^m}\mathfrak M(f_{t,1},\dots,f_{t,m})$ при $t\to+\infty$ существует, то назовем его асимптотическим распределением совместных нулей функций экспоненциального роста $f_1,\dots,f_m$. Пример 1. Пусть $f$ – квазиполином от одного переменного $z$ со спектром $K$, т.е. конечная сумма вида $f(z)=\sum_{\xi\in K\subset\mathbb C}p_\xi(z)\mathrm{e}^{\xi z}$, где $p_\xi$ – полиномы от переменного $z$. Тогда асимптотическое распределение нулей функции $f$ существует. В этом случае поток асимптотического распределения является обобщенной функцией в $\mathbb C$. Если $K\subset\operatorname{Re}\mathbb C$, то обозначим через $[\alpha,\beta]$ минимальный отрезок в $\operatorname{Re}\mathbb C$, содержащий все точки конечного множества $K$. Если полиномы $p_\alpha$, $p_\beta$ ненулевые, то значение потока асимптотической плотности $\mathfrak M(f)$ на финитной функции $\varphi$ равно $\displaystyle \frac{\beta-\alpha}{2\pi}\int_{\operatorname{Im}\mathbb C}\varphi\, dy$. 1.2. Функции экспоненциального ростаНапомним, что линейный функционал на пространстве голоморфных функций на комплексном многообразии $M$ называется аналитическим функционалом в $M$; см. [1]. Пусть ${\mathbb C^n}^*$ – пространство линейных функционалов в $\mathbb C^n$, $\mu$ – аналитический функционал в ${\mathbb C^n}^*$, т.е. $\mu$ является линейным функционалом на пространстве целых голоморфных функций в ${\mathbb C^n}^*$. При фиксированном $z\in\mathbb C^n$ рассмотрим $\mathrm{e}^{\xi(z)}$ как целую функцию аргумента $\xi\in{\mathbb C^n}^*$. Положим $\widehat\mu(z)=\mu(\mathrm{e}^{\xi(z)})$. Напомним, что целая функция $\widehat\mu$ на $\mathbb C^n$ называется преобразованием Фурье–Бореля (или преобразованием Лапласа; см. [2]) аналитического функционала $\mu$. Преобразование Фурье–Бореля является взаимно однозначным отображением пространства аналитических функционалов в ${\mathbb C^n}^*$ на пространство всех целых функций экспоненциального роста в $\mathbb C^n$, т.е. целых функций $g\colon\mathbb C^n\to\mathbb C$, для которых верно, что
$$
\begin{equation*}
\exists\, (C,a)\colon \quad \forall\, z\in\mathbb C^n \quad| g(z)|\leqslant C\mathrm{e}^{a| z|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для аналитического функционала $\mu$ существует компакт $K\subset M$, для которого верно следующее. Для любой открытой окрестности $U$ компакта $K$ существует константа $C_U$ такая, что
$$
\begin{equation}
\forall\, f \quad |\mu(f)| \leqslant C_U\sup_U| f(\xi)|.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Компакт $K$ называется носителем1 функционала $\mu$. Пусть $\mathcal S(K)$ – пространство аналитических функционалов в ${\mathbb C^n}^*$ с носителем $K$. Обозначим через $\widehat{\mathcal S}(K)$ пространство целых функций в $\mathbb C^n$, состоящее из преобразований Фурье–Бореля функционалов $\mu\in\mathcal S(K)$. Для выпуклого компакта $K\subset\operatorname{Re}{\mathbb C^n}^*$ точное описание функций из $\widehat{\mathcal S}(K)$ дается теоремой Пэли–Винера; см., например, [3; теорема 1.7.7]. Пример 2. Если компакт $K\subset{\mathbb C^n}^*$ является конечным множеством, то пространство $\widehat{\mathcal S}(K)$ содержит все квазиполиномы со спектром $K$, т.е. целые функции в $\mathbb C^n$ вида где коэффициенты $p_\xi$ являются полиномами от переменных $z_1,\dots,z_n$. Определим функцию $h_K\colon\mathbb C^n\to\mathbb R$ как $h_K(z)=\max_{\xi\in K}\operatorname{Re}\xi(z)$. Напомним, что $h_K$ называется опорной функцией компакта $K$. Из (1.1) вытекает (см. § 3), что для любой функции $f\in\widehat{\mathcal S}(K)$
$$
\begin{equation}
\forall\, z\in\mathbb C^n \quad \varlimsup_{t\to+\infty}\frac{\log| f(tz)|}{t}\leqslant h_K(z).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
1.3. Усредненное распределение корнейПусть пространства $V_1\subset\widehat{\mathcal S}(K_1),\dots,V_m\subset\widehat{\mathcal S}(K_m)$ конечномерны. Напомним, что мы рассматриваем многообразие корней системы как поток $\mathfrak M(f_1,\dots,f_m)$. Используя произвольные эрмитовы скалярные произведения $\langle*,*\rangle_i$ в пространствах $V_i$, мы определим усреднение $\mathfrak M(V_1,\dots,V_m)$ потока $\mathfrak M(f_1,\dots,f_m)$ по всем системам (1.4); см. определение 3 в § 2. Определение 1. Для конечномерного пространства $V\subset\widehat{\mathcal S}(K)$ положим $V(t)=\{f_t(z)=f(tz)\colon f\in V\}$. Для эрмитова скалярного произведения $\langle*,*\rangle$ в $V$ положим $\langle f_t,g_t\rangle=\langle f,g\rangle$. Если в топологическом пространстве потоков в пространстве $\mathbb C^n$ предел 1.4. Основной результатНапомним, что по определению для функции $f$ на комплексном многообразии $M$ значение 1-формы $d^cf$ на касательном векторе $\xi$ равно $df(-i\xi)$. Если непрерывные функции $h_1,\dots,h_m\colon M\to\mathbb R$ являются плюрисубгармоническими функциями на многообразии $M$, то $dd^ch_1\,{\wedge} {\cdots}\,{\wedge}\, dd^ch_m$ является корректно определенным положительным потоком степени $2m$; см., например, [1]. Замечание 1. Потоки $dd^ch_1\wedge\dots\wedge dd^ch_n$ называются мерами Монжа–Ампера. Такие меры традиционно появляются в задачах о распределении нулей голоморфных систем уравнений; см. [1], [4], [5]. Опорные функции $h_i$ компактов $K_i\subset{\mathbb C^n}^*$ выпуклы и, следовательно, плюрисубгармоничны. В частности, поток $dd^ch_1\wedge\dots\wedge dd^ch_n$ является неотрицательной мерой в $\mathbb C^n$. Ниже определено понятие регулярного конечномерного подпространства в $\widehat{\mathcal S}(K)$ (см. определение 5 в § 3, а также пример в конце п. 1.4). Теорема 1. Пусть пространства $V_1\subset\widehat{\mathcal S}(K_1),\dots,V_m\subset\widehat{\mathcal S}(K_m)$ регулярны. Тогда поток усредненного асимптотического распределения корней систем (1.4) существует и задается формулой где $h_i$ – опорная функция компакта $K_i$. Определение 2. Пусть $h$ является опорной функцией выпуклого компакта $K\subset{\mathbb C^n}^*$. Положим $\operatorname{pvol}(K)={\displaystyle\int_B(dd^ch)^n}$, где $B$ – шар радиуса $1$ с центром в нуле. Значение $\operatorname{pvol}(K)$ называется псевдообъемом выпуклого тела $K$. Если $h_1,\dots,h_n$ – опорные функции выпуклых компактов $A_1,\dots,A_n$, то называется смешанным псевдообъемом выпуклых тел $A_1,\dots,A_n$. Замечание 2. Псевдообъем является унитарно инвариантной валюацией на выпуклых телах в комплексном векторном пространстве; см. [6]. Из теоремы 1 вытекают следующие утверждения. Следствие 1. Пусть $V_1,\dots,V_n$ – регулярные подпространства в пространствах соответственно $\widehat{\mathcal S}(K_1),\dots,\widehat{\mathcal S}(K_n)$. Тогда усредненное по всем системам (1.4) число корней в шаре растущего радиуса $r$ с центром в нуле асимптотически равно где через $\operatorname{conv}(K)$ обозначена выпуклая оболочка компакта $K$. Если $K\,{\subset}\,\operatorname{Re}{\mathbb C^n}^*$, то псевдообъем $K$ равен его объему как тела полной размерности в $n$-мерном вещественном пространстве $\operatorname{Re}{\mathbb C^n}^*$. Отсюда вытекает следующее утверждение (см. [7]). Следствие 2. Пусть $K_1,\dots,K_n\subset\operatorname{Re}{\mathbb C^n}^*$. Тогда где $\operatorname{vol}(*,\dots,*)$ – смешанный объем выпуклых тел в $n$-мерном вещественном пространстве $\operatorname{Re}{\mathbb C^n}^*$, а $\mu_n$ – мера в $\mathbb C^n$ с носителем $\operatorname{Im}\mathbb C^n$, определенная как интеграл функции по лебеговой мере на пространстве $\operatorname{Im}\mathbb C^n$. Приведем пример, являющийся источником понятия регулярного пространства. Предположим, что компакт $K$ является конечным множеством. Обозначим через $\widehat {\mathcal S}_N(K)$ пространство квазиполиномов вида (1.2) таких, что $\operatorname{deg}(p_\xi)\leqslant N$ при всех $\xi\in K$. Например, $\widehat {\mathcal S}_0(K)$ состоит из экспоненциальных сумм со спектром $K$, т.е. функций вида $\sum_{\xi\in K,\,c_\xi\in\mathbb C} c_\xi\mathrm{e}^{\xi(z)}$. Теорема 2. Любое конечномерное пространство $V\subset\widehat{\mathcal S}(K)$ такое, что $V\supset\widehat {\mathcal S}_0(K)$, является регулярным. В частности, при любом $N\geqslant0$ пространство квазиполиномов $\widehat {\mathcal S}_N(K)$ регулярно. Отсюда вытекает известный результат об асимптотической плотности многообразия корней систем экспоненциальных сумм [4], [8]. § 2. Усредненное распределение на комплексном многообразииПусть $V_1,\dots,V_m$ – конечномерные пространства голоморфных функций на $n$-мерном многообразии $X$, $\langle*,*\rangle_i$ – эрмитово скалярное произведение в пространстве $V_i$. Корни системы зависят только от проекций $p_i=\pi_i(f_i)$ точек $f_i\in V_i\setminus0$ на проективизации $\mathbb P_i$ пространств $V_i$. Мы рассматриваем многообразие корней системы (2.1) как поток $\mathfrak M(f_1,\dots,f_m)$. Далее при необходимости мы отождествляем систему (2.1) с точкой $(p_1,\dots,p_m)\in\mathbb P_1\times\dots\times\mathbb P_m$. Используя эрмитовы метрики $\langle*,*\rangle_i$, мы определяем и вычисляем усреднение $\mathfrak M(V_1,\dots,V_m)$ потока $\mathfrak M(f_1,\dots,f_m)$ по всем системам (2.1). Для этого используются соответствующие произведениям $\langle*,*\rangle_i$ метрики Фубини–Штуди в пространствах $\mathbb P_i$; см., например, [9]. Обозначим через $\Omega_i$ соответствующую форму объема в $\mathbb P_i$, нормализованную как $\displaystyle \int_{\mathbb P_i}\Omega_i=1$. Определение 3. Пусть $\pi_i(f_i)=p_i$, где $\pi_i\colon V_i\setminus0\to\mathbb P_i$ – отображение проекции. Отождествим систему (2.1) с точкой $(p_1,\dots,p_m)\in \mathbb P_1\times\dots\times\mathbb P_m$. Поток на многообразии $X$, определенный как Определение 4. Предположим, что Пусть $V^*_i$ – пространство линейных функционалов на $V_i$. Определим отображение $\Theta_i\colon X\to V^*_i\setminus0$ как $\Theta_i(x)\colon f\mapsto f(x)$. Рассмотрим в пространстве $V^*_i$ эрмитово произведение $\langle*,*\rangle^*_i$, сопряженное произведению $\langle*,*\rangle_i$. При $x\in X$ положим $\|x\|_i=\sqrt{\langle \Theta_i(x),\Theta_i(x)\rangle^*_i}$. Утверждение теоремы является локальным, т.е. для его доказательства можно заменить $X$ на любую малую окрестность точки $x\in X$. Поэтому из леммы Сарда вытекает, что теорема сводится к случаю, когда отображение
$$
\begin{equation*}
X\xrightarrow{\Theta_1\times\dots\times\Theta_m}(V^*_1\setminus0)\times\dots\times (V^*_m\setminus0)\xrightarrow{\pi^*_1\times\dots\times\pi^*_m}\mathbb P^*_1\times\dots\times \mathbb P^*_m,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb P^*_i$ – двойственное $\mathbb P_i$ проективное пространство, а $\pi^*_i\colon V^*_i\to\mathbb P^*_i$ – отображение проективизации, является замкнутым вложением. Пусть $\omega^*_i$ – кэлерова форма в $\mathbb P^*_i$ такая, что ее интеграл по проективной прямой равен единице. Тогда форма $\frac{1}{2\pi}\,dd^c\log(\|f\|^*_i)^2$ в $V^*_i\setminus0$ является прообразом кэлеровой формы $\omega^*_i$ в $\mathbb P^*_i$ при отображении проективизации. Поэтому теорема 3 сводится к следующему утверждению. Теорема 4. Пусть $X$ – замкнутое комплексное многообразие с краем в $\mathbb P^*_1\times\dots\times\mathbb P^*_m$, $p_i\in\mathbb P_i$, $H(p_i)$ – проективная гиперплоскость в $\mathbb P^*_i$, заданная уравнением $p_i(*)=0$, $H(p_1,\dots,p_m)=H(p_1)\times\dots\times H(p_m)$. Тогда для любой дифференциальной формы $\varphi$ степени $2n-2m$ на многообразии $\mathbb P^*_1\times\dots\times\mathbb P^*_m$ верно, что Эту теорему можно идентифицировать как (анонсированную в [8]) формулу Крофтона для произведения проективных пространств. Доказательство теоремы 4. Ограничимся кратким выводом.
Как обычно в интегральной геометрии (см., например, [10]), теорему 4 можно переформулировать на языке двойных расслоений. Пусть
$$
\begin{equation*}
\Gamma(\mathbb P)=\{(q,p)\colon p\in\mathbb P,q\in\mathbb P^*, p\in H(q)\},
\end{equation*}
\notag
$$
$\gamma(\mathbb P)\colon (p,q)\mapsto q$ и $\delta(\mathbb P)\colon(p,q)\mapsto p$ – два отображения проекции $\Gamma(\mathbb P)\to\mathbb P^*$ и $\Gamma(\mathbb P)\to\mathbb P$. Рассмотрим двойное расслоение
$$
\begin{equation}
\mathbb P^*_1\times\dots\times\mathbb P^*_m\xleftarrow{\gamma}\Gamma(\mathbb P_1)\times\dots\times\Gamma(\mathbb P_m)\xrightarrow{\delta}\mathbb P_1\times\dots\times\mathbb P_m,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\gamma=\gamma(\mathbb P_1)\times\dots\times\gamma(\mathbb P_m)$, $\delta=\delta(\mathbb P_1)\times\dots\times\delta(\mathbb P_m)$. Обозначим через $\delta^*$ и $\gamma_*$ отображения обратного и прямого образа дифференциальных форм, соответствующие отображениям $\delta$ и $\gamma$. Тогда доказательство теоремы сводится к доказательству равенства
$$
\begin{equation}
\gamma_*\delta^*\Omega_1\wedge\dots\wedge\Omega_m=\omega^*_1\wedge\dots\wedge\omega^*_m.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Расслоение (2.2) является прямым произведением $m$ двойных расслоений
$$
\begin{equation*}
\mathbb P^*_i\xleftarrow{\gamma(\mathbb P_i)}\Gamma(\mathbb P_i)\xrightarrow{\delta(\mathbb P_i)}\mathbb P_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому (2.3) сводится к случаю $m=1$, т.е. к следующему утверждению.
Предложение 1. Пусть $\Gamma=\{(p,q)\in\mathbb P^*\times\mathbb P\colon \langle p,q\rangle=0\}$, $\gamma=\gamma(\mathbb P)$ и $\delta=\delta(\mathbb P)$. Тогда верно, что $\gamma_*\delta^*\Omega=\omega^*$. Это утверждение является общеизвестной формулой типа Крофтона; см. [10]. Его доказательство основано на том, что действие унитарной группы на $\mathbb P$, $\mathbb P^*$ и $\Gamma$ коммутирует с отображениями $\gamma$ и $\delta$. Теорема 4 доказана. § 3. Регулярные подпространстваПусть $V$ – конечномерное подпространство в $\widehat{\mathcal S}(K)$ с фиксированным эрмитовым скалярным произведением $\langle*,*\rangle$. Обозначим через $B\subset V$ шар радиуса $1$ с центром в нуле. Ниже мы определим понятие регулярности пространства $V$. В этом определении используется эрмитово произведение $\langle*,*\rangle$. Однако, как нетрудно заметить, свойство регулярности $V$ не зависит от выбора $\langle*,*\rangle$. Рассмотрим зависящую от параметра $t$ функцию $\mathbb C^n\to\mathbb R$, определенную как $\max_{f\in B} | f(tz)|$. Согласно определению 1 величина $\max_{f\in B} | f(tz)|$ равна норме линейного функционала $f_t\mapsto f_t(z)$ в пространстве $V(t)$. Определение 5. Назовем пространство $V$ регулярным, если при $t\to+\infty$ зависящая от параметра $t$ функция локально равномерно сходится к опорной функции $h_K$ компакта $K$. Пример 3. Пусть $L\subset K$. Тогда если $\operatorname{conv}(K)\ne\operatorname{conv}(L)$, то любое подпространство $\widehat{\mathcal S}(K)$, состоящее из функций, принадлежащих $\widehat{\mathcal S}(L)$, не является регулярным. Наоборот, если $\operatorname{conv}(K)=\operatorname{conv}(L)$, то любое регулярное подпространство $\widehat{\mathcal S}(L)$ является также регулярным подпространством $\widehat{\mathcal S}(K)$. Предложение 2. Для любого сколь угодно малого $\varepsilon>0$ существует константа $C$ такая, что при любом $t>0$ Предложение 2 сводит вопрос о регулярности к нижней оценке зависящей от растущего параметра $t$ функции $\frac{\log\max_{f\in B} | f(tz)|}{t}$. Следствие 3. Предположим, что для любого ненулевого $z\in\mathbb C^n$ существуют окрестность $U_z$ точки $z$ и функция $F_z\in V$ такие, что $(*)$ с ростом $t$ функция $\frac{\log| F_z(tw)|}{t}$ на $U_z$ равномерно сходится к $h_K(w)$. Тогда пространство $V$ является регулярным. Доказательство. Обозначим через $K_z$ открытый конус в $\mathbb C^n$, состоящий из точек вида $\{\tau w\colon w\in U_z\}$. Тогда условие $(*)$ выполнено при замене окрестности $U_z$ на конус $K_z$. Рассмотрим конечное покрытие пространства $\mathbb C^n$ конусами вида $K_z$ и применим условие $(*)$ к каждому из этих конусов.
Следствие доказано. Следствие 4. Предположим, что пространство $V_1$ регулярно и $V_1\subset V\subset\widehat{\mathcal S}(K)$. Тогда пространство $V$ также является регулярным. Доказательство. Согласно следствию 3 достаточно найти функции $F_z{\in}\, V$, удовлетворяющие условию $(*)$. Как вытекает из условия регулярности, эти функции могут быть найдены в подпространстве $V_1$.
Следствие доказано. Далее в § 3 будет приведено доказательство предложения 2. Для этого мы используем топологию равномерной сходимости на компактах в пространстве целых функций и соответствующую слабую топологию в пространстве аналитических функционалов в ${\mathbb C^n}^*$. Лемма 1. Пусть $A$ – компактное множество аналитических функционалов с носителем $K$. Тогда для любой открытой окрестности $U$ компакта $K$ верно, что существует константа $C_U$ такая, что при всех $\mu\in A$ С учетом компактности множества $A$ утверждение вытекает из (1.1). Лемма 2. Пусть $A$ – компактное множество аналитических функционалов с носителем $K$. Тогда для любого сколь угодно малого $\varepsilon>0$ существует константа $C$ такая, что Доказательство. Пусть $U=K+\varepsilon B_1$, где $B_1\subset{\mathbb C^n}^*$ – шар радиуса $1$ с центром в $0$.
Так как: 1) $\sup_{\xi\in U}|\mathrm{e}^{\xi(z)}|=\sup_{\xi\in U}\mathrm{e}^{\operatorname{Re} \xi(z)}= \mathrm{e}^{h_U(z)}$; 2) $h_U(z)=h_K(z)+\varepsilon| z|$; 3) по определению $\widehat\mu(z)=\mu(\mathrm{e}^{\xi(z)})$; то нужная оценка вытекает из леммы 1. Лемма 3. Пусть $A$ – компактное множество аналитических функционалов с носителем $K$. Тогда для любого сколь угодно малого $\varepsilon>0$ существует константа $C$ такая, что при любом $t>0$ Доказательство. По лемме 2 $| \widehat\mu(tz)| \leqslant C \mathrm{e}^{h_K(tz)+\varepsilon | tz|}$. Переходя к логарифмам и используя однородность функций $| z|$ и $h_K$, получаем нужное утверждение. Доказательство предложения 2. Обозначим через $A$ множество аналитических функционалов в ${\mathbb C^n}^*$ таких, что их образ при преобразовании Фурье–Бореля принадлежит единичному шару $B\subset V$. Преобразование Фурье–Бореля непрерывно и взаимно однозначно. Поэтому множество $A$ является компактом. Отсюда получаем, что нужное утверждение вытекает из леммы 3.
§ 4. Доказательство теоремы 1Напомним, что согласно теореме 3 для потока усредненного распределения корней $\mathfrak M(V_1,\dots,V_m)$ (см. определение 3) верно, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak M(V_1,\dots,V_m)=\frac{1}{(2\pi)^m}dd^c\log\|x\|^2_1\wedge\dots\wedge dd^c\log\|x\|^2_m,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\|x\|_i(z)$ равно норме линейного функционала $f\mapsto f(z)$ на пространстве $V_i$ (см. определение 4). Обозначим через $\|x\|_{t,i}(z)$ норму линейного функционала $f_t\mapsto f_t(z)$ на пространстве $V_i(t)$. Тогда по определению потока асимптотической плотности (определение 1)
$$
\begin{equation*}
\mathfrak M^\infty(V_1,\dots,V_m)=\lim\frac{1}{t^m}\frac{1}{(2\pi)^m}dd^c\log\|x\|_{t,1}^2\wedge\dots\wedge dd^c\log\|x\|_{t,m}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Свойство регулярности пространств $V_i$ означает, что функция $\frac{1}{t}\log\|x\|_{t,i}^2(z)$ с ростом $t$ локально равномерно сходится к $2\log h_{K_i}(z)$; см. определение 5. Теперь нужное утверждение (теорема 1) вытекает из свойства непрерывности комплексного оператора Монжа–Ампера
$$
\begin{equation*}
(g_1,\dots,g_m)\mapsto dd^cg_1\wedge\dots\wedge dd^cg_m
\end{equation*}
\notag
$$
относительно топологии локально равномерной сходимости непрерывных плюрисубгармонических аргументов $g_i$; см., например, [11], [7]. Теорема 1 доказана. § 5. Доказательство теоремы 2Согласно следствию 4 достаточно доказать теорему 5 в случае, когда $V=\widehat{\mathcal S}_0(K)$, т.е. когда $V$ является пространством экспоненциальных сумм. Пусть $0\ne z\in\mathbb C^n$. Следствие 3 сводит доказательство теоремы 2 к построению экспоненциальной суммы $F_z\in V$ такой, что с ростом $t$ функция $\frac{\log| F_z(tw)|}{t}$ равномерно сходится к $h_K(w)$ в некоторой окрестности точки $z\in\mathbb C$. Построение функции $F_z$ приведено ниже. Определение 6. При $0\ne z\in\mathbb C^n$ рассмотрим на пространстве ${\mathbb C^n}^*$ вещественный линейный функционал $\varphi_z(\xi)=\operatorname{Re} \xi(z)$. Сопоставим точке $0\ne z\in\mathbb C^n$ грань $\Delta(z)$ многогранника $\operatorname{conv}(K)$, состоящую из точек $\xi\in\operatorname{conv} (K)$, в которых функционал $\varphi_z$ на $\operatorname{conv} (K)$ достигает максимума. Назовем $\Delta(z)$ опорной гранью точки $z$. Лемма 4. Если точка $x\in\mathbb C$ достаточно близка к $z$, то опорная грань $\Delta(x)$ является гранью многогранника $\Delta(z)$. Доказательство вытекает из определения опорных граней. Лемма 5. Пусть $\Delta_1=\Delta(z),\Delta_1,\dots,\Delta_N$ – множество всех граней многогранника $\Delta(z)$. Выберем функцию $F_z(w)=\sum_{\xi\in\Delta(z)\cap K,\,c_\xi\ne0}c_\xi\mathrm{e}^{\xi(w)}$ так, что $\forall\, i$ $\sum_{\xi\in\Delta_i\cap K}c_\xi\mathrm{e}^{\xi(z)}\ne0$. Тогда условие $(*)$ из следствия 3 выполнено. Доказательство. Пусть грань $\Delta_i$ является опорной гранью близкой к $z$ точки $x\in\mathbb C^n$. Тогда по построению где величины $A(t),B(t)$ при всех $t>0$ ограничены. Отсюда следует, что $\frac{\log| F_z(tx)|}{t}$ локально равномерно сходится к $h_K(x)$, т.е. условие $(*)$ выполнено.
Лемма доказана. Таким образом, теорема 2 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kaz24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|