| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Вариационные формулы для конформной емкости В. Н. Дубинин Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук, г. Владивосток
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9915e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и формулировки основных результатовРассмотрим простейший конденсатор $C=\{B,\gamma,(\partial B)\,{\setminus}\, \gamma\}$ на комплексной плоскости $\mathbb{C}$. Здесь $B$ – подобласть $\mathbb{C}$, ограниченная конечным числом дважды непрерывно дифференцируемых кривых, и $\gamma$ – одна из граничных компонент этой области, $(\partial B)\,{\setminus}\, \gamma\neq\varnothing$. Область $B$ называется полем конденсатора $C$, а множества $\gamma$ и $(\partial B)\,{\setminus}\, \gamma$ – его пластинами. Конформная емкость $\operatorname{cap} C$ конденсатора $C$ определяется как точная нижняя граница интегралов Дирихле по всем вещественнозначным функциям $v$, непрерывным в $\overline{B}$, удовлетворяющим условию Липшица локально в $B$, равным единице на $\gamma$ и нулю на $(\partial B)\setminus \gamma$. Согласно принципу Дирихле емкость конденсатора $C$ равна интегралу Дирихле от потенциальной функции этого конденсатора, гармоничной в поле $B$, непрерывной в $\overline{B}$, равной единице на $\gamma$ и нулю на $(\partial B)\setminus \gamma$ (см. [1]). Вопросы, связанные с поведением различных видов емкостей конденсаторов при деформации поля $B$, рассматривались многими авторами. Мотивация таких исследований вызвана многочисленными приложениями в геометрической теории функций, теории потенциала и смешанных областях (см., например, работы [1]–[10] и библиографию в них). Особо отметим работу С. Р. Насырова [9], в которой с помощью техники конформных отображений и экстремальных метрик исследуются вариации модулей четырехсторонников и двусвязных областей, приведенных модулей, а также емкостей Робена при достаточно гладком изменении границы соответствующих областей. Пусть $z=z(s)$ – уравнение кривой $\gamma$, ориентированной в положительном направлении по отношению к области $B$ ($s$ – натуральный параметр), и пусть $\varphi$ – вещественная дважды непрерывно дифференцируемая функция на кривой $\gamma$. Следуя Адамару, определим при малом $\varepsilon>0$ “деформацию” кривой $\gamma$, при которой $\gamma$ переходит в кривую $\gamma^*$, заданную уравнением Обозначим через $B^*$ область, граница которой состоит из кривых $(\partial B)\setminus \gamma$ и кривой $\gamma^*$. Для функций Грина областей $B$ и $B^*$ имеет место классическая формула Адамара (см. [1; (П 3.3)])
$$
\begin{equation*}
g_{B^*}(\zeta,\eta)=g_{B}(\zeta,\eta)-\frac{\varepsilon}{2\pi}\int_\gamma \frac{\partial g_B(z,\zeta)}{\partial n_z} \,\frac{\partial g_B(z,\eta)}{\partial n_z}\, \varphi(s)\,ds+O(\varepsilon^2)
\end{equation*}
\notag
$$
(см. также работу [11] и библиографию в ней). Здесь и всюду ниже $\partial/\partial n$ обозначает дифференцирование вдоль внутренней нормали, а асимптотические равенства рассматриваются при $\varepsilon\to 0$. Двукратным дифференцированием под знаком интеграла нетрудно получить отсюда асимптотическую формулу для гармонической меры $\gamma$ и затем следующую формулу для вариации конформной емкости (см. [1; (П 3.11)]):
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap} C^*=\operatorname{cap} C+\varepsilon\int_{\gamma}\biggl(\frac{\partial u}{\partial n}\biggr)^2\varphi(s)\,ds+O(\varepsilon^2),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $C^*=\{B^*,\gamma^*,(\partial B)\setminus \gamma\}$ и $u$ – потенциальная функция конденсатора $C$. Из (1.2) вытекает вариационная формула для емкости конденсатора с большим числом пластин (см. [10]) при условии, что граница поля конденсатора принадлежит объединению этих пластин (см. [1; (П 3.12)]). В настоящей работе приводится прямое доказательство вариационных формул для конформной емкости, понимаемой в более широком смысле, при этом осуществляется деформация как граничных эквипотенциальных линий ($u=\mathrm{const}$), так и граничных линий тока (если таковые имеются). Перейдем к точным формулировкам. Пусть $B$ – открытое множество на комплексной плоскости $\overline{\mathbb{C}}$. Обобщенным конденсатором в $\overline{B}$ называем тройку $C=(B,\mathcal{E},\Delta)$, где $\mathcal{E}=\{E_k\}^n_{k=1}$ – совокупность замкнутых непустых попарно не пересекающихся множеств $E_k\subset \overline{B}$, $k=1,\dots,n$, а $\Delta=\{\delta_k\}_{k=1}^n$ – совокупность вещественных чисел $\delta_k$, $k=1,\dots,n$, $n\geqslant 2$. Открытое в $\overline{B}$ множество $\overline{B}\setminus \bigcup_{k=1}^nE_k$ будем называть полем конденсатора $C$, множества $E_k$ – пластинами этого конденсатора, а числа $\delta_k$ – уровнями потенциала или, короче, потенциалами пластин $E_k$, $k=1,\dots,n$. Емкость $\operatorname{cap}C$ конденсатора $C$ определяется как точная нижняя граница интегралов Дирихле $I(v,B\setminus \bigcup_{k=1}^n E_k)$ по всем вещественнозначным функциям $v$, непрерывным в $\overline{B}$, удовлетворяющим условию Липшица внутри множества $B$ и равным $\delta_k$ на $E_k$, $k=1,\dots,n$. Если множество $(\partial B)\setminus \bigcup_{k=1}^n E_k$ пусто либо состоит из конечного числа аналитических кривых и существует функция $u$, непрерывная в $\overline{B}$, гармоническая в $\overline{B}\setminus \bigcup_{k=1}^n E_k$, равная $\delta_k$ на $E_k$, $k=1,\dots,n$, и такая, что $\partial u/\partial n=0$ на $(\partial B)\setminus \bigcup_{k=1}^n E_k$, то указанную функцию будем называть потенциальной функцией конденсатора $C$. С помощью конформного отображения эти определения распространяются на более широкий класс конденсаторов. Без ограничения общности рассмотрим далее только такие конденсаторы $C=(B,\mathcal{E},\Delta)$, для которых поле $B$ – область плоскости $\mathbb{C}$, ограниченная конечным числом жордановых кривых, а пластины совокупности $\mathcal{E}$ состоят из конечного числа невырожденных связных компонент, лежащих на границе $B$. Такие конденсаторы имеют потенциальную функцию $u$, причем (см. [10; A1]). Под кривой $\gamma$ будем понимать объединение конечного числа замкнутых аналитических дуг или замкнутых аналитических кривых в $\mathbb{C}$, лежащих на границе $B;$ $\gamma^*$ – объединения кривых, полученных из $\gamma$ деформацией вида (1.1), при которой носитель функции $\varphi(s)$ не содержит концов кривой $\gamma$, и, наконец, $B^*$ – область, ограниченная кривыми $((\partial B)\setminus\gamma)\cup \gamma^*$. Справедливы следующие теоремы.Теорема 1. Пусть конденсатор $C=(B,\{E_k\}_{k=1}^n,\{\delta_k\}_{k=1}^n)$ и кривая $\gamma$ определены выше, и пусть $\gamma$ принадлежит объединению пластин конденсатора $C$. Тогда выполняется равенство (1.2), где а $u$ – потенциальная функция конденсатора $C$. Теорема 2. Если кривая $\gamma$ не содержит точек пластин конденсатора $C=(B,\{E_k\}_{k=1}^n, \{\delta_k\}_{k=1}^n)$, то имеет место формула Формулы (1.2) и (1.3) дают количественные уточнения некоторых вариационных принципов конформных отображений (см., например, [2], [3], [12]). Известно также, что интеграл Дирихле имеет различные физические интерпретации. В частности, (1.2) и (1.3) можно рассматривать как вариационные формулы для энергии электростатического поля (см. [1; § 1, п. 1], [4]). Доказательства теорем 1 и 2 приводятся соответственно в § 2 и § 3. Там же даны комментарии к полученным результатам. В § 4 рассматриваются вариационные формулы для квадратичных форм с коэффициентами, зависящими от внутренних радиусов, радиусов Робена, функций Грина или функций Робена. § 2. Деформация эквипотенциальных линий Доказательство теоремы 1. Учитывая конформную инвариантность интеграла Дирихле, считаем, что граница области $B$ состоит из конечного числа аналитических жордановых кривых. Пусть $u$ – потенциальная функция конденсатора $C$, а $u^*$ – потенциальная функция $C^*$. Функцию $u$ можно продолжить до гармонической функции в некоторой окрестности кривой $\gamma$. Указанное продолжение будем обозначать той же буквой $u$, а параметр $\varepsilon$ считать столь малым, что кривая $\gamma^*$ принадлежит указанной окрестности. Таким образом, функция $u-u^*$ гармоническая в области $B^*$, непрерывна в замыкании этой области, равна нулю на $\bigcup_{k=1}^n E_k\setminus\gamma$ и ее производная по нормали равна нулю в точках $(\partial B)\setminus\bigcup_{k=1}^n E_k$. На $\gamma^*$ выполняется
$$
\begin{equation*}
u(z)-u^*(z)=\varepsilon\varphi(s)\,\frac{\partial u}{\partial n}(z(s))+O(\varepsilon^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь переменные $z$ и $s$ связаны соотношением $z=z^*(s)$. Учитывая лемму Хопфа, заключаем, что по принципу максимума для гармонических функций равномерно по $z\in B^*$ и $\varepsilon>0$. Из работы Келлога [13] вытекает1 непрерывность и ограниченность (равномерно по $\varepsilon$) первых частных производных функции $(u-u^*)/\varepsilon$ в той части замкнутой окрестности $\gamma^*$, которая принадлежит $\overline{B}^*$. Применяя формулу Грина2, получаем отсюда оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I(u-u^*,B^*) &=-\int_{\partial B^*}(u-u^*)\,\frac{\partial (u-u^*)}{\partial n}\,ds \nonumber \\ &=-\int_{\gamma^*}(u-u^*)\,\frac{\partial (u-u^*)}{\partial n}\,ds=O(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Вновь по формуле Грина получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(u-u^*,B^*) &=I(u,B^*)+I(u^*,B^*)+2\int_{\partial B^*}(u^*-u+u)\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds \\ &=I(u^*,B^*)-I(u,B^*)-2\int_{\gamma^*}(u-u^*)\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
I(u,B^*)+\int_{\gamma^*}u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds= I(u,B)+\int_{ \gamma}u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
а функция $u$ принимает постоянное значение на каждой кривой $\gamma$, совпадающее со значением $u^*$ на кривой $\gamma^*$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &I(u-u^*,B^*) \\ &\qquad=I(u^*,B^*)-I(u,B)+\int_{\gamma^*}u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds -\int_{\gamma}u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds -2\int_{\gamma^*}(u-u^*)\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds \\ &\qquad=I(u^*,B^*)-I(u,B)-\int_{\gamma}u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds +\int_{\gamma^*}u^*\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds -\int_{\gamma^*}(u-u^*)\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds \\ &\qquad=I(u^*,B^*)-I(u,B) \\ &\qquad\qquad-\int_{\gamma}\biggl[\varepsilon \varphi(s)\,\frac{\partial u}{\partial n}(z(s))+O(\varepsilon^2)\biggr] \biggl[\frac{\partial u}{\partial n}(z(s))\,{+}\,O(\varepsilon)\biggr]ds+O(\varepsilon^2) \\ &\qquad=I(u^*,B^*)-I(u,B)-\varepsilon\int_{\gamma} \biggl(\frac{\partial u}{\partial n}\biggr)^2 \varphi(s)\,ds+O(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (2.1) это дает вариационную формулу (1.2).
Теорема 1 доказана. Не желая усложнять суть вопроса, мы ограничились классическим видом деформации (1.1) с дважды непрерывно дифференцируемой функцией $\varphi$ (см. [1; § 3, п. 1]). Формула (1.2) имеет место в предположении, что $\varphi(s)$ – кусочно гладкая функция дуги $s$. Кроме того, из доказательства теоремы 1 видно, что деформацию (1.1) можно заменить на переход от кривой $\gamma$ к произвольной гладкой кривой $\gamma^*$ с проекцией на $\gamma$ и с теми же концами. Например, при условии $\gamma^*\subset\overline{B}$ формула (1.2) остается верной и в этом случае после замены значения функции $\varphi(s)$ на линейную меру пересечения множества $B\setminus \overline{B}^*$ с нормалью к $\gamma$ в точке $z(s)$. Другое очевидное дополнение к формуле (1.2), вытекающее из доказательства теоремы 1, сводится к следующему. Предположим, что в определении деформации (1.1) область задания функции $\varphi$ есть компакт на $\gamma$, зависящий от $\varepsilon$, причем его линейная мера является величиной $O(\varepsilon)$. Тогда вновь имеет место (1.2), где вместо $O(\varepsilon^2)$ можно взять $O(\varepsilon^3)$. Условие аналитичности кривой $\gamma$ также можно ослабить, рассмотрев дважды непрерывно дифференцируемые кривые. В этом случае необходимо провести доказательство теоремы 1 сначала для функции $\varphi\geqslant0$, а затем рассмотреть общую ситуацию так, как это осуществлялось в [1; § 3, п. 1]. В качестве примера формулы (1.2) рассмотрим четырехсторонник $B= \{z= x+i y\colon |x|<1,\,0<y<1\}$, дугу $\gamma=[-1,1]$ и конденсатор $C=(B, \{\gamma,[-1+ i,1+i]\},\{0,1\})$. Потенциальная функция – это $u(x+iy)=y$. Асимптотическое равенство (1.2) дает
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}C^*=2+\varepsilon\int_{\gamma}\varphi(s)\,ds+O(\varepsilon^2) =2+\kappa+O(\varepsilon^2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\kappa$ – суммарная площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой $\gamma^*$ и осью $x$, берущаяся со знаком плюс, когда соответствующая часть трапеции лежит выше вещественной оси, и со знаком минус в противном случае (ср. [9; следствие 2]). Заметим, что слагаемые в формуле (1.2) являются конформными инвариантами. Иногда это бывает полезным при вычислении конкретных вариаций. Например, пусть $B$ – верхняя полуплоскость, $\gamma=[-1,1]$, $k$ – некоторое число, $0<k<1$, а потенциал $u$ равен нулю на $[-1,1]$ и единице на $[-\infty,-1/k]\cup[1/k,+\infty]$. Функция отображает область $B$ конформно на четырехугольник $\{w=\xi+i\eta\colon |\xi|\,{<}\, \mathbf K(k), 0<\eta<\mathbf K'(k)\}$, где $\mathbf K(k)$ и $\mathbf K'(k)$ – полные эллиптические интегралы первого рода (см., например, [2; п. 39]). Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u(z)=\frac{\operatorname{Im}f(z)}{\mathbf K'(k)}, \qquad \operatorname{cap}C=\frac{2\mathbf K(k)}{\mathbf K'(k)}, \\ \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{\mathbf K'(k)}f'(x)=\frac{1}{\mathbf K'(k)\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}, \qquad x\in (-1,1), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и формула (1.2) дает
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}C^*=\frac{2\mathbf K(k)}{\mathbf K'(k)}+\frac{\varepsilon}{(\mathbf K'(k))^2}\int_{-1}^1\frac{\varphi(x)\,dx}{(1-x^2)(1-k^2x^2)}+O(\varepsilon^2).
\end{equation*}
\notag
$$
§ 3. Деформация линий тока Доказательство теоремы 2. Пусть область $B$, а также потенциальные функции $u$ и $u^*$ такие же, как при доказательстве теоремы 1. Следуя этому доказательству, рассмотрим интеграл Дирихле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(u-u^*,B^*) &=I(u^*,B^*)-I(u,B^*)-2\int_{\gamma^*}(u-u^*)\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds \\ &=I(u^*,B^*)-I(u,B)+2\int_{\gamma^*}u^*\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds -\int_{\gamma^*}u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны3,
$$
\begin{equation*}
I(u-u^*,B^*)=-\int_{\gamma^*}(u-u^*)\,\frac{\partial (u-u^*)}{\partial n}\,ds =\int_{\gamma^*}u^*\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds -\int_{ \gamma^*}u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге получаем
$$
\begin{equation}
I(u^*,B^*)=I(u,B)-\int_{\gamma^*}u^*(z^*(s))\,\frac{\partial u}{\partial n^*}(z^*(s))\,ds^*.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Дальнейшая наша цель – заменить в (3.1) интеграл по кривой $\gamma^*$ интегралом по $\gamma$. Обозначим через $\overline{n}^*$ единичную внутреннюю нормаль к кривой $\gamma^*$ в точке $z^*(s)$, $\overline{n}$ – такая же нормаль к кривой $\gamma$ в точке $z(s)$; $\overline{l}^{\,*}$ – единичный касательный вектор кривой $\gamma^*$ в точке $z^*(s)$, ориентированный в направлении положительного обхода границы $B^*$, а $\overline{l}$ – аналогичный касательный вектор кривой $\gamma$ в точке $z(s)$. Пусть $\theta$ – угол между векторами $\overline{n}$ и $\overline{n}^*$. Тогда направляющие косинусы вектора $\overline{n}^*$ по отношению к паре векторов $\overline{l}$ и $\overline{n}$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\cos \alpha=\cos\biggl(\frac{\pi}{2}+\theta\biggr)=-\sin \theta, \qquad \cos \beta=\cos \theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Для нахождения $\operatorname{tg} \theta$ продифференцируем тождество (1.1) по натуральному параметру $s$ (на кривой $\gamma$) и выпишем отношение
$$
\begin{equation*}
\frac{(z^*(s))'}{z'(s)}=1+i\varepsilon\biggl(\varphi'(s) +\varphi(s)\frac{z''(s)}{z'(s)}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем Следовательно, равномерно по параметру $s$ ($z(s)\in \gamma$).
Теперь мы готовы оценить производную $\partial u/\partial n^*$ равномерно по $s$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\partial u}{\partial n^*}(z^*(s)) &=\frac{\partial u}{\partial l}(z^*(s))\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial n}(z^*(s))\cos\beta \\ \notag &=-\frac{\partial u}{\partial l}(z^*(s))\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial n}(z^*(s))\cos\theta \\ &=-\frac{\partial u}{\partial l}(z^*(s))\varphi'(s)\varepsilon+\frac{\partial u}{\partial n}(z^*(s))+O(\varepsilon^2) \notag \\ &=-\frac{\partial u}{\partial l}(z(s))\varphi'(s)\varepsilon+\frac{\partial^2 u}{\partial n^2}(z(s))\varphi(s)\varepsilon+O(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Покажем, что выполняется равенство равномерно по $s$. Для этого достаточно убедиться, что равномерно в $\overline{B}^*$. Функция $v_{\varepsilon}(z)$ непрерывна в $\overline{B}^*$, гармоническая в $B^*$, равна нулю на $\bigcup_{k=1}^n E_k$ и удовлетворяет условию $\partial v_{\varepsilon}/\partial n=0$ на $(\partial B^*)\setminus(\bigcup_{k=1}^n E_k\,{\cup}\,\gamma^*)$. Обозначим через $z_{\varepsilon}$ точку в $\overline{B}^*$, в которой $|v_{\varepsilon}|$ принимает максимальное значение в $\overline{B}^*$. Пусть $M_\varepsilon=|v_{\varepsilon}(z_\varepsilon)|$. По лемме Хопфа эта точка лежит на кривой $\gamma^*$. Пусть $\zeta_{\varepsilon}$ – точка в пересечении $B\cap B^*$ такая, что при некотором $R>0$ круг $|z-\zeta_{\varepsilon}|<R$ целиком лежит в $B^*$ и $|z_{\varepsilon}-\zeta_{\varepsilon}|=R$. Можно считать, что $R$ не зависит от расположения точки $z_{\varepsilon}$ на кривой $\gamma^*$. Пусть для определенности $v_{\varepsilon}(z_{\varepsilon})>0$. К функции $M_{\varepsilon}-v_{\varepsilon}$ и произвольной точке $z'\in (z_{\varepsilon},\zeta_{\varepsilon})$ применяем неравенство Гарнака
$$
\begin{equation*}
M_{\varepsilon}-v_{\varepsilon}(\zeta_{\varepsilon})\leqslant (M_{\varepsilon}-v_{\varepsilon}(z'))\frac{|z_\varepsilon-\zeta_\varepsilon| +|z'-\zeta_\varepsilon|}{|z_\varepsilon-\zeta_\varepsilon|-|z'-\zeta_\varepsilon|}\leqslant 2R\frac{v_\varepsilon(z_\varepsilon)-v_\varepsilon(z')}{|z_\varepsilon-z'|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $z'$ к $z_\varepsilon$, получаем оценку
$$
\begin{equation}
|v_\varepsilon(\zeta_\varepsilon)|=v_\varepsilon(\zeta_\varepsilon)\geqslant M_\varepsilon-2R\biggl|\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial n^*}(z_\varepsilon)\biggr|= M_\varepsilon-2R\biggl|\frac{\partial u}{\partial n^*}(z_\varepsilon)\biggr|=M_\varepsilon+O(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Аналогично доказывается итоговая оценка в (3.5) в случае $|v_\varepsilon(\zeta_\varepsilon)|=-v_\varepsilon(\zeta_\varepsilon)$.
Рассмотрим интегральное представление
$$
\begin{equation}
v_\varepsilon(\zeta_\varepsilon)=-\int_{\partial B^*} \biggl[\sigma(z,\zeta_\varepsilon)\,\frac{\partial v_\varepsilon}{\partial n}(z)-v_\varepsilon(z)\,\frac{\partial\sigma(z,\zeta_\varepsilon)}{\partial n}\biggr]\,|dz|.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Здесь $\sigma(z,\zeta)$ – произвольное нормированное фундаментальное решение уравнения Лапласа для области $B^*$ (см. [15; c. 255–257]). При достаточно малом $\varepsilon>0$ в качестве $\sigma(z,\zeta)$ можно взять функцию
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi}g_B\biggl(z,\zeta,\bigcup_{k=1}^n E_k\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
непрерывную по $z$ на $\overline{B}\setminus\{\zeta\}$, гармоническую в $\overline{B}\setminus(\bigcup_{k=1}^n E_k\cup \{\zeta\})$, равную нулю на $\bigcup_{k=1}^n E_k$, имеющую нулевую производную по нормали к $( \partial B)\setminus\bigcup_{k=1}^n E_k$ и особенность $-\frac{1}{2\pi}\log|z-\zeta|$ в окрестности точки $\zeta$ (см. [4; п. 2], [10; п. 2.1] и § 4 настоящей статьи). Из (3.6) и предыдущих выкладок вытекает, что для точек $\zeta_\varepsilon$, лежащих в достаточно малой окрестности точки сгущения множества $\{\zeta_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$, выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
|v_\varepsilon(\zeta_\varepsilon)|\leqslant\int_{\gamma^*} \biggl[\,\biggl|\sigma(z,\zeta_\varepsilon)\,\frac{\partial u}{\partial n^*}(z)\biggr|+\biggl|v_\varepsilon(z)\,\frac{\partial\sigma(z,\zeta_\varepsilon)}{\partial n}\biggr|\,\biggr]\,|dz|\leqslant O(\varepsilon)+M_\varepsilon O(\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (3.5), получаем, что $M_\varepsilon=O(\varepsilon)$. Следовательно, выполняются равенства (3.4) и (3.3). Суммируя равенства (3.1)–(3.3) и принимая во внимание (1.1), приходим к следующей вариационной формуле:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}C^*=\operatorname{cap}C+\varepsilon\int_{\gamma}u\biggl[\frac{\partial u} {\partial l}\varphi'(s)-\frac{\partial^2 u} {\partial n^2}\varphi(s)\biggr]\,ds+O(\varepsilon^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Формула (1.3) вытекает отсюда, если проинтегрировать по частям слагаемое под интегралом, включающее производную $\varphi'(s)$, и воспользоваться гармоничностью функции $u$ на кривой $\gamma$.
Теорема 2 доказана. Полученный результат представляет особый интерес в случае многосвязных областей $B$ или большого числа пластин конденсатора. Если же область $B$ односвязная (четырехсторонник), то емкость конденсатора с двумя пластинами на противоположных сторонах $B$ с уровнями потенциала 0 и 1 является величиной, обратной к емкости конденсатора в $B$ с пластинами на двух других сторонах четырехсторонника и такими же уровнями потенциала. Поэтому в условиях теоремы 2 для первого конденсатора можно применить формулу (1.2) для второго конденсатора. § 4. Вариации квадратичных формВсюду ниже будем придерживаться обозначений из книги [10]. Пусть $B$ – область расширенной комплексной плоскости, ограниченная конечным числом аналитических жордановых кривых. Пусть $\Gamma$ – непустое замкнутое подмножество $\partial B$, состоящее из конечного числа невырожденных жордановых дуг или замкнутых кривых, и пусть $\zeta$ – конечная точка области $B$. Обозначим через $g_B(z,\zeta,\Gamma)$ функцию Робена области $B$ с полюсом в точке $\zeta$ (см. [4]–[6]), т.е. вещественную непрерывную функцию $\overline{B}\setminus\{\zeta\}$, гармоническую в $\overline{B}\setminus (\Gamma\cup\{\zeta\})$ и удовлетворяющую следующим условиям:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_B(z,\zeta,\Gamma)=0 \quad\text{при }\ z\in \Gamma, \\ \frac{\partial}{\partial n}g_B(z,\zeta,\Gamma)=0 \quad\text{при }\ z\in (\partial B)\setminus\Gamma, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$g_B(z,\zeta,\Gamma)+\log|z-\zeta|$ – ограниченная гармоническая функция в окрестности точки $\zeta$. Если $\zeta=\infty$, то функция $g_B(z,\infty,\Gamma)$ определяется аналогично с той лишь разницей, что требуется гармоничность функции $g_B(z,\infty,\Gamma)-\log|z|$ в окрестности бесконечности. С помощью конформного отображения понятие функции Робена распространяется на произвольную конечносвязную область комплексной плоскости без изолированных граничных точек. Радиусом Робена области $B$ относительно точки $\zeta$ и множества $\Gamma$ назовем величину
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r(B,\Gamma,\zeta)=\exp\Bigl\{\lim_{z\to \zeta}[g_B(z,\zeta,\Gamma)+\log|z-\zeta|]\Bigr\}, \qquad \zeta \ne \infty, \\ r(B,\Gamma,\infty)=\exp\Bigl\{\lim_{z\to \infty}[g_B(z,\infty,\Gamma)-\log|z|]\Bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае, когда область $B$ односвязная, а $\Gamma$ – дуга на ее границе, величина $r(B,\Gamma,\zeta)$ встречается в литературе под разными названиями и обозначениями. В частности, $1/r(B,\Gamma,\infty)$ совпадает с емкостью Робена (см., например, [6] и [9]). При $\Gamma=\partial B$ функция Робена совпадает с функцией Грина $g_B(z,\zeta)$ области $B$ с полюсом в точке $\zeta$, а радиус Робена – с внутренним радиусом4 $r(B,\zeta)$. Естественно положить Теорема 3. Пусть $B$ – конечносвязная область плоскости $\overline{\mathbb{C}}$, ограниченная жордановыми кривыми, $\{z_k\}_{k=1}^n$ – совокупность различных точек в $B$ и $\{\delta_k\}_{k=1}^n$ – совокупность вещественных чисел, $n\geqslant 1$. Пусть $\Gamma$ – замкнутое непустое подмножество границы $\partial B$, состоящее из конечного числа невырожденных связных компонент, $\gamma$ – объединение конечного числа замкнутых аналитических дуг или замкнутых кривых в $\mathbb{C}$, лежащих на границе $B$, $\gamma^*$ – объединение кривых, полученных из $\gamma$ деформацией вида (1.1), при которой носитель функции $\varphi(s)$ расположен на открытом подмножестве $\gamma$, и, наконец, $B^*$ – область, ограниченная кривыми $((\partial B)\setminus\gamma)\cup \gamma^*$. Если $\gamma\subset \Gamma$, то справедлива вариационная формула
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n\delta_k\delta_l g_{B^*}(z_k,z_l,(\Gamma\setminus \gamma)\cup\gamma^*) \\ &\qquad =\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n\delta_k\delta_l g_B(z_k,z_l,\Gamma) -\frac{\varepsilon}{2\pi}\int_\gamma\biggl(\frac{\partial g}{\partial n}\biggr)^2\varphi(s)\,ds+O(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
В случае $\gamma\subset (\partial B)\setminus\Gamma$ имеет место формула
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n\delta_k\delta_l g_{B^*}(z_k,z_l,\Gamma) \\ &\qquad =\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n\delta_k\delta_l g_B(z_k,z_l,\Gamma) +\frac{\varepsilon}{2\pi}\int_\gamma \biggl(\frac{\partial g}{\partial l}\biggr)^2\varphi(s)\,ds+O(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Здесь $g(z)=\sum_{k=1}^n \delta_kg_B(z,z_k,\Gamma)$, $\partial/\partial n$ означает дифференцирование вдоль нормали к кривой $\gamma$, а $\partial/\partial l$ – дифференцирование по касательной к этой кривой. Доказательство. Привлекая конформные отображения, можем считать, что область $B\subset \mathbb{C}$ ограничена конечным числом аналитических жордановых кривых и числа $\delta_k$ отличны от нуля, $k=1,\dots,n$. При достаточно малом $r>0$ рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u(z) =-\frac{1}{\log r}\sum_{k=1}^n \delta_k g_B(z,z_k,\Gamma) \\ &\ -\frac{1}{(\log r)^2}\biggl\{\sum_{k=1}^n\delta_k[\log r(B,\Gamma,z_k)]g_B(z,z_k,\Gamma) +\sum_{k=1}^n\delta_k\sum_{{\substack{{l=1} \\ {l \neq k}}}}^n g_B(z_l,z_k,\Gamma)g_B(z,z_l,\Gamma)\biggr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и множества
Функция $u$ непрерывная на множестве $\overline{B}\setminus \bigcup_{k=1}^n\{z_k\}$, гармоническая в $B\setminus \bigcup_{k=1}^n\{z_k\}$ и удовлетворяет следующим условиям: $\bullet$ $u=0$ на $\Gamma$; $\bullet$ $u=\delta_k$ на $\partial E(z_k,r)$, $k=1,\dots,n$; $\bullet$ $\partial u/\partial n=0$ на $(\partial B)\setminus \Gamma$ (см. [10; доказательство теоремы 2.2]). Таким образом, функция $u$ является потенциальной для конденсатора
$$
\begin{equation*}
C=(B,\{\Gamma,\partial E(z_1,r),\dots,\partial E(z_n,r)\},\{0,\delta_1,\dots,\delta_n\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть выполняется включение $\gamma\subset \Gamma$. Положим
$$
\begin{equation*}
C^*=(B^*,\{(\Gamma\setminus\gamma)\cup \gamma^*,\partial E(z_1,r),\dots,\partial E(z_n,r)\},\{0,\delta_1,\dots,\delta_n\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Повторяя дословно доказательство теоремы 1, убеждаемся в справедливости формулы вида (1.2), т.е. получаем
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}C^*=\operatorname{cap}C+\varepsilon\int_{\gamma}\biggl(\frac{\partial u}{\partial n}\biggr)^2\varphi(s)\,ds+O\biggl(\biggl(\frac{\varepsilon}{\log r}\biggr)^2\biggr)
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
равномерно по $r$ и $\varepsilon$. По теореме 2.2 из [10]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{cap}C^* &=-\frac{2\pi}{\log r}\sum_{k=1}^n\delta_k^2 \\ &\qquad-\frac{2\pi}{(\log r)^2}\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n\delta_k\delta_l g_{B^*}(z_k,z_l,(\Gamma\setminus \gamma)\cup\gamma^*)+o\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr), \\ \operatorname{cap}C &=-\frac{2\pi}{\log r}\sum_{k=1}^n\delta_k^2-\frac{2\pi}{(\log r)^2}\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n\delta_k\delta_l g_{B}(z_k,z_l,\Gamma)+o\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr), \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad r\to 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эти разложения в (4.3), после простых действий получаем формулу (4.1).
Пусть теперь $\gamma\subset (\partial B)\setminus\Gamma$. В этом случае рассмотрим конденсатор
$$
\begin{equation*}
C^*=(B^*,\{\Gamma,\partial E(z_1,r),\dots,\partial E(z_n,r)\},\{0,\delta_1,\dots,\delta_n\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Повторяя доказательство теоремы 2, приходим к равенству вида (1.3) с функцией $u$, определенной выше, и оценкой $O(({\varepsilon}/{\log r})^2)$ (вместо $O(\varepsilon^2)$), равномерной по $r$ и $\varepsilon$. Завершаем доказательство применением теоремы 2.2 из [10], как это было сделано при доказательстве формулы (4.1).
Теорема 3 доказана. В литературе хорошо известны различные версии равенства (4.1) в случае односвязной области $B$, $\Gamma=\partial B$ и $n=1$ (см., например, [2; п. 63], [3; § 12], [16; леммы 6 и 7]). В терминах конформных отображений формула (4.1) дает вариационную формулу для модуля производной как во внутренних, так и в граничных точках области определения. В случае $\Gamma=\partial B$ формула (4.1) вытекает из вариационной формулы Адамара (см. [1; (П.3.3)]). При $\Gamma\ne \partial B$, $n=1$, $z_1=\infty$ формулы (4.1) и (4.2) дают вариации емкости Робена. Этот случай для односвязной области $B$ подробно рассмотрен С. Р. Насыровым в терминах конформных отображений (см. [9; теоремы 5 и 6]). Кроме того, в [9] даны приложения полученных результатов к оценке вариации подъемной силы аэродинамического профиля. В общем случае квадратичные формы из теоремы 3 рассматривались также в работах [4], [12]. В [17] получены общие неравенства для таких квадратичных форм, содержащие приведенные модули полос и полуполос, с приложением к задачам об экстремальном разбиении и смежным проблемам геометрической теории функций. БлагодарностиАвтор выражает благодарность Л. В. Ковалеву за важную информацию к настоящей работе, а также благодарит рецензентов за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dub24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|