| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О мере КАМ-торов в окрестности сепаратрисы А. Г. Медведев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9955e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеРассмотрим гамильтонову систему $(M,\omega,\mathcal{H}_0)$, где $(M,\omega)$ – вещественно аналитическое симплектическое многообразие размерности $2n$ (фазовое пространство), $\mathcal{H}_0$ – вещественно аналитическая функция Гамильтона. Предположим, что система интегрируема по Лиувиллю. Тогда любой неособый компактный совместный уровень первых интегралов является конечным набором инвариантных лагранжевых $n$-мерных торов, движение по которым квазипериодично. В фазовом пространстве $M$ возникает слоение на такие торы, однако это слоение практически всегда имеет особенности. Рассмотрим инвариантную область $D \subset M$, в которой слоение на торы особенностей не имеет. В области $D$ существует система координат $(I,\varphi)$, $I \in B \subset \mathbb{R}^n$, $\varphi \in \mathbb{T}^n=\mathbb{R}^n / 2 \pi \mathbb{Z}^n$ (координаты действие-угол) такая, что $\omega=\sum_{j=1}^n dI_j \wedge d\varphi_j$ и функция $\mathcal{H}_0$ зависит лишь от переменных действия: $\mathcal{H}_0=\mathcal{H}_0(I)$. Таким образом, $n$-мерные инвариантные торы принимают вид
$$
\begin{equation*}
\mathbb{T}_{I^0}^n=\{(I,\varphi)\colon I=I^0 \in B\}.
\end{equation*}
\notag
$$
На каждом из таких торов уравнения Гамильтона оказываются следующими:
$$
\begin{equation*}
\dot \varphi=\nu(I^0), \qquad \nu=\mathcal{H}'_{0I}(I^0).
\end{equation*}
\notag
$$
Вектор $\nu$ называется вектором частот. Возмутим систему, добавив к $\mathcal{H}_0$ малое вещественно аналитическое возмущение
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}=\mathcal{H}_0(I)+\varepsilon \widetilde{\mathcal{H}}(I,\varphi,\varepsilon), \qquad \varepsilon \ll 1.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Далее удобно считать, что $\varepsilon \geqslant 0$. Теорема 1 (см. [1]–[3]). Предположим, что замыкание $\overline{D}$ компактно и невозмущенная система невырождена: Тогда большинство $n$-мерных инвариантных торов $\mathbb{T}^n_{I^0}$ не исчезает при возмущении, а, слегка деформируясь, продолжает существовать в системе $(M,\omega,\mathcal{H})$. Пусть $C \subset M$ – множество точек, не лежащих на $n$-мерных инвариантных торах системы $(D,\omega,\mathcal{H})$. Теорема 2 (см. [4]–[7]). Пусть $\overline{D}$ компактно и Тогда мера множества $C \cap D$ не превосходит $c_3 \sqrt \varepsilon$, где константа $c_3$ зависит от констант $c_1$ и $c_2$. При возмущении выживают лишь нерезонансные торы, а именно, те, на которых невозмущенные частоты удовлетворяют условиям $\langle \nu, k \rangle \neq 0$ для любых $k \in \mathbb{Z}^n \setminus \{0\}$. Здесь $\langle \cdot,\cdot \rangle$ – стандартное скалярное произведение. На самом деле требуется, чтобы частоты удовлетворяли более жестким условиям диофантовости, но эти технические аспекты мы будем обсуждать позже. Невозмущенные резонансные торы группируются вдоль резонансных поверхностей
$$
\begin{equation*}
R_k=\{(I,\varphi) \in D \times \mathbb{T}^n\colon \langle \nu(I),k\rangle=0\}, \qquad k \in \mathbb{Z}^n \setminus \{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В малых окрестностях резонансов $R_k$ при возмущении появляются так называемые вторичные инвариантные $n$-мерные торы. Их характерной особенностью является то, что они не существуют при $\varepsilon=0$. Однако методами КАМ-теории (Колмогорова–Арнольда–Мозера) можно не только доказывать их существование, но и оценивать их меру в фазовом пространстве системы $(M,\omega,\mathcal{H})$, см. [8], [9]. Пусть $C_* \subset C$ – множество точек, полученных путем удаления из $C$ точек, лежащих на вторичных торах. Гипотеза 1 (см. [10]). При естественных предположениях мера множества $C_* \cap D$ не превосходит $c_4 \varepsilon$, где $c_4$ – некоторая положительная константа, не зависящая от $\varepsilon$. Ослабленный вариант этой гипотезы для систем с функцией $\mathcal{H}_0=\frac{1}{2}|I|^2+ f(\varphi)$ доказан в [8] и [11]: Теорема 3 (Л. Биаско, Л. Кьеркиа). При естественных предположениях мера множества $C_* \cap D$ не превосходит $c_5 \varepsilon |{\ln \varepsilon}|^a$, где $a$, $c_5$ – положительные константы, не зависящие от $\varepsilon$. В нашей работе мы рассматриваем так называемый априори неустойчивый случай, когда в интересующей нас области $D \subset M$ слоение фазового пространства на инвариантные лагранжевы $n$-мерные торы вырождается на $(2n-1)$-мерном особом подмногообразии $\mathbb{W}$, образованном асимптотическими многообразиями $(n-1)$-мерных гиперболических торов. Мы рассматриваем ситуацию, когда $D=D' \times \mathbb{T}^{n-1} \times D''$, $D' \in \mathbb{R}^{n-1}$, $D'' \in \mathbb{R}^2$, причем на $D$ выбраны координаты $(y,x,p,q)$, $y \in D'$, $x \in \mathbb{T}^{n-1}$, $(p,q) \in D''$, такие, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_0=\mathcal{H}_0(y,p,q), \qquad \omega=dy \wedge dx+dp \wedge dq.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Функцию $\mathcal{H}_0$ считаем вещественно аналитической. Система $(D,\omega,\mathcal{H}_0)$ интегрируема по Лиувиллю: в качестве полного набора первых интегралов можно взять функции $y_1, \dots, y_{n-1}, \mathcal{H}_0$ (конечно, если зависимость $\mathcal{H}_0$ от $(p,q)$ нетривиальна). Поскольку переменные $y$ в процессе движения не меняются, полезно рассмотреть набор систем $(D'', dp \wedge dq, \mathcal{H}_0)$ с одной степенью свободы, в которых переменные $y$ выступают в качестве параметров. Предположим, что для каждого $y \in D'$ функция $\mathcal{H}_0$ имеет невырожденную седловую критическую точку $(p^0(y),q^0(y))$, где функции $p^0$ и $q^0$ вещественно аналитичны. Далее без ограничения общности будем считать, что $p^0= q^0=0$, поскольку этого можно легко добиться путем канонической замены переменных на $D$. Итак, слоение области $D$ на $n$-мерные инвариантные торы вырождается на особом подмногообразии
$$
\begin{equation*}
\mathbb{W}=\{ (y,x,p,q) \in D\colon \mathcal{H}_0(y,p,q)=\mathcal{H}_0(y,0,0)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее считаем, что других вырождений слоение на области $D$ не имеет и на $\overline{D'}$ выполнено условие невырожденности $\det \mathcal{H}_0(y,0,0) \neq 0$. Кроме того, будем считать $\mathbb{W}$ связным. Этого всегда можно добиться, взяв связную компоненту, содержащую точки многообразия Многообразие $\mathbf T$ расслоено на $(n-1)$-мерные гиперболические торы
$$
\begin{equation*}
{\mathbb{T}}^{n-1}_{y^0}=\{ (y,x,p,q) \in \mathbb{W}\colon p=q=0, \,y=y^0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В точках, лежащих на $\mathbf T$, $\mathbb{W}$ имеет особенность типа самопересечения. Точки, расположенные на $\mathbb{W} \setminus \mathbf T$, лежат на асимптотических многообразиях гиперболических торов ${\mathbb{T}}^{n-1}_{y^0}$. Похожие системы возникают в задаче об оценке меры вторичных торов. Дело в том, что в окрестности резонансной поверхности $R_k$ функция $\mathcal{H}$ приводится к виду
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}=\Lambda(y)+\varepsilon \biggl(\frac{1}{2}a(y) p^2+u(y,q)\biggr) +\varepsilon \widetilde{\mathcal{H}}(y,x,p,q), \qquad \omega=dy \wedge dx+\sqrt{\varepsilon}\, dp \wedge dq,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a$ и $\Lambda$ – некоторые функции, а $\frac{1}{2}a(y) p^2+u(y,q)$ представляет собой “маятник” с периодически зависящим от $q$, $q \in \mathbb{T}^1$ потенциалом $u$. Потенциал $u$ имеет локальный максимум $\overline{u}=\overline{u}(y)$, следовательно, для каждого $y$ маятник имеет гиперболическое положение равновесия. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathbb{W}=\biggl\{ (y,x,p,q) \in D\colon \frac{1}{2}a(y) p^2+u(y,q) =\overline{u}(y)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сформулируем основной результат. Теорема 4. Существует окрестность $U \subset D$ подмногообразия $\mathbb{W}$ такая, что мера множества $C \cap U$ не превосходит $c \sqrt \varepsilon$, где константа $c$ и окрестность $U$ определяются функцией $\mathcal{H}_0$ и размерностью $n$. Окрестность $U$ не зависит от $\varepsilon$. В области $D \setminus U$ при условии невырожденности невозмущенной системы применима теорема 2. Таким образом, теорема 4 означает, что верхняя оценка меры множества $C \cap D$ величиной порядка $\sqrt{\varepsilon}$ сохраняется и при наличии особого многообразия $\mathbb{W}$. § 2. Переменные действие-угол в окрестности $\mathbb{W}$Для каждого $y \in D'$ система $(D'', dp \wedge dq, \mathcal{H}_0)$ имеет одну гиперболическую точку. Из предположения о компактности совместных уровней первых интегралов следует, что асимптотические кривые, выходящие из гиперболической точки, образуют две гомоклинические петли $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, которые делят область $D''$ на три компоненты связноcти $D''=D''_1 \cup D''_2 \cup D''_3$. Тогда $D=D_1 \cup D_2 \cup D_3$, где
$$
\begin{equation*}
D_i=\bigcup_{y \in D'} \{y\} \times \mathbb{T}^{n-1} \times D''_i(y), \qquad i=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Подмногообразие $\mathbb{W}$ коразмерности $1$ является прямым произведением объединения этих петель и тора $\mathbb{T}^{n-1}$. Оно делит $D$ на компоненты связности $D_1$, $D_2$ и $D_3$. Приведем функцию $\mathcal{H}_0$ к нормальной форме в окрестности $\mathbf T$. Лемма 1. Существуют некоторая окрестность $U_{\mathbf T} \subset D$ подмногообразия $\mathbf T$ и заданная на ней каноническая замена координат $(y,x,p,q) \mapsto (\widehat y, \widehat x, \widehat p, \widehat q)$ такие, что 1) $y=\widehat y$, 2) $\mathbf T=\{ (\widehat y,\widehat x,\widehat p,\widehat q) \in \mathbb{W}\colon \widehat p=\widehat q=0\}$, 3) $\mathcal{H}_0$ имеет на $U_{\mathbf T}$ вид Доказательство. Рассмотрим систему $(D'', dp \wedge dq, \mathcal{H}_0(y_0,p,q))$, где $y_0\,{\in}\, D'$ будем считать параметром. Согласно теореме Мозера (см. [12]; нужно добавить в доказательство Мозера вещественно аналитическую зависимость от многомерного параметра $y$) существует окрестность $\widehat U_{y_0}$ гиперболического положения равновесия $p=0$, $q=0$ на которой определена каноническая замена координат $(p,q) \mapsto (\widehat p,\widehat q)$, заданная некоторой производящей функцией $\widehat s=\widehat s(y_0, \widehat p, q)$, и в новых координатах функция Гамильтона $\mathcal{H}_0$ приведена к нормальной форме: Пусть $U_{\mathbf T}=\bigcup_{y \in D'} D' \times \mathbb{T}^{n-1} \times \widehat U_{y}$. Требуемая замена задается производящей функцией Функция $\alpha$ вещественно аналитична. Так как гиперболическое положение равновесия невырождено, то $\alpha$ не обращается в нуль. Лемма доказана. Выберем ту область $D_i$, для которой $\widehat p>0$, $\widehat q>0$. Предположим, что индекс для этой области равен $1$ и область ограничена гомоклинической петлей $\Gamma_1$. Заменим в теореме 4 область $D$ на $D_1$ и докажем ее. На оставшихся областях доказательство строится аналогично. Введем переменные действие-угол. Лемма 2. В некоторой окрестности $U_{\mathbb{W}} \,{\subset}\, D_1$ подмногообразия $\mathbb{W}$ существует каноническая вещественно аналитическая замена координат $( y, x, p, q) \mapsto (\widetilde y,\widetilde x,\widetilde I,\widetilde \varphi)$ такая, что в новых координатах функция Гамильтона $\mathcal{H}_0$ имеет вид: В новых координатах $U_{\mathbb{W}}=D' \times (0,I_0) \times \mathbb{T}^{n}$. Переменные $(\widetilde I,\widetilde \varphi)$ – действие-угол для $\mathcal{H}_0(\widetilde y,\cdot,\cdot)$, $I_0>0$. При $\widetilde I \to 0$ точка подходит к $\mathbb{W}$. Справедлива формула $F$ – вещественно аналитична в $(0,0,0,\widetilde y)$. Доказательство. Как и в случае доказательства леммы 1, рассмотрим систему $(D'', d p \wedge d q, \mathcal{H}_0( y_0, p, q))$, зависящую от параметра $ y_0 \in D'$. В [13; доп. гл. 9], а также в работах [14] и [8] доказывается существование в некоторой окрестности $\widetilde U_{y_0}$ гомоклинической петли $\Gamma_1$ канонической замены координат $(p,q) \mapsto (\widetilde I,\widetilde \varphi)$ такой, что где $h$ задается формулой (2.3). Пусть замена $(p,q) \mapsto (\widetilde I,\widetilde \varphi)$ задана производящей функцией $\widetilde s(y_0,\widetilde I,q)$. Пусть $U_{\mathbb{W}}= \bigcup_{y \in D'} D' \times \mathbb{T}^{n-1} \times \widetilde U_{y}$, тогда искомая замена определяется производящей функцией Лемма доказана. Для краткости записей уберем волны над обозначением координат $( y, x, I, \varphi)$. Определим комплексную $a$-окрестность области $ D' \times (0,I_0)$, $a \in \mathbb{R}$, $a> 0$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_{a}(D' \times (0,I_0)) &=\bigl\{ (y+\eta,I+\kappa)\colon (y,I) \in D' \times (\sqrt \varepsilon\, a,I_0), \\ &\qquad |\eta|<\sqrt{\varepsilon}\, a, \,|\kappa|<\sqrt{\varepsilon}\, a,\, \eta \in \mathbb{C}^{n-1}, \kappa \in \mathbb{C}\bigr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $b$-окрестность тора $\mathbb{T}^{n}$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{T}^{n}_b=\bigl\{ (x+\zeta,\varphi+\xi)\colon (x,\varphi) \in \mathbb{T}^{n},\,|\zeta|<b,\, |\xi|<b,\, \zeta \in \mathbb{C}^{n-1},\, \xi \in \mathbb{C}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим вещественно аналитическое малое возмущение функции $\mathcal{H}_0$:
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}=\Lambda(y)+h(y,I)+\varepsilon \widetilde{\mathcal{H}}(y,x,I,\varphi).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Для некоторых $\widetilde a>0$, $\widetilde b>0$ в $U_{\widetilde a}(D' \times (0,I_0)) \times \mathbb{T}^{n}_{\widetilde b}$ функция $\widetilde{\mathcal{H}}$ вещественно аналитична, так как композиция замен координат вещественно аналитична, и выполнены условия невырожденности
$$
\begin{equation}
\underline{c}_{\,\Lambda}<|{\det \Lambda''_{yy}}|<\overline{c}_{\Lambda}, \qquad \underline{c}_{\,\alpha}<|\alpha|<\overline{c}_{\alpha},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
|\Lambda|<c_{\Lambda}, \qquad |\Lambda'_y|<c_{\Lambda}, \qquad |\Lambda''_{yy}|<c_{\Lambda}, \qquad |\alpha'_{y}|<c_{\alpha}, \qquad |\alpha''_{yy}|<c_{\alpha}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
и оценка где $\widetilde s$, $\underline{c}_{\,\Lambda}$, $\overline{c}_{\Lambda}$, $\underline{c}_{\,\alpha}$, $\overline{c}_{\alpha}$, $c_{\Lambda}$, $c_{\alpha}$ – положительные константы. В качестве нормы матриц и векторов возьмем максимальный по модулю элемент. Пусть $\delta$ – некоторое положительное число, $\delta^2<I_0$, $\delta<1$. Рассмотрим объединение отрезков
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{m=1}^{+\infty} [\delta^{2(m+1)},\delta^{2m}] \subset (0,I_0)
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующих им областей $\Delta^{(m)}=D' \times [\delta^{2(m+1)},\delta^{2m}]$ и $\mathbb{D}^{(m)}=\Delta^{(m)} \times \mathbb{T}^n$. План доказательства теоремы 4 состоит в том, чтобы рассмотреть конечное число областей $\mathbb{D}^{(m)}$, $m=1, \dots, [\frac{1}{4} \log_{\delta} \varepsilon]$, отступив от $\mathbb{W}$ на величину порядка $\sqrt \varepsilon$, оценить меру дополнения до торов $C \cap \mathbb{D}^{(m)}$ и показать, что суммарная мера имеет порядок $\sqrt{\varepsilon}$. Теорема 5. Существуют $\delta>0$, малое $\varepsilon_0>0$ и константа $c_{\mathbb{D}}>0$ такие, что для всех $0<\varepsilon<\varepsilon_0$ и всех натуральных $m \leqslant [\frac{1}{4} \log_{\delta} \varepsilon]$ мера множества $C \cap \mathbb{D}^{(m)}$ для системы Гамильтона $(\mathbb{D}^{(m)}, \omega, \mathcal{H})$ не превосходит $c_{\mathbb{D}} \sqrt{\varepsilon}\, m \delta^m$. Положим $U=\bigcup_{m=1}^{+\infty} \mathbb{D}^{(m)}$. Тогда из неравенства $\sum_{m=1}^{+\infty} m \delta^{m}<+\infty$ и теоремы 5 следует теорема 4. Параметр $\delta$ определяет ширину окрестности $U$. Его надо выбрать достаточно малым, чтобы в окрестности $U$ выполнялись условия невырожденности, которые мы обсудим в следующем пункте. 2.1. КАМ-процедураДалее по умолчанию будем считать, что выполнено неравенство $m \leqslant [\frac{1}{4} \log_{\delta} \varepsilon]$. Для $a \,{\in}\, \mathbb{R}$, $a\,{>}\,0$ определим комплексную $a$-окрестность области $\Delta^{(m)}$:
$$
\begin{equation*}
\Delta^{(m)}_{a} =\bigl \{ (y+\eta,I+\kappa)\colon (y,I) \in \Delta^{(m)},\,|\eta|< \sqrt{\varepsilon}\, a, \,|\kappa|<\sqrt{\varepsilon}\, m \delta^m a, \,\eta \in \mathbb{C}^n, \, \kappa \in \mathbb{C} \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любых функций $f\colon\Delta^{(m)} \mapsto \mathbb{R}$, $g\colon\mathbb{T}^{n} \mapsto \mathbb{R}$ и $u\colon\Delta^{(m)} \times \mathbb{T}^{n} \mapsto \mathbb{R}$, допускающих вещественно аналитическое продолжение в окрестности $\Delta^{(m)}_{a}$, $\mathbb{T}^{n}_b$ и $\Delta^{(m)}_{a} \times \mathbb{T}^{n}_b$, $a>0$, $b>0$, определим нормы
$$
\begin{equation}
|f|_a=\sup_{z \in \Delta^{(m)}_{a}} |f(z)|, \qquad |g|_b=\sup_{\phi \in \mathbb{T}^{n}_b} |g(z)|,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$$
\begin{equation}
|u|_{a,b}=\sup_{z \in \Delta^{(m)}_{a} \times \mathbb{T}^{n}_b } |u(z)|.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Лемма 3. Существуют положительные константы $\delta,\underline{c}_{\,h}, \overline{c}_h, \varepsilon_1>0$ такие, что для всех $\varepsilon \in (0,\varepsilon_1)$ в $\Delta^{(m)}_{\widetilde a}$ выполнены неравенства Доказательство см. в п. 3.1. Обозначим
$$
\begin{equation}
J=\begin{pmatrix} \Lambda''_{yy}+h''_{yy}+\widehat h''_{yy} & h''_{Iy}+\widehat h''_{Iy}\\ h''_{yI}+\widehat h_{yI} & h''_{II}+\widehat h_{II} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Лемма 4. Существуют положительные константы $\delta,\underline{c}_{\,J}, \overline{c}_J, \widehat c, \varepsilon_1>0$ такие, что, во-первых, выполняются оценки леммы 3, а во-вторых, для любой функции $\widehat h=\widehat h (y,I)$, производные которой удовлетворяют оценкам справедливо Доказательство см. в п. 3.1. Пусть $\sigma>0$, $\sigma<a$ и $\widetilde \sigma>0$, $\widetilde \sigma<b$. Тогда для производных функций $f$ и $g$ в областях $\Delta^{(m)}_{a-\sigma}$ и $\mathbb{T}^{n}_{b- \widetilde \sigma}$ справедливы оценки Коши
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{ d f} {dz}\biggr|_{a-\sigma} \leqslant \frac{|f|_a}{\sigma}, \qquad \biggl|\frac{ d g} {d \phi}\biggr|_{b-\widetilde \sigma} \leqslant \frac{|g|_b}{\widetilde \sigma}.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Пусть $g$ записана в виде ряда Фурье:
$$
\begin{equation*}
g(\phi)=\sum_{K \in \mathbb{Z}^{n}} g^{K} e^{i\langle K, \phi \rangle }.
\end{equation*}
\notag
$$
Для коэффициентов Фурье справедливы оценки Для $N \in \mathbb{N}$ определим $N$-проекцию и среднее $\langle \cdot \rangle_{z}$
$$
\begin{equation}
\Pi_N g(\phi)=\sum_{0<|K| \leqslant N} g^{K} e^{i\langle K, \phi \rangle }, \qquad \langle g \rangle_{\phi}=g^{0}.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Лемма 5. Для любого $\widehat\sigma \in (0,b)$ и $N \in \mathbb{N}$ справедливо где $C$ зависит только от $n$. Доказательство оценок (2.16), (2.17) и леммы 5 см. в [9]. Зафиксируем некоторое $m$. Перейдем к построению КАМ-процедуры. Обозначим
$$
\begin{equation}
H_0=\mathcal{H}, \qquad \widehat h_0=\langle \widetilde{\mathcal{H}} \rangle_{x,\varphi}, \qquad \widehat H_{0}=\widetilde{\mathcal{H}} -\langle \widetilde{\mathcal{H}}\rangle_{x,\varphi},
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
$$
\begin{equation}
a_0=\frac{\widetilde a}4, \qquad b_0=\widetilde b, \qquad s_0=\frac{16 \widetilde s}{\widetilde a^2}, \qquad \Delta_0= \Delta^{(m)}, \qquad \mathbb{D}_0=\mathbb{D}^{(m)},
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
выпишем начальный гамильтониан (2.4)
$$
\begin{equation}
H_0=\Lambda(y)+h(y,I)+\varepsilon \widehat h_0(y,I)+\varepsilon \widehat H_0(y,x,I,\varphi), \qquad \langle \widehat H_0 \rangle_{x, \varphi}=0.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Из (2.7) и (2.16) следуют оценки
$$
\begin{equation}
|\varepsilon \widehat h'_{0I}|_{a_0}<\sqrt{\varepsilon} \frac{s_0}{m\delta^m}, \qquad |\varepsilon \widehat h'_{0y}|_{a_0}<\sqrt{\varepsilon} s_0,
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
$$
\begin{equation}
|\varepsilon \widehat h''_{0Iy}|_{a_0}<\frac{s_0}{m\delta^m}, \qquad |\varepsilon \widehat h''_{0II}|_{a_0}<\frac{s_0}{m^2 \delta^{2m}}, \qquad |\varepsilon \widehat h''_{0yy}|_{a_0}< s_0.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Будем считать, что $k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$. КАМ-процедура представляет из себя последовательность замен координат $\{\Phi_k\}$, последовательность гамильтонианов $\{H_k\}$, а также последовательность вложенных областей $\{\mathbb{D}_k \}=\{\Delta_k \times \mathbb{T}^{n} \}$ и соответствующих им комплексных окрестностей $\{U_{a_{k},b_{k}}(\mathbb{D}_k)\}$, на которых определены отображения и гамильтонианы
$$
\begin{equation}
\Phi_k\colon U_{a_{k+1},b_{k+1}}(\mathbb{D}_{k+1}) \to U_{a_{k},b_k}(\mathbb{D}_{k}), \qquad H_{k+1}=H_k \circ \Phi_k,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
H_{k}=\Lambda(y)+h(y,I)+\varepsilon \widehat h_k (y,I)+\varepsilon \widehat H_{k}(y,x,I,\varphi), \qquad \langle \widehat H_{k} \rangle_{x,\varphi}=0.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Пусть $\{\sigma_k\}$, $\{\widetilde \sigma_k\}$ – две убывающие последовательности. Тогда
$$
\begin{equation}
a_{k+1}=a_k-2 \sigma_k, \qquad b_{k+1}=b_k-2\widetilde \sigma_k,
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
$$
\begin{equation}
a_{0}=2 \sum_{k=0}^{+\infty} \sigma_k, \qquad b_{0}=2 \sum_{k=0}^{+\infty} \widehat \sigma_k.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Индуктивные предположения. Пусть $\{s_k\}$ – сходящаяся к нулю последовательность и
$$
\begin{equation}
|\widehat H_k|_{a_k} \leqslant s_k, \qquad |\widehat h_{k+1}-\widehat h_{k}|_{a_{k+1}} \leqslant s_{k+1}.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Предположим, что для $k>0$
$$
\begin{equation}
\frac{s_k}{\sigma^2_k} \leqslant \frac{s_0}{2^{k+2}}.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Докажем методом математической индукции следующие оценки:
$$
\begin{equation}
|\varepsilon \widehat h'_{kI}|_{a_k}<\sqrt{\varepsilon} \frac{(2-2^{-k-1})s_0}{m\delta^m}, \qquad |\varepsilon \widehat h'_{ky}|_{a_k}< \sqrt{\varepsilon} (2-2^{-k-1})s_0,
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
$$
\begin{equation}
|\varepsilon \widehat h''_{kIy}|_{a_k}<\frac{(2-2^{-k-1})s_0}{m\delta^m}, \qquad |\varepsilon \widehat h''_{kII}|_{a_k}<\frac{(2-2^{-k-1})s_0}{m^2 \delta^{2m}},
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
$$
\begin{equation}
|\varepsilon \widehat h''_{kyy}|_{a_k}<(2-2^{-k-1})s_0.
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Для $k=0$ оценки (2.29)–(2.31) следуют из (2.22) и (2.23). Пусть (2.29)–(2.31) справедливы для $k>0$. Тогда из (2.16) и $\varepsilon \widehat h_{k+1}=\varepsilon \widehat h_{k}+\varepsilon ( \widehat h_{k+1}-\widehat h_{k})$ с учетом (2.28) вытекает
$$
\begin{equation}
|\varepsilon h'_{k+1I}|_{a_{k+1}} < \sqrt{\varepsilon}\biggl(\frac{(2-2^{-k-1})s_0}{m\delta^m}+\frac{s_{k+1}}{m \delta^m\sigma_k}\biggr) \leqslant \sqrt{\varepsilon}\frac{(2-2^{-k-2})s_0}{m\delta^m},
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
$$
\begin{equation}
|\varepsilon h'_{k+1y}|_{a_{k+1}} < \sqrt{\varepsilon} (2-2^{-k-1})s_0 +\sqrt{\varepsilon} \frac{s_{k+1}}{\sigma_k} \leqslant \sqrt{\varepsilon} (2-2^{-k-2})s_0,
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
$$
\begin{equation}
|\varepsilon h''_{k+1Iy}|_{a_{k+1}} < \frac{(2-2^{-k-1})s_0}{m\delta^m}+\frac{s_{k+1}}{m \delta^m\sigma^2_k} \leqslant \frac{(2-2^{-k-2})s_0}{m\delta^m},
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
$$
\begin{equation}
|\varepsilon h''_{k+1II}|_{a_{k+1}} < \frac{(2-2^{-k-1})s_0}{m^2\delta^{2m}}+ \frac{s_{k+1}}{m^2 \delta^{2m} \sigma^2_k} \leqslant \frac{(2-2^{-k-2})s_0}{m^2\delta^{2m}},
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
$$
\begin{equation}
|\varepsilon h''_{k+1yy}|_{a_{k+1}} < (2-2^{-k-1})s_0 +\frac{s_{k+1}}{\sigma^2_k} \leqslant (2-2^{-k-2})s_0.
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
2.2. РезонансыОпределим области $\Delta_{k}$. Пусть $\{N_k\}$, $N_{-1}=0$, – целочисленная возрастающая и $\{\lambda_{k}\}$ – вещественная убывающая последовательности. Определим отображение $j\colon \mathbb{Z}^{n} \setminus \{0\} \mapsto \mathbb{N} \cup \{0\}$ по следующему правилу: Выпишем вектор частот
$$
\begin{equation*}
\nu_k(y,I) = \begin{pmatrix} \Lambda'_{y}(y)+h'_y(y,I)+\varepsilon \widehat {h_k'}_y(y,I) \\ {h'}_I(y,I)+\varepsilon \widehat {h_k'}_I(y,I) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для ненулевого целочисленного вектора $K \in \mathbb{Z}^{n}$ определим резонансные полосы
$$
\begin{equation}
Q^{(K)}_{k}=\biggl\{(y,I) \in \Delta_{k}\colon |\langle \nu_k(y,I), K \rangle | \leqslant \frac{\lambda_{k} \sqrt{\varepsilon}}{m \delta^m}\biggr\}, \qquad |K| \leqslant N_k,
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
тогда по определению положим
$$
\begin{equation}
\Delta_{k+1}=\Delta_{k} \setminus \bigcup_{|K| \leqslant N_k} U_{a_k}(Q^{(K)}_k).
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
2.3. КАМ: замена координатЗададим замену $\Phi_k\colon (x,y,I,\varphi) \,{\mapsto}{\kern1pt} (\widehat x, \widehat y,\widehat I,\widehat \varphi)$ производящей функцией $S$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat S=\widehat y x+\widehat I \varphi+\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_k(\widehat y,\widehat I,x,\varphi), \\ y=\widehat y+\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_{kx}', \qquad I=\widehat I+\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_{k\varphi}', \\ x=\widehat x-\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_{k \widehat y}', \qquad \varphi=\widehat \varphi- \sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_{k\widehat I}'. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Необходимое условие корректности замены – невыход за пределы рассматриваемых окрестностей:
$$
\begin{equation}
m \delta^m|S_{kx}'| \leqslant \sigma_k, \qquad |S_{k\varphi}'| \leqslant \sigma_k, \qquad \sqrt \varepsilon \, m \delta^m |S_{ky}'| \leqslant \widehat \sigma_k, \qquad \sqrt \varepsilon \, m \delta^m |S_{kI}'| \leqslant \widehat \sigma_k.
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
Запишем функции $\widehat H_{k}$ и $S_k$ в виде рядов Фурье:
$$
\begin{equation}
\widehat H_{k}=\sum_{(p,l) \in \mathbb{Z}^{n} \setminus \{0\}} \widehat H_{k,(p,l)}(\widehat y,\widehat I) e^{i p x +il\varphi}, \qquad S_{k}=\sum_{(p,l) \in \mathbb{Z}^{n} \setminus \{0\}} S_{k,(p,l)}(\widehat y,\widehat I) e^{i p x +il\varphi}.
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
Подставим замену координат в гамильтониан:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_k &= \Lambda\Bigl(\widehat y+\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_{kx}'\Bigr) +h\Bigl(\widehat y+\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_{kx}',\widehat I+\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_{k\varphi}'\Bigr) \\ &\qquad +\varepsilon \widehat h_k(\widehat y+\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_{kx}',\widehat I+ \sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_{k\varphi}') \\ &\qquad +\varepsilon \widehat H_{k}(\widehat y+\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_{kx}',x,\widehat I+ \sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m S_{k\varphi}',\varphi) \\ &= \Lambda(\widehat y)+h(\widehat I,\widehat y)+\varepsilon \widehat h_k(\widehat I,\widehat y)+\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m \langle \Lambda'_{y}(\widehat y), S_{kx}'\rangle \\ &\qquad +\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m h'_{I}(\widehat I,\widehat y) S_{k\varphi}'+\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m \langle h'_{y}(\widehat I,\widehat y), S_{kx}' \rangle \\ &\qquad +\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m \varepsilon \widehat h'_{kI}(\widehat I,\widehat y) S_{k\varphi}'+ \sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m \varepsilon \langle \widehat h'_{ky}(\widehat I,\widehat y), S_{kx}' \rangle \\ &\qquad +\varepsilon \widehat H^{(1)}_{k}+\varepsilon R^{(1)}_{k}+\varepsilon R^{(2)}_{k}+\varepsilon R^{(3)}_{k}+\varepsilon R^{(4)}_{k}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat H_k^{(1)} &=\sum_{|(p,l)| \leqslant N_k} \widehat H_{k,(p,l)}(\widehat y,\widehat I) e^{i p x +il\varphi}, \\ R^{(1)}_{k} &= \widehat H_k(y,x,I,\varphi)-\widehat H^{(1)}_{k}(\widehat y,x,\widehat I,\varphi), \\ R^{(2)}_{k} &= \frac{1}{\varepsilon} \bigl( \Lambda(y)-\Lambda(\widehat y)-\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m \Lambda'_{y}(\widehat y) S_{kx}' \bigr), \\ R^{(3)}_{k} &= \frac{1}{\varepsilon}\bigl( h(y,I)-h(\widehat y,\widehat I)- \sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m h'_{I}(\widehat y,\widehat I) S_{k\varphi}'-\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m \langle h'_{y}(\widehat y,\widehat I), S_{kx}'\rangle \bigr), \\ R^{(4)}_{k} &= \widehat h_k(y,I)-\widehat h_k(\widehat y,\widehat I)- \sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m \widehat h'_{kI}(\widehat y,\widehat I) S_{k\varphi}'-\sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m \langle \widehat h'_{ky}(\widehat y,\widehat I), S_{kx}'\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Функцию $S_k$ найдем из гомологического уравнения
$$
\begin{equation}
\langle \Lambda'_{y}+h'_{y}+\varepsilon \widehat h'_{ky},S_{kx}'\rangle+(h'_{I}+\varepsilon \widehat h'_{kI}) S_{k\varphi}'+\frac{\sqrt{\varepsilon}}{m\delta^m} \widehat H^{(1)}_{k}=0.
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
Подставим ряды (2.41) в (2.42) и приравняем коэффициенты:
$$
\begin{equation}
S_{k,(p,l)}=\frac{i \sqrt{\varepsilon}}{m\delta^m} \, \frac{\widehat H^{(1)}_{k,(p,l)}}{\langle \Lambda'_{y}+h'_{y}+\varepsilon \widehat h'_{ky},p \rangle+(h'_{I}+\varepsilon \widehat h'_{kI}) l}.
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
Из (2.17) и (2.27) следует
$$
\begin{equation}
| \widehat H^{(1)}_{k,(p,l)}|_{a_k} \leqslant s_k \exp(-\widehat \sigma_k n |(p,l)|).
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
С учетом (2.38) получим
$$
\begin{equation}
| S_{k,(p,l)}|_{a_k} \leqslant \frac{s_k \exp(-\widehat \sigma_k n |(p,l)|)}{\lambda_{j((p,l))}}.
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
Оценим $S_k$:
$$
\begin{equation}
| S_{k}|_{a_k-\sigma_k,b_k-\widehat \sigma_k} \leqslant L_k s_k, \qquad L_k=\sum_{j=0}^k \frac{N^{n}_j}{\lambda_{j}} \exp(-\widehat \sigma_k n N_{j-1}).
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
Для (2.40) достаточно выполнения неравенств
$$
\begin{equation}
L_k s_k \leqslant \widehat \sigma_k \sigma_k, \qquad \sqrt \varepsilon \, m \delta^m L_k s_k \leqslant \widehat \sigma^2_k.
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
Оценим $R^{(1)}_{k}$, $R^{(2)}_{k}$, $R^{(3)}_{k}$, $R^{(4)}_{k}$. Слагаемое $R^{(1)}_{k}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R^{(1)}_{k} &=\widehat H_k(y,x,I,\varphi)-\widehat H^{(1)}_{k}(\widehat y,x,\widehat I,\varphi)=\widehat H_k(y,x,I,\varphi)-\widehat H^{(1)}_{k}(y,x,I,\varphi) \\ &\qquad + \widehat H^{(1)}_{k}(y,x,I,\varphi)-\widehat H^{(1)}_{k}(\widehat y,x,\widehat I,\varphi)= R^{(1,1)}_{k}+{R}^{(1,2)}_{k}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R^{(1,1)}_{k} &= \widehat H_{k}(y,x,I,\varphi)-\widehat H^{(1)}_{k}( y,x, I,\varphi), \\ R^{(1,2)}_{k} &= \widehat H^{(1)}_{k}(y,x,I,\varphi)-\widehat H^{(1)}_{k}(\widehat y,x,\widehat I,\varphi). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим слагаемое $R^{(1,1)}_{k}$ с учетом леммы 5:
$$
\begin{equation*}
|R^{(1,1)}_{k}|_{a_k-\sigma_k,b_k-\widehat \sigma_k} \leqslant \frac{C_{\Pi}}{\widehat \sigma_k} \biggl(N_k+ \frac{1}{\widehat \sigma_k}\biggr)^n \exp(-N_k \widehat \sigma_k)s_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Слагаемое $R^{(1,2)}_{k}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |{R}^{(1,2)}_{k}|_{a_k-\sigma_k,b_k-\widehat \sigma_k} &\leqslant (n-1) \sqrt \varepsilon \, m \delta^m|\widehat H'^{(1)}_{ky}|_{a_k-\sigma_k} |S'_{kx}|_{b_k-\widehat \sigma_k} \\ &\qquad+\sqrt \varepsilon \, m \delta^m|\widehat H'^{(1)}_{kI}|_{a_k-\sigma_k} |S'_{k \varphi}|_{b_k- \widehat \sigma_k} \\ &\leqslant \bigl((n-1) m \delta^m+1\bigr) L_k \frac{s_k^2}{\sigma_k \widehat \sigma_k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Слагаемое $R^{(2)}_{k}$:
$$
\begin{equation*}
|R^{(2)}_{k}|_{a_k,b_k-\widehat \sigma_k} \leqslant (n-1)^2 m^2 \delta^{2m} |\Lambda''_{yy }|_{a_k} |S'^2_{kx}|_{b_k-\widehat \sigma_k} \leqslant m^2 \delta^{2m} (n-1)^2 c_{\Lambda} \biggl(\frac{L_k s_k}{\widehat \sigma_k}\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Слагаемое $R^{(3)}_{k}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|R^{(3)}_{k}|_{a_k,b_k-\widehat \sigma_k} \leqslant (n-1)^2 m^2 \delta^{2m} |h''_{yy}|_{a_k} |S'^2_{kx}|_{b_k-\widehat \sigma_k} \\ &\qquad\qquad+(n-1) m^2 \delta^{2m} |h''_{yI}|_{a_k} |S'_{kx}|_{b_k-\widehat \sigma_k} |S'_{k\varphi}|_{b_k- \widehat \sigma_k} + m^2 \delta^{2m} |h''_{II}|_{a_k} |S'_{k\varphi}|_{b_k-\widehat \sigma_k} \\ &\qquad\leqslant \overline{c}_h \bigl( (n-1)^2 m \delta^{4m}+(n-1) m \delta^{2m}+1 \bigr) \biggl(\frac{L_k s_k}{\widehat \sigma_k}\biggr)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Слагаемое $R^{(4)}_{k}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|R^{(4)}_{k}|_{a_k-2\sigma_k,b_k-\widehat \sigma_k} \leqslant (n-1)^2 m^2 \delta^{2m} \varepsilon |\widehat h''_{kyy}|_{a_k-2 \sigma_k} |S'^2_{kx}|_{b_k-\widehat \sigma_k} \\ &\qquad\qquad + (n-1) m^2 \delta^{2m} \varepsilon |\widehat h''_{kyI}|_{a_k-2 \sigma_k} |S'_{kx}|_{b_k-\widehat \sigma_k} |S'_{k\varphi}|_{b_k-\widehat \sigma_k} \\ &\qquad\qquad + m^2 \delta^{2m} \varepsilon |\widehat h''_{kII}|_{a_k-2 \sigma_k} |S'^2_{k\varphi}|_{b_k- \widehat \sigma_k} \\ &\qquad\leqslant 2 s_0 \bigl((n-1)^2 m^2 \delta^{2m}+(n-1) m \delta+1\bigr) \biggl(\frac{L_k s_k}{\widehat \sigma_k}\biggr)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
\notag R_k=R^{(1)}_{k}+R^{(2)}_{k}+R^{(3)}_{k}+R^{(3)}_{k}+R^{(4)}_{k},
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation} \widehat h_{k+1}=\widehat h_{k}+\langle R_k \rangle_{x, \varphi}, \qquad \widehat H_{k+1}=R_k-\langle R_k \rangle_{x, \varphi}.
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
Коэффициенты $m \delta^m$, $m^2 \delta^{2m}$, $m \delta^{4m}$, $m \delta^{2m}$ не превосходят 1 при $\delta<0.5$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
|R_{k}|_{a_k-2\sigma_k,b_k-\widehat \sigma_k} \,{\leqslant}\, \frac{C_{\Pi}}{\widehat \sigma_k} \biggl(N_k+ \frac{1}{\widehat \sigma_k}\biggr)^n \exp(-N_k \widehat \sigma_k)s_k+n \frac{L_k s_k^2}{\sigma_k \widehat \sigma_k}+C_R \biggl(\frac{L_k s_k}{\widehat \sigma_k}\biggr)^2,
\end{equation}
\tag{2.49}
$$
где $C_R=(\overline{c}_{h}+2 s_0) (n^2+n)$. Тогда условие сходимости КАМ-процедуры
$$
\begin{equation}
\frac{C_{\Pi}}{\widehat \sigma_k} \biggl(N_k+\frac{1}{\widehat \sigma_k}\biggr)^n \exp(-N_k \widehat \sigma_k) s_k+n \frac{L_k s_k^2}{\sigma_k \widehat \sigma_k}+C_R \biggl(\frac{L_k s_k}{\widehat \sigma_k}\biggr)^2 \leqslant s_{k+1}.
\end{equation}
\tag{2.50}
$$
2.4. Оценка меры резонансовПокажем, что формулу (2.39) можно заменить на
$$
\begin{equation}
\Delta_{k+1}=\Delta_{k} \setminus \bigcup_{N_{k-1}<|K| \leqslant N_k} U_{a_k}(Q^{(K)}_k).
\end{equation}
\tag{2.51}
$$
Лемма 6. Пусть для любого $k>0$ выполнено тогда $Q^{(K)}_{k+1}=\varnothing$ для всех $|K| \leqslant N_k$. Доказательство. Пусть это не так и существует точка $(\widehat y, \widehat I) \in Q^{(K)}_{k+1} \subset \Delta_{k+1}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\langle \nu_{k}(\widehat y, \widehat I), K \rangle | &\leqslant |\langle \nu_{k+1}(\widehat y,\widehat I), K \rangle |+|\langle \nu_{k+1}(\widehat y,\widehat I)-\nu_{k}(\widehat y,\widehat I), K \rangle | \\ &\leqslant \frac{\lambda_{k+1} \sqrt{\varepsilon}}{m\delta^m}+\varepsilon | {{\widehat h'}_{k+1I}}(\widehat y,\widehat I)-{{\widehat h'}_{kI}}(\widehat y,\widehat I)|_{a_{k+1}} N_{k} \\ &\qquad + (n-1) \varepsilon | {{\widehat h'}_{k+1y}}(\widehat y,\widehat I)-{{\widehat h'}_{ky}}(\widehat y,\widehat I)|_{a_{k+1}} N_{k} \\ &\leqslant \frac{\lambda_{k+1} \sqrt{\varepsilon}}{m\delta^m}+n \frac{\sqrt{\varepsilon}\, s_{k+1}}{m\delta^m \sigma_{k+1}} N_{k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
И ввиду (2.52)
$$
\begin{equation*}
|\langle \nu_k(\widehat y,\widehat I), K \rangle | \leqslant \frac{\lambda_{k} \sqrt{\varepsilon}}{m \delta^m}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны из (2.39) следует $\Delta_{k+1} \cap U_{a_k}(Q^{(K)}_k)=\varnothing$. Тогда с учетом (2.40) получено противоречие Лемма доказана. Обозначим через $\mu=\mu(\Theta)$ стандартную меру Лебега для некоторого измеримого множества $\Theta$. Оценим $\mu\bigl(U_{a_k}(Q^{(K)}_k)\bigr)$. Пусть $|\widetilde{y}| \leqslant \sqrt{\varepsilon}\, a_k$, $|\widetilde{I}| \leqslant \sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m a_k$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
d\,\nu_k=\nu_k(y+\widetilde{y},I+\widetilde{I})-\nu_k(y,I),
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\langle d\,\nu_k, K \rangle|_{a_k} &\leqslant \sqrt{\varepsilon} \bigl( |\Lambda''_{yy}|_{a_k}+ |h''_{yy}|_{a_k}+2m \delta^m|h''_{Iy}|_{a_k}+m \delta^m |h''_{II}|_{a_k}+\varepsilon |\widehat h''_{kyy}|_{a_k} \\ &\qquad +2 \varepsilon m \delta^m |\widehat h''_{kyI}|_{a_k}+\varepsilon m \delta^m |\widehat h''_{kII}|_{a_k} \bigr) n |K| a_k \\ &\leqslant \sqrt{\varepsilon} \biggl( c_{\Lambda}+\frac{\delta^{2m}\overline{c}_h}{m}+2 \delta^m \overline{c}_h+\frac{\overline{c}_h}{m \delta^m }+6 s_0+\frac{2 s_0}{m \delta^m} \biggr)n N_k a_k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $C_{\nu}=c_{\Lambda}+8s_0+4 \overline{c}_h$. Тогда
$$
\begin{equation}
|\langle d\,\nu_k, K \rangle|_{a_k} \leqslant C_{\nu} N_k a_k \frac{\sqrt{\varepsilon}}{m\delta^m}.
\end{equation}
\tag{2.53}
$$
Определим $\Omega^{(K)}_k$:
$$
\begin{equation}
\Omega^{(K)}_k=\biggl\{(y,I) \in U_{a_k}(\Delta_{k})\colon |\langle \nu_k(y,I), K \rangle | \leqslant (\lambda_{k}+C_{\nu} N_k a_k)\frac{\sqrt{\varepsilon}}{m\delta^m}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.54}
$$
Из (2.53) следует Рассмотрим отображение частот
$$
\begin{equation*}
\nu_{k}\colon (y,I) \mapsto \bigl( \Lambda'_{y}(y)+h'_{y}(y,I)+\varepsilon \widehat h'_{ky}(y,I), h'_{I}(y,I)+\varepsilon \widehat h'_{kI}(y,I) \bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Якобиан отображения
$$
\begin{equation}
J_k=\begin{pmatrix} \Lambda''_{yy}+h''_{yy}+\varepsilon \widehat h''_{kyy} & h''_{Iy}+\varepsilon \widehat h''_{kIy} \\ h''_{kyI}+\varepsilon \widehat h_{yI} & h''_{II}+\varepsilon \widehat h_{kII} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.56}
$$
Из (2.6), (2.10) и (2.29) следуют оценки
$$
\begin{equation}
|\Lambda'_{y}+h'_{y}+\varepsilon \widehat h'_{ky}|_{a_k} < c_{\Lambda}+\overline{c}_{h}+2 \sqrt{\varepsilon} s_0,
\end{equation}
\tag{2.57}
$$
$$
\begin{equation}
| h'_{I}+\varepsilon \widehat h'_{kI}|_{a_k} < \frac{1}{m}(\overline{c}_{h}+2 s_0).
\end{equation}
\tag{2.58}
$$
Положим $c_{\nu}=\max\bigl(c_{\Lambda}+\overline{c}_{h}+2 \sqrt{\varepsilon} s_0,(\overline{c}_{h}+2 s_0)/m\bigr)$. Обозначим $\Xi_k \subset \mathbb{R}^n$ образ множества $U_{a_k}(\Delta_{k})$ под действием отображения $\nu_k$. Пусть $(\overline{\nu}_1, \dots,\overline{\nu}_n)$ – декартова система координат в пространстве частот в $\mathbb{R}^n$. Из (2.57) и (2.58) вытекает Лемма 7. Справедливо вложение $\Xi_k \subset \Pi$, где $\Pi$ – куб в $\mathbb{R}^n$, заданный по следующему правилу: Рассмотрим неравенство из (2.54) и оценим меру области, которую оно ограничивает в $\Xi_k$. Возьмем две гиперплоскости в $\mathbb{R}^n$
$$
\begin{equation*}
\langle \overline{\nu}_k, K \rangle=(\lambda_{k}+C_{\nu} N_k a_k)\frac{\sqrt{\varepsilon}}{m\delta^m}, \qquad \langle \overline{\nu}_k, K \rangle= -(\lambda_{k}+C_{\nu} N_k a_k)\frac{\sqrt{\varepsilon}}{m\delta^m},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{\nu}_k=(\overline{\nu}_{k1}, \dots,\overline{\nu}_{kn})$ – координаты в пространстве частот. Расстояние $d_{\nu_k}$ между двумя гиперплоскостями имеет оценку
$$
\begin{equation}
d_{\nu_k} \leqslant 4 \frac{(\lambda_{k}+C_{\nu} N_k a_k)\sqrt{\varepsilon}}{(N_{k-1}+ 1)m\delta^m}.
\end{equation}
\tag{2.60}
$$
Обозначим через $\Sigma_k$ часть пространства $\mathbb{R}^n$, которое расположено между двумя гиперплоскостями. Тогда Из (2.60) и леммы 7 следует
$$
\begin{equation}
\mu(\Omega^{(K)}_k)<4 \sqrt{n} \, c_{\nu}\frac{(\lambda_{k}+C_{\nu} N_k a_k)\sqrt{\varepsilon}}{(N_{k-1}+1)m\delta^m}.
\end{equation}
\tag{2.61}
$$
Заметим, что из неравенств (2.30) и леммы 4 следует оценка на определитель матрицы $J_k$
$$
\begin{equation}
\frac{\underline{c}_{\,J}}{m^2 \delta^{2m}}<|{\det J_k}|_{a_k}< \frac{\overline{c}_J}{m^2 \delta^{2m}}.
\end{equation}
\tag{2.62}
$$
Тогда из (2.55) получим
$$
\begin{equation*}
\mu \bigl( U_{a_k}(Q^{(K)}_k) \bigr) \leqslant \mu \bigl(\nu^{-1}_k(\Omega^{(K)}_k)\bigr) \leqslant 4 \sqrt{n} \, c_{\nu}\frac{(\lambda_{k}+C_{\nu} N_k a_k)\sqrt{\varepsilon}}{(N_{k-1}+ 1)\underline{c}_{\,J}}m \delta^m.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\mu \biggl(\bigcup_{N_{k-1}<|K| \leqslant N_k} U_{a_k}(Q^{(K)}_k) \biggr) \leqslant 4 \sqrt{n} \, n! c_{\nu}\frac{(\lambda_{k}+C_{\nu} N_k a_k)\sqrt{\varepsilon}}{(N_{k-1}+1)\underline{c}_{\,J}}m \delta^m N_k^{n-1}(N_k-N_{k-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Окончательно получаем
$$
\begin{equation}
\mu(\Delta_0 \setminus \Delta_{+\infty}) \leqslant \sum_{k=0}^{+\infty} C_{\mu} (\lambda_{k}+N_k a_k) \frac{N_k^{n-1}(N_k-N_{k-1})}{N_{k-1}+1} m\delta^m \sqrt{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{2.63}
$$
где $C_{\mu}=4 \sqrt{n}\, n!\, (c_{\nu}/\underline{c}_{\,J}) \max(C_{\nu},1)$. 2.5. Последовательности $\sigma_k$, $\widetilde \sigma_k$, $s_k$, $N_k$, $\lambda_k$Для завершения доказательства нужно задать последовательности $\sigma_k$, $\widetilde \sigma_k$, $s_k$, $N_k$, $\lambda_k$ таким образом, чтобы выполнялись неравенства (2.28), (2.47), (2.50), (2.52) и сходился ряд (2.63). Зададим последовательности по следующим правилам:
$$
\begin{equation}
\sigma_k=\beta_{\sigma} 2^{-(2n+1)k}, \qquad \beta_{\sigma}=a_0 \biggl(\frac{2^{2n+1}-1}{2^{2n+2}}\biggr), \qquad \widehat \sigma_k=b_0 2^{-k-2},
\end{equation}
\tag{2.64}
$$
$$
\begin{equation}
N_k=\beta_N 2^{2k}, \qquad \lambda_{k}=\beta_{\lambda} 2^{-2nk}, \qquad s_k=s_0 e^{-\beta_s k- 2^k},
\end{equation}
\tag{2.65}
$$
константы $\beta_N, \beta_{\lambda}, \beta_s$ укажем далее. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
a_0=2 \sum_{k=0}^{\infty} \sigma_k, \qquad b_0=2\sum_{k=0}^{\infty} \widehat \sigma_k,
\end{equation*}
\notag
$$
а также Оценим (2.63). Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\frac{N_k^{n-1}(N_k-N_{k-1})}{N_{k-1}+1}<3 N_k^{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\beta_{\lambda}=1$. Ряд из (2.63) сходится,
$$
\begin{equation}
\mu(\Delta_0 \setminus \Delta_{+\infty}) \leqslant \sum_{k=0}^{+\infty} 3 C_{\mu} (\lambda_{k}N_k^{n-1}+N^n_k a_k) m\delta^m \sqrt{\varepsilon}<6 C_{\mu} \beta^n_N (1+a_0) m\delta^m \sqrt{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{2.67}
$$
Подставим (2.64) и (2.65) в (2.28) и получим достаточное для выполнения неравенства (2.28) условие
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\beta_{\sigma}}\, e^{(2n+3-\beta_s)k-2^k} \leqslant 1, \qquad k>0.
\end{equation}
\tag{2.68}
$$
Подставим (2.64) и (2.65) в (2.46):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag L_k &=\sum_{j=0}^k \frac{N^{n}_j}{\lambda_{j}} \exp(-\widehat \sigma_k n N_{j-1}) =\beta^n_N+ \sum_{j=1}^k \beta^n_N 2^{4nj}\exp(-nb_0 \beta_N 2^{j-4}) \\ & <\beta^n_N+\sum_{j=1}^k \beta^n_N 2^{4nj-nb_0 \beta_N 2^{j-4}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.69}
$$
Для
$$
\begin{equation}
\beta_N \geqslant \biggl[\frac{16(4n+1)}{nb_0}\biggr]+1
\end{equation}
\tag{2.70}
$$
из (2.69) следует Подставим (2.64) и (2.65) в (2.50) и оценим каждое слагаемое:
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\frac{C_{\Pi}}{\widehat \sigma_k} (N_k+\frac{1}{\widehat \sigma_k})^n \exp(-N_k \widehat \sigma_k)s_k \\ &\qquad\leqslant \frac{4 s_0 C_{\Pi}}{b_0}\biggl(\beta_N+\frac{4}{b_0}\biggr)^n \exp\biggl((2n+1-\beta_s)k-\biggl(\frac{\beta_N b_0}{4}+1\biggr)2^k\biggr), \end{split}
\end{equation}
\tag{2.72}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, n \frac{L_k s_k^2}{\sigma_k \widehat \sigma_k} \leqslant \frac{8 s^2_0 n \beta^n_N}{\beta_{\sigma} b_0}\exp((2n+2-2\beta_s)k-2^{k+1}), \\ C_R \biggl(\frac{L_k s_k}{\widehat \sigma_k}\biggr)^2 \leqslant \frac{64 s_0^2 C_R \beta^{2n}_N}{b_0^2} \exp((2-2\beta_s)k-2^{k+1}). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.73}
$$
Для доказательства (2.50) достаточно проверить неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\frac{4C_{\Pi}}{b_0}\biggl(\beta_N+\frac{4}{b_0}\biggr)^n \exp\biggl((2n+1-\beta_s)k-\biggl(\frac{\beta_N b_0}{4}+1\biggr)2^k\biggr) \\ &\leqslant \frac{1}{3} \exp(-\beta_s(k+1)-2^{k+1}), \end{aligned} \\ \frac{8 s_0 n \beta^n_N}{\beta_{\sigma} b_0}\exp((2n+2-2\beta_s)k-2^{k+1}) \leqslant \frac{1}{3} \exp(-\beta_s(k+1)-2^{k+1}), \\ \frac{64 s_0 C_R \beta^{2n}_N}{b_0^2} \exp((2-2\beta_s)k-2^{k+1}) \leqslant \frac{1}{3} \exp(-\beta_s(k+1)-2^{k+1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразуем их:
$$
\begin{equation}
\frac{12 C_{\Pi}}{b^{n+1}_0}(\beta_N b_0+4)^n \exp\biggl(\beta_s+(2n+1)k-\biggl(\frac{\beta_N b_0}{4}- 1\biggr)2^k\biggr) \leqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.74}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{24 s_0 n \beta^n_N}{\beta_{\sigma} b_0} \exp(\beta_s+(2n+2-\beta_s)k-2^{k}) \leqslant 1, \\ \frac{192 s_0 C_R \beta^{2n}_N}{b_0^2} \exp(\beta_s+(2-\beta_s)k) \leqslant 1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.75}
$$
Неравенства (2.74) и (2.75) должны выполняться для всех $k \geqslant 0$. Подставим (2.64) и (2.65) в (2.47) и получим достаточное для выполнения неравенства (2.47) условие
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{4 s_0 \beta^n_N}{b_0 \beta_s} \exp((2n+2-\beta_s)k-2^k) \leqslant 1, \\ \frac{16 \sqrt{\varepsilon} \, m \delta^m \beta^n_N s_0}{b^2_0} \exp((2-\beta_s)k-2^k) \leqslant 1, \\ k \geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.76}
$$
Подставим (2.64) и (2.65) в (2.52) и получим достаточное для выполнения неравенства (2.52) условие
$$
\begin{equation}
\frac{2 n s_0 \beta_N}{\beta_{\sigma}} \exp((2n+1-\beta_s)(k+1)+2k-2^{k+1}) \leqslant 1, \qquad k>0.
\end{equation}
\tag{2.77}
$$
Проверим (2.74)–(2.77). Положим $\beta_s=3$. Лемма 8. Существует $\beta_N$, зависящее от $b_0, \beta_{\sigma}, n, C_{\Pi}$, такое, что для всех $k \geqslant 0$ выполняется неравенство (2.74). Доказательство. Заметим, что для $\beta_N>(16(2n+4))/b_0$ справедливо
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{12 C_{\Pi}}{b^{n+1}_0}(\beta_N b_0+4)^n \exp\biggl(\beta_s+(2n+1)k-\biggl(\frac{\beta_N b_0}{4}- 1\biggr)2^k\biggr) \\ &\qquad <\frac{32^n 12 C_{\Pi}}{b^{n+1}_0}\biggl(\frac{\beta_N b_0}{16}\biggr)^n \exp\biggl(- \frac{\beta_N b_0}{16}2^k\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что Следовательно, для достаточно большого $\widehat \beta_N$ при $\beta_N=\widehat \beta_N$ справедливо Лемма доказана. При $k>2n+5$ экспоненты в неравенствах (2.75)–(2.77) не превосходят 1. Пусть
$$
\begin{equation*}
s_0=\biggl(e^{2n+5} \max\biggl(\frac{24 n \beta^n_N}{\beta_{\sigma} b_0}, \frac{192 C_R \beta^{2n}_N}{b_0^2},\frac{4 \beta^n_N}{b_0 \beta_s}, \frac{16 \beta^n_N}{b^2_0},\frac{2 n \beta_N}{\beta_{\sigma}}\biggr)\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее с учетом (2.20) обеспечивает выполнение неравенств (2.75)–(2.77) и завершает доказательство сходимости КАМ-процедуры.
§ 3. Технические леммы3.1. Доказательство леммы 3Из леммы 2 вытекают формулы для производных функции $h$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial h}{\partial I}=\frac{\alpha(y)}{\log |I|} R\biggl(\frac{1}{\log |I|},\frac{\log |{\log |I|}|}{\log |I|},I,y\biggr), \qquad R(0,0,0,y)=1,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 h}{\partial I^2}=- \frac{\alpha(y)}{I \log^2 |I|} G\biggl(\frac{1}{\log |I|},\frac{\log |{\log |I|}|}{\log |I|},I,y\biggr), \qquad G(0,0,0,y)=1,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где функции $G,R$ вещественно аналитичны в $(0,0,0,y)$. Из
$$
\begin{equation*}
\lim_{I \to 0} \frac{1}{\log |I|}=0, \qquad \lim_{I \to 0} \frac{\log |{\log |I|}|}{\log |I|}=0
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что существуют $ \delta_1 \in (0, \sqrt I_0)$ и $\varepsilon_1>0$ такие, что для всех $\varepsilon \in (0,\varepsilon_1)$ в $U_{\widetilde a}(D \times (0,\delta_1))$ функции $F$, $R$, $G$ аналитичны и выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}<|F|<\frac{3}{2}, \qquad \frac{1}{2}<|R|<\frac{3}{2},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}<|G|<\frac{3}{2}, \qquad |F'_{y}|<1, \qquad |F''_{yy}|<1, \qquad |R'_y|<1.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Далее
$$
\begin{equation}
\frac{\partial h}{\partial y}=\frac{I}{\log |I|} (\alpha'_{y} F+\alpha F'_y), \qquad \frac{\partial^2 h}{\partial I \partial y}=\frac{\alpha'_y R+\alpha R'_y}{\log |I|},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 h}{\partial^2 y}=\frac{I}{\log |I|} (\alpha''_{yy} F+2 \alpha'_{y} F'_y+\alpha F''_{yy}).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Пусть $\delta_1$ достаточно мало, так что функции $1/\log |I|$, $I/\log |I|$, $1/(I \log^2 |I|)$ монотонны на интервале $(0, \delta_1)$. Положим $\delta=\delta_1$. При малом $\varepsilon_1$ для $\varepsilon \in (0,\varepsilon_1)$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{1}{4(m+1)|{\log \delta}|}<\biggl|\frac{1}{\log |I|}\biggr|_{\widetilde a} < \frac{1}{m |{\log \delta}|}, \qquad \biggl|\frac{I}{\log |I|}\biggr|_{\widetilde a}< \frac{\delta^{2m}}{m |{\log \delta}|},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\delta^{2(m+1)}}{2(m+1) |{\log \delta}|} <\biggl|\frac{I}{\log |I|}\biggr|_{\widetilde a}<\frac{\delta^{2m}}{m |{\log \delta}|}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Из (3.3)–(3.8) следует, что выполнены оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\delta^{2(m+1)}\underline{c}_{\,\alpha}}{8(m+1) |{\log \delta}|}< |h|_{\widetilde a}<\frac{3\delta^{2m} \overline{c}_{\alpha}}{2m |{\log \delta}|}, \qquad \frac{\underline{c}_{\,\alpha}}{8(m+1) |{\log \delta}|}<|h'_I|_{\widetilde a}< \frac{3\overline{c}_{\alpha}}{2m |{\log \delta}|}, \\ \frac{\underline{c}_{\,\alpha}}{8m^2 \delta^{2m} |{\log \delta}|}< |h''_{II}|_{\widetilde a}<\frac{3\overline{c}_{\alpha}}{2(m+1)^2 \delta^{2(m+1)} |{\log \delta}|}, \\ |h''_{yI}|_{\widetilde a}<\frac{2 c_{\alpha}+\overline{c}_{\alpha}}{m |{\log \delta}|}, \qquad |h''_{yy}|_{\widetilde a}<\frac{\delta^{2m}(4 c_{\alpha}+ \overline{c}_{\alpha})}{m |{\log \delta}|}, \qquad |h'_{y}|_{\widetilde a}<\frac{\delta^{2m}(2 c_{\alpha}+\overline{c}_{\alpha})}{m |{\log \delta}|}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\underline{c}_{\,h}=\frac{\delta^2 \underline{c}_{\,\alpha}}{16 |{\log \delta}|}, \qquad \overline{c}_h=\frac{4 c_{\alpha}+2 \overline{c}_{\alpha}}{\delta^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. 3.2. Доказательство леммы 4Первое утверждение о том, что при выбранных $\delta$ и $\varepsilon_1$ справедлива лемма 3 вытекает из ее доказательства. Запишем определитель $J$:
$$
\begin{equation*}
\det J=\det \bigl(\Lambda''_{yy}+h''_{yy}+\widehat h''_{yy} \bigr)(h''_{II}+\widehat h''_{II})+ \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{1+i} (h''_{y_iI}+\widehat h''_{y_iI}) M_i,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M_i$ – соответствующий минор. Далее мы покажем, что если выбрать $\delta$ и $\widehat c$ достаточно малыми, но не зависящими от $\varepsilon$, то утверждение леммы будет следовать из оценок (2.10), (2.11) и (2.14). Определитель суммы двух матриц $\Lambda''_{yy}$ и $h''_{yy}+\widehat h''_{yy}$ равен сумме всевозможных определителей матриц, которые получатся, если часть строк (или столбцов) брать из матрицы $\Lambda''_{yy}$, а оставшуюся часть из матрицы $h''_{yy}+\widehat h_{(yy)}$:
$$
\begin{equation*}
\det \bigl(\Lambda''_{yy}+h''_{yy}+\widehat h''_{yy} \bigr)=\det \Lambda''_{yy}+\sum_{i= 2}^{(2(n-1))!/(n-1)!}B_{i},
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_i$ – определитель матрицы, составленный из строк матриц $\Lambda''_{yy}$ и $h''_{yy}+ \widehat h''_{yy}$ и содержащий хотя бы одну строку матрицы $h''_{yy}+\widehat h''_{yy}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=2}^{(2(n-1))!/(n-1)!} |B_i|_{\widetilde a}<\frac{(2(n-1))!}{(n-2)!} c_{\Lambda}^{n-2} \biggl(\frac{\delta^{2m}\overline{c}_h}{m}+\widehat c \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для малых $\delta$ и $\widehat c$ выполнено
$$
\begin{equation}
\frac{\underline{c}_{\,\Lambda}}{2}<\bigl|\det (\Lambda''_{yy}+h''_{yy}+\widehat h''_{yy} )\bigr|_{\widetilde a}<\frac{3 \underline{c}_{\,\Lambda}}{2}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Для малых $\widehat c$ выполнено
$$
\begin{equation}
\frac{\underline{c}_{\,h}}{2m^2 \delta^{2m}}<|h''_{II}+\widehat h''_{II}|_{\widetilde a} <\frac{3\overline{c}_{h}}{2m^2 \delta^{2m}},
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
следовательно,
$$
\begin{equation}
\frac{\underline{c}_{\,h}\, \underline{c}_{\,\Lambda}}{4m^2 \delta^{2m}} <\bigl|\det \bigl(\Lambda''_{yy}+h''_{yy}+\widehat h''_{yy} \bigr)(h''_{II}+\widehat h''_{II})\bigr|_{\widetilde a} <\frac{9\overline{c}_{h}\overline{c}_{\Lambda}}{4m^2 \delta^{2m}}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Оценим $M_i$:
$$
\begin{equation}
|M_i|_{\widetilde a}<(n-1)!\,c^{n-2}_{\Lambda} \biggl(\frac{\overline{c}_{h}}{m}+\frac{\widehat c}{m \delta^m}\biggr),
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{1+i} (h''_{y_iI}+\widehat h''_{y_i I}) M_i\biggr|_{\widetilde a} <n!\,c^{n-1}_{\Lambda} \biggl(\frac{\overline{c}_{h}}{m}+\frac{\widehat c}{m \delta^m}\biggr)^2.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
При малом $\delta$ и малом $\widehat c$ выполнено
$$
\begin{equation*}
n!\,c^{n-1}_{\Lambda} \biggl(\frac{\overline{c}_{h}}{m}+\frac{\widehat c}{m \delta^m}\biggr)^2< \frac{\underline{c}_{\,h}\, \underline{c}_{\,\Lambda}}{8m^2 \delta^{2m}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\underline{c}_{\,J}=\underline{c}_{\,h} \, \underline{c}_{\,\Lambda}/8$, $\overline{c}_J=3 \overline{c}_{h}\overline{c}_{\Lambda}$. Лемма доказана. БлагодарностиАвтор благодарит Дмитрия Валерьевича Трещева за полезные обсуждения и комментарии.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Med24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|