Н. П. Долбилин, М. И. Штогрин, “Об изометрических вложениях призм”, Матем. сб., 215:2 (2024), 21–32; N. P. Dolbilin, M. I. Shtogrin, “On isometric embeddings of prisms”, Sb. Math., 215:2 (2024), 157

Аннотация: Для произвольной выпуклой многогранной призмы строится семейство ее изометрических вложений, удовлетворяющих условиям, аналогичным тем, которые А. В. Погорелов накладывал на изометрию кругового цилиндра и называл условиями “опирания на окружности по краям”.
Библиография: 4 названия.

§ 1. Введение

В книге А. В. Погорелова [1] (гл. 8, § 4 “Изометрические преобразования цилиндрической поверхности, удовлетворяющие условию опирания на окружности по краям”) были предложены несколько примеров решения задачи (см. [1; рис. 47 и 48 на с. 213, 214]), сформулированной в названии параграфа. Однако в работе [4] было показано, что вложения цилиндрической поверхности, представленные в [1] на рис. 47 и 48, не являются изометрическими.

Уточним формулировку геометрической задачи, рассмотренной Погореловым:

построить нетривиальное изометрическое кусочно гладкое вложение в трехмерное пространство $\mathbb R^3$ поверхности прямого кругового цилиндра конечной высоты, удовлетворяющее следующим трем условиям (условиям Погорелова):

– образы обеих компонент края цилиндра по-прежнему являются окружностями, которые находятся в параллельных плоскостях, опорных к образу цилиндра;

– каждая из этих двух окружностей является ортогональной проекцией любой из них на плоскость другой;

– число компонент гладкости изометрического вложения конечно.

В [1; гл. 8, § 2] Погорелов построил семейство нетривиальных изометрических вложений бесконечного кругового цилиндра, которые инвариантны относительно как трансляций вдоль оси цилиндра, так и поворотов конечного порядка вокруг нее. Штогрин в работе [2] выделил на базе этого семейства подкласс изометрических вложений конечного кругового цилиндра, которые удовлетворяют последнему условию из трех условий, но не удовлетворяет первым двум. Точнее, в [2] были предложены изометрические вложения правильных четноугольных призм, удовлетворяющих условиям Погорелова с той поправкой, что основаниями цилиндра являются не окружности, а правильные многоугольники с четным числом сторон.

С другой стороны, как следует из [3], существуют изометрические вложения кругового цилиндра, удовлетворяющие первым двум условиям, но не третьему, т.е. вложение состоит из бесконечного числа компонент.

В то же время не известно, существует ли нетривиальное изометрическое кусочно гладкое вложение боковой поверхности прямого кругового цилиндра, удовлетворяющее всем трем условиям Погорелова, или такого вложения не существует.

В настоящей работе построены нетривиальные изометрические вложения прямых призм, основаниями которых являются произвольные, а не только правильные, выпуклые многоугольники, как это было в [2]–[4]. А именно, для прямой $n$-угольной призмы предложена конструкция, позволяющая строить изометрические преобразования, удовлетворяющие условиям 1)–3), которые мы будем также называть условиями Погорелова:

1) образы обеих компонент края боковой поверхности призмы являются многоугольниками $P_1$ и $P_2$, конгруэнтными основанию $P$ исходной призмы, которые находятся в параллельных плоскостях, опорных к образу призмы;

2) каждый из этих двух многоугольников $P_1$ и $P_2$ является ортогональной проекцией любого из них на плоскость другого;

3) число компонент гладкости изометрического вложения конечно.

§ 2. Конструкция: $\beta$-формат многоугольника и ассоциированная призма

Пусть $P$ – произвольный выпуклый $n$-угольник $A_1A_2\dots A_n$ (рис. 1, а). Для этого $n$-угольника и достаточно малого положительного числа $\beta$ построим новый многоугольник $P_\beta$ c $2n$ сторонами. Для этого на биссектрисе каждого угла $\angle A_i$ многоугольника $P$ отложим точку $a_i$ так, что $|A_ia_i|=\beta$ (рис. 1, b, $i=1$). Проведем через $a_i$ прямую $B_iD_i\perp A_ia_i$. При достаточно малом $\beta$ прямая $B_iD_i$ пересекает прилегающие к $A_i$ стороны $A_iA_{i+1}$ и $A_1A_{i-1}$ многоугольника $P$. Будем считать, что точки $B_i$ и $D_i$ на этой прямой находятся на том же расстоянии $\beta$ от прилегающих сторон $A_iA_{i+1}$ и $A_iA_{i-1}$ соответственно: $|B_ib_i|=|D_id_i|=|A_ia_i|=\beta$ (см. рис. 1, b). Ясно, что $B_i$ и $D_i$ находятся вне $P$. Соединим теперь отрезками концы $B_i$ и $ D_{i+1}$, $i\in 1,\dots,n-1$, а также $B_n$ и $D_1$. Полученный $2n$-угольник $D_1B_1D_2B_2\dots D_nB_n$ обозначим через $P_\beta$ и назовем $\beta$-форматом многоугольника $P$. Заметим, что при достаточно малом $\beta$ построенный $\beta$-формат $P_\beta$ – самонепересекающийся выпуклый многоугольник.

Уточним условия, при которых $\beta$-формат является выпуклым $2n$-угольником. Пусть $\angle A_i=\alpha_i$. Тогда легко видеть, что в равнобедренном треугольнике $\triangle B_iA_iD_i$

Вычислим расстояние $|A_i b_i|$ от вершины $A_i$ до проекции $b_i$ точки $B_i$ на сторону $A_iA_{i+1}$ (см. рис. 1):

Заметим, что коэффициент $\operatorname{tg}((\pi +\alpha_i)/4)$ при $\beta$ положителен, так как $(\pi +\alpha_i)/4<\pi/2$. При достаточно малом $\beta$ проекция $b_i$ точки $B_i$ на сторону $A_iA_{i+1}$ расположена к вершине $A_i$ ближе, чем проекция $d_{i+1}$ точки $D_{i+1}$. Таким образом, точки $A_i,b_i,d_{i+1},A_{i+1}$ следуют на стороне $A_iA_{i+1}$ именно в этом порядке. Так как при малом $\beta$ это условие выполняется для всех сторон $A_iA_{i+1}$ многоугольника $P$, то полученный $2n$-угольник $D_1B_1D_2B_2\dots D_nB_n$ является выпуклым.

При достаточно малом $\beta$, как только что отмечалось, точки $b_i$ и $d_{i+1}$ расположены так, что длина стороны $B_iD_{i+1}$ $\beta$-формата $P_\beta$ для каждого $i\in 1,\dots,n-1$ равна

Лемма 2.1. Для данного многоугольника $P$ для всякого $\beta>0$, удовлетворяющего неравенствам (1) и (1'), существует выпуклый $\beta$-формат $P_\beta=D_1B_1D_2B_2\dots D_nB_n$ в точности с $2n$ сторонами.

Для любого данного $i\in 1,\dots,n$ обозначим через $\beta_i$ то единственное число, при котором неравенство (1) или неравенство (1') соответственно обращается в равенство. Пусть $\widehat \beta=\min_i \beta_i $. Следующая лемма является уточнением леммы 2.1.

Лемма 2.2. Для данного выпуклого $n$-угольника $P$ и любого $\beta\in (0, \widehat \beta) $ существует $\beta$-формат многоугольника $P$ с $2n$ сторонами. При $\beta=0$ $\beta$-формат вырождается в $n$-угольник $P$. При $\beta=\widehat \beta $ хотя бы одна из $n$ сторон формата $P_\beta$, параллельных сторонам $n$-угольника $P$, вырождается в точку, но $P_\beta $ остается выпуклым многоугольником.

Доказательство. Рассмотрим сторону $A_iA_{i+1}$ многоугольника $P$ и соответствующую ей ломаную $a_iB_iD_{i+1}a_{i+1}$, лежащую на границе формата $P_\beta$ (см. рис. 1, c: $n=4$). Прямоугольные треугольники $\triangle A_iB_i b_i$ и $\triangle B_iA_ia_i$ (см. на рис. 1, b, $i=1$) имеют общую гипотенузу $A_iB_i$ и их катеты $B_ib_i$ и $A_ia_i$ оба длины $\beta$ (см. рис. 1). Поэтому и другие два катета также равны: $|a_iB_i|=|A_i b_i|$. По той же причине имеем $|a_{i+1}D_{i+1}|=|A_{i+1} d_{i+1}|$. Отсюда вытекает $|A_iA_{i+1}|=|a_iB_i|+|B_iD_{i+1}|+|D_{i+1}a_{i+1}|$. Это верно для каждой стороны $A_1A_2,\dots,A_{n-1}A_n, A_n A_1$ многоугольника $P$. Лемма доказана.

При допустимом $\beta >0$, т.е. при таком $\beta$, что существует $2n$-угольный $\beta $-формат $P_\beta$, для каждой вершины $A_i$ многоугольника $P_\beta$ рассмотрим угол $\angle B_iA_i D_i$. Пересечение

Таким образом, $2n$-угольник $Q$ однозначно определяется $n$-угольником $P$. Назовем $Q$ многоугольником, ассоциированным с $P$. Отметим при этом, что $\beta$-формат $P_\beta$ многоугольника $P$ является замкнутой биллиардной траекторией в ассоциированном многоугольнике $Q$.

Для удобства ссылок в следующем параграфе мы сформулируем в виде леммы утверждение, которое немедленно следует из предыдущих лемм.

Лемма 2.4. Пусть $P=A_1A_2\dots A_n$ – выпуклый $n$-угольник и $P_\beta$ – его $\beta$-формат. Пусть ломаная $a_iB_iD_{i+1}a_{i+1}$ – фрагмент $\beta$-формата $P_\beta$, соответствующий стороне $A_iA_{i+1}$, где точки $a_i$ и $a_{i+1}$ лежат на биссектрисах углов $\angle A_i$ и $\angle A_{i+1}$, причем $| A_ia_i|=|A_{i+1}a_{i+1}|=\beta$ (рис. 3). Пусть на продолжении прямой $a_iB_i$ выбрана точка $\widehat a_{i+1}$ так, что $|a_i \widehat a_{i+1}|=|A_iA_{i+1}|$, а на прямой $B_iD_{i+1}$ выбраны точки $a_i'$ и $a''_{i+1}$ такие, что $A_i a'_i a''_{i+1}A_{i+1}$ – прямоугольник.

Тогда отрезки $[a_i' a''_{i+1}]$ и $[a_i \widehat a_{i+1}]$ симметричны относительно прямой $A_iC_i$, а отрезки $[D_{i+1} a''_{i+1}]$ и $[D_{i+1} a_{i+1}]$ симметричны относительно $C_i A_{i+1}$.

Доказательство. Итак, $\beta$-формат $P_\beta$ является замкнутой биллиардной траекторией $D_1B_1\dots D_nB_n$ в $2n$-угольнике $Q=A_1C_1\dots A_nC_n$. Причем отрезки $[B_iD_{i+1}]$ этой траектории параллельны соответствующим сторонам $A_iA_{i+1}$ многоугольника $P$ и отстоят от них на расстоянии $\beta$. Отрезки $[B_ia_i]$ и $[D_{i+1}a_{i+1}]$ перпендикулярны биссектрисам углов $\angle A_i$ и $\angle A_{i+1}$ соответственно, причем $|a_iA_i|=|A_{i+1}a_{i+1}|=\beta$. Кроме того, прямые $A_iC_i$ и $C_iA_{i+1}$ являются биссектрисами углов $\angle a_iB_ia_i'$ и $\angle a_{i+1}D_{i+1} a''_{i+1}$ (см. рис. 3). Отсюда немедленно следует симметричность отрезков $[a_i' a''_{i+1}]$ и $[a_i \widehat a_{i+1}]$ относительно $A_iC_i$.

Чтобы получить симметричность $[D_{i+1} a''_{i+1}]$ и $[D_{i+1} a_{i+1}]$ относительно $C_i A_{i+1}$, заметим, что $\angle D_{i+1}a_{i+1}A_{i+1}=90^\circ$ (по построению $\beta$-формата), т.е. равен $\angle D_{i+1} a_{i+1}'' A_{i+1}$, который также равен $90^\circ$. Теперь симметричность точек $a''_{i+1}$ и $a_{i+1}$ относительно $C_iA_{i+1}$ следует из равенства $\triangle D_{i+1} a_{i+1}A_{i+1}=\triangle D_{i+1} a''_{i+1}A_{i+1}$. Лемма доказана.

Обозначим через $\Pi$ прямую призму высоты $H$, основанием которой является выпуклый многоугольник $P$. Призма $\Pi$ – это замкнутая поверхность, состоящая из $n+2$ плоских граней: из $n$ боковых прямоугольных граней и двух оснований.

Рассмотрим также прямую призму $\Pi_Q$ той же высоты $H$, основанием которой является ассоциированный многоугольник $Q$, и будем говорить, что она также ассоциирована с призмой $\Pi$.

Заметим, что любая боковая грань ассоциированной призмы $\Pi_Q$ имеет на границе два боковых ребра, из которых одно основное, принадлежащее призме $\Pi$.

Дальнейшее построение изометрического отображения прямой призмы $\Pi$ связано с ассоциированной c ней призмой $\Pi_Q$.

§ 3. Основной результат

Пусть $\Pi$ – замкнутый выпуклый многогранник, который есть прямая призма с основанием $P=A_1A_2\dots A_n $ и высотой $H$.

Замкнутую кусочно регулярную поверхность будем называть изопризмой Погорелова, если она является образом призмы $\Pi$ при кусочно гладком изометрическом отображении $f$, при котором выполнены следующие условия:

1) ограничения отображения $f|_P$ и $f|_{P'}$ на обоих основаниях $P$ и $P'$ призмы $\Pi $ суть евклидовы изометрии, т.е. образы $f(P)$ и $f(P')$ суть плоские многоугольники, конгруэнтные многоугольнику $P$;

2) многоугольники $f(P)$ и $ f(P')$ параллельны друг другу, а соединяющие соответствующие вершины отрезки $[f(A_i) f(A_i')]$ перпендикулярны плоскостям многоугольников $f(P)$ и $f(P')$;

3) образ $f(\Pi)$ боковой поверхности призмы $\Pi$ содержится между плоскостями многоугольников $f(P)$ и $f(P')$.

Расстояние $h$ между плоскостями многоугольников $f(P)$ и $f(P')$ назовем высотой изопризмы $f(\Pi)$.

Заметим, что благодаря условию 2) выпуклая оболочка $\operatorname{conv}(f( P)\cup f(P'))$ объединения $f(P)\cup f(P')$ есть прямая призма с основаниями $f(P)$ и $f(P')$, высота которой равна высоте $h$ изопризмы $f( \Pi)$.

Теорема 3.1. Пусть дан замкнутый выпуклый многогранник $\Pi$ – прямая призма с основанием $P$ и высотой $H$. Тогда для любого $h$, $0<h\leqslant H$, существует изопризма Погорелова $\widehat \Pi$ высоты $h$.

Эта изопризма определяется функцией $\beta (t)$, непрерывной кусочно гладкой на отрезке $[0,h]$, $0\leqslant t\leqslant h\leqslant H$, удовлетворяющей следующим условиям:

1) для всех $t\in (0,h)$, $0< \beta (t) < \widehat \beta$;

2) $\beta (0)=\beta (h)=0$;

3) длина всей кривой $\beta (t)$ равна длине $H$ бокового ребра призмы $\Pi$.

Доказательство. Чтобы избежать многочисленных, хотя и очень простых рассуждений, которые необходимо сделать при рассмотрении случаев, когда $\beta $ достигает максимума $\widehat \beta$ или равна нулю, мы ограничимся рассмотрением случая, когда $\beta(t) < \widehat \beta $ для всех $t\in [0,h]$ и $\beta (t)=0$ только при $t=0$ и $t=h$.

Для каждого $i\in 1,\dots,n$ рассмотрим двугранный угол призмы $\Pi$ при боковом ребре $A_iA_i'$ и в его биссекторной плоскости ${\mathcal B}_i$ введем ортогональную систему координат $(t,\beta )$ (рис. 4, a). Рассмотрим в ${\mathcal B}_i$ кусочно гладкую кривую – график функции $\beta(t)$, удовлетворяющей условиям 1)–3) выше.

Заметим, что в силу условия 3) равенство $h=H$ возможно лишь при $\beta(t)\,{\equiv}\, 0$, когда изопризма $f(\Pi)$ конгруэнтна призме $\Pi$.

Рис. 4.К теореме 3.1: a – график функции $\beta(t)$ в биссекторной плоскости ${\mathcal B}_i$; b – построение изопризмы Погорелова.

Пусть прямоугольник $ A_iA_i'A_{i+1}'A_{i+1}$ – $i$-я боковая грань призмы $\Pi$. Этой грани соответствует пара боковых граней $A_iA_i'C_i'C_i$ и $C_iC_i'A_{i+1}'A_{i+1}$ ассоциированной призмы $\Pi_Q$. Плоскости, в которых лежат эти грани, обозначим через ${\mathcal F}_i$ и ${\mathcal F}_{i+1}$ соответственно.

Рис. 5.К доказательству теоремы 3.1: преобразование образующей – отрезка $a_i(t)\widehat a_{i+1}(t)$ – в ломаную $a_i(t)B_i(t)D_{i+1}(t)a_{i+1}(t)$ на $\beta$-формате $P_{\beta (t)}$.

Мы полагаем, что кривые $\beta(t)$ в биссекторных плоскостях двугранного угла при всех боковых ребрах призмы $\Pi$ попарно конгруэнтны. Заметим, что плоскость ${\mathcal B}_i$ является также биссекторной и для двугранного угла ассоциированной призмы $\Pi_Q$, причем этот угол $\angle C_{i-1}A_iC_i$ (рис. 4, b) равен $(\pi+\alpha_i)/2$.

Обозначим через $Z_i=Z_i(\beta)$ цилиндрическую поверхность, направляющая которой есть плоская кривая $\beta(t)\subset\mathcal{B}_i$, а образующей $L_i(t)$ является отрезок $a_i(t)\widehat{a}_{i+1}(t)$, где $|a_i(t)\widehat{a}_{i+1}(t)|=|A_i(t)A_{i+1}(t)|=|A_iA_{i+1}|$ и $a_i(t)\widehat{a}_{i+1}(t)\bot\mathcal{B}_i$ (рис. 5). Так как длина кривой $\beta(t)$, $0\leqslant t\leqslant h$, равна $H$ (условие 3)), то цилиндрическая поверхность $Z_i$ изометрична боковой грани $A_iA'_iA'_{i+1}A_{i+1}$ призмы $\Pi$.

Благодаря условиям 1), 2) теоремы 3.1 плоскость $\mathcal F_i$ ассоциированной призмы $\Pi_Q$ разрезает образующую $L_i(t)$, где $t\in (0,h)$, на два отрезка, и, следовательно, всю цилиндрическую поверхность $Z_i$ на две цилиндрические компоненты, “внутреннюю” (по отношению к призме $\Pi_Q$) с образующими $[a_i(t) B_i(t)]$ (обозначим ее через $Z^+_i$) и “внешнюю” с образующими $[B_i(t)\widehat a_{i+1}(t)]$. Отразим внешнюю компоненту в плоскости ${\mathcal F}_i$. Ее зеркальный образ является цилиндрической поверхностью с образующими $[B_i(t) a''_{i+1}(t)]$. Ортогональная к ним направляющая зеркально симметрична кривой $\beta (t)$.

Плоскость $\mathcal F_{i+1}$ соседней грани ассоциированной призмы $\Pi_Q$ также пересекает образующую $B_i(t)a''_{i+1}(t)$ в некоторой точке $D_{i+1}(t)$ и, следовательно, разрезает зеркальный образ цилиндра опять на две компоненты. Первую из них, с образующей $B_i(t)D_{i+1}(t)$, обозначим через $Z^-_i$. Вторую цилиндрическую компоненту с образующей $[D_{i+1}(t)a''_{i+1}]$ отразим относительно плоскости $\mathcal F_{i+1}$ в цилиндрическую компоненту $\widetilde Z_{i+1}^+$ с образующей $D_{i+1}(t)a_{i+1}(t)$.

Функция $\gamma_i(t)$ в (3) зависит от величины угла $\alpha_i$.

Поверхность $\Phi_i$ изометрична цилиндрической поверхности $Z_i$ и, следовательно, $i$-й боковой грани $ A_iA_i'A_{i+1}'A_{i+1}$ призмы $\Pi$. Отметим, что поверхности

Отождествление пары $\Phi_{i-1}$ и $\Phi_i$ вдоль общей границы $\beta (t) \subset \mathcal B_i$ для каждого $i\in 1,\dots,n$ приводит к поверхности $\Phi $, изометричной боковой поверхности призмы $\Pi$, где

Замечание 3.1. Условие 1) теоремы 3.1 на функцию $\beta (t)$ для внутренних точек интервала $(0,h)$ легко может быть ослаблено: $0\leqslant \beta (t)\leqslant \widehat \beta $. Заметим, что если $\beta (t_0)=0$ при $0<t_0<h$, то плоское сечение $t=t_0$ изопризмы $f(\Pi)$ есть $n$-угольник, равный и параллельный $P$. Если же $\beta (t_0)=\widehat \beta $, то в соответствующем плоском сечении будет $m$-угольник, где $n \leqslant m < 2n $.

Замечание 3.2. Полученная поверхность $\Phi$ является трубчатой поверхностью в смысле Погорелова, как и изометричные вложения кругового цилиндра, представленные в [1; гл. 8, § 2].

§ 4. Об одном обобщении: $\beta$-призматоиды

Теорему 3.1 можно распространить на более широкий класс многогранников, которые мы будем называть $\beta$-призматоидами. Напомним, что выпуклый многогранник называется призматоидом, если его вершины лежат в двух параллельных плоскостях. Основаниями призматоида являются многоугольники, соответствующие выпуклым оболочкам каждой из этих двух групп вершин. Боковые грани призматоида – либо треугольники, либо трапеции. Расстояние $H$ между плоскостями оснований есть высота призматоида.

Выделим теперь особый класс призматоидов. Рассмотрим прямую призму $\Pi$, основанием которой является выпуклый многоугольник $P=A_1A_2\dots A_n $. Построим теперь $\beta$-формат $P_{\beta_1}$ нижнего основания $P$ с параметром $\beta=\beta_1$, а также $\beta$-формат $P'_{\beta_2}$ верхнего основания $P'=A_1'A_2'\dots A_n'$ с параметром $\beta=\beta_2$.

Многогранник, который является выпуклой оболочкой объединения $P_{\beta_1}\cup P_{\beta_2}'$, есть призматоид, причем все его $2n$ боковых граней являются трапециями, если $0<\beta_j<\widehat \beta$, $j=1,2$. Более того, трапеции, соответствующие боковым ребрам $A_iA_i'$ призмы $\Pi$, равнобочны. В случае, когда хотя бы одно из чисел $\beta_j$, $j=1,2$, равно либо $0$, либо $\widehat \beta$, некоторые трапеции вырождаются либо в треугольники, либо в отрезки.

Границу многогранника $\operatorname{conv}(P_{\beta_1}\cup P'_{\beta_2})$ будем называть $\beta$-призматоидом и обозначать через $\Pi_{\beta_1\beta_2}$ (рис. 6).

Далее мы опишем класс изометрических преобразований (типа Погорелова) $\beta$-призматоидов.

Выберем произвольную вершину $A_i$ в исходном выпуклом многоугольнике $P$. В $\beta$-формате $P_{\beta_1}$ ей соответствует точка $a_i$ (см. рис. 6). А точку, соответствующую вершине $A_i'$ на верхнем основании $P_{\beta_2}'$ призматоида, обозначим через $a_i'$.

Отрезок $[a_i,a_i']$ является медианой трапеции, медианой треугольника или ребром, если ни одно из значений $\beta_1$ и $\beta_2$ не равно нулю, или только одно из них равно нулю, или оба значения равны нулю соответственно.

Будем говорить, что изометрическое отображение $f$ есть изометрия $\beta$-призматоида $\Pi_{\beta_1\beta_2}$ по Погорелову, если выполняются следующие условия:

1) $f$-образы оснований $P_{\beta_1}$ и $P'_{\beta_2}$ суть плоские многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях;

2) эти плоскости, т.е. плоскости образов $f(P_{\beta_1})$ и $f(P'_{\beta_2})$, являются опорными для образа $f(\Pi_{\beta_1\beta_2})$ всего $\beta$-призматоида $\Pi_{\beta_1\beta_2}$.

Рассмотрим на отрезке $[0,h]$, $0< h\leqslant H $, непрерывную кусочно гладкую неотрицательную функцию $\beta (t)$ с условиями

b) длина кривой $\beta (t)$, $0\leqslant t\leqslant h$, равна $|a_ia_i'|$.

Теорема 4.1. Пусть $\Pi$ – прямая призма с $n$-угольником $P$ в основании и $\Pi_{\beta_1\beta_2}$ – $\beta$-призматоид с основаниями $P_{\beta_1}$ и $P'_{\beta_2}$ (см. рис. 6, a). Пусть также $\beta(t)$ – кривая (график неотрицательной функции $\beta(t)$, удовлетворяющей условиям а) и b)), расположенная в биссекторной плоскости $\mathcal B_i$ двугранного угла призмы $\Pi$ при боковом ребре $A_iA_i'$. Тогда существует изометрия $f$(по Погорелову) $\beta$-призматоида $\Pi_{\beta_1\beta_2}$, однозначно определенная кривой $\beta (t)$ (см. рис. 6, b).

Очевидно, что теорема 4.1 доказывается по той же схеме, что и теорема 3.1.

§ 5. Заключение

Сейчас мы покажем, что путем повторного применения конструкции $\beta$-формата можно значительно увеличить запас изометрических преобразований любой прямой $n$-угольной призмы. Все они удовлетворяют условию Погорелова “опирания на конгруэнтные $n$-угольники по краям”.

Итак, пусть для данной прямой призмы $\Pi$ по заданной функции $\beta(t)$, удовлетворяющей условиям теоремы 3.1, построена изопризма Погорелова $f(\Pi )$.

Заметим, что в силу этих условий $\beta (t)$ для любого $t_1\in (0,h)$, для которого $0<\beta(t_1)<\max_{0\leqslant t\leqslant h} \beta (t)$, существует такое $t_2\neq t_1 $ (для определенности положим $t_1<t_2$), что $\beta(t_1)=\beta(t_2):=\beta_0$, где $\beta_0 \neq 0$.

Рассмотрим плоские $t_1$- и $t_2$-сечения изопризмы Погорелова $f(\Pi)$. Оба сечения $P_{\beta_0}$ и $P'_{\beta_0}$ являются равными и параллельными друг другу $2n$-угольниками – $\beta$-форматами многоугольника $P$ при $\beta=\beta_0$. Более того, каждый из этих $2n$-угольников проектируется на другой ортогонально.

Эти два сечения разбивают боковую поверхность изопризмы $f(\Pi)$ на три компоненты $S_1$, $\widetilde S$, $S_2$: $S_1$ соответствует отрезку $[0,t_1]$, $\widetilde S$ соответствует отрезку $[t_1,t_2]$, и $S_2$ – $[t_2,h]$.

Компоненты $S_1$, $\widetilde S$, $S_2$ изометричны компонентам $\mathcal S_1$, $\widetilde {\mathcal S}$ и $\mathcal S_2$ боковой поверхности призмы $\Pi$, заключенным по высоте призмы между $0$ и $h_1$, $h_1$ и $h_2$, а также между $h_2$ и $H$ соответственно. Высоты этих компонент (рис. 7) $h_1$, $h_2-h_1$ и $H-h_2$ равны длинам кривой $\beta(t)$ на отрезках $[0,t_1]$, $[t_1,t_2]$ и $[t_2,h]$ соответственно. Компонента $\widetilde S$ изопризмы $f(\Pi )$ имеет два края $P_{ \beta_0}$ и $P_{ \beta_0}'$, которые суть $\beta$-форматы при $\beta=\beta_0$. Компонента $\widetilde S$ изометрична компоненте $\widetilde{\mathcal S}$ боковой поверхности призмы $\Pi$.

В свою очередь, компонента $\widetilde{\mathcal S}$ с $n$-угольным основанием $P$ изометрична боковой поверхности (обозначим ее через $\widetilde T$) прямой призмы $\Pi_{2n}$, основание которой есть $\beta$-формат $P_{\beta_0}$ (т.е. $2n$-угольник), а высота равна $h_2-h_1$. Действительно, обе поверхности $\widetilde{\mathcal S}$ и $\widetilde T$ являются боковыми поверхностями прямых призм с одинаковыми высотами, причем их основаниями являются изопериметричные многоугольники $P$ и $P_{\beta_0}$.

Рассмотрим непрерывную кусочно гладкую неотрицательную функцию $\widetilde \beta (t)$, $t\in [t_1, t_2] $, такую, что длина кривой $\widetilde\beta(t)$ равна высоте $h_2-h_1$ прямой $2n$-угольной призмы $\Pi_{2n}$ с боковой поверхностью $\widetilde T$ (см. рис. 7, c). Таким образом, длина кривой $\widetilde{\beta}(t)$ равна длине кривой $\beta(t)$ на ее среднем участке $[t_1, t_2]$.

По теореме 3.1 функция $\widetilde\beta (t)$, $t\in [t_1,t_2]$, определяет изометрическое преобразование $f'$ боковой поверхности $\widetilde T$ прямой $2n$-угольной призмы $\Pi_{2n}$.

Поверхность $\mathcal U$ (см. рис. 7, d) изометрична боковой поверхности $\widetilde T$ прямой призмы $\Pi_{2n}$(см. рис. 7, c). Поверхность $\widetilde T$, в свою очередь, изометрична средней компоненте $\widetilde{\mathcal S}$ боковой поверхности призмы $\Pi$ (см. рис. 7, a). А так как $\widetilde S= f(\widetilde{\mathcal S})$, то $\mathcal U$, изометричная компоненте $\widetilde{\mathcal S}\subset \Pi $, изометрична также и компоненте $\widetilde S \subset f(\Pi)$. Более того, края компонент $\widetilde S$ и $\mathcal U $ суть конгруэнтные $2n$-угольники ($\beta$-форматы многоугольника $P$ при $\beta= \beta_0$), отстоящие друг от друга на одинаковом расстоянии, равном $t_2-t_1$. Поэтому компоненту $\widetilde S$ боковой поверхности изопризмы $f(\Pi)$ можно заменить боковой поверхностью $\mathcal U$ изопризмы $f'(\widetilde T)$ с естественным отождествлением соответствующих краев (см. рис. 7, e). В результате получаем замкнутую поверхность $g(\Pi)$, изометричную поверхности призмы $\Pi$.

Изометрия $g$ прямой $n$-угольной призмы $\Pi$ отличается от изометрий $f$, описанных в теореме 3.1, при которых любое “горизонтальное” сечение изопризмы $f(\Pi )$ – это $\beta$-формат $n$-угольника $P$, т.е. $2n$-угольник (при $\beta>0$ ). В изопризме $g(\Pi)$ есть семейство сечений, которые есть $\beta$-форматы $2n$-угольника $P_{\beta_0}$, т.е. $4n$-угольники.

Итак, в изопризме $g(\Pi)$, наряду с $2n$-угольными сечениями, имеются также и $4n$-угольные сечения в параллельных плоскостях. В завершение заметим, что, применяя эту конструкцию к уже полученной изометрии $g$ вновь и вновь, можно получить изопризмы, содержащие многоугольные сечения, расположенные в параллельных плоскостях с любым заданным числом вида $2^k n$, $k\in \mathbb N$, сторон.

Образец цитирования: Н. П. Долбилин, М. И. Штогрин, “Об изометрических вложениях призм”, Матем. сб., 215:2 (2024), 21–32; N. P. Dolbilin, M. I. Shtogrin, “On isometric embeddings of prisms”, Sb. Math., 215:2 (2024), 157–168

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{DolSht24}

\by Н.~П.~Долбилин, М.~И.~Штогрин

\paper Об изометрических вложениях призм

\jour Матем. сб.

\yr 2024

\vol 215

\issue 2

\pages 21--32

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9934}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9934}

\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4767934}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1545.52008}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024SbMat.215..157D}

\transl

\by N.~P.~Dolbilin, M.~I.~Shtogrin

\paper On isometric embeddings of prisms

\jour Sb. Math.

\yr 2024

\vol 215

\issue 2

\pages 157--168

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9934e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001251011100002}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85197367895}

§ 1. Введение

§ 2. Конструкция: $\beta$-формат многоугольника и ассоциированная призма

§ 3. Основной результат

§ 4. Об одном обобщении: $\beta$-призматоиды

§ 5. Заключение

Список литературы