| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О единственности рядов по общей системе Франклина Г. Г. Геворкян Ереванский государственный университет, Республика Армения
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9933e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеИсследования единственности рядов по некоторым классическим ортогональным системам занимают важное место в теории рядов по этим системам. В теории единственности тригонометрических рядов основополагающее значение имеет теорема Кантора (см. [1], а также [2; гл. 1, § 70]) о том, что если тригонометрический ряд всюду сходится к нулю, то все коэффициенты этого ряда равны нулю. Далее многие авторы занимались исследованием вопросов единственности тригонометрических рядов. С работ [3]–[5] начались исследования вопросов единственности рядов по системе Хаара, в которых была доказана теорема типа Кантора для рядов Хаара. В работе [6] доказаны также аналоги теоремы Валле-Пуссена для рядов по системам Хаара и Уолша, коэффициенты которых удовлетворяют некоторым необходимым условиям. Отметим, что исследования вопросов единственности рядов по тригонометрической системе, а также по системам Уолша, Хаара и их обобщений продолжаются по сей день (см., например, [7]–[14]). Исследования вопросов единственности для рядов по системе Франклина начались недавно. Определение ортонормированной системы Франклина $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ (а также общей системы Франклина) будет дано ниже. В работе [15] анонсирована, а в работе [16] доказана следующая теорема. Теорема 1. Если ряд по системе Франклина всюду сходится к нулю, то все коэффициенты этого ряда равны нулю. Далее в работе [17] была доказана следующая теорема. Теорема 2. Если ряд по системе Франклина всюду сходится к всюду конечной интегрируемой функции $f$, то он является рядом Фурье–Франклина этой функции. В работе [18] указано, что любое одноточечное множество не является множеством единственности для рядов Франклина, т.е. для любого $x_0\in[0,1]$ существует нетривиальный ряд по системе Франклина, который всюду, кроме точки $x_0$, сходится к нулю. Коэффициенты этих рядов удовлетворяют соотношению В связи с этим отметим следующую теорему (см. [17; теорема 2.5]).Теорема 3. Если ряд Франклина $\sum_{n=0}^{\infty}a_nf_n(x)$ с коэффициентами по мере сходится к интегрируемой функции $f$ и всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества, выполняется то этот ряд является рядом Фурье–Франклина функции $f$. З. Вронич (см. [19]) построил нетривиальный ряд Франклина, для которого выполняется
$$
\begin{equation}
\lim_{k\to\infty}\sum_{n=0}^{2^k}a_nf_n(x)=0 \quad\text{для любого}\ \ x\in[0,1].
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
В работе [17] была поставлена задача: будут ли все коэффициенты $a_n$ равняться нулю, если выполняются условия (1.1) и (1.2)? В работе [20] З. Вронич дал положительный ответ на этот вопрос. Теорема 4 (З. Вронич). Если выполняются условия (1.1) и (1.2), то все коэффициенты $a_n$ равны нулю. В работе [21] методами, отличными от методов, примененных З. Вроничем в [20], доказана следующая теорема. Теорема 5. Пусть частичные суммы $S_{n_i}(x):=\sum_{k=0}^{n_i}a_kf_k(x)$ ряда $\sum_{k=0}^{\infty}a_kf_k(x)$ с коэффициентами (1.1) по мере сходятся к ограниченной функции $f$ и где $B$ – некоторое счетное множество. Тогда этот ряд является рядом Фурье–Франклина функции $f$. В работе [22] теорема 5 распространена на некоторый класс общих систем Франклина. Формулировка этой теоремы, а также основные результаты настоящей работы будут даны после определения общей системы Франклина. В работе используются следующие обозначения:
§ 2. Определение общей системы Франклина, формулировка основных результатов и некоторые предварительные леммыДля формулировки результатов, следуя работе [23], определим общую систему Франклина. Определение 1. Последовательность точек $\mathcal{T}=\{t_n\colon n\geqslant 0\}$ назовем допустимой, если $t_0=0$, $t_1=1$, $t_n\in(0,1)$ для любого $n\geqslant2$, $\mathcal{T}$ всюду плотно в $[0, 1]$ и каждая точка $t\in(0,1)$ встречается в $\mathcal{T}$ не более чем два раза. Пусть $\mathcal{T}=\{t_n\colon n\geqslant 0\}$ – допустимая последовательность. Для $n\geqslant 1$ обозначим $\mathcal{T}_n=\{t_i\colon 0\leqslant i\leqslant n\}$. Пусть $\pi_n$ получается из $\mathcal{T}_n$ неубывающей перестановкой: $\pi_n=\{\tau_{n,i}\colon \tau_{n,i}\leqslant\tau_{n,i+1},\, 0\leqslant i\leqslant n\}$, $\pi_n=\mathcal{T}_n$. Тогда через $\mathbf{S}_n$ обозначим пространство функций, определенных на $[0, 1]$, непрерывных слева, линейных на $(\tau_{n,i}, \tau_{n,i+1})$ и непрерывных в $\tau_{n,i}$, если $\tau_{n,i-1}<\tau_{n,i}<\tau_{n,i+1}$ для любого $i=0, 1, \dots, n$. Ясно, что $\dim \mathbf{S}_n=n+1$ и $\mathbf{S}_{n-1}\subset \mathbf{S}_n$. Следовательно, существует (с точностью до знака) единственная функция $f_n\in \mathbf{S}_n$, которая ортогональна $\mathbf{S}_{n-1}$, и $\| f_n\|_2=1$. Эту функцию назовем $n$-й функцией Франклина, соответствующей разбиению (последовательности) $\mathcal{T}$. Назовем разбиение простым, если каждая точка $t\in(0,1)$ встречается в $\mathcal{T}$ не более чем один раз. В дальнейшем мы будем исследовать только случай простых разбиений. Определение 2. Общая система Франклина $\{f_n \colon n\geqslant 0\}$, соответствующая разбиению $\mathcal{T}$, определяется по правилу и для $n\geqslant 2$ $f_n$ есть $n$-я функция Франклина, соответствующая разбиению $\mathcal{T}$. Отметим, что когда
$$
\begin{equation*}
t_n=\frac{2m-1}{2^{k+1}},\quad \text{где }\ n=2^k+m,\quad k=0,1,2,\dots,\quad m=1,2,\dots, 2^k,
\end{equation*}
\notag
$$
получается классическая система Франклина, эквивалентным образом определенная в [24]. В работе [25] доказано, что для каждой последовательности узлов $\mathcal{T}$ соответствующая общая система Франклина является базисом в $L^p[0, 1]$, $1\leqslant p<\infty$, и если все узлы из $\mathcal{T}$ простые, то соответствующая общая система Франклина является базисом в $C[0, 1]$. В [26] Г. Геворкян и А. Камонт доказали, что общая система Франклина является безусловным базисом в пространствах $L^p[0,1]$, $1<p<\infty$. Следуя работе [23], введем следующие определения. Определение 3. Допустимая последовательность $\mathcal{T}$ называется квазидвоичным разбиением отрезка $[0, 1]$, если $\tau_{j+1,2k}=\tau_{j,k}$ для всех $j, k$, $0\leqslant k\leqslant 2^j$, т.е. $\pi_{2^{j+1}}$ получается из $\pi_{2^{j}}$ прибавлением по одной точке в каждом интервале $(\tau_{j,k}, \tau_{j,k+1})$ для всех $1\leqslant k\leqslant 2^j$. Определение 4. Допустимая последовательность $\mathcal{T}$ называется сильно регулярной с параметром $\gamma$, если $\gamma^{-1}\leqslant\lambda_{n,i+1}/\lambda_{n,i}\leqslant\gamma$ для всех $n\geqslant2$, $i=1, 2, \dots, n$. Здесь и далее $\lambda_{n,i}=\tau_{n,i}-\tau_{n,i-1}$. В настоящей работе мы рассматриваем только сильно регулярные последовательности $\mathcal T$ с фиксированным параметром $\gamma$. Предполагается также, что $\mathcal T$ удовлетворяет следующему условию. Для фиксированных $x\,{\in}\,(0, 1)$ и натурального $n$ обозначим $\Delta_{n,x}{\kern1pt}{:=}\,[\tau_{n,i}, \tau_{n,i+1}]$ с условием $x\in\Delta_{n,x}$. Для фиксированных $x$ последовательность $m_{j}$ такая, что $[0,1]=\Delta_{m_1,x}\supset\Delta_{m_2,x}\supset \dots\supset\Delta_{m_{j},x}\supset \dotsb$ и $\Delta_{m_j,x}\neq\Delta_{m_{j+1},x}$ для $j=1,2,\dots $ . Далее предполагается, что разбиение $\mathcal T$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
\kappa_1:=\sup_{x\in[0,1]}\sup_j\operatorname{card}\{p\colon \ [\tau_{m_{j+1},p}, \tau_{{m_{j+1}},p+1}]\subset\Delta_{m_j,x}\}<\infty.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Для последовательности $n_i$ предполагается, что
$$
\begin{equation}
\kappa_2:=\sup_i\sup_{j,p}\biggl\{\frac{\lambda_{n_i,j}}{\lambda_{n_{i+1},p}}\colon [\tau_{n_{i+1},p-1},\tau_{n_{i+1},p}]\subset[\tau_{n_i,j-1},\tau_{n_i,j}]\biggr\}<\infty.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Сильно регулярная последовательность $\mathcal T$ и последовательность $n_i$ удовлетворяют условиям (2.1) и (2.2), например, если $\mathcal T$ квазидвоичная и выполняется (1.3). Отметим, что для классической системы Франклина $\kappa_1=2$, и если выполняется (1.3), то выполняется (2.2). Далее мы рассматриваем только сильно регулярные разбиения $\mathcal T$ с параметром $\gamma$ и общую систему Франклина $\{f_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$, соответствующую разбиению $\mathcal T$. Также предполагается, что для общей системы Франклина выполняется условие (2.1), а для последовательности $n_i$ выполняется (2.2). Введем также следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, t_n^-:=\max\{\tau_{n,i}\colon \tau_{n,i}<t_n\}, \qquad t_n^+:=\min\{\tau_{n,i}\colon t_n<\tau_{n,i}\}, \\ \Delta_n=[t_n^-, t_n^+], \qquad \delta_n= \operatorname{mes}(\Delta_{n}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Верна следующая теорема. Теорема 6. Пусть коэффициенты ряда удовлетворяют условию частичные суммы по мере сходятся к интегрируемой функции $f$ и удовлетворяют условию где $B$ – некоторое счетное множество. Тогда этот ряд является рядом Фурье–Франклина функции $f$. Из этой теоремы немедленно следует следующая теорема. Теорема 7. Если частичные суммы (2.5) ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nf_n(x)$ с коэффициентами (2.4) всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества, сходятся к всюду конечной интегрируемой функции $f$, то этот ряд является рядом Фурье–Франклина функции $f$. Замечание 1. Для любого простого разбиения $\mathcal T$ и общей системы Франклина, соответствующей разбиению $\mathcal T$, имеет место Замечание 2. Аналог теоремы 1 не доказан (и не опровергнут) для какой-нибудь общей системы Франклина. Для классической системы Франклина эти теоремы будут звучать следующим образом (в теоремах 8 и 9 $\{f_n\}$ – классическая система Франклина). Теорема 8. Пусть Теорема 9. Пусть выполняется (2.7) и где $B$ – некоторое счетное множество, а $f$ – всюду конечная интегрируемая функция. Тогда $a_n$ являются коэффициентами Фурье–Франклина функции $f$. Пусть $\delta_{j k}$ – символ Кронекера, т.е. $\delta_{j k}=1$, если $j=k$, и $\delta_{j k}=0$, если $j \neq k$. Для $n \geqslant 2$ функции $\{N_{n, j}(t)\}_{j=0}^{n}$ определяются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
N_{n, j}(x)= \begin{cases} \delta_{j k}, & \text{когда } x=\tau_{n, k}, \quad k=0, \dots, n, \\ \text {линейная} & \text{на }[\tau_{n, k-1},\tau_{n, k}], \quad k=1, \dots, n . \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $\{N_{n, j}(t)\}_{j=0}^{n}$ нормированы в пространстве $C[0,1]$, и из $N_{n, j}(s_{n, k})=\delta_{j k}$ следует, что система $\{N_{n, j}(t)\}_{i=0}^{n}$ образует базис в $\mathbf{S}_{n}$. Обозначив (полагая $\tau_{n,-1}=0$ и $\tau_{n,n+1}=1$)
$$
\begin{equation*}
M_{n, j}(t):=\frac{2}{\tau_{n, j+1}-\tau_{n, j-1}} N_{n, j}(t),
\end{equation*}
\notag
$$
получим другой базис в $\mathbf{S}_{n}$, который уже нормирован в $L[0, 1]$. Обозначим $\Delta_{n, j}:=[\tau_{n, j-1}, \tau_{n, j+1}]$. Очевидно, $\Delta_{n, j}=\operatorname{supp} N_{n, j}=\operatorname{supp} M_{n, j}$. Чтобы немного упростить обозначения, с учетом фиксированности $n_{i}$, удовлетворяющей (2.2), введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta_{j}^{i}:=\Delta_{n_{i}, j}, \qquad \tau_{j}^{i}:=\tau_{n_{i}, j}, \\ N_{j}^{i}(x):=N_{n_{i}, j}(x), \qquad M_{j}^{i}(x):=M_{n_{i}, j}(x). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [16] введено понятие скалярного произведения ряда (2.3) на функцию $g\in \mathbf S_n$. Это понятие успешно применялось в исследованиях единственности рядов по системе Франклина. Из определения общей системы Франклина для $m>n$ имеем $f_m\,{\bot}\, \mathbf S_{m-1}$ и $\mathbf S_n\subset \mathbf S_{m-1}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_0^1f_m(t)g(t)\,dt=0, \quad\text{когда}\ \ m>n, \quad g\in \mathbf S_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для любого ряда (2.3) и функции $g\in \mathbf S_n$ можно определить их скалярное произведение по правилу
$$
\begin{equation*}
(\mathcal S, g):=\sum_{m=0}^{\infty}a_m\int_0^1f_m(t)g(t)\,dt= \sum_{m=0}^{n}a_m\int_0^1f_m(t)g(t)\,dt=\int_0^1S_n(t)g(t)\,dt;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь и в дальнейшем через $\mathcal S$ формально обозначен ряд (2.3). Нетрудно заметить, что для любых $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $g_1, g_2\in \mathbf S_n$ имеет место
$$
\begin{equation*}
(\mathcal S, \alpha g_1+\beta g_2)= \alpha(\mathcal S, g_1)+\beta(\mathcal S, g_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Для любого $M^{i_0}_{j_0}$ и $i>i_0$ имеет место причем $0\leqslant \alpha^{(i)}_j\leqslant {\lambda_{n_i,j}}/{\lambda_{n_{i_0},j_0}}$ и $\sum_j\alpha^{(i)}_j=1$. Действительно, для этого достаточно заметить, что
$$
\begin{equation*}
M^{i_0}_{j_0}(t)=\sum_{j\colon \operatorname{supp}M^{i}_j\subset \operatorname{supp}M^{i_0}_{j_0}}\alpha^{(i)}_jM^{i}_j(t), \quad\text{причем} \ \ \alpha^{(i)}_j= \frac{M^{i_0}_{j_0}(s^{i}_j)}{M^{i}_j(s^{i}_j)},
\end{equation*}
\notag
$$
и воспользоваться тем, что интегралы функций $M^{i_0}_{j_0}$ и $M^{i}_j$ равны единице. Эта лемма доказана в работе [27] (см. там лемму 3). Следующие леммы доказаны в работе [22] (см. там леммы 3.2, 3.1 и 3.5 соответственно). Лемма 3. Если коэффициенты $a_{n}$ ряда по общей системе Франклина удовлетворяют условию (2.4), то для любого $x\in(0, 1)$ где $\Delta_{n,x}=[\tau_{n,i}, \tau_{n,i+1}]$ для некоторого $i$ с условием $x\in\Delta_{n,x}$. Лемма 3 доказана в работе [22] с применением условия (2.1). Лемма 4. Если $f$ – интегрируемая функция и $a_n$ – ее коэффициенты Фурье–Франклина, то $a_n=o(\delta_n^{-1/2})$. Лемма 5. Пусть для некоторого $M^{i_0}_{j_0}$ ряд (2.3) с коэффициентами (2.4) удовлетворяет условию Тогда для любого $x_0\in[0,1]$ существуют такие $i$ и $j$, что § 3. Основная леммаДля интегрируемой функции $f$ из теоремы 6 обозначим
$$
\begin{equation}
b_k:=\int_0^1f(t)f_n(t)\,dt, \qquad S^{(i)}_f(x):=\sum_{i=0}^{n_i}b_kf_k(x).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Известно, что при любой общей системе Франклина, если
$$
\begin{equation*}
S^{\star}_f(x):=\sup_n\biggl|\sum_{k=0}^nb_kf_k(x)\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
то (см. [25]) где $\mathcal M(f,x)$ – максимальная функция Харди–Литтлвуда функции $f$. Из этого неравенства следует (см., например, [29; гл. 2, § 1]), что
$$
\begin{equation}
\lim_{\lambda\to\infty}\bigl(\lambda\operatorname{mes}\{x\in[0,1]\colon S^{\star}_f(x)>\lambda\}\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Пусть $\widetilde{\mathcal S}$ – разность ряда (2.3) и ряда Фурье–Франклина функции $f$, т.е.
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal S}=\sum_{k=0}^{\infty}c_kf_k(x), \quad\text{где}\ \ c_k=a_k-b_k.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Чтобы доказать теорему 6, нужно доказать, что $c_k=0$ для всех $k$. При доказательстве этого основную роль сыграет следующая лемма. Основная лемма. Пусть ряд (2.3) с коэффициентами (2.4) сходится по мере к $f$ на $\Delta^{i_0}_{j_0}$ и Тогда для любого $K>0$ найдутся такие $i$ и $j$, что выполняется Доказательство. Обозначим Очевидно, что множество $A_m$ является открытым множеством и $A_m\subset A_{m+1}$. Положим Множество $A$ тоже открытое и как любое открытое множество является объединением непересекающихся открытых интервалов, т.е.
Не исключено, что множество $A$ является пустым множеством. Допустим, что $A\neq\varnothing$ и существуют такие $i$ и $j$, что $\Delta^i_j\subset A$ и $(\widetilde{\mathcal S}, M^i_j)\neq 0$. Учитывая, что $A_m$ – открытые множества и $A_m\subset A_{m+1}$, получим, что $\Delta^i_j\subset A_m$ для некоторого $m$. Это означает, что если $x\in\Delta_j^i$, то $x\in A^p$ для некоторого $p$, $i_0\leqslant p\leqslant m$, т.е.
$$
\begin{equation*}
|\widetilde{\mathcal S}^{(p)}(x)|>K+|S^{(p)}_f(x)| \quad\text{для некоторого}\ \ p\in[i_0, m].
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует (см. (3.1), (3.3)), что если $x\in\Delta^i_j$, то $|S^{(p)}(x)|>K$ для некоторого $p\in[i_0, m].$ Очевидно, что тогда $i$ и $j$ будут искомыми.
Напомним, что мы не исключаем случай, когда $A=\varnothing$. Этот случай отдельного рассмотрения не требует. Теперь допустим, что
$$
\begin{equation}
(\widetilde{\mathcal S}, M^i_j)=0, \quad\text{если}\ \ \Delta^i_j\subset A.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
По определению множеств $A^p$, если $x\notin A$, то $|\widetilde{\mathcal S}^{(p)}(x)|\leqslant K+|S_f^{(p)}(x)|$, когда $p\geqslant i_0$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\sup_{p\geqslant i_0}|\widetilde{\mathcal S}^{(p)}(x)|\leqslant K+S^{\star}_f(x), \quad\text{когда}\ \ x\notin A.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
С учетом (3.6) и (3.2) найдем такое $\lambda$, что выполняется
$$
\begin{equation}
\lambda>\kappa_2^2\max(1,d), \qquad \lambda\operatorname{mes}(E_{\lambda})<\varepsilon_1:=\frac{\min(1,d)\operatorname{mes}(\Delta^{i_0}_{j_0})}{25000\kappa_2^3\gamma^2},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
E_{\lambda}:=\Bigl\{x\in\Delta^{i_0}_{j_0}\colon \sup_i|\widetilde{\mathcal S}^{(i)}(x)|>\lambda\Bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Найдем $q_0$ такое, что (если $A=\varnothing$, то никакого $q_0$ искать не нужно)
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl(\bigcup_{q\geqslant q_0}I_q\biggr) < \frac{\varepsilon_1}{\lambda}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
P:=\bigcup_{q<q_0}I_q, \qquad Q:=\bigcup_{q\geqslant q_0}I_q.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
G:=E_{\lambda}\cup Q, \qquad D:=\biggl\{x\in\Delta^{i_0}_{j_0}\colon \mathcal M_\mathcal T(\chi_G,x)>\frac{1}{6\kappa_2\gamma}\biggr\},
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где $\mathcal M_\mathcal T(\chi_G,x)$ – максимальная функция характеристической функции множества $G$ по сегментам $[s^i_j,s^i_{j+1}]$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\mathcal M_\mathcal T(\chi_{G},x):=\sup_{x\in[s^i_j,s^i_{j+1}]} \frac{\operatorname{mes}(G\cap[s^i_j,s^i_{j+1}])}{s^i_{j+1}-s^i_{j}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что если $A=\varnothing$, то $P=Q=\varnothing$. А вообще, из (3.8)–(3.11) имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}(G)<\frac{2\varepsilon_1}{\lambda},
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}(D)<30\cdot\kappa_2\gamma\cdot\operatorname{mes}(G) <\frac{60\min(1,d)\operatorname{mes}(\Delta^{i_0}_{j_0})}{25000\kappa_2^2\gamma\lambda}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
По индукции построим представления
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag M^{i_0}_{j_0}(x) &=\sum_{\nu=i_0}^i\sum_{\Delta^{\nu}_j\subset P}\alpha^{(\nu)}_jM^{\nu}_j(x)+ \sum_{\nu=i_0+1}^i\sum_{\Delta^{\nu}_j\subset D}\alpha^{(\nu)}_jM^{\nu}_j(x) +\sum_{\substack{\Delta^i_j\not\subset P\\ \Delta^i_j\not\subset D}}\alpha^{(i)}_jM^i_j(x) \\ &=:\Sigma^i_1(x)+\Sigma^i_2(x)+\Sigma^i_3(x), \qquad i>i_0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
с коэффициентами
$$
\begin{equation}
\alpha^{(\nu)}_j\geqslant 0, \qquad \sum_{\nu=i_0}^i\sum_j\alpha^{(\nu)}_j=1.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Для $i=i_0+1$ из леммы 1 имеем
$$
\begin{equation}
M^{i_0}_{j_0}(x)=\sum_{j\colon \Delta^{i_0+1}_j\subset\Delta^{i_0}_{j_0}}\alpha^{(i_0+1)}_jM^{i_0+1}_j(x).
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Заметим, что при любом $j$ имеет место $\Delta^{i_0+1}_j\not\subset D$. Действительно, если бы имело место $\Delta^{i_0+1}_j\subset D$, то выполнялось бы (см. (2.2)) неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}(G)\geqslant \operatorname{mes}(\Delta^{i_0+1}_j\cap G)\geqslant \frac{1}{6\kappa_2\gamma}\operatorname{mes}(\Delta^{i_0+1}_{j_0})> \frac{\operatorname{mes}(\Delta^{i_0}_{j_0})}{6\kappa^2_2\gamma},
\end{equation*}
\notag
$$
которое противоречило бы (3.12) и (3.7).
Слагаемые в сумме (3.16), для которых $\Delta^{i_0+1}_j\subset P$, отнесем к сумме $\Sigma^{i_0+1}_1(x)$, остальные слагаемые отнесем к сумме $\Sigma^{i_0+1}_3(x)$. Таким образом, завершим первый шаг индукции. Допустим, для $i$ имеем представление (3.14). Получим (3.14) для $i+1$. Применив лемму 1 к слагаемым $M^i_j$, входящим в $\Sigma^i_3$, и складывая подобные слагаемые, получим некую сумму Слагаемые в сумме (3.17), для которых $\Delta_j^{i+1}\subset P$, отнесем к сумме $\Sigma^{i+1}_1(x)$, а слагаемые, для которых $\Delta_j^{i+1}\subset D$, отнесем к $\Sigma^{i+1}_2(x)$. Остальные слагаемые отнесем к сумме $\Sigma^{i+1}_3(x)$. Таким образом, для каждого $i$ получим представление (3.14). Выполнение (3.15) очевидно. Тогда для каждого $i$ из представления (3.14) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (\widetilde{\mathcal S}, M^{i_0}_{j_0})&=\sum_{\nu=i_0}^i\sum_{\Delta^{\nu}_j\subset P}\alpha^{(\nu)}_j(\widetilde{\mathcal S}, M^{\nu}_j)+ \sum_{\nu=i_0+1}^i\sum_{\Delta^{\nu}_j\subset D}\alpha^{(\nu)}_j(\widetilde{\mathcal S}, M^{\nu}_j) \\ &\qquad +\sum_{\substack{\Delta^i_j\not\subset P \\ \Delta^i_j\not\subset D}}\alpha^{(i)}_j(\widetilde{\mathcal S},M^i_j)=:\sigma^i_1+\sigma^i_2+\sigma^i_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Сумма $\sigma_1^i$ равна нулю по предположению (см. (3.5)).
Докажем, что (см. (3.14))
$$
\begin{equation}
|(\widetilde{\mathcal S}, M^i_j)|\leqslant 2\lambda, \quad\text{если}\ \ M^i_j(x)\text{ входит в сумму }\sigma^i_2.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Если бы выполнялось $|(\widetilde{\mathcal S}, M^i_j)|> 2\lambda $, то в силу леммы 4 выполнялось бы
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\{x\in\Delta^i_j\colon |\widetilde{\mathcal S}^{(i)}(x)|>\lambda\}\geqslant\frac{\operatorname{mes}(\Delta^i_j)}{3(\gamma+1)}.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Пусть $\Delta^{i-1}_{\nu}$– интервал с условием $\Delta^i_j\subset\Delta^{i-1}_{\nu}$. Тогда из (3.20) следует (см. также (2.2))
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}\{x\in\Delta^{i-1}_{\nu}\colon |\widetilde{\mathcal S}^{(i)}(x)|\geqslant\lambda\}\geqslant\frac{\operatorname{mes}(\Delta^{i-1}_{\nu})}{3(\gamma+1)\cdot \kappa_2}>\frac{\operatorname{mes}(\Delta^{i-1}_{\nu})}{6\gamma\cdot \kappa_2},
\end{equation*}
\notag
$$
что означает $\Delta^{i-1}_{\nu}\,{\subset}\, D$. Но это невозможно по построению представления (3.14). Следовательно, выполняется (3.19). Из этого следует, что (см. (3.11)–(3.14) и (3.7))
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\sigma_2^i| &\leqslant 2\lambda\sum_{\Delta^i_j\subset D}\alpha^{(i)}_j=2\lambda\int\sum_{\Delta^i_j\subset D}\alpha^{(i)}_jM^i_j(x)\,dx\leqslant 2\lambda \int_DM^{i_0}_{j_0}(x)\,dx \\ &\leqslant 2\lambda\cdot\operatorname{mes}(D)\cdot\|M^{i_0}_{j_0}\|_{\infty} <2\lambda\frac{d\operatorname{mes}(\Delta^{i_0}_{j_0})}{400\lambda} \,\frac{2}{\operatorname{mes}(\Delta^{i_0}_{j_0})}<\frac{d}{100}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Известно, что $S_f^{(i)}(x)$ сходится к $f(x)$ п.в. (см. [25]). Следовательно, ряд $\widetilde{\mathcal S}(x)$ сходится по мере к нулю. Тогда для достаточно больших $i$ будет выполняться
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl\{x\in\Delta^{i_0}_{j_0}\colon |\widetilde{\mathcal S}^{(i)}(x)|>\frac{d}{4}\biggr\} <\varepsilon_2:=\frac{d\operatorname{mes}(\Delta^{i_0}_{j_0})}{100\gamma\lambda}.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^i:=\{j\colon \Delta^i_j\subset \Delta^{i_0}_{j_0},\, \Delta^i_j\not\subset P,\, \Delta^i_j\not\subset D\}, \\ H^i_1:=\{j\in H^i\colon \Delta^i_j\cap P\neq \varnothing\}, \qquad H^i_2:=\{j\in J^i\colon \Delta^i_j\cap P=\varnothing\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\sigma^i_3=\sum_{j\in H^i_1}\alpha^{(i)}_j(\widetilde{\mathcal S}, M^i_j)+\sum_{j\in H^i_2}\alpha^{(i)}_j(\widetilde{\mathcal S}, M^i_j)=:h^i_1+h^i_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\operatorname{card}(H^i_1)\leqslant 4q_0$. В силу лемм 3 и 4 для $j\in H^i_1$ имеем
$$
\begin{equation}
\alpha^{(i)}_j|(\mathcal S,M^i_j)|=\alpha^{(i)}_j|(S^{(i)},M^i_j)|\leqslant\alpha^{(i)}_j \max_{x\in\Delta^i_j}|\widetilde{\mathcal S}^{(i)}(x)|=\alpha^{(i)}_jo((\operatorname{mes}(\Delta^i_j))^{-1}).
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Из (3.14) имеем
$$
\begin{equation}
\alpha^{(i)}_j=\alpha^{(i)}_j\int_{\Delta^i_j}M^i_j(x)\,dx \leqslant\int_{\Delta^{i}_{j}}M^{i_0}_{j_0}(x)\,dx \leqslant\|M^{i_0}_{j_0}\|_{\infty}\cdot\operatorname{mes}(\Delta^i_j).
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Учитывая, что $\operatorname{card}(H^i_1)\leqslant 4q_0$, из (3.23) и (3.24) получим
$$
\begin{equation}
|h^i_1|<\frac{d}{4} \quad\text{для достаточно больших}\ \ i.
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J^i_1:=\biggl\{j\in H^i_2\colon |(\widetilde{\mathcal S}, M^i_j)|>\frac{d}{2} \text{ и }j\text{ нечетное}\biggr\}, \\ J^i_2:=\biggl\{j\in H^i_2\colon |(\widetilde{\mathcal S}, M^i_j)|>\frac{d}{2} \text{ и }j\text{ четное}\biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 4, если $j\in J^i_1$, то
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl\{x\in\Delta^i_j\colon |\widetilde{S}^{(i)}(x)|>\frac{d}{4}\biggr\} \geqslant \frac{\operatorname{mes}(\Delta^i_j)}{3(\gamma+1)}.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Учитывая, что $\operatorname{mes}(\Delta^i_{j_1}\cap\Delta^i_{j_2})=0$, если $j_1, j_2\in J^i_1$ и $j_1\neq j_2$, из (3.26) получим
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl\{x\in\Delta^{i_0}_{j_0}\colon |\widetilde{S}^{(i)}(x)|>\frac{d}{4}\biggr\} \geqslant\frac{\operatorname{mes}\bigl(\bigcup_{j\in J^i_1}\Delta^i_j\bigr)}{3(\gamma+1)}.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Аналогично получим
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl\{x\in\Delta^{i_0}_{j_0}\colon |\widetilde{\mathcal S}^{(i)}(x)|>\frac{d}{4}\biggr\} \geqslant\frac{\operatorname{mes}\bigl(\bigcup_{j\in J^i_2}\Delta^i_j\bigr)}{3(\gamma+1)}.
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Из (3.27), (3.28), (3.22) следует, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl(\bigcup_{j\in J^i}\Delta^i_j\biggr)<6(\gamma+1)\varepsilon_2, \quad\text{где}\ \ J^i=J^i_1\cup J^i_2.
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Положим Аналогично (3.19) доказывается, что
$$
\begin{equation}
|(\widetilde{\mathcal S}, M^i_j)|\leqslant 2\lambda, \quad\text{если}\ \ j\in H^i_2.
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
Тогда из (3.30), (3.31) и (3.15) для достаточно больших $i$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |h_2^i| &\leqslant \sum_{j\in J^i_3}\alpha^{(i)}_j|(\widetilde{\mathcal S}, M^i_j)|+\sum_{j\in J^i}\alpha^{(i)}_j|(\widetilde{\mathcal S}, M^i_j)|\leqslant\frac{d}{4}+2\lambda\sum_{j\in J^i}\alpha^{(i)}_j \\ &\leqslant \frac{d}{4}+2\lambda\sum_{j\in J^i}\alpha^{(i)}_j\int M^i_j(x)\,dx \leqslant\frac{d}{4}+2\lambda \int_{F} M^{i_0}_{j_0}(x)\,dx, \quad\text{где}\ \ F:=\bigcup_{j\in J^i}\Delta^i_j. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Из (3.29) получаем $\operatorname{mes}(F)<6(\gamma+1)\varepsilon_2$. Отсюда и из (3.32), (3.22) следует, что Из (3.33), (3.21), (3.18), (3.25) и (3.4) для достаточно больших $i$ имеем Полученное противоречие доказывает лемму. § 4. Доказательство основного результата Доказательство теоремы 6. Пусть ряд (2.3) удовлетворяет требованиям теоремы 6 и $B=:\{y_p\}_{p=1}^{\infty}$. Допустим также, что ряд (3.1) является рядом Фурье–Франклина функции $f$ и ряд $\widetilde{\mathcal S}$ определяется формулой (3.3). Докажем, что все коэффициенты ряда $\widetilde{\mathcal S}$ равны нулю. Допустим обратное, т.е. существует такое $k$, что $c_k\neq 0$. Для $i_0$ с условием $n_{i_0}>k$ существует такое $j_0$, что $(\widetilde{\mathcal S}, M^{i_0}_{j_0})\neq 0$ (напомним, что $\{M^{i}_j\}_{j=0}^{2^{n_i}}$ – базис в $\mathbf S_{n_i})$.
Применяя лемму 5 к ряду $\widetilde{\mathcal S}$, найдем отрезок $\Delta^{i'_1}_{j'_1}$ такой, что
$$
\begin{equation*}
y_1\notin\Delta^{i'_1}_{j'_1}\subset \Delta^{i_0}_{j_0}, \qquad (\widetilde{\mathcal S}, M^{i_1'}_{j_1'})\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, применяя основную лемму, найдем отрезок $\Delta^{i_1}_{j_1}$ со свойствами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta^{i_1}_{j_1}\subset \Delta^{i'_1}_{j'_1}, \qquad |(\mathcal S, M^{i_1}_{j_1})|\neq 0, \\ \max_{i_0\leqslant\nu\leqslant i_1} |S^{(\nu)}(x)|>1, \quad\text{когда}\ \ x\in\Delta^{i_1}_{j_1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Допустим, уже найдены $i_1,\dots, j_p$, $j_1,\dots, j_p$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y_{\nu}\notin\Delta^{i_\nu}_{j_\nu}\subset \Delta^{i_{\nu-1}}_{j_{\nu-1}}, \qquad \nu=1,\dots ,p, \\ \max_{i_{\nu-1}\leqslant \mu\leqslant i_{\nu}}|S^{(\mu)}(x)|>\nu, \quad\text{когда}\ \ x\in\Delta^{i_{\nu}}_{j_{\nu}}, \quad \nu=1,\dots ,p. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 5 к ряду $\widetilde{\mathcal S}$, найдем такой отрезок $\Delta^{i'_{p+1}}_{j'_{p+1}}$, что выполняется
$$
\begin{equation*}
y_{p+1}\notin\Delta^{i'_{p+1}}_{j'_{p+1}}\subset \Delta^{i_p}_{j_p}, \qquad (\widetilde{\mathcal S}, M^{i_{p+1}'}_{j_{p+1}'})\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя основную лемму, найдем такие числа $i_{p+1}$, $j_{p+1}$, для которых выполняется
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y_{p+1}\notin\Delta^{i_{p+1}}_{j_{p+1}}\subset \Delta^{i'_{p+1}}_{j'_{p+1}}\subset \Delta^{i_p}_{j_p}, \qquad (\widetilde{\mathcal S}, M^{i_{p+1}}_{j_{p+1}})\neq 0, \\ \max_{i_p\leqslant\nu\leqslant i_{p+1}} |S^{(\nu)}(x)|>p+1, \quad\text{когда}\ \ x\in\Delta^{i_{p+1}}_{j_{p+1}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, построена последовательность вложенных отрезков $\Delta^{i_p}_{j_p}$ со свойствами
$$
\begin{equation}
y_p\notin\Delta^{i_p}_{j_p}\subset\Delta^{i_{p-1}}_{j_{p-1}}, \qquad p=1,2,\dots ,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
\max_{i_{p-1}\leqslant\nu\leqslant i_{p}}|S^{(\nu)}(x)|>p, \quad\text{когда}\ \ x\in\Delta^{i_p}_{j_p}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Из (4.1), (4.2) следует существование такого $z$, что
$$
\begin{equation*}
z\notin\{y_p\}_{p=1}^{\infty}=B, \qquad \sup_p|S^{(i_p)}(z)|=\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а это противоречит (2.6).
Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gev24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|